<<

стр. 8
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

Пусть F — замкнутое подмножество Q. Говорят, что F нес?т µе
или что в X \ F нет µ, если для всякой непрерывной функции f ,
у которой supp(f ) ? Q \ F , выполнено µ(|f |) = 0. Носитель supp(µ)
нес?т µ, при этом любое несущее µ замкнутое множество в Q содер-
е
жит supp(µ). Иными словами, носитель µ — это дополнение наи-
большего открытого множества, в котором нет µ (ср. 10.10.5 (6)).
Полезно уяснить, что в силу 3.2.14 и 3.2.15 с каждым ограни-
ченным функционалом µ можно связать положительные (а пото-
му и ограниченные) функционалы µ+ , µ? , |µ|, определенные для
f ? C(Q, R)+ очевидными равенствами:
µ? (f ) = ? inf µ[0, f ]; |µ| = µ+ + µ? .
µ+ (f ) = sup µ[0, f ];
Более того, C(Q, R) является K-пространством (ср. 3.2.16).
10.8.14. Носители µ и |µ| совпадают.
По определению N (µ) = N (|µ|).
10.8.15. Пусть 0 ? a ? 1 и aµ : f > µ(af ) при f ? C(Q, R)
и µ ? C(Q, R) . Тогда |aµ| = a|µ|.
Для f ? C(Q, R)+ есть оценка

(aµ)+ (f ) = sup{µ(ag) : 0 ? g ? f } ? sup µ[0, af ] =
= µ+ (af ) = aµ+ (f ).
Помимо этого,
µ+ = (aµ + (1 ? a)µ)+ ? (aµ)+ + ((1 ? a)µ)+ ? aµ+ + (1 ? a)µ+ = µ+ .
Значит, (aµ)+ = aµ+ , откуда и вытекает требуемое.
10.8.16. Лемма де Бранжа. Пусть A — содержащая постоян-
ные функции подалгебра C(Q, R) и µ ? ext(A? ? BC(Q, R) ). Тогда
сужение любой функции из A на носитель µ — постоянная функция.
Если µ = 0, то supp(µ) = ? и доказывать ничего не надо.
Если же µ = 0, то, конечно, µ = 1. Возьмем a ? A. Поскольку по-
далгебра A содержит постоянные функции, достаточно рассмотреть
случай, когда 0 ? a ? 1 и при этом
q ? supp(µ) ? 0 < a(q) < 1.
10.8. Пространство C(Q, R) 241

Положим µ1 := aµ и µ2 := (1 ? a)µ. Ясно, что µ1 + µ2 = µ, причем
функционалы µ1 и µ2 ненулевые. Более того,

µ ? µ1 + µ2 =

= sup µ(af ) + sup µ((1 ? a)g) = µ(af + (1 ? a)g) ? µ ,
sup
f ?1 g ?1 f ?1, g ?1

ибо очевидным образом выполнено

aBC(Q, R) + (1 ? a)BC(Q, R) ? BC(Q, R) .

Итак, µ = µ1 + µ2 . Следовательно, из представления
µ1 µ2
µ = µ1 + µ2 ,
µ1 µ2

учитывая, что µ1 , µ2 ? A? , заключаем: µ1 = µ1 µ. В силу 10.8.15,
a|µ| = |aµ| = |µ1 | = µ1 |µ|. Значит, |µ|((a ? µ1 1)g) = 0 для всех
g ? C(Q, R). Используя 10.8.13 и 10.8.14, выводим, что функция a
постоянна на носителе µ.
10.8.17. Теорема Стоуна — Вейерштрасса. Каждая содер-
жащая постоянные функции разделяющая точки подалгебра C(Q, R)
плотна в алгебре C(Q, R).
По теореме об абсолютной биполяре 10.5.9 в случае, если рас-
сматриваемая подалгебра A не плотна в C(Q, R), подпространство
A? (оно же — A? ) в C(Q, R) ненулевое.
Привлекая теорему Алаоглу — Бурбаки 10.6.7, видим, что A? ?
BC(Q,R) — это непустое абсолютно выпуклое слабо компактное мно-
жество, а потому на основании теоремы Крейна — Мильмана 10.6.5
в нем имеется крайняя точка µ.
Несомненно, что µ — ненулевой функционал. В то же время по
лемме де Бранжа носитель µ не может содержать двух различных
точек, ибо A разделяет точки Q. Носитель µ не является одното-
чечным множеством, поскольку µ обращается в нуль на постоян-
ных функциях. Стало быть, supp(µ) — это пустое множество. По-
следнее означает (см. 10.8.13), что µ — нулевой функционал. Полу-
чили противоречие, показывающее, что подпространство A плотно
в C(Q, R).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
242

10.8.18. Следствие. Замыкание любой подалгебры в C(Q, R)
— векторная подрешетка в C(Q, R).
По теореме Стоуна — Вейерштрасса можно подыскать много-
член pn такой, что при всех t ? [?1, 1] будет

1
|pn (t) ? |t| | ? .
2n

Тогда |pn (0)| ? 1/2n. Поэтому для многочлена

pn (t) := pn (t) ? pn (0)

выполнено |pn (t) ? |t| | ? 1/n при ?1 ? t ? 1. По построению у pn
нет свободного члена. Если теперь функция a лежит в подалгебре
A в C(Q, R) и a ? 1, то

1
|pn (a(q)) ? |a(q)| | ? (q ? Q).
n

При этом элемент q > pn (a(q)), конечно же, содержится в A.
10.8.19. Замечание. Следствие 10.8.18 (вместе с 10.8.8) дает
полное описание всех замкнутых подалгебр в C(Q, R). В свою оче-
редь, как видно из доказательства, 10.8.18 легко установить, непо-
средственно предъявляя какую-либо последовательность многочле-
нов, равномерно сходящуюся к функции t > |t| на отрезке [?1, 1].
Вывести 10.8.17, опираясь на 10.8.18, не составляет труда.
10.8.20. Теорема Титце — Урысона. Пусть Q0 — компакт-
ное подмножество Q и f0 ? C(Q0 , R). Тогда существует функция
f ? C(Q, R) такая, что f Q = f0 .
0

Пусть Q0 = ? (иначе нечего доказывать). Рассмотрим вло-
жение ? : Q0 > Q и возникающий ограниченный линейный оператор
? ?
? : C(Q, R) > C(Q0 , R), действующий по правилу ?f := f ? ?. Тре-
?
буется установить, что ? — эпиморфизм. Поскольку несомненно,
?
что im ? — это разделяющая точки, содержащая постоянные функ-
ции подалгебра C(Q0 , R), в силу 10.8.17 достаточно (и, разумеется,
?
необходимо) проверить, что im ? — замкнутое подпространство.
10.9. Меры Радона 243
?
Рассмотрим снижение ? оператора ? на собственный кообраз
? ?
coim ? := C(Q, R)/ ker ? и соответствующее каноническое отображе-
ние ?. Для f ? C(Q, R) положим

g := (f ? sup |f (Q0 )|1) ? (? sup |f (Q0 )|1).

, т. е. f := ?(f ) = ?(g). Значит, g ?
По определению f =g
Q0 Q0
f . Помимо этого,
?
: ?(h ? f ) = 0 =
f = inf h C(Q,R)

?
h :h =f
= inf C(Q,R) Q0 Q0
? inf h :h =f =
Q0 C(Q,R) Q0 Q0

= sup |f (Q0 )| = g ? f .

Таким образом, выполнено
? ?
?f = ?g = ?g =
C(Q0 ,R)

= g?? = sup |g(Q0 )| = g = f ,
C(Q0 ,R)

т. е. ? — изометрия. Применяя последовательно 5.5.4 и 4.5.15, вы-
?
водим сначала, что coim ? — банахово пространство, а затем — что
?
im ? замкнуто в C(Q0 , R). Осталось заметить, что im ? = im ?.

