<<

стр. 4
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

˜
низм планирования ? ij(s), определяемый (2.2.1), который принадлежит
? и удовлетворяет (2.2.2).
Содержательно, при идеальном агрегировании существует хотя бы
одна соответствующая нетривиальная трехуровневая АС (хотя бы одно
разбиение АЭ на подсистемы) с эквивалентным механизмом планирова-
ния. Если же допустима произвольная децентрализация, то число таких
АС ? 2n, то есть АЭ могут быть распределены по подсистемам произ-
вольным образом и для каждого из разбиений найдется эквивалентный
механизм планирования.
Очевидно, что любой механизм, допускающий при некоторых огра-
ничениях произвольную децентрализацию, допускает при тех же ограни-
чениях и идеальное агрегирование (но не наоборот). Более того, можно
утверждать, что, если механизм планирования в двухуровневой АС
обладает некоторой эффективностью, и/или неманипулируем и допускает
идеальное агрегирование, то эквивалентный механизм планирования в
соответствующей трехуровневой АС обладает в точности той же эффек-
тивностью и/или неманипулируем (оба свойства непосредственно следу-
ют из (2.2.2) и определений эффективности и неманипулируемости
[22,24]).
К сожалению, общих необходимых и/или достаточных условий иде-
ального агрегирования и произвольной децентрализации для механизмов
планирования на сегодняшний день не существует – этот класс задач, с
одной стороны, чрезвычайно трудоемок (даже такого сильного требова-
ния как существование РДС оказывается недостаточно для идеального
агрегирования – см. пример ниже), а с другой стороны – практически не
исследован. Поэтому целесообразным представляется изучение на первом
этапе некоторого множества конкретных механизмов планирования,

102
результаты исследования которых, быть может, облегчат в будущем
решение общей задачи. Поэтому последующие разделы настоящей главы
содержат конструктивные доказательства произвольной децентрализуе-
мости ряда широко распространенных на практике механизмов планиро-
вания.

2.3. ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСА

Напомним постановку задачи распределения ресурса в двухуровне-
вой активной системе [16,17,111]. Пусть в распоряжении центра имеется
ресурс в количестве R. Стандартная постановка задачи распределения
ресурса подразумевает нахождение такого его распределения между АЭ,
которое максимизировало бы некоторый критерий эффективности –
например, суммарную эффективность использования ресурса активными
элементами. Если эффективность использования ресурса конкретным АЭ
не известна центру, то он вынужден использовать сообщения АЭ, напри-
мер, о требуемых количествах ресурса. Понятно, что, если имеется дефи-
цит ресурса, то возникает проблема манипулируемости – АЭ могут
сообщать центру недостоверную информацию, стремясь получить опти-
мальное для себя количество ресурса. Перейдем к описанию формальной
модели.
Пусть АЭ сообщают центру информацию sij ? ?ij = [0;Dij] ? ?1 –
заявки на ресурс, i = 1, n j , j = 1, n . Центр на основании сообщенной ему
информации назначает АЭ планы (выделяет ресурс) xij = gij(s,R), где gij –
процедура распределения ресурса (планирования). Содержательно, точки
пика rij ? ?1 (точки максимума целевых функций АЭ) соответствуют
оптимальному для них количеству ресурса. В дальнейшем мы будем

? rij
предполагать выполненной гипотезу дефицитности: > R. Относи-
i, j
тельно процедуры распределения ресурса будем предполагать, что
gij(s,R) – непрерывны, строго монотонно возрастают по sij и R и строго
монотонно убывают по skl, k ? i, l ? j; весь ресурс распределяется полно-

? xij
стью: = R; ресурс делим в произвольных пропорциях, причем
i, j
любой АЭ может отказаться от ресурса вообще [17,24]:


