<<

. 2
( 5)



>>

SIMWOLY, K TOMU VE POMOGA@T TEX'U RAZOBRATXSQ, KOGDA BINARNYE OPE-
RACII W DEJSTWITELXNOSTI NE ISPOLXZU@TSQ KAK BINARNYE.
hOTQ SIMWOLY { I } UKAZYWA@T GRUPPIROWANIE, KOMANDY \{I \} DA@T
OTKRYWA@]U@ I ZAKRYWA@]U@ FIGURNYE SKOBKI f I g. pODROBNEE OGRA-
NI^ITELI OPISANY NIVE W SPECIALXNOM RAZDELE.
zATEM SU]ESTWUET SIMWOL ', KOTORYJ ISPOLXZUETSQ KAK SOKRA]ENIE DLQ
(8)
WERHNEGO INDEKSA \prime.
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 33
(9) sPECIALXNYE SIMWOLY ^ I _ OBOZNA^A@T WERHNIE I NIVNIE INDEKSY I
NE DOLVNY ISPOLXZOWATXSQ WNE FORMUL. TEX ISPOLXZUET TAKIE I ANA-
LOGI^NYE SLU^AI, ^TOBY OBNARUVITX WO WHODNOM FAJLE PROPU]ENNYJ
ZNAK DOLLARA DO TOGO, KAK TAKIE O IBKI WYZOWUT SLI KOM MNOGO NEPRI-
QTNOSTEJ.
kROME SIMWOLOW KLAWIATURY, OPISANNYH WY E, MATEMATIKI ISPOLXZU@T MNO-
VESTWO SPECIFI^ESKIH OBOZNA^ENIJ, KOTORYE W TEX'E ZADA@TSQ UPRAWLQ@]IMI
POSLEDOWATELXNOSTQMI. iME@TSQ SPECIALXNYE UPRAWLQ@]IE POSLEDOWATELXNO-
STI I DLQ ORDINARNYH SIMWOLOW, I DLQ RAZLI^NYH OPERATOROW, OTNO ENIJ,
OGRANI^ITELEJ I T.D., POZWOLQ@]IE POLU^ATX OGROMNOE RAZNOOBRAZIE MATEMA-
TI^ESKIH FORMUL. pOLNYJ SPISOK TAKIH OBOZNA^ENIJ PRIWEDEN W RAZDELAH 4.2
I 5.3.
rAZRYW FORMUL. kOGDA W ABZACE WSTRE^AETSQ FORMULA, TEX MOVET RAZBITX
EE MEVDU STROKAMI. |TO NEIZBEVNOE ZLO, TAKOE VE, KAK PERENOS SLOW. hO^ETSQ
IZBEVATX EGO, ESLI TOLXKO ALXTERNATIWA NE HUVE.
fORMULA BUDET RAZBIWATXSQ TOLXKO POSLE SIMWOLOW OTNO ENIQ TIPA =, <
ILI !, ILI POSLE SIMWOLOW BINARNOJ OPERACII TIPA +, ; ILI , KOGDA OTNO-
ENIQ ILI BINARNYE OPERACII NAHODQTSQ NA \WNE NEM UROWNE" FORMULY (T.E.,
NE ZAKL@^ENY W { : : : }, NE NAHODQTSQ W ^ISLITELE ILI ZNAMENATELE DROBI I
T.P.). nAPRIMER, ESLI WY WWODITE
$f(x,y) = x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$
W SEREDINE ABZACA, TO ESTX ANS, ^TO TEX RAZORWET STROKU LIBO POSLE ZNAKA =
(ON PREDPO^ITAET \TO), LIBO POSLE ;, + ILI ; (W KRAJNEM SLU^AE). nO NI W KOEM
SLU^AE NE BUDET RAZRYWA POSLE ZAPQTOJ | ZAPQTAQ, POSLE KOTOROJ VELATELEN
RAZRYW, NE DOLVNA POQWLQTXSQ MEVDU ZNAKAMI $. w FORMULAH MOVNO ISPOLX-
ZOWATX \RAZRYWNYJ ZNAK UMNOVENIQ": ESLI WY WWEDETE $(x+y)\*(x-y)$, TO NA
MESTE \* BUDET RAZRE EN RAZRYW STROKI TAK VE, KAK PRI PERENOSE SLOW. oDNAKO,
WMESTO WSTAWKI ZNAKA PERENOSA TEX WSTAWIT ZNAK W TEKSTOWOM RAZMERE.
eSLI W \TOM PRIMERE WY NE HOTITE RAZRE ATX NIKAKIH DRUGIH RAZRYWOW,
KROME KAK POSLE ZNAKA =, TO MOVETE WWESTI
$f(x,y) = {x^2-y^2}= {(x+y)(x-y)}$,
POSKOLXKU DOPOLNITELXNYE FIGURNYE SKOBKI \SWQZYWA@T" PODFORMULY, POME-
]AQ IH W NERAZRYWAEMYE BOKSY. iMEETSQ SREDSTWO KAK DLQ UKAZANIQ MESTA RAZ-
RYWA FORMULY, TAK I DLQ ZAPRE]ENIQ TAKOGO RAZRYWA | \TO, SOOTWETSTWENNO,
KOMANDY \mathbreak I \nomathbreak. eSTX TAKVE I KOMANDA \allowmathbreak,
KOTORAQ PROSTO POZWOLQET DELATX RAZRYW W TOJ TO^KE FORMULY, GDE ONA NAHO-
DITSQ, NO NE PRINUVDAET K \TOMU RAZRYWU. nAPRIMER, ESLI FORMULA
$(x_1,\ldots,x_m,\allowmathbreak y_1,\ldots,y_n)$
POQWLQETSQ W TEKSTE ABZACA, TEX POZWOLQET RAZORWATX EE NA DWA KUSKA (x1 : : : xm
I y1 : : : yn).
dLQ \TOJ VE CELI MOVNO ISPOLXZOWATX I KOMANDU Plain TEX'A \allowbreak.
nO NET NEOBHODIMOSTI ZARANEE SUETITXSQ PO POWODU TAKIH WE]EJ, POKA TEX
NA SAMOM DELE NEUDA^NO NE RAZORWET FORMULU, POSKOLXKU WEROQTNOSTX \TOGO
DOWOLXNO MALA.
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
34
4.2. mATEMATI^ESKIE SIMWOLY
wSE SIMWOLY, KOTORYE WWODQTSQ W MATEMATI^ESKOJ MODE, DELQTSQ NA NESKOLXKO
GRUPP4:
oRDINARNYE /
bOLX IE OPERATORY \sum
bINARNYE OPERACII +
oTNO ENIQ =
oGRANI^ITELI (
zNAKI PUNKTUACIQ ,

oT TOGO, K KAKOMU WIDU OTNOSITSQ SIMWOL, ZAWISIT RASPREDELENIE PROBELOW
OKOLO NEGO. |TO KASAETSQ NE TOLXKO SIMWOLOW KLAWIATURY, NO I SIMWOLOW, ZA-
DAWAEMYH UPRAWLQ@]IMI POSLEDOWATELXNOSTQMI.
nA SAMOM DELE TEX RASSTAWLQET PROBELY W FORMULAH PO O^ENX PROSTYM PRA-
WILAM. fORMULA PREOBRAZUETSQ W MATEMATI^ESKIJ SPISOK. |TOT SPISOK SO-
STOIT GLAWNYM OBRAZOM IZ PROSTEJ IH \LEMENTOW (ILI \ATOMOW") WOSXMI OSNOW-
NYH TIPOW: Ord (ORDINARNYJ), Op (BOLX OJ OPERATOR), Bin (BINARNAQ OPERA-
CIQ), Rel (BINARNOE OTNO ENIE), Open (OTKRYWA@]IJ OGRANI^ITELX), Close
(ZAKRYWA@]IJ OGRANI^ITELX), Punct (PUNKTUACIQ) I Inner (OGRANI^ENNAQ POD-
FORMULA). dRUGIE WIDY ATOMOW WSE TRAKTU@TSQ KAK Ord, A DROBI S^ITA@TSQ
TIPA Inner. dLQ OPREDELENIQ PROBELOW MEVDU PARAMI SOSEDNIH ATOMOW ISPOLX-
ZUETSQ SLEDU@]AQ TABLICA:
pRAWYJ ATOM
Ord Op Bin Rel Open Close Punct Inner
Ord 0 1 (2) (3) 0 0 0 (1)
Op 1 1 * (3) 0 0 0 (1)
Bin (2) (2) * * (2) * * (2)
Rel
lEWYJ (3) (3) * 0 (3) 0 0 (3)
Open
ATOM 0 0 * 0 0 0 0 0
Close 0 1 (2) (3) 0 0 0 (1)
Punct (1) (1) * (1) (1) (1) (1) (1)
Inner (1) 1 (2) (3) (1) 0 (1) (1)


zDESX 0, 1, 2 I 3 OBOZNA^A@T, SOOTWETSTWENNO, OTSUTSTWIE PROBELA, TONKIJ PRO-
BEL, SREDNIJ PROBEL I TOLSTYJ PROBEL. |LEMENT TABLICY ZAKL@^EN W SKOBKI,
ESLI PROBEL WSTAWLQETSQ TOLXKO W WYKL@^NOM I TEKSTOWOM STILQH, A NE INDEK-
SAH. nAPRIMER, W RQDE Rel KOLONKI Rel ^ASTO WSTRE^AETSQ (3). |TO OZNA^AET,
^TO OBY^NO PERED I POSLE SIMWOLOW OTNO ENIQ TIPA = WSTAWLQETSQ TOLSTYJ
PROBEL, NO W INDEKSAH ON NE WSTAWLQETSQ. nEKOTORYE \LEMENTY TABLICY RAWNY
*. tAKIE SLU^AI NIKOGDA NE WOZNIKA@T, POSKOLXKU ATOMAM Bin DOLVNY PRED-
ESTWOWATX, A TAKVE I SLEDOWATX ZA NIMI, ATOMY, SOWMESTIMYE S PRIRODOJ
BINARNYH OPERACIJ.
pRIWEDEM SPISOK MATEMATI^ESKIH SIMWOLOW I KOMAND DLQ IH POLU^ENIQ, DO-
STUPNYH W TEX'E, PRIDERVIWAQSX IH PRINADLEVNOSTI K UKAZANNYM GRUPPAM.
|TO NEKOTOROE UPRO]ENIE TOGO, ^TO PROISHODIT NA SAMOM DELE. pODROBNOSTI SM. W KNIGE
4
d. kNUTA wSE PRO TEX.
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 35
eSLI NE UTWERVDAETSQ OBRATNOE, MATEMATI^ESKIE SIMWOLY DOSTUPNY TOLXKO W
MATEMATI^ESKOJ MODE. nAPRIMER, ESLI WY SKAVETE \alpha W TEKSTE, TEX SOOB-
]IT OB O IBKE I POPYTAETSQ WSTAWITX ZNAK $.
sTRO^NYE GRE^ESKIE BUKWY.
%
\alpha \iota \varrho
\beta \kappa \sigma
&
\gamma \lambda \varsigma
\delta \mu \tau
\epsilon \nu \upsilon
" \varepsilon \xi \phi
o '
\zeta o \varphi
\eta \pi \chi
$
\theta \varpi \psi
# !
\vartheta \rho \omega
zDESX NET \omicron, POSKOLXKU ONA WYGLQDIT TAK VE, KAK o. zAMETIM, ^TO BUKWA
\upsilon ( ) ZDESX ^UTX IRE, ^EM v (v) I TU, I DRUGU@ SLEDUET OTLI^ATX OT
\nu ( ). aNALOGI^NO, \varsigma (&) NE SLEDUET PUTATX S \zeta ( ).
pROPISNYE GRE^ESKIE BUKWY. pROPISNYE GRE^ESKIE BUKWY IME@TSQ W TREH
NA^ERTANIQH | W PRQMOM, NAKLONNOM I VIRNOM.
; \Gamma \Xi \Phi
\Delta \Pi \Psi
\Theta \Sigma \Omega
\Lambda \Upsilon
oSTALXNYE PRQMYE GRE^ESKIE PROPISNYE BUKWY PE^ATA@TSQ IZ ROMANSKOGO AL-
FAWITA (\Alpha {\rm A}, \Beta {\rm B}, I T.D).
; \varGamma \varXi \varPhi
\varDelta \varPi \varPsi
\varTheta \varSigma \varOmega
\varLambda \varUpsilon
oSTALXNYE NAKLONNYE GRE^ESKIE PROPISNYE BUKWY PE^ATA@TSQ IZ KURSIWNOGO
RIFTA (\Alpha {\it A}, \Beta {\it B}, I T.D).
; \bold\Gamma \bold\Xi \bold\Phi
\bold\Delta \bold\Pi \bold\Psi
\bold\Theta \bold\Sigma \bold\Omega
\bold\Lambda \bold\Upsilon
oSTALXNYE VIRNYE GRE^ESKIE PROPISNYE BUKWY PE^ATA@TSQ IZ ROMANSKOGO AL-
FAWITA VIRNYM RIFTOM (\Alpha {\bf A}, \Beta {\bf B} I T.D).
rUKOPISNYE PROPISNYE BUKWY. ˜TOBY POLU^ITX BUKWY A : : : Z, NADO WWO-
DITX $\sal A$ : : : $\Cal Z$. AMS-TEX RAZRE AET ISPOLXZOWATX W MATEMATIKE
I DRUGIE ALFAWITY, ^TO OPISANO W RAZDELE 4.22. {RIFTY W MATEMATIKE.
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
36
rAZNOOBRAZNYE ORDINARNYE SIMWOLY.
@ 0 8
\aleph \prime \forall
˜ 9
\hbar \emptyset \exists
{ r :
\imath \nabla \neg, \lnot
p
| \jmath \surd \flat
` \
>
\ell \top \natural
} ]
?
\wp \bot \sharp
< k |
\Re \Vert, \| \clubsuit
\
= }
\Im \angle \diamondsuit
@ 4 ˜
\partial \triangle \heartsuit
1 n
\infty \backslash \spadesuit
s y z
\smallint \dag \ddag
{ x
\P \S

