СОДЕРЖАНИЕ

УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе

Ю.А. Самарский
16 июня 2003 г.


ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

Теория функций
комплексного переменного
по курсу
511600
по направлению
ФАЛТ
факультет
высшей математики
кафедра
III
курс
5 5 семестр
семестр экзамен
51 час
лекции
семинарские занятия самостоятельная работа
34 часа 3 часа в неделю
85
всего часов
Программу составил
Л.П. Купцов, к.ф.-м.н., доцент
Программа обсуждена на заседании кафедры
высшей математики 11 апреля 2003 г.


Заведующий кафедрой Г.Н. Яковлев
1. Комплексные числа и действия с ними. Расширенная
плоскость. Сфера Римана. Предел последовательности.
Непрерывные функции комплексной переменной.
2. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус и круг сходимо-
сти. Формула Коши–Адамара. Почленное дифференциро-
вание степенного ряда.
3. Дифференцирование по комплексной переменной. Условия
Коши–Римана. Регулярные (голоморфные) функции.
4. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Однолистные функции. Теорема об обратном отображе-
нии. Конформность в точке и в области. Конформные ото-
бражения.
5. Элементарные функции и задаваемые ими отображения:
az + b, z n , ez , тригонометрические и гиперболические
функции, дробно-линейная функция, функция Жуковско-
го. v
6. Многозначные функции. Функции n z и Ln z, обратные
тригонометрические и обратные гиперболические функ-
ции, общая степенная функция и их римановы поверх-
ности. Непрерывные и регулярные ветви многозначной
функции.
7. Криволинейные интегралы. Основные свойства. Пер-
вообразная. Её существование. Формула Ньютона–
Лейбница. Почленное интегрирование степенного ряда.
8. Интегральная теорема Коши и её обобщения.
9. Интегральная формула Коши. Дифференцирование инте-
грала Коши. Бесконечная дифференцируемость регуляр-
ной функции. Оценка Коши. Теорема Лиувилля. Интеграл
типа Коши.
10. Теорема Морера. Лемма о стирании пунктира.
11. Равномерно сходящиеся последовательности и ряды регу-

2
лярных функций. Теоремы Вейерштрасса о регулярности
предельной функции.
12. Ряд Тейлора. Теорема о разложении регулярной функции
в ряд Тейлора. Единственность. Теорема Коши–Адамара
о существовании особой точки на границе круга сходимо-
сти.
13. Ряд Лорана. Теорема о разложении регулярной (в кольце)
функции в ряд Лорана. Единственность.
14. Изолированные особые точки однозначного характера.
Классификация. Теоремы Сохоцкого и Пикара. Целые и
мероморфные функции.
15. Теорема единственности. Аналитическое продолжение.
Полная аналитическая функция. Теорема о монодромии и
её применения в задаче о выделении регулярных ветвей.
Особые точки аналитической функции. Точки ветвления.
16. Вычет. Теорема Коши о вычетах. Вычисление вычета в
случае полюса. Вычет в бесконечно удалённой точке. Вы-
числение определённых интегралов с помощью вычетов.
Лемма Жордана. Функции матричного аргумента.
17. Метод расширяющихся контуров Коши–Пуанкаре: разло-
жение мероморфной функции в сумму простейших дро-
бей, разложение целой функции в бесконечное произведе-
ние; суммирование рядов.
18. Логарифмический вычет. Теорема о числе нулей и полю-
сов. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теоре-
ма алгебры.
19. Основные принципы теории конформных отображений:
сохранение области, максимума модуля, соответствия
границ, симметрии.
20. Плоское векторное поле. Условия несжимаемости и отсут-
ствия вихрей. Комплексный потенциал. Особенности век-

3
торного поля: источник, вихрь, диполь. Постановка зада-
чи обтекания. Условия на теле и на бесконечности. Цир-
куляционное обтекание цилиндра. Профили Жуковского–
Чаплыгина. Теорема Римана о конформной эквивалент-
ности односвязных областей. Условия нормировки и един-
ственность.
21. Гармонические функции двух переменных. Свойства сред-
него. Принцип максимума и минимума. Задача Дирихле.
Единственность. Функция Грина. Интегралы Пуассона
для круга и полуплоскости. Задача Неймана. Необходи-
мое условие разрешимости. Сведение задачи Неймана к
задаче Дирихле.
22. Интеграл Христоффеля–Шварца.
23. Метод перевала.
24. Преобразование Лапласа. Основные свойства. Формула
обращения. Первая и вторая теоремы разложения. При-
менения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по
теории функций комплексного переменного. – М.: Наука,
1982, 1989.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций
комплексного переменного. – М.: Наука, 1973, 1987.
3. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплекс-
ной переменной. – М.: Наука, 1979.
4. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного
и некоторые их приложения. – 3-е изд. – М.: Наука, 1964.
Дополнительная
5. Федорюк М.В. Метод перевала. – М.: Наука, 1977.

