<<

. 3
( 5)



>>

58
tEORETIKO-MNOVESTWENNYE OBOZNA^ENIQ. oSOBO SLEDUET OTMETITX PRIME-
NENIE OGRANI^ITELEJ W TEORETIKO-MNOVESTWENNYH OBOZNA^ENIQH. pROSTYE FOR-
MULY TIPA fa b cg NABIRA@TSQ O^ENX PROSTO:
fa b cg
$\{a,b,c\}$
f1 2 : : : ng
$\{1,2,\dots,n\}$

nO KOGDA POSREDI TAKOJ FORMULY WSTRE^AETSQ WERTIKALXNAQ ^ERTA j ILI DWOE-
TO^IE :, TO DLQ POLU^ENIQ ^ERTY LU^ E ISPOLXZOWATX KOMANDU \mid, KOTORAQ
PROSTAWLQET WOKRUG j DOPOLNITELXNYE PROBELY, A FIGURNYE SKOBKI OTDELITX
TONKIMI PROBELAMI (WOKRUG DWOETO^IQ PROBELY USTANAWLIWA@TSQ AWTOMATI^E-
SKI):
fz j z > 2g
$\{\,z\mid z>2\,\}$
fz : z > 2g
$\{\,z:z>2\,\}$
kOGDA \LEMENTY MNOVESTWA ZAKL@^A@TSQ W UWELI^ENNYE OGRANI^ITELI \bigl
I \bigr, KAK W SLU^AE ;
x f(x) x 2 D
TO DLQ POLU^ENIQ j SLEDUET ISPOLXZOWATX UWELI^ENNU@ WERSI@ \bigm|.
$$\bigl\lbrace\,\bigl(x,f(x)\bigr)\bigm|x\in D\,\bigr\rbrace,$$

4.11. sOSTAWNYE SIMWOLY
mATEMATIKI L@BQT SOZDAWATX NOWYE SLOVNYE SIMWOLY, POME]AQ NE^TO NAD ILI
POD SIMWOLOM. dLQ \TOGO U AMS-TEX'A ESTX KOMANDY \overset I \underset:
A
$\underset X\to A$
X
X
$\underset\alpha\beta\to X$

;!
$\overset\alpha\beta\to\longrightarrow$
=
def
$\overset\text{def}\to=$
s
X
$\overset s\to{\underset A\to X}$
A
oBRATITE WNIMANIE, ^TO SKOBKI WOKRUG DWOJNOJ NADPISI \alpha\beta NE NUVNY,
POTOMU ^TO NADPISX WSEGDA OGRANI^ENA KOMANDAMI \underset I \to. rAZUME-
ETSQ, W KONSTRUKCII \underset : : : \to \LEMENT \to | \TO LI X ^ASTX \SIN-
TAKSISA", A NE PRAWAQ STRELKA !, KOTORAQ TOVE IMEET IMQ \to.
\underset I \overset NE TAK T]ATELXNO RASPOLAGA@T NADPISI, KAK \TO
IMEET MESTO W SLU^AE MATEMATI^ESKIH AKCENTOW. iNOGDA WZAIMNOE RASPOLO-
VENIE SIMWOLOW NADO SKORREKTIROWATX S POMO]X@ DOPOLNITELXNYH PROBELX^I-
KOW. k S^ASTX@, \TI KONSTRUKCII ISPOLXZU@TSQ NE TAK UV ^ASTO, I, NEMNOGO
PO\KSPERIMENTIROWAW, WY MOVETE POLU^ITX PRIEMLEMYJ REZULXTAT. sRAWNITE,
NAPRIMER, POSLEDN@@ STROKU W PRIWEDENNYH WY E PRIMERAH I
s
X
$\overset \,\, s\to{\underset A\to X}$
A
kOGDA WY PRIMENQETE \overset ILI \underset K BINARNOJ OPERACII ILI
OTNO ENI@, W REZULXTATE POLU^AETSQ BINARNAQ OPERACIQ ILI OTNO ENIE.
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 59
kOGDA WY PRIMENQETE \overset ILI \underset K ORDINARNOMU SIMWOLU, TO
L@BYE WERHNIE ILI NIVNIE INDEKSY BUDUT RASPOLAGATXSQ NA PRAWILXNOJ WY-
SOTE:
Xj
$$\overset \,\alpha\to X_i^j$$ i
wERHNIE I NIVNIE INDEKSY WYSTAWLQ@TSQ NA WYSOTE, SOOTWETSTWU@]EJ OSNOW-
NOJ LITERE X, A NE WSEJ KONSTRUKCII X. nO ESLI WY ISPOLXZUETE \overset I
\underset DLQ POLU^ENIQ NOWOJ BINARNOJ OPERACII, TO \TO UVE TAK HORO O NE
SRABOTAET:
j
=
+
$$\overset+\to=_j$$

wY MOVETE ULU^ ITX REZULXTAT, NABRAW
=j
+
$$\overset+\to={}_j$$

NO TOGDA POSLE SIMWOLA = POQWITSQ DOPOLNITELXNYJ PROBEL.
+

hOTQ DLQ POLU^ENIQ
k RAZ
z }| {
I
x+ +x x +{z + z
y}
|
>0
NET NEOBHODIMOSTI ISPOLXZOWATX KOMANDY \overset I \underset, POSKOLXKU
DLQ \TOJ CELI IME@TSQ KOMANDY \overbrace I \underbrace (SM. W \TOM RUKO-
WODSTWE RAZDEL 4.5. ˜ERTA, STRELKA ILI SKOBKA NAD ILI POD FORMULOJ),
AMS-TEX WSE-TAKI PREDOSTAWLQET DLQ \TIH CELEJ KONSTRUKCII \undersetbrace
: : : \to I \oversetbrace : : : \to. tAK, NAPRIMER, ESLI WWESTI
$$\oversetbrace \text{$k$ RAZ}\to{x+\dots+x}$$

TO POLU^ITSQ
k RAZ
z }| {
x+ +x
A
$$\undersetbrace >\,0 \to{x+y+z}$$

DAET
x +{z + z
y}
|
>0
iNOGDA NOWYE SIMWOLY STROQTSQ SOWSEM PO-DRUGOMU, IZ BOLX IH OPERATOROW.
nAPRIMER, MOVNO OPREDELITX KOMANDU P \sumstar, KOTORAQ BUDET ISPOLXZOWATXSQ
P
W KA^ESTWE RAZNOWIDNOSTI I DAWATX . zDESX POQWLQETSQ W KA^ESTWE WERH-
NEGO INDEKSA, NO PRI \TOM W KA^ESTWE \PREDELOW" SUMMIROWANIQ MOGUT ISPOLX-
ZOWATXSQ DRUGIE FORMULY:
X X
f(x) = f(x)
x2A 06=x2A
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
60
dLQ POLU^ENIQ NOWYH SIMWOLOW IZ BOLX IH OPERATOROW PUTEM DOBAWLENIQ K
NIM INDEKSOW SPRAWA I SLEWA AMS-TEX IMEET KONSTRUKCI@ \sideset : : : \and
: : : \to : : : . nAPRIMER, ESLI OPREDELITX WY EUPOMQNUTU@ KOMANDU \sumstar
KAK
\define\sumstar{\sideset\and^*\to\sum}
TO PRIWEDENNAQ WY E FORMULA POLU^AETSQ TAK:
$$\sumstar_{x\in A}f(x)=\sum_{0\ne x\in A}f(x)$$
P P
nABRAW \sideset^*\and \to\sum, MOVNO POLU^ITX SLEWA OT : . pOLXZU-
QSX \TIM VE PRINCIPOM, MOVNO DOBAWLQTX I NIVNIE INDEKSY (I SLEWA, I SPRAWA)
I DAVE STAWITX INDEKSY PO WSEM ^ETYREM \UGLAM" BOLX OGO OPERATORA:
Y
$$\sideset^*\and_+ \to \prod$$
+
Y
$$\sideset_+\and_- \to \prod
+ ;
Y
$$\sideset^*_+\and^*_- \to \prod
+ ;
rAZUMEETSQ, W KONSTRUKCII \sideset : : : \and : : : \to : : : \LEMENT \and |
\TO LI X ^ASTX \SINTAKSISA", A NE BINARNAQ OPERACIQ & , KOTORAQ TOVE IMEET
IMQ \and.
w AMS-TEX'E MOVNO ISPOLXZOWATX I KOMANDU plain TEX'A \buildrel, KOTORAQ
POME]AET SIMWOLY NAD BINARNYM OTNO ENIEM: WY WWODITE \buildrelhWERHNIJ
INDEKSi\overhOTNO ENIEi, I WERHNIJ INDEKS POME]AETSQ SWERHU OTNO ENIQ,
TAK VE KAK PREDELY POME]A@TSQ NAD BOLX IMI OPERATORAMI. w REZULXTATE
POLU^AETSQ NOWOE BINARNOE OTNO ENIE. nAPRIMER,
;!
\buildrel\alpha\beta\over\longrightarrow
=
def
\buildrel\text{def}\over =

4.12. tEKST W FORMULAH
w MATEMATI^ESKIH FORMULAH BUKWY TEX AWTOMATI^ESKI PE^ATAET KURSIWOM,
PRI^EM IGNORIRUQ PROBELY MEVDU SLOWAMI, NO INOGDA W FORMULY WSTAWLQ@TSQ
I OBY^NYE TEKST ILI BUKWY, KOTORYE NUVNY W OBY^NOM ROMANSKOM RIFTE.
AMS-TEX POZWOLQET WREMENNO OTKL@^ITX MATEMATI^ESKU@ MODU PRI POMO]I
KOMANDY \text:
y = f(x + KONSTANTA)
$$y=f(x+\text{KONSTANTA})$$
w \TOJ FORMULE WSQ KONSTRUKCIQ \text{KONSTANTA} TRAKTUETSQ KAK ORDINAR-
NYJ SIMWOL WRODE x ILI y, I SOOTWETSTWENNO OPREDELQ@TSQ PROBELY.
\text | \TO UPRAWLQ@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX S ARGUMENTOM W WIDE TEKSTA.
tO, ^TO SLEDUET POSLE ARGUMENTA, OPQTX BUDET PREDSTAWLENO W MATEMATI^ESKOJ
MODE. nAPRIMER, WYKL@^NAQ FORMULA
f(x) = x17 + ^LENY NIZ EGO PORQDKA + ex
BYLA POLU^ENA SLEDU@]EJ KONSTRUKCIEJ:
$$f(x)=x^17+\text{^LENY NIZ EGO PORQDKA}+e^x$$
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 61
wNUTRI \text, KAK I W OBY^NOM TEKSTE, MOVNO MENQTX RIFTY. tAK, FOR-
MULA
f(x) = x17 + ^LENY DRUGOGO PORQDKA.
POLU^AETSQ KOMANDAMI
$$f(x)=x^17+\text{^LENY {\it DRUGOGO}PORQDKA.}$$

w TEKSTE, POLU^AEMOM KOMANDOJ \text, MOVNO ISPOLXZOWATX SNOSKI. pRAWDA,
OBY^NAQ KOMANDA DLQ POLU^ENIQ SNOSOK \footnote WNUTRI MATEMATI^ESKOJ
MODY NE RABOTAET (ONA TAM PROSTO IS^EZAET). wMESTO \TOGO SLEDUET ISPOLXZO-
WATX PARU KOMAND \footnotetext : : : \footnotemark. oPISANIE \TIH KOMAND
WMESTE S PRIMEROM IH ISPOLXZOWANIQ PRIWODITSQ W RAZDELE 2.20. sNOSKI.
kOGDA WY PEREMEVAETE FORMULY S TEKSTOWYMI WSTAWKAMI, WAVNO POMNITX,
^TO W MATEMATI^ESKOJ MODE PROBELY WSEGDA IGNORIRU@TSQ. tAK ^TO WYKL@^-
NU@ FORMULU
;(n) = (n ; 1)! KOGDA n CELOE
NADO NABIRATX TAK:
$$\Gamma(n)=(n-1)!\qquad\text{KOGDA }n\text{CELOE}$$

pROBELY POSLE KOGDA I PERED CELOE SOHRANQTSQ, POSKOLXKU ONI BYLI NABRANY
WNUTRI FIGURNYH SKOBOK KOMANDY \text.
nO ESTX I BOLEE ESTESTWENNYJ SPOSOB POLU^ATX PRAWILXNYE PROBELY W PO-
DOBNYH SITUACIQH. wNUTRI \text MOVNO WERNUTXSQ W MATEMATI^ESKU@ MODU,
TAK ^TO MOVNO POLU^ATX MATEMATIKU, WNUTRI KOTOROJ NAHODITSQ TEKST, WNUTRI
KOTOROGO OPQTX MATEMATIKA. tAKIM OBRAZOM DOPUSKAETSQ TAKOJ SPOSOB NABORA
PREDYDU]EJ FORMULY:
$$\Gamma(n)=(n-1)! \qquad \text{KOGDA $n$ CELOE}$$

mEVDU MATEMATI^ESKOJ FORMULOJ $...$, WKL@^ENNOJ W TEKST ABZACA, I FOR-
MULOJ, KOTORAQ NAHODITSQ WNUTRI \text'A W WYKL@^NOJ FORMULE, IMEETSQ ODNO
WAVNOE OTLI^IE. w POSLEDNEM SLU^AE MATEMATI^ESKAQ FORMULA WNUTRI WSTA-
WLENNOGO TEKSTA AWTOMATI^ESKI BUDET NABRANA W RAZMERE d-size (RAZMERE WY-
KL@^NYH FORMUL). tAKIM OBRAZOM, ESLI WY WWEDETE
$$
f(a)>f(b)\qquad\text{PRI USLOWII, ^TO $\frac a{b+1}>\sqrt3$},
$$