10.9. Меры Радона
10.9.1. Определение. Пусть — это локально компактное то-
пологическое пространство. Полагают K( ) := K( , F) := {f ?
C( , F) : supp(f ) — компакт}. Если Q — компакт в , то счи-
тают K(Q) := K (Q) := {f ? K( ) : supp(f ) ? Q}. Простран-
ство K(Q) наделяют нормой · ? . При E ? Op ( ) полагают
K(E) := ? {K(Q) : Q E}. (Запись Q E для подмножества E в
означает, что Q компактно и Q лежит во внутренности E, вычис-
ленной в пространстве .)
10.9.2. Справедливы утверждения:
(1) для Q и f ? C(Q, F) верно

=0? ? g ? K(Q) g
f =f .
?Q Q
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
244

При этом K(Q) — банахово пространство;
(2) пусть Q, Q1 , Q2 — компактные множества и Q
Q1 ? Q2 . Линейная оболочка в C(Q, F) следов на
Q функций вида u1 · u2 (q1 , q2 ) := u1 ? u2 (q1 , q2 ) :=
u1 (q1 )u2 (q2 ) для us ? K(Qs ) плотна в C(Q, F);
(3) если — компакт, то K( ) = C( , F). Пусть
не компактно. Тогда при естественном вложении в
C( · , F), где · := ? {?} — александровская ком-
пактификация , пространство K( ) плотно в гипер-
плоскости {f ? C( · , F) : f (?) = 0};
(4) отображение E ? Op ( ) > K(E) ? Lat (K( )) со-
храняет точные верхние границы;
(5) для E , E ? Op ( ) точна следующая последователь-
ность:


?(E ?(E
,E ) ,E )
0 > K(E ? E ) ? ? ? K(E ) ? K(E ) ? ? ? K(E ? E ) > 0,
? ?> ??>

где ?(E := (f, ?f ), ?(E
,E ) f g) := f + g.
,E ) (f,

(1) Граница ?Q — это и граница внешности int( \ Q).
(2) Исследуемое множество — подалгебра. Заключение следует
из 9.3.13 и 10.8.17 (ср. 11.8.2).
(3) Можно считать, что F = R. Учитывая, что K( ) — порядко-
вый идеал, в силу 10.8.8 заключаем требуемое (ибо K( ) разделяет
точки · ) (ср. 10.8.11).
(4) Ясно, что K(sup ?) = K(?) = 0. Если E ? Op ( ) и E
фильтровано по возрастанию, то для f ? K(?E ) будет: supp(f ) ?
E для некоторого E ? E (в силу компактности supp(f )). Отсюда
K(?E ) = ?{K(E) : E ? E }. Пусть, наконец, E1 , . . . , En ? Op ( ) и
f ? K(E1 ? . . . ? En ). В соответствии с 9.4.18 имеются ?k ? K(Ek )
n n
такие, что k=1 ?k = 1. При этом f = k=1 ?k f и supp(f ?k ) ?
Ek (k := 1, . . . , n).
(5) немедленно следует из (4).

10.9.3. Определение. Функционал µ ? K( , F)# называют
мерой (более полно, F-мерой) Радона на и пишут µ ? M ( ) :=
M ( , F), если µ K(Q) ? K(Q) , как только Q . Используют
10.9. Меры Радона 245

обозначения

f (x) dµ(x) := µ(f ) (f ? K( )).
f dµ := f dµ :=


Величину µ(f ) называют интегралом f по мере µ. В этой связи
меру µ именуют интегралом.
10.9.4. Примеры.
(1) Для q ? мера Дирака ?q : f > f (q) (f ? K( ))
служит мерой Радона. Ее часто обозначают символом ?q и называют
дельта-функцией в точке q.
Пусть дополнительно наделено структурой группы, причем
обращение q ? > q ?1 ? и групповое умножение (s, t) ? ? >
st ? непрерывны, т. е. — локально компактная группа. Симво-
лом ? обозначают ?e , где e — единица . Для абелевых (коммутатив-
ных) групп используется также символика, связанная со сложением.
В K( ) для a ? имеются операторы (левого и правого) сдвигов
(a ? f )(q) := a f (q) := f (a?1 q),
(?a f )(q) := fa (q) := f (qa?1 )
(f ? K( ), q ? ) (сдвигается f в ? F). Ясно, что a ? , ?a ?
L (K( )). Важным и глубоким обстоятельством является наличие
нетривиальной инвариантной относительно левых (соответственно,
правых) сдвигов меры из M ( , R). (Лево)инвариантные меры Ра-
дона пропорциональны. (Каждую) ненулевую (левоинвариантную)
положительную меру Радона называют (левой) мерой Хаара (реже
интегралом Хаара). В случае правых сдвигов используют термин
(правая) мера Хаара. Для абелевых групп всегда говорят о мерах
Хаара. В пространстве RN такой мерой служит обычная мера Лебе-
га. В связи с этим для обозначения общих мер Хаара и интегралов
по ним используют символику, аналогичную принятой для меры Ле-
бега. В частности, условие левоинвариантности записывают в виде

f (a?1 x) dx = f (x) dx (f ? K( ), a ? ).


(2) Пусть M ( ) := (K( ), · ? ) . Элементы M ( ) на-
зывают конечными или ограниченными мерами Радона. Ясно, что
ограниченные меры взяты из пространства C( · , F) (см. 10.9.2 (2)).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
246

(3) Для µ ? M ( ) полагают µ? (f ) = µ(f ? )? , где f ? (q) :=
f (q)? для q ? и f ? K( ). Меру µ? называют эрмитово сопря-
женной к µ. Различие µ? и µ возникает лишь при F = C. Если
µ = µ? , то говорят о вещественной C-мере. Ясно, что µ = µ1 + iµ2 ,
где µ1 , µ2 — единственным образом определенные вещественные C-
меры. В свою очередь, вещественная C-мера порождается двумя
R-мерами (вещественными мерами из M ( , R)), ибо K( , C) —
это комплексификация K( , R) ? iK( , R). Вещественные R-меры,
очевидно, составляют K-пространство. При этом интеграл по ме-
ре служит (пред)интегралом и возникает возможность без особых
оговорок рассматривать соответствующие лебеговы расширения и
связанные с ними пространства суммируемых (в том числе вектор-
нозначных) функций (ср. 5.5.9 (4), 5.5.9 (5)).
С каждой мерой Радона µ связывают положительную меру |µ|,
определенную для f ? K( , R), f ? 0, соотношением

|µ|(f ) := sup{|µ(g)| : g ? K( , F), |g| ? f }.

Часто под словом меры понимают положительные меры, прочие ме-
ры в этом случае называют зарядами.
Меры µ и ? называют дизъюнктными или независимыми, если
|µ| ? |?| = 0. Меру ? называют абсолютно непрерывной относи-
тельно µ, если ? не зависит от мер, независимых от µ. Такую меру
? можно задать в виде ? = f µ, где f ? L1,loc (µ) и мера f µ (с плот-
ностью f относительно µ) действует по правилу (f µ)(g) := µ(f g)
(g ? K( )) (= теорема Радона — Никодима).
(4) Если ? Op ( ) и µ ? M ( ), то определено суже-
ние µ := µ K( ) . Оператор ограничения µ > µ из M ( ) в M ( )
удовлетворяет условию согласования: для ? ? и µ ? M( )
верно µ = (µ ) . Эту ситуацию выражают словами: отображе-
ние M : E ? Op ( ) > M (E) и оператор ограничения (= функтор
M ) задают предпучок (векторных пространств). Полезно убедиться,
что отображение ограничения мер Радона не обязано быть эпимор-
физмом.
(5) Пусть E ? Op ( ) и µ ? M ( ). Говорят, что в E
нет µ или что \ E нес?т µ, если µE = 0. На основании 10.9.2 (4)
е
существует наименьшее замкнутое множество supp(µ), несущее µ, —
10.9. Меры Радона 247

носитель меры µ. Устанавливается, что supp(µ) = supp(|µ|). Вве-
денное определение согласовано с 10.8.12. Мера Дирака ?q — един-
ственная с точностью до множителя мера Радона с носителем {q}.
(6) Пусть k — локально компактное пространство и µk ?
M ( k ) (k := 1, 2). На произведении 1 ? 2 существует, и притом
единственная, мера µ такая, что для uk ? K( k ) выполнено

u1 (x)u2 (y) dµ(x, y) = u1 (x) dµ1 (x) u2 (y) dµ2 (y).
1? 2 1 2


Используют обозначения µ1 ?µ2 := µ1 ?µ2 := µ. Привлекая 10.9.2 (4),
видим, что для f ? K( 1 ? 2 ) значение µ1 ?µ2 (f ) можно вычислить
повторным интегрированием (= теорема Фубини для мер).
(7) Пусть G — локально компактная группа и заданы
µ, ? ? M (G). Для f ? K(G) функция f?(s, t) := f (st) непрерывна и
|(µ ? ?)(f?)| ? µ ? f ? . Тем самым определена мера Радона µ ?
?(f ) := (µ??)(f?) (f ? K(G)), называемая св?рткой µ и ?. Используя
е
векторные интегралы, получаем представления:

