<<

стр. 4
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

k=0 T =
?1
(1 ? T ) .
(1) ? (2): Если ряд Неймана сходится, то общий член (T k )
стремится к нулю.
(2) ? (3): Очевидно.
(3) ? (1): На основании 5.6.8 при подходящем ? > 0 для всех
достаточно больших k ? N будет r(T ) ? T k 1/k ? r(T ) + ? < 1.
? k
k=0 T
Иными словами, хвост ряда мажорирован сходящимся
рядом. Учитывая полноту B(X) и критерий 5.5.3, заключаем, что
?
ряд k=0 T k сходится в пространстве B(X).
? n
Пусть теперь S := k=0 T k и Sn := k=0 T k . Тогда

S(1 ? T ) = lim Sn (1 ? T ) = lim (1 + T + . . . + T n ) (1 ? T ) =

= lim(1 ? T n+1 ) = 1;

(1 ? T )S = lim(1 ? T )Sn = lim(1 ? T )(1 + T + . . . + T n ) =

= lim 1 ? T n+1 = 1,

ибо T n > 0. Итак, в силу 2.2.7, S = (1 ? T )?1 .
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
100

5.6.10. Следствие. Если T < 1, то оператор (1 ? T ) (непре-
рывно) обратим (= имеет ограниченный обратный), т. е. обрат-
ное соответствие — ограниченный линейный оператор. При этом
(1 ? T )?1 ? (1 ? T )?1 .
Ряд Неймана сходится, причем
? ?
?1
= (1 ? T )?1 .
(1 ? T ) ? ?
k k
T T
k=0 k=0

5.6.11. Следствие. Если 1 ? T < 1, то T обратим и

1?T
1 ? T ?1 ? .
1? 1?T

По теореме 5.6.9,
? ?
(1 ? T )k = (1 ? (1 ? T ))?1 = T ?1 .
(1 ? T ) = k
1+
k=1 k=0

Отсюда выводим:
? ? ?
?1
?1 = (1 ? T ) ? (1 ? T ) ? 1?T
k k k
T .
k=1 k=1 k=1

5.6.12. Теорема Банаха об обратимых операторах. Пусть
X и Y — банаховы пространства. Множество (непрерывно) обрати-
мых операторов открыто. При этом операция обращения оператора
T > T ?1 является непрерывным отображением.
Пусть операторы S, T ? B(X, Y ) таковы, что T ?1 ? B(Y, X)
и, кроме того, T ?1 S ? T ? 1/2. Рассмотрим оператор T ?1 S ?
B(X). Имеем
1
1 ? T ?1 S = T ?1 T ? T ?1 S ? T ?1 T ?S ? < 1.
2
В силу 5.6.11, (T ?1 S)?1 — это элемент B(X).
Положим R := (T ?1 S)?1 T ?1 . Ясно, что R ? B(Y, X) и, кроме
того,
R = S ?1 (T ?1 )?1 T ?1 = S ?1 .
5.6. Алгебра ограниченных операторов 101

Помимо этого,

S ?1 ? T ?1 ? S ?1 ? T ?1 =

1 ?1
= S ?1 (T ? S)T ?1 ? S ?1 T ?1 ?
T ?S S .
2
Отсюда S ?1 ? 2 T ?1 . Окончательно

S ?1 ? T ?1 ? S ?1 T ?1 ? 2 T ?1
T ?S T ?S .
2



5.6.13. Определение. Пусть X — банахово пространство над F
и T ? B(X). Скаляр ? ? F называют регулярным или резольвент-
ным значением T , если (? ? T )?1 ? B(X). При этом полагают
R(T, ?) := (? ? T )?1 и называют оператор R(T, ?) резольвентой
(оператора T в точке ?). Множество резольвентных значений обо-
значают res(T ). Отображение ? > R(T, ?) из res(T ) в B(X) также
называют резольвентой оператора T . Множество F \ res(T ) назы-
вают спектром T и обозначают Sp(T ) или ?(T ). Элементы спектра
называют спектральными значениями.
5.6.14. Замечание. Если X = 0, то спектр единственного опе-
ратора T = 0 ? B(X) равен пустому множеству. В этой связи в спек-
тральном анализе молчаливо предполагают, что X = 0. В случае
X = 0 при F := R спектр также бывает пустым, а при F := C — не
бывает (ср. 8.1.11).
5.6.15. Множество res(T ) открыто, причем если ?0 ? res(T ), то
в некоторой окрестности ?0 выполнено
?
(?1)k (? ? ?0 )k R(T, ?0 )k+1 .
R(T, ?) =
k=0


Если |?| > T , то ? ? res(T ) и имеет место разложение
?
Tk
1
R(T, ?) = ,
?k
?
k=0


причем R(T, ?) > 0 при |?| > +?.
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
102

Поскольку (? ? T ) ? (?0 ? T ) = |? ? ?0 |, то открытость
множества res(T ) следует из 5.6.12. Кроме того,

? ? T = (? ? ?0 ) + (?0 ? T ) = (?0 ? T )R(T, ?0 )(? ? ?0 ) + (?0 ? T ) =

= (?0 ?T )((???0 )R(T, ?0 )+1) = (?0 ?T )(1?((?1)(???0 )R(T, ?0 ))).
Значит, в подходящей окрестности точки ?0 в силу 5.6.9 будет

R(T, ?) = (? ? T )?1 =

= (1 ? ((?1)(? ? ?0 )R(T, ?0 )))?1 (?0 ? T )?1 =
?
(?1)k (? ? ?0 )k R(T, ?0 )k+1 .
=
k=0
?1
На основании 5.6.9 при |?| > T имеется оператор (1 ? T /?) ,
представляющий собой сумму ряда Неймана, т. е.
?
?1
Tk
T
1 1
1?
R(T, ?) = .
=
?k
? ? ?
k=0

Очевидно
1 1
R(T, ?) ? · .
|?| 1 ? T /|?|
5.6.16. Спектр любого ограниченного оператора T компактен.
5.6.17. Замечание. Полезно помнить, что неравенство |?| >
r(T ) представляет собой необходимое и достаточное условие сходи-
?
мости ряда Лорана R(T, ?)= k=0 T k /?k+1 , дающего разложение
резольвенты в окрестности бесконечно удаленной точки (см. также
8.1.12).
5.6.18. Оператор S коммутирует с оператором T в том и только
в том случае, если S коммутирует с резольвентой T .
?: ST = T S ? S(? ? T ) = ?S ? ST = ?S ? T S = (? ? T )S ?
R(T, ?)S(? ? T ) = S ? R(T, ?)S = S R(T, ?) (? ? res(T )).
?: SR(T, ?0 ) = R(T, ?0 )S ? S = R(T, ?0 )S(?0 ? T ) ? (?0 ?
T )S = S(?0 ? T ) ? T S = ST .
5.6. Алгебра ограниченных операторов 103

5.6.19. Если ?, µ ? res(T ), то имеет место первое резольвентное
уравнение (= тождество Гильберта)

R(T, ?) ? R(T, µ) = (µ ? ?)R(T, µ)R(T, ?).

«Умножая тождество µ ? ? = (µ ? T ) ? (? ? T ) сначала на
R(T, ?) справа, а затем на R(T, µ) слева», последовательно прихо-
дим к требуемому.

5.6.20. Если ?, µ ? res(T ), то R(T, ?)R(T, µ) = R(T, µ) ?
R(T, ?).

5.6.21. Для ? ? res(T ) выполнено

dk
R(T, ?) = (?1)k k! R(T, ?)k+1 .
k
d?

5.6.22. Теорема о спектре произведения. Спектры Sp(ST )
и Sp(T S) могут отличаться лишь нулем.
Достаточно установить, что 1 ? Sp(ST ) ? 1 ? Sp(T S). В са-
мом деле, тогда при ? ? Sp(ST ) и ? = 0 будет

1 1 1
1? Sp(ST ) ? 1 ? Sp ? 1 ? Sp ? ? ? Sp(T S).
ST TS
? ? ?

