<<

стр. 2
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

(4) Если := R2 , то непустые -множества называют ко-
+
нусами. Иными словами, непустое множество K является конусом
в том и только в том случае, если K + K ? K и ?K ? K при всех
? ? R+ . Непустые R2 \ 0-множества (иногда) называют незаост-
+
ренными конусами, а непустые R+ ? 0-множества — невыпуклыми
конусами. (Здесь и в дальнейшем использовано обычное обозначе-
ние R+ := {t ? R : t ? 0}.)
(5) Пусть := {(?1 , ?2 ) ? F 2 : ?1 + ?2 = 1}. Непу-
стые -множества называют аффинными многообразиями. Если X0
3.1. Множества ввекторных пространствах 27

— подпространство в X и x ? X, то x + X0 := {x} + X0 — аффинное
многообразие в X. Наоборот, если L — аффинное многообразие в X
и x ? L, то L ? x := L + {?x} — линейное множество в X.
(6) Пусть := {(?1 , ?2 ) ? F 2 : |?1 | + |?2 | ? 1}. Тогда
непустые -множества называют абсолютно выпуклыми.
(7) Пусть := {(?, 0) ? F 2 : |?| ? 1}. Тогда -множества
называют уравновешенными (при F := R говорят также о звездных
множествах; используют и термин «симметричное множество», что
не вполне оправдано).
(8) Пусть := {(?1 , ?2 ) ? R2 : ?1 ? 0, ?2 ? 0, ?1 + ?2 =
1}. Тогда -множества называют выпуклыми.
(9) Если := {(?1 , ?2 ) ? R2 : ?1 + ?2 ? 1}, то непустые
+
-множества называют коническими отрезками. Множество явля-
ется коническим отрезком в том и только в том случае, если оно
выпукло и содержит нуль.
(10) Для любого ? F 2 и произвольного векторного
пространства X над F выполнено X ? ( ). Отметим еще, что в 3.1.2
(1)–3.1.2 (9) множество является -множеством.
3.1.3. Пусть X — векторное пространство и E — некоторое се-
мейство -множеств в этом пространстве X. Тогда ?{U : U ?
im E } ? ( ). Если, кроме того, im E фильтровано по возрастанию
(относительно включения множеств), то ?{U : U ? im E } ? ( ).
3.1.4. Замечание. Предложение 3.1.3, в частности, означает,
что совокупность -множеств данного векторного пространства, бу-
дучи упорядочена по включению, становится полной решеткой.
3.1.5. Пусть X и Y — векторные пространства, а U ? X и V ?
Y — некоторые -множества. Тогда U ? V ? ( ).
Если одно из множеств U или V пусто, то U ? V = ? и
доказывать нечего. Пусть теперь u1 , u2 ? U и v1 , v2 ? V , а (?1 , ?2 ) ?
. Тогда ?1 u1 + ?2 u2 ? U , а ?1 v2 + ?2 v1 ? V . Значит, (?1 u1 +
? 2 u 2 , ? 1 v1 + ? 2 v2 ) ? U ? V .
3.1.6. Определение. Пусть X, Y — векторные пространства
и T ? X ? Y — соответствие. Пусть ? F 2 . Если T ? ( ), то T
называют -соответствием.
Гл. 3. Выпуклый анализ
28

3.1.7. Замечание. Если -множества (при фиксированном )
носят специальное название, то это название сохраняют и для -
соответствий. В этом смысле говорят о линейных и выпуклых соот-
ветствиях, аффинных отображениях и т. п. Уместно подчеркнуть
особенность терминологии: выпуклая функция одной переменной
не является выпуклым соответствием, за исключением тривиальных
случаев (см. 3.4.2).
3.1.8. Пусть T ? X ? Y — некоторое 1 -соответствие, а U ? X
— некоторое 2 -множество. Если 2 ? 1 , то T (U ) ? ( 2 ).
Если y1 , y2 ? T (U ), то для некоторых x1 , x2 ? U будет
(x1 , y1 ) ? T и (x2 , y2 ) ? T . Для (?1 , ?2 ) ? 2 имеем (?1 , ?2 ) ? 1 и,
значит, ?1 (x1 , y1 )+?2 (x2 , y2 ) ? T . Отсюда следует, что ?1 y1 +?2 y2 ?
T (U ).
3.1.9. Суперпозиция -соответствий — -соответствие.
Пусть F ? X ? V и G ? W ? Y и F, G ? ( ). Имеем
(x1 , y1 ) ? G ? F ? (? v1 ) (x1 , v1 ) ? F & (v1 , y1 ) ? G;
(x2 , y2 ) ? G ? F ? (? v2 ) (x2 , v2 ) ? F & (v2 , y2 ) ? G.
«Умножая первую строчку на ?1 , вторую — на ?2 , где (?1 , ?2 ) ? ,
и складывая результаты», последовательно получаем требуемое.
3.1.10. Если U , V — подмножества X и U , V ? ( ) для ? F 2,
то для любых ?, ? ? F выполнено ?U + ?V ? ( ).
Следует сослаться на 3.1.5, 3.1.8 и 3.1.9.
3.1.11. Определение. Пусть X — векторное пространство,
— подмножество F 2 и U — подмножество X. Множество
H (U ) := ?{V ? X : V ? ( ), V ? U }
называют -оболочкой U .
3.1.12. Справедливы утверждения:
(1) H (U ) ? ( );
(2) H (U ) — наименьшее -множество, содержащее U ;
(3) U1 ? U2 ? H (U1 ) ? H (U2 );
(4) U ? ( ) ? U = H (U );
(5) H (H (U )) = H (U ).
3.2. Упорядоченные векторные пространства 29

3.1.13. Имеет место формула Моцкина:

H (U ) = ?{H (U0 ) : U0 ? U, U0 — конечное подмножество}.

Обозначим через V множество, стоящее в правой части фор-
мулы Моцкина. Так как U0 ? U , то, по 3.1.12 (3), H (U0 ) ? H (U ),
а потому H (U ) ? V . В силу 3.1.12 (2) необходимо (и, разумеется,
достаточно) проверить, что V ? ( ). Но последнее следует из 3.1.3
и того факта, что H (U0 ) ? H (U1 ) ? H (U0 ? U1 ).
3.1.14. Замечание. Формула Моцкина показывает, что для
описания произвольных -оболочек следует найти лишь -оболочки
конечных множеств. Подчеркнем, что при конкретных использу-
ют специальные (но естественные) названия для -оболочек. Так,
при := {(?1 , ?2 ) ? R2 : ?1 + ?2 = 1} говорят о выпуклых оболоч-
+
ках и вместо H (U ) пишут co(U ). Вместо HF 2 (U ) пишут L (U ) или
lin(U ), если U = ?, кроме того, полагают для удобства L (?) := 0.
Множество L (U ) называют линейной оболочкой U (и по возможно-
сти не путают с пространством эндоморфизмов L (X) векторного
пространства X). Аналогично вводят понятия аффинной оболочки,
конической оболочки и т. п. Отметим здесь же, что выпуклая обо-
лочка конечного множества точек составлена из их же выпуклых
комбинаций, т. е.
N
co({x1 , . . . , xN }) = ?k xk : ?k ? 0, ?1 + . . . + ?N = 1 .
k=1

3.2. Упорядоченные векторные пространства
3.2.1. Определение. Пусть (X, R, +, · ) — векторное про-
странство. Пусть, далее, ? — предпорядок в X. Говорят, что ?
согласован с векторной структурой, если ? — конус в X 2 . В этом
случае пространство X называют упорядоченным векторным про-
странством. (Точнее говорить о предупорядоченном векторном про-
странстве (X, R, +, ·, ?), сохраняя термин «упорядоченное век-
торное пространство» для тех ситуаций, когда ? — это отношение
порядка.)
3.2.2. Пусть X — упорядоченное векторное пространство и ?
— соответствующий предпорядок. Тогда ?(0) — конус. При этом
?(x) = x + ?(0) для всякого x ? X.
Гл. 3. Выпуклый анализ
30

Множество ?(0) — конус в силу 3.1.3. Помимо того, из тожде-
ства (x, y) = (x, x) + (0, y ? x) выводим (x, y) ? ? ? y ? x ? ?(0).
3.2.3. Пусть K — конус в векторном пространстве X. Положим
? := {(x, y) ? X 2 : y ? x ? K}.
Тогда ? — предпорядок, согласованный с векторной структурой,
причем K совпадает с конусом положительных элементов ?(0). Бо-
лее того, ? является порядком в том и только в том случае, если
K ? (?K) = 0.
Ясно, что 0 ? K ? IX ? ? и K + K ? K ? ? ? ? ? ?. Имеем
также представление ? ?1 = {(x, y) ? X 2 : x ? y ? K}. Значит,
? ? ? ?1 ? IX ? K ? (?K) = 0. Осталось проверить, что ? — конус.
С этой целью возьмем (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ? ? и ?1 , ?2 ? R+ . Тогда
?1 y1 + ?2 y2 ? (?1 x1 + ?2 x2 ) = ?1 (y1 ? x1 ) + ?2 (y2 ? x2 ) ? ?1 K + ?2 K ?
K.
3.2.4. Определение. Заданный конус K называют упорядочи-
вающим или острым, если K ? (?K) = 0.
3.2.5. Замечание. На основании 3.2.2 и 3.2.3 задание в вектор-
ном пространстве структуры предупорядоченного векторного про-
странства равносильно выделению в нем конуса положительных эле-
ментов. Структуру упорядоченного векторного пространства созда-
ют выделением острого конуса. В этой связи о (пред)упорядоченном
векторном пространстве X часто говорят как о паре (X, X+ ), где
X+ — конус положительных элементов.
3.2.6. Примеры.
(1) Пространство функций R с конусом R+ := (R+ )
функций, принимающих положительные значения.
(2) Пусть X — упорядоченное векторное пространство
с конусом положительных элементов X+ . Если X0 — подпростран-
ство X, то порядок, индуцируемый в X0 из X, задан конусом X0 ?
X+ . В этом смысле X0 рассматривают как упорядоченное векторное
пространство.
(3) Пусть X и Y — (пред)упорядоченные векторные про-
странства. Оператор T ? L (X, Y ) называют положительным (пи-
шут T ? 0), если выполнено T (X+ ) ? Y+ . Множество всех положи-
тельных операторов образует конус L+ (X, Y ). Линейную оболочку
3.2. Упорядоченные векторные пространства 31

L+ (X, Y ) обозначают символом Lr (X, Y ). Операторы из Lr (X, Y )
называют регулярными.
3.2.7. Определение. Упорядоченное векторное пространство
называют векторной решеткой, если решеткой является упорядо-
ченное множество векторов рассматриваемого пространства.
3.2.8. Определение. Векторную решетку называют простран-
ством Канторовича или, короче, K-пространством, если любое
непустое ограниченное сверху множество в ней имеет точную верх-
нюю границу.
3.2.9. В K-пространстве каждое непустое ограниченное снизу
множество имеет точную нижнюю границу.
Пусть x ? U . Тогда ?x ? ?U . Значит, по 3.2.8 существует
sup(?U ). При этом ?x ? sup(?U ). Отсюда очевидно следует, что
? sup(?U ) = inf U .
3.2.10. В K-пространстве для непустых ограниченных сверху
множеств U и V выполнено

sup(U + V ) = sup U + sup V.

