<<

стр. 5
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ


Передаточная функция системы управления имеет вид:
S2 +4S + 3
G(S) = -3
+S2 +2S + 2'
Компьютерные технологии решения задач управления 293

Необходимо выполнить сокращение, если имеются одинаковые
сомножители в числителе и знаменателе.
Решение. Представим функцию G[S) на языке MATLAB и вос-
пользуемся функцией minreal (). Программа будет иметь вид:
» п = [ 1 4 3] ;
» т = [ 1 1 2 2] ;
» q=tf(n,m);
» mineral(q)
Transfer function:
s +3




12.4. Исследование переходных
процессов в системах управления
Исследовать переходные процессы в системах управления можно
следующими методами:
• непосредственным решением дифференциальных уравнений,
описывающих динамику системы управления;
• с помощью преобразования Лапласа передаточной функции
системы;
• с помощью встроенной функции step ().
Все эти методы могут быть реализованы в системе MATLAB.
Для исследования переходных процессов с помощью преобразо-
вания Лапласа необходимо получить обратное преобразование
Лапласа передаточной функции звена Y(s) и представить его
графически, а затем по виду графика определить вид переходного
процесса (апериодический, колебательный) и его длительность.
Для графического воспроизведения результата в MATLAB ис-
пользуется функция ezpiot (), имеющая вид:
ezplot(Y(t), xn, xk)
294 Глава 12

где:
• Y(t) — функция, записанная в символьном ви;ie (взята в ка-
вычки);
• xn, xk — диапазон изменения аргумента, в иашем случае диапа-
зон изменения /.

1 Пример 12.13 '
• •




Пусть обратное преобразование функции име<;т вид


Тогда программа воспроизведения графика в М ^TLAB будет
иметь вид:
» Y='0.5*exp(0.5*t)';
» ezplot (Y, 0,3)

I—^——i—^mmmII I • n m i n i •
! i r n"
i in»
Fl E i V I s r To Dstp Wdw Hp
ie d e net ol ek no
t iw s oi e
l

0.5 exp(0.51)

2.2
/
2
/
18
.


14 !
.
12
. -

0.8
0.6 -
0.4
0 0.5 1 15
. 2 2.5 " • • 3
'..:' ; '. ... t
Рис. 12.14. График переходного процесс а системы
Компьютерные технологии решения задач управления 295

После нажатия клавиши <Enter> на экране график функции
(рис. 12.14) в диапазоне /, равном [0—3].

12.4.1. Функция stepO
Функция step () вычисляет реакцию системы управления на еди-
ничное ступенчатое воздействие. Если целью исследования явля-
ется получение графика, то функция записывается в следующем
виде:
step(q, t)
где:
• q — передаточная функция системы;
• t — время функционирования системы управления.
При этом график будет получен автоматически с указанием пе-
ременных по осям. Если же график необходим для иных целей с
его сохранением, то функция записывается с указанием аргумен-
тов в левой части, например,
[у, t]= step(q, t)

После этого для образования графика применяется функция
plot(t,у). При этом перед функцией step{q,t) необходимо ука-
зать диапазон изменения t, например, в таком виде:
t=[0:0.1:3]
т. е. от 0 до 3 с шагом 0.1.

; Пример 12.14 .j

Определить переходную характеристику системы управления,
передаточная функция которой имеет вид:


2S2 + 2.5S + 5402
Решение:
» nl=[5400];
» пй=[2 2.5 5402];
296 Глава 12

» q=tf(nl,ml)
Transfer function:
5400

2 s˜2 + 2.5 s + 5402
» t=[0:0.005:3];
» [y,t]=step(q,t);
» plot(t,y)

Ответом будет график переходной характеристики, показанной
на рис. 12.15.

- F ue N. I
>ir o
g
Be E t Item I s r Td Wo Hp
di net os n w e
id l


2
18.
1.6
-41
1 ,2
1
08.
06.
04.
02.
0 05
. 25
.