\bOLX IE" OPERATORY. rAZMER SLEDU@]IH SIMWOLOW RAZLI^AETSQ W ZAWISI-
MOSTI OT TOGO, W KAKOJ MATEMATI^ESKOJ MODE ONI ISPOLXZU@TSQ. w WYKL@^NYH
FORMULAH ONI IME@T BOLX IJ RAZMER.
PX \ JK
T
\sum \bigcap \bigodot
Y NO
Q S
\prod \bigcup \bigotimes
a G LM
` F
\coprod \bigsqcup \bigoplus
_ ] ^
W U V
\bigvee \biguplus \bigwedge

wAVNO OTMETITX OTLI^IE \TIH \BOLX IH OPERATOROW" OT POHOVIH, NO MENX IH
SIMWOLOW \BINARNYH OPERACIJ", U KOTORYH TAKIE VE IMENA, ZA ISKL@^ENIEM
PRISTAWKI big. bOLX IE OPERATORY, KAK PRAWILO, WSTRE^A@TSQ W NA^ALE FOR-
MULY ILI PODFORMULY I OBY^NO IME@T INDEKSY, A BINARNYE OPERACII WSTRE-
^A@TSQ MEVDU DWUMQ SIMWOLAMI ILI PODFORMULAMI I REDKO IME@T INDEKSY.
bOLX IE OPERATORY \sum, \prod I \coprod TAKVE NADO OTLI^ATX OT SIMWOLOW
\Sigma ( ), \Pi ( ) I \amalg (q), SOOTWETSTWENNO.
bOLX IM OPERATORAM W \TOM RUKOWODSTWE POSWQ]EN SPECIALXNYJ RAZDEL (SM.
4.7. bOLX IE OPERATORY).
iNTEGRALY. iNTEGRALY TAKVE OTNOSQTSQ K \BOLX IM OPERATORAM" I IH RAZ-
MER TOVE RAZLI^AETSQ W ZAWISIMOSTI OT TOGO, W KAKOJ MATEMATI^ESKOJ MODE ONI
ISPOLXZU@TSQ. w WYKL@^NYH FORMULAH ONI IME@T BOLX IJ RAZMER.
Z I
R H
\int \oint
ZZ ZZZ
RR RRR
\iint \iiint
ZZZZ Z Z
RRRR R R
\iiiint \idotsint

(pODROBNEE SM. RAZDEL 4.7. bOLX IE OPERATORY).
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 37
bINARNYE OPERACII. kROME UVE UPOMQNUTYH + I ;, BINARNYMI OPERACIQMI
S^ITA@TSQ I SLEDU@]IE SIMWOLY:
\ _
\pm \cap \vee
^
\mp \cup \wedge
n ]
\setminus \uplus \oplus
u
\cdot \sqcap \ominus
t
\times \sqcup \otimes
/
\ast \triangleleft \oslash
? .
\star \triangleright \odot
o y
\diamond \wr \dagger
z
\circ \bigcirc \ddagger
4 q
\bullet \bigtriangleup \amalg
&
5
\div \bigtriangledown \and
oBRATITE WNIMANIE, ^TO KOGDA y I z ISPOLXZU@TSQ NE KAK ORDINARNYE SIMWOLY,
A KAK BINARNYE OPERACII, PRIMENQ@TSQ KOMANDY \dagger I \ddagger.
bINARNYE OTNO ENIQ. kROME UVE UPOMQNUTYH <, > I =, BINARNYMI OTNO-
ENIQMI S^ITA@TSQ I SLEDU@]IE SIMWOLY:
\leq, \le \geq, \ge \equiv
\prec \succ \sim
'
\preceq \succeq \simeq
\ll \gg \asymp
\subset \supset \approx
=
\subseteq \supseteq \cong
./
v w
\sqsubseteq \sqsupseteq \bowtie
2 3 /
\in \ni \propto
` a j=
\vdash \dashv \models
:
^ =
j
\smile \mid \doteq
_ k ?
\frown \parallel \perp
6= =
2
\neq, \ne \notin
I \parallel DA@T TE VE SAMYE SIMWOLY, ^TO I | I \|, NO TRAKTUEMYE
\mid
KAK BINARNYE OTNO ENIQ, PO\TOMU OKRUVENY S OBEIH STORON DOPOLNITELXNYMI
PROBELAMI.
mOVNO POLU^ITX OTRICANIE MNOGIH \TIH OTNO ENIJ, POMESTIW PERED NIMI
\not. nAPRIMER \not\subset DAET 6 . sIMWOL \not QWLQETSQ SIMWOLOM OT-
NO ENIQ NULEWOJ IRINY, TAK ^TO ON BUDET PEREKRYWATX OTNO ENIE, KOTOROE
SLEDUET ZA NIM. nO ON NE WSEGDA OKAZYWAETSQ W PRAWILXNOM POLOVENII, PO-
SKOLXKU NEKOTORYE SIMWOLY OTNO ENIQ IRE DRUGIH. nAPRIMER, \not\in DAET
62, NO LU^ E IMETX BOLEE KRUTOE ZA^ERKIWANIE 2.
=
sTRELKI. sTRELKI TAKVE OTNOSQTSQ K BINARNYM OTNO ENIQM, HOTQ WERTI-
KALXNYE STRELKI OTNOSQTSQ K \OGRANI^ITELQM" SO WSEMI WYTEKA@]IMI POSLED-
STWIQMI (W ^ASTNOSTI, ONI MENQ@T SWOJ RAZMER, KOGDA ISPOLXZU@TSQ POSLE UWE-
LI^IWA@]IH RAZMERY KOMAND | SM. RAZDEL 4.10. oGRANI^ITELI).
; \longleftarrow "
\leftarrow, \gets \uparrow
( (= \Longleftarrow *
\Leftarrow \Uparrow
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
38
! ;! \longrightarrow #
\rightarrow, \to \downarrow
=)
) +
\Rightarrow \Longrightarrow \Downarrow
$ ! \longleftrightarrow l
\leftrightarrow \updownarrow
, () \Longleftrightarrow m
\Leftrightarrow \Updownarrow
7! ;! \longmapsto
7 %
\mapsto \nearrow
- , ! \hookrightarrow &
\hookleftarrow \searrow
( * .
\leftharpoonup \rightharpoonup \swarrow
) + -
\leftharpoondown \rightharpoondown \nwarrow
\rightleftharpoons
kOMANDA \iff DAET STRELKU NAPODOBIE \Longleftrightarrow, NO S ^UTX BOLX-
IMI PROBELAMI WOKRUG NEE. AMS-TEX TAKVE IMEET \implies I \impliedby,
KOTORYE DA@T TO^NO TAKIE VE STRELKI, KAK, SOOTWETSTWENNO, \Longrightarrow
I \Longleftarrow, NO OPQTX-TAKI S ^UTX BOLX IMI PROBELAMI WOKRUG.
nAD I POD STRELKAMI MOVNO RAZME]ATX SIMWOLY DLQ POLU^ENIQ NOWYH OT-
NO ENIJ, NAPRIMER, MOVNO POLU^ITX TAKOE HITROE OTNO ENIE ;!, W KOTOROM
RAZME]AETSQ NAD STRELKOJ \longrightarrow. pOLU^ENIE TAKIH SLOVNYH OT-
NO ENIJ OPISANO W RAZDELE 4.11. sOSTAWNYE SIMWOLY. zDESX VE MY SKAVEM
E]E OB ODNOM SPOSOBE, KOTORYJ KASAETSQ TOLXKO STRELOK.
eSLI NABRATX W MATEMATI^ESKOJ MODE @>>>, TO POLU^ITSQ PRAWAQ STRELKA ;
!,
A ESLI NABRATX @<<< | LEWAQ STRELKA ;. eSLI VE W TAKOJ KONSTRUKCII MEVDU
PERWYM I WTORYM SIMWOLOM POMESTITX NEKOTOROE MATEMATI^ESKOE WYRAVENIE,
TO ONO BUDET NAPE^ATANO NAD STRELKOJ. eSLI VE WYRAVENIE POMESTITX MEVDU
WTORYM I TRETXIM SIMWOLOM, TO ONO BUDET NAPE^ATANO POD STRELKOJ. nAPRIMER
++
;; ;
; ;!
$@> \alpha+\beta+\gamma >>$
++
; ;;
;;
$@< \alpha+\beta+\gamma <<$
+
;;
;!
$@> \alpha+\beta>\gamma >$

