<<

стр. 5
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

бесспорно, core U = ? и в то же время cl U = Bc0 .
7.1.3. Определение. Множество U в (мульти)нормированном
пространстве X называют идеально выпуклым, если U выдержива-
ет образование счетных выпуклых комбинаций. Точнее говоря, U
идеально выпукло, если, каковы бы ни были последовательности
?
(?n )n?N и (un )n?N , где ?n ? R+ , n=1 ?n = 1 и un ? U , для ко-
?
торых ряд n=1 ?n un сходится в X к элементу u, выполнено u ? U .
7.1.4. Примеры.
(1) Параллельный (на вектор u0 ) перенос x > x + u0
«сохраняет» идеальную выпуклость.
(2) Замкнутое выпуклое множество идеально выпукло.
(3) Открытое выпуклое множество идеально выпукло.
В самом деле, пусть U открыто и выпукло. Если U = ?, то
доказывать нечего. Если же U = ?, то по 7.1.4 (1) можно счи-
тать, что 0 ? U и, значит, U = {pU < 1}, где pU — функцио-
нал Минковского множества U . Пусть (un )n?N и (?n )n?N — по-
?
следовательности в U и в R+ такие, что n=1 ?n = 1 и элемент
?
u := n=1 ?n un не попал в U . В силу 7.1.4 (2), u лежит в cl U =
{pU ? 1} и, стало быть, pU (u) = 1. С другой стороны, ясно, что
? ?
pU (u) ? n=1 ?n pU (un ) ? 1 = n=1 ?n (ср. 7.2.1). Итак, 0 =
7.1. Основной принцип Банаха 133
? ?
? ?n pU (un )) = n=1 ?n (1 ? pU (un )). Отсюда ?n = 0 для
n=1 (?n
всех n ? N. Получили противоречие.
(4) Пересечение произвольного семейства идеально вы-
пуклых множеств идеально выпукло.
(5) Выпуклое подмножество конечномерного пространст-
ва идеально выпукло.
7.1.5. Основной принцип Банаха. В банаховом простран-
стве идеально выпуклое множество с поглощающим замыканием яв-
ляется окрестностью нуля.
Пусть U — такое множество. По условию для рассматриваемо-
го банахова пространства X выполнено X = ?n?N n cl U . По теореме
Бэра X — нетощее множество и, стало быть, найдется n ? N, для
которого int n cl U = ?. Таким образом, int cl U = 1/n int n cl U = ?.
Нам известно, что 0 ? core cl U . Значит, на основании 7.1.1 заклю-
чаем: 0 ? int cl U . Иными словами, существует ? > 0 такое, что
cl U ? ?BX . Следовательно, имеет место соотношение:
?
1
? > 0 ? cl U ? BX .
? ?
С помощью приведенной импликации проверим, что U ? ?/2 BX .
Пусть x0 ? ?/2 BX . Полагая ? := 2, выберем y1 ? 1/? U из усло-
вия y1 ? x0 ? 1/2? ?. Получаем элемент u1 ? U , для которого
1/2 u1 ? x0 ? 1/2? ? = 1/4 ?. Полагая теперь x0 := ?1/2 u1 + x0 и
? := 4 и применяя предыдущие рассуждения, обнаруживаем элемент
u2 ? U такой, что 1/4 u2 + 1/2 u1 ? x0 ? 1/2? ? = 1/8 ?. Продол-
жая приведенный процесс по индукции, строим последовательность
?
(un )n?N в U , обладающую тем свойством, что ряд n=1 1/2n un схо-
? n
дится к x0 . Поскольку = 1 и множество U идеально
n=1 1/2
выпукло, выводим: x0 ? U.
7.1.6. В банаховом пространстве у идеально выпуклого множе-
ства совпадают ядро, внутренность, ядро замыкания и внутренность
замыкания.
Ясно, что int U ? core U ? core cl U . Если u ? core cl U , то
cl(U ? u) = cl U ? u — поглощающее множество. При параллельном
переносе идеально выпуклое множество перейдет в идеально выпук-
лое множество (см. 7.1.4 (1)). Значит, U ? u — окрестность ну-
ля по основному принципу Банаха 7.1.5. В силу 5.2.10, u входит
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
134

в int U . Итак, int U = core U = core cl U . Привлекая 7.1.1, имеем
int cl U = int U.
7.1.7. Ядро и внутренность замкнутого выпуклого множества
в банаховом пространстве совпадают.
Замкнутое выпуклое множество идеально выпукло.
7.1.8. Замечание. Анализ 7.1.5 показывает, что условие бана-
ховости в 7.1.7 использовано не в полной мере. Существуют примеры
неполных нормированных пространств, в которых ядро и внутрен-
ность у любого замкнутого выпуклого множества совпадают. Про-
странства, обладающие указанным свойством, называют бочечными.
Понятие бочечности, как видно, имеет смысл и в мультинормиро-
ванных пространствах. Известны широкие классы бочечных муль-
тинормированных пространств. В частности, таковы пространства
Фреше.
7.1.9. Контрпример. В каждом бесконечномерном банаховом
пространстве существуют абсолютно выпуклые поглощающие, но не
идеально выпуклые множества.
Используя, например, базис Гамеля, возьмем разрывный ли-
нейный функционал f . Тогда множество {|f | ? 1} — искомое.

7.2. Принципы ограниченности
7.2.1. Пусть p : X > R — сублинейный функционал на норми-
рованном пространстве (X, · ). Следующие утверждения эквива-
лентны:
(1) p равномерно непрерывен;
(2) p непрерывен;
(3) p непрерывен в нуле;
(4) {p ? 1} — окрестность нуля;
(5) p := sup{|p(x)| : x ? 1} < +?, т. е. p ограничен.
Импликации (1) ? (2) ? (3) ? (4) очевидны.
(4) ? (5): Найдется t > 0, для которого t?1 BX ? {p ? 1}.
Поэтому при x ? 1 будет p(x) ? t. Кроме того, из неравенства
?p(?x) ? p(x) вытекает, что и ?p(x) ? t при x ? BX . Окончательно
p ? t < +?.
(5) ? (1): Из субаддитивности p для x, y ? X получаем
p(x) ? p(y) ? p(x ? y); p(y) ? p(x) ? p(y ? x).
7.2. Принципы ограниченности 135

Отсюда |p(x) ? p(y)| ? p(x ? y) ? p(y ? x) ? p x?y .
7.2.2. Теорема Гельфанда. Полунепрерывный снизу субли-
нейный функционал, определенный на банаховом пространстве, не-
прерывен.
Пусть p — такой функционал. Тогда множество {p ? 1} за-
мкнуто (см. 4.3.8). Поскольку dom p — это все пространство, то, по
3.8.8, {p ? 1} — поглощающее множество. По основному принципу
Банаха {p ? 1} — окрестность нуля. Осталось применить 7.2.1.
7.2.3. Замечание. Теорему Гельфанда можно более разверну-
то формулировать следующим образом: «если X — банахово про-
странство, то эквивалентные условия 7.2.1 (1)–7.2.1 (5) равносильны
высказыванию: p полунепрерывен снизу». Отметим здесь же, что
требование dom p = X можно несколько ослабить и считать, что
dom p — нетощее линейное множество, не предполагая при этом пол-
ноты X.
7.2.4. Принцип равностепенной непрерывности. Пусть X
— банахово пространство и Y — (полу)нормированное пространство.
Для любого непустого множества E непрерывных линейных опера-
торов из X в Y эквивалентны утверждения:
(1) E поточечно ограничено, т. е. для всякого x ? X
ограничено в Y множество {T x : T ? E };
(2) E равностепенно непрерывно.
(1) ? (2): Положим q(x) := sup{p(T x) : T ? E }, где p
— полунорма в Y . Несомненно, что q — полунепрерывный сни-
зу сублинейный функционал и, стало быть, по теореме Гельфанда
q < +?, т. е. p(T (x ? y)) ? q x ? y при всех T ? E . Значит,
T ??1 ({dp ? ?}) ? {d · ? ?/ q } для каждого T ? E , где ? > 0 —
произвольное число. Последнее означает равностепенную непрерыв-
ность E .
(2) ? (1): Очевидно.
7.2.5. Принцип равномерной ограниченности. Пусть X —
банахово пространство и Y — нормированное пространство. Для
любого непустого семейства (T? )?? ограниченных операторов экви-
валентны утверждения:
(1) x ? X ? sup?? T? x < +?;
(2) sup?? T? < +?.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
136

