<<

стр. 9
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

u=
|?|?n


10.11.19. Определение. Преобразованием Фурье (или, полнее,
Фурье — Шварца) умеренного распределения u из S (RN ) называют
распределение Fu, действующее по правилу

f | Fu = Ff | u (f ? S (RN )).

10.11.20. Теорема. Преобразование Фурье — Шварца F — это
единственное продолжение преобразования Фурье в S (RN ) до топо-
логического автоморфизма S (RN ). Обратное отображение F?1 —
единственное непрерывное продолжение обратного преобразования
Фурье в S (RN ).
Преобразование Фурье — Шварца представляет собой сопря-
женный оператор к преобразованию Фурье в пространстве Шварца.
Остается только апеллировать к 10.11.7 (5), 10.11.12, 10.11.17 (2) и
4.5.10.

Упражнения
10.1. Привести примеры линейных топологических пространств и локаль-
но выпуклых пространств и конструкций, приводящих к ним.
10.2. Доказать, что хаусдорфово топологическое векторное пространство
конечномерно в том и только в том случае, если оно локально компактно.
10.3. Охарактеризовать слабо непрерывные сублинейные функционалы.
10.4. Доказать, что нормируемость или метризуемость слабой топологии
локально выпуклого пространства равносильна его конечномерности.
10.5. Выяснить смысл слабой сходимости в классических банаховых про-
странствах.
10.6. Доказать, что нормированное пространство конечномерно в том и
только в том случае, если слабо замкнута единичная сфера (= сильная граница
единичного шара).
Упражнения 273

10.7. Пусть оператор T переводит слабо сходящиеся сети в сети, сходящи-
еся по норме. Доказать, что T конечномерен.
10.8. Пусть X, Y — банаховы пространства и T ? L (X, Y ) — линейный
оператор. Доказать, что T ограничен в том и только в том случае, если T слабо
непрерывен (т. е. непрерывен как отображение (X, ?(X, X )) в (Y, ?(Y, Y ))).
10.9. Пусть · 1 и · 2 — две нормы, превращающие X в банахово про-
странство, причем (X, · 1 ) ? (X, · 2 ) разделяет точки X. Доказать, что
исходные нормы эквивалентны.
10.10. Пусть S действует из Y в X . Когда S служит сопряженным опе-
ратором к некоторому отображению X в Y ?
10.11. Какова топология Макки ? (X, X # )?
10.12. Пусть (X? )?? — это некоторое семейство локально выпуклых про-
странств. Пусть, далее, X := ?? X? — их произведение. Доказать, что спра-
ведливы представления


?(X, X ) = ?(X? , X? );
??



? (X, X ) = ? (X? , X? ).
??

10.13. Пусть X и Y — банаховы пространства, T — элемент B(X, Y )
и im T = Y . Доказать, что рефлексивность X обеспечивает рефлексивность
Y.
10.14. Доказать, что пространства (X ) и ( X) совпадают.
10.15. Доказать, что в пространстве c0 нет бесконечномерных рефлексив-
ных подпространств.
10.16. Пусть p — непрерывный сублинейный функционал на Y , а T ?
L (X, Y ) — непрерывный линейный оператор. Установить, что для множеств
крайних точек справедливо включение ext(T (?p)) ? T (ext(?p)).
10.17. Пусть p — непрерывная полунорма на X и X — подпространство X.
Доказать, что f ? ext(X ? ? ?p) в том и только в том случае, если справедливо
равенство
X = cl X + {p ? f ? 1} ? {p ? f ? 1}.
10.18. Доказать, что абсолютно выпуклая оболочка вполне ограниченного
подмножества локально выпуклого пространства также вполне ограничена.
10.19. Установить, что борнологичность сохраняется при переходе к ин-
дуктивному пределу. Как обстоят дела с иными линейно топологическими свой-
ствами?
Глава 11
Банаховы алгебры


11.1. Каноническое операторное
представление
11.1.1. Определение. Элемент e алгебры A называют единич-
ным или единицей алгебры, если e = 0 и при этом ea = ae = a для
всех a ? A.
11.1.2. Замечание. Как правило, без особых на то указаний,
мы будем рассматривать только алгебры с единицами над основным
полем F. При этом простоты ради, если явно не оговорено против-
ное, будем считать, что F := C. При изучении представлений таких
алгебр естественно условиться, что единицы сохраняются. Иными
словами, в дальнейшем представление алгебры A1 в алгебре A2 —
это такой морфизм (= мультипликативный линейный оператор) A1
в A2 , который единицу алгебры A1 переводит в единицу алгебры A2 .
Для алгебры A без единицы проводят «процесс присоединения
единицы». Именно, пространство Ae := A ? C превращают в алгебру
с единицей, полагая (a, ?)(b, µ) := (ab + µa + ?b, ?µ), где a, b ?
A и ?, µ ? C. В нормированном случае дополнительно считают
(a, ?) Ae := a A + |?|.
11.1.3. Определение. Элемент ar ? A называют правым об-
ратным к a, если aar = e. Элемент al ? A называют левым обрат-
ным к a, если al a = e.
11.1.4. Если у элемента есть левые и правые обратные, то они
совпадают.
ar = (al a)ar = al (aar ) = al e = al
11.1. Каноническое операторное представление 275

11.1.5. Определение. Элемент a алгебры A называют обра-
тимым и пишут a ? Inv(A), если у a имеется левый и правый об-
ратный. Полагают a?1 := ar = al . Элемент a?1 называют обратным
к a. Подалгебру (с единицей) B алгебры A называют сервантной
(или чистой, или наполненной) в A, если Inv(B) = Inv(A) ? B.
11.1.6. Теорема. Пусть A — банахова алгебра. Для a ? A
положим La : x > ax (x ? A). Тогда отображение

LA := L : a > La (a ? A)

является точным операторным представлением. При этом L(A) —
сервантная замкнутая подалгебра B(A) и L : A > L(A) — топологи-
ческий изоморфизм.
Для x, a, b ? A имеем

L(ab) : x > Lab (x) = abx = a(bx) = La (Lb x) = (La)(Lb)x,

т. е. L — представление (ибо линейность L очевидна). Если La = 0,
то 0 = La(e) = ae = a, так что L — точное представление. Для
доказательства замкнутости образа L(A) рассмотрим алгебру Ar ,
совпадающую с A «как с векторным пространством» и с противопо-
ложным умножением ab := ba (a, b ? A).
Пусть R := LAr , т. е. Ra := Ra : x > xa для a ? A. Проверим,
что L(A) совпадает с централизатором образа R(A) — с замкнутой
подалгеброй

Z(im R) := {T ? B(A) : T Ra = Ra T (a ? A)}.

В самом деле, если T ? L(A), т. е. T = La для некоторого a ? A,
то для каждого b ? A будет La Rb (x) = axb = Rb (La (x)) = Rb La (x)
и T ? Z(R(A)). Если, в свою очередь, T ? Z(R(A)), то при a := T e
получаем

La x = ax = (T e)x = Rx (T e) = (Rx T )e = (T Rx )e =
= T (Rx e) = T x

для всех x ? A. Значит, T = La ? L(A). Таким образом, L(A) —
банахова подалгебра B(A).
Гл. 11. Банаховы алгебры
276

Пусть теперь для T = La найдется T ?1 в B(A). Для b := T ?1 e
имеем ab = La b = T b = T T ?1 e = e. Кроме того, ab = e ? aba =
a ? T (ba) = La ba = aba = a = La e = T e. Отсюда ba = e, ибо T —
мономорфизм. Итак, L(A) — сервантная подалгебра в A.
В силу определения банаховой алгебры 5.6.3 выполнено

a ? 1} = sup{ ab : a ? 1, b ? 1} ? 1.
L = sup{ La :

Привлекая теорему Банаха об изоморфизме 7.4.5, заключаем, что
L — топологический изоморфизм (т. е. L?1 — непрерывный оператор
из L(A) на A).
11.1.7. Определение. Представление LA , построенное в 11.1.6,
называют каноническим (левым) операторным представлением ал-
гебры A.
11.1.8. Замечание. Каноническое операторное представление
позволяет ограничиться в дальнейшем рассмотрением банаховых ал-
гебр, в которых единичные элементы нормированы — имеют единич-
ную форму.
Для алгебры A указанного типа каноническое операторное пред-
ставление LA осуществляет изометрическое вложение A в B(A) или,
короче говоря, изометрическое представление A в B(A). В этой
же ситуации LA часто называют изометрическим изоморфизмом
алгебр A и L(A). Ту же естественную терминологию употребляют
и при рассмотрении представлений произвольных банаховых алгебр.
Отметим здесь же, что существование канонического операторного
представления LA , в частности, оправдывает использование обозна-
чения ? вместо ?e для ? ? C, где e — единица A (ср. 5.6.5). Иными
словами, в дальнейшем C отождествлено с подалгеброй Ce алгебры
A посредством изометрического представления ? > ?e.