103
? ?kl
? s-ij ? ?-ij = gij(0, s-ij, R) = 0.
k ?i , j ? l
В работах [16,17] доказано, что для любого механизма из рассматри-
ваемого класса механизмов распределения ресурса существует эквива-
лентный прямой механизм, то есть неманипулируемый механизм, в
котором все АЭ сообщают оценки точек пика и получают в равновесии то
же количество ресурса, что и в исходном механизме.
Перейдем к рассмотрению механизмов распределения ресурса в
трехуровневых АС. Пусть АЭ сообщают промежуточным центрам свои
заявки sij ? ?ij = [0,Dij] ? ?1, затем каждый из промежуточных центров
nj
? sij ,
j
сообщает центру сумму поступивших к нему заявок S = Qj(sj) =
i =1
после чего происходит распределение ресурса R между подсистемами:
Xj = ?j(S,R), и, наконец, ресурс распределяется между АЭ внутри каждой
из подсистем: xij = ?ij(sj,Xj)..Относительно (n+1) процедуры распределения
ресурса {?(.), ?.j} будем считать, что они удовлетворяют тем же предпо-
ложениям, что и описанные выше механизмы распределения ресурса в
двухуровневых АС.
Таким образом, характерной особенностью механизмов распределе-
ния ресурса в многоуровневых АС, как подкласса механизмов планиро-
вания, является то, что агрегированием информации в подсистемах
является суммирование заявок АЭ.
Для механизмов распределения ресурса можно переформулировать
общее утверждение, приведенное в разделе 2.1: для любого механизма
распределения ресурса в трехуровневой АС существует эквивалентный
механизм распределения ресурса в соответствующей двухуровневой АС.
Обратное, естественно, в общем случае не верно. Приведем иллюстри-
рующий это утверждение пример.
Пример 2.3.1. Рассмотрим механизм обратных приоритетов [17] в
двухуровневой АС:
? sij ? R
?s ij ,
? i, j
xij(s) = ? ,
min[s ij , ? ? ij ( s ij )], ? sij ? R
?
? i, j

где ?ij(sij) – функция приоритета АЭij, убывающая по его заявке, а ? опре-
деляется из балансового ограничения:
? min [sij, ? ?ij(sij)] = R.
i, j


104
Возьмем функции приоритета вида ?ij(sij) = Aij / sij (содержательно,
?ij(sij) – эффективность)
Aij – эффект, sij – затраты, и обозначим
Aij
s*ij = R. Известно, что s*ij является гарантирующей стратегией и
? Aij
i, j

