<<

стр. 3
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

Пример 1.6.2. Предположим, что АС состоит из N АЭ, каждый из
которых способен произвести в единицу времени ? единиц продукции. На
коммуникацию с партнерами АЭ затрачивает время t(N) = ? (N – 1). За
период времени T собственно на производство может быть затрачено
68
время: (T – t(N)). Если целевой функцией коллектива АЭ является макси-
мизация количества произведенной продукции, то оптимальный "размер"
АС определится из условия максимизации N ? (T – ? (N – 1)), то есть:
Nmax = 1/2 (T/? + 1).
Анализ выражения для Nmax позволяет сделать выводы, что при по-
стоянном времени попарного взаимодействия АЭ с ростом периода T
оптимальный размер организации растет, а при постоянном периоде с
ростом времени взаимодействия АЭ – уменьшается. •
До сих пор мы рассматривали АС, состоящую из набора равноправ-
ных АЭ. Предположим, что имеется двухуровневая многоэлементная АС.
Информационная нагрузка на центр зависит от числа управляемых АЭ и
структуры их взаимодействия. Существует множество оценок нормы
управляемости, степени координируемости и т.д. (см., например,
[36,44,82,97,98,100 и др.]). В ряде случаев (см. пример 1.6.3) с экономиче-
ской точки зрения центр заинтересован в увеличении числа подчиненных
АЭ, но существуют и информационные ограничения, следовательно,
опять возникает задача определения оптимального размера АС.
Следует отметить, что практическое использование моделей, в кото-
рых решаются задачи синтеза структуры, должно производиться чрезвы-
чайно осторожно, так как оптимальные решения, как правило, не устой-
чивы по параметрам модели. Сильная чувствительность решения по
исходным данным (которые основываются, как отмечалось выше, в
большинстве своем на гипотетических построениях, субъективных оцен-
ках экспертов и т.д. [91]), требуют тщательной идентификации каждой
модели до ее практического использования, иначе ее прогностическая
способность может быть обоснованно поставлена под сомнение (см.
обсуждение в [80] и пример 1.6.3).
Пример 1.6.3. Предположим, что задача стимулирования заключает-
ся в распределении между N однородными АЭ фонда заработной платы R.
Если функция затрат каждого АЭ есть c(y) = y2 / 2 ?, а доход центра
пропорционален сумме действий АЭ, то при постоянном фонде заработ-
ной платы зависимость эффективности стимулирования от числа АЭ
2 ?RN – R.
имеет вид: ?*(N) =
Содержательно, так как выполнено А.3'' (c'(0) = 0), то центру выгод-
но задействовать как можно большее число АЭ, стимулируя их за выпол-
нение сколь угодно малых планов потому, что в окрестности действия,
минимизирующего затраты (y = 0), предельные затраты каждого АЭ
минимальны. Следовательно, при фиксированном фонде заработной
платы (максимум ?*(N) по R достигается при ФЗП, пропорциональном
69
числу АЭ в АС: R* = ? N/2 ) центр заинтересован в неограниченном
увеличении числа АЭ, что и имело место в бывшем СССР (напомним, что
мы не обязаны гарантировать АЭ даже сколь угодно малую положитель-
ную полезность).
Ситуация меняется, если управляющие возможности (возможности
по переработке информации) центра ограничены. В большинстве работ
(см., например, [82,97]) используется следующая оценка числа связей
между подчиненными АЭ, контролируемыми центром: ? 2N. Содержа-
тельно, эта оценка соответствует числу возможных коалиций, и, следова-
тельно, связей между N АЭ (существенной в данном случае является не
точная оценка а "этажный" характер зависимости сложности от числа
АЭ).
Учтем информационные ограничения, умножив ?*(N) на показатель
2 ?RN – R) 2-?N.
2-?N, где ? ? 0, то есть: ?(N) = (
Максимум выражения ?(N) по N достигается при N = Nmax, где
2
?1 + 2? ?
R
1+
? ?.
Nmax =
8? ?R ln 2 ?
?
Полученное для оптимального числа АЭ выражение непрерывно по
информационному параметру ?. Однако, следует помнить, что мы вос-
пользовались оценкой ?*(N), полученной в предположении неограничен-
ных возможностей центра. Поэтому на самом деле сколь угодно малая
неточность определения ? может привести к снижению эффективности на
конечную величину. •
В рассмотренном примере зависимость эффективности решений
центра от числа АЭ была выбрана достаточно произвольной. В следую-
щем примере ограниченность информационных возможностей центра
"выводится" из теоретико-информационных рассуждений.
Пример 1.6.4. Предположим, что в двухуровневой многоэлементной
активной системе за рассматриваемый период времени центр может
переработать H0 единиц информации. Пусть ?i – точность измерения
(абсолютная погрешность) состояния i-го АЭ. Тогда функция стимулиро-
вания должна иметь "зону нечувствительности", то есть АЭ не должен
наказываться за неидентифицируемые центром отклонения его состоя-
ния – компоненты вектора y от плана – компоненты вектора x:
?ci ( x i ), y i ? [ x i ? ? i ; x i + ? i ]
?i(xi,yi) = ? .
y i ? [ xi ? ? i ; xi + ? i ]
? 0,
70
? ? yi, функция затрат АЭi –
Если функция дохода центра H(y) =
i
2
y /2?i, то гарантированная эффективность системы стимулирова-
ci(yi) = i
ния, реализующей план x при наблюдении состояний АЭ с погрешно-
стью, равна:

? ? xi /2?i ) – ? ?
?
2
Kg(x, ?) = ? (xi – ?i) – ?i,
ci(xi) = (? xi –
i i i
i
Обозначим ? = (?1, ?2, ..., ?N). Если Ai = [A-i; A+i], ?i = A+i – A-i, тогда
количество информации, получаемое при измерении состояния АЭ равно
[14]: ?Ii(?i) = ln ?i – ln ?i. Ограниченность возможностей центра по пере-
работке информации накладывает на совокупность ошибок измерений

? ?Ii(?i) ? H0.
следующее условие:
i
При заданном фонде суммарного стимулирования (фонде заработ-
ной платы) R задача стимулирования в рассматриваемой АC со слабо
связанными АЭ имеет следующий вид:
?g
? K ( x,? ) > max x ,?
?
?? ci ( x i ) ? R .
?i
?? ? I i (? i ) ? H 0
?i
При выбранном виде целевых функций задача стимулирования рас-
падается на две несвязанные задачи – определения оптимального плана и
определения оптимальной точности измерений состояний АЭ.

?
Решение первой задачи: xi = ?i ?i. Решение
2 R / B , где B =
i
˜ ˜
?
второй задачи: ?i = exp ( H 0 / N), где ln ?i – H0.
H0=
i
Содержательно оптимальные планы совпали с планами, оптималь-
ными в задаче стимулирования с точными измерениями состояний АЭ
(см. раздел 1.3 и другие примеры), а оптимальная точность измерений
оказалась одинаковой для всех АЭ, что обусловлено одинаковым вкладом
всех АЭ в целевую функцию центра.

71
Если все АЭ одинаковы, то максимальная гарантированная эффек-
тивность стимулирования равна:
K max (N) = ? 2 R?N – R – ? N ? exp ( – H0 / N),
g

g
Функция K max (N) вогнута по N, следовательно, существует опти-
мальный при заданных ограничениях "размер" активной системы. •
Рассмотренные в настоящем разделе частные модели ни в коем слу-
чае не следует рассматривать как некий полный комплекс моделей сти-
мулирования, отражающих информационные эффекты в иерархических
многоуровневых АС. Нашей целью, скорее, было, с одной стороны,
максимально убедительно продемонстрировать наличие информационно-
го фактора, а с другой – призвать специалистов по управлению социаль-
но-экономическими системами, психологии, теории информации и др. к
дальнейшему теоретическому и практическому исследованию этого
богатейшего класса задач.

1.7. УНИФИЦИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
СТИМУЛИРОВАНИЯ

Рассматриваемые в предыдущих разделах задачи стимулирования
заключались в определении зависимости поощрения или наказания
каждого конкретного активного элемента от результатов его деятельно-
сти. Такие системы стимулирования в [22] было предложено называть
индивидуальным стимулированием. В отличие от индивидуального
стимулирования, центр может использовать одну и ту же для всех АЭ
зависимость поощрения от результатов деятельности (выбираемые раз-
личными АЭ действия при этом, естественно, могут быть различными).
Если зависимость выплат от действий и/или результатов деятельности
одинакова для всех АЭ (или их части), то такую систему стимулирования
назовем унифицированной.
Как отмечалось во введении, привлекательность унификации управ-
ления заключается в снижении информационной нагрузки на управляю-
щие органы (позитивное влияние информационного фактора). В то же
время, использование "уравниловки" может привести к снижению эффек-
тивности управления. Поэтому исследуем более подробно преимущества
и недостатки унифицированных систем стимулирования.




