стр. 1
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА



Современная математика — студентам и аспирантам




C. C. КУТАТЕЛАДЗЕ




ОСНОВЫ
ФУНКЦИОНAЛЬНОГО АНАЛИЗА

4-е издание,
исправленное




НОВОСИБИРСК

Издательство Института математики

2001
УДК 517.98
ББК 22.16
К95




Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа.
— 4-е изд., испр. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001.
— xii+354 c. (Современная математика — студентам и аспирантам).

ISBN 5–86134–103–6.

В монографии изложены основные разделы современного функ-
ционального анализа. Особое внимание уделено теории банаховых
алгебр и функциональному исчислению, теории н?теровых операто-
е
ров, теории двойственности локально выпуклых пространств, вы-
пуклому анализу, принципам банаховых пространств, теории рас-
пределений и ряду смежных вопросов. Около двадцати лет книга
служит базой обязательного курса лекций для студентов-математи-
ков Новосибирского государственного университета.
Книга адресована читателю, интересующемуся методами функ-
ционального анализа и их приложениями.
Библиогр.: 347.

Ответственный редактор
В. В. Иванов
Редактор серии
Ю. Г. Решетняк

К 1602080000?10 Без объявл.
Я82(03)?2001




c Кутателадзе С. С., 2001
ISBN 5–86134–103–6
c Институт математики
им. С. Л. Соболева СО РАН, 2001
Содержание


Предисловие к первому изданию viii
Предисловие к четвертому изданию xii
Глава 1. Экскурс в теорию множеств 1
§ 1.1. Соответствия 1
.....................................
§ 1.2. Упорядоченные множества 3
.......................
§ 1.3. Фильтры 7
.........................................
10
............................................
Упражнения
Глава 2. Векторные пространства 12
§ 2.1. Пространства и подпространства 12
................
§ 2.2. Линейные операторы 15
.............................
§ 2.3. Уравнения в операторах 18
.........................
24
............................................
Упражнения
Глава 3. Выпуклый анализ 26
§ 3.1. Множества в векторных пространствах 26
..........
§ 3.2. Упорядоченные векторные пространства 29
........
§ 3.3. Продолжение положительных функционалов и опе-
32
раторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы 35
§ 3.5. Теорема Хана — Банаха 38
.........................
Содержание
iv

§ 3.6. Теорема Крейна — Мильмана
41
для субдифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3.7. Теорема Хана — Банаха для полунормы 44
.........
§ 3.8. Функционал Минковского и отделимость 46
........
51
............................................
Упражнения

Глава 4. Экскурс в метрические пространства 53
§ 4.1. Равномерность и топология метрического
53
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4.2. Непрерывность и равномерная непрерывность 56
...
§ 4.3. Полунепрерывность 59
..............................
§ 4.4. Компактность 60
....................................
§ 4.5. Полнота 62
..........................................
§ 4.6. Компактность и полнота 65
.........................
§ 4.7. Бэровские пространства 68
.........................
§ 4.8. Теорема Жордана и простые картины 71
...........
72
............................................
Упражнения

Глава 5. Мультинормированные и банаховы
пространства 74
§ 5.1. Полунормы и мультинормы 74
......................
§ 5.2. Равномерность и топология мультинормированного
79
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5.3. Сравнение мультинорм 82
...........................
§ 5.4. Метризуемые и нормируемые пространства 85
.....
§ 5.5. Банаховы пространства 87
..........................
§ 5.6. Алгебра ограниченных операторов 97
...............
104
............................................
Упражнения
Содержание v

Глава 6. Гильбертовы пространства 106
§ 6.1. Эрмитовы формы и скалярные произведения 106
....
§ 6.2. Ортопроекторы 111
..................................
§ 6.3. Гильбертов базис 114
................................
§ 6.4. Эрмитово сопряженный оператор 119
................
§ 6.5. Эрмитовы операторы 122
............................
§ 6.6. Компактные эрмитовы операторы 125
...............
129
............................................
Упражнения

Глава 7. Принципы банаховых пространств 131
§ 7.1. Основной принцип Банаха 131
.......................
§ 7.2. Принципы ограниченности 134
.......................
§ 7.3. Принцип идеального соответствия 138
...............
§ 7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике 141
.
§ 7.5. Принцип автоматической непрерывности 147
........
§ 7.6. Принципы штрихования 150
.........................
155
............................................
Упражнения

Глава 8. Операторы в банаховых пространствах 158
§ 8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы 158
.
§ 8.2. Голоморфное функциональное исчисление 165
.......
§ 8.3. Идеал компактных операторов и проблема аппрок-
172
симации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 8.4. Теория Рисса — Шаудера 175
........................
§ 8.5. Нетеровы и фредгольмовы операторы 179
...........
-
187
............................................
Упражнения
Содержание
vi

Глава 9. Экскурс в общую топологию 190
§ 9.1. Предтопологии и топологии 190
......................
§ 9.2. Непрерывность 193
...................................
§ 9.3. Типы топологических пространств 196
..............
§ 9.4. Компактность 201
....................................
§ 9.5. Равномерные и мультиметрические пространства 207
§ 9.6. Покрытия и разбиения единицы 213
.................
218
............................................
Упражнения

Глава 10. Двойственность и е? приложения
е 220
§ 10.1. Векторные топологии 220
...........................
§ 10.2. Локально выпуклые топологии 223
.................
§ 10.3. Двойственность векторных пространств 226
........
§ 10.4. Топологии, согласованные с двойственностью 228
..
§ 10.5. Поляры 230
.........................................
§ 10.6. Слабо компактные выпуклые множества 232
.......
§ 10.7. Рефлексивные пространства 234
....................
§ 10.8. Пространство C(Q, R) 236
..........................
§ 10.9. Меры Радона 243
...................................
§ 10.10. Пространства D и D 251
..........................
§ 10.11. Преобразование Фурье умеренных
260
распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
............................................
Упражнения
Содержание vii

Глава 11. Банаховы алгебры 274
§ 11.1. Каноническое операторное представление 274
......
§ 11.2. Спектр элемента алгебры 276
.......................
§ 11.3. Голоморфное функциональное исчисление в алгеб-
278
рах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 11.4. Идеалы в коммутативных алгебрах 280
.............
§ 11.5. Идеалы в алгебре C(Q, C) 281
......................
§ 11.6. Преобразование Гельфанда 283
.....................
§ 11.7. Спектр элемента C ? -алгебры 288
...................
§ 11.8. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймарка 290
§ 11.9. Операторные ?-представления C ? -алгебр 294
.......
300
............................................
Упражнения

Литература 303

Указатель обозначений 323

Глоссарий 327

Предметный указатель 345
Предисловие
к первому изданию


Как следует из названия, эта книга посвящена функциональному ана-
лизу. Термин «функциональный анализ» был изобретен в самом начале
текущего века Ж. Адамаром, известным всем математикам по форму-
ле для вычисления радиуса сходимости степенного ряда. Функциональ-
ным анализом стали называть новую ветвь вариационного исчисления,
которую интенсивно разрабатывали в то время В. Вольтерра, Ч. Арце-
ла, П. Леви, С. Пинкерле и ряд других представителей французской и
итальянской математических школ.
Вклад Ж. Адамара в создание новой дисциплины не сводится, разу-
меется, к изобретению слова функционал (точнее, к превращению соответ-
ствующего прилагательного в имя существительное). Ж. Адамар хорошо
понимал роль зарождающегося направления, интенсивно работал, посто-
янно пропагандировал вновь возникающие проблемы, идеи и методы. В
частности, он поставил перед своим учеником М. Фреше задачу построе-
ния того, что все теперь называют теорией метрических пространств. В
этой же связи уместно отметить, что окрестности, применяемые в функ-
циональном анализе в смысле Адамара — Вольтерра, послужили предте-
чей известных работ Ф. Хаусдорфа, ознаменовавших оформление общей
топологии. Для дальнейшего важно подчеркнуть, что одно из наиболее
интересных, трудных и важных направлений классического анализа —
вариационное исчисление — стало первым источником функционального
анализа.
Вторым источником функционального анализа были исследования,
направленные на создание алгебраической теории функциональных урав-
нений, точнее говоря, на упрощение и формализацию манипулирования
«уравнениями в функциях» и, в частности, линейными интегральными
уравнениями. Теория таких уравнений, восходящая к Н. Абелю и Ж. Лиу-
виллю, получила существенное развитие в работах И. Фредгольма, К. Ней-
мана, Ф. Н?тера, А. Пуанкаре и др. Труды этих математиков подготови-
е
Предисловие ix

ли почву знаменитым исследованиям Д. Гильберта по теории квадратич-
ных форм от бесконечного числа переменных. Идеи Д. Гильберта, разви-
тые Ф. Риссом, Э. Шмидтом и др., непосредственно предшествовали ак-
сиоматическому построению теории гильбертовых пространств, данному
Дж. фон Нейманом и М. Стоуном. Возникший раздел математики оказал
и продолжает оказывать сильнейшее воздействие на теоретическую физи-
ку и прежде всего на квантовую механику. Небезынтересно и поучительно
в этой связи отметить, что термин «квант» возник в том же 1900 г., что и
термин «функционал».
Третьим важнейшим источником функционального анализа послу-
жили геометрические идеи Г. Минковского. Развитый им аппарат конеч-
номерной геометрии выпуклых тел подготовил тот круг пространствен-
ных представлений, в котором осуществляется современное развитие ана-
лиза. Идея выпуклости, разработанная Э. Хелли, Г. Ханом, К. Каратео-
дори, И. Радоном и др., легла впоследствии в основу теории локально вы-
пуклых пространств. В свою очередь, эта теория способствовала распро-
странению метода обобщенных производных, открытого С. Л. Соболевым
и коренным образом изменившего аппарат математической физики. В
послевоенные годы геометрическая концепция выпуклости завоевала для
математики новую сферу приложений — социальные науки и особенно
экономику. Исключительную роль при этом сыграло линейное програм-
мирование, открытое Л. В. Канторовичем.
Приведенный перечень линий становления функционального
анализа схематичен, неполон и приблизителен (так, остались неотмечен-
ными линия принципа суперпозиции Д. Бернулли, линия функций мно-
жеств и теории интеграла, линия операционного исчисления, линия исчис-
ления конечных разностей и дробного дифференцирования, линия «обще-
го анализа» и многое другое). Несмотря на это, перечисленные три ис-
точника отражают основную, наиболее существенную закономерность —
в функциональном анализе осуществлены синтез и развитие идей, пред-
ставлений и методов классических разделов математики: геометрии, ал-
гебры и анализа. Таким образом, хотя в буквальном смысле слов функцио-
нальный анализ — это анализ функций и функционалов, даже поверх-
ностный взгляд на его историю дает основания сказать, что функцио-
нальный анализ — это алгебра, геометрия и анализ функций и функци-
оналов. Более глубокое и развернутое разъяснение понятия «функци-
ональный анализ» дает Советский Энциклопедический Словарь: «Функ-
циональный анализ, один из основных разделов современной математики.
Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и
методов многих разделов классического математического анализа. Харак-
теризуется использованием понятий, связанных с различными абстракт-
ными пространствами, такими, как векторное пространство и др. Находит
Предисловие
x

разнообразные применения в современной физике, особенно в квантовой
механике» (с. 1449).
Оформление функционального анализа как самостоятельного разде-
ла математики связано с книгой С. Банаха «Теория линейных операций»,
вышедшей в свет полвека назад. Влияние этой книги на развитие матема-
тики огромно — представленные в ней концепции С. Банаха пронизывают
всю математику.
Выдающийся вклад в развитие функционального анализа внесли со-
ветские ученые И. М. Гельфанд, Л. В. Канторович, М. В. Келдыш, А. Н. Кол-
могоров, М. Г. Крейн, Л. А. Люстерник, С. Л. Соболев. Для отечествен-
ной школы характерно развитие исследований в области функциональ-
ного анализа в связи с крупными прикладными проблемами. Эти иссле-
дования расширили роль функционального анализа — он стал основным
языком приложений математики. Показателен следующий факт. Хотя
в 1948 г. само название широко известной статьи Л. В. Канторовича
«Функциональный анализ и прикладная математика», заложившей осно-
вы современной теории приближенных методов, воспринималось как па-
радоксальное, уже в 1974 г., по словам С. Л. Соболева, теорию вычислений
стало «так же невозможно себе представить без банаховых пространств,
как и без электронных вычислительных машин».
Наряду с постоянным ростом потребностей в методах и представле-
ниях функционального анализа в последнее время наблюдается экспонен-
циальное накопление фактического материала в рамках самой этой дис-
циплины. Таким образом, разрыв между современным уровнем анализа и
уровнем, зафиксированным в доступной широкому читателю литературе,
постоянно увеличивается. Настоящая книга преследует цель преодоления
этой негативной тенденции.
Предисловие
ко второму изданию


В течение более десятка лет эта книга используется в качестве
основы обязательного курса лекций по функциональному анализу
в Новосибирском государственном университете. Время подтверди-
ло обоснованность принципов составления монографии. В настоя-
щее издание внесены разделы, трактующие основы теории распре-
делений, добавлены упражнения теоретического характера и суще-
ственно обновлен список литературы. Устранены также неточности,
указанные мне коллегами.
Пользуюсь случаем поблагодарить всех, кто помог мне в под-
готовке этой книги. Мой приятный долг особо отметить финансо-
вую поддержку во время подготовки издания со стороны Института
математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской
академии наук, Российского фонда фундаментальных исследований,
Международного научного фонда и Американского математическо-
го общества.
Предисловие
к третьему изданию


Настоящее третье издание содержит указатель основных обо-
значений. В нем исправлены некоторые мелкие неточности, выжив-
шие в двух предыдущих русских вариантах и английском переводе,
осуществленном издательством Kluwer Academic Publishers в 1996 г.
Надеюсь, что число дефектов, возникших при подготовке нового из-
дания, невелико.



Предисловие
к четвертому изданию


Настоящее четвертое издание отличается от предыдущего глос-
сарием английских терминов, а также отсутствием некоторых мел-
ких неточностей и опечаток, борьба с которыми продолжается.
C. Кутателадзе
Глава 1
Экскурс в теорию множеств


1.1. Соответствия
1.1.1. Определение. Пусть A и B — множества и F — под-
множество произведения A ? B. Тогда F называют соответствием
с областью отправления A и областью прибытия B или, короче,
соответствием из A в B.
1.1.2. Определение. Для соответствия F ? A ? B множество

dom F := D(F ) := {a ? A : (? b ? B) (a, b) ? F }

называют областью определения F , а множество

im F := R(F ) := {b ? B : (? a ? A) (a, b) ? F }

— областью значений или образом F .
1.1.3. Примеры.
(1) Если F — соответствие из A в B, то

F ?1 := {(b, a) ? B ? A : (a, b) ? F }

— соответствие из B в A, называемое обратным к F . Ясно, что F
обратно к соответствию F ?1 .
(2) Отношение F в A — это соответствие F ? A ? A.
(3) Пусть F ? A ? B. Тогда F называют однозначным
соответствием, если для каждого a ? A из условий (a, b1 ) ? F и
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
2

(a, b2 ) ? F вытекает, что b1 = b2 . В частности, если U ? A и
IU := {(a, a) ? A2 : a ? U }, то IU — однозначное соответствие
из A в A, о котором говорят и как о тождественном отношении
или тождестве на U . Отношение U 2 называют промискуитетом
на U . Соответствие F ? A ? B называют отображением множества
A в множество B, если F однозначно и dom F = A. Соответствие
IU является отображением только при A = U . В этом случае IU
называют тождественным отображением. Отображение F ? A ?
B обозначают символом F : A > B. Стоит подчеркнуть, что при
этом непременно dom F = A и в то же время образ im F может
отличаться от B. Равенство im F = B выделяют словами: «F —
отображение A на B».
Наконец, если соответствие F ?1 ? B ? A оказывается однознач-
ным, то исходное отображение F : A > B называют взаимно одно-
значным.
(4) Вместо отображений иногда говорят о семействах.
Точнее, отображение F : A > B при желании называют семейством
элементов B и обозначают просто (ba )a?A , или a > ba (a ? A), или
даже (ba ). Имеется в виду, что (a, b) ? F в том и только в том
случае, если b = ba . Допуская вольность, не различают семейство и
его область значений.
(5) Пусть F ? A ? B — соответствие и U ? A. Соответ-
ствие F ? (U ? B) ? U ? B называют сужением F на U или следом
F на U и обозначают F |U . Множество F (U ) := im F |U называют об-
разом множества U при соответствии F . Применяют естественные
сокращения. Так, если F — отображение, то для элемента a пишут
F (a) = b, подразумевая F ({a}) = {b}. Скобки в символе F (a) часто
опускают или изображают в ином начертании. Отметьте, наконец,
что образ при обратном отображении называют прообразом. Точ-
нее говоря, образ F ?1 (U ) множества U в B при соответствии F ?1
называют прообразом множества U при соответствии F .
1.1.4. Определение. Для F ? A ? B и G ? C ? D множество

G ? F := {(a, d) ? A ? D : (? b) (a, b) ? F & (b, d) ? G}

называют композицией или суперпозицией соответствий F и G. При
этом G ? F рассматривают как соответствие из A в D.
1.2. Упорядоченные множества 3

1.1.5. Замечание. Объем понятия суперпозиции, по существу,
не уменьшится, если в 1.1.4 заранее считать, что B = C.

1.1.6. Пусть F — соответствие. Тогда F ? F ?1 ? I imF . Более
того, F ? F ?1 = I imF в том и только в том случае, если F |dom F —
это отображение.

1.1.7. Пусть F ? A ? B, G ? B ? C и U ? A. Тогда для
соответствия G ? F ? A ? C будет G ? F (U ) = G(F (U )).

1.1.8. Пусть F ? A ? B, G ? B ? C, H ? C ? D. Тогда соответ-
ствия H ? (G ? F ) ? A ? D и (H ? G) ? F ? A ? D совпадают.

1.1.9. Замечание. В силу 1.1.8 разумно определен символ H ?
G ? F и ему подобные выражения.

1.1.10. Пусть F, G, H — три соответствия. Тогда

F ?1 (b) ? H(c).
H ?G?F =
(b,c)?G


(a, d) ? H ? G ? F ? (? (b, c) ? G) (c, d) ? H & (a, b) ? F ?
(? (b, c) ? G) a ? F ?1 (b) & d ? H(c)

1.1.11. Замечание. Предложение 1.1.10 и выкладка, приве-
денная в качестве его доказательства, с формальной точки зрения
вопиюще некорректны, поскольку основываются на неоговоренной
явно или на двусмысленной информации (в частности, на определе-
нии 1.1.1). Опыт позволяет считать указанную критику поверхност-
ной. Поэтому в дальнейшем аналогичного рода удобные (а на самом
деле и неизбежные) некорректности будут, как правило, использо-
ваться без специальных оговорок и сожалений.

1.1.12. Для соответствий G и F выполнено

F ?1 (b) ? G(b).
G?F =
b? imF


В 1.1.10 полагаем: H := G, G := I imF и F := F .
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
4

1.2. Упорядоченные множества
1.2.1. Определение. Пусть ? — отношение в множестве X, т. е.
? ? X 2 . Рефлексивность ? означает включение ? ? IX , транзитив-
ность — включение ? ? ? ? ?, антисимметричность — включение
? ? ? ?1 ? IX и, наконец, симметричность ? означает равенство
? = ? ?1 .
1.2.2. Определение. Рефлексивное и транзитивное отношение
называют отношением предпорядка. Симметричный предпорядок
называют эквивалентностью. Антисимметричный предпорядок на-
зывают порядком.
Если X — множество, а ? — порядок в X, то пару (X, ?) назы-
вают упорядоченным множеством и пишут x ?? y вместо y ? ?(x).
Допускают обычные вольности словоупотребления и написания: са-
мо X называют упорядоченным множеством, пишут x ? y и говорят
«x меньше y» или «y больше x» и т. п. Аналогичные соглашения
действуют и для предупорядоченных множеств, т. е. множеств с
отношениями предпорядка. При этом в случае отношения эквива-
лентности используют знаки типа ?? или просто ?.
1.2.3. Примеры.
(1) Тождественное отношение; подмножество X0 в X с
отношением ?0 := ? ? X0 ? X0 .
(2) Если ? — (пред)порядок на X, то ? ?1 также (пред)по-
рядок на X. При этом отношение ? ?1 называют противоположным
к ? (пред)порядком.
(3) Пусть f : X > Y и ? — отношение в Y . Рассмотрим
в X следующее отношение: f ?1 ? ? ? f . В силу 1.1.10

f ?1 ? ? ? f = f ?1 (y1 ) ? f ?1 (y2 ).
(y1 ,y2 )??

Значит, выполнено

(x1 , x2 ) ? f ?1 ? ? ? f ? (f (x1 ), f (x2 )) ? ?.

Таким образом, если ? — это предпорядок, то f ?1 ?? ?f тоже предпо-
рядок, называемый прообразом ? при отображении f . Ясно, что про-
образ эквивалентности является эквивалентностью. В то же время
1.2. Упорядоченные множества 5

прообраз порядка не обязан быть антисимметричным отношением.
В частности, так, как правило, бывает для следующего отношения
эквивалентности: f ?1 ? f = f ?1 ? IY ? f .
(4) Пусть X — произвольное множество и ? — эквива-
лентность в X. Определим отображение ? : X > 2X правилом
?(x) := ?(x) (здесь 2X — это множество подмножеств X, обо-
значаемое также и P(X)). Пусть X := X/? := im ? — фактор-
множество. Отображение ?, как известно, называют каноническим
(канонической проекцией, факторным отображением и т. п.). Заме-
тим, что ? считают действующим на X. Множество ?(x) называют
классом эквивалентности или комножеством элемента x. Отме-
тим еще, что

? = ??1 ? ? = ??1 (x) ? ??1 (x).
x?X


Пусть теперь f : X > Y — отображение. Тогда f допускает сни-
жение f на X, т. е. существует отображение f : X > Y такое, что
f ? ? = f в том и только в том случае, если ? ? f ?1 ? f .
(5) Пусть (X, ?) и (Y, ? ) — два предупорядоченных мно-
жества. Отображение f : X > Y возрастает (т. е. x ?? y ?
f (x) ?? f (y)) в том и только в том случае, если ? ? f ?1 ? ? ? f .
1.2.4. Определение. Пусть (X, ?) — упорядоченное множе-
ство и U — подмножество в X. Элемент x ? X называют верхней
границей U , если U ? ? ?1 (x). Коротко пишут: x ? U . В частности,
x ? ?. Элемент x ? X называют нижней границей U , если x явля-
ется верхней границей U в противоположном порядке ? ?1 . Коротко
пишут: x ? U . В частности, x ? ?.
1.2.5. Замечание. В дальнейшем мы будем допускать вольно-
сти при введении понятий, получающихся из данных путем перехода
к противоположному (пред)порядку. Отметим также, что определе-
ние верхней и нижней границ осмыслено и в предупорядоченных
множествах.
1.2.6. Определение. Элемент x называют наибольшим в мно-
жестве U , если x ? U и x ? U . Аналогично определяют наименьший
элемент U .
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
6

1.2.7. Пусть ?? (U ) — совокупность всех верхних границ под-
множества U в упорядоченном множестве (X, ?). Пусть, далее,
x ? X — наибольший элемент U . Тогда, во-первых, x — наименьший
элемент ?? (U ), а во-вторых, ?(x) ? U = {x}.
1.2.8. Замечание. Предложение 1.2.7 является основой двух
обобщений понятия наибольшего элемента.
1.2.9. Определение. Элемент x из X называют точной верх-
ней границей множества U в X, если x — наименьший элемент мно-
жества всех верхних границ U . При этом пишут x = supX U или,
короче, x = sup U . Аналогично (при переходе к противоположно-
му порядку) определяют точную нижнюю границу множества U —
элемент inf U или, более полно, inf X U .
1.2.10. Определение. Элемент x упорядоченного множества
(X, ?) называют максимальным в подмножестве U множества X,
если ?(x)?U = {x}. Аналогично определяют минимальный элемент
множества U .
1.2.11. Замечание. Необходимо отчетливо представлять себе
различия и общие черты понятий наибольшего и максимального эле-
ментов и точной верхней границы множества. В частности, стоит
«экспериментально» удостовериться, что у «типичного» множества
нет наибольшего элемента, однако максимальные элементы встреча-
ются.
1.2.12. Определение. Упорядоченное множество X называют
решеткой, если для любых двух элементов x1 , x2 из X существуют
их точная верхняя граница x1 ? x2 := sup{x1 , x2 } и точная нижняя
граница x1 ? x2 := inf{x1 , x2 }.
1.2.13. Определение. Упорядоченное множество X называют
полной решеткой, если любое подмножество X имеет точную верх-
нюю и точную нижнюю границы.
1.2.14. Упорядоченное множество является полной решеткой в
том и только в том случае, если любое его подмножество имеет точ-
ную верхнюю границу.
1.2.15. Определение. Упорядоченное множество (X, ?) такое,
что X 2 = ? ?1 ? ?, называют фильтрованным по возрастанию. Ана-
1.3. Фильтры 7

логично определяют фильтрованное по убыванию множество. Непу-
стое фильтрованное по возрастанию множество называют направ-
ленным или, короче, направлением.

1.2.16. Определение. Отображение направленного множества
в данное множество X называют (обобщенной) последовательно-
стью или сетью в X. Отображения (естественным образом) на-
правленного множества натуральных чисел N в X называют (счет-
ными) последовательностями. (Следуя одной из традиций, полага-
ют N := {1, 2, 3 . . . }.)

1.2.17. Решетка является полной в том и только в том случае,
если любое фильтрованное по возрастанию множество в ней имеет
точную верхнюю границу.

1.2.18. Замечание. Смысл 1.2.17 состоит в том, что для нахо-
ждения точной верхней границы любого подмножества в X следу-
ет научиться находить такие границы для двухэлементных подмно-
жеств в X и для возрастающих сетей элементов X.

1.2.19. Определение. Пусть (X, ?) — упорядоченное множе-
ство и X 2 = ? ? ? ?1 . Тогда X называют линейно упорядоченным
множеством. Если X0 — непустое линейно упорядоченное подмно-
жество X, то X0 называют цепью в X. Непустое упорядоченное
множество называют индуктивным, если любая цепь в нем ограни-
чена сверху (т. е. имеет верхнюю границу).

1.2.20. Лемма Куратовского — Цорна. Индуктивное мно-
жество имеет максимальный элемент.

1.2.21. Замечание. Лемма Куратовского — Цорна служит эк-
вивалентом аксиомы выбора, принимаемой в теории множеств.

1.3. Фильтры

1.3.1. Определение. Пусть X — множество и B — непустое
подмножество непустых элементов 2X . Множество B называют ба-
зисом фильтра (в X), если B фильтровано по убыванию при введе-
нии в множество 2X подмножеств X отношения порядка по включе-
нию.
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
8

1.3.2. Подмножество B в 2X является базисом фильтра в том
и только в том случае, если
(1) B = ?, ? ? B;
(2) B1 , B2 ? B ? (? B ? B) B ? B1 ? B2 .
1.3.3. Определение. Подмножество F в 2X называют филь-
тром (в X), если F представляет собой совокупность надмножеств
некоторого базиса фильтра B (в X), т. е.
F = ?l B := {C ? 2X : (? B ? B) B ? C}.
При этом говорят, что B — базис F или что F имеет B своим
базисом и т. п.
1.3.4. Подмножество F в 2X является фильтром в том и только
в том случае, если
(1) F = ?, ? ? F ;
(2) A ? F , A ? B ? X ? B ? F ;
(3) A1 , A2 ? F ? A1 ? A2 ? F .
1.3.5. Примеры.
(1) Пусть F ? X ? Y — соответствие и B — фильтро-
ванное по убыванию подмножество 2X . Положим F (B) := {F (B) :
B ? B}. Видно, что F (B) фильтровано по убыванию. Допускают
некоторую вольность в обозначениях, считая F (B) := ?l F (B). Если
F — фильтр в X и B ? dom F = ? для всякого B ? F , то F (F ) —
фильтр в Y . Этот фильтр называют образом фильтра F при соот-
ветствии F . В частности, если F : X > Y — отображение и B —
базис фильтра в X, то F (F ) — фильтр в Y .
(2) Пусть (X, ?) — направление. Несомненно, что B :=
{?(x) : x ? X} — это базис фильтра. Если F : X > Y — некото-
рая обобщенная последовательность, то фильтр ?l F (B) называют
фильтром хвостов F .
Пусть (X, ?) и F : X > Y — другие направление и сеть эле-
ментов Y . Если фильтр хвостов F содержит фильтр хвостов F , то
F называют подсетью (в широком смысле) сети F . Если же су-
ществует подсеть (в широком смысле) G : X > X тождественной
сети (x)x?X элементов направления (X, ?) такая, что F = F ? G, то
F называют подсетью F (иногда говорят: F — подсеть Мура или
строгая подсеть F ). Каждая подсеть служит подсетью в широком
смысле.
1.3. Фильтры 9

1.3.6. Определение. Пусть F (X) — совокупность всех филь-
тров в множестве X. Если F1 , F2 ? F (X) и F1 ? F2 , то говорят,
что F1 тоньше F2 или F1 мажорирует F2 (соответственно F2
грубее F1 или F2 минорирует F1 ).
1.3.7. Множество F (X) с отношением «тоньше» является упо-
рядоченным.
1.3.8. Пусть N — направление в F (X). Тогда у N есть точная
верхняя граница F0 := sup N . При этом

F0 = ?{F : F ? N }.

Нужно убедиться только, что F0 — это фильтр. Ясно, что
? ? F0 и, в силу непустоты N , F0 = ?. Если A ? F0 и B ? A,
/
то, подбирая F из N , для которого A ? F , заключаем: B ? F ?
F0 . Если же A1 , A2 ? F0 , то можно найти элемент F в N такой,
что A1 , A2 ? F , ибо N — это направление. На основании 1.3.4,
A1 ? A2 ? F ? F0 .
1.3.9. Определение. Максимальные элементы в упорядочен-
ном множестве F (X) всех фильтров в X называют ультрафиль-
трами.
1.3.10. Каждый фильтр грубее некоторого ультрафильтра.
Ввиду 1.3.8 множество фильтров, содержащих данный, явля-
ется индуктивным. Остается сослаться на лемму Куратовского —
Цорна 1.2.20.
1.3.11. Фильтр F является ультрафильтром в том и только
в том случае, если для каждого A ? X либо A ? F , либо X \ A ? F .
?: Пусть A ? F и B := X \ A ? F . Отметим, что A = ? и
B = ?. Положим F1 := {C ? 2X : A ? C ? F }. Тогда A ? F ?
? ? F1 и B ? F1 ? F1 = ?. Столь же просто проверить 1.3.4 (2)
и 1.3.4 (3). Итак, F1 — фильтр. По построению F1 ? F . Раз F
— ультрафильтр, то F1 = F . Получилось противоречие: B ? F и
B ? F.
?: Пусть F1 ? F (X) и F1 ? F . Если A ? F1 и A ? F , то
X \A ? F по условию. Отсюда X \A ? F1 , т. е. ? = A?(X \A) ? F1 ,
чего быть не может.
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
10

1.3.12. Если f — отображение из X в Y и F — ультрафильтр
в X, то f (F ) — ультрафильтр в Y .
1.3.13. Пусть X := XF0 := {F ? F (X) : F ? F0 } для неко-
торого F0 ? F (X). Тогда X — полная решетка.
Понятно, что F0 — наибольший, а {X} — наименьший эле-
менты в X . Стало быть, пустое множество в X имеет точную
верхнюю и точную нижнюю границы: sup ? = inf X = {X} и
inf ? = sup X = F0 . В силу 1.2.17 и 1.3.8 достаточно устано-
вить существование F1 ? F2 для любых F1 , F2 ? X . Рассмотрим
F := {A1 ? A2 : A1 ? F1 , A2 ? F2 }. Нет сомнений, что F ? F0 и
F ? F1 , F ? F2 . Поэтому для проверки равенства F = F1 ? F2
нужно доказать, что F — фильтр.
Соотношения F = ? и ? ? F очевидны. Ясно также, что (B1 ,
B2 ? F ? B1 ? B2 ? F ). Помимо этого, если C ? A1 ? A2 , где
A1 ? F1 и A2 ? F2 , то C = {A1 ? A2 } ? C = (A1 ? C) ? (A2 ? C).
Поскольку A1 ?C ? F1 , а A2 ?C ? F2 , выводим: C ? F . Апелляция
к 1.3.4 дает требуемое.

Упражнения
1.1. Привести примеры множеств и не множеств, теоретико-множествен-
ных свойств и не теоретико-множественных свойств.
1.2. Может ли отрезок [0, 1] быть элементом отрезка [0, 1]? А отрезок
[0, 2]?
1.3. Найти композиции простейших соответствий и отношений: квадратов,
кругов и окружностей с общими и с несовпадающими центрами, шаров в RM ?
RN при различных допустимых наборах M, N .
1.4. Для соответствий R, S, T установить соотношения:

(R ? S)?1 = R?1 ? S ?1 ; (R ? S)?1 = R?1 ? S ?1 ;
(R ? S) ? T = (R ? T ) ? (S ? T ); R ? (S ? T ) = (R ? S) ? (R ? T );
(R ? S) ? T ? (R ? T ) ? (S ? T ); R ? (S ? T ) ? (R ? S) ? (R ? T ).

1.5. Пусть X ? X ? X. Доказать, что X = ?.
1.6. Выяснить условия разрешимости уравнений XA = B и AX = B отно-
сительно X в соответствиях, в функциях.
1.7. Найти число отношений эквивалентности на конечном множестве.
1.8. Будет ли эквивалентностью пересечение эквивалентностей? Объеди-
нение эквивалентностей?
Упражнения 11

1.9. Найти условие коммутативности эквивалентностей (относительно ком-
позиции).
1.10. Сколько порядков и предпорядков на двух- и трехэлементном множе-
ствах? Предъявить их. Что можно сказать о числе предпорядков на конечном
множестве?
1.11. Пусть F — возрастающее, идемпотентное отображение упорядочен-
ного множества X в себя. Допустим, что F мажорирует тождественное отоб-
ражение: F ? IX . Такие F называют операторами (абстрактного) замыкания
или, короче, оболочками. Исследовать свойства неподвижных точек оператора
замыкания.
1.12. Пусть X, Y — упорядоченные множества и M (X, Y ) — множество
возрастающих отображений X в Y с естественным упорядочением (каким?). До-
казать, что
(1) (M (X, Y ) — решетка) ? (Y — решетка);
(2) (M (X, Y ) — полная решетка) ? (Y — полная решетка).
1.13. Установить, что для упорядоченных множеств X, Y, Z справедливы
следующие утверждения:
(1) M (X, Y ? Z) изоморфно M (X, Y ) ? M (Y, Z);
(2) M (X ? Y, Z) изоморфно M (X, M (Y, Z)).
1.14. Сколько фильтров на конечном множестве?
1.15. Как устроены точные границы множества фильтров?
1.16. Пусть f отображает X на Y . Доказать, что каждый ультрафильтр в
Y есть образ относительно f некоторого ультрафильтра в X.
1.17. Доказать, что каждый ультрафильтр, мажорирующий пересечение
двух фильтров, тоньше хотя бы одного из них.
1.18. Доказать, что каждый фильтр представляет собою пересечение со-
держащих его ультрафильтров.
1.19. Пусть A — ультрафильтр в N, содержащий дополнения конечных
подмножеств. Для x, y ? s := RN положим x ?A y := (? A ? A ) x|A = y|A .
Обозначим ?R := RN /?A . Для t ? R знак ?t символизирует класс, содержащий
постоянную последовательность t(n) := t (n ? N). Доказать, что ?R \ {?t : t ?
R} = ?. Ввести в ?R алгебраические и порядковую структуры. Как связаны
свойства R и ?R?
Глава 2
Векторные пространства


2.1. Пространства и подпространства
2.1.1. Замечание. В алгебре, в частности, изучают модули над
кольцами. Модуль X над кольцом A определяют указанием абеле-
вой группы (X, +) и представления A в кольце эндоморфизмов X,
заданного отображением левого умножения · : A?X > X. При этом
заранее обеспечивают естественное согласование операций сложения
и умножения. С учетом сказанного трактуют фразу: «модуль X над
кольцом A описывается четверкой (X, A, +, ·)».
2.1.2. Определение. Поле вещественных чисел R и поле ком-
плексных чисел C называют основными полями. Для обозначения
основного поля используют также символ F. Считают, что поле R
стандартным (и общеизвестным) способом вложено в C.
2.1.3. Определение. Пусть F — основное поле. Модуль X над
полем F называют векторным пространством (над F). Элемен-
ты F называют скалярами, а элементы X — векторами. Вектор-
ное пространство над R называют вещественным векторным про-
странством, а векторное пространство над полем C — комплексным
векторным пространством. Употребляют соответствующие развер-
нутые записи: (X, F, +, ·), (X, R, +, ·) и (X, C, +, ·). Все же, как
правило, допускают б?льшую вольность, отождествляя множество
о
векторов X с отвечающим ему векторным пространством.
2.1.4. Примеры.
(1) Основное поле F — векторное пространство над F.
(2) Пусть (X, F, +, ·) — векторное пространство. Рас-
2.1. Пространства и подпространства 13

смотрим набор (X, F, +, ·? ), где ·? : (?, x) > ?? x для ?s ? F и x ?
X, а ?? — комплексно сопряженное к ? число. Полученное вектор-
ное пространство называют дуальным к X и обозначают X? . При
F := R пространство X? совпадает с X.
(3) Векторное пространство (X0 , F, +, ·) называют под-
пространством векторного пространства (X, F, +, ·), если X0 —
это подгруппа в X и умножение на скаляр в X0 — это сужение на
F ? X0 умножения на скаляр в X. Множество X0 называют линей-
ным множеством в X. Очень удобно, хотя и не вполне корректно,
рассматривать линейное множество X0 как векторное подпростран-
ство в X. Более того, нейтральный элемент — нуль группы X —
считают подпространством X и обозначают символом 0. Посколь-
ку связь нуля с X явно не отражена, все векторные пространства,
включая и основные поля, можно воспринять как зацепленные за
один общий нуль.
(4) Пусть (X? )?? — семейство векторных пространств
над полем F. Пусть, далее, X := ?? X? — произведение соот-
>
ветствующих множеств, т. е. совокупность отображений x :
??? X? , для которых x? := x(?) ? X? при каждом ? ? (в подобных
ситуациях всегда молчаливо подразумевают, что = ?). Наделим
X покоординатными операциями сложения и умножения на скаляр:

(x1 , x2 ? X , ? ? );
(x1 + x2 )(?) := x1 (?) + x2 (?)

(? · x)(?) := ? · x(?) (x ? X , ? ? F, ? ? )

(ниже, как правило, вместо выражений типа ?·x будем писать сокра-
щенно: ?x и изредка x?). Полученное векторное пространство X
над F называют произведением семейства векторных пространств
(X? )?? . При := {1, 2, . . . , N } пишут X1 ? X2 ? . . . ? XN := X . В
случае, когда X? = X для любого ? ? , используют обозначение
X := X . Если к тому же := {1, 2, . . . , N }, полагают X N := X .
(5) Пусть (X? )?? — семейство векторных пространств
над полем F. Рассмотрим прямую сумму множеств X0 := ?? X? ,
т. е. подмножество в произведении X := ?? X? , состоящее из та-
ких элементов x0 , что найдется (вообще говоря, свое для каждого
x0 ) конечное подмножество 0 в такое, что x0 ( \ 0 ) ? 0. Видно,
Гл. 2. Векторные пространства
14

что X0 — линейное множество в произведении X . Соответствую-
щее векторное пространство — подпространство произведения век-
торных пространств (X? )?? — называют прямой суммой семейства
векторных пространств (X? )?? .
(6) Пусть (X, F, +, ·) — векторное пространство и зада-
но подпространство (X0 , F, +, ·) в X. Положим

?X0 := {(x1 , x2 ) ? X 2 : x1 ? x2 ? X0 }.

Тогда ?X0 — эквивалентность в X. Пусть X := X/ X0 и ? : X > X
?
— каноническое отображение. Определим в X операции

x1 + x2 := ?(??1 (x1 ) + ??1 (x2 )) (x1 , x2 ? X );

?x := ?(???1 (x)) (x ? X , ? ? F).
вFи
Здесь, как обычно, для множеств S1 , S2 в X, множества
элемента ? ? F считается, что

S1 + S2 := +{S1 ? S2 };

S1 := · ( ? S1 ); ?S1 := {?}S1 .
Таким образом в X введена структура векторного пространства над
F. Это пространство называют фактор-пространством простран-
ства X по подпространству X0 и обозначают X/X0 .
2.1.5. Пусть X — векторное пространство и Lat(X) — совокуп-
ность всех подпространств в X с отношением порядка по включению.
Тогда упорядоченное множество Lat(X) является полной решеткой.
Ясно, что inf Lat(X) = 0 и sup Lat(X) = X. Помимо это-
го, пересечение непустого множества подпространств также подпро-
странство. Привлекая 1.2.17, получаем требуемое.
2.1.6. Замечание. Для X1 , X2 ? Lat(X) справедливо соотно-
шение X1 ? X2 = X1 + X2 . Столь же несомненно, что для непустого
множества E в Lat(X) выполнено inf E = ?{X0 : X0 ? E }. Если
к тому же E фильтровано по возрастанию, то sup E = ? {X0 : X0 ?
E }.
2.2. Линейные операторы 15

2.1.7. Определение. Подпространства X1 и X2 данного век-
торного пространства X разлагают X в (алгебраическую) прямую
сумму (символическая запись: X = X1 ? X2 ), если X1 ? X2 =
0 и X1 ? X2 = X. При этом X2 называют (алгебраическим) дополне-
нием X1 , а X1 — (алгебраическим) дополнением X2 .
2.1.8. Любое подпространство векторного пространства имеет
алгебраическое дополнение.
Пусть X1 — подпространство X. Положим

E := {X0 ? Lat(X) : X0 ? X1 = 0}.

Очевидно, 0 ? E и для каждой цепи E0 в E , в силу 2.1.6, X1 ?sup E0 =
0, т. е. sup E0 ? E . Таким образом, E — индуктивно, и на основании
1.2.20 в E есть максимальный элемент X2 . Если x ? X \ (X1 + X2 ),
то
(X2 + {?x : ? ? F}) ? X1 = 0.
В самом деле, если для некоторых ? ? F и x1 ? X1 , x2 ? X2 выпол-
нено x2 + ?x = x1 , то ?x ? X1 + X2 и, стало быть, ? = 0. Отсюда
x1 = x2 = 0, ибо X1 ?X2 = 0. Следовательно, X2 +{?x : ? ? F} = X2
в силу максимальности X2 . Последнее означает, что x = 0. В то же
время явно x = 0. Окончательно X1 ? X2 = X1 + X2 = X.

2.2. Линейные операторы
2.2.1. Определение. Пусть X, Y — векторные пространства
над F. Соответствие T ? X ? Y называют линейным, если T —
линейное множество в произведении векторных пространств X ? Y .
Отображение T : X > Y , являющееся линейным соответствием,
называют линейным оператором (или просто оператором, если ли-
нейность ясна из контекста). Желая отличить такой T от линей-
ных однозначных соответствий S ? X ? Y с областью определения
dom S = X, говорят: T — всюду определенный линейный оператор
(из X в Y ) и S — линейный оператор из X в Y , или даже S — не
всюду определенный линейный оператор.
2.2.2. Отображение T : X > Y является линейным оператором
в том и только в том случае, если выполнено

(?1 , ?2 ? F; x1 , x2 ? X).
T (?1 x1 + ?2 x2 ) = ?1 T x1 + ?2 T x2
Гл. 2. Векторные пространства
16

2.2.3. Множество L (X, Y ) всех линейных операторов из X в
Y представляет собой векторное пространство — подпространство
Y X.
2.2.4. Определение. Операторы из L (X, F) называют линей-
ными функционалами на X,
а пространство X # := L (X, F) — (алгебраически) сопряжен-
ным пространством. Линейные функционалы на X? называют ?-
линейными функционалами на X.
Если хотят подчеркнуть природу основного поля F, то говорят
о вещественно линейных функционалах, о комплексно сопряженном
пространстве и т. п. Понятно, что при F = R термин «?-линейный
функционал», как правило, не употребляют.
2.2.5. Определение. Линейный оператор T ? L (X, Y ) назы-
вают (алгебраическим) изоморфизмом, если соответствие T ?1 явля-
ется линейным оператором из L (Y, X).
2.2.6. Определение. Векторные пространства X и Y называ-
ют (алгебраически) изоморфными и пишут X Y , если существует
изоморфизм между X и Y .
2.2.7. Пространства X и Y являются изоморфными в том и
только в том случае, если найдутся операторы T ? L (X, Y ) и S ?
L (Y, X) такие, что S ? T = IX и T ? S = IY . При этом выполнено
S = T ?1 и T = S ?1 .
2.2.8. Замечание. Пусть X, Y, Z — векторные пространства,
причем заданы T ? L (X, Y ) и S ? L (Y, Z). Бесспорно, что соот-
ветствие S ? T — это элемент L (X, Z). Оператор S ? T в дальней-
шем для простоты будет обозначен символом ST . Отметим здесь
же, что композицию (S, T ) > ST , как правило, считают отобра-
жением ? : L (Y, Z) ? L (X, Y ) > L (X, Z). В частности, если
E ? L (Y, Z), а T ? L (X, Y ), то полагают E ? T := ?(E ? {T }).
2.2.9. Примеры.
(1) Если T — линейное соответствие, то T ?1 также ли-
нейное соответствие.
(2) Если X1 — подпространство векторного пространства
X и X2 — его алгебраическое дополнение, то X2 изоморфно X/X1 .
Действительно, если ? : X > X/X1 — каноническое отображение,
2.2. Линейные операторы 17

то его сужение на X2 , т. е. оператор x2 > ?(x2 ), где x2 ? X2 ,
осуществляет требуемый изоморфизм.
(3) Пусть X := ?? X? — произведение семейства век-
торных пространств (X? )?? . Отображение Pr? : X > X? , опреде-
ляемое соотношением Pr? x := x? , называют координатным проек-
тором (= проекцией). Ясно, что Pr? — линейный оператор: Pr? ?
L (X , X? ). Отметим, что часто этот оператор рассматривают как
элемент пространства L (X ) := L (X , X ), имея в виду естествен-
ный изоморфизм X? и X? , где X? := ?? X ? , а X ? := 0 при ? = ?
и X ? := X? .
(4) Пусть X := X1 ? X2 . Поскольку отображение +?1
осуществляет изоморфизм X и X1 ? X2 , то определены линейные
операторы PX1 := PX1 ||X2 := Pr1 ?(+?1 ), PX2 := PX2 ||X1 := Pr2 ?(+?1 ),
действующие из X в X. Оператор PX1 называют проектором X
на X1 параллельно X2 , а PX2 — дополнительным проектором к
PX1 . В свою очередь, PX1 дополнителен к PX2 , а PX2 осуществ-
ляет проектирование X на X2 параллельно X1 . Отметим также, что
2
PX1 + PX2 = IX . Кроме того, PX1 := PX1 PX1 = PX1 , т. е. проектор —
идемпотентный оператор. Наоборот, любой идемпотентный опера-
тор P ? L (X) является проектором на P (X) параллельно P ?1 (0).
Если T ? L (X), то PX1 T PX1 = T PX1 в том и только в том
случае, если T (X1 ) ? X1 , т. е. X1 инвариантно относительно T .
Равенство T PX1 = PX1 T справедливо в том и только в том слу-
чае, если как X1 , так и дополнение X2 инвариантны относительно T .
В последнем случае говорят, что разложение X = X1 ?X2 приводит
оператор T .
Со следом T на X1 работают как с элементом T1 пространства
L (X1 ). При этом T1 называют частью T в X1 . Если T2 ? L (X2 ) —
часть T в X2 , то оператор T мыслят как матрицу

T1 0
T? .
T2
0

Именно, элемент x из X1 ? X2 рассматривают как «вектор-столбец»
с компонентами x1 ? X1 , x2 ? X2 , где x1 = PrX1 x, x2 = PrX2 x.
Умножение матриц проводят обычным способом по закону «строка
на столбец», а результат умножения указанной матрицы на вектор-
столбец x, т. е. вектор-столбец с компонентами T1 x1 , T2 x2 (или, что
Гл. 2. Векторные пространства
18

в данном случае то же самое, T x1 , T x2 ), естественно трактуют как
элемент T x.
Иными словами, T отождествляют с отображением X1 ? X2 в
X1 ? X2 , действующим по правилу

x1 T1 x1
0
> .
x2 T2 x2
0

Аналогичным образом вводят матричные представления общих опе-
раторов T ? L (X1 ? X2 , Y1 ? Y2 ).
(5) Конечное множество E в X называют линейно неза-
висимым, если из условия e?E ?e e = 0, где ?e ? F (e ? E ), выте-
кает, что ?e = 0 для всех e ? E . Множество E называют линейно
независимым, если любое конечное подмножество E линейно неза-
висимо.
Максимальное по включению линейно независимое множество в
X называют базисом Гамеля (или алгебраическим базисом) в X. Лю-
бое линейно независимое множество содержится в некотором базисе
Гамеля.
У всех базисов Гамеля в X одинаковая мощность, называемая
размерностью X. Размерность X обозначают dim X.
Каждое векторное пространство X изоморфно прямой сумме
семейства (F)?? , где имеет мощность dim X.
Если X1 — подпространство X, то размерность X/X1 называют
коразмерностью X1 и обозначают codim X1 . Если X = X1 ? X2 , то
codim X1 = dim X2 и dim X = dim X1 + codim X1 .

2.3. Уравнения в операторах

2.3.1. Определение. Для оператора T ? L (X, Y ) определя-
ют: ker T := T ?1 (0) — ядро, coker T := Y / im T — коядро, coim T :=
X/ ker T — кообраз T .
Оператор T называют мономорфизмом, если ker T = 0. Опера-
тор T называют эпиморфизмом, если im T = Y .

2.3.2. Оператор является изоморфизмом в том и только в том
случае, если он мономорфизм и эпиморфизм одновременно.
2.3. Уравнения в операторах 19

2.3.3. Замечание. В дальнейшем иногда удобно пользовать-
ся языком коммутативных диаграмм. Научиться им пользоваться
можно, разобрав подходящий пример.
Так, фраза «следующая диаграмма
?1
-Y 
X
@ ?2 ?4
?3@
@?
R
V ?- W
5



коммутативна» означает, что ?1 ? L (X, Y ), ?2 ? L (Y, W ), ?3 ?
L (X, W ), ?4 ? L (V, Y ) и ?5 ? L (V, W ), причем ?2 ?1 = ?3
и ?5 = ?2 ?4 .
T S
2.3.4. Определение. Диаграмму X > Y > Z называют точ-
ной (в члене Y ) последовательностью, если ker S = im T . После-
довательность . . . > Xk?1 > Xk > Xk+1 > . . . называют точной
в члене Xk , если точна последовательность Xk?1 > Xk > Xk+1
(наименования операторов опущены). Рассматриваемую последова-
тельность называют точной, если она точна в каждом члене (кроме
первого и последнего, если таковые, разумеется, есть).
2.3.5. Примеры.
T S
(1) Точная последовательность X > Y > Z полуточна,
т. е. ST = 0. Обратное утверждение неверно.
T
(2) Последовательность 0 > X > Y точна в том и толь-
ко в том случае, если T — мономорфизм. (Здесь и в дальнейшем
запись 0 > X — это, конечно же, еще одно обозначение нуля —
единственного элемента пространства L (0, X) (см. 2.1.4 (3)).)
T
(3) Последовательность X > Y > 0 точна в том и толь-
ко в том случае, если T — эпиморфизм. (Понятно, что под символом
Y > 0 тут снова скрывается нуль — единственный элемент простран-
ства L (Y, 0).)
(4) Оператор T ? L (X, Y ) является изоморфизмом в
T
том и только в том случае, если 0 > X > Y > 0 — это точная
последовательность.
Гл. 2. Векторные пространства
20

(5) Пусть X0 — подпространство в X. Символом ? : X0 >
X обозначим оператор (тождественного) вложения: ?x0 := x0 для
всех x0 ? X0 . Пусть теперь X/X0 — фактор-пространство и ? :
X > X/X0 — соответствующее каноническое отображение. Тогда
последовательность
?
?
0 > X0 > X > X/X0 > 0
является точной. (Знаки ? и ? ниже в подобных случаях, как прави-
ло, опущены.) Указанная последовательность в известном смысле
уникальна. Именно, рассмотрим произвольную, как говорят, «ко-
роткую» последовательность
T S
0>X>Y >Z>0
и допустим, что она точна. Полагая Y0 := im T , легко построить изо-
морфизмы ?, ?, ? так, что получается следующая коммутативная
диаграмма:
T S
-X -Y -Z -0
0
?
? ?
? ? ?
- Y0 -Y - Y /Y0 -0
0
Иными словами, короткая точная последовательность по сути дела
то же, что подпространство и фактор-пространство по нему.
(6) Пусть T ? L (X, Y ) — оператор. С ним связана точ-
ная последовательность
T
0 > ker T > X > Y > coker T > 0,
называемая канонической точной последовательностью для T .
2.3.6. Определение. Оператор T называют продолжением T0
(пишут T ? T0 ), если коммутативна диаграмма

-X
X0
@
T
T0@ ?
@
R
Y
т. е. T0 = T ?, где ? : X0 > X — вложение.
2.3. Уравнения в операторах 21

2.3.7. Пусть X, Y — векторные пространства и X0 — подпро-
странство в X. Для любого T0 ? L (X0 , Y ) существует продолжение
T ? L (X, Y ).
Предъявим T := T0 PX0 , где PX0 — оператор проектирования
на X0 .

2.3.8. Теорема о разрешимости уравнения XA = B.
Пусть X, Y, Z — векторные пространства; A ? L (X, Y ), B ?
L (X, Z). Диаграмма

A
-Y
X
@
X
B@ ?
@
R
Z
коммутативна для некоторого X ? L (Y, Z) в том и только в том
случае, если ker A ? ker B.
?: То, что при B = X A выполнено ker A ? ker B, очевидно.
?: Положим X := B ? A?1 . Ясно, что для x ? X будет X ?
A(x) = B ? (A?1 ? A)x = B(x + ker A) = Bx. Проверим, что X0 :=
X |im A — линейный оператор. Следует проверить только однознач-
ность X . Пусть y ? im A и z1 , z2 ? X (y). Тогда z1 = Bx1 , z2 =
Bx2 , а Ax1 = Ax2 = y. По условию B(x1 ? x2 ) = 0. Значит, z1 = z2 .
Применяя 2.3.7, возьмем какое-либо продолжение X оператора X0
на пространство Y .

2.3.9. Замечание. Если в условиях 2.3.8 оператор A — эпи-
морфизм, то оператор X единствен.

2.3.10. Линейный оператор допускает единственное снижение
на свой кообраз.
Это следствие 2.3.8 и 2.3.9.

2.3.11. Линейный оператор T допускает (каноническое) разло-
жение в композицию эпиморфизма ?, изоморфизма T и мономор-
физма ?, т. е. коммутативна следующая диаграмма:
Гл. 2. Векторные пространства
22

T-
coim T im T
?6 ?
?
T
-Y
X
для единственного оператора T .
2.3.12. Пусть X — некоторое векторное пространство и заданы
f0 , f1 , . . . , fN ? X # . Функционал f0 является линейной комбинацией
f1 , . . . , fN в том и только в том случае, если ker f0 ? ?N ker fj .
j=1

Пусть (f1 , . . . , fN ) : X > FN — линейный оператор, заданный
соотношением

(f1 , . . . , fN )x := (f1 (x), . . . , fN (x)).

Видно, что ker(f1 , . . . , fN ) = ?N ker fj . Используя теорему 2.3.8
j=1
для задачи

- FN
(f1 ,...,fN )
X
@
@
f0@
@
R
@?
F

и учитывая строение пространства FN # , получаем требуемое.
2.3.13. Теорема о разрешимости уравнения AX = B.
Пусть X, Y, Z — векторные пространства; A ? L (Y, X), B ?
L (Z, X). Диаграмма
A
X Y
6
@
I
@ X
B@
Z
коммутативна для некоторого X ? L (Z, Y ) в том и только в том
случае, если im A ? im B.
2.3. Уравнения в операторах 23

?: im B = B(Z) = A(X (Z)) ? A(Y ) = im A.
?: Пусть Y0 — алгебраическое дополнение ker A в Y и A0 := A|Y0 .
Тогда A0 взаимно однозначно отображает Y0 на im A. Оператор
X := A?1 B, очевидно, искомый.
0

2.3.14. Замечание. Если в условиях 2.3.13 оператор A — мо-
номорфизм, то оператор X единствен.
2.3.15. Замечание. Теоремы 2.3.8 и 2.3.13 связаны «формаль-
ной двойственностью». Каждая из них получается из другой «обра-
щением стрелок», «перестановкой ядер и образов» и «переходом к
противоположному включению».
2.3.16. Лемма о снежинке. Пусть заданы S ? L (Y, Z) и
T ? L (X, Y ). Существуют, и притом единственные, операторы
?1 , . . . , ?6 , для которых коммутативна диаграмма:

0 0
S
w 
/
?2
- ker S
ker ST
?1  S  S ?3
7
 S  S
T
w
S 
/ w
S

0 - ker T -X -Y - coker T - 0
S S  
S S S 
ST S 
w/
S 
Z
?6 S  ?4
S S 
S  S 
S
w/ S
w/
coker S  coker ST
?5

/ S
w
0 0

При этом (выделенная) последовательность

? ? ?
1 2 3
0 > ker T ?> ker ST ?> ker S ?>
? ? ?
3 4 5
?> coker T ?> coker ST ?> coker S > 0

является точной.
Гл. 2. Векторные пространства
24

Упражнения
2.1. Привести примеры векторных пространств, а также и не векторных
пространств. Какие конструкции приводят к векторным пространствам?

2.2. Изучить векторные пространства над двухэлементным полем Z2 .

2.3. Описать векторное пространство со счетным базисом Гамеля.

2.4. Доказать существование разрывных решений f : R > R функциональ-
ного уравнения
f (x + y) = f (x) + f (y) (x, y ? R).

Как представить такие f графически?

2.5. Доказать, что пространство, алгебраически сопряженное к прямой
сумме, реализуется как прямое произведение.

2.6. Пусть X ? X0 ? X00 . Доказать, что X/X00 и (X/X0 )/(X00 /X0 ) —
изоморфные пространства.

2.7. Пусть отображение «двойной диез» определено правилом:

x## : x# > x | x# (x ? X, x# ? X # ).

Установить, что это отображение осуществляет вложение векторного простран-
ства X во второе сопряженное пространство X ## .

2.8. Доказать, что алгебраически рефлексивными являются конечномер-
ные пространства и только они, т. е.

##
(X) = X ## ? dim X < +?.

2.9. Есть ли аналоги базисов Гамеля в общих модулях?

2.10. При каких условиях сумма проекторов будет проектором?

2.11. Пусть T — эндоморфизм некоторого векторного пространства, при-
чем T n?1 = 0 и T n = 0 для какого-то натурального n. Доказать, что операторы
T 0 , T, . . . , T n?1 линейно независимы.

2.12. Описать строение линейных операторов, определенных на прямой
сумме пространств и действующих в произведение пространств.

2.13. Найти условия единственности решений следующих уравнений в опе-
раторах XA = B и AX = B (здесь неизвестным является оператор X ).

2.14. Как устроено пространство билинейных операторов?

2.15. Охарактеризовать векторные пространства, возникающие в резуль-
тате овеществления комплексных векторных пространств.
Упражнения 25

2.16. Для семейства линейно независимых векторов (xe )e?E подыскать та-
кое семейство функционалов (x# )e?E , чтобы выполнялись соотношения:
e


xe | x# = 1 (e ? E );
e


xe | x# = 0 (e, e ? E, e = e ).
e

2.17. Для семейства линейно независимых функционалов (x# )e?E подыс-
e
кать такое семейство векторов (xe )e?E , чтобы выполнялись соотношения:

xe | x# = 1 (e ? E );
e


xe | x# = 0 (e, e ? E, e = e ).
e

2.18. Найти условия совместности системы линейных уравнений и линей-
ных неравенств в вещественных векторных пространствах.
2.19. Пусть дана коммутативная диаграмма

T
W ?> X ?> Y ?> Z
?v ?v ?v ?v
T
W ?> X ?> Y ?> Z

с точными сторонами, причем ? — эпиморфизм, а ? — мономорфизм. Доказать,
что ker ? = T (ker ?) и T ?1 (im ?) = im ?.
Глава 3
Выпуклый анализ


3.1. Множества в векторных пространствах
3.1.1. Определение. Пусть — подмножество F 2 , а U — под-
множество векторного пространства. Множество U называют -
множеством (и пишут U ? ( )), если выполнено

(?1 , ?2 ) ? ? ?1 U + ?2 U ? U.

3.1.2. Примеры.
(1) Любое множество входит в (?). (Таким образом, (?)
не является множеством.)
(2) При := F 2 непустые -множества это в точности
линейные подмножества векторных пространств.
(3) Если := R2 , то непустые -множества в вектор-
ном пространстве X называют вещественными подпространствами
в X.

стр. 1
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>