АЭij всегда может получить любое меньшее количество ресурса, поэтому
доминантной стратегией АЭij является sijd = min {rij, s*ij} [17,21,24].
Активные элементы, получающие в равновесии абсолютно опти-
мальное для себя количество ресурса, называются "диктаторами" или
приоритетными [17,24]. Элементы, получившие ресурс в количестве,
меньшем оптимального, называются проигравшими или неприоритетны-
ми.
Пусть имеются N = 4 активных элемента со следующими парамет-
рами: A1 = 1, A2 = 9, A3 = 4, A4 = 16, r1 = R/5, r2 = R/5, r3 = 3R/10, r4 = R/2.
Вычисляем: s1* = R/10, s2* = 3R/10, s3* = R/5, s4* = 2R/5 и находим количе-
ство ресурса, получаемого АЭ в равновесии: x1* = 4R/35, x2* = R/5,
x3* = 8R/35, x 4* = 16R/35. Видно, что приоритетным является второй АЭ,
остальные АЭ получили строго меньшее, чем желаемое, количество
ресурса.
Рассмотрим теперь трехуровневую АС, в которой в первую подсис-
тему входят первый и второй АЭ, а во вторую – третий и четвертый,
причем на всех уровнях используется механизм обратных приоритетов.
Будем рассматривать подсистемы как один АЭ, параметры которого
определяются по параметрам АЭ следующим образом:
2 2 2
? sij , rj = ? rij , Aj = { ? 2
Sj = Aij } .
i =1 i =1 i =1
Содержательные интерпретации такого представления очевидны.
Использование механизма обратных приоритетов при распределении
ресурса между подсистемами приводит к: X1* = 2R/5, X2* = 3R/5. Распре-
деляя ресурс в подсистемах, опять же, в соответствии с принципом об-
ратных приоритетов, получаем: x1* = R/5, x2* = R/5, x3* = R/5, x4* = 2R/5.
Итак, равновесное распределение отличается от имевшего место в двух-
уровневой АС, причем значение функции предпочтения первого АЭ
достигло абсолютного максимума "за счет" уменьшения количества
ресурса, получаемого третьим и четвертым АЭ.
Попробуем перегруппировать АЭ – в первую подсистему включим
первый и четвертый АЭ, а во вторую подсистему – второй и третий.
Получаем: X1* = R/2, X2* = R/2. Распределяя ресурс в подсистемах в
105
соответствии с принципом обратных приоритетов, получаем: x1* = R/10,
x2* = R/5, x3* = 3R/10, x 4* = 2R/5.
Во всех трех рассмотренных случаях второй АЭ получал оптималь-
ное для себя количество ресурса. В третьем случае максимум получил
третий АЭ "за счет" первого. С точки зрения четвертого АЭ децентрали-
зация не улучшает его положение.
В рассматриваемом примере децентрализации мы фиксировали
2
функции агрегирования, выбрав, в частности, Aj = { ? 2
Aij } . Попробу-
i =1
ем для фиксированных принципов обратных приоритетов, используемых
в подсистемах, сконструировать механизм обратных приоритетов в
метасистеме, то есть найти приоритеты подсистем A1, A2, такие, чтобы
при некотором фиксированном разбиении АЭ на подсистемы трехуровне-
вый механизм был эквивалентен исходному двухуровневому. Пусть
первая подсистема включает первый и второй АЭ, вторая – третий и
четвертый. Тогда из определения равновесных заявок получаем, что A1 и
A2 должны одновременно удовлетворять двум равенствам:
3 3
A1 A2
R= R, R = R,
A1 + A2 A1 + A2
10 5
что, очевидно, невозможно.
Другими словами, для данного разбиение АЭ на подсистемы не су-
ществует функции агрегирования приоритетов, такой, чтобы при исполь-
зовании на всех уровнях механизмов обратных приоритетов при условии,
что потребности АЭ и их заявки суммируются по подсистемам, равновес-
ное распределение ресурса было таким же, что и в децентрализуемой АС.
Следовательно, механизмы обратных приоритетов не допускают произ-
вольную децентрализацию (так как указано разбиение, при котором
эквивалентного механизма обратных приоритетов не существует).
Однако, механизмы обратных приоритетов допускают идеальное аг-
регирование. Для того, чтобы доказать это утверждение предъявим раз-
биение АЭ на подсистемы и механизм обратных приоритетов, эквива-
лентный исходному (для данного разбиения).
Алгоритм определения разбиения, допускающего идеальное агреги-
рование (существование в соответствующей трехуровневой АС механиз-
ма, эквивалентного механизму в двухуровневой АС) достаточно прост: в
при фиксированных идеальных точках в одну и ту же подсистему не
должны входить одновременно приоритетные и неприоритетные АЭ.
Отметим, что на сегодняшний день приведенный принцип децентрализа-
106
ции справедлив (то есть формально обоснован) только лишь для класса
механизмов обратных приоритетов.
Для рассматриваемого примера приоритетным является второй АЭ.
Поэтому осуществим разбиение на подсистемы следующим образом: в
первую подсистему включим единственный приоритетный АЭ, а во
вторую – все остальные (неприоритетные – первый, третий и четвертый).
Легко подсчитать, что в этом случае, агрегируя заявки и приоритеты
описанным выше способом, получаем распределение ресурса: X1* = R/5,
X2* = 4R/5 по подсистемам, и следующее распределение ресурса внутри
подсистем :x1* = 4R/35, x2* = R/5, x3* = 8R/35, x4* = 16R/35, которое совпа-
дает с распределением ресурса в децентрализуемой двухуровневой ак-
тивной системе.
Отметим, что возможность разбиения АЭ на подсистемы, включаю-
щие только приоритетные и только неприоритетные АЭ подразумевает
знание их истинных идеальных точек. Следовательно, прямой механизм
(то есть такой механизм, в котором АЭ сообщают непосредственно свои
идеальные точки) децентрализации должен включать в себя зависимость
разбиения АЭ на подсистемы от их сообщений (см. также раздел 2.4).
Вопросы манипулируемости и эффективности механизмов обратных
приоритетов (см. результаты исследования этих их свойств для двухуров-
невых АС в [17,24]) при описанной децентрализации остаются открыты-
ми. •
Следует обратить особое внимание на тот факт, что в децентрализо-
ванной АС равновесное распределение ресурса зависит от способа раз-
биения АЭ по подсистемам. Следовательно, с точки зрения эффективно-
сти управления центру целесообразно решать также задачу синтеза
структуры – какие АЭ следует включать в те или иные подсистемы. В
качестве гипотезы можно выдвинуть предположение, что децентрализа-
ция, совместно с целенаправленным выбором структуры АС, может
оказаться достаточно эффективной для конкурсных механизмов [17,21].
Таким образом, механизмы обратных приоритетов не допускают
произвольной децентрализации в классе механизмов обратных приорите-
тов (когда и в подсистемах, и в метасистеме используются механизмы
обратных приоритетов). Быть может, усложнение иерархии окажется
выгодным, если на разных уровнях (в подсистемах и в метасистеме)
используются различные принципы распределения ресурса. В общем
случае эта задача требует дальнейших исследований.
Следовательно, задача произвольной децентрализации имеет место и
в механизмах распределения ресурса. Как было показано выше, широко