Достаточно заметить, что 7.2.5 (2) — это другая запись 7.2.4
(2).
7.2.6. Пусть X — банахово пространство и U — множество в
X . Тогда эквивалентны утверждения:
(1) множество U ограничено в X ;
(2) для каждого x ? X числовое множество { x | x :
x ? U } ограничено в F.
Это частный случай 7.2.5.
7.2.7. Пусть X — нормированное пространство и U — множе-
ство в X. Тогда эквивалентны утверждения:
(1) множество U ограничено в пространстве X;
(2) для каждого x ? X числовое множество { x | x :
x ? U } ограничено в F.
Следует проверить только (2) ? (1). Поскольку X — бана-
хово пространство (см. 5.5.7), а X изометрически вложено в X с
помощью двойного штрихования (см. 5.1.10 (8)), то требуемое выте-
кает из 7.2.6.
7.2.8. Замечание. Высказывание 7.2.7 (2) можно переформу-
лировать таким образом: «множество U ограничено в пространстве
(X, ?(X, X ))» или же, в связи с 5.1.10 (4), так: «множество U
слабо ограничено». Двойственность предложений 7.2.6 и 7.2.7 будет
полностью вскрыта в 10.4.6.
7.2.9. Теорема Банаха — Штейнгауза. Пусть X, Y — бана-
ховы пространства и (Tn )n?N , Tn ? B(X, Y ), — последовательность
ограниченных операторов. Положим E := {x ? X : ? lim Tn x}. Сле-
дующие утверждения эквивалентны:
(1) E = X;
(2) supn?N Tn < +? и E плотно в X.
При выполнении эквивалентных условий (1), (2) отображение T0 :
X > Y , определенное соотношением T0 x := lim Tn x, представляет
собой ограниченный линейный оператор и T0 ? lim inf Tn .
Если E = X, то, конечно же, cl E = X. Кроме того, для
каждого x ? X последовательность (Tn x)n?N ограничена в Y (ибо
она сходится). Значит, по принципу равномерной ограниченности
supn?N Tn < +? и (1) ? (2) доказано.
7.2. Принципы ограниченности 137

Если выполнено (2) и x ? X, то для x ? E и m, k ? N справед-
ливы соотношения

Tm x ? Tk x = Tm x ? Tm x + Tm x ? Tk x + Tk x ? Tk x ?

? Tm x ? Tm x + Tm x ? Tk x + Tk x ? Tk x ?

? Tm x ? x + Tm x ? Tk x + Tk x?x ?

? 2 sup Tn x ? x + Tm x ? Tk x .
n?N

Возьмем ? > 0 и подберем, во-первых, элемент x ? E, для которого
2 supn Tn x ? x ? ?/2, а во-вторых, n ? N такой, что Tm x ?
Tk x ? ?/2 при m, k ? n. В силу уже установленного Tm x ?
Tk x ? ?, т. е. (Tn x)n?N — фундаментальная последовательность в
Y . Поскольку Y — банахово пространство, заключаем: x ? E. Итак,
(2) ? (1) доказано.
Осталось отметить, что для каждого x ? X верно

T0 x = lim Tn x ? lim inf Tn x,

ибо норма — непрерывная функция.
7.2.10. Замечание. В условиях теоремы Банаха — Штейнгау-
за из справедливости одного из эквивалентных утверждений 7.2.9 (1)
и 7.2.9 (2) можно сделать вывод, что последовательность (Tn ) схо-
дится к T0 равномерно на компактных подмножествах X. Иными
словами, для всякого (непустого) компакта Q в X выполнено

Tn x ? T0 x > 0.
sup
x?Q


В самом деле, по теореме Гельфанда сублинейный функци-
онал pn (x) := sup{ Tm x ? T0 x : m ? n} непрерывен. При этом
pn (x) ? pn+1 (x) и pn (x) > 0 для каждого x ? X. Значит, тре-
буемое вытекает из теоремы Дини: «убывающая последователь-
ность непрерывных вещественных функций, поточечно сходящаяся
на компакте к непрерывной функции, сходится к этой функции рав-
номерно».
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
138

7.2.11. Принцип фиксации особенности. Пусть X — бана-
хово пространство и Y — нормированное пространство. Если (Tn )n?N
— последовательность операторов из B(X, Y ) и supn Tn = +?,
то найдется точка x ? X, для которой выполнено supn Tn x = +?.
Множество таких «фиксирующих особенность» точек — вычет.
Первая часть утверждения содержится в принципе равномер-
ной ограниченности. Вторая часть требует ссылок на 7.2.3 и 4.7.4.
7.2.12. Принцип сгущения особенностей. Пусть X — бана-
хово пространство и Y — нормированное пространство. Если дано
семейство (Tn,m )n,m?N семейство в B(X, Y ) такое, что supn Tn,m =
+? для каждого m ? N, то существует точка x ? X, для которой
supn Tn,m x = +? при всех m ? N.

7.3. Принцип идеального соответствия
7.3.1. Пусть X и Y — векторные пространства. Соответствие
F ? X ?Y выпукло в том и только в том случае, если для x1 , x2 ? X
и ?1 , ?2 ? R+ таких, что ?1 + ?2 = 1, имеет место включение

F (?1 x1 + ?2 x2 ) ? ?1 F (x1 ) + ?2 F (x2 ).

?: Если (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ? F и ?1 , ?2 ? 0, ?1 + ?2 = 1, то
?1 y + ?2 y2 ? F (?1 x1 + ?2 x2 ), поскольку y1 ? F (x1 ) и y2 ? F (x2 ).
?: Если x1 или x2 не входит в dom F , то доказывать нечего.
Если же x1 , x2 ? dom F и y1 ? F (x1 ), y2 ? F (x2 ), то ?1 (x1 , y1 ) +
?2 (x2 , y2 ) ? F при ?1 , ?2 ? 0, ?1 + ?2 = 1 (см. 3.1.2 (8)).
7.3.2. Замечание. Пусть X, Y — банаховы пространства. Яс-
но, что в пространстве X ? Y удается многими способами задать
норму так, чтобы соответствующая топология совпадала с произве-
дением топологий ?X и ?Y . Например, можно положить (x, y) :=
x X + y Y , т. е. ввести в X ? Y норму как в сумму пространств
X и Y по типу 1. Отметим здесь же, что понятие «идеально вы-
пуклое множество» имеет линейно топологический характер, т. е.
выделяемый этим понятием класс объектов не зависит от способа
задания топологии (в частности, не меняется при переходе к экви-
валентной (мульти)норме). В этой связи корректным является сле-
дующее определение.
7.3. Принцип идеального соответствия 139

7.3.3. Определение. Соответствие F ? X ? Y , где X и Y —
банаховы пространства, называют идеально выпуклым, или, короче,
идеальным, если F — идеально выпуклое множество.
7.3.4. Лемма об идеальном соответствии. Образ ограни-
ченного идеально выпуклого множества при идеальном соответствии
— идеально выпуклое множество.
Пусть F ? X ? Y — рассматриваемое соответствие и U —
ограниченное идеально выпуклое множество в X. Если U ? dom F =
?, то F (U ) = ? и доказывать ничего не надо. Предположим теперь,
что (yn )n?N ? F (U ), т. е. yn ? F (xn ), где xn ? U и n ? N. Пусть,
наконец, (?n ) — последовательность положительных чисел такая,
?
n=1 ?n = 1 и, кроме того, в Y существует сумма ряда y :=
что
?
n=1 ?n yn . Несомненно, что

? ? ?
?n xn ?
?n xn = ?n sup U = sup U < +?
n=1 n=1 n=1


ввиду ограниченности U . Поскольку X полно, то на основании 5.5.3
?
в X есть элемент x := n=1 ?n xn . Следовательно, в пространстве
X ? Y выполнено
?
(x, y) = ?n (xn , yn ).
n=1

Используя последовательно идеальную выпуклость F и U , выводим:
(x, y) ? F и x ? U . Стало быть, y ? F (U ).
7.3.5. Принцип идеального соответствия. Пусть X и Y —
банаховы пространства, F ? X ? Y — идеальное соответствие и
(x, y) ? F . Соответствие F отображает окрестности точки x на
окрестности точки y в том и только в том случае, если y ? core F (X).
?: Очевидно.
?: С учетом 7.1.4 можно считать: x = 0 и y = 0. Поскольку
каждая окрестность нуля U содержит ?BX для некоторого ? > 0,
достаточно рассмотреть случай U := BX . Так как U — ограниченное
множество, на основании 7.3.4, F (U ) идеально выпукло. Для завер-
шения доказательства можно проверить, что F (U ) — поглощающее
множество и сослаться на 7.1.6.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
140

Возьмем произвольный элемент y ? Y . Раз известно, что 0 ?
core F (X), то найдется ? ? R+ , для которого ?y ? F (X). Иначе
говоря, для подходящего x ? X справедливо ?y ? F (X). Если x ?
1, то доказывать нечего. Если же x > 1, то ? := x ?1 < 1.
Отсюда, привлекая 7.3.1, выводим:

