<<

стр. 6
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

f2 (z2 ) ? dz1 ? R(T, z2 )dz2 =
?
z2 ? z1
2?i 2?i
?F2 ?F1

1
f1 (z1 )f2 (z1 )R(T, z1 )dz1 ? 0 = f1 f2 (T ) = RT (f1 f2 ).
=
2?i
?

Выберем окружность ? := ?T, лежащую как в res(T ), так и внут-
?
ри круга сходимости ряда f (z) = n=0 cn z n . Учитывая 5.6.16 и 5.5.9
(6), имеем
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
168

?
1
z ?n?1 T n dz =
f (T ) = f (z)
2?i n=0
?
?
1
f (z)z ?n?1 T n dz =
=
2?i n=0
?
? ?
? ?
f (z) ? n
?1 cn T n
dz T =
= n+1
z
2?i
n=0 n=0
?

в силу 8.1.9.
8.2.4. Замечание. Теорему 8.2.3 часто называют основной те-
оремой голоморфного функционального исчисления.
8.2.5. Теорема об отображении спектра. Для любой функ-
ции f ? H(Sp(T )), голоморфной в окрестности спектра оператора T
из B(X), выполнено

f (Sp(T )) = Sp(f (T )).

Пусть сначала дано, что ? ? Sp(f (T )) и f ?1 (?) ? Sp(T ) = ?.
Для точки z ? (C \ f ?1 (?)) ? dom f положим g(z) := (? ? f (z))?1 .
Тогда g — голоморфная функция в окрестности Sp(T ), причем g(? ?
f ) = (? ? f )g = 1C . Привлекая 8.2.3, видим, что ? ? res(f (T )).
Последнее противоречит условию. Значит, f ?1 (?) ? Sp(T ) = ?, т. е.
Sp(f (T )) ? f (Sp(T )).
Пусть теперь ? ? Sp(T ). Положим

f (?) ? f (z)
? = z ? g(z) := g(?) := f (?).
;
??z
Понятно, что g — голоморфная функция (особенность «устранена»).
Из 8.2.3 получаем

g(T )(? ? T ) = (? ? T )g(T ) = f (?) ? f (T ).

Значит, если f (?) ? res(f (T )), то оператор R(f (T ), f (?))g(T ) явля-
ется обратным к ? ? T . Иными словами, ? ? res(T ), что неверно.
Итак, f (?) ? C \ res(f (T )) = Sp(f (T )), т. е. f (Sp(T )) ? Sp(f (T )).
8.2. Голоморфное функциональное исчисление 169

8.2.6. Пусть K — непустой компакт; g : dom g > C — голо-
морфная функция, причем dom g ? K. Для f ? H(g(K)) положим
? ?
g(f ) := f ? g. Тогда g — представление алгебры H (g(K)) в алгебре
H (K).
8.2.7. Теорема Данфорда. Для всякой функции g : dom g >
C, голоморфной в окрестности dom g спектра Sp(T ) оператора T ?
B(X), коммутативна следующая диаграмма представлений:

?
g
H (Sp(T ))  H (Sp(g(T )))
@
@
Rg(T )
@
RT @
@?
R
B(X)

Пусть f ? H (g(Sp(T ))) и f : D > C таковы, что f ? f
и D ? g(Sp(T )) = Sp(g(T )). Пусть F1 — простая картина для пары
(Sp(g(T )), D) и F2 — простая картина для пары (Sp(T ), g ?1 (int F1 )).
Ясно, что при этом g(?F2 ) ? int F1 и, кроме того, функция z2 >
(z1 ? g(z2 ))?1 определена и голоморфна в int F2 для z1 ? ?F1 . Таким
образом, по 8.2.3
R(T, z2 )
1
(z1 ? ?F1 ).
R(g(T ), z1 ) = dz2
z1 ? g(z2 )
2?i
?F2

Учитывая это соотношение, последовательно имеем
f (z1 )
1
Rg(T ) f = dz1 =
z1 ? g(T )
2?i
?F1
? ?
R(T, z2 )
11
f (z1 ) ? dz2 ? dz1 =
=
z1 ? g(z2 )
2?i 2?i
?F1 ?F2
? ?
f (z1 )
11 ? dz1 ? R(T, z2 )dz2 =
=
z1 ? g(z2 )
2?i 2?i
?F2 ?F1
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
170
1 ?
f (g(z2 ))R(T, z2 )dz2 = RT g(f )
=
2?i
?F2

(так как g(z2 ) ? int F1 для z2 ? ?F2 по построению, то на основании
классической теоремы Коши
f (z1 )
1
f (g(z2 )) = dz1 .
z1 ? g(z2 )
2?i
?F1

8.2.8. Замечание. Теорему Данфорда весьма часто называют
теоремой о сложной функции и символически записывают так: f ?
g(T ) = f (g(T )) для f ? H(g(Sp(T ))).
8.2.9. Определение. Подмножество ? в Sp(T ) называют спек-
тральным множеством или изолированной частью спектра T , ес-
ли как ?, так и его дополнение ? := Sp (T )\? являются замкнутыми
множествами.
8.2.10. Пусть ? — спектральное множество и ?? — это (какая-
нибудь) функция, равная единице в некоторой открытой окрестно-
сти ? и нулю в некоторой открытой окрестности ? . Пусть, далее,
?? (z)
1
P? := ?? (T ) := dz.
z?T
2?i
Тогда P? — проектор в X и (замкнутое) подпространство X? := im P?
инвариантно относительно T .
Поскольку ?? = ?? , то, по 8.2.3, ?? (T )2 = ?? (T ). Помимо
2

этого, T = RT IC , где IC : z > z, откуда T P? = P? T (ибо IC ?? =
?? IC ). Значит, в силу 2.2.9 (4), X? инвариантно относительно T .
8.2.11. Определение. Оператор P? из 8.2.10 называют проек-
тором Рисса или же спектральным проектором, отвечающим спек-
тральному множеству ?.
8.2.12. Теорема о разбиении спектра. Пусть ? — спектраль-
ное множество оператора T из B(X). Тогда имеет место разложение
X в прямую сумму инвариантных подпространств X = X? ? X? ,
приводящее T к матричному виду
T? 0
T? ,
T?
0
8.2. Голоморфное функциональное исчисление 171

где часть T? оператора T в X? и часть T? оператора T в X? таковы,
что
Sp(T? ) = ?, Sp(T? ) = ? .
Поскольку ?? + ?? = ?Sp(T ) = 1C , то ввиду 8.2.3 и 8.2.10
следует установить только утверждение о спектре T? .
Из 8.2.5 и 8.2.3 получаем
? ? 0 = ?? IC (Sp(T )) = Sp (?? IC (T )) = Sp (RT (?? IC )) =
= Sp(RT ?? ? RT IC ) = Sp(P? T ).
При этом в матричном виде

T? 0
P? T ? .
0 0
Пусть ? — ненулевое комплексное число. Тогда

? ? T? 0
? ? P? T ? ,
?
0
т. е. оператор ? ? P? T необратим в том и только в том случае,
если необратим оператор ? ? T? . Итак, Sp(T? ) \ 0 ? Sp(P? T ) \ 0 =
(? ? 0) \ 0 ? ?.
Допустим, что 0 ? Sp(T? ) и 0 ? ?. Выберем открытые непересе-
/
кающиеся множества D? и D? так, что ? ? D? , 0 ? D? и ? ? D? ,
/
и положим
1
z ? D? ? h(z) := ;
z
z ? D? ? h(z) := 0.
По 8.2.3, h(T )T = T h(T ) = P? . Более того, раз h ?? = ?? h, то раз-
ложение X = X? ? X? приводит h(T ) и для части h(T )? оператора
h(T ) в X? верно h(T )? T? = T? h(T )? = 1. Таким образом, T? об-
ратим, т. е. 0 ? Sp(T? ). Получили противоречие, означающее, что
/
0 ? ?. Иными словами, выполнено Sp(T? ) ? ?.
Заметим теперь, что res(T ) = res(T? ) ? res(T? ). Значит, по уже
доказанному
Sp(T ) = C \ res(T ) = C \ (res(T? ) ? res(T? )) =
= (C \ res(T? )) ? (C \ res(T? )) = Sp(T? ) ? Sp(T? ) ? ? ? ? = Sp(T ).
Учитывая, что ? ? ? = ?, получаем требуемое.
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
172

8.2.13. Теорема о разложении интеграла Рисса — Дан-
форда. Пусть ? — спектральное множество оператора T ? B(X).
Разложение X = X? ? X? приводит представление RT алгебры
H (Sp(T )) в X к прямой сумме представлений R? и R? . При этом
коммутативны следующие диаграммы представлений:

??- ?? -
H (Sp(T )) H (?) H (Sp(T )) H (? )
@ @
@ @
RT?
RT?
@ @
R? @ R? @
R
@? R
@?
B(X? ) B(X? )

Здесь ?? (f ) := ?? f , ?? (f ) := ?? f для f ? H(Sp(T )) — представле-
ния, порожденные сужениями f на ? и ? соответственно.