Рис. 12.15. Переходная характеристика системы



12.5. Частотные характеристики
системы
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики в системе
MATLAB строятся с помощью функции bode (), имеющей вид:
Компьютерные технологии решения задач управления 297

bode(sys)

где sys — имя передаточной функции.
Полученные частотные характеристики называются функциями
Воде.

| • - ' : •• •- •• •



| Пример 12.15

Необходимо построить частотные характеристики звена, переда-
точная функция которого имеет вид:

?\.
5(25 + 1)

Программа решения задачи имеет вид:
» п=[0.5 1 ] ;
» т=[2 1 0 ] ;
» sys=tf(n,m);
» bode(sys)
После нажатия клавиши <Enter> на экране появится амплитудно-
частотная и фазочастотная характеристики звена (рис. 12.16).
Частота имеет размерность "рад./с." и представляется в логариф-
мическом масштабе. Амплитуда измеряется в децибелах, фаза —
в градусах.
При построении диаграммы Боде в области желаемых частот ис-
пользуется функция
l o g s p a c e ( a , b , п)

где:
• а — начальное значение частоты;
• ь — конечное значение частоты;
• п — число точек в диапазоне [а; Ъ\.

Функция bode () при этом записывается в следующем виде:
bode(sys, w)
Глава 12
298


File E t Vw Insert T o D st p Wdw H p
oe i o s eko n o e
l i l


Bo* Dga
a rm
i




Fe u n y (a fs c
r c e c r c/ e )
j
Рис. 12.16. Частотные характеристики звена

Яе Е* view Insert Tools Desktop Window -vi t
:
D G?уа' fe;Ф.Щ.W® I D S .•. •


B d Diagram
oe




\ /



Рис. 12Л7. График функции Боде
Компьютерные технологии решения задач управления 299

Для нашего примера программа будет иметь вид:
» N=[0.5 1];
» М=[2 1 0] ;
» s y s = t f (N, М) ;
» W=logspace(-l,3,200);
» bode(sys,W)

После нажатия клавиши <Enter> на экране отобразятся характе-
ристики в заданном диапазоне частот (рис. 12.17).
Следует иметь в виду, что в функции logspaceO значения а и ь
1 3
(в нашем случае а=-1, ь = з ) — это степени 10, т. е. КГ , 10 , что
соответствует диапазону частот 0,1—3 рад/с.

12.5.1. Амплитудно-фазовая
характеристика системы
Амплитудно-фазовую характеристику называют диаграммой
Найквиста. Она применяется для анализа устойчивости по кри-
терию Найквиста. Реализуется в системе MATLAB с помощью
функции
nyquist(sys)

где sys — имя передаточной функции.

! Пример 12.16

Необходимо построить диаграмму Найквиста звена, передаточ-
ная функция которого имеет вид:


S3+2S2+S + 0.S
Программа построения диаграммы имеет вид:
» N=[0.5];
» М=[1 2 1 0.5];
» s y s = t f (N, М) ;
» nyquist(sys)


После нажатия клавиши <Enter> на экране появится диаграмма
Найквиста, приведенная на рис. 12.18.
300 Глава 12

_-JE|*J
F E* V I s r Td Dstp Wo Hp
e d e net os ek n w e
l
i iw o id l
DB В П
о

Nqs D rm
yut aa
i ig




Рис. 12.18. Диаграмма Найквиста



12.5.2. Диаграмма Никольса
Сетка кривых линий на логарифмической амплитудно-фазовой
диаграмме называется диаграммой Никольса. Линиям постоян-
ных значений амплитуды М соответствуют децибелы, а линиям
постоянных значений 7 = tgcp —градусы.
V
Диаграмма Никольса используется для исследования вопросов
устойчивости автоматических систем. Для построения диаграм-
мы Никольса MATLAB имеет специальную функцию:
nichols(sys, w)

где:
• sys — имя передаточной функции;
• w— частота, задаваемая пользователем в логарифмическом
масштабе.
Компьютерные технологии решения задач управления 301

| Пример 12.17 I

Передаточная функция системы имеет вид:
1


Программа построения диаграммы Никольса:
» п=[1];
» т=[0.2 1.2 1 0];
» sys=tf(n,m);
» w=logspace(-1,1,400);
» nichols(sys,w);
» ngrid

После нажатия клавиши <Enter> на экране — диаграмма Николь-
са (рис. 12.19).