Итак, рассмотрим случай 1 ? Sp(ST ). Формальные разложения
типа ряда Неймана —

(1 ? ST )?1 ? 1 + ST + (ST )(ST ) + (ST )(ST )(ST ) + . . . ,


T (1 ? ST )?1 S ? T S + T ST S + T ST ST S + . . . ? (1 ? T S)?1 ? 1

— наводят на мысль, что справедливо представление

(1 ? T S)?1 = 1 + T (1 ? ST )?1 S
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
104

(которое обеспечит соотношение 1 ? Sp(T S)). Следующие прямые
выкладки:

(1 + T (1 ? ST )?1 S)(1 ? T S) =
= 1 + T (1 ? ST )?1 S ? T S + T (1 ? ST )?1 (?ST )S =
= 1 + T (1 ? ST )?1 S ? T S + T (1 ? ST )?1 (1 ? ST ? 1)S =
= 1 + T (1 ? ST )?1 S ? T S + T S ? T (1 ? ST )?1 S = 1;


(1 ? T S)(1 + T (1 ? ST )?1 S) =
= 1 ? T S + T (1 ? ST )?1 S + T (?ST )(1 ? ST )?1 S =
= 1 ? T S + T (1 ? ST )?1 S + T (1 ? ST ? 1)(1 ? ST )?1 S =
= 1 ? T S + T (1 ? ST )?1 S + T S ? T (1 ? ST )?1 S = 1

доказывают искомое представление, а вместе с тем и теорему.

Упражнения
5.1. Доказать, что нормированное пространство конечномерно в том и толь-
ко в том случае, если любой линейный функционал на нем ограничен.
5.2. Проверить, что в каждом векторном пространстве можно определить
норму.
5.3. Установить, что векторное пространство конечномерно в том и только
в том случае, если все нормы в нем эквивалентны.
5.4. Доказать, что отделимые мультиметрики задают одну и ту же топо-
логию конечномерного пространства.
5.5. Каждую ли норму в RN можно использовать для нормировки произ-
ведения N нормированных пространств?
5.6. Выяснить условия непрерывности конечномерного оператора, действу-
ющего в мультинормированных пространствах.
5.7. Описать операторные нормы в пространстве квадратных матриц. Ко-
гда такие нормы сравнимы?
5.8. Найти расстояние между гиперплоскостями в нормированном прост-
ранстве.
5.9. Выяснить общий вид непрерывных линейных функционалов в класси-
ческих пространствах.
5.10. Изучить вопрос о рефлексивности классических банаховых прост-
ранств.
Упражнения 105

5.11. Выяснить взаиморасположение пространств lp и lq , Lp и Lq . Когда
дополнение одного из элементов каждой пары плотно в оставшемся?
5.12. Найти спектр и резольвенту оператора Вольтерра, проектора, одно-
мерного оператора.
5.13. Построить оператор, спектр которого — наперед заданный непустой
компакт в C.
5.14. Доказать, что тождественный оператор (в ненулевом пространстве)
не может быть коммутатором двух эндоморфизмов.
5.15. Как определить спектр оператора в мультинормированном простран-
стве?
5.16. Каждое ли банахово пространство над F допускает изометрическое
вложение в пространство C(Q, F), где Q — компактное пространство?
5.17. Выяснить, в каких случаях Lp (X) = Lp (X ), где X — банахово
пространство.
5.18. Пусть (Xn ) — последовательность нормированных пространств и


x? >0
X0 := Xn : x n Xn
n?N


— их сумма по типу c0 (с нормой x := sup{ xn : n ? N}, взятой из суммы по
типу l? ). Доказать, что X0 сепарабельно в том и только в том случае, когда
сепарабельно каждое из пространств Xn .
5.19. Доказать, что пространство C (p) [0, 1] представляет собой сумму ко-
нечномерного подпространства и пространства, изоморфного C[0, 1].
Глава 6
Гильбертовы пространства


6.1. Эрмитовы формы и скалярные
произведения
6.1.1. Определение. Пусть H — векторное пространство над
основным полем F. Отображение f : H 2 > F называют эрмитовой
формой, если
(1) отображение f (· , y) : x > f (x, y) лежит в H # для
всех y ? Y ;
(2) f (x, y) = f (y, x)? при любых x, y ? H, где ? > ?? —
естественная инволюция в F, т. е. переход к комплексно сопряжен-
ному числу.
6.1.2. Замечание. Как видно, для эрмитовой формы f при
#
каждом x ? H отображение f (x, · ) : y > (x, y) лежит в H? , где H?
— дуальное к H векторное пространство (см. 2.1.4 (2)).
Таким образом, при F := R эрмитова форма билинейна, т. е.
линейна по каждому аргументу, а при F := C — полуторалинейна,
т. е. линейна по первому аргументу и ?-линейна по второму.
6.1.3. Для каждой эрмитовой формы f выполнено поляризаци-
онное тождество:
f (x + y, x + y) ? f (x ? y, x ? y) = 4 Re f (x, y) (x, y ? H).


f (x + y, x + y) = f (x, x) + f (x, y) + f (y, x) + f (y, y)
?
f (x ? y, x ? y) = f (x, x) ? f (x, y) ? f (y, x) + f (y, y)
2(f (x, y) + f (y, x))
6.1. Эрмитовы формы и скалярные произведения 107

6.1.4. Определение. Эрмитову форму f называют положи-
тельной, или скалярным произведением, если f (x, x) ? 0 для лю-
бого x ? H. При этом пишут: (x, y) := x | y := f (x, y) (x, y ? H).
Скалярное произведение называют невырожденным, если (x, x) =
0 ? x = 0 (x ? H).
6.1.5. Имеет место неравенство Коши — Буняковского

|(x, y)|2 ? (x, x)(y, y) (x, y ? H).

Если (x, x) = (y, y) = 0, то 0 ? (x + ty, x + ty) = t(x, y)? +
t? (x, y). Выбирая t := ?(x, y), получаем ?2|(x, y)|2 ? 0, т. е. в этом
случае нужное установлено.
Если, к примеру, (y, y) = 0, то ввиду оценки

0 ? (x + ty, x + ty) = (x, x) + 2t Re(x, y) + t2 (y, y) (t ? R)

заключаем: Re(x, y)2 ? (x, x)(y, y).
Если (x, y) = 0, то доказывать нечего. Если же (x, y) = 0, то
положим ? := |(x, y)| (x, y)?1 и x := ?x. Тогда |?| = 1 и, кроме того,

(x, x) = (?x, ?x) = ??? (x, x) = |?|2 (x, x) = (x, x);

|(x, y)| = ?(x, y) = (?x, y) = (x, y) = Re(x, y).
Таким образом, |(x, y)|2 = Re(x, y)2 ? (x, x)(y, y).
6.1.6. Если ( · , · ) — скалярное произведение на H, то отобра-
жение · : x > (x, x)1/2 — полунорма на H.
Следует проверить только неравенство треугольника. Приме-
няя неравенство Коши — Буняковского, имеем

= (x, x) + (y, y) + 2 Re(x, y) ?
2
x+y

? (x, x) + (y, y) + 2 x y = ( x + y )2 .
6.1.7. Определение. Пространство H со скалярным произве-
дением (· , ·) и соответствующей полунормой · называют предгиль-
бертовым. Предгильбертово пространство H называют гильберто-
вым, если полунормированное пространство (H, · ) банахово.
Гл. 6. Гильбертовы пространства
108

6.1.8. В предгильбертовом пространстве H справедлив закон
параллелограмма

+ x?y + y 2 ) (x, y ? H)
2 2 2
x+y = 2( x

— сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов длин всех его сторон.
2 2
+ 2 Re(x, y) + y 2 ;
x+y = (x + y, x + y) = x
x?y = (x ? y, x ? y) = x ? 2 Re(x, y) + y
2 2 2


6.1.9. Теорема фон Неймана — Йордана. Если в полунор-
мированном пространстве (H, · ) справедлив закон параллело-
грамма, то H — предгильбертово пространство, т. е. найдется, и
притом единственное, скалярное произведение (· , ·) в H такое, что
x = (x, x)1/2 для всех x ? H.
Рассмотрим вещественную основу HR пространства H и для
x, y ? HR положим

1
? x?y
2 2
(x, y)R := x+y .
4

Применяя закон параллелограмма, для отображения (· , y)R после-
довательно выводим

(x1 , y)R + (x2 , y)R =

1
? x1 ? y ? x2 ? y
2 2 2 2
x1 + y + x2 + y
= =
4
1
? x1 ? y + x2 ? y
2 2 2 2
x1 + y + x2 + y
= =
4
1 1
+ x1 ? x2 ?
2 2
( (x1 + y) + (x2 + y)
=
4 2
1
? (x1 ? y) + (x2 ? y) + x1 ? x2 2 ) =
2
2
1 1 1
? x1 + x2 ? 2y
2 2
x1 + x2 + 2y
= =
4 2 2
6.1. Эрмитовы формы и скалярные произведения 109
1 2 2
? (x1 ? x2 )/2 ? y
(x1 + x2 )/2 + y
= =
2
= 2 ((x1 + x2 )/2, y)R .
В частности, при x2 := 0 будет (x2 , y)R = 0, т. е. 1/2(x1 , y)R =
(1/2 x1 , y)R . Соответственно при x1 := 2x1 и x2 := 2x2 имеем

(x1 + x2 , y)R = (x1 , y)R + (x2 , y)R .