8.3. Идеал компактных операторов и проблема
аппроксимации
8.3.1. Пусть X, Y — банаховы пространства. Для линейного
оператора K ? L (X, Y ) эквивалентны следующие утверждения:
(1) оператор K компактен: K ? K (X, Y );
(2) существуют окрестность нуля U в X и компактное
множество V в Y такие, что K(U ) ? V ;
(3) образ при отображении K любого ограниченного мно-
жества в X относительно компактен в Y ;
(4) образ любого ограниченного в X множества (при ото-
бражении K) вполне ограничен в Y ;
(5) для каждой последовательности (xn )n?N точек еди-
ничного шара BX последовательность (Kxn )n?N со-
держит некоторую фундаментальную подпоследова-
тельность.
8.3.2. Теорема. Пусть X, Y — банаховы пространства. Тогда
(1) K (X, Y ) — замкнутое подпространство B(X, Y );
(2) для любых банаховых пространств W и Z выполнено

B(Y, Z) ? K (X, Y ) ? B(W, X) ? K (W, Z),
8.3. Идеал компактных операторов и проблема аппроксимации 173

т. е. если S ? B(W, X), T ? B(Y, Z), а K ?
K (X, Y ), то T KS ? K (W, Z);
(3) IF ? K (F) := K (F, F) для основного поля F.
То, что K (X, Y ) — подпространство B(X, Y ), следует из
8.3.1. Если Kn ? K (X, Y ) и Kn > K, то для ? > 0 при достаточ-
но больших n имеем Kx ? Kn x ? K ? Kn x ? ?, как только
x ? BX . Таким образом, Kn (BX ) служит ?-сетью (= B? -сетью) для
K(BX ). Остается сослаться на 4.6.4, чтобы закончить доказатель-
ство замкнутости K (X, Y ). Прочие утверждения теоремы ясны.
8.3.3. Замечание. Теорему 8.3.2 часто выражают следующи-
ми словами: «класс всех компактных операторов представляет собой
операторный идеал». При этом имеют в виду очевидную аналогию
тому, что K (X) := K (X, X) представляет собой (двусторонний за-
мкнутый) идеал в алгебре B(X), т. е. K (X) ? B(X) ? K (X) и
B(X) ? K (X) ? K (X).
8.3.4. Теорема Калкина. Идеалы 0, K (l2 ), B(l2 ) составляют
полный перечень замкнутых двусторонних идеалов алгебры B(l2 )
ограниченных эндоморфизмов гильбертова пространства l2 .
8.3.5. Замечание. В связи с 8.3.4 ясно, что определенную роль
в теории операторов должна играть алгебра B(X)/K (X), называе-
мая алгеброй Калкина (в X). Эту роль отчасти можно видеть в 8.5.
8.3.6. Определение. Оператор T ? L (X, Y ) называют конеч-
номерным, если T ? B(X, Y ) и im T — конечномерное подпростран-
ство. При этом пишут T ? F (X, Y ).
8.3.7. Конечномерные операторы составляют линейную оболоч-
ку множества ограниченных одномерных операторов:

T ? F (X, Y ) ?
n
? (? x1 , . . . , xn ? X , y1 , . . . , yn ? Y ) T = xk ? yk .
k=1

8.3.8. Определение. Пусть Q — (непустой) компакт в X. Для
T ? B(X, Y ) положим

T sup T (Q) .
Q :=
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
174

Совокупность всех полунорм вида · Q в B(X, Y ) называют муль-
тинормой Аренса в B(X, Y ) и обозначают ?B(X,Y ) . Соответствую-
щую топологию называют топологией равномерной сходимости на
компактах.
8.3.9. Теорема Гротендика. Пусть X — банахово простран-
ство. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) для каждых ? > 0 и компактного множества Q в X
найдется оператор T ? F (X) := F (X, X) такой, что
T x ? x ? ? для всех x ? Q;
(2) для любого банахова пространства W подпростран-
ство F (W, X) плотно в B(W, X) относительно муль-
тинормы Аренса ?B(W,X) ;
(3) для любого банахова пространства Y подпростран-
ство F (X, Y ) плотно в B(X, Y ) относительно муль-
тинормы Аренса ?B(X, Y ) .
Ясно, что (2) ? (1) и (3) ? (1). Поэтому установим, что (1)
? (2) и (1) ? (3).
(1) ? (2): Если T ? B(W, X) и ? = Q ? W — компакт в W , то,
по теореме Вейерштрасса 4.4.5, T (Q) — компакт в X и, стало быть,
для ? > 0 по условию существует оператор T0 ? F (X) такой, что
T0 ? IX T (Q) = T0 T ? T Q ? ?. Несомненно, что T0 T ? F (W, X).
(1) ? (3): Пусть T ? B(X, Y ). Если T = 0, то доказывать
ничего не надо. Пусть T = 0, ? > 0 и Q — непустой компакт в X.
По условию существует оператор T0 ? F (X) такой, что T0 ? IX Q ?
? T ?1 . Тогда T T0 ? T Q ? T T0 ? IX Q ? ?. Кроме того,
T T0 ? F (X, Y ).
8.3.10. Определение. Банахово пространство, удовлетворяю-
щее одному (а значит, и любому) из эквивалентных условий 8.3.9
(1)–8.3.9 (3), называют обладающим свойством аппроксимации.
8.3.11. Критерий Гротендика. Банахово пространство X об-
ладает свойством аппроксимации в том и только в том случае, ес-
ли для каждого банахова пространства W выполнено cl F (W, X) =
K (W, X), где замыкание вычислено относительно операторной нор-
мы.
8.3.12. Замечание. Долго считали (и, разумеется, не могли
доказать), что все банаховы пространства обладают свойством ап-
8.4. Теория Рисса — Шаудера 175

проксимации. Поэтому найденный П. Энфло на основе тонких рас-
суждений пример банахова пространства без свойства аппроксима-
ции был воспринят в конце 70-х годов как сенсационный. В настоя-
щее время известны многие контрпримеры такого рода.
8.3.13. Контрпример Шанковского. Пространство B(l2 ) не
обладает свойством аппроксимации.
8.3.14. Контрпримеры Дэви — Фигеля — Шанковско-
го. Пространства lp при p = 2 и c0 имеют замкнутые подпростран-
ства, не обладающие свойством аппроксимации.

8.4. Теория Рисса — Шаудера
8.4.1. Лемма об ?-перпендикуляре. Пусть X0 — замкнутое
подпространство банахова пространства X и X = X0 . Для любого
? > 0 в X имеется ?-перпендикуляр к X0 , т. е. такой элемент x? ? X,
что x? = 1 и d(x? , X0 ) := inf d · ({x? } ? X0 ) ? 1 ? ?.
Пусть 1 > ? и x ? X \ X0 . Понятно, что d := d(x, X0 ) > 0.
В подпространстве X0 подыщем x , для которого x ? x ? d/(1 ? ?)
(это возможно, ибо d/(1 ? ?) > d). Положим x? := (x ? x ) x ? x ?1 .
Тогда x? = 1. Наконец, для x0 ? X0 выполнено
x?x
x0 ? x? = x0 ? =
x?x
d(x, X0 )
1
( x ? x x0 + x ) ? x ? ? 1 ? ?.
=
x ?x x ?x
8.4.2. Критерий Рисса. Пусть X — банахово пространство.
Тождественный оператор в X компактен в том и только в том случае,
если X конечномерно.
Нуждается в проверке лишь стрелка ?. Если известно, что X
не является конечномерным пространством, то в X можно указать
последовательность конечномерных подпространств X1 ? X2 ? . . .
такую, что Xn+1 = Xn при всех n ? N. На основании 8.4.1 существу-
ет последовательность (xn ), для которой xn+1 ? Xn+1 , xn+1 = 1
и d(xn+1 , Xn ) ? 1/2, т. е. последовательность 1/2-перпендикуляров
к Xn в Xn+1 . Ясно, что d(xm , xk ) ? 1/2 для m = k. Иными сло-
вами, последовательность (xn ) не содержит фундаментальной под-
последовательности. Значит, по 8.3.1 оператор IX не является ком-
пактным.
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
176