В случае, когда множество U или множество V состоит из
одного элемента, требуемое равенство ясно. Общий случай получаем
теперь в силу «ассоциативности точных верхних границ». Именно,

sup(U + V ) = sup{sup(u + V ) : u ? U } =

= sup{u + sup V : u ? U } = sup V + sup{u : u ? U } =
= sup V + sup U.
3.2.11. Замечание. Вывод предложения 3.2.10 можно считать
справедливым в произвольном упорядоченном векторном простран-
стве при условии, что у исходных множеств имеются точные верхние
границы. Аналогично трактуют соотношение: sup ?U = ? sup U для
? ? R+ .
3.2.12. Определение. Для элемента x векторной решетки век-
тор x+ := x ? 0 называют положительной частью x, элемент x? :=
(?x)+ — отрицательной частью, а |x| := x ? (?x) — модулем x.
Гл. 3. Выпуклый анализ
32

3.2.13. В векторной решетке для любых элементов x и y имеет
место тождество
x + y = x ? y + x ? y.
x + y ? x ? y = x + y + (?x) ? (?y) = y ? x
3.2.14. x = x+ ? x? ; |x| = x+ + x? .
Первое равенство получается из 3.2.13 при y := 0. Помимо
этого, |x| = x ? (?x) = ?x + (2x) ? 0 = ?x + 2x+ = (x+ ? x? ) + 2x+ =
x+ + x? .
3.2.15. Лемма о сумме промежутков. Для положительных
элементов x, y в векторной решетке X будет
[0, x + y] = [0, x] + [0, y].
(Как обычно, [u, v] := ?(u) ? ? ?1 (v) — (порядковый) промежу-
ток или интервал.)
Включение [0, x] + [0, y] ? [0, x + y] несомненно. Если же
0 ? z ? x + y, то положим z1 := z ? x. Видно, что z1 ? [0, x].
Пусть теперь z2 := z ? z1 . Тогда z2 ? 0. При этом z2 = z ? z ? x =
z + (?z) ? (?x) = 0 ? (z ? x) ? 0 ? (x + y ? x) = 0 ? y = y.
3.2.16. Теорема Рисса — Канторовича. Пусть X — вектор-
ная решетка, а Y — некоторое K-пространство. Пространство регу-
лярных операторов Lr (X, Y ) с конусом L+ (X, Y ) положительных
операторов является K-пространством.

3.3. Продолжение положительных функционалов и
операторов
3.3.1. Контрпримеры.
(1) Пусть X — пространство B([0, 1], R) ограниченных
вещественных функций на [0, 1], а X0 := C([0, 1], R) — подпростран-
ство X, составленное из непрерывных функций. Положим Y := X0
и наделим X0 , X и Y естественными отношениями порядка (ср. 3.2.6
(1) и 3.2.6 (2)). Рассмотрим задачу о продолжении тождественного
оператора T0 : X0 > Y до положительного оператора T ? L+ (X, Y ).
Если бы эта задача имела решение T , то у каждого непустого огра-
ниченного множества E в X0 нашлась бы точная верхняя граница
supX0 E , вычисленная в X0 . Именно, supX0 E = T supX E , где supX E
— точная верхняя граница E в X. В то же время нет сомнений, что
Y не является K-пространством.
3.3. Продолжение положительных функционалов 33

(2) Пусть s := RN — пространство последовательностей,
наделенное естественным порядком. Пусть, далее, c — подпростран-
ство в s, составленное из сходящихся последовательностей. Уста-
новим, что положительный функционал f0 : c > R, определенный
соотношением f0 (x) := lim x(n), не допускает положительного про-
должения на s. В самом деле, пусть f ? s# , f ? 0 и f ? f0 . Поло-
жим x0 (n) := n и xk (n) := k ? n для k, n ? N. Ясно, что f0 (xk ) = k.
Помимо этого, f (x0 ) ? f (xk ) ? 0, так как x0 ? xk ? 0. Получили
противоречие.
3.3.2. Определение. Подпространство X0 упорядоченного век-
торного пространства X с конусом положительных элементов X+
называют массивным (в X), если X0 + X+ = X.
3.3.3. Подпространство X0 массивно в X в том и только в том
случае, если для всякого x ? X найдутся элементы x0 , x0 ? X0
такие, что выполнено x0 ? x ? x0 .
3.3.4. Теорема Канторовича. Пусть X — упорядоченное век-
торное пространство, X0 — массивное подпространство в X и Y —
некоторое K-пространство. Любой положительный оператор T0 ?
L+ (X0 , Y ) допускает положительное продолжение T ? L+ (X, Y ).
Этап I. Пусть сначала X := X0 ? X1 , где X1 — одномерное
подпространство, X1 := {?x : ? ? R}. Так как подпространство
X0 массивно и оператор T0 положителен, то множество U := {T0 x0 :
x0 ? X0 , x0 ? x} ограничено снизу и, значит, определен элемент
y := inf U . Положим

T x := {T0 x0 + ?y : x = x0 + ?x, x0 ? X0 , ? ? R}.

Очевидно, T — однозначное линейное соответствие, причем T ? T0
и dom T = X. Осталось убедиться в положительности T .
Если x = x0 + ?x и x ? 0, то при ? = 0 доказывать нечего. Если
же ? > 0, то x ? ?x0 /?. Отсюда следует, что ?T0 x0 /? ? y, т. е.
T x ? Y+ . Аналогично при ? < 0 имеем x ? ?x0 /?. Стало быть,
y ? ?T0 x0 /? и вновь T x = T0 x0 + ?y ? Y+ .
Этап II. Пусть теперь E — совокупность таких однозначных
линейных соответствий S ? X ? Y , что S ? T0 и S(X+ ) ? Y+ .
В силу 3.1.3 при упорядочении по включению E индуктивно, и по
лемме Куратовского — Цорна в E есть максимальный элемент T .
Гл. 3. Выпуклый анализ
34

Если x ? X \ dom T , то можно применить доказанное на этапе I к
случаю X := dom T ? X1 , X0 := dom T, T0 := T и X1 := {?x : ? ? R}.
Возникает противоречие с максимальностью T . Итак, T — искомое
продолжение.
3.3.5. Замечание. При Y := R о 3.3.4 иногда говорят как о тео-
реме Крейна — Рутмана.
3.3.6. Определение. Элемент x из конуса положительных эле-
ментов называют дискретным, если [0, x] = [0, 1]x.
3.3.7. Если на пространстве (X, X+ ) имеется дискретный функ-
ционал, то X = X+ ? X+ .
Пусть T — такой функционал и X := X+ ? X+ . Возьмем
f ? X . Достаточно показать, что ker f ? X ? f = 0. По условию
#

T + f ? [0, T ], т. е. для некоторого ? ? [0, 1] будет T + f = ?T . Если
T |X = 0, то 2T ? [0, T ]. Отсюда T = 0 и f = 0. Если же T (x0 ) = 0
для какого-либо x0 ? X , то ? = 1 и вновь f = 0.
3.3.8. Теорема Крейна – Рутмана для дискретного функ-
ционала. Пусть X — упорядоченное векторное пространство, X —
массивное подпространство в X и T0 — дискретный функционал на
X0 . Тогда существует дискретный функционал T на X, продолжа-
ющий T0 .
«Подправим» доказательство 3.3.4.
Этап I. Предъявленный функционал T дискретен. В самом де-
ле, при T ? [0, T ] для подходящего ? ? [0, 1] при всех x0 ? X0 будет
T (x0 ) = ?T (x0 ) и (T ? T )(x0 ) = (1 ? ?)T (x0 ). Оцениваем:

T (x) ? inf{T (x0 ) : x0 ? x, x0 ? X0 } = ?T (x);

(T ? T )(x) ? inf{(T ? T )(x0 ) : x0 ? x, x0 ? X0 } = (1 ? ?)T (x).
Таким образом, T = ?T и [0, T ] ? [0, 1]T . Противоположное вклю-
чение справедливо всегда. Итак, функционал T дискретен.
Этап II. Пусть E — множество, введенное при доказательстве
3.3.4. Рассмотрим множество Ed , состоящее из таких элементов S ?
E , что след S|dom S представляет собой дискретный функционал на
пространстве dom S. Следует установить индуктивность Ed . В со-
ответствии с 1.2.19 возьмем цепь E0 в Ed . Положим S := ?{S0 :
3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы 35

S0 ? E0 }. Очевидно, что S ? E . Убедимся в дискретности S, что
и завершит доказательство.
Пусть S ? (dom S)# таков, что 0 ? S (x0 ) ? S(x0 ) для всех
x0 ? (dom S)+ . Если S(x0 ) = 0 для любого такого x0 , то S = 0S,
что и нужно. Если же S(x0 ) = 0 для некоторого x0 ? (dom S)+ , то
выберем S0 ? E0 из условия S0 (x0 ) = S(x0 ). Тогда в силу дискрет-
ности S0 можно записать: S (x ) = ?S(x ) для всех x ? dom S0 . При
этом ? = S (x0 )/S(x0 ), т. е. ? не зависит от выбора S0 . Поскольку
E0 — цепь, заключаем: S = ?S.

3.4. Выпуклые функции и сублинейные
функционалы
3.4.1. Определение. Полурасширенной числовой прямой R·
называют множество R· с присоединенным наибольшим элементом
+?. При этом полагают ?(+?) := +? (? ? R+ ), +? + x := x +
(+?) := +? (x ? R· ).

3.4.2. Определение. Пусть f : X > R· — некоторое отобра-
жение. Множество

epi f := {(x, t) ? X ? R : t ? f (x)}

называют надграфиком f , а множество

dom f := {x ? X : f (x) < +?}

— эффективной областью определения функции f .