TO POLU^ITE
a p
PRI USLOWII, ^TO b + 1 > 3:
f(a) > f(b)
kOMANDA \text, W OTLI^IE OT OBY^NOGO TEKSTA, SOZDAET IZ SWOEGO ARGUMENTA
TOLXKO ODNU STROKU TEKSTA, NERAZRYWNYJ \LEMENT, KOTORYJ NELXZQ OFORMITX W
WIDE ABZACA. kAK PRAWILO, IMENNO \TO I NUVNO W WYKL@^NOJ FORMULE, NO INO-
GDA DOPOLNITELXNOE USLOWIE BYWAET TAKIM DLINNYM, ^TO IZ NEGO PRIHODITSQ
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
62
DELATX NEBOLX OJ ABZAC:
p
p
k + 1 ; k = f(k + 1) ; f(k)
1
= f 0 (x) = 2px DLQ NEKOTOROGO x IZ (k k+1), PO
TEOREME O SREDNEM
1
< p:
2k
dLQ PODOBNYH SITUACIJ AMS-TEX PREDOSTAWLQET SREDSTWO \foldedtext. |TA
WYKL@^NAQ FORMULA BYLA NABRANA TAK:
$$
\align
\sqrt{k+1}-\sqrt k &=f(k+1)-f(k)\\
&=f(x) = \frac1{2\sqrt x}\qquad
\foldedtext\foldedwidth{2in}{DLQ NEKOTOROGO $x$ IZ $(k, k+1)$,
PO TEOREME O SREDNEM}\\
&<\frac1{2\sqrt k}.
\endalign
$$
eSLI NABRATX
:::
\foldedtext{ }
TO TEKST \ : : : " OFORMLQETSQ W WIDE ABZACA (NO BEZ ABZACNOGO OTSTUPA W PERWOJ
STROKE). pO UMOL^ANI@ IRINA TAKOGO ABZACA OPREDELQETSQ STILEM, NO EGO
MOVNO ZADATX I SAMOSTOQTELXNO KOMANDOJ \foldedwidth, NABRAW
:::
\foldedtext\foldedwidth{hRAZMERi}{ }
oBRATITE WNIMANIE, ^TO \foldedtext ISTOLKOWYWAETSQ KAK NOWYJ SIMWOL,
I EGO CENTRALXNAQ LINIQ SOWPADAET S CENTRALXNOJ LINIEJ DRUGIH SIMWOLOW.
eSLI NUVNO, ^TOBY WERHNIJ KRAJ ABZACA NAHODILSQ NA ODNOM UROWNE S WERH-
NIM KRAEM DRUGIH SIMWOLOW, TO MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ \topfoldedtext, TOGDA
KAK UPRAWLQ@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX \botfoldedtext DAST SOWPADENIE NIV-
NEJ KROMKI.
w KONSTRUKCIQH \foldedtext DLQ PEREHODA K SLEDU@]EMU ABZACU NELXZQ
POLXZOWATXSQ \par ILI PUSTOJ STROKOJ. wMESTO \TOGO ISPOLXZUETSQ \endgraf.
eSLI \text NAHODITSQ WNUTRI NE WYKL@^NOJ FORMULY, L@BYE MATEMATI^E-
SKIE FORMULY $...$ WNUTRI \text OKAVUTSQ RAZMERA t-size (TEKSTOWOGO RAZ-
MERA). k TOMU VE OBRAZUETSQ NERAZRYWNAQ STROKA TEKSTA, W KOTOROJ S BOLX OJ
WEROQTNOSTX@ POLU^ITSQ Overfull box. pO\TOMU LU^ E NE WSTAWLQTX TEKST W
NE WYKL@^NU@ FORMULU, A WHODITX I WYHODITX IZ MATEMATI^ESKOJ MODY. nO W
INDEKSAH I W INDEKSAH WTOROGO PORQDKA KOMANDA \text O^ENX UDOBNA, POTOMU ^TO
PRQMYE BUKWY W INDEKSAH MENQ@T SWOJ RAZMER TO^NO TAK VE, KAK I KURSIWNYE
BUKWY MATEMATI^ESKIH FORMUL.
kOGDA MY SKAZALI, ^TO \text WSEGDA PREDSTAWLQET SWOJ ARGUMENT ROMANSKIM
RIFTOM, \TO BYLO NE SOWSEM WERNO. eSLI \text ISPOLXZUETSQ W WYKL@^NYH
FORMULAH ILI DLQ ODNOSTRO^NYH FORMUL, ARGUMENT \text'A PE^ATAETSQ \TE-
KU]IM RIFTOM". eSLI \text POQWLQETSQ W KONSTRUKCIQH, KOTORYE MOGUT
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 63
IZMENITX TEKU]IJ RIFT, A PO^EMU-LIBO TREBU@TSQ IMENNO ROMANSKIE BUKWY,
MOVNO NABRATX \text{\rm...}. nO KOGDA \text STOIT W INDEKSAH, ROMANSKIJ
RIFT WYBIRAETSQ AWTOMATI^ESKI, POSKOLXKU W \TOM SLU^AE WY, WEROQTNO, PO-
TOMU I OBRA]AETESX K \text, ^TOBY QWNYM OBRAZOM POLU^ITX ROMANSKIE BUKWY
W MATEMATI^ESKOJ MODE.
4.13. kORREKCIQ MATEMATI^ESKIH FORMUL S POMO]X@ DOPOLNITELX-
NYH PROBELOW
oBY^NO W FORMULAH TEX ZADAET PRAWILXNYE RASSTOQNIQ MEVDU SIMWOLAMI
RAZLI^NYH KATEGORIJ, AWTOMATI^ESKI WSTAWLQQ, GDE NADO, PROBELY RAZLI^NOJ
WELI^INY, NO INOGDA MOVET POTREBOWATXSQ NEKOTORAQ POPRAWKA. nAPRIMER, W
FORMULE
b
Z
f(x) dx
$$\int_a^bf(x)\,dx$$
a
dx SLEDUET OTDELQTX OT DRUGIH SIMWOLOW ^UTX-^UTX BOLX E, NA MALENXKIJ IN-
TERWAL, KOTORYJ POLIGRAFISTY NAZYWA@T \TONKOJ PACIEJ", A TEX | TONKIM
PROBELOM. dLQ NEGO IMEETSQ PROSTAQ KOMANDA \,.
tONKIE PROBELY \, DOLVNY TAKVE WSTAWLQTXSQ POSLE WOSKLICATELXNOGO ZNAKA
(KOTORYJ W MATEMATI^ESKIH WYRAVENIQH IMEET OSOBYJ SMYSL, OBOZNA^AQ \FAK-
TORIAL"), ESLI ZA NIM SLEDUET ^ISLO, BUKWA ILI LEWYJ OGRANI^ITELX:
;
(2n)!= n! (n + 1)!
$\(2n)!/\bigl(n!\,(n+1)!\bigr)$
52!
$$\frac{52!}{13!\,13!\,26!}$$
13! 13! 26!
tONKIE PROBELY ^ASTO ISPOLXZU@T POSLE ZNAKA KWADRATNOGO KORNQ, KOGDA
PERWYJ SIMWOL PODKORENNOGO WYRAVENIQ SLI KOM BLIZKO PRIMYKAET K ZNAKU
KORNQ:
p
2x
$\sqrt2\,x$
p
;
O 1= n
$O\bigl(/\sqrt n\,\bigr)$
tONKIE PROBELY W MATEMATI^ESKOJ MODE TAKVE NADO STAWITX MEVDU ^ISLOM
I EDINICEJ IZMERENIQ:
1 pc = 12 pt
$1\,\text{pc}=12\,\text{pt}$
eSTX E]E GRUPPA SLU^AEW, KOGDA TREBUETSQ RU^NAQ KORREKCIQ FORMUL TON-
KIMI PROBELAMI. w INDEKSAH TEX AWTOMATI^ESKI NE OTDELQET PROBELAMI, NA-
PRIMER, BINARNYE OTNO ENIQ:
ax+y>z
$a^{x+y>z}$
dLQ ULU^ ENIQ WNE NEGO WIDA FORMULY PRIHODITSQ WOKRUG > IH STAWITX WRU^-
NU@:
ax+y > z
$a^{x+y\,>\,z}$
kAK UVE UPOMINALOSX (SM. 4.11. sOSTAWNYE SIMWOLY), KOMANDY \underset
I \overset NE TAK T]ATELXNO RASPOLAGA@T NADPISI, KAK \TO IMEET MESTO W SLU-
^AE MATEMATI^ESKIH AKCENTOW. iNOGDA WZAIMNOE RASPOLOVENIE SIMWOLOW NADO
SKORREKTIROWATX S POMO]X@ DOPOLNITELXNYH PROBELX^IKOW.
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
64
eSLI RQDOM S MNOGOTO^IEM STOIT TO^KA, TO IH TAKVE SLEDUET RAZDELITX TON-
KIM PROBELOM:
x1 x2 xn
$x_1\cdot x_2\cdot\,\cdots\,\cdot x_n$
(tONKIE PROBELY ZDESX OTDELQ@T CENTRIROWANNOE MNOGOTO^IE OT SOSEDNIH CEN-
TRIROWANNYH TO^EK, OBOZNA^A@]IH UMNOVENIE).
TEX IMEET I OTRICATELXNYJ TONKIJ PROBEL \!, KAKOJ UDALQET TAKOJ VE
PROBEL, KOTORYJ \, DOBAWLQET. pRIWEDEM NESKOLXKO PRIMEROW TOGO, KAK \, I \!
POZWOLQ@T NESKOLXKO ULU^ ITX WNE NIJ WID FORMUL:
p
log x
$\sqrt{\,\log x}$

o 1)
$\ \,0,1)$
log n (log log n)2
$\log n\,(\log\,log n)^2$

x2=2
$x^2\!/2$
n=log n
$n/\!\log n$

;2 + 2
$\Gamma_{\!2}+\Delta^{\!2}$
Ri jkl
$R_i{}^j{}_{\!kl}$
Z bZ b
$$\int_1^b\!\int_a^b$$
a
1
kROME TONKOJ PACII, POLIGRAFISTY IME@T DELO S BOLX IMI PROBELAMI,
NAZYWAEMYMI \KWADRAT" (quad). nAPRIMER, W SLU^AE WYKL@^NOJ FORMULY S
DOPOLNITELXNYM USLOWIEM, OBY^NO S^ITAETSQ, ^TO MEVDU OSNOWNOJ FORMULOJ
I DOPOLNITELXNYM USLOWIEM DOLVEN BYTX PROBEL W 2 KWADRATA. nAPRIMER,
FORMULU
Fn = Fn;1 + Fn;2 n > 1:
SLEDUET POLU^ATX KOMANDAMI
$$F_n=F_{n-1}+F_{n+2},\qquad n>1.$$
pROBELY W MATEMATI^ESKOJ MODE PODROBNO OPISANY W SPECIALXNOM PODRAZ-
DELE RAZDELA 4.1.
fANTOMY. eSLI WY GDE-NIBUDX GOWORITE \phantom{hWYRAVENIEi}, TEX SDE-
LAET WSE PROBELY TAK, KAK ESLI BY WY PROSTO SKAZALI {hWYRAVENIEi}, NO SAMO
WYRAVENIE BUDET NEWIDIMYM. tAK, NAPRIMER, \phantom{0}2 ZANIMAET W TO^NO-
STI STOLXKO VE MESTA, SKOLXKO `02' W TEKU]EM RIFTE, NO W WYHODNOM DOKUMENTE
DAST TOLXKO 2. eSLI WY HOTITE OSTAWITX PUSTOE MESTO DLQ NOWOGO SIMWOLA, KO-
TORYJ IMEET W TO^NOSTI TAKOJ VE RAZMER, KAK X, NO PO KAKIM-TO PRI^INAM
WYNUVDENY WSTAWITX \TOT SIMWOL WRU^NU@, TO \phantom{X} OSTAWIT PUSTOE
MESTO W TO^NOSTI NUVNOJ WELI^INY.
eSLI NABRATX \hphantom{...}, TO POLU^ITSQ \GORIZONTALXNYJ FANTOM", I-
RINA KOTOROGO TO^NO SOWPADAET SO STROKOJ W FIGURNYH SKOBKAH, A WYSOTA RAWNA
NUL@. tAK ^TO \TO \FFEKTIWNO DEJSTWUET KAK PROBEL TREBUEMOJ IRINY.
e]E BOLEE POLEZNYM, ^EM \hphantom, QWLQETSQ \vphantom, KOTORYJ SOZDAET
TAKOJ NEWIDIMYJ BOKS, WYSOTA I GLUBINA KOTOROGO RAWNY WYSOTE I GLUBINE
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 65
SOOTWETSTWU@]EGO \phantom, A IRINA RAWNA NUL@. tAKIM OBRAZOM \vphantom
SOZDAET WERTIKALXNU@ PODPORKU, KOTORAQ MOVET UWELI^ITX REALXNU@ WYSOTU
ILI GLUBINU FORMULY.
Plain TEX OPREDELQET \mathstrut KAK SOKRA]ENIE DLQ \vphantom(. mY UVE
WSTRE^ALISX S PRIMENENIEM \mathstrut W RAZDELE 4.9. kORNI, GDE S POMO]X@
p
\TOJ KOMANDY WMESTO pa+ d+ py POLU^ALOSX BOLEE SIMMETRI^NOE WYRAVENIE
p p p
a + d + y. nAPOMNIM, ^TO \TO DELALOSX TAK:
$$\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut d}+\sqrt{\mathstrut y}$$