µ?? = ?s ? ?t dµ(s)d?(t) =
G?G

?s ? ? dµ(s) = µ ? ?t d?(t).
=
G G

Пространство ограниченных мер относительно св?ртки предста-
е
вляет собой банахову алгебру — св?рточную алгебру M (G). Эта ал-
е
гебра коммутативна в том и только в том случае, когда G — абелева
группа. В названном случае пространство L1 (G), построенное отно-
сительно меры Хаара m, также обладает естественной структурой
св?рточной алгебры (подалгебры M (G)). Ее называют групповой
е
алгеброй G. Таким образом, для f, g ? L1 (G) определения св?рток
е
функций и мер согласованы (ср. 9.6.17): (f ?g)dm = f dm?gdm. Ана-
логично определяют св?ртку µ ? M (G) и f ? L1 (G) соотношением
е
(µ ? f )dm := µ ? (f dm), т. е. как плотность св?ртки относительно
е
меры Хаара. При этом, в частности,

f ?g = ?x ? gf (x) dm(x) = ?x (g)f (x) dm(x).
G G
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
248

Теорема Венделя. Пусть T ? B(L1 (G)). Тогда эквивалентны
следующие утверждения:
(i) существует мера µ ? M (G) такая, что T f = µ ? f при
f ? L1 (G);
(ii) T перестановочен со сдвигами: T ?a = ?a T для a ?
G, где ?a — единственное ограниченное продолжение
оператора сдвига с K(G) на L1 (G);
(iii) T (f ? g) = (T f ) ? g при f, g ? L1 (G);
(iv) T (f ? ?) = (T f ) ? ? для ? ? M (G), f ? L1 (G).

10.9.5. Определение. Пространства K( ) и M ( ) приведе-
ны в двойственность (индуцированную двойственностью K( ) -
K( )# ). При этом пространство M ( ) наделяют локально выпук-
лой топологией ?(M ( ), K( )), которую обычно называют широ-
кой. Пространство K( ) в свою очередь снабжают топологией Мак-
ки ?K( ) := ? (K( ), M ( )) (поэтому, в частности, (K( ), ?K( ) ) =
M ( )). Пространство ограниченных мер M ( ) рассматривают, как
правило, с сопряженной нормой: µ := sup{|µ(f )| : f ? ? 1, f ?
K( )} (µ ? M ( )).

10.9.6. Топология ?K( ) — сильнейшая из таких локально вы-
пуклых топологий, что вложение K(Q) в K( ) непрерывно при всех
Q, для которых Q (т. е. ?K( ) — топология индуктивного пре-
дела (ср. 9.2.15)).
Если ? — топология индуктивного предела и µ ? (K( ), ? ) ,
то по определению µ ? M ( ), ибо µ ? ?K(Q) непрерывно при Q .
В свою очередь, для µ ? M ( ) множество VQ := {f ? K(Q) :
|µ(f )| ? 1} — окрестность нуля в K(Q). Учитывая определение ? ,
видим, что ? {VQ : Q } = {f ? K( ) : |µ(f )| ? 1} — окрестность
нуля в ? . Стало быть, µ ? (K( ), ? ) и ? согласована с двойствен-
ностью. Поэтому ? ? ?K( ) .
С другой стороны, если p — полунорма из зеркала топологии
Макки, то p — опорная функция субдифференциала в M ( ). Сле-
довательно, ее сужение q := p ? ?K(Q) на K(Q) во всяком случае по-
лунепрерывно снизу. По теореме Гельфанда 7.2.2 (из-за бочечности
K(Q)) полунорма q непрерывна. Значит, вложение ?K(Q) : K(Q) >
(K( ), ?K( ) ) непрерывно и ? ? ?K( ) по определению индуктивного
предела.
10.9. Меры Радона 249

10.9.7. Множество A в K(RN ) ограничено (в топологии индук-
тивного предела), если sup A ? < +? и, кроме того, носители эле-
ментов A лежат в общем компакте.
Пусть вопреки доказываемому для Q RN не верно, что A ?
K(Q). Иначе говоря, пусть для n ? N имеются qn ? RN и an ? A, для
которых an (qn ) = 0 и |qn | > n. Взяв B := {n|an (qn )|?1 ?qn : n ? N},
видим, что это множество мер Радона широко ограничено и, стало
быть, полунорма p(f ) := sup{|µ|(|f |) : µ ? B} непрерывна. При
этом p(an ) ? n|an (qn )|?1 ?qn (|an |) = n, что противоречит ограничен-
ности A.
10.9.8. Замечание. Пусть (fn ) ? K(RN ). Пишут fn K 0, ес-
ли (? Q R )(? n) supp(fn ) ? Q & fn ? > 0. Из 10.9.7 немедленно
N

следует, что µ ? K(RN )# является мерой Радона, если µ(fn ) > 0,
как только fn K 0. Отметим также, что это сохраняется для
любого локально компактного , счетного в бесконечности, т. е.
представляющего собой объединение счетного семейства компакт-
ных пространств.
10.9.9. Замечание. На R существуют последовательности ве-
щественных положительных многочленов (pn ) такие, что меры pn dx
широко сходятся к ? при n > +?. Рассматривая произведения мер,
приходим к таким полиномам Pn на пространстве RN , что Pn dx ши-
роко сходятся к ? (здесь, как обычно, dx := dx1 ? . . . ? dxN — мера
Лебега на RN ).
Пусть теперь f ? K(RN ) и f принадлежит классу C (m) в неко-
торой окрестности компакта Q (т. е. имеет там соответствующие
непрерывные производные). Рассматривая св?ртки (f ? Pn ), видим,
е
что это последовательность многочленов, равномерно аппроксими-
рующая на Q как f , так и ее производные до порядка m включи-
тельно.
Возможность подобной регуляризации принято называть обоб-
щенной теоремой Вейерштрасса в RN (ср 10.10.2 (4)).
10.9.10. Теорема о локальном задании меры. Пусть E —
открытое покрытие и (µE )E?E — семейство мер Радона: µE ?
M (E), причем для любой пары (E , E ) элементов E сужения мер
µE и µE на E ? E совпадают. Тогда существует, и притом един-
ственная, мера µ на , сужение которой на E равно µE для любого
E ? E.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
250

Привлекая 10.9.2 (5), построим последовательность
? ?
K(E ? E ) ?> K(E) ?> K( ) > 0,
{E ,E } E?E
E ,E ?E =E
,E
где ? порождено суммированием «координатных» вложений ?(E ,E ) ,
а ? — обычное сложение. Прямые суммы по общему правилу топо-
логизированы как индуктивные пределы (ср. 10.9.6).
Убедимся в точности построенной последовательности. Посколь-
ку выполнено K( ) = ?Q K(Q), с учетом 10.9.2 (4), можно ограни-
читься случаем конечного покрытия и установить точность во вто-
ром члене.
Итак, пусть для покрытий из n элементов {E1 , . . . , En } (n ? 2)
доказано, что точна последовательность
n
?n ?
n
Kn ?> K(Ek ) ?> K(E1 ? . . . ? En ) > 0,
k=1
где ?n — «сужение» ? на Kn , а отображение ?n — суммирование и
K(Ek ? El ).
Kn :=
k<l
k,l?{1,...,n}

По допущению im ?n = ker ?n . Если ?n+1 (f , fn+1 ) = 0, где f :=
(f1 , . . . , fn ), то ?n f = ?fn+1 и fn+1 ? K((E1 ? . . . ? En ) ? En+1 ).
На основании эпиморфности ?n , обеспеченной 10.9.2 (5), суще-
ствуют ?k ? K(Ek ? En+1 ) такие, что для ? := (?1 , . . . , ?n ) будет
?n ? = ?fn+1 . Отсюда (f ? ?) ? ker ?n и по допущению можно подо-
брать ? ? Kn , для которого ?n ? = f ? ?. Ясно, что
n
Kn+1 = Kn ? K(Ek ? En+1 )
k=1
(с точностью до изоморфизма), ? := (?, ?1 , . . . , ?n ) ? Kn+1 и ?n+1 ? =
(f , fn+1 ).
Переходя к сопряженной диаграмме (ср. 7.6.13), имеем точную
последовательность
? ?
0 > M ( ) ?> M (E) ?> M (E ? E ).
{E ,E }
E?E
E ,E ?E ,E =E
Это и требовалось установить.
10.10. Пространства D( ) и D ( ) 251

10.9.11. Замечание. В топологии предпучки, допускающие та-
кую возможность локального задания своих элементов, называют
пучками. В этой связи утверждение 10.9.10 выражают словами:
> M ( ) — это пучок или, более кате-
предпучок мер Радона
горично, функтор M — пучок (ср. 10.9.4 (4)).

