<<

стр. 3
(всего 7)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

предприятия (резкий количественный рост оборачиваемости не сопровожден
качественным ростом, зато наблюдается качественный спад автономности,
абсолютной ликвидности и рентабельности).
9. Лингвистическое распознавание степени риска по таблице 3.9 дает степень
риска банкротства как пограничную между низкой и средней, причем
уверенность эксперта в том, что уровень именно средний, нарастает от
периода к периоду.


3.3.Лингвистическая диагностика риска банкротства эмитента

Мы рассмотрели только финансовый аспект банкротства эмитента – такой,
который наилучшим образом подлежит количественной оценке. Разумеется, событие
банкротства может иметь в перечне своих причин не только финансовые но и иные
аспекты, причем описываемые как количественными, так и качественными категориями.
Чтобы подойти к комплексной диагностике риска банкротства эмитента, необходимо
заложить систему нечетких знаний по образцу, как это описано в предыдущей главе
книги.

В основу этой системы должны лечь знания, относящихся к финансовой стороне
банкротства, а именно:


64
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
ЕСЛИ финансовые показатели эмитента X1… XN являются очень
низкими/низкими/средними/высокими/очень высокими/, ТО риск банкротства,
соответственно, очень высокий/высокий/средний/низкий/очень низкий
(3.15)

Также в систему знаний, наряду с самими знаниями, входят атомарные предикаты с
нечеткими логическими связями типа

Показатель Xi существенно более значим, чем показатель Xj (3.16)

Экспертная система на базе нечетких знаний должна содержать механизм нечетко-
логического вывода, такой, чтобы сделать заключение о степени риска банкротства
эмитента на основе всей необходимой исходной информации, получаемой от
пользователя. Чем больше в системе знаний и чем точнее описан в ней риск банкротства,
тем точнее диагностика.

Предполагается, что создание таких систем диагностики риска банкротства, где
точно измеряемые количественные факторы используются одновременно с оценочными
суждениями, является делом весьма недалекого будущего.


Выводы

Здесь изложен подход, который позволяет эксперту наилучшим образом
формализовать свои нечеткие представления, трансформировав язык слов в язык
количественных оценок. Если эксперт хорошо знает предприятие изнутри, то ему не
составит никакого труда выделить именно те факторы, которые наиболее влияют на
процессы потери платежеспособности (включая ошибки менеджмента), сопоставить этим
факторам количественные показатели и пронормировать их. При этом, если эксперт
затрудняется с классификацией, он может в ходе нормирования успешно применять
нечеткие описания в том смысле, как это делается здесь. Дальнейшее – уже дело
банальной арифметики.

Опыт применения заявленного здесь подхода в самостоятельных работах студентов
пятого курса СПбУЭФ (Санкт-Петербург) по анализу ряда российских предприятий
показал, что с точки зрения динамики комплексных показателей наш подход и подход
Альтмана дает однотипные результаты. Однако, если результаты подхода Альтмана не
подлежат верификации (невозможно сказать, как коэффициенты, полученные на одной
квазистатистике, пригодятся для другой), то в случае нашего метода мы не получаем в
ответе ничего иного, чем то, что заложено нами же в структуре исходных данных. Успех
анализа -– и это правильно – заключен в том, как глубоко мы понимаем суть
происходящего на отдельном единичном предприятии, в также в том, как мы соотносим
предприятие с отраслью хозяйства, к которой оно относится.


65
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Мы в своем изложении тщательно избегали ходового словечка «вероятность
банкротства», столь употребительного в литературе. Потому что если наличный
контекст свидетельств не понимается как квазистатистика (а классической статистики
нет, как мы понимаем), то нельзя говорить ни о классической, ни о субъективной
вероятности.
Если бы банкротства наблюдались как случайности, то эксперт не испытывал бы
затруднения в классификации уровней тех или иных параметров, потому что имел бы
представление о распределении тех или иных шансов, почерпнутых из отраслевой
статистики. Но статистика «пляшет», поэтому эксперт не располагает устойчивыми
связями и вынужден полагаться скорее на свое собственное чутье, нежели на слабо
диагностируемую причинность. И поэтому все экспертные выводы должны содержать
степень оценочной уверенности эксперта в правоте этого вывода. Наша методология
позволяет эти оценки порождать и на их основе выводить результирующие нечеткие
выводы (о риске банкротства эмитента, например).

Поэтому наш метод – это только инструмент, который в умелых руках будет
звучать полноценно, а в неискушенных примется фальшивить. Это не свидетельствует
против самого метода, а лишь характеризует предел его возможностей, предел, который
является общим для любых методов экономического анализа. Предел этот - «дурная»
рыночная неопределенность.

Метод, названный нами V&M - метод комплексного финансового анализаO, и
предложенный здесь комплексный показатель финансового состояния предприятия,
названный нами V&M - показательO, активно применяется в практике финансового
анализа, будучи внедрен в программную модель «МАСТЕР ФИНАНСОВ: Анализ и
планирование" (разработка консультационной группы «Воронов и Максимов»).




66
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
4. Оценка эффективности инвестиционного проекта

4.1. Неопределенность, возникающая в процессе инвестиционного
проектирования

Выпуск (эмиссия) акций – наиболее естественный способ привлечения инвестиций
в бизнес-проект. Это – самая ранняя в историческом смысле форма распределения
потенциальных прибылей и ответственности за убытки. Чтобы убедить инвестора
вложить деньги в тот или иной проект, необходимо рассказать ему все об ожидаемой
доходности проекта и оценить связанные с проектом бизнес-риски.

Начнем наше изложение c трех базовых определений.
Инвестиции (в широком смысле) - временный отказ экономического субъекта от
потребления имеющихся в его распоряжении ресурсов (капитала) и использование этих
ресурсов для увеличения в будущем своего благосостояния.
Инвестиционный проект - план или программа мероприятий, связанных с
осуществлением капитальных вложений с целью их последующего возмещения и
получения прибыли.
Инвестиционный процесс - развернутая во времени реализация инвестиционного
проекта. Началом инвестиционного процесса является принятие решения об
инвестициях, а концом - либо достижение всех поставленных целей, либо вынужденное
прекращение осуществления проекта.