sTQVKA. TEX TAKVE PREDOSTAWLQET \smash{hPODFORMULAi}, MAKROKOMANDU,
KOTORAQ DAET TOT VE REZULXTAT, ^TO I {hPODFORMULAi}, NO DELAET WYSOTU I
GLUBINU RAWNYMI NUL@. iSPOLXZUQ KAK \smash, TAK I \vphantom, MOVNO NA-
PE^ATATX L@BU@ PODFORMULU I ZADATX EJ L@BYE VELAEMYE NEOTRICATELXNYE
WYSOTU I GLUBINU. nAPRIMER,
\mathop{\smash\limsup\vphantom\liminf}

DAET BOLX OJ OPERATOR, KOTORYJ PE^ATAET lim sup, NO EGO WYSOTA I GLUBINA
TAKIE VE, KAK U \liminf (T.E. GLUBINA RAWNA NUL@).
eSLI NABRATX \smash{...}, TO MOVNO UBEDITX TEX, ^TO `...' NE WYDAETSQ
NAD STROKOJ I NE PROWISAET POD NEJ. u KOMANDY \smash IME@TSQ TAKVE DWE
RAZNOWIDNOSTI: \topsmash I \botsmash, W ZAWISIMOSTI OT TOGO, HOTITE LI WY,
^TOBY TEX PROIGNORIROWAL ^ASTX TEKSTA NAD STROKOJ, ILI POD NEJ.
4.14. mATRICY
mATEMATIKI L@BQT RISOWATX PRQMOUGOLXNYE NABORY FORMUL, KOTORYE USTRO-
ENY IZ STROK I STOLBCOW. tAKIE NABORY NAZYWA@TSQ MATRICAMI. w AMS-
TEX'e ESTX KONSTRUKCIQ \matrix : : : \endmatrix, S POMO]X@ KOTOROJ UDOBNO
ZADAWATX NAIBOLEE OB]IE TIPY MATRIC.
nAPRIMER, PREDPOLOVIM, WY HOTITE ZADATX WYKL@^NU@ FORMULU
0 1
x; 1 0
A= @0 x; 1 :
A
0 0 x;
wSE, ^TO WAM NADO SDELATX | \TO WWESTI
$$A=\left( \matrix
x-\lambda & 1 & 0\\
0 & x-\lambda & 1\\
0 & 0 & x-\lambda
\endmatrix \right).$$

|LEMENTY W STROKE RAZDELQ@TSQ ZNAKAMI &, A STROKI | ZNAKAMI \\. |LEMENTY
KAVDOGO STOLBCA W \matrix CENTRIRU@TSQ, A RASSTOQNIE MEVDU STOLBCAMI USTA-
NAWLIWAETSQ RAWNYM \quad. |LEMENTY PE^ATA@TSQ TEM VE RAZMEROM, ^TO I
OBY^NYJ TEKST, RASSTOQNIE VE MEVDU STROKAMI TOVE RAWNO OBY^NOMU MEV-
STRO^NOMU RASSTOQNI@.
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
66
wOKRUG MATRICY NADO STAWITX SWOI SOBSTWENNYE OGRANI^ITELI \left I \right,
POSKOLXKU RAZLI^NYE KONSTRUKCII MATRIC ISPOLXZU@T RAZLI^NYE OGRANI^I-
TELI. s DRUGOJ STORONY, KRUGLYE SKOBKI ISPOLXZU@TSQ ^A]E DRUGIH OGRANI-
^ITELEJ, PO\TOMU ESLI WY HOTITE, ^TOBY AMS-TEX WSTAWIL WOKRUG MATRICY
KRUGLYE SKOBKI, MOVNO ISPOLXZOWATX \pmatrix. tOGDA PRIWEDENNYJ WY E PRI-
MER SOKRA]AETSQ:
$$A=\pmatrix
x-\lambda & 1 & 0\\
0 & x-\lambda & 1\\
0 & 0 & x-\lambda
\endpmatrix$$

dLQ POLU^ENIQ KWADRATNYH SKOBOK \left : : : \right] WOKRUG MATRICY W AMS-
TEX'E IMEETSQ KONSTRUKCIQ \bmatrix : : : \endbmatrix, DLQ WERTIKALXNYH ^ER-
TO^EK \left| : : : \right| | \vmatrix : : : \endvmatrix, A DLQ DWOJNYH WER-
TIKALXNYH ^ERTO^EK \left\| : : : \right\| | \Vmatrix : : : \endVmatrix. nE-
LXZQ NA^ATX FORMULU S \pmatrix, A ZAKON^ITX EE \endmatrix. |TO PRIWEDET K
SOOB]ENI@ OB O IBKE.
˜ISLO STOLBCOW W MATRICE RAWNO MAKSIMALXNOMU KOLI^ESTWU ZNAKOW & W EE
STROKAH. sTROKI, SODERVA]IE MENX E \LEMENTOW, ^EM \TO MAKSIMALXNOE ^ISLO,
IME@T W OSTALXNYH STOLBCAH PROBELY. tAK, ESLI NABRATX
$$\pmatrix
0\\
0&1\\
0&1&2\\
0&1&2&3
\endpmatrix
$$

TO POLU^ITSQ \TREUGOLXNAQ" MATRICA
0
0 1
B0 1 C
012 A
@
0123
|LEMENTAMI MATRICY MOGUT BYTX, W TOM ^ISLE, I MATRICY. nAPRIMER, NE-
TRUDNO POLU^ITX TAKU@ MATRICU:
10 01
00 00
00 00
10 01
GDE MEVDU STOLBCAMI ZALOVENO PO DWA KWADRATA, A MEVDU STROKAMI | PO DWE
PROBELXNYE STROKI. dLQ \TOGO MOVNO WWESTI
$$\matrix
\pmatrix 1&0\\0&0\endpmatrix
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 67
& \quad\pmatrix 0&1\\0&0\endpmatrix\\
\\
\\
\pmatrix 0&0\\1&0\endpmatrix
& \quad\pmatrix 0&0\\0&1\endpmatrix
\endmatrix
$$

SNABVAQ KAVDYJ \LEMENT WTOROGO STOLBCA PROBELOM W ODIN KWADRAT SLEWA (^UTX
POZVE MY UKAVEM I DRUGOJ SPOSOB IZMENQTX RASSTOQNIE MEVDU STOLBCAMI).
˜ASTO W MATEMATIKE ISPOLXZU@TSQ MATRICY, GDE ^ASTX \LEMENTOW ZADANO
MNOGOTO^IQMI, NAPRIMER
a11 a12 : : : a1n 1
0
B a21 a22 : : : a2n C
B. .. . . . ... C
@.
. . A
am1 am2 : : : amn
w AMS-TEX'E DLQ POLU^ENIQ GORIZONTALXNYH MNOGOTO^IJ W MATRICAH IMEETSQ
KOMANDA \hdots, DLQ WERTIKALXNYH MNOGOTO^IJ | \vdots, A DLQ DIAGONALX-
NYH | \ddots. eSLI POMESTITX \TI MNOGOTO^IQ W SWOI SOBSTWENNYE STROKI I
STOLBCY, TO TAKU@ \OBOB]ENNU@" MATRICU MOVNO POLU^ITX TAK:
$$
\pmatrix
a_{11}&a_{12}&\hdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\hdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\hdots&a_{mn}
\endpmatrix
$$

oBOB]ENNAQ MATRICA MOVET ZADAWATXSQ I W DRUGOM WIDE:
a11 a12 : : : a1n 1
0
B a21 a22 : : : a2n C
B a31 : :: : :: : :: :: : :: : :: C
B C
:::::::::::::::::::: A
@
am1 am2 : : : amn
dLQ POLU^ENIQ MNOGOTO^IJ, ZANIMA@]IH NESKOLXKO KOLONOK PODRQD, ISPOLXZU-
ETSQ KOMANDA AMS-TEX'A \hdotsfor n, GDE n | \TO ^ISLO KOLONOK, KOTORYE
ZANIMA@T MNOGOTO^IQ. tAK, PRIWEDENNAQ WY E MATRICA BYLA POLU^ENA SLEDU-
@]IMI KOMANDAMI:
$$
\pmatrix
a_{11}&a_{12}&\hdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\hdots&a_{2n}\\
a_{31}&\hdotsfor 3\\
\hdotsfor 4\\
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
68
a_{m1}&a_{m2}&\hdots&a_{mn}
\endpmatrix
$$

zDESX \hdotsfor3 PROTQNULOSX ^EREZ WESX WTOROJ STOLBEC, A ^ASTX EGO (NA^ALO)
ZANIMAET OTDELQ@]IJ PROBEL \quad. ˜TOBY MNOGOTO^IE NA^INALOSX POSLE
\quad, NADO ISPOLXZOWATX DRUGIE KOMANDY:

$$
\pmatrix
a_{11}&a_{12}&\hdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\hdots&a_{2n}\\
a_{31}&\innerhdotsfor 3\after \quad\\
\hdotsfor 4\\
a_{m1}&a_{m2}&\hdots&a_{mn}
\endpmatrix
$$

kONSTRUKCIQ \innerhdotsfor : : : \after{ : : : } DAET TO^KI, ZAPOLNQ@]IE UKA-
ZANNOE ^ISLO STOLBCOW I NA^INA@]IESQ POSLE UKAZANNOGO POSLE \after INTER-
WALA. pERED \innerhdotsfor OBQZATELXNO DOLVEN STOQTX &.
mOVNO IZMENQTX RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI, POLU^AEMYMI \hdotsfor I
\innerhdotsfor, S POMO]X@ KOMAND

:::
\spacehdots h^ISLOi\for
::: :::
\spaceinnerhdots h^ISLOi\for \after

GDE h^ISLOi | \TO DESQTI^NOE ^ISLO. oBY^NO W \hdotsfor PRIMENQETSQ h^ISLOi=
1:5. bOLX EE h^ISLOi DAST BOLEE REDKIE TO^KI, A MENX EE | BOLEE BLIZKIE.
iNOGDA CENTRIROWANIE \LEMENTOW MOVET BYTX NEVELATELXNYM. nAPRIMER,
W MATRICE
a :1 1
a + b :11 11
a + b + c :111 111
FORMULY W PERWOM STOLBCE CENTRIROWANY, WTOROJ STOLBEC WYROWNEN PO LEWOMU
KRA@, A TRETIJ | PO LEWOMU. dLQ IZMENENIQ FORMATA MATRIC W AMS-TEX'E
IMEETSQ KONSTRUKCIQ \format : : : \\. pRIWEDENNAQ WY E MATRICA BYLA NA-
BRANA TAK:
$$\matrix \format\c&\quad\l&\quad\r\\
a&.1&1\\
a+b&.11&11\\
a+b+c&.111&111\\
\endmatrix
$$

sTROKA \format\c&\quad\l&\quad\r\\ ZADAET NOWYJ FORMAT: \c GOWORIT, ^TO
PERWYJ STOLBEC CENTRIRUETSQ, \quad\l | ^TO WTOROJ STOLBEC WYROWNEN PO
LEWOMU KRA@, I PERED NIM WSTAWLEN PROBEL W ODIN KWADRAT, \quad\r | ^TO
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 69
TRETIJ STOLBEC WYROWNEN PO PRAWOMU KRA@, I PERED NIM TAKVE WSTAWLEN PRO-
BEL W ODIN KWADRAT. eSLI W STROKE \format ... WMESTO & NABRATX &&, TO ^ASTX
\ ABLONA", KOTORYJ IDET DALX E, BUDET POWTORQTXSQ STOLXKO RAZ, SKOLXKO PO-
NADOBITSQ. nAPRIMER,
\format \l&&\quad\l \\

