<<

стр. 4
(всего 7)

СОДЕРЖАНИЕ

>>




950,000



900,000



850,000



800,000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3


Tim




Рис. 6.3. Функция справедливой цены процентной бумаги



30,000




25,000




20,000
STD




15,000




10,000




5,000




0,000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5


T ime




Рис. 6.4. Функция СКО процентной бумаги


Что касается доходности процентных инструментов, то формулы (6.12) – (6.13)
получают поправку в виде проплаченного за время Т купонного дохода:

H(t + T) - H(t) + m ? DN C(t + T) - H(t) + m ? DN + ?(t + T)
, (6.32)
R(t, T) H(t) = =
H(t) ? T H(t) ? T

где m – число оплаченных купонов процентной бумаги за период T.

Вывод о том, что случайный процесс R(t, T) имеет в своем сечении нормальную
величину, сохраняется без изменений. Параметры этой случайной величины:

91
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
C(t + T) - H(t) + m ? DN
(6.33)
R (t, T) H(t) = ,
H(t) ? T

s (t + T)
(6.34)
? (t, T) H(t) = .
H(t) ? T

Рассмотрим расчетный пример.

Расчетный пример 6.2
Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент времени TI = 0
(далее все измерения времени идут в годах) сроком на 3 года c дисконтом 10%, то есть по
эмиссионной цене N0 = 900$. По бумаге объявлено три годовых купона по ставке 20%
годовых, то есть размером DN = 200$. Инвестор намеревается приобрести бумагу в
момент времени t =1 сразу после первого купонного платежа. В этот момент текущая
цена бумаги на рынке составляет H(1) = 940$. Для проведения статистического анализа
доступна история сделок с бумагой за истекший год ее обращения. Требуется
идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на протяжении оставшихся двух лет
владения ( T I [0, 2] ) как случайный процесс и определить параметры этого процесса.

Решение
Определим внутреннюю норму доходности нашей процентной бумаги, итеративно решив
уравнение (6.27). Тогда, согласно (6.23), это уравнение приобретает вид:

(1000 + 200) * exp(-r) + 200*(exp(-r/3) + exp(-2r/3)) = 900, (6.35)

откуда методом итераций получаем r = 67.2% годовых.

Выражение для справедливой цены приобретает вид:

3- t 2-t
i
1200 ? exp ( - ? 0.672) + 200 ? exp ( - ? 0.672), t I [1, 2 - 0]
i 3 3 (6.36)
C( t) = i ,
3- t
i 1200 ? exp ( - ? 0.672), t I [2,3]
i 3

Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума цены,
согласно (6.29) – (6.30), имеет вид

(6.37)
?(t) = ? 0 ? ?(t),

где




92
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
2-t 2 - t 1200 3- t 3- t
i 200
? exp ( - ? 0.672) ? + ? exp ( - ? 0.672 ) ? ,
i1000 3
3
1000
3
3
i
(6.38)
?(t) = i t I [1, 2 - 0]
i 3- t 3- t
1200
? exp ( - ? 0.672 ) ? , t I [2, 3]
i
i 3
3
1000

а s0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума цены вида (6.31).

Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее доходности
имеет параметры, которые определяются по формулам (6.13), (6.14). В частности, на
момент погашения бумаги Т = 2, C(3) = 1200$, s(1+2) = 0, e(1+2) = 0, и R(1,2) = (1200-
940)/(940*2) = 13.83% годовых – неслучайная величина.

Оценим процесс количественно через Т = 1 год владения бумагой непосредственно
перед получением дохода по второму купону, задавшись параметром СКО шума s0 =
20$. Тогда

C(2-0) = 1200*exp(-(3-2)*0.672/3) + 200 = 1159.2$, (6.39)

3-2 3-2
= 6.4$ , (6.40)
?(2 - 0) = 20 ? 1.2 ? exp ( - ? 0.672 ) ?
3 3

C(2 - 0) - H(1)
(6.41)
R (1, 1 - 0) H(1) = = 23.3% годовых ,
H(1) ? 1
s (2 - 0)
(6.42)
? (1,1 - 0) H(1) = = 0,7% годовых.
H(1) ? 1

6.2. Нечетко-множественный подход

Обладая квазистатистикой ценового поведения облигации, мы можем оценить СКО
шума цены (6.9) и (6.29) как треугольную нечеткую функцию фактора времени, по
аналогии с тем, как это делается в главе 5 книги. И все соответствующие вероятностные
распределения приобретают вид нечетких функций, а случайные процессы приобретают
постоянные нечеткие параметры.


Выводы

Мы получили вероятностную интерпретацию цены долгового инструмента. Это
новый подход к анализу бумаг такого рода, но он обещает быть весьма плодотворным,
когда дело дойдет до оптимизации смешанных портфелей, содержащих как акции или
паи, так и долговые обязательства. Зная матожидание и дисперсию цены, мы можем
оценивать то же для текущей доходности. И тогда мы можем решать задачу Марковица,

93
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
отыскивая максимум доходности портфеля при фиксированном СКО портфеля.
Подробно это обсуждается в главе 8 настоящей монографии.

Если квазистатистики по отдельной долговой бумаге нет, можно воспользоваться
статистикой квазистатистикой ведущих индексов по долговым обязательствам
(например, индексами доходности по 10-летним или 30-летним государственным
долговым обязательствам, анализируемыми в пределах последнего года). Параметры
случайных процессов для этих индексов могут быть взяты за основу при моделировании
ценовых случайных процессов для индивидуальных долговых обязательств, при этом
мера уверенности эксперта в оценке параметров будет находиться в обратной
зависимости от ширины расчетного коридора, формируемого соответствующими
нечеткими числами и вероятностными распределениями с нечеткими параметрами.




94
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
7. Инвестиции в производные ценные бумаги и их комбинации

7.1. Эффективность инвестиций в опционы call и put

Что сегодня известно об эффективности вложений в опционы? Многое. Хорошо
известна классическая формула оценки справедливой цены опциона, предложенная
нобелевскими лауреатами Блэком и Шоулзом [7.1,7.2], и она повсеместно используется в
опционных калькуляторах.