Инвестиционный проект предполагает планирование во времени трех основных
денежных потоков: потока инвестиций, потока текущих (операционных) платежей и
потока поступлений. Ни поток текущих платежей, ни поток поступлений не могут быть
спланированы вполне точно, поскольку нет и не может быть полной определенности
относительно будущего состояния рынка. Цена и объемы реализуемой продукции, цены
на сырье и материалы и прочие денежно-стоимостные параметры среды по факту их
осуществления в будущем могут сильно разниться с предполагаемыми плановыми
значениями, которые оцениваются с позиций сегодняшнего дня.

Неустранимая информационная неопределенность влечет столь же неустранимый
риск принятия инвестиционных решений. Всегда остается возможность того, что проект,
признанный состоятельным, окажется de-facto убыточным, поскольку достигнутые в
ходе инвестиционного процесса значения параметров отклонились от плановых, или же
какие-либо факторы вообще не были учтены. Инвестор никогда не будет располагать
всеобъемлющей оценкой риска, так как число разнообразий внешней среды всегда
превышает управленческие возможности принимающего решения лица [4.1], и
обязательно найдется слабоожидаемый сценарий развития событий (любая катастрофа, к
примеру), который, будучи неучтен в проекте, тем не менее, может состояться и сорвать
инвестиционный процесс. В то же время инвестор обязан прилагать усилия по
повышению уровня своей осведомленности и пытаться измерять рискованность своих
67
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
инвестиционных решений как на стадии разработки проекта, так и в ходе
инвестиционного процесса. Если степень риска будет расти до недопустимых значений, а
инвестор не будет об этом знать, то он обречен действовать вслепую.

Способ оценки риска инвестиций прямо связан со способом описания
информационной неопределенности в части исходных данных проекта. Если исходные
параметры имеют вероятностное описание (например, см. [4.2, 4.3]), то показатели
эффективности инвестиций также имеют вид случайных величин со своим
импликативным вероятностным распределением (понятие импликативной вероятности
см. в [4.4]). Однако, чем в меньшей степени статистически обусловлены те или иные
параметры, чем слабее информационность контекста свидетельств о состоянии
описываемой рыночной среды и чем ниже уровень интуитивной активности экспертов,
тем менее может быть обосновано применение любых типов вероятностей в
инвестиционном анализе.

Альтернативный способ учета неопределенности - так называемый минимаксный
подход. Формируется некий класс ожидаемых сценариев развития событий в
инвестиционном процессе и из этого класса выбирается два сценария, при которых
процесс достигает максимальной и минимальной эффективности, соответственно. Затем
ожидаемый эффект оценивается по формуле Гурвица [4.2, 4.3] с параметром согласия l.
При l=0 (точка Вальда) за основу при принятии решения выбирается наиболее
пессимистичная оценка эффективности проекта, когда в условиях реализации самого
неблагоприятного из сценариев сделано все, чтобы снизить ожидаемые убытки. Такой
подход, безусловно, минимизирует риск инвестора. Однако в условиях его
использования большинство проектов, даже имеющих весьма приличные шансы на
успех, будет забраковано. Возникает опасность паралича деловой активности, с
деградацией инвестора как лица, принимающего решения.

Вот наглядный пример. Любой игрок в преферанс (даже такой захудалый, как я)
знает, что в ходе торговли за прикуп игрок с высокой степенью повторяемости должен
заявлять на одну-две взятки больше, чем у него есть на руках, в расчете на добрый
прикуп. Иначе, по результатам множества игр он окажется в проигрыше или, в лучшем
случае, "при своих", потому что его соперники склонны к разумной агресии, т.е. к
оправданному риску. Понимая инвестиции как разновидность деловой игры, мы скажем
по аналогии: инвестору вменяется в обязанность рисковать, но рисковать рационально,
присваивая каждому из потенциальных сценариев инвестиционного процесса свою
степень ожидаемости. В противном случае он рискует потерпеть убыток от непринятия
решения - убыток чрезмерной перестраховки. В карточной игре приличная карта,
приличный прикуп приходят не так часто. В том же преферансе игрок, объявивший
шесть взяток и сыгравший по факту восемь, вызывает всеобщее недовольство вероятным
"перезакладом". Становится обидно за партнера, за его неумение играть, когда по-
настоящему приличная карта приходит так редко.



68
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Инструментом, который позволяет измерять возможности (ожидания), является
теория нечетких множеств. Впервые мы находим ее применение к инвестиционному
анализу в [4.5]. Используя предложенный в этой работе подход, построим метод оценки
инвестиционного риска, как на стадии проекта, так и в ходе инвестиционного процесса.


4.2.Метод нечетко-множественной оценки инвестиционного проекта

В литературе по инвестиционному анализу (например, в [4.6, 4.7, 4.8]) хорошо
известна формула чистой современной ценности инвестиций (NPV - Net Present Value).
Возьмем один важный частный случай оценки NPV, который и будем использовать в
дальнейшем рассмотрении:

· Все инвестиционные поступления приходятся на начало инвестиционного
процесса.
· Оценка ликвидационной стоимости проекта производится post factum, по
истечении срока жизни проекта.

Тогда соотношение для NPV имеет следующий вид:

?Vi
N
C
NPV = - I + a , (4.1)
+
(1 + ri ) i (1 + rN +1 ) N +1
i =1



где I - стартовый объем инвестиций, N - число плановых интервалов (периодов)
инвестиционного процесса, соответствующих сроку жизни проекта, DVi - оборотное
сальдо поступлений и платежей в i-ом периоде, ri - ставка дисконтирования, выбранная
для i-го периода с учетом оценок ожидаемой стоимости используемого в проекте
капитала (например, ожидаемая ставка по долгосрочным кредитам), C - ликвидационная
стоимость чистых активов, сложившаяся в ходе инвестиционного процесса (в том числе
остаточная стоимость основных средств на балансе предприятия).

Инвестиционный проект признается эффективным, когда NPV, оцененная по
(4.1), больше определенного проектного уровня G (в самом распространенном случае G =
0).