3.4.3. Замечание. Непоследовательность в применении сим-
вола dom f кажущаяся. Именно, эффективная область определения
функции f : X > R· совпадает с областью определения однозначно-
го соответствия f ? X ? R из X в R. В этой связи при dom f = X
будем, как и прежде, писать f : X > R, опуская точку в R· .

3.4.4. Определение. Пусть X — вещественное векторное про-
странство. Отображение f : X > R· называют выпуклой функцией,
если надграфик epi f — это выпуклое множество.
Гл. 3. Выпуклый анализ
36

3.4.5. Отображение f : X > R· является выпуклой функцией
в том и только в том случае, если имеет место неравенство Йенсена,
т. е.
f (?1 x1 + ?2 x2 ) ? ?1 f (x1 ) + ?2 f (x2 ),
как только ?1 , ?2 ? 0, ?1 + ?2 = 1 и x1 , x2 ? X.
?: Если выбраны числа ?1 , ?2 ? 0, ?1 +?2 = 1 и один из век-
торов x1 , x2 не входит в dom f , то доказывать нечего — неравенство
Йенсена очевидно. Пусть x1 , x2 ? dom f . Тогда (x1 , f (x1 )) ? epi f
и (x2 , f (x2 )) ? epi f . Стало быть, с учетом 3.1.2 (8), ?1 (x1 , f (x1 )) +
?2 (x2 , f (x2 )) ? epi f .
?: Пусть f : X > R· — функция и (x1 , t1 ) ? epi f, (x2 , t2 ) ?
epi f , т. е. t1 ? f (x1 ) и t2 ? f (x2 ) (в случае dom f = ? будет f (x) =
+? (x ? X) и epi f = ?). Привлекая неравенство Йенсена, видим,
что для ?1 , ?2 ? 0, ?1 + ?2 = 1 справедливо (?1 x1 + ?2 x2 , ?1 t1 +
?2 t2 ) ? epi f .
3.4.6. Определение. Отображение p : X > R· называют суб-
линейным функционалом, если надграфик epi p — это конус.
3.4.7. При dom p = 0 эквивалентны утверждения:
(1) p является сублинейным функционалом;
(2) p — выпуклая функция, удовлетворяющая условию
положительной однородности; т. е. p(?x) = ?p(x)
при всех ? ? 0 и x ? dom p;
(3) для любых ?1 , ?2 ? R+ и x1 , x2 ? X выполнено
p(?1 x1 + ?2 x2 ) ? ?1 p(x1 ) + ?2 p(x2 );
(4) p — положительно однородный функционал, удовле-
творяющий условию субаддитивности: p(x1 + x2 ) ?
p(x1 ) + p(x2 ) для всех x1 , x2 ? X.
3.4.8. Примеры.
(1) Линейный функционал сублинеен, в то время как аф-
финный функционал — выпуклая функция.
(2) Пусть U — выпуклое множество в X. Положим
если x ? U,
0,
?(U )(x) :=
+?, если x ? U.
Отображение ?(U ) : X > R· называют индикаторной функцией мно-
жества U . Ясно, что ?(U ) — выпуклая функция. Если U — конус, то
3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы 37

?(U ) — сублинейный функционал. Если U — аффинное множество,
то ?(U ) — аффинный функционал.
(3) Сумма конечного числа выпуклых функций и точ-
ная верхняя граница (или верхняя огибающая) семейства выпуклых
функций (вычисляемая поточечно, т. е. в (R· )X ) суть выпуклые
функции. Аналогичные свойства наблюдают у сублинейных функ-
ционалов.
(4) Суперпозиция выпуклой функции с аффинным опе-
ратором (т. е. со всюду определенным однозначным аффинным со-
ответствием) является выпуклой функцией. Суперпозиция субли-
нейного функционала с линейным оператором — сублинейный функ-
ционал.
3.4.9. Определение. Пусть X — векторное пространство, а U
и V — два подмножества в X. Говорят, что U поглощает V , если
найдется n ? N, для которого V ? nU . Множество U называют
поглощающим (в X), если U поглощает каждую точку в X, т. е.
X = ?n?N nU .
3.4.10. Пусть T ? X ? Y — линейное соответствие, причем
im T = Y . Если U поглощающее (в X), то T (U ) поглощающее (в Y ).
Y = T (X) = T (?n?N nU ) = ?n?N T (nU ) = ?n?N nT (U )
3.4.11. Определение. Пусть U — подмножество векторного
пространства X. Точка x из U принадлежит ядру core U множе-
ства U (или алгебраически внутренняя в U ), если множество U ? x
— поглощающее в X.
3.4.12. Пусть f : X > R· — произвольная выпуклая функция
и x ? core dom f . Для всякого h ? X существует

f (x + ?h) ? f (x) f (x + ?h) ? f (x)
f (x)(h) := lim .
= inf
? ?
?>0
?v0


При этом отображение f (x) : h > f (x)h является сублинейным
функционалом f (x) : X > R.
Пусть ?(?) := f (x + ?h). В силу 3.4.8 (4) отображение ? : R >
· — это выпуклая функция. При этом 0 ? core dom ?. Отображение
R
? > (?(?) ? ?(0))/? (? > 0) возрастает и ограничено снизу, т. е.
имеется ? (0)(1). По определению f (x)(h) = ? (0)(1).
Гл. 3. Выпуклый анализ
38

Для ? > 0 и h ? H последовательно получаем

f (x + ??h) ? f (x)
f (x)(?h) = inf =
?
f (x + ??h) ? f (x)
= ? inf = ?f (x)(h).
??
Кроме того, для h1 , h2 ? X в силу уже установленного

f x + 1 ?(h1 + h2 ) ? f (x)
2
f (x)(h1 + h2 ) = 2 lim =
?
?v0


+ ?h1 ) + 1 (x + ?h2 ) ? f (x)
1
f 2 (x
?
2
= 2 lim
?
?v0

f (x + ?h1 ) ? f (x) f (x + ?h2 ) ? f (x)
? lim + lim =
? ?
?v0 ?v0

= f (x)(h1 ) + f (x)(h2 ).
Ссылка на 3.4.7 завершает доказательство.

3.5. Теорема Хана — Банаха
3.5.1. Определение. Пусть X — вещественное векторное про-
странство, f : X > R· — выпуклая функция и x ? dom f . Множество
?x (f ) := {l ? X # : (? y ? X) l(y) ? l(x) ? f (y) ? f (x)} называют
субдифференциалом функции f в точке x.
3.5.2. Примеры.
(1) Пусть p : X > R· — сублинейный функционал. Опре-
делим субдифференциал p соотношением ?(p) := ?0 (p). Тогда

?(p) = {l ? X # : (? x ? X) l(x) ? p(x)};
?x (p) = {l ? ?(p) : l(x) = p(x)}.

(2) Пусть l ? X # . Тогда ?(l) = ?x (l) = {l}.
(3) Пусть X0 — подпространство X. Тогда

?(?(X0 )) = {l ? X # : ker l ? X0 }.
3.5. Теорема Хана — Банаха 39

(4) Пусть f : X > R· — выпуклая функция и при этом
выполнено x ? core dom f . Тогда

?x (f ) = ?(f (x)).

3.5.3. Теорема Хана — Банаха. Пусть T ? L (X, Y ) — ли-
нейный оператор, f : Y > R· — выпуклая функция, а точка x ? X
такова, что T x ? core dom f . Тогда

?x (f ? T ) = ?T x (f ) ? T.

На основании 3.4.10 заключаем, что x ? core dom f . Применяя
3.5.2 (4), имеем ?x (f ? T ) = ?((f ? T ) (x)). Помимо этого, для h ? X
выполнено
(f ? T )(x + ?h) ? (f ? T )(x)
(f ? T ) (x)(h) = lim =
?
?v0


f (T x + ?T h) ? f (T x)
= f (T x)(T h).
= lim
?
?v0

Положим p := f (T x). Вновь апеллируя к 3.5.2 (4) и учитывая, что,
в силу 3.4.12, p — это сублинейный функционал, выводим:

?(p) = ?(f (T x)) = ?T x (f );

?(p ? T ) = ?((f ? T ) (x)) = ?x (f ? T ).
Таким образом, осталось доказать равенство

?(p ? T ) = ?(p) ? T.

Если l ? ?(p) ? T , т. е. l = l1 ? T , где l1 ? ?(p), то l1 (y) ? p(y)
для любого y ? Y . В частности, l(x) ? l1 (T x) ? p(T x) = p ? T (x) при
всех x ? X, т. е. l ? ?(p ? T ). Итак, ?(p) ? T ? ?(p ? T ).
Пусть теперь l ? ?(p ? T ). Если T x = 0, то l(x) ? p(T x) =
p(0) = 0, т. е. l(x) ? 0. То же верно для элемента ?x. Окончательно
l(x) = 0. Другими словами, ker l ? ker T . Значит, по теореме 2.3.8,
l = l1 ? T для некоторого l1 ? Y # . Полагая Y0 := T (X) и обозначая
символом ? вложение Y0 в Y , видим, что функционал l1 ? ? входит в
?(p ? ?). Если мы покажем, что ?(p ? ?) ? ?(p) ? ?, то для подходящего
Гл. 3. Выпуклый анализ
40

l2 ? ?(p) будет l1 ?? = l2 ??. Отсюда l = l1 ?T = l1 ???T = l2 ???T = l2 ?T ,
т. е. l ? ?(p) ? T .
Таким образом, для завершения доказательства теоремы Хана
— Банаха следует установить только, что ?(p ? ?) ? ?(p) ? ?.
Возьмем элемент l0 из ?(p ? ?) и в подпространстве Y0 := Y0 ? R
пространства Y := Y ? R рассмотрим функционал T0 : (y0 , t) >
t ? l0 (y0 ). Упорядочим Y с помощью конуса Y+ := epi p. Заметим,
во-первых, что подпространство Y0 является массивным в силу тож-
дества
(y, t) = (0, t ? p(y)) + (y, p(y)) (y ? Y, t ? R).
Во-вторых, при (y0 , t) ? Y0 ? Y+ , на основании 3.4.2, t ? p(y0 )
и, стало быть, T0 (y0 , t) = t ? l0 (y0 ) ? 0, т. е. T0 — положитель-
ный функционал на Y0 . По теореме 3.3.4 найдется положительный
функционал T на Y, продолжающий T0 . Положим l(y) := T (?y, 0)
для y ? Y . Ясно, что l ? ? = l0 . Помимо этого, T (0, t) = T0 (0, t) = t.
Следовательно, 0 ? T (y, p(y)) = p(y) ? l(y), т. е. l ? ?(p).
3.5.4. Замечание. Утверждение теоремы 3.5.3 именуют также
формулой линейной замены переменной под знаком субдифференци-
ала, подразумевая бросающуюся в глаза связь со стандартным цеп-
ным правилом дифференциального исчисления. Отметим здесь же,
что включение ?(p ? ?) ? ?(p) ? ? часто называют «теоремой Хана —
Банаха в аналитической форме» и выражают словами: «линейный
функционал, заданный на подпространстве векторного пространства
и мажорируемый там сублинейным функционалом, допускает про-
должение на все пространство до линейного функционала, мажори-
руемого исходным сублинейным функционалом».
3.5.5. Следствие. Пусть X — векторное пространство, X0 —
подпространство в X и p : X > R — сублинейный функционал.
Имеет место (несимметричная) формула Хана — Банаха:
?(p + ?(X0 )) = ?(p) + ?(?(X0 )).
Включение правой части искомой формулы в ее левую часть
очевидно. Для доказательства противоположного включения возь-
мем l ? ?(p + ?(X0 )). Тогда l ? ? ? ?(p ? ?), где ? — вложение X0
в X. По 3.5.3, l ? ? ? ?(p) ? ?, т. е. для подходящего l1 ? ?(p) выпол-
нено l ? ? = l1 ? ?. Положим l2 := l ? l1 . Из определения получаем
l2 ? ? = (l ? l1 ) ? ? = l ? ? ? l1 ? ? = 0, т. е. ker l2 ? X0 . Как отмечено
в 3.5.2 (3), это означает, что l2 ? ?(?(X0 )).
3.6. Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов 41

