<<

стр. 7
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>


для любого конечного подмножества E0 в E не верно, что C ? ?{G :
G ? E0 }. Положим

B := X \ G : E0 — конечное подмножество E .
G?E0

Ясно, что B — базис фильтра. Помимо этого,
cl B = ?{cl B : B ? B} = ?{X \ G : G ? E } =
= X \ ?{G : G ? E } ? X \ C.
Пусть теперь F — ультрафильтр, содержащий B (его существование
гарантировано 1.3.10). Так как по допущению каждое множество из
B содержит некоторые точки из C, можно обеспечить, что C ? F .
Тогда F > x для некоторого x ? C и, стало быть, по 9.4.1 (2),
cl F ?C = ?. В то же время cl F ? cl B. Получили противоречие.
9.4.4. Замечание. Эквивалентность (1) ? (4) в теореме 9.4.3
называют критерием Бурбаки и выражают при X = C словами:
«пространство компактно в том и только в том случае, если каждый
ультрафильтр в нем сходится» (ср. 4.4.7).
Ультрасетью называют сеть, фильтр хвостов которой является
ультрафильтром. Критерий Бурбаки можно высказать так: «ком-
пактность равносильна сходимости ультрасетей». На языке сетей
можно получить и иные полезные признаки компактности. Напри-
мер, «пространство компактно в том и только в том случае, если
любая сеть его имеет сходящуюся подсеть».
9.4.5. Теорема Вейерштрасса. Образ компактного множе-
ства при непрерывном отображении компактен (ср. 4.4.5).
9.4.6. Пусть X0 — подпространство топологического простран-
ства X и C — подмножество X0 . Тогда C компактно в X0 в том
и только в том случае, если C компактно в X.
?: Следует из 9.4.5 и 9.2.17 (1).
?: Пусть B — базис фильтра в X0 . Пусть, далее, V := clX0 B —
множество точек прикосновения B, найденное в X0 . Допустим, что
V ? C = ?. Так как B — это базис фильтра и в X, то имеет смысл
говорить о множестве точек прикосновения W := clX B, найденном
в X. Ясно, что V = W ? X0 и, значит, W ? C = ?. Из-за компакт-
ности C в X на основании 9.4.3 можно найти B ? B, для которого
B ? C = ?. Вновь привлекая 9.4.3, видим, что C компактно в X0 .
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
204

9.4.7. Замечание. Предложение 9.4.6 часто выражают слова-
ми: «компактность — это абсолютное понятие», т. е. свойство мно-
жества быть компактным зависит только от индуцированной в него
топологии, а не от объемлющего пространства. В этой связи обыч-
но ограничиваются рассмотрением компактных пространств, т. е.
множеств, «компактных в себе».
9.4.8. Теорема Тихонова. Тихоновское произведение компа-
ктных пространств компактно.
Пусть X := ?? X? — произведение рассматриваемого семей-
ства. Если хотя бы одно из X? пусто, то X = ? и доказывать нечего.
Пусть X = ? и F — ультрафильтр в X. По 1.3.12 при каждом ? ?
для координатного проектора Pr? : X > X? выполнено, что Pr? (F )
— ультрафильтр в X? . Значит, в силу 9.4.3 найдется x? ? X? , для
которого Pr? (F ) > x? . Пусть x : ? > x? . Понятно, что F > x
(ср. 9.2.10). Еще раз апеллируя к 9.4.3, выводим, что X компакт-
но.
9.4.9. Замкнутое подмножества компактного пространства ком-
пактно.
Пусть X компактно и C ? Cl(X). Пусть, далее, F — ультра-
фильтр в X и C ? F . По теореме 9.4.3 в X имеется предел: F > x.
По теореме Биркгофа 9.2.2, x ? cl C = C. Вновь привлекая 9.4.3,
заключаем, что C компактно.
9.4.10. Компактное подмножество хаусдорфова топологическо-
го пространства замкнуто.
Пусть C компактно в хаусдорфовом X. Если C = ?, то до-
казывать нечего. Пусть C = ? и x ? cl C. В силу 9.2.2 найдется
фильтр F0 такой, что C ? F0 и F0 > x. Пусть F — ультрафильтр,
содержащий F0 . Тогда F > x и C ? F . На основании 9.4.3 у F
есть предел в C. Но по 9.3.4 этот предел единствен. Значит, x ? C.
9.4.11. Пусть f : (X, ? ) > (Y, ?) — непрерывное взаимно од-
нозначное отображение, причем f (X) = Y . Если ? — компактная
топология, а ? — хаусдорфова топология, то f — гомеоморфизм.
Следует установить, что f ?1 непрерывно. Для этого необхо-
димо убедиться, что F ? Cl(? ) ? f (F ) ? Cl(?). Возьмем F ? Cl(? ).
Тогда F компактно в силу 9.4.9. Применяя последовательно 9.4.5
и 9.4.10, видим, что f (F ) замкнуто.
9.4. Компактность 205

9.4.12. Пусть ?1 и ?2 — две топологии на одном множестве X.
Если пространство (X, ?1 ) компактно, а (X, ?2 ) хаусдорфово и ?1 ?
?2 , то ?1 = ?2 .
9.4.13. Замечание. Утверждение 9.4.12 часто выражают сло-
вами «компактная топология минимальна».
9.4.14. Теорема. Хаусдорфово компактное пространство нор-
мально.
Пусть X — рассматриваемое пространство и B — какой-нибудь
базис фильтра в X. Пусть, далее, U — окрестность cl B. Ясно, что
X \ int U компактно (см. 9.4.9), причем cl B ? (X \ int U ) = ?. По тео-
реме 9.4.3 найдется B ? B такое, что B ?(X \int U ) = ?, т. е. B ? U .
Полагая, если нужно, B := {cl B : B ? B}, можно утверждать, что
cl B ? U .
Пусть для начала x ? X и B := ? (x). В силу 9.3.4, cl B =
{x} и, значит, фильтр ? (x) имеет базис, состоящий из замкнутых
множеств. Стало быть, X регулярно.
Пусть теперь F — непустое замкнутое множество в X. В каче-
стве B возьмем фильтр окрестностей F . По 9.3.8, cl B = F , и по уже
установленному B имеет базис, состоящий из замкнутых множеств.
В соответствии с 9.3.9, X — нормальное пространство.
9.4.15. Следствие. С точностью до гомеоморфизма хаусдор-
фовы компактные пространства суть замкнутые подмножества ти-
хоновских кубов.
То, что замкнутое подмножество тихоновского куба компакт-
но, следует из 9.4.8 и 9.4.9. Хаусдорфовость куба, а потому и его
подпространств бесспорна.
Пусть X — некоторое компактное хаусдорфово пространство.
Пусть еще Q — совокупность непрерывных функций из X в [0, 1].
Определим отображение : X > [0, 1]Q правилом (x)(f ) := f (x),
где x ? X и f ? Q. Из 9.4.14 и 9.3.14 выводим, что взаимно
однозначно отображает X на (X). Помимо этого, непрерывно.
Осталось применить 9.4.11.
9.4.16. Замечание. Следствие 9.4.15 представляет собой часть
более общего утверждения. Именно, тихоновские пространства суть
(с точностью до гомеоморфизма) подпространства тихоновских ку-
бов.
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
206

9.4.17. Замечание. Хаусдорфовы компактные пространства,
как правило, называют более коротко — компактами (ср. 4.5 и 4.6).
9.4.18. Лемма Дьедонне. Пусть F — это замкнутое подмно-
жество, а G1 , . . . , Gn — открытые подмножества нормального топо-
логического пространства, причем F ? G1 ? . . . ? Gn . Найдутся за-
мкнутые множества F1 , . . . , Fn такие, что F = F1 ? . . . ? Fn и Fk ? Gk
(k := 1, . . . , n).
Достаточно рассмотреть случай n := 2. При k := 1, 2 множе-
ство Uk := F \ Gk замкнуто и U1 ? U2 = ?. С учетом 9.3.10 имеются
открытые V1 и V2 , для которых U1 ? V1 , U2 ? V2 и V1 ?V2 = ?. Поло-
жим Fk := F \Vk . Ясно, что Fk замкнуто и Fk ? F \Uk = F \(F \Gk ) ?
Gk для k := 1, 2. При этом F1 ? F2 = F \ (V1 ? V2 ) = F .
9.4.19. Замечание. По 9.3.14 заключаем, что в условиях 9.4.18
для рассматриваемого пространства X найдутся непрерывные функ-
n
ции h1 , . . . , hn : X > [0, 1] такие, что hk |Gk = 0 и k=1 hk (x) = 1 для
точек x из некоторой окрестности F . (Как обычно, Gk := X \ Gk .)
9.4.20. Определение. Топологию, в которой каждая точка об-
ладает компактной окрестностью, называют локально компактной.
Локально компактным пространством называют множество, снаб-
женное локально компактной хаусдорфовой топологией.
9.4.21. Топологическое пространство локально компактно в том
и только в том случае, если оно гомеоморфно проколотому компакту
(= компакту с выколотой точкой), т. е. дополнению одноточечного
подмножества компакта.
?: С учетом теоремы Вейерштрасса 9.4.5 достаточно заме-
тить, что каждая точка проколотого компакта обладает замкнутой
(в силу регулярности компакта) окрестностью. Осталось привлечь
утверждения 9.4.9 и 9.4.6.
?: Поместим исходное пространство X в X · := X ? {?}, при-
соединив к X взятую со стороны точку ?. Базис окрестностей ?
составим из дополнений в X · компактных подмножеств в X. Окрест-
ностями точки из X в X · объявим надмножества ее окрестностей
в X. Если A — ультрафильтр в X · и K — компакт в X, то A сходит-
ся к точке из K, как только K ? A. Если же в A лежит дополнение
любого компакта K ? X, то A сходится к ?.
9.5. Равномерные и мультиметрические пространства 207

9.4.22. Замечание. Если локально компактное пространство
X не компактно, то пространство X · , фигурирующее в 9.4.20, назы-
вают одноточечной или александровской компактификацией X.