11.2. Спектр элемента алгебры
11.2.1. Определение. Пусть A — банахова алгебра и a ? A.
Скаляр ? ? C называют резольвентным значением a (записывают:
? ? res(a)), если существует резольвента R(a, ?) := ??a := (? ? a)?1 .
1

Множество Sp(a) := C\res(a) называют спектром элемента a, а точ-
ки из Sp(a) — спектральными значениями a. Если есть необходи-
мость, используют более подробные обозначения типа SpA (a).
11.2. Спектр элемента алгебры 277

11.2.2. Для элемента a ? A справедливо:

SpA (a) = SpL(A) (La ) = Sp(La );
LR(a, ?) = R(La , ?) (? ? res(a) = res(La )).

11.2.3. Теорема Гельфанда — Мазура. Поле комплексных
чисел — это единственное (с точностью до изометрического изомор-
физма) банахово тело (т. е. каждая комплексная банахова алгебра
с нормированной единицей, в которой ненулевые элементы обрати-
мы, имеет изометрическое представление в C).
: ? > ?e, где e — единица A и ? ? C. Ясно, что
Пусть
— представление C в A. Возьмем a ? A. В силу 11.2.2 и 8.1.11,
Sp(a) = ?. Значит, найдется число ? ? C такое, что элемент (? ? a)
необратим, т. е. по условию теоремы a = ?e. Следовательно, —
(?) = ?e = |?| e = |?|, так что
эпиморфизм. При этом —
изометрия.
11.2.4. Теорема Шилова. Пусть A — банахова алгебра и B —
замкнутая подалгебра A (с единицей). Для элемента b ? B выпол-
нено:
SpB (b) ? SpA (b), ? SpA (b) ? ? SpB (b).
Если b := ? ? b ? Inv(B), то тем более b ? Inv(A). Отсюда
resB (b) ? resA (b), т. е.

SpB (b) = C \ res(b) ? C \ res(b) = SpA (b).
B A


Если же ? ? ? SpB (b), то b ? ? Inv(B). Поэтому найдется по-
следовательность (bn ), bn ? Inv(B), сходящаяся к b. Положив t :=
supn?N b?1 , имеем соотношение
n


b?1 ? b?1 = b?1 (1 ? bn b?1 ) =
n m n m
= b?1 (bm ? bn )b?1 ? t2 bn ? bm .
n m


Иными словами, если t < +?, то в B существует предел a := lim b?1 .
n
Учитывая очевидную непрерывность умножения по совокупности
переменных, выводим, что в этом случае ab = ba = 1, т. е. b ? Inv(B).
Гл. 11. Банаховы алгебры
278

Поскольку Inv(B) открыто по теореме Банаха об обратимых опера-
торах и 11.1.6, приходим к противоречию с вхождением b ? ? Inv(B).
Таким образом, можно считать (переходя, если нужно, к по-
?1 ?1
следовательности), что b?1 > +?. Положим an := b?1 bn .
n n
Тогда

ban = (b ? bn )an + bn an ?
?1
an + b?1 bn b?1 > 0.
? b ? bn n n


Отсюда вытекает, что элемент b необратим. В самом деле, в против-
?1
ном случае для a := b получилось бы

1 = an = aban ? a ban > 0.

Окончательно заключаем, что элемент ? ? b не лежит в Inv(A),
т. е. ? ? SpA (b). Поскольку ? — граничная точка б?льшего множе-
о
ства SpB (b), приходим к соотношению ? ? ? SpA (b).
11.2.5. Следствие. Если SpB (b) не имеет внутренних точек, то
SpB (b) = SpA (b).
SpB (b) = ? SpB (b) ? ? SpB (b) ? ? SpA (b) ? SpA (b) ? SpB (b)
11.2.6. Замечание. Теорему Шилова часто называют теоре-
мой о постоянстве границы спектра и выражают словами: «гра-
ничное спектральное значение — неустранимая спектральная точ-
ка».

11.3. Голоморфное функциональное
исчисление в алгебрах
11.3.1. Определение. Пусть a — элемент банаховой алгебры A
и h ? H (Sp(a)) — росток голоморфной функции на спектре a. По-
ложим
h(z)
1
Ra h := dz.
z?a
2?i
Элемент Ra h из A называют интегралом Рисса — Данфорда рост-
ка h. Если, в частности, f ? H(Sp(a)) — функция, голоморфная
в окрестности спектра a, то полагают f (a) := Ra f .
11.4. Голоморфное функциональное исчисление валгебрах 279

11.3.2. Теорема Гельфанда — Данфорда для алгебр. Ин-
теграл Рисса — Данфорда Ra является представлением алгебры рост-
ков голоморфных функций на спектре элемента a из A в алгеб-
?
ре A. При этом если f (z) := n=0 cn z (в окрестности Sp(a)), то
n
?
f (a) := n=0 cn an .
Из определений 11.2.3 и 8.2.1, привлекая 11.2.2, имеем

1
(LRa h)(b) = LRa h b = (Ra h)b = h(z)R(a, z) dzb =
2?i
1 1
h(z)R(a, z) bdz = h(z)R(La , z) bdz =
=
2?i 2?i
1
h(z)R(La , z) dzb = RLa h(b)
=
2?i
для всех b ? A. В частности, получаем, что образ RLa (H (Sp(a)))
лежит в im L. Таким образом, из уже доказанной коммутативности
диаграммы


H (Sp(a))
@
@R
RLa @a
@
?
L@ R
B(A)  A

вытекает коммутативность диаграммы

H (Sp(a))
@
@R
RLa @a
@
? ?1 @
R
L(A) L -A

Остается привлечь 11.1.6 и теорему Гельфанда — Данфорда 8.2.3.
11.3.3. Замечание. В дальнейшем в силу уже установленно-
го в произвольных банаховых алгебрах можно использовать факты
Гл. 11. Банаховы алгебры
280

голоморфного функционального исчисления, доказанные в 8.2 для
алгебры B(X), где X — банахово пространство.

11.4. Идеалы в коммутативных алгебрах
11.4.1. Определение. Пусть A — некоторая коммутативная
алгебра. Подпространство J в A называют идеалом A и пишут J
A, если AJ ? J.
11.4.2. Множество J(A) всех идеалов в A, упорядоченное по
включению, представляет собой полную решетку. При этом для лю-
бого множества E в J(A) выполнено

supJ(A) E = supLat(A) E , inf J(A) E = inf Lat(A) E ,

т. е. J(A) вложено в полную решетку подпространств Lat(A) с со-
хранением точных верхних и точных нижних границ произвольных
множеств.
Ясно, что 0 — это наименьший, а A — это наибольший идеалы.
Помимо этого, пересечение идеалов и сумма конечного множества
идеалов — идеал. Остается сослаться на 2.1.5 и 2.1.6.
11.4.3. Пусть J0 A. Пусть, далее, ? : A > A/J0 — канониче-
ское отображение A на фактор-алгебру A := A/J0 . Тогда

J A ? ?(J) A;
J A ? ??1 (J) A.

Поскольку по определению ab := ?(??1 (a)??1 (b)) для a, b ? A,
то оператор ? мультипликативен: ?(ab) = ?(a)?(b) для a, b ? A.
Значит, получаем последовательно

?(J) ? A?(J) = ?(A)?(J) ? ?(AJ) ? ?(J);
??1 (J) ? A??1 (J) ? ??1 (?(A)J) = ??1 (AJ) ? ??1 (J).

11.4.4. Пусть J A и J = 0. Эквивалентны утверждения:
(1) A = J;
(2) 1 ? J;
/
(3) элементы из J не имеют левых обратных.
11.5. Идеалы в алгебре C(Q, C) 281

11.4.5. Определение. Идеал J в A называют собственным,
если J отличен от A. Максимальные элементы в множестве соб-
ственных идеалов, упорядоченном по включению, называют макси-
мальными идеалами.
11.4.6. Коммутативная алгебра является полем в том и только
в том случае, если в ней нет собственных идеалов кроме нулево-
го.
11.4.7. Пусть J — собственный идеал в A. Тогда (J — макси-
мален) ? (A/J — поле).
A/J. Тогда, по 11.4.3, ??1 (J)
?: Пусть J A. Так
?1 ?1
как, несомненно, J ? ? (J), то либо J = ? (J) и 0 = ?(J) =
?(??1 (J)) = J, либо A = ??1 (J) и J = ?(??1 (J)) = ?(A) = A/J в
силу 1.1.6. Значит, в A/J нет отличных от нуля собственных идеа-
лов. Осталось привлечь 11.4.6.
?: Пусть J0 A и J0 ? J. Тогда, по 11.4.3, ?(J0 ) A/J.
На основании 11.4.6 либо ?(J0 ) = 0, либо ?(J0 ) = A/J. В первом
случае J0 ? ??1 ? ?(J0 ) ? ??1 (0) = J и J = J0 . Во втором случае
?(J0 ) = ?(A), т. е. A = J0 + J ? J0 + J0 = J0 ? A. Итак, J —
максимальный идеал.
11.4.8. Теорема Крулля. Каждый собственный идеал содер-
жится в некотором максимальном идеале.
Пусть J0 — собственный идеал алгебры A. Пусть, далее, E
состоит из собственных идеалов J алгебры A таких, что J0 ? J.
Всякая цепь E0 в E имеет в силу 11.4.2 точную верхнюю границу:
sup E = ? {J : J ? E0 }. По 11.4.4 идеал sup E0 собственный. Таким
образом, E индуктивно и требуемое обеспечено леммой Куратовско-
го — Цорна 1.2.20.