3.5.6. Следствие. Пусть f : X > R· — некоторая выпуклая
функция и x ? core dom f . Тогда ?x (f ) = ?.
Пусть p := f (x), а ? : 0 > X — вложение. Ясно, что 0 ? ?(p??),
т. е. ?(p ? ?) = ?. По 3.5.3, ?(p) = ? (иначе было бы ? = ?(p) ? ? =
?(p ? ?)). Осталось привлечь 3.5.2 (4).
3.5.7. Следствие. Пусть f , f : X > R· — выпуклые функции
1 2
и x ? core dom f1 ? core dom f2 . Тогда

?x (f1 + f2 ) = ?x (f1 ) + ?x (f2 ).

Пусть p1 := f1 (x) и p2 := f2 (x). Для x1 , x2 ? X положим
p(x1 , x2 ) := p1 (x1 ) + p2 (x2 ) и ?(x1 ) := (x1 , x1 ). Используя 3.5.2 (4)
и 3.5.3, последовательно выводим:

?x (f1 + f2 ) = ?(p1 + p2 ) = ?(p ? ?) =

= ?(p) ? ? = ?(p1 ) + ?(p2 ) = ?x (f1 ) + ?x (f2 ).
3.5.8. Замечание. Следствие 3.5.6 иногда называют теоремой
о непустоте субдифференциала. С одной стороны, ее можно устано-
вить непосредственным применением леммы Куратовского — Цор-
на. С другой стороны, имея следствие 3.5.6, можно доказать, что
?(p ? T ) = ?(p) ? T , следующим образом. Положим

pT (y) := inf{p(y + T x) ? l(x) : x ? X},

где l ? ?(p) и приняты обозначения из 3.5.3. Ясно, что функционал
pT сублинеен и любой элемент l1 из ?(pT ) удовлетворяет соотноше-
нию l = l1 ? T . Итак, непустота субдифференциала и теорема Хана
— Банаха в субдифференциальной форме образуют удобный (и не
порочный) круг.

3.6. Теорема Крейна — Мильмана для
субдифференциалов

3.6.1. Определение. Пусть X — вещественное векторное про-
странство и seg ? X 2 ? X — соответствие, действующее по закону

seg(x1 , x2 ) := {?1 x1 + ?2 x2 : ?1 , ?2 > 0, ?1 + ?2 = 1}.
Гл. 3. Выпуклый анализ
42

Пусть, далее, V — выпуклое множество в X и segV — сужение seg
на V 2 . Выпуклое множество U , лежащее в V , называют крайним
в V , если seg?1 (U ) ? U 2 . Крайние множества иногда называют
V
гранями. Точку x из V называют крайней точкой V , если {x} —
крайнее подмножество V . Множество крайних точек V обозначают
символом ext(V ).
3.6.2. Множество U является крайним в V в том и только в том
случае, если из условий v1 , v2 ? V, ?1 , ?2 > 0, ?1 + ?2 = 1 и
?1 v1 + ?2 v2 ? V вытекает, что v1 ? U и v2 ? U .
3.6.3. Примеры.
(1) Пусть p : X > R· — сублинейный функционал и точ-
ка x из X входит в dom p. Тогда ?x (p) — крайнее подмножество
?(p).
Действительно, если для ?1 , ?2 > 0 и ?1 +?2 = 1 известно, что
?1 l1 + ?2 l2 ? ?x (p) и l1 , l2 ? ?(p), то 0 = p(x) ? (?1 l1 (x) + ?2 l2 (x)) =
?1 (p(x) ? l1 (x)) + ?2 (p(x) ? l2 (x)) ? 0. Помимо этого, p(x) ? l1 (x) ? 0
и p(x) ? l2 (x) ? 0. Следовательно, l1 ? ?x (p) и l2 ? ?x (p).
(2) Пусть U — крайнее множество в V и, в свою очередь,
V — крайнее множество в W . Тогда U — крайнее множество в W .
(3) Пусть X — упорядоченное векторное пространство.
Элемент x ? X+ является дискретным в том и только в том случае,
если луч {?x : ? ? R+ } представляет собой крайнее множество
в конусе X+ .
?: Пусть 0 ? y ? x. Тогда x = 1/2 (2y) + 1/2 (2(x ? y)).
В силу 3.6.2, 2y = ?x и 2(x ? y) = ?x для некоторых ?, ? ? R+ .
Итак, 2x = (? + ?)x. Если x = 0, то доказывать нечего. Если же
x = 0, то ?/2 ? [0, 1] и, стало быть, [0, x] ? [0, 1]x. Обратное
включение очевидно.
?: Пусть [0, x] = [0, 1]x и для чисел ? ? 0; ?1 , ?2 > 0, ?1 +
?2 = 1 и элементов y1 , y2 ? X+ выполнено ?x = ?1 y1 + ?2 y2 . Если
? = 0, то ?1 y1 ? [0, x] и ?2 y2 ? [0, x] и, стало быть, y1 и y2 лежат
на рассматриваемом луче. Если же ? > 0, то (?1 /?)y1 = tx при
подходящем t ? [0, 1]. Наконец, (?2 /?)y2 = (1 ? t)x.
(4) Пусть U — выпуклое множество. Выпуклое подмно-
жество V множества U называют шапкой U , если U \ V — выпуклое
множество.
3.6. Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов 43

Точка x в U является крайней в том и только в том случае, если
{x} — шапка множества U.
3.6.4. Лемма о крайней точке субдифференциала. Пусть
p : X > R — сублинейный функционал и l ? ?(p). Пусть, далее,
X := X ? R, X+ := epi p и Tl : (x, t) > t ? l(x) (x ? X, t ? R).
Тогда l — крайняя точка ?(p) в том и только в том случае, если Tl
— дискретный функционал.
?: Возьмем функционал T ? X # такой, что T ? [0, Tl ].
Положим
t1 := T (0, 1), l1 (x) := T (?x, 0);

t2 := (Tl ? T )(0, 1), l2 (x) := (Tl ? T )(?x, 0).

Ясно, что t1 ? 0, t2 ? 0, t1 +t2 = 1; l1 ? ?(t1 p), l2 ? ?(t2 p) и l1 +l2 = l.
Если t1 = 0, то l1 = 0, т. е. T = 0 и T ? [0, 1]Tl . Если же t2 = 0,
то t1 = 1, т. е. T = Tl и вновь T ? [0, 1]Tl . Пусть теперь t1 , t2 > 0.
Тогда 1/t1 l1 ? ?(p) и 1/t2 l2 ? ?(p), причем l = t1 (1/t1 l1 )+t2 (1/t2 l2 ).
Поскольку по условию l ? ext(?(p)), из 3.6.2 выводим l1 = t1 l, т. е.
T = t1 T l .
?: Пусть l = ?1 l1 +?2 l2 , где l1 , l2 ? ?(p) и ?1 , ?2 > 0, ?1 + ?2 = 1.
Функционалы T := ?1 Tl1 и T := ?2 Tl2 положительны, причем
T ? [0, Tl ], ибо T + T = Tl . Значит, найдется ? ? [0, 1], для
которого T = ?Tl . Рассматривая точку (0, 1), получаем ?1 = ?.
Следовательно, l1 = l. Аналогично l2 = l.
3.6.5. Теорема Крейна — Мильмана для субдифферен-
циалов. Пусть p : X > R — сублинейный функционал. Для вся-
кого x ? X найдется крайний функционал l ? ext(?(p)) такой, что
l(x) = p(x).
Установим сначала теорему Крейна — Мильмана «в узком
смысле», т. е. докажем, что в субдифференциале любого сублиней-
ного функционала p есть крайние точки: ext(?(p)) = ?.
Введем в пространство X := X ? R конус X+ := epi p и выделим
подпространство X0 := 0?R. Заметим, что X+ ?X0 = 0?R+ = epi 0.
Применяя 3.6.4 для случая X := 0, l := 0 и p := 0, видим, что T0
— это дискретный функционал на X0 . Подпространство X0 в X
массивное (ср. доказательство 3.5.3). Апеллируя к 3.3.8, подыщем
дискретное продолжение T ? X # функционала T0 . Понятно, что
Гл. 3. Выпуклый анализ
44

T = Tl , где l(x) := T (?x, 0) при x ? X. Вновь привлекая 3.6.4,
приходим к соотношению l ? ext(?(p)).
Установим теперь теорему в полном объеме. На основании 3.4.12
и уже доказанного выберем элемент l из ext(?x (p (x))). Из 3.5.2 (2)
и 3.5.2 (4) вытекает: l ? ext(?x (p)). По 3.6.3 (1), ?x (p) — крайнее
множество в ?(p). Таким образом, в силу 3.6.3 (2) функционал l
является крайней точкой субдифференциала ?(p).
3.6.6. Следствие. Пусть p1 , p2 : X > R — сублинейные функ-
ционалы. Неравенство p1 ? p2 (в RX ) справедливо в том и только
в том случае, если ?(p1 ) ? ext(?(p2 )).
Бесспорно, что p1 ? p2 ? ?(p1 ) ? ?(p2 ). Кроме того, по 3.6.5,
p2 (x) = sup{l(x) : l ? ext(?(p2 ))}.