kONE^NO VE, ESLI WO WSTAWLQEMOM MATEMATI^ESKOM WYRAVENII UVE ESTX ZNAKI
> ILI <, TO WO IZBEVANIE PUTANICY \TO WYRAVENIE SLEDUET ZAKL@^ITX W FI-
GURNYE SKOBKI.
x+y > z
;; ;
; ;!
$@> {x+y\ >\ z}>>$
zDESX WRU^NU@ WSTAWLENY TONKIE PROBELY WOKRUG >, POSKOLXKU W INDEKSNOM
RAZMERE TEX AWTOMATI^ESKI \TO NE DELAET.
oGRANI^ITELI. sLEDU@]IE SIMWOLY OTNOSQTSQ K OGRANI^ITELQM:
( f
( , \lbrack {, \lbrace
) ] g
) ], \rbrack }, \rbrace
b d h
\lfloor \lceil \langle
c e i
\rfloor \rceil \rangle
=
j k
|, \vert \|, \Vert /
n \backslash
kAK BYLO UVE UPOMQNUTO, OGRANI^ITELQMI MOGUT SLUVITX I WERTIKALXNYE
STRELKI. oGRANI^ITELQM W \TOM RUKOWODSTWE POSWQ]EN SPECIALXNYJ RAZDEL
(SM. 4.10. oGRANI^ITELI).
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 39
pUNKTUACIQ. pOSLE ZAPQTYH I TO^EK S ZAPQTOJ, KOTORYE WSTRE^A@TSQ W MA-
TEMATI^ESKIH FORMULAH, TEX POME]AET TONKIJ PROBEL. tO VE SAMOE ON DELAET
I DLQ DWOETO^IQ, KOTOROE WYZYWAETSQ KOMANDOJ \colon. w DRUGIH SLU^AQH DWOE-
TO^IE S^ITAETSQ OTNO ENIEM, KAK W x := y I W a : b :: c : d, KOTORYE WWODQTSQ
KAK $x:=y$ I $a:b::c:d$. mNOGOTO^IQ W MATEMATI^ESKIH FORMULAH I KOMANDY
DLQ IH POLU^ENIQ OBSUVDAETSQ W SPECIALXNOM RAZDELE 4.18. mNOGOTO^IQ.
AMS-TEX IMEET TAKVE BOLX OJ NABOR DOPOLNITELXNYH SIMWOLOW (TO^NEE,
SIMWOLOW IZ DOPOLNITELXNYH RIFTOW, OPISANNYH W RAZDELE 5. iMENA DO-
POLNITELXNYH SIMWOLOW.
4.3. wERHNIE I NIVNIE INDEKSY
w MATEMATI^ESKIH FORMULAH U SIMWOLOW MOVNO POLU^ITX WERHNIJ INDEKS (WWERHU)
I NIVNIJ INDEKS(WNIZU) ISPOLXZUQ ^ I _, KAK \TO POKAZANO W SLEDU@]IH PRIME-
RAH:
wHOD wYHOD
x2
$x^2$
x2
$x_2$
2x
$2^x$
x2 y2
$x^2y^2$
x2 y2
$x ^2y ^2$
x2 y2
$x_2y_2$
2 F3
$_2F_3$

eSLI NA WA EM KOMPX@TERE NET KLAWI ^ I _, TO IH MOVNO ZAMENITX KOMANDAMI
\sp DLQ POLU^ENIQ WERHNIH INDEKSOW I \sb | DLQ NIVNIH. eSLI ZA \TIMI
KOMANDAMI SLEDUET BUKWA, TO EE OBQZATELXNO SLEDUET OTDELITX PROBELOM.
mOVNO IMETX ODNOWREMENNO WERHNIJ I NIVNIJ INDEKSY I UKAZYWATX IH W
L@BOM PORQDKE:
x2
$x^2_3$ 3
x2
$x_3^2$ 3
x31415 +
$x^{31415}_{92}+\pi$ 92
d
xzcba
$x_{y^a_b}^{z_c^d}$ y
zAMETIM, ^TO ODNOWREMENNYE INDEKSY WERHNIJ RASPOLAGA@TSQ ODIN POD DRUGIM.
NIVNIJ
oDNAKO MNOGIE MATEMATIKI W NEKOTORYH SITUACIQH PREDPO^ITA@T RASPOLAGATX
WERHNIE I NIVNIE INDEKSY NA RAZNYH RASSTOQNIQH OT BUKWY. mOVNO WYNUDITX
TEX OTODWINUTX INDEKS, WSTAWIW PUSTU@ GRUPPU {}:
xi 2
$x_ i{}^2$
Ri jk l
$R_i{}^{jk}{}_l$

kOMANDY ^ I _ DEJSTWU@T TOLXKO NA EDINSTWENNU@ LITERU POSLE NEE, TAK ^TO
SLEDU@]IE ZAPISI NE WYZOWUT NIKAKIH NEDORAZUMENIJ:
x2 y 2
$x^2y^2$
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
40
x2 y2
$x ^ 2y ^ 2$
x2 y2
$x_2y_2$
2 F3
${}_2F_3$

eSLI WY HOTITE W KA^ESTWE WERHNEGO ILI NIVNEGO INDEKSA ISPOLXZOWATX NE-
SKOLXKO SIMWOLOW, ZAKL@^ITE IH W FIGURNYE SKOBKI:
x2y
$x^{2y}$
22x
$2^{2^x}$
x
222
$2^{2^{2^x}}$
yx2
$y_{x_2}$
yx2
$y_{x^2}$
232
$2^{32}$
x
$x^\alpha$

fIGURNYE SKOBKI ZDESX ISPOLXZU@TSQ, ^TOBY UKAZATX \PODFORMULY", T.E. PRO-
STYE ^ASTI BOLEE SLOVNOJ FORMULY. fIGURNYE SKOBKI SLUVAT I DLQ OBY^NYH
CELEJ GRUPPIROWANIQ.
oBRATITE WNIMANIE, ^TO WERHNIJ INDEKS 32 PREDSTAWLQET SOBOJ DWA SIMWOLA,
A \alpha | WSEGO LI X ODIN SIMWOL, PO\TOMU UPRAWLQ@]U@ POSLEDOWATELX-
NOSTX \alpha NE NADO ZAKL@^ATX W FIGURNYE SKOBKI. tEM NE MENEE, S UPRAWLQ-
@]IMI POSLEDOWATELXNOSTQMI SLEDUET OBRA]ATXSQ OSTOROVNO I WOT PO^EMU.
pREDPOLOVIM, NAPRIMER, WAM NUVEN SIMWOL A6= . pO ANALOGII S A POMESTIM
KOMANDU \ne W INDEKS I NE ZAKL@^IM EE W FIGURNYE SKOBKI. pOLU^IM NE^TO
STRANNOE:
A6 =
$A_\ne$

fOKUS W TOM, ^TO \ne | WOWSE NE ODIN OBOSOBLENNYJ SIMWOL, A PROSTO ABBREWI-
ATURA DLQ \not=. tAK ^TO TEX, POLU^IW KOMANDU $A_\ne$, OTTRANSLIRUET EE W
$A_\not=$, POSLE ^EGO POSTAWIT = W KA^ESTWE NIVNEGO INDEKSA BUKWY a. hOTQ
TAKIE SITUACII KRAJNE REDKI, FIGURNYE SKOBKI WOKRUG KOMANDNOJ POSLEDOWA-
TELXNOSTI WAM NE POME A@T.
wY, KONE^NO, OBRATILI WNIMANIE, ^TO INDEKSY PE^ATA@TSQ BOLEE MELKIM
RIFTOM, A INDEKSY SLEDU@]EGO UROWNQ (POWTORNYE INDEKSY) | E]E MELX^E.
TEX PE^ATAET INDEKSY W TAK NAZYWAEMOM STILE INDEKSA I STILE POWTORNOGO
INDEKSA. |TI STILI NE TOLXKO MENQ@T RAZMER SIMWOLOW, ONI TAKVE MENQ@T
PRAWILA AWTOMATI^ESKOJ RASSTANOWKI PROBELOW.
˜TOBY POKAZATX, ^TO WERHNIJ ILI NIVNIJ INDEKS OTNOSITSQ KO WSEMU WY-
RAVENI@, MATEMATIKI POLXZU@TSQ KRUGLYMI, KWADRATNYMI ILI FIGURNYMI
SKOBKAMI:
(x + 1)3
$(x+1)^3$
(x2 )3
$(x^2)^3$
x2]3
$ x^2]^3$
fx2 g3y
$\{x^2\}^{3y}$
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 41
TEX, PUNKTUALXNO SLEDUQ INSTRUKCII, STAWIT 3 W KA^ESTWE WERHNEGO INDEKSA
PRAWOJ SKOBKI. eSLI VE WY ZAKL@^ITE FORMULU W FIGURNYE SKOBKI, POKAZATELX
STEPENI BUDET OTNOSITXSQ KO WSEMU WYRAVENI@:
(x2 )3
${(x^2)}^3$
x2]3
${ x^2)}^3$
3y
fx2 g
${\{x^2\}}^{3y}$
4
((x2 )2 )
${({(x^2)}^2)}^4$
iNOGDA TREBUETSQ POLU^ITX TAKOE WYRAVENIE
abc
$a^{b^c}$
pOSKOLXKU WSQ FORMULA bc SLUVIT WERHNIM INDEKSOM, TO WYRAVENIE b^c SLE-
DUET ZAKL@^ITX W FIGURNYE SKOBKI. oSWOIW \TOT PRINCIP, MOVNO WYDAWATX
SAMYE RAZNOOBRAZNYE FORMULY:
abc+1
$a^{b^{c+1}}$
2(2xx)
$2^{(2^x)}$
2
222
$2^{2^{2^{2^x}}}$
2(a+b)2
$2^{(a+b)^2}$
xy2
$x_{y_2}$
xy2
$x_{y^2}$
iNOGDA BYWAET NUVNO ISPOLXZOWATX W KA^ESTWE WERHNEGO INDEKSA KAKOJ-NIBUDX
AKCENT (SM. RAZDEL 4.4. aKCENTY W MATEMATIKE), NAPRIMER b : (I + M)b .
˜TOBY POLU^ITX \KRY E^KU" W TAKOM KA^ESTWE, NELXZQ NABRATX ^\hat ILI \sp
\hat, TAK KAK \hat | \TO NE SIMWOL, A KOMANDA DLQ POLU^ENIQ AKCENTA NAD
^EM-LIBO. u AMS-TEX'A IMEETSQ \sphat, KOTORAQ RABOTAET TAK VE, KAK WY
MOGLI BY OVIDATX OT \sp\hat, A TAKVE ESTX \spcheck, ..., \spvec.
wERHNIE ILI NIVNIE INDEKSY MOGUT BYTX PREDSTAWLENY I BINARNYM OPERA-
TOROM
zij
$x_ {ij}^*$
f (x) \ f ( )
$f^*(x) \cap f_*(\nu)$
bOLEE TOGO, MOVNO DAVE POLU^ITX ^TO-TO WRODE
f+
$f_ +$
f;
$f_ -$
pOSLEDNIE FORMULY WYGLQDQT LU^ E, ESLI ISPOLXZOWATX DOPOLNITELXNYE FI-
GURNYE SKOBKI
f+
$f_ {+}$
f;
$f_ {-}$
kROME WERHNIH I NIVNIH INDEKSOW MATEMATIKI ^ASTO ISPOLXZU@T OBOZNA-
^ENIE f 0 . TEX IMEET UPRAWLQ@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX \prime, NO ESLI WY
NABERETE
f0
$f\prime$
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
42
TO POLU^ITE SOWSEM NE TO, ^TO HOTELI. {TRIHI SLEDUET UPOTREBLQTX KAK WERH-
NIE INDEKSY:
f0
$f^\prime$

kOGDA TEX NAHODITSQ W MATEMATI^ESKOJ MODE, ON TRANSLIRUET ' W ^\prime
BOLEE TOGO, '' TRANSLIRUETSQ W ^{\prime\prime}, A ''' | W ^{\prime\prime
\prime}, I T.D.