8.4.3. Пусть T ? K (X, Y ), где X, Y — банаховы пространства.
Оператор T нормально разрешим в том и только в том случае, если
T конечномерен.
Нуждается в проверке лишь импликация ?.
Пусть Y0 := im T — замкнутое подпространство в Y . По теоре-
ме Банаха о гомоморфизме 7.4.4 образ единичного шара T (BX ) —
окрестность нуля в Y0 . Кроме того, в силу компактности T множе-
ство T (BX ) относительно компактно в Y0 . Остается применить 8.4.2
к Y0 .
8.4.4. Пусть X — банахово пространство и K ? K (X). Тогда
оператор 1 ? K нормально разрешим.
Положим T := 1 ? K. Пусть X1 := ker T . Несомненно,
что X1 конечномерно по 8.4.2. В соответствии с 7.4.11 (1) конеч-
номерное подпространство дополняемо. Обозначим X2 топологиче-
ское дополнение X1 . Учитывая, что X2 — банахово пространство
и равенство T (X) = T (X2 ), следует установить, что для некото-
рого t > 0 выполнено T x ? t x для всех x ? X2 . В против-
ном случае найдется последовательность (xn ) таких элементов, что
xn = 1, xn ? X2 и T xn > 0. Используя компактность K, можно
считать, что (Kxn ) сходится. Положим y := lim Kxn . Тогда после-
довательность (xn ) сходится к y, ибо y = lim(T xn + Kxn ) = lim xn .
При этом T y = lim T xn = 0, т. е. y ? X1 . Кроме того, несомненно,
y ? X2 . Итак, y ? X1 ? X2 , т. е. y = 0. Получили противоречие
( y = lim xn = 1).
8.4.5. Для всякого ? > 0 вне круга радиуса ? с центром в нуле
может лежать лишь конечное множество собственных чисел ком-
пактного оператора.
Допустим, что вопреки утверждаемому есть последователь-
ность (?n )n?N различных собственных чисел оператора K, таких
что |?n | ? ? для всех n ? N. Пусть, далее, 0 = xn ? ker(?n ? K)
— собственный вектор, отвечающий собственному числу ?n . Уста-
новим прежде всего, что множество {xn : n ? N} линейно незави-
симо. В самом деле, пусть уже известно, что линейно независимо
n
множество {x1 , . . . , xn }. Предположим, что xn+1 = k=1 ?k xk . То-
n
гда 0 = (?n+1 ? K)xn+1 = k=1 ?k (?n+1 ? ?k )xk . Следовательно,
?k = 0 для k := 1, . . . , n. Отсюда вытекает заведомо ложное равен-
ство xn+1 = 0.
8.4. Теория Рисса — Шаудера 177

Положим Xn := L ({x1 , . . . , xn }). По определению X1 ? X2 ?
. . . , причем, как уже доказано, Xn+1 = Xn для n ? N. В силу 8.4.1
имеется последовательность (xn ) такая, что xn+1 ? Xn+1 , xn+1 =
1 и d(xn+1 , Xn ) ? 1/2. При m > k прямой подсчет показывает, что
z := (?m+1 ? K)xm+1 ? Xm и z + Kxk ? Xm + Xk ? Xm . Значит,

Kxm+1 ? Kxk = ? ?m+1 xm+1 + Kxm+1 + ?m+1 xm+1 ? Kxk =
?
= ?m+1 xm+1 ? (z + Kxk ) ? |?m+1 |d(xm+1 , Xm ) ? .
2
Иными словами, последовательность (Kxn ) не содержит фундамен-
тальной подпоследовательности.
8.4.6. Теорема Шаудера. Пусть X, Y — банаховы простран-
ства (над одним и тем же основным полем F). Тогда

K ? K (X, Y ) ? K ? K (Y , X ).

?: Заметим прежде всего, что отображение сужения x >
x |BX осуществляет изометрию X в l? (BX ). Поэтому для установ-
ления относительной компактности K (BY ) следует доказать отно-
сительную компактность множества V := {K y |BX : y ? BY }.
Ввиду того, что для x ? BX и y ? BY выполнено K y |BX (x) =
y ? K|BX (x) = y (Kx), рассмотрим компакт Q := cl K(BX ) и отобра-
? ?
жение K : C(Q, F) > l? (BX ), определенное соотношением Kg : x >
?
g(Kx). Несомненно, что оператор K ограничен, а следовательно, и
непрерывен. Пусть теперь S := {y |Q : y ? BY }. Ясно, что S —
равностепенно непрерывное и в то же время ограниченное подмно-
жество C(Q, F). Значит, по теореме Асколи — Арцела 4.6.10, S от-
носительно компактно. По теореме Вейерштрасса 4.4.5 заключаем,
?
что относительно компактно множество K(S). Осталось заметить,
? ?
что для y ? BY выполнено Ky |Q = K y |BX , т. е. K(S) = V .
?: Если K ? K (Y , X ), то по уже доказанному выполняется
K ? K (X , Y ). В силу леммы о двойном штриховании 7.6.6,
K |X = K. Отсюда вытекает, что оператор K компактный.
8.4.7. Ненулевые точки спектра компактного оператора изоли-
рованы (т. е. всякая такая точка составляет спектральное множе-
ство).
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
178

Учитывая 8.4.4 и принцип штрихования последовательностей
7.6.13, видим, что любая ненулевая точка спектра компактного опе-
ратора является либо его собственным числом, либо собственным
числом сопряженного оператора. Привлекая 8.4.5 и 8.4.6, заключа-
ем, что вне круга ненулевого радиуса может лежать лишь конечное
число точек спектра рассматриваемого оператора.
8.4.8. Теорема Рисса — Шаудера. Спектр компактного опе-
ратора, заданного в бесконечномерном пространстве, содержит нуль.
Ненулевые точки спектра — собственные числа, каждому из которых
отвечает конечномерное собственное подпространство. При этом вне
любого круга ненулевого радиуса с центром в нуле лежит конечное
множество точек спектра рассматриваемого оператора.
Для оператора K ? K (X) следует установить только импли-
кацию
0 = ? ? Sp(K) ? ker(? ? K) = 0.

Разберем сначала случай F := C. Отметим, что {?} — спек-
тральное множество. Полагая g(z) := 1/z в некоторой окрестно-
сти ? и g(z) := 0 для z в подходящей окрестности {?} , видим:
?{?} = gIC . Стало быть, на основании 8.2.3 и 8.2.10, P{?} = g(K)K.
В силу 8.3.2 (2), P{?} ? K (X). Из 8.4.3 вытекает, что im P{?} — ко-
нечномерное пространство. Осталось привлечь теорему о разбиении
спектра 8.2.12.
В случае F := R следует провести процесс «комплексификации».
Именно, нужно рассмотреть в пространстве X 2 умножение на эле-
мент C, порожденное правилом i(x, y) := (?y, x). Полученное ком-
плексное векторное пространство обозначают X ? iX. В простран-
стве X ? iX следует ввести оператор K(x, y) := (Kx, Ky). Наделяя
X ? iX подходящей нормой (ср. 7.3.2), видим, что оператор K ком-
пактен, причем ? ? Sp(K). Значит, ? — собственное число K по уже
доказанному. Отсюда вытекает, что ? — собственное число операто-
ра K.
8.4.9. Теорема. Пусть X — комплексное банахово простран-
ство, а f : C > C — голоморфная функция, обращающаяся в нуль
лишь в нуле и такая, что для некоторого T ? B(X) выполнено
f (T ) ? K (X). Тогда любая отличная от нуля точка ? спектра T
изолирована и проектор Рисса P{?} компактен.
8.5. Н?теровы и фредгольмовы операторы
е 179

Допустим противное, т. е. пусть найдется последовательность
(?n )n?N различных точек Sp(T ) такая, что ?n > ? = 0 (в частно-
сти, X бесконечномерно). Тогда f (?n ) > f (?), причем f (?) = 0
по условию. По теореме об отображении спектра 8.2.5, Sp(f (T )) =
f (Sp(T )). Таким образом, по 8.4.8 для всех достаточно больших n
выполнено f (?n ) = f (?). Отсюда вытекает, что f (z) = f (?) для всех
z ? C и, стало быть, f (T ) = f (?). По критерию 8.4.2 в этом слу-
чае X конечномерно. Получили противоречие, означающее, что ?
— изолированная точка Sp(T ). Полагая g(z) := f (z)?1 в некоторой
не содержащей нуля окрестности ?, имеем, что g f = ?{?} . Следова-
тельно, по теореме Гельфанда — Данфорда 8.2.3, P{?} = g(T )f (T ),
т. е. в силу 8.3.2 (2) проектор Рисса P{?} компактен.
8.4.10. Замечание. Теорему 8.4.9 иногда называют «обобщен-
ной теоремой Рисса — Шаудера».

8.5. Н?теровы и фредгольмовы операторы
е
8.5.1. Определение. Пусть X, Y — банаховы пространства
(над одним и тем же основным полем F). Оператор T ? B(X, Y )
называют н?теровым и пишут T ? N (X, Y ), если его ядро ker T :=
е
?1
T (0) и коядро coker T := Y / im T конечномерны, т. е. если конечны
величины
?(T ) := dim ker T ; ?(T ) := dim coker T.
Целое число ind T := ?(T ) ? ?(T ) называют индексом оператора T .
8.5.2. Определение. Н?теров оператор нулевого индекса на-
е
зывают фредгольмовым.
8.5.3. Каждый н?теров оператор нормально разрешим.
е
Следует из критерия Като 7.4.20.
8.5.4. Для оператора T ? B(X, Y ) выполнено

T ? N (X, Y ) ? T ? N (Y , X ).