9.5. Равномерные и мультиметрические
пространства
9.5.1. Определение. Пусть X — непустое множество и UX —
фильтр в X 2 . Фильтр UX называют равномерностью в X, если
(1) UX ? ?l {IX };
(2) U ? UX ? U ?1 ? UX ;
(3) (? U ? UX )(? V ? UX ) V ? V ? U .
Равномерностью пустого множества X называют UX := {?}. Пару
(X, UX ) (а часто и множество X) называют равномерным простран-
ством.
9.5.2. Для равномерного пространства (X, UX ) положим

x ? X ? ? (x) := {U (x) : U ? UX }.

Отображение ? : x > ? (x) — топология на X.
То, что ? — это предтопология, ясно. Если W ? ? (x), то
W = U (x) для некоторого U ? UX . Выберем V ? UX так, чтобы
V ? V ? U . Если y ? V (x), то V (y) ? V (V (x)) = V ? V (x) ? U (x)
? W . Иными словами, множество W является окрестностью y для
всякого y ? V (x). Следовательно, множество V (x) лежит во внут-
ренности int W . Значит, int W — окрестность x. Осталось привлечь
9.1.6.
9.5.3. Определение. Топологию ? , фигурирующую в 9.5.2, на-
зывают топологией равномерного пространства (X, UX ) или равно-
мерной топологией и обозначают ? (UX ), ?X и т. п.
9.5.4. Определение. Топологическое пространство (X, ? ) на-
зывают равномеризуемым, если существует равномерность U в X
такая, что ? совпадает с равномерной топологией ? (U ).
9.5.5. Примеры.
(1) Метрические пространства (со своими топологиями)
равномеризуемы (своими равномерностями).
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
208

(2) Мультинормированные пространства (со своими то-
пологиями) равномеризуемы (своими равномерностями).
(3) Пусть f : X > (Y, UY ) и f ?1 (UY ) := f ??1 (UY ), где,
как обычно, f ? (x1 , x2 ) := (f (x1 ), f (x2 )) для (x1 , x2 ) ? X 2 . Ясно,
что f ?1 (UY ) — равномерность в X. При этом

? (f ?1 (UY )) = f ?1 (? (UY )).

Равномерность f ?1 (UY ) называют прообразом равномерности UY
при отображении f . Таким образом, прообраз равномерной топо-
логии равномеризуем.
(4) Пусть (X? , U? )?? — это некоторое семейство рав-
номерных пространств. Пусть, далее, X := ?? X? — произведе-
ние этого семейства. Положим UX := sup?? Pr?1 (U? ). Равномер-
?
ность UX называют тихоновской. Нет сомнений, что равномер-
ная топология ? (UX ) — это тихоновская топология произведения
(X? , ? (U? ))?? .
(5) Хаусдорфово компактное пространство равномеризу-
емо, и притом единственным образом.
В силу 9.4.15 такое пространство X можно рассматривать как
подпространство тихоновского куба. Из 9.5.5 (3) и 9.5.5 (4) следу-
ет равномеризуемость X. Поскольку, как видно, каждое окружение
диагонали в равномерном пространстве содержит замкнутое окру-
жение, то из компактности множества IX вытекает, что всякая его
окрестность входит в UX . С другой стороны, любое окружение все-
гда окрестность диагонали.
(6) Пусть X, Y — непустые множества, UY — равномер-
ность в Y и B — фильтрованное по возрастанию подмножество 2X .
Для B ? B и ? ? UY положим

UB,? := {(f, g) ? Y X ? Y X : g ? IB ? f ?1 ? ?}.

Тогда U := ?l {UB,? : B ? B, ? ? UY } — равномерность в Y X , име-
ющая неизящное (но точное) название: «равномерность равномер-
ной сходимости на множествах из B». Такова, например, равно-
мерность мультинормы Аренса (см. 8.3.8). В случае, если B есть
совокупность конечных подмножеств X, то U совпадает с тихонов-
ской равномерностью в Y X . Эту равномерность в данной ситуации
9.5. Равномерные и мультиметрические пространства 209

называют слабой, а соответствующую топологию — топологией по-
точечной сходимости (реже — простой сходимости). Если же B
состоит из единственного элемента — из {X}, то равномерность U
называют сильной, а соответствующую топологию ? (U ) в Y X — то-
пологией равномерной сходимости.
9.5.6. Замечание. Ясно, что в равномерных (и равномеризуе-
мых) пространствах имеют смысл такие понятия, как равномерная
непрерывность, малость данного порядка, полнота и т. п. В этих
пространствах, как видно, сохранены аналоги 4.2.4–4.2.9, 4.5.8, 4.5.9,
4.6.1–4.6.7. Полезными упражнениями являются осмысливание воз-
можности пополнения равномерного пространства, доказательство
критерия Хаусдорфа, анализ доказательства теоремы Асколи — Ар-
цела и т. п.
9.5.7. Определение. Пусть X — множество, R· := {x ? R· :
+
x ? 0}. Отображение d : X 2 > R+ называют полуметрикой или
отклонением на X, если
(1) d(x, x) = 0 (x ? X);
(2) d(x, y) = d(y, x) (x, y ? X);
(3) d(x, y) ? d(x, z) + d(z, y) (x, y, z ? X).
Пару (X, d) называют полуметрическим пространством.
9.5.8. Для полуметрического пространства (X, d) положим

Ud := ?l {{d ? ?} : ? > 0}.

Тогда Ud — равномерность.
9.5.9. Определение. Пусть M — (непустое) множество полу-
метрик на X. Тогда пару (X, M) называют мультиметрическим
пространством, а множество M — мультиметрикой. Равномер-
ность мультиметрического пространства определяют соотноше-
нием
UM := sup{Ud : d ? M}.
9.5.10. Определение. Равномерное пространство принято на-
зывать мультиметризуемым, если его равномерность совпадает с
равномерностью некоторого мультиметрического пространства. По
аналогии определяют и мультиметризуемые топологические прост-
ранства.
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
210

9.5.11. Пусть X, Y , Z — множества, T — плотное подмножество
R и (Ut )t?T , (Vt )t?T — возрастающие семейства множеств, лежащих
соответственно в X ? Z и в Z ? Y . Тогда существуют, и притом
единственные, функции

f : X ? Z > R, g : Z ? Y > R, h:X ?Y >R

такие, что

{f < t} ? Ut ? {f ? t}, {g < t} ? Vt ? {g ? t},
{h < t} ? Ut ? Vt ? {h ? t} (t ? T ).

При этом имеет место представление

h(x, y) = inf{f (x, z) ? g(z, y) : z ? Z}.

Существование требуемых функций обеспечено 3.8.2. Един-
ственность — 3.8.4. Представление функции h через f и g бесспор-
но.
9.5.12. Определение. Пусть f : X ? Z > R, g : Z ? Y > R.
Функцию h, заданную с помощью 9.5.11, называют ?-конволюцией
f и g и обозначают

g(x, y) := inf{f (x, z) ? g(z, y) : z ? Z}.
f ?


Аналогично определяют +-конволюцию f и g по правилу

g(x, y) := inf{f (x, z) + g(z, y) : z ? Z}.
f +

·
9.5.13. Определение. Отображение f : X 2 > R+ называют
K-ультраметрикой (K ? R, K ? 1), если
(1) f (x, x) = 0 (x ? X);
(2) f (x, y) = f (y, x) (x, y ? X);
(3) K f (x, u) ? f (x, y) ? f (y, z) ? f (z, u) (x, y, z, u ? X).
1


9.5.14. Замечание. Условие 9.5.13 (3) иногда называют (силь-
ным) ультраметрическим неравенством. Это неравенство можно
в силу 9.5.12 переписать в виде K ?1 f ? f ? f ? f .
9.5. Равномерные и мультиметрические пространства 211

9.5.15. Лемма о 2-ультраметрике. Для каждой 2-ультрамет-
рики f : X 2 > R· существует полуметрика d такая, что 1/2f ? d ?
+
f.
Пусть f1 := f ; fn+1 := fn + f (n ? N). Тогда

fn+1 (x, y) ? fn (x, y) + f (y, y) = fn (x, y) (x, y ? X).

Таким образом, (fn ) — убывающая последовательность. Положим

d(x, y) := lim fn (x, y) = inf fn (x, y).
n?N

Поскольку для n ? N выполнено

d(x, y) ? f2n (x, y) = fn y) ? fn (x, z) + fn (z, y),
+ fn (x,


то d(x, y) ? d(x, z) + d(z, y). Справедливость 9.5.7 (1) и 9.5.7 (2)
несомненна.
Осталось установить, что 1/2 f ? d. Для этого убедимся, что
fn ? 1/2 f для n ? N.
При n := 1, 2 требуемые неравенства очевидны. Допустим те-
перь, что f ? f1 ? . . . ? fn ? 1/2 f и в то же время fn+1 (x, y) <
1/2 f (x, y) для некоторых (x, y) ? X 2 и n ? 2. По построению при
подходящих z1 , . . . , zn ? X будет

t := f (x, z1 ) + f (z1 , z2 ) + . . . + f (zn?1 , zn )+
1
+f (zn , y) < f (x, y).
2
Если f (x, z1 ) ? t/2, то t/2 ? f (z1 , z2 ) + . . . + f (zn , y) ? 1/2 f (z1 , y).
Получаем, что t ? f (x, z1 ) и t ? f (z1 , y). На основании 9.5.13
(3), 1/2 f (x, y) ? f (x, z1 ) ? f (z1 , y) ? t. Отсюда вытекает ложное
соотношение: 1/2 f (x, y) > t ? 1/2 f (x, y).
Итак, f (x, z1 ) < t/2. Найдем m ? N, m < n, для которого

t
f (x, z1 ) + . . . + f (zm?1 , zm ) < ;
2
t
f (x, z1 ) + . . . + f (zm , zm+1 ) ? .
2
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
212

Это осуществимо, ибо гипотеза m = n влечет неверное неравенство
f (zn , y) ? t/2. (В самом деле, было бы t/2 ? f (x, z1 ) + . . . +
f (zn?1 , zn ) ? 1/2 f (x, zn ) и поэтому 1/2 f (x, y) > t ? f (x, z n ) ?
f (zn , y) ? 1/2 f (x, y).)
Имеем

t
f (zm+1 , zm+2 ) + . . . + f (zn?1 , zn ) + f (zn , y) < .
2

Привлекая индукционное предположение, заключаем:

f (x, zm ) ? 2(f (x, z1 ) + . . . + f (zm?1 , zm )) ? t;
f (zm , zm+1 ) ? t;
f (zm+1 , y) ? 2(f (zm+1 , zm+2 ) + . . . + f (zn , y)) ? t.