10.10. Пространства D (?) и D (?)
10.10.1. Определение. Основной или пробной называют фи-
нитную гладкую функцию f : RN > F. При этом пишут f ?
D(RN ) := D(RN , F). Для Q RN и ? Op (RN ) полагают D(Q) :=
f ? D(RN ) : supp(f ) ? Q и D( ) := ? {D(Q) : Q }.
10.10.2. Справедливы утверждения:
(1) D(Q) = 0 ? int Q = ?;
(2) пусть Q RN и

??f
f n,Q := C(Q) :=
|?|?n

sup |(? ?1 . . . ? ?n f )(Q)|
:=
??(Z+)N
?1 +...+?N ?n

для гладкой (в окрестности Q) функции f (как обыч-
но, Z+ := N ? {0}). Мультинорма MQ := { · n,Q :
n ? N} превращает D(Q) в пространство Фреше;
(3) пространство гладких функций C? ( ) := E ( ) на
? Op (RN ) с мультинормой M := { · n,Q : n ?
N, Q } — пространство Фреше. При этом D( )
плотно в C? ( );
(4) пусть Q1 RN , Q2 RM и Q Q1 ? Q2 . Ли-
нейная оболочка в D(Q) следов на Q функций ви-
да f1 f2 (q1 , q2 ) := f1 ? f2 (q1 , q2 ) := f1 (q1 )f2 (q2 ), где
qk ? Qk , fk ? D(Qk ), плотна в D(Q);
(5) отображение E ? Op ( ) > D(E) ? Lat (D( )) сохра-
няет точные верхние границы:

D(E ? E ) = D(E ) ? D(E ),
D(E ? E ) = D(E ) + D(E );
D(?E ) = L (? {D(E) : E ? E }) (E ? Op ( )).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
252

При этом точной является следующая последователь-
ность (ср. 10.9.2 (5)):


?(E ,E ?(E ,E
) )
0 > D(E ? E ) ? ? ? D(E ) ? D(E ) ? ? ? D(E ? E ) > 0.
? ?> ? ?>

(1) и (2) очевидны.
(3) Выбираем последовательность (Qm )m?N , для которой Qm
Qm+1 , ?m?N Qm = . При этом мультинорма { · n,Qm :
, Qm
n ? N, m ? N} счетна и эквивалентна M . Ссылка на 5.4.2 об-
основывает метризуемость. Полнота сомнений не вызывает. Для
установления плотности D( ) в C? ( ) рассмотрим множество сре-
зывателей Tr ( ) := {? ? D( ) : 0 ? ? ? 1}. Превращаем Tr ( ) в
направление, полагая ?1 ? ?2 ? supp(?1 ) ? int{?2 = 1}. Ясно, что
для f ? C? ( ) сеть (?f )??Tr ( ) аппроксимирует f нужным образом.
(4) Пусть a(q , q ) := a (q )a (q ), где a , a — усредняющие ядра
в R и в RM соответственно, а q ? RN и q ? RM . Для f ? D(Q),
N

m ? N и ? > 0 подберем ? из условия f ? f ? a? m,Q ? ?/2. Учиты-
вая равностепенную непрерывность семейства F := {? ? f (q)?q (a? ) :
|?| ? m, q ? Q1 ? Q2 }, найдем конечные множества ? Q1 ,
? Q2 так, чтобы интеграл каждой функции из F с точностью
до 1/2 (N + 1)?m ? аппроксимировался суммой Римана, отвечающей
? . Возникающая при этом функция f из D(Q)
точкам из
требуемая, т. е. f ? f m,Q ? ?.
(5) устанавливают как 10.9.2 (4) с заменой 9.4.18 на 9.6.19 (2).
10.10.3. Замечание. Для проверки 10.10.2 (4) можно приме-
нить обобщенную теорему Вейерштрасса, соединенную со срезыва-
нием, обеспечивающим финитность конструируемых приближений.
10.10.4. Определение. Функционал u ? D( , F)# называ-
ют обобщенной функцией или распределением (иногда добавляют
ссылку на природу поля F) и пишут u ? D ( ) := D ( , F), если
u |D(Q) ? D (Q) := D , как только Q . Используют обычные обо-
значения u, f := f | u := u(f ), а иногда и наиболее выразительный
единый символ

(f ? D( )).
f (x)u(x) dx := u(f )
10.10. Пространства D( ) и D ( ) 253

10.10.5. Примеры.
(1) Пусть g ? L1,loc (RN ) — некоторая локально интегри-
руемая функция. Тогда отображение

(f ? D( ))
ug (f ) := f (x)g(x) dx

задает распределение ug . Обобщенные функции такого вида называ-
ют регулярными. Для обозначения регулярной обобщенной функции
ug используют более удобный символ g. В этой связи, в частности,
пишут: D( ) ? D ( ) и ug = | g .
(2) Каждая мера Радона — распределение. Всякое по-
ложительное распределение u (т. е. такое, что f ? 0 ? u(f ) ? 0)
задано положительной мерой.
(3) Говорят, что распределение u обладает порядком не
выше m, если для любого Q RN существует число tQ такое, что

|u(f )| ? tQ f (f ? D(Q)).
m,Q

Естественным образом вводят понятия порядка распределения и рас-
пределения конечного порядка. Разумеется, не каждое распределе-
ние обязано иметь конечный порядок.
(4) Пусть ? — мультииндекс: ? ? (Z+ )N и u — распреде-
ление: u ? D ( ). Для f ? D( ) полагают (? ? u)(f ) := (?1)|?| u(? ? f ).
Возникающее распределение ? ? u называют производной u (поряд-
ка ?). Говорят также об обобщенном дифференцировании, о произ-
водных в смысле теории распределения и т. п., применяя обычные
символы.
Производная (ненулевого порядка) меры Дирака — это не мера.
В то же время ? ? D (R) служит производной функции Хевисайда
? (?1) := H, где H : R > R — характеристическая функция R+ . Ес-
ли производная (регулярной) обобщенной функции u — регулярное
распределение ug , то g называют производной u в смысле Соболева.
Для основной функции такая производная совпадает с обычной.
(5) Для u ? D ( ) полагают u? (f ) := u(f ? )? . Возника-
ющее распределение u? называют (эрмитово) сопряженным к u.
Наличие инволюции ? позволяет, как обычно (ср. 10.9.3 (3)), гово-
рить о вещественных распределениях и о порождении с их помощью
комплексных обобщенных функций.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
254

(6) Пусть E ? Op ( ) и u ? D ( ). Для f ? D(E), оче-
видно, определен скаляр u(f ). Тем самым возникает распределение
uE ? D (E), называемое сужением u на E. Очевидно, что функ-
тор D — это предпучок.
При u ? D ( ) и E ? Op ( ) говорят, что в E нет u, если uE = 0.
В силу 10.10.4 (5), распределения u нет и в объединении тех откры-
тых подмножеств в , в которых u отсутствует. Дополнение (до RN )
наибольшего открытого множества, в котором нет u, называют носи-
телем u и обозначают supp(u). Отметим, что supp(? ? u) ? supp(u).
Кроме того, распределение с компактным носителем имеет конечный
порядок.
(7) Пусть u ? D ( ) и f ? C? ( ). Для g ? D( ) будет
f g ? D( ). Полагают (f u)(g) := u(f g). Возникающее распределение
f u называют произведением f на u. Пусть теперь Tr ( ) — направ-
ление срезывателей. Если существует предел lim??Tr ( ) u(f ?), то
говорят, что u применимо к функции f . Ясно, что распределение u
с компактным носителем применимо к любой функции из C? ( ).
При этом u ? E ( ) := C? ( ) . В свою очередь, каждый элемент
u ? E ( ) (см. 10.10.2 (3)), очевидно, однозначно определяет рас-
пределение u ? D ( ) с компактным носителем.
Если f ? C? ( ) и ? ? f supp(u) = 0 при всех ?, для которых |?| ?
m, где u — распределение с компактным носителем порядка не выше
m, то, как можно удостовериться, u(f ) = 0. В частности, отсюда
следует, что точечный носитель имеют только линейные комбинации
меры Дирака и ее производных.
(8) Пусть 1 , 2 ? Op (RN ) и uk ? D ( k ). На произ-
ведении 1 ? 2 существует, и притом единственное, распределе-
ние u такое, что для fk ? D( k ) выполнено u(f1 f2 ) = u1 (f1 )u2 (f2 ).
Это распределение обозначают u1 ? u2 или же u1 ? u2 . Привлекая
10.10.2 (4), видим, что для f ? D( 1 ? 2 ) значение u(f ) можно
найти последовательным применением u1 и u2 . Точнее говоря,
u(f ) = u2 (y ? > u1 (f (·, y))) =
2