72
Рассмотрим задачу синтеза унифицированной системы стимулиро-
вания в двухуровневой АС. Целевая функция центра имеет вид:
n
?? ( yi ) , а целевая функция i-го АЭ:
?(y) = H(y) –
i =1
(1.7.1) fi(yi) = ?(yi) – ci(yi).
Пусть требуется использовать унифицированную систему стимули-
рования из заданного класса, например – скачкообразную систему стиму-
лирования (С-типа и один план для всех АЭ [81]), пропорциональную
систему стимулирования (L-типа с единой ставкой оплаты [81]) и т.д.
Рассмотрим задачу синтеза унифицированной системы стимулиро-
вания первого рода, в которой центр назначает общий для всех АЭ план и
использует унифицированную систему стимулирования С-типа.
Если целевая функция центра монотонна по действиям всех актив-
ных элементов и нет ограничений на стимулирование то, очевидно,
следует назначать максимальный допустимый план. Отметим следующий
качественный эффект. Использование унифицированной системы стиму-
лирования фактически сводит непрерывную задачу к дискретной –
характерными точками являются правые границы множеств реализуемых
действий АЭ – назначать планы, отличные от одной из этих точек, не
имеет смысла и, более того, не эффективно [22,24,81].
Поясним последнее утверждение. Если при индивидуальном стиму-
лировании в АС со слабо связанными элементами увеличение ограниче-
ния на суммарное стимулирование, условно говоря – на фонд заработной
платы (ФЗП), приводит к (непрерывному) изменению эффективности
стимулирования, то в АС с унифицированными системами стимулирова-
ния дело обстоит иначе. В силу отмеченной выше "дискретности" соот-
ветствующей задачи стимулирования, увеличение (в определенных
пределах) ФЗП может не изменять оптимального плана и, следовательно,
снижать эффективность управления. Другими словами, существует
минимальная величина (пороговое значение) увеличения суммарного
ФЗП, на которое система реагирует (см. алгоритм (1.7.5)-(1.7.7), а также
подробное описание модели в [26]). Аналогичный эффект имеет место и в
задаче второго рода, к описанию которой мы переходим. Сначала, в
качестве иллюстрации, рассмотрим следующий пример.
Пример 1.7.1. Пусть ставка оплаты ? ? 0 одинакова для всех актив-
ных элементов, то есть ?i(yi) = ? yi. Если функция затрат i-го АЭ:
ci(yi) = ?i y 2 , ?i ? 0, то максимум его целевой функции достигается в точке
i



73
n
?
?? i yi , ?i ? 0, то
*
. Если целевая функция центра равна H(y) =
y =
2? i
i
i =1
зависимость его полезности от ставки оплаты имеет вид:
?i
N N
??
?
1
2
?(?) = ? – .
i =1 2 ? i i =1 2 ? i
Найдем оптимальную величину ставки заработной платы, максими-
?i
N
??
1 i =1
зирующую вогнутую функцию ?(?): ?* = i
. Максимальное значе-
N
1
2
??
i =1 i
ние целевой функции центра, которое мы обозначим K1, равно
2
? N ?i ?
?? ? ?
? i =1 i ? .
1
K1 = N
1
8
??
i =1 i
Оценим теперь ту выгоду или те потери, которые центр несет из-за
необходимости использования унифицированной системы стимулирова-
ния. Для этого вычислим значение целевой функции центра при исполь-
зовании индивидуального пропорционального стимулирования (когда для
каждого АЭ устанавливается индивидуальная ставка заработной платы
?i? i ? ? i
2
N
?
?i). В этом случае ?(?) = , где ? = (?1, ?2, ..., ?N). Максимум
i =1 2? i

этой функции по ? ? 0 достигается при ? * = ? i /2, i = 1, N и не зависит
i
от ?. Содержательно последнее условие вполне соответствует рассужде-
ниям, приводимым в теории предельной полезности: должна быть выбра-
на такая точка, в которой приращение дохода центра от увеличения
действия каждого активного элемента в точности равно приращению
затрат на стимулирование [81,138]. При использовании оптимальных
индивидуальных систем стимулирования L-типа максимальное значение
1
целевой функции центра, которое мы обозначим K2, равно K2 =
8
?i2
N
? .
?i
i =1

74
Величину ?K = K2 – K1 можно условно назвать "ценой унификации".

Перейдем теперь к исследованию общего случая задачи синтеза оп-
тимальной унифицированной системы стимулирования из заданного
класса.
Пусть выполнено предположение А2' и центр должен назначить
унифицированную систему стимулирования QK-типа с одним "скачком":
?u, yi = x
(1.7.2) ?(x,yi) = ? ,
0, yi ? x
?
где u – некоторая неотрицательная величина, x – общий для всех АЭ план.
Обозначим P(x, u) – множество тех АЭ, у которых затраты в точке x
не превышают u, то есть
(1.7.3) P(x,u) = {i ? I | ci(x) ? u}.
*
Тогда действия { y i }, реализуемые системой стимулирования
(1.7.2), удовлетворяют:
? x, i ? P ( x, u )
y i (x,u) = ? min
*
(1.7.4) .
yi , i ? P( x, u )
?
Суммарные затраты на стимулирование при использовании центром
системы стимулирования (1.7.2), в силу (1.7.4), равны Q(x,u) = u |P(x,u)|,
где |P| – число элементов множества P. Очевидно, |P(x,u)| не убывает по u
*
y i (x,u) не является непре-
и не возрастает по x. Более того, зависимость
рывной. Поэтому для каждого x ? A существует конечное число мини-
мальных затрат на стимулирование, при которых изменяется число АЭ,
выполняющих план x: {c1(x), c2(x), ..., cN(x)}.
В общем случае задача стимулирования является достаточно слож-
ной с вычислительной точки зрения, но вполне решаемой численно,
оптимизационной задачей поиска пары (x,u), удовлетворяющей заданным
ограничениям. Простое аналитическое ее решение можно найти для ряда
рассматриваемых ниже частных случаев.
Предположим, что целевая функция центра аддитивна по АЭ, то есть
N
? H i ( yi ) , а активные элементы, независимо от их действий,
H(y) =
i =1
могут быть упорядочены по затратам, то есть ? y ? A c1(y) ? c2(y) ? ... ?
cN(y). Алгоритм решения данной задачи, по аналогии с двушаговым


75
методом решения одноэлементной базовой задачи стимулирования вто-
рого рода [19,81] состоит из трех этапов.
На первом этапе для каждого k = 0, N определяются (условимся,
что, если верхний индекс суммирования меньше нижнего, то вся сумма
равна нулю) следующие зависимости:
N
k
? H i ( x) ? H i ( yimin )
(1.7.5) ?k(x) = + – k ck(x).
i =1 i = k +1
Содержательно, k – число АЭ, выполняющих план. В силу предпо-
ложения упорядоченности АЭ по затратам, если k-му АЭ выполнять план
выгодно, то это выгодно и всем АЭ, имеющим меньшие номера в упоря-
дочении затрат. Таким образом, имеем N+1 возможную комбинацию
(начиная с того, что ни один из АЭ не выполняет план, и заканчивая тем,
что все они его выполняют). Качественно, введение предположения об
упорядоченности АЭ по затратам уменьшает число возможных комбина-
ций – в общем случае при фиксированном плане число этих комбинаций
порядка 2N. Более того, если упорядочение АЭ по затратам зависит от их
действий, то число возможных комбинаций еще более возрастет.
На втором этапе для каждого k = 0, N определяется максимум
(1.7.5) по множеству допустимых планов, то есть ищется какой план
следует назначить, если известно, что выполнять его будут заданное
число АЭ:
(1.7.6) ? * = max ? k (x).
k
x? A
На третьем шаге определяется набор АЭ (их число в случае упоря-
доченности затрат), выполнение плана которыми доставляет максимум
целевой функции центра:
(1.7.7) k* = arg max ? * .
k
k = 0, N

? k* .
*
Эффективность стимулирования при этом равна K3 =
Таким образом, в результате применения описанного алгоритма оп-
ределяется число АЭ, которые выгодно стимулировать в смысле побуж-
дения к выполнению плана (это первые k* АЭ в их упорядочении по
затратам) и оптимальный план x* = arg max ? k * (x). Отметим, что рас-
x? A
смотренный алгоритм соответствует отсутствию ограничений на унифи-
цированную функцию стимулирования. Если присутствуют ограничения
сверху на индивидуальные поощрения АЭ или на суммарный фонд сти-
мулирования, то на втором и третьем этапах максимумы должны вычис-
76
ляться по таким планам и комбинациям АЭ, которые удовлетворяют
имеющимся ограничениям.
Сравнение эффективности данного унифицированного механизма с
эффективностью соответствующего механизма индивидуального стиму-
лирования позволяет придти к выводу, что "ценой унификации" является
следующая разность:
N
?
(1.7.8) ?K = max {Hi(yi) – Qi(yi)} –
yi? Ai
i =1
N
k
max max { ? H i ( x ) + ? H i ( yimin )
– – k ck(x)}.
k = 0, N x? A i =1 i = k +1
Если присутствуют дополнительные ограничения на стимулирова-
ние, то максимумы в (1.7.8) должны вычисляться по соответствующим
множествам. В качестве иллюстрации возможной неэффективности
унифицированных систем стимулирования QK-типа в задачах второго
рода рассмотрим следующий пример.
2
Пример 1.7.2. Пусть ci(yi) = ?i y i , ?1 ? ?2 ? ?3, yi ? 0, Hi(yi) = ?iyi,
i ? I, Тогда ? x ? A:
?0(x) = 0; ?1(x) = ?1x – ?1x2; ?2(x) = (?1+?2)x – 2?2x2;
?3(x) = (?1+?2+?3) x – 3?3x2;
x1 = ?1/2?1; x 2 = (?1+?2)/4?2; x 3 = (?1+?2+?3)/6? 3;
* * *