4
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики
и их математические модели. – М.: Наука, 1973.


ЗАДАНИЯ
ЛИТЕРАТУРА

Номера задач указаны по книге: Евграфов М. А., Бежа-
нов К. В., Сидоров Ю. В., Федорюк В. М., Шабунин М. И.
Сборник задач по теории аналитических функций. – М.: Нау-
ка, 1972.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ
(срок сдачи 22–27 сентября)
I. Комплексные числа
1.05; 1.06(6,9); 1.14(2,5); 1.25(2); 1.33.
1. Изобразите на комплексной плоскости C все корни урав-
нения z 3 = ?11 ? 2i.
2. Правильный пятиугольник ABCDE вписан в окруж-
ность единичного радиуса. Вычислите произведение
AB · AC · AD · AE.
3. На единичной окружности |z| = 1 взяты две точки a и
b и в них проведены касательные к окружности. Найди-
те комплексную координату точки пересечения этих каса-
тельных.
4. На комплексной плоскости C дана точка 3 + 5i. Найдите
вещественное число x и чисто мнимое число iy такие, что
треугольник с вершинами {x; 3+5i; iy} является правиль-
ным.
II. Последовательности, ряды.
2.16; 2.20(1); 6.06(1,6).
5
III. Элементарные функции
5.10(10); 5.11(7,10); 5.25(1,3); 5.28(2); 5.29.
IV. Дифференцирование ФКП
8.01(2,5); 8.30(1,4); 8.31(4); 8.51(1).
5. Найдите на комплексной плоскости C все точки, в кото-
рых дифференцируема функция f (z) = 2y ? i(2x + y 2 ).
Вычислите в этих точках значения f (z). Найдите регу-
лярную функцию, значения производной которой в точках
дифференцируемости функции f (z) совпадают с соответ-
ствующими значениями производной f (z).
V. Геометрический смысл производной
9.09(1,4); 9.16(1); 9.17(1).
VI. Интегрирование ФКП
10.23(3.6).
eiz dz, где C — кусок параболы
6. Вычислите интеграл
C
2
{0 1,y = x }, двумя способами: а) используя пер-
x
вообразную; б) используя параметризацию C. Сравните
результаты.
dz
7. Вычислите интеграл двумя способами:
z
C
x2 y 2
а) по окружности |z| = R; б) по эллипсу 2 + 2 = 1.
a b
Сравните результаты.
? +?
aix2 2
e?ax +bx dx, ис-
8. Вычислите интегралы e dx,
??
0
+? ?
2
e?ax dx =
пользуя равенство
a
??
(a > 0, b ? C).


6
VII. Степенной ряд
6.08(1,2); 6.30(1).
VIII. Ряды Тейлора и Лорана
11.02(2); 11.03(1); 11.04(4); 11.05(3); 11.07(1,5); 11.11(2,6);
11.14; 11.17(2); 20.01(1,6); 20.08(2); 20.11; 20.16(3,6).
IX. Изолированные особые точки
9. Найдите и исследуйте все особые точки функций:
z5 6 Sh z ? 6z ? z 3
z +?i ?
etg z ,
, , ,
1 + ez
(z 2 + 1)2 (ez ? 1)6
ez + 1 Sin z
, .
z 2 ? ? iz + 6? 2 z3 + ? z2