= u1 (x ? > u2 (f (x, ·))).
1

В более образных обозначениях имеем теорему Фубини для распре-
делений:
f (x, y)(u1 ? u2 )(x, y) dxdy =
1? 2
10.10. Пространства D( ) и D ( ) 255
? ?
? f (x, y)u1 (x) dx? u2 (y) dy =
=
2 1
? ?
? f (x, y)u2 (y) dy ? u1 (x) dx.
=
1 2

Полезно отметить, что

supp(u1 ? u2 ) = supp(u1 ) ? supp(u2 ).

(9) Пусть u, v ? D (RN ). Для f ? D(RN ) положим
+ +
f := f ? +. Ясно, что f ? C? (RN ? RN ). Говорят, что распре-
деления u и v св?ртываемы, конволютивны или сворачиваемы, если
е
+
произведение u ? v применимо к любой функции f ? C? (RN ? RN )
для f ? D(RN ). Легко видеть (ср. 10.10.10), что возникающий ли-
+
нейный функционал f > (u ? v)( f ) (f ? D(RN )) является распре-
делением. Его называют св?рткой u и v и обозначают u ? v. Несо-
е
мненно, что св?ртки функций (см. 9.6.17) и мер на RN (см. 10.9.4
е
(7)) представляют частные случаи св?ртки распределений. В неко-
е
торых множествах любая пара распределений сворачиваема. Напри-
мер, пространство E (RN ) распределений с компактными носите-
лями с операцией св?ртки в качестве умножения представляет со-
е
бой (ассоциативную, коммутативную) алгебру с единицей — дельта-
функцией ?. При этом ? ? u = ? ? ? ? u, ? ? (u ? v) = ? ? u ? v = u ? ? ? v.
Кроме того, имеет место замечательное равенство (= теорема Ли-
онса о носителях):

co (supp(u ? v)) = co (supp(u)) + co (supp(v)).

Подчеркнем, что попарная сворачиваемость распределений не обес-
печивает, вообще говоря, ассоциативности св?ртки ((1 ? ? ) ? ? (?1) = 0
е
и 1 ? (? ? ? ) = 1, где 1 := 1R ).
(?1)

Каждое распределение u сворачиваемо с основной функцией f
до регулярного распределения (u?f )(x) = u(?x (f )), где f := f — от-
ражение f , т. е. f (x) := f (?x) (x ? RN ). Оператор u? : f > u?f дей-
ствует из D(RN ) в C? (RN ), непрерывен и перестановочен со сдвига-
ми: (u?)?x = ?x u? для x ? RN . Легко видеть, что названные свойства
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
256

характеристические, т. е. если оператор T из L (D(RN ), C? (RN ))
непрерывен и перестановочен со сдвигами, то существует, и при-
том единственное, распределение u такое, что T = u? — именно
u(f ) := (T ?)(f ) для f ? D(RN ) (ср. с теоремой Венделя).

10.10.6. Определение. Пространства D( ) и D ( ) считают
приведенными в двойственность (индуцированную двойственностью
D( ) - D( )# ). При этом пространство D ( ) наделяют топо-
логией пространства распределений — ?(D ( ), D( )), а D( ) —
топологией пространства основных функций — топологией Макки
?D := ?D( ) := ? (D( ), D ( )).

10.10.7. Пусть ? Op (RN ). Тогда
(1) топология ?D — сильнейшая из таких локально вы-
пуклых топологий, что вложение D(Q) в D( ) непре-
рывно при Q (т. е. ?D — топология индуктивного
предела);
(2) множество A в D( ) ограничено в том и только в том
случае, если для некоторого Q множество A по-
падает в D(Q) и ограничено в D(Q);
(3) последовательность (fn ) сходится к f в (D( ), ?D )
в том и только в том случае, если имеется компакт
такой, что supp(fn ) ? Q, supp(f ) ? Q и (? ? fn )
Q
равномерно на Q сходится к ? ? f для всех мультиин-
дексов ? (символически: fn f );
(4) оператор T ? L (D( ), Y ), где Y — локально выпук-
лое пространство, непрерывен в том и только в том
случае, если T fn > 0, как только fn 0;
(5) каждая дельтообразная последовательность (bn ) слу-
жит (св?рточной) аппроксимативной единицей как в
е
D(R ), так и в D (RN ), т. е. для f ? D(RN ) и
N

u ? D (RN ) верно: bn ? f f (в D(RN )) и bn ? u > u
(в D (RN )).
(1) устанавливается как 10.9.6, а (2) — по аналогии с 10.9.7
= ?n?N Qn , где
с учетом представления в виде объединения
Qn Qn+1 для n ? N.
(3) Следует заметить, что сходящаяся последовательность огра-
ничена, а затем привлечь 10.10.7 (2) (ср. 10.9.8).
10.10. Пространства D( ) и D ( ) 257

(4) В силу 10.10.7 (1) непрерывность T равносильна непрерыв-
ности сужений T D(Q) для Q . В силу 10.10.2 (2) пространство
D(Q) метризуемо. Осталось сослаться на 10.10.7 (3).
(5) Ясно, что носители supp(bn ? f ) лежат в некоторой ком-
пактной окрестности supp(f ). Помимо этого, для g ? C(RN ) оче-
видно, что bn ? g > g равномерно на компактных подмножествах
RN . Применяя последнее утверждение к ? ? f и учитывая (3), ви-
дим: bn ? f f.
С учетом 10.10.5 (9) для f ? D(RN ) имеем

u(f ) = (u ? f )(0) = lim(u ? (bn ? f ))(0) =
n

= lim((u ? bn ) ? f )(0) = lim(bn ? u)(f ).
n n


10.10.8. Замечание. В связи с 10.10.7 (3) для ? Op (RN )
(m)
и m ? Z+ часто выделяют пространство D (m) ( ) := C0 ( ), со-
ставленное из финитных функций f , все производные которых ? ? f
при |?| ? m непрерывны. Пространство D (m) (Q) := {f ? D (m) ( ) :
supp(f ) ? Q} для Q снабжают нормой · m,Q , превращая его
в банахово. При этом D ( ) наделяют топологией индуктивного
(m)

предела. Таким образом, D (0) ( ) = K( ) и D( ) = ?m?N D (m) ( ).
Сходимость в D (m) ( ) последовательности (fn ) к нулю означает рав-
номерную сходимость с производными до порядка m на Q , где
supp(fn ) ? Q для всех достаточно больших n. Подчеркнем, что
D (m) ( ) составлено распределениями порядка не выше m. Соответ-
ственно
D F ( ) := D (m) ( )
m?N

— пространство всех обобщенных функций, имеющих конечный по-
рядок.
10.10.9. Пусть ? Op (RN ). Тогда
(1) пространство D( ) бочечно, т. е. каждое абсолют-
но выпуклое замкнутое поглощающее множество (=
бочка) в нем — окрестность нуля;
(2) любое ограниченное замкнутое подмножество D( )
компактно, т. е. D( ) — монтелево пространство;
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
258