11.5. Идеалы в алгебре C(Q, C)
11.5.1. Теорема о минимальном идеале. Пусть J — произ-
вольный идеал в алгебре C(Q, C) непрерывных комплекснозначных
функций на компакте Q. Пусть, далее,

Q0 := ? {f ?1 (0) : f ? J};
J0 := {f ? C(Q, C) : int f ?1 (0) ? Q0 }.
Тогда J0 C(Q, C), причем J0 ? J.
Гл. 11. Банаховы алгебры
282

Пусть Q1 := cl(Q \ f ?1 (0)) для функции f ? J0 . Привлекая
условия, видим, что Q1 ? Q0 = ?. Для доказательства вхождения
f ? J необходимо (и, разумеется, достаточно) построить функцию
u ? J такую, что u(q) = 1 для всех q ? Q1 . Действительно, в этом
случае uf = f .
Для построения функции u заметим сначала, что для q ? Q1
?
найдется функция fq ? J, для которой fq (q) = 0. Полагая gq := fq fq ,
где, как обычно, fq : x > fq (x)? — комплексно сопряженная к fq
?

функция, имеем gq ? 0 и, кроме того, gq (q) > 0. Ясно также, что
gq ? J для q ? Q1 . Семейство (Uq )q?Q1 , где Uq := {x ? Q1 : gq (x) >
0}, образует открытое покрытие Q1 . Используя компактность Q1 ,
выберем конечное множество {q1 , . . . , qn } в Q1 такое, что Q1 ? Uq1 ?
. . . ? Uqn . Обозначим g := gq1 + . . . + gqn . Несомненно, g ? J, причем
g(q) > 0 для q ? Q1 . Положим h0 (q) := g(q)?1 для q ? Q1 . По
теореме Титце — Урысона 10.8.20 найдется функция h ? C(Q, R),
для которой h Q = h0 . Пусть, наконец, u := hg. Эта функция u —
1
искомая.
Итак, установлено, что J0 ? J. Кроме того, J0 — идеал в
C(Q, C) по очевидным обстоятельствам.
11.5.2. Для каждого замкнутого идеала J в алгебре C(Q, C)
найдется, и притом единственное, компактное подмножество Q0 та-
кое, что

J = J(Q0 ) := {f ? C(Q, C) : q ? Q0 ? f (q) = 0}.

Единственность обеспечена теоремой Урысона 9.3.14. Опре-
делим Q0 так же, как и 11.5.1. Тогда заведомо J ? J(Q0 ). Возьмем
f ? J(Q0 ) и для n ? N положим

1 1
|f | ? |f | ?
Un := , Vn := .
n
2n

Вновь привлекая теорему Урысона 9.3.14, найдем hn ? C(Q, R) так,
что 0 ? hn ? 1 и hn U = 0, hn V = 1. Рассмотрим fn := f hn .
n n
Поскольку
?1
int fn (0) ? int Un ? Q0 ,
то в силу 11.5.1 справедливо fn ? J. Осталось заметить, что fn > f
по построению.
11.6. Преобразование Гельфанда 283

11.5.3. Теорема о максимальном идеале. Каждый макси-
мальный идеал в алгебре C(Q, C) имеет вид
J(q) := J({q}) = {f ? C(Q, C) : f (q) = 0},
где q — некоторая точка Q.
Следует из 11.5.2, ибо замыкание идеала — идеал.

11.6. Преобразование Гельфанда
11.6.1. Пусть A — коммутативная банахова алгебра, а J A —
это замкнутый идеал, не равный A. Тогда фактор-алгебра A/J, на-
деленная фактор-нормой, является банаховой алгеброй. Если при
этом ? : A > A/J — каноническое отображение, то ?(1) — единица
в A/J, оператор ? мультипликативен и ? = 1.
Для a, b ? A имеем, учитывая 5.1.10 (5),

?(a)?(b) A/J = inf{ a b A : ?(a ) = ?(a), ?(b ) = ?(b)} ?
? inf{ a A b A : ?(a ) = ?(a), ?(b ) = ?(b)} =
= ?(a) A/J ?(b) A/J .
Иными словами, норма в A/J субмультипликативна. Следователь-
но, будет ?(1) ? 1. Помимо этого,
: ?(a) = ?(1)} ? 1
?(1) = inf{ a = 1,
A A
A/J

т. е. ?(1) = 1. Последнее, в частности, обеспечивает равенство
? = 1. Оставшиеся утверждения несомненны.
11.6.2. Замечание. Предложение 11.6.1 остается верным для
некоммутативной банаховой алгебры A при дополнительном допу-
щении, что J — двусторонний идеал A, т. е. J — подпространство
A, удовлетворяющее условию AJA ? J.
11.6.3. Пусть ? : A > C — ненулевой мультипликативный ли-
нейный функционал на A. Тогда ? непрерывен и ? = ?(1) = 1
(в частности, ? — представление A в C).
Поскольку ? = 0, то для некоторого a ? A выполнено 0 =
?(a) = ?(a1) = ?(a)?(1). Значит, ?(1) = 1. Если теперь a ? A и
? ? C таковы, что |?| > a , то ? ? a ? Inv(A) (см. 5.6.15). Имеем
1 = ?(1)?(? ? a)?((? ? a)?1 ). Отсюда ?(? ? a) = 0, т. е. ?(a) = ?.
Стало быть, |?(a)| ? a и ? ? 1. Учитывая, что ? = ? 1 ?
|?(1)| = 1, заключаем: ? = 1.
Гл. 11. Банаховы алгебры
284

11.6.4. Определение. Ненулевые мультипликативные линей-
ные функционалы на алгебре A называют характерами A. Мно-
жество всех характеров A обозначают X(A), снабжают топологией
поточечной сходимости (индуцированной в X(A) слабой топологией
?(A , A)) и называют пространством характеров алгебры A.
11.6.5. Пространство характеров — компакт.
Хаусдорфовость X(A) не вызывает сомнений. В силу 11.6.3,
X(A) — это ?(A , A)-замкнутое подмножество шара BA . Последний
?(A , A)-компактен по теореме Алаоглу — Бурбаки 10.6.7. Осталось
сослаться на 9.4.9.
11.6.6. Теорема об идеалах и характерах. Максимальные
идеалы коммутативной банаховой алгебры A суть в точности ядра ее
характеров. При этом отображение ? > ker ?, действующее из про-
странства характеров X(A) на множество M (A) всех максимальных
идеалов A, является взаимно однозначным.
Пусть ? ? X(A) — это характер алгебры A. Очевидно, что
ker ? A. Из 2.3.11 вытекает, что снижение ? : A/ ker ? > C — мо-
номорфизм. В связи с 11.6.1, ?(1) = ?(1) = 1, т. е. ? — изоморфизм
A/ ker ? и C. Следовательно, A/ ker ? — это поле. Привлекая 11.4.7,
делаем вывод, что идеал ker ? максимален, т. е. ker ? ? M (A). Пусть
теперь m ? M (A) — какой-нибудь максимальный идеал алгебры A.
Ясно, что m ? cl m, cl m A и при этом 1 ? cl m (ибо 1 ? Inv(A), а
/
последнее множество открыто по теореме Банаха об обратимых опе-
раторах 5.6.12 и 11.1.6). Таким образом, идеал m замкнут. Рассмот-
рим фактор-алгебру A/m и каноническое отображение ? : A > A/m.
На основании 11.4.7 и 11.6.1 фактор-алгебра A/m — это банахово по-
ле. По теореме Гельфанда — Мазура 11.2.3 имеется изометрическое
представление ? : A/m > C. Положим ? := ? ? ?. Видно, что
? ? X(A) и при этом ker ? = ??1 (0) = ??1 (? ?1 (0)) = ??1 (0) = m.
Для завершения доказательства осталось проверить взаимную
однозначность отображения ? > ker ?. Итак, пусть ker ?1 = ker ?2
для ?1 , ?2 ? X(A). В силу 2.3.12 для некоторого ? ? C выполне-
но ?1 = ??2 . Помимо этого, по 11.6.3, 1 = ?1 (1) = ??2 (1) = ?.
Окончательно ?1 = ?2 .
11.6.7. Замечание. В связи с теоремой 11.6.6 множество M (A)
часто наделяют топологией, перенесенной в M (A) из X(A) указан-
ным отображением ? > ker ?, и говорят о компактном пространстве
11.6. Преобразование Гельфанда 285

максимальных идеалов A. Иными словами, пространство характе-
ров и пространство максимальных идеалов отождествляют так, как
это сделано в 11.6.6.

11.6.8. Определение. Пусть A — коммутативная банахова ал-
гебра и X(A) — ее пространство характеров. Для a ? A и ? ? X(A)
положим a(?) := ?(a). Возникающую функцию a : ? > a(?), опре-
деленную на X(A), называют преобразованием Гельфанда элемента
a. Отображение a > a, где a ? A, называют преобразованием Гель-
фанда алгебры A и обозначают GA (или ).