F E t Vw I s r To Dstp Wdw Hp
i d e n et os ek no e
l ii
e l oi l




-223" -4 00 " И 35 -Э0
Open-Loop Phase ?deg)


Рис. 12.19. Диаграмма Никольса
302 Глава 12

Функция ngrid вызывается для нанесения криволинейной сетки
координат.


12.6. Пример анализа динамики
системы управления
Структурная схема системы управления приведена на рис. 12.20.

u2{s)
Y(S)
R(S)
G G
2 3
Рис. 12.20. Структурная схема разомкнутой системы управления

Передаточные функции звеньев имеют вид:
Кг
=_?,, GJS)=


Переменные имеют значения:
А , =10, К2=5,
Г 7J =1.5, Г, =3.5, Г 3 = 4 . 7 .
Необходимо исследовать:
• динамические свойства разомкнутой системы, определив ус-
тойчивость системы и качество переходных процессов;
• влияние обратной связи на устойчивость и качество переход-
ных процессов.
Решать поставленные задачи будем в такой последовательности:
1. Получение передаточной функции системы управления




2. Определение нулей и полюсов передаточной функции разомк-
нутой системы.
3. Определение расположения нулей и полюсов на плоскости S.
4. Исследование качества переходных процессов.
Компьютерные технологии решения задач управления 303

5. Выбор, на основании предыдущих исследований, вида обрат-
ной связи.
6. Исследование устойчивости и качества переходных процессов
в системе с обратной связью.

12.6.1. Образование передаточной функции
разомкнутой системы
Образовать передаточную функцию системы можно лишь в том
случае, если определены ее переменные. Программа MATLAB с
символьными переменными К и Т не работает. Присвоение пе-
ременным численных значений осуществляется оператором =
(равно):
» Kl=10;
» К2=5;
» Т1=1.5;
»Т2=3.5 ;
» Т3=4.7;
» nl=[Kl] ;ml-MI» zl=tf(nl,ml);
» п2=[К2] ; m2=[Tl 1 0 ] ; z 2 = t f ( n 2 , m 2 ) ;
» пЗ=[Т2 1 ] ; m3=[T3 1 ] ; z3=tf(n3,m3);
» G=zl*z2*z3
Transfer function:
175 s + 50


7.05 sA3 + 6.2 sA2 + s
Обратите внимание на то, что в ответе имени функции G[S) нет.
Ее имя совпадает с именем произведения zi*z2*z3.

12.6.2. Определение нулей и полюсов
передаточной функции G{S)
Программа имеет вид:
» P=pole (G)
Р=
0
Глава 12
304

-0.6667
-0.2128
» N0=zero(G)

Ответа не последовало. Программа не нашла нулей передаточной
функции. В целях экономии времени не будем искать причины
отказа.
Для определения корня воспользуемся функцией roots (). Пред-
ставим числитель передаточной функции G(S) полином
1755* + 50 в векторном виде и воспользуемся функцией roots ():
» ql=[175 50];
» N0=roots(ql)
N0 =
-0.2857


12.6.3. Расположение нулей и полюсов
на комплексной плоскости
Выполним:
» pzmap(G)
Результатом выполнения функ'ции является комплексная плос-
кость S с расположением нулей (кружки) и полюсов (крестики).
Значения нулей и полюсов совпадают с полученными в п. 3, что
свидетельствует о правильности нашего решения. Комплексная
плоскость с нулями и полюсами показана на рис. 12.21.