Замечания.
· NPV оценивается по формуле (4.1) в постоянных (реальных) ценах.
· Ставка дисконтирования планируется такой, что период начислений процентов на
привлеченный капитал совпадает с соответствующим периодом инвестиционного
процесса.
· (N+1)-ый интервал не относится к сроку жизни проекта, а выделен в модели для
фиксации момента завершения денежных взаиморасчетов всех сторон в
инвестиционном процессе (инвесторов, кредиторов и дебиторов) по кредитам,

69
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
депозитам, дивидендам и т.д., когда итоговый финансовый результат проекта
сделается однозначным.

Если все параметры в (4.1) обладают "размытостью", т.е. их точное планируемое
значение неизвестно, тогда в качестве исходных данных уместно использовать
треугольные нечеткие числа с функцией принадлежности следующего вида (рис. 4.1).
Эти числа моделируют высказывание следующего вида: "параметр А приблизительно
равен a и однозначно находится в диапазоне [amin, amax]".


1.2


m( x)
1




0.8




0.6




0.4




0.2



x
a a2
a1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7




Рис. 4.1. Треугольное число

Полученное описание позволяет разработчику инвестиционного проекта взять в
качестве исходной информации интервал параметра [amin, amax] и наиболее ожидаемое
значение a , и тогда соответствующее треугольное число A = (amin, a , amax) построено.
Далее будем называть параметры (amin, a , amax) значимыми точками треугольного
нечеткого числа A . Вообще говоря, выделение трех значимых точек исходных данных
весьма распространено в инвестиционном анализе (см., например, [4.8, 4.9]). Часто этим
точкам сопоставляются субъективные вероятности реализации соответствующих
("пессимистического", "нормального" и "оптимистического") сценариев исходных
данных. Но мы не считаем себя вправе оперировать вероятностями, значений которых не
можем ни определить, ни назначить (в главе 1 настоящей работы мы коснулись этого
предмета, в частности, говоря о принципе максимума энтропии). Поэтому в
инвестиционном анализе мы замещаем понятие случайности понятиями ожидаемости и
возможности.

Теперь мы можем задаться следующим набором нечетких чисел для анализа
эффективности проекта:



70
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
= (Imin, I , Imax) - инвестор не может точно оценить, каким объемом
I
инвестиционных ресурсов он будет располагать на момент принятия решения;
ri = (ri min, ri , ri max) - инвестор не может точно оценить стоимость капитала,
используемого в проекте (например, соотношение собственных и заемных средств, а
также процент по долгосрочным кредитам);
DVi = (Vmin, DVi , Vmax) - инвестор прогнозирует диапазон изменения денежных
результатов реализации проекта с учетом возможных колебаний цен на реализуемую
продукцию, стоимости потребляемых ресурсов, условий налогообложения, влияния
других факторов;
C = (Cmin, C , Cmax) - инвестор нечетко предсталяет себе потенциальные условия
будущей продажи действующего бизнеса или его ликвидации;
G = (Gmin, G , Gmax) - инвестор нечетко представляет себе критерий, по которому
проект может быть признан эффективным, или не до конца отдает себе отчет в том, что
можно будет понимать под "эффективностью" на момент завершения инвестиционного
процесса.

Замечания.
· В том случае, если какой-либо из параметров A известен вполне точно или
однозначно задан, то нечеткое число A вырождается в действительное число А с
выполнением условия amin = a = amax. При этом существо метода остается
неизменным.
· В отношении вида G . Инвестор, выбирая ожидаемую оценку G , руководствуется,
возможно, не только тактическими, но и стратегическими соображениями. Так, он
может позволить проекту быть даже несколько убыточным, если этот проект
диверсифицирует деятельность инвестора и повышает надежность его бизнеса. Как
вариант: инвестор реализует демпинговый проект, компенсацией за временную
убыточность станет захват рынка и сверхприбыль, но инвестор хочет отсечь
сверхнормативные убытки на той стадии, когда рынок уже будет переделен в его
пользу. Или наоборот: инвестор идет на повышенный риск во имя прироста
средневзвешенной доходности своего бизнеса.

Таким образом, задача инвестиционного выбора в приведенной выше постановке
есть процесс принятия решения в расплывчатых условиях, когда решение достигается
слиянием целей и ограничений [4.10].

Чтобы преобразовать формулу (4.1) к виду, пригодному для использования
нечетких исходных данных, воспользуемся сегментным способом, как это объясняется в
главе 2 книги.

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a и определим
соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам A и B : [a1, a2]
и [b1, b2], соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к
операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь,
выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов:
71
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
- операция "сложения":

[a1, a2] (+) [b1, b2] = [a1 + b1, a2 + b2], (4.2)

- операция "вычитания":

[a1, a2] (-) [b1, b2] = [a1 - b2, a2 - b1], (4.3)

- операция "умножения":

[a1, a2] (?) [b1, b2] = [a1 ? b1, a2 ? b2], (4.4)

- операция "деления":

[a1, a2] (/) [b1, b2] = [a1 / b2, a2 / b1], (4.5)

- операция "возведения в степень":

[a1, a2] (^) i = [a1i , a2i]. (4.6)

По каждому нечеткому числу в структуре исходных данных получаем интервалы
достоверности [I1, I2], [ri1, ri2], [DVi1, DVi2], [C1, C2]. И тогда, для заданного уровня a,
путем подстановки соответствующих границ интервалов в (4.1) по правилам (4.2) - (4.6),
получаем:

)[ DVi1 i DVi2
N
[NPV1 , NPV2 ] = ( -) [I1 , I 2 ] (+) ( a (1 + r ) , ]
(1 + ri1 ) i
i =1 i2

C2
C1
( +) [ ]=
,
N +1
(1 + rN +1,1 ) N +1
(1 + rN +1,2 )
DVi2
DVi1 C2
C1
N N
= [- I 2 + a a (1 + r ) i (1 + r ) N+1 ].
+
+ , - I1 +
(1 + rN +1,2 ) N +1
(1 + ri2 ) i
i =1 i =1 N +1,1
i1



(4.7)

Задавшись приемлемым уровнем дискретизации по a на интервале
принадлежности [0, 1], мы можем реконструировать результирующее нечеткое число
NPV путем аппроксимации его функциии принадлежности mNPV ломаной кривой по
интервальным точкам.