11.6.9. Теорема о преобразовании Гельфанда. Преобра-
зование Гельфанда GA : a > a есть представление коммутативной
банаховой алгебры A в алгебре C(X(A), C). При этом

Sp(a) = Sp(a) = a(X(A)),
a = r(a),

где r(a) — спектральный радиус элемента a алгебры A.
То, что a ? A ? a ? C(X(A), C), 1 = 1 и a, b ? A ? ab =
ab, обеспечено определениями и 11.6.3. Линейность GA не вызывает
сомнений. Следовательно, отображение GA действительно является
представлением.
Пусть ? ? Sp(a). Тогда элемент ? ? a необратим, а потому
идеал J??a := A(? ? a) — собственный в силу 11.4.4. По теореме
Крулля 11.4.8 существует максимальный идеал m A, удовлетво-
ряющий условию m ? J??a . По теореме 11.6.6 для подходящего
характера ? будет m = ker ?. В частности, ?(? ? a) = 0, т. е.
? = ??(1) = ?(?) = ?(a) = a(?). Значит, ? ? Sp(a).
Если, в свою очередь, ? ? Sp(a), то (? ? a) — необратимый
элемент пространства C(X(A), C), т. е. найдется характер ? ? X(A),
для которого ? = a(?). Иными словами, ?(? ? a) = 0. Стало быть,
допущение ? ? a ? Inv(A) приводит к противоречию:

1 = ?(1) = ?((? ? a)?1 (? ? a)) = ?((? ? a)?1 )?(? ? a) = 0.

Итак, ? ? Sp(a). Окончательно Sp(a) = Sp(a).
Гл. 11. Банаховы алгебры
286

Привлекая формулу Б?рлинга — Гельфанда (см. 11.3.3 и 8.1.12),
е
видим:


r(a) = sup{|?| : ? ? Sp(a)} = sup{|?| : ? ? Sp(a)} =
= sup{|?| : ? ? a(X(A))} = sup{|a(?)| : ? ? X(A)} = a ,

что и нужно.

11.6.10. Преобразование Гельфанда коммутативной банаховой
алгебры A является изометрическим вложением в том и только в том
случае, если a2 = a 2 для всякого a ? A.
?: Учитывая, что отображение t > t2 , рассматриваемое на
R+ , возрастает и имеет возрастающее обратное, определенное на R+ ,
в силу 10.6.9 получаем


= sup |a2 (?)| = sup |?(a2 )| =
a2 = a2 C(X(A),C)
??X(A) ??X(A)

= sup |?(a)?(a)| = sup |?(a)|2 =
??X(A) ??X(A)
2
sup |?(a)| 2
= a 2.
=a
=
??X(A)



?: По формуле Гельфанда 5.6.8, r(a) = lim an 1/n . Имеем,
n n
в частности, a2 = a 2 , т. е. r(a) = a . По 10.6.9, помимо этого,
r(a) = a .

11.6.11. Замечание. Иногда интересуются не свойством изо-
метричности преобразования Гельфанда, а его точностью. Ядро пре-
образования Гельфанда GA — это пересечение всех максимальных
идеалов, т. е. радикал алгебры A. Таким образом, условие точ-
ности представления GA алгебры A в алгебре C(X(A), C) можно
формулировать словами: «алгебра A полупроста (т. е. радикал A
тривиален)».

11.6.12. Теорема. Для элемента a коммутативной банаховой
алгебры A коммутативна следующая диаграмма представлений:
11.6. Преобразование Гельфанда 287


H (Sp(a)) = H (Sp(a))
@
@R
Ra @a ?

@
? @
R
GA -
C(X(A), C)
A

При этом f (a) = f ? a = f (a) для f ? H(Sp(a)).
Возьмем ? ? X(A). Для каждого z ? res(a) выполнено

1 1 1 1
(z ? a) =1??
? .
= =
z?a z?a ?(z ? a) z ? ?(a)

Иными словами,

1 1 1
R(a, z)(?) = (?) = R(a, z)(?).
(?) = =
z?a z ? a(?) z?a

Таким образом, учитывая свойства интеграла Бохнера (см. 5.5.9 (6)),
для f ? H(Sp(a)) получаем

1
f (a) = GA ? Ra f = GA f (z)R(a, z) dz =
2?i
1 1
f (z)GA (R(a, z)) dz = f (z)R(a, z)) dz =
=
2?i 2?i
1
f (z)R(a, z) dz = Ra (f ) = f (a).
= ?
2?i

Помимо этого, привлекая классическую теорему Коши, видим, что
для ? ? X(A) справедливы соотношения

f ? a(?) = f (a(?)) = f (?(a)) =
f (z) f (z)
1 1
? dz = ? dz =
=
z ? ?(a) z?a
2?i 2?i
f (z)
1
? dz = f (a)(?) = f (a)(?).
=
z?a
2?i
Гл. 11. Банаховы алгебры
288

11.6.13. Замечание. Теорию преобразования Гельфанда оче-
видным образом можно распространить на случай коммутативных
банаховых алгебр A без единицы. Определения 11.6.4 и 11.6.8 сохра-
ним дословно. Характер ? ? X(A) порождает характер ?e ? X(Ae )
по правилу: ?e (a, ?) := ?(a) + ? (a ? A, ? ? C). Множество X(Ae ) \
{?e : ? ? X(A)} состоит из единственного элемента ?? (a, ?) := ?
(a ? A, ? ? C). Таким образом, пространство X(A) локально ком-
пактно (ср. 9.4.19), ибо отображение ? ? X(A) > ?e ? X(Ae ) \ {?? }
является гомеоморфизмом. При этом ker ?? = A ? 0. Следова-
тельно, преобразование Гельфанда коммутативной банаховой алгеб-
ры без единицы служит ее представлением в алгебре определенных
на локально компактном пространстве непрерывных комплексных
функций, «стремящихся к нулю на бесконечности». Для группо-
вой алгебры (L1 (RN ), ?) на основании 10.11.1 и 10.11.3 преобразо-
вание Фурье совпадает с преобразованием Гельфанда и приведенное
утверждение содержит как теорему Римана — Лебега 10.11.5 (3), так
и формулу умножения 10.11.6 (3).

11.7. Спектр элемента C ? -алгебры
11.7.1. Определение. Элемент a инволютивной алгебры A на-
зывают эрмитовым, если a? = a. Элемент a из A называют нормаль-
ным, если a? a = aa? . Наконец, элемент a называют унитарным,
если aa? = a? a = 1 (т. е. a, a? ? Inv(A) и a?1 = a? , a??1 = a).
11.7.2. Эрмитовы элементы инволютивной алгебры A образу-
ют вещественное подпространство A. При этом для любого a ? A
существуют, и притом единственные, эрмитовы элементы x, y ? A
такие, что a = x + iy. Именно,

1 1
(a + a? ), (a ? a? ).
x= y=
2 2i
При этом a? = x ? iy.
Следует проверить только утверждение об единственности.
Если a = x1 +iy1 , то в силу свойств инволюции (см. 6.4.13) выполнено
a? = x? + (iy1 )? = x? ? iy1 = x1 ? iy1 . Стало быть, x1 = x и y1 = y.
?
1 1

11.7.3. Единица — эрмитов элемент.
1? = 1? 1 = 1? 1?? = (1? 1)? = 1?? = 1
11.7. Спектр элемента C ? -алгебры 289

11.7.4. a ? Inv(A) ? a? ? Inv(A). При этом инволюция и обра-
щение — коммутирующие операции.
Имеем aa?1 = a?1 a = 1 для a ? Inv(A). Значит, a?1? a? =
a? a?1? = 1? . Учитывая 11.7.3, видим, что a? ? Inv(A) и a??1 =
a?1? . Повторяя приведенное рассуждение при a := a? , получаем
требуемое.
11.7.5. Sp(a? ) = Sp(a)? .
11.7.6. Спектр унитарного элемента C ? -алгебры — подмноже-
ство единичной окружности.
В силу определения 6.4.13 для произвольного элемента a име-
ем a = a? a ? a? a . Иначе говоря, a ? a? . Таким обра-
2

зом, поскольку a = a?? , заключаем: a = a? . Если a? = a?1 , т. е.
a — унитарный элемент, то a 2 = a? a = a?1 a = 1. Следователь-
но, a = a? = a?1 = 1. Отсюда вытекает, что Sp(a) и Sp(a?1 )
лежат в единичном круге. Помимо этого, Sp(a?1 ) = Sp(a)?1 .
11.7.7. Спектр эрмитова элемента C ? -алгебры веществен.
Пусть a ? A. По теореме Гельфанда — Данфорда для ал-
гебр 11.3.2 выполнено
?
? ? ?
(an )? (a? )n
an
?
= exp(a? ).
exp(a) = = =
n! n! n!
n=0 n=0 n=0

Если теперь h = h? — эрмитов элемент A, то для элемента a :=
exp(ih), вновь привлекая голоморфное функциональное исчисление,
получаем

a? = exp(ih)? = exp((ih)? ) = exp(?ih? ) = exp(?ih) = a?1 .