107
распространенный класс механизмов обратных приоритетов не децентра-
лизуем (но допускает идеальное агрегирование).
Обширным классом механизмов распределения ресурса, в котором
идеальное агрегирование возможно, являются анонимные механизмы.
Напомним, что анонимным механизмом называется механизм, симмет-
ричный относительно перестановок АЭ [16,73,126], то есть такой меха-
низм, в котором любая перестановка АЭ не изменяет назначаемых пла-
нов. Для механизмов распределения ресурса это означает, что в
анонимном механизме множества возможных сообщений АЭ одинаковы:
?ij = [0;D], а процедура планирования симметрична по заявкам АЭ.
Следует отметить, что анонимность механизма вовсе не подразумевает
идентичности активных элементов. Сами АЭ могут различаться сколь
угодно сильно – единственным (и достаточно демократическим) требова-
нием, предъявляемым к анонимному механизму планирования, является
симметричность процедуры планирования.
Интуитивно понятно, что так как в анонимных механизмах АЭ "рав-
ноправны", то, скорее всего, их можно группировать (по подсистемам в
процессе децентрализации) произвольным образом. Сформулируем
корректно это качественное предположение, приведя в явном виде алго-
ритм децентрализации любой анонимной процедуры планирования.
Теорема 2.3.1. Любой анонимный механизм распределения ресурса
допускает произвольную децентрализацию.
Для того, чтобы доказать утверждение теоремы, докажем ряд про-
стых лемм.
Лемма 2.3.2. Любой анонимный механизм распределения ресурса в
двухуровневой активной системе эквивалентен механизму пропорцио-
нального распределения:
sij
(2.3.1) xij(s) = R.
? sij
i, j
Справедливость леммы 2.3.1 следует из того факта, что все аноним-
ные механизмы эквивалентны (в [16] доказано, что любой анонимный
механизм эквивалентен механизму последовательного распределения
ресурса [126]), а механизм пропорционального распределения (2.3.1)
является анонимным [16,17,137].
Лемма 2.3.3. Для любого механизма пропорционального распределе-
ния ресурса в трехуровневой АС существует эквивалентный механизм
пропорционального распределения в двухуровневой АС, и наоборот.