??y = (1 ? ?)0 + ??y ? (1 ? ?)F (0) + ?F (x) ?
? F ((1 ? ?)0 + ?x) = F (?x) ? F (BX ) = F (U ).
Здесь мы учли, что ?x = 1, т. е. ?x ? BX .
7.3.6. Замечание. Свойство F , описываемое в 7.3.5, именуют
открытостью F в точке (x, y).
7.3.7. Замечание. Говоря формально, принцип идеального со-
ответствия слабее основного принципа Банаха 7.1.5. Тем не менее
соответствующий зазор невелик и легко устраним. Именно заклю-
чение 7.3.5 останется верным, если считать, что y ? core cl F (X),
потребовав дополнительно идеальной выпуклости F (X). Последнее
требование не слишком обременительно и в силу 7.3.4 заведомо вы-
полнено, если эффективное множество dom F ограничено. Указан-
ная незначительная модификация 7.3.5 содержит 7.1.5 в качестве
частного случая. В этой связи 7.3.5 обычно называют основным
принципом Банаха для соответствий.
7.3.8. Определение. Пусть X и Y — банаховы пространства и
F ? X ? Y — соответствие. Соответствие F называют замкнутым,
если F — замкнутое множество.
7.3.9. Замечание. По понятным причинам о замкнутом соот-
ветствии часто говорят как о соответствии с «замкнутым графиком».
7.3.10. Соответствие F замкнуто в том и только в том случае,
если для любых последовательностей (xn ) в X и (yn ) в Y таких, что
xn ? dom F, yn ? F (xn ) и xn > x, yn > y, выполнено x ? dom F
и y ? F (x).
7.3.11. Пусть X и Y — банаховы пространства и F ? X ? Y
— замкнутое выпуклое соответствие. Пусть, далее, (x, y) ? F и
y ? core im F . Соответствие F отображает окрестности точки x на
окрестности точки y.
Замкнутое выпуклое множество идеально выпукло, так что
вс? содержится в 7.3.5.
е
7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике 141

7.3.12. Определение. Соответствие F ? X ? Y называют от-
крытым, если образ открытого множества в X — открытое множе-
ство в Y .
7.3.13. Принцип открытости. Пусть X, Y — банаховы про-
странства и F ? X ? Y — идеальное соответствие, причем im F —
открытое множество. Тогда F — открытое соответствие.
Пусть U — открытое множество в X. Если y ? F (U ), то
найдется x ? U , для которого (x, y) ? F . Ясно, что y ? core im F .
Поскольку выполнены условия 7.3.5, то F (U ) — окрестность y, ибо
U — окрестность x. Последнее означает, что F (U ) — открытое мно-
жество.

7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом
графике
7.4.1. Определение. Оператор T из L (X, Y ) называют гомо-
морфизмом, если T ? B(X, Y ) и T — открытое соответствие.
7.4.2. Пусть X — банахово пространство, Y — нормированное
пространство и T — гомоморфизм из X в Y . Тогда im T = Y и Y —
банахово пространство.
То, что im T = Y , очевидно. Если заранее известно, что T —
мономорфизм, то выполнено T ?1 ? L (Y, X). Из-за открытости T
оператор T ?1 входит в B(Y, X), что обеспечивает полноту Y (прооб-
раз последовательности Коши — последовательность Коши в прооб-
разе). В общем случае рассмотрим кообраз coim T := X/ ker T , наде-
ленный фактор-нормой. На основании 5.5.4, coim T — банахово про-
странство. Кроме того, в силу 2.3.11 имеется единственное снижение
T оператора T на coim T . Учитывая определение фактор-нормы и
5.1.3, заключаем, что оператор T — гомоморфизм. Мономорфиз-
мом этот оператор является по построению. Осталось заметить, что
im T = im T = Y.
7.4.3. Замечание. Относительно снижения T : coim T > Y
оператора T можно утверждать, что T = T .
7.4.4. Теорема Банаха о гомоморфизме. Ограниченный эпи-
морфизм одного банахова пространства на другое является гомомор-
физмом.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
142

Пусть T ? B(X, Y ) и im T = Y . Применяя принцип откры-
тости к соответствию T , получаем требуемое.
7.4.5. Теорема Банаха об изоморфизме. Пусть X, Y — ба-
наховы пространства и T ? B(X, Y ). Если T — изоморфизм вектор-
ных пространств X и Y , т. е. ker T = 0 и im T = Y , то T ?1 ? B(Y, X).
Частный случай 7.4.4.
7.4.6. Замечание. Коротко теорему 7.4.5 формулируют так:
«непрерывный изоморфизм банаховых пространств является топо-
логическим изоморфизмом». Отметим здесь же, что эту теорему
иногда называют «принципом корректности» и выражают словами:
«если уравнение T x = y, где T ? B(X, Y ), а X, Y — банаховы
пространства, однозначно разрешимо при любой правой части, то
решение x непрерывно зависит от правой части y».
7.4.7. Теорема Банаха о замкнутом графике. Пусть X, Y
— банаховы пространства и T ? L (X, Y ) — замкнутый линейный
оператор. Тогда T непрерывен.
Соответствие T ?1 идеально, и T ?1 (Y ) = X.
7.4.8. Следствие. Пусть X, Y — банаховы пространства и за-
дан T ? L (X, Y ). Следующие утверждения эквивалентны:
(1) T ? B(X, Y );
(2) для любой последовательности (xn )n?N в X и x ? X
таких, что xn > x и T xn > y, где y ? Y , выполнено
y = T x.
(2) есть переформулировка замкнутости T .
7.4.9. Определение. Подпространство X1 банахова простран-
ства X называют дополняемым (реже — топологически дополняе-
мым), если X1 замкнуто и, кроме того, найдется замкнутое подпро-
странство X2 такое, что X = X1 ?X2 (т. е. X1 ?X2 = 0, X1 ?X2 = X).
7.4.10. Принцип дополняемости. Для подпространства X1
банахова пространства X эквивалентны утверждения:
(1) X1 дополняемо;
(2) X1 есть область значений ограниченного проектора,
т. е. найдется оператор P ? B(X) такой, что P 2 = P
и im P = X1 .
7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике 143

(1) ? (2): Пусть P — проектор X на X1 параллельно X2 (см.
2.2.9 (4)). Пусть (xn )n?N — последовательность в X и xn > x, а
P xn > y. Ясно, что P xn ? X1 для n ? N. В силу замкнутости X1 ,
по 4.1.19, y ? X1 . Аналогично из условия (xn ? P xn ? X2 для n ? N)
вытекает, что x ? y ? X2 . Значит, P (x ? y) = 0. Помимо этого,
y = P y, т. е. y = P x. Остается сослаться на 7.4.8.
(2) ? (1): Следует проверить только, что X1 = im P замкнуто.
Возьмем последовательность (xn )n?N в X1 такую, что xn > x в X.
Тогда P xn > P x ввиду ограниченности P . Имеем P xn = xn , ибо
xn ? im P , а P идемпотентен. Окончательно x = P x, т. е. x ? X1 ,
что и нужно.
7.4.11. Примеры.
(1) Конечномерное подпространство дополняемо.
(2) Пространство c0 не дополняемо в l? .
Для простоты будем работать с X := l? (Q) и Y := c0 (Q), где
Q — множество рациональных чисел. Для t ? R подберем последо-
вательность попарно различных отличных от t рациональных чисел
(tn ) такую, что tn > t. Пусть Qt := {tn : n ? N}. Подчеркнем, что
Qt ? Qt — конечное множество при t = t .
Пусть ?t — класс, содержащий характеристическую функцию
Qt в фактор-пространстве X/Y и V := {?t : t ? R}. Поскольку
?t = ?t при t = t , множество V несчетно.
Возьмем f ? (X/Y ) и положим Vf := {v ? V : f (v) = 0}. Видно,
что Vf = ?n?N Vf (n), где Vf (n) := {v ? V : |f (v)| ? 1/n}. Если
m ? N, v1 , . . . , vm ? Vf (n) попарно различные, v1 , . . . , vm ? Vf (n) и
n
?k := |f (vk )|/f (vk ), то для x = k=1 ?k vk будет x ? 1 и f ?
m m
|f (x)| = | k=1 ?k f (vk )| = | k=1 |f (vk )|| ? m/n. Таким образом,
Vf (n) — конечное множество.
Следовательно, Vf счетно. Отсюда следует, что для каждого
счетного множества F ? (X/Y ) существует элемент v ? V , для
которого (? f ? F ) f (v) = 0.
В то же время счетный набор координатных проекций ?q : x >
x(q) (q ? Q) тотален на l? (Q), т. е. (? q ? Q) ?q (x) = 0 ? x = 0
при x ? l? (Q). Осталось сопоставить сделанные наблюдения.
(3) Каждое замкнутое подпространство гильбертова про-
странства дополняемо (по 6.2.6). Оказывается, что если в некотором
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
144

банаховом пространстве X таком, что dim X ? 3, каждое замкну-
тое подпространство — область значений некоторого проектора P и
P ? 1, то X изометрично гильбертову пространству (= теорема
Какутани). Более глубок следующий факт:
Теорема Линденштраусса — Цафрири. Каждое банахово
пространство, в котором любое замкнутое подпространство допол-
няемо, (линейно и топологически) изоморфно гильбертову простран-
ству.
7.4.12. Теорема Сарда об уравнении XA = B. Пусть
X, Y, Z — банаховы пространства; A ? B(X, Y ), B ? B(Y, Z).
Пусть, далее, im A — дополняемое подпространство в Y. Диаграмма