?1 = ? 1 /4?1; ? 2 = (? 1 + ? 2 ) /8?2; ? 3 = (? 1 + ? 2 + ? 3) /12?3.
2 2 2
* * *

При использовании индивидуальной системы стимулирования
*
= ?i/2?i, i ? I. Следовательно, эффективность индивидуального
yi
?i
2
3
стимулирования равна: K = ? *
.
i =1 4 ? i

Выбрав конкретные числовые значения ?1 = 1, ?2 = 2, ?3 = 3,
?1 = ?2 = ?3 = 1, получаем, что независимо от числа АЭ, выполняющих
план, эффективность унифицированного стимулирования равна K3 = 1/4.
Эффективность же индивидуального стимулирования – K* = 11/24 > 1/4.
K ? K 3 = 5/11, то есть поряд-
*
Относительные потери составляют ?K = *
K
ка 45%. В рассматриваемом примере унификация "обходится" примерно в
половину эффекта! •

77
Таким образом, в некоторых АС (см. задачи второго рода [81] с сис-
темами стимулирования L-типа и С-типа в примерах 1.7.1 и 1.7.2, соот-
ветственно) использование унифицированных систем стимулирования
может приводить к снижению эффективности. В то же время, в некото-
рых АС, точнее – в задачах стимулирования L-типа в АС со слабо связан-
ными АЭ, имеющими функции затрат типа Кобба-Дугласа, оптимальны-
ми являются именно унифицированные системы стимулирования. В
качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример, предложенный
В.Н. Бурковым.
Пример 1.7.3. Пусть функции затрат АЭ имеют вид:
1 ? 1-?
1, N , ? ? 1, а центр может использовать только
ci(yi,ri) = yi ri , i =
?
пропорциональные индивидуальные системы стимулирования:
?i(yi) = ?i yi. Таким образом, целевая функция АЭ имеет вид: fi(yi) = ?i yi –
ci(yi). Вычислим действие, выбираемое АЭ при использовании центром
некоторой фиксированной системы стимулирования:
*
y i (?i) = ?i1/(?-1) ri,
(1.7.9)
и определим минимальные затраты на стимулирование, по реализа-
ции этого действия:
1 ?/(?-1)
(1.7.10) ?i(?i) = ?i ri.
?
Пусть центр заинтересован в выполнении активными элементами
плана R по суммарному выпуску с минимальными затратами на стимули-
рование. Тогда его цель заключается в выборе ставок оплаты {?i} в ре-
зультате решения следующей задачи:
?N
??? i (? i ) > min
{? i }
(1.7.11) ? i =1N .
? ? y i (? i ) = R
*

? i =1
Решение задачи (1.7.11) имеет вид:

() ? ?1
R
(1.7.12) ? i = 1, N ? =
*
,
i
W
N
?
где W = ri. Так как оптимальные ставки оплаты одинаковы для всех
i =1
АЭ, то оптимальна именно унифицированная система стимулирования


78
? i , i = 1, N , обусловлено специфи-
*
(отметим, что совпадение величин
кой задачи – видом целевой функции, функций затрат АЭ и т.д.).
Двойственной к задаче (1.7.11) является задача максимизации сум-
марного выпуска при ограниченном фонде стимулирования:
?N *
?? y i (? i ) > max
{? i }
(1.7.13) ? i =1 N .
? ?? i (? i ) = R
? i =1
Решение задачи (1.7.13) имеет вид:
R ? /(? ?1)
1, N ? * = (?
(1.7.14) ? i = ) ,
i
W
то есть в двойственной задаче (естественно) оптимальным решением
также является использование унифицированных систем стимулирова-
ния. •
Более того, унифицированные пропорциональные системы стимули-
рования оптимальны (в классе пропорциональных систем стимулирова-
ния) в более широком классе АС. Более конкретно, пусть функции затрат
АЭ имеют вид:
yi
(1.7.15) ci(yi, ri) = ri ? ( ),
ri
где ?( ) – гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция (в примере
.

1?
1.7.3 ?(t) = t ). Тогда получаем, что реализуемое действие определяет-
?
ся следующим образом:
*
y i (?i) = ri ? ' -1(?i),
(1.7.16)
где ? ' -1(.) – функция, обратная производной функции ?(.) (ср. с (1.7.9)).
Минимальные затраты на стимулирование равны (ср. с (1.7.10)):
(1.7.17) ?i(?i) = ? ( ? ' -1(?i) ).
Решение задачи типа (1.7.11) для рассматриваемого случая имеет
вид (ср. с 1.7.14)):

()
R
1, N ? * = ? '
(1.7.18) ? i = .
i
W
Таким образом, унифицированные пропорциональные системы сти-
мулирования оптимальны в активных системах со слабо связанными АЭ,
функции затрат которых имеют вид (1.7.15).
79
Таким образом, во-первых, в многоуровневых активных системах
использование унифицированных систем стимулирования (как и систем
коллективного стимулирования – см. раздел 1.5) снижает информацион-
ную нагрузку на управляющие органы, то есть имеет место положитель-
ный информационный эффект (проявление информационного фактора).
Во-вторых, иногда эти системы стимулирования оказываются оптималь-
ными (см. пример 1.7.3). В-третьих, возможность использования общих
для всех АЭ управляющих параметров оказывается важной в механизмах
планирования (см. гипотезу слабого влияния и механизмы открытого
управления в [17,22,24] и раздел 2.5 настоящей работы).
С другой стороны, как было показано выше, переход от индивиду-
ального к унифицированному стимулированию может приводить к потере
заинтересованности в результатах деятельности и, следовательно, к
потере эффективности (условно эти потери можно отнести к фактору
агрегирования). Поэтому "цена унификации" (1.7.8) может быть исполь-
зована как оценка для сравнения преимуществ, обусловленных информа-
ционным фактором и потерь, вызванных наличием фактора агрегирова-
ния (см. более подробно обсуждение взаимосвязи факторов в главе 4).

1.8. СТИМУЛИРОВАНИЕ КАК ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ДОХОДОВ

На практике широко распространено вознаграждение экономических
агентов в зависимости от показателей финансовой деятельности органи-
зации, в которой они работают. Например, выплата бонусов, льготная
продажа акций компании-работодателя, вознаграждения по итогам дея-
тельности за отчетный период и т.д. В этом случае задача стимулирова-
ния может рассматриваться как задача перераспределения доходов,
точнее – распределения дохода центра между ним и активными элемен-
тами. Качественно, использование таких систем поощрения позволяет
координировать интересы организации в целом и ее членов. Подобные
эффекты могут достигаться, когда целевая функция АС (центра, выра-
жающего интересы системы в целом) монотонна по значениям целевых
функций активных элементов (см., например, [26]), или когда целевая
функция АЭ монотонно зависит от значения функции дохода центра.
Рассмотрим последний случай более подробно, а именно предположим,
что стимулирование в двухуровневой АС заключается в распределении
между АЭ части дохода всей системы, то есть дохода центра от деятель-

80
ности АЭ (более корректно, будем считать, что каждый АЭ получает в
качестве вознаграждения часть своего "вклада" в доход центра).
Пусть в одноэлементной активной системе функция стимулирования
представляет собой определенную долю дохода центра:
(1.8.1) ?(y) = ? H(y),
где ? ? [0,1]. Целевые функции центра и АЭ имеют соответственно вид:
(1.8.2) ?(y) = (1 – ?) H(y)
(1.8.3) f(y) = ? H(y) – c(y).
Систему стимулирования вида (1.8.1) назовем системой стимулиро-
вания D-типа.
Из литературы известны три потенциальных претендента на исполь-
зование в задачах стимулирования второго рода: скачкообразные системы
стимулирования (С-типа, точнее QK-типа), пропорциональные системы
стимулирования (линейные – L-типа) и системы стимулирования, осно-
ванные на доходе центра (D-типа) [81]. Возникает закономерный вопрос –
как соотносятся эффективности этих систем стимулирования, то есть
какую из них следует использовать на практике, если не наложено допол-
нительных ограничений (на максимальный размер индивидуального
поощрения, суммарный ФЗП и т.д.). Перейдем к сравнению эффективно-
стей, которые обозначим, соответственно, KQK , KL и KD. Напомним, что
система QK-типа оптимальна [22,81], то есть имеет максимальную эф-
фективность среди допустимых систем стимулирования; кроме того, в
работе [81] доказано, что KQK ? KL .
Пусть выполнено А3'', а целевая функция центра вогнута и диффе-
ренцируема, тогда эффективности соответствующих систем стимулиро-
вания в одноэлементных АС задаются следующими выражениями (сим-
вол " ' " обозначает производную):
(1.8.4) KQK = max {H(y) – c(y)};
y? A

max {H(c' -1(?)) – ? c' -1(?)};
(1.8.5) KL =
? ?0

max {(1 – ?) H(y*(?))},
(1.8.6) KD =
0 ?? ?1
где c' (?) – функция, обратная производной функции затрат АЭ, а y*(?)
-1