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ
(срок сдачи 10–15 ноября)
X. Регулярные ветви многозначных функций
16.06(1,5); 16.12; 16.13; 16.15(2,4); 17.08(1); 17.10(2);
17.27; 17.30.
1. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции z a в области D.
af (z)
Докажите, что в D справедливы равенства f (z) = ,
z
a(a ? 1)f (z)
f (z) = .
z2
2. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции Ln(?z + 3) в
3?
плоскости C с разрезом по кривой z = 3eit , 0 t ,
2
и лучу z = ?3i + t, t 0, такая, что Im f (?4) = 2?.
Вычислите f (2), f (3 + 2i), f (?5), f (0). Разложите f (z)
в ряд Тейлора в окрестности точки z = ?2 по степеням
z + 2, найдите радиус сходимости полученного ряда, и


7
укажите, в каком наибольшем круге |z + 2| < R значения
ряда совпадают с f (z).
XI. Теорема единственности. Аналитическое
продолжение
13.03(1,3); 24.06(1).
?n
z
3. Докажите, что функции f0 (z) = и fk (z) = i ?(1 +
n
n=1
?
(?1)n (z ? 2)n
+ 2k) + , где k — произвольное целое
n
n=1
число, являются аналитическим продолжением друг дру-
га.
?
z n разложена в ряд Тейлора в окрест-
4. Функция f (z) =
n=1
z0 , |z0 | <
1. При каких значениях z0 это раз-
ности точки
ложение позволяет аналитически продолжить f (z)?
XII. Вычеты и их применения
21.02(8,14); 21.01(1,4); 22.02(2,7,14); 22.04(1,5,8); 22.05(1,7);
28.03(3); 28.07(7,12); 28.09(1); 28,11(1)*; 28.15(8а,8б*);
28.22(12); 28.25(14); 28.29(3).
z dz
5. Вычислите интеграл .
Cos ?z ? Ch ?z
|2z?1+i|=2
1
Sin z
6. Представьте ВЫЧ в точке z = 0:
1 + z2
а) в виде ряда; б) в конечном виде.
Сравните результаты.
7. Вычислите матричные функции f (A):




8
?1
2 14
а) A = , б) A = ,
1 ?2
1 2
v
f (A) = etA ; Sh t A
f (A) = v .
A
8. Решите задачу Коши
x = 4y,
?
y = ?x + 4y;
?
x(0) = x(0) = y(0) = 0, y(0) = 1.
? ?

ТРЕТЬЕ ЗАДАНИЕ
(срок сдачи 8–13 декабря)
XIII. Теорема Руше
23.03(4,7); 23.09(1,3); 23.12.
1. Сколько корней имеет уравнение 5z 3 ? 3z 2 ? 3z + 3 = 0 в
левой полуплоскости Re z < 0?
XIV. Разложения в ряды простейших дробей
27.08(1,4).
1
2. Разложите на простейшие дроби функцию z .
e ?1
XV. Конформные отображения
32.01(1,7); 33.19(1,3); 35.04(2); 35.19(2).
XVI. Принцип симметрии
36.06(107,112); 37.46(144,151).
XVII. Задача Дирихле
3. Постройте функции Грина задачи Дирихле для областей:
а) D — полоса {0 < Im z < 1, ?? < Re z < +?};
?
б) D — угол 0 < arg z < ;
4
в) D — полукруг {Im z > 0, |z| < 1}.


9
4. Постройте интегральное представление решения u(x,y)
задачи Дирихле через граничные данные для области D:
а) D — полоса (см. 20.а);
?
б) D — угол 0 < arg z < .
2
XVIII. Метод перевала
5. Найдите главный член асимптотики при ? > +? следу-
ющих интегралов:
1+2i 2i ?
2 2
e?(z ?2z) dz;
Cos z · ei?z dz; Cos(? sin z ? nz) dz.
?2?4i ?2i 0
XIX. Плоское векторное поле
38.05(3,5); 38.23(6); 39.55(1,4).
XX. Преобразование Лапласа
6. Пользуясь второй теоремой разложения, найдите ориги-
нал f (t) по изображению F (p):
1
а) F (p) = 2 ;
(p ? 1)2 (p2 + 1)
?1 9
10
б) F (p) = (pE ? A)?1 , где E = ,A= .
?1 5
01
7. Решите задачу Коши
x = ?x + 9y + e2t ,
?
y = ?x + 5y + sin t
?
x(0) = x(0) = y(0) = y(0) = 0.
? ?
Задания составил Л.П. Купцов, к.ф.-м.н., доцент




Учебно-методическая лаборатория кафедры высшей математики МФТИ



СОДЕРЖАНИЕ