(3) всякое абсолютно выпуклое множество в D( ), по-
глощающее каждое ограниченное множество, являет-
ся окрестностью нуля, т. е. D( ) — борнологическое
пространство;
(4) основные функции плотны в пространстве обобщен-
ных функций.
(1) Бочка V в D( ) такова, что VQ := V ?D(Q) — бочка в D(Q)
. Стало быть, VQ — окрестность нуля в D(Q) (см. 7.1.8).
при Q
(2) Такое множество лежит в D(Q) для некоторого Q в силу
предложения 10.10.7 (2). На основании 10.10.2 (2), D(Q) метризуемо.
Учитывая 4.6.10 и 4.6.11, последовательно приходим к требуемому.
(3) следует из борнологичности D(Q) при Q .
?
(4) Пусть g ? | D( ) , где указанная поляра вычисляется для
двойственности D( ) - D ( ). Ясно, что для f ? D( ) выполнено
uf (g) = 0, т. е. g(x)f (x) dx = 0. Итак, g = 0. Остается сослаться
на 10.5.9.
10.10.10. Теорема Шварца. Пусть (uk )k?N — последователь-
ность распределений и для каждого f ? D( ) имеется сумма
?
u(f ) := uk (f ).
k=1
Тогда u — распределение, причем
?
?
? ? uk
? u=
k=1
для всякого мультииндекса ?.
Непрерывность u обеспечена 10.10.9 (1). Помимо этого, при
f ? D( ) по определению (см. 10.10.5 (4))
? ? u(f ) =
?
|?| ?
uk (?1)|?| ? ? f =
= u (?1) ?f =
k=1
?
? ? uk (f ).
=
k=1
10.10.11. Теорема. Функтор D — пучок.
Очевидно (ср. 10.9.10 и 10.9.11).
10.10. Пространства D( ) и D ( ) 259

10.10.12. замечание. Возможность задания распределения
локальными данными, т. е. принцип локализации для обобщенных
функций, констатированный 10.10.11, допускает уточнение ввиду па-
ракомпактности RN . Именно, если E — открытое покрытие и
u ? D ( ) — распределение с локальными данными (uE )E?E , то
можно взять подчиненное E счетное (локально конечное) разбие-
?
ние единицы (?k )k?N . Видно, что u = k=1 ?k uk , где uk := uEk и
supp(?k uk ) ? Ek (k ? N).
10.10.13. Теорема. Обобщенная функция u на порядка не
выше m допускает представление в виде суммы производных мер
Радона:
? ? µ? ,
u=
|?|?m

где µ? ? M ( ).
Пусть сначала u обладает компактным носителем supp(u)
иQ — компактная окрестность supp(u). По условию будет (ср.
10.10.5 (7) и 10.10.8)

|u(f )| ? t (f ? D(Q))
??f ?
|?|?m


при некотором t ? 0.
Привлекая 3.5.7 и 3.5.3, с учетом 10.9.4 (2) имеем

(?1)|?| ? ? ??
?? ? ? ? = t
u=t
|?|?m |?|?m


для подходящего семейства (?? )|?|?m , где ?? ? |?|( · ? ).
Переходя теперь к общему случаю, рассмотрим некоторое разби-
ение единицы (?k )k?N , образованное такими ?k ? D( ), что окрест-
ности Qk носителей supp(?k ) составляют локально конечное покры-
тие (см. 10.10.12). Для распределений (?k u)k?N на основании уже
доказанного имеем
? ? µk,? ,
?k u =
|?|?m

, причем supp(µk,? ) ? Qk .
где µk,? — меры Радона на
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
260

Привлекая теорему Шварца 10.10.10, сразу видим, что опреде-
лена сумма
?
µ? (f ) := µk,? (f )
k=1

для f ? K( ) и возникающее распределение µ? — мера Радона.
Вновь апеллируя к 10.10.10, получаем:
? ? ?
? ?
? ? µ? .
u= ?k u = ? µk,? = ? µk,? =
k=1 |?|?m |?|?m |?|?m
k=1 k=1

Это и требовалось.
10.10.14. Замечание. Утверждение 10.10.13 часто называют
теоремой об общем виде распределений. Она допускает разнообраз-
ные обобщения и уточнения. Например, можно убедиться, что мера
Радона с компактным носителем служит обобщенной производной
(подходящего порядка) некоторой непрерывной функции, что поз-
воляет локально рассматривать любую обобщенную функцию как
результат обобщенного дифференцирования обычной функции.

10.11. Преобразование Фурье умеренных
распределений
10.11.1. Пусть ? — ненулевой функционал, заданный на про-
странстве L1 (RN ) := L1 (RN , C). Эквивалентны утверждения:
(1) ? — характер групповой алгебры (L1 (RN ), ?), т. е.
? = 0, ? ? L1 (RN ) и

?(f ? g) = ?(f )?(g) (f, g ? L1 (RN ))

(символически: ? ? X(L1 (RN )), ср. 11.6.4);
(2) существует, и притом единственный, вектор t ? RN
такой, что для каждого f ? L1 (RN ) выполнено

?(f ) = f (t) := (f ? et )(0) := f (x)ei(x,t) dx.
RN

(1) ? (2): Пусть ?(f )?(g) = 0. Если x ? RN , то

?(?x ? f ? g) = ?(?x ? f )?(g) = ?(?x ? g)?(f ).
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 261

Положим ?(x) := ?(f )?1 ?(?x ? f ). Тем самым корректно определено
непрерывное отображение ? : RN > C. При этом для x, y ? RN
будет

?(x + y) =
= ?(f ? g)?1 ?(?x+y ? (f ? g)) =
= ?(f )?1 ?(g)?1 · ?(?x ? f ? ?y ? g) =
= ?(f )?1 ?(?x ? f )?(g)?1 ?(?y ? g) =
= ?(x)?(y),

т. е. ? — групповой (унитарный) характер: ? ? X(RN ). Анализ
показывает, что ? = et для некоторого (очевидно, единственного)
t ? RN . При этом с учетом свойств интеграла Бохнера
? ?

?(f )?(g) = ?(f ? g) = ? ? (?x ? g)f (x) dx? =
RN

?(?x ? g)f (x) dx = f (x)?(g)?(x) dx =
=
RN RN

= ?(g) f (x)?(x) dx.
RN

Таким образом,

(f ? L1 (RN )).
?(f ) = f (x)?(x) dx
RN

(2) ? (1): Рассматривая f , g и f ? g как распределения, для
t ? RN выводим:
f ? g(t) = uf ?g (et ) =


f (x)g(y)et (x + y) dxdy = f (x)et (x) dx g(y)et (y) dy =
=
RN RN RN RN

= uf (et )ug (et ) = f (t)g(t).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
262

10.11.2. Замечание. Проведенные рассуждения в существен-
ном сохраняются для любой локально компактной абелевой груп-
пы G. Характеры групповой алгебры из X(L1 (G)) однозначно свя-
заны с (унитарными) групповыми характерами G, т. е. с непрерыв-
ными отображениями ? : G > C, для которых

|?(x)| = 1, ?(x + y) = ?(x)?(y) (x, y ? G).

Относительно поточечного умножения множество G := X(G) таких
характеров представляет коммутативную группу. Поскольку по тео-
реме Алаоглу — Бурбаки X(L1 (G)) локально компактно в слабой то-
пологии ?((L1 (G)) , L1 (G)), то G можно рассматривать как локаль-
но компактную абелеву группу. Ее называют группой характеров G
или двойственной к G группой. Каждый элемент q ? G определяет
характер q : q ? G > q(q) ? C двойственной группы G. Возникаю-
щее вложение G в G — изоморфизм локально компактных абелевых
групп G и G (= теорема двойственности Понтрягина — ван Кам-
пена).
10.11.3. Определение. Для функции f ? L1 (RN ) отображе-
ние f : RN > C, определенное правилом

f (t) := f (t) := (f ? et )(0),

называют преобразованием Фурье f .
10.11.4. Замечание. Термин «преобразование Фурье» тракту-
ют расширительно, допуская удобную вольностью. Во-первых, его
N
сохраняют как для оператора F : L1 (RN ) > C R , действующе-
го по правилу F f := f , так и для модификаций этого оператора
(ср. 10.11.13). Во-вторых, преобразование F отождествляют с опе-
ратором F? f := f ? ?, где ? — автоморфизм (= изоморфизм на се-
бя) RN . Особенно часто используют функции: ?(x) := ? (x) := ?x,
?(x) := 2? (x) := 2?x и ?(x) := ?2? (x) := ?2?x (x ? RN ). Иными сло-
вами, преобразование Фурье вводят одной из следующих формул:

f (x)e?i(x,t) dx,
F? f (t) =
RN
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 263

F2? f (t) = f (x)e2?i(x,t) dx,
RN


f (x)e?2?i(x,t) dx.
F?2? f (t) =
RN

Поскольку группы характеров изоморфных групп изоморфны, есть
основания, допуская вольность, применять единое обозначение f
для, вообще говоря, различных функций F f , F? f , F±2? f . Выбор
для F2? (или F?2? ) диктует подходящее обозначение
символа
для F?2? (соответственно, для F2? ) (ср. 10.11.12).
10.11.5. Примеры.
(1) Пусть f (x) = 1 при ?1 ? x ? 1 и f (x) = 0 для иных
x ? R. При этом f (t) = 2t?1 sin t. Отметим, что при k? ? t0 > 0
будет

?
|f (t)| dt ? |f (t)| dt = |f (t)| dt ?
n=k
[t0 ,+?) [k?,+?) [n?,(n+1)?]
? ?
2| sin t| 1
? dt = 4 = +?.
(n + 1)? (n + 1)?
n=k n=k
[n?,(n+1)?]