При этом ind T = ? ind T .
В силу 2.3.5 (6), 8.5.3, 5.5.4 и принципа штрихования 7.6.13
следующие пары сопряженных последовательностей:
T
0 > ker T > X > Y > coker T > 0;
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
180
T
0 < (ker T ) < X < Y < (coker T ) < 0;

T
0 > ker(T ) > Y > X > coker(T ) > 0;
T
0 < (ker(T )) < Y < X < (coker(T )) < 0

одновременно точны. При этом ?(T ) = ?(T ) и ?(T ) = ?(T ) (ср.
7.6.14).
8.5.5. Оператор фредгольмов в том и только в том случае, если
фредгольмов сопряженный к нему оператор.
Это частный случай 8.5.4.
8.5.6. Альтернатива Фредгольма. Для фредгольмова опе-
ратора T имеет место одна из следующих двух взаимоисключающих
возможностей.
(1) Однородное уравнение T x = 0 имеет только нулевое
решение. Однородное сопряженное уравнение T y =
0 имеет только нулевое решение. Неоднородное урав-
нение T x = y имеет, и притом единственное, решение
при любой правой части. Неоднородное сопряженное
уравнение T y = x имеет, и притом единственное,
решение при любой правой части.
(2) Однородное уравнение T x = 0 имеет ненулевое ре-
шение. Однородное сопряженное уравнение T y =
0 имеет ненулевое решение. Однородное уравнение
T x = 0 имеет конечное число линейно независимых
решений x1 , . . . , xn . Однородное сопряженное урав-
нение T y = 0 имеет конечное число линейно незави-
симых решений y 1 , . . . , y n . Неоднородное уравнение
T x = y разрешимо в том и только в том случае, если
y 1 (y) = . . . = y n (y) = 0. При этом общее решение x
есть сумма частного решения x0 неоднородного урав-
нения и общего решения однородного уравнения, т. е.
имеет вид

n
(?k ? F ).
x = x0 + ?k xk
k=1
8.5. Н?теровы и фредгольмовы операторы
е 181

Неоднородное сопряженное уравнение T y = x раз-
решимо в том и только в том случае, если x (x1 ) =
. . . = x (xn ) = 0. При этом общее решение y есть
сумма частного решения y 0 неоднородного сопряжен-
ного уравнения и общего решения однородного сопря-
женного уравнения, т. е. имеет вид
n
(µk ? F ).
y = y0 + µk y k
k=1

Переформулировка 8.5.5 с учетом леммы о полярах 7.6.11.
8.5.7. Примеры.
(1) Если T обратим, то T фредгольмов.
(2) Пусть T ? L (F n , F m ). Пусть rank T := dim im T —
ранг T . Тогда ?(T ) = n ? rank T ; ?(T ) = m ? rank T . Следовательно,
T ? N (F n , F m ) и ind T = n ? m.
(3) Пусть X = X1 ? X2 и T ? B(X). Допустим, что
указанное разложение X в прямую сумму приводит T к матричному
виду
T1 0
T? .
0 T2
Несомненно, что T н?теров тогда и только тогда, когда н?теровы
е е
его части. При этом ?(T ) = ?(T1 ) + ?(T2 ), ?(T ) = ?(T1 ) + ?(T2 ), т. е.
ind T = ind T1 + ind T2 .
8.5.8. Теорема Фредгольма. Пусть K ? K (X). Оператор
1 ? K фредгольмов.
В самом деле, разберем сначала случай F := C. Если 1 ?
/
Sp(K), то 1 ? K обратим и ind (1 ? K) = 0. Если же 1 ? Sp(K),
то в силу теоремы Рисса — Шаудера 8.4.8 и теоремы о разбиении
спектра 8.2.12 найдется разложение X = X1 ? X2 такое, что X1
конечномерно, 1 ? Sp(K2 ), где K2 — часть K в X2 , при этом
/

1 ? K1 0
1?K ? .
1 ? K2
0

По 8.5.7 (2), ind (1 ? K1 ) = 0. По 8.5.7 (3) выполнено ind (1 ? K) =
ind (1 ? K1 ) + ind (1 ? K2 ) = 0.
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
182

В случае F := R проведем процесс «комплексификации» так же,
как и в доказательстве 8.4.8. Именно, в пространстве X ? iX рас-
смотрим оператор K(x, y) := (Kx, Ky). По уже установленному
ind (1 ? K) = 0. Остается заметить, что с учетом различия R и C
выполнено ?(1?K) = ?(1?K) и ?(1?K) = ?(1?K). Окончательно
ind (1 ? K) = 0.
8.5.9. Определение. Пусть задан T ? B(X, Y ). Оператор L ?
B(Y, X) называют левым регуляризатором T , если LT ? 1 ? K (X).
Оператор R ? B(Y, X) называют правым регуляризатором T , если
T R ? 1 ? K (Y ). Оператор S ? B(Y, X) называют почти обратным
к T ? B(X, Y ), если S является одновременно левым и правым
регуляризатором T . Если у оператора T есть почти обратный, то T
называют почти обратимым.
8.5.10. Пусть L и R — соответственно левый и правый регуля-
ризаторы T . Тогда L ? R ? K (Y, X).

LT = 1 + KX (KX ? K (X)) ? LT R = R + KX R;
T R = 1 + KY (KY ? K (Y )) ? LT R = L + LKY

8.5.11. Если L — левый регуляризатор T и K ? K (Y, X), то
L + K также левый регуляризатор T .

(L + K)T ? 1 = (LT ? 1) + KT ? K (X)

8.5.12. Оператор почти обратим в том и только в том случае,
если у него есть правый и левый регуляризаторы.
Нуждается в проверке лишь импликация ?. Пусть L, R
— соответственно левый и правый регуляризаторы T . По 8.5.10,
K := L ? R ? K (Y, X). Значит, по 8.5.11, R = L ? K — левый
регуляризатор T . Итак, R — почти обратный к T .
8.5.13. Замечание. Из приведенного видно, что при X = Y
оператор S является почти обратным для T в том и только в том
случае, если ?(S)?(T ) = ?(T )?(S) = 1, где ? : B(X) > B(X)/K (X)
— каноническое отображение в алгебру Калкина. Иными словами,
левые регуляризаторы — это прообразы левых обратных в алгебре
Калкина и т. п.
8.5. Н?теровы и фредгольмовы операторы
е 183

8.5.14. Критерий Н?тера. Оператор является н?теровым в
е е
том и только в том случае, если он почти обратим.
?: Пусть T ? N (X, Y ). Привлекая принцип дополняемости
7.4.10, рассмотрим разложения X = ker T ? X1 и Y = im T ? Y1
и конечномерные проекторы P ? B(X) на ker T параллельно X1
и Q ? B(Y ) на Y1 параллельно im T . Ясно, что сужение T1 := T |X1
?1
— обратимый оператор T1 : X1 > im T . Положим S := T1 (1 ? Q).
Оператор S можно считать элементом пространства B(Y, X). При
этом несомненно, что ST + P = 1 и T S + Q = 1.
?: Пусть S — почти обратный к T , т. е. ST = 1 + KX и T S =
1 + KY для подходящих компактных операторов KX и KY . Значит,
ker T ? ker(1+KX ), т. е. ker T конечномерно в силу конечномерности
ker(1 + KX ), обеспеченной 8.5.8. Помимо этого, im T ? im(1 + KY ),
т. е. из-за фредгольмовости 1 + KY образ T имеет конечную кораз-
мерность.
8.5.15. Следствие. Если T ? N (X, Y ) и S ? B(Y, X) — почти
обратный для T , то S ? N (Y, X).
8.5.16. Следствие. Произведение н?теровых операторов — это
е
н?теров оператор.
е
Суперпозиция почти обратных операторов (в должном поряд-
ке) — почти обратный оператор к суперпозиции.
8.5.17. Пусть задана точная последовательность

0 > X1 > X2 > . . . > Xn?1 > Xn > 0

конечномерных векторных пространств. Тогда имеет место тожде-
ство Эйлера
n
(?1)k dim Xk = 0.
k=1

При n = 1 точность последовательности 0 > X1 > 0 означает,
что X1 = 0, а при n = 2 точность 0 > X1 > X2 > 0 эквивалентна
изоморфности X1 и X2 (см. 2.3.5 (4)). Таким образом, тождество
Эйлера при n := 1, 2 несомненно.
Допустим теперь, что для m ? n ? 1, где n > 2, требуемое уже
установлено. Точную последовательность
Tn?2 Tn?1
0 > X1 > X2 > . . . > Xn?2 ? ? > Xn?1 ? ? > Xn > 0
?? ??
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
184

можно сузить до точной последовательности
Tn?2
0 > X1 > X2 > . . . > Xn?2 ? ? ker Tn?1 > 0.
?>

По допущению выполнено
n?2
(?1)k dim Xk + (?1)n?1 dim ker Tn?1 = 0.
k=1

Помимо этого, поскольку Tn?1 является эпиморфизмом, имеем

dim Xn?1 = dim ker Tn?1 + dim Xn .

Окончательно получаем
n?2
(?1)k dim Xk + (?1)n?1 (dim Xn?1 ? dim Xn ) =
0=
k=1

n
(?1)k dim Xk .
=
k=1

8.5.18. Теорема Аткинсона. Индекс произведения н?теровых
е
операторов равен сумме индексов сомножителей.
Пусть T ? N (X, Y ) и S ? N (Y, Z). В силу 8.5.16, ST ?
N (X, Z). Привлекая лемму о снежинке 2.3.16, имеем точную по-
следовательность конечномерных пространств

0 > ker T > ker ST > ker S > coker T > coker ST > coker S > 0.