Значит, a — унитарный элемент C ? -алгебры A, и по 11.7.6 спектр
Sp(a) — это подмножество единичной окружности T. Если ? ?
Sp(h), то по теореме об отображении спектра 8.2.5 (см. также 11.3.3)
exp(i?) ? Sp(a) ? T. Итак, 1 = | exp(i?)| = | exp(i Re ? ? Im ?)| =
exp(? Im ?). Окончательно Im ? = 0, т. е. ? ? R.
11.7.8. Определение. Пусть A — некоторая C ? -алгебра. По-
далгебру B алгебры A называют C ? -подалгеброй A, если b ? B ?
b? ? B. При этом B рассматривают с нормой, индуцированной из A.
Гл. 11. Банаховы алгебры
290

11.7.9. Теорема. Каждая замкнутая C ? -подалгебра C ? -алгеб-
ры сервантна.
Пусть B — это замкнутая C ? -подалгебра (с единицей) C ? -
алгебры A и b ? B. Если b ? Inv(B), то несомненно, что b ? Inv(A).
Пусть теперь b ? Inv(A). На основании 11.7.4 имеем: b? ? Inv(A).
Значит, b? b ? Inv(A) и при этом элемент (b? b)?1 b? является левым
обратным к b. В силу 11.1.4 это означает, что b?1 = (b? b)?1 b? . Сле-
довательно, для завершения доказательства нужно установить толь-
ко, что элемент (b? b)?1 входит в B. Так как элемент b? b эрмитов в
B, то выполнено соотношение SpB (b? b) ? R (см. 11.7.7). Привле-
кая 11.2.5, видим, что SpA (b? b) = SpB (b? b). Поскольку 0 ? SpA (b? b),
/
?
то b b ? Inv(B). Окончательно b ? Inv(B).
11.7.10. Следствие. Пусть b — элемент C ? -алгебры A и B —
какая-нибудь замкнутая C ? -подалгебра A, причем b ? B. Тогда
SpB (b) = SpA (b).
11.7.11. Замечание. В связи с 11.7.10 теорему 11.7.9 часто на-
зывают теоремой «о постоянстве спектра в C ? -алгебрах». Имеется
в виду то, что понятие спектра элемента C ? -алгебры «абсолютно»,
т. е. не зависит от выбора C ? -подалгебры, содержащей данный эле-
мент рассматриваемой C ? -алгебры.

11.8. Коммутативная теорема
Гельфанда — Наймарка
11.8.1. Банахова алгебра C(Q, C) с естественной инволюцией
f > f ? , где f ? (q) := f (q)? для q ? Q, является C ? -алгеброй.
f ? f = sup{|f (q)? f (q)| : q ? Q} = sup{|f (q)|2 : q ? Q} =
(sup |f (Q)|)2 = f 2
11.8.2. Теорема Стоуна — Вейерштрасса для C(Q, C).
Любая C ? -подалгебра (с единицей) в C ? -алгебре C(Q, C), разделя-
ющая точки Q, плотна в C(Q, C).
Пусть A — такая подалгебра. Поскольку f ? A ? f ? ? A,
то f ? A ? Re f ? A и, стало быть, множество Re A := {Re f :
f ? A} представляет собой вещественную подалгебру в C(Q, R).
Несомненно, что Re A содержит постоянные функции и разделяет
точки Q. По теореме Стоуна — Вейерштрасса 10.8.17 подалгебра
Re A плотна в C(Q, R). Осталось привлечь 11.7.2.
11.8. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймарка 291

11.8.3. Определение. Представление ?-алгебр, согласованное
с инволюцией ?, называют ?-представлением. Иными словами, если
(A, ?) и (B, ?) — инволютивные алгебры и R : A > B — мультипли-
кативный линейный оператор, то R называют ?-представлением в
случае коммутативности диаграммы
R
A?>B
?v v?
R
A?>B

Если при этом R — изоморфизм, то R называют ?-изоморфизмом A
и B. При наличии норм в рассматриваемых алгебрах используют
также термины «изометрическое ?-представление» и «изометри-
ческий ?-изоморфизм», вкладывая в них очевидное содержание.
11.8.4. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймар-
ка. Преобразование Гельфанда коммутативной C ? -алгебры A осу-
ществляет изометрический ?-изоморфизм A и C(X(A), C).
Для a ? A имеем
1 1
a2 = (a2 )? a2 = a? aa? a = a? a = a 2 .
/2 /2


На основании 11.6.10 преобразование Гельфанда GA — это изометрия
алгебры A и замкнутой подалгебры A в C(X(A), C). Несомненно,
что A разделяет точки X(A) и содержит постоянные функции.
В силу 11.6.9 и 11.7.7 для эрмитова элемента h = h? в A имеем
h(X(A)) = Sp(h) ? R. Пусть теперь a — произвольный элемент A.
Привлекая 11.7.2, запишем: a = x + iy, где элементы x, y эрмитовы.
Учитывая, что для произвольного характера ? из X(A) выполнено
?(x) ? R, ?(y) ? R, последовательно получаем

GA (a)? (?) = a? (?) = a(?)? = ?(a)? = ?(x + iy)? =
= (?(x) + i?(y))? = ?(x) ? i?(y) = ?(x ? iy) = ?(a? ) =
= a? (?) = GA (a? )(?) (? ? X(A)).

Таким образом, преобразование Гельфанда GA является ?-представ-
лением и, в частности, A — это C ? -подалгебра C(X(A), C). Осталось
привлечь 11.8.2, чтобы заключить: A = C(X(A), C).
Гл. 11. Банаховы алгебры
292

11.8.5. Пусть R : A > B — это ?-представление C ? -алгебры A
в C ? -алгебре B. Тогда Ra ? a для a ? A.
Поскольку R(1) = 1, то R(Inv(A)) ? Inv(B). Значит, для
a ? A справедливо включение SpB (R(a)) ? SpA (a). Отсюда в силу
формулы Б?рлинга — Гельфанда для спектральных радиусов выте-
е
кает, что rA (a) ? rB (R(a)). Если a — эрмитов элемент A, то R(a) —
эрмитов элемент B, ибо R(a)? = R(a? ) = R(a). Если теперь A0 —
наименьшая замкнутая C ? -подалгебра, содержащая a, и B0 — ана-
логичным образом построенная подалгебра, содержащая R(a), то A0
и B0 — коммутативные C ? -алгебры. Таким образом, из теорем 11.8.4
и 11.6.9 получаем
R(a) = R(a) = GB0 (R(a)) = rB0 (R(a)) =
B0

= rB (R(a)) ? rA (a) = rA0 (a) = GA0 (a) = a .
Для произвольного элемента a ? A видно, что элемент a? a эрмитов.
Стало быть, с учетом уже доказанного имеем
= R(a)? R(a) = R(a? a) ? a? a = a 2 .
R(a) 2

11.8.6. Теорема о непрерывном функциональном исчис-
лении. Пусть a — нормальный элемент C ? -алгебры A и Sp(a) его
спектр. Существует, и притом единственное, изометрическое ?-пред-
ставление Ra алгебры C(Sp(a), C) в A такое, что a = Ra (ISp(a) ).
Пусть B — наименьшая замкнутая C ? -подалгебра A, содер-
жащая a. Ясно, что алгебра B коммутативна в силу нормальности a
(эта алгебра представляет собой замыкание алгебры многочленов от
a и a? ). При этом на основании 11.7.10 выполнено Sp(a) = SpA (a) =
SpB (a). Преобразование Гельфанда a := GB (a) элемента a действует
из X(B) на Sp(a) в силу 11.6.9 и, несомненно, взаимно однозначно.
Поскольку X(B) и Sp(a) — компакты, привлекая 9.4.11, заключа-
ем, что a — это гомеоморфизм. Отсюда непосредственно вытекает,
?
что отображение R : f > f ? a осуществляет изометрический ?-
изоморфизм алгебры C(Sp(a), C) и алгебры C(X(B), C).
Используя теорему 11.3.2 и связь преобразования Гельфанда
и интеграла Рисса — Данфорда, установленную в 11.6.12, для тож-
дественного отображения получаем
a = Ra IC = IC ? a = IC ?a=
? a(X(B))
?
?
? a = ISp(a) ? a = R(ISp(a) ).
= IC Sp(a)
11.8. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймарка 293

Положим теперь
?
?1
Ra := GB ? R.

Видно, что Ra — это изометрическое вложение и ?-представление.
Кроме того,

?
?1 ?1
Ra (ISp(a) ) = GB ? R(ISp(a) ) = GB (a) = a.

Единственность такого представления Ra обеспечена 11.8.5 и тем,
что, по теореме 11.8.2, C ? -алгебра C(Sp(a), C) — это своя наимень-
шая замкнутая C ? -подалгебра (с единицей), содержащая ISp(a) .

11.8.7. Определение. Представление Ra : C(Sp(a), C) > A,
построенное в 11.8.6, называют непрерывным функциональным ис-
числением (для нормального элемента a алгебры A).
Если при этом f ? C(Sp(a), C), то элемент Ra (f ) обознача-
ют f (a).