Следовательно, в силу определения 2-ультраметрики

1 1
f (x, y) ? f (x, zm ) ? f (zm , zm+1 ) ? f (zm+1 , y) ? t < f (x, y).
2 2

Получили противоречие, завершающее доказательство.
9.5.16. Теорема. Каждое равномерное пространство мульти-
метризуемо.
Пусть (X, UX ) — рассматриваемое равномерное простран-
ство. Возьмем V ? UX . Положим V1 := V ? V ?1 . Если теперь
?1
Vn ? UX , то найдем симметричное окружение V = V , V ? UX
такое, что V ? V ? V ? Vn . Полагаем Vn+1 := V . Так как по построе-
нию Vn ? Vn+1 ? Vn+1 ? Vn+1 ? Vn+1 ? IX ? IX ? Vn+1 , то (Vn )n?N —
убывающее семейство.
Для t ? R зададим множество Ut соотношением
?
? ?, t < 0,
?
?
? IX ,
? t = 0,
?
V ?n , 0 < t < 1,
Ut :=
? inf{n?N : t?2 }
?
? V1 ,
? t = 1,
?
?2
X, t > 1.
9.6. Покрытия и разбиения единицы 213

По определению t > Ut (t ? R) — возрастающее семейство. Рас-
смотрим единственную функцию f : X 2 > R, удовлетворяющую
соотношениям (ср. 3.8.2, 3.8.4)

{f < t} ? Ut ? {f ? t} (t ? R).

Если Wt := U2t для t ? R, то при s < t будет

Us ? Us ? Us ? Wt .

Следовательно, в силу 3.8.3 и 9.2.1 отображение f является 2-ультра-
метрикой.
Привлекая 9.5.15, найдем полуметрику dV такую, что 1/2 f ?
dV ? f . Ясно, что UdV = ?l {Vn : n ? N}. Несомненно также, что
для мультиметрики M := {dV : V ? UX } выполнено UM = UX .
9.5.17. Следствие. Пространство является равномеризуемым
в том и только в том случае, если оно T3 1 -пространство.
2

9.5.18. Следствие. Тихоновские пространства суть отделимые
мультиметрические пространства.

9.6. Покрытия и разбиения единицы
9.6.1. Определение. Пусть E , F — два покрытия множества
U в X, т. е. E , F ? 2X и U ? (?E ) ? (?F ). Говорят, что E вписано
в F или E измельчает F , если каждое множество из E попадает в
один из элементов F , т. е. (? E ? E ) (? F ? F ) E ? F .
9.6.2. Определение. Покрытие E множества X называют ло-
кально конечным (относительно топологии ? в X), если у каждой
точки из X имеется окрестность (в смысле ? ), пересекающаяся лишь
с конечным числом элементов E . Такое покрытие в случае дис-
кретной топологии называют точечно конечным. Наконец, если X
рассматривают с предварительно выделенной топологией ? , то под
локальной конечностью его покрытия по умолчанию понимают свя-
занный с ? вариант.
9.6.3. Лемма Лeфшеца. Пусть E — точечно конечное откры-
тое покрытие нормального пространства X. Существует такое от-
крытое покрытие {GE : E ? E }, что cl GE ? E при всех E ? E .
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
214

Составим множество S из отображений s : E > Op(X), для
которых ?s(E ) = X и при E ? E будет s(E) = E или cl s(E) ? E.
Для подобных функций s1 , s2 полагают: s1 ? s2 := (? E ? E )
(s1 (E) = E ? s2 (E) = s1 (E)). Видно, что (S, ?) — упорядочен-
ное множество, причем IE ? S. Установим индуктивность S.
Для цепи S0 в S положим s0 (E) := ?{s(E) : s ? S0 } (E ? E ).
Если s0 (E) = E, то s(E) = E при всех s ? S0 . Если же s0 (E) = E,
то s0 (E) = ?{s(E) : s(E) = E, s ? S0 }.
С учетом линейности порядка в S0 выводим: s0 (E) = s(E) для
s ? S0 таких, что s(E) = E. Отсюда s0 (E ) ? Op(X) и s0 ? S0 . Оста-
лось удостовериться, что s0 — покрытие X (и, стало быть, s0 ? S).
По условию точечной конечности для x ? X имеются E1 , . . . , En в E
такие, что x ? E1 ?. . .?En и x ? E для иных E в E . Если s0 (Ek ) = Ek
/
для какого-либо из k, то доказывать нечего — x ? ?s0 (E ). В случае,
когда при каждом k будет s0 (Ek ) = Ek , найдутся s1 , . . . , sn ? S0 из
условия sk (Ek ) = Ek (k := 1, 2, . . . , n). Раз S0 — цепь, можно считать,
что sn ? {s1 , . . . , sn?1 }. При этом x ? sn (E) ? E для подходящего
E ? E . Ясно, что E ? {E1 , . . . , En } (ибо x ? E для других E). Раз
/
s0 (E) = sn (E), то x ? s0 (E).
По лемме Куратовского — Цорна 1.2.20 в S есть максимальный
элемент s. Возьмем E ? E . Если F := X \??(E \{E}), то F замкнуто
s
?
и s(E) — окрестность F . На основании 9.3.10 при подходящем G ?
?
Op(X) будет F ? G ? cl G ? s(E). Положим s(E) := G и s(E) := s(E)
? ?
для E = E (E ? E ). Ясно, что s ? S. Если s(E) = E, то s ? s и,
? ?
значит, s = s. При этом s(E) ? cl G ? s(E) = E, т. е. cl s(E) ? E.
? ? ? ?
Если же s(E) = E, то cl s(E) ? E по определению. Итак, s — искомое
? ? ?
покрытие.
9.6.4. Определение. Пусть f — скалярная (= числовая) функ-
ция на топологическом пространстве X, т. е. f : X > F. Множество
supp(f ) := cl{x ? X : f (x) = 0} называют носителем f . Если
supp(f ) — компактное множество, то f называют финитной функ-
цией. Иногда полагают spt (f ) := supp(f ).
9.6.5. Пусть (fe )e?E — некоторое семейство скалярных функ-
?
ций на X и E := {supp(fe ) : e ? E } — семейство их носителей. Если
?
E — точечно конечное покрытие U , то семейство (fe )e?E поточечно
?
суммируемо. Если к тому же E локально конечно, а (fe )e?E непре-
рывны, то сумма e?E fe также непрерывна.
9.6. Покрытия и разбиения единицы 215

Достаточно заметить, что в подходящей окрестности точки
из U лишь конечное число функций семейства (fe )e?E не обращается
в нуль.
9.6.6. Определение. Семейство функций (f : X > [0, 1])f ?F
представляет разбиение единицы на множестве U в X, если носите-
ли элементов этого семейства составляют точечно конечное покры-
тие U , и при этом f ?F f (x) = 1 для всех x ? U . Пустое семей-
ство функций в подобном контексте считают суммируемым к едини-
це. Естественным образом трактуют термин «непрерывное разбиение
единицы» и его аналоги.
9.6.7. Определение. Пусть E — покрытие множества U в то-
пологическом пространстве, а F — непрерывное разбиение единицы
на U . Если семейство носителей {supp(f ) : f ? F } вписано в E , то
F называют разбиением единицы, подчиненным E . Наличие такого
F для E выражают словами: «E допускает непрерывное разбиение
единицы».
9.6.8. Каждое локально конечное открытое покрытие нормаль-
ного пространства допускает разбиение единицы.
По теореме Лефшеца 9.6.3 в рассматриваемое покрытие {U? :
? ? } можно вписать открытое покрытие {V? : ? ? }, для кото-
рого cl V? ? U? при всех ? ? . По теореме Урысона 9.3.14 имеется
непрерывная функция g? : X > [0, 1] такая, что g? (x) = 1 при
x ? V? и g? (x) = 0 при x ? X \ U? . Значит, supp(g? ) ? U? . На осно-
вании 9.6.5 семейство (g? )?? поточечно суммируемо к непрерывной
функции g. При этом g(x) > 0 для всех x ? X по построению.
Полагаем f? := g? /g (? ? ). Семейство (f? )?? — искомое.
9.6.9. Определение. Топологическое пространство называют
паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно впи-
сать локально конечное открытое покрытие.
9.6.10. Замечание. Теория паракомпактности содержит глу-
бокие и нетривиальные факты.
9.6.11. Теорема. Метрические пространства паракомпактны.
9.6.12. Теорема. Хаусдорфово топологическое пространство
паракомпактно в том и только в том случае, если каждое его откры-
тое покрытие допускает непрерывное разбиение единицы.
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
216