На основании 8.5.17

?(T ) ? ?(ST ) + ?(S) ? ?(T ) + ?(ST ) ? ?(S) = 0,

откуда ind (ST ) = ind S + ind T .
8.5.19. Следствие. Пусть T — н?теров и S — почти обратный
е
к T . Тогда ind T = ? ind S.
ind (ST ) = ind (1 + K) для некоторого компактного оператора
K. По теореме 8.5.8, 1 + K — фредгольмов оператор.
8.5. Н?теровы и фредгольмовы операторы
е 185

8.5.20. Теорема о компактных возмущениях. Н?теровость
е
и индекс сохраняются при компактных возмущениях: если даны T ?
N (X, Y ) и K ? K (X, Y ), то T + K ? N (X, Y ) и ind (T + K) =
ind T .
Пусть S — почти обратный к T , т. е. для KX ? K (X) и
KY ? K (Y ) выполнено

ST = 1 + KX ; T S = 1 + KY

(существование S обеспечивает 8.5.14). Ясно, что

S(T + K) = ST + SK = 1 + KX + SK ? 1 + K (X);

(T + K)S = T S + KS = 1 + KY + KS ? 1 + K (Y ),
т. е. S — почти обратный к T + K. В силу 8.5.14, T + K ? N (X, Y ).
При этом из 8.5.19 следуют равенства ind (T +K) = ? ind S и ind T =
? ind S.
8.5.21. Теорема об ограниченных возмущениях. Н?теро- е
вость и индекс сохраняются при достаточно малых ограниченных
возмущениях: множество N (X, Y ) открыто в пространстве огра-
ниченных операторов, причем индекс ind : N (X, Y ) > Z — непре-
рывная функция.
Пусть T ? N (X, Y ). По 8.5.14 найдутся операторы S ?
B(Y, X), KX ? K (X) и KY ? K (Y ) такие, что

ST = 1 + KX ; T S = 1 + KY .

Если S = 0, то пространства X и Y конечномерны по критерию
Рисса 8.4.2, т. е. доказывать нечего — достаточно сослаться на 8.5.7
(2). Если же S = 0, то при всех V ? B(X, Y ), для которых V <
1/ S , из неравенства 5.6.1 вытекает: SV < 1 и V S < 1. Значит,
в силу 5.6.10 операторы 1 + SV и 1 + V S обратимы в B(X) и в B(Y )
соответственно.
Имеем

(1 + SV )?1 S(T + V ) = (1 + SV )?1 (1 + KX + SV ) =

= 1 + (1 + SV )?1 KX ? 1 + K (X),
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
186

т. е. (1 + SV )?1 S — левый регуляризатор T + V . Аналогично про-
веряется, что S(1 + V S)?1 — правый регуляризатор T + V . В самом
деле,

(T + V )S(1 + V S)?1 = (1 + KY + V S)(1 + V S)?1 =

= 1 + KY (1 + V S)?1 ? 1 + K (Y ).
По 8.5.12, T + V почти обратим. На основании 8.5.14, T + V ?
N (X, Y ). Этим доказана открытость N (X, Y ). Учитывая, что ре-
гуляризаторы н?терова оператора почти обратны к нему (ср. 8.5.12),
е
из 8.5.19 и 8.5.18 получаем

ind (T + V ) = ? ind ((1 + SV )?1 S) =

= ? ind (1 + SV )?1 ? ind S = ? ind S = ind T
(ибо (1 + SV )?1 фредгольмов по 8.5.7 (1)). Последнее и означает
непрерывность индекса.
8.5.22. Критерий Никольского. Оператор фредгольмов в том
и только в том случае, если он представляет собой сумму обратимого
и компактного операторов.
?: Пусть T ? N (X, Y ) и ind T = 0. Рассмотрим разло-
жения в прямые суммы банаховых пространств X = X1 ? ker T и
Y = im T ? Y1 . Несомненно, что оператор T1 — след оператора T на
X1 — осуществляет изоморфизм X1 и im T . Помимо этого, в силу
8.5.5, dim Y1 = ?(T ) = ?(T ), т. е. существует естественный изо-
морфизм Id : ker T > Y1 . Таким образом, T допускает матричное
представление

T1 T1
0 0 0 0
T? .
= +
0 ? Id
0 0 0 Id

?: Если T := S + K, где K ? K (X, Y ) и S ?1 ? B(Y, X), то, по
8.5.20 и 8.5.7 (1), ind T = ind (S + K) = ind S = 0.
8.5.23. Замечание. Пусть Inv(X, Y ) — множество обратимых
операторов из X в Y (это множество открыто по теореме Банаха
об обратимых операторах 5.6.12). Обозначим F (X, Y ) множество
Упражнения 187

всех фредгольмовых операторов, действующих из X в Y . Критерий
Никольского теперь можно переписать в следующей форме:

F (X, Y ) = Inv(X, Y ) + K (X, Y ).

Как видно из доказательства 8.5.22, можно утверждать также, что

F (X, Y ) = Inv(X, Y ) + F (X, Y ),

где, как обычно, F (X, Y ) — подпространство конечномерных опе-
раторов в пространстве B(X, Y ).

Упражнения
8.1. Изучить интеграл Рисса — Данфорда в конечномерном пространстве.

8.2. Описать ядро интеграла Рисса — Данфорда.

8.3. Пусть (fn ) — функции, голоморфные в окрестности U спектра опера-
тора T . Доказать, что из равномерной сходимости (fn ) к нулю на U вытекает
сходимость (fn (T )) к нулю в операторной норме.

8.4. Пусть ? — изолированная часть спектра оператора T . Допустим, что
часть ? := Sp(T ) \ ? отделяется от ? окружностью с центром в a и радиусом r
таким образом, что ? ? {z ? C : |z ? a| < r}. Доказать, что для проектора Рисса
P? выполнено
P? = lim (1 ? z ?n (T ? a)n )?1 ;
n

1
x ? im(P? ) ? lim sup (a ? T )n x < r.
n
n

8.5. Выяснить, при каких условиях компактен проектор.

8.6. Доказать, что каждое замкнутое подпространство, содержащееся в об-
ласти значения компактного оператора в банаховом пространстве, конечномер-
но.

8.7. Доказать, что линейный оператор переводит каждое замкнутое линей-
ное подпространство в замкнутое множество в том и только в том случае, если
этот оператор нормально разрешим и его ядро конечномерно или коконечномер-
но (имеет конечномерное алгебраическое дополнение).

8.8. Пусть 1 ? p < r < +?. Доказать, что каждый ограниченный опера-
тор из lr в lp и из c0 в lp является компактным.
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
188

8.9. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Для оператора
T из B(H) и гильбертова базиса (en ) норму Гильберта — Шмидта определяют
соотношением
1/2
?
2
T T en .
2 :=
n=1
(Проверить корректность!) Операторы с конечной нормой Гильберта — Шмидта
называют операторами Гильберта — Шмидта. Установить, что оператор T
является оператором Гильберта — Шмидта в том и только в том случае, если он
?
?2 < +?, где (?n ) — собственные числа оператора
компактен и при этом n=1 n
(T ? T )1/2 .
8.10. Пусть T — некоторый эндоморфизм. Тогда
im(T 0 ) ? im(T 1 ) ? im(T 2 ) ? . . . .
Если существует номер n такой, что im(T n ) = im(T n+1 ), то говорят, что T имеет
конечный спуск. Наименьший номер n начала стабилизации называют спуском
T и обозначают d(T ). Аналогично для ядер
ker(T 0 ) ? ker(T 1 ) ? ker(T 2 ) ? . . .
вводят понятие подъема и обозначение a(T ). Установить, что у оператора T с
конечными спуском и подъемом величины a(T ) и d(T ) совпадают.
8.11. Оператор T называют оператором Рисса — Шаудера, если T н?теров
е
и имеет конечные спуск и подъем. Доказать, что оператор T является операто-
ром Рисса — Шаудера в том и только в том случае, если его можно представить в
виде T = U + V , где U обратим, V конечномерен (или компактен) и коммутирует
с U.
8.12. Пусть T — ограниченный эндоморфизм банахова пространства X с
конечными спуском и подъемом r := a(T ) = d(T ). Доказать, что подпростран-
ства im(T r ) и ker(T r ) замкнуты, разложение
X = ker(T r ) ? im(T r )
приводит T и след оператора T на im(T r ) обратим.
8.13. Пусть T — нормально разрешимый оператор. Если конечна одна из
величин
?(T ) := dim ker T, ?(T ) := dim coker T,
то T называют полуфредгольмовым (реже полун?теровым). Положим
е
{T ? B(X) : im T ? Cl(X), ?(T ) < +?};
+ (X) :=

{T ? B(X) : im T ? Cl(X), ?(T ) < +?}.
? (X) :=
Доказать, что
T? ?T ?
+ (X) ? (X );
T? ?T ?
? (X) + (X ).
8.14. Пусть T — ограниченный эндоморфизм. Доказать, что T входит в
(X) в том и только в том случае, если для любого ограниченного, но не вполне
+
ограниченного множества U его образ T (U ) не будет вполне ограниченным мно-
жеством в X.
Упражнения 189