Часто оказывается возможным привести NPV к треугольному виду,
ограничиваясь расчетами по значимым точкам нечетких чисел исходных данных. Это


72
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
позволяет рассчитывать все ключевые параметры в оценке степени риска не
приближенно, а на основе аналитических соотношений. Это будет показано ниже.


4.3.Оценка риска неэффективности проекта на основе нечетких описаний

Перейдем к оценке собственно риска инвестиций. На рис. 4.2 представлены
функции принадлежности NPV и критериального значения G .
1



a1
0,8

m NPV
0,6
mG

0,4




0,2
a

NPV, G
0
G1 G2
NPV1
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 NPV2 1 1,5




Рис. 4.2. Соотношение NPV и критерия эффективности

Точкой пересечения этих двух функций принадлежности является точка с ординатой a1.
Выберем произвольный уровень принадлежности a и определим соответствующие
интервалы [NPV1, NPV2] и [G1, G2]. При a > a1 NPV1 > G2, интервалы не пересекаются,
и уверенность в том, что проект эффективен, стопроцентная, поэтому степень риска
неэффективности инвестиций равна нулю. Уровень a1 уместно назвать верхней
границей зоны риска. При 0 ? a ? a1 интервалы пересекаются.



G NPV=G


G2


зона
неэф ективных
ф
инвестиций




G1


NPV
NPV NPV
1 2




Рис. 4.3. Зона неэффективных инвестиций
73
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
На рис. 4.3 показана заштрихованная зона неэффективных инвестиций, ограниченная
прямыми G = G1, G = G2, NPV = NPV1, NPV = NPV2 и биссектрисой координатного угла
G = NPV. Взаимные соотношения параметров G1,2 и NPV1,2 дают следующий расчет для
площади заштрихованной плоской фигуры:

при NPV1 ? G 2
0,
i
i (G - NPV ) 2
при G 2 > NPV1 ? G 1 , NPV2 ? G 2
2 1
i ,
2
i
(G 1 - NPV1 ) + (G 2 - NPV1 )
i
S? = i ? (G 2 - G 1 ) , при NPV1 < G 1 , NPV2 ? G 2
2
i 2
i(G - G ) ? (NPV - NPV ) - (NPV2 - G 1 ) , при NPV1 < G 1 ? NPV2 , NPV2 < G 2
i2 1 2 1
2
i (G 2 - G 1 ) ? (NPV2 - NPV1 ), при NPV2 ? G 1
i
(4.8)

Поскольку все реализации (NPV, G) при заданном уровне принадлежности a
равновозможны, то степень риска неэффективности проекта j(a) есть геометрическая
вероятность события попадания точки (NPV, G) в зону неэффективных инвестиций:

S?
(4.9)
?(?) = ,
(G 2 - G 1 ) ? ( NPV2 - NPV1 )

где Sa оценивается по (4.8).

Тогда итоговое значение степени риска неэффективности проекта:


1



a1
0,8


mG mNPV
0,6




0,4




0,2




NPV
G G'
0
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3




Рис. 4.4. Точечная нижняя граница эффективности



74
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
?1

V & M = o j (?)d? (4.10)
0




В важном частном случае (см. рис. 4.4), когда ограничение G определено четко
уровнем G, то предельный переход в (4.9) при G2 ® G1 = G дает:


i , при G < NPV1
0
i G - NPV
i
a = [0, 1].
, при NPV1 ? G ? NPV2 , (4.11)
j (a ) = i 1

i NPV 2 - NPV1
i , при G > NPV2
1
i

Для того, чтобы собрать все необходимые исходные данные для оценки риска, нам
потребуется два значения обратной функции mNPV-1(a1). Первое значение есть G (по
определению верхней границы зоны риска a1), второе значение обозначим G'.
Аналогичным образом обозначим NPVmin и NPVmax - два значения обратной функции
mNPV-1(0). Также введем обозначение NPV - наиболее ожидаемое значение NPV . Тогда
выражение для степени инвестиционного риска V&M, с учетом (4.11) и длинной цепи
преобразований, имеет вид:

0, G < NPVmin
i
i 1 - ?1
i R ? (1 + ? ln(1 - ?1 )), NPVmin ? G < NPV
i ?1
(4.12)
V&M =i
1 - ?1
i1 - (1 - R) ? (1 + ? ln(1 - ?1 )), NPV ? G < NPVmax
?1
i
i 1, G ? NPVmax
i
где
i G - NPVmin
, G < NPVmax
i
, (4.13)
R = i NPVmax - NPVmin
i 1, G ? NPVmax
i

0, G < NPVmin
i
i G - NPVmin
, NPVmin ? G < NPV
i
NPV - NPVmin
i
i
. (4.14)
?1 = i 1, G = NPV
i NPVmax - G
, NPV < G < NPVmax
i
i NPVmax - NPV
i 0, G ? NPVmax
i

Исследуем выражение (4.12) для трех частных случаев:

1. При G = NPVmin (предельно низкий риск) R = 0, a1 = 0, G' = NPVmax, и предельный
переход в (4.12) дает V&M = 0.
75
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
2. При G = G' = NPV (средний риск) a1 = 1, R = (NPVmax - NPV )/(NPVmax - NPVmin)=1-
P, предельный переход в (4.12) дает V&M = (NPVmax - NPV )/(NPVmax - NPVmin).

3. При G = NPVmax (предельно высокий риск) P = 0, a1 = 0, G' = 0, и предельный
переход в (4.12) дает V&M = 1.

Таким образом, степень риска V&M принимает значения от 0 до 1. Каждый
инвестор, исходя из своих инвестиционных предпочтений, может классифицировать
значения V&M, выделив для себя отрезок неприемлемых значений риска. Возможна
также более подробная градация степеней риска. Например, если ввести
лингвистическую переменную "Степень риска" со своим терм-множеством значений
{Незначительная, Низкая, Средняя, Относительно высокая, Неприемлемая}, то каждый
инвестор может произвести самостоятельное описание соответствующих нечетких
подмножеств, задав пять функций принадлежности m*(V&M).

