<<

стр. 3
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

Для x ? X фильтр Fx := {U ? X0 : U ? ?X (x)} является
фильтром Коши в X0 . Стало быть, из 4.5.8 можно вывести, что
f0 (FX ) — фильтр Коши в Y . В силу полноты Y существует предел
y ? Y , т. е. f0 (Fx ) > y. Более того, этот предел единствен (ср.
4.1.18). Полагаем f (x) := y. Остается провести несложную проверку
равномерной непрерывности отображения f .
4.5.11. Определение. Отображение f : (X, d) > (X, d ) на-
зывают изометрией X в X (или изометрическим вложением), если
d = d ? f ? . Отображение f называют изометрией X на X (короче,
изометрией), если f — изометрия X в X и, кроме того, im f = X.
4.5.12. Теорема Хаусдорфа о пополнении. Пусть (X, d) —
метрическое пространство. Тогда существуют полное метрическое
пространство (X, d ) и изометрия ? : (X, d) > (X, d ) на плотное
подпространство в (X, d ). Пространство (X, d ) единственно с точ-
ностью до изометрии в том смысле, что любая диаграмма
?
- (X, d )
(X, d)
@
?1@
@
R ?
(X1 , d1 )
где ?1 : (X, d) > (X1 , d1 ) — изометрия X на плотное подпростран-
ство полного пространства (X1 , d1 ), достраивается до коммутатив-
ной диаграммы с помощью изометрии : (X, d ) > (X1 , d1 ) про-
странства X и пространства X1 .
Единственность с точностью до изометрии вытекает из 4.5.10.
В самом деле, пусть 0 := ?1 ? ??1 . Тогда 0 — изометрия плотного
подпространства ?(X) в X на плотное подпространство ?1 (X) в X1 .
4.6. Компактность и полнота 65

единственное продолжение 0 на X. Следу-
Возьмем в качестве
действует на X1 . Выберем x1 из X1 .
ет проверить только, что
Этот элемент есть предел последовательности (?1 (xn )), где xn ? X.
Понятно, что (xn ) фундаментальная. Стало быть, фундаментальна
последовательность (?(xn )) в X. Пусть x := lim ?(xn ), x ? X. При
этом (x) = lim 0 (?(xn )) = lim ?1 ? ??1 (?(xn )) = lim ?1 (xn ) = x1 .
Наметим теперь схему доказательства существования X. Рас-
смотрим множество X всех фундаментальных последовательностей
в пространстве X. Определим в X отношение эквивалентности так:
x1 ? x2 ? d(x1 (n), x2 (n)) > 0. Пусть X := X / и d(?(x1 ), ?(x2 )) :=
?
lim d(x1 (n), x2 (n)), где ? : X > X — каноническое отображение.
Изометрия ? : (X, d) > (X, d ) строится так: ?(x) := ?(n > x (n ?
N)).
4.5.13. Определение. Пространство (X, d ), фигурирующее
в 4.5.12, р?вно как и любое изометричное ему пространство, назы-
а
вают пополнением пространства (X, d).
4.5.14. Определение. Множество X0 в (X, d) называют пол-
ным, если полным является пространство (X0 , d|X0 ) — подпростран-
2

ство (X, d).
4.5.15. Замкнутое подмножество полного пространства являет-
ся полным. Полное множество замкнуто.
4.5.16. Пусть X0 — подпространство некоторого полного мет-
рического пространства X. Тогда пополнение X0 изометрично за-
мыканию X0 в X.
Пусть X := cl X0 и ? : X0 > X — тождественное вложение.
Ясно, что ? — изометрия на плотное подпространство. При этом X
полно в силу 4.5.15. Осталось сослаться на 4.5.12.

4.6. Компактность и полнота
4.6.1. Компактное пространство полно.
4.6.2. Определение. Пусть U — множество в X и V ? UX .
Множество E в X называют V -сетью для U , если U ? V (E).
4.6.3. Определение. Множество называют вполне ограничен-
ным, если для каждого V из UX у него имеется конечная V -сеть.
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
66

4.6.4. Если для любого V из UX у множества U в X есть вполне
ограниченная V -сеть, то U — вполне ограниченное множество.
Пусть V ? UX и W ? UX таково, что W ? W ? V . Возьмем
вполне ограниченную W -сеть F для U , т. е. U ? W (F ). Поскольку
F вполне ограничено, то найдется конечная W -сеть E для F , т. е.
F ? W (E). Окончательно

U ? W (F ) ? W (W (E)) = W ? W (E) ? V (E),

т. е. E — конечная V -сеть для U .
4.6.5. Множество U в X является вполне ограниченным в том
и только в том случае, если для всякого V из UX найдется конечное
семейство U1 , . . . , Un подмножеств U такое, что U = U1 ? . . . ? Un и
каждое из множеств U1 , . . . , Un мало порядка V .
4.6.6. Замечание. Факт, отмеченный 4.6.5, выражают слова-
ми: «множество вполне ограничено тогда и только тогда, когда у
него есть конечные покрытия сколь угодно малыми множествами».
4.6.7. Критерий Хаусдорфа. Множество является компакт-
ным тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
4.6.8. Пусть C(X, F) — пространство непрерывных функций
на компакте X со значениями в основном поле F и с метрикой Че-
быш?ва
е

d(f, g) := sup dF (f (x), g(x)) = sup |f (x) ? g(x)| (f, g ? C(X, F)).
x?X x?X


Для ? ? UF положим

U? := (f, g) ? C(X, F)2 : g ? f ?1 ? ? .

Тогда Ud = ?l {U? : ? ? UF }.
4.6.9. Пространство C(X, F) полно.
4.6.10. Теорема Асколи — Арцела. Множество E в C(X, F)
относительно компактно в том и только в том случае, если E равно-
степенно непрерывно и множество ?{g(X) : g ? E } вполне ограни-
чено в пространстве F.
4.6. Компактность и полнота 67

?: То, что ?{g(X) : g ? E } — это вполне ограниченное
множество, не вызывает сомнений. Для проверки равностепенной
непрерывности E возьмем ? ? UF и подберем симметричное окруже-
ние ? из условия ? ? ? ? ? ? ?. По критерию Хаусдорфа найдется
конечная U? -сеть E в E . Рассмотрим окружение U ? UX , заданное
соотношением
f ?1 ? ? ? f
U :=
f ?E

(ср. 4.2.9). Для произвольных g ? E и f ? E таких, что g ? f ?1 ? ? ,
выполнено

? = ? ?1 ? (g ? f ?1 )?1 = (f ?1 )?1 ? g ?1 = f ? g ?1 .

Помимо этого, из свойств композиции соответствий и из 4.6.8 выте-
кает
g ? (U ) = g ? U ? g ?1 ? g ? (f ?1 ? ? ? f ) ? g ?1 ?
? (g ? f ?1 ) ? ? ? (f ? g ?1 ) ? ? ? ? ? ? ? ?.
Вместе с произвольностью g последнее означает, что E равностепен-
но непрерывно.
?: На основании 4.5.15, 4.6.7, 4.6.8 и 4.6.9 достаточно для каж-
дого ? ? UF построить конечную U? -сеть в E . Подыщем ? ? UF , для
которого ? ? ? ? ? ? ?, и найдем открытое симметричное окружение
U ? UX , чтобы было

g ?1 ? ? ? g
U?
g?E


(существование U обеспечено равностепенной непрерывностью E ).
Ясно, что семейство {U (x) : x ? X} образует открытое покры-
тие X. Используя компактность X, укажем конечное подпокрытие
{U (x0 ) : x0 ? X0 }. В частности, с учетом 1.1.10

IX ? U (x0 ) ? U (x0 ) =
x0 ?X0


U ?1 (x0 ) ? U (x0 ) = U ? IX0 ? U.
=
(x0 ,x0 )?IX0
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
68

Множество {g|X0 : g ? E } вполне ограничено в FX0 . Стало быть,
в этом множестве есть конечная ? -сеть. Точнее говоря, имеется ко-
нечное множество E в E , обладающее тем свойством, что для каж-
дого g ? E при подходящем f ? E справедливо

g ? IX0 ? f ?1 ? ? .

Применяя полученные оценки, последовательно выводим

g ? f ?1 = g ? IX ? f ?1 ? g ? (U ? IX0 ? U ) ? f ?1 ?

? g ? (g ?1 ? ? ? g) ? IX0 ? (f ?1 ? ? ? f ) ? f ?1 =
= (g ? g ?1 ) ? ? ? (g ? IX0 ? f ?1 ) ? ? ? (f ? f ?1 ) =
= Iim g ? ? ? (g ? IX0 ? f ?1 ) ? ? ? Iim f ?
? ? ? ? ? ? ? ?.
Таким образом, в силу 4.6.8, E — это конечная U? -сеть для E .
4.6.11. Замечание. Полезным утверждением является пере-
вод доказательства теоремы Асколи — Арцела на язык «?-?». Вот
необходимый словарь: «?, U? — это ?», «? — это ?/3», а «? — это
U ». Столь же полезно (и поучительно) найти обобщения теоремы
Асколи — Арцела для отображений, действующих в произвольные
пространства.