A
-Y
X
@
@
X
B@
@
@?
R
Z

коммутативна для некоторого X ? B(Y, Z) в том и только в том
случае, если ker A ? ker B.
Следует проверить только ?. При этом в случае im A =
Y единственный оператор X0 ? L (Y, Z) такой, что X0 A = B,
непрерывен. В самом деле, для открытого множества U в Z имеем
X0?1 (U ) = A(B ?1 (U )). Множество B ?1 (U ) открыто в силу ограни-
ченности B, и A(B ?1 (U )) открыто по теореме Банаха о гомоморфиз-
ме. В общем случае следует построить X0 ? B(im A, Z) и в качестве
X взять X0 P , где P — какой-нибудь непрерывный проектор Y на
im A. Существование этого проектора обеспечивает принцип допол-
няемости.
7.4.13. Замечание. Полнота Z в доказательстве теоремы Сар-
да не использована.
7.4.14. Теорема Филлипса об уравнении AX = B. Пусть
X, Y, Z — банаховы пространства, A ? B(Y, X), B ? B(Z, X).
Пусть, далее, ker A — дополняемое подпространство в Y .
Диаграмма
7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике 145

A
X Y
6
@
I
@
X
B@
@
Z

коммутативна для некоторого X ? B(Z, Y ) в том и только в том
случае, если im A ? im B.

Вновь следует проверить только ?. Воспользуемся определе-
нием дополняемости и представим Y в виде прямой суммы ker A и
Y0 , где Y0 — замкнутое подпространство. По 5.5.9 (1), Y0 представ-
ляет собой банахово пространство. Рассмотрим след A0 оператора
A на Y0 . Несомненно, что im A0 = im A ? im B. Значит, по 2.3.13 и
2.3.14 уравнение A0 X0 = B имеет, и притом единственное, решение
X0 := A?1 B. Нам достаточно доказать, что оператор X0 , являю-
0
щийся элементом пространства L (Z, Y0 ), ограничен.
Оператор X0 замкнут. В самом деле (ср. 7.4.8), если zn >
z и A?1 Bzn > y, то Bzn > Bz, поскольку B ограничен. Кроме
0
того, в силу непрерывности A0 соответствие A?1 ? X ? Y0 замкнуто,
0
и, стало быть, по 7.3.10 справедливо равенство y = A?1 Bz.
0


7.4.15. Замечание. Полнота X в доказательстве теоремы Фил-
липса не использована.

7.4.16. Замечание. Теоремы Сарда и Филлипса находятся в
«формальной двойственности», т. е. могут быть получены одна из
другой с помощью обращения стрелок и включений и замены ядер
образами (ср. 2.3.15).

7.4.17. Принцип двух норм. Пусть векторное пространство
полно относительно каждой из двух сравнимых между собой норм.
Тогда эти нормы эквивалентны.

· · в пространстве X.
Пусть для определенности 2 1
Рассмотрим диаграмму
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
146

IX
)
(X, · (X, · 2)
1

6
I
@
@ X
IX @
(X, · 1)

По теореме Филлипса некоторый непрерывный оператор X превра-
щает эту диаграмму в коммутативную. Но такой оператор единствен
— это IX .
7.4.18. Принцип нормы графика. Пусть X, Y — банаховы
пространства и оператор T ? L (X, Y ) замкнут. Определим норму
графика x gr T := x X + T x Y для x ? X. Тогда выполнено ·
gr T ? · X .
Следует заметить, что (X, · gr T ) — полное пространство.
Помимо этого, · gr T ? · X . Осталось сослаться на принцип двух
норм.
7.4.19. Определение. Нормированное пространство X назы-
вают банаховым образом, если X служит образом некоторого огра-
ниченного оператора, определенного на каком-либо банаховом про-
странстве.
7.4.20. Критерий Като. Пусть X — банахово пространство
и X = X1 ? X2 , где X1 , X2 ? Lat(X). Подпространства X1 и X2
замкнуты в том и только в том случае, если каждое из них является
банаховым образом.
?: Следствие принципа дополняемости.
?: Пусть Z — какой-либо банахов образ, т. е. для некоторого
банахова пространства Y и T ? B(Y, Z) выполнено: Z = T (Y ). Пере-
ходя, если нужно, к снижению на кообраз, можно считать, что T —
изоморфизм. Обозначим z 0 := T ?1 z Y . Ясно, что (Z, · 0 ) —
банахово пространство и z = T T ?1 z ? T T ?1 z = T z 0 ,
т. е. · 0 · Z . Применяя описанную конструкцию к X1 и X2 ,
приходим к банаховым пространствам (X1 , · 1 ) и (X2 , · 2 ). При
этом · k · X на Xk при k := 1, 2.
Для x1 ? X1 и x2 ? X2 положим x1 + x2 0 := x1 1 + x2 2 .
Тем самым в X возникает норма · более сильная, чем исходная
· X . По построению (X, · 0 ) — банахово пространство. Осталось
сослаться на 7.4.17.
7.5. Принцип автоматической непрерывности 147

7.5. Принцип автоматической непрерывности
7.5.1. Критерий непрерывности выпуклой функции. Рас-
смотрим выпуклую функцию f : X > R· в (мульти)нормированном
пространстве X. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) U := int dom f = ? и f |U — непрерывная функция;
(2) существует непустое открытое множество V такое,
что выполнено sup f (V ) < +?.
(1) ? (2): Очевидно.
(2) ? (1): Ясно, что U = ?. Привлекая 7.1.1, легко убеждаемся
в том, что у каждой точки u ? U имеется окрестность W , в которой f
ограничена сверху, т. е. t := sup f (W ) < +?. Не нарушая общности,
можно считать, что u := 0, f (u) := 0 и что W — это абсолютно
выпуклое множество. В силу выпуклости f для всякого ? ? R+
такого, что ? ? 1, и произвольного v ? W справедливы соотношения:

f (?v) = f (?v + (1 ? ?)0) ? ?f (v) + (1 ? ?)f (0) = ?f (v);

f (?v) + ?f (?v) ? f (?v) + f (?(?v)) =
1 1
? 2f (0) = 0.
f (?v) + f (??v)
=2
2 2
Таким образом, выполнено |f (?W )| ? ?t, откуда и вытекает непре-
рывность f в точке u := 0.
7.5.2. Следствие. Если x ? int dom f и f непрерывна в точке
x, то субдифференциал ?x (f ) содержит только непрерывные функ-
ционалы.
Если l ? ?x (f ), то (? x ? X) l(x) ? l(x) + f (x) ? f (x) и,
стало быть, l ограничен сверху на некоторой окрестности точки x.
Следовательно, l непрерывен в этой точке по 7.5.1. Привлекая 5.3.7,
убеждаемся, что l непрерывен.
7.5.3. Следствие. Каждая выпуклая функция в конечномер-
ном пространстве непрерывна во внутренности своей эффективной
области определения.
7.5.4. Определение. Функцию f : X > R· называют идеально
выпуклой, если ее надграфик epi f — идеальное соответствие.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
148

7.5.5. Принцип автоматической непрерывности. Каждая
идеально выпуклая функция в банаховом пространстве непрерывна
на ядре своей эффективной области определения.
Пусть f — такая функция. Если core dom f = ?, то дока-
зывать нечего. Если же x ? core dom f , то положим t := f (x) и
F := (epi f )?1 ? R ? X. Применяя принцип идеального соответ-
ствия, найдем ? > 0 из условия F (t + BR ) ? x + ?BX . Отсюда, в
частности, вытекает оценка f (x + ?BX ) ? t + 1. На основании 7.5.1,
f непрерывна на int dom f . Поскольку к тому же x ? int dom f , то,
по лемме 7.1.1, core dom f = int dom f .
7.5.6. Замечание. Используя 7.3.6, можно показать, что иде-
ально выпуклая функция f , определенная на множестве с непустым
ядром в банаховом пространстве, является локально липшицевой на
int dom f . Иными словами, для всякой точки x0 ? int dom f найдут-
ся, во-первых, число L > 0, а во-вторых, окрестность U этой точки,
для которых f (x) ? f (x0 ) ? L x ? x0 , как только x ? U .
7.5.7. Следствие. Пусть f : X > R· — идеально выпуклая
функция в банаховом пространстве X и x ? core dom f . Тогда про-
изводная по направлениям f (x) — непрерывный сублинейный функ-
ционал и ?x (f ) ? X .
Нужно дважды воспользоваться принципом автоматической
непрерывности.
7.5.8. Замечание. В связи с 7.5.7 при изучении банаховых про-
странств в субдифференциал любой функции f : X > R· в точке x
включают только подходящие непрерывные функционалы на X, т.
е. полагают
?x (f ) := ?x (f ) ? X .
Аналогичным образом поступают и в (мульти)нормированных про-
странствах. Если необходимо отличить «старый» (более широкий)
субдифференциал, лежащий в X # , от «нового» (более узкого) суб-
дифференциала в X , первый называют алгебраическим, а второй
— топологическим. Указанные в 7.5.2 и 7.5.7 факты в этом смыс-
ле часто называют принцип совпадения алгебраического и тополо-
гического субдифференциалов. Отметим, наконец, что по подобным
же причинам в случае, когда f := p — полунорма в X, считают:
|?|(p) := |?|(p) ? X .
7.5. Принцип автоматической непрерывности 149

7.5.9. Теорема Хана — Банаха для банаховых прост-
ранств. Пусть f : Y > R· — идеально выпуклая функция на бана-
ховом пространстве Y . Пусть, далее, X — нормированное простран-
ство и T ? B(X, Y ). Если точка x ? X такова, что T x ? core dom f ,
то
?x (f ? T ) = ?T x (f ) ? T.