Из анализа библиографии возникает странное чувство, что все задачи в области
анализа эффективности использования опционов, что ставятся и решаются
исследователями, - обратные по отношению к прямой, которая не ставится и не
решается. Чем это можно объяснить? Вероятно, сильным воздействием на развитие
теории результата, полученного Блэком и Шоулзом. Все прочие изыскания как бы идут в
фарватере этого результата, он доминирует над ходом научной мысли в этой области
знаний.

Что я понимаю под прямой и обратной задачами? Рассмотрим на примере.

Берем любой опционный онлайн-калькулятор, к примеру, [7.3]. Известны:
исходная цена бумаги, дивидендный доход в процентах, безрисковая процентная ставка,
страйк, срок опционного контракта или срок до его исполнения. Далее есть варианты
расчета. Если известна волатильность подлежащего актива, можно посчитать
теоретическую цену опциона, и наоборот, если известна фактическая цена опциона,
можно оценить соответствующую волатильность актива. Среди исходных данных мы не
найдем расчетную доходность актива, потому что, согласно результатов Блэка и Шоулза,
теоретическая цена опциона не зависит от расчетной доходности подлежащего актива.
Также все известные опционные калькуляторы позволяют оценить значения
производных параметров, называемых в финансовой теории опционов греческими
буквами. Существо этих параметров объясняется в [7.2] и непосредственно в [7.3].

Итак, мы можем оценить, насколько сильно теоретическая цена опциона
отличается от фактической и тем самым сделать косвенную оценку эффективности
использования опционов. Превосходно. Но может ли такая оценка быть количественной?
Что, если я приобретаю не один опцион, а выстраиваю опционную комбинацию? Каков
инвестиционный эффект от покрытия опционом подлежащего актива?

Чтобы ответить на перечисленные вопросы, нужно как бы отстраниться от всего
достигнутого в опционной теории и посмотреть на проблему совсем с другой стороны –
а именно так, так, как на нее смотрит классический инвестор. А он задается простым
вопросом: если я покупаю по известной цене один опцион или некоторую опционную
комбинацию, на какой эффект с точки зрения доходности и риска своих вложений я
могу рассчитывать?
95
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Вот именно эту-то задачу я и называю прямой. И тогда, если я разработал метод
оценки доходности и риска вложений в опционы, я смогу дать ответ на поставленный
вопрос и на все остальные, с ним связанные. Умея рассчитывать доходность и риск
одного или группы опционов, я смогу перейти к оценке того же для опционных
портфелей. Собственно, этому-то и посвящена настоящая работа.


7.1.1. Формальная постановка задачи и модельные допущения

Введем следующие обозначения, которые будем употреблять в дальнейшем:

Входные данные (дано):

T – расчетное время (срок жизни портфеля или время до исполнения опционного
контракта);
S0 – стартовая цена подлежащего опционам актива;
zc – цена приобретения опциона call;
zp – цена приобретения опциона put;
xc - цена исполнения опциона call;
xp - цена исполнения опциона put;
ST – финальная цена подлежащего опционам актива в момент Т (случайная величина);
rT – текущая доходность подлежащего актива, измеренная в момент времени T по
отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);
rT - среднеожидаемая доходность подлежащего актива;
sr – среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности подлежащего актива;

Выходные данные (найти):

IT – доход (убыток) по опциону (комбинации), случайная величина;
RT – текущая доходность опциона (комбинации), измеренная в момент времени T по
отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);
R T - среднеожидаемая доходность опциона (комбинации);
sR – СКО доходности опциона (комбинации);
QT – риск опциона (комбинации).

Далее по тексту работы все введенные обозначения будут комментироваться в ходе
их использования.

Также мы дополнительно оговариваем следующее:

1. Мы не рассматриваем возможность дивидендных выплат (чтобы не усложнять
модель).

96
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
2. Здесь и далее мы будем моделировать опционы только американского типа, т.е.
такие, которые могут быть исполнены в любой момент времени на протяжении
всего срока действия опциона. Это необходимо, чтобы не требовать синхронизации
срока жизни портфеля на подлежащих опционам активах и сроков
соответствующих опционных контрактов.

Еще один важный момент. Общепринятым модельным допущением к процессу
ценового поведения акций является то, что процесс изменения котировки является
винеровским случайным процессом [7.1,7.2], и формула Блэка-Шоулза тоже берет это
предположение за исходное. Все, что я думаю по поводу применения вероятностных
моделей к анализу ценового поведения акций, я подробно изложил в [7.4]. В этом же
смысле высказывается и автор работы [7.5]. Существуют определенные ограничения на
использование вероятностей в экономической статистике. Но, поскольку этот
инструмент учета неопределенности является традиционным и общеупотребительным, я
хочу оформить свои результаты в вероятностной постановке, при простейших модельных
допущениях с использованием аппарата статистических вероятностей. А затем, по мере
накопления опыта моделирования, мы будем усложнять модельные допущения и
одновременно переходить от статистических вероятностей к вероятностным
распределениям с нечеткими параметрами, используя при этом результаты теории
нечетких множеств, по образцу того, как это делается в разделе 5 настоящей работы.
Задача эта в целом выходит за рамки данной монографии, но заложить основы этой
теории мы сможем уже здесь.

Переход от вероятностных описаний к нечетким будет рассмотрен в конце этой
главы, а сейчас посмотрим на винеровский ценовой процесс c постоянными параметрами
m (коэффициент сноса, по смыслу – предельная курсовая доходность) и s (коэффикциент
диффузии, по смыслу – стандартное уклонение от среднего значения предельной
доходности). Аналитическое описание винеровского процесса [7.2,7.6]:

dS(t)
(7.1)
= µdt + ?z(t),
S(t)
где z(t) – стандартный винеровский процесс (броуновское движение, случайное
блуждание) с коэффициентом сноса 0 и коэффициентом диффузии 1.

Если принять, что начальное состояние процесса известно и равно S0, то мы
можем, исходя из (7.1), построить вероятностное распределение цены ST в момент T. Эта
величина, согласно свойств винеровского процесса как процесса с независимыми
приращениями, имеет нормальное распределение со следующими параметрами:

- среднее значение:

s T = S 0 e µT ; (7.2)



97
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
- среднеквадратичное отклонение (СКО) величины ln ST/S0:

(7.3)
? S = ?T.