3.7. Теорема Хана — Банаха для полунормы
3.7.1. Определение. Пусть (X, F, +, · ) — векторное про-
странство над F. Векторное пространство (X, R, +, · |R ?X ) называ-
ют вещественной основой пространства (X, F, +, · ) и обозначают
коротко символом XR .
3.7.2. Определение. Пусть X — векторное пространство и f ?
X — линейный функционал. Положим Re f : x > Re f (x) (x ?
#

X). Возникающее отображение Re : (X # )R > (XR )# называют
овеществлением.
3.7.3. Овеществление Re — это изоморфизм вещественных век-
торных пространств (X # )R и (XR )# .
Следует разобрать только случай F := C, ибо при F := R
оператор Re — тождественное отображение.
Линейность оператора Re не вызывает сомнений. Убедимся
в том, что Re — мономорфизм и эпиморфизм одновременно (ср.
2.3.2).
Если Re f = 0, то

0 = Re f (ix) = Re(if (x)) =

= Re(i(Re f (x) + i Im f (x))) = ? Im f (x).
Отсюда f = 0 и Re — мономорфизм.
3.7. Теорема Хана — Банаха для полунормы 45

Если теперь g ? (XR )# , то положим f (x) := g(x) ? ig(ix). Оче-
видно, что f ? L (XR , CR ) и Re f (x) = g(x) при x ? X. Осталось
проверить, что f (ix) = if (x), ибо тогда f ? X # . Прямое вычисление
f (ix) = g(ix) + ig(x) = i(g(x) ? ig(ix)) = if (x) позволяет заключить,
что Re — эпиморфизм.
3.7.4. Определение. Оператор Re?1 : (XR )# > (X # )R назы-
вают комплексификатором.
3.7.5. Замечание. В силу 3.7.3 для комплексного поля скаля-
ров
Re?1 g : x > g(x) ? ig(ix) (g ? (XR )# , x ? X).
В случае F := R комплексификатор Re?1 — тождественный опера-
тор.
3.7.6. Определение. Пусть (X, F, +, · ) — векторное про-
странство над F. Функцию p : X > R· называют полунормой, если
dom p = ? и для x1 , x2 ? X и ?1 , ?2 ? F выполнено
p(?1 x1 + ?2 x2 ) ? |?1 |p(x1 ) + |?2 |p(x2 ).
3.7.7. Замечание. Каждая полунорма является сублинейным
функционалом (на вещественной основе рассматриваемого простран-
ства).
3.7.8. Определение. Пусть p : X > R· — полунорма. Множе-
ство
|?|(p) := {l ? X # : |l(x)| ? p(x) при всех x ? X}
называют субдифференциалом полунормы p.
3.7.9. Лемма о субдифференциале полунормы. Для лю-
бой полунормы p : X > R· субдифференциалы |?|(p) и ?(p) связаны
соотношениями
|?|(p) = Re?1 (?(p)); Re (|?|(p)) = ?(p).
При F := R очевидно равенство |?|(p) = ?(p). Осталось вспом-
нить, что в этом случае отображение Re — тождественное.
Пусть F := C. Если l ? |?|(p), то (Re l)(x) = Re l(x) ? |l(x)| ?
p(x) для всех x ? X, т. е. Re (|?|(p)) ? ?(p). Пусть теперь g ? ?(p)
и f := Re?1 g. Если f (x) = 0, то |f (x)| ? p(x). Если же f (x) = 0, то
положим ? := |f (x)|/f (x). Тогда |f (x)| = ?f (x) = f (?x) = Re f (?x) =
g(?x) ? p(?x) = |?|p(x) = p(x), ибо |?| = 1. Итак, f ? |?|(p).
Гл. 3. Выпуклый анализ
46

3.7.10. Пусть X — векторное пространство, p : X > R — полу-
норма и X0 — подпространство в X. Имеет место (несимметричная)
формула Хана — Банаха для полунормы

|?|(p + ?(X0 )) = |?|(p) + |?|(?(X0 )).

С помощью 3.7.9 и 3.5.5, выводим:

|?|(p + ?(X0 )) = Re?1 (?(p + ?(X0 ))) = Re?1 (?(p) + ?(?(X0 ))) =
= Re?1 (?(p)) + Re?1 (?(?(X0 ))) = |?|(p) + |?|(?(X0 )).

3.7.11. Пусть X, Y — векторные пространства, T ? L (X, Y )
— линейный оператор и p : Y > R — полунорма. Тогда p ? T —
полунорма, причем

|?|(p ? T ) = |?|(p) ? T.

Привлекая 2.3.8 и 3.7.10, последовательно имеем

|?|(p ? T ) = |?|(p + ?(im T )) ? T = (|?|(p) + |?|(?(im T ))) ? T =

= |?|(p) ? T + |?|(?(im T )) ? T = |?|(p) ? T.
3.7.12. Замечание. В случае оператора вложения и комплекс-
ного поля скаляров 3.7.11 называют теоремой Сухомлинова — Бо-
ненблюста — Собчика.
3.7.13. Теорема Хана — Банаха для полунормы. Пусть X
— векторное пространство, p : X > R — полунорма и X0 — под-
пространство в X. Пусть, далее, l0 — линейный функционал на X0 ,
для которого |l0 (x0 )| ? p(x0 ) при x0 ? X0 . Тогда существует такой
линейный функционал l на X, что |l(x)| ? p(x) для всякого x ? X и,
кроме того, l(x0 ) = l0 (x0 ), как только x0 ? X0 .

3.8. Функционал Минковского и отделимость
3.8.1. Определение. Пусть R — расширенная числовая пря-
мая (т. е. R· с присоединенным наименьшим элементом ??). Если
X — произвольное множество и f : X > R — некоторое отображение,
то для t ? R полагают

{f ? t} := {x ? X : f (x) ? t};
3.8. Функционал Минковского и отделимость 47

{f = t} := f ?1 (t);
{f < t} := {f ? t} \ {f = t}.
Множества {f ? t}, {f = t}, {f < t} называют лебеговыми мно-
жествами f . Помимо этого, множества {f = t} называют множе-
ствами уровня.
3.8.2. Лемма о задании функции лебеговыми множе-
ствами. Даны T ? R и t > Ut (t ? T ) — семейство подмножеств X.
Существует функция f : X > R такая, что

{f < t} ? Ut ? {f ? t} (t ? T )

в том и только в том случае, если отображение t > Ut возрастает.
?: Пусть T содержит не менее двух элементов s и t (в про-
тивном случае нечего доказывать). Если s < t, то

Us ? {f ? s} ? {f < t} ? Ut .

?: Положим f (x) := inf{t ? T : x ? Ut }. Тем самым задано
отображение f : X > R. Если для некоторого t ? T множество
{f < t} пусто, то {f < t} ? Ut . Если же x ? {f < t}, то f (x) < +?,
а потому найдется элемент s ? T , удовлетворяющий соотношениям
x ? Us и s < t. Итак, {f < t} ? Us ? Ut . Помимо этого, если x ? Ut ,
то по определению f будет f (x) ? t, т. е. выполнено Ut ? {f ? t}.
3.8.3. Лемма о сравнении функций, заданных лебеговы-
ми множествами. Пусть функции f, g : X > R определены се-
мействами (Ut )t?T и (Vt )t?T соответственно:

{f < t} ? Ut ? {f ? t};

{g < t} ? Vt ? {g ? t} (t ? T ).
Пусть, далее, T плотно в R (т. е. (? r, t ? R, r < t) (? s ? T ) (r <
X
s < t)). Неравенство f ? g (в R , т. е. f (x) ? g(x) для x ? X) имеет
место в том и только в том случае, если

t1 , t2 ? T, t1 < t2 ? Vt1 ? Ut2 .
Гл. 3. Выпуклый анализ
48

?: Следует из включений

Vt1 ? {g ? t1 } ? {f ? t1 } ? {f < t2 } ? Ut2 .

?: Пусть g(x) = +? (иначе заведомо f (x) ? g(x)). Для t ? R
такого, что g(x) < t < +?, выберем t1 , t2 ? T из условий g(x) <
t1 < t2 < t. Имеем

x ? {g < t1 } ? Vt1 ? Ut2 ? {f ? t2 } ? {f < t}.

Итак, f (x) < t. Из-за произвольности t получаем: f (x) ? g(x).

3.8.4. Следствие. Пусть T плотно в R и семейство t > Ut
(t ? T ) возрастает. Существует, и притом единственная, функция
f : X > R, для которой

{f < t} ? Ut ? {f ? t} (t ? T ).

Для лебеговых множеств f выполнены соотношения

{f < t} = ? {Us : s < t, s ? T };

{f ? t} = ?{Ur : t < r, r ? T } (t ? R).

Существование и единственность f обеспечены 3.8.2 и 3.8.3.
Если s < t, s ? T , то Us ? {f ? s} ? {f < t}. Если же f (x) < t, то
в силу плотности T найдется s ? T так, что f (x) < s < t. Значит,
x ? {f < s} ? Us , что доказывает формулу для {f < t}. Пусть
теперь r > t, r ? T . Тогда {f ? t} ? {f < r} ? Ur . В свою очередь,
если x ? Ur для r ? T, r > t, то будет выполнено f (x) ? r для всех
r > t, откуда f (x) ? t.

3.8.5. Пусть X — векторное пространство и S — некоторый ко-
нический отрезок в нем. Для t ? R положим Ut := ?, если t < 0, и
Ut := tS при t ? 0. Отображение t > Ut (t ? R) возрастающее.
Если 0 ? t1 < t2 и x ? t1 S, то x ? (t1 /t2 ) t2 S. Значит,
x ? t2 S.
3.8. Функционал Минковского и отделимость 49

3.8.6. Определение. Функционал pS : X > R такой, что

{pS < t} ? tS ? {pS ? t} (t ? R+ )

и {p < 0} = ?, называют функционалом Минковского конического
отрезка S. (Существование и единственность этого функционала
обеспечивают 3.8.2, 3.8.4 и 3.8.5.) Иными словами,

pS (x) = inf{t > 0 : x ? tS} (x ? X).

3.8.7. Теорема о функционале Минковского. Функционал
Минковского конического отрезка сублинеен и принимает положи-
тельные значения. Если, в свою очередь, p — некоторый субли-
нейный функционал с положительными значениями, то множества
{p < 1} и {p ? 1} суть конические отрезки. При этом p является
функционалом Минковского любого конического отрезка S такого,
что {p < 1} ? S ? {p ? 1}.
Пусть S — некоторый конический отрезок и pS — его функци-
онал Минковского. Пусть x ? X. Неравенство pS (x) ? 0 очевидно.
Возьмем ? > 0. Тогда

t
pS (?x) = inf{t > 0 : ?x ? tS} = inf t > 0 : x ? S =
?
= inf{?? > 0 : x ? ?S, ? > 0} =
= ? inf{? > 0 : x ? ?S} = ?pS (x).