Правая часть доказываемой формулы включена в ее левую
часть по очевидным обстоятельствам. Если же l из X лежит в ?x (f ?
T ), то по теореме Хана — Банаха 3.5.3 можно подыскать элемент l1 из
алгебраического субдифференциала f в точке T x, удовлетворяющий
соотношению l = l1 ? T . Осталось заметить, что, в силу 7.5.7, l1
является элементом Y и, стало быть, элементом топологического
субдифференциала ?T x (f ).
7.5.10. Теорема Хана — Банаха для непрерывной полу-
нормы. Пусть X, Y — нормированные пространства, T ? B(X, Y )
и p : Y > R — непрерывная полунорма. Тогда

|?|(p ? T ) = |?|(p) ? T.

Если l ? |?| (p ? T ), то l = l1 ? T для некоторого l1 из алгеб-
раического субдифференциала полунормы p (см. 3.7.11). Из 7.5.2
вытекает, что l1 непрерывен. Итак, |?|(p ? T ) ? |?| (p) ? T . Обратное
включение бесспорно.
7.5.11. Принцип непрерывного продолжения. Пусть X0 —
подпространство в X и l0 — непрерывный линейный функционал на
X0 . Тогда существует непрерывный линейный функционал l на X,
продолжающий l0 . (При этом можно считать,что l = l0 .)
· , и пусть ? : X0 > X — тождествен-
Возьмем p := l0
ное вложение. С учетом 7.5.10 будет l0 ? |?| (p ? ?) = |?| (p) ? ? =
l0 |?|( · ) ? ?. Осталось заметить, что |?| ( · X ) = BX .
7.5.12. Теорема отделимости в топологическом вариан-
те. Пусть U — выпуклое множество с непустой внутренностью в про-
странстве X. Если L — аффинное многообразие в X и L ? int U = ?,
то существует замкнутая гиперплоскость H в X, для которой H ? L
и H ? int U = ?.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
150

7.5.13. Замечание. При применении 7.5.12 полезно иметь в ви-
ду, что замкнутые гиперплоскости суть в точности множества уров-
ня ненулевых непрерывных линейных функционалов.
7.5.14. Следствие. Пусть X0 — подпространство в X. Тогда

cl X0 = ? {ker f : f ? X , ker f ? X0 }.

Ясно, что (f ? X , ker f ? X0 ) ? ker f ? cl X0 . Если же
x0 ? cl X0 , то найдется открытая выпуклая окрестность x0 , не со-
/
держащая точек cl X0 . На основании 7.5.12 и 7.5.13 имеется функ-
ционал f0 ? (XR ) такой, что ker f0 ? cl X0 и f0 (x0 ) = 1. Из свойств
комплексификатора выводим, что функционал Re?1 f0 обращается в
нуль на X0 и не равен нулю в точке x0 . Несомненно также, что этот
функционал непрерывен.

7.6. Принципы штрихования
7.6.1. Пусть X, Y — (мульти)нормированные векторные про-
странства (над одним и тем же основным полем F) и X , Y — со-
пряженные пространства. Пусть, далее, T — непрерывный линейный
оператор из X в Y . Для y ? Y выполнено y ?T ? X и отображение
y > y ? T — линейный оператор.
7.6.2. Определение. Оператор T : Y > X , построенный
в 7.6.1, называют сопряженным к оператору T : X > Y .
7.6.3. Теорема. Отображение штрихования T > T осуществ-
ляет линейную изометрию пространства B(X, Y ) в пространство
B(Y , X ).
То, что отображение штрихования — линейный оператор из
B(X, Y ) в L (Y , X ), очевидно. Помимо этого, раз y = sup{|l(y) :
l ? |?|( · )}, то

? 1} =
T = sup{ T y y
:

? 1, x ? 1} =
= sup{|y (T x)| : y
x ? 1} = T ,
= sup{ T x :
что и нужно.
7.6. Принципы штрихования 151

7.6.4. Примеры.
(1) Пусть X, Y — гильбертовы пространства, и задан
T ? B(X, Y ). Отметим прежде всего, что в очевидном смысле T ?
B(X, Y ) ? T ? B(X? , Y? ). Обозначим теперь через (·)X : X? >
X штрихование в X, т. е. x > x := ( · , x) и (·)Y : Y? > Y —
штрихование в Y , т. е. y > y := ( · , y).
Связь эрмитово сопряженного оператора T ? ? B(Y, X) и сопря-
женного T ? B(Y , X ) задается коммутативной диаграммой:
T?
X? <?Y?
(·)X v v (·)Y
T
X <?Y
В самом деле, надо убедиться, что для y ? Y выполнено
T y = (T ? y) . Для x ? X по определению имеем

T y (x) = y (T x) = (T x, y) = (x, T ? y) = (T ? y) (x).

В силу произвольности x получаем требуемое.
(2) Пусть ? : X0 > X — вложение X0 в X. Тогда ? :
X > X0 , причем ? (x )(x0 ) = x (x0 ) для всех x0 ? X0 и x ? X и ? —
?
эпиморфизм, т. е. X ?> X0 > 0 — точная последовательность.
7.6.5. Определение. Пусть дана некоторая элементарная диа-
T T
грамма X > Y . Диаграмму Y ?> X называют полученной штри-
хованием исходной диаграммы или сопряженной диаграммой. Если
в произвольной диаграмме, составленной из ограниченных линей-
ных отображений банаховых пространств, произведено штрихование
всех элементарных поддиаграмм, то возникшую диаграмму называ-
ют сопряженной к исходной или полученной из исходной с помощью
штрихования.
T
7.6.6. Лемма о двойном штриховании. Пусть X ?> Y —
T
диаграмма, полученная двойным штрихованием диаграммы X ?>
Y . Тогда коммутативна диаграмма
T
X ?>Y
v v
T
X ?>Y
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
152

где : X > X и : Y > Y — соответствующие двойные штрихо-
вания — канонические вложения X в X и Y в Y (см. 5.1.10 (8)).
Пусть x ? X. Нужно показать, что T x = (T x) . Возьмем
y ? Y . Тогда

T x (y ) = x (T y ) = T y (x) = y (T x) = (T x) (y ).

В силу произвольности y ? Y имеем требуемое.
7.6.7. Принцип штрихования диаграмм. Диаграмма ком-
мутативна в том и только в том случае, если коммутативна сопря-
женная диаграмма.
Достаточно убедиться, что треугольники
T T
X ?> Y X <? Y
R S R S
Z Z
коммутативны или нет одновременно. Так как R = ST ? R =
(ST ) = T S , то коммутативность левого треугольника влечет ком-
мутативность правого. Если же правый треугольник коммутати-
вен, то по уже доказанному R = S T . Привлекая 7.6.6, имеем
(Rx) = R x = S T x = S (T x ) = S (T x) = (ST x) для всех
x ? X. Значит, R = ST .
7.6.8. Определение. Пусть X0 — подпространство в X, а X0
— подпространство в X . Положим

?
X0 := {f ? X : ker f ? X0 } = |?|(?(X0 ));

?
X0 := {x ? X : f ? X0 ? f (x) = 0} = ? {ker f : f ? X0 }.
?
Подпространство X0 называют (прямой) полярой X0 , а подпрост-
ранство ? X0 — (обратной) полярой X0 . Используют также менее
точный термин «аннулятор».
7.6.9. Определение. Пусть X, Y — банаховы пространства.
Оператор T ? B(X, Y ) называют нормально разрешимым, если im T
— замкнутое подпространство.
7.6. Принципы штрихования 153

7.6.10. Оператор T ? B(X, Y ) нормально разрешим в том и
только в том случае, если T , рассматриваемый как оператор из X
в im T , является гомоморфизмом.
?: Теорема Банаха о гомоморфизме.
?: Следует сослаться на 7.4.2.
7.6.11. Лемма о полярах. Пусть T ? B(X, Y ). Тогда
(1) (im T )? = ker(T );
(2) если T нормально разрешим, то

im T = ? ker(T ), (ker T )? = im(T ).