ZADAET FORMAT MATRICY, U KOTOROJ PERWYJ STOLBEC WYROWNEN SLEWA, A ZA NIM
SLEDUET PROIZWOLXNOE KOLI^ESTWO STOLBCOW, KAVDOJ IZ KOTORYH TAKVE WYROW-
NEN SLEWA I PERED NIM STOIT PROBEL W ODIN KWADRAT. aNALOGI^NO, ZNAK & W
SAMOM NA^ALE
\format &\quad\l \\

ZADAET PERIODI^ESKU@ STRUKTURU, OPREDELQ@]U@ PROIZWOLXNOE KOLI^ESTWO WY-
ROWNENNYH SLEWA I RAZDELENNYH PROBELOM W \quad STOLBCOW. kOMANDU \format
MOVNO ISPOLXZOWATX TAKVE I S \pmatrix I T.D.
mOVNO IZMENQTX I RASSTOQNIE MEVDU STROKAMI W MATRICE. ˜TOBY WSTAWITX
MEVDU DWUMQ STROKAMI PROBEL WELI^INOJ hRAZMERi, MOVNO PROSTO SRAZU POSLE
\\ NABRATX KOMANDU

\vspace{hRAZMERi}

˜TOBY UWELI^ITX RASSTOQNIE MEVDU WSEMI STROKAMI MATRICY, NET NEOBHODI-
MOSTI POSLE KAVDOJ STROKI POME]ATX \vspace, POSKOLXKU AMS-TEX IMEET KO-
MANDU \spreadmatrixlines. eSLI NABRATX W WYKL@^NOJ FORMULE
\spreadmatrixlines{hRAZMERi}

TO WO WSEH \matrix \TOJ FORMULY MEVSTRO^NOE RASSTOQNIE UWELI^ITSQ NA WE-
LI^INU hRAZMERi. eSLI NUVNO UWELI^ITX MEVSTRO^NOE RASSTOQNIE TOLXKO DLQ
ODNOJ MATRICY, NABERITE DLQ \TOJ MATRICY
{\spreadmatrixlines{hRAZMERi}\matrix
:::\endmatrix}

dO SIH POR RE^X LA O WYKL@^NYH MATRICAH, NO IH MOVNO ISPOLXZOWATX
I W TEKSTE ABZACA. iSPOLXZOWANIE \matrix W TEKSTE NE PRIWODIT K IZMENENI@
EE RAZMERA, TAK ^TO PROSTO POMESTIW \TU KOMANDU W TEKSTE ABZACA, POLU^ITSQ
^TO-TO WRODE 1 2 . |TO NE SOWSEM KRASIWO, I WAM, SKOREE WSEGO, BOLX E
34
PONRAWITSQ TAKOJ WARIANT: 1 2 , KOTORYJ POLU^AETSQ KOMANDAMI
34

$\left(\smallmatrix 1&2\\
3&4\endsmallmatrix\right)$

wARIANTOW \smallpmatrix I IM PODOBNYH NE SU]ESTWUET, PO\TOMU NEOBHODI-
MYE OGRANI^ITELI SLEDUET ZADAWATX QWNO. dLQ \smallpmatrix MOVNO ZADAWATX
\format I \vspace, NO NELXZQ ISPOLXZOWATX \spreadmatrixline.
sLEDUET POMNITX, ^TO \matrix W Plain TEX'E I AMS-TEX'E IMEET SOWER ENNO
RAZNYJ SINTAKSIS.
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
70
4.15. oPREDELENIQ PERE^ISLENIEM SLU^AEW
wYKL@^NYE FORMULY ^ASTO ISPOLXZU@T FIGURNYE SKOBKI, ^TOBY UKAZATX WY-
BOR MEVDU RAZLI^NYMI ALXTERNATIWAMI, KAK W KONSTRUKCII
x ESLI x 0
jxj =
;x INA^E:
tAKIE KONSTRUKCII NAZYWA@TSQ OPREDELENIQMI PERE^ISLENIEM SLU^AEW I ZADA-
@TSQ KOMANDAMI \cases : : : \endcases:
$$
\vert x\vert=\cases x,&\text{ESLI $x\ge0$ }\
-x,&\text{INA^E}.\endcases
$$

kAVDYJ IZ SLU^AEW IMEET DWE ^ASTI, KOTORYE RAZDELQ@TSQ SIMWOLOM &. wSE
\LEMENTY OBRABATYWA@TSQ W MATEMATI^ESKOJ MODE, PO\TOMU DLQ WKL@^ENIQ
TEKSTA SLEDUET ISPOLXZOWATX KOMANDU \text. pROBELY POSLE & IGNORIRU@TSQ.
sLU^AEW MOVET BYTX L@BOE KOLI^ESTWO, NO NE MENX E DWUH. zA KAVDYM SLU-
^AEM, KROME POSLEDNEGO, DOLVEN SLEDOWATX \\. nE SLEDUET ZABYWATX I O ZNAKAH
PREPINANIQ. zAMETIM, ^TO KONSTRUKCIQ \cases PE^ATAET SWO@ SOBSTWENNU@ f
BEZ PARNOJ EJ g.
pRIWEDEM E]E ODIN PRIMER, SOSTOQ]IJ IZ TREH SLU^AEW
8
> 1=3 ESLI 0 x 1
<
f(x) = > 2=3 ESLI 3 x 4
0 W DRUGIH SLU^AQH.
:

KOTORYJ BYL POLU^EN KOMANDAMI
$$
f(x)=\cases 1/3&\text{ESLI $0\le x\le 1$ }\\
2/3&\text{ESLI $3\le x\le 4$ }\\
0&\text{W DRUGIH SLU^AQH.}
\endcases
$$

tAK VE, KAK I W MATRICAH, W \cases MOVNO IZMENQTX I RASSTOQNIE MEVDU
STROKAMI. ˜TOBY WSTAWITX MEVDU DWUMQ STROKAMI PROBEL WELI^INOJ hRAZMERi,
MOVNO PROSTO SRAZU POSLE \\ NABRATX KOMANDU
\vspace{hRAZMERi}

˜TOBY UWELI^ITX RASSTOQNIE MEVDU WSEMI STROKAMI \cases, MOVNO ISPOLXZO-
WATX KOMANDU \spreadmatrixlines. eSLI NABRATX W WYKL@^NOJ FORMULE
\spreadmatrixlines{hRAZMERi}

TO WO WSEH \cases \TOJ FORMULY MEVDUSTRO^NOE RASSTOQNIE UWELI^ITSQ NA
WELI^INU hRAZMERi. eSLI NUVNO UWELI^ITX MEVSTRO^NOE RASSTOQNIE TOLXKO
DLQ ODNOGO \cases, NABERITE DLQ NEGO
:::
{\spreadmatrixlines{hRAZMERi}\cases \endcases}
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 71
dO SIH POR RE^X LA O WYKL@^NYH FORMULAH, NO \cases NE ZAPRE]AETSQ IS-
POLXZOWATX I W OBY^NOJ MATEMATI^ESKOJ MODE W TEKSTE ABZACA. iSPOLXZOWANIE
\cases W TEKSTE 8 PRIWODIT K IZMENENI@ EE RAZMERA, TAK ^TO TAM POLU^ITSQ
NE
<
^TO-TO WRODE jxj=: x : : : . wRQD LI \TO KOMU-NIBUDX PONRAWITSQ, NO WARIAN-
;x : : :
TOW, ANALOGI^NYH \smallmatrix, NE SU]ESTWUET,
sLEDUET POMNITX, ^TO, KAK I \matrix, \cases W Plain TEX'E I AMS-TEX'E
IMEET SOWER ENNO RAZNYJ SINTAKSIS.
4.16. kOMMUTATIWNYE DIAGRAMMY
PREKRASNO SPRAWLQETSQ S PROSTYMI KOMMUTATIWNYMI DIAGRAM-
AMS-TEX
MAMI (BEZ DIAGONALXNYH STRELOK). dLQ \TOJ CELI ISPOLXZUETSQ KONSTRUKCIQ
\CD : : : \endCD. w KOMANDNYH SKOBKAH \CD KOMANDY @>>>, @<<<, @VVV I @AAA
DA@T, SOOTWETSTWENNO, PRAWU@ STRELKU, LEWU@ STRELKU, STRELKU WNIZ I STRELKU
WWERH MINIMALXNOGO RAZMERA. dLQ GORIZONTALXNYH STRELOK, MATERIAL MEVDU
PERWYM I WTORYM SIMWOLAMI > ILI < PE^ATAETSQ W WIDE WERHNEGO INDEKSA, A MA-
TERIAL MEVDU WTORYM I TRETXIM SIMWOLAMI | W WIDE NIVNEGO INDEKSA. eSLI
WYRAVENIE, POME]AEMOE NAD ILI POD GORIZONTALXNYMI STRELKAMI, DOSTATO^NO
DLINNOE, \TI GORIZONTALXNYE STRELKI AWTOMATI^ESKI UWELI^IWA@TSQ. aNALO-
GI^NO, MATERIAL MEVDU PERWYM I WTORYM ILI WTORYM I TRETXIM SIMWOLAMI A
ILI V WERTIKALXNYH STRELOK BUDET PE^ATATXSQ KAK LEWYJ ILI PRAWYJ \BOKOWOJ
INDEKS". nAPRIMER, KOMMUTATIWNAQ DIAGRAMMA
A B
;;!
;;
? x
? ?
() y ?

A0 B0
;;!
;;

BYLA POLU^ENA SLEDU@]IMI KOMANDAMI
$$
\CD
A @>\alpha>> B\\
@V\gamma VV @AA\delta A\\
A' @>>\beta> B'
\endCD \tag{$*$}
$$

eSLI NUVNA TOLXKO ^ASTX KOMMUTATIWNOJ DIAGRAMMY (BEZ KAKOGO-NIBUDX
\UGLA" ILI STRELKI, TO WMESTO OTSUTSTWU@]EGO UGLA MOVNO OSTAWITX PUSTOE
MESTO (ILI POMESTITX {}), A WMESTO OTSUTSTWU@]EJ STRELKI POSTAWITX @.. tAK,
POLU^ITX \USE^ENNYJ" WARIANT DIAGRAMMY ( )
A B
;;!
;;
x
() ?
?

B0
MOVNO KOMANDAMI
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
72
$$
\CD
A @>\alpha>> B\\
@. @AA\delta A\\
\. B'
\endCD \tag{ }
$$

iNOGDA W KOMMUTATIWNYH DIAGRAMMAH NEKOTORYE STRELKI ZAMENQ@TSQ NA
PARY GORIZONTALXNYH I WERTIKALXNYH PRQMYH, KOTORYE POLU^A@TSQ, SOOTWET-
STWENNO, KOMANDAMI @= I @| (ILI @\vert). nAPRIMER, PREOBRAZUEM UVE ZNAKO-
MU@ NAM DIAGRAMMU
A B
;;!
;;
x
( ) ?
?

A0 B0
SLEDU@]IMI KOMANDAMI:
$$ \CD
A @>\alpha>> B\\
@|@AA\delta A\\
A' @= B'
\endCD \tag{$***$}
$$

kONE^NO VE, SOWSEM NE OBQZATELXNO DIAGRAMMA DOLVNA IMETX TOLXKO ^ETYRE
UGLOWYH \LEMENTA, SOEDINENNYH STRELKAMI I PRQMYMI. mOVNO POLU^ATX DIA-
GRAMMY, SOSTOQ]IE IZ MNOVESTWA STROK I STOLBCOW. dLQ PRIMERA NESKOLXKO
RAS IRIM NA U HORO O ZNAKOMU@ DIAGRAMMU:
A B C
;;!
;; ;;!
;;
? x
? ?
y ?

A0 B0 C0
? x
? ?
y ?

E0 F0 G0
;;!
;; ;;!
;;

^TO BYLO POLU^ENO TAKIMI KOMANDAMI:
$$ \CD
A @>\alpha>> B @>\beta>>C\\
@V\gamma VV @\vert @AA\delta A\\
A' @= B' @= C'\\
@V\epsilon VV @\vert @AA\zeta A\\
E' @>>\iota> F' @>>\kappa> G'
\endCD $$
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 73
k SOVALENI@, W NASTOQ]EJ WERSII \CD GORIZONTALXNYE STRELKI ODNOGO STOLBCA
NE USTANAWLIWA@TSQ W ODNU DLINU, I TO, ^TO ODNA IZ STRELOK BYLA UWELI^ENA IZ-
ZA DLINNOGO TEKSTA NAD NEJ, WOWSE NE OZNA^AET, ^TO BUDUT UWELI^ENY I DRUGIE.
tAK, NAPRIMER, ESLI W DIAGRAMME ( ) NAD WERHNEJ STRELKOJ WMESTO POSTAWITX
DLINNU@ NADPISX, TO POLU^ITSQ:
DLINNAQ NADPISX
A B
;; ; ; ;!
; ; ;; ; ;
? x
? ?
y ?