11.8.8. Замечание. Пусть f — голоморфная функция в окре-
стности спектра нормального элемента a некоторой C ? -алгебры A,
т. е. f ? H(Sp(a)). Тогда с помощью голоморфного функциональ-
ного исчисления определен элемент f (a) алгебры A.
Если сохранить символ f за сужением функции f на множе-
ство Sp(a), то с помощью непрерывного функционального исчисле-
ния определен элемент Ra (f ) := Ra f Sp(a) алгебры A. Последний
элемент, как отмечено в 11.8.7, обозначают f (a). Использование оди-
наковых обозначений здесь не случайно и корректно в силу 11.6.12
и 11.8.6. В самом деле, странно было бы обязательно обозначать
разными символами один и тот же элемент. Указанное обстоятель-
ство можно выразить в наглядной форме. Именно, пусть · Sp(a) —
отображение, сопоставляющее ростку h из H (Sp(a)) его сужение на
Sp(a), т. е. пусть h Sp(a) в точке z — это значение ростка h в точке z
(см. 8.1.21). Ясно, что · Sp(a) : H (Sp(a)) > C(Sp(a), C).
Отмеченную выше связь непрерывного и голоморфного функци-
ональных исчислений для нормального элемента a рассматриваемой
C ? -алгебры a можно выразить так: «следующая диаграмма
Гл. 11. Банаховы алгебры
294


· |Sp(a)-
H (Sp(a)) C(Sp(a), C)
@
@
Ra
@
Ra @
R
@?
A

коммутативна».

11.9. Операторные ?-представления C ? -алгебр
11.9.1. Определение. Пусть A — банахова алгебра (с едини-
цей). Элемент s ? A называют состоянием A (пишут s ? S(A)),
если s = s(1) = 1. Для элемента a ? A множество N (a) := {s(a) :
s ? S(A)} называют числовым образом a.
11.9.2. Числовой образ положительной функции из C(Q, C)
лежит в R+ .
Пусть a ? 0 и s = s(1) = 1. Нужно показать, что s(a) ? 0.
Возьмем z ? C и ? > 0 такие, что круг B? (z) := z + ?D содержит
a(Q). Тогда a ? z ? ? и, следовательно, |s(a ? z)| ? ?. Значит,
|s(a) ? z| = |s(a) ? s(z)| ? ?, т. е. s(a) ? B? (z).
Заметим, что

? {B? (z) : B? (z) ? a(Q)} = cl co(a(Q)) ? R+ .

Таким образом, s(a) ? R+ .
11.9.3. Лемма о числовом образе эрмитова элемента. Для
эрмитова элемента a в любой C ? -алгебре имеют место утверждения:
(1) Sp(a) ? N (a);
(2) Sp(a) ? R+ ? N (a) ? R+ .
Пусть B — наименьшая замкнутая C ? -подалгебра рассмат-
риваемой алгебры A, содержащая элемент a. Видно, что алгеб-
ра B коммутативна. В силу 11.6.9 для преобразования Гельфанда
a := GB (a) выполнено a(X(B)) = SpB (a). На основании 11.7.10,
SpB (a) = Sp(a). Иначе говоря, для ? ? Sp(a) имеется характер ?
алгебры B, удовлетворяющий условию ?(a) = ?. По 11.6.3, ? =
?(1) = 1. Привлекая 7.5.11, найдем продолжение s функциона-
ла ? на A с сохранением нормы. Тогда s — состояние A и при
этом s(a) = ?. Окончательно Sp(a) ? N (a) (в частности, если
11.9. Операторные ?-представления C ? -алгебр 295

N (a) ? R+ , то Sp(a) ? R+ ). Пусть теперь s — произвольное со-
стояние алгебры A. Ясно, что сужение s B — состояние алгебры B.
Несложно установить, что a взаимно однозначно отображает X(B)
на Sp(a). Следовательно, алгебру B можно рассматривать как ал-
гебру C(Sp(a), C). Из 11.9.2 выводим: s(a) = s B (a) ? 0 при a ? 0.
Итак, Sp(a) ? R+ ? N (a) ? R+ , что и завершает доказательство.
11.9.4. Определение. Элемент a в C ? -алгебре A называют по-
ложительным, если a эрмитов и Sp(a) ? R+ . Множество всех по-
ложительных элементов в A обозначают A+ .
11.9.5. Множество A+ — это упорядочивающий конус в C ? -
алгебре A.
Понятно, что N (a + b) ? N (a) + N (b) и N (?a) = ?N (a) при
a, b ? A и ? ? R+ . Поэтому 11.9.3 обеспечивает включение ?1 A+ +
?2 A+ ? A+ для ?1 , ?2 ? R+ . Стало быть, A+ — конус. Если
a ? A+ ? (?A+ ), то Sp(a) = 0. Учитывая, что элемент a эрмитов, по
теореме 11.8.6 заключаем: a = 0.
11.9.6. Для любого эрмитова элемента a из C ? -алгебры A су-
ществуют элементы a+ , a? из A+ такие, что

a = a+ ? a? ; a+ a? = a? a+ = 0.

Все немедленно следует из теоремы о непрерывном функцио-
нальном исчислении 11.8.6.
11.9.7. Лемма Капланского — Фукамия. Элемент a произ-
вольной C ? -алгебры A положителен в том и только в том случае,
если a = b? b для некоторого b ? A.
?: Пусть a ? v + , т. е. a = a? и Sp(a) ? R+ . Тогда (см. 11.8.6)
A
имеется корень b := a. При этом b = b? и b? b = a.
?: Если a = b? b, то элемент a эрмитов и с помощью 11.9.6 мож-
но записать: b? b = u ? v, где uv = vu = 0 и u ? 0, v ? 0 (в упо-
рядоченном векторном пространстве (AR , A+ )). Простой подсчет
показывает:

(bv)? bv = v ? b? bv = vb? bv = v(u ? v)v = (vu ? v 2 )v = ?v 3 .

Поскольку v ? 0, то v 3 ? 0, т. е. (bv)? bv ? 0. По теореме о спек-
тре произведения 5.6.22 множества Sp((bv)? bv) и Sp(bv(bv)? ) могут
отличаться лишь нулем. Поэтому bv(bv)? ? 0.
Гл. 11. Банаховы алгебры
296

На основании 11.7.2, bv = a1 + ia2 для подходящих эрмитовых
элементов a1 и a2 . Очевидно, что a2 , a2 ? A+ и (bv)? = a1 ? ia2 .
1 2
Дважды используя 11.9.5, приходим к оценкам:

0 ? (bv)? bv + bv(bv)? = 2 a2 + a2 ? 0.
1 2


По 11.9.5, a1 = a2 = 0, т. е. bv = 0. Значит, ?v 3 = (bv)? bv = 0.
Вторичная апелляция к 11.9.5 дает v = 0. Наконец, a = b? b = u?v =
u ? 0, т. е. a ? A+ .
11.9.8. В C ? -алгебре A каждое состояние s эрмитово, т. е.

s(a? ) = s(a)? (a ? A).

По леммам 11.9.7 и 11.9.3 при всех a ? A будет s(a? a) ? 0.
Полагая a := a + 1 и a := a + i, последовательно получаем

0 ? s((a + 1)? (a + 1)) = s(a? a + a + a? + 1) ?

? s(a) + s(a? ) ? R;
0 ? s((a + i)? (a + i)) = s(a? a ? ia + ia? + 1) ?
? i(?s(a) + s(a? )) ? R.
Иными словами,
Im s(a) + Im s(a? ) = 0;
Re(?s(a)) + Re s(a? ) = 0.
Отсюда вытекает

s(a? ) = Re s(a? ) + i Im s(a? ) = Re s(a) ? i Im s(a) = s(a)? .

11.9.9. Пусть s — состояние C ? -алгебры A. Для a, b ? A обо-
значим (a, b)s := s(b? a). Тогда (· , ·)s — скалярное произведение в A.
Из 11.9.8 выводим

(a, b)s = s(b? a) = s((a? b)? ) = s(a? b)? = (b, a)? .
s

Следовательно, ( · , ·)s — это эрмитова форма. Так как для a ? A,
в силу 11.9.7, a? a ? 0, то, по 11.9.3, (a, a)s = s(a? a) ? 0. Значит,
( · , ·)s — положительная эрмитова форма.
11.9. Операторные ?-представления C ? -алгебр 297