8.15. Ограниченный эндоморфизм T банахова пространства называют опе-
ратором Рисса, если для каждого комплексного ненулевого ? оператор (? ? T )
н?теров. Доказать, что T является оператором Рисса в том и только в том слу-
е
чае, если для любого ? ? C, ? = 0 выполнено:
(а) оператор (? ? T ) имеет конечные спуск и подъем;
(б) ядро (? ? T )k конечномерно для каждого k ? N;
(в) образ (? ? T )k имеет конечный дефект при k ? N,
и, кроме того, ненулевые точки спектра T являются собственными числами,
а нуль служит единственно возможной точкой накопления спектра T (= вне
каждого круга с центром в нуле лежит конечное число точек спектра).
Y ? и X /Y ?
8.16. Установить изометрические изоморфизмы: (X/Y )
Y для таких банаховых пространств X и Y , что Y вложено в X.
8.17. Доказать, что для нормального оператора T в гильбертовом про-
странстве и голоморфной функции f ? H(Sp(T )) оператор f (T ) нормален.
8.18. Убедиться, что непрерывный эндоморфизм гильбертова простран-
ства является оператором Рисса в том и только в том случае, если он пред-
ставляет собой сумму компактного и квазинильпотентного операторов (квази-
нильпотентность означает тривиальность спектрального радиуса).
8.19. Пусть A, B — два н?терова оператора в B(X, Y ). Если ind A = ind B,
е
то имеется жорданова дуга, соединяющая A и B в пространстве B(X, Y ).
Глава 9
Экскурс в общую топологию


9.1. Предтопологии и топологии
9.1.1. Определение. Пусть X — некоторое множество. Отоб-
ражение ? : X > P(P(X)) называют предтопологией на X, если
(1) x ? X ? ? (x) — фильтр в X;
(2) x ? X ? ? (x) ? ?l{x}.
Элементы ? (x) называют (пред )окрестностями x. Пару (X, ? )
(а часто и множество X) называют предтопологическим простран-
ством.
9.1.2. Определение. Пусть T (X) — совокупность всех пред-
топологий на X. Если ?1 , ?2 ? T (X), то говорят, что ?1 сильнее ?2
(и пишут ?1 ? ?2 ) при выполнении условия: x ? X ? ?1 (x) ? ?2 (x).
9.1.3. Множество T (X) с отношением «сильнее» представляет
собой полную решетку.
Если X = ?, то T (X) = {?} и доказывать ничего не надо.
Если же X = ?, то следует сослаться на 1.3.13.
9.1.4. Определение. Множество G в X называют открытым,
если оно является (пред)окрестностью каждой своей точки (симво-
лически: G ? Op(? ) ? (? x ? G)(G ? ? (x))). Множество F в X
называют замкнутым, если его дополнение открыто (символически:
F ? Cl(? ) ? X \ F ? Op(? )).
9.1.5. Объединение любого семейства и пересечение конечного
семейства открытых множеств суть множества открытые. Пересече-
9.1. Предтопологии и топологии 191

ние любого семейства и объединение конечного семейства замкнутых
множеств суть множества замкнутые.
9.1.6. Пусть (X, ? ) — предтопологическое пространство. Если
x ? X, то положим

U ? t(? )(x) ? (? V ? Op(? )) x ? V & U ? V.

Отображение t(? ) : x > t(? )(x) — предтопология на X.
9.1.7. Определение. Предтопологию ? на X называют топо-
логией, если ? = t(? ). Пару (X, ? ) (а часто и множество X) в этом
случае называют топологическим пространством. Множество всех
топологий на X обозначают символом T(X).
9.1.8. Примеры.
(1) Метрическая топология.
(2) Топология мультинормированного пространства.
(3) Пусть ?? := inf T (X). Ясно, что ?? (x) = {X} для
x ? X. Значит, Op(?? ) = {?, X} и, следовательно, ?? = t(?? ),
т. е. ?? — топология. Эту топологию называют тривиальной или
антидискретной.
(4) Пусть ? ? := sup T (X). Ясно, что ? ? (x) = ?l {x} для
x ? X. Значит, Op(? ? ) = 2X и, следовательно, ? ? = t(? ? ), т. е. ? ? —
топология. Эту топологию называют дискретной.
(5) Пусть Op — совокупность подмножеств в X, выдер-
живающая образование объединения любого и пересечения конечно-
го семейств. Тогда существует, и притом единственная, топология ?
на X такая, что Op(? ) = Op.
Положим ? (x) := ?l {V ? Op : x ? V } для x ? X (в случае
X = ? доказывать нечего). Отметим, что ? (x) = ? в силу того, что
пересечение пустого семейства совпадает с X (ср.: inf ? = +?). Из
построения выводим, что t(? ) = ? и при этом Op ? Op(? ). Если же
G ? Op(? ), то G = ?{V : V ? Op, V ? G} и, стало быть, G ? Op по
условию. Утверждение об единственности не вызывает сомнений.
9.1.9. Пусть отображение t : T (X) > T (X) определено прави-
лом t : ? > t(? ). Тогда
(1) im t = T(X), т. е. ? ? T (X) ? t(? ) ? T(X);
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
192

(2) ?1 ? ?2 ? t(?1 ) ? t(?2 ) (?1 , ?2 ? T (X));
(3) t ? t = t;
(4) ? ? T (X) ? t(? ) ? ? ;
(5) Op(? ) = Op(t(? )) (? ? T (X)).
Включение Op(? ) ? Op(t(? )) справедливо потому, что быть
открытым множеством относительно ? легче. Обратное включение
Op(? ) ? Op(t(? )) следует из определения t(? ). Равенство Op(? ) =
Op(t(? )) делает все очевидным.
9.1.10. Предтопология ? является топологией в X в том и толь-
ко в том случае, если для x ? X выполнено
(? U ? ? (x))(? V ? ? (x) & V ? U ) (? y)(y ? V ? V ? ? (y)).
Вытекает из 9.1.9 (5).
9.1.11. Пусть ?1 , ?2 ? T(X). Следующие утверждения эквива-
лентны:
(1) ?1 ? ?2 ;
(2) Op(?1 ) ? Op(?2 );
(3) Cl(?1 ) ? Cl(?2 ).
9.1.12. Замечание. Как видно из 9.1.8 (5) и 9.1.11, тополо-
гия пространства однозначно определена совокупностью всех своих
открытых множеств. Поэтому множество Op(? ) также называют
топологией пространства X. В частности, совокупность открытых
множеств предтопологического пространства (X, ? ) определяет в X
структуру топологического пространства (X, t(? )) с тем же запасом
открытых множеств. В этой связи топологию t(? ) обычно называют
топологией, ассоциированной с предтопологией ? .
9.1.13. Теорема. Множество T(X) топологий на X с отноше-
нием «сильнее» представляет собой полную решетку. При этом для
любого множества E в T(X) выполнено
supT(X) E = supT (X) E .
Имеем
t(supT (X) E ) ? supT (X) t(E ) ? supT (X) E ? t(supT (X) E ).
Таким образом, ? := supT (X) E входит в T(X). Ясно, что ? ? E .
Помимо этого, если ?0 ? E и ?0 ? T(X), то ?0 ? ? и, стало быть,
? = supT(X) E . Осталось сослаться на 1.2.14.
9.2. Непрерывность 193

9.1.14. Замечание. Для точной нижней границы явная фор-
мула сложнее:
inf T(X) E = t(inf T (X) E ).
В то же время, если в соответствии с 9.1.12 топологии заданы ука-
занием систем открытых множеств, то ситуация упрощается:

U ? Op(inf T(X) E ) ? (? ? ? E ) U ? Op(? ).

Иными словами,

Op(inf T(X) E ) = Op(? ).
? ?E

В этой связи часто говорят и о пересечении топологий (а не только
об их точной нижней границе).

9.2. Непрерывность
9.2.1. Замечание. Наличие топологии в пространстве, очевид-
но, позволяет говорить о таких вещах, как внутренность и замыка-
ние множеств, сходимость фильтров и обобщенных последовательно-
стей и т. п. Этим обстоятельством мы уже пользовались при знаком-
стве с мультинормированными пространствами. Отметим полноты
ради, что в топологическом пространстве справедливы следующие
аналоги 4.1.19 и 4.2.1.
9.2.2. Теорема Биркгофа. Для непустого множества и точки
топологического пространства эквивалентны утверждения:
(1) данная точка есть точка прикосновения множества;
(2) существует некоторый фильтр, содержащий множе-
ство и сходящийся к данной точке;
(3) существует обобщенная последовательность элемен-
тов множества, сходящаяся к данной точке.
9.2.3. Для отображения f одного топологического простран-
ства в другое эквивалентны утверждения:
(1) прообраз открытого множества открыт;
(2) прообраз замкнутого множества замкнут;
(3) образ фильтра окрестностей произвольной точки x
тоньше чем фильтр окрестностей точки f (x);
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
194

(4) для произвольной точки x каждый фильтр, сходя-
щийся к x, отображение f переводит в фильтр, схо-
дящийся к f (x);
(5) обобщенные последовательности, сходящиеся к про-
извольной точке x, отображение f переводит в обоб-
щенные последовательности, сходящиеся к f (x).
9.2.4. Определение. Отображение, действующее из одного то-
пологического пространства в другое, удовлетворяющее одному (а
значит, и любому) из эквивалентных условий 9.2.3 (1)–9.2.3 (5), на-
зывают непрерывным.
9.2.5. Замечание. Если f : (X, ?X ) > (Y, ?Y ) и 9.2.3 (5) вы-
полнено для фиксированной точки x ? X, то иногда говорят, что
f непрерывно в точке x (ср. 4.2.2). Нужно видеть, что отличие
понятия непрерывности в точке от общего понятия непрерывности
условно. Именно, если положить ?x (x) := ?X (x) и ?x (x) := ?l {x} для
x ? X, x = x, то непрерывность f в точке x (относительно топологии
?X в X) равносильна непрерывности f : (X, ?x ) > (Y, ?Y ) (в каждой
точке пространства X с топологией ?x ).
9.2.6. Пусть ?1 , ?2 ? T(X). Тогда ?1 ? ?2 в том и только в том
случае, если IX : (X, ?1 ) > (X, ?2 ) непрерывно.
9.2.7. Пусть f : (X, ? ) > (Y, ?) — непрерывное отображение
и ?1 ? T(X) и ?1 ? T(Y ) таковы, что ?1 ? ? и ? ? ?1 . Тогда
f : (X, ?1 ) > (Y, ?1 ) непрерывно.
Имеем коммутативную диаграмму
f
?>
(X, ? ) (Y, ?)
IX ^ v IY
f
?>
(X, ?1 ) (Y, ?1 )
Осталось отметить, что суперпозиция непрерывных отображений не-
прерывна.
9.2.8. Теорема о прообразе топологии. Пусть f : X > (Y, ?).
Положим

T0 := {? ? T(X) : f : (X, ? ) > (Y, ?) непрерывно}.