A0 B0
;;!
;;

˜TOBY AMS-TEX RASTQNUL I NIVN@@ STRELKU, NADO SDELATX TAK, ^TOBY TEKST
BYL TOJ VE IRINY, ^TO I DLINNAQ NADPISX. |TO MOVNO SDELATX, ISPOLXZUQ
KONSTRUKCI@ \pretend : : : \haswidth : : : (\SDELAJ : : : IME@]IM IRINU : : : ").
eSLI OPREDELITX NOWU@ KOMANDU \bottomarrow, KOTORAQ DAET GORIZONTALXNU@
STRELKU, POME]AQ POD NEJ , NO PRI \TOM S^ITAQ, ^TO IRINA RAWNA IRINE
DLINNAQ NADPISX I EE ISPOLXZOWATX WMESTO TRADICIONNOJ NIVNEJ STRELKI

$$
\define\bottomarrow{@>>\pretend\beta\haswidth
{\text{DLINNAQ NADPISX}}>}
\CD
A @>\text{DLINNAQ NADPISX}>> B\\
@V\gamma VV @AA\delta A\\
A' \bottomarrow B'
\endCD $$

TO POLU^ITSQ PRAWILXNYJ REZULXTAT
DLINNAQ NADPISX
A B
;; ; ; ;!
; ; ;; ; ;
? x
? ?
y ?

A0 B0
;; ; ; ;!
; ; ;; ; ;

iNOGDA BYWAET NUVNO UKOROTITX STRELKI W DLINNOJ DIAGRAMME, SKAVEM,
^TOBY POMESTITX EE NA STRANICE. eSLI NABRATX
\minCDarrowwidthhRAZMERi

TO MINIMALXNAQ DLINA STRELOK BUDET RAWNA hRAZMERi. kOMANDU \minCDarrowwidth
MOVNO ISPOLXZOWATX TOLXKO W WYKL@^NOJ MATEMATI^ESKOJ MODE.
4.17. fORMULY W RAMKAH
fORMULU (KAK W TEKSTE ABZACA, TAK I WYKL@^NU@) MOVNO ZAKL@^ITX W RAMKU.
|TO WYPOLNQET KOMANDA \boxed. nAPRIMER, ESLI PRQMO W \TOM ABZACE POME-
STITX $\boxed{x+y}$, TO POLU^ITSQ x + y , A ESLI WWESTI $$\boxed{x+y.}$$,
TO POLU^ITSQ
x + y:
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
74
mOVNO POLU^ATX I DWOJNYE RAMO^KI, DWAVDY ISPOLXZUQ KOMANDU \boxed.
nAPRIMER, ESLI WWESTI
$$\text{fUNDAMENTALXNYJ REZULXTAT:}
\qquad\boxed{\boxed{2\times2=4.}}$$
TO POLU^ITSQ
fUNDAMENTALXNYJ REZULXTAT: 2 2 = 4:
kROME TOGO, FORMULA W RAMKE MOVET IMETX METKU \tag, NO \TU METKU NI W
KOEM SLU^AE NELXZQ POME]ATX WNUTRX \boxed, A SLEDUET STAWITX PERED ZAKRY-
WA@]IMI ZNAKAMI $$.
4.18. mNOGOTO^IQ
dLQ POLU^ENIQ MNOGOTO^IJ W MATEMATI^ESKOJ MODE W AMS-TEX'E ESTX KO-
MANDY \ldots DLQ TO^EK NA OSNOWANII STROKI (: : :) I \cdots DLQ POLU^ENIQ
TO^EK ( ), WERTIKALXNO CENTRIROWANNYH NA STROKE. mOVNO TAKVE ISPOLXZO-
WATX UNIWERSALXNU@ KOMANDU \dots. |TA KOMANDA RABOTAET KAK UPRAWLQ@]AQ
POSLEDOWATELXNOSTX S ODNIM ARGUMENTOM | NA OSNOWE SLEDU@]EGO SIMWOLA W
FORMULE RE AET, KAKOGO RODA TO^KI NADO ISPOLXZOWATX. kOMANDA \dots AWTO-
MATI^ESKI PREOBRAZUETSQ W ODNU IZ ^ETYREH KOMAND:
\dotsc TO^KI PERED ZAPQTOJ (ILI TO^KOJ S ZAPQTOJ),
\dotsb TO^KI MEVDU BINARNYMI OPERATORAMI I OTNO ENIQMI,
\dotsi TO^KI MEVDU ZNAKAMI INTEGRALA,
\dotso TO^KI, ISPOLXZUEMYE WO WSEH DRUGIH SLU^AQH.
nAPRIMER, KOGDA WY ISPOLXZUETE \dots W MATEMATI^ESKOJ MODE, AMS-TEX TRANS-
LIRUET \TO W \dotsc, A TO, KAKIMI \TI TO^KI W REZULXTATE POLU^ATSQ, BUDET
OPREDELQTX TOT STILX, KOTORYJ WY ISPOLXZUETE. w STILE amsppt POLU^ITSQ
MNOGOTO^IE NA OSNOWANII STROKI, W TO WREMQ KAK DRUGOJ STILX MOVET DATX
MNOGOTO^IE W EE SEREDINE, TAKIM OBRAZOM, KONKRETNYJ WID TO^EK ZAWISIT OT
STILQ I SLEDU@]EGO SIMWOLA FORMULY. nO BYWA@T SITUACII, KOGDA SLEDU@-
]EGO SIMWOLA NET. w \TIH SLU^AQH \dots PROSTO WYBIRAET \dotso. pO\TOMU,
ESLI FORMULA ZAKAN^IWAETSQ TO^KAMI, LU^ E QWNO UKAZATX AMS-TEX'U, KAKOGO
IMENNO WIDA TO^KI NUVNY.
eSTX ODNA SITUACIQ, KOGDA \dots SAM SPRAWITXSQ NE MOVET. rASSMOTRIM
PREDLOVENIE
oB_EM TAKOGO OB_EKTA, HARAKTERIZUEMOGO TO^KAMI A1 A2 A3A4 , O^E-
WIDNO RAWEN x1 x2x3x4 , A W OB]EM SLU^AE OB_EM OB_EKTA, HARAKTERI-
ZUEMOGO TO^KAMI A1A2 A3 : : :An , RAWEN x1x2 x3 : : :xn .
w FORMULE A1 A2 A3A4 BUKWY A1, A2 , A3 I A4 PROSTO PERE^ISLQ@TSQ ODNA ZA
DRUGOJ. nO W FORMULE x1x2x3 x4 TAKOE RASPOLOVENIE SIMWOLOW OZNA^AET UMNO-
VENIE | \TA FORMULA NA SAMOM DELE PREDSTAWLQET SOBOJ SOKRA]ENNU@ ZAPISX
x1 x2 x3 x4 ILI x1 x2 x3 x4 . aNALOGI^NO, W POSLEDNEJ FORMULE \TOGO PRED-
LOVENIQ RASPOLOVENIE SIMWOLOW x1 , x2, : : : PREDSTAWLQET SOBOJ BINARNU@ OPE-
RACI@ UMNOVENIQ, KOTORU@ NEKOTORYE AWTORY L@BQT NABIRATX KAK $x_1x_2x
_3\dotsb x_n$, ^TOBY POLU^ITX x1 x2x3 xn. w IDEALE STILX DOLVEN SAM
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 75
OPREDELQTX, NUVNO LI ISPOLXZOWATX W TAKIH SLU^AQH \dotsb WMESTO \dotso,
NO AMS-TEX NE MOVET PONQTX, IMEETSQ LI W WIDU UMNOVENIE, ILI \TO PROSTOE
PERE^ISLENIE. oDNAKO AMS-TEX MOVET PREDOSTAWITX WAM DRUGOE SREDSTWO |
\dotsm, ISPOLXZUEMOE MEVDU PEREMNOVAEMYMI SIMWOLAMI. eSLI NABRATX
$x_1x_2x_3\dotsm x_n$
TO STILX BUDET OPREDELQTX, PREWRATITX LI \dotsm W \dotsb ILI W \dotso.
pERED BINARNOJ OPERACIEJ \times KOMANDA \dots AWTOMATI^ESKI DAET \dotsb:
x1 x2 xn
$x_1\times x_2\times\dots\times x_n$
nO W SLEDU@]EM SLU^AE AMS-TEX DELAET ISKL@^ENIE IZ TOGO PRAWILA, ^TO
\dots, ZA KOTORYM SLEDUET BINARNAQ OPERACIQ, DAET \dotsb:
x1 x2 : : : xn
$x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n$
eSLI WY NA SAMOM DELE HOTITE OTCENTRIROWATX ZDESX TO^KI, WAM SLEDUET NABI-
RATX
x1 x2 xn
$x_1\cdot x_2\cdot\,\cdots\,\cdot x_n$
(tONKIE PROBELY ZDESX OTDELQ@T CENTRIROWANNOE MNOGOTO^IE OT SOSEDNIH CEN-
TRIROWANNYH TO^EK, OBOZNA^A@]IH UMNOVENIE).
kOMANDA \dots PREKRASNO PREOBRAZUETSQ W NUVNYJ WID, KOGDA ONA STOIT
MEVDU UVE IZWESTNYMI AMS-TEX'U SIMWOLAMI, NO PRIHODIT W ZAME ATELX-
STWO, KOGDA WSTRE^AETSQ S NOWYMI SIMWOLAMI,1OPREDELENNYMI POLXZOWATELQMI.
R
nAPRIMER, ESLI OPREDELITX NOWYJ SIMWOL ;infty (SM. 7. oPREDELENIE NO-
WYH KOMAND) KAK
\define\Int{\int_{-infty}^\infty}
TO W KONSTRUKCII \Int\dots\Int POLU^ITSQ NE \dotsi, A \dotso. rE ITX TA-
KOGO RODA PROBLEMU POMOGA@T KOMANDY \DOTSI I \DOTSB. sAMI ONI NE DA@T
NIKAKIH SIMWOLOW, NO, NAHODQSX W NA^ALE OPREDELENIQ NOWOJ KOMANDY, SOOB-
]A@T TEX'U, ^TO KOMANDU \dots, ESLI ONA OKAVETSQ RQDOM, NADO PREWRATITX
W, SOOTWETSTWENNO, \dotsi ILI \dotsb. nAPRIMER, ESLI WY EUPOMQNUTU@ KO-
MANDU \Int OPREDELITX KAK
\define\Int{\DOTSI\int_{-infty}^\infty}
TO W KONSTRUKCII \Int\dots\Int POLU^ITSQ IMENNO \dotsi.
uPOMQNEM E]E OB ODNOJ TONKOSTI: ESLI MNOGOTO^IE STOIT PERED ZNAKOM PRE-
PINANIQ ILI PERED PRAWYM OGRANI^ITELEM, TO ONO OTDELQETSQ TONKIM PROBE-
LOM. nO OPQTX-TAKI \TO KASAETSQ TOLXKO UVE IZWESTNYH OGRANI^ITELEJ I NE
SRABATYWAET S PRAWYMI OGRANI^ITELQMI, OPREDELENNYMI POLXZOWATELEM. pO-
\TOMU PRI OPREDELENII TAKIH NOWYH OGRANI^ITELEJ NADO ISPOLXZOWATX KOMANDU
\DOTSX (ANALOGI^NO TOLXKO ^TO OPISANNYM KOMANDAM \DOTSI I \DOTSB). nAPRI-
MER, ESLI OPREDELITX
\define\){\right)}
TO MNOGOTO^IE PERED \right\) AWTOMATI^ESKI BUDET OTDELQTXSQ TONKIM PROBE-
LOM.
pOLU^ENIE MNOGOTO^IJ W MATRICAH | \TO TEMA OTDELXNOGO OBSUVDENIQ (SM.
RAZDEL 4.14. mATRICY).
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
76
4.19. nUMERACIQ WYKL@^NYH FORMUL
w MATEMATI^ESKIH RABOTAH DLQ UDOBSTWA SSYLOK NA FORMULY IH PRINQTO \NUME-
ROWATX", T.E. POME]ATX SBOKU OT NIH RAZLI^NYE METKI. dLQ NUMERACII FORMUL
AMS-TEX ISPOLXZUET KOMANDU \tag ..., KOTORAQ POME]AETSQ NEPOSREDSTWENNO
PERED ZAKRYWA@]IMI $$. dOSTATO^NO NABRATX
$$x=y\tag3-1$$
I POLU^ITSQ
(3-1) x=y
w ZAWISIMOSTI OT STILQ AMS-TEX AWTOMATI^ESKI WYBERET PODHODQ]EE MESTO
DLQ METKI, OFORMIT EE SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM (W DANNOM SLU^AE POSTAWIT
WOKRUG NEE KRUGLYE SKOBKI), A ESLI FORMULA OKAVETSQ SLI KOM DLINNOJ, PO-
MESTIT METKU NA OTDELXNOJ STROKE:
(3-1)
O^ENX DLINNAQ FORMULA a + b + c + d + e + + x + y + z OKAN^IWA@]AQSQ ZDESX
w STILE amsppt METKI POME]A@TSQ SLEWA OT FORMULY.
nET NEOBHODIMOSTI NABIRATX $$ : : : \tag3-1$$ S FIGURNYMI SKOBKAMI WO-
KRUG METKI: AMS-TEX ZNAET, ^TO METKA | \TO WSE, ^TO RASPOLAGAETSQ MEVDU
\tag I ZAKRYWA@]IMI ZNAKAMI $$. sKOBKI WOKRUG METKI STAWQTSQ AWTOMA-
TI^ESKI W NEKOTORYH STILQH PRIMENQ@TSQ INYE SPOSOBY OFORMLENIQ METKI,
NAPRIMER 3-1] ILI 3-1 I T.D. mETKA OBRABATYWAETSQ KAK OBY^NYJ TEKST, A NE
KAK FORMULY W MATEMATI^ESKOJ MODE, TAK ^TO - I -- DA@T DEFIS I KOROTKOE
TIRE, A NE ZNAKI MINUSA.
w STILE amsppt NUMERACI@ FORMUL SLEWA MOVNO ZAMENITX NUMERACIEJ SPRAWA,
WWEDQ KOMANDU \TagsOnRight. ˜TOBY WERNUTX NUMERACI@ SLEWA, NADO WWESTI
\TagsOnLeft. |TI KOMANDY \GLOBALXNYE": ONI DEJSTWU@T NA WESX POSLEDU@-
]IJ TEKST, DAVE ESLI ISPOLXZU@TSQ WNUTRI GRUPPY { : : : } ILI WNUTRI MATE-
MATI^ESKOJ MODY. vURNALXNYE STILI TAKIE INSTRUKCII OBY^NO IGNORIRU@T
I OSTAWLQ@T SWOJ SPOSOB RAZME]ENIQ METKI.
wAM SLEDUET WYBRATX LIBO \TagsOnLeft (^TO ZADAETSQ AWTOMATI^ESKI W STILE
amsppt), LIBO \TagsOnRight. nE PYTAJTESX ISPOLXZOWATX \TI UPRAWLQ@]IE PO-
SLEDOWATELXNOSTI DLQ TOGO, ^TOBY NA ^ETNYH STRANICAH POLU^ITX NUMERACI@
SLEWA, A NA NE^ETNYH | SPRAWA! |TO SOWER ENNO INOJ STILX.
eSLI U WAS MASSA FORMUL, METKAMI KOTORYH QWLQ@TSQ MATEMATI^ESKIE WYRA-
VENIQ TIPA (A1 ) I (A0 ) ILI ( ) I ( ), A ^ISTO TEKSTOWYE SIMWOLY (TIPA DEFISOW
I TIRE) W METKAH ISPOLXZU@TSQ REDKO, TO WY MOVETE PREDLOVITX AMS-TEX'U
TRAKTOWATX NOMERA FORMUL KAK MATEMATI^ESKIE FORMULY \tag{$A_2$}, A NE
KAK TEKST. dLQ \TOGO NADO WWESTI KOMANDU \TagsAsMath A \TagsAsText WERNET
PROTIWOPOLOVNOE SOGLA ENIE. |TI KOMANDY TAKVE \GLOBALXNYE". vURNALX-
NYE STILI TAKIE INSTRUKCII NE IGNORIRU@T.
w NEKOTORYH STILQH NOMERA FORMUL WERTIKALXNO CENTRIRU@TSQ DAVE DLQ
FORMUL, RAZBITYH NA NESKOLXKO STROK (SM. 4.21. mNOGOSTRO^NYE FOR-
MULY). |TO MOVNO SDELATX I W STILE amsppt, ESLI WWESTI KOMANDU
\CenteredTagsOnSplit
a ZATEM MOVETE WERNUTXSQ K OBY^NOMU POZICIONIROWANI@ NOMEROW:
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 77
\TopOrBottomTagsOnSplit