Таким образом, f ? L1 (R).
/
(2) Для f ? L1 (RN ) функция f непрерывна, причем вы-
полнено неравенство f ? ? f 1 .
Непрерывность обеспечена теоремой Лебега о предельном пе-
реходе, а ограниченность — очевидной оценкой

|f (t)| ? |f (x)| dx = f (t ? RN ).
1

RN


(3) Для f ? L1 (RN ) при |t| > +? будет |f (t)| > 0 (=
теорема Римана — Лебега).
Требуемое очевидно для финитных ступенчатых функций.
Остается сослаться на 5.5.9 (6) и то, что F ? B(L1 (RN ), l? (RN )).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
264

(4) Пусть f ? L1 (RN ), ? > 0 и f? (x) := f (?x) (x ? RN ).
Тогда f? (t) = ??N f (t /? ) (t ? RN ).



f (?x)et (x) dx = ??N
f? (t) = f (?x)et/? (?x) d?x =
RN RN
t
= ??N f
?

(5) F (f ? ) = (F? f )? , (?x f ) = ex f , (ex f ) = ?x f .
(f ? L1 (RN ), x ? RN .)
Проверим только первое равенство. Поскольку a? b = (ab? )?
для a, b ? C, то, привлекая нужные свойства сопряжения и инте-
грала, для t ? RN выводим
?
i(x,t) ?
?
F (f )(t) = i(x,t)
f (x)e dx = f (x) e dx =
RN RN
?
f (x)e?i(x,t) dx = (F? f )? (t).
=
RN

(6) Для f, g ? L1 (RN ) выполнено

(f ? g) = f g; fg = f g.
RN RN

Первое равенство очевидно в связи с 10.11.1. Второе — «фор-
мула умножения» — обеспечено следующим применением теоремы
Фубини:

fg = f (x)et (x) dxg(t) dt =
RN RN RN

g(t)et (x) dt f (x) dx = f g.
=
RN RN RN

(7) Если f , f , g ? L1 (RN ), то (f g) = f ? g.
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 265

При x ? RN имеем


(f g) (x) = g(t)f (t)et (x) dt = g(t)f (y)et (y)et (x) dydt =
RN RN RN

f (y)g(t)et (x + y) dtdy =
=
RN RN

f (y ? x)g(y) dy = f ? g(x).
f (y)g(x + y) dy =
=
RN RN


(8) Для f ? D(RN ) и ? ? (Z+ )N выполнено

F (? ? f ) = i|?| t? F f, ? ? (F f ) = i|?| F (x? f );
F2? (? ? f ) = (2?i)|?| t? F2? f, ? ? (F2? f ) = (2?i)|?| F2? (x? f )

(эти равенства используют широко распространенную вольность в
обозначениях x? := t? := (·)? : y ? RN > y1 1 · . . . · yNN ).
?
?

Достаточно (ср. 10.11.4) установить формулы из первой стро-
ки. Поскольку ? ? et = i|?| t? et , то

F (? ? f )(t) = et ? ? ? f (0) =

= ? ? et ? f (0) = i|?| t? (et ? f )(0) = i|?| t? f (t).

Аналогично, дифференцируя под знаком интеграла, выводим

? ?
f (x)ei(x,t) dx =
(F f )(t) =
?t1 ?t1
RN



f (x)ix1 ei(x,t) dx = F (ix1 f )(t).
=
RN

(9) Если fN (x) := exp ?1/2 |x|2 при x ? RN , то выпол-
нено fN = (2?)N/2 fN .
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
266

Ясно, что
N
2
1
eitk xk e? 2 |x|k dxk (t ? RN ).
fN (t) =
k=1 R


Следовательно, дело сводится к случаю N = 1. При этом для y ? R
имеем

2 2
? 1 (y 2 )
1 1
e? 2 x eixy dx = e? 2 (x?iy)
f1 (y) = dx =
2


R R
2
1
e? 2 (x?iy) dx.
= f1 (y)
R

Для вычисления интересующего интеграла A рассмотрим в CR R2
(одинаково ориентированные) параллельные вещественной оси пря-
мые ?1 и ?2 . Применяя классическую теорему Коши к голоморфной
функции f (z) := exp ?z 2 /2 (z ? C) и прямоугольникам с вершина-
ми на ?1 и ?2 и производя подходящий предельный переход, заклю-
чаем: ?1 f (z) dz= ?2 f (z) dz. Отсюда выводим:

v
2 2
1 1
e? 2 (x?iy) dx = e? 2 (x ) dx =
A= 2?.
R R

10.11.6. Определение. Пространством Шварца принято на-
зывать множество быстро убывающих (иногда говорят умеренных,
ср. 10.11.17 (2)) функций

S (RN ) :=
:= f ? C? (RN ) : (??, ? ? (Z+ )N ) |x| > +? ? x? ? ? f (x) > 0

(рассматриваемое как элемент решетки функций из RN в C) с муль-
тинормой {p?,? : ?, ? ? (Z+ )N }, где p?,? (f ) := x? ? ? f ? .
10.11.7. Справедливы утверждения:
(1) S (RN ) — пространство Фреше;
(2) операторы умножения на многочлен и дифференци-
рования — непрерывные эндоморфизмы S (RN );
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 267

(3) топологию S (RN ) задает следующая (эквивалентная
исходной) мультинорма {pn : n ? N}, где
(1 + | · |2 )n ? ? f (f ? S (RN ))
pn (f ) := ?
|?|?n

(как всегда, |x| — евклидова длина вектора x ? RN );
(4) пространство D(RN ) плотно в S (RN ); помимо этого,
вложение D(RN ) в S (RN ) непрерывно и S (RN ) ?
D (RN );
(5) S (RN ) ? L1 (RN ).
Установим (4), ибо прочие утверждения проще.
Пусть f ? S (RN ) и ? — срезыватель из D(RN ) такой, что B ?
{? = 1}. Для x ? RN и ? > 0 положим
?? (x) := ?(?x), f? = ?? f.
Очевидно, f? ? D(RN ). Возьмем ? > 0 и ?, ? ? (Z+ )N . Видно,
что при 0 < ? ? 1 выполнено sup{ ? ? (?? ? 1) ? : ? ? ?, ? ?
(Z+ )N } < +?. Учитывая, что x? ? ? f (x) > 0 при |x| > +?, найдем
r > 1 такое, что |x? ? ? ((?? (x) ? 1)f (x))| < ?, как только |x| > r.
Кроме того, f? (x) ? f (x) = (?(?x) ? 1)f (x) = 0 при |x| ? ? ?1 . Таким
образом, при ? ? r?1 будет
p?,? (f? ? f ) = sup |x? ? ? ((?? (x) ? 1)f (x))| ?
|x|>? ?1

? sup |x? ? ? ((?? (x) ? 1)f (x))| < ?.
|x|>r

Стало быть, p?,? (f? ? f ) > 0 при ? > 0, т. е. f? > f в S (RN ).
Требуемая непрерывность вложения бесспорна.
10.11.8. Преобразование Фурье — непрерывный эндоморфизм
S (RN ).
Для f ? D(RN ) в силу 10.11.5 (8), 10.11.5 (2) и неравенства
Г?льдера 5.5.9 (4)
е
? ??f ? K ??f
t? f = (? ? f ) ?.
? ? 1

Стало быть,
? K ? ? (x? f )
t? ? ? f = t? (x? f ) ?.
? ?