12.6.4. Анализ устойчивости системы
Анализ полюсов и нулей передаточной функции позволяет сде-
лать вывод, что исследуемая система не устойчива, т. к. один из
полюсов равен нулю.

12.6.5. Исследование качества переходного
Вычислим реакцию системы управления на единичную ступенча-
тую функцию, воспользовавшись функцией s t e p o . На данном
Компьютерные технологии решения задач управления 305


F E» Vw I s r To Dstp W o Hp
l d e n et os ek n :w e
e
i i l o id l
ч? a I T s a




--O- < •---
€•.•• --
•>




Рис. 12.21. Расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости

ЕС35EHB S D
F E t •w Irisert
eil
l dV
i •
«
Tools Desktop' Wir

sTlaa T ' F ; : DS •
Sp Rsoe
e en
t ps

;сг:ь




1
1
/
iO
CG


у
у'

Te (e) S 4
m sc0 5 0
i
Рис. 12.22. Переходный процесс системы
306 Глава 12

этапе исследования нам достаточно получить лишь график реак-
ции системы, поэтому не будем указывать временную область
графика.
» step(G)
На экране (рис. 12.22)— переходный процесс, представляющий
собой возрастающую амплитуду выходного сигнала от времени.
Система неустойчива.

12.6.6. Получение передаточной функции
замкнутой системы
Исследуем теперь влияние обратной связи на динамику системы
управления.
Передаточная функция замкнутой системы GOS определяется
через передаточную функцию разомкнутой системы G(S) при
отрицательной обратной связи в соответствии с выражением:
G(S)
GOS =
G(S)'
В MATLAB это выражение реализуется с помощью функции
feedback (), которая в нашем случае имеет вид:
» GOS=freeback(G, [1])
Transfer function:
175 s + 50

6.2 s A 2 + 176 s
7.05 50


12.6.7. Определение нулей и полюсов
передаточной функции замкнутой системы
и расположение их на комплексной
плоскости
Так как числители передаточной функции замкнутой и разомкну-
той систем совпадают, то определим лишь полюсы функции
и отразим нули и полюсы на плоскости S.
Компьютерные технологии решения задач управления 307

» POpole(GOS)
P=
O
-0.2967 + 4.97061
-0.2967 - 4.9706i
-0.2860
» pzmap(GOS)

На экране (рис. 12.23) появится комплексная плоскость S с ну-
лями и полюсами передаточной функции



F Et V ne To Dsp Ww Hl
e d e Isr ol eo n e
l i iw t s k d p
i t io
оа •
P l - eo Mp
oeZ r a




Рис. 12.23. Нули и полюсы передаточной функции

Анализ показал, что замкнутая система управления является
устойчивой, ее нули и полюсы расположены в левой полуплос-
кости.
308 Глава 12

12.6.8. Переходные процессы
замкнутой системы с жесткой
отрицательной обратной связью
График переходного процесса получаем после реализации функ-
ции
step(GOS)
На экране — график, представляющий собой колебательный за-
тухающий процесс (рис. 12.24).



1.8




О 15 »
Рис. 12.24. График переходного процесса замкнутой системы

Длительность переходного процесса т.«15с, величина перерегу-
лирования А «1.8.


12.6.9. Исследование устойчивости
и качества переходных процессов
системы управления при гибкой
отрицательной обратной связи
Улучшить динамику системы управления можно, используя гиб-
кую обратную связь по производной.
Компьютерные технологии решения задач управления 309

В качестве обратной связи применим блок с передаточной функ-
цией


Результаты расчетов при значениях 7 = 2 , 0.5, 0.1 таковы:
• при Т - 2 процесс апериодический с длительностью х « 12 с и
отсутствием перерегулирования;
• при Т = 0.5 процесс апериодический с длительностью
т«2.5с;
• при Т = 0.1 процесс колебательный с длительностью т « 3 . 3 с
и величиной перерегулирования А « 1.35 .
Эти исследования при желании читатель выполнит самостоя-
тельно.