удовлетворяет следующему уравнению:
(1.8.7) ? H'(y*) = c'(y*).
В многоэлементных системах задача синтеза оптимальной системы
стимулирования D-типа формулируется полностью аналогично.
Отметим, что решение задачи перераспределения доходов в много-
элементной АС тривиально в случае аддитивности и монотонности
81
функции дохода центра (по "вкладам" АЭ) и упорядоченности затрат АЭ
(см. раздел 1.7). В этом случае задача решается в два этапа.
На первом этапе для фиксированной доли ? дохода центра, исполь-
зуемого на стимулирование, ищется оптимальное его распределение
между АЭ:
(1.8.8) ?i = 0, i ? j, ?j = ?, где j = arg max ci' -1(?).
k =1, N
Такой вид оптимального распределения стимулирования между АЭ
обусловлен именно аддитивностью дохода центра и упорядоченностью
затрат АЭ: центру оказывается выгодным весь ресурс выделить одному
АЭ, который, условно говоря, наиболее эффективно его использует.
На втором этапе ищется оптимальная величина ?:
(1.8.9) ?* = arg max (1 – ?) max ci' -1(?).
? ?[ 0 ;1] k =1, N

Пример 1.8.1. Пусть функция затрат i-го АЭ равна ci(yi) = ?i 2
yi , а
N
?? i yi . Предположим, что центр
целевая функция центра равна H(y) =
i =1
имеет возможность использовать индивидуальные системы стимулирова-
ния QK-типа или L-, или D-типа. Эффективности стимулирования, вы-
численные в примере 1.7.1, равны:
?i ?i
N N
?? ??
1 1
KL = , KQK = .
8 4
i =1 i =1
i i
Очевидно, что KQK / KL = 2, то есть система стимулирования QK-
типа имеет в два раза большую эффективность, чем пропорциональная
система стимулирования.
?i
Вычисляя y*(?i) = ?i , получаем, что:
2 ?i
? i2
N N
?? ?? i
1
(1 – ?) ?i , ?i ? 0, = ?.
KD(?, {?i}) =
2 i =1
i =1 i
При фиксированном ? максимум KD(?,, {?i}) по {?i} достигается при
? i2
?i = 0, i ? j, ?j = ?, где j = arg max { }.
?i
k =1, N

Максимум по ? достигается при ? = 1/2, то есть в случае, когда по-
ловина дохода, полученного центром от деятельности каждого АЭ оста-
ется у центра, а половина выплачивается в качестве вознаграждения j-му

82
активному элементу. Отметим, что такое простое правило определение
доли дохода, выплачиваемой в виде поощрения, справедливо только в
рамках введенных предположений (аддитивность и линейность дохода
центра, квадратичность затрат АЭ и т.д.).
? i2
1
Таким образом, KD = }. Следовательно, в рассмотрен-
max {
?i
8 k =1, N

ном примере KD < KQK, то есть оптимальна индивидуальная система
стимулирования QK-типа, причем, если АЭ однородны, то:
KQK / KD = 2N, KL / KD = 2 N. •
В общем случае при принятии решения о выборе конкретной систе-
мы стимулирования следует вычислить и сравнить величины KD , KQK и
KL, задаваемые (1.8.4)-(1.8.6).
Если в трехуровневой АС отсутствует экономический фактор, то за-
дача стимулирования, сформулированная как задача перераспределения
доходов, сводится к соответствующей задаче в двухуровневой активной
системе, так как промежуточные центры в этом случае выступают в роли
координирующих органов, не имеющих собственных интересов и пере-
распределяющих ресурс внутри подсистем.
Если экономический фактор присутствует и распределяемый между
участниками АС доход определяется как сумма их доходов, то, в силу
замкнутости такой системы стимулирования, даже при отсутствии усло-
вия индивидуальной рациональности, любое перераспределение дохода
приведет к невозрастанию значения целевой функции хотя бы одного
участника.
Таким образом, с одной стороны, при использовании в многоуровне-
вых АС систем стимулирования, основанных на перераспределении
доходов, присутствуют как организационный фактор, так и фактор агре-
гирования. С другой стороны, следует подчеркнуть чрезвычайную неэф-
фективность систем стимулирования D-типа, имеющую следующее
качественное объяснение. Реализуемым называется действие, максимизи-
рующее целевую функцию активного элемента. При использовании
центром оптимальной системы стимулирования QK-типа, которая раз-
рывна, условия реализуемости имеют вид системы неравенств (см. [81], а
также разделы 1.1-1.3). Если функции затрат удовлетворяют А.3'', то при
использовании систем стимулирования L-типа или D-типа условия реали-
зуемости некоторого действия имеют "дифференциальный" вид (точка
максимума определяется вычислением производных и их анализом).
Оставаясь в фиксированном классе (линейных или каких либо других)
функций мы вынуждены сравнивать предельные полезности центра и
83
активных элементов, что приводит к увеличению затрат на стимулирова-
ние и, следовательно [81], к снижению эффективности стимулирования.
Содержательно, ограничиваясь параметрическими классами систем
стимулирования (пропорциональными, основанными на перераспределе-
нии дохода и др.), центр сужает множество возможных механизмов
стимулирования, тем самым заведомо обрекая себя на потери в эффек-
тивности управления. Поэтому использовать параметрическое стимули-
рование следует гибко, то есть, не фиксируя априори некоторые парамет-
ры (ставки заработной платы, нормативы распределения дохода и т.д.), а,
по крайней мере, настраивая их всякий раз для каждого АЭ и каждой
подсистемы с учетом индивидуальной специфики последних.

1.9. НАДЕЖНОСТЬ МЕХАНИЗМОВ УПРАВЛЕНИЯ
МНОГОУРОВНЕВЫМИ АКТИВНЫМИ СИСТЕМАМИ

Выше неоднократно подчеркивалось, что основанием для выделения
тех или иных факторов, характерных для многоуровневых АС, является
их влияние на эффективность управления. Наряду с эффективностью,
важной характеристикой функционирования любой системы является ее
надежность (см. определение ниже). Высокая (по сравнению с неиерар-
хическими структурами) надежность и адаптивность поведения иерархи-
ческих структур неоднократно обсуждалась в литературе по управлению
[66,71,72 и др.]. Поэтому настоящий раздел посвящен определению
понятия надежности механизма управления и изучению ее свойств в
двухуровневых и многоуровневых организационных системах. При этом
надежность рассматривается с точки зрения, принятой в настоящей
работе, то есть выясняется – чем определяется надежность механизма
управления, является ли надежность одним из факторов, влияющих на
эффективность, или она является следствием других факторов, следует ли
ее выделять в качестве отдельного фактора, и т.д.
Для того чтобы понять роль надежности как характеристики функ-
ционирования некоторой системы (неважно – одноуровневой, двухуров-
невой, или имеющей большее число уровней иерархии), необходимо
вспомнить определение эффективности функционирования (эффективно-
сти управления). Предположим, что имеется некоторая детерминирован-
ная система – активная или пассивная. Выделим в этой системе управ-
ляющий орган и управляемый объект. Критерием такого разделения
является возможность управляющего органа целенаправленно влиять на
состояние управляемого объекта посредством выбора управляющих
воздействий. Обозначим y ? A – состояние управляемого объекта, P(?) –
множество состояний этого объекта, зависящее от управляющего воздей-
84
множество состояний этого объекта, зависящее от управляющего воздей-
ствия ? ? M, принадлежащего допустимому множеству M (при использо-
вании управления ? управляемый объект оказывается в одной из точек
множества P(?)). Введем на множестве A?M скалярный (для простоты)
функционал K(y,?): A ? M > ?1, который назовем критерием эффектив-
ности функционирования системы. Критерий эффективности сопоставля-
ет каждому значению пары "состояние – управление" некоторое число,
причем считается, что вид функционала K(.,.) таков, что чем больше это
число, тем "лучше" (естественно, с чьей-то фиксированной точки зре-
ния – см. ниже). Величину
(1.9.1) K(?) = max K(y, ?)
y?P (? )
назовем эффективностью управления ? ? M (эффективностью механизма
управления), а величину Kg(?) = min K(y,?) – гарантированной эффек-
y?P (? )
тивностью управления.
Задача управления (точнее – задача синтеза оптимального управ-
ляющего воздействия) заключается в выборе такого ? ? M, на котором бы
достигался максимум (1.9.1), то есть оптимальным считается управление,
имеющее максимальную эффективность. Обозначим решение задачи
управления
(1.9.2) ?* = arg max K(?) = arg max { max K(y, ?)}.
? ?M ? ?M y?P (? )
Отметим, что до сих пор при определении эффективности управле-
ния мы не делали различий между активными и пассивными системами.
Обсудим теперь специфику каждого из этих классов систем.
Каждая система – активная или пассивная – может рассматриваться
как черный ящик, для которого известна реакция P(?) (выход – состояние
системы) на входное воздействие (вход – начальное состояние и управле-
ние).
В пассивной системе (не содержащей ни одного управляемого объ-
екта, который обладал бы свойством активности, то есть – способностью
к целенаправленному поведению), например – в динамической системе,
&
задаваемой уравнением x = f(x, ?), множество P(?) определяется функ-
цией f(x, ?).
В активной системе P(?) является множеством решений игры управ-
ляемых активных элементов, то есть, например, в одноэлементной актив-
ной системе P(?) = Arg max f(y, ?), где f(.,.) – целевая функция активно-
y? A
го элемента.
85
В пассивной системе критерий эффективности K(?) отражает цель
управления, определяемую создателем системы управления. В активных
системах предполагается, что критерий эффективности отражает интере-
сы активного субъекта – управляющего органа. Схожесть источников
возникновения критериев эффективности в обоих типах систем является
объяснением отождествления интересов центра и интересов активной
системы в целом, а также отождествления интересов оперирующей
стороны (центра) и интересов исследователя операций.
Таким образом, с точки зрения формального определения эффектив-
ности управления активная и пассивная системы, практически, неразли-
чимы. Содержательные различия заключаются в том, что в активной
системе критерий эффективности и множество управляемых состояний
элементов зависят, соответственно, от предпочтений центра и предпочте-
ний активных элементов, в то время как в пассивной системе описание
системы или ее модели подразумевает явное задание этих характеристик.
Кратко рассмотрев основные подходы к определению эффективно-
сти управления, перейдем к определению понятия надежности механизма
управления социально-экономической системой.
В энциклопедическом словаре приведено следующее определение
надежности технических систем. "Надежность – комплексное свойство
технического объекта; состоит в его способности выполнять заданные
функции, сохраняя свои характеристики в установленных пределах"
[СЭС, М.: Советская энциклопедия, 1988. С. 855]. Аналогичное определе-
ние может быть сформулировано и для социально-экономических систем
[25]. Надежностью механизма управления организационной системой
будем называть его свойство, состоящее в способности обеспечивать
принадлежность основных параметров системы некоторой (заданной,
допустимой и т.д.) области в процессе ее функционирования. Таким
образом, определение надежности подразумевает задание совокупности
параметров ее функционирования (действий, состояний, результатов
деятельности и т.д., которые считаются "основными") и фиксацию неко-
торой области значений этих параметров, которая считается допусти-