В силу очевидной непрерывности отображения (· , y)R можно сде-
лать вывод, что (· , y)R ? (HR )# . Положим

(x, y) := Re?1 ((· , y)R )(x),

где Re?1 — комплексификатор (см. 3.7.5).
В случае F := R ясно, что (x, y) = (x, y)R = (y, x) и (x, x) =
x , т. е. доказывать нечего. Если же F := C, то
2


(x, y) = (x, y)R ? i(ix, y)R .

Отсюда вытекает, что

(y, x) = (y, x)R ? i(iy, x)R = (x, y)R ? i(x, iy)R =

= (x, y)R + i(ix, y)R = (x, y)? ,
поскольку
1
? x ? iy
2 2
(x, iy)R = x + iy =
4
1
|i| y ? ix ? |?i| ix + y = ?(ix, y)R .
2 2
=
4
Помимо этого,

(x, x) = (x, x)R ? i(ix, x)R =

i
= x2 ? ix + x 2 ? ix ? x 2 =
4
i
1? |1 + i|2 ? |1 ? i|2
2
= x 2.
=x
4
Утверждение об единственности следует из 6.1.3.
Гл. 6. Гильбертовы пространства
110

6.1.10. Примеры.
(1) Примером гильбертова пространства служит прост-
ранство L2 (относительно какой-нибудь системы с интегрировани-
ем). При этом скалярное произведение вводят так: (f, g) := f g ?
?
для f, g ? L2 . В частности, для l2 (E ) получаем (x, y) := e?E xe ye
при x, y ? l2 (E ).
(2) Пусть H — предгильбертово пространство и (· , ·) :
H > F — скалярное произведение в H. Ясно, что вещественная
2

основа HR со скалярным произведением (· , ·)R : (x, y) > Re(x, y) яв-
ляется предгильбертовым пространством, причем норма элемента в
H не зависит от того, вычисляют ее в H или в HR . Предгильбертово
пространство (HR , (· , ·)R ) называют овеществлением пространства
(H, (· , ·)). В свою очередь, если вещественная основа некоторого
полунормированного пространства является предгильбертовым про-
странством, то процесс комплексификации приводит к естественной
предгильбертовой структуре в исходном пространстве.
(3) Пусть H — предгильбертово пространство и H? —
дуальное к H векторное пространство. Для x, y ? H? положим
(x, y)? := (x, y)? . Ясно, что (· , ·)? — скалярное произведение в H? .
Полученное предгильбертово пространство называют дуальным к H
и сохраняют за ним обозначение H? .
(4) Пусть H — предгильбертово пространство и H0 :=
ker · — ядро полунормы · в H. Привлекая неравенство Коши
— Буняковского, теорему 2.3.8 и 6.1.10 (3), видим, что в фактор-
пространстве H/H0 естественным образом возникает скалярное про-
изведение: если x1 := ?(x1 ) и x2 := ?(x2 ), где x1 , x2 ? H и ? : H >
H/H0 — каноническое отображение, то (x1 , x2 ) := (x1 , x2 ). При
этом предгильбертово пространство H/H0 можно рассматривать как
фактор-пространство полунормированного пространства (H, · )
по ядру полунормы · . Таким образом, H/H0 — хаусдорфово про-
странство, которое называют хаусдорфовым предгильбертовым про-
странством, ассоциированным с H. Пополняя нормированное про-
странство H/H0 , получаем гильбертово пространство (например, в
силу теоремы фон Неймана — Йордана). Построенное гильбертово
пространство называют ассоциированным с исходным предгильбер-
товым пространством.
(5) Пусть (He )e?E — некоторое семейство гильбертовых
пространств и H — сумма этого семейства по типу 2, т. е. h ? H в
6.2. Ортопроекторы 111

том и только в том случае, если h := (he )e?E , где he ? He для e ? E ,
и при этом
1/2
2
h := he < +?.
e?E

В силу 5.5.9 (6), H — банахово пространство. Для элементов f, g ?
H, применяя последовательно закон параллелограмма, имеем

1
+ f ?g
2 2
f +g =
2

1
fe ? ge
2 2
fe + ge
= + =
2
e?E e?E

1
+ fe ? ge
2 2
fe + ge
= =
2
e?E

2 2 2
+ g 2,
fe + ge =f
=
e?E

так что, по теореме фон Неймана — Йордана, H — это гильбертово
пространство. Пространство H называют гильбертовой суммой се-
мейства гильбертовых пространств (He )e?E и обозначают ?e?E He .
При E := N пишут также H := H1 ? H2 ? . . . .
(6) Пусть H — гильбертово пространство и S — неко-
торая система с интегрированием. Пространство L2 (S, H), состав-
ленное из H-значных функций, суммируемых с квадратом, является
гильбертовым.

6.2. Ортопроекторы
6.2.1. Пусть U — выпуклое подмножество некоторого шарового
слоя (r + ?)BH \ rBH , где 0 < ? ? r, в гильбертовом пространстве H.
v
Имеет место следующая оценка диаметра: diam U ? 12r?.
Для x, y ? U , учитывая, что 1/2(x + y) ? U , и привлекая
закон параллелограмма, выводим
2
x?y ? 4 (x + y)/2 ?
2 2 2
x +y
=2
Гл. 6. Гильбертовы пространства
112

? 4(r + ?)2 ? 4r2 = 8r? + 4?2 ? 12r?.

6.2.2. Теорема Леви о проекции. Пусть U — непустое вы-
пуклое замкнутое множество в гильбертовом пространстве H и x ?
H \ U . Тогда существует, и притом единственный, элемент u0 ? U
такой, что
x ? u0 = inf{ x ? u : u ? U }.

Положим U? := {u ? U : x ? u ? inf U ? x + ?}. В силу
6.2.1 семейство (U? )?>0 образует базис фильтра Коши в U .

6.2.3. Определение. Элемент u0 , фигурирующий в 6.2.2, на-
зывают наилучшим приближением x в множестве U или проекцией
x на множество U .

6.2.4. Пусть H0 — замкнутое подпространство в гильбертовом
пространстве H и x ? H \ H0 . Элемент x0 ? H0 является проекцией
x на H0 в том и только в том случае, если (x ? x0 , h0 ) = 0 для
каждого h0 ? H0 .
Достаточно рассмотреть овеществление (H0 )R пространства
H0 . На (H0 )R определена выпуклая функция f (h0 ) := (h0 ?x, h0 ?x).
При этом x0 ? H0 служит проекцией x на H0 тогда и только тогда,
когда 0 ? ?x0 (f ). В связи с 3.5.2 (4) последнее вхождение означает,
что (x ? x0 , h0 ) = 0 при любом h0 ? H0 , ибо f (x0 ) = 2(x0 ? x, ·).

6.2.5. Определение. Элементы x, y ? H называют ортого-
нальными и пишут x ? y, если (x, y) = 0. Символом U ? обознача-
ют совокупность элементов, ортогональных ко всем точкам данного
множества U , т. е. U ? := {y ? H : x ? U ? x ? y}. Множество U ?
называют ортогональным дополнением множества U .