В принципе, для моих последующих построений вид вероятностного
распределения цены подлежащего актива несущественен. Но здесь и далее, для
определенности, мы остановимся на нормальном распределении. Его плотность
обозначим как

dPr(S ? x)
(7.4)
j S (x) = .
dx

Примерный вид плотности нормального распределения вида (4) представлен на рис. 7.1.
0.025




0.020




0.015
Density




0.010




0.005




0.000
0 50 100 150 200 250



-0.005

Price




Рис. 7.1. Примерный вид плотности нормального распределения

Теперь, сделав все базовые допущения к математической модели, мы можем
переходить непосредственно к процессу вероятностного моделирования опционов и их
комбинаций.


7.1.2. Вероятностная модель опциона call

Приобретая опцион call, инвестор рассчитывает получить премию как разницу
между финальной ценой подлежащего актива ST и ценой исполнения опциона xc. Если
эта разница перекрывает цену приобретения опциона zc, то владелец опциона получает
прибыль. В противном случае имеют место убытки.

Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной
финальной цены подлежащего актива соотношением [7.2]

(7.5)
I T = max(ST - x c , 0) - z c .




98
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
В правой части (7.5) все параметры являются известными и постоянными
величинами, за исключением ST, которая является случайной величиной с плотностью
распределения (7.4).

А текущую доходность по опциону call мы определим формулой

IT
(7.6)
RT = .
zc ? T

Замечание. Представление (7.2), когда стартовая и финальная цены актива связаны
экспоненциальным множителем, является неудобным для моделирования. Аналогичные
неудобства вызывает представление доходности на основе степенной зависимости.
Именно поэтому мы оперируем категорией текущей доходности как линейной функции
дохода и финальной цены. Предполагая нормальность распределения финальной цены
актива (что соответствует винеровскому описанию ценового процесса), мы
автоматически таким образом приходим к нормальному распределению текущей
доходности. Построенная линейная связь текущей доходности и цены является полезной
особенностью, которая потом может быть удачно использована в ходе вероятностного
моделирования.

Определим плотность jI(y) распределения дохода IT по опциону как функции
случайной величины ST. Воспользуемся известной формулой. Если исходная случайная
величина X имеет плотность распределения jX(x), а случайная величина Y связана с X
функционально как Y=Y(X), и при этом существует обратная функция X=X(Y), тогда
плотность распределения случайной величины Y имеет вид [7.6]

dX
. (7.7)
j Y (y) = j X (X(y)) ?
dY Y=y

В нашем случае, исходя из (7.5),

iне определена, I T < -z c
i
(7.8)
S T = i многозначна, I T = -z c ,
i I + x + z , I > -z
iT c c T c



dST/dIT = 1, IT > -zc. (7.9)

Мы видим, что в точке IT = -zc плотность jI(y) приобретает вид дельта-функции.
Необходимо определить множитель при дельта-функции. Это можно сделать косвенным
образом. На участке, где функция ST(IT) дифференцируема, в силу (7.7)-( 7.9)
выполняется

j I (y) = j S (y + x c + z c ), IT > -zc. (7.10)

99
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
В силу нормирующего условия справедливо
- zc + 0
? ?

o j (y)dy = o j (y)dy + o j (y)dy = 1, (7.11)
I I I
-? -? - zc + 0



откуда, в силу (7.10), искомый множитель K есть
- zc + 0 ?

o j (y)dy = 1 - o j
K= (y + x c + z c )dy
I S
-? - zc + 0
(7.12)
xc
? ?
= 1 - o j S (t + x c )dt = 1 - o j S (v)dv = o j S (v)dv
+0 -?
xc

Множитель K есть, таким образом, не что иное как вероятность события ST < xc.
При наступлении такого события говорят, что опцион call оказался не в деньгах. Это
событие – условие отказа от исполнения call-опциона и прямые убытки в форме затрат на
приобретение опциона.

Наконец, итоговое выражение для jI(y)

0, y < -z c
i
i
(7.13)
j I (y) = i K ? d (y + z c ), y = -z c ,
ij (y + x + z ), y > -z
iS c c c



где
?
i?, t = 0
o ?(t)dt = 1. (7.14)
?(t) = i и
i 0, t ? 0 -?



На рис. 7.2 представлен примерный вид плотности вида (7.13).
0,020


0,018

0,016

0,014


0,012
Density




0,010


0,008


0,006


0,004

0,002


0,000
-100 -50 0 50 100 150
-0,002

Income (I)




Рис. 7.2. Примерный вид плотности усеченного распределения


100
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Видно, что мы перешли от нормального распределения цен к усеченному
нормальному распределению доходов. Но это не классическое усеченное распределение,
а распределение, функция которого претерпевает разрыв первого рода в точке с
бесконечной плотностью.

Теперь нетрудно перейти к распределению доходности jR(v), пользуясь (7.6), (7.7)
и (7.13):

0, v < -1/T
i
i 1
(7.15)
j R (v) = i K ? d (v + ), v = -1/T .
T
i
iz c T j S (v ? z c ? T + x c + z c ), v > -1/T


Плотности вида (7.13) и (7.15) – бимодальные функции.

Теперь оценим риск инвестиций в call опцион. Очень подробно виды опционных
рисков изложены в [7.7].

Мне думается, что правильное понимание риска инвестиций сопряжено с
категорией неприемлемой доходности, когда она по результатам финальной оценки
оказывается ниже предельного значения, например, уровня инфляции в 4% годовых для
нынешних условий США. Это значение близко к текущей доходности государственных
облигаций, и тогда ясно, что обладая сопоставимой с облигациями доходностью,
опционный инструмент значительно опережает последние по уровню риска прямых
убытков (отрицательной доходности).

Поэтому риск инвестиций в опцион call может быть определен как вероятность
неприемлемой доходности по формуле
4% = 0.04

oj (7.16)
QT = (v)dv,
R
-?



где jR(v) определяется по (7.15).