86
мой26. Двойственным к надежности является понятие риска – вероятности
нарушения основными параметрами системы границ заданной области. В
то же время, риск может рассматриваться как мера (числовая характери-
стика) надежности.
Отметим, что о надежности имеет смысл говорить только в том слу-
чае, когда результаты деятельности системы (ее основные параметры)
зависят от случайных или неопределенных факторов. Поясним последнее
утверждение.
Приведенное выше в настоящем разделе определение эффективно-
сти управления вводилось для детерминированных систем, то есть таких
систем, деятельность которых не зависит (реально или в рамках некото-
рой модели) от неизвестных факторов. При этом возможно полное ото-
ждествление допустимой (с точки зрения надежности) и желательной (с
точки зрения критерия эффективности) областей значений основных
параметров функционирования системы. Иными словами, для детерми-
нированных систем определения надежности и эффективности совпада-
ют – условно можно считать, что определение эффективности для этого
класса систем автоматически включает определение надежности, то есть
максимизация эффективности эквивалентна максимизации надежности.
Сложнее дело обстоит с недетерминированными системами, к рассмотре-
нию которых мы и переходим.
Предположим, что управляющему органу известна модель поведе-
ния управляемого объекта с точностью до некоторого параметра ? ? ?,
относительно которого известно, что он заведомо принадлежит множест-
ву ?. Этот неизвестный параметр будем называть состоянием природы.
Содержательно, неопределенный (с точки зрения управляющего органа)
параметр может быть внешним по отношению к системе и отражать
влияние на нее окружающей среды (при этом значения состояния приро-
ды могут быть известны управляемому объекту – симметричная инфор-

26
Если подойти к определению надежности механизма управления с более общей
точки зрения, то есть учесть, что мы имеем дело не с реальными организацион-
ными системами, а с их формальными моделями, то следует признать, что
определение надежности должно включать "надежность" модели как аналога
некоторой реальной системы. Если модель не адекватна моделируемой системе,
то надежность механизма, абсолютно надежного в рамках модели, может
оказаться чрезвычайно низкой при его практическом использовании. Однако, так
как исследование адекватности моделей и задач их идентификации выходит за
рамки настоящей работы (см. подробное обсуждение этих вопросов в [80]), при
дальнейшем изложении мы ограничимся приведенным выше определением на-
дежности.
87
мированность, или неизвестны – асимметричная информированность
[81]), или быть внутренним и отражать неполную информированность
управляющего органа об управляемом объекте.
Таким образом, состояние системы зависит от управления и неопре-
деленного параметра, то есть P = P(?, ?). Следовательно, критерий эф-
фективности функционирования K также должен зависеть от неопреде-
ленного параметра: K(y, ?, ?): A ? M ? ? > ?1, и эффективность
управления, в свою очередь, должна зависеть от этого параметра (ср. с
(1.9.1)):
(1.9.3) K(?, ?) = max K(y, ?, ?).
y?P (? ,? )
Величина (1.9.3) может рассматриваться как косвенная оценка на-
дежности механизма управления ?. Действительно, критерий сравнения
надежностей различных механизмов управления может быть сформули-
рован следующим образом27: механизм ?1 ? M обладает большей надеж-
ностью, чем механизм ?2 ? M (обозначим ?1 f ? 2), если
(1.9.4) ? ? ? ? K(?1, ?) ? K(?2, ?).
Функционал (1.9.3) (точнее – отношение " f ", определяемое (1.9.4)),
зависящий от двух переменных – управления и состояния природы,
одновременно учитывает обе основных характеристики функционирова-
ния системы – соответственно, эффективность и надежность. Если суще-
ствует такое допустимое управление ?' ? M, которое является макси-
мальным по отношению " f " на множестве M, то есть при любом
состоянии природы имеет эффективность, большую, чем любое другое
управление (? ??M ?' f ?), то можно считать, что задача максимизации
эффективности эквивалентна задаче максимизации надежности. При этом
управление ?' условно можно назвать идеальным (абсолютно оптималь-
ным или доминантным – по аналогии с доминантными стратегиями в
теории игр – см. раздел 1.5) – независимо от условий функционирования
оно обеспечивает максимальную эффективность, то есть гарантированно
является максимально надежным. Однако в большинстве случаев идеаль-
ного управления не существует.
Для существования идеального управления необходима "полнота"
отношения " f " в смысле (1.9.4). Понятно, что в общем случае (и в
большинстве случаев, наблюдаемых на практике) может иметь место:
? ?1 ? ?2 ? M, ? ?1 ? ?2 ? ? : K(?1,?1) ? K(?2,?1), K(?2,?2) > K(?1,?2).