6.2.6. Пусть H0 — замкнутое подпространство в гильбертовом
?
пространстве H. Тогда его ортогональное дополнение H0 — замкну-
?
тое подпространство, причем H = H0 ? H0 .
? ?
Замкнутость H0 в H очевидна. Ясно также, что H0 ? H0 =
? ? ?
H0 ? H0 = 0. Осталось проверить, что H0 ? H0 = H0 + H0 =
H. Возьмем элемент h ? H \ H0 . На основании 6.2.2 существует
?
проекция h0 ? H0 , а, в силу 6.2.4, h ? h0 ? H0 . Итак, h = h0 + (h ?
?
h 0 ) ? H0 + H 0 .
6.2. Ортопроекторы 113

6.2.7. Определение. Проектор на замкнутое подпространство
?
H0 параллельно H0 называют ортопроектором на H0 и обозначают
PH0 .
6.2.8. Лемма Пифагора. x ? y ? x + y 2 2
+ y 2.
=x
6.2.9. Следствие. Норма ортопроектора не превосходит еди-
ницы: H = 0, H0 = 0 ? PH0 = 1.
6.2.10. Теорема об ортопроекторе. Для каждого оператора
P ? L (H) такого, что P 2 = P , эквивалентны утверждения:
(1) P — ортопроектор на H0 := im P ;
(2) h ? 1 ? P h ? 1;
(3) (P x, P d y) = 0, где P d := IH ? P и x, y ? H;
(4) (P x, y) = (x, P y) при x, y ? H.
(1) ? (2): Отмечено в 6.2.9.
?
(2) ? (3): Пусть H1 := ker P = im P d . Возьмем x ? H1 . По-
скольку x = P x + P d x и x ? P d x, то x 2 ? P x 2 = (x ? P d x, x ?
P d x) = (x, x) ? 2 Re(x, P d x) + (P d x, P d x) = x 2 + P d x 2 . Отсюда
?
P d x = 0, т. е. x ? im P . Из соотношений H1 = ker P и H1 ? im P
?
с учетом 6.2.6 выводим: H1 = im P = H0 . Итак, (P x, P d y) = 0 для
любых x, y ? H, ибо P x ? H0 , а P d y ? H1 .
(3) ? (4): (P x, y) = (P x, P y + P d y) = (P x, P y) = (P x, P y) +
(P d x, P y) = (x, P y).
(4) ? (1): Проверим сначала, что H0 — замкнутое подпростран-
ство. Пусть h0 := lim hn и hn ? H0 , т. е. P hn = hn . При любом
x ? H из непрерывности функционалов (· , x) и (· , P x) последова-
тельно вытекает

(h0 , x) = lim (hn , x) = lim (P hn , x) = lim (hn , P x) = (P h0 , x).

Отсюда (h0 ? P h0 , h0 ? P h0 ) = 0, т. е. h0 ? im P .
Теперь для произвольных x ? H и h0 ? H0 выводим (x ?
P x, h0 ) = (x ? P x, P h0 ) = (P (x ? P x), h0 ) = (P x ? P 2 x, h0 ) =
(P x ? P x, h0 ) = 0. Таким образом, привлекая 6.2.4, получаем
P x = PH0 x.
6.2.11. Пусть P1 , P2 — ортопроекторы, причем P1 P2 = 0. Тогда
P2 P1 = 0.
P1 P2 = 0 ? im P2 ? ker P1 ? im P1 = (ker P1 )? ? (im P2 )? =
ker P2 ? P2 P1 = 0
Гл. 6. Гильбертовы пространства
114

6.2.12. Определение. Ортопроекторы P1 и P2 называют ор-
тогональными (и пишут P1 ? P2 или P2 ? P1 ), если P1 P2 = 0.
6.2.13. Теорема. Пусть P1 , . . . , Pn — ортопроекторы. Опера-
тор P := P1 + . . . + Pn является ортопроектором в том и только в том
случае, если Pl ? Pm при l = m.
?: Заметим прежде всего, что для каждого ортопроектора
P0 по теореме 6.2.10 выполнено P0 x 2 = (P0 x, P0 x) = (P0 x, x) =
2

(P0 x, x). Следовательно, при x ? H и l = m справедливо

?
2 2
Pl x + Pm x

n n
? ? x 2.
2 2
Pk x (Pk x, x) = (P x, x) = P x
=
k=1 k=1

В частности, полагая x := Pl x, получаем

? Pl x ? Pm Pl = 0.
2 2 2
Pl x + Pm Pl x

?: Прямой подсчет показывает, что P — идемпотентный опера-
тор. В самом деле,

2
n n n n
2 2
P= Pk Pl Pm = Pk = P.
=
l=1 m=1
k=1 k=1


Помимо этого, в силу 6.2.10 (4), (Pk x, y) = (x, Pk y) и, стало быть,
(P x, y) = (x, P y). Осталось вновь сослаться на 6.2.10 (4).
6.2.14. Замечание. Теорему 6.2.13 называют критерием ор-
тогональности конечного множества ортопроекторов.

6.3. Гильбертов базис
6.3.1. Определение. Семейство (xe )e?E элементов некоторого
гильбертова пространства H называют ортогональным, если e1 =
e2 ? xe1 ? xe2 . Соответственно множество E в гильбертовом про-
странстве H называют ортогональным, если ортогонально семей-
ство (e)e?E .
6.3. Гильбертов базис 115

6.3.2. Теорема Пифагора. Ортогональное семейство (xe )e?E
элементов гильбертова пространства (безусловно) суммируемо тогда
и только тогда, когда суммируемо числовое семейство ( xe 2 )e?E .
При этом
2

xe 2 .
xe =
e?E e?E

Пусть s? := e?E xe , где ? — конечное подмножество E . На
основании 6.2.8, s? 2 = e?? xe 2 . Значит, для конечного множе-
ства ? , содержащего ?, выполнено

s? ? s? 2 2
xe 2 .
= s? \? =
e?? \?

Иными словами, фундаментальность сети (s? ) равносильна фунда-
ментальности сети частичных сумм семейства ( xe 2 )e?E . Привле-
кая 5.5.3, получаем требуемое.
6.3.3. Теорема о суммировании ортопроекторов. Пусть
(Pe )e?E — семейство попарно ортогональных ортопроекторов в гиль-
бертовом пространстве H. Тогда для каждого x ? H (безусловно)
суммируемо семейство (Pe x)e?E . При этом оператор P x := e?E Pe x
является ортопроектором на подпространство


H := xe : xe ? He := im Pe , 2
xe < +? .
e?E e?E

Для конечного подмножества ? в E положим s? := e?? Pe .
По теореме 6.2.13, s? — это ортопроектор. Поэтому, с учетом 6.2.8,
Pe x 2 ? x 2 при каждом x ? H. Следователь-
s? x 2 = e??
но, семейство ( Pe x 2 )e?E суммируемо (сеть частичных сумм воз-
растает и ограничена). По теореме Пифагора имеется сумма P x :=
e?E Pe x, т. е. P x = lim? s? x.
Отсюда P 2 x = lim? s? P x = lim? s? lim? s? x = lim? lim? s? s? x =
lim? lim? s??? x= lim? s? x = P x. Окончательно P x = lim? s? x =
lim? s? x ? x и, кроме того, P 2 = P . Апеллируя к 6.2.10, заклю-
чаем, что P — ортопроектор на im P .
Если x ? im P , т. е. P x = x, то x = e?E Pe x и по теореме
Пифагора e?E Pe x = x = P x < +?. Поскольку Pe x ?
2 2 2
Гл. 6. Гильбертовы пространства
116

He (e ? E ), то x ? H . Если же xe ? He и 2
e?E xe < +? ,
то для x := e?E xe (существование следует из все той же теоремы
Пифагора) будет x = e?E xe = e?E Pe xe = P x, т. е. x ? im P .
Итак, im P = H .
6.3.4. Замечание. Приведенную теорему можно трактовать
как утверждение об изоморфизме H с гильбертовой суммой семей-
ства (He )e?E . Нужное отождествление при этом осуществляет, как
видно, интеграл Бохнера, представляющий в данном случае процесс
суммирования.
6.3.5. Замечание. Пусть h ? H — нормированный элемент:
h = 1. Пусть, далее, H0 := Fh — одномерное подпространство в
H, натянутое на h0 . Для каждого элемента x ? H и произвольного
скаляра ? ? F справедливо

(x ? (x, h)h, ?h) = ?? ((x, h) ? (x, h))(h, h) = 0.