Среднеожидаемая доходность вложений в опцион определяется стандартно, как
первый начальный момент распределения:
?

o vj (7.17)
RT = (v)dv.
R
-?

Среднеквадратическое отклонение доходности call опциона от среднего значения
также определяется стандартно, как второй центральный момент распределения


101
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
?

o (v - R (7.18)
) 2 j R (v)dv.
sT = T
-?



Рассмотрим важные асимптотические следствия полученных вероятностных форм.
Для этого установим связь между доходностями call опциона и подлежащего актива, с
учетом (7.5) и (7.6):

S (1 + rT T) - x c - z c 1
ST - x c 1
R T = max( ,0) - = max( 0 ,- ) =
T
T zcT
zcT
, (7.19)
i ?, S T < x c - опцион не в деньгах,
=i
i? + ?rT , S T ? x c - опцион в деньгах

где

S - x - zc S
1
(7.20)
a =- ,b = 0 c ,g = 0 .
zcT zc
T

Видим, что доходность опциона call и подлежащего актива связаны кусочно-линейным
соотношением, причем на участке прямой пропорциональности это происходит с
коэффициентом g, который собственно, и характеризует фактор финансового рычага
(левериджа). Участок прямой пропорциональности соответствует той ситуации, когда
опцион оказывается в деньгах. Поэтому, с приближением вероятности K вида (17.2) к
нулю, выполняются следующие соотношения

lim K ®0 R T = b + ? rT ,
(7.21)
lim K ®0 s R = ?s r

То есть между соответствующими параметрами подлежащего актива на участке, когда
опцион оказывается в деньгах, возникает линейная связь посредством левериджа. С
ростом среднеожидаемой доходности актива растет и средняя доходность call опциона, а
с ростом волатильности актива растет также и волатильность опциона.

Итак, мы получили вероятностные формы для описания доходности и риска по
вложениям в опцион call. Действуя аналогичным образом, мы можем получать подобные
формы для опционов другой природы, а также для их комбинаций друг с другом и с
подлежащими активами.




102
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
7.1.3. Вероятностная модель опциона put

Приобретая опцион put, инвестор рассчитывает получить премию как разницу
между ценой исполнения опциона xp и финальной ценой подлежащего актива ST. Если
эта разница перекрывает цену приобретения опциона zp, то владелец опциона получает
прибыль. В противном случае имеют место убытки.

Надо сказать, что приобретение опциона put без покрытия подлежащим активом не
является традиционной стратегий. Классический инвестор все же психологически
ориентируется на курсовой рост приобретаемых активов. С этой точки зрения стратегия
классического инвестора – это стратегия «быка». А покупка put опциона без покрытия –
эта «медвежья» игра.

Обычная логика использования опциона put – это логика отсечения убытков с
фиксацией нижнего предела доходности, который не зависит от того, насколько глубоко
провалился по цене подлежащий актив. Но для нас не имеет значения, какой стратегии
придерживается инвестор. Мы понимаем, что опцион put является потенциальным
средством извлечения доходов, и нам эту доходность хотелось бы вероятностно описать.

Проведем рассуждения по аналогии с предыдущим разделом работы. Случайная
величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены
подлежащего актива соотношением [7.2]

(7.22)
I T = max(x p - S T , 0) - z p .

А текущая доходность по опциону put определяется формулой

IT
(7.23)
RT = .
zp ? T

Используем все соображения о получении плотностей распределения,
выработанные в предыдущем разделе работы. В нашем случае, исходя из (22)

i не определена, I T < -z p
i многозначна, I T = -z p
i
(7.24)
ST = i ,
x p - IT - z p , - z p < IT < x p - z p
i
i не определена, I T > x p - z p
i

|dST/dIT| = 1, IT > -zp. (7.25)



103
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Интересно отметить, что в случае опциона call цена подлежащего актива и доход
по опциону связаны возрастающей зависимостью, а в нашем случае - убывающей. То
есть чем хуже чувствует себя актив, тем лучше держателю непокрытого опциона (если,
конечно, инвестор заодно не владеет и самим подлежащим активом).

Множитель K при дельта-функции в точке IT = -zp есть
?
K = o j S (v)dv - (7.26)
xp

вероятность события ST > xp. Опцион оказывается не в деньгах, что есть условие отказа от
исполнения put опциона и прямые убытки в форме затрат на приобретение этого
опциона.

Итоговое выражение для плотности распределения jI(y) случайной величины
дохода по опциону put имеет вид

0, y < -z p
i
i K ? d (-y - z p ), y = -z p
i
(7.27)
j I (y) = i .
j S (x p - y - z p ), - z p < y < x p - z p
i
i 0, y ? x p - z p
i


Плотность вида (7.27) – это усеченный с двух сторон нормальный закон плюс
дельта-функция на границе усечения. С этой точки зрения качественный вид зависимости
(7.27) повторяет вид того же для опциона call в силу симметрии нормального
распределения. При произвольном распределении финальной цены результаты были бы
другими.

Теперь нетрудно перейти к распределению доходности jR(v), пользуясь (7.22),
(7.23) и (7.27):

0, v < -1/T
i
i 1
K ? d (-v - ), v = -1/T
i
T
i
i x - zp
(7.28)
j R (v) = iz p T j S (-v ? z p ? T + x p - z p ), - 1/T < v < p .
zpT
i
i xp - zp
i 0, v ?
z pT
i
i


Разумеется, отмечаем бимодальность (7.27) и (7.28).

Поэтому риск инвестиций в опцион put может быть определен по формуле
104
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
4% = 0.04
1
o (7.29)
QT = j R (v)dv = K + FR (0.04) - FR (- ),
T
-?



где
x
FR (x) = o j R (v)dv , (7.30)
-?

а jR(v) определяется по (7.28).

Среднеожидаемая доходность вложений в опцион и СКО определяются по (7.17) и
(7.18) соответственно.