4.7. Бэровские пространства
4.7.1. Определение. Множество U принято называть разре-
женным или нигде не плотным, если в его замыкании нет внут-
ренних точек, т. е. int cl U = ?. Множество U называют тощим
(или множеством первой категории), если U содержится в объеди-
нении (не более чем) счетного числа разреженных множеств, т. е.
U ? ?n?N Un , int cl Un = ?. Нетощие множества, т. е. множества,
не являющиеся тощими, называют также множествами второй ка-
тегории.
4.7.2. Определение. Пространство называют бэровским, если
любое его непустое открытое множество нетощее.
4.7. Бэровские пространства 69

4.7.3. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) X — бэровское пространство;
(2) объединение счетного числа замкнутых разреженных
множеств не имеет внутренних точек;
(3) пересечение счетного числа любых всюду плотных
(т. е. плотных в X) открытых множеств является
всюду плотным;
(4) дополнение любого тощего множества всюду плотно.
(1) ? (2): Пусть U := ?n?N Un , Un = cl Un , причем int Un = ?.
Тогда U — тощее множество. Так как int U ? U и int U — открытое
множество, то int U , являясь тощим множеством, обязательно пусто
в силу бэровости X.
(2) ? (3): Пусть U := ?n?N Gn , где Gn открыто и cl Gn = X.
Тогда X \U = X \?n?N Gn = ?n?N (X \Gn ). При этом X \Gn замкнуто
и int(X \ Gn ) = ? (ибо cl Gn = X). Стало быть, int(X \ U ) = ?.
Последнее означает, что у U пустая внешность, т. е. U всюду плотно.
(3) ? (4): Пусть U тощее в X, т. е. U ? ?n?N Un и int cl Un = ?.
Можно считать, что Un = cl Un . Тогда Gn := X \ Un открыто и всюду
плотно. По условию ?n?N Gn = X \ ?n?N Un всюду плотно. При этом
указанное множество содержится в X \ U и, значит, множество X \ U
всюду плотно.
(4) ? (1): Если U — непустое открытое множество в X, то X \ U
не является всюду плотным. Следовательно, U нетощее.
4.7.4. Замечание. В связи с 4.7.3 (4) отметим, что дополне-
ния тощих множеств (иногда) называют вычетами или остаточ-
ными множествами. Вычеты в бэровском пространстве — нетощие
множества.
4.7.5. Теорема Осгуда. Пусть X — бэровское пространство
и (f? : X > R)?? — семейство полунепрерывных снизу функций,
причем sup{f? (x) : ? ? } < +? для каждого x ? X. Тогда всякое
непустое открытое множество G в X содержит непустое открытое
подмножество G0 , на котором семейство (f? )?? равномерно ограни-
чено сверху, т. е. выполнено supx?G0 sup {f? (x) : ? ? } ? +?.
4.7.6. Теорема Бэра. Полное метрическое пространство — бэ-
ровское.
Пусть G — непустое открытое множество и x0 ? G. Допустим,
что G тощее, т. е. G ? ?n?N Un , где int Un = ? и Un = cl Un . Найдем
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
70

?0 > 0 из условия B?0 (x0 ) ? G. Ясно, что U1 не содержит целиком
шар B?0 /2 (x0 ), т. е. имеется x1 ? B?0 /2 (x0 ) \ U1 . В силу замкнутости
U1 можно подыскать ?1 так, что 0 < ?1 ? ?0 /2 и B?1 (x1 ) ? U1 = ?.
Проверим, что B?1 (x1 ) ? B?0 (x0 ). Действительно, если d(x1 , y1 ) ?
?1 , то d(y1 , x0 ) ? d(y1 , x1 ) + d(x1 , x0 ) ? ?1 + ?0 /2, ибо d(x1 , x0 ) ?
?0 /2. Шар B?1 /2 (x1 ) не лежит целиком в U2 . Поэтому существуют
x2 ? B?1 /2 (x1 ) \ U2 и 0 < ?2 ? ?1 /2 такие, что B?2 (x2 ) ? U2 = ?.
Видно, что вновь B?2 (x2 ) ? B?1 (x1 ). Продолжая начатый процесс по
индукции, получим последовательность шаров B?0 (x0 ) ? B?1 (x1 ) ?
B?2 (x2 ) ? . . . , причем ?n+1 ? ?n /2 и B?n (xn )?Un = ?. На основании
4.5.6 у построенных шаров есть общая точка x := lim xn . При этом,
конечно же, x = ?n?N Un и, стало быть, x ? G. С другой стороны,
x ? B?0 (x0 ) ? G. Получили противоречие.

4.7.7. Замечание. Теорему Бэра часто используют как «чи-
стую теорему существования».
В качестве классической иллюстрации рассмотрим вопрос о су-
ществовании непрерывных нигде не дифференцируемых функций.
Для f : [0, 1] > R и x ? [0, 1) положим

f (x + h) ? f (x)
D+ f (x) := lim inf ;
h
hv0


f (x + h) ? f (x)
D+ f (x) := lim sup .
h
hv0


Элементы D+ f (x) и D+ f (x) из расширенной числовой прямой R
называют нижней правой и соответственно верхней правой произ-
водной Дини функции f в точке x.
Пусть D — это множество таких функций f ? C([0, 1], R), что
для некоторой точки x ? [0, 1) элементы D+ f (x) и D+ f (x) входят
в R, т. е. конечны. Тогда D — тощее множество. Значит, функции,
не имеющие производной ни в одной точке из (0, 1), всюду плотны
в C([0, 1], R). В то же время конкретные примеры таких функций
дались не просто. Вот наиболее известные из них:

?
4n x
функция Ван дер Вардена —
4n
n=0
4.8. Теорема Жордана и простые картины 71

(здесь x := (x ? [x]) ? (1 + [x] ? x) — расстояние до ближайшего к
x целого числа),

+?
1
функция Римана — sin (n2 ?x)
n2
n=0

и, наконец, исторически первая

?
функция Вейерштрасса — bn cos (an ?x)
n=0

3?
(здесь a — нечетное положительное целое, 0 < b < 1 и ab > 1 + 2 ).


4.8. Теорема Жордана и простые картины
4.8.1. Замечание. В топологии, в частности, устанавливают
глубокие и тонкие факты о метрическом пространстве R2 . Ниже
приведены используемые в дальнейшем те из этих фактов, роль ко-
торых известна, например, из комплексного анализа.
4.8.2. Определение. Гомеоморфный (= взаимно однозначный
и взаимно непрерывный) образ отрезка называют (жордановой) ду-
гой. Гомеоморфный образ окружности называют простой (жорда-
новой) петлей. Естественный смысл вкладывают в понятия типа
«гладкая дуга» и т. п.
4.8.3. Теорема Жордана. Пусть ? — простая петля в плоско-
сти R2 . Существуют непересекающиеся открытые множества G1 и
G2 такие, что

G1 ? G2 = R2 \ ?; ? = ?G1 = ?G2 .

4.8.4. Замечание. Одно из множеств G1 и G2 , фигурирую-
щих в 4.8.3, ограничено. Помимо этого, каждое из них связно, т. е.
непредставимо в виде объединения двух непустых непересекающих-
ся открытых подмножеств. В этой связи теорему Жордана часто
выражают так: «простая петля разрезает плоскость на две области
и является их общей границей».
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
72

4.8.5. Определение. Пусть D, D1 , . . . , Dn — замкнутые круги
(= замкнутые шары) на плоскости, причем Dm ? Dk = ? при m = k
и D1 , . . . , Dn ? int D. Множество
n
D\ int Dk
k=1
называют резным диском. Всякое множество в плоскости, диффео-
морфное (= «гладко гомеоморфное») некоторому резному диску, на-
зывают связным элементарным компактом. Объединение непусто-
го конечного семейства попарно не пересекающихся связных элемен-
тарных компактов называют элементарным компактом.
4.8.6. Замечание. Граница ?F элементарного компакта F со-
стоит из конечного числа непересекающихся гладких простых пе-
тель. При этом вложение F в (ориентированную) плоскость R2 ин-
дуцирует в F структуру (ориентированного) многообразия с (ориен-
тированным) краем ?F . Отметим здесь же, что в силу 4.8.3 имеет
смысл говорить о положительной ориентации гладкой петли, подра-
зумевая ориентацию края компактной части плоскости, ограничен-
ной этой петлей.
4.8.7. Пусть K — компактное подмножество плоскости и G —
непустое открытое множество, содержащее K. Тогда существует эле-
ментарный компакт F такой, что
K ? int F ? F ? G.
4.8.8. Определение. Множество F , наличие которого отмече-
но в 4.8.7, называют простой картиной для пары (K, G).