Значит, по предложению 6.2.4, PH0 = (· , h) ? h. Для обозначения
этого ортопроектора удобно использовать символ h . Итак, h :
x > (x, h)h (x ? H).
6.3.6. Определение. Семейство элементов гильбертова про-
странства называют ортонормальным (или ортонормированным),
если, во-первых, это семейство ортогонально, а во-вторых, если нор-
мы входящих в него векторов равны единице. Аналогично опреде-
ляют ортонормальные множества.
6.3.7. Для любого ортонормального множества E в H и произ-
вольного элемента x ? H семейство ( e x)e?E (безусловно) суммиру-
емо. При этом имеет место неравенство Бесселя:

? |(x, e)|2 .
2
x
e?E


Достаточно сослаться на теорему о суммировании ортопроек-
торов, ибо
2 2
2
?
2
x ex (x, e)e (x, e)e .
= =
e?E e?E e?E
6.3. Гильбертов базис 117

6.3.8. Определение. Ортонормальное множество E в гильбер-
товом пространстве H называют гильбертовым базисом (в H), если
для всякого x ? H выполнено x = e?E e x. Ортонормальное се-
мейство элементов гильбертова пространства называют гильберто-
вым базисом, если область значений этого семейства является гиль-
бертовым базисом.
6.3.9. Ортонормальное множество E является гильбертовым ба-
зисом в H в том и только в том случае, если линейная оболочка L (E )
плотна в H.
6.3.10. Определение. Говорят, что множество E удовлетворя-
ет условию Стеклова, если E ? = 0.
6.3.11. Теорема Стеклова. Ортонормальное множество явля-
ется гильбертовым базисом в том и только в том случае, если оно
удовлетворяет условию Стеклова.
?: Пусть h ? E ? . Тогда h = e?E e h = e?E (h, e)e =
e?E 0 = 0.
?: Для x ? H, в силу 6.3.3 и 6.2.4, x ? e?E e x ? E ? .
6.3.12. Теорема. В каждом гильбертовом пространстве есть
гильбертов базис.
По лемме Куратовского — Цорна в гильбертовом простран-
стве H имеется максимальное по включению ортонормальное мно-
жество E . Если есть h ? H \ H0 , где H0 := cl L (E ), то элемент
h1 := h ? PH0 h ортогонален любому элементу из E и, значит, при
H = 0 будет E ? { h1 ?1 h1 } = E . Получили противоречие. В случае
H = 0 доказывать нечего.
6.3.13. Замечание. Можно показать, что у двух гильбертовых
базисов одного и того же гильбертова пространства H одна и та же
мощность. Эту мощность называют гильбертовой размерностью H.
6.3.14. Замечание. Пусть (xn )n?N — счетная последователь-
ность линейно независимых элементов гильбертова пространства H.
Положим еще x0 := 0, e0 := 0, и пусть

n?1
yn
yn := xn ? (n ? N).
ek xn , en :=
yn
k=0
Гл. 6. Гильбертовы пространства
118

Видно, что (yn , ek ) = 0 для 0 ? k ? n ? 1 (например, из 6.2.13).
Столь же несомненно, что yn = 0, ввиду бесконечномерности H. Про
ортонормальную последовательность (en )n?N говорят, что она полу-
чена процессом ортогонализации, или процессом Грама — Шмид-
та, из последовательности (xn )n?N . Привлекая процесс ортогона-
лизации, нетрудно показать, что в гильбертовом пространстве есть
счетный гильбертов базис в том и только в том случае, если в нем
имеется счетное всюду плотное множество, т. е. если это простран-
ство сепарабельно.
6.3.15. Определение. Пусть E — гильбертов базис в простран-
стве H и x ? H. Числовое семейство x := (xe )e?E в F E , заданное со-
отношением xe := (x, e), называют преобразованием Фурье элемента
x (относительно гильбертова базиса E ).
6.3.16. Теорема Рисса — Фишера об изоморфизме. Пусть
E — гильбертов базис в H. Преобразование Фурье F : x > x (от-
носительно базиса E ) есть изометрический изоморфизм H на l2 (E ).
Обратное преобразование — суммирование Фурье F ?1 : l2 (E ) > H
— действует по правилу F ?1 (x) := e?E xe e для x := (xe )e?E ? l2 (E ).
При этом для любых x, y ? H имеет место равенство Парсеваля
?
(x, y) = xe ye .
e?E

По теореме Пифагора преобразование Фурье действует в l2 (E ).
По теореме 6.3.3, — это эпиморфизм. По теореме Стеклова, —
?1
мономорфизм. То, что F x = x для x ? H и F ?1 (x) = x для
x ? l2 (E ), несомненно. Равенство

(x ? H)
2 2 2
x xe =x
= 2
e?E

следует из теоремы Пифагора. При этом

? ?
(x, y) = xe e, ye e xe ye (e, e ) = xe ye .
=
e,e ?E
e?E e?E e?E

6.3.17. Замечание. Равенства Парсеваля показывают, что пре-
образование Фурье сохраняет скалярные произведения. Таким об-
разом, это преобразование — унитарный оператор или гильбертов
6.4. Эрмитово сопряженный оператор 119

изоморфизм, т. е. изоморфизм, сохраняющий скалярные произве-
дения. В этой связи теорему Рисса — Фишера иногда называют
теоремой о «гильбертовом изоморфизме гильбертовых пространств
(одной гильбертовой размерности)».

6.4. Эрмитово сопряженный оператор
6.4.1. Теорема Рисса о штриховании. Пусть H — гильбер-
тово пространство. Для x ? H положим x := (· , x). Тогда отобра-
жение штрихования x > x осуществляет изометрический изомор-
физм H? на H .
Ясно, что x = 0 ? x = 0. Если же x = 0, то

= sup |(y, x)| ? sup x ? x;
x y
H
y ?1 y ?1


= sup |(y, x)| ? |(x/ x , x)| = x .
x H
y ?1

Таким образом, x > x — изометрия H? в H . Проверим, что это
отображение является эпиморфизмом.
Пусть l ? H и H0 := ker l = H (если таких l нет, то доказывать
?
нечего). Выберем элемент e = 1 такой, что e ? H0 , и положим
grad l := l(e)? e. Если x ? H0 , то

(grad l) (x) = (x, grad l) = (x, l(e)? e) = l(e)?? (x, e) = 0.

Следовательно, для некоторого ? ? F и всех x ? H в силу 2.3.12
выполнено (grad l) (x) = ?l(x). В частности, при x := e получаем

(grad l) (e) = (e, grad l) = l(e)(e, e) = ?l(e),

т. е. ? = 1.
6.4.2. Замечание. Из теоремы Рисса следует, что сопряжен-
ное пространство H обладает естественной структурой гильберто-
ва пространства и отображение штрихования x > x осуществляет
гильбертов изоморфизм H? на H . Обратным отображением при
этом служит построенное в доказательстве градиентное отображе-
ние l > grad l. В этой связи 6.4.1 называют теоремой «об общем
виде линейного функционала в гильбертовом пространстве».
Гл. 6. Гильбертовы пространства
120

6.4.3. Гильбертово пространство рефлексивно.
Пусть ? : H > H — двойное штрихование, т. е. каноническое
вложение H во второе сопряженное пространство H , определенное
соотношением x (l) = ?(x)(l) = l(x), где x ? H и l ? H (см. 5.1.10
(8)). Проверим, что ? — эпиморфизм. Пусть f ? H . Рассмотрим
отображение y > f (y ) для y ? H. Ясно, что это отображение
— линейный функционал над H? и, стало быть, по теореме Рисса
найдется элемент x ? H = H?? такой, что (y, x)? = (x, y) = f (y )
для каждого y ? H. Имеем ?(x)(y ) = y (x) = (x, y) = f (y ) при
всех y ? H. Так как по теореме Рисса y > y — отображение на H ,
получаем ?(x) = f.
6.4.4. Пусть H1 , H2 — произвольные гильбертовы простран-
ства и T ? B(H1 , H2 ). Тогда существует, и притом единственное,
отображение T ? : H2 > H1 такое, что для любых x ? H1 , y ? H2
выполнено
(T x, y) = (x, T ? y).
При этом T ? ? B(H2 , H1 ) и T ? = T .
Пусть y ? H2 . Отображение x > (T x, y) есть композиция
y ? T , т. е. представляет собой непрерывный линейный функци-
онал на H1 . По теореме Рисса имеется в точности один элемент
x ? H1 , для которого x = y ? T . Полагаем T ? y := x. Ясно, что
T ? ? L (H2 , H1 ). Помимо этого, привлекая неравенство Коши —
Буняковского и нормативное неравенство, выводим

|(T ? y, T ? y)| = |(T T ? y, y)| ? T T ? y T ?y
y?T y.