Рассмотрим асимптотические следствия по аналогии с call опционом. Для этого
установим связь между доходностями put опциона и подлежащего актива, с учетом (7.22)
и (7.23):

x p - ST x p - S 0 (1 + rT T) - z p 1
1
R T = max( ,0) - = max( ,- ) =
zpT T zpT T
, (7.31)
i ?, S T > x p - опцион не в деньгах,
=i
i? + ?rT , S T ? x p - опцион в деньгах

где

x p - S0 - z p S
1
(7.32)
a = - ,b = ,g = - 0 .
T zpT zp

Видим, что доходность опциона put и подлежащего актива связаны кусочно-
линейным соотношением, причем на участке прямой пропорциональности это
происходит с коэффициентом g, который собственно, и характеризует фактор
финансового рычага (левериджа).Участок прямой пропорциональности соответствует
той ситуации, когда опцион оказывается в деньгах. Поэтому, с приближением
вероятности K вида (7.26) к нулю, выполняются следующие соотношения

lim K ®0 R T = b + ? rT ,
(7.33)
lim K ®0 s R = ?s R

То есть между соответствующими параметрами подлежащего актива на участке,
когда опцион оказывается в деньгах, возникает линейная связь посредством левериджа. С
ростом средней доходности актива средняя доходность put опциона падает, а с ростом
волатильности актива волатильность опциона также растет.


105
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
7.1.4. Расчетные примеры оценки доходности и риска опционов

Пример 7.1 (call)
В начале года инвестор приобретает за zc = 10 ед. цены опцион call на подлежащий актив
со стартовой ценой S0 = 100 ед. Цена исполнения опциона xc = 100 ед., опцион
американский, срочностью 1 год. Поскольку цена исполнения совпадает со стартовой
ценой, то покупаемый опцион является опционом в деньгах. Инвестор ориентируется на
следующие параметры доходности и риска подлежащего актива: текущая доходность r =
30% годовых, СКО случайной величины текущей доходности sr = 20% годовых. В
пересчете на финальную цену ST это означает, что через время Т = 0.5 лет подлежащий
актив будет иметь нормальное распределение ST с параметрами sT = 115 ед. и sS = 10 ед.
Требуется определить доходность и риск опциона в момент времени Т = 0.5 года.

Решение
Все полученные соотношения реализованы в компьютерной программе. Расчет по
формулам (7.16) - (7.18) дает QT = 0.335, R T = 105.8% годовых и sS = 188.5% годовых.
Одновременно отметим: поскольку вероятность того, что опцион не в деньгах, мала
(0.066), то полученные значения моментов близки к своим асимптотическим
приближениям (7.21) R T = 100% и sS = 200% годовых соответственно.

Результаты наглядно показывают то, что опцион – это одновременно
высокорисковый и высокодоходный инструмент. Высокая доходность достигается за
счет левериджа: не вкладывая деньги в подлежащий актив, инвестор тем не менее
получит по нему возможный доход и не будет участвовать в убытках. Другое дело, что
обычно инвестор балансирует на грани прибылей и убытков, ибо все ищут выигрыша, и
никто не станет работать себе в убыток. Поэтому для call-опционов в деньгах разница
между среднеожидаемой ценой подлежащего актива и ценой приобретения опциона
обычно колеблется вокруг цены исполнения. Это означает, что вложения в
непокрытые опционы с точки зрения риска сопоставимы с игрой в орлянку. Для put
опциона в деньгах сопоставимыми являются цена исполнения, с одной стороны, и сумма
цены опциона и ожидаемой цены подлежащего актива – с другой стороны.

Пример 7.2 (call)
Исследуем рынок полугодовых call-опционов компании IBM. Это можно сделать,
воспользовавшись материалами по текущим котировкам опционов на сервере MSN [7.8].
Дата исполнения опционов – 20 апреля 2001 года. Исследуем вопрос, какие из
обращающихся на рынке call-опционы нам предпочтительнее покупать. Для этого нам
нужно задаться прогнозными параметрами распределения доходности подлежащего
актива, близкими к реальным. Это будет как бы тот ранжир, которым будут вымеряться
опционы выделенной группы.

Взглянем на вектор исторических данных IBM за прошедший квартал (рис.7.3). Процесс
существенно нестационарен, поэтому стандартной линейной регрессией пользоваться
106
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
нельзя. Глядя на график, зададимся умеренной оценкой доходности порядка 30%
годовых и СКО доходности в 30% годовых. Эти параметры и примем за базовые.

Стартовая цена подлежащего актива на дату покупки опциона – 114.25$ (по состоянию
на 10 октября 2000 года) . Соответственно, через полгода мы должны иметь финальное
распределение цены подлежащего актива с параметрами: среднеее – 131$, СКО – 17$.




Рис. 7.3 Ссылка: [7.8]


В таблицу 7.1 сведены значения доходностей и рисков по каждой группе опционов.

Таблица 7.1
Return Ret/Risk Rank
# Symbol Strike Option Risk
price,$ Price,$ ,
sh/ y
1 IBMDP 80 35.0 0.215 0.933 4.3 2
2 IBMDQ 85 37.6 0.363 0.468 1.3
3 IBMDR 90 29.2 0.279 0.822 3.0 3
4 IBMDS 95 22.8 0.244 1.059 4.5 1
5 IBMDT 100 21.5 0.314 0.817 2.6 4
6 IBMDA 105 18.9 0.361 0.658 1.8
7 IBMDB 110 17.3 0.435 0.393 0.9
8 IBMDC 115 13.5 0.456 0.246 0.5




107
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Из таблицы 7.1 видно, что безусловными фаворитами являются опционы №№ 1 и
4. Все прочие опционы обладают несопоставимыми характеристиками, они явно
переоценены.

Пример 7.3 (put)
Проведем аналогичное исследование put опционов в соответствии с данными примера 2.
Результаты расчетов сведены в таблицу 2.

Таблица 7.2
# Symbol Strike Option Risk Return
price,$ Price,$ ,
sh/ y
1 IBMPF 130 22.3 0.93 -0.381
2 IBMPG 135 26.9 0.929 -0.512
3 IBMPH 140 32.2 0.934 -0.638
4 IBMPI 145 24.1 0.763 -0.273
5 IBMPJ 150 27.5 0.738 -0.281
6 IBMPK 155 34.6 0.785 -0.428
7 IBMPL 160 48.1 0.91 -0.701

Видно, что при наших инвестиционных ожиданиях put опционы являются
совершенно непригодными для инвестирования инструментами. Видимо, рынок ждет
глубокого падения акций IBM и, соответственно, запрашивает высокие опционные
премии за риск.