Упражнения
4.1. Привести примеры метрических пространств. Выяснить, какими спо-
собами можно получать новые метрические пространства.
4.2. Каким должен быть фильтр в X 2 , совпадающий с некоторой метри-
ческой равномерностью в X?
4.3. Пусть S — пространство измеримых функций на [0, 1] с метрикой
1
|f (t) ? g(t)|
(f, g ? S)
d(f, g) := dt
1 + |f (t) ? g(t)|
0

(подразумевается некоторая естественная факторизация — какая именно?). Вы-
яснить смысл сходимости в этом пространстве.
Упражнения 73

4.4. Для ?, ? ? NN полагают
d(?, ?) = 1/ min {k ? N : ?k = ?k }.
Проверить, что d — метрика и что пространство NN гомеоморфно множеству
иррациональных чисел.
4.5. Можно ли метризовать поточечную сходимость последовательностей?
А функций?
4.6. Как следует ввести разумную метрику в счетное произведение метри-
ческих пространств? В произвольное произведение метрических пространств?
4.7. Выяснить, какие классы функций описываются ошибочными опреде-
лениями непрерывности и равномерной непрерывности.
4.8. Для непустых компактных подмножеств A и B пространства RN по-
ложим
sup inf |x ? y| ? sup inf |x ? y|
d(A, B) := .
x?A y?B y?B x?A

Установить, что d — метрика. Ее называют метрикой Хаусдорфа. Каков смысл
сходимости в этой метрике?
4.9. Доказать, что непустые выпуклые компактные подмножества выпук-
лого компакта в RN составляют компакт относительно метрики Хаусдорфа. Ка-
кова связь этого утверждения с теоремой Арцела — Асколи?
4.10. Доказать, что каждая полунепрерывная снизу функция на RN есть
верхняя огибающая некоторого семейства непрерывных функций.
4.11. Выяснить связи между непрерывными и замкнутыми (как множества
в произведении) отображениями метрических пространств.
4.12. Выяснить, когда непрерывное отображение метрического простран-
ства в полное метрическое пространство допускает распространение на пополне-
ние исходного пространства.
4.13. Описать компактные множества в произведении метрических про-
странств.
4.14. Пусть (Y, d) — полное метрическое пространство. Отображение F :
Y > Y называют расширяющимся, если d(F (x), F (y)) ? ?d(x, y) для некоторого
? > 1 и x, y ? Y . Пусть расширяющееся отображение F : Y > Y действует на
Y . Доказать, что F взаимно однозначно и обладает единственной неподвижной
точкой.
4.15. Доказать, что компакт не отображается изометрично на свою соб-
ственную часть.
4.16. Установить нормальность произвольного метрического пространства.
4.17. При каких условиях счетное подмножество полного метрического
пространства является нетощим?
4.18. Можно ли охарактеризовать равномерную непрерывность в терминах
сходящихся последовательностей?
4.19. На каких метрических пространствах любая непрерывная веществен-
ная функция достигает точные границы множества своих значений? Ограниче-
на?
Глава 5
Мультинормированные и
банаховы пространства


5.1. Полунормы и мультинормы
5.1.1. Пусть X — векторное пространство над основным полем
F и p : X > R· — полунорма. Тогда
(1) dom p — подпространство в X;
(2) p(x) ? 0 для всех x ? X;
(3) ядро полунормы ker p := {p = 0} — подпространство
X;
?
(4) множества B p := {p < 1} и Bp := {p ? 1} абсолютно
выпуклые, причем p является функционалом Мин-
ковского любого абсолютно выпуклого множества B
?
такого, что B p ? B ? Bp ;
?
(5) X = dom p в том и только в том случае, если B p —
поглощающее множество.
Если x1 , x2 ? dom p и ?1 , ?2 ? F, то ввиду 3.7.6 имеем

p(?1 x1 + ?2 x2 ) ? |?1 |p(x1 ) + |?2 |p(x2 ) < +? + (+?) = +?.

Значит, (1) верно. Допустим, что (2) не верно, т. е. для некоторого
x ? X справедливо p(x) < 0. Тогда 0 ? p(x) + p(?x) < p(?x) =
p(x) < 0. Получается противоречие. Утверждение (3) немедленно
следует из (2) и субаддитивности p. Справедливость (4) и (5) ча-
стично уже отмечалась (ср. 3.8.8). Оставшаяся неотмеченной часть
обосновывается теоремой о функционале Минковского.
5.1. Полунормы и мультинормы 75

5.1.2. Пусть p, q : X > R· — две полунормы. Неравенство p ? q
(в множестве (R· )X ) имеет место в том и только в том случае, если
Bp ? Bq .
?: Ясно, что {q ? 1} ? {p ? 1}.
?: Имеем, по 5.1.1 (4), p = pBp и q = pBq . Возьмем t1 , t2 ? R
такие, что t1 < t2 . Если t1 < 0, то {q ? t1 } = ? и, стало быть,
{q ? t1 } ? {p ? t2 }. Если же t1 ? 0, то t1 Bq ? t1 Bp ? t2 Bp . Значит,
в силу 3.8.3, p ? q.
5.1.3. Пусть X, Y — векторные пространства, T ? X ? Y —
линейное соответствие и p : Y > R· — полунорма. Пусть, далее,
pT (x) := inf p ? T (x) для x ? X. Тогда pT : X > R· — полунорма,
множество BT := T ?1 (Bp ) абсолютно выпукло, причем pT = pBT .
Для x1 , x2 ? X и ?1 , ?2 ? F имеем

pT (?1 x1 + ?2 x2 ) = inf p(T (?1 x1 + ?2 x2 )) ?
? inf p(?1 T (x1 ) + ?2 T (x2 )) ?
? inf(|?1 |p(T (x1 )) + |?2 |p(T (x2 ))) =
= |?1 |pT (x1 ) + |?2 |pT (x2 ),

т. е. pT — полунорма.
То, что множество BT абсолютно выпукло, следует из 5.1.1 (4)
и 3.1.8. Если x ? BT , то для некоторого y ? Bp выполнено (x, y) ? T .
Отсюда pT (x) ? p(y) ? 1, т. е. BT ? BpT . Если, в свою очередь,
?
x ? B pT , то pT (x) = inf{p(y) : (x, y) ? T } < 1. Значит, найдется y ?
?
T (x) такой, что p(y) < 1. Стало быть, x ? T ?1 (B p ) ? T ?1 (Bp ) = BT .
?
Итак, B pT ? BT ? BpT . Привлекая 5.1.1 (4), видим: pBT = pT .
5.1.4. Определение. Полунорму pT , построенную в 5.1.3, на-
зывают прообразом полунормы p при соответствии T .
5.1.5. Определение. Пусть p : X > R — полунорма (в силу
3.4.3 эта запись означает, что dom p = X). Пару (X, p) называ-
ют полунормированным пространством. Часто, допуская обычную
вольность, само X называют полунормированным пространством.
5.1.6. Определение. Непустое множество всюду определенных
полунорм (в RX ) называют мультинормой и обозначают MX или
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
76

просто M, если ясно, о каком пространстве X идет речь. Пару
(X, MX ), р?вно как и исходное X, называют мультинормирован-
а
ным пространством.
5.1.7. Множество полунорм M в (R· )X является мультинормой
в том и только в том случае, если (X, p) является полунормирован-
ным пространством для всякого p ? M.
5.1.8. Определение. Мультинорму MX называют хаусдорфо-
вой (или отделимой), если для любого x ? X, x = 0, существует
полунорма p ? MX такая, что p(x) = 0. В этом случае X называют
хаусдорфовым (или отделимым) мультинормированным простран-
ством.
5.1.9. Определение. Хаусдорфову мультинорму, состоящую
из одного элемента, называют нормой. Единственный элемент нор-
мы в X (как хорошо известно) также называют нормой в X и обо-
значают · или (реже) · X , и даже ·| X , если есть необходимость
в указании на пространство X. Пару (X, · ) называют нормиро-
ванным пространством. Как правило, так же называют и X.
5.1.10. Примеры.
(1) Полунормированное пространство (X, p) рассматри-
вается как мультинормированное пространство (X, {p}). То же от-
носится к нормированному пространству.
(2) Пусть M — множество всех (всюду определенных) по-
лунорм на пространстве X. Тогда M — хаусдорфова мультинорма,
которую называют сильнейшей мультинормой в X.
(3) Пусть (Y, N) — мультинормированное пространство
и T ? X ? Y — линейное соответствие, причем dom T = X. В си-
лу 3.4.10 и 5.1.1 (5) для p ? N полунорма pT всюду определена и,
стало быть, M := {pT : p ? N} — мультинорма в X. Мультинор-
му N называют прообразом мультинормы N при соответствии T
и (иногда) обозначают NT . Отметим, что если T ? L (X, Y ), то
M = {p ? T : p ? N}. В связи с этим используют естественное обо-
значение N ? T := M. Особо выделим случай, когда X — это подпро-
странство Y0 в Y и T — тождественное вложение T := ? : Y0 > Y . В
такой ситуации Y0 , как правило, рассматривают как мультинормиро-
ванное пространство с мультинормой N ? ?. Более того, некорректно
5.1. Полунормы и мультинормы 77

используют фразу «N — мультинорма в Y0 ». Эту некорректность
использовать очень удобно.
(4) Основное поле F наделено, как известно, нормой | · | :
F > R. Пусть X — векторное пространство и f ? X # . Так как
f : X > F, то определен прообраз нормы в основном поле: pf (x) :=
|f (x)| (x ? X). Если теперь X — некоторое подпространство в X # ,
то мультинорму ?(X, X ) := {pf : f ? X } называют слабой муль-
тинормой в X, наведенной X .
(5) Пусть (X, p) — полунормированное пространство, X0
— подпространство в X и ? : X > X/X0 — каноническое отображе-
ние. Линейное соответствие ??1 определено на всем пространстве
X/X0 . Значит, имеется полунорма p??1 , которую называют фактор-
полунормой p по подпространству X0 и обозначают pX/X0 . Про-
странство (X/X0 , pX/X0 ) называют фактор-пространством прост-
ранства (X, p) по подпространству X0 . Определение фактор-про-
странства общего мультинормированного пространства связано с не-
которой тонкостью и введено в 5.3.11.
(6) Пусть X — векторное пространство и M ? (R· )X —
множество полунорм на этом пространстве. В этой ситуации можно
говорить об M как о мультинорме на пространстве X0 := ?{dom p :
p ? M}. Более точно, подразумевая мультинормированное про-
странство (X0 , {p? : p ? M}), где ? — тождественное вложение X0
в X, употребляют выражения: «M — мультинорма» или «рассмот-
рим (мультинормированное) пространство, порожденное M». Вот
типичный образец: «семейство полунорм

p?,? (f ) := sup |x? ? ? f (x)| : ?, ? — мультииндексы
x?RN

задает (мультинормированное) пространство бесконечно дифферен-
цируемых и быстро убывающих на бесконечности функций на RN »
(такие функции часто называют умеренными, ср. 10.11.6).
(7) Пусть (X, · ) и (Y, · ) — нормированные простран-
ства (над одним основным полем F). Для T ? L (X, Y ) рассмотрим
«операторную норму», т. е. величину