12.7. Индивидуальные задания
для исследования динамики
систем управления
В следующих разделах приводятся два индивидуальных задания
по исследованию динамики систем управления.
В первом из них ставятся задачи образования передаточной
функции системы, определение условий устойчивости по значе-
ниям нулей и полюсов передаточной функции и образования пе-
реходных характеристик системы.
Второе задание посвящено исследованиям устойчивости и каче-
ства переходных процессов по переходным и частотным характе-
ристикам системы.

12.7.1. Задание 1
Блок-схема системы управления приведена на рис. 12.25.
Необходимо исследовать устойчивость и качество переходных
процессов разомкнутой системы управления, системы с жесткой
и гибкой обратной связью. Решение задачи выполнить в последо-
вательности, приведенной в примере разд. 12.6.
Глава 12
310

ux{s)
R(S) Y(S)
G3(S)
G,(S)

Рис. 12.25. Исходная структурная схема системы

При исследовании динамики системы управления с гибкой об-
ратной связью передаточную функцию цепи обратной связи Goc
можно выбрать из следующих вариантов:




G




Далее приведены передаточные функции звеньев системы для
вариантов заданий.
• Вариант 1

-&-, G2(s) =
] S(T2S + \)
К, - 2 0 , K2=2, Г,-1.5, Т2=2, Г 3 =5.4, Г 4 = 2 . 5 .
• Вариант 2




К, = 3 0 , K2=5, Т, = 2 . 5 , Г 2 - 0 . 8 .
K3=\2,
• Вариант 3




A , - 3 2 , АГ2 =16, Къ = 2 . 5 , 7] =1.5, Г2 = 5 , Г3 =1.5, Г4 - 2 .
T
Компьютерные технологии решения задач управления 311

• Вариант 4

, GJS),
П
S(T2S + \) ' T AS + \

7] =1.5, 7, = 3 , 7 , =0.5, Г 4 =1.4.
K,=20, K2=25,
у
• Вариант 5
^, (S) = ^
^
Gl
S(T2S + \)
A , = 2 0 , ^ 2 =10, ^ з = 1 5 , T{ = 2 , Г2 =1.5, Г3 =0.5.
T

• Вариант 6

(S) ,G,{S)
>02




A , =15, K2=20,
T K3 = 7 , 7J = 2 , Г2 = 0 . 5 , Г3 = 3 , Г4 =1.4.

• Вариант 7




Kx =12, AT2 = 15 , 7] =1.4, Г 2 = 0 . 4 , Г 3 = 2 , Г4 = 5 .

• Вариант 8

^ , G 3 (S) = ^
\\, G2(S) =

ЛГ, = 5, K2 = 15, Кг = 12 , Tx = 0.8, Г2 = 0.5 , T3 = 2 .

• Вариант 9




Kt = 2 0 , K2=25, 7; =1.5, Г 2 = 3 , Г 3 =0.5, Г 4 =1.4
312 Глава 12

• Вариант 10




Кх = 5, /: 2 = 3 5 , 2] =0.5, Г, = 2 , Г, =3.2, Г4 =1.5 , Г5 =0.2.

• Вариант 11




^, = 100 , К2 = 5.6, 7] = 3 , Т2 = 0.5 , Г3 = 2.5, Г4 = 5 , Г5 = 2 .

• Вариант 12




* , = ю , А:2 = 2 0 , A:3 =6.7,7] = 2 , 7 ; = 0 . 5 , r 3 = 0 . 1 .

• Вариант 13


5(715+ 1)
К| = 5, К2 = 7, К^ — 12, 7j = 0.5, 7^2 = 1.5 , Т3 = 2, 7^ = 1 .f

• Вариант 14


S(T2S + \)

= 5 , К2 = 7 , #з = 1 0 ' т\ =1-2, 5 2 = 3 - 2 ' г з =1-8, 7; = 2
Г

• Вариант 15

, G 2 (5) , ()
3
3
2
, T2S + \
Кх = 2 , АГ2 = 8, Къ = 12 , 7] = 2, Т2 = 3.5, Г3 = 0.2, Г4 = 0.5
Компьютерные технологии решения задач управления 313

Вариант 16
к
s) J3(o)
S +\ 1
•I)


*i
г т — 0.5, = 0 1 = 0.1,
.,
Kl = 20, К2=\2, = 2.