f 0 g(x)]g0(x)
$f' g(x)]g'(x)$
y1 + y2 + y3
0 00 000
$y_1'+yt_2''+y_3'''$

u AMS-TEX'A NET SPECIALXNOGO SPOSOBA DLQ POLU^ENIQ TRIHOW W NIVNEM
INDEKSE, POSKOLXKU ONI DOWOLXNO REDKO BYWA@T NUVNY, PO\TOMU DLQ POLU^ENIQ,
NAPRIMER, F0(w z) NADO PROSTO NABRATX
$F_ \prime(w,z)$

iNOGDA BYWAET NUVEN \prime W SLU^AQH WRODE \TOGO:
g02
$g{^\prime2}$

zDESX TAKVE MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ PUSTOJ GRUPPOJ:
g02
$g'{}^2$

w ZAKL@^ENIE NAPOMNIM, ^TO WERHNIE I NIVNIE INDEKSY ISPOLXZU@TSQ TOLXKO
W MATEMATI^ESKOJ MODE.
4.4. aKCENTY W MATEMATIKE
mATEMATIKI L@BQT NAD BUKWAMI ISPOLXZOWATX AKCENTY, POTOMU ^TO \TIM
SPOSOBOM ^ASTO UDOBNO UKAZYWATX SWQZX MEVDU MATEMATI^ESKIMI OB_EKTAMI, A
TAKVE \TO SILXNO RAS IRQET NABOR DOSTUPNYH SIMWOLOW BEZ UWELI^ENIQ KOLI-
^ESTWA NEOBHODIMYH RIFTOW. w RAZDELE 2.11 OBSUVDAETSQ, KAK ISPOLXZOWATX
AKCENTY W OBY^NOM TEKSTE, NO MATEMATI^ESKIE AKCENTY | \TO OSOBYJ SLU^AJ,
POTOMU ^TO ZDESX DRUGAQ RASSTANOWKA PROBELOW: TEX DLQ AKCENTOW W FORMULAH
ISPOLXZUET SPECIALXNYE SOGLA ENIQ, TAK ^TO DWA WIDA AKCENTOW NE SLEDUET PU-
TATX DRUG S DRUGOM. AMS-TEX'OM PREDUSMOTRENY SLEDU@]IE MATEMATI^ESKIE
AKCENTY:
a
^
$\hat a$
a
$\check a$
a
˜
$\tilde a$
a
$\acute a$
a
$\grave a$
a_
$\dot a$
a
$\ddot a$
...
a
$\dddot a$
....
a
$\ddddot a$
a
$\breve a$
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 43
a
$\bar a$
˜
a
$\vec a$
w MATEMATI^ESKOJ MODE, KAK I W TEKSTE, KOGDA AKCENT RASPOLAGAETSQ NAD i ILI
j, SLEDUET ISPOLXZOWATX FORMU \BEZ TO^EK" { I |, KOTORYE POLU^A@TSQ, SOOTWET-
STWENNO, KOMANDAMI \imath I \jmath:
^
{
$\hat\imath$
|
$\check\jmath$
l@BOWX MATEMATIKOW K SIMWOLAM S AKCENTAMI NE ZNAET GRANIC. iNOGDA IM
NEOBHODIMY DAVE DWOJNYE AKCENTY. eSLI ISPOLXZOWATX OBY^NYE AKCENTY
^
A
$\hat{\hat A}$
TO SIMWOLY AKCENTOW PE^ATA@TSQ NE W TO^NOSTI DRUG NAD DRUGOM, ^TO NE O^ENX
KRASIWO. pO\TOMU U AMS-TEX'A DLQ KOMANDY \hat IMEETSQ ALXTERNATIWA \Hat,
KOTORAQ HOTQ I USLOVNQET RABOTU TEX' a, NO AKCENTY RASPOLAGAET KAK SLEDUET:
^
A
$\Hat{\Hat A}$
dLQ KOMAND POLU^ENIQ DRUGIH AKCENTOW TAKVE IME@TSQ ALXTERNATIWNYE KO-
MANDY \Check, \Tilde, \Acute, \Grave, \Dot, \Ddot, \Breve, \Bar I \Vec.
nA PERWYJ WZGLQD KAVETSQ IZLI NIM IMETX TAKIE PARY KOMAND, POTOMU ^TO,
KOMANDY, NA^INA@]IESQ S PROPISNOJ BUKWY, WRODE BY WPOLNE ZAMENQ@T SWOI
\STRO^NYE" PARY. nO AMS-TEX PREDOSTAWLQET I \hat, I \Hat, POTOMU ^TO
\Hat O^ENX NE\KONOMI^NA I POVIRAET KOMPX@TERNOE WREMQ, I DLQ EDINI^NOGO
AKCENTA RAZUMNO ISPOLXZOWATX TOLXKO \hat.
kOMANDA DLQ SOZDANIQ AKCENTIROWANNYH SIMWOLOW. eSLI W RABOTE ^ASTO
WSTRE^A@TSQ SIMWOLY SO SLOVNYMI AKCENTAMI, TO MOVNO OPREDELITX DLQ NIH
SPECIALXNU@ MAKROKOMANDU (SM. 7. oPREDELENIE NOWYH KOMAND). nAPRI-
MER,
\define\Ahathat{\Hat{\Hat A}}
^
A
\Ahathat
|TO OBLEG^IT PODGOTOWKU WHODNOGO FAJLA, NO NE SOKRATIT WREMQ RABOTY TEX'A,
POSKOLXKU WSE \Ahathat PROSTO ZAMENQTSQ NA \Hat{\Hat A}. dLQ TAKIH SLU^AEW
W AMS-TEX'E IMEETSQ KOMANDA \accentedsymbol:
\accentedsymbol\Ahat{\Hat{\Hat A}}
w \TOM SLU^AE TEX ZAPOMINAET ODIN RAZ PODGOTOWLENNYJ SLOVNYJ SIMWOL, A
^
ZATEM PROSTO POLXZUETSQ IM, KAK ESLI BY U NEGO BYLA GOTOWAQ LITERA A.
u WNOWX SOZDANNOGO SIMWOLA ESTX E]E ODNO SHODSTWO S TIPOGRAFSKOJ LITEROJ
| POPADAQ W INDEKS, ON NE MENQET SWOJ RAZMER. tAK ^TO, ESLI ^ASTO NUVNY
WERHNIE INDEKSY A, TO SLEDUET SOZDATX E]E ODIN (BOLEE MELKIJ) SIMWOL:
^
^

\accentedsymbol\smallAhat{{\ssize\Hat{\Hat A}}}
NE ZABYW PRI \TOM O DOPOLNITELXNYH FIGURNYH SKOBKAH (KOMANDA \ssize ZA-
DAET ZDESX TAK NAZYWAEMYJ INDEKSNYJ RAZMER), POSLE ^EGO MOVNO, NAPRIMER,
POLU^ATX:
^
;A^
$\Gamma_1^\smallAhathat$ 1
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
44
{IROKIE AKCENTY. dLQ DWUH WIDOW AKCENTOW AMS-TEX IMEET BOLEE IRO-
KIE WARIANTY, POLU^AEMYE KOMANDAMI \widehat I \widetilde. |TI KOMANDY
DA@T AKCENT PEREMENNOJ WELI^INY, W ZAWISIMOSTI OT TOGO, NAD ^EM ON RASPO-
LOVEN:
xx
$\widehat x, \widetilde x$ be
xy xy
$\widehat{xy}, \widetilde{xy}$ cf
xyz xyz
$\widehat{xyz}, \widetilde{xyz}$ dg
xyzu xyzu
]
$\widehat{xyzu}, \widetilde{xyzu}$
xyzuv xyzuv
\^
$\widehat{xyzuv}, \widetilde{xyzuv}$
|TI BOLEE IROKIE AKCENTY NAHODQTSQ W RIFTAH SEMEJSTWA msbm. eSLI msbm
ZAGRUVEN, TO KOMANDY \widehat I \widetilde PRI NEOBHODIMOSTI BUDUT AW-
TOMATI^ESKI WYBIRATX BOLEE IROKIE WARIANTY W PROTIWNOM SLU^AE, SAMYM
IROKIM WARIANTOM BUDET SIMWOL SO STROKI 3. eSLI WY ISPOLXZUETE STILX
\amsppt, msbm ZAGRUVAETSQ AWTOMATI^ESKI.

4.5. ˜ERTA, STRELKA ILI SKOBKA NAD ILI POD FORMULOJ
kOMANDY \underline I \overline POZWOLQ@T PROWESTI ^ERTU NUVNOJ DLINY
POD ILI NAD FORMULOJ. oNI AWTOMATI^ESKI WYBIRA@T PRAWILXNYJ RAZMER
^ERTY W ZAWISIMOSTI OT KONTEKSTA:
4
$\underline 4$
4+x
$\underline{\underline{4+x}}$
xm+n
$x^{\underline m+n}$
x3 + xx3
$\overline{\overline{x^3}+ x^{x^3}}$
tO VE SAMOE OTNOSITSQ I K STRELKAM:
;;
;!
x+y
$\overrightarrow{x+y}$
x;;y
;
;
$\overleftarrow{x-y}$
;
!
Ax+y
$A^{\overleftrightarrow{x+y}}$
sTRELKI POD FORMULAMI MOVNO POLU^ITX UPRAWLQ@]IMI POSLEDOWATELX-
NOSTQMI \underrightarrow, \underleftarrow I \underleftrightarrow. sA-
MYE RASPROSTRANENNYE STRELKI, \overrightarrow I \underrightarrow, IME@T
TAKVE KRATKIE IMENA \overarrow I \underarrow.
pRI POMO]I \overbrace I \underbrace MOVNO NAD I POD FORMULAMI RISO-
WATX GORIZONTALXNYE SKOBKI.
z }| {
x+ +x
$\overbrace{x+\dots+x}$
x +{z + z
y}
$\underbrace{x+y+z}$
|
mOVNO POMESTITX NAD \overbrace ILI POD \underbrace KAKIE-LIBO E]E FOR-
MULY ILI TEKST, ESLI IH NABRATX PROSTO KAK WERHNIJ I NIVNIJ INDEKSY, KAK
ESLI BY WY IMELI DELO S BOLX IMI OPERATORAMI (SM. 4.12. tEKST W FORMU-
LAH I 4.7. bOLX IE OPERATORY):
k RAZ
z }| {
x+y+z
$\overbrace{x+y+z}^{\text{$k$ RAZ}}$
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 45
x +{z + z
y}
$\underbrace{x+y+z}_{>\,0}$
|
>0
(wO WTOROM PRIMERE BYL WSTAWLEN TONKIJ PROBEL, POSKOLXKU TEX W INDEKSAH
AWTOMATI^ESKI NE OSTAWLQET PROBELOW WOKRUG BINARNYH OPERATOROW.)
4.6. dROBI I BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY
dLQ NABORA DROBEJ AMS-TEX IMEET RQD KOMAND. sAMAQ WAVNAQ IZ NIH |
\frac. \frac | \TO KOMANDA S DWUMQ ARGUMENTAMI: ^ISLITELEM NAD ^ERTOJ
DROBI I ZNAMENATELEM POD NEJ
n+1
$$\frac{n+1}{n+3}$$
n+3
dROBI W WYKL@^ENNOJ MATEMATI^ESKOJ MODE PE^ATA@TSQ BOLEE KRUPNO, ^EM W
OBY^NOJ MATEMATI^ESKOJ MODE. nAPRIMER, ESLI MY WWEDEM $\frac{n+1}{n+3}$,
TO POLU^IM n+1 . pRIWEDENNAQ WY E WYKL@^NAQ FORMULA IMEET TAK NAZYWAE-
n+3
MYJ RAZMER d-size (OT displaysize), A EE ^ISLITELX I ZNAMENATELX | OBY^NYJ
RAZMER t-size (OT textsize). wO WTOROM VE SLU^AE (KOGDA FORMULA WKL@^ENA W
TEKST ABZACA), WSQ DROBX IMEET RAZMER t-size, A ^ISLITELX I ZNAMENATELX IME@T
MENX IJ RAZMER s-size (OT scriptsize).
pOLU^ENNYE POSREDSTWOM \frac DROBI AWTOMATI^ESKI RASPOLAGA@TSQ PRA-
WILXNO OTNOSITELXNO BINARNYH OPERACIJ I OTNO ENIJ:
x + y2 ; 1
z = x ; y2
$$z=\frac {x+y^2}{x-y^2}-1$$