|TO TAKVE \GLOBALXNYE" KOMANDY. eSLI WAM NUVNO POLU^ITX WERTIKALXNO
CENTRIROWANNYJ NOMER TOLXKO DLQ ODNOJ RAZBITOJ NA NESKOLXKO STROK FOR-
MULY, \TI UPRAWLQ@]IE POSLEDOWATELXNOSTI ISPOLXZOWATX NE NUVNO PROSTO
NABERITE TAKU@ FORMULU KAK \aligned.
wAM MOVET PONADOBITXSQ OTKAZATXSQ OT PRINQTOGO W DANNOM STILE SPOSOBA
OFORMLENIQ METKI DLQ KAKOJ-NIBUDX KONKRETNOJ FORMULY. nAPRIMER, NUVNO
POLU^ITX DLQ DANNOJ FORMULY VIRNYJ NOMER W VIRNYH SKOBKAH (3). dLQ
\TOGO MOVNO ISPOLXZOWATX \tag S \ARGUMENTOM W WIDE LITERY". nABERITE
:::
$$ \tag"\bf(3)" $$

I NOMER POQWITSQ TO^NO W TOM WIDE, KAK WY EGO NABRALI MEVDU DWOJNYMI KA-
WY^KAMI.
eSLI WNUTRI TEKSTA NUVNO SOSLATXSQ NA FORMULU (17), TO W RAZNYH STILQH
\TO MOVET DELATXSQ PO-RAZNOMU, NAPRIMER, 17] ILI 17. pO \TOMU POWODU AMS-
TEX PREDLAGAET WAM NABIRATX \thetag{17} TOGDA WY POLU^ITE IMENNO TO, ^TO
PRINQTO W DANNOM STILE.
4.20. wYRAWNIWANIE WYKL@^NYH FORMUL
eSLI W MATEMATI^ESKOJ RABOTE WSTRE^A@TSQ NESKOLXKO WYKL@^NYH FORMUL POD-
RQD, TO IH ^ASTO NADO WYRAWNIWATX PO KAKOMU-NIBUDX SIMWOLU. nAPRIMER
max(f g) = f + g + jf ; gj
(1) 2
max(f ;g) = f ; g + jf + gj :
(2) 2
zDESX SDELANO WYRAWNIWANIE PO ZNAKAM =, A ZATEM OBE FORMULY RASPOLOVENY
PO CENTRU KAK ODNO CELOE. |TO DOSTIGAETSQ PRI POMO]I KONSTRUKCII AMS-
TEX'A \align:
$$\align
\max(f,g) &=\frac{f+g+|f-g|}2, \tag1 \\
\max(f,-g) &=\frac{f-g+|f+g|}2. \tag2
\endalign$$

nELXZQ NI^EGO POME]ATX MEVDU OTKRYWA@]IMI $$ I \align, A TAKVE MEVDU
\endalign I ZAKRYWA@]IMI $$. fORMULY W TAKOJ GRUPPE RAZDELQ@TSQ ZNAKAMI
\\ (NO POSLE POSLEDNEJ FORMULY \TI ZNAKI NE STAWQTSQ). l@BAQ IZ FORMUL MO-
VET IMETX NOMER, POLU^AEMYJ, KAK OBY^NO, KOMANDOJ \tag, KOTORAQ POME]A-
ETSQ W SAMOM KONCE FORMULY (PERED \\ ILI PERED \endalign). wYRAWNIWANIE
PROISHODIT, KONE^NO VE, NE OBQZATELXNO PO ZNAKAM RAWENSTWA, A PO TEM SIMWO-
LAM, NEPOSREDSTWENNO PERED KOTORYMI STOIT ZNAK &.
dLQ POLU^ENIQ TEKSTA, RASPOLAGA@]EGOSQ MEVDU STROKAMI GRUPPY WYROW-
NENNYH FORMULY I NE NARU A@]EGO IH WYRAWNIWANIQ, ISPOLXZUETSQ KOMANDA
:::
\intertext{ }
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
78
KOTORAQ POME]AETSQ MEVDU DWUMQ STROKAMI. nAPRIMER, ^TOBY POLU^ITX
mY IMEEM
X = (;1)i+j;k=3+ ] Z1 + (;1) = ; i+j=2 i+k=3]Z2
PO SWOJSTWAM (a){(d) IZ , U^ITYWAQ KOMMUTATIWNOSTX KOLXCA,
= Z1 + Z2
^TO DAET TREBUEMU@ FORMULU.
S PREKRASNO WYROWNENNYMI ZNAKAMI =, NADO WWESTI
mY IMEEM
$$
\align X&= (-1)^{i+j-k/3+* \alpha,\beta]}Z_1
+(-1)^{\alpha/\beta-* i+j/2,i+k/3]}Z_2\\
\intertext{PO SWOJSTWAM (a)--(d) IZ $*$,
U^ITYWAQ KOMMUTATIWNOSTX KOLXCA,}
&=\alpha Z_1+\beta Z_2,
\endalign
$$
^TO DAET TREBUEMU@ FORMULU.

dLQ PEREHODA NA NOWYJ ABZAC W \intertext NELXZQ PRIMENQTX \par ILI PUSTU@
STROKU, POTOMU ^TO W MATEMATI^ESKOJ MODE \par NEDOPUSTIM. wMESTO \TOGO IS-
POLXZUETSQ KOMANDA \endgraf. w PERWOJ STROKE W \intertext ABZACNYJ OTSTUP
NE DELAETSQ (ESLI TOLXKO PERED NEJ NE STOIT \endgraf). zA ISKL@^ENIEM RED-
KIH SLU^AEW, ISPOLXZOWANIE \intertext S^ITAETSQ DURNYM TONOM (WO WSQKOM
SLU^AE, TAK PI ET sPIWAK W wOSHITELXNYJ TEX).
kONSTRUKCIQ \align POLU^AET WYROWNENNYE FORMULY, IRINA KOTORYH S^I-
TAETSQ RAWNOJ IRINE STRANICY. iNOGDA VE NADO PROSTO SOBRATX NESKOLXKO
WYROWNENNYH FORMUL W ODIN FORMULXNYJ MASSIW, I W ODNOJ WYKL@^KE ISPOLX-
ZOWATX NESKOLXKO TAKIH MASSIWOW:
8
= f(z) 9 ( )
> >
x= 2;
< =
= f(z >
2)
:
y=2
>
:
= f(z 3 )
dLQ OBRABOTKI TAKOGO WYKL@^NOGO MATERIALA AMS-TEX PREDOSTAWLQET \aligned
: : : \endaligned. kONSTRUKCIQ \aligned : : : \endaligned O^ENX POHOVA NA
\align : : : \endalign S TEM OTLI^IEM, ^TO POSLEDNQQ UKAZYWAET TEX'U WY-
ROWNQTX POSLEDOWATELXNOSTX STROK PO WSEJ IRINE STRANICY, A PERWAQ SOZDAET
ODIN WYROWNENNYJ MASSIW, KOTORYJ RASS^ITYWAETSQ NA IRINU, DOSTATO^NU@
DLQ WSEH WHODQ]IH W NEGO FORMUL, I S KOTORYM ZATEM MOVNO OBRA]ATXSQ, KAK S
ODNIM SIMWOLOM. pRIWEDENNAQ WY E WYKL@^NAQ FORMULA BYLA POLU^ENA TAK:
$$
\left\{
\aligned \alpha&=f(z)\\ \beta&=f(z^2)\\
\gamma&=f(z^3)\endaligned
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 79
\right\}\qquad\left\{
\aligned x&=\alpha^2-\beta\\ y&=2\gamma\endaligned \right\}.
$$

kOGDA \aligned : : : \endaligned ZANIMAET WS@ WYKL@^NU@ FORMULU, RE-
ZULXTAT WYGLQDIT TO^NO TAK VE, KAK ESLI BY BYLO ISPOLXZOWANO \align : : :
\endalign. nO W \TIH DWUH KONSTRUKCIQH SOWER ENNO PO-RAZNOMU RABOTAET
\tag. w SLU^AE \align METKI \tag MOVNO STAWITX POSLE KAVDOJ FORMULY I NE-
LXZQ POSTAWITX \tag POSLE \endalign. w SLU^AE \aligned SITUACIQ PRQMO PRO-
TIWOPOLOVNAQ: POSKOLXKU WSE \TO ODIN OB_EKT, NELXZQ SNABDITX METKOJ \tag
OTDELXNYE STROKI, NO MOVNO POSTAWITX \tag POSLE \endaligned. nAPRIMER,
WWOD
$$\aligned \alpha&=f(z)\\
\beta&=f(z^2)\\
\gamma&=f(z^3)\endaligned\tag 22
$$