Описание метода анализа эффективности инвестиций в нечеткой постановке с
оценкой степени риска ошибки инвестиционного решения - завершено. Рассмотрим
простой пояснительный пример.


4.4. Расчетный пример

Исходные данные проекта: N = 2, I = (1, 1, 1) - точно известный размер
инвестиций, r1 = r2 = r = (0.1, 0.2, 0.3), DV1 = DV2 = DV = (0, 1, 2), C = (0, 0, 0) -
остаточная стоимость проекта нулевая, G = (0, 0, 0) - критерием эффективности является
неотрицательное значение NPV.

Результаты расчетов по формуле (4.1) для уровней принадлежности a = [0, 1] с
шагом 0.25 сведены в таблицу 4.1.

Таблица 4.1
Интервалы достоверности по уровню принадлежности a
a
для:
r NPV
DV
1 [0.2, 0.2] [1, 1] [0.527, 0.527]
0.75 [0.175, 0.225] [0.75, 1.25] [0.112, 1.068]
0.5 [0.15, 0.25] [0.5, 1.5] [-0.280, 1.438]
0.25 [0.125, 0.275] [0.25, 1.75] [-0.650, 1.944]
0 [0.1, 0.3] [0, 2] [-1, 2.470]


Аппроксимация функции mNPV (рис. 4.5) показывает ее близость к треугольному виду


76
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
при x < - 1
0,
i
i x +1
при - 1 ? x < 0.527
,
i
i 0.527 + 1
, (4.15)
µ NPV (x) = i
2.47 - x
i при 0.527 < x ? 2.47
,
2.47 - 0.527
i
i при x > 2.47
0,
i

и этим видом мы будем пользоваться в расчетах.
1




0,8




a1
0,6



зона риска
m NPV
неэф ективных
ф
0,4
инвестиций



mG
0,2




G G'
0
NPV
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3




Рис. 4.5. Приведение функции принадлежности к треугольному виду

Пусть принято положительное решение об инвестировании капитала I . Тогда a1 =
mNPV(0) = 0.655, G' = mNPV-1(a1) = 1.197, и, согласно (4.11) - (4.15), R = 0.288, V&M = 0.127.


4.5. Коррекция оценки риска в ходе инвестиционного процесса

Продолжим рассмотрение расчетного примера. Пусть принято решение о начале
инвестиционного процесса, и по результатам первого периода зафиксировано оборотное
DV1 = 1 при фактически измеренной ставке дисконтирования r1 = 0.2. Тогда
сальдо
перерасчет интервальной оценки NPV по (4.1) дает:

DV21 DV22
(4.16)
[NPV1 , NPV2 ] = [-0.167 + , - 0.167 + ].
2 2
(1 + r22 ) (1 + r21 )

Результаты расчетов по формуле (4.16) сведены в таблицу 4.2.




77
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Таблица 4.2
Интервалы достоверности по уровню принадлежности
a
a для:
r NPV
DV
1 [0.2, 0.2] [1, 1] [0.527, 0.527]
0.75 [0.175, 0.225] [0.75, 1.25] [0.333, 0.738]
0.5 [0.15, 0.25] [0.5, 1.5] [0.153, 0.967]
0.25 [0.125, 0.275] [0.25, 1.75] [-0.012, 1.227]
0 [0.1, 0.3] [0, 2] [-0.167, 1.489]

Приведение NPV к треугольному виду дает:

при x < - 0.167
0,
i
i x + 0.167
при - 0.167 ? x < 0.527
,
i
i 0.527 + 0.167
, (4.17)
µ NPV (x) = i
1.489 - x
i при 0.527 < x ? 1.489
,
i 1.489 - 0.527
i при x > 1.489
0,
i

откуда a1 = mNPV(0) = 0.241, G' = mNPV-1(a1) = 1.257, и, согласно (4.11) - (4.14), R=
0.101, V&M = 0.013.

Видим, что за счет снижения уровня неопределенности степень риска понизилась
почти на порядок. Таким образом, у инвестора появляется эффективный инструмент
контроля эффективности инвестиционного процесса.



4.6. Измерение уровня информационной неопределенности

Из расчетов видно, что чем значительнее неопределенность в исходных данных,
тем выше риск. Поэтому в ряде случаев инвестор просто обязан отказаться от принятия
решения и предпринять дополнительные меры по борьбе с неопределеннностью. Чтобы
знать, когда оправдан отказ от принятия решения, инвестору необходим измеритель
неопределенности сложившейся информационной ситуации (неустойчивости проекта
[4.2, 4.3]). Логично производить такие измерения по показателю a1. Для случая полной
определенности a1=0. Применительно к mNPV(x) вида (4.16) расчеты дают a11 = 0.655, а
для mNPV(x) вида (4.17) a12 = 0.241 < a11 . Инвестор опять же может интерпретировать
значения a1 лингвистически, как и в случае лингвистической оценки степени риска, и
таким образом обозначить для себя границу a1, за которой неопределенность перестает
быть приемлемой.

78
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
4.7. Развитие предложенного подхода

В качестве дополнительного критерия эффективности инвестиций инвестор может
потребовать, чтобы уровень внутренней ставки доходности (IRR - Internal Rate of Return)
проекта превышал некий нечеткий порог H . Тогда, если по критерию { NPV y G } степень
риска инвестиций составляет V&M1, а по критерию { IRR y H } она же составляет V&M2,
то результирующая степень риска может быть оценена как V&M = max (V&M1, V&M2).
Строгий с математической точки зрения подход к использованию показателя IRR в
инвестиционном анализе см. в [4.11].


Выводы

Умея грамотно описать нечеткость исходных данных, мы логическим путем
переходим к нечеткости результирующих показателей. Оценка инвестиционного риска -
это оценка меры возможности неблагоприятных событий в ходе инвестиционного
процесса, когда ожидаемость таких событий, задаваемая функцией принадлежности
соответствующих нечетких чисел, известна или определяется специальными методами.