Значит, T ? y ? T y для всех y ? H2 , т. е. T ? ? T . В то же
время T = T ?? := (T ? )? , т. е. T = T ?? ? T ? .
6.4.5. Определение. Оператор T ? ? B(H2 , H1 ), построенный
в 6.4.4, называют эрмитово сопряженным к T ? B(H1 , H2 ).
6.4.6. Пусть H1 , H2 — гильбертовы пространства и, кроме того,
S, T ? B(H1 , H2 ) и ? ? F. Тогда
(1) T ?? = T ;
(2) (S + T )? = S ? + T ? ;
(3) (?T )? = ?? T ? ;
(4) T ? T = T 2 .
6.4. Эрмитово сопряженный оператор 121

(1)–(3) — очевидные свойства. Если же x ? 1, то

= (T x, T x) = |(T x, T x)| = |(T ? T x, x)| ?
2
Tx

? T ?T x x ? T ?T .
Кроме того, в силу субмультипликативности операторной нормы и
предложения 6.4.4, T ? T ? T ? T = T 2 , что доказывает (4).
6.4.7. Пусть H1 , H2 , H3 — три гильбертовых пространства, и
заданы T ? B(H1 , H2 ) и S ? B(H2 , H3 ). Тогда (ST )? = T ? S ? .
(ST x, z) = (T x, S ? z) = (x, T ? S ? z) (x ? H1 , z ? H3 )
6.4.8. Определение. Рассмотрим простейшую — элементар-
T?
T
ную — диаграмму H1 > H2 . Диаграмму H1 <? H2 называют эр-
митово сопряженной к исходной. Если в произвольной диаграмме,
составленной из ограниченных линейных отображений гильберто-
вых пространств, каждая элементарная поддиаграмма заменена на
эрмитово сопряженную, то возникшую диаграмму называют эрми-
тово сопряженной к исходной.
6.4.9. Принцип эрмитова сопряжения диаграмм. Диаг-
рамма коммутативна в том и только в том случае, если коммута-
тивна эрмитово сопряженная к ней диаграмма.
Следует из 6.4.7 и 6.4.6 (1).
6.4.10. Следствие. Пусть T ? B(H1 , H2 ) и T ? ? B(H2 , H1 ).
Оператор T обратим в том и только в том случае, если обратим T ? .
При этом T ??1 = T ?1? .
6.4.11. Следствие. Для T ? B(H) верно ? ? Sp(T ) ? ?? ?
Sp(T ? ).
6.4.12. Принцип эрмитова сопряжения последователь-
ностей (ср. 7.6.13). Последовательность
Tk+1
T
k
. . . ?> Hk?1 ?> Hk ?> Hk+1 ?> . . .

точна в том и только в том случае, если точна эрмитово сопряженная
последовательность
?
T? Tk+1
k
. . . <? Hk?1 <? Hk <? Hk+1 <? . . . .
Гл. 6. Гильбертовы пространства
122

6.4.13. Определение. Инволютивной алгеброй или ?-алгеброй
(над основным полем F) называют алгебру A с инволюцией ?, т. е.
с отображением a > a? в A таким, что
(1) a?? = a (a ? A);
(2) (a + b)? = a? + b? (a, b ? A);
(3) (?a)? = ?? a? (? ? F, a ? A);
(4) (ab)? = b? a? (a, b ? A).
Банахову алгебру A с инволюцией ?, для которой a? a = a 2 при
всех a ? A, называют C ? -алгеброй.
6.4.14. Пространство B(H) эндоморфизмов гильбертова прост-
ранства H представляет собой C ? -алгебру (относительно операций
произведения операторов и перехода к эрмитово сопряженному опе-
ратору в качестве инволюции).

6.5. Эрмитовы операторы
6.5.1. Определение. Пусть H — гильбертово пространство над
полем F и T ? B(H). Оператор T называют эрмитовым (или само-
сопряженным), если T = T ? .
6.5.2. Теорема Рэлея. Для эрмитова оператора T имеет место
равенство
T = sup |(T x, x)|.
x ?1

Пусть t := sup{|(T x, x)| : x ? 1}. Ясно, что |(T x, x)| ?
T x x ? T , как только x ? 1. Стало быть, t ? T .
Так как T = T ? , то (T x, y) = (x, T y) = (T y, x)? = (y, T x)? ,
т. е. (x, y) > (T x, y) — эрмитова форма. Значит, в силу 6.1.3 и 6.1.8
4 Re(T x, y) = (T (x + y), x + y) ? (T (x ? y), x ? y) ?
? t( x + y + x ? y 2 ) = 2t( x
2 2
+ y 2 ).
Если T x = 0, то явно T x ? t. Пусть T x = 0. Тогда при x ? 1
для y := T x ?1 T x будет
Tx Tx
Tx = Tx , =
Tx Tx
1 2
= (T x, y) = Re(T x, y) ? ? t,
2
tx + T x/ T x
2
x ? 1} ? t.
т. е. T = sup{ T x :
6.5. Эрмитовы операторы 123

6.5.3. Замечание. Как отмечено в доказательстве 6.5.2, каж-
дый эрмитов оператор T в гильбертовом пространстве H порождает
эрмитову форму fT (x, y) := (T x, y). Пусть, в свою очередь, f —
эрмитова форма, причем для каждого y ? H функционал f (· , y)
непрерывен. Тогда в силу теоремы Рисса найдется элемент T y из
H такой, что f (·, y) = (T y) . Очевидно, T ? L (H) и (x, T y) =
f (x, y) = f (y, x)? = (y, T x)? = (T x, y). Можно убедиться, что
в этом случае T ? B(H) и T = T ? . Кроме того, f = fT . Таким
образом, в определении 6.5.1 условие T ? B(H) можно заменить
условием T ? L (H) (теорема Хеллингера — Т?плица, см. 7.4.7).
е

6.5.4. Критерий Вейля. Число ? лежит в спектре эрмитова
оператора T в том и только в том случае, если

?x ? T x = 0.
inf
x =1


?: Пусть t := inf{ ?x?T x : x ? H, x = 1} > 0. Установим,
что ? ? Sp(T ). Для каждого x ? H выполнено ?x ? T x ? t x .
/
Стало быть, во-первых, (? ? T ) — мономорфизм, во-вторых, H0 :=
im(??T ) — замкнутое подпространство (ибо (??T )xm ?(??T )xk ?
t xm ? xk , т. е. «прообраз последовательности Коши фундамента-
лен») и, наконец, в-третьих, (? ? T )?1 ? B(H), как только H = H0
(в такой ситуации R(T, ?) ? t?1 ). Допустим, вопреки доказы-
?
ваемому, что H = H0 . Тогда существует y ? H0 , для которого
y = 1. При всех x ? H будет 0 = (?x ? T x, y) = (x, ?? y ? T y), т. е.
?? y = T y. Далее, ?? = (T y, y)/(y, y) и из эрмитовости T выводим
?? ? R. Отсюда ?? = ? и y ? ker(? ? T ). Получили противоречие:
1 = y = 0 = 0.
?: Если ? ? Sp(T ), то имеется резольвента R(T, ?) ? B(H).
/
Поэтому inf{ ?x ? T x : x = 1} ? R(T, ?) ?1 .