Tx
T := sup { T x : x ? X, x ? 1} = sup .
x
x?X
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
78

(Здесь и в дальнейшем в аналогичных случаях принято считать, что
0/0 := 0.)
Видно, что · : L (X, Y ) > R· — полунорма. В самом деле,
положив BX := { · X ? 1}, для T1 , T2 ? L (X, Y ) и ?1 , ?2 ? F
имеем
?1 T1 + ?2 T2 = sup · ?1 T1 +?2 T2 (BX ) =
= sup · ((?1 T1 + ?2 T2 )(BX )) ? sup ?1 T1 (BX ) + ?2 T2 (BX ) ?
? |?1 | sup · + |?2 | sup ·
T1 (BX ) T2 (BX ) =
= |?1 | T1 + |?2 | T2 .
Подпространство B(X, Y ), являющееся эффективной областью
определения введенной полунормы, называют пространством огра-
ниченных операторов, а его элементы — ограниченными оператора-
ми. Ясно, что векторное пространство B(X, Y ) нормировано (опе-
раторной нормой). Отметим, что оператор T ? L (X, Y ) ограничен
в том и только в том случае, если для него справедливо норматив-
ное неравенство, т. е. если найдется строго положительное число K
такое, что
T x Y ? K x X (x ? X).
При этом T есть точная нижняя граница чисел K, фигурирующих
в нормативном неравенстве.
(8) Пусть X — векторное пространство над F и · —
норма в X. Пусть, далее, X := B(X, F) — сопряженное простран-
ство, т. е. векторное пространство ограниченных функционалов f с
«сопряженной нормой»:

|f (x)|
x ? 1} = sup
f = sup{|f (x)| : .
x
x?X


Рассмотрим пространство X := (X ) := B(X , F) — второе
сопряженное к X пространство. Для элементов x ? X и f ? X
положим
x := ?(x) : f > f (x).
Несомненно, что ?(x) ? (X )# = L (X , F). Помимо этого,

= ?(x) = sup {|?(x)(f )| : ? 1} =
x f X
5.2. Равномерность и топология 79

= sup{|f (x)| : |f (x)| ? x (x ? X)} =
X


= sup{|f (x)| : f ? |?|( · =x X.
X )}

Последнее равенство следует, например, из теоремы 3.6.5 и лем-
мы 3.7.9. Таким образом, ?(x) ? X для каждого x ? X. Понятно,
что оператор ? : X > X , действующий по правилу ? : x > ?(x),
является линейным и ограниченным, при этом ? — мономорфизм и
?x = x для всех x ? X. Оператор ? называют каноническим
вложением X во второе сопряженное пространство или, более об-
разно, двойным штрихованием. Более того, как правило, элементы
x и x := ?x не различают, т. е. X рассматривают как подпростран-
ство X . Нормированное пространство X называют рефлексивным,
если X совпадает с X (при указанном вложении). Рефлексивные
пространства обладают многими достоинствами. Очевидно, одна-
ко, что не все пространства рефлексивны. Так, к сожалению, не
рефлексивно пространство C([0, 1], F).

5.1.11. Замечание. Построения, проведенные в 5.1.10 (8), по-
казывают известную симметрию (или «двойственность») между X
и X . В этой связи для обозначения действия элемента x ? X на
элемент f ? X (или действия f на x) используют запись (x, f ) :=
x | f := f (x). Для достижения наибольшего единообразия элементы
X обозначают символами типа x , т. е. x | x = (x, x ) = x (x).

5.2. Равномерность и топология
мультинормированного пространства
5.2.1. Пусть (X, p) — полунормированное пространство. Возь-
мем x1 , x2 ? X и положим dp (x1 , x2 ) := p(x1 ? x2 ). Тогда
(1) dp (X 2 ) ? R+ , {d ? 0} ? IX ;
(2) {dp ? t} = {dp ? t}?1 , {dp ? t} = t{dp ? 1}
(t ? R+ \ 0);
(3) {dp ? t1 } ? {dp ? t2 } ? {dp ? t1 + t2 } (t1 , t2 ? R+ );
(4) {dp ? t1 } ? {dp ? t2 } ? {dp ? t1 ? t2 } (t1 , t2 ? R+ );
(5) p — норма ? dp — метрика.
5.2.2. Определение. Фильтр Up := ?l {{dp ? t} : t ? R+ \ 0}
называют равномерностью пространства (X, p).
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
80

5.2.3. Пусть Up — равномерность полунормированного прост-
ранства. Тогда
(1) Up ? ?l {IX };
(2) U ? Up ? U ?1 ? Up ;
(3) (? U ? Up ) (? V ? Up ) V ? V ? U .
5.2.4. Определение. Пусть (X, M) — мультинормированное
пространство. Фильтр U := sup{Up : p ? M} называют равномер-
ностью пространства X (используют также обозначения UM , UX
и т. п.). (Это определение корректно в силу 5.2.3 (1) и 1.3.13.)
5.2.5. Пусть (X, M) — мультинормированное пространство и
U — соответствующая равномерность. Тогда
(1) U ? ?l {IX };
(2) U ? U ? U ?1 ? U ;
(3) (? U ? U ) (? V ? U ) V ? V ? U .
Проверим (3). Если U ? U , то по 1.2.18 и 1.3.8 найдутся
полунормы p1 , . . . , pn ? M такие, что U = U{p1 ,...,pn } = Up1 ?. . .?Upn .
Привлекая 1.3.13, подыщем множества Uk ? Upk из условия U ?
U1 ? . . . ? Un . Используя 5.2.3 (3), выберем Vk ? Upk , для которых
Vk ? Vk ? Uk . Ясно, что

(V1 ? . . . ? Vn ) ? (V1 ? . . . ? Vn ) ? V1 ? V1 ? . . . ? Vn ? Vn ?

? U1 ? . . . ? Un .

Помимо этого, V1 ? . . . ? Vn ? Up1 ? . . . ? Upn ? U .
5.2.6. Мультинорма M в X хаусдорфова в том и только в том
случае, если равномерность UM тоже хаусдорфова, т. е. ?{V : V ?
UM } = IX .
?: Пусть (x, y) ? IX , т. е. x = y. Тогда для некоторой
полунормы p ? M будет p(x?y) > 0. Значит, (x, y) ? {dp ? 1/2 p(x?
y)}. Но последнее множество входит в Up , а потому и в UM . Итак,
X 2 \IX ? X 2 \?{V : V ? UM }. Помимо этого, IX ? ?{V : V ? UM }.
?: Пусть p(x) = 0 при всех p ? M. Тогда (x, 0) ? V для любого
V ? UM и, стало быть, (x, 0) ? IX по условию. Следовательно,
x = 0.
5.2. Равномерность и топология 81

5.2.7. Для пространства X с равномерностью UX положим

? (x) := {U (x) : U ? UX } (x ? X).

Тогда ? (x) — фильтр для каждого x ? X. При этом
(1) ? (x) ? ?l {x};
(2) (? U ? ? (x)) (? V ? ? (x) & V ? U ) (? y ? V ) V ? ? (y).
Очевидно (ср. 4.1.8).
5.2.8. Определение. Отображение ? : x > ? (x) называют
топологией рассматриваемого мультинормированного пространства
(X, M), а элементы фильтра ? (x) — окрестностями точки x. Для
обозначения топологии используют также более детальные символы:
?X , ?M , ? (UM ) и т. п.
5.2.9. Для любого x ? X выполнено

?X (x) = sup{?p (x) : p ? MX }.

5.2.10. Пусть X — мультинормированное пространство. Тогда
для x ? X имеет место соотношение

U ? ? (x) ? U ? x ? ?X (0).

В силу 5.2.9 и 1.3.13 можно ограничиться случаем полунор-
мированного пространства (X, p). При этом для всякого ? > 0 спра-
ведливо представление {dp ? ?}(x) = ?Bp + x, где Bp := {p ? 1}. В
самом деле, если p(y?x) ? ?, то y = ?(??1 (y?x))+x и ??1 (y?x) ? Bp .
В свою очередь, если y ? ?Bp + x, то p(y ? x) = inf{t > 0 : y ? x ?
tBp } ? ?.
5.2.11. Замечание. Из доказательства 5.2.10 видно, сколь важ-
ную роль играет шар единичного радиуса с центром в нуле (полу)нор-
мированного пространства (X, p). В этой связи за ним закреплены
название «единичный шар пространства X» и обозначения Bp , BX
и т. п.
5.2.12. Мультинорма MX хаусдорфова в том и только в том
случае, если хаусдорфова топология ?X , т. е. если для любых раз-
личных x1 , x2 из X найдутся окрестности U1 ? ?X (x1 ) и U2 ? ?X (x2 )
такие, что U1 ? U2 = ?.
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
82