Подход, основанный на нечеткостях, преодолевает недостатки вероятностного и
минимаксного подходов, связанные с учетом неопределенности. Во-первых, здесь
формируется полный спектр возможных сценариев инвестиционного процесса. Во-
вторых, решение принимается не на основе двух оценок эффективности проекта, а по
всей совокупности оценок. В-третьих, ожидаемая эффективность проекта не является
точечным показателем, а представляет собой поле интервальных значений со своим
распределением ожиданий, характеризующимся функцией принадлежности
соответствующего нечеткого числа. А взвешенная полная совокупность ожиданий
позволяет оценить интегральную меру ожидания негативных результатов
инвестиционного процесса, т.е. степень инвестиционного риска.

Метод, названный нами V&M-метод оценки риска инвестицийO, и предложенный
здесь показатель степени риска, названный нами V&M-показатель оценки риска
инвестицийO, использованы в разработанной консультационной группой "Воронов и
Максимов" программной модели "МАСТЕР ПРОЕКТОВ: Предварительная оценка" и
широко применяются в автоматизированном инвестиционном анализе.




79
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
5. Оценка доходности и риска акций и паев взаимных фондов
Под доходностью акции (пая) в мировой практике принято понимать
относительное приращение цены акции (пая) за расчетный период времени.

Одна из характерных вероятностных моделей цены акции является модель
винеровского случайного процесса c постоянными параметрами m (коэффициент сноса,
по смыслу – предельная курсовая доходность) и s (коэффикциент диффузии, по смыслу –
стандартное уклонение от среднего значения предельной доходности). Аналитическое
описание винеровского процесса [5.1]:

dS(t)
(5.1)
= µdt + ?z(t),
S(t)
где z(t) – стандартный винеровский процесс (броуновское движение, случайное
блуждание) с коэффициентом сноса 0 и коэффициентом диффузии 1.

В приращениях запись (5.1) приобретает вид

DS(t) z(t)
(5.2)
=µ+? ,
S(t)DT DT

Из (5.1) – (5.2) следует, что доходность, как мы ее понимаем, имеет нормальное
распределение с матожиданием m и среднеквадратическим отклонением s. Обозначим
плотность этого распределения j(r,m,s), где r – расчетное значение доходности.

Однако, если пронаблюдать фактическое ценовое поведение акций и паев
взаимных фондов, то мы увидим, что доходность этих активов не колеблется вокруг
постоянной случайной величины, но образует динамический тренд. Поэтому
винеровская модель в чистом виде применяется крайне редко и на временных интервалах
малой длительности.

Применим соображения, которые мы выдвинули в главе 2 книги, для приведения
винеровской модели к нечетко-множественному виду.

Пусть у нас есть квазистатистика доходностей (r1, …rN) мощности N и
соответствующая ей гистограмма (n1,...,nM) мощности M. Для этой квазистатистики мы
подбираем двупараметрическое нормальное распределение, руководствуясь критерием
правдоподобия




80
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
?i
M
F( m , s ) = -a ( - j (ri , µ, ?)) 2 ® max , (5.3)
?r
i =1



где ri – отвечающее i-му столбцу гистограммы расчетное значение доходности, Dr –
уровень дискретизации гистограммы.

Задача (5.3) – это задача нелинейной оптимизации, которое имеет решение

F0 = max ( m ,s ) F ( m , s ) , (5.4)

причем m0, s0 – аргументы максимума F(m,s), представляющие собой контрольную
точку.

Выберем уровень отсечения F1 < F0 и признаем все вероятностные гипотезы
правдоподобными, если соответствующий критерий правдоподобия лежит в диапазоне от
F1 до F0. Тогда всем правдоподобным вероятностным гипотезам отвечает множество
векторов A’, которое в двумерном фазовом пространстве представляет собой выпуклую
область с нелинейными границами.

Впишем в эту область прямоугольник максимальной площади, грани которого
сориентированы параллельно фазовым осям. Тогда этот прямоугольник представляет
собой усечение A’ и может быть описан набором интервальных диапазонов по каждой
компоненте

A’’ = (mmin, mmax; smin, smax) I A’. (5.5)

Назовем A’’ зоной предельного правдоподобия. Разумеется, контрольная точка
попадает в эту зону , то есть выполняется

mmin< m0 <mmax, smin < s0 < smax (5.6)

что вытекает из унимодальности и гладкости функции правдоподобия.

Тогда мы можем рассматривать числа m = (mmin, m0, mmax), s = (smin, s0, smax) как
треугольные нечеткие параметры плотности распределения j(·), которая и сама в этом
случае имеет вид нечеткой функции.

Рассмотрим пример.




81
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Пример 5.1
По результатам наблюдений за ценной бумагой сформирована квазистатистика
мощностью N=100 отсчетов, представленная в диапазоне –5 ? +15 процентов годовых
следующей гистограммой c уровнем дискретизации 2% годовых мощностью M=10
интервалов (таблица 5.1):

Таблица 5.1
Расчетная Число попавших в Частота ni = ni/N
доходность ri, % интервал отсчетов
годовых (середина квазистатистики ni
интервала)
-4 5 0.05
-2 2 0.02
0 3 0.03
2 8 0.08
4 10 0.1
6 20 0.2
8 28 0.28
10 19 0.19
12 5 0.05
14 0 0

Оценить параметры нормального распределения доходности.

Решение
Решением задачи нелинейной оптимизации (5.3) является F0 = -0.0022 при m0 = 7.55%
годовых, s0 = 2.95% годовых. Зададимся уровнем отсечения F1 = -0.004. В таблицу 5.2
сведены значения критерия правдоподобия, и в ней курсивом выделены значения,
удовлетворяющие выбранному нами критерию правдоподобия.

Таблица 5.2
F(m,s) ? 10000 при s =
m 2 2.5 3 3.5 4
6 -214 -120 -79 -66 -67
6.5 -151 -76 -49 -45 -52
7 -104 -46 -29 -32 -44
7.5 -77 -31 -22 -29 -43
8 -76 -34 -28 -36 -49
8.5 -100 -56 -47 -52 -62
Видно, что при данном уровне дискретизации параметров можно построить зону
предельного правдоподобия двумя путями:


82
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
A’’1 = (7.5,8.0; 2.5,3.5), A’’2 = (7.0,8.0; 3.0,3.5), (5.7)

причем контрольная точка попадает в оба эти прямоугольника. Точное же решение этой
задачи, разумеется, единственное:

A’’ = (6.8,8.3; 2.3,3.8), (5.8)
и m = (6.8, 7.55, 8.3), s = (2.3, 2.95, 3.8) – искомая нечеткая оценка параметров
распределения.