Тогда топология f ?1 (?) := inf T0 входит в T0 .
9.2. Непрерывность 195

Из 9.2.3 (1) вытекает

? ? T0 ? (x ? X ? f ?1 (?(f (x))) ? ? (x)).

Пусть ? (x) := f ?1 (?(f (x))). Несомненно, что t(? ) = ? . Помимо
этого, f (? (x)) = f (f ?1 (?(f (x)))) ? ?(f (x)), т. е. ? ? T0 по 9.2.3 (3).
Таким образом, выполнено: f ?1 (?) = ? .
9.2.9. Определение. Топологию f ?1 (?) называют прообразом
топологии ? при отображении f .
9.2.10. Замечание. Теорему 9.2.8 часто выражают словами:
«прообраз топологии при данном отображении — это слабейшая то-
пология в области определения, в которой отображение непрерыв-
но». При этом, как видно, например, из 9.1.14, открытые множе-
ства в прообразе топологии — это прообразы открытых множеств.
В частности, (x? > x в f ?1 (?)) ? (f (x? ) > f (x) в ?); аналогично
(F > x в f ?1 (?)) ? (f (F ) > f (x) в ?) для фильтра F .
9.2.11. Теорема об образе топологии. Пусть f : (X, ? ) > Y .
Положим 0 := {? ? T(Y ) : f : (X, ? ) > (Y, ?) непрерывно}. Тогда
топология f (? ) := sup 0 входит в 0 .
В силу 9.1.13 для y ? Y выполнено

= sup{?(y) : ? ? 0 }.
f (? )(y) = (supT(Y ) 0 )(y) = (supT (Y ) 0 )(y)

На основании 9.2.3 (3)

?? ? (x ? X ? f (? (x)) ? ?(f (x))).
0

Сопоставляя приведенные формулы, видим, что f (? ) ? 0.

9.2.12. Определение. Топологию f (? ) называют образом то-
пологии ? при отображении f .
9.2.13. Замечание. Теорему 9.2.11 часто выражают словами:
«образ топологии при данном отображении — это сильнейшая топо-
логия в области прибытия, в которой отображение непрерывно».
9.2.14. Теорема. Пусть (f? : X > (Y? , ?? ))?? — семейство
?1
отображений. Пусть, далее, ? := sup?? f? (?? ). Тогда ? — сла-
бейшая (= наименьшая) топология в X, в которой непрерывны все
отображения f? (? ? ).
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
196

Привлекая 9.2.8, имеем
?1
(f? : (X, ? ) > (Y? , ?? ) непрерывно) ? ? ? f? (?? ).
9.2.15. Теорема. Пусть (f? : (X? , ?? ) > Y )?? — семейство
отображений. Пусть, далее, ? := inf ?? f? (?? ). Тогда ? — силь-
нейшая (= наибольшая) топология в Y , в которой непрерывны все
отображения f? (? ? ).
Апеллируя к 9.2.11, заключаем:
(f? : (X? , ?? ) > (Y, ?) непрерывно) ? ? ? f? (?? ).
9.2.16. Замечание. Утверждения 9.2.14 и 9.2.15 часто назы-
вают теоремами о задании топологии требованием непрерывности
семейства отображений.
9.2.17. Примеры.
(1) Пусть (X, ? ) — топологическое пространство и X0
— подмножество в X. Обозначим ? : X0 > X вложение X0 в X.
Пусть ?0 := ??1 (? ). Топологию ?0 называют индуцированной (? в X0 ),
а пространство (X0 , ?0 ) — подпространством (X, ? ).
(2) Пусть (X? , ?? )?? — это семейство топологических
пространств. Пусть, далее, X := ?? X? — произведение семейства
множеств (X? )?? . Положим ? := sup?? Pr?1 (?? ), где Pr? : X >
?
X? — координатный проектор, Pr? x = x? (? ? ). Топологию ?
называют топологией произведения, или произведением топологий
(?? )?? , или тихоновской топологией. Пространство (X, ? ) называ-
ют тихоновским произведением рассматриваемых топологических
пространств. В частности, если X? := [0, 1] для всех ? ? , то
X := [0, 1] (с тихоновской топологией) называют тихоновским ку-
бом. При := N говорят о гильбертовом кирпиче.

9.3. Типы топологических пространств
9.3.1. Для топологического пространства эквивалентны следу-
ющие утверждения:
(1) одноточечные множества замкнуты;
(2) пересечение всех окрестностей каждой точки прост-
ранства состоит только из этой точки;
(3) у каждой из любых двух точек пространства есть
окрестность, не содержащая другой точки.
9.3. Типы топологических пространств 197

Для доказательства достаточно заметить, что

y ? cl{x} ? (? V ? ? (y)) x ? V ? x ? ?{V : V ? ? (y)},

где x, y — точки топологического пространства (X, ? ).
9.3.2. Определение. Топологическое пространство, удовлетво-
ряющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных условий 9.3.1
(1)–9.3.1 (3), называют отделимым или T1 -пространством. Тополо-
гию T1 -пространства называют отделимой (реже — T1 -топологией,
еще реже — достижимой топологией).
9.3.3. Замечание. Часто образно говорят: «T1 -пространство
— это пространство с замкнутыми точками».
9.3.4. Для топологического пространства эквивалентны следу-
ющие утверждения:
(1) каждый фильтр имеет не более одного предела;
(2) пересечение всех замкнутых окрестностей произволь-
ной точки пространства состоит только из этой точ-
ки;
(3) у любых двух точек пространства имеются непересе-
кающиеся окрестности.
(1) ? (2): Если y ? ?U ?? (x) cl U , то для всякого V ? ? (y) будет,
что U ? V = ?, как только U ? ? (x). Таким образом, есть точная
верхняя граница F := ? (x) ? ? (y). Несомненно, F > x и F > y. По
условию имеем x = y.
(2) ? (3): Пусть x, y ? X, x = y (если таких точек нет, то
либо X = ?, либо X состоит из одной точки и доказывать ничего не
надо). Найдется окрестность U ? ? (x) такая, что U = cl U и y = U .
Значит, дополнение V множества U до X открыто. Помимо этого,
U ? V = ?.
(3) ? (1): Пусть F — фильтр в X. Если F > x и F > y,
то F ? ? (x) и F ? ? (y). Стало быть, для U ? ? (x) и V ? ? (y)
выполнено U ? V = ?. Последнее означает, что x = y.
9.3.5. Определение. Топологическое пространство, удовлетво-
ряющее одному (а потому и любому) из эквивалентных условий 9.3.4
(1)–9.3.4 (3), называют хаусдорфовым или T2 -пространством. Есте-
ственный смысл вкладывают в термин «хаусдорфова топология».
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
198

9.3.6. Замечание. Часто образно говорят: «T2 -пространство
— это пространство, в котором предел единствен».
9.3.7. Определение. Пусть U , V — множества в топологиче-
ском пространстве. Говорят, что V — окрестность U , если int V ?
U.
9.3.8. Для топологического пространства эквивалентны следу-
ющие утверждения:
(1) пересечение всех замкнутых окрестностей произволь-
ного замкнутого множества состоит только из эле-
ментов этого множества;
(2) фильтр окрестностей произвольной точки имеет ба-
зис, состоящий из замкнутых множеств;
(3) у любой точки и у любого замкнутого множества, не
содержащего этой точки, имеются непересекающиеся
окрестности.
(1) ? (2): Если x ? X и U ? ? (x), то V := X \ int U замкнуто
и x ? V . По условию найдется множество F ? Cl(? ), для которого
/
x ? F и int F ? V . Положим G := X \ F . Ясно, что G ? ? (x). При
/
этом G ? X \ int F = cl(X \ int F ) ? X \ V ? int U ? U . Следователь-
но, cl G ? U .
(2) ? (3): Если x ? X и F ? Cl(? ), причем x ? F , то X \F ? ? (x).
/
Стало быть, имеется окрестность U = cl U ? ? (x), содержащаяся
в X \ F . Таким образом, X \ U — окрестность F , не пересекающаяся
с U.
(3) ? (1): Если F ? Cl(? ) и int G ? F ? y ? cl G, то для каждого
U ? ? (y) и всякой окрестности G множества F выполнено U ?G = ?.
Последнее означает, что y ? F .
9.3.9. Определение. Топологическое пространство, удовлетво-
ряющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных условий
9.3.8 (1)–9.3.8 (3), называют T3 -пространством. Отделимое T3 -про-
странство называют регулярным.
9.3.10. Малая лемма Урысона. Для топологического про-
странства эквивалентны утверждения:
(1) фильтр окрестностей каждого непустого замкнуто-
го множества имеет базис, состоящий из замкнутых
множеств;
9.3. Типы топологических пространств 199