9.6.13. Замечание. Метрическое пространство RN обладает
рядом дополнительных структур, обеспечивающих запас квалифи-
цированных — гладких (= бесконечно дифференцируемых) — функ-
ций (ср. 4.8.1).
9.6.14. Определение. Усредняющим ядром в RN принято на-
зывать любую вещественную гладкую функцию a с единичным (ле-
беговым) интегралом и такую, что a(x) > 0 при |x| < 1 и a(x) = 0
для |x| ? 1. При этом supp(a) = {x ? RN : |x| ? 1} — единичный
евклидов шар B := BRN .
9.6.15. Определение. Дельтообразной последовательностью
называют такое семейство вещественных (гладких) функций (b? )?>0 ,
что, во-первых, lim (sup | supp(b? )|) = 0 и, во-вторых, RN b? (x) dx = 1
?>0
(? > 0). Используют также термины ?-последовательность и ?-
образная последовательность. Часто ограничиваются счетными по-
следовательностями.
9.6.16. Пример. Популярное усредняющее ядро — это функция
a(x) := t exp(?(|x|2 ? 1)?1 ), доопределенная нулем вне шара int B,
где константа t задана условием RN a(x) dx = 1. Всякое усредня-
ющее ядро порождает дельтообразную последовательность a? (x) :=
??N a(x/?) (x ? RN ).
9.6.17. Определение. Пусть f ? L1,loc (RN ), т. е. f — неко-
торая локально интегрируемая (= интегрируемая при сужении на
любой компакт) функция. Для каждой финитной интегрируемой
функции g определяют св?ртку f ? g соотношением
е

f ? g(x) := f (x ? y)g(y) dy (x ? RN ).
RN


9.6.18. Замечание. Роль усредняющих ядер и дельтообразных
последовательностей (a? )?>0 проясняется анализом процесса сгла-
живания f > (f ? a? )?>0 функции f ? L1,loc (RN ) и его последствий
(ср. 10.10.7 (5)).
9.6.19. Справедливы утверждения:
(1) для каждого компактного множества K из простран-
ства RN и какой-либо его окрестности U существует
9.6. Покрытия и разбиения единицы 217

срезыватель (= срезывающая функция) ? := ?K,U ,
т. е. такое гладкое отображение ? : RN > [0, 1], что
K ? int{? = 1} и supp(?) ? U ;
(2) пусть U1 , . . . , Un ? Op(RN ), причем U1 ? . . . ? Un —
окрестность компакта K. Существуют гладкие функ-
ции ?1 , . . . , ?n : RN > [0, 1], удовлетворяющие усло-
n
виям supp(?k ) ? Uk и k=1 ?k (x) = 1 для x из неко-
торой окрестности K.
(1) Пусть ? := d(K, RN \U ) := inf{|x?y| : x ? K, y ? U }. Ясно,
/
что ? > 0. Для ? > 0 обозначим ?? характеристическую функцию
множества K + ?B. Возьмем дельтообразную последовательность
положительных функций (b? )?>0 и положим ? := ?? ? b? . При ? ? ?,
? + ? ? ?, где ? := sup | supp(b? )|, функция ? — искомая.
(2) По лемме Дьедонне 9.4.18 имеются замкнутые Fk ? Uk , со-
ставляющие покрытие K. Положим Kk := Fk ? K и рассмотрим
n
срезыватели ?k := ?Kk ,Uk . Функции ?k / k=1 ?k (k := 1, . . . , n),
n
определенные на { k=1 ?k > 0}, после распространения нулем на
n
{ k=1 ?k = 0} и умножения на срезыватель подходящей окрестно-
сти K становятся искомыми.

9.6.20. Теорема о разбиении единицы в RN . Пусть E —
семейство открытых множеств в RN и := ?E . Существует счетное
разбиение единицы, составленное гладкими финитными функциями
на RN и подчиненное покрытию E множества .
Впишем в E такое счетное локально конечное покрытие A из
компактных множеств, что семейство (? := int ?)??A также образует
открытое покрытие . Подберем открытое покрытие (V? )??A из
условия cl V? ? ? при ? ? A. На основании 9.6.19 (1) имеются
срезыватели ? ? := ?cl V? ,? . Полагая ?? (x) := ? ? (x)/ ??A ? ? (x)
при x ? и ?? (x) := 0 для x ? RN \ , приходим к требуемому
разбиению.

9.6.21. Замечание. Стоит подчеркнуть, что построенное раз-
биение единицы (?? )??A обладает тем свойством, что для каждого
компакта K, лежащего в , имеются конечное подмножество A0 в A
и окрестность U компакта K такие, что ??A0 ?? (x) = 1 для всех
x ? U (ср. 9.3.17, 9.6.19 (2)).
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
218

Упражнения
9.1. Привести примеры предтопологических и топологических пространств
и конструкции, к ним приводящие.
9.2. Можно ли задать топологию, указывая сходящиеся фильтры или по-
следовательности?
9.3. Установить взаимные связи между топологиями и предпорядками на
конечном множестве.
9.4. Описать топологические пространства, в которых объединение любого
семейства замкнутых множеств замкнуто. Каковы непрерывные отображения
таких пространств?
9.5. Пусть (f? : X > (Y? , ?? ))?? — семейство отображений. Топологию
? в X назовем допустимой (в данной ситуации), если для любого топологиче-
ского пространства (Z, ?) и произвольного отображения g : Z > X выполнено
утверждение: g : (Z, ?) > (X, ?) непрерывно в том и только в том случае, если
непрерывно отображение f? ? g (? ? ). Доказать, что слабейшая топология X, в
которой непрерывны все f? (? ? ), представляет собой сильнейшую допустимую
(в данной ситуации) топологию.
9.6. Пусть (f? : (X? , ?? ) > Y )?? — семейство отображений. Топологию
? в Y назовем допустимой (в данной ситуации), если для любого топологиче-
ского пространства (Z, ?) и произвольного отображения g : Y > Z выполнено
утверждение: g : (Y, ? ) > (Z, ?) непрерывно в том и только в том случае,
если непрерывно отображение g ? f? (? ? ). Доказать, что сильнейшая топо-
логия в Y, в которой непрерывны все f? (? ? ), представляет собой слабейшую
допустимую (в данной ситуации) топологию.
9.7. Доказать, что в тихоновском произведении произвольных топологиче-
ских пространств замыкание произведения множеств, лежащих в сомножителях,
есть произведение замыканий:


A? cl A? .
cl =
?? ??


9.8. Проверить, что тихоновское произведение хаусдорфово в том и только
в том случае, если хаусдорфов каждый сомножитель.
9.9. Установить критерии компактности множеств в классических банахо-
вых пространствах.
9.10. Хаусдорфово пространство X называют H-замкнутым, если X за-
мкнуто в любом объемлющем X хаусдорфовом пространстве. Доказать, что
регулярное H-замкнутое пространство компактно.
9.11. Изучить возможности компактификации топологического простран-
ства.
9.12. Доказать, что тихоновское произведение несчетного числа прямых не
является нормальным пространством.
Упражнения 219

9.13. Доказать, что каждая непрерывная функция на произведении ком-
пактных пространств в очевидном смысле (каком?) зависит от не более чем
счетного числа координат.
9.14. Пусть A — компактное, а B — замкнутое множества в равномерном
пространстве, причем A ? B = ?. Доказать, что для некоторого окружения V
будет V (A) ? V (B) = ?.
9.15. Доказать, что пополнение (в соответствующем смысле) произведения
равномерных пространств изоморфно произведению пополнений сомножителей.
9.16. Множество в отделимом равномерном пространстве назовем пред-
компактным, если его пополнение компактно. Доказать, что множество являет-
ся предкомпактным в том и только в том случае, если оно вполне ограничено.
9.17. Какие топологические пространства метризуемы?
9.18. Для равнометризуемого пространства описать сильнейшую равно-
мерность, задающую исходную топологию.
9.19. Убедиться, что произведение паракомпактного и компактного про-
странств паракомпактно. Сохраняется ли паракомпактность при общих произ-
ведениях?
Глава 10
Двойственность и ее
приложения


10.1. Векторные топологии
10.1.1. Определение. Пусть (X, F, +, ·) — векторное про-
странство над основным полем F. Топологию ? в X называют со-
гласованной со структурой векторного пространства или, короче,
векторной топологией, если непрерывны следующие отображения:

+ : (X ? X, ? ? ? ) > (X, ? ),
· : (F ? X, ?F ? ? ) > (X, ? ).
О пространстве (X, ? ) в этом случае говорят как о топологическом
векторном пространстве.
10.1.2. Пусть ?X — векторная топология. Отображения
x > x + x0 , x > ?x (x0 ? X, ? ? F \ 0)
суть гомеоморфизмы (X, ?X ).
10.1.3. Замечание. Несомненно, что векторная топология ?
в пространстве X обладает следующим свойством «линейности»:
(?, ? ? F \ 0; x, y ? X),
? (?x + ?y) = ?? (x) + ?? (y)
где в соответствии с общими соглашениями (ср. 1.3.5 (1))

U?x+?y ? ?? (x) + ?? (y) ?
? (? Ux ? ? (x) & Uy ? ? (y)) ?Ux + ?Uy ? U?x+?y .
10.1. Векторные топологии 221

В этой связи векторную топологию часто называют линейной, а то-
пологическое векторное пространство — линейным топологическим
пространством. Эту терминологию следует употреблять лишь по-
нимая, что топология может обладать свойством «линейности», но
не быть линейной. Такова, например, дискретная топология ненуле-
вого векторного пространства.
10.1.4. Теорема о строении векторной топологии. Пусть
X — векторное пространство и N — фильтр в X. Существует век-
торная топология ? на X такая, что N = ? (0), в том и только в том
случае, если
(1) N + N = N ;
(2) N состоит из поглощающих множеств;
(3) N имеет базис из уравновешенных множеств. При
этом ? (x) = x + N для всех x ? X.
?: Пусть ? — векторная топология и N = ? (0). Из 10.1.2
получаем, что ? (x) = x + N для x ? X. Ясно также, что (1) есть
другая запись непрерывности сложения в нуле (пространства X 2 ).
Условие (2) можно записать в виде ?F (0)x ? N для каждого x ? X,
т. е. как условие непрерывности отображений ? > ?x в нуле (про-
странства R) при каждом фиксированном x из X. Условие (3) с уче-
том (2), в свою очередь, можно записать в виде ?F (0)N = N , т. е.
как условие непрерывности умножения на скаляр в нуле (простран-
ства F ? X).
?: Пусть N — фильтр, удовлетворяющий (1)–(3). Видно, что
N ? ?l {0}. Положим ? (x) := x + N . Тогда ? — предтопология.
Из определения ? и (1) вытекает, что ? — топология, причем сдвиги
непрерывны, а сложение непрерывно в нуле. Таким образом, сло-
жение непрерывно в каждой точке X 2 . Справедливость (2) и (3)
означает, что отображение (?, x) > ?x непрерывно в нуле по сово-
купности переменных и непрерывно в нуле по первому переменному
при фиксированном втором. В силу тождества

?x ? ?0 x0 = ?0 (x ? x0 ) + (? ? ?0 )x0 + (? ? ?0 )(x ? x0 )

осталось установить непрерывность этого отображения в нуле по
второму переменному при фиксированном первом. Иными слова-
ми, нужно установить, что ?N ? N для ? ? F. Для проверки
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
222

найдем n ? N, для которого |?| ? n. Пусть V ? N и W ? N тако-
вы, что W уравновешено и W1 + . . . + Wn ? V , где Wk := W . Тогда
?W = n (?/n W ) ? nW ? W1 + . . . + Wn ? V .