?: Пусть x1 = x2 и для p ? MX выполнено ? := p(x1 ? x2 ) > 0.
Положим U1 := x1 + ?/3 Bp , U2 := x2 + ?/3 Bp . По 5.2.10, Uk ? ?X (xk ).
Убедимся, что U1 ? U2 = ?. В самом деле, если y ? U1 ? U2 , то
p(x1 ? y) ? ?/3 и p(x2 ? y) ? ?/3. Отсюда p(x1 ? x2 ) ? 2?/3 < ? =
p(x1 ? x2 ), чего быть не может.
?: Если (x1 , x2 ) ? ?{V : V ? UX }, то x2 ? ?{V (x1 ) : V ? UX }.
Поэтому x1 = x2 и, стало быть, на основании 5.2.6 мультинорма MX
хаусдорфова.
5.2.13. Замечание. Наличие в мультинормированном прост-
ранстве равномерности и соответствующей топологии позволяет, оче-
видно, использовать такие понятия, как равномерная непрерывность,
полнота, непрерывность, открытость и замкнутость и т. п.
5.2.14. Пусть (X, p) — полунормированное пространство и X0
— подпространство в X. Фактор-пространство (X/X0 , pX/X0 ) хау-
сдорфово в том и только в том случае, если X0 — замкнутое множе-
ство.
?: Пусть x ? X0 . Тогда ?(x) = 0, где, как обычно, ? : X >
X/X0 — каноническое отображение. По условию будет 0 = ? :=
pX/X0 (?(x)) = p??1 (?(x)) = inf{p(x + x0 ) : x0 ? X0 }. Значит, шар
x + ?/2 Bp не пересекается с X0 , т. е. x — внешняя точка X0 . Итак,
X0 замкнуто.
?: Пусть x — ненулевая точка фактор-пространства X/X0 и
x = ?(x) для подходящего элемента x из пространства X. Если
pX/X0 (x) = 0, то 0 = inf{p(x ? x0 ) : x0 ? X0 }, т. е. имеется после-
довательность (xn ) в X0 , для которой xn > x. Следовательно, по
4.1.19, x ? X0 и x = 0. Получили противоречие.
5.2.15. Замыкание -множества — -множество.
Пусть U ? ( ) и U = ? (иначе все ясно). В силу 4.1.9 для
точек x, y ? cl U найдутся сети (x? ), (y? ) элементов U такие, что
x? > x, y? > y. Если (?, ?) ? , то ?x? +?y? ? U . Вновь привлекая
4.1.19, выводим ?x + ?y = lim(?x? + ?y? ) ? cl U .

5.3. Сравнение мультинорм
5.3.1. Определение. Пусть M и N — две мультинормы в век-
торном пространстве. Говорят, что M сильнее N, и пишут M N,
если UM ? UN . Если одновременно M NиN M, то говорят,
что M и N эквивалентны, и пишут M ? N.
5.3. Сравнение мультинорм 83

5.3.2. Теорема о сравнении мультинорм. Для мультинорм
M и N в векторном пространстве X эквивалентны утверждения:
(1) M N;
(2) для всякого x ? X выполнено ?M (x) ? ?N (x);
(3) ?M (0) ? ?N (0);
(4) (? q ? N) (? p1 , . . . , pn ? M)
(? ?1 , . . . , ?n ? R+ \ 0) Bq ? ?1 Bp1 ? . . . ? ?n Bpn ;
(5) (? q ? N) (? p1 , . . . , pn ? M) (? t > 0) q ? t(p1 ?. . .?pn )
(порядок взят из K-пространства RX ).
(1) ? (2) ? (3) ? (4): Очевидно.
(4) ? (5): Используя теорему о функционале Минковского (ср.
5.1.2), имеем
q ? pBp1 /?1 ? . . . ? pBpn /?n =
1 1 1 1
? ... ? ? ? ... ? p1 ? . . . ? p n .
p1 pn
=
?1 ?n ?1 ?n
(5) ? (1): Достаточно проверить, что M {q} для полунормы
q ? N. Если V ? Uq , то V ? {dq ? ?} для некоторого ? > 0. По
условию
? ?
{dq ? ?} ? dp1 ? ? . . . ? dpn ?
t t
для подходящих p1 , . . . , pn ? M и t > 0. Множество, стоящее в
правой части последнего включения, — элемент Up1 ? . . . ? Upn =
U{p1 ,...,pn } ? UM . Значит, V также входит в UM .
5.3.3. Определение. Пусть p, q : X > R — две полунормы
в X. Говорят, что p сильнее q, и пишут p q, если {p} {q}.
Аналогично трактуют эквивалентность полунорм p ? q.
5.3.4. p q ? (? t > 0) q ? tp ? (? t ? 0) Bq ? tBp ;

p ? q ? (? t1 , t2 > 0) t2 p ? q ? t1 p ? (? t1 , t2 > 0) t1 Bp ? Bq ? t2 Bp .

Следует из 5.3.2 и 5.1.2.
5.3.5. Теорема Рисса. Пусть p, q : FN > R — полунормы на
конечномерном пространстве FN . Тогда p q ? ker p ? ker q.
5.3.6. Следствие. Любые две нормы на конечномерном про-
странстве эквивалентны.
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
84

5.3.7. Пусть (X, M) и (Y, N) — мультинормированные про-
странства и T ? L (X, Y ) — линейный оператор. Следующие утвер-
ждения эквивалентны:
(1) N ? T ? M;
(2) T ? (UX ) ? UY , T ??1 (UY ) ? UX ;
(3) x ? X ? T (?X (x)) ? ?Y (T x);
(4) T (?X (0)) ? ?Y (0), ?X (0) ? T ?1 (?Y (0));
(5) (? q ? N) (? p1 , . . . , pn ? M) q ? T ? p1 ? . . . ? pn .
5.3.8. Пусть (X, · X ) и (Y, · Y ) — нормированные простран-
ства и T ? L (X, Y ) — линейный оператор. Следующие утвержде-
ния эквивалентны:
(1) T ограничен (т. е. T ? B(X, Y ));
(2) · X · Y ? T;
(3) T равномерно непрерывен;
(4) T непрерывен;
(5) T непрерывен в нуле.
Все сказанное — частный случай 5.3.7.
5.3.9. Замечание. Предложение 5.3.7 показывает, что бывает
удобно рассматривать вместо исходной мультинормы M какую-либо
эквивалентную ей фильтрованную по возрастанию (относительно от-
ношения ? или ) мультинорму. В качестве такой можно взять
мультинорму M := {sup M0 : M0 — непустое конечное подмножество
M}. В то же время при рассмотрении нефильтрованных мультинорм
необходима известная осторожность.
5.3.10. Контрпример. Пусть X := F и X0 состоит из посто-
янных отображений X0 := F1, где 1 : ? > 1 (? ? ). Положим
M := {p? : ? ? }, где p? (x) := |x(?)| (x ? F ). Ясно, что M —
мультинорма в X. Пусть теперь ? : X > X/X0 — каноническое
отображение. Несомненно, что M??1 состоит только из нуля. В то
же время мультинорма M??1 хаусдорфова.
5.3.11. Определение. Пусть (X, M) — мультинормированное
пространство и X0 — подпространство в X. Мультинорму M??1 ,
где ? : X > X/X0 — каноническое отображение, называют фактор-
мультинормой и обозначают MX/X0 . Пространство (X/X0 , MX/X0 )
5.4. Метризуемые и нормируемые пространства 85

называют фактор-пространством пространства X по подпростран-
ству X0 .
5.3.12. Фактор-пространство X/X0 хаусдорфово в том и только
в том случае, если X0 замкнуто.

5.4. Метризуемые и нормируемые
пространства
5.4.1. Определение. Пусть (X, M) — мультинормированное
пространство. Назовем (X, M) метризуемым, если существует та-
кая метрика d на X, что UM = Ud . Если на X существует норма,
эквивалентная исходной мультинорме M, то X называют нормируе-
мым. Если же на X существует счетная мультинорма, эквивалент-
ная исходной, то X называют счетнонормируемым.
5.4.2. Критерий метризуемости. Мультинормированное
пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно счетнонор-
мируемо и хаусдорфово.
?: Пусть UM = Ud . Переходя, если нужно, к мультинорме
M, будем считать, что для всякого n ? N можно указать такие полу-
норму pn ? M и число tn > 0, для которых {d ? 1/n} ? {dpn ? tn }.
Положим N := {pn : n ? N}. Несомненно, что M N. Если
V ? UM , то V ? {d ? 1/n} для некоторого n ? N по определению
метрической равномерности. Значит, по построению V ? Upn ? UM ,
т. е. M ? N. Следовательно, M ? N. Хаусдорфовость Ud отмечена
в 4.1.7. Привлекая 5.2.6, видим, что UM и UN хаусдорфовы.
?: Переходя, если нужно, к эквивалентной мультинорме, будем
считать, что пространство счетнонормировано и хаусдорфово: M :=
{pn : n ? N} и M — хаусдорфова мультинорма.
Для x1 , x2 ? X положим
?
1 pk (x1 ? x2 )
d(x1 , x2 ) :=
2k 1 + pk (x1 ? x2 )
k=1

(ряд в правой части этой формулы мажорируется сходящимся рядом
? k
k=1 1/2 , так что определение d корректно).
Проверим, что d — это метрика. Достаточно убедиться лишь
в справедливости неравенства треугольника. Прежде всего, поло-
жим ?(t) := t(1 + t)?1 (t ? R+ ). Ясно, что ? (t) = (1 + t)?2 > 0.
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
86

Стало быть, функция ? возрастает. При этом ? субаддитивна:
?(t1 + t2 ) = (t1 + t2 )(1 + t1 + t2 )?1 =
= t1 (1 + t1 + t2 )?1 + t2 (1 + t1 + t2 )?1 ? t1 (1 + t1 )?1 + t2 (1 + t2 )?1 =
= ?(t1 ) + ?(t2 ).
Значит, для x, y, z ? X выполнено
? ?
1 1
?(pk (x ? y)) ? ?(pk (x ? z) + pk (z ? y)) ?
d(x, y) =
2k 2k
k=1 k=1
?
1
? (?(pk (x ? z) + ?(pk (z ? y))) = d(x, z) + d(z, y).
2k
k=1