(2) у произвольных двух непересекающихся замкнутых
множеств есть непересекающиеся окрестности.
(1) ? (2): Пусть F1 , F2 — замкнутые множества простран-
ства X, причем F1 ? F2 = ?. Пусть G := X \ F1 . Очевидно, G откры-
то и G ? F2 . Если F2 = ?, то доказывать ничего не надо. Значит,
можно считать, что F2 = ?. Тогда найдется замкнутое множество
V2 такое, что G ? V2 ? int V2 ? F2 . Положим V1 := X \ V2 . Ясно, что
V1 открыто, V1 ? V2 = ?. При этом V1 ? X \ G = X \ (X \ F1 ) = F1 .
(2) ? (1): Пусть F = cl F , G = int G и G ? F . Положим F1 := X \
G. Тогда F1 = cl F1 и, стало быть, имеются открытые множества U
и U1 , для которых U ? U1 = ?, причем F ? U и F1 ? U1 . Наконец,
cl U ? X \ U1 ? X \ F1 = G.
9.3.11. Определение. Топологическое пространство, удовле-
творяющее одному (а тогда и другому) из эквивалентных условий
9.3.10 (1), 9.3.10 (2), называют T4 -пространством. Отделимое T4 -
пространство называют нормальным.
9.3.12. Лемма о непрерывности функции, заданной ле-
беговыми множествами. Пусть множество T плотно в R и t > Ut
(t ? T ) — семейство подмножеств топологического пространства X.
Существует, и притом единственная, непрерывная функция f : X >
R такая, что
{f < t} ? Ut ? {f ? t} (t ? T )
в том и только в том случае, если
t, s ? T, t < s ? cl Ut ? int Us .
?: При t < s ввиду замкнутости {f ? t} и открытости {f < s}
справедливы включения
cl Ut ? {f ? t} ? {f < s} ? int Us .
?: Так как Ut ? cl Ut ? int Us ? Us при t < s, то семейство
t > Ut (t ? T ) возрастает. Поэтому существование f следует из 3.8.2
(а единственность — из 3.8.4). Рассмотрим семейства t > Vt := cl Ut и
t > Wt := int Ut . Эти семейства возрастают. Значит, вновь применяя
3.8.2, найдем функции g, h : X > R такие, что для всех t ? T
выполнено
{g < t} ? Vt ? {g ? t}, {h < t} ? Wt ? {h ? t}.
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
200

Если t, s ? T, t < s, то ввиду 3.8.3

Wt = int Ut ? Ut ? Us ? f ? h;
Vt = cl Ut ? int Us = Ws ? h ? g;
Ut ? Us ? cl Us = Vs ? g ? f.

Окончательно f = g = h. Учитывая 3.8.4 и 9.1.5, для t ? R имеем

{f < t} = {h < t} = ?{Ws : s < t, s ? T } ? Op(?X );
{f ? t} = {g ? t} = ?{Vs : t < s, s ? T } ? Cl(?X ).

Указанные вхождения очевидно обеспечивают непрерывность f .
9.3.13. Большая лемма Урысона. Пусть X — некоторое
T4 -пространство. Пусть, далее, F — замкнутое множество в X и
G — его окрестность. Тогда существует непрерывная функция f :
X > [0, 1] такая, что f (x) = 0 при x ? F и f (x) = 1 при x ? G.
/
Положим Ut := ? при t < 0 и Ut := X при t > 1. Следует
определить Ut для точек из множества T «двоично-рациональных
точек отрезка [0, 1]», т. е. T := ?n?N Tn , где Tn := {k2?n+1 : k :=
0, 1, . . . , 2n?1 }, так, чтобы для семейства t > Ut (t ? T := T ? (R \
[0, 1])) были выполнены условия 9.3.12. Соответствующее построе-
ние проведем по индукции.
Если t ? T1 , т. е. t ? {0, 1}, то полагаем U0 := F , U1 := G.
Допустим теперь, что для t ? Tn при n ? 1 множество Ut построено,
причем cl Ut ? int Us , как только t, s ? Tn и t < s. Возьмем t ? Tn+1
и найдем ближайшие к t точки в Tn , т. е.

tl := sup{s ? Tn : s ? t};
tr := inf{s ? Tn : t ? s}.

Если t = tl или t = tr , то Ut уже есть. Если же t = tl и t = tr , то
tl < t < tr и по предположению cl Utl ? int Utr . В силу 9.3.11 имеется
замкнутое множество Ut такое, что

cl Utl ? int Ut ? Ut = cl Ut ? int Utr .

Осталось показать, что возникающее семейство удовлетворяет тре-
буемым условиям.
9.4. Компактность 201

Итак, пусть t, s ? Tn+1 , причем t < s. Если tr = sl , то при s > sl
по построению
cl Ut ? cl Utr = cl Usl ? int Us .
Аналогично при t < tr = sl выполнено

cl Ut ? int Utr = inf Usl ? int Us .

Если же tr < sl , то, учитывая сделанное допущение, выводим

cl Ut ? cl Utr ? int Usl ? int Us ,

что и нужно.
9.3.14. Теорема Урысона. Топологическое пространство X
является T4 -пространством в том и только в том случае, если каковы
бы ни были непересекающиеся замкнутые множества F1 , F2 в X,
найдется непрерывная функция f : X > [0, 1] такая, что f (x) = 0
для x ? F1 и f (x) = 1 для x ? F2 .
?: Следует применить 9.3.13 при F := F1 и G := X \ F2 .
?: Если F1 ?F2 = ? и F1 , F2 замкнуты, то множества G1 := {f <
1/2} и G2 := {f > 1/2} для соответствующей функции f открыты и
не пересекаются; G1 ? F1 , G2 ? F2 .
9.3.15. Определение. Топологическое пространство X назы-
вают T3 1 -пространством, если для произвольной точки x ? X и
2
замкнутого множества F , не содержащего x, имеется непрерывная
функция f : X > [0, 1] такая, что f (x) = 1 и y ? F ? f (y) = 0.
Отделимое T3 1 -пространство называют тихоновским или вполне ре-
2
гулярным.
9.3.16. Нормальное пространство является тихоновским.
Следствие 9.3.1 и 9.3.14.

9.4. Компактность
9.4.1. Пусть B — базис фильтра в топологическом простран-
стве и cl B := ?{cl B : B ? B} — множество его точек прикоснове-
ния. Тогда
(1) cl B = cl ?l B;
(2) B > x ? x ? cl B;
(3) (B — ультрафильтр, x ? cl B) ? B > x.
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
202

Следует проверить только (3), так как справедливость (1)
и (2) ясна. Для U ? ? (x) и B ? B выполнено U ? B = ?. Иначе
говоря, есть фильтр F := ? (x)?B. Ясно, что F > x. Помимо этого,
F = B, ибо B — ультрафильтр.
9.4.2. Определение. Множество принято называть компакт-
ным, если из любого его открытого покрытия можно выделить ко-
нечное подпокрытие (ср. 4.4.1).
9.4.3. Теорема. Пусть X — топологическое пространство и C
— множество в X. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) множество C компактно;
(2) если базис фильтра B не имеет в C точек прикосно-
вения, то найдется B ? B, для которого B ? C = ?;
(3) каждый базис фильтра, содержащий C, имеет в C
точку прикосновения;
(4) каждый ультрафильтр, содержащий C, имеет в C
предел.
(1) ? (2): Раз cl B ? C = ?, то C ? X \ cl B. Итак,

C ? X \ ?{cl B : B ? B} = ?{X \ cl B : B ? B}.

Значит, можно выделить конечное множество B0 в B, для которого

C ? ?{X \ cl B0 : B0 ? B0 } = X \ ?{cl B0 : B0 ? B0 }.

Пусть B ? B таково, что B ? ?{B0 : B0 ? B0 } ? ?{cl B0 : B0 ?
B0 }. Тогда

C ? B ? C ? (?{cl B0 : B0 ? B0 }) = ?.

(2) ? (3): Если C = ?, то доказывать ничего не надо. Если же
C = ?, то для B ? B по условию B ? C = ?, ибо C ? B. Таким
образом, cl B ? C = ?.
(3) ? (4): Следует привлечь 9.4.1.
(4) ? (1): Можно считать, что C = ? (иначе нечего доказывать).
Допустим, что C некомпактно. Тогда найдется множество E
открытых множеств такое, что C ? ?{G : G ? E }, и в то же время
9.4. Компактность 203

<<

стр. 6
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>