(1) y ? ker(T ) ? T y = 0 ? (? x ? X) T y (x) = 0 ? (? x ?
X) y (T x) = 0 ? y ? (im T )? .
(2) Равенство cl im T = ? ker(T ) составляет содержание 7.5.13.
Помимо этого, по условию im T замкнуто.
Если x = T y и T x = 0, то x (x) = T y (x) = y (T x) = 0, т. е.
x ? (ker T )? . Значит, im(T ) ? (ker T )? . Пусть теперь x ? (ker T )? .
Считая, что оператор T действует в im T , по теореме Сарда, приме-
ненной к левой части диаграммы
T
X ?> im T ?> Y
v y0
x y
F

найдем y 0 ? (im T ) , для которого y 0 ? T = x . По принципу непре-
рывного продолжения существует y ? Y такой, что y ? y 0 . Стало
быть, x = T y , т. е. x ? im(T ).
7.6.12. Теорема Хаусдорфа. Пусть X, Y — банаховы про-
странства. Тогда оператор T ? B(X, Y ) нормально разрешим в том
и только в том случае, если нормально разрешим оператор T ?
B(Y , X ).
?: В силу 7.6.11 (2), im(T ) = (ker T )? . Подпространство
(ker T )? , очевидно, является замкнутым.
?: Пусть сначала cl im T = Y . Ясно, что 0 = Y ? = (cl im T )? =
(im T )? = ker(T ) в силу 7.6.11. По теореме Банаха об изоморфиз-
ме можно подыскать S ? B(im(T ), Y ), для которого ST = IY .
Случай r := S = 0 тривиален. Поэтому можно считать, что
T y ? 1/r q y при всех y ? Y .
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
154

Убедимся в том, что cl T (BX ) ? 1/2r BY . Если это проделано, то
ввиду идеальной выпуклости T (BX ) выполнено включение T (BX ) ?
1/4r BY . Следовательно, T — гомоморфизм.
Пусть y ? cl T (BX ). Можно утверждать, что y не лежит и в неко-
/
тором открытом выпуклом множестве, содержащем T (BX ). Перехо-
дя, если нужно, к вещественным основам пространств X и Y , будем
считать, что F := R. Применим теорему отделимости 7.5.12 и найдем
ненулевой y ? Y такой, что

1
y ? y (y) ? sup y (T x) = T y ?
y y.
r
x ?1


Отсюда y ? 1/r > 1/2r. Таким образом, требуемое включение
установлено и оператор T в наших предположениях нормально раз-
решим.
Рассмотрим теперь общий случай. Положим Y0 := cl im T , и
пусть ? : Y0 > Y — тождественное вложение. Тогда T = ?T , где
T : X > Y0 — оператор, действующий по правилу T x = T x для x ?
X. Кроме того, im(T ) = im(T ? ) = T (im(? )) = T (Y0 ), ибо ? (Y ) =
Y0 (см. 7.6.4 (2)). Итак, T — нормально разрешимый оператор.
Стало быть, по уже доказанному T нормально разрешим. Осталось
заметить, что im T = im T .
7.6.13. Принцип штрихования последовательностей. По-
следовательность

Tk+1
T
k
. . . ?> Xk?1 ?> Xk ?> Xk+1 ?> . . .

точна в том и только в том случае, если точна сопряженная после-
довательность

Tk+1
T
k
. . . <? Xk?1 <? Xk <? Xk+1 <? . . . .

?: Так как im Tk+1 = ker Tk+2 , то Tk+1 нормально разрешим.
Привлекая лемму о полярах, имеем

ker(Tk ) = (im Tk )? = (ker Tk+1 )? = im(Tk+1 ).
Упражнения 155

?: По теореме Хаусдорфа Tk+1 нормально разрешим. Вновь
апеллируя к 7.6.11 (2), выводим

(im Tk )? = ker(Tk ) = im(Tk+1 ) = (ker Tk+1 )? .

Поскольку Tk нормально разрешим по теореме 7.6.12, то im Tk —
замкнутое подпространство. Привлекая 7.5.14, получаем

im T k = ? ((im Tk )? ) = ? ((ker Tk+1 )? ) = ker Tk+1 .

Здесь учтено, что ker Tk+1 — это тоже замкнутое подпространство.
7.6.14. Следствие. Для каждого нормально разрешимого опе-
ратора T имеют место следующие изоморфизмы (ker T ) coker(T )
и (coker T ) ker(T ).
В силу 2.3.5 (6) последовательность

T
0 > ker T > X > Y > coker T > 0

точна. Из 7.6.13 выводим, что последовательность

T
0 > (coker T ) > Y > X > (ker T ) > 0

точна.
7.6.15. Следствие. T — изоморфизм ? T — изоморфизм.
7.6.16. Следствие. Sp(T ) = Sp(T ).

Упражнения
7.1. Выяснить, какие линейные операторы идеальны.
7.2. Установить, что раздельно непрерывная билинейная форма на бана-
ховом пространстве непрерывна по совокупности переменных.
7.3. Будет ли равномерно ограниченным на шаре семейство полунепрерыв-
ных снизу сублинейных функционалов на банаховом пространстве?
7.4. Пусть X, Y — банаховы пространства и T : X > Y . Доказать, что
для некоторого t ? R будет T x Y ? t x X в том и только в том случае, если
ker T = 0 и im T — полное множество.
7.5. Выяснить условия нормальной разрешимости оператора умножения
на функцию в пространстве непрерывных на компакте функций.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
156

7.6. Пусть T — ограниченный эпиморфизм банахова пространства X на
l1 (E). Установить дополняемость ker T .
7.7. Установить, что равномерно замкнутое подпространство в C([a, b]), со-
ставленное из непрерывно дифференцируемых функций — элементов C (1) ([a, b]),
конечномерно.
7.8. Пусть X и Y — различные банаховы пространства, причем X непре-
рывно вложено в Y . Установить, что X является тощим множеством в Y .
7.9. Пусть X1 , X2 — ненулевые замкнутые подпространства банахова про-
странства, причем X1 ? X2 = 0. Доказать, что сумма X1 + X2 замкнута в том и
только в том случае, если следующая величина

inf { x1 ? x2 / x1 : x1 = 0, x1 ? X1 , x2 ? X2 }

строго положительна.
7.10. Пусть (amn ) — счетная двойная последовательность, обладающая
тем свойством, что имеется последовательность (x(m) ) элементов l1 , для которой
? (m)
ax
ряды не сходятся (абсолютно). Доказать, что найдется после-
n=1 mn n
?
довательность x из l1 , для которой ряды a x не сходятся (абсолютно)
n=1 mn n
при всех m ? N.
7.11. Пусть T — оператор в гильбертовом пространстве H такой, что ра-
венство T x | y = x | T y имеет место для всех x, y ? H. Установить ограничен-
ность T .
7.12. Пусть замкнутый конус X + в банаховом пространстве X является
воспроизводящим: X = X + ? X + . Доказать, что найдется константа t > 0
такая, что для любого x ? X и представления x = x1 ? x2 , где x1 , x2 ? X + ,
выполнено: x1 ? t x , x2 ? t x .
7.13. Пусть полунепрерывные снизу сублинейные функционалы p, q в ба-
наховом пространстве X таковы, что конусы dom p и dom q замкнуты и подпро-
странство dom p ? dom q = dom q ? dom p дополняемо в X. Доказать, что для
топологических субдифференциалов выполнено (ср. упражнение 3.10)

?(p + q) = ?p + ?q.

7.14. Пусть p — непрерывный сублинейный функционал, определенный на
нормированном пространстве X, и T — непрерывный эндоморфизм X. До-
пустим, что сопряженный оператор T переводит в себя субдифференциал ?p.
Установить, что ?p содержит неподвижную точку T .
7.15. Для функции f : X > R· на нормированном пространстве X поло-
жим
f ? (x ) := sup{ x | x ? f (x) : x ? dom f } (x ? X );
f ?? (x) := sup{ x | x ? f ? (x ) : x ? dom(f ? )} (x ? X).
Выяснить, при каких условиях на f выполнено f = f ?? .
Упражнения 157

7.16. Установить, что l? дополняемо в любом содержащем его банаховом
пространстве.
7.17. Банахово пространство X называют примарным, если любое его бес-
конечномерное дополняемое подпространство изоморфно X. Убедиться, что c0
и lp (1 ? p ? +?) примарны.
7.18. Пусть X и Y — банаховы пространства и оператор T ? B(X, Y )
таков, что im T — нетощее множество. Тогда T нормально разрешим.
7.19. Пусть X0 — замкнутое подпространство нормированного простран-
ства X, причем X0 и X/X0 — банаховы пространства. Тогда X также банахово
пространство.
Глава 8
Операторы в банаховых
пространствах