• Вариант 17
( к

s) I A' ( ]
"
I) + ),
IV ) ' S (T,S + 1
{
7,5 + 1

А , = 5 , ^ 2 = 1 0 0 , ^ 3 = 1 - 5 ' 4 = 0 . 2 , Г 2 = 2 , Г, =1.2, Г 4 = 4 . 2 .
Г

• Вариант 18




А , = 12, Л:, = 50, К3 = 2 , Тх = 0.5, Г2 = 1.5 , 73 = 2, Г4 = 2.5 .
Г

• Вариант 19




К^12, К2= 5, К3 =50,^=2,1-, =0.5, Т3 =3.5, Т4 =2.5.

• Вариант 20


T 2S
Kx = 5 , K2 = 70, Кг = 12, 7] = 0.5, T2 = 2 , Г3 = 1.5 .

• Вариант 21

G, (51) = - ^ - , G7 (S) = ^ 2 ( Г ^ + 1)
, G3 (S) = ^,(Г 4 5 + 1),

^ , = 5 , ^ 2 = 5 0 , AT,-.?, Т}=О.5,Т2=\.5, Г3=2,Г4=0.8.
314 Глава 12

• Вариант 22




Kx = 5 , ? 2 ^ 3 = 8 , 7] = 2 , Г 2 = 0 . 5 , Г, =0.8, Г4 =1.5
Вариант 23



T3S +1)
? 3 = 1 2 , Г, =0.5, Г 2 = 2 . 5 , 7з=:
• Вариант 24




Тх=2, Г 2 = 0 . 8 , Г, =0.5, Г 4 = 3 .
К,=1, К2=2%, Къ=\2,
• Вариант 25




= 3 . 5 ; / : 2 = 3 2 , ^ 3 = 8 , 7J =1.5, Г 2 = 2 , Г 3 =0.5, Г , = 3 .



12.7.2. Задание 2
Постановка задачи
Предлагаются четыре звена системы управления в виде переда-
точных функций. Варианты звеньев приведены в индивидуаль-
ных заданиях. Необходимо исследовать их характеристики, опре-
делив:
• переходные процессы с помощью преобразования Лапласа;
• реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие;
• амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики;
• амплитудно-фазовую характеристику;
Компьютерные технологии решения задач управления 315

• диаграмму Никольса;
• показатели качества переходного процесса (вид переходного
процесса и его длительность, величину перерегулирования);
• запас устойчивости по амплитуде и фазе.
Исследования выполнить с помощью универсального программ-
ного средства MATLAB и специализированного пакета приклад-
ных программ Control System Toolbox. Переходную характери-
стику звена следует получить путем обратного преобразования
Лапласа передаточной функции звена.

Варианты индивидуальных заданий
и передаточных функций
Варианты заданий приведены в табл. 12.1.
Цифры в графе "звенья" являются номерами передаточных функ-
ций звеньев.
Решения необходимо получить в виде формул, графиков и де-
тального анализа полученных результатов.