11.9.10. Теорема о состоянии C ? -алгебры. Для каждого
состояния s произвольной C ? -алгебры A имеются гильбертово про-
странство (Hs , ( · , ·)s ), элемент xs ? Hs и ?-представление Rs : A >
B(Hs ) такие, что s(a) = (Rs (a)xs , xs )s для всех a ? A и множество
{Rs (a)xs : a ? A} плотно в Hs .
На основании 11.9.9, полагая (a, b)s := s(b? a) для a, b ? A,
получаем предгильбертово пространство (A, ( · , ·)s ). Пусть ps (a) :=
(a, a)s — полунорма в этом пространстве, а ?s : A > A/ ker ps —
каноническое отображение A на хаусдорфово предгильбертово про-
странство A/ ker ps , ассоциированное с этим A. Пусть, далее, ?s :
A/ ker ps > Hs — вложение (например, с помощью двойного штри-
хования) пространства A/ ker ps в качестве всюду плотного подпро-
странства в гильбертово пространство Hs , ассоциированное с про-
странством (A, ( · , ·)s ) (см. пример 6.1.10 (4)). Скалярное произве-
дение в пространстве Hs обозначим прежним символом ( · , ·)s . Та-
ким образом, в частности,
(?s ?s a, ?s ?s b)s = (a, b)s = s(b? a) (a, b ? A).
Для элемента a ? A рассмотрим (образ при каноническом опе-
раторном представлении) La : b > ab (b ? A). Установим прежде
всего, что существуют, и притом единственные, ограниченные опе-
раторы La и Rs (a), превращающие в коммутативную следующую
диаграмму:
?s ?
s
A?>A/ ker ps ?>Hs
La v v La v Rs (a)
?s ?s
A?>A/ ker ps ?>Hs
Искомый оператор La служит решением уравнения X?s = ?s La .
Привлекая 2.3.8, видим, что необходимое и достаточное условие раз-
решимости указанного уравнения в классе линейных операторов со-
стоит в инвариантности подпространства ker ps относительно La .
Итак, проверим включение La (ker ps ) ? ker ps . Для этого возь-
мем элемент b из ker ps , т. е. ps (b) = 0. Используя определения
и неравенство Коши — Буняковского 6.1.5, получаем

0 ? (La b, La b)s = (ab, ab)s = s((ab)? ab) =
= s(b? a? ab) = (a? ab, b)s ? ps (b)ps (a? ab) = 0,

т. е. La b ? ker ps . Единственность La обеспечена 2.3.9, ибо ?s —
эпиморфизм. Отметим также, что ?s — это открытое отображение
Гл. 11. Банаховы алгебры
298

(ср. 5.1.3). Отсюда немедленно следует непрерывность оператора
La . Таким образом, в силу 5.3.8 соответствие ?s ? La ? (?s )?1 можно
рассматривать как ограниченный линейный оператор из ?s (A/ ker ps )
в банахово пространство Hs . В связи с 4.5.10 такой оператор допус-
кает, и притом единственное, продолжение до оператора Rs (a) из
B(Hs ).
Установим теперь, что Rs : a > Rs (a) — это требуемое пред-
ставление. В силу 11.1.6 выполнено: Lab = La Lb для a, b ? A.
Значит,
?s Lab = ?s La Lb = La ?s Lb = La Lb ?s .
Поскольку Lab — единственное решение уравнения X?s = ?s Lab ,
приходим к соотношению Lab = La Lb , обеспечивающему мульти-
пликативность Rs . То, что Rs — линейный оператор, проверяется
аналогично. Помимо этого,

L1 ?s = ?s L1 = ?s IA = ?s = IA/ ker ps ?s = 1?s ,

т. е. Rs (1) = 1.
Обозначим для удобства ?s := ?s ?s . Тогда с учетом определений
скалярного произведения в Hs (см. 6.1.10 (4)) и инволюции в B(Hs )
(см. 6.4.14 и 6.4.5) для элементов a, b, y ? A имеем

(Rs (a? )?s x, ?s y)s = (?s La? x, ?s y)s =
= (La? x, y)s = (a? x, y)s = s(y ? a? x) = s((ay)? x) = (x, ay)s =
= (x, La y)s = (?s x, ?s La y)s = (?s x, Rs (a)?s y)s =
= (Rs (a)? ?s x, ?s y)s .

Отсюда из-за плотности im ?s в Hs вытекает, что Rs (a? ) = Rs (a)?
для каждого a ? A, т. е. Rs — это ?-представление.
Положим теперь xs := ?s 1. Тогда

Rs (a)xs = Rs (a)?s 1 = ?s La 1 = ?s a (a ? A).

Следовательно, множество {Rs (a)xs : a ? A} плотно в Hs . Помимо
этого,

(Rs (a)xs , xs )s = (?s a, ?s 1)s = (a, 1)s = s(1? a) = s(a).

11.9.11. Замечание. Построение из доказательства теоремы
11.9.10 называют ГНС-конструкцией (или развернуто: конструкци-
ей Гельфанда — Наймарка — Сигала).
11.9. Операторные ?-представления C ? -алгебр 299

11.9.12. Теорема Гельфанда — Наймарка. Каждая C ? -ал-
гебра имеет изометрическое ?-представление в C ? -алгебре эндомор-
физмов подходящего гильбертова пространства.
Пусть A — рассматриваемая C ? -алгебра. Следует найти гиль-
бертово пространство H и изометрическое ?-представление R алгеб-
ры A в C ? -алгебре B(H). С этой целью рассмотрим гильбертову
сумму H семейства гильбертовых пространств (Hs )s?S(A) , существо-
вание который гарантировано теоремой о состоянии C ? -алгебры, т. е.

?
H := Hs =
s?S(A)
? ?
? ?
= h := (hs )s?S(A) ? 2
Hs : hs < +? .
? ?
Hs
s?S(A) s?S(A)

Отметим, что скалярное произведение семейств h := (hs )s?S(A) и
g := (gs )s?S(A) в H вычисляется по правилу (ср. 6.1.10 (5) и 6.1.9):

(h, g) = (hs , gs )s .
s?S(A)

Пусть, далее, Rs — это ?-представление A в пространстве Hs ,
соответствующее состоянию s из S(A). Так как в силу 11.8.5 для
каждого a ? A выполнена оценка Rs (a) B(Hs ) ? a , то для h ? H
справедливо

Rs (a)hs ? Rs (a) ?a
2 2 2 2 2
hs hs Hs .
Hs Hs
B(Hs )
s?S(A) s?S(A) s?S(A)

Отсюда вытекает, что соотношение R(a)h : s > Rs (a)hs опре-
деляет элемент R(a)h из H. Возникающий оператор R(a) : h >
R(a)h — элемент пространства B(H). Более того, отображение R :
a > R(a) (a ? A) — это искомое изометрическое ?-представление
алгебры A.
В самом деле, из определения R и свойств Rs для s ? S(A) легко
вывести, что R — это ?-представление A в B(H). Убедимся, напри-
мер, что R согласовано с инволюцией. Для этого возьмем элементы
a ? A и h, g ? H. Тогда

(R(a? )h, g) = (Rs (a? )hs , gs )s =
s?S(A)
Гл. 11. Банаховы алгебры
300

(Rs (a)? hs , gs )s = (hs , Rs (a)gs )s =
=
s?S(A) s?S(A)

= (h, R(a)g) = (R(a)? h, g).
Из-за произвольности h, g ? H получаем R(a? ) = R(a)? , что и нуж-
но.
Осталось проверить только изометричность ?-представления R,
т. е. равенства R(a) = a при всех a ? A. Пусть для начала
a — это положительный элемент. Из непрерывного функционально-
го исчисления и теоремы Вейерштрасса 9.4.5 следует: a ? Sp(a).
На основании 11.9.3 (1) существует состояние s ? S(A), для кото-
рого s(a) = a . Учитывая свойства вектора xs , соответствующего
?-представлению Rs (см. 11.9.10), и привлекая неравенство Коши —
Буняковского 6.1.5, получаем

a = s(a) = (Rs (a)xs , xs )s ? Rs (a)xs ?
xs
Hs Hs


? Rs (a) = Rs (a)
2
xs B(Hs ) (xs , xs )s =
B(Hs ) Hs

= Rs (a) xs )s = Rs (a) = Rs (a)
B(Hs ) (Rs (1)xs , B(Hs ) s(1) B(Hs ) .

Используя оценки R(a) ? Rs (a) B(Hs ) и a ? R(a) , пер-
вая из которых очевидна, а вторая указана в 11.8.5, выводим:

a ? R(a) ? Rs (a) ? a.
B(Hs )

Возьмем, наконец, произвольный элемент a из A. По лемме Каплан-
ского — Фукамия 11.9.7 элемент a? a положителен. Таким образом,
можно заключить:

= R(a)? R(a) = R(a? )R(a) = R(a? a) = a? a = a 2 .
R(a) 2


Дальнейшее не требует особых разъяснений.

Упражнения
11.1. Привести примеры банаховых алгебр и не банаховых алгебр.
11.2. Пусть A — банахова алгебра и ? ? A# таков, что ?(1) = 1 и при этом
?(Inv(A)) ? Inv(C). Доказать, что ? мультипликативен и непрерывен.
11.3. Пусть спектр Sp(a) элемента a банаховой алгебры A лежит в откры-
том множестве U . Доказать, что имеется число ? > 0 такое, что Sp(a + b) ? U
при всех b ? A, для которых b ? ?.
Упражнения 301

11.4. Описать пространства максимальных идеалов в алгебрах C(Q, C),
C (1) ([0, 1], C) с поточечным умножением, в алгебре двусторонних суммируемых
последовательностей l1 (Z) со св?рточным умножением
е

?
(a ? b)(n) := an?k bk .
k=??