fIGURNYE SKOBKI INOGDA MOVNO OPUSTITX:
2
$$\frac23$$
3
1
$$\frac1{n+1}$$
n+1
N ;1
$$\frac{N-1}2$$
2
pOSKOLXKU, KAK UVE GOWORILOSX, \frac | \TO KOMANDA S DWUMQ ARGUMENTAMI,
ONA DAVE W PERWOM IZ \TIH SLU^AEW BUDET S^ITATX 2 SWOIM PERWYM ARGUMENTOM,
T.E. ^ISLITELEM, A 3 | WTORYM, T.E. ZNAMENATELEM. fIGURNYE SKOBKI VE
NUVNY, KOGDA ^ISLITELEM ILI ZNAMENATELEM QWLQETSQ PODFORMULA.
eSLI W DROBI, W SWO@ O^EREDX, SODERVITSQ DROBX, TO \TO POLU^AETSQ TAK:
x
$$\frac x{1+\frac x2}$$
1+ x2
x +1
2
$$\frac {\frac x2+1}2$$
2
w OBOIH SLU^AQH, PO-WIDIMOMU, LU^ E BYLO BY IZOBRAZITX DROBX x ^EREZ \KO-
2
SU@ ^ERTU" x=2:
x
$$\frac x{1+x/2}$$
1 + x=2
x=2 + 1
$$\frac {x/2+1}2$$
2
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
46
iZMENENIE RAZMERA DROBI. eSLI WY NASTAIWAETE NA TOM, ^TOBY FORMULA W
TEKSTE ABZACA PE^ATALASX W WIDE x (RAZMERA d-size), TO U AMS-TEX'A ESTX KO-
2
MANDA \dsize, WYNUVDA@]AQ NABIRATX FORMULU W RAZMERE d-size:
x+x
$\frac x2+\frac x2$ 2 2
x+x
$\dsize\frac x2+\frac x2$
22
kOMANDA \dsize WYZYWAET PEREKL@^ENIE NA d-size WSEJ FORMULY, I EGO DEJ-
STWIQ OGRANI^ENY \TOJ FORMULOJ.
nA SAMOM DELE AMS-TEX RASPOLAGAET E]E LU^ IM SPOSOBOM POLU^ENIQ DROBI
RAZMERA d-size. uPRAWLQ@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX \dfrac AWTOMATI^ESKI DAST
RAZMER d-size TAKIM OBRAZOM, NABOR \dfrac ab \KWIWALENTEN NABORU {\dsize
\frac ab}. AMS-TEX TAKVE IMEET UPRAWLQ@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX \tsize
DLQ POLU^ENIQ FORMUL RAZMERA t-size. w SWO@ O^EREDX DROBI RAZMERA t-size ^A-
STO TREBU@TSQ W WYKL@^NYH FORMULAH, TAK ^TO U AMS-TEX'A ESTX TAKVE I
\tfrac DLQ POLU^ENIQ \frac RAZMERA t-size. AMS-TEX OSNA]EN TAKVE \ssize
I \sssize DLQ PREWRA]ENIQ RAZMERA FORMULY W s-size ILI ss-size (RAZMER PO-
WTORNOGO INDEKSA). kOGDA DROBX POQWLQETSQ W WERHNEM INDEKSE, RAZMER KOTOROGO
s-size, TO ^ISLITELX I ZNAMENATELX PE^ATA@TSQ E]E MELX^E, A IMENNO, W RAZMERE
ss-size:
e;n+ 12n
1
$e^{-n+\frac1{12n}}$

iZMENENIE TOL]INY DROBI. mOVNO WARXIROWATXTOL]INU ^ERTY DROBI. dLQ
\TOGO SLUVIT KOMANDA \thickfrac:
\thickfrac\thickness{h^ISLOi}

nAPRIMER,\thickness2 DELAET ^ERTU DROBI WDWOE TOL]E, \thickness1.5 DELAET
EE TOL]E W 1.5 RAZA, I T.P.
dROBI S OGRANI^ITELQMI. eSLI WAM NUVNY OGRANI^ITELI WOKRUG DROBI,
MOVNO WMESTO \frac ISPOLXZOWATX KOMANDU
\fracwithdelimshLEWYJ OGRANI^ITELXihPRAWYJ OGRANI^ITELXi

nAPRIMER, \SIMWOL lEVANDRA" MOVNO POLU^ITX TAK
a
$$\fracwithdelims()ab$$
b
mOVNO, KONE^NO, POMESTITX WOKRUG \frac SKOBKI S POMO]X@ KONSTRUKCII
ab
\left : : : \right (SM. 4.10. oGRANI^ITELI),NO ISPOLXZOWANIE \fracwithdelims
PREDPO^TITELXNEE, POSKOLXKU W \TOM SLU^AE TEX PROSTAWLQET OSOBYE PROBELY.
iMEETSQ TAKVE KOMANDA \thickfracwithdelims DLQ IZMENENIQ TOL]INY ^ERTY
DROBI S OGRANI^ITELQMI. nAPRIMER, WWEDQ
$\thickfracwithdelims<>\thickness0 nk$

MOVNO POLU^ITX \^ISLO |JLERA" n (W WIDE DROBI S DROBNOJ ^ERTOJ NULEWOJ
k
TOL]INY, ZAKL@^ENNOJ W UGLOWYE SKOBKI).
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 47
cEPNYE DROBI. w MATEMATIKE ^ASTO ISPOLXZU@TSQ TAK NAZYWAEMYE \CEPNYE
DROBI". AMS-TEX PREDOSTAWLQET PROSTOJ SPOSOB DLQ IH NABORA. tAK, CEPNAQ
DROBX
1
a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 + a
4
POLU^AETSQ KOMANDAMI
$$a_0 + \cfrac1\\
a_1 + \cfrac 1\\
a_2 + \cfrac 1\\
a_3 + \cfrac 1\\
a_4\endcfrac$$

kAVDYJ RAZ, KAK TOLXKO WY NA^INAETE NOWU@ \PODDROBX", NABIRAJTE \cfrac
I ISPOLXZUJTE, KAK OBY^NO, \\ ^TOBY OTDELITX STROKI. zATEM WSE ZAKAN^IWAETE
EDINSTWENNYM \endcfrac.
nEKOTORYE MATEMATIKI PREDPO^ITA@T CEPNYE DROBI WIDA
a0 + 1
1
a1 +
a2 + 1
1
a3 + a
4
GDE WSE ^ISLITELI, ZA ISKL@^ENIEM POSLEDNEGO, SDWINUTY WLEWO. |TO BYLO
NABRANO TAK:
$$a_0 + \lcfrac1\\
a_1 + \lcfrac 1\\
a_2 + \lcfrac 1\\
a_3 + \cfrac 1\\
a _4\endcfrac$$
S PODSTANOWKOJ \lcfrac WMESTO \cfrac WEZDE, GDE ^ISLITELX DOLVEN BYTX SDWI-
NUT WLEWO. dLQ ^ISLITELEJ, SDWIGAEMYH WPRAWO, ESTX SREDSTWO \rcfrac.
bINOMIALXNYE KO\FFICIENTY.
kROME DROBEJ, MATEMATIKI POLXZU@TSQ OSOBYM OBOZNA^ENIEM | \BINOMI-
ALXNYM KO\FFICIENTOM":
n
$$\binom nk$$
k
dEJSTWIE \binom NISKOLXKO NE OTLI^AETSQ OT DEJSTWIQ \frac, SOGLA ENIQ OT-
NOSITELXNO RAZMEROW WERHNEJ I NIVNEJ ^ASTI TE VE SAMYE:
n
$$\binom n{\frac k2}$$ k
2
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
48
;n
k
$$\frac{\binom nk}2$$
2
AMS-TEX IMEET TAKVE \dbinom I \tbinom DLQ \binom RAZMERA d-size ILI t-size.

4.7. bOLX IE OPERATORY
mATEMATIKI ^ASTO ISPOLXZU@T DLQ OBOZNA^ENIQ \SUMMY" ZNAK P, A DLQ OBO-
R
ZNA^ENIQ \INTEGRALA" | ZNAK . eSLI WY NABOR]IK, A NE MATEMATIK, WAM NADO
R R
ZAPOMNITX, ^TO \sum DAET P, AH \int | . sIMWOLY TIPA P I (I NESKOLXKO
DRUGIH SIMWOLOW TIPA S, Q, I N) NAZYWA@TSQ BOLX IMI OPERATORAMI I
WWODQTSQ PO^TI TAK VE, KAK OBY^NYE SIMWOLY ILI BUKWY. oTLI^IE W TOM, ^TO
TEX W WYKL@^NOM STILE WYBERET BOLX IJ BOLX OJ OPERATOR (RAZMER d-size),
^EM W TEKSTOWOM STILE (RAZMER t-size). nAPRIMER,
DAET P xn (t-size))
$\sum x_n$
X
DAET xn (d-size).
$$\sum x_n$$

tABLICA IME@]IHSQ W AMS-TEX'E BOLX IH OPERATOROW I KOMAND DLQ IH POLU-
^ENIQ PRIWODITSQ W RAZDELE 4.2. mATEMATI^ESKIE SIMWOLY.
P
bOLX IE OPERATORY TIPA . sUMMA W WYKL@^NOM STILE OBY^NO BYWAET S
\PREDELAMI", T.E. S PODFORMULAMI, KOTORYE POQWLQ@TSQ NAD I POD NEJ. pRE-
DELY WWODQTSQ TAK VE, KAK ESLI BY \TO BYLI WERHNIE I NIVNIE INDEKSY. nA-
PRIMER, ESLI WY HOTITE POLU^ITX FORMULU
m
X

n=1
TO WWEDITE LIBO $$\sum_{n=1}^m$$, LIBO $$\sum^m_{n=1}$$. eSLI VE \TU FOR-
MULU WWESTI W TEKSTE ABZACA, TO TEX, W SOOTWETSTWII SO SWOIMI OBY^NYMI
PRAWILAMI, ZAMENIT EE NA Pm (T.E. BEZ PREDELOW).
n=1
iNOGDA U BOLX IH OPERATOROW BYWA@T MNOGOSTRO^NYE PREDELY, KAK, NAPRI-
MER
X
P(i j)
$$\sum\Sb 0\le m\\ 0<j<n\endSb P(i,j)$$
0im
0<j<n
mEVDU \Sb I \endSb KAVDYJ \\ SWIDETELXSTWUET O PEREHODE NA NOWU@ STROKU.
tO^NO TAK VE IME@TSQ \Sp...\endSp DLQ POLU^ENIQ MNOGOSTRO^NYH WERHNIH
PREDELOW.
R
bOLX IE OPERATORY TIPA . iNTEGRALY SLEGKA OTLI^A@TSQ OT SUMMY TEM,
^TO W NIH DAVE W WYKL@^NOM STILE WERHNIE I NIVNIE INDEKSY NE USTANAWLI-
WA@TSQ KAK PREDELY:
R +1
DAET (t-size)
$\int_{-\infty}^{+\infty}$ ;1
Z +1
DAET (d-size).
$$\int_{-\infty}^{+\infty}$$
;1
R
zNAK INTEGRALA W WYKL@^NOJ FORMULE BUDET BOLX EGO RAZMERA, TO^NO TAK VE,
KAK I W SLU^AE ZNAKA P, NO INDEKSY NE STANUT \PREDELAMI" I NE PEREMESTQTSQ
NAD I POD INTEGRAL.
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 49
I
H
kROME \int W AMS-TEX'E TAKVE IMEETSQ \oint, KOTORYJ WYDAET I .
RRR RRRR
zNAKI \int ^ASTO POQWLQ@TSQ GRUPPAMI, NAPRIMER I . dLQ NIH SU]E-
STWU@T SPECIALXNYE SIMWOLY
ZZ
$$\iint$$
ZZZ
$$\iiint$$
ZZZZ
$$\iiiint$$
Z Z
.
$$\idotsint$$