6.5.5. Теорема о границах спектра. Пусть T — эрмитов опе-
ратор в гильбертовом пространстве. Положим

mT := inf (T x, x), MT := sup (T x, x).
x =1 x =1


Тогда Sp(T ) ? [mT , MT ] и mT , MT ? Sp(T ).
Гл. 6. Гильбертовы пространства
124

Учитывая эрмитовость оператора T ?Re ? в рассматриваемом
пространстве H, из тождества
?x ? T x = | Im ?|2 x + T x ? Re ?x
2 2 2


на основании 6.5.4 получаем включение Sp(T ) ? R. Если ? < mT ,
то для элемента x ? H с единичной нормой x = 1 по неравенству
Коши — Буняковского 6.1.5
?x ? T x = ?x ? T x x ? |(?x ? T x, x)| =
= |? ? (T x, x)| = (T x, x) ? ? ? mT ? ? > 0.
Апелляция к 6.5.4 дает: ? ? res(T ). Если же ? > MT , то аналогич-
ным образом
?x?T x ? |(?x?T x, x)| = |??(T x, x)| = ??(T x, x) ? ??MT > 0.
Вновь ? ? res(T ). Окончательно Sp(T ) ? [mT , MT ].
Поскольку (T x, x) ? R при x ? H, то в силу 6.5.2
x ? 1} =
T = sup{|(T x, x)| :
= sup{(T x, x) ? (?(T x, x)) : x ? 1} = MT ? (?mT ).
Допустим сначала, что ? := T = MT . Если x = 1, то
?x ? T x = ?2 ? 2?(T x, x) + T x ?2 T ? 2 T (T x, x).
2 2 2


Иначе говоря, справедлива оценка
?x ? T x ?2 T inf ( T ? (T x, x)) = 0.
2
inf
x =1 x =1

Привлекая 6.5.4, заключаем: ? ? Sp(T ).
Рассмотрим теперь оператор S := T ? mT . Ясно, что MS =
MT ? mT ? 0 и mS = mT ? mT = 0. Таким образом, S = MS и
по уже доказанному MS ? Sp(S). Отсюда следует, что MT входит в
Sp(T ), ибо T = S + mT , а MT = MS + mT . Осталось заметить, что
mT = ?M?T и Sp(T ) = ? Sp(?T ).
6.5.6. Следствие. Норма эрмитова оператора равна радиусу
его спектра (и спектральному радиусу).
6.5.7. Следствие. Эрмитов оператор является нулевым в том
и только в том случае, если у него нулевой спектр.
6.6. Компактные эрмитовы операторы 125

6.6. Компактные эрмитовы операторы
6.6.1. Определение. Пусть X и Y — банаховы пространства.
Оператор T ? L (X, Y ) называют компактным (при этом пишут
T ? K (X, Y )), если образ T (BX ) единичного шара BX в X относи-
тельно компактен в Y .
6.6.2. Замечание. Подробное исследование компактных опе-
раторов в банаховых пространствах составляет содержание теории
Рисса — Шаудера. Эта теория рассмотрена в гл. 8.
6.6.3. Пусть T — компактный эрмитов оператор. Если 0 = ? ?
Sp(T ), то ? — собственное число T , т. е. ker(? ? T ) = 0.
По критерию Вейля для некоторой последовательности (xn )
такой, что xn = 1, выполнено ?xn ? T xn > 0. Не нарушая
общности, будем считать, что последовательность (T xn ) сходится
к y := lim T xn . Тогда из тождества ?xn = (?xn ? T xn ) + T xn полу-
чаем, что существует предел (?xn ) и y = lim ?xn . Следовательно,
T y = T (lim ?xn ) = ? lim T xn = ?y. Так как y = |?|, заключаем,
что y — собственный вектор T .
6.6.4. Пусть ?1 , ?2 — различные собственные числа эрмитова
оператора T , а x1 , x2 — отвечающие ?1 и ?2 соответственно соб-
ственные векторы (т. е. xs ? ker(?s ? T ), s := 1, 2). Тогда x1 и x2
ортогональны.

?2
1 1
(x1 , x2 ) = (T x1 , x2 ) = (x1 , T x2 ) = (x1 , x2 )
?1 ?1 ?1
6.6.5. Для всякого ? > 0 вне промежутка [??, ?] может лежать
лишь конечное число собственных чисел компактного эрмитова опе-
ратора.
Пусть (?n )n?N — последовательность попарно различных соб-
ственных чисел T , причем |?n | > ?. Пусть, далее, xn — собственный
вектор, отвечающий ?n и такой, что xn = 1. В силу 6.6.4 имеем
(xk , xm ) = 0 при m = k. Значит,

T xm ? T xk = ?2 + ?2 ? 2?2 ,
2 2 2
= T xm + T xk m k

т. е. последовательность (T xn )n?N не является относительно ком-
пактной. Получили противоречие с компактностью T.
Гл. 6. Гильбертовы пространства
126

6.6.6. Лемма о разбиении спектра. Пусть T — компактный
эрмитов оператор в гильбертовом пространстве H и 0 = ? ? Sp(T ).
Положим H? := ker(? ? T ). Тогда H? конечномерно и разложение
?
H = H? ? H? приводит T . При этом имеет место матричное пред-
ставление
?0
T? ,
0 T?
?
где оператор T? — часть T в H? — эрмитов и компактен, причем
Sp(T? ) = Sp(T ) \ {?}.
Подпространство H? конечномерно ввиду компактности T .
Помимо этого, H? инвариантно относительно T . Значит, ортого-
?
нальное дополнение H? подпространства H? — инвариантное под-
пространство T ? (= T ), ибо выполнено (? x ? H? )(x, h) = 0 ? (? x ?
H? )(T ? h, x) = (h, T x) = 0.
Часть оператора T в H? — это явно ?. Компактность и эрмито-
?
вость части T? оператора T в H? несомненны. Столь же очевидно,
что при µ = ? оператор

µ?? 0
µ?T ?
µ ? T?
0

обратим в том и только в том случае, если обратим µ ? T? . Ясно
также, что ? не является собственным числом T? .
6.6.7. Теорема Гильберта — Шмидта. Пусть H — гильбер-
тово пространство и T — компактный эрмитов оператор в H. Пусть,
далее, P? — ортопроектор на ker(? ? T ) для ? ? Sp(T ). Тогда вы-
полнено
T= ?P? .
??Sp(T )

Привлекая нужное число раз 6.5.6 и 6.6.6, для любого конеч-
ного подмножества ? в Sp(T ) получаем


T? ?P? = sup{|?| : ? ? (Sp(T ) ? 0) \ ?}.
???


Остается сослаться на 6.6.5.
6.6. Компактные эрмитовы операторы 127

6.6.8. Замечание. Теорема Гильберта — Шмидта содержит
новую информацию по сравнению с конечномерным случаем по сути
дела лишь тогда, когда оператор T «бесконечномерен», т. е. имеет
?
бесконечномерный образ или, что то же самое, если H0 — бесконеч-
номерное пространство (H0 := ker T ). Действительно, если оператор
T конечномерен, т. е. имеет конечномерный образ, то подпростран-
?
ство H0 изоморфно этому образу и, стало быть,
n n
?k ek ? ek ,
T= ?k ek =
k=1 k=1

где ?1 , . . . , ?n — ненулевые точки спектра T , «взятые с учетом крат-
?
ности», а {e1 , . . . , en } — ортонормальный базис в H0 , выбранный
должным образом.
Теорема Гильберта — Шмидта показывает, что с точностью до
замены суммы рядом бесконечномерные компактные эрмитовы опе-
раторы устроены так же, как и конечномерные. В самом деле, при
? = µ, где ?, µ — ненулевые точки спектра T , собственные подпро-
странства H? и Hµ конечномерны и ортогональны. При этом гиль-
бертова сумма ???Sp(T )\0 H? равна H0 = cl im T , ибо H0 = (im T )? .
?