Осталось установить совпадение Ud и UM .
Проверим сначала, что Ud ? UM . Возьмем цилиндр {d ? ?},
и пусть (x, y) ? {dp1 ? t} ? . . . ? {dpn ? t}. Тогда с учетом монотон-
ности ? получаем
?
n
1 pk (x ? y) 1 pk (x ? y)
?
d(x, y) = +
2k 1 + pk (x ? y) 2k 1 + pk (x ? y)
k=1 k=n+1

?
n
t t
1 1 1
? ? + n.
+
2k k
1+t 1+t 2
2
k=1 k=n+1

Так как t(1 + t)?1 + 2?n стремится к нулю, когда n > ? и t > 0,
для подходящих t и n будет (x, y) ? {d ? ?}. Значит, {d ? ?} ? UM ,
что и нужно.
Установим теперь, что UM ? Ud . Для этого следует при данных
pn ? M и t > 0 подыскать ? > 0 так, чтобы {dpn ? t} ? {d ? ?}.
Очевидно, можно взять
1t
? := ,
2n 1 + t
поскольку из соотношений
1 pn (x ? y) 1t
? d(x, y) ? ? = n
2n 1 + pn (x ? y) 2 1+t
для любых x, y вытекает, что pn (x ? y) ? t.
5.5. Банаховы пространства 87

5.4.3. Определение. Множество V в мультинормированном
пространстве (X, M) называют ограниченным, если sup p(V ) < +?
при всех p ? M, т. е. если числовое множество p(V ) ограничено
сверху в R для каждой полунормы p из M.
5.4.4. Для множества V в (X, M) эквивалентны утверждения:
(1) V — ограничено;
(2) для любой последовательности (xn )n?N в V и после-
довательности (?n )n?N в F такой, что ?n > 0, вы-
полнено ?n xn > 0 (т. е. p(?n xn ) > 0 для всякой
полунормы p ? M);
(3) V поглощается каждой окрестностью нуля.
(1) ? (2): p(?n xn ) ? |?n |p(xn ) ? |?n | sup p(V ) > 0.
(2) ? (3): Пусть U ? ?X (0) и не верно, что U поглощает V . По
определению 3.4.9 это значит, что (? n ? N) (? xn ? V ) xn ? nU . Та-
ким образом, 1/n xn ? U для всех n ? N, т. е. (1/n xn ) не стремится
к нулю.
(3) ? (1): Пусть p ? M. Найдется n ? N, для которого V ? nBp .
Ясно, что sup p(V ) ? sup p(nBp ) = n < +?.
5.4.5. Критерий Колмогорова. Мультинормированное про-
странство нормируемо в том и только в том случае, если оно хау-
сдорфово и имеет ограниченную окрестность нуля.
?: Очевидно.
?: Пусть V — ограниченная окрестность нуля. Не нарушая
общности, можно считать, что V = Bp для некоторой полунормы p
из исходной мультинормы M. Несомненно, что p ? M. Если теперь
U ? ?M (0), то nU ? V для некоторого n ? N. Значит, U ? ?p (0).
M. Таким образом, p ?
Привлекая теорему 5.3.2, видим, что p
M и, стало быть, в силу 5.2.12, p также хаусдорфова полунорма.
Последнее означает, что p — норма.
5.4.6. Замечание. Попутно в 5.4.5 установлено, что наличие
ограниченной окрестности нуля в мультинормированном простран-
стве равносильно его полунормируемости.

5.5. Банаховы пространства
5.5.1. Определение. Полное нормированное пространство на-
зывают банаховым.
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
88

5.5.2. Замечание. Непосредственным расширением класса ба-
наховых пространств служат полные метризуемые мультинормиро-
ванные пространства — пространства Фреше. Можно сказать, что
пространства Фреше составляют наименьший класс, содержащий ба-
наховы пространства и замкнутый относительно образования счет-
ных произведений.
5.5.3. Нормированное пространство является банаховым в том
и только в том случае, если любой абсолютно (= нормально) сходя-
щийся ряд в нем сходится.
?
?: Пусть n=1 xn < +? для некоторой счетной последо-
вательности (xn ). Тогда последовательность частичных сумм sn :=
x1 + . . . + xn фундаментальна, ибо при m > k справедливы соотно-
шения
m m
sm ? sk = xn ? xn > 0.
n=k+1 n=k+1

?: Пусть (xn ) — счетная фундаментальная последовательность.
Выберем возрастающую последовательность (nk )k?N такую, чтобы
было xn ? xm ? 2?k при n, m ? nk . Тогда ряд xn1 + (xn2 ?
xn1 ) + (xn3 ? xn2 ) + . . . абсолютно сходится к некоторой сумме x,
т. е. xnk > x. Видно, что одновременно с этим xn > x.
5.5.4. Пусть X — банахово пространство и X0 — замкнутое под-
пространство в X. Тогда фактор-пространство X/X0 банахово.
Пусть ? : X > X := X/X0 — соответствующее канониче-
ское отображение. Несомненно, что для каждого элемента x ? X
существует элемент x ? ??1 (x) такой, что 2 x ? x ? x . Зна-
?
чит, для ряда n=1 xn , абсолютно сходящегося в X , можно выбрать
?
xn ? ??1 (xn ), обеспечив сходимость ряда норм n=1 xn . На осно-
?
вании 5.5.3 имеется сумма x := n=1 xn . Пусть x := ?(x). Тогда
n n
x? xk ? x ? xk > 0.
k=1 k=1

Вновь апеллируя к 5.5.3, выводим, что X банахово.
5.5.5. Замечание. Понятно, что 5.5.3 можно перенести на по-
лунормированные пространства. В частности, если (X, p) — полное
полунормированное пространство, то фактор-пространство X/ ker p
банахово.
5.5. Банаховы пространства 89

5.5.6. Теорема. Пусть X, Y — нормированные пространства и
X = 0. Пространство ограниченных операторов B(X, Y ) является
банаховым в том и только в том случае, если Y банахово.
?: Пусть (Tn ) — последовательность Коши в B(X, Y ). По
нормативному неравенству для всех x ? X выполнено Tm x?Tk x ?
Tm ? Tk x > 0, т. е. (Tn x) — фундаментальная последователь-
ность в Y . Таким образом, есть предел T x := lim Tn x. Бесспорно, что
возникающее отображение T — линейный оператор. В силу оценки
| Tm ? Tk | ? Tm ? Tk последовательность ( Tn ) фундамен-
тальна в R, потому и ограничена, т. е. supn Tn < +?. Отсюда,
переходя к пределу в неравенстве Tn x ? supn Tn x , получа-
ем: T < +?. Осталось проверить, что Tn ? T > 0. Возьмем
для заданного ? > 0 номер n0 так, чтобы было Tm ? Tn ? ?/2
при m, n ? n0 . Помимо этого, для x ? BX подберем m ? n0 , для
которого Tm x ? T x ? ?/2. Тогда Tn x ? T x ? Tn x ? Tm x +
Tm x ? T x ? Tn ? Tm + Tm x ? T x ? ? при n ? n0 . Значит,
Tn ? T = sup{ Tn x ? T x : x ? BX } ? ? при достаточно боль-
ших n.
?: Пусть (yn ) — последовательность Коши в Y . По условию
существует элемент x ? X с нормой x = 1. Привлекая 3.5.6 и 3.5.2
(1), подыщем элемент x ? |?|( · ), для которого (x, x ) = x = 1.
Очевидно, что одномерный оператор Tn := x ? yn : x > (x, x )yn
входит в B(X, Y ), ибо Tn = x yn . Значит, Tm ? Tk = x ?
(ym ?yk ) = x ym ?yk = ym ?yk , т. е. (Tn ) — фундаментальная
последовательность в B(X, Y ). Обозначим T := lim Tn . Тогда T x ?
Tn x = T x ? yn ? T ? Tn x > 0. Иначе говоря, T x — предел
(yn ) в Y .
5.5.7. Следствие. Сопряженное пространство (с сопряженной
нормой) банахово.
5.5.8. Следствие. Пусть X — нормированное пространство,
? : X > X — двойное штрихование, осуществляющее канониче-
ское вложение X во второе сопряженное пространство X . Тогда
замыкание cl ?(X) — пополнение X.
В силу 5.5.7, X — банахово пространство. По 5.1.10 (8) отоб-
ражение ? — это изометрия X в X . Осталось сослаться на 4.5.16.
5.5.9. Примеры.
(1) «Абстрактные» примеры: основное поле, замкнутое
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
90

подпространство банахова пространства, произведение банаховых
пространств, 5.5.4–5.5.8.
(2) Пусть E — непустое множество. Для x ? F E положим
x ? := sup |x(E )|. Пространство l? (E ) := l? (E , F) := dom · ?
называют пространством ограниченных функций на E . Используют
и такие обозначения: B(E ) или B(E , F). При E := N полагают
m := l? := l? (E ).
(3) Пусть F — фильтр в E . По определению считают
x ? c(E , F ) ? (x ? l? (E ) и x(F ) — фильтр Коши в F).
В случае, когда E := N и F — фильтр дополнений конечных мно-
жеств в N, пишут c := c(E , F ) и говорят о пространстве сходящихся
последовательностей. В c(E , F ) рассматривают подпространство
c0 (E , F ) := {x ? c(E , F ) : x(F ) > 0}.
Если F — фильтр дополнений конечных множеств в бесконеч-
ном E , то применяют сокращенную запись c0 (E ) := c0 (E , F ) и
говорят о пространстве функций, исчезающих на бесконечности.
При E := N пишут просто c0 := c0 (E ). Пространство c0 называют
пространством сходящихся к нулю последовательностей. Следует
помнить, что все эти пространства без особых оговорок наделяют
нормой, взятой из соответствующего пространства l? (E , F ).
(4) Пусть S := (E , X, ) — система с интегрированием.
Таким образом, X — векторная решетка в RE , причем решеточные
операции в X и RE совпадают, а : X > R — (пред)интеграл, т. е.
#
? X+ и xn v 0, как только xn ? X и xn (e) v 0 для e ? E . Пусть,
далее, f ? F E — измеримое (относительно S) отображение (можно,
как это обычно и принято, говорить о почти везде конечных почти
везде определенных измеримых функциях).
Положим Np (f ) := ( |f |p )1/p для p ? 1, где — соответству-
ющее лебегово расширение исходного интеграла (использование
единого символа — традиционная вольность).
Элементы dom N1 называют интегрируемыми или суммируе-
мыми функциями.
Интегрируемость f ? F E равносильна интегрируемости ее веще-
ственной и мнимой частей Re f, Im f ? RE . Для полноты напомним,
что N1 (f ) = N (f ), где
N (g) :=
5.5. Банаховы пространства 91

xn : (xn ) ? X, xn ? xn+1 , (? e ? E ) |g(e)| = lim xn (e)
:= inf sup
n

для произвольной g ? F E . При F = R ясно, что dom N1 представляет
замыкание X в полунормированном пространстве (dom N, N ).
Имеет место неравенство Г?льдера
е
1 1
N1 (f g) ? Np (f )Np (g) = 1, p > 1 .
+
pp
Это неравенство есть следствие неравенства Юнга:
xp yp
xy ? ? (x, y ? R+ ),
p p
примененного к |f |/Np (f ) и |g|/Np (g) в случае, когда Np (f ) и Np (g)
не равны нулю одновременно. При Np (f )Np (g) = 0 неравенство
Г?льдера несомненно.
е
Множество Lp := dom Np является векторным пространством.
|f +g|p ? (|f |+|g|)p ? 2p (|f |?|g|)p = 2p (|f |p ?|g|p ) ? 2p (|f |p +|g|p )
Функция Np — полунорма, ибо для нее справедливо неравенство
Минковского
Np (f + g) ? Np (f ) + Np (g).
При p = 1 неравенство Минковского несомненно. При p > 1
неравенство Минковского следует из представления
Np (f ) = sup{N1 (f g)/Np (g) : 0 < Np (g) < +?} (f ? Lp ),
в правой части которого стоит верхняя огибающая семейства полу-
норм.
Для доказательства нужного представления в силу неравенства
Г?льдера достаточно заметить, что при Np (f ) > 0 для g := |f |p/p
е
выполнено g ? Lp и, кроме того, Np (f ) = N1 (f g)/Np (g).
В самом деле, N1 (f g) = |f |p/p +1 = Np (f )p , ибо p/p + 1 =
p (1 ? 1/p) + 1 = p. Помимо этого, Np (g)p = |g|p = |f |p =
Np (f )p , так что Np (g) = Np (f )p/p . Окончательно получаем

N1 (f g)/Np (g) = Np (f )p /Np (f )p/p =
= Np (f )p?p/p = Np (f )p(1?1/p ) = Np (f ),
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
92

что и завершает доказательство.
Элементы dom N1 называют интегрируемыми или суммируе-
мыми функциями. Интегрируемость f ? F E равносильна интегри-
руемости вещественной и мнимой частей Re f, Im f ? RE . Ради
полноты, напомним, что

N (g) :=

xn : (xn ) ? X, xn ? xn+1 , (? e ? E ) |g(e)| ? lim xn (e)
:= inf sup
n
n


для произвольного g ? F E . Если F := R, то dom N1 , очевидно,
представляет собой замыкание X в нормированном пространстве
(dom N, N ).
Фактор-пространство Lp / ker Np , наделенное соответствующей
фактор-нормой · p , называют пространством функций, суммируе-
мых (вместе) с p-той степенью, или пространством p-суммируемых
функций и обозначают Lp . Конечно, используют и более разверну-
тые символы типа Lp (S), Lp (E , X, ) и т. п.
Наконец, если система с интегрируемостью S возникает из рас-
смотрения ступенчатых измеримых функций на пространстве с ме-
рой ( , A , µ), то пишут Lp ( , A , µ), Lp ( , µ) и даже Lp (µ), где
остальные параметры рассматриваемой ситуации ясны из контекста.
Теорема Рисса — Фишера. Пространство Lp является бана-
ховым.
Наметим доказательство. Возьмем какой-либо абсолютно схо-
? n
дящийся ряд t := k=1 Np (fk ), где fk ? Lp . Положим ?n := k=1 fk
n
k=1 |fk |. Видно, что последовательность (sn ) состоит из
и sn :=
положительных функций и является возрастающей. Это же вер-
но для последовательности (sp ). Более того, sp ? tp < +?. По
n n
теореме Леви о монотонной сходимости почти для каждого e ? E
предел g(e) := lim sp (e) конечен и можно считать, что возникаю-
n
щая функция g лежит в L1 . Полагая h(e) := g 1/p (e), видим, что
h ? Lp и sn (e) > h(e) почти при всех e ? E . Из неравенств
|?n | ? sn ? h вытекает, что почти для любого e ? E сходится
?
k=1 fk (e). Для суммы f0 (e) будет |f0 (e)| ? h(e), и, стало
ряд
быть, можно считать, что f0 ? Lp . Применяя теорему Лебега об
ограниченной сходимости (= о предельном переходе), заключаем:
5.5. Банаховы пространства 93
1/p
Np (?n ? f0 ) = |?n ? f0 |p > 0. Итак, абсолютно сходящийся
ряд в полунормированном пространстве (Lp , Np ) сходится. Остает-
ся сослаться на 5.5.3–5.5.5.
Если система S — это «обычное суммирование» на E , т. е. в слу-
чае, когда X := e?E R — прямая сумма основных полей R и x :=
e?E x(e), пространство Lp состоит из семейств, суммируемых с
p-той степенью. Это пространство обозначают lp (E ). При этом
1/p
e?E |x(e)| . При E := N пишут просто lp и говорят о
p
x p :=
пространстве последовательностей, суммируемых с p-той степе-
нью.
(5) Пространство L? определяют на основе следующей
конструкции. Пусть X — упорядоченное векторное пространство и
e ? X+ — положительный элемент. Полунормой pe , ассоциированной
с e, называют функционал Минковского промежутка [?e, e], т. е.

pe (x) := inf{t > 0 : ?te ? x ? te}.

Пространство Xe , совпадающее с эффективной областью определе-
ния dom pe , называют пространством ограниченных по отношению
к e элементов, а сам элемент e — сильной единицей в Xe . Элементы
ядра ker pe называют неархимедовыми (по отношению к e).
Фактор-пространство Xe / ker pe наделяют фактор-полунормой
и называют нормированным пространством ограниченных элемен-
тов, порожденным e (в X). Так, пространство C(Q, R) непрерыв-
ных вещественных функций на непустом компакте Q есть нормиро-
ванное пространство ограниченных элементов, порожденное функ-
цией 1 := 1Q : q > 1 (q ? Q) (в себе). В пространстве RE та же
функция 1 порождает пространство l? (E ).
Для системы с интегрированием S := E , X, в предположе-
нии измеримости 1 рассматривают пространство таких измеримых
функций из E в F, что

N? (f ) := inf{t > 0 : |f | ? t1} < +?,

где ? означает «меньше почти везде». Это пространство называют
пространством существенно ограниченных функций и обозначают
L? .
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
94

Фактор-пространство L? / ker N? обозначают L? , а норму в
нем — · ? . Элементы L? , допуская вольность речи, называ-
ют (как и элементы L? ) существенно ограниченными функциями.
Пространство L? является банаховым.
Пространству L? , так же, как и пространствам C(Q, F), lp (E ),
c0 (E ), c, lp , Lp (p ? 1), присвоено название «классическое банахо-
во пространство». В последнее время к числу классических относят
также пространства Линденштраусса, т. е. пространства, сопря-
женные к которым изометричны L1 (относительно какой-нибудь си-
стемы с интегрированием). Можно показать, что банахово простран-
ство X является классическим в том и только в том случае, если
сопряженное пространство X изометрично одному из пространств
Lp при p ? 1.
(6) Пусть S := E , X, — система с интегрированием и
p ? 1. Допустим, что для каждого e ? E имеется банахово простран-
ство (Ye , · Ye ). Возьмем любой элемент f ? e?E Ye и положим
|||f ||| : e > f (e) Ye . Пусть, далее, Np (f ) := inf{Np (g) : g ? Lp , g ?
|||f |||}. Ясно, что dom Np — векторное пространство с полунормой Np .
Фактор-пространство dom Np / ker Np с соответствующей нормой |||·|||p
называют суммой семейства (Ye )e?E по типу p (точнее, по типу Lp
в системе с интегрированием S).
Сумма по типу p семейства пространств — банахово простран-
ство.
?
Пусть k=1 Np (fk ) < +?. Тогда последовательность частич-
n
ных сумм (sn := k=1 |||fk |||) сходится к некоторой почти везде конеч-
ной положительной функции g и Np (g) < +?. Отсюда видно, что
почти для каждого e ? E сходится последовательность (sn (e)), т. е.
? ?
ряд k=1 fk (e) Ye . Из-за полноты Ye получаем, что ряд k=1 fk (e)
сходится к некоторой сумме f0 (e) в Ye почти при любом e ? E . По-
скольку f0 (e) Ye ? g(e) почти при всех e ? E , можно считать, что
?
n
f0 ? dom Np . Наконец, Np ( k=1 fk ? f0 ) ? k=n+1 Np (fk ) > 0.
В случае E := N и «обычного суммирования» сумму Y последо-
вательности банаховых пространств (Yn )n?N часто обозначают

Y := (Y1 ? Y2 ? . . . )p ,

где p — тип суммирования. Элемент y пространства Y — это после-
5.5. Банаховы пространства 95

довательность (yn )n?N такая, что yn ? Yn и

1/p
?
p
|||y|||p := yn < +?.
Yn
k=1


В случае, когда Ye := X при любом e ? E , где X — некото-
рое банахово пространство над F, полагают Fp := dom Np и Fp :=
Fp / ker Np . Элементы полученных пространств называют вектор-
ными полями или X-значными функциями на E (с нормами, сумми-
руемыми с p-той степенью). Несомненно, что пространство Fp явля-
ется банаховым. В то же время если в исходной системе с интегриро-
ванием есть неизмеримое множество, то пространство Fp содержит
чересчур много элементов (так, для обычной лебеговой системы с ин-
тегрированием Fp = Lp ). В этой связи в пространстве Fp выделяют
функции с конечными множествами значений, каждое из которых
принимается на измеримом множестве. Такие элементы, р?вно как
а
и отвечающие им классы в Fp , называют простыми, конечнознач-
ными, ступенчатыми или размещенными функциями. Замыкание
множества простых функций в Fp обозначают Lp (более развернуто:
Lp (X), Lp (S, X), Lp ( , A , µ), Lp ( , µ) и т. п.) и называют про-
странством X-значных функций, суммируемых с p-той степенью,
или же пространством p-суммируемых X-значных функций. Ясно,
что Lp (X) — банахово пространство.
Проиллюстрируем одно из достоинств этих пространств в слу-
чае p = 1. Заметим прежде всего, что простую функцию f можно
записать в виде «конечной комбинации характеристических функ-
ций»:
f= ?f ?1 (x) x,
x?imf

где множество f ?1 (x) измеримо при x ? im f . Более того,

|||f ||| = ?f ?1 (x) x =
x?imf



?f ?1 (x) x = x ?f ?1 (x) < +?.
=
x?imf x?imf
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
96

Каждой простой функции f сопоставим элемент в X по правилу:

f := ?f ?1 (x) x.
x?imf

Проверка показывает, что возникающий интеграл , определенный
на подпространстве простых функций, линеен. Более того, он огра-
ничен, ибо

?f ?1 (x) x ?
f= ?f ?1 (x) x =
x?imf x?imf


|||f |||.
x ?f ?1 (x) =
=
x?imf

В силу 4.5.10 и 5.3.8 оператор допускает единственное продолже-
ние до элемента пространства B(L1 (X), X). Этот элемент обозна-
чают тем же символом (или E и т. п.) и называют интегралом
Бохнера.
(7) В случае «обычного суммирования» приняты те же
соглашения, что и в скалярной теории. Именно, вместо интегралов
суммируемых функций говорят о суммах суммируемых семейств и
используют соответствующие стандартные знаки. При этом беско-
нечномерность порождает свои проблемы.
Пусть (xn ) — семейство элементов банахова пространства. Его
суммируемость означает суммируемость (в смысле интеграла Бох-
нера) числового семейства ( xn ), т. е. абсолютную сходимость ряда
(xn ). Тем самым среди (xn ) лишь счетное число ненулевых элемен-
тов и (xn ) можно считать (счетной) последовательностью. При этом
?
n=1 xn < +? (= ряд x1 + x2 + . . . абсолютно сходится). С уче-
?
том 5.5.3 для суммы ряда x = n=1 xn выполнено: x = lim? s? ,
где s? := n?? xn — (соответствующая ?) частичная сумма, а ?
пробегает направление конечных подмножеств N. В последней си-
туации x изредка называют неупорядоченной суммой ряда (xn ), а
последовательность (xn ) — неупорядоченно суммируемой к x (пи-
шут: x = n?N xn ). В этих терминах заключаем: суммируемость
влечет неупорядоченную суммируемость (к той же сумме). При
dim X < +? верно и обратное утверждение (= теорема Римана о
рядах). Общий случай разъясняет следующий глубокий факт.
5.6. Алгебра ограниченных операторов 97

Теорема Дворецкого — Роджерса. В каждом бесконечно-
мерном банаховом пространстве X для любой последовательности
?
положительных чисел (tn ) такой, что n=1 tn < +?, существует
2

неупорядоченно суммируемая последовательность элементов (xn ), у
которой xn = tn при всех n ? N.
В этой связи для семейства элементов произвольного мульти-
нормированного пространства (X, M) принимают следующую тер-
минологию. Говорят, что семейство (xe )e?E суммируемо или без-
условно суммируемо (к сумме x) и пишут x := e?E xe при условии,
что x является пределом в (X, M) соответствующей сети частич-
ных сумм (s? ), где ? — конечное подмножество E , т. е. s? > x
в (X, M). Если для каждого p существует сумма e?E p(xe ), то
говорят, что семейство (xe )e?E абсолютно суммируемо (или, что бо-
лее правильно, фундаментально суммируемо, или даже абсолютно
фундаментально).
Пусть в заключение Y — еще одно банахово пространство и
T ? B(X, Y). Оператор T естественным способом распространя-
ют до оператора из L1 (X) в L1 (Y), полагая для простой X-значной
функции f , что T f : e > T f (e) при e ? E . Тогда для f ? L1 (X)
будет T f ? L1 (Y) и E T f = T E f . Последний факт выражают
словами: «интеграл Бохнера коммутирует с ограниченными опера-
торами».

5.6. Алгебра ограниченных операторов
5.6.1. Пусть X, Y , Z — нормированные пространства, а T ?
L (X, Y ) и S ? L (Y, Z) — линейные операторы. Тогда ST ?
S T , т. е. операторная норма является субмультипликативной.
В силу нормативных неравенств для x ? X выполнено

ST x ? S Tx ? S T x.

5.6.2. Замечание. В алгебре, в частности, изучают (ассоциа-
тивные) алгебры над F. Так называют векторное пространство A
над F, в котором имеется (ассоциативное) умножение элементов ? :
(a, b) > ab (a, b ? A). Предполагается, что умножение ? дистрибу-
тивно относительно сложения (т. е. (A, +, ?) — это (ассоциативное)
кольцо) и, кроме того, что операция ? согласована с умножением на
скаляр в том смысле, что ?(ab) = (?a)b = a(?b) при всех a, b ? A
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
98

и ? ? F. Иными словами, в более развернутом виде алгебра — это
набор (A, F, +, · , ?). В то же время, как и в других аналогичных
ситуациях, говорят просто об алгебре A.
5.6.3. Определение. Нормированная алгебра (над основным
полем) — это ассоциативная алгебра (над этим полем), наделенная
субмультипликативной нормой. Банахова алгебра — это полная нор-
мированная алгебра.
5.6.4. Пусть B(X) := B(X, X) — пространство ограниченных
эндоморфизмов нормированного пространства X. С операцией су-
перпозиции операторов в качестве умножения и с операторной нор-
мой пространство B(X) представляет собой нормированную алгебру.
При X = 0 в B(X) есть единичный элемент IX и IX = 1. Алгебра
B(X) является банаховой в том и только в том случае, если X —
банахово пространство.
Если X = 0, то все очевидно. Если же X = 0, то нужно
воспользоваться 5.5.6.
5.6.5. Замечание. В связи с 5.6.4 за элементом ?IX , где ? ? F,
удобно закрепить тот же самый символ ?. (В частности, 1 = I0 = 0!)
При X = 0 описанную процедуру можно мыслить как отождествле-
ние основного поля F и одномерного подпространства FIX .
5.6.6. Определение. Пусть X — нормированное пространство
и T ? B(X). Число r(T ) := inf T n 1/n : n ? N называют спек-
тральным радиусом T . (Естественность этого термина станет ясной
несколько позже (ср. 8.1.12).)
5.6.7. r(T ) ? T .
Действительно, в силу 5.6.1, T n ? T n
.
5.6.8. Справедлива формула Гельфанда
n
Tn .
r(T ) = lim

Пусть ? > 0 и s ? N таковы, что T s ? (r(T ) + ?)s . Для
каждого n ? N в случае n ? s имеется представление n = k(n)s+l(n),
где k(n), l(n) ? N и 0 ? l(n) ? s ? 1. Значит,

T n = T k(n)s T l(n) ? T s T l(n) ?
k(n)
5.6. Алгебра ограниченных операторов 99

? 1 ? T ? . . . ? T s?1 Ts k(n)
= M Ts k(n)
.

Следовательно,

r(T ) ? T n ? M 1/n T s ?
k(n)/n
1/n



? M 1/n (r(T ) + ?)k(n)s/n = M 1/n (r(T ) + ?)(n?l(n))/n .

Так как M 1/n > 1 и (n ? l(n))/n > 1, то r(T ) ? lim sup T n 1/n ?
r(T ) + ?. Соотношение lim inf T n 1/n ? r(T ) очевидно. В силу
произвольности ? получаем требуемое.
5.6.9. Теорема о сходимости ряда Неймана. Пусть X —
банахово пространство и T ? B(X). Эквивалентны утверждения:
(1) ряд Неймана 1 + T + T 2 + . . . сходится в операторной
норме пространства B(X);
(2) T k < 1 для некоторого k из N;
(3) r(T ) < 1.
?
При выполнении одного из условий (1)–(3) будет k

<<

стр. 3
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>