108
Справедливость утверждения леммы 2.3.3 следует из следующей це-
Sj
?
почки равенств: если Xj(S) = R, где Sj = sij, то
n
?S j i

j =1

sij
sij Sj
sij
(2.3.2) xij(s) = Xj(S) = R= R.
? sij
n
nj nj
? sij ? S j
? sij i, j
j =1
i =1 i =1
Качественно, в механизме пропорционального распределения суще-
ственным оказывается его "аддитивность", что совместно с аддитивно-
стью агрегирования приводит к выполнению (2.3.2). Отметим, что равен-
ства типа (2.3.2) имеют место в АС с любым числом уровней иерархии и
любым разбиением АЭ на подсистемы.
Следующее рассуждение доказывает справедливость теоремы 2.3.1.
Пусть имеется некоторый анонимный механизм распределения ресурса в
двухуровневой АС. По лемме 2.3.2 он эквивалентен механизму пропор-
ционального распределения (2.3.1), для которого по лемме 2.3.3 можно
построить АС с любым числом уровней иерархии и эквивалентным в
силу (2.3.2) пропорциональным механизмом.
В обратную сторону, для любого анонимного механизма в много-
уровневой АС можно построить эквивалентный анонимный механизм в
двухуровневой АС, что доказывает справедливость утверждения теоре-
мы. •
Результат теоремы 2.3.1 имеет чрезвычайно важное методологиче-
ское, теоретическое и практическое значение. Он выделяет класс меха-
низмов распределения ресурса в многоуровневых активных системах не
только допускающих идеальное агрегирование, но и обладающих рядом
свойств инвариантности, которые могут быть использованы при решении
других задач управления – определения информационной нагрузки,
синтеза структуры и др. Кроме того, механизм пропорционального рас-
пределения, используемый при доказательстве теоремы 2.3.1, помимо
своей простоты, обладает многими привлекательными свойствами – в том
числе, он оптимален (имеет максимальную эффективность) в достаточно
широком классе АС – см. [16,17] и раздел 2.5.
В то же время, следует признать, что, несмотря на то, что класс ано-
нимных механизмов достаточно широк, задача идеального агрегирования
для произвольных механизмов распределения ресурса требует дальней-
ших исследований.

109
Рассматриваемый в следующем разделе класс механизмов планиро-
вания свидетельствует, что произвольную децентрализацию допускают
не только анонимные механизмы.