Замечание. Во время подготовки этой работы произошел очередной
ближневосточный кризис, и большинство акций упало в цене. Так что оценка рынка
трейдерами была обоснованной.


Пример 7.4 (put)
Решим обратную задачу: каких параметров акций IBM через полгода ждет рынок,чтобы
инвестирование в put опционы представлялось этому рынку справедливым делом с точки
зрения критериев доходности и риска. Возьмем для рассмотрения опцион IBMPC ценой
13.1$ и ценой исполнения 115$ и будем варьировать величинами ожидаемой доходности
и риска подлежащего актива. Результаты расчетов сведены в таблицу 3.




108
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Таблица 7.3
Option risk Option return,
# IBM IBM
sh/ y
STD, sh/y return,
sh/y
1 0.1 -0.1 0.908 -0.957
2 -0.2 0.630 -0.136
3 -0.3 0.252 0.730
4 0.2 -0.1 0.747 -0.711
5 -0.2 0.566 -0.053
6 -0.3 0.369 0.632
7 0.3 -0.1 0.671 -0.528
8 -0.2 0.544 -0.064
9 -0.3 0.412 0.375

Видно, что рынок настроен на тактическое снижение цены подлежащего актива в
темпе порядка (-30%) годовых. Только в этом диапазоне мы имеем приемлемые риски и
высокие степени доходности инвестиций в опционы – такие, чтобы упомянутый риск
оправдать.

Замечание. Так и вышло – пока писалась книга, рынок IBM «прогнулся» на 25% за
октябрь 2000 года [7.8].


7.1.5. Переход к нечеткой модели

Как подробно рассмотрено в главе 5 работы, цена подлежащего актива может
моделироваться винеровским случайным процессом лишь при определенных оговорках.
Реальная статистика бумаг по существу является квазистатистикой, поскольку бумага
торгуется на рынках с изменяющимися условиями, и, следовательно, статистической
однородности нет. Однако можно сохранить допущение о нормальном распределении
цены актива, оговорившись, что в этом распределении параметры являются
треугольными нечеткими числами.
Здесь и далее тогда мы будем понимать, что исходное вероятностное распределение
цены актива имеет нечеткие параметры, а само распределение является нечеткой
функцией. Все операции над нечеткими функциями, включая интегрирование, имеют тот
смысл, как это определено в главе 2 настоящей монографии.




109
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
7.2. Эффективность покрытия подлежащего актива опционом


7.2.1. Вероятностная модель сборки «опцион put + подлежащий актив»

Мы подошли к тому пункту, когда в рассмотрение берутся уже не отдельные
опционы, а портфели, содержащие как ряд опционов (опционные комбинации), так и
подлежащие активы наряду с опционами (сборки).

Назовем сборкой портфельную комбинацию из подлежащего актива и put опциона
на этот актив. Как мы уже указывали, докупка put опциона по справедливой цене
деформирует исходное ценовое распределение подлежащего актива, устанавливая
нижнюю границу доходности сборки, по обыкновению, в области отрицательных
значений.

Специфика момента состоит в том, что инвестор, докупая put опцион к
подлежащему активу, тем самым снижает доходность своих вложений в случае
достижения положительных значений доходности подлежащего актива, но при этом
отсекает убытки. В результате использование put опционов позволяет снизить
волатильность вложений. А снижение волатильности дает сборке возможность
поучаствовать в формировании эффективной границы портфельного облака.

Однако эффект от внедрения опционов может быть самым различным, в том числе
и противоположным ожидаемому. Поэтому надо исследовать вероятностную природу
сборки и строить соответствующие аналитические формы.

Нетрудно заметить, что случайная величина дохода по сборке связана со случайной
величиной финальной цены подлежащего актива соотношением

(7.34)
I T = max(x p , S T ) - z p - S 0 .

В соотношении (7.34) вычитаемые – это прямые затраты на приобретение сборки, а
то, откуда идет вычитание, - это предельная финальная цена сборки, которая в случае
попадания опциона «в деньги» равна цене его исполнения.

Текущая доходность по сборке определяется обычным образом

IT
(7.35)
RT = .
(S0 + z p ) ? T

Найдем функцию, обратную к (34). Это


110
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
iне определена, I T < x p - S0 - z p
i
(7.36)
S T = i многозначна, I T = x p - S 0 - z p ,
i S + I + z , I > x -S -z
i0T p T p 0 p



|dST/dIT| = 1, IT > xp – S0 -zp. (7.37)

Множитель K при дельта-функции в точке IT = xp – S0 -zp есть
xp

K = o j S (v)dv - (7.38)
-?

вероятность события ST < xp, когда опцион оказывается в деньгах, и его применяют,
чтобы отсечь убытки.

Итоговое выражение для плотности распределения jI(y) случайной величины
дохода по сборке имеет вид

i 0, y < x p - S0 - z p
i
(7.39)
j I (y) = i K ? d (0), y = x p - S0 - z p .
ij (S + y + z ), y > x - S - z
iS 0 p p 0 p



Распределение доходности jR(v)

i 0, v < v 0
i
(7.40)
j R (v) = i K ? d (0), v = v 0 .
i(S + z )T j (v (S + z )T + S + z ), v > v
i0 p S 0 p 0 p 0



где

x p - S0 - z p
(7.41)
v0 = -
(S 0 + z p ) ? T

граничный нижний уровень доходности сборки «put + актив», который известен заранее
при ее покупке.

Риск инвестиций в сборку может быть определен по формуле
4% = 0.04

oj
QT = (v)dv = FR (0.04) - FR (v 0 ),
R
(7.42)
-?



где

111
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
x
FR (x) = o j R (v)dv , (7.43)
-?

а jR(v) определяется по (7.34) - (7.35).

Среднеожидаемая доходность вложений в опцион и СКО определяются по (7.17) и (7.18)
соответственно.


7.2.2. Примеры оценки доходности и риска сборки «put+актив»

Пример 7.5 (сборка)
Вернемся к данным примеров 7.3-7.4 и исследуем предельный нижний уровень
доходности сборки с put опционами. Результаты расчетов сведены в таблицу 7.4.