8.1. Голоморфные функции и контурные
интегралы
8.1.1. Определение. Пусть X — банахово пространство. Под-
шара BX в сопряженном пространстве X называют
множество
нормирующим (для X), если для каждого элемента x из X выпол-
нено x = sup{|l(x)| : l ? }. Если, помимо этого, для всякого U
в X такого, что sup{|l(u)| : u ? U } < +? при l ? , справедливо
sup U < +?, то называют вполне нормирующим множеством.
8.1.2. Примеры.
(1) Шар BX — вполне нормирующее множество в силу
5.1.10 (8) и 7.2.7.
(2) Если 0 — (вполне) нормирующее множество и 0 ?
1 ? BX , то 1 также (вполне) нормирующее множество.
(3) Множество крайних точек ext(BX ) является норми-
рующим по теореме Крейна — Мильмана для субдифференциалов
3.6.5 и несомненного равенства BX = |?|( · X ), которое уже неодно-
кратно было использовано. Однако вполне нормирующим это мно-
жество быть не обязано (так, в частности, обстоит дело в простран-
стве C([0, 1], R)).
(4) Пусть X, Y — банаховы пространства (над одним и
тем же полем F) и Y — нормирующее множество для Y . Положим

{?(y, x) : y ? , x ? BX },
B := Y
8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы 159

где ?(y, x) (T ) := y (T x) для y ? Y, x ? X и T ? B(X, Y ). Ясно, что

|?(y, x) (T )| = |y (T x)| ? y Tx ? y T x,

т. е. ?(y, x) ? B(X, Y ) . Помимо этого, для T ? B(X, Y ) выполнено

x ? 1} = sup{|y (T x)| : y ? , x ? 1} =
T = sup{ T x : Y


= sup{|?(y, x) (T )| : ?(y, x) ? B }.

Таким образом, B — нормирующее множество (для B(X, Y )). Если
при этом Y — вполне нормирующее множество, то B также вполне
нормирующее множество. В самом деле, если U таково, что числовое
множество {|y (T x)| : T ? U } ограничено при любых x ? BX и
y ? Y , то по условию множество {T x : T ? U } ограничено в Y
для всякого x ? X. В силу принципа равномерной ограниченности
7.2.5 это означает, что sup U < +?.
8.1.3. Теорема Данфорда — Хилле. Пусть X — комплексное
банахово пространство и — вполне нормирующее множество для
X. Пусть, далее, f : D > X — отображение подмножества D в
C в пространство X, причем D открыто (в C R R2 ). Следующие
утверждения эквивалентны:
(1) для каждого z0 ? D существует предел

f (z) ? f (z0 )
lim ;
z ? z0
z>z0


(2) для каждых z0 ? D и l ? существует предел

l ? f (z) ? l ? f (z0 )
,
lim
z ? z0
z>z0


т. е. функция l ? f : D > C голоморфна при l ? .
(1) ? (2): Очевидно.
(2) ? (1): Простоты ради будем считать, что z0 = 0 и f (z0 ) = 0.
Рассмотрим шар радиуса 2?, целиком лежащий в D, т. е. 2?D ? D,
где D := BC . Как принято в комплексном анализе, будем считать
круг ?D (ориентированным) компактным многообразием с краем ?T,
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
160

где T — (должным образом ориентированная) единичная окруж-
ность T := {z ? C : |z| = 1}. При z1 , z2 ? ?D \ 0 для голоморфной
функции l ? f (функционал l лежит в ) имеют место представления
интегралом Коши:

l ? f (zk ) l ? f (z)
1
dz
= (k := 1, 2).
z(z ? zk )
zk 2?i
2?T


Значит, при z1 = z2 , учитывая, что для z ? 2?T выполнено
|z ? zk | ? ? (k := 1, 2), а также что функция l ? f непрерывна в D,
получаем
f (z1 ) f (z2 )
1
?
l =
z1 ? z2 z1 z2

1 1 1 1
· l ? f (z) ? dz =
=
z1 ? z2 2?i z(z ? z1 ) z(z ? z2 )
2?T


1 1
l ? f (z) dz ?
=
z(z ? z1 )(z ? z2 )
2?
2?T


? M sup |l ? f (z)| < +?
z?2?T

для подходящего M > 0. Поскольку — вполне нормирующее мно-
жество, заключаем:

f (z1 ) f (z2 )
1
? < +?.
sup
z1 =z2 ;z1 ,z2 =0 |z1 ? z2 | z1 z2
|z1 |??,|z2 |??


Последнее неравенство обеспечивает существование нужного преде-
ла.

8.1.4. Определение. Отображение f : D > X, удовлетворяю-
щее 8.1.3 (1) (или, что то же самое, 8.1.3 (2) для какого-либо вполне
нормирующего множества ), называют голоморфным.
8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы 161

8.1.5. Замечание. Иногда используют излишне детальную тер-
минологию. Именно, если f удовлетворяет 8.1.3 (1), то f называют
сильно голоморфной функцией. В случае, если для f выполнено 8.1.3
(2) при := BX , говорят о слабой голоморфности f . В условиях
8.1.3 (2) и 8.1.2 (4), т. е. при f : D > B(X, Y ), Y := BY и соответ-
ствующем := B , говорят о слабо операторно голоморфных функ-
циях. Учитывая приведенную терминологию, теорему Данфорда —
Хилле часто называют теоремой о голоморфности и выражают сло-
вами: «слабо голоморфная функция сильно голоморфна».
8.1.6. Замечание. В дальнейшем удобно использовать инте-
гралы простейших гладких X-значных форм f (z)dz по простейшим
ориентированным многообразиям — по краям элементарных ком-
пактов в плоскости (см. 4.8.5), составленным из конечного числа
непересекающихся простых петель. В такие интегралы вкладыва-
ют очевидный смысл. Именно, для петли ? выбирают подходящую
: T > ? (с учетом ориентации) и по-
(гладкую) параметризацию
лагают
f? d ,
f (z)dz :=
T
?

где последний интеграл понимают, например, как подходящий инте-
грал Бохнера (см. 5.5.9 (6)). Несомненна корректность этого опре-
деления, т. е. существование нужного интеграла Бохнера и его неза-
висимость от выбора параметризации .
8.1.7. Теорема Коши — Винера. Пусть D — непустое откры-
тое подмножество плоскости и f : D > X — голоморфное отображе-
ние в банахово пространство X. Пусть, далее, F — простая картина
для пары (?, D). Тогда


f (z)dz = 0.
?F


При этом для z0 ? int F выполнено

f (z)
1
f (z0 ) = dz.
z ? z0
2?i
?F
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
162

В силу 8.1.3 необходимые интегралы Бохнера существуют.
Требуемые равенства, очевидно, следуют из справедливости их ска-
лярных версий, составляющих содержание классической теоремы
Коши, сказанного в 8.1.2 (1) и отмеченной в 5.5.9 (6) перестановоч-
ности интегралов Бохнера с ограниченными функционалами.
8.1.8. Замечание. Теорема Коши — Винера позволяет по хо-
рошо известным образцам выводить для X-значных голоморфных
функций аналоги теорем классического комплексного анализа.
8.1.9. Теорема о разложении Тейлора. Пусть f : D > X
— голоморфная функция и z0 ? D. В любом круге U := {z ? C :
|z ? z0 | < ?} таком, что cl U лежит в D, имеет место разложение
Тейлора (в равномерно сходящийся степенной ряд)
?
cn (z ? z0 )n ,
f (z) =
n=0

где коэффициенты cn вычисляют по формулам

1 dn f
f (z)
1
cn = dz = (z0 ).
(z ? z0 )n+1 n! dz n
2?i
?U

Доказательство основано на стандартном разложении ядра
u > (u ? z)?1 в формуле

f (u)
1
(z ? cl U )
f (z) = du
u?z
2?i
?U

по степеням z ? z0 , т. е.
1 1
= =
u?z (u ? z0 ) 1 ? z?z0
u?z0

?
(z ? z0 )n
.
=
(u ? z0 )n+1
n=0

Последний ряд сходится равномерно по u ? ?U . (Здесь U = U + qD
для какого-либо q > 0, такого что cl U ? D.) Учитывая, что
8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы 163

sup f (?U ) < +?, и производя интегрирование, приходим к требу-
емому представлению f (z) при z ? cl U . Применяя доказанное к U
и привлекая 8.1.7, видим, что исследуемый степенной ряд сходится
в каждой точке U . Отсюда вытекает его равномерная сходимость
на компактных подмножествах U , а потому и на U .
8.1.10. Теорема Лиувилля. Если функция f : C > X голо-
морфна и sup f (C) < +?, то f — постоянное отображение.
Для ? > 0, рассматривая диск ?D и учитывая 8.1.9, имеем

cn ? sup f (z) · ??n ? sup f (C) · ??n
z??T

при всех n ? N и ? > 0. Таким образом, cn = 0 для n ? N.
8.1.11. Каждый ограниченный эндоморфизм ненулевого комп-
лексного банахова пространства имеет непустой спектр.
Пусть T — такой эндоморфизм. Если Sp(T ) = ?, то резоль-
вента R(T, · ) голоморфна во всей плоскости C, например, по 5.6.21.
Кроме того, на основании 5.6.15, R(T, ?) > 0 при |?| > +?. В
силу 8.1.10 заключаем, что R(T, · ) = 0. В то же время, привлекая
5.6.15, видим, что при |?| > T выполнено R(T, ?)(? ? T ) = 1.
Получается противоречие.
8.1.12. Имеет место формула Б?рлинга — Гельфанда:
е

r(T ) = sup{|?| : ? ? Sp(T )}

для любого оператора T ? B(X), где X — комплексное банахово
пространство, т. е. спектральный радиус оператора совпадает с ра-
диусом его спектра.
То, что спектральный радиус r(T ) больше радиуса спектра,
отмечено в 5.6.16. Таким образом, при r(T ) = 0 доказывать ничего
не надо. Пусть теперь r(T ) > 0. Возьмем ? ? C так, что |?| >
sup{|µ| : µ ? Sp(T )}. Тогда круг радиуса |?|?1 целиком лежит в
области голоморфности функции (см. 5.6.15)
R (T, z ?1 ), z = 0, z ?1 ? res(T ),
f (z) :=
0, z = 0.
Привлекая 8.1.9 и 5.6.17, заключаем, что |?|?1 < r(T )?1 . Следова-
тельно, |?| > r(T ).
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
164