83
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
6. Оценка доходности и риска ценных бумаг с фиксированным
доходом

6.1. Вероятностный подход

Нам трудно назвать работу, в которой бы проводился вероятностный анализ
доходности и риска долговых обязательств. Скорее всего это связано с тем, что
доходность такого рода бумаг не лежит в произвольно широких пределах, как это имеет
место для акций и паев взаимных фондов на акциях. Моделируя ценные бумаги с
фиксированным доходом, мы знаем параметры выпуска (дата выпуска, цена размещения,
дата погашения, число купонов, их размер и периодичность). Единственное, чего мы не
знаем, - это то, как будет изменяться котировка этих бумаг на рынке в зависимости от
текущей стоимости заемного капитала, которая косвенно может быть оценена уровнем
федеральной процентной ставки страны, где осуществляются заимствования.

Идея вероятностного анализа долговых обязательств, представленная здесь,
состоит в том, чтобы отслоить от истории сделок с долговыми обязательствами
неслучайную составляющую цены (тренд). Тогда оставшаяся случайная составляющая
(шум) цены может рассматриваться нами как случайный процесс с непрерывным
временем, в сечении которого лежит нормально распределенная случайная величина с
нулевым средним значением и со среднеквадратичным отклонением (СКО), равным s(t),
где t – время наблюдения случайного процесса. Ожидаемый вид функции s(t) будет
исследован нами позже.

Получим аналитический вид трендов долговых обязательств и для начала
рассмотрим простейшие случаи таких выражений, которые имеют место для дисконтных
бескупонных облигаций и дисконтных векселей.

6.1.1. Дисконтные облигации и векселя

Пусть бумага данного вида эмиттирована в момент времени TI по цене N0 < N, где
N – номинал ценной бумаги. Тогда разница N – N0 составляет дисконт по бумаге.
Параметрами выпуска также определен срок погашения бумаги TM, когда владельцу
бумаги возмещается ее номинал в денежном выражении.

Пусть t – момент времени, когда инвестор собирается приобрести бумагу.
Определим ее справедливую рыночную цену С(t). Это выражение и является трендом для
случайного процесса цены бумаги.

Пусть время в модели дискретно, а интервал дискретизации - год. Бумага
выпускается в обращение в начале первого года, а гасится в конце n – го. Тогда

84
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
рыночная цена дисконтного инструмента, приобретаемого в начале (k+1) – го года
обращения бумаги, имеет вид:

N
(6.1)
C(k) = ,
(1 + r) n -k

где r – внутренняя норма доходности долгового инструмента, определяемая по формуле:

(6.2)
r = (N/N 0 )1/n - 1.

Формула (6.1) предполагает, что на рынке имеются бумаги с той же самой
внутренней нормой доходности, что и наша, которые при этом имеют реинвестируемые
купонные платежи, а период реинвестирования равен одному году. Если бы не так, то
расчет следовало бы вести по формуле, предполагающей, что период реинвестирования
платежей совпадает с периодом обращения дисконтного инструмента.

Получим аналоги формул (6.1) и (6.2) для непрерывного времени, предполагая по
ходу, что реинвестирование также идет в непрерывном времени с периодом бесконечно
малой длительности. Это делается следующим образом. Разобъем весь период обращения
ценной бумаги [TI, TM] на интервалы числом n и длительностью

(6.3)
? = (TM - TI ) / n.

Обозначим t = TI + k * D и применим к расчету рыночной цены бумаги формулы (6.1) и
(6.2). Это дает:

N
, (6.4)
C(t) = TM - t
r?D
(1 + ) D
- TI
TM

?
TM - TI
(6.5)
TM - Ti
r = ( (N/N 0 ) - 1) ? .
D

Предельный переход в (6.4) и (6.5) при D ® 0 дает:

TM - t
(6.6)
C(t) = N ? exp ( - ? r),
TM - TI
N
(6.7)
r = ln .
N0




85
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
10.000




9.000




8.000
Price




7.000




6.000




5.000




4.000
0 1 2 3 4 5 6

Time



Рис. 6.1. Функция справедливой цены дисконтной облигации

Это и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для непрерывного
времени. Качественный вид функции (6.5) представлен на рис. 6.1.

Сделаем предположение о характере шума цены. Для этого построим частную
производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:

T -t T -t
¶C
(6.8)
= N ? exp ( - M ? r) ? (- M ).
¶r TM - TI TM - TI

Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет
нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения бумаги.
Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО) шума как
функцию вида:

TM - t T -t
(6.9)
?(t) = ? 0 ? exp ( - ? r) ? M .
TM - TI TM - TI

Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 6.2.

С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем случайный
процесс цен на бумаги, который можно обозначить H(t). Тогда шум процесса имеет вид

(6.10)
?(t) = H(t) - C(t),

где C(t) – тренд цены - определяется по (6.6).

86
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
0,060




0,050




0,040
STD




0,030




0,020




0,010




0,000
0 2 4 6 8 10 12



Tim e



Рис. 6.2. Ожидаемый вид функции СКО

Перейдем от нестационарного шума к стационарному введением корректирующего
делителя

TM - t T -t
? * (t) = ?(t) /{ exp ( - }. (6.11)
? r) ? M
TM - TI TM - TI

Тогда процесс e*(t) является стационарным, и в его сечении находится случайная
величина с матожиданием 0 и с СКО s0. И определение фактического значения
параметра s0 этого процесса может производиться стандартными методами.

Теперь посмотрим, что делается со случайной величиной доходности долгового
инструмента, в процентах годовых:


H(t + T) - H(t) C(t + T) - H(t) + ?(t + T)
(6.12)
R(t, T) H(t) = = ,
H(t) ? T H(t) ? T

где Т - период владения долговым инструментом.