Для проверки субаддитивности pS возьмем x1 , x2 ? X и, заметив,
что для t1 , t2 > 0 выполнено t1 S + t2 S ? (t1 + t2 )S (ибо имеет место
тождество

t1 t2
t1 x1 + t2 x2 = (t1 + t2 ) x1 + x2 ,
t1 + t2 t1 + t2
последовательно получаем

pS (x1 + x2 ) = inf{t > 0 : x1 + x2 ? tS} ?
? inf{t : t = t1 + t2 ; t1 , t2 > 0, x1 ? t1 S, x2 ? t2 S} =
= inf{t1 > 0 : x1 ? t1 S} + inf{t2 > 0 : x2 ? t2 S} = pS (x1 ) + pS (x2 ).
Гл. 3. Выпуклый анализ
50

Пусть теперь p : X > R· — произвольный сублинейный функционал
с положительными значениями. Пусть {p < 1} ? S ? {p ? 1}.
Положим Vt := {p < t}, Ut := tS для t ? R+ и Vt := Ut := ? при t < 0.
Ясно, что
{pS < t} ? Ut ? {pS ? t}; {p < t} ? Vt ? {p ? t}
для t ? R. Если 0 ? t1 < t2 , то Vt1 = {p < t1 } = t1 {p < 1} ? t1 S =
Ut1 ? Ut2 . Кроме того, Ut1 ? t1 {p ? 1} ? {p ? t1 } ? {p < t2 } ? Vt2 .
Значит, в силу 3.8.3 и 3.8.4, p = pS .
3.8.8. Замечание. Конический отрезок S в X является погло-
щающим множеством в том и только в том случае, если dom pS = X.
Если же известно, что S абсолютно выпукло, то pS — полунорма.
При этом для любой полунормы p множества {p < 1} и {p ? 1}
являются абсолютно выпуклыми.
3.8.9. Определение. Подпространство H данного векторного
пространства X называют гиперподпространством, если X/H изо-
морфно основному полю. Элементы X/H называют гиперплоско-
стями в X (параллельными H). Под гиперплоскостью в X пони-
мают аффинное многообразие, параллельное какому-либо гиперпод-
пространству X. При необходимости гиперплоскости в веществен-
ной основе XR пространства X именуют вещественными гиперплос-
костями в X.
3.8.10. Гиперплоскости в X суть в точности множества уровня
ненулевых элементов из X # .
3.8.11. Теорема отделимости. Пусть X — векторное прост-
ранство, U — непустое выпуклое множество в X и L — аффинное
многообразие в X. Если L ? U = ?, то найдется гиперплоскость H
в X такая, что H ? L и H ? core U = ?.
Не нарушая общности, можно считать, что core U = ? (иначе
нечего доказывать) и, более того, что 0 ? core U . Возьмем точку
x ? L и положим X0 := L ? x. Рассмотрим вектор-пространство
X/X0 и соответствующее каноническое отображение ? : X > X/X0 .
Привлекая 3.1.8 и 3.4.10, видим, что ?(U ) является поглощающим
коническим отрезком. Значит, в силу 3.8.7 и 3.8.8 функционал Мин-
ковского p := p?(U ) таков, что dom p = X/X0 и, кроме того,
?(core U ) ? core ?(U ) ? {p < 1} ? ?(U ).
Упражнения 51

Отсюда, в частности, следует, что p(?(x)) ? 1 либо ?(x) ? ?(U ).
На основании 3.5.6 имеется функционал f из субдифференциала
?x (p ? ?). Учитывая теорему Хана — Банаха 3.5.3, выводим

f ? ?x (p ? ?) = ??(x) (p) ? ?.

Положим H := {f = p ? ?(x)}. Ясно, что H — это вещественная
гиперплоскость в X. То, что H ? L, несомненно. Осталось сослаться
на 3.5.2 (1), чтобы заключить: H ? core U = ?. Пусть теперь f :=
Re?1 f и H := {f = f (x)}. Нет сомнений, что L ? H ? H. Таким
образом, гиперплоскость H — искомая.
3.8.12. Замечание. В условиях теоремы отделимости 3.8.11
можно считать, что core U ? L = ?. Отметим здесь же, что теорему
3.8.11 часто называют теоремой Хана — Банаха в геометрической
форме или же теоремой Минковского — Асколи — Мазура.
3.8.13. Определение. Пусть U , V — множества в X и H — ве-
щественная гиперплоскость в X. Говорят, что H разделяет U и V ,
если эти множества лежат в разных полупространствах, определя-
емых H, т. е. если существует представление H = {f = t}, где f ?
(XR )# и t ? R, для которого V ? {f ? t} и U ? {f ? t} := {?f ? ?t}.
3.8.14. Теорема отделимости Эйдельгайта. Пусть U и V —
непустые выпуклые множества, причем ядро V не пусто и не пере-
секается с U . Тогда найдется вещественная гиперплоскость, разде-
ляющая U и V и не содержащая точек ядра V .

Упражнения
3.1. Установить, что гиперплоскостями служат в точности максимальные
по включению аффинные множества, не совпадающие со всем пространством.
3.2. Доказать, что каждое аффинное множество представляет собой пере-
сечение гиперплоскостей.
3.3. Доказать, что в вещественном векторном пространстве дополнение ги-
перплоскости состоит из двух выпуклых множеств, каждое из которых совпада-
ет со своим ядром. Такие множества именуют открытыми полупространствами.
Объединение открытого полупространства с исходной гиперплоскостью называ-
ют замкнутым полупространством. Найти способы задания полупространств.
3.4. Найти возможные представления элементов выпуклой оболочки ко-
нечного числа точек. Как учесть конечномерность пространства, в котором ве-
дется рассмотрение?
Гл. 3. Выпуклый анализ
52

3.5. Для множеств S1 и S2 полагают S = 0???1 ?S1 ?(1??)S2 . Доказать,
что S выпукло при условии выпуклости S1 и S2 .
3.6. Вычислить функционалы Минковского полупространства, конуса, вы-
пуклой оболочки объединения и пересечения конических отрезков.
3.7. Пусть S := {p + q ? 1}, где p, q — функционалы Минковского кониче-
ских отрезков Sp и Sq . Выразить S через Sp и Sq .
3.8. Описать сублинейные функционалы, определенные на RN .
3.9. Вычислить субдифференциал максимума конечного числа линейных
функционалов.
3.10. Пусть p, q — сублинейные функционалы, находящиеся в общем по-
ложении, т. е. такие, что

dom p ? dom q = dom q ? dom p.

Доказать симметричную формулу Хана — Банаха (ср. 3.5.7)

?(p + q) = ?p + ?q.

3.11. Пусть p, q : X > R — всюду определенные на X сублинейные функ-
ционалы. Тогда выполнено равенство

?(p ? q) = co(?p ? ?q).

3.12. Найти функционал Минковского шара с необязательно нулевым цен-
тром симметрии в гильбертовом пространстве.
3.13. Симметричную квадратную 2 ? 2-матрицу назовем положительной,
если у нее положительные собственные числа. Согласован ли возникающий по-
рядок в пространстве таких матриц с векторной структурой? Определяет ли он
структуру пространства Канторовича?
3.14. На каждом ли упорядоченном векторном пространстве можно задать
нетривиальный положительный функционал?
3.15. Какими способами RN можно превратить в K-пространство?
3.16. При каких условиях заключение теоремы Хана — Банаха в аналити-
ческой форме выполнено для не всюду определенного сублинейного функциона-
ла?
3.17. Для стандартной нормы в l? найти крайние точки ее субдифферен-
циала.
3.18. Найти возможные обобщения теоремы Хана — Банаха для отображе-
ний, действующих в пространства Канторовича.
3.19. Для множества C в пространстве X определить преобразование Х?р-
е
мандера H(C) соотношением

H(C) = {(x, t) ? X ? R : x ? tC}.

Изучить свойства преобразования Х?рмандера.
е
Глава 4
Экскурс в метрические
пространства


4.1. Равномерность и топология метрического
пространства
4.1.1. Определение. Отображение d : X 2 > R+ называют
метрикой на X, если
(1) d(x, y) = 0 ? x = y;
(2) d(x, y) = d(y, x) (x, y ? X);
(3) d(x, y) ? d(x, z) + d(z, y) (x, y, z ? X).
Пару (X, d) называют метрическим пространством. Веще-
ственное число d(x, y) обычно именуют расстоянием между x и y.
Допуская вольность речи, само множество X в этой ситуации также
называют метрическим пространством.
4.1.2. Отображение d : X 2 > R+ является метрикой в том и
только в том случае, если
(1) {d ? 0} = IX ;
(2) {d ? t} = {d ? t}?1 (t ? R+ );
(3) {d ? t1 } ? {d ? t2 } ? {d ? t1 + t2 } (t1 , t2 ? R+ ).
Свойства 4.1.2 (1)–4.1.2 (3) суть переформулировки 4.1.1 (1)–
4.1.1 (3) соответственно.
4.1.3. Определение. Пусть (X, d) — метрическое простран-
ство и ? ? R+ \ 0. Множество B? := Bd,? := {d ? ?} называют за-
? ?
мкнутым цилиндром (порядка ?), а множество B ? := B d,? := {d < ?}
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
54

— открытым цилиндром (порядка ?). Образ B? (x) точки x при соот-
ветствии B? называют замкнутым шаром радиуса ? с центром в x.
?
Аналогично множество B ? (x) называют открытым шаром радиуса
? с центром x.

4.1.4. Открытые цилиндры, р?вно как и замкнутые цилиндры
а
непустого метрического пространства, составляют базисы одного и
того же фильтра.

4.1.5. Определение. Фильтр, порожденный цилиндрами непу-
стого метрического пространства (X, d) в множестве X 2 , называют
метрической равномерностью и обозначают UX , или Ud , или, нако-
нец, просто U , если нет сомнений, о каком пространстве идет речь.
При X := ? полагают UX := {?}. Элементы равномерности UX
называют окружениями (диагонали).

4.1.6. Пусть U — метрическая равномерность. Тогда
(1) U ? ?l {IX };
(2) U ? U ? U ?1 ? U ;
(3) (? U ? U ) (? V ? U ) V ? V ? U ;
(4) ?{U : U ? U } = IX .