27
Если дословно следовать введенному выше определению надежности, то
критерий эффективности типа (1.9.3) легко можно ввести таким образом,
чтобы он отражал "принадлежность основных параметров заданной области".
88
Содержательно, в различных условиях оптимальными могут оказы-
ваться различные управления. Отсутствие идеального управления делает
задачу синтеза оптимального управления, обладающего максимальной
надежностью "нерешаемой" в общем виде. Поясним это утверждение.
Зависимость эффективности управления (1.9.3) от состояния приро-
ды превращает задачу синтеза оптимального управления в двухкритери-
альную. В то же время известно, что универсальных (как с точки зрения
математики [45,87 и др.], так и с точки зрения психологии принятия
решений [46,54,60,92 и др.]) методов решения многокритериальных задач
не существует (единственная общепризнанная рекомендация – выделение
множества решений, эффективных по Парето).
Если по аналогии с (1.9.2) максимизировать критерий (1.9.3) на
множестве допустимых управлений, то получим параметрическое управ-
ление:
(1.9.5) ?*(?) = arg max K(?, ?) = arg max { max K(y, ?, ?)}.
? ?M ? ?M y?P (? ,? )
Если на момент принятия решения управляющим органом (или, в
случае асимметричной информированности, после наблюдения состояния
управляемого объекта) конкретное значение состояния природы стано-
вится ему известно, то возможно использование параметрических реше-
ний вида (1.9.5) – например, механизмов гибкого планирования и др. [24].
При этом эффективность управления равна эффективности управления в
условиях полной информированности (см. доказательство этого факта в
[77]).
Если же реализация состояния природы остается неизвестной управ-
ляющему органу, то использование механизмов с параметрическим
управлением невозможно. Поэтому в большинстве работ по теоретико-
игровому моделированию организаций используется следующий подход.
Предположим, что управляющий орган производит переход от кри-
терия K(?,?), определяемого (1.9.3) и зависящего от состояния природы, к
детерминированному критерию K(?) с помощью некоторой процедуры
"?" устранения неопределенности [22,81]: K(?, ?) ? K(?), после чего
решает детерминированную задачу синтеза оптимального управления
(1.9.2). Возможность использования той или иной процедуры устранения
неопределенности определяется имеющейся информацией. Иными сло-
вами в рамках рассматриваемых формальных моделей поведения счита-
ется, что субъект (создатель системы управления, центр, активный эле-
мент и т.д.) может принимать решения (то есть выбирать стратегии,
максимизирующие некоторый функционал – критерий, отражающий его
предпочтения и интересы) только в условиях полной информированно-
89
сти. Полная информированность в данном случае означает зависимость
оптимизируемого критерия только от, во-первых, фиксированных значе-
ний (существенных внутренних и внешних параметров, стратегий осталь-
ных участников системы и т.д.), и, во-вторых, от единственной "свобод-
ной" переменной – стратегии самого лица, принимающего решение.
С одной стороны, приведенное положение используется во всех мо-
делях теории игр – производя выбор своей стратегии, игрок, так или
иначе, вынужден делать предположения о поведении других игроков (см.
обсуждение различных концепций равновесия в разделе 1.5 и в [22,108 и
др.]). С другой стороны, предположение о принятии решений в условиях
полной информированности вполне согласовано с психологическим
принципом детерминистского представления, в соответствии с которым
при моделировании принятия решений индивидуумом допускается, что
его представления о действительности не содержат случайных перемен-
ных и неопределенных факторов, то есть последствия принимаемых
решений зависят от строго определенных правил [54,76 и др.].
Следует признать, что в действительности при оценке ситуации и
принятии решений любой субъект использует множество критериев.
Вводимое в формальных моделях предположение о полной информиро-
ванности (единственности и скалярности оптимизируемого критерия)
обусловлено отсутствием, за исключением небольшого числа очень
частных случаев (см. [46,54,56,60,61,69 и др.]), общих и адекватных
моделей принятия решений в условиях неопределенности. Изучение
процессов принятия индивидуальных и коллективных решений, а также
разработка адекватно описывающих их математических моделей, являет-
ся актуальнейшей задачей, которая привлекает (и, по-видимому, будет
привлекать в течение еще очень долгого времени) внимание математиков,
психологов и представителей других отраслей науки.
Существует множество процедур устранения неопределенности
(достаточно полное перечисление можно найти в [31,81,92] и другой
литературе по моделям принятия решений в условиях неопределенности).
Приведем три наиболее часто используемые из них.
"Субъективный" критерий эффективности. Управляющий орган
подставляет в критерий эффективности (1.9.3) свою субъективную (или
полученную от экспертов) оценку ?$ ? ? состояния природы. Субъек-
тивное решение определяется:
$
(1.9.6) ?*( ? ) = arg max K(?, ?$ ).
? ?M



90
Критерий гарантированной эффективности соответствует наибо-
лее пессимистическим расчетам управляющего органа – оптимальное
гарантированное решение максимизирует эффективность при наихудшем
состоянии природы:
(1.9.7) ?*g = arg max min K(?, ?).
? ??
? ?M
Критерий ожидаемой эффективности может быть использован, ес-
ли управляющий орган имеет в своем распоряжении распределение p(?)
вероятностей состояния природы (это распределение может отражать как
его субъективные представления, так и быть полученным в результате
обработки статистических данных, например – результатов наблюдений
за управляемым объектом и окружающей средой):
?
(1.9.8) ?*p = arg K(?, ?) p(?) d?.
max
? ?M
?
Очевидно, что если существует идеальное управление (эффектив-
ность которого максимальна при любом состоянии природы), то оно
является оптимальным по всем трем приведенным выше частным крите-
риям. С другой стороны, для решения, оптимального по одному из част-
ных критериев, в общем случае может найтись такое состояние природы,
при котором некоторое другое решение будет иметь строго большую
эффективность.
Использование процедур устранения неопределенности не является
единственно возможным способом перехода от многокритериальной
задачи управления к однокритериальной. Альтернативой является под-
ход, заключающийся в выборе значения одного из критериев в качестве
ограничения (такой прием широко используется при решении различных
многокритериальных задач [45,87] и иногда называется методом ограни-
чений). При использовании метода ограничений задача управления
формулируется либо как задача поиска допустимого управления (или их
множества), максимизирующего эффективность и обладающего надежно-
стью не ниже заданной, либо как задача поиска допустимого управления
(или их множества), максимизирующего надежность и обладающего
эффективностью не ниже заданной.
Таким образом, в рамках формальных моделей на сегодняшний день
не существует универсального критерия, позволяющего объединить
задачу максимизации эффективности и задачу максимизации надежности.
В то же время, принцип детерминистского представления требует одно-
критериальности (детерминированности) задачи принятия решения
управляющим органом. Следовательно, с одной стороны, эффективность

91
механизма управления (которая, в том числе, может являться сверткой
нескольких частных критериев) и надежность механизма управления
являются рядоположенными его характеристиками. С другой стороны,
при формулировке и решении задачи синтеза оптимального управления,
являющейся задачей принятия решений, может использоваться только
один критерий, поэтому, основным в рамках данного исследования
предлагается считать все-таки "критерий эффективности" в широком
смысле, явно (в виде ограничений, или в виде процедур устранения
неопределенности и т.д.) или неявно включающий в себя как собственно
критерий эффективности, так и некоторые показатели надежности. Сле-
довательно, в определенном выше смысле надежность механизма
управления является "вторичной" по отношению к достаточно
широко трактуемой его эффективности.
Так как эффективность и надежность являются "равноправными" ха-
рактеристиками механизма управления, то возможен альтернативный
подход – определить критерий надежности таким (достаточно общим)
способом, чтобы он учитывал и включал в себя показатели эффективно-
сти, и постулировать, что эффективность механизма управления является
"вторичной" по отношению к достаточно широко трактуемой его надеж-
ности.
Оба двойственных подхода имеют право на существование. При ис-
пользовании каждого из них любое описание (модель) каждой конкрет-
ной организационной системы должно удовлетворять требованию учета в
оптимизируемом критерии как показателей эффективности, так и показа-
телей надежности. Поэтому, в соответствии с принятым в настоящей
работе единым методологическим подходом, для того чтобы удовлетво-
рить принципу детерминистского представления (и скалярности предпоч-
тений), примем, то есть условно будем считать, что первичной является
"эффективность" управления, естественно, отражающая все существен-
ные показатели надежности.
Если считать, что показатели надежности включены в критерий эф-
фективности, то целесообразно выделить "фактор надежности", проявле-
нием которого является влияние надежностных характеристик на эффек-
тивность управления. Так как в предыдущих разделах настоящей главы
уже был введен ряд факторов, влияющих на эффективность управления, в
частности – в многоуровневых системах (факторы: агрегирования, эконо-
мический и др.), то необходимо исследовать как эти факторы соотносятся
с фактором надежности, то есть изучить причинно-следственные связи
между ними.