Таблица 12.1. Варианты заданий
Номер
1 2 3 4
Вариант 5
Звенья 1,3,7,11 2,5,8,10 3, 6, 9, 11 4, 2, 5, 8 1,4,5,9
Вариант 6 7 8 9 10
Звенья 1,4,6, 10 2, 6, 8, 9 1,4,8,11
3, 5, 7, 8 2, 3, 6, 9
Вариант 11 12 14 15
13
4, 5, 9, 11 2,5,8,11
Звенья 3,6,8,10 1,4,7,10 3, 6, 7,9
Вариант 17 18 19 20
16
3,5,8,11 4,7,8,10
1,4.6,10
Звенья 4, 7, 9, 11 2, 6, 7, 9
24 25
22 23
Вариант 21
2, 7, 9, 11 3,4,7,10 4,5,7,9 1,6,9,11
Звенья 1,5,6,9
Глава 12
316

Далее приведены передаточные функции звеньев системы.
• Вариант 1
TS
У(5)=-
TS+Л
б) 7 = 5.
а) 7 = 0.5;

• Вариант 2
T2S
Y(S) =
7,5 + 1
б) 7, = 1, 72 = 0.2 .
а) 7] =0.2, 7 2 = 1 ;

• Вариант 3


7,5
б) 7, =1.5, 7 2 =0.3.
а) 7, =0.3, 72 =1.5;

• Вариант 4
К
Y(S) =
75 + 1
б) А: = 50, 7 = 1.
а) А: = 10, Г = 0.2;

• Вариант 5
1
7(5)-
75 + 1
б) 7 = 4.
а) 7 = 0.5;

• Вариант 6


5(75 + 1)
б) К
а) ?" = 10, 7 = 0.2;
Компьютерные технологии решения задач управления 317

• Вариант 7

Y(S) = -
V;
S
а) ? = 10; б) ? = 100.

• Вариант 8
KS


=
а) Л = 1 0 , i, = (J. 1 , У2 'j °) л = 1 UU , ij = U. 1 , У2 •

• Вариант 9

Г(5).-

а) ? = 10, 7] =0.1, Г 2 =0.5, Г 3 =1;
б) ? = 10, 7J =0.8, Г 2 =0.5, Т3=\.

• Вариант 10


S2(T2S + \)

а) ? = 2 0 , 7] = 0 . 5 , Т2 =1 ; б) ? = 2 0 , 7] = 1 , Г2 = 0.5.

• Вариант 11
к




а) ? = 10,75=0.1,72=0.7,^=1.5;
б) ? = 20 , Тх = 1, Г2 = 2 , Г3 = 3 .
Литература

1. Андриевский Б., Фрадков А. Избранные главы теории авто-
матического управления с примерами на языке Matlab. —
СПб.: Наука, 1999.
2. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислитель-
ной математике. — М.: Высшая школа, 1990.
3. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массово-
го обслуживания. — М.: Наука, 1987.
4. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде Matlab. Учеб-
ный курс. — СПб.: Питер, 2000.
5. Гутер Р. С , Резниковский П. Т. Программирование и вычис-
лительная математика, выпуск 2. — М.: Наука, 1971.
6. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной мате-
матики. — М.: Наука, 1970.
7. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. — М.:
Лаборатория базовых знаний, 2002.
8. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения
Matlab. Специальный справочник. — СПб.: Питер, 2001.
9. Дьяконов В. Учебный курс. — СПб.: Питер, 2001.
10. Егоренков Д. Л., Фрадков А. Л., Харламов В. Ю. Основы ма-
тематического моделирования. — СПб.: БГТУ,1996.
11. Компьютер для студентов, аспирантов и преподавателей. Са-
моучитель, под редакцией В. Б. Комягина. — Можайск: Три-
умф, 2002.
Литература 319


12. Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика
в примерах и задачах. — М : Наука, 1972.
13. Половко А., Бутусов П. Интерполяция. Методика и компью-
терные технологии их реализации. — СПб.: БХВ-Петербург,
2004.
14. Половко A. Derive для студента.— СПб.: БХВ-Петербург,
2005.
15. Потемкин В. Г. Инструментальные средства Matlab 5.x. — М.:
Диалог-МИФИ, 2000.
16. Потемкин В. Система инженерных и научных расчетов
Matlab 5.x. — ML: Диалог-МИФИ, 1999.
17. Пулькин С. П. Вычислительная математика.— М.: Просве-
щение, 1972.
18. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы
математических вычислений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980.

<<

стр. 5
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