Строя «по порядку» базисы в конечномерных пространствах H? (пе-
ренумеровывая собственные числа «в порядке убывания модулей и
с учетом кратности», т. е. полагая ?1 := ?2 := . . . := ?dim H?1 :=
?1 ; ?dim H?1 +1 := . . . := ?dim H?1 +dim H?2 := ?2 и т. д.), получаем раз-
ложение H = H0 ? H?1 ? H?2 ? . . . и представление
? ?
?k ek ? ek ,
T= ?k ek =
k=1 k=1

где ряд суммируется в операторной норме.
6.6.9. Теорема об общем виде компактного оператора.
Пусть T ? K (H1 , H2 ) — бесконечномерный компактный оператор,
действующий из гильбертова пространства H1 в гильбертово про-
странство H2 . Существуют ортонормальные семейства (ek )k?N в H1 ,
(fk )k?N в H2 и семейство чисел (µk )k?N в R+ \ 0, µk v 0, для которых
справедливо представление
?
µk ek ? fk .
T=
k=1
Гл. 6. Гильбертовы пространства
128

Положим S := T ? T . Понятно, что S ? B(H1 ) и S компактен.
Помимо этого, (Sx, x) = (T ? T x, x) = (T x, T x) = T x 2 . Значит,
в силу 6.4.6, S эрмитов и H0 := ker S = ker T . Отметим также, что
Sp(S) ? R+ по теореме 6.5.5.
?
Пусть (ek )k?N — ортонормальный базис в H0 из собственных
векторов S и (?k )k?N — соответствующая убывающая последова-
тельность положительных собственных значений ?k > 0, k ? N (ср.
6.6.8). Тогда элемент x ? H1 можно разложить в ряд Фурье
?
x ? PH0 x = (x, ek )ek .
k=1

v
Таким образом, учитывая, что T PH0 = 0, и полагая µk := ?k и
fk := µ?1 T ek , получаем
k

? ? ?
µk
Tx = (x, ek )T ek = (x, ek ) T ek = µk (x, ek )fk .
µk
k=1 k=1 k=1


Семейство (fk )k?N ортонормально, ибо

T en T em 1
(fn , fm ) = , (T en , T em ) =
=
µn µm µn µm

1 1
(T ? T en , em ) = (Sen , em ) =
=
µn µm µn µm
µn
1
(?n en , em ) = (en , em ).
=
µn , µm µm
Привлекая теперь последовательно теорему Пифагора и неравенство
Бесселя, выводим:
2 2
?
n
T? µk ek ? fk x µk (x, ek )fk
= =
k=1 k=n+1

? ?
µ2 |(x, ek )| ? ?n+1 |(x, ek )|2 ? ?n+1 x 2 .
2
= k
k=n+1 k=n+1
Упражнения 129

Окончательно, учитывая соотношение ?k v 0, имеем
n
T? µk ek ? fk ? µn+1 > 0.
k=1

6.6.10. Замечание. Теорема 6.6.9 означает, в частности, что
компактные операторы (и только они) суть точки прикосновения
множества конечномерных операторов. Этот факт выражают еще
и так: «гильбертово пространство обладает свойством аппроксима-
ции».

Упражнения
6.1. Найти крайние точки шара гильбертова пространства.
6.2. Выяснить, какие из классических банаховых пространств гильберто-
вы, а какие — нет.
6.3. Будет ли гильбертовым фактор-пространство гильбертова простран-
ства?
6.4. Каждое ли банахово пространство вкладывается в гильбертово про-
странство?
6.5. Может ли быть гильбертовым пространство ограниченных эндомор-
физмов гильбертова пространства?
6.6. Описать второе ортогональное дополнение к множеству.
6.7. Доказать, что ни один гильбертов базис бесконечномерного гильбер-
това пространства не является базисом Гамеля.
6.8. Построить на отрезке наилучшее приближение в метрике L2 полинома
степени n + 1 полиномами степени не выше n.
2
6.9. Доказать, что x ? y в том и только в том случае, если x+y =
2 + y 2 и x + iy 2 = x 2 + y 2 .
x
6.10. Для ограниченного оператора T установить соотношения

(ker T )? = cl im T ? , (im T )? = ker T ? .

6.11. Выяснить связи между эрмитовыми формами и эрмитовыми опера-
торами.
6.12. Найти эрмитово сопряженные операторы к операторам сдвига, умно-
жения, к конечномерному оператору.
6.13. Доказать, что оператор в гильбертовом пространстве компактен в
том и только в том случае, если компактен эрмитово сопряженный к нему опе-
ратор. Как связаны соответствующие канонические представления этих опера-
торов?
Гл. 6. Гильбертовы пространства
130

6.14. Пусть известно, что оператор T — изометрия. Будет ли изометрией
оператор T ? ?
6.15. Частичная изометрия — это оператор, являющийся изометрией на
ортогональном дополнении своего ядра. Как устроен эрмитово сопряженный к
частичной изометрии оператор?
6.16. Каковы крайние точки единичного шара в пространстве эндоморфиз-
мов гильбертова пространства?
6.17. Доказать, что при сужении на шар слабая топология сепарабельного
гильбертова пространства становится метризуемой.
6.18. Доказать, что идемпотентный оператор P в гильбертовом простран-
стве является ортопроектором в том и только в том случае, если P коммутиру-
ет с P ? .
6.19. Пусть (akl )k,l?N — бесконечная матрица такая, что akl ? 0 для всех
k, l и, кроме того, имеются также pk и ?, ? > 0 такие, что

? ?

akl pk ? ?pl ; akl pl ? ?pk (k, l ? N).
k=1 l=1


Тогда существует оператор T ? B(l2 ) такой, что (ek , el ) = akl и T = ?? (где
ek — канонический базис в l2 , составленный характеристическими функциями
точек из N).
Глава 7
Принципы банаховых
пространств


7.1. Основной принцип Банаха
7.1.1. Лемма о топологическом строении выпуклого мно-
жества. Пусть U — выпуклое множество с непустой внутренностью
в (мульти)нормированном пространстве: int U = ?. Тогда
(1) 0 ? ? < 1 ? ? cl U + (1 ? ?) int U ? int U ;
(2) core U = int U ;
(3) cl U = cl int U ;
(4) int cl U = int U .
(1) Для u0 ? int U в силу 5.2.10 множество int U ? u0 — от-
крытая окрестность нуля. Отсюда при 0 ? ? < 1 получаем

? cl U ? cl ?U ? ?U + (1 ? ?)(int U ? u0 ) =

= ?U + (1 ? ?) int U ? (1 ? ?)u0 ?
? ?U + (1 ? ?)U ? (1 ? ?)u0 ? U ? (1 ? ?)u0 .
Таким образом, (1 ? ?)u0 + ? cl U ? U и, стало быть, U содер-
жит (1 ? ?) int U + ? cl U . Последнее множество открыто, ибо пред-
ставляет собой результат сложения ? cl U с открытым множеством
(1 ? ?) int U .
(2) Несомненно, что int U ? core U . Если же u0 ? int U и u ?
core U , то для некоторых u1 ? U и 0 < ? < 1 будет u = ?u0 +(1??)u1 .
Поскольку u1 ? cl U , на основании (1) заключаем: u ? int U .
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
132

(3) Понятно, что cl int U ? cl U , ибо int U ? U . Если, в свою
очередь, u ? cl U , то, выбрав u0 ? int U и положив u? := ?u0 +(1??)u,
видим: u? > u при ? > 0 и u? ? int U , когда 0 < ? < 1. Итак, по
построению u ? cl int U .
(4) Из включений int U ? U ? cl U вытекает, что int U ? int cl U .
Если теперь u ? int cl U , то, в силу (2), u ? core cl U . Значит, вновь
выделяя u0 ? int U , подыщем u1 ? cl U и 0 < ? < 1, для которых u =
?u0 + (1 ? ?)u1 . Привлекая (1), окончательно выводим: u ? int U .
7.1.2. Замечание. В случае конечномерноcти рассматривае-
мого пространства условие int U = ? в пунктах 7.1.1 (2) и 7.1.1 (4)
можно опустить. В бесконечномерной ситуации наличие внутренней
точки, как показывают многочисленные примеры, — это существен-
ное требование. В частности, так обстоит дело при U := Bc0 ? X, где
c0 — пространство сходящихся к нулю последовательностей, а X —
подпространство финитных последовательностей в c0 , т. е. прямая
сумма счетного числа экземпляров основного поля. В самом деле,

<<

стр. 4
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>