Таблица 7.4
# Symbol Strike price,$ Option Price,$ Lowest return
rate, sh/y
1 IBMPC 115 13.1 -0.195
2 IBMPD 120 16.2 -0.160
3 IBMPE 125 18.2 -0.113
4 IBMPF 130 22.3 -0.095
5 IBMPG 135 26.9 -0.086
6 IBMPH 140 32.2 -0.087

Видно, что с ростом цены исполнения, вообще говоря, растет и нижний предел
доходности, если цены опционов близки к справедливым. Правда, по показателю
предела доходности нельзя ничего сказать о том, как поведет себя среднеожидаемая
доходность сборки, и что происходит с дисперсией.

Пример 7.6 (сборка)
Исследуем вероятностное поведение сборки с опционом IBMPC с ценой исполнения
115$ и ценой опциона 13.125$. На графике рис. 7.4 показано соотношение доходности
подлежащего актива и сборки на его основе при различных значениях средней
доходности и СКО исходного распределения. Видно, что эффект от приобретения
опциона возникает лишь при отрицательных значениях ожидаемой доходности, и чем
выше волатильность подлежащего актива, тем быстрее по мере снижения доходности
наступает выигрыш.




112
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
0.4



0.3
Underlying Equity


0.2
Assembling, STD=50%


0.1
Return




0
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
Assembling, STD=25%
-0.1



-0.2



-0.3



-0.4

Underlying Equity Return


Рис. 7.4. Соотношение доходности подлежащего актива и сборки на его основе

Таким образом, put опционы никак нельзя отнести к средствам стратегического
инвестирования. Скорее, это временная мера для страхования от убытков по
подлежащему активу, которые инвестор не хочет нести в случае непредвиденной
необходимости ликвидировать портфель. Инвестор рассчитывает подержать актив в
портфеле, переживая трудные времена – и при этом не допускать непредвиденных
потерь. Таким образом, put опцион является еще и средством повышения ликвидности
фондового портфеля.

Эффект хеджирования рисков с помощью опциона put имеет свое строгое
теоретическое обоснование, основанное на анализе корреляции этого опциона и
подлежащего актива. Мы подробно осветим эту тему в параграфе 7.4 монографии.


7.3. Оценка доходности и риска стандартных опционных комбинаций

Набив руку на моделировании отдельных опционов, переходим к моделированию
опционных комбинаций. Выбор той или иной комбинации зависит, в первую очередь, от
ожиданий инвестора относительно подлежащего актива, а, во вторых, от
инвестиционных предпочтений означенного инвестора. Посмотрим, как осуществляется
выбор опционной стратегии на сайте [7.9].

Опционный гид [7.9] представляет собой опросник вида таблицы 7.5. Как видно, от
инвестора требуется оценка рынка, выраженная на естественном языке. Что такая оценка
дает с точки зрения нечетких множеств, мы подробно рассмотрим в разделе 7.8
монографии.

113
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
7.3.1. Тип Buy straddle («стеллаж»)

«Стеллаж» - это комбинация из двух опционов (put и call), выписанных на один и
тот же подлежащий актив и на одну и ту же дату исполнения.

Специфика «стеллажа» в том, что за период действия опционных контрактов один
из двух опционов обязательно оказывается в деньгах, а другой - обязательно нет.
Возникает возможность маневра: при хорошей разнице между курсом бумаги и ценой
исполнения сначала исполнить один опцион, а затем, при изменении курсовой тенденции
- по возможности, и второй. Но мы не рассматриваем эту возможность, а принимаем
решение об исполнении одного из опционов в заведомо известный момент времени. Тем
самым мы определяем нижнюю границу доходности комбинации - и верхнюю - риска.

Определим вероятностные характеристики этой комбинации. Согласно (7.5) и
(7.22), соотношение для дохода по комбинации имеет вид [7.2]

ix cp - S T - z p - z c , S T ? x cp
IT = i ,
S T - x cp - z p - z c , S T ? x cp
i (7.44)

где xcp = xc = xp - цена исполнения обоих опционов.

Функция ST(IT), как легко видеть, на интервале [-zc-zp, xcp-zc-zp] является
двузначной. Это означает, что ожидаемый курс ST распределяется по двум ветвям
обратной функции с той вероятностью, с которой соответствующий данной ветви опцион
оказывается в деньгах.

Указанные рассуждения приводят нас к следующему соотношению для плотности
распределения доходности комбинации типа “straddle”:

0, y < -z c - z p
i
ij (y + z + z + x ) + j (-y - z - z + x ),
iS S
c p cp c p cp
(7.45)
j I (y) = i
- z c - z p ? y ? x cp - z c - z p
i
j S (y + z c + z p + x cp ), y > x cp - z c - z p
i
i


Отсюда легко перейти к соотношению для доходности и получить выражения для
интересующих нас моментов. Мы этого делать не будем. Для нас плотность величины
дохода есть тот исходный показатель, на основании которого мы можем получить все
остальные, он стопроцентно репрезентативен.




114
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Таблица 7.5
Первый вопрос Варианты ответа на Второй вопрос Рекомендуемая комбинация
вопрос 1 в зависимости от ответа на
вопрос 2
Каков Ваш взгляд на 1. «Бычий»: ожидаемый рост Весьма «бычий» Buy call
интересующий актив или цены Умеренно «бычий» + строгая уверенность в том, что Sell put
индекс? падения не будет
Умеренно «бычий» + некоторая уверенность в том, что Bull spread
падения не будет
«Медвежий» на несколько недель и «бычий» на Diagonal spread
следующие несколько месяцев
2. «Медвежий»: ожидаемое Весьма «медвежий» Buy put
падение цены Строгая уверенность в том, что роста не будет Sell call
Умеренно «медвежий»+ некоторая уверенность в том, Bear spread
что роста не будет
«Бычий»на несколько недель и «медвежий» на Diagonal spread
следующие несколько месяцев
«Медвежий» при наличии подлежащего актива в Put hedge
портфеле
3. «Нейтральный»: ожидаемое Ожидание, что цены будут колебаться в очень узком Sell straddle
отсутствие сильных изменений диапазоне
Ожидание, что цены будут колебаться в умеренном Sell strangle
диапазоне
Некоторая уверенность в том, что цены не будут Long butterfly
сильно колебаться
Краткосрочная «слабость» + долгосрочное «ралли» Calendar spread
Ожидание нейтральности + актив в портфеле Covered call
4. «Волатильный»: ожидаемые Цены будут весьма колеблемы Buy straddle
сильные изменения цены Уверенность, что цены будут колебаться Buy strangle
Некоторая уверенность в том, что цены будут Short butterfly
колебаться
Пример 7.7 (straddle).
Пусть цена подлежащего актива 100$, а ожидаемые параметры: доходность – 10%
годовых, СКО – 25% годовых. Приобретем комбинацию straddle на полгода со страйком
105$, т.е. совместим страйк с ожидаемой ценой актива на дату исполнения опционов.
Цена put – 3$, цена call – 5$. Оценить эффективность комбинации.