10.1.5. Теорема. Множество VT(X) всех векторных топологий
на X является полной решеткой. При этом для любого множества
E в VT(X) выполнено

supVT(X) E = supT(X) E .

Пусть ? := supT(X) E . Так как для ? ? E сдвиг x > x + x0
есть гомеоморфизм (X, ? ) на (X, ? ), то это отображение — гомео-
морфизм (X, ? ) на (X, ? ). Привлекая 9.1.13, убеждаемся в том, что
для фильтра ? (0) выполнены условия 10.1.4 (1)–10.1.4 (3), поскольку
они выполнены для фильтров ? (0) при ? ? E . Остается сослаться
на 1.2.14.

10.1.6. Теорема о прообразе векторной топологии. Про-
образ векторной топологии при линейном отображении — векторная
топология.
Пусть T ? L (X, Y ) и ? ? VT(Y ). Положим ? := T ?1 (?). Ес-
ли x? > x и y? > y в (X, ? ), то, в силу 9.2.8, T x? > T x, T y? > T y и,
стало быть, T (x? + y? ) > T (x + y). Последнее в силу 9.2.10 означает,
что x? + y? > x + y в (X, ? ). Таким образом, ? (x) = x + ? (0) для
всех x ? X и, кроме того, ? (0) + ? (0) = ? (0). Применяя к линейному
соответствию T ?1 последовательно предложения 3.4.10 и 3.1.8, по-
лучаем, что фильтр ? (0) = T ?1 (?(0)) состоит из поглощающих мно-
жеств и имеет базис из уравновешенных множеств, так как по 10.1.4
такими свойствами обладает фильтр ?(0). Вновь привлекая 10.1.4,
заключаем: ? ? VT(X).

10.1.7. Произведение векторных топологий — векторная топо-
логия.
Следует из 10.1.5 и 10.1.6.

10.1.8. Определение. Пусть A, B — множества в векторном
пространстве. Говорят, что A является B-устойчивым, если A +
B ? A.
10.2. Локально выпуклые топологии 223

10.1.9. Для каждой векторной топологии ? на X существует,
и притом единственная, равномерность U? , имеющая базис из IX -
устойчивых множеств и такая, что ? = ? (U? ).
Для U ? ? (0) положим VU := {(x, y) ? X 2 : y ? x ? U }.
Отметим очевидные свойства:

IX ? VU ; VU + IX = VU ; (VU )?1 = V?U ;
VU1 ?U2 ? VU1 ? VU2 ; VU1 ? VU2 ? VU1 +U2

для любых U , U1 , U2 ? ? (0). Привлекая 10.1.4, выводим, что

U? := ?l {VU : U ? ? (0)}

— это равномерность, причем ? = ? (U? ). Несомненно также, что U?
имеет базис из IX -устойчивых множеств.
Если теперь U еще одна равномерность такая, что ? (U ) = ? ,
и W — некоторое IX -устойчивое окружение U , то W = VW (0) . От-
сюда и вытекает требуемая единственность.
10.1.10. Определение. Пусть (X, ? ) — топологическое век-
торное пространство. Равномерность U? , построенную в 10.1.9, на-
зывают равномерностью рассматриваемого пространства X.
10.1.11. Замечание. В дальнейшем при рассмотрении топо-
логических векторных пространств будем считать их наделенными
соответствующими равномерностями.

10.2. Локально выпуклые топологии
10.2.1. Определение. Векторную топологию принято назы-
вать локально выпуклой, если фильтр окрестностей каждой точки
имеет базис, состоящий из выпуклых множеств.
10.2.2. Теорема о строении локально выпуклой тополо-
гии. Пусть X — векторное пространство и N — фильтр в X. Суще-
ствует локально выпуклая топология ? на X такая, что N = ? (0),
в том и только в том случае, если
(1) 1 N = N ;
2
(2) N имеет базис, состоящий из абсолютно выпуклых
поглощающих множеств.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
224

?: В силу 10.1.2 отображение x > 2x — гомеоморфизм. Это
и означает, что 1/2 N = N . Возьмем теперь U ? N . По усло-
вию имеется выпуклое множество V ? N такое, что V ? U . При-
меняя 10.1.4, найдем уравновешенное множество W , для которого
W ? V . Привлекая формулу Моцкина 3.1.13 и 3.1.14, убеждаемся
в том, что выпуклая оболочка co(W ) абсолютно выпукла. При этом
W ? co(W ) ? V ? U .
?: Абсолютно выпуклое множество уравновешено. Значит, N
удовлетворяет 10.1.4 (2), 10.1.4 (3). Если V ? N и W выпукло,
W ? N и W ? V , то 1/2 W ? N . Помимо этого, 1/2 W + 1/2 W ?
W ? V из-за выпуклости W . Последнее означает, что N + N = N .
Остается сослаться на 10.1.4.
10.2.3. Следствие. Множество LCT (X) всех локально выпук-
лых топологий на X представляет собой полную решетку. При этом
для любого множества E в LCT (X) выполнено
supLCT (X) E = supT(X) E .
10.2.4. Следствие. Прообраз локально выпуклой топологии
при линейном отображении — локально выпуклая топология.
10.2.5. Следствие. Произведение локально выпуклых тополо-
гий — локально выпуклая топология.
10.2.6. Топология мультинормированного пространства явля-
ется локально выпуклой.
10.2.7. Определение. Пусть ? — локально выпуклая тополо-
гия на X. Множество всех всюду определенных непрерывных полу-
норм на X называют зеркалом (реже спектром) топологии ? и обо-
значают M? . Мультинормированное пространство (X, M? ) называ-
ют ассоциированным с (X, ? ).
10.2.8. Теорема. Локально выпуклая топология совпадает с
топологией ассоциированного мультинормированного пространства.
Пусть ? — рассматриваемая локально выпуклая топология
в X и ? := ? (M? ) — это топология ассоциированного пространства
(X, M? ). Возьмем V ? ? (0). В силу 10.2.2 найдется абсолютно
выпуклая окрестность нуля B ? ? (0) такая, что B ? V . На основа-
нии 3.8.7
{pB < 1} ? B ? {pB ? 1}.
10.2. Локально выпуклые топологии 225

Очевидно, что pB — непрерывный функционал (ср. 7.5.1), т. е.
pB ? M? и, стало быть, {pB < 1} ? ?(0). Следовательно, V ? ?(0).
Таким образом, привлекая 5.2.10, имеем ?(x) = x + ?(0) ? x + ? (0) =
? (x), т. е. ? ? ? . Помимо этого, ? ? ? по определению.
10.2.9. Определение. Векторное пространство, наделенное от-
делимой локально выпуклой топологией, называют локально выпук-
лым пространством.
10.2.10. Замечание. Теорему 10.2.8 в несколько суженном ви-
де часто формулируют словами: «понятие локально выпуклого про-
странства и понятие отделимого мультинормированного простран-
ства равнообъемны».
В этой связи при изучении локально выпуклых пространств ис-
пользуют по мере надобности терминологию, связанную с ассоции-
рованным мультинормированным пространством (ср. 5.2.13).
10.2.11. Определение. Пусть ? — локально выпуклая тополо-
гия в X. Символом (X, ? ) (или, короче, X ) обозначают подпро-
странство X # , состоящее из непрерывных линейных функционалов.
Пространство (X, ? ) называют сопряженным (или ? -сопряженным)
к (X, ? ).
10.2.12. (X, ? ) = ? {|?|(p) : p ? M? }.
10.2.13. Теорема. Отображение штрихования ? > (X, ? ) ,
действующее из LCT (X) в Lat(X # ), сохраняет точные верхние гра-
ницы, т. е. для любого множества E в LCT (X) выполнено
(X, sup E ) = sup{(X, ? ) : ? ? E }.
Если E = ?, то sup E — это тривиальная топология ?0 в X
и, стало быть, (X, ?0 ) = 0 = inf Lat(X # ) = supLat(X # ) ?. В си-
лу 9.2.7 отображение штрихования возрастает. Учитывая 2.1.5, для
непустого E имеем
(X, sup E ) ? sup{(X, ? ) : ? ? E }.
Если f ? (X, sup E ) , то ввиду 10.2.12 и 9.1.13 существуют то-
пологии ?1 , . . . , ?n ? E такие, что f ? (X, ?1 ? . . . ? ?n ) . С по-
мощью 10.2.12 и 5.3.7 найдем p1 ? M?1 , . . . , pn ? M?n , для кото-
рых f ? |?|(p1 ? . . . ? pn ). Привлекая 3.5.7 и 3.7.9, убеждаемся, что
|?|(p1 + . . . + pn ) = |?|(p1 ) + . . . + |?|(pn ). Окончательно
f ? (X, ?1 ) + . . . + (X, ?n ) = (X, ?1 ) ? . . . ? (X, ?n ) .
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
226

10.3. Двойственность векторных пространств
10.3.1. Определение. Пусть X, Y — векторные пространства
над одним и тем же основным полем F. Пусть, далее, задана би-
линейная форма (или, как иногда говорят, бракетирование) · | · из
X ? Y в F, т. е. отображение, линейное по каждому переменному.
Для x ? X и y ? Y положим

x| : y > x | y , · | : X > FY , X| ? Y # ;
|y : x > x | y , | · : Y > FX, |Y ? X # .