rASSTANOWKA PREDELOW. wOPROS O RASSTANOWKE \PREDELOW" W BOLX IH OPERA-
TORAH NA SAMOM DELE RE AET NE TEX, A STILX,RKOTORYJ WY ISPOLXZUETE. nO
ESLI DAVE W DANNOM VURNALE PREDELY U ZNAKOW OBY^NO STAWQTSQ SPRAWA, DLQ
TOJ ILI INOJ ^ASTNOJ FORMULY MOVNO WYNUDITX POSTAWITX PREDELY DLQ \int
SWERHU I SNIZU. nAPRIMER, W WYRAVENII
n
Z XZ
Y Y
r =; r
@(M;Sn Ui) i=1 @Ui
i=1
DLINNYJ PREDEL, POSTAWLENNYJ POD PERWYM INTEGRALOM, WYGLQDIT LU^ E, ^EM
Z Y
r :
@(M;Sn Ui )
i=1
eSLI WY NABIRAETE \int\limits, TO TEX PROSTAWIT WSE WERHNIE I NIVNIE IN-
DEKSY KAK \PREDELY". |TOT PRIEM UDOBNO ISPOLXZOWATX, ESLI WY HOTITE, ^TOBY
1 n
W TEKSTE BYLI FORMULY TIPA P (;1) , POTOMU ^TO ZADAWAEMAQ AWTOMATI^ESKI
n=1 n
n
TEKSTOWAQ FORMULA P1 (;1) WYGLQDIT SLEGKA PRIPL@SNUTOJ.
n=1 n
\limits IMEET SWO@ PROTIWOPOLOVNOSTX \nolimits, KOTORYJ PRIWODIT K
TOMU, ^TO U BOLX IH OPERATOROW PREDELY OSTA@TSQ SPRAWA, DAVE ESLI OBY^NO
ONI PERESTAWLQ@TSQ. oDNAKO \limits I \nolimits DOLVNY ISPOLXZOWATXSQ
TOLXKO W OSOBYH SLU^AQH.
hOTQ STILX amsppt OBY^NO ISPOLXZUET \PREDELY" DLQ \sum I NEKOTORYH DRU-
GIH BOLX IH OPERATOROW, \TO SOGLA ENIE MOVNO IZMENITX, NABRAW KOMANDU
\NoLimitsOnSums. (eSLI NABRATX \LimitsOnSums, WERNEMSQ K STAROMU SOGLA-
ENI@.) aNALOGI^NO OBSTOIT DELO S \LimitsOnInts I \NoLimitsOnInts DLQ
\int, \oint, \iint I T.P.
|TI UPRAWLQ@]IE POSLEDOWATELXNOSTI \GLOBALXNY", T.E. DEJSTWU@T NA WESX
POSLEDU@]IJ TEKST, DAVE ESLI BYLI ISPOLXZOWANY W GRUPPE ILI W MATEMATI-
^ESKOJ MODE MEVDU ZNAKAMI $.
iZMENENIE \BUFERNYH" PROBELOW. kOGDA TEX RAZME]AET PREDELY NAD I POD
SIMWOLAMI BOLX IH OPERATOROW, ON DOBAWLQET, SOOTWETSTWENNO, NAD I POD PRE-
DELAMI DOPOLNITELXNYJ TAK NAZYWAEMYJ \BUFERNYJ" PROBEL, UWELI^IWAQ TEM
SAMYM WYSOTU POLU^IW EGOSQ SLOVNOGO SIMWOLA, ^TOBY PREDELY NE ME ALI
OKRUVA@]IM FORMULAM.
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
50
wELI^INA BUFERA OPREDELQETSQ STILEM. w STILE amsppt, NAPRIMER, ONA RAWNA
1pt. w \TOM VE STILE BUFER MOVNO GLOBALXNO IZMENITX KOMANDOJ
\ChangeBuffer{hRAZMERi}
I WOSSTANOWITX PREVNEE ZNA^ENIE KOMANDOJ
\ResetBuffer
k SOVALENI@, BOLX INSTWO VURNALXNYH STILEJ \TI KOMANDY IGNORIRU@T. oD-
NAKO, IMEETSQ KOMANDA \buffer, POZWOLQ@]AQ LOKALXNO ZADAWATX L@BU@ WELI-
^INU BUFERA.
iNOGDA BOLX IE OPERATORY LU^ E WYGLQDQT WOOB]E BEZ BUFERNOGO PROBELA.
sRAWNITE, NAPRIMER, DWE FORMULY:1
0 !
n n
X X
pix pi xi
@ iA
i=1 i=1
w PERWOJ BUFER RAWEN 3pt I SKOBKI WOKRUG OKAZALISX WELIKOWATY, HOTQ I BYLI
POLU^ENY KONSTRUKCIEJ \left : : : \right, WO WTOROJ VE BUFER RAWEN NUL@.
bUFERNYE PROBELY MOVNO SREZATX KOMANDAMI \shave (I WWERHU, I WNIZU),
\topshave (TOLXKO WWERHU) I \botshave (TOLXKO WNIZU). |TI KOMANDY POLEZNO
ISPOLXZOWATX, KOGDA BOLX OJ OPERATOR S PREDELAMI NAHODITSQ W SKOBKAH, POD
ZNAKOM KORNQ, A TAKVE W ^ISLITELE ILI ZNAMENATELE DROBI.
4.8. |LEMENTARNYE FUNKCII TIPA log
iMENAMI ALGEBRAI^ESKIH PEREMENNYH OBY^NO QWLQ@TSQ KURSIWNYE ILI GRE-
^ESKIE BUKWY, NO OB]EPRINQTYE MATEMATI^ESKIE FUNKCII TIPA \log" WSEGDA
PE^ATA@TSQ PRQMYM RIFTOM. tAKIE FUNKCII ZADA@TSQ SPECIALXNYMI KO-
MANDAMI, KOTORYE NE TOLXKO USTANAWLIWA@T DLQ NAZWANIQ FUNKCII PRQMOJ
RIFT, NO I OBESPE^IWA@T SOOTWETSTWU@]IE PROBELY. iNOGDA TAKIE FUNKCII
NAZYWA@T OPERATORAMI (NE PUTATX S BOLX IMI OPERATORAMI). nAPRIMER
sin 2 = 2 sin cos
$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
O(n log n log log n)
$O(n\log n\log\log n)$
Pr(X > x) = exp(;x= )
$\Pr(X>x)=\exp(-x/\mu)$
max log2 Pn
$$\max_{1\le n\le m}\log_2P_n$$
1nm

lim sin x = 1
$$\lim_{x\to0}{\sin x\over x}=1$$
x!0 x
pOSLEDNIE DWE FORMULY, KOTORYE QWLQ@TSQ WYKL@^NYMI, POKAZYWA@T, ^TO
TEX OBRABATYWAET NEKOTORYE OPERATORY KAK \BOLX IE OPERATORY" S PREDELAMI
P
(TIPA ). nIVNIJ INDEKS W \max TRAKTUETSQ NE TAK, KAK NIVNIJ INDEKS W \log.
pRIWEDEM SPISOK IZWESTNYH AMS-TEX'U OPERATOROW TE, DLQ KOTORYH WERHNIE
I NIVNIE INDEKSY USTANAWLIWA@TSQ KAK \PREDELY", POME^ENY BUKWOJ (L):
(L) \lim
\arccos \cot \exp \sec
(L)
\arcsin \coth \gcd \ln \sin
\arctan \csc \hom \log \sinh
(L) (L) (L)
\arg \deg \inf \max \sup
(L) (L)
\cos \det \ker \min \tan
(L)
\cosh \dim \lg \Pr \tanh
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 51
wSE \TI KOMANDY DA@T OPERATORY, SOOTWETSTWU@]IE SWOIM NAZWANIQM. AMS-
TEX TAKVE IMEET \liminf,\limsup, \injlim I \projlim, KOTORYE DA@T, SOOT-
WETSTWENNO, \lim inf", \lim sup", \inj lim" I \proj lim". nEKOTORYE MATEMATIKI
ISPOLXZU@T I DRUGIE OBOZNA^ENIQ:
lim
$\varliminf$
lim
$\varlimsup$
lim
$\varinjlim$
;!
lim
$\varprojlim$
;
nESMOTRQ NA TAKOJ WPE^ATLQ@]IJ SPISOK IME@]IHSQ OPERATOROW, MATEMA-
TIKI PRODOLVA@T IZOBRETATX WSE NOWYE I NOWYE. aWTOR MOVET SAM SOZDAWATX
NOWYE OPERATORY. nAPRIMER, KOMANDA
\operatorname{Tor}

W L@BOJ FORMULE BUDET PE^ATATX Tor, KAK OPERATOR (PRQMYM RIFTOM I S SO-
OTWETSTWU@]IMI PROBELAMI). eSLI VE NUVEN OPERATOR S PREDELAMI, ISPOLX-
ZUETSQ KOMANDA \operatornamewithlimits. tAK, ESLI WWESTI
$$\operatornamewithlimits{Res}_{x=0}\frac{f(x)}x$$,

TO POLU^ITSQ
Res f(x) :
x=0 x
rAZUMEETSQ, ESLI \TI OBOZNA^ENIQ W RABOTE WSTRE^A@TSQ ^ASTO, NEMYSLIMO KA-
VDYJ RAZ WWODITX TAKU@ DLINNU@ KONSTRUKCI@, A LU^ E OPREDELITX NOWU@
KOMANDU.
nA OPERATORY TIPA \max, POLU^AEMYE PRI POMO]I \operatornanewithlimits
MOGUT IMETX WLIQNIE STILEWYE SOGLA ENIQ W NEKOTORYH STILQH U WSEH TAKIH
OPERATOROW PREDELY OTSUTSTWU@T. tAKIE SOGLA ENIQ USTANAWLIWA@TSQ KOMAN-
DOJ \NoLimitsOnNames, A KOMANDA \LimitsOnNames WOZWRA]AET OPERATORAM WOZ-
MOVNOSTX IMETX PREDELY.
mODULX (mod). tAK VE, KAK I NAZWANIQ PERE^ISLENNYH WY E \LEMENTAR-
NYH FUNKCIJ, SLOWO `mod' OBY^NO PE^ATAETSQ W FORMULAH ROMANSKIM (PRQMYM)
RIFTOM, NO PO SMYSLU \TO OBOZNA^ENIE OTLI^AETSQ OT \LEMENTARNYH FUNK-
CIJ. w MATEMATIKE `mod' MOVET ISPOLXZOWATXSQ W DWUH RAZNYH SMYSLAH: ESLI
\TO BINARNYJ OPERATOR, STOQ]IJ MEVDU DWUMQ WELI^INAMI, TO UPOTREBLQETSQ
\bmod, A W KONCE FORMUL W SKOBKAH (TAK NAZYWAEMOE OBOZNA^ENIE \PO MODUL@")
ISPOLXZUETSQ \pmod:
gcd(m n) = gcd(n m mod n)
$\gcd(m,n)=\gcd(n,m\bmod n)$
x y + 1 (mod m2 )
$x\equiv y+1\pmod{m^2}$

oBRATITE WNIMANIE, ^TO SKOBKI WOKRUG \pmod PROSTAWLQ@TSQ AWTOMATI^ESKI.
iNOGDA W WYRAVENIQH \PO MODUL@" mod STAWITSQ BEZ SKOBOK. w \TOM SLU^AE
NADO ISPOLXZOWATX KOMANDU \mod:
x y + 1 mod m2
$x\equiv y+1\mod{m^2}$
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
52
nEKOTORYE AWTORY OBOZNA^A@T \PO MODUL@" TAK: WOWSE NE STAWQT mod, ZATO m2
POME]A@T W SKOBKAH. dLQ TAKIH SLU^AEW ESTX KOMANDA \pod:
x y + 1 (m2 )
$x\equiv y+1\pod{m^2}$