4.1.7. Замечание. Свойство 4.1.6 (4), связанное с 4.1.1 (1), ча-
сто называют хаусдорфовостью U .

4.1.8. Для пространства X с равномерностью UX положим

? (x) := {U (x) : U ? U }.

Тогда ? (x) — фильтр для каждого x ? X. При этом
(1) ? (x) ? ?l {x};
(2) (? U ? ? (x)) (? V ? ? (x) & V ? U ) (? y ? V )
V ? ? (y).

4.1.9. Определение. Отображение ? : x > ? (x) называют
метрической топологией, а элементы ? (x) — окрестностями точки
x. Для обозначения топологии используют также и более полные
обозначения: ?X , ? (U ) и т. п.
4.1. Равномерность и топология метрического пространства 55

4.1.10. Замечание. Замкнутые шары с центром в некоторой
точке составляют базис фильтра окрестностей этой точки. То же
верно и для открытых шаров. Отметим еще, что у различных то-
чек в X существуют непересекающиеся окрестности. Это свойство,
связанное с 4.1.6 (4), называют хаусдорфовостью ?X .
4.1.11. Определение. Множество G в X называют открытым,
если оно является окрестностью каждой своей точки (символиче-
ски: G ? Op(? ) ? ((? x ? G) G ? ? (x))). Множество F в X на-
зывают замкнутым, если его дополнение открыто (символически:
F ? Cl(? ) ? (X \ F ? Op(? ))).
4.1.12. Объединение любого семейства и пересечение конечного
семейства открытых множеств суть множества открытые. Пересече-
ние любого семейства и объединение конечного семейства замкнутых
множеств суть множества замкнутые.
4.1.13. Определение. Для множества U в X полагают
?
int U := U := ?{G ? Op(?X ) : G ? U };
cl U := U := ?{F ? Cl(?X ) : F ? U }.
Множество int U называют внутренностью U , а его элементы —
внутренними точками U . Множество cl U называют замыканием
U , а его элементы — точками прикосновения U . Внутренность до-
полнения X \ U называют внешностью U , а элементы внешности —
внешними точками U . Точки пространства X, не являющиеся ни
внешними, ни внутренними для U , называют граничными точками
U . Совокупность всех граничных точек U называют границей U и
обозначают fr U или ?U .
4.1.14. Множество U является окрестностью точки x в том и
только в том случае, если x — внутренняя точка U .
4.1.15. Замечание. В связи с предложением 4.1.14 множество
Op(?X ) также часто называют топологией X, имея в виду, что ?X
однозначно восстанавливается по Op(?X ). Последнее, разумеется,
относится и к совокупности Cl(?X ) всех замкнутых множеств в X.
4.1.16. Определение. Пусть B — базис фильтра в X. Говорят,
что B сходится к точке x из X или что x — это предел B (и пишут:
B > x), если ?l B тоньше фильтра окрестностей точки x, т. е. ?l B ?
? (x).
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
56

4.1.17. Определение. Пусть (x? )?? — это (обобщенная) по-
следовательность в X. Говорят, что рассматриваемая последова-
тельность сходится к
x (пишут: x? > x), если к x сходится фильтр хвостов этой
последовательности. Используют и другие распространенные обо-
значения и обороты. Например, x = lim? x? и x — предел (x? ), когда
? пробегает .
4.1.18. Замечание. Предел фильтра, как и предел обобщенной
последовательности, единствен. Этот факт есть другое выражение
хаусдорфовости топологии.
4.1.19. Для непустого множества U и точки x равносильны сле-
дующие утверждения:
(1) точка x является точкой прикосновения U ;
(2) существует фильтр F такой, что F > x и U ? F ;
(3) существует последовательность (x? )?? элементов U ,
сходящаяся к точке x.
(1) ? (2): Так как x не является внешней точкой U , то филь-
тры ? (x) и ?l {U } имеют точную верхнюю границу F := ? (x)??l {U }.
(2) ? (3): Пусть F > x и U ? F . Превратим F в направле-
ние с помощью порядка, противоположного порядку по включению.
Возьмем xV ? V ? U для V ? F . Ясно, что xV > x.
(3) ? (1): Пусть V — замкнутое множество, (x? )?? — последо-
вательность элементов V и x? > x. Достаточно показать, что в этом
случае x ? V . Последнее очевидно, ибо при x ? X \ V хотя бы для
одного ? ? было бы x? ? X \ V .
4.1.20. Замечание. В условиях метрического пространства в
4.1.19 (2) можно считать, что фильтр F имеет счетный базис, а в
4.1.19 (3) — что := N. Указанное обстоятельство иногда выражают
словами: «метрические пространства удовлетворяют первой аксиоме
счетности».

4.2. Непрерывность и равномерная
непрерывность
4.2.1. Пусть f : X > Y и ?X , ?Y — топологии в X и Y соответ-
ственно. Эквивалентны утверждения:
4.2. Непрерывность и равномерная непрерывность 57

G ? Op(?Y ) ? f ?1 (G) ? Op(?X );
(1)
F ? Cl(?Y ) ? f ?1 (F ) ? Cl(?X );
(2)
(3) f (?X (x)) ? ?Y (f (x)) при всех x ? X;
(4) (x ? X, F > x) ? (f (F ) > f (x)) для фильтра F ;
(5) f (x? ) > f (x), каковы бы ни были точка x и сходяща-
яся к ней последовательность (x? ).
Эквивалентность (1) ? (2) вытекает из 4.1.11. Остается про-
верить, что (1) ? (3) ? (4) ? (5) ? (2).
(1) ? (3): Если V ? ?Y (f (x)), то W := int V ? Op(?Y ) и f (x) ? W .
Отсюда f ?1 (W ) ? Op(?X ) и x ? f ?1 (W ). Иначе говоря, f ?1 (W ) ?
?X (x) (см. 4.1.14). Помимо этого, f ?1 (V ) ? f ?1 (W ) и, следователь-
но, f ?1 (V ) ? ?X (x). Наконец, V ? f (f ?1 (V )).
(3) ? (4): Если F > x, то ?l F ? ?X (x) по определению 4.1.16.
Привлекая условие, выводим f (F ) ? f (?X (x)) ? ?Y (f (x)). Повтор-
ная апелляция к 4.1.16 дает f (F ) > f (x).
(4) ? (5): Образ фильтра хвостов последовательности (x? )??
при отображении f грубее фильтра хвостов (f (x? ))?? .
(5) ? (2): Пусть F — замкнутое подмножество в Y . Если F = ?,
то f ?1 (F ) также пусто, а потому и замкнуто. Пусть F непусто и
x — точка прикосновения f ?1 (F ). Рассмотрим последовательность
(x? )?? точек из f ?1 (F ), сходящуюся к x (ее существование обес-
печено 4.1.18). Тогда f (x? ) ? F и f (x? ) > f (x). Вновь применяя
4.1.18, видим, что f (x) ? F и, стало быть, x ? f ?1 (F ).
4.2.2. Определение. Отображение f : X > Y , удовлетворя-
ющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных утверждений
4.2.1 (1)–4.2.1 (5), (как хорошо известно) называют непрерывным.
Если при этом 4.2.1 (5) выполнено в фиксированной точке x ? X,
то говорят, что f непрерывно в точке x. Стало быть, f непрерыв-
но на X в том и только в том случае, если f непрерывно в каждой
точке X.
4.2.3. Суперпозиция непрерывных отображений непрерывна.
Следует трижды применить 4.2.1 (5).
4.2.4. Пусть f : X > Y и UX , UY — равномерности в X и Y
соответственно. Эквивалентны утверждения:
(1) (? V ? UY ) (? U ? UX ) (? x, y)(x, y) ? U ?
? (f (x), f (y)) ? V ;
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
58

(2) (? V ? UY ) f ?1 ? V ? f ? UX ;
(3) f ? (UX ) ? UY , где f ? : X 2 > Y действует по прави-
лу f ? : (x, y) > (f (x), f (y));
(4) (? V ? UY ) f ??1 (V ) ? UX , т. е. f ??1 (UY ) ? UX .
Достаточно заметить, что по 1.1.10 для U ? X 2 и V ? Y 2
выполнено

f ?1 ? V ? f = f ?1 (v1 ) ? f ?1 (v2 ) =
(v1 ,v2 )?V

= {(x, y) ? X 2 : (f (x), f (y)) ? V } = f ??1 (V );
f ? U ? f ?1 = f (u1 ) ? f (u2 ) =
(u1 ,u2 )?U

= {(f (u1 ), f (u2 )) : (u1 , u2 ) ? U } = f ? (U ).

4.2.5. Определение. Отображение f : X > Y , удовлетворя-
ющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных утвержде-
ний 4.2.4 (1)–4.2.4 (4), (как хорошо известно) называют равномерно
непрерывным.
4.2.6. Суперпозиция равномерно непрерывных отображений
равномерно непрерывна.
Пусть f : X > Y , g : Y > Z и h := g ? f : X > Z. Ясно, что

h? (x, y) = (h(x), h(y)) = (g(f (x)), g(f (y))) =
= g ? (f (x), f (y)) = g ? ? f ? (x, y)

для всех x, y из X. Значит, h? (UX ) = g ? (f ? (UX )) ? g ? (UY ) ? UZ в
силу 4.2.4 (3). Вновь апеллируя к 4.2.4 (3), видим, что h равномерно
непрерывно.
4.2.7. Равномерно непрерывное отображение непрерывно.
4.2.8. Определение. Пусть E — множество отображений из X
в Y и UX , UY — соответствующие равномерности. Множество E
называют равностепенно (равномерно) непрерывным, если

f ?1 ? V ? f ? UX .
(? V ? UY )
f ?E
4.3. Полунепрерывность 59

4.2.9. Равностепенно непрерывное множество отображений со-
стоит из равномерно непрерывных отображений. Конечное множе-
ство равномерно непрерывных отображений равностепенно непре-
рывно.

4.3. Полунепрерывность
4.3.1. Пусть (X1 , d1 ) и (X2 , d2 ) — метрические пространства.
Пусть, далее, X := X1 ? X2 . Для x := (x1 , x2 ) и y := (y1 , y2 )
положим
d(x, y) := d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ).
Тогда d — метрика на X . При этом для любого x := (x1 , x2 ) ? X
справедливо представление

?X (x) = ?l{U1 ? U2 : U1 ? ?X1 (x1 ), U2 ? ?X2 (x2 )}.