Возникающие отображения · | и | · называют соответственно бра-
отображением и кет-отображением. Аналогично функционалы из
X | называют бра-функционалами, а из | Y — кет-функционалами.
10.3.2. Бра-отображение и кет-отображение — линейные опера-
торы.
10.3.3. Определение. Бракетирование X и Y называют двой-
ственностью, если бра-отображение и кет-отображение суть моно-
морфизмы. В этом случае говорят, что X и Y приведены в двой-
ственность, или составляют двойственную пару, или что Y двой-
ственно к X и т. п., и пишут X - Y . Бра-отображение и кет-
отображение называют в этой ситуации дуализациями.
10.3.4. Примеры.
(1) Пусть X - Y и · | · — соответствующая двойствен-
ность. Для (y, x) ? Y ? X положим y | x := x | y . Видно, что воз-
никшее бракетирование — это двойственность Y и X. При этом дуа-
лизации в исходной и во вновь возникшей двойственностях одни и те
же. В этой связи указанные двойственности, как правило, не разли-
чают (ср. 10.3.3). Таким образом, можно сказать, что Y двойственно
к X в том и только в том случае, если X двойственно к Y . Отме-
тим здесь же, что отображение x | y R := Re x | y приводит в двой-
ственность вещественные основы XR и YR . Допуская вольность, для
обозначения возникающей двойственности XR - YR изредка исполь-
зуют прежнее обозначение, т. е. полагают x | y := x | y R , имея в ви-
ду, что x и y принадлежат вещественным основам рассматриваемых
пространств.
10.3. Двойственность векторных пространств 227

(2) Пусть H — гильбертово пространство. Скалярное
произведение приводит в двойственность H и H? . Отображение
штрихования при этом совпадает с кет-отображением.
(3) Пусть (X, ? ) — локально выпуклое пространство и
X — сопряженное пространство. Бракетирование (x, x ) > x (x)
приводит X и X в двойственность.
(4) Пусть X — векторное пространство и, как обычно,
X := L (X, F) — сопряженное пространство. Ясно, что отображе-
#

ние (x, x# ) > x# (x) приводит эти пространства в двойственность.
10.3.5. Определение. Пусть X - Y . Прообраз в X тихонов-
ской топологии в FY при бра-отображении называют бра-топологи-
ей или слабой топологией в X, наведенной двойственностью с Y ,
и обозначают ?(X, Y ). Бра-топологию ?(X, Y ) для двойственности
Y - X называют кет-топологией для двойственности X - Y или
слабой топологией в Y , наведенной двойственностью с X.
10.3.6. Бра-топология — это слабейшая топология, в которой
непрерывны все кет-функционалы. Кет-топология — это слабейшая
топология, в которой непрерывны все бра-функционалы.
x? > x (в ?(X, Y )) ? x? > x | (в FY ) ? (? y ? Y ) x? | (y) >
x | (y) ? (? y ? Y ) x? | y > x | y ? (? y ? Y ) | y (x? ) > | y (x) ?
(? y ? Y ) x? > x (в | y ?1 (?F ))
10.3.7. Замечание. Обозначение ?(X, Y ), как видно, согласо-
вано с обозначением слабой мультинормы 5.1.10 (4). Именно ?(X, Y )
есть топология мультинормы {| · | y | : y ? Y }. Аналогично ?(Y, X)
есть топология мультинормы {| x | · | : x ? X}.
10.3.8. Пространства (X, ?(X, Y )) и (Y, ?(Y, X)) локально
выпуклы.
Следует из 10.2.4 и 10.2.5.
10.3.9. Теорема о дуализациях. Дуализации суть изомор-
физмы двойственных пространств на соответствующие слабо сопря-
женные пространства.
Пусть X - Y . Нужно установить точность последовательно-
стей
·|
0 > X ?>(Y, ?(Y, X)) > 0,

0 > Y ?>(X, ?(X, Y )) > 0.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
228

Поскольку кет-отображение для двойственности X - Y есть бра-
отображение для двойственности Y - X, достаточно проверить
точность первой последовательности. Бра-отображение — мономор-
физм по определению 10.3.3. Помимо этого, из 10.2.13 и 10.3.6 вы-
текает, что

(Y, ?(Y, X)) = (Y, sup{ x |?1 (?F ) : x ? X}) =

x |?1 (?F )) : x ? X} =
= sup{(Y,
= L ({(Y, f ?1 (?F )) : f ? X|}) = X|,
так как по 5.3.7 и 2.3.12 выполнено

(Y, f ?1 (?F )) = {?f : ? ? F} (f ? Y # ).

10.3.10. Замечание. Теорему 10.3.9 часто называют «теоре-
мой об общем виде слабо непрерывного функционала». В этом про-
является удобное общее правило — добавлять слово «слабо» при ис-
пользовании объектов и свойств, связанных со слабыми топология-
ми. Отметим здесь же, что в силу 10.3.9 пример 10.3.4 (3) исчер-
пывает, по сути дела, все возможные двойственности. В этой связи
в соответствии с 5.1.11 в дальнейшем (как и прежде) часто использо-
вано обозначение (x, y) := x | y , поскольку это не должно привести
к недоразумениям. По тем же причинам не различают двойственное
и слабо сопряженное пространства. Другими словами, при рассмот-
рении фиксированной двойственности X - Y иногда не отличают
X от (Y, ?(Y, X)) , а Y от (X, ?(X, Y )) , что позволяет применять
записи X = Y и Y = X.

10.4. Топологии, согласованные с
двойственностью
10.4.1. Определение. Пусть X - Y и ? — локально выпуклая
топология в X. Говорят, что ? согласована с двойственностью, ес-
ли (X, ? ) = | Y . Говорят, что локально выпуклая топология ? в Y
согласована с двойственностью (X - Y , если ? согласована с двой-
ственностью Y - X, т. е.) при выполнении равенства (Y, ?) = X|.
10.4.2. Слабые топологии согласованы с наводящей их двой-
ственностью.
Следует из 10.3.9.
10.4. Топологии, согласованные с двойственностью 229

10.4.3. Пусть ? (X, Y ) — точная верхняя граница множества
всех локально выпуклых топологий в X, согласованных с двойствен-
ностью. Тогда топология ? (X, Y ) также согласована с двойственно-
стью.
Пусть E — множество таких топологий. По теореме 10.2.13

(X, ? (X, Y )) = (X, sup E ) =
= sup{(X, ? ) : ? ? E } = sup{| Y : ? ? E } = | Y ,
ибо E не пусто по 10.4.2.
10.4.4. Определение. Топологию ? (X, Y ), фигурирующую в
предложении 10.4.3, т. е. сильнейшую локально выпуклую тополо-
гию в X, согласованную с двойственностью X - Y , называют то-
пологией Макки (в X, наведенной двойственностью X - Y ).
10.4.5. Теорема Макки — Аренса. Локально выпуклая то-
пология ? в X согласована с двойственностью X - Y в том и только
в том случае, если
?(X, Y ) ? ? ? ? (X, Y ).
По 10.2.13 отображение ? > (X, ? ) сохраняет точные верх-
ние границы и, следовательно, возрастает. Таким образом, для ? ,
лежащей в рассматриваемом промежутке топологий, на основании
10.4.2 и 10.4.3 справедливо
| Y = (X, ?(X, Y )) ? (X, ? ) ? (X, ? (X, Y )) = | Y .
Оставшаяся часть теоремы очевидна.
10.4.6. Теорема Макки. Ограниченные множества во всех то-
пологиях, согласованных с двойственностью, одни и те же.
При усилении топологии количество ограниченных множеств
уменьшается. Поэтому ввиду 10.4.5 нужно убедиться лишь в том,
что если множество U слабо ограничено в X (= ограничено в бра-
топологии), то U ограничено в топологии Макки.
Возьмем полунорму p из зеркала топологии Макки и покажем,
что p(U ) ограничено в R. Положим X0 := X/ ker p и p0 := pX/ ker p .
Учитывая 5.2.14, видим, что p0 — это норма. Пусть ? : X > X0 —
каноническое отображение. Бесспорно, что множество ?(U ) слабо
ограничено в (X0 , p0 ). Из 7.2.7 вытекает, что ?(U ) ограничено по
норме p0 . Поскольку p0 ? ? = p, то U ограничено в (X, p).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
230

10.4.7. Следствие. Пусть X — нормированное пространство.
Топология Макки ? (X, X ) совпадает с исходной топологией, по-
рожденной нормой в пространстве X.
Достаточно сослаться на критерий Колмогорова 5.4.5, по ко-
торому топология ? (X, X ), содержащая исходную топологию, нор-
мируема, и привлечь предложение 5.3.4.
10.4.8. Теорема строгой отделимости. Пусть (X, ? ) — ло-
кально выпуклое пространство, K и V — непустые выпуклые мно-
жества в X, причем K компактно, V замкнуто и K ? V = ?. Тогда
существует функционал f ? (X, ? ) такой, что

sup Re f (K) < inf Re f (V ).

Локально выпуклое пространство, конечно же, регулярно.
Отсюда с учетом компактности K следует, что для подходящей вы-
пуклой окрестности нуля W множество U := K + W не пересекает-
ся с V (достаточно рассмотреть базисы, порожденные множества-
ми вида K + W и V + W , где W — замкнутая окрестность нуля).
На основании 3.1.10 заключаем, что U выпукло. Помимо этого,
K ? int U = core U . По теореме отделимости Эйдельгайта 3.8.14
найдется функционал l ? (XR )# , обладающий тем свойством, что
гиперплоскость {l = 1} в XR разделяет V и U и не содержит то-
чек ядра U . Очевидно, что l ограничен сверху на W и, стало быть,
l ? (XR , ? ) по критерию 7.5.1. Если f := Re?1 l, то, в связи с 3.7.5,
f ? (X, ? ) . Ясно, что функционал f — искомый.
10.4.9. Теорема Мазура. Выпуклые замкнутые множества во
всех согласованных с двойственностью топологиях одни и те же.
При усилении топологии количество замкнутых множеств уве-
личивается. Значит, ввиду 10.4.5 нужно убедиться лишь в том, что
если U выпукло и замкнуто в топологии Макки, то U слабо замкну-
то. Последнее несомненно, ибо, по теореме 10.4.8, U есть пересечение
слабо замкнутых множеств типа {Re f ? t}, где f — (слабо) непре-
рывный линейный функционал, а t ? R.