DAET
= f(z)
= f(z 2 )
(22)
= f(z 3 )
w KONSTRUKCII \aligned NELXZQ ISPOLXZOWATX NI KOMANDY RAZRYWA STRA-
NICY \allowdisplaybreak s] I \displaybreak, OPISANNYE NIVE (SM. rAZRYW
STRANIC W WYKL@^NYH FORMULAH), NI \intertext.
kAK POKAZANO W PREDYDU]EM PRIMERE, RAZLI^NYE \aligned, RASPOLOVENNYE
W ODNOJ WYKL@^KE NA ODNOJ STROKE, WYRAWNIWA@TSQ PO IH CENTRU. iME@TSQ
TAKVE \topaligned I \botaligned, W KOTORYH WYRAWNIWANIE PROISHODIT PO
WERHNIM ILI NIVNIM STROKAM.
iNOGDA BYWAET NUVNO WYROWNQTX FORMULY BOLEE ^EM PO ODNOJ POZICII. nA-
PRIMER, W WYKL@^NOJ FORMULE
DLQ i 6= j
(23) Vi = vi ; qi vj Xi = xi ; qi xj Ui = ui
X
(24) Vj = vj Xj = xj Uj = uj + qiui:
i6=j
WYRAWNIWANIE PO ZNAKU = PROWEDENO W TREH MESTAH. |TO DOSTIGAETSQ PRI PO-
MO]I SREDSTWA AMS-TEX'A \alignat. pRIWEDENNAQ WY E FORMULA BYLA NA-
BRANA TAK:
$$
\alignat 3
V_i & =v_i-q_iv_j, & \qquad X_i & =x_i-q_ix_j,
& \qquad U_i & =u_i,\qquad\text{DLQ $i\ne j$ }\tag 23\\
V_j & =v_j, & \qquad X_j & =x_j,
& \qquad U_j & =u_j+\sum_{i\ne j}q_iu_i. \tag 24
\endalignat
$$
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
80
sRAZU POSLE \alignat NUVNO UKAZATX KOLI^ESTWO PAR FORMUL, KOTORYE WY HO-
TITE WYROWNQTX. pOSKOLXKU U NAS \alignat 3, KAVDAQ STROKA SODERVIT 3 PARY
FORMUL SO ZNAKOM & MEVDU \TIMI FORMULAMI W KAVDOJ PARE. kROME TOGO, ZNAK
& NEOBHODIM MEVDU PERWOJ I WTOROJ PARAMI FORMUL, A TAKVE MEVDU WTOROJ
I TRETXEJ. tAK ^TO WSEGO NA TAKOJ STROKE NUVNO 5 ZNAKOW &. pROBEL \qquad
MEVDU RAZLI^NYMI STOLBCAMI UKAZYWAETSQ QWNO.
˜A]E WSEGO \alignat ISPOLXZUETSQ DLQ FORMUL WRODE
PO (1)
x=y
PO aKSIOME 2
x0 = y 0
x + x0 = y + y0 PO tEOREME 1.
|TO BYLO NABRANO TAK:
$$
\alignat2
x&=y &&\qquad\text{PO (1)}\\
x'&=y'&&\qquad\text{PO aKSIOME 2}\\
x+x'&=y+y'&&\qquad\text{PO tEOREME 1.}
\endalignat
$$

mY ISPOLXZOWALI &&, POTOMU ^TO HOTELI, ^TOBY USLOWIQ W PRAWOJ ^ASTI RAS-
SMATRIWALISX, KAK WTORAQ FORMULA WTOROJ PARY, I ^TOBY ONI BYLI WYROWNENY
SLEWA.
kAK I W \align, WNUTRI \alignat MOVNO ISPOLXZOWATX \allowdisplaybreak
(SM. NIVE rAZRYW STRANIC W WYKL@^NYH FORMULAH), \intertext I T.D.
u \alignat ESTX TAKVE \RAS IRENNYJ" WARIANT \xalignat, PRI KOTOROM
RAZLI^NYE STOLBCY RASPOLAGA@TSQ PO STRANICE RAWNOMERNO, TAK ^TO NET NE-
OBHODIMOSTI UKAZYWATX MEVDU NIMI KONKRETNYJ PROBEL. nAPRIMER, W PRI-
WEDENNOM WY E PRIMERE S TREMQ STOLBCAMI UBEREM WSE WSTAWLENNYE MEVDU
STOLBCAMI PROBELY I ISPOLXZUEM \xalignat:
$$
\xalignat 3
V_i & =v_i-q_iv_j, & X_i & =x_i-q_ix_j,
& U_i & =u_i,\text{DLQ $i\ne j$ }\tag 23\\
V_j & =v_j, & X_j & =x_j,
& U_j & =u_j+\sum_{i\ne j}q_iu_i. \tag 24
\endxalignat
$$

wWEDQ TAKU@ KONSTRUKCI@, MY POLU^IM
Ui = ui DLQ i 6= j
(23) V i = vi ; q i v j Xi = xi ; qi xj
X
(24) Vj = vj Xj = xj Uj = uj + qiui :
i6=j
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 81
sREDSTWO \xxalignat E]E IRE | PERWYJ I POSLEDNIJ STOLBCY RASPOLAGA-
@TSQ WDOLX SAMYH KRAEW POLOSY NABORA:
Ui = ui DLQ i 6= j
Vi = vi ; qivj Xi = xi ; qi xj
X
Vj = vj Xj = xj Uj = uj + qiui :
i6=j
zDESX \tag NE IMEET SMYSLA I W \TOJ KONSTRUKCII NEDOPUSTIM.
sU]ESTWUET TAKVE SREDSTWO \alignedat, KOTOROE OTNOSITSQ K \alignat TO^NO
TAK VE, KAK \aligned OTNOSITSQ K \align, T.E. SOZDAETSQ EDINYJ MASSIW FOR-
MUL, KOTORYJ POTOM MOVNO POMESTITX NA ODNOJ STROKE S DRUGIMI FORMULAMI.
wNUTRI \alignedat MOVNO ISPOLXZOWATX TE VE UPRAWLQ@]IE POSLEDOWATELXNO-
STI, ^TO I W \aligned. sREDSTWA \xalignedat NET, POSKOLXKU W NEM NET SMYSLA.
eSTX ODNO WAVNOE OTLI^IE \alignat I \xalignat OT \align I ANALOGI^NYH
KONSTRUKCIJ. eSLI W \alignat NA STROKE NE HWATAET MESTA DLQ RAZME]ENIQ
FORMULY I METKI, METKA NE BUDET AWTOMATI^ESKI POME]ATXSQ NA OTDELXNOJ
STROKE. mETKA MOVET DAVE NALOVITXSQ NA FORMULU BEZ WYDA^I SOOB]ENIQ
Overfull box. eSLI WOZNIKAET TAKAQ PROBLEMA, NUVNO PERENESTI METKU NA
DRUGU@ STROKU, WWEDQ PUSTU@ FORMULU.
iNOGDA AWTORU HO^ETSQ OB_EDINITX WMESTE NESKOLXKO FORMUL I NE WYRAWNI-
WATX IH, A OTCENTRIROWATX:
a = b+c
d=e
f +g =h
eSLI WY NABERETE IH KAK OTDELXNYE WYKL@^NYE FORMULY
$$a=b+c$$ $$d=e$$ $$f+g=h$$,
TO MEVDU NIMI OSTANETSQ SLI KOM MNOGO MESTA. tAK ^TO LU^ E POLXZOWATXSQ
KOMANDOJ \gather:
$$
\gather a=b+c\\ d=e\\
f+g=h\endgather
$$
kAK I W SLU^AE \align, KAVDOJ FORMULE MOVNO DATX SWO@ METKU \tag.
nAKONEC, IMEETSQ ODNA OSOBAQ PROBLEMA WYRAWNIWANIQ, DLQ KOTOROJ U AMS-
TEX'A ESTX OSOBOE SREDSTWO. iNOGDA WAM MOVET PONADOBITXSQ ^TO-TO WRODE
a+b= c
f(a) + f(b) = f(c)
=+
= 0+ 0
0

A+B =C +D+E
GDE NESKOLXKO FORMUL OFORMLENY POSREDSTWOM \gather, NO OTDELXNYE GRUPPY
DOLVNY BYTX WYROWNENY (I KAVDAQ FORMULA MOVET IMETX METKU). pO IDEE,
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
82
NELXZQ WKLADYWATX \align ILI \gather WNUTRX DRUGOJ KONSTRUKCII, NO AMS-
TEX DOPUSKAET TAKOJ NABOR:
$$
\gather a+b=c\\
f(a)+f(b)=f(c)\\
{\align \alpha&=\beta+\delta\\
\alpha'&=\beta'+\delta' \endalign}\\
A+B=C+D+E\endgather
$$

S METKAMI U L@BYH FORMUL, GDE \TO NUVNO. w \TOM OSOBOM SLU^AE KAVDAQ
PODGRUPPA, OFORMLENNAQ POSREDSTWOM \align : : : \endalign, DOLVNA BYTX ZA-
KL@^ENA W FIGURNYE SKOBKI.
AMS-TEX PREDOSTAWLQET TAKVE SREDSTWO \gathered : : : \endgathered, KO-
TOROE TAK VE OTNOSITSQ K \gather, KAK \aligned OTNOSITSQ K \align. iNYMI
SLOWAMI, KONSTRUKCIQ \gathered : : : \endgathered POROVDAET OB_EKT, KOTORYJ
MOVET OBRABATYWATXSQ KAK NOWYJ SIMWOL | ON MOVET ISPOLXZOWATXSQ WNUTRI
DRUGIH FORMUL, I EMU MOVET BYTX PRISWOENA METKA \tag, RASPOLAGA@]AQSQ PO
CENTRU OTNOSITELXNO WSEGO MASSIWA.
iZMENENIE RASSTOQNIQ MEVDU STROKAMI. rASSTOQNIE MEVDU STROKAMI WO
WSEH TOLXKO ^TO OPISANNYH MATEMATI^ESKIH KONSTRUKCIQH, ISPOLXZU@]IH \\
DLQ RAZBIENIQ NA STROKI, MOVNO IZMENQTX. dLQ \TOGO W AMS-TEX'E ESTX DWA
SPOSOBA.
dLQ WSTAWKI POSLE KAKOJ-NIBUDX STROKI DOPOLNITELXNOGO PROBELA WELI^INOJ
hRAZMERi, MOVNO POSLE \\, OKAN^IWA@]IH \TU STROKU, POSTAWITX
\vspace{hRAZMERi}

hOTQ MOVNO UKAZATX L@BOJ DOPUSTIMYJ W TEX'E hRAZMERi, OBY^NO EGO WYRA-
VA@T W OSOBYH TEX'OWSKIH EDINICAH \jot W WIDE 1\jot ILI .5\jot, I TOGDA
TAKAQ KORREKTIROWKA DAST NUVNYJ \FFEKT W L@BOM FORMATE (W FORMATE Plain,
NAPRIMER, \jot RAWNO 3pt).
eSLI NADO DOBAWITX WERTIKALXNYE PROBELY hRAZMERi MEVDU WSEMI STRO-
KAMI, TO WMESTO TOGO, ^TOBY POSLE WSEH \\ STAWITX \vspacehRAZMERi, ^TO, BEZ-
USLOWNO, O^ENX SKU^NO I UTOMITELXNO, MOVNO ISPOLXZOWATX KOMANDU AMS-TEX'A
\spreadlines. tAK, ESLI W NEKOTOROJ WYKL@^NOJ FORMULE NABRATX