4.9. kORNI
kWADRATNYE KORNI. zNAK KWADRATNOGO KORNQ POLU^AETSQ KOMANDOJ \sqrt.
eSLI POD KWADRATNYM KORNEM DOLVNA BYTX PODFORMULA, A NE PROSTOJ SIMWOL,
TO \TU PODFORMULU SLEDUET ZAKL@^ITX W FIGURNYE SKOBKI.
p
r2
$$\sqrt2$$
a +1
$$\sqrt{\frac ab+1}$$
b
zNAKI KWADRATNOGO KORNQ PE^ATA@TSQ W RAZLI^NYH WIDAH, W ZAWISIMOSTI OT
WYSOTY,p p I IRINY WYRAVENIQ, IZ KOTOROGO IZWLEKAETSQ KWADRATNYJ
GLUBINY p
KORENX: a, d I y. eSLI U WAS ESTX FORMULA, W KOTOROJ TOLXKO ODIN \sqrt,
PRAWILA POZICIONIROWANIQ RABOTA@T PREKRASNO. nO WOT WMESTO p p pa+
FORMULY p
pp
d+ y WAM BY HOTELOSX IMETX BOLEE SIMMETRI^NOE WYRAVENIE a+ d+ y.
|TO MOVNO POLU^ITX POSREDSTWOM
$\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut d}+\sqrt{\mathstrut y}$$
kOMANDA \mathstrut DAET NEWIDIMYJ SIMWOL, KOTORYJ PROSTIRAETSQ NAD I POD
STROKOJ NA RASSTOQNIE, DOSTATO^NOE DLQ TOGO, ^TOBY PEREKRYTX L@BU@ BUKWU.
pOSKOLXKU MATEMATI^ESKIE FORMULY MOGUT POLU^ATXSQ UVASA@]E BOLX IMI,
TEX DOLVEN IMETX KAKOJ-NIBUDX SPOSOB SOZDAWATX WSE BOLEE UWELI^IWA@]IESQ
KWADRATNYE KORNI. nAPRIMER, ESLI WY WWODITE
$$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+
\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}}}}}$$
TO REZULXTAT POKAZYWAET RQD IME@]IHSQ W NALI^II ZNAKOW KWADRATNOGO KORNQ:
v v
u v
u
u s
u
u r
u u q
u
u p
t
t
1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+x
t


tRI NAIBOLX IH ZNAKA ZDESX, PO SU]ESTWU, ODINAKOWY, ZA ISKL@^ENIEM TOGO,
^TO WERTIKALXNYJ SEGMENT \u" POWTORQETSQ STOLXKO, SKOLXKO NEOBHODIMO, ^TOBY
POLU^ITX VELAEMYJ RAZMER, NO BOLEE MALENXKIE ZNAKI | \TO OTDELXNYE SIM-
WOLY W MATEMATI^ESKIH RIFTAH TEX'A.
kORNI S DRUGIMI POKAZATELQMI STEPENI. ˜TOBY POLU^ITX KORNI, STEPENX
KOTORYH OTLI^NA OT 2, NADO ISPOLXZOWATX KONSTRUKCI@ \root : : : \of : : : :
p
x
3
$$\root3\of x$$
r
1+ a
+
$$\root\alpha+\beta\of{1+\frac ab}$$
b
eSLI POKAZATELEM STEPENI KORNQ QWLQETSQ PODFORMULA, TO EE MOVNO NE ZA-
KL@^ATX W FIGURNYE SKOBKI, POSKOLXKU ONA OGRANI^IWAETSQ \root I \of. AMS-
TEX STREMITSQ RASPOLOVITX KORENX PRAWILXNO, NO ESLI WY HOTITE NESKOLXKO
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 53
PODPRAWITX EGO RASPOLOVENIE, TO WOSPOLXZUJTESX \uproot{h^ISLOi} POSLE \root,
^TOBY PEREDWINUTX KORENX WWERH NA h^ISLOi EDINIC, A ^TOBY SDWINUTX EGO WLEWO
NA h^ISLOi EDINIC, NADO NABRATX \leftroot{h^ISLOi} POSLE NEGO. mOVNO ODNO-
WREMENNO ISPOLXZOWATX UPRAWLQ@]IE POSLEDOWATELXNOSTI \uproot{h^ISLOi} I
\leftroot{h^ISLOi} (W PROIZWOLXNOM PORQDKE), POKA NI^EGO INOGO MEVDU NIMI
I \root NE NAHODITSQ. nAPRIMER, ESLI WWESTI
$$\root\uproot 3\leftroot{-2}\alpha+\beta\of{1+\frac ab}$$,

TO POLU^ITSQ r
1+ a
+
b
eDINICY, W KOTORYH WYRAVAETSQ h^ISLOi I NA KOTORYE PEREME]AETSQ \root,
^REZWY^AJNO MELKIE, TAK ^TO METODOM PROB I O IBOK MOVNO DOBITXSQ VELAE-
MOGO REZULXTATA.
4.10. oGRANI^ITELI
oSNOWNYE OGRANI^ITELI. kAK UVE GOWORILOSX WY E PRI OPISANII SIMWOLOW
KLAWIATURY, NEKOTORYE SIMWOLY MATEMATIKI S^ITA@T OTKRYWA@]IMI I ZA-
KRYWA@]IMI OGRANI^ITELQMI. w MATEMATIKE WAVNY OGRANI^ITELI, POSKOLXKU
ONI HORO O WIZUALXNO POD^ERKIWA@T STRUKTURY W SLOVNYH WYRAVENIQH |
OGRANI^IWA@T OTDELXNYE PODFORMULY. pRIWEDEM SPISOK 22 OSNOWNYH OGRANI-
^ITELEJ, PREDUSMOTRENNYH W TEX'E.
wHOD oGRANI^ITELX
LEWAQ KRUGLAQ SKOBKA: (
(
PRAWAQ KRUGLAQ SKOBKA: )
)
ILI \lbrack LEWAQ KWADRATNAQ SKOBKA:
] ILI \rbrack PRAWAQ KWADRATNAQ SKOBKA: ]
\{ ILI \lbrace LEWAQ FIGURNAQ SKOBKA: f
\} ILI \rbrace PRAWAQ FIGURNAQ SKOBKA: g
LEWAQ \KO^ERGA WNIZ": b
\lfloor
PRAWAQ \KO^ERGA WNIZ": c
\rfloor
LEWAQ \KO^ERGA WWERH": d
\lceil
PRAWAQ \KO^ERGA WWERH": e
\rceil
LEWAQ UGLOWAQ SKOBKA: h
\langle
PRAWAQ UGLOWAQ SKOBKA: i
\rangle
SL\ : =
/
B\KSL\ : n
\backslash
| ILI \vert WERTIKALXNAQ ^ERTA: j
\| ILI \Vert DWOJNAQ WERTIKALXNAQ ^ERTA: k
STRELKA WWERH: "
\uparrow
DWOJNAQ STRELKA WWERH: *
\Uparrow
STRELKA WNIZ: #
\downarrow
DWOJNAQ STRELKA WNIZ: +
\Downarrow
DWUSTORONNQQ STRELKA: l
\updownarrow
DWOJNAQ DWUSTORONNQQ STRELKA: m
\Updownarrow
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
54
eSTX DWA SPOSOBA POLU^ITX ODIN I TOT VE OGRANI^ITELX. nAPRIMER, MOVNO
ZADATX LEWU@ KWADRATNU@ SKOBKU, WWEDQ LIBO , LIBO \lbrack. pOSLEDNEE
PREDPO^TITELXNEE, POSKOLXKU IMEETSQ NE NA WSEH KLAWIATURAH. pOMNITE, OD-
NAKO, ^TO WY NIKOGDA NE DOLVNY PYTATXSQ ZADAWATX LEWU@ I PRAWU@ FIGURNYE
SKOBKI PROSTO KAK { ILI }. sIMWOLY { I } ZAREZERWIROWANY DLQ GRUPPIROWANIQ.
pRAWILXNYM BUDET WWESTI \{, \}, \lbrace, \rbrace.
mOVNO WWODITX < ILI > KAK USLOWNOE SOKRA]ENIE DLQ \langle I \rangle.
nAPRIMER, \bigl< \KWIWALENTNO \bigl\langle, A \right> \KWIWALENTNO \right
\rangle. kONE^NO, `<' I `>' OBY^NO PROIZWODQT OTNO ENIQ \MENX E ^EM" I
\BOLX E ^EM" < >, KOTORYE ZAMETNO OTLI^A@TSQ OT UGLOWYH SKOBOK.
uWELI^ENNYE OGRANI^ITELI. dLQ TOGO, ^TOBY POLU^ITX NESKOLXKO UWELI-
^ENNU@ WERSI@ L@BOGO IZ \TIH SIMWOLOW, PROSTO POSTAWXTE PERED NIM \bigl
(DLQ OTKRYWA@]EGO OGRANI^ITELQ) ILI \bigr (DLQ ZAKRYWA@]EGO OGRANI^I-
TELQ). |TO OBLEG^IT ^TENIE FORMUL, KOTORYE SODERVAT OGRANI^ITELI WNUTRI
OGRANI^ITELEJ:
wHOD wYHOD ;
;
x ; s(x) y ; s(y)
$\bigl(x-s(x)\bigr)\bigl(y-s(y)\bigr)$
x ; s x] y ; s y]
$\bigl x-s x]\bigr]\bigl y-s y]\bigr]$
jxj ; jyj
$\bigl\vert\vert x\vert-\vert y\vert \bigr\vert$
p
A
$\bigl\lfloor\sqrt A\bigr\rfloor$
oGRANI^ITELI \big NASTOLXKO BOLX E OBY^NYH, ^TO MOVNO PO^UWSTWOWATX RAZ-
LI^IE, NO E]E DOSTATO^NO MALY, TAK ^TO IH MOVNO ISPOLXZOWATX W TEKSTE AB-
ZACA. pRIWEDEM WSE 22 OGRANI^ITELQ W OBY^NOM RAZMERE I W RAZMERE \big:
() ]fgbcdehi=njk "*#+lm
x˜?w x˜
;
?wy y

mOVNO TAKVE ISPOLXZOWATX \Bigl I \Bigr DLQ SIMWOLOW W WYKL@^NYH FOR-
MULAH: x˜?wx˜
hinojklmDE./
?w?w?w
?wy y

oNI NA 50% WY E IH \big-DWOJNIKOW. wYKL@^NYE FORMULY ^A]E ISPOLXZU@T
OGRANI^ITELI, KOTORYE E]E WY E (W DWA RAZA WY E, ^EM \big). tAKIE OGRA-
NI^ITELI SOZDA@TSQ PRI POMO]I \biggl I \biggr I WYGLQDQT TAK:
x˜?wx˜
?w?w?w
?w?w?w
?wy y

nAKONEC, ESTX WERSIQ \Biggl I \Biggr, KOTORAQ W 2.5 RAZA WY E OGRANI^ITELEJ
\bigl I \bigr:
x˜ ?wx˜
!"#( )$%&'*+ ,-
?w ?w?w
?w ?w?w
?w ?w?w
?w y y

nAPRIMER, ^TOBY NAPE^ATATX WYKL@^NU@ FORMULU
@ 2 + @ 2 '(x + iy) 2 = 0
@x2 @y2
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 55
MOVNO WWESTI
$$\biggl({\partial^2\over\partial x^2}+
{\partial^2\over\partial y^2}\biggr)\bigl\vert\varphi(x+iy)
\bigr\vert^2=0$$

oGRANI^ITELI \bigl, \Bigl, \biggl I \Biggl QWLQ@TSQ OTKRYWA@]IMI, KAK
LEWAQ KRUGLAQ SKOBKA, A OGRANI^ITELI \bigr, \Bigr, \biggr, \Biggr | ZAKRY-
WA@]IMI, KAK PRAWAQ KRUGLAQ SKOBKA. TEX TAKVE PREDUSMATRIWAET OGRANI-
^ITELI \bigm, \Bigm, \biggm I \Biggm DLQ ISPOLXZOWANIQ W SEREDINE FORMUL.
tAKOJ OGRANI^ITELX IGRAET ROLX OTNO ENIQ, TIPA ZNAKA RAWENSTWA, PO\TOMU
TEX POME]AET S OBEIH STORON OT NEGO MALENXKIE PROBELY. nAPRIMER:
;
x 2 A(n) x 2 B(n)
$\bigl(x\in A(n)\bigm|x\in B(n)\bigr)$
S T
Xn n Yn
$\bigcup_n X_n\bigm\|\bigcap_n Y_n$ n
mOVNO TAKVE SKAZATX PROSTO \big, \Big, \bigg, \Bigg, ^TO DAET OGRANI^I-
TELX, KOTORYJ DEJSTWUET KAK OBY^NAQ PEREMENNAQ. |TO ISPOLXZUETSQ PREIMU-
]ESTWENNO PRI NAKLONNYH ^ERTAH I OBRATNYH NAKLONNYH ^ERTAH, KAK POKAZANO
W SLEDU@]EM PRIMERE:
a+1 c+1
$${a+1\over b}\bigg/{c+1\over d}$$
b d
aWTOMATI^ESKAQ USTANOWKA RAZMERA OGRANI^ITELEJ. TEX IMEET WSTROEN-
NYJ MEHANIZM, KOTORYJ WY^ISLQET, NASKOLXKO WYSOKOJ DOLVNA BYTX PARA OGRA-
NI^ITELEJ DLQ TOGO, ^TOBY OHWATITX DANNU@ PODFORMULU, PO\TOMU MOVNO IS-
POLXZOWATX \TOT METOD WMESTO TOGO, ^TOBY RE ATX, DOLVEN LI BYTX OGRANI^I-
TELX \big, \bigg ILI KAKOJ-NIBUDX E]E. eDINSTWENNOE, ^TO NADO SDELATX |
\TO SKAZATX
\lefthOGRANI^ITELX1 ihPODFORMULAi\righthOGRANI^ITELX2 i