10.5. Поляры
10.5.1. Определение. Пусть X, Y — некоторые множества
и F ? X ? Y — соответствие. Для множеств U в X и V в Y по-
10.5. Поляры 231

лагают

?(U ) := ?F (U ) := {y ? Y : F ?1 (y) ? U };
?1
? ?1 (V ) := ?F (V ) := {x ? X : F (u) ? V }.

При этом ?(U ) называют (прямой) полярой U , а множество ? ?1 (V )
— (обратной) полярой V .
10.5.2. Имеют место утверждения:
(1) ?(u) := ?({u}) = F (u), ?(U ) = ?u?U ?(u);
(2) ?(??? U? ) = ??? ?(U? );
?1
(3) ?F (V ) = ?F ?1 (V );
(4) U1 ? U2 ? ?(U1 ) ? ?(U2 );
(5) U ? V ? F ? V ? ?(U ), U ? ? ?1 (V );
(6) U ? ? ?1 (?(U )).
10.5.3. Критерий Акилова. Множество U в X является по-
лярой некоторого множества в Y в том и только в том случае, если
для каждого x ? X \ U найдется y ? Y , для которого

U ? ? ?1 (y), x ? ? ?1 (y).
/

?: Если U = ? ?1 (V ), то будет U = ?v?V ? ?1 (v) на основании
10.5.2 (1).
?: Включение U ? ? ?1 (y) означает, что y ? ?(U ). Итак, по
условию U = ?y??(U ) ? ?1 (y) = ? ?1 (?(U )).
10.5.4. Следствие. Множество ? ?1 (?(U )) — это наименьшая
(по включению) поляра, содержащая множество U .
?1
10.5.5. Определение. Множество ?F (?F (U )) называют бипо-
лярой множества U (относительно соответствия F ).
10.5.6. Примеры.
(1) Пусть (X, ?) — упорядоченное множество, а U —
подмножество X. Тогда ?? (U ) — это совокупность всех верхних гра-
ниц U (ср. 1.2.7).
(2) Пусть (H, (· , ·)H ) — гильбертово пространство и
F := {(x, y) ? H 2 : (x, y)H = 0}. Тогда для всех U в H выпол-
нено ?(U ) = ? ?1 (U ) = U ? . Биполяра U в этом случае совпадает с
замыканием линейной оболочки U .
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
232

(3) Пусть X — нормированное пространство и X — со-
пряженное пространство. Пусть F := {(x, x ) : x (x) = 0}. Тогда
?(X0 ) = X0 и ? ?1 (X0 ) = ?X0 для подпространства X0 в X и под-
?

пространства X0 в X (см. 7.6.8). При этом ? ?1 (?(X0 )) = cl X0
в силу 7.5.14.
10.5.7. Определение. Пусть X - Y . Положим

pol := {(x, y) ? X ? Y : Re x | y ? 1};
abs pol := {(x, y) ? X ? Y : | x | y | ? 1}.

Для прямой и обратной поляр относительно соответствия pol ис-
пользуют единое название «поляры» и обозначения ?(U ) и ?(V );
в случае соответствия abs pol говорят об абсолютных полярах и пи-
шут U ? и V ? (для U ? X и V ? Y ).
10.5.8. Теорема о биполяре. Биполяра ? 2 (U ) := ?(?(U )) —
это наименьший слабо замкнутый конический отрезок, содержащий
множество U .
Следует из 10.4.8 и критерия Акилова.
10.5.9. Теорема об абсолютной биполяре. Абсолютная би-
поляра U ?? := (U ? )? — это наименьшее слабо замкнутое абсолютно
выпуклое множество, содержащее множество U .
Достаточно заметить, что поляра уравновешенного множе-
ства совпадает с его абсолютной полярой, и применить 10.5.8.

10.6. Слабо компактные выпуклые множества
10.6.1. Пусть X — вещественное локально выпуклое простран-
ство и p : X > R — непрерывный сублинейный функционал на X.
Тогда (топологический) субдифференциал ?(p) компактен в тополо-
гии ?(X , X).
Положим Q := x?X [?p(?x), p(x)] и наделим Q тихоновской
топологией. Ясно, что ?(p) ? Q и тихоновская топология в Q инду-
цирует в ?(p) ту же топологию, что и ?(X , X). Несомненно, что
множество ?(p) замкнуто в Q из-за непрерывности p. Учитывая те-
перь теорему Тихонова 9.4.8 и 9.4.9, заключаем, что ?(p) является
?(X , X)-компактным множеством.
10.6. Слабо компактные выпуклые множества 233

10.6.2. Субдифференциал любой непрерывной полунормы сла-
бо компактен.
10.6.3. Теорема о строении субдифференциала. Пусть X
— вещественное векторное пространство. Множество U в X # явля-
ется субдифференциалом (всюду определенного и притом единствен-
ного) сублинейного функционала sU : X > R в том и только в том
случае, если U непусто, выпукло и ?(X # , X)-компактно.
?: Пусть U = ?(sU ) для некоторого sU . Единственность sU
обеспечена 3.6.6. В связи с 10.2.12 понятно, что зеркало топологии
Макки ? (X, X # ) — это сильнейшая мультинорма в X (см. 5.1.10
(2)). Отсюда выводим, что функционал sU непрерывен в ? (X, X # ).
На основании 10.6.1 множество U компактно в ?(X # , X). Выпук-
лость и непустота U очевидны.
?: Положим sU (x) := sup{l(x) : l ? U }. Бесспорно, что sU
— сублинейный функционал и dom sU = X. По определению U ?
?(sU ). Если же l ? ?(sU ) и l ? U , то по теореме строгой отделимости
/
10.4.8 и теореме о дуализациях 10.3.9 для некоторого x ? X будет
sU (x) < l(x). Получаем противоречие.
10.6.4. Определение. Сублинейный функционал sU , постро-
енный в теореме 10.6.3, называют опорной функцией множества U .
10.6.5. Теорема Крейна — Мильмана. Каждое компактное
выпуклое множество в локально выпуклом пространстве является
замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек.
Пусть U — такое множество в пространстве X. Можно счи-
тать, что пространство X — вещественное и что U = ?. В си-
лу 9.4.12, U компактно в топологии ?(X, X ). Поскольку ?(X, X )
# #
индуцируется в X топологией ?(X , X ) в X , то U = ?(sU ). Здесь
(см. 10.6.3) sU : X > R действует по правилу sU (x ) := sup x (U ). По
теореме Крейна — Мильмана для субдифференциалов 3.6.5 множе-
ство крайних точек ext(U ) не пусто. Замыкание выпуклой оболочки
множества ext(U ) является субдифференциалом по теореме 10.6.3.
Кроме того, это множество имеет sU своей опорной функцией и,
стало быть, совпадает с U (ср. 3.6.6).
10.6.6. Пусть X - Y и S — конический отрезок в X. Пусть,
далее, pS — функционал Минковского S. Поляра ?(S) служит про-
образом при кет-отображении (алгебраического) субдифференциала
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
234

?(pS ), т. е.
?1
?(S) = | ?(pS ) R.

Если S — абсолютно выпуклое множество, то абсолютная поляра S ?
является прообразом при кет-отображении (алгебраического) суб-
дифференциала полунормы |?|(pS ), т. е.

S ? = | |?|(pS ) ?1
.

Если y ? YR таков, что y ? | ?(pS ) ?1 , то | y R входит в
R
?(pS ). Значит, для x ? S выполнено Re x | y = x | y R = | y R (x) ?
pS (x) ? 1, ибо S ? {pS ? 1} по теореме о функционале Минковско-
го 3.8.7. Следовательно, y ? ?(S).
Если, в свою очередь, y ? ?(S), то элемент | y R входит в ?(pS ).
В самом деле, для любого элемента x из XR при ? > pS (x) имеем
1 > pS (??1 x), т. е. ??1 x ? {pS < 1} ? S. Отсюда ??1 x | y R =
Re ??1 x | y = ??1 Re x | y ? 1. Окончательно получаем | y R (x) ?
?. Из-за произвольности выбора ? последнее неравенство означает,
что | y R (x) ? pS (x). Иначе говоря, y ? | ?(ps ) ?1 . Тем самым равен-
R
ство ?(S) = | ?(pS ) ?1 установлено. Оставшаяся часть утверждения
R
следует из свойств комплексификатора 3.7.3 и 3.7.9.
10.6.7. Теорема Алаоглу — Бурбаки. Поляра окрестности
нуля любой согласованной с двойственностью топологии является
слабо компактным выпуклым множеством.
Пусть U — окрестность нуля в пространстве X и ?(U ) —
поляра U (в двойственности X - X ). Так как U ? {p ? 1}
для некоторой непрерывной полунормы p, на основании 10.5.2 (4),
?
?(U ) ? ?({p ? 1}) = ?(Bp ) = Bp . Привлекая 10.6.6 и учитывая,
что p есть функционал Минковского Bp , видим, что ?(U ) ? |?|(p).
В силу 10.6.2 топологический субдифференциал полунормы |?|(p)
является ?(X , X)-компактным. По определению ?(U ) — слабо за-
мкнутое множество. Остается сослаться на 9.4.9, чтобы убедиться в
?(X , X)-компактности ?(U ). Выпуклость ?(U ) несомненна.