Заметим здесь, что рыночная цена H(t), измеренная в момент t, не рассматривается нами
как случайная величина, так как ее значение в этот момент известно. Эта же цена
неизвестна в будущем времени (t + T) и является случайной величиной, которая имеет
нормальное распределение с матожиданием С(t + T) и СКО s (t + T) (эти функции
вычисляются по формулам (6.6) и (6.9)).

Cлучайный процесс доходности на интервале [t, t+T] в сечении имеет параметры:



87
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
C(t + T) - H(t)
(6.13)
R (t, T) H(t) = - матожидание ,
H(t) ? T

s (t + T)
(6.14)
? (t, T) H(t) = - СКО.
H(t) ? T



Рассмотрим пример анализа доходности дисконтной облигации.

Расчетный пример 6.1
Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент времени TI = 0
(далее все измерения времени идут в годах) сроком на 2 года c дисконтом 30%, то есть по
эмиссионной цене N0 = 700$. Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент
времени t =1. В этот момент текущая цена бумаги на рынке составляет H(1) = 820$. Для
проведения статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год
ее обращения. Требуется идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на
протяжении оставшегося года владения ( T I [0, 1] ) как случайный процесс и определить
параметры этого процесса.

Решение
Согласно (6.6), (6.7), внутренняя норма доходности нашей облигации составляет

r = ln(1000/700) = 35.67% годовых, (6.15)

а справедливая цена

С(t) = 1000*exp(-(2-t)*0.3567/2), t I [0, 2]. (6.16)

Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума цены, согласно
(6.9), имеет вид

2-t 2-t
(6.17)
?(t) = ? 0 ? exp ( - ? 0.3567) ? ,
2
2
где s0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума цены вида
(6.11).

Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее доходности
имеет параметры, которые определяются по формулам (6.13), (6.14). В частности, на
момент погашения бумаги Т = 1, C(2) = 1000$, s(1+1) = 0, e(1+1) = 0, и R(1,1) = (1000-
820)/(820*1) = 21.95% годовых – неслучайная величина.

Оценим процесс количественно через Т = 0.5 лет владения бумагой, задавшись
параметром СКО шума s0 = 20$. Тогда

88
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
C(1.5) = 1000*exp(-(2-1.5)*0.3567/2) = 914.7$, (6.18)

2 - 1.5 2 - 1.5
(6.19)
?(1.5) = 20 ? exp ( - ? 0.3567) ? = 4.5$,
2
2
C(1.5) - H(1)
(6.20)
R (1, 0.5) H(1) = = 22.9% годовых ,
H(1) ? 0.5
s (1.5)
(6.21)
? (1,0.5)H(1) = = 1.1% годовых.
H(1) ? 0.5



6.1.2. Процентные облигации и векселя

Пусть бумага данного вида эмиттирована в момент времени TI по цене N0, причем
эта цена может быть как выше, так и ниже номинала (это обусловлено соотношением
объявленной купонной ставки и среднерыночной ставки заимствования, с учетом
периодичности платежей). Обозначим размер купона DN, а число равномерных
купонных выплат длительностью Dt за период обращения обозначим за K, причем для
общности установим, что платеж по последнему купону совпадает с моментом
погашения бумаги.

Тогда временная последовательность купонных платежей может быть отображена
вектором на оси времени с координатами

TM - TI
(6.22)
? i = i ? ?? + TI , ?? = , i = 1, ..., K
K

Формула для справедливой цены процентного долгового инструмента имеет вид:
K -1
C(t) = C БК ( t) + a C j ( t), (6.23)
j= i



где

i = index (? j ? j -1 ? t ? ? j , ? 0 = TI ) - (6.24)

номер интервала, которому принадлежит рассматриваемый момент t,

TM - t
(6.25)
C БК ( t) = (N + DN) ? exp ( - ? r ),
TM - TI

?j - t
? r), j = i,...K - 1 , (6.26)
C j (t) = DN ? exp ( -
TM - TI


89
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
моменты ti определяются соотношением (6.22), а внутренняя норма доходности
долгового инструмента r отыскивается как корень трансцендентного уравнения вида

С(TI) = N0. (6.27)

Если купон по процентной бумаге нулевой, то переходим к рассмотренному выше
случаю дисконтной бумаги.

Анализ соотношений (6.25) и (6.26) показывает, что шум цены, тренд которой
имеет вид (6.23), является нелинейно затухающей кусочной функцией на каждом
интервале накопления купонного дохода, причем шум получает как бы две
составляющих: глобальную – для всего периода обращения бумаги, и локальную – на
соответствующем моменту t интервале накопления купонного дохода.

Исследуем характер шума цены процентной бумаги:

(6.28)
?(t) = H(t) - C(t),

где C(t) – тренд цены - определяется по (6.23).

Руководствуясь соображениями, изложенными в предыдущем примере дисконтных
бумаг, будем отыскивать СКО шума цены в виде:

(6.29)
?(t) = ? 0 ? ? ( t)

где

?j - t ?j - t T -t T -t
DN K -1 (N + DN)
? a exp ( -
? ( t) = ? r) ? + ? exp ( - M ?r ) ? M ,
TM - TI TM - TI TM - TI TM - TI
N N
j= i



(6.30)

а i определяется по (6.24). Соотношение (6.30) является частной производной
справедливой цены (6.23) по показателю внутренней нормы доходности бумаги с
точностью до постоянного множителя.

Аналогично предыдущему примеру, мы можем получить нормировочный делитель
для шума цены процентной бумаги. Переход от нестационарного шума к стационарному
будет иметь вид:

? * (t) = ?(t) /? ( t) , (6.31)



90
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
где ? ( t) определяется по (6.30). При уменьшении величины купона до нуля соотношение
(6.29) переходит в (6.9), что косвенно подтверждает правоту наших выкладок.

На рис. 6.3 приведен примерный вид тренда цены процентной бумаги, а на рис. 6.4
– примерный вид СКО такой бумаги.


1200,000



1150,000



1100,000



1050,000
Price




1000,000

<<

стр. 3
(всего 7)

СОДЕРЖАНИЕ

>>