Отсюда видно, что f ? S (RN ) и сужение F на D(Q) при Q RN
непрерывно. Остается сослаться на 10.10.7 (4) и 10.11.7 (4).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
268

10.11.9. Теорема. Повторное преобразование Фурье, рассмат-
риваемое в пространстве Шварца S (RN ), пропорционально отраже-
нию.
Пусть f ? S (RN ) и g(x) := fN (x) = exp ?1/2 |x|2 . С учетом
10.11.8 и 10.11.7 видим, что f , f , g ? L1 (RN ) и, стало быть, на
основании 10.11.5 (7), (f g) = f ? g. Положим g? (x) := g(?x) для
x ? RN и ? > 0. Тогда при тех же x из-за 10.11.5 (4)

g(?t)f (t)et (x) dt =
RN

y
1
f (y ? x)g f (?y ? x)g(y) dy.
dy =
=
?N ?
RN RN
Используя 10.11.5 (9) и привлекая теорему Лебега о предельном пе-
реходе при ? > 0, получаем:

g(0) f (t)et (x) dt = f (?x) g(y) dy =
RN RN
2
N 1
e? 2 |x| dx = (2?)N f (?x).
= (2?) 2 f (x)
RN

Окончательно F 2 f = (2?)N f .
10.11.10. Следствие. F2? — отражение и (F2? )?1 = F?2? .
2

Для f ? S (RN ) и t ? RN имеем

f (?t) = (2?)N ei(x,t) f (x) dx = e2?i(x,t) f (2?x) dx =
RN RN

= (F2? (F2? f ))(t).
Учитывая, что F2? f = F?2? f , получаем требуемое.
10.11.11. Следствие. S (RN ) — св?рточная алгебра (= алгеб-
е
ра относительно св?ртки).
е
Для f , g ? S (RN ) произведение f g — элемент S (RN ) и, стало
быть, f g ? S (RN ). С учетом 10.11.5 (6) видим, что F2? (f ? g) ?
S (RN ) и, значит, на основании 10.11.10, f ? g = F?2? (F2? (f ? g)) ?
S (RN ).
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 269

10.11.12. Теорема обращения. Преобразование Фурье F :=
F2? служит топологическим автоморфизмом пространства Швар-
ца S (RN ). При этом св?ртка переходит в произведение. Обратное
е
?1
преобразование F совпадает с F?2? и переводит произведение в
св?ртку. Кроме того, имеет место равенство Парсеваля:
е

f g? = f g? (f, g ? S (RN )).
RN RN

В связи с 10.11.10 и 10.11.5 (5) нуждаются в проверке лишь
искомые равенства. При этом, на основании 10.11.5 (7) и 10.11.7 (4),
(f g)(0) = (f ? g)(0) для рассматриваемых f и g. Привлекая установ-
ленное в 10.11.5 (5), заключаем:

f g ? = (F(F?1 f )g ? ) (0) = ((F?1 f ) ? Fg ? )(0) =
RN

Ff (Fg ? ) dx = Ff F? (g ? ) dx = Ff (Fg)? .
=
RN RN RN

10.11.13. Замечание. В связи с теоремой 10.11.9 о повторном
преобразовании Фурье, иногда наряду с F рассматривают следующие
взаимнообратные операторы:
1
Ff (t) = f (x)ei(x,t) dx;
N
(2?) 2
RN
1
?1
f (t)e?i(x,t) dt.
F f (x) = N
(2?) 2
RN

При этом имеет место аналог 10.11.12 при условии переопределения
?1
св?ртки f ? g := (2?)?N/2 f ? g (f, g ? L1 (RN )). Удобства F и F
е
связаны с небольшими упрощениями формул 10.11.5 (8). В случае F
аналогичную цель достигают введением для ? ? (Z+ )N следующего
дифференциального оператора: D? := (2?i)?|?| ? ? .
10.11.14. Теорема Планшереля. Продолжение преобразова-
ния Фурье в S (RN ) до изометрического автоморфизма простран-
ства L2 (RN ) существует, и притом единственно.
Обеспечено 10.11.12, 4.5.10 и плотностью S (RN ) в L2 (RN ).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
270

10.11.15. Замечание. За продолжением, обеспеченным теоре-
мой 10.11.14, сохраняют прежние название и обозначения. Реже
(при желании подчеркнуть различия и тонкости) говорят о преоб-
разовании Фурье — Планшереля или же об L2 -преобразовании Фу-
рье и уточняют понимание интегральных формул для Ff и F?1 f
при f ? L2 (RN ) как результатов подходящего предельного перехода
в L2 (RN ).
10.11.16. Определение. Пусть u ? S (RN ) := S (RN ) . На-
именование u — медленно растущее распределение (варианты: обоб-
щенная функция умеренного роста, умеренное распределение и т. п.).
Пространство S (RN ), составленное из всех умеренных обобщенных
функций, наделяют слабой топологией ?(S (RN ), S (RN )) и иногда
называют пространством Шварца (как и S (RN )).
10.11.17. Примеры.
(1) Lp (RN ) ? S (RN ) при 1 ? p ? +?.
Пусть f ? Lp (RN ), ? ? S (RN ), p < +? и 1/q + 1/p = 1.
С помощью неравенства Г?льдера 5.5.9 (4) для подходящих K, K ,
е
K > 0 последовательно выводим:

?
? q
1/p 1/p
p
2 ?N
? |?| (1 + |x| ) (1 + |x| ) ?
p 2N
?(x) dx
+
B RN \B

1/p
dx
?K ? + (1 + | · | ) ? ?
2N
? ?
(1 + |x|2 )N p
RN \B


? K p1 (?).

Вновь привлекая неравенство Г?льдера, имеем
е

|uf (?)| = | ? | f | = f? q ? f ? Kp1 (?).
?
p q

RN

Случай p = +? не вызывает сомнений.
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 271

(2) S (RN ) плотно в S (RN ).
Следует из 10.11.7 (4), 10.11.17 (1), 10.11.7 (5) и 10.10.9 (4).
(3) Пусть µ ? M (RN ) — мера Радона умеренного роста,
т. е. такая, что для некоторого n ? N выполнено
d|µ|(x)
< +?.
(1 + |x|2 )n
RN

Мера µ — это, бесспорно, умеренное распределение.
(4) Если u ? S (RN ), f ? S (RN ) и ? ? (Z+ )N , то f u ?
S (RN ) и ? ? u ? S (RN ) в силу 10.11.7 (2). По похожим причинам,
полагая D? u(f ) := (?1)|?| uD? f при f ? S (RN ), видим, что D? u ?
S (RN ) и D? u = (2?i)?|?| ? ? u.
(5) Каждое распределение с компактным носителем уме-
ренно.
Такое u ? D (RN ) в соответствии с 10.10.5 (7) можно отож-
дествить с элементом E (RN ). Поскольку топология в пространстве
S (RN ) сильнее индуцированной вложением в C? (RN ), заключаем:
u ? S (RN ).
(6) Пусть u ? S (RN ). Если f ? S (RN ), то u сворачи-
ваемо с f , причем u ? f ? S (RN ). Можно проверить, что u сво-
рачиваемо также и с любым распределением v из E (RN ), причем
u ? v ? S (RN ).
(7) Пусть u ? D (RN ), x ? RN и ?x u := (??x ) u = u???x —
соответствующий сдвиг u. Распределение u называют периодиче-
ским (с периодом x), если ?x u = u. Периодические распределения
имеют умеренный рост. Периодичность сохраняется при дифферен-
цировании и св?ртывании.
е
(8) Если un ? S (RN ) (u ? N) и для каждого f ? S (RN )
?
имеется сумма u(f ) := n=1 un (f ), то u ? S (RN ) и при этом ? ? u =
? ?
n=1 ? un (ср. 10.10.10).
10.11.18. Теорема. Любое умеренное распределение — сумма
производных умеренных мер.
Пусть u ? S (RN ). С учетом 10.11.7 (3) и 5.3.7 для некоторых
n ? N и K > 0 имеем
|u(f )| ? K (1 + | · |2 )n ? ? f (f ? S (RN )).
?
|?|?n
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
272

Привлекая 3.5.3 и 3.5.7, для некоторых µ? ? M (RN ) получаем

µ? (1 + | · |2 )n ? ? f (f ? S (RN )).
u(f ) =
|?|?n


Пусть ?? := (?1)|?| (1+| · |2 )n µ? . Тогда ?? — умеренная мера, причем

? ? ?? .

<<

стр. 8
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>