$$
\spreadlines{hRAZMERi}
:::
:::
$$

TO WSE STROKI \TOJ FORMULY RAZDWINUTSQ NA hRAZMERi. kOMANDU \spreadlines
MOVNO ISPOLXZOWATX TOLXKO W WYKL@^NYH FORMULAH I EE DEJSTWIE RASPROSTRA-
NQETSQ TOLXKO NA \TU FORMULU.
rAZRYW STRANIC W WYKL@^NYH FORMULAH. wYRAWNIWAEMYE FORMULY OBY^NO
WOSPRINIMA@TSQ KAK ODNO CELOE, TAK ^TO AMS-TEX, KAK PRAWILO, NE POZWOLQET
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 83
PERENOSITX NA DRUGU@ STRANICU ^ASTX FORMULY MEVDU \align : : : \endalign.
nO NABRAW \allowdisplaybreak POSLE KAKOGO-NIBUDX \\, WY POLU^ITE WOZMOV-
NOSTX RAZORWATX FORMULU POSLE \TOJ STROKI I PERENESTI EE NA DRUGU@ STRA-
NICU. mOVNO TAKVE ZASTAWITX TEX SDELATX RAZRYW POSLE KAKOJ-NIBUDX STROKI,
PRIMENIW POSLE \\ \displaybreak. eSLI POSTAWITX PERED \align KOMANDU
\allowdisplaybreaks, \TO DAST TOT VE \FFEKT, KAK ESLI BY POSLE KAVDOJ
STROKI STOQLO \allowdisplaybreak. kOMANDA \allowdisplaybreaks RAZRE ENA
TOLXKO MEVDU ZNAKAMI $$, I EE DEJSTWIE RASPROSTRANQETSQ LI X NA TU GRUPPU
FORMUL, W KOTOROJ ONA PRISUTSTWUET.
kROME TOGO, KAK UVE UPOMINALOSX W RAZDELE 2.15. rAZRYW STRANICY, W WY-
KL@^NOJ MATEMATI^ESKOJ MODE MOVNO ISPOLXZOWATX KOMANDU \pagebreak. dLQ
SOHRANENIQ CELOSTNOSTI IZLOVENIQ POWTORIM ZDESX | ^TOBY WYZWATX RAZRYW
STRANICY POSLE WYKL@^NOJ FORMULY, SLEDUET POMESTITX \pagebreak WNUTRI
\TOJ FORMULY, POSKOLXKU, ESLI POSTAWITX \pagebreak SRAZU POSLE FORMULY,
TO NA STRANICE POSLE NEE POQWITSQ DOPOLNITELXNOE PUSTOE PROSTRANSTWO.
4.21. mNOGOSTRO^NYE FORMULY
iNOGDA WYKL@^NU@ FORMULU NEWOZMOVNO NAPE^ATATX W ODNU STROKU, POTOMU
^TO ONA NA NEJ NE POME]AETSQ, NESMOTRQ NA WSE USILIQ TEX'A SVATX WHODQ]IE
W NEE ^LENY:
n n n
n an;1bj = X n an+1;j bj +X n an;j bj
n+1 = (a+b)(a+b)n = (a+b) X
(a+b) j j=0 j j=1 j ; 1
j=0
|TU FORMULU, SOSTAWLENNU@ IZ NESKOLXKIH SWQZANNYH MEVDU SOBOJ BOLEE MEL-
KIH FORMUL, MOVNO RAZBITX NA NESKOLXKO STROK, ISPOLXZUQ KOMANDU \align c
WYRAWNIWANIEM PO SIMWOLAM BINARNYH OPERACIJ (SM. 4.20. wYRAWNIWANIE
WYKL@^NYH FORMUL). tAKIM OBRAZOM, DAVE E]E BOLEE DLINNYE FORMULY
MOVNO PREDSTAWITX W WIDE ODNOJ WYKL@^NOJ:
n
n+1 = (a + b)(a + b)n = (a + b) X n an;1bj
(a + b)
j=0 j
n n
Xn
n+1;j bj + X n an;j bj
= ja j=1 j ; 1
j=0
n
X n+1
an+1;j bj
= j
j=0
^TO BYLO POLU^ENO TAK:
$$
\align
(a+b)^{n+1}
&=(a+b)(a+b)^n=(a+b)
\sum_{j=0}^n\binom nj a^{n-1}b^j\\
&=\sum_{j=0}^n\binom nja^{n+1-j}b^j+
\sum_{j=1}^n\binom n{j-1}a^{n-j}b^j\\
&=\sum_{j=0}^n\binom{n+1}ja^{n+1-j}b^j
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
84
\endalign
$$

dELO USLOVNQETSQ, KAK TOLXKO RAZBITAQ NA ^ASTI FORMULA SNABVAETSQ MET-
KOJ (SM. RAZDEL 4.19. nUMERACIQ WYKL@^NYH FORMUL). eSLI METKI POME-
]A@TSQ SLEWA, TO ONI RAZME]A@TSQ OKOLO PERWOJ STROKI FORMULY:
n
n+1 = (a + b)(a + b)n = (a + b) X n an;1bj
(1{2) (a + b)
j=0 j
n n
Xn
n+1;j bj + X n an;j bj
= ja j=1 j ; 1
j=0
n
X n+1
an+1;j bj
= j
j=0
nO ESLI METKA SPRAWA | TO OKOLO NIVNEJ STROKI:
n
n+1 = (a + b)(a + b)n = (a + b) X n an;1bj
(a + b)
j=0 j
n n
Xn
n+1;j bj + X n an;j bj
= ja j=1 j ; 1
j=0
n
X n+1
an+1;j bj
= (1{2)
j
j=0
dLQ \TOJ CELI U AMS-TEX'A ESTX KOMANDA \split, KOTORAQ PREDOSTAWLQET WOZ-
MOVNOSTX NABIRATX RAZBIWAEMYE NA ^ASTI FORMULY, NE ZABOTQSX O TOM, KAK
OBSTOIT DELO S METKAMI. eSLI WY NABERETE
$$
\split
(a+b)^{n+1}
&=(a+b)(a+b)^n=(a+b)
\sum_{j=0}^n\binom nj a^{n-1}b^j\\
&=\sum_{j=0}^n\binom nja^{n+1-j}b^j+
\sum_{j=1}^n\binom n{j-1}a^{n-j}b^j\\
&=\sum_{j=0}^n\binom{n+1}j
a^{n+1-j}b^j\endsplit\tag1--2
$$

TO AMS-TEX AWTOMATI^ESKI WYDAST REZULXTAT, SOOTWETSTWU@]IJ ISPOLXZUE-
MOMU FORMATU.
kOMANDU \tag NADO POME]ATX POSLE WSEJ KONSTRUKCII \split : : : \endsplit
ESLI POPROBUETE POMETITX OTDELXNU@ STROKU, TO POLU^ITE TAINSTWENNOE SOOB-
]ENIE OB O IBKE, TAK KAK AMS-TEX WOSPRINIMAET KONSTRUKCI@ \split : : :
\endsplit KAK EDINOE CELOE. oBRATITE WNIMANIE TAKVE, ^TO ZNAK \\ PEREHODA
NA DRUGU@ STROKU POME]AETSQ PERED BINARNOJ OPERACIEJ, TOGDA KAK FORMULY W
rukowodstwo dlq polxzowatelq AMS-TEX 85
TEKSTE, KAK UPOMINALOSX RANEE, PRI NEOBHODIMOSTI RAZRYWA@TSQ POSLE BINAR-
NYH OPERACIJ.
iNOGDA FORMULU RAZBIWA@T TAK, ^TO, KAZALOSX BY, NET WYRAWNIWANIQ:
(f g)000(x) = f 000 (g(x)) g0 (x)3 + 2f 00(g(x)) g0 (x)g00(x)
+ f 00 (g(x)) g0 (x)g00 (x) + f 0 (g(x)) g000(x)
w TAKIH SLU^AQH PRINQTO OSTAWLQTX PO KRAJNEJ MERE DWA KWADRATA PROBELA
PERED WTOROJ ^ASTX@ FORMULY. pRIWEDENNAQ WY E FORMULA BYLA NABRANA TAK:
$$\split
(f\circ g)'''(x)&=\bigl f'''(g(x))\cdot g'(x)^3+
2f''(g(x))\cdot g'(x)g''(x)\bigr]\\
&\qquad+\bigl f''(g(x))\cdot g'(x)g''(x)
+f'(g(x))\cdot g'''(x)\bigr]
\endsplit
$$
TAK ^TO =\bigl PERWOJ STROKI WYROWNENO S NEWIDIMYM \qquad WTOROJ STROKI.
dLQ FORMUL, SOSTOQ]IH IZ NESKOLXKIH STROK, INOGDA DOSTATO^NO WOSPOLX-
ZOWATXSQ KONSTRUKCIEJ \multline : : : \endmultline, RAZDELQQ STROKI S POMO-
]X@ \\. w \TOM SLU^AE PERWAQ STROKA FORMULY PRIDWIGAETSQ PO^TI WPLOTNU@
WLEWO, POSLEDNQQ | PO^TI WPLOTNU@ WPRAWO:
b b
Z Z
f(x)2 g(y)2 + f(y)2 g(x)2 ; 2f(x)g(x)f(y)g(y) dx dy
a a
b b b b
Z Z Z Z
= g(y) f + f(y) g ; 2f(y)g(y) fg dy
2 2 2 2
a a a a
|TA FORMULA BYLA POLU^ENA TAK:
$$
\multline
\int_a^b\biggl\{\int_a^b f(x)^2g(y)^2+f(y)^2g(x)^2
-2f(x)g(x)f(y)g(y)\,dx\biggr\}\,dy \\
=\int_a^b\biggl\{g(y)^2\int_a^bf^2+f(y)^2
\int_a^b g^2-2f(y)g(y)\int_a^b fg\biggr\}\,dy
\endmultline
$$
eSLI W FORMULE BOLEE DWUH STROK, WSE STROKI MEVDU PERWOJ I POSLEDNEJ RAS-
POLAGA@TSQ PO CENTRU. oDNAKO, L@BU@ IZ \TIH STROK MOVNO OTODWINUTX WLEWO
ILI WPRAWO, NABRAW
:::
\shoveleft{ }\\
ILI
:::
\shoveright{ }\\
I \shoveright PREDSTAWLQ@T SOBOJ UPRAWLQ@]IE POSLEDOWATELXNO-
\shoveleft
STI S ODNIM ARGUMENTOM WSQ STROKA, KOTORU@ WY HOTITE SDWINUTX, ZAKL@^AETSQ
W FIGURNYE SKOBKI, I W KONCE WSE TAK VE STAWITSQ \\.
s.w. klimenko, m.w. lisina, n.m. fomina
86
tO^NOE RASSTOQNIE OT POLEJ OPREDELQETSQ STILEM. w STILE amsppt ZAKLADY-
WAETSQ ODIN KWADRAT W NEKOTORYH STILQH PROBEL MOVET WOWSE OTSUTSTWOWATX.
rASSTOQNIQ DO LEWOGO I PRAWOGO KRAEW, KOTORYE OSTAWLQET UPRAWLQ@]AQ POSLE-
DOWATELXNOSTX \multline, MOVNO MENQTX KOMANDOJ \multlinegap{hRAZMERi}.
nAPRIMER, ESLI WA A FORMULA \multline NESKOLXKO IRE, ^EM NUVNO, ^TOBY
UMESTITXSQ W OTWEDENNOE EJ MESTO, MOVNO UDALITX PROBELY SLEWA I SPRAWA,
NABRAW
$$
\multlinegap{0pt}
:::
\multline
::: \endmultline
$$

kOGDA FORMULA ZAWER ITSQ, PREVNIE PROBELY BUDUT WOSSTANOWLENY. wMESTO
KOMANDY \multlinegap{0pt} MOVNO ISPOLXZOWATX \nomultlinegap, ^TO TO VE
SAMOE.
uPRAWLQ@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX \multlinegap DOPUSKAETSQ TOLXKO WNUTRI
ZNAKOW $$ : : : $$. nO IMEETSQ TAKVE \MultLineGap DLQ IZMENENIQ RASSTOQNIQ
DO POLEJ WO WSEH MNOGOSTRO^NYH FORMULAH NA WSE WREMQ RABOTY TAKIM OBRAZOM
SOZDAETSQ NOWYJ STILX.
pOSLE \multline : : : \endmultline MOVNO ZADATX METKU \tag, TO^NO TAK VE,
KAK I POSLE \split : : : \endsplit. nAPRIMER,
$$
\multline
\int_a^b\biggl\{\int_a^b f(x)^2g(y)^2+f(y)^2g(x)^2
-2f(x)g(x)f(y)g(y)\,dx\biggr\}\,dy \\
=\int_a^b\biggl\{(y)^2\int_a^bf^2+f(y)^2
\int_a^b g^2-2f(y)g(y)\int_a^b fg\biggr\}\,dy
\endmultline\tag 17
$$

W ZAWISIMOSTI OT STILQ DAET LIBO
b b
Z Z
(17) f(x)2 g(y)2 + f(y)2 g(x)2 ; 2f(x)g(x)f(y)g(y) dx dy
a a
b b b b
Z Z Z Z
= g(y) f + f(y) g ; 2f(y)g(y) fg dy
2 2 2 2
a a a a
LIBO
b b
Z Z
f(x)2 g(y)2 + f(y)2 g(x)2 ; 2f(x)g(x)f(y)g(y) dx dy
a a
b b b b
Z Z Z Z
= g(y) f + f(y) g ; 2f(y)g(y) fg dy (17)
2 2 2 2
a a a a
kAK I W SLU^AE \split NE SLEDUET POME]ATX \tag NA TOJ ILI INOJ STROKE, METKA
DOLVNA SLEDOWATX POSLE WSEJ KONSTRUKCII \multline : : : \endmultline. bOLEE
TOGO, \multline SOZDAET STROKI NA IRINU WSEJ STRANICY PODOBNO \align, TAK

<<

. 3
( 5)



>>