Решение
Ожидаемая доходность комбинации – 49.3% годовых при риске 0.49. Одновременно
отметим, что риски каждого из опционов по отдельности выше по значению, однако за
счет отрицательной корреляции доходностей опционов риск комбинации в целом ниже.


7.3.2. Тип Buy strangle (“удавка”)

Это – комбинация двух опционов put и call на один подлежащий актив и одну дату
исполнения, но с разными страйками. Между страйками образуется зона, когда оба
опциона оказываются не в деньгах. Инвестор предполагает, что на дату исполнения цены
убегут влево или вправо от межстрайковой зоны, но в ней заведомо не останутся. В
частном случае, когда оба страйка совпадают по цене, мы имеем предыдущую
комбинацию – стеллаж.

Соотношение для дохода по такой комбинации имеет вид [7.2]

ix p - S T - z p - z c , 0 < S T ? x p
i
(7.46)
I T = i - z p - z c , x p ? ST ? x c ,
i S -x -z -z , S ? x
iTc p c T c



где xc > xp - цены исполнения обоих опционов.

Обозначим вероятность K12 – того, что не в деньгах ни один из опционов. Тогда, по
аналогии с уже записанным, соотношение для плотности распределения доходности
комбинации

0, y < -z c - z p
i
i K 12d (0), y = -z c - z p
i
ij S (y + z c + z p + x c ) + j S (-y - z c - z p + x p ),
(7.47)
j I (y) = i ,
- zc - zp < y ? x p - zc - zp
i
j S (y + z c + z p + x c ), y > x p - z c - z p
i
i
i


116
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
Пример 7.8 (strangle).
Для подлежащего актива на условиях примера 7 выстроим комбинацию опционов во
страйками 105 и 110 долл для put и call опционов соответственно. Цены опционов – те
же. Определить эффективность комбинации.

Решение
Ожидаемая доходность комбинации (-3)% годовых при риске 0.6. Видим, что при
смещении страйка одного из опционов даже на 5 пунктов эффективность комбинации
резко падает.


7.3.3. Тип Buy Bull Spread («спрэд быка»)

Любопытная комбинация, связанная с активным поведением инвестора (обычно
корпоративного). Рассчитывая на курсовой рост акций, инвестор одновременно
приобретает call опцион с меньшим страйком и выписывает (уступает) опцион с
большим страйком. Первоначальные затраты такого инвестора есть разница между
ценами двух опционов. В случае, если хотя бы один из опционов попадает в деньги,
инвестор получает курсовой доход в виде спрэда (разницы) между внутренними ценами
двух опционных контрактов – своего и уступленного.

Рассматриваемая комбинация – типичная для т.н. арбитражеров, т.е. для лиц,
пытающихся сорвать мимолетный куш на пусть даже сравнительно небольшой разнице
цен, но за быстрое время. Активно применяется на контрактах с близкой датой
исполнения.

Соотношение для дохода по такой комбинации имеет вид [7.2]

- (z c1 - z c2 ), 0 < S T ? x c1
i
i
(7.48)
I T = i- (z c1 - z c2 ) + S T - x c1 , x c1 ? S T ? x c2 ,
i (x - x ) - (z - z ), S ? x
i c2 c1 c1 c2 T c2



где xc2 > xс1 – страйки обоих опционов, zc1> zc2 – их покупные цены.

Выделим три вероятности несовместных событий: K1- того, что оба опциона не в
деньгах, K2- того, что оба опциона в деньгах, K12 – того, что наш опцион (первый) в
деньгах, а чужой (второй) - нет. Разумеется, сумма этих вероятностей равна единице.
Тогда, по аналогии с уже записанным, соотношение для плотности распределения
доходности комбинации




117
aНедосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
0, y < -(z c1 - z c2 )
i
i K 1d (0), y = -(z c1 - z c2 )
i
i
j I (y) = ij S (y + (z c1 - z c2 ) + x c1 ), - (z c1 - z c2 ) < y < (x c2 - x c1 ) - (z c1 - z c2 ),
i K 2d (0), y = (x c2 - x c1 ) - (z c1 - z c2 )
i
i 0, y > (x c2 - x c1 ) - (z c1 - z c2 )
i
(7.49)

Здесь видим двустороннее усечение исходного закона распределения цены подлежащего
актива и две дельта-функции на обеих границах усечения.


7.3.4. Тип Buy Bear Spread («спрэд медведя»)

Комбинация, по смыслу схожая со спрэдом быка, но ориентированная на падение
курсовой цены акций. Рассчитывая на спад, инвестор одновременно приобретает put
опцион с большим страйком и выписывает (уступает) put опцион с меньшим страйком.
Первоначальные затраты такого инвестора есть разница между ценами двух опционов. В
случае, если хотя бы один из опционов попадает в деньги, инвестор получает курсовой
доход в виде спрэда (разницы) между внутренними ценами двух опционных контрактов –
своего и уступленного.

Соотношение для дохода по такой комбинации имеет вид [7.2]

i (x p2 - x p1 ) - (z p1 - z p2 ), 0 < S T ? x p1

<<

стр. 4
(всего 7)

СОДЕРЖАНИЕ

>>