92
Для этого рассмотрим два случая. Первый – частный (статический) –
случай, когда механизм управления выбирается однократно на основе
имеющейся информации и не учитывает возможные изменения информи-
рованности в процессе функционирования системы. Второй – общий
(динамический) – случай, когда механизм управления включает в себя
возможные реакции на изменение условий функционирования, информи-
рованности участников и т.д. Во втором случае поведение управляющего
органа адаптивно, то есть оперативно отражает изменения в информации
об управляемом объекте и окружающей среде.
Наряду с надежностью отдельных элементов, ключевой характери-
стикой любой системы, определяющей ее надежность, является избыточ-
ность – как элементного состава, так и функций, связей и т.д. Поэтому
анализ надежности статических (неадаптивных) многоуровневых систем
достаточно прост. Действительно, в статике возможность повышения
надежности за счет изменения централизации АС обусловлена либо
увеличением надежности элементов, либо увеличением избыточности
[24,25].
Следует отметить, что повышение надежности посредством увели-
чения избыточности требует определенных затрат и связано с такими
факторами как: экономический – изменение ресурсов управления, ин-
формационный – изменение информационной нагрузки на участников
системы, организационный – изменение структуры подчиненности и т.д.,
влияние которых может привести к изменению эффективности управле-
ния. Следовательно, возникает оптимизационная задача – определения
рационального компромисса между изменениями надежности и эффек-
тивности (см. [24,25 и др.]). Например, объединение невзаимодействую-
щих АЭ в систему (см. раздел 1.5), введение распределенных процедур
принятия решений (отметим, что в большинстве современных сложных
технических систем используются именно распределенные управления) и
т.д. в ряде случаев приводят к увеличению избыточности и повышению
надежности. При этом изменение надежности, приводящее, в свою оче-
редь, к изменению эффективности, вызвано проявлениями других факто-
ров: для упомянутых примеров, соответственно – организационного,
экономического и др.
Если система функционирует в течение нескольких интервалов вре-
мени и механизм управления учитывает изменения результатов и условий
функционирования на каждом из интервалов, то есть если поведение
системы адаптивно, то необходим более тонкий анализ взаимообуслов-
ленности фактора надежности и других факторов, определяющих эффек-
тивность управления многоуровневой активной системой. Следует при-
93
знать, что относительно полное изучение надежности механизмов управ-
ления адаптивными многоуровневыми системами выходит за рамки
настоящей работы и требует проведения отдельного исследования. По-
этому ограничимся рассмотрением частных случаев.
Пример 1.9.1. Пусть, как и в примере 1.6.3, имеется однородная
двухуровневая АС с N АЭ, функции затрат которых: c(y) = y2/2? . Если
задача центра заключается в выполнении суммарного планового задания
R с минимальными затратами на стимулирование, то, очевидно, ему
следует побуждать АЭ к выбору действий: y* = R / N. Минимальные
затраты на стимулирование при этом равны:
(1.9.9) ?(R, N) = R2 / 2 ? N.
Под надежностью в данном примере можно понимать свойство ме-
ханизма стимулирования (оптимальной является квазикомпенсаторная
система индивидуального стимулирования, компенсирующая затраты АЭ
*
по достижению заданного результата y i – см. раздел 1.3; отметим также,
что при этом значения целевых функций всех АЭ тождественно равны
нулю) обеспечивать выполнение суммарного планового задания, то есть
N
? yi
*
допустимая область имеет вид: {y ? A |
*
= R}.
i =1
Пусть имеется трехуровневая АС, состоящая из n однородных под-
систем. Минимальные затраты на стимулирование по реализации плана
Rj = R' в j-ой подсистеме, состоящей из nj = m однородных АЭ, равны (см.
(1.9.9)):
(1.9.10) ?j(Rj, nj) = (R')2 / 2 ? m.
Возникает вопрос – выгодно ли объединение однородных подсистем
в одну систему и совместное выполнение ими суммарного планового
задания. Элементарный расчет (сравнение (1.9.9) и (1.9.10)) показывает,
что в рассматриваемом примере объединение подсистем не изменяет
суммарных затрат на стимулирование. Отметим, что этот результат
получен для одинаковых подсистем и активных элементов, поэтому в
случае неоднородных подсистем не исключено, что объединение их
возможностей окажется взаимовыгодным.
Предположим теперь, что в одной из подсистем (j-ой) отказали (по
тем или иным причинам вышли из состава системы) k активных элемен-
тов. Если механизм управления фиксирован, то это приведет к увеличе-
нию затрат на стимулирование оставшихся (m – k) АЭ j-ой подсистемы со
R '2 k
стороны j-го центра на следующую величину: ??(k) = .
2? m ( m?k )


94
Если информация об отказавших элементах поступила до начала
реализации плановых заданий, то j-ый центр имеет возможность предло-
жить, например, (j – 1)-му центру передать последнему часть ?R' ? 0
своего планового задания, оплатив его реализацию. Обозначим переда-
ваемую оплату q ? 0 и запишем условия взаимовыгодности такого пере-
распределения:
(1.9.11) ?(R'+?R', m) – q ? ?(R', m),
(1.9.12) ?(R'-?R', m-k) + q ? ?(R', m-k).
Одним из решений системы неравенств (1.9.11)-(1.9.12) является:
2 kR ' + ( ?R ' ) 2 4R2 k
(1.9.13) ?R' = ? 0, q = ? ? 0.
2 ?m ( 2 m ?k )2
Неотрицательность решений (1.9.13) свидетельствует об их допус-
тимости. Таким образом, наличие децентрализованной структуры управ-
ления (в частности, большого числа АЭ и подсистем) в рассматриваемом
примере адаптивной АС позволяет сократить затраты на стимулирование
по реализации планового задания. Несмотря на отказы, суммарное зада-
ние выполнено (свойство надежности), причем адаптивность позволила
сократить затраты на стимулирование и, следовательно, повысить эффек-
тивность управления. •
Рассмотренный пример является иллюстрацией гибкости механиз-
мов управления в многоуровневых системах. Действительно, в динамике
децентрализация допускает параллельное функционирование, то есть
возможность локализованной (ограниченной небольшим числом затраги-
ваемых участников) реакции каждой подсистемы на соответствующее
внешнее возмущение.
Возможность относительно независимого принятия решений в под-
системах имеет ряд преимуществ. Во-первых, за счет параллелизма
сокращается время принятия решений (и, в то же время, возникает необ-
ходимость учета времени на согласование отдельных решений). Во-
вторых, изменения в одной конкретной подсистеме иногда в меньшей
степени, чем в централизованных системах, затрагивают остальные
подсистемы. В-третьих, снижается информационная нагрузка –
управляющие органы более высоких уровней иерархии задействуются
только в том случае, если ресурсы (информационные и др.) того уровня,
на который непосредственно воздействует возмущение, оказываются
недостаточными для адекватной реакции на это возмущение.
Таким образом, в рамках используемого в настоящей работе подхода
представляется целесообразным выделение фактора надежности, прояв-
ления которого влияют на эффективность управления. Однако, как пока-
95
зывает проведенный анализ, фактор надежности является вторичным
(не в смысле важности, а по причинно-следственным отношениям) по
отношению к факторам: агрегирования, экономическому, неопреде-
ленности, организационному и информационному. Другими словами,
первичными (то есть – причинами) являются именно перечисленные
факторы, отражающие специфику многоуровневых АС. Первичные
факторы влияют на вторичные (в том числе – влияют на фактор надежно-
сти), которые, в свою очередь, опосредует влияние первичных факторов
на эффективность управления.




96
II. МЕХАНИЗМЫ ПЛАНИРОВАНИЯ В
МНОГОУРОВНЕВЫХ АКТИВНЫХ СИСТЕМАХ

Во второй главе рассматриваются механизмы планирования в мно-
гоуровневых активных системах: формулируется задача планирования
(раздел 2.1), обсуждаются задачи идеального агрегирования и произволь-
ной децентрализации в механизмах планирования (раздел 2.2), доказыва-
ется произвольная децентрализуемость анонимных механизмов планиро-
вания (раздел 2.3), механизмов экспертизы (раздел 2.4), механизмов
открытого управления с внутренними ценами (раздел 2.5), ряда механиз-
мов страхования (раздел 2.6). Некоторые приводимые ниже результаты
является новыми не только для многоуровневых, но и для базовых –
двухуровневых – активных систем: существование эквивалентных
линейных механизмов экспертизы, ?-оптимальность механизмов
открытого управления B-типа и др.
В отличие от механизмов стимулирования, при исследовании меха-
низмов планирования в настоящей главе мы будем предполагать, что
центры промежуточного уровня не обладают собственными интересами и
выполняют пассивную роль передатчиков информации. Поэтому в изу-
чаемых ниже задачах планирования иногда отсутствует ряд факторов,
характерных для задач стимулирования: экономический, организацион-
ный и др. Основной акцент будет сделан на анализе проявлений фактора
агрегирования, то есть на проблеме оптимального (идеального) агрегиро-
вания и произвольной децентрализации (см. ниже).
Естественно, в общем случае все участники системы (в том числе –
управляющие органы всех уровней) обладают свойством активности, то
есть имеют собственные интересы и преследуют собственные цели. Для
механизмов планирования, при изучении которых значительное внимание
уделяется их манипулируемости (достоверности сообщаемой информа-
ции), это означает, что центры промежуточных уровней также могут
искажать информацию. Теоретико-игровые задачи манипулируемости со
стороны управляющих органов (всех уровней), с одной стороны, на
сегодняшний день практически не исследованы, а с другой стороны –
чрезвычайно трудоемки. Поэтому в настоящей главе мы ограничимся
частным случаем "пассивных" центров промежуточного уровня, отнеся
анализ общего случая к перспективным направлениям будущих исследо-
ваний.