8.1.13. Пусть K — непустой компакт в C и H(K) — множество
голоморфных в окрестности K функций, т. е. (f ? H(K) ? f :
dom f > C — голоморфная функция, dom f ? K). Для f1 , f2 ?
H(K) положим f1 ? f2 , если существует открытое подмножество D
в dom f1 ? dom f2 такое, что K ? D и f1 |D = f2 |D . Тогда ? является
отношением эквивалентности в H(K).
8.1.14. Определение. В условиях 8.1.13 положим H (K) :=
H(K)/?. Элемент f ? H (K), содержащий функцию f ? H(K),
называют ростком f на компакте K.
8.1.15. Пусть f , g ? H (K). Пусть, кроме того, выделены
f1 , f2 ? f , g1 , g2 ? g. Положим

x ? dom f1 ? dom g1 ? ?1 (x) := f1 (x) + g1 (x),

x ? dom f2 ? dom g2 ? ?2 (x) := f2 (x) + g2 (x).

Тогда ?1 , ?2 ? H(K), причем ?1 = ?2 .
Выбрав открытые множества K ? D1 ? dom f1 ?dom f2 и K ?
D2 ? dom g1 ? dom g2 , в которых совпадают f1 и f2 и соответственно
g1 и g2 , видим, что в D1 ? D2 совпадают ?1 и ?2 .
8.1.16. Определение. Класс, введенный в 8.1.15, называют
суммой ростков f1 и f2 и обозначают f1 + f2 . Аналогично вводят
произведение ростков и умножение ростка на комплексное число.
8.1.17. H (K) с операциями, введенными в 8.1.16, является ал-
геброй.
8.1.18. Определение. Возникающую алгебру H (K) называ-
ют алгеброй ростков голоморфных функций на компакте K.
8.1.19. Пусть K — компакт в C, а R : C\K > X — голоморфная
функция со значениями в банаховом пространстве X. Пусть, далее,
f ? H (K) и f1 , f2 ? f . Если F1 — простая картина для пары
(K, dom f1 ), а F2 — простая картина для пары (K, dom f2 ), то


f1 (z)R(z)dz = f2 (z)R(z)dz.
?F1 ?F2
8.2. Голоморфное функциональное исчисление 165

Пусть K ? D ? int F1 ? int F2 , где D открыто и f1 |D = f2 |D .
Возьмем простую картину K ? F ? D. Учитывая голоморфность
функции f1 R на dom f1 \ K и голоморфность f2 R на dom f2 \ K,
выводим равенства

f1 (z)R(z)dz = f1 (z)R(z)dz,
?F ?F1


f2 (z)R(z)dz = f2 (z)R(z)dz
?F ?F2

(из нетривиального факта справедливости их скалярных аналогов).
Ввиду совпадения f1 и f2 на D имеем требуемое.
8.1.20. Определение. Фиксируя h ? H (K), в условиях 8.1.19
контурным интегралом h с ядром R называют элемент

h(z)R(z)dz := f (z)R(z)dz,
?F


где h = f и F — простая картина для пары (K, dom f ).
8.1.21. Замечание. Обозначение h(z) в 8.1.20 неслучайно. Оно
объясняется тем, что для каждой точки z ? K и любых двух пред-
ставителей f1 , f2 ростка h выполнено w := f1 (z) = f2 (z). В этой
связи об элементе w говорят как о значении ростка h в точке z и
пишут h(z) = w. Отметим здесь же, что в 8.1.20 функцию R можно
считать заданной лишь в U \ K, где int U ? K.

8.2. Голоморфное функциональное исчисление
8.2.1. Определение. Пусть X — (ненулевое) комплексное ба-
нахово пространство и T — ограниченный эндоморфизм X, т. е.
T ? B(X). Для h ? H (Sp(T )) контурный интеграл с ядром R(T, · )
— резольвентой оператора T — обозначают

1
RT h := h(z)R(T, z)dz
2?i
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
166

и называют интегралом Рисса — Данфорда (ростка h). Если f —
функция, голоморфная в окрестности Sp(T ), то полагают f (T ) :=
RT f := RT f . Используют также более образные обозначения типа
f (z)
1
f (T ) = dz.
z?T
2?i
8.2.2. Замечание. В алгебре, в частности, изучают различные
представления математических объектов. Нам удобно пользоваться
некоторыми элементарными понятиями теории представлений наи-
более «алгебраических» объектов — алгебр. Вспомним простейшие
из них.
Пусть A1 , A2 — две алгебры (над одним и тем же полем). Мор-
физмом A1 в A2 или представлением алгебры A1 в алгебре A2 (ре-
же говорят «в алгебру A2 ») называют мультипликативный линей-
ный оператор R, т. е. отображение R ? L (A1 , A2 ) такое, что
R(ab) = R(a)R(b) для всех a, b ? A1 . Представление R назы-
вают точным, если ker R = 0. Наличие точного представления
R : A1 > A2 позволяет рассматривать A1 как подалгебру A2 .
Если A2 является (под)алгеброй эндоморфизмов L (X) некото-
рого векторного пространства X (над тем же полем), то о морфизме
A1 в A2 говорят как о (линейном) представлении A1 в простран-
стве X или об операторном представлении A1 . Пространство X
называют в этом случае пространством представления алгебры A1 .
Если в пространстве X представления R алгебры A есть подпро-
странство X1 , инвариантное относительно всех операторов R(a) при
a ? A, то естественным образом возникает представление R1 : A >
L (X1 ), действующее по правилу R1 (a)x1 = R(a)x1 для x1 ? X1 и
a ? A, называемое подпредставлением R (порожденным X1 ). Если
X = X1 ? X2 и это разложение приводит каждый оператор R(a) для
a ? A, то говорят, что представление R приведено к прямой сумме
(под)представлений R1 и R2 (порожденных X1 и X2 соответствен-
но). Отметим важность задачи изучения произвольных неприводи-
мых представлений (= представлений, не содержащих нетривиаль-
ных подпредставлений).
8.2.3. Теорема Гельфанда — Данфорда. Интеграл Рисса —
Данфорда RT служит представлением алгебры ростков голоморф-
ных функций на спектре оператора T в пространстве X — обла-
?
сти определения оператора T . При этом если f (z) = n
n=0 cn z
8.2. Голоморфное функциональное исчисление 167
?
(в окрестности Sp(T )), то f (T ) = n=0 cn T n (суммирование ведется
относительно операторной нормы в B(X)).
То, что RT — линейный оператор, несомненно. Установим
мультипликативность RT . Для этого возьмем f1 , f2 ? H (Sp(T ))
и выберем простые картины F1 , F2 такие, что Sp(T ) ? int F1 ?
F1 ? int F2 ? F2 ? D, причем функции f1 ? f1 , f2 ? f2 являются
голоморфными на D.
Привлекая очевидные свойства интеграла Бохнера, классиче-
скую теорему Коши и тождество Гильберта 5.6.19, последовательно
получаем

f1 (z1 ) f2 (z2 )
11
RT f1 ? RT f2 = f1 (T )f2 (T ) = dz1 ? dz2 =
z1 ? T z2 ? T
2?i 2?i
?F1 ?F2

? ?
11 ? f1 (z1 )R(T, z1 )dz1 ? f2 (z2 )R(T, z2 )dz2 =
=
2?i 2?i
?F2 ?F1

11
f1 (z1 )f2 (z2 )R(T, z1 )R(T, z2 )dz2 dz1 =
=
2?i 2?i
?F1 ?F2

R(T, z1 ) ? R(T, z2 )
11
f1 (z1 )f2 (z2 ) dz2 dz1 =
=
z2 ? z1
2?i 2?i
?F1 ?F2
? ?
f2 (z2 )
1 1
f1 (z1 ) ? dz2 ? R(T, z1 )dz1 ?
=
z2 ? z1
2?i 2?i
?F1 ?F2
? ?
f1 (z1 )
1 1

<<

стр. 5
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>