11.5. Установить, что в банаховой алгебре B(X) элемент T имеет левый
обратный в том и только в том случае, когда T — мономорфизм и образ T
дополняем в X.
11.6. Установить, что в банаховой алгебре B(X) элемент T имеет правый
обратный в том и только в том случае, если T — эпиморфизм и ядро T допол-
няемо в X.
11.7. В банаховой алгебре A есть элемент с несвязным спектром. Доказать,
что в A найдется нетривиальный идемпотент.
11.8. Пусть A — коммутативная банахова алгебра с единицей и E — неко-
торое множество ее максимальных идеалов. Множество E называют границей
A, если для всякого a ? A выполнено

= sup |?(E)|.
a a
? ?


Доказать, что пересечение всех замкнутых границ A также служит границей A.
Ее называют границей Шилова алгебры A.
11.9. Пусть A, B — коммутативные банаховы алгебры с единицей, причем
B ? A и 1B = 1A . Доказать, что всякий максимальный идеал границы Шилова
алгебры B содержится в некотором максимальном идеале A.
11.10. Пусть A и B — две C ? -алгебры (с единицей) и T — морфизм A в
B. Пусть, далее, a — нормальный элемент A и f — непрерывная функция на
SpA (a). Установить, что SpB (T a) ? SpA (a) и T f (a) = f (T a).
11.11. Пусть f ? A , где A — коммутативная C ? -алгебра. Установить, что
f — положительная форма, т. е. f (a? a) ? 0 для a ? A, в том и только в том
случае, если f = f (1).
11.12. Описать крайние лучи множества положительных форм в комму-
тативной C ? -алгебре.
11.13. Доказать, что алгебры C(Q1 , C) и C(Q2 , C) изоморфны в том и
только в том случае, если компакты Q1 и Q2 гомеоморфны.
11.14. Пусть некоторый нормальный элемент C ? -алгебры имеет веществен-
ный спектр. Доказать, что он эрмитов.
11.15. Развить спектральную теорию нормальных операторов в гильберто-
вом пространстве с помощью непрерывного функционального исчисления. Опи-
сать компактные нормальные операторы.
Гл. 11. Банаховы алгебры
302

11.16. Пусть T — алгебраический морфизм C ? -алгебр, причем T ? 1.
Тогда T (a? ) = (T a)? для всех a.
11.17. Пусть T — нормальный оператор на гильбертовом пространстве H.
Убедиться, что существуют эрмитов оператор S на H и непрерывная функция
f : Sp(S) > C такие, что T = f (S). Справедливо ли аналогичное утверждение в
C ? -алгебрах?
11.18. Пусть A, B — две C ? -алгебры и ? — это ?-мономорфизм из A в B.
Доказать, что ? — изометрическое вложение A в B.
11.19. Пусть a, b — эрмитовы элементы C ? -алгебры A, причем ab = ba и,
кроме того, a ? b. Доказать, что f (a) ? f (b) для подходящих сужений любой
возрастающей непрерывной скалярной функции f на R.
Литература


1. Акилов Г. П., Дятлов В. Н. Основы математического анализа.
—Новосибирск: Наука, 1980.—336 с.
2. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные
пространства.—Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.
3. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую то-
пологию. —М.: Наука, 1977.—367 с.
4. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное
управление.—М.: Наука, 1979.—429 с.
5. Антоневич А. Б., Радыно Я. Б. Функциональный анализ и
интегральные уравнения.—Минск: Изд-во «Университетское»,
1984.—352 с.
6. Антоневич А. Б., Князев П. Н., Радыно Я. Б. Задачи и упраж-
нения по функциональному анализу.—Минск: Вышейшая шко-
ла, 1978.—205 с.
7. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщен-
ных функций. Секвенциальный подход.—М.: Мир, 1976.—311 с.
8. Архангельский А. В. Топологические пространства функций.—
М.: Изд-во МГУ, 1989.—222 с.
9. Архангельский А. В., Пономар?в В. И. Основы общей тополо-
е
гии в задачах и упражнениях.—М.: Наука, 1974.—423 с.
10. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации.—М.: Наука,
1965.—407 с.
11. Ахиезер Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях.—
Харьков: Выща школа, 1984.—120 с.
12. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в
гильбертовых пространствах. — Харьков: Выща школа, 1977–
1978. — Т. 1–2.
Литература
304

13. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные
неравенства.—М.: Наука, 1988.—448 с.
14. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ.—
М.: Наука, 1980.—384 с.
15. Банах С. Теория линейных операция.—М.-Ижевск: R&C Dy-
namics, 2001.—272 с.
16. Берг Й., Л?фстр?м Й. Интерполяционные пространства. Вве-
е е
дение.—М.: Мир, 1980.—264 с.
17. Березанский Ю. М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные методы
в бесконечномерном анализе.—Киев: Наукова думка.—1988.—
680 с.
18. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный
анализ. Курс лекций.—Киев: Выща школа, 1990.—600 с.
19. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные
представления функций и теоремы вложения. —М.: Наука,
1996.—480 с.
20. Биркгоф Г. Теория реш?ток.—М.: Наука, 1984.—565 с.
е
21. Бирман М. Ш. и др. Функциональный анализ.—М.: Наука,
1972.—544 с.—(Справочная математическая библиотека.)
22. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория само-
сопряж?нных операторов в гильбертовом пространстве.—Л.:
е
Изд-во ЛГУ, 1980.—264 с.
23. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т.
Общие принципы квантовой теории поля.—М.: Наука, 1987.—
615 с.
24. Булдырев В. С., Павлов П. С. Линейная алгебра и функции
многих переменных.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.—496 с.
25. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая
статистическая механика. —М.: Мир, 1982.—511 с.
26. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и пре-
образования Фурье.—М.: Мир, 1968.—276 с.
27. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. — М.:
Изд-во иностр. лит., 1959.—410 с.
28. Бурбаки Н. Теория множеств.—М.: Мир, 1965.—455 с.
29. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры.—М.: На-
ука, 1968.—272 с.
30. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра.—М.: Мир, 1971.—707 с.
31. Бурбаки Н. Спектральная теория.—М.: Мир, 1972.—183 с.
Литература 305

32. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных
чисел в общей топологии. Функциональные пространства.
Сводка результатов.—М.: Наука, 1975.—408 с.
33. Бурбаки Н. Интегрирование. Мера на локально компактных
пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Ме-
ра на отдельных пространствах.—М.: Наука, 1977.—600 с.
34. Бухвалов А. В. и др. Векторные реш?тки и интегральные
е
операторы.—Новосибирск: Наука, 1991.—212 с.
35. Вайнберг М. М. Функциональный анализ.—М.: Просвещение,
1979.—128 с.
36. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.:
Наука, 1988.—512 с.
37. Владимиров В. С. Обобщ?нные функции в математической фи-
е
зике.—М.: Наука, 1976.—280 с.
38. Владимиров В. С. и др. Сборник задач по уравнениям мате-
матической физики.—М.: Наука, 1982.—256 с.
39. Воеводин В. В. Линейная алгебра.—М.: Наука, 1980.—400 с.
40. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-
дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1982.—304 с.
41. Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ.—М.: Наука,
1967.—415 с.
42. Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных прост-
ранств.—М.: Физматгиз, 1961.—407 с.
43. Гамелин Т. Равномерные алгебры.—М.: Мир, 1973.—334 с.
44. Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе.—М.:
Мир, 1967.—251 с.
45. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.—М.: Наука, 1966.
—280 с.
46. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные
нормированные кольца.—М.: Физматгиз, 1960.—316 с.
47. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщ?нные функции и дей-
е
ствия над ними.—М.: Физматгиз, 1958.—438 с.—(Обобщ?нные
е
функции. Вып. 1.)
48. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обоб-
щ?нных функций.—М.: Физматгиз, 1958.—307 с.—(Обобщ?н-
е е
ные функции. Вып. 2.)
49. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гар-
монического анализа. Оснащ?нные гильбертовы пространства.
е
Литература
306

— М.: Физматгиз, 1961. — 472 с. — (Обобщ?нные функции.
е
Вып. 4.)
50. Глазман И. М., Любич Ю. И. Конечномерный линейный ана-
лиз.—М.: Наука, 1969.—475 с.
51. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков.—М.:
Изд-во иностр. лит., 1961.—319 с.
52. Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функ-
ций с обобщ?нными производными и квазиконформные ото-
е
бражения.—М.: Наука, 1983.—284 с.
53. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций.—
М.: Изд-во иностр. лит., 1963.—311 с.
54. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных само-
сопряж?нных операторов.—М.: Наука, 1965.—448 с.
е
55. Гурарий В. П. Групповые методы коммутативного гармони-
ческого анализа.—М.: ВИНИТИ, 1988.—311 с.—(Современные
проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 25.)
56. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1: Общая
теория.—М.: Изд-во иностр. лит., 1962.—898 с. Т. 2: Спек-
тральная теория. Самосопряж?нные операторы в гильберто-
е
вом пространстве.—М.: Мир, 1966.—1063 с. Т. 3: Спектраль-
ные операторы.—М.: Мир, 1974.—661 с.
Диксмье Ж. C ? -алгебры и их представления. — М.: Наука,
57.

<<

стр. 9
(всего 11)

СОДЕРЖАНИЕ

>>