97
2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ

Рассмотрим двухуровневую многоэлементную активную систему,
структура которой приведена на рисунке 4 (см. выше). Стратегией каждо-
го из активных элементов является сообщение центру некоторой инфор-
мации sij??ij, i = 1, n j , j = 1, n . Центр на основании сообщенной ему
информации назначает АЭ планы xij = gij(s), где gij – процедура (меха-
низм) планирования, s? ?' = ? ?ij – вектор сообщений всех АЭ. Функ-
i, j
ция предпочтения АЭ: ?ij(xij,rij): ?2 > ?1 зависит от назначенного цен-
тром плана и некоторого параметра (связь между функциями
предпочтения и целевыми функциями описана в [22,24,81]).
На момент принятия решений каждому АЭ известны: процедура
планирования, значение его собственного параметра (идеальной точки,
точки пика), целевые функции и допустимые множества всех АЭ. Центру
известны зависимости ?ij(.,.) и множества возможных сообщений АЭ.
Последовательность функционирования следующая: центр выбирает
процедуру планирования и сообщает ее АЭ, активные элементы при
известной процедуре планирования сообщают центру информацию, на
основании которой и формируются планы. Введем следующее предполо-
жение, которое будем считать выполненным на протяжении настоящей
главы.
А.7. Функции предпочтения АЭ однопиковые [24,81] с точками пика
{rij}, то есть функции предпочтения непрерывны, строго монотонно
возрастают до единственной точки максимума rij и строго монотонно
убывают после нее.
Предположение А.7 означает, что предпочтения активного элемента
на множестве допустимых планов таковы, что существует единственное
наилучшее для него значение плана (точка пика, идеальная точка его
предпочтений), степень же предпочтительности остальных планов моно-
тонно убывает по мере удаления от идеальной точки.
Будем считать, что АЭ ведут себя некооперативно, выбирая доми-
нантные или равновесные по Нэшу стратегии. Пусть s* – вектор равно-
весных стратегий. Очевидно s* = s*(r), где r – вектор точек пика.
Соответствующим механизму g(.): ?' > ?N прямым механизмом
планирования h(.): ?N > ?N называется механизм h(r) = g(s*(r)), ставя-
щий в соответствие вектору точек пика активных элементов вектор
планов. Если в соответствующем прямом механизме сообщение досто-
верной информации является равновесной стратегией, то такой механизм
98
называется эквивалентным прямым (неманипулируемым) механизмом.
Результаты исследования механизмов планирования (их эффективности,
манипулируемости и т.д.) в двухуровневых АС приведены в [15,17,22 и
др.].
Перейдем к рассмотрению механизмов планирования в трехуровне-
вой активной системе, структура которой приведена на рисунке 1 (см.
выше).
Обозначим: sij ? ?ij – сообщение i-го АЭ j-ой подсистемы соответст-
вующему центру промежуточного уровня, i = 1, n j , j = 1, n ; sj = (s1j, s2j,
nj
? ?ij
) ? ?j = – вектор сообщений активных элементов j-ой
sn
..., j
j
i =1

??ij
подсистемы; s = (s1, s2, ..., sn) ? ?' = – вектор сообщений всех АЭ
i, j
системы; S = Qj(sj) ? ? – сообщение Цj центру, зависящее от получен-
j j

ных первым сообщений АЭ соответствующей подсистемы, Qj: ?j > ? j –
процедура агрегирования информации; S = (S1, S2, ..., Sn) – вектор сооб-
n
?
щений подсистем; s ? ? = ? j.
J =1
План Xj, назначаемый центром j-ой подсистеме, определяется проце-
дурой планирования ?(S), ?: ? > ? n, то есть Xj = ?j(S), j = 1, n . План
xij, назначаемый j-ым центром АЭij, определяется в соответствии с проце-
дурой планирования ?j(sj,Xj) вектором сообщений активных элементов
этой подсистемы и ее планом, то есть xij = ?ij(sj, Xj), i = 1, n j , j = 1, n .
Примем следующую последовательность функционирования: центр
сообщает подсистемам процедуру ?(.), затем промежуточные центры
сообщают АЭ процедуры ?(.,.), после чего АЭ одновременно и независи-
мо сообщают информацию промежуточным центрам, а те, в свою оче-
редь, сообщают центру агрегированную информацию.
Будем считать, что на момент принятия решений участники трех-
уровневой АС обладают следующей информацией: функции предпочте-
ния АЭ (с точностью до параметров) и допустимые множества известны
всем участникам АС, АЭ известно точное значение параметра его собст-
венной функции предпочтения, а также все процедуры планирования.
Промежуточным центрам известна процедура планирования, выбранная
центром, центру верхнего уровня становятся известны агрегированные
сообщения и неизвестны сообщения АЭ в подсистемах.
99
Таким образом, мы описали механизм планирования, то есть модель
трехуровневой активной системы с сообщением информации. Если бы
требовалось решить задачу синтеза оптимальной процедуры планирова-
ния, то следовало бы ввести целевые функции центров и промежуточных
центров, определить эффективность как значение целевой функции на
множестве решений игры АЭ (стратегией АЭ при этом в общем случае
является выбор как действий, так и сообщений [22]), а затем максимизи-
ровать построенный критерий выбором процедуры планирования. Отме-
тим, что такая последовательность является общей и используется в
большинстве моделей теории активных систем [21,22,24,81 и др.]. В
настоящей главе мы не будем решать задачу синтеза в явном виде, огра-
ничившись сравнением эффективностей управления (планирования) в
двухуровневой и многоуровневой (точнее – трехуровневой) активных
системах.
Поясним последнее положение более подробно. Пусть дана трех-
уровневая АС с некоторым механизмом планирования. Определим для
данного механизма эквивалентный механизм планирования в соответст-
вующей двухуровневой активной системе:
(2.1.1) gij(s) = ?ij(sj, Xj) = ?ij(sj, ?j(S)) = ?ij (sj, ?j(Q1(s1), Q2(s2), ..., Qn(sn))).
Таким образом, для любого механизма планирования в трехуровне-
вой АС существует двухуровневая АС с тем же набором АЭ и механизм
планирования в ней, которые приводят к тому же назначению планов и,
следовательно, к тем же равновесным сообщениям. Значит можно утвер-
ждать, что для любого механизма планирования в трехуровневой АС
существует эквивалентный (не меньшей эффективности) механизм пла-
нирования в соответствующей двухуровневой АС. Приведенное утвер-
ждение вовсе не означает, что на практике всегда возможно без какого-
либо ущерба для эффективности управления перейти, например, от
трехуровневой к соответствующей двухуровневой системе (стремление к
сокращению промежуточных уровней управления было и остается чрез-
вычайно популярным лозунгом "борцов" с бюрократией) – возможность
такого перехода следует тщательно взвешивать, в том числе –
необходимо учитывать и другие факторы – организационный,
информационный и др. (см. главу 1 настоящей работы).
Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть имеется двухуровневая
АС с некоторым механизмом планирования. Вопрос заключается в том,
существует ли трехуровневая АС (с тем же составом АЭ – такую АС
выше предложено называть соответствующей) и механизм планирования
в ней, такие, чтобы равновесные сообщения и назначаемые планы в этих
АС были одинаковы. Эту задачу будем в дальнейшем называть задачей
100
идеального агрегирования в механизмах планирования (напомним, что
выше было предложено процесс введения в заданной двухуровневой АС
промежуточных уровней управления называть децентрализацией АС или
децентрализацией механизма управления)
Если на класс возможных трехуровневых АС не наложено никаких
ограничений, то ответ на поставленный вопрос, очевидно, положителен:
взяв n = N и выбрав в качестве функций агрегирования тождественное
преобразование (такую трехуровневую АС выше предложено называть
тривиальной), получим механизм, удовлетворяющий (2.1.1). Содержа-
тельно, в этом случае число промежуточных центров равно числу АЭ и
агрегирование отсутствует – вся информация без "искажений" передается
от АЭ центру.
Сложнее дело обстоит в случае, когда класс допустимых трехуров-
невых АС ограничен, например, может быть фиксирован состав подсис-
тем и процедура планирования для подсистем, или могут быть фиксиро-
ваны функции агрегирования и т.д. Понятно, что в общем случае не для
всякой двухуровневой АС (не для всяких ограничений) можно сконст-
руировать эквивалентную в смысле (2.1.1) трехуровневую активную
систему.
Из качественного анализа, проведенного выше, следует достаточно
очевидный вывод: без учета информационного и других факторов введе-
ние дополнительных уровней планирования – управления – не увеличи-
вает эффективности управления системой, точнее – заданным набором
АЭ. Следовательно, возникает вопрос: в каких случаях введение проме-
жуточных уровней управления не снижает эффективности. Ответу на этот
вопрос посвящены нижеследующие разделы данной главы.

2.2. ЗАДАЧИ ИДЕАЛЬНОГО АГРЕГИРОВАНИЯ И
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИИ В МЕХАНИЗМАХ
ПЛАНИРОВАНИЯ

В соответствии с (2.1.1) для любого механизма планирования в трех-
уровневой АС можно построить эквивалентный механизм планирования в
двухуровневой АС с тем же составом активных элементов.
Пусть имеется двухуровневая АС с механизмом планирования gij(s).
Обозначим ?? = {?ij} – класс процедур планирования в подсистемах,
?? = {?j} – класс процедур планирования в метасистеме, ?Q = {Qj} –
класс процедур агрегирования, ? = {??, ??, ?Q} – класс механизмов
планирования в трехуровневой АС.

101
Будем говорить, что механизм планирования gij(s) в двухуровневой
АС допускает идеальное агрегирование в классе ?, если для некоторой
нетривиальной соответствующей (с тем же множеством АЭ и центром)
˜
? ij (s),
трехуровневой АС существует механизм планирования опреде-
ляемый (см. также (2.1.1)):
˜
(2.2.1) ? ij (s) = ?ij (sj, ?j(Q1(s1), Q2(s2), ..., Qn(sn))),
который принадлежит ? и удовлетворяет:
˜
(2.2.2) ? s ? ?' ? ij (s) = gij(s).
Будем говорить, что механизм планирования gij(s) в двухуровневой
АС допускает произвольную децентрализацию в классе ?, если для любой
соответствующей нетривиальной трехуровневой АС существует меха-

<<

стр. 3
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>