I TEX NAPE^ATAET PODFORMULU, WSTAWLQQ SLEWA I SPRAWA ZADANNYE OGRANI^I-
TELI. rAZMER OGRANI^ITELEJ BUDET KAK RAZ TAKOJ WELI^INY, ^TOBY OHWATITX
PODFORMULU. nAPRIMER, W WYKL@^NOJ PODFORMULE
1 3
1 + 1 ; x2
$$1+\left(1\over1-x^2\right)^3$$

TEX WYBRAL POSKOLXKU MENX IE OGRANI^ITELI DLQ \TOJ
(I
\biggl \biggr),
DROBI SLI KOM MALY. pROSTAQ FORMULA TIPA $\left(x\right)$ DAET (x), TA-
KIM OBRAZOM, \left I \right INOGDA WYBIRA@T OGRANI^ITELI, KOTORYE MENX E,
^EM \bigl I \bigr.
oPERACIQ \over W PRIMERE WY E NE WKL@^AET W SEBQ \1+" W NA^ALE FORMULY.
|TO POLU^ILOSX POTOMU, ^TO \left I \right, W DOPOLNENIE K FUNKCII SOZDA-
NIQ OGRANI^ITELQ, WYPOLNQ@T FUNKCI@ GRUPPIROWANIQ: L@BYE OPREDELENIQ,
KOTORYE OKAZYWA@TSQ MEVDU \left I \right, BUDUT LOKALXNYMI, KAK ESLI BY
ZAKL@^ENNAQ W NIH PODFORMULA BYLA W FIGURNYH SKOBKAH.
wSQKIJ RAZ, KOGDA WY ISPOLXZUETE \left I \right, ONI DOLVNY BYTX W PARE
DRUG S DRUGOM, KAK I FIGURNYE SKOBKI W GRUPPAH. nE MOVET BYTX \left W ODNOJ
FORMULE, A \right W DRUGOJ, A TAKVE NE POZWOLQ@TSQ KONSTRUKCII TIPA
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
56
::: ::: :::
\left( { \right) }.

|TI OGRANI^ENIQ PONQTNY, POSKOLXKU TEX'U, PREVDE, ^EM ON MOVET RE ITX,
NASKOLXKO BOLX IMI DELATX OGRANI^ITELI, NADO NABRATX PODFORMULU MEVDU
\left I \right. nO OB \TOM SLEDUET POMNITX, POTOMU ^TO, ESLI NE ISPOLX-
ZU@TSQ \left I \right, WY NE OBQZANY UPOTREBLQTX PARAMI KRUGLYE, KWA-
DRATNYE I TOMU PODOBNYE SKOBKI: TEX NE BUDET WOZRAVATX PROTIW FORMULY
$ 0,1)$, $)($ ILI DAVE $)$. dAVE KOGDA ISPOLXZUETSQ \left I \right, TEX
NE RASSMATRIWAET PODROBNO, KAKIE KONKRETNYE OGRANI^ITELI WYBRANY. tAK,
MOVNO WWESTI TAKU@ STRANNU@ TUKU KAK \\left)", ^TO, W OTLI^IE OT PROSTO
), DAST LEWYJ OGRANI^ITELX, I/ILI \\right(", ^TO DAST PRAWYJ OGRANI^ITELX.
|TO MOVNO ISPOLXZOWATX W INTERESNOM PRIMERE. sRAWNITE DWE FORMULY:
x 2] a d c
$x\in ]\frac ab,\frac cd $ b
x2 a d c
$x\in\left]\frac ab,\frac cd\right $ b
TEX NE OSTAWLQET DOPOLNITELXNYE PROBELY MEVDU BINARNYM OTNO ENIEM I
PRAWYM OGRANI^ITELEM, I W PERWOM SLU^AE POSLE 2 POLU^ILSQ SLI KOM MA-
LENXKIJ PROBEL, POSKOLXKU TEX O IBO^NO POS^ITAL ] PRAWYM OGRANI^ITELEM.
pRAWILXNYM RE ENIEM BUDET WTORAQ FORMULA.
w OPISANNOM WY E PRIMERE MY WIDELI E]E ODNU FUNKCI@ KONSTRUKCII
\left : : : \right | FUNKCI@ \RASPREDELITELQ PROBELOW".
pOKAVEM \TO E]E NA ODNOM PRIMERE. oGRANI^ITELI | I \| DOWOLXNO SPE-
CIALXNYE, POSKOLXKU ODIN I TOT VE SIMWOL SLUVIT I LEWYM, I PRAWYM OGRA-
NI^ITELEM. kOGDA PERED \TIMI OGRANI^ITELQMI NE STOIT \left ILI \right
TEX NE MOVET PONQTX, W KAKOM SMYSLE ONI ISPOLXZU@TSQ, PO\TOMU S^ITAET IH
ORDINARNYMI SIMWOLAMI SO WSEMI WYTEKA@]IMI OTS@DA POSLEDSTWIQMI. |TO
NE WYZYWAET PROTESTA W FORMULAH TIPA jxj, NO ESLI W FORMULU WHODQT BINAR-
NYE OPERATORY, TO DAVE DLQ POLU^ENIQ OGRANI^ITELEJ OBY^NOGO RAZMERA MOGUT
POTREBOWATXSQ \left I \right, KOTORYE DA@T PRAWILXNOE RASPREDELENIE PRO-
BELOW. sRAWNITE, NAPRIMER, DWE FORMULY:
j ; xj = j + xj
$|-x|=|+x|$
j;xj = j+xj
$\left|-x\right|=\left|+x\right|$

sEJ^AS WY, WEROQTNO, UDIWLQETESX, ZA^EM NADO TRATITX SILY, IZU^AQ \bigl,
\bigr I IM PODOBNYE, KOGDA \left I \right DOLVNY AWTOMATI^ESKI WY^ISLQTX
RAZMERY. dA, \TO PRAWDA, \left I \right DOSTATO^NO UDOBNY, NO ESTX KAK MI-
NIMUM TRI SITUACII, KOGDA DLQ WYBORA RAZMEROW OGRANI^ITELEJ WAM PRIDETSQ
WOSPOLXZOWATXSQ SOBSTWENNOJ MUDROSTX@ I WKUSOM.
(1) iNOGDA \left I \right WYBIRA@T RAZMERY MENX E, ^EM WY HOTITE.
(2) iNOGDA \left I \right WYBIRA@T RAZMERY BOLX E, ^EM WY HOTITE. |TO
NAIBOLEE ^ASTO SLU^AETSQ, KOGDA ONI OGRANI^IWA@T BOLX OJ OPERATOR
W WYKL@^NOJ FORMULE.
(3) iNOGDA NADO RAZBITX OGROMNU@ WYKL@^NU@ FORMULU NA DWE ILI BOLEE
OTDELXNYE STROKI, I WY HOTITE BYTX UWERENNYMI, ^TO OTKRYWA@]I-
ESQ I ZAKRYWA@]IESQ OGRANI^ITELI IME@T ODINAKOWU@ WELI^INU. nO
WY NE MOVETE ISPOLXZOWATX NA PERWOJ STROKE \left, A NA POSLEDNEJ |
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 57
POSKOLXKU \left I \right DOLVNY WSTRE^ATXSQ PARAMI. rE E-
\right,
NIEM BUDET ISPOLXZOWATX \Biggl, SKAVEM, NA PERWOJ STROKE I \Biggr |
NA POSLEDNEJ.
kONE^NO, ODNIM IZ PREIMU]ESTW \left I \right QWLQETSQ TO, ^TO ONI MOGUT
SDELATX PROIZWOLXNO BOLX IE OGRANI^ITELI | NAMNOGO BOLX E, ^EM \biggggg!
oDNAKO SL\ I I UGLOWYE SKOBKI IME@T MAKSIMALXNYJ RAZMER. eSLI WY POTRE-
BUETE BOLEE KRUPNYE WARIANTY \TIH SIMWOLOW, TO POLU^ITE NAIBOLX IJ IZ
WOZMOVNYH.
\nULEWOJ" OGRANI^ITELX. eSLI WWESTI `.' POSLE \left ILI \right WME-
STO ODNOGO IZ OSNOWNYH OGRANI^ITELEJ, TO POLU^ITSQ TAK NAZYWAEMYJ NULE-
WOJ OGRANI^ITELX (KOTORYJ RAWEN PROBELU). |TO MOVET PONADOBITXSQ, KOGDA
NUVNY FORMULY, KOTORYE SODERVAT TOLXKO ODIN BOLX OJ OGRANI^ITELX, NA-
PRIMER, WYKL@^NAQ FORMULA
dx2
dx x=a = 2a
MOVET BYTX POLU^ENA KONSTRUKCIEJ WIDA
$$\left.\frac{dx^2}{dx}\right\vert_{x=a}=2a$$

zDESX \left. DAST WOZMOVNOSTX POLU^ITX NEWIDIMYJ LEWYJ OGRANI^ITELX,
SOOTWETSTWU@]IJ PRAWOJ SKOBKE \right\vert.
dOPOLNITELXNYE OGRANI^ITELI. TEX IMEET I DOPOLNITELXNYE OGRANI^I-
TELI, KOTORYE NE BYLI PERE^ISLENY W OSNOWNOM NABORE 22 OGRANI^ITELEJ, PO-
TOMU ^TO ONI OSOBOGO SORTA. uPRAWLQ@]IE POSLEDOWATELXNOSTI \arrowvert,
\Arrowvert I \bracevert PROIZWODQT OGRANI^ITELI, SDELANNYE IZ POWTORQ@-
]IHSQ ^ASTEJ WERTIKALXNYH STRELOK, DWOJNYH WERTIKALXNYH STRELOK I BOLX-
IH FIGURNYH SKOBOK, SOOTWETSTWENNO, BEZ WERHU KI STRELOK I BEZ ZAKRU^EN-
NOJ ^ASTI FIGURNYH SKOBOK. rEZULXTAT ANALOGI^EN \vert ILI \Vert, NO U NIH
BOLX IE PROBELY I DRUGAQ IRINA. tAKVE MOVNO ISPOLXZOWATX \lgroup I
\rgroup, KOTORYE SKONSTRUIROWANY IZ FIGURNYH SKOBOK BEZ IH SREDNEJ ^ASTI,
I \lmoustache I \rmoustache, KOTORYE DA@T WERHNIE I NIVNIE POLOWINY FI-
GURNYH SKOBOK. nAPRIMER, PRIWEDEM \Big I \bigg WERSII OT \vert, \Vert I
\TIH SEMI SPECIALXNYH OGRANI^ITELEJ:
? w > 8 9 8 9
>
? w >
::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::
> : :
? w >
>

? w > 8 9 8 9
>
? w >
> > > > >
::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :
? w > > > > >
> : :
? w >
>

zAMETIM, ^TO \lgroup I \rgroup DOWOLXNO POHOVI NA VIRNYE KRUGLYE SKOBKI
S OSTRYMI IZGIBAMI PO UGLAM. |TO DELAET IH ZAMAN^IWYMI DLQ NEKOTORYH
BOLX IH WYKL@^NYH FORMUL. nO IH NELXZQ ISPOLXZOWATX TO^NO TAK VE, KAK
KRUGLYE SKOBKI, POTOMU ^TO ONI DOSTUPNY TOLXKO W BOLX IH RAZMERAH (\Big I
BOLX E).
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina

<<

. 2
( 5)



>>