10.7. Рефлексивные пространства
10.7.1. Критерий Какутани. Нормированное пространство
рефлексивно в том и только в том случае, если единичный шар в
нем слабо компактен.
10.7. Рефлексивные пространства 235

?: Пусть X рефлексивно, т. е. (X) = X . Иными словами,
образ X при двойном штриховании совпадает с X . Так как шар
BX — это поляра шара BX при двойственности X - X , то BX
— это ?(X , X )-компактное множество по теореме Алаоглу — Бур-
баки 10.6.7. Остается эаметить, что BX есть (образ при двойном
штриховании) BX , а ?(X, X ) есть (прообраз при двойном штрихо-
вании) ?(X , X ).
?: Рассмотрим двойственность X - X . По определению шар
BX представляет собой биполяру BX (точнее говоря, биполяру мно-
жества (BX ) ). Привлекая теорему об абсолютной биполяре 10.5.9
и учитывая, что слабая топология ?(X, X ) индуцирована в X то-
пологией ?(X , X ), заключаем, что BX = BX (из-за бесспорной
абсолютной выпуклости и замкнутости этого множества, обеспечен-
ной условием его компактности). Таким образом, X рефлексивно.
10.7.2. Следствие. Нормированное пространство будет рефле-
ксивным в том и только в том случае, если любое ограниченное за-
мкнутое выпуклое множество в нем слабо компактно.
10.7.3. Следствие. Каждое замкнутое подпространство реф-
лексивного пространства рефлексивно.
По теореме Мазура 10.4.9 рассматриваемое подпространство,
а потому и шар в нем слабо замкнуты. Стало быть, достаточно
дважды применить критерий Какутани.
10.7.4. Теорема Петтиса. Банахово пространство и сопряжен-
ное к нему пространство рефлексивны (или не рефлексивны) одно-
временно.
Если X рефлексивно, то ?(X , X) совпадает с ?(X , X ),
стало быть, учитывая теорему Алаоглу — Бурбаки 10.6.7, заключа-
ем, что BX — это ?(X , X )-компактное множество. Значит, X
рефлексивно. Если же рефлексивно X , то по уже доказанному ре-
флексивно X . Но X, будучи банаховым пространством, являет-
ся замкнутым подпространством X . Итак, X рефлексивно в си-
лу 10.7.3.
10.7.5. Теорема Джеймса. Банахово пространство рефлек-
сивно в том и только в том случае, если любой непрерывный (веще-
ственно) линейный функционал принимает наибольшее значение на
единичном шаре этого пространства.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
236

10.8. Пространство C(Q, R)
10.8.1. Замечание. Всюду в текущем параграфе Q — непу-
стой компакт (= непустое компактное хаусдорфово пространство),
а C(Q, R) — это множество непрерывных вещественных функций
на Q. Множество C(Q, R) без особых на то указаний рассматрива-
ют с естественными «поточечными» алгебраическими операциями
и отношением порядка, а также с топологией нормы · := · ? ,
отвечающей метрике Чебыш?ва (см. 4.6.8). В этом смысле тракту-
е
ют высказывания: «C(Q, R) — это векторная решетка», «C(Q, R)
— это банахова алгебра» и им подобные. Если в C(Q, R) вводят
какие-либо иные структуры, то это обязательно оговаривают явно.
10.8.2. Определение. Подмножество L в C(Q, R) называют
подрешеткой, если для f1 , f2 ? L выполнено f1 ? f2 ? L, f1 ? f2 ? L,
где, как обычно,

f1 ? f2 (q) := f1 (q) ? f2 (q),
f1 ? f2 (q) := f1 (q) ? f2 (q) (q ? Q).

10.8.3. Замечание. Следует иметь в виду, что быть подрешет-
кой в пространстве C(Q, R) — это больше, чем быть решеткой от-
носительно порядка, индуцированного из C(Q, R).
10.8.4. Примеры.
(1) ?; C(Q, R); замыкание подрешетки.
(2) Пересечение любого множества подрешеток — снова
подрешетка.
(3) Пусть L — некоторая подрешетка и Q0 — подмноже-
ство Q. Положим

LQ0 := {f ? C(Q, R) : (? g ? L) g(q) = f (q) (q ? Q0 )}.

Тогда LQ0 — подрешетка. При этом L ? LQ0 .
(4) Пусть Q0 — компактное подмножество Q. Для под-
решетки L в C(Q, R) положим

: f ?L .
L := f
Q0 Q0
10.8. Пространство C(Q, R) 237

Таким образом, выполнено

LQ0 = f ? C(Q, R) : f ?L .
Q0 Q0

Ясно, что L Q — подрешетка в C(Q0 , R). Если при этом L —
0
векторная подрешетка в C(Q, R), т. е. векторное подпространство
и одновременно подрешетка C(Q, R), то L Q — векторная подре-
0
шетка в C(Q0 , R) (разумеется, если Q0 = ?).
(5) Пусть Q := {1, 2}. Тогда C(Q, R) R2 . Любая
ненулевая векторная подрешетка в R2 задается в виде

{(x1 , x2 ) ? R2 : ?1 x1 = ?2 x2 }

для некоторых ?1 , ?2 ? R+ .
(6) Пусть L — векторная подрешетка C(Q, R). Если
q ? Q, то возникает альтернатива: либо L{q} = C(Q, R), либо L{q} =
{f ? C(Q, R) : f (q) = 0}. Если же q1 , q2 — две различные точки
Q и L {q ,q } = 0, то в силу 10.8.4 (5) найдутся числа ?1 , ?2 ? R+
12
такие, что

L{q1 ,q2 } = {f ? C(Q, R) : ?1 f (q1 ) = ?2 f (q2 )}.

10.8.5. Пусть L — подрешетка в пространстве C(Q, R). Функ-
ция f ? C(Q, R) входит в замыкание L в том и только в том
случае, если для любых ? > 0 и (x, y) ? Q2 существует функция
f := fx,y,? ? L, удовлетворяющая условиям

f (x) ? f (x) < ?, f (y) ? f (y) > ??.

?: Очевидно.
?: На основании 3.2.10 и 3.2.11 можно считать, что f = 0. Возь-
мем ? > 0. Зафиксируем x ? Q и рассмотрим функцию gy := fx,y,? ?
L. Пусть Vy := {q ? Q : gy (q) > ??}. Тогда Vy — открытое множе-
ство и y ? Vy . В силу компактности Q найдутся y1 , . . . , yn ? Q, для
которых Q = Vy1 ? . . . ? Vyn . Положим fx := gy1 ? . . . ? gyn . Ясно,
что fx ? L. Помимо этого, fx (x) < ? и fx (y) > ?? при всех y ? Q.
Пусть теперь Ux := {q ? Q : fx (q) < ?}. Множество Ux открыто и
x ? Ux . Вновь используя компактность Q, подыщем x1 , . . . , xm ? Q
такие, что Q = Ux1 ? . . . ? Uxm . Положим, наконец, l := fx1 ? . . . ? fxm .
Несомненно, что l ? L и l < ?.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
238

10.8.6. Замечание. Предложение 10.8.5 называют обобщенной
теоремой Дини (ср. 7.2.10).
10.8.7. Лемма Какутани. Для любой подрешетки L в C(Q, R)
выполнено
cl L = cl L{q1 ,q2 } .
(q1 ,q2 )?Q2

Включение cl L в cl L{q1 ,q2 } для каждого (q1 , q2 ) ? Q2 бес-
спорно. Если же f ? cl L{q1 ,q2 } при всех таких q1 , q2 , то, в силу
предложения 10.8.5, f ? cl L.
10.8.8. Следствие. Для любой векторной подрешетки L в про-
странстве C(Q, R) справедливо представление

cl L = L{q1 ,q2 } .
)?Q2
(q1 ,q2

В данном случае множество L{q1 ,q2 } замкнуто.
10.8.9. Определение. Говорят, что множество U в F Q разделя-
ет точки Q, если для любых точек q1 , q2 ? Q таких, что q1 = q2 , су-
ществует функция u ? U , принимающая различные значения в этих
точках: u(q1 ) = u(q2 ).
10.8.10. Теорема Стоуна. Содержащая постоянные функции,
разделяющая точки векторная подрешетка в пространстве C(Q, R)
плотна в C(Q, R).
Если L — рассматриваемая подрешетка, то

L{q1 ,q2 } = C(Q, R){q1 ,q2 }

для всякой пары (q1 , q2 ) ? Q2 (см. 10.8.4 (6)). Осталось привлечь
10.8.8.
10.8.11. Пусть µ ? C(Q, R) . Положим

N (µ) := {f ? C(Q, R) : [0, |f |] ? ker µ}.

Тогда существует, и притом единственное, замкнутое подмножество
supp(µ) в Q такое, что

f ? N (µ) ? f = 0.
supp(µ)
10.8. Пространство C(Q, R) 239

По лемме о сумме промежутков 3.2.15

[0, |f |] + [0, |g|] = [0, |f | + |g|].

Таким образом, f, g ? N (µ) ? |f | + |g| ? N (µ). Поскольку N (µ)
— порядковый идеал, т. е. (f ? N (µ) & 0 ? |g| ? |f | ? g ? N (µ)),
заключаем, что N (µ) — это векторное подпространство. Более того,
N (µ) замкнуто. В самом деле, пусть fn ? 0, fn > f и fn ? N (µ).
Тогда для g ? [0, f ] выполнено g ? fn > g и g ? fn ? [0, fn ]. Отсюда
следует, что µ(g) = 0, т. е. f ? N (µ).
В силу 10.8.8, учитывая, что N (µ) — порядковый идеал, имеем

N (µ) = N (µ){q} .
q?Q


Определим множество supp(µ) следующим образом:

q ? supp(µ) ? N (µ){q} = C(Q, R) ? (f ? N (µ) ? f (q) = 0).

Несомненно, что supp(µ) — замкнутое множество. При этом спра-
ведливы соотношения

N (µ) = N (µ){q} =
q?supp(µ)

= {f ? C(Q, R) : f = 0}.
supp(µ)


Утверждение об единственности вытекает из нормальности Q (см.
9.4.14) и теоремы Урысона 9.3.14.
10.8.12. Определение. Множество supp(µ), фигурирующее в
предложении 10.8.11, называют носителем µ (ср. 10.9.4 (5)).
10.8.13. Замечание. Если функционал µ положителен, то

N (µ) = {f ? C(Q, R) : µ(|f |) = 0}.

Следовательно, если при этом µ(f g) = 0 для всех g ? C(Q, R), то
f supp(µ) = 0. Аналогично supp(µ) = ? ? N (µ) = C(Q, R) ?
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
240

µ = 0. Таким образом, обращаться с носителями положительных
функционалов удобнее.

<<

стр. 7
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>