2.4. ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ ЭКСПЕРТИЗЫ

Под механизмом экспертизы в двухуровневой АС понимается сле-
дующая модель [17,25]. Имеются N АЭ – экспертов, каждый из которых
имеет собственные представления rij ? [d;D] ? ?1 (идеальные точки,
точки пика функций предпочтения АЭ) об оцениваемой скалярной вели-
чине и сообщает центру информацию sij ? [d;D] о своих представлениях.
Итоговое мнение x?[d;D] определяется в соответствии с процедурой
планирования ?(s), то есть x = ?(s). Относительно процедуры планирова-
ния (принятия коллективного решения) будем предполагать, что она
непрерывна, строго монотонно возрастает по всем переменным и удовле-
творяет условию единогласия: ?t?[d;D] ?(t, t, ..., t) = t. Без потери общно-
сти можно положить d = 0, D = 1. Если предположить, что каждый из
экспертов заинтересован в том, чтобы результат экспертизы –
коллективное решение – был максимально близок к его истинному
мнению, то в общем случае он может сообщать недостоверную
информацию, искренне стремясь повлиять на результат в требуемую с его
точки зрения сторону. Следовательно, возникает проблема
манипулируемости механизма экспертизы.
В работе [17] доказано, что для любого механизма экспертизы, удов-
летворяющего введенным выше предположениям, существует эквива-
лентный прямой (неманипулируемый) механизм, причем итоговое мне-
ние в равновесии определяется совокупностью истинных мнений
N
экспертов r = {rij} и числами w(?) = {wi(?)} , определяемыми сле-
i =0
дующим образом: если собственные представления всех экспертов раз-
личны и упорядочены в порядке возрастания, то
(2.4.1) wk(?) = ? ( 0,0,...,0 ,
123 1,1,...1 ), k = 0, N .
132
N ?k
k
При этом равновесное итоговое мнение (коллективное решение) x*
определяется [17,24]:
(2.4.2) x*(r,w(?)) = max min (wk-1, rk).
k =1, N
Понятно, что последовательность w(?) зависит от упорядочения иде-
альных точек экспертов. В общем случае существует 2N разбиений вида
110
(2.4.1)28, однако так как (2.4.2) является соответствующим механизму ?
прямым механизмом, все дальнейшие рассуждения мы будем проводить
для некоторого фиксированного упорядочения (см. также результаты
децентрализации механизмов обратных приоритетов, описанные в разде-
ле 2.3).
Определим линейный механизм:
N
?? k sk ,
(2.4.3) ?L(s) =
k =1
N
?? k
где ?k ? 0, = 1. Последовательность w(?) для линейного механизма
k =1
имеет вид29:
k
?? i , k = 1, N , w0(?L) = 1.
(2.4.4) wk(?L) = 1 –
i =1
Рассмотрим механизм экспертизы в трехуровневой активной систе-
ме, который определяется (n+1) двухуровневыми механизмами: ?(S) и
{?j(sj)}, причем Sj = ?j(sj), то есть в качестве функций агрегирования
выступают сами процедуры принятия коллективных решений в подсис-
темах.
Теорема 2.4.1. Любой механизм экспертизы в многоуровневой ак-
тивной системе допускает произвольную децентрализацию.
Для того, чтобы доказать утверждение теоремы, докажем справедли-
вость для любого упорядочения идеальных точек экспертов ряда простых
лемм.
Лемма 2.4.2. Для любого механизма экспертизы в двухуровневой АС
существует эквивалентный линейный механизм экспертизы.
Эквивалентным данному механизмом планирования называется та-
кой механизм, в котором при любых идеальных точках АЭ равновесные
планы совпадают с равновесными планами в исходном механизме. Пусть
имеется некоторый механизм экспертизы ?(.) в двухуровневой АС. Вы-
числим для него в соответствии с (2.4.1) последовательность w(?), соот-



28
Следует отметить, что, если механизм экспертизы является анонимным, то
разбиение (2.4.1) единственно и не зависит от упорядочений истинных мнений
экспертов.
29
Очевидно, у любого анонимного механизма последовательность w(?) разбивает
[0;1] на N равных частей, в частности – у анонимного линейного механизма
экспертизы ?i = 1/N.
111
ветствующую упорядочению идеальных точек. По данной последова-
тельности w(?) вычислим N чисел {?k}:
(2.4.5) ?k = wk-1 – wk, k = 1, N ,
которые однозначно определяют некоторый линейный механизм экспер-
тизы.
У исходного механизма экспертизы и у построенного линейного ме-
ханизма в силу (2.4.4) одна и та же последовательность {wk}. Значит, из
(2.4.2) следует, что для любых идеальных точек АЭ {rij} в обоих меха-
низмах коллективные решения одинаковы. •
Отметим конструктивный характер доказательства леммы 2.4.2, ко-
торое содержит алгоритм (2.4.5) построения эквивалентного линейного
механизма экспертизы.
Лемма 2.4.3. а) любой механизм вида (2.4.3), являющийся механиз-
мом экспертизы, удовлетворяет ?k > 0, k = 1, N ; б) для любого механиз-
ма экспертизы все элементы последовательности w(?), определяемой
(2.4.1), различны.
Справедливость утверждения леммы 2.4.3 следует из того, что, со-
гласно введенным выше предположениям процедура планирования в
механизме экспертизы должна быть непрерывна и строго монотонна по
всем переменным. •
Лемма 2.4.4. Для любого линейного механизма экспертизы в двух-
уровневой АС существует эквивалентный линейный механизм эксперти-
зы в трехуровневой АС и наоборот (то есть линейный механизм эксперти-
зы допускает произвольную децентрализацию).
Пусть имеется линейный механизм экспертизы в трехуровневой АС.
Тогда:
nj
? ?ij sij .
(2.4.6) Xj =
i =1
nj
n n
? ??
?j Xj = ?j ?ij sij, то есть:
Коллективное решение x =
i =1
j =1 j =1
nj
n
?? ?ij sij,
(2.4.7) x =
i =1
j =1
где ?ij = ?j ?ij.
Выражение (2.4.7) определяет эквивалентный линейный механизм
экспертизы в двухуровневой АС.

112
Пусть теперь имеется линейный механизм экспертизы в двухуровне-
вой АС, задаваемый числами {?ij}. Разобьем экспертов на группы таким
образом, чтобы в каждой подсистеме оказался хотя бы один эксперт,
мнение которого учитывается с ненулевым весом, то есть разбиение на
nj
?
подсистемы должно удовлетворять: ? j = ?ij > 0. Такое разбие-
1, n
i =1
ние в силу леммы 2.4.3 и (2.4.5) всегда возможно (более того, введенному
условию удовлетворяет любое разбиение).
Вычислим
nj
?
(2.4.8) ?j = ?ij , ?ij = ?ij / ?j.
i =1
Выражение (2.4.8) определяет линейный механизм экспертизы в
трехуровневой АС, эквивалентный исходному линейному механизму
(легко проверить, что если условие нормировки выполнено в исходном
механизме, то оно выполнено и для (2.4.8)). •
Если при определении механизма экспертизы отказаться от требова-
ний непрерывности и строгой монотонности процедуры планирования, то
результаты леммы 2.4.4 и теоремы 2.4.1 останутся в силе при условии,
что ? j = 1, n ?j > 0 (при этом результат леммы 2.4.3 не требуется).
Объединяя результаты лемм 2.4.2 – 2.4.4, получаем результат теоре-
мы 2.4.1. Действительно, для любого механизма экспертизы в двухуров-
невой АС в силу леммы 2.4.2 существует эквивалентный линейный
механизм экспертизы, для которого в силу леммы 2.4.4, в свою очередь,
существует эквивалентный линейный механизм экспертизы в трехуров-
невой АС. •
Отметим, во-первых, что доказательство теоремы 2.4.1 содержит ал-
горитм построения эквивалентного механизма. Во-вторых, напомним, что
приведенные рассуждения следует отнести скорее к соответствующим
прямым механизмам экспертизы, так как эквивалентный линейный меха-
низм экспертизы строился с использованием последовательности w(?),
которая зависит от упорядочений идеальных точек экспертов. В-третьих,
при переходе от двухуровневой к трехуровневой АС распределение АЭ
между подсистемами может быть произвольным, что дает возможность,
как и в анонимных механизмах распределения ресурса, решать задачи
разбиения АЭ на подсистемы, то есть задачи распределения экспертов по
группам. И, наконец, в-четвертых, следствием теоремы 2.4.1 и результа-
тов, приведенных в [16,17,20,22], является вывод о том, что в многоуров-

113
невой АС для любого механизма экспертизы существует эквивалентный
прямой (неманипулируемый) механизм.
Пример 2.4.1. Пусть имеются четыре эксперта, упорядоченных в по-
рядке возрастания идеальных точек, и следующая (нелинейная) процеду-
ра принятия коллективного решения в двухуровневой АС:
4
? si2 .
1
(2.4.9) x = ?(s) =
4 i =1
В соответствии с (2.4.1) ищем последовательность w(?): w0 = 1,
w1 = 3 /2, w2 = 2 /2, w3 = 1/2, w4 = 0. По известной последовательно-
сти w(?) ищем по формуле (2.4.5) "веса" эквивалентного линейного
механизма: ?1 = (2- 3 )/2, ?2 = ( 3 - 2 )/2, ?3 = ( 2 -1)/2, ?4 = 1/2.
Рассмотрим теперь трехуровневую АС, в которой в первую подсис-
тему входят первый и второй эксперт, а во вторую – третий и четвертый.
В соответствии с (2.4.8) находим: ?1 = (2- 2 )/2, ?2 = 2 /2, ?11 = (2-
3 )/(2- 2 ), ?21 = ( 3 - 2 )/(2- 2 ), ?12 = ( 2 -1)/ 2 , ?22 = 2 /2.
Итак, в трехуровневой АС эквивалентным исходному будет набор
линейных механизмов с весами: {?1, ?2} – в метасистеме, {?11, ?21} – в
первой подсистеме, {?12, ?22} – во второй подсистеме. •

2.5. ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ ОТКРЫТОГО
УПРАВЛЕНИЯ С ВНУТРЕННИМИ ЦЕНАМИ

Классическим примером модели АС, в которой возможно идеальное
агрегирование, ставшей, в частности поэтому, чрезвычайно популярной в
экономико-математическом моделировании [10,15 и др.], является АС, в
которой АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа. В настоящем
разделе приводится краткое описание механизмов открытого управления
[15,22,24] сначала для двухуровневой АС, затем результаты обобщаются
на случай трехуровневых систем.
Пусть в двухуровневой АС функция затрат i-го АЭ:
1 ? 1-?
yi ri , ? ? 1, ri > 0. Предположим, что задача центра заклю-
ci(yi, ri) =
?
чается в побуждении коллектива АЭ выбрать набор действий, сумма
которых равна заданной величине R (содержательные интерпретации см.
ниже). Пусть центр устанавливает цену ?, тогда целевая функция i-го АЭ
равна разности между доходом ? yi и затратами:

114
(2.5.1) fi(yi,ri) = ? yi – ci(yi,ri).
Решая задачу минимизации суммарных затрат активных элементов
выбором ({xi}, ?) при условии xi = Arg max fi(yi, ri) и ограничении
yi? Ai

? xi = R, получаем:
i

r i R, ?(R, r) = (R / W)?-1,
(2.5.2) xi(R,r) =
W
?
где W = ri, r = (r1, r2, ..., rN).
i
Решение (2.5.2) минимизирует суммарные затраты АЭ при заданном
ограничении на сумму действий АЭ, то есть обеспечивает достижение АЭ
кооперативного (Парето оптимального) равновесия (см. раздел 1.5).
Рассматриваемая формальная модель имеет множество содержа-
тельных интерпретаций. В том числе: распределение объемов работ в
коллективе (? – ставка оплаты) [81], распределение ресурса с ценой за
ресурс ? [17], распределение заказов в объединении (? –
внутрифирменная цена) [7], компенсационные механизмы в оперативном
управлении проектами и промышленным производством (? – ставка
оплаты за сокращение времени операций) [25] и др. Общим является
наличие единой для всех АЭ цены.
Решение (2.5.2) было получено в предположении, что центру извест-
ны коэффициенты {ri} функций затрат АЭ. Если эти коэффициенты ему
неизвестны и сообщаются элементами, то возникает задача манипули-
руемости [20,22,24] используемого механизма планирования.
Уникальностью рассматриваемой модели является то, что для нее
существует эквивалентный прямой механизм, то есть механизм открыто-
го управления (