4.3.2. Определение. Топологию ?X называют произведени-
ем топологий ?X1 и ?X2 или топологией произведения X1 и X2 и
обозначают ?X1 ? ?X2 .
4.3.3. Определение. Функцию f : X > R· называют полуне-
прерывной снизу, если ее надграфик epi f — замкнутое множество
в топологии произведения X и R.
4.3.4. Примеры.
(1) Непрерывная функция f : X > R полунепрерывна
снизу.
(2) Если f? : X > R· — полунепрерывная снизу функция
для каждого ? ? , то верхняя огибающая f (x) := sup{f? (x) : ? ?
} (x ? X) также полунепрерывная снизу функция, так как epi f =
??? epi f? .
4.3.5. Функция f : X > R· полунепрерывна снизу в том и толь-
ко в том случае, если выполнено

x ? X ? f (x) = lim inf f (y).
y>x

Здесь, как обычно,

lim inf f (y) := lim f (y) := sup inf f (U )
y>x U ?? (x)
y>x
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
60

— нижний предел функции f в точке x (по фильтру ? (x)).
?: Если x ? dom f , то (x, t) ? epi f для каждого t ? R.
Значит, имеется окрестность Ut точки x, где inf f (Ut ) > t. Отсю-
да вытекает: limy>x inf f (y) = +? = f (x). Если же x ? dom f ,
то inf f (V ) > ?? для подходящей окрестности V точки x. Выбе-
рем ? > 0 и для любой U ? ? (x), лежащей в V , подыщем точку
xU ? U из условия inf f (U ) ? f (xU ) ? ?. По построению xU ? dom f
и, кроме того, xU > x (при введении естественного порядка в мно-
жество окрестностей точки x). Положим tU := inf f (U ) + ?. Ясно,
что tU > t := limy>x inf f (y) + ?. Поскольку (xU , tU ) ? epi f , то
(x, t) ? epi f в силу замкнутости надграфика f . Окончательно

lim inf f (y) + ? ? f (x) ? lim inf f (y).
y>x y>x

?: Если (x, t) ? epi f , то

t < lim inf f (y) = sup inf f (U ).
U ?? (x)
y>x


Таким образом, inf f (U ) > t для некоторой окрестности U точки x.
Отсюда вытекает, что дополнение (X ? R) \ epi f открыто.
4.3.6. Замечание. Свойство, указанное в предложении 4.3.5,
можно принять за основу определения полунепрерывности снизу в
точке.
4.3.7. Функция f : X > R непрерывна в том и только в том
случае, если f и ?f полунепрерывны снизу.
4.3.8. Функция f : X > R· полунепрерывна снизу в том и толь-
ко в том случае, если для всякого t ? R замкнуто лебегово множество
{f ? t}.
?: Если x ? {f ? t}, то t < f (x). На основании 4.3.5 в
подходящей окрестности U точки x будет t < inf f (U ). Иначе говоря,
дополнение X \ {f ? t} открыто.
?: Пусть для каких-нибудь x ? X и t ? R выполнены соотно-
шения limy>x inf f (y) ? t < f (x).
Возьмем ? > 0 из условия t + ? < f (x) и, используя рассуждения
доказательства 4.3.5, для U ? ? (x) найдем точку xU из U ? {f ?
inf f (U ) + ?}. Бесспорно, xU ? {f ? t + ?} и xU > x. Приходим к
противоречию.
4.4. Компактность 61

4.4. Компактность
4.4.1. Определение. Пусть C — множество в X. Множество C
называют компактным, если для каждого множества E ? Op(?X )
такого, что C ? ?{G : G ? E }, существует конечное подмножество
E0 в E , удовлетворяющее соотношению C ? ?{G : G ? E0 }.
4.4.2. Замечание. Определение 4.4.1 часто выражают слова-
ми: «множество компактно, если из любого его открытого покрытия
можно выделить конечное подпокрытие».
4.4.3. Замкнутое подмножество компактного множества явля-
ется компактным. Компактное множество замкнуто.
4.4.4. Замечание. В связи с 4.4.3 используют понятие отно-
сительно компактного множества, т. е. множества, замыкание ко-
торого компактно.
4.4.5. Теорема Вейерштрасса. Образ компактного множе-
ства при непрерывном отображении компактен.
Прообразы множеств из открытого покрытия образа состав-
ляют открытое покрытие исходного множества.
4.4.6. Полунепрерывная снизу функция принимает на непустом
компактном множестве наименьшее значение (т. е. образ такого мно-
жества имеет наименьший элемент).
Будем считать, что f : X > R· и X компактно. Пусть t := 0
inf f (X). Если t0 = +?, то доказывать нечего. Если же t0 < +?,
то положим T := {t ? R : t > t0 }. Множество Ut := {f ? t} для
t ? T непусто и замкнуто. Докажем, что ?{Ut : t ? T } непусто
(тогда любой элемент x указанного пересечения — искомый: f (x) =
inf f (X)).
Предположим противное. Тогда множество {Gt := X \ Ut : t ?
T } образует открытое покрытие X. Выделяя из него конечное под-
покрытие {Gt : t ? T0 }, выводим: ?{Ut : t ? T0 } = ?. Последнее
соотношение ложно, поскольку Ut1 ? Ut2 = Ut1 ?t2 при t1 , t2 ? T .
4.4.7. Критерий Бурбаки. Пространство является компакт-
ным в том и только в том случае, если каждый ультрафильтр в нем
сходится (ср. 9.4.4).
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
62

4.4.8. Произведение компактных пространств компактно.
Достаточно дважды применить критерий Бурбаки.
4.4.9. Теорема Кантора. Непрерывное отображение компак-
та равномерно непрерывно.

4.5. Полнота
4.5.1. Пусть B — базис фильтра в X. Тогда {B 2 : B ? B} —
базис фильтра B ? в X 2 .
(B1 ? B1 ) ? (B2 ? B2 ) ? (B1 ? B2 ) ? (B1 ? B2 )
4.5.2. Определение. Пусть F — фильтр в X и UX — равно-
мерность в X. Фильтр F называют фильтром Коши, если F ? ?
UX . Сеть в X называют сетью Коши или фундаментальной сетью,
если фильтр ее хвостов есть фильтр Коши. Аналогичный смысл
вкладывают в термин «фундаментальная последовательность».
4.5.3. Замечание. Если V — окружение в X 2 , а U — множе-
ство в X, то говорят, что U мало порядка V , если U 2 ? V . В частно-
сти, U мало порядка B? в том и только в том случае, если диаметр
diam U := sup(U 2 ) не больше ?. В связи с указанной терминологией
определение фильтра Коши выражают словами: «фильтр являет-
ся фильтром Коши в том и только в том случае, если он содержит
сколь угодно малые множества».
4.5.4. Для метрического пространства эквивалентны следую-
щие утверждения:
(1) каждый фильтр Коши сходится;
(2) каждая сеть Коши имеет предел;
(3) любая фундаментальная последовательность сходит-
ся.
Импликации (1) ? (2) ? (3) очевидны, поэтому установим
только импликацию (3) ? (1).
Пусть Un ? F — множество, малое порядка B1/n . Положим
Vn := U1 ? . . . ? Un и возьмем xn ? Vn . Имеем, что V1 ? V2 ? . . . и
diam Vn ? 1/n. Следовательно, (xn ) — фундаментальная последова-
тельность. Значит, есть предел: x := lim xn . Покажем, что F > x.
Для этого выберем n0 ? N из условия: d(xm , x) ? 1/2n при m ? n0 .
Тогда для произвольного n ? N будет d(xp , y) ? diam Vp ? 1/2n и
4.5. Полнота 63

d(xp , x) ? 1/2n, если только p := n0 ? 2n и y ? Vp . Отсюда вытека-
ет, что y ? Vp ? d(x, y) ? 1/n, т. е. Vp ? B1/n (x). Окончательно
заключаем: F ? ? (x).
4.5.5. Определение. Метрическое пространство, удовлетворя-
ющее одному (а потому и любому) из эквивалентных утверждений
4.5.4 (1)–4.5.4 (3), (как хорошо известно) называют полным.
4.5.6. Критерий Кантора. Метрическое пространство полно
в том и только в том случае, если всякое фильтрованное по убыва-
нию непустое семейство его непустых замкнутых подмножеств, диа-
метры которых стремятся к нулю, имеет общую точку.
?: Если B — подобное семейство множеств, то, по опреде-
лению 1.3.1, B — базис фильтра. По условию B — базис фильтра
Коши, т. е. существует предел: B > x. Точка x — искомая.
?: Пусть F — фильтр Коши. Положим B := {cl V : V ? F }.
Диаметры множеств из B стремятся к нулю. Стало быть, найдется
точка x такая, что x ? cl V при каждом V ? F . Ясно, что F > x. В
самом деле, пусть V — множество из F малое порядка ?/2 и y ? V .
Для некоторого y ? V будет d(x, y ) ? ?/2 и, значит, d(x, y) ?
d(x, y ) + d(y , y) ? ?, т. е., следовательно, V ? B? (x) и, значит,
B? (x) ? F .
4.5.7. Метрическое пространство полно в том и только в том
случае, если любая последовательность вложенных шаров B?1 (x1 ) ?
. . . ? B?n (xn ) ? B?n+1 (xn+1 ) ? . . . , радиусы (?n ) которых стремятся
к нулю, имеет общую точку.
4.5.8. Образ фильтра Коши при равномерно непрерывном отоб-
ражении — фильтр Коши.
Пусть отображение f действует из пространства X с равно-
мерностью UX в пространство Y с равномерностью UY . Пусть, да-
лее, F — фильтр Коши в X. Если V ? UY , то f ?1 ? V ? f ? UX по
определению 4.2.5 (см. 4.2.4 (2)). Поскольку F — фильтр Коши, то
при подходящем U ? F будет U 2 ? f ?1 ? V ? f . Оказывается, что
f (U ) мало порядка V . В самом деле,
f (u1 ) ? f (u2 ) =
f (U )2 =
(u1 ,u2 )?U 2

= f ? U 2 ? f ?1 ? f ? (f ?1 ? V ? f ) ? f ?1 = (f ? f ?1 ) ? V ? (f ? f ?1 ) ? V,
ибо, на основании 1.1.6, f ? f ?1 = Iim f ? IY .
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
64

4.5.9. Произведение полных пространств — полно.
Следует применить 4.5.8 и 4.5.4.
4.5.10. Пусть X0 плотно в X (т. е. cl X0 = X) и f0 : X0 > Y —
равномерно непрерывное отображение из X0 в полное пространство
Y . Тогда существует, и притом единственное, равномерно непре-
рывное отображение f : X > Y , продолжающее f0 , т. е. такое, что
f |X0 = f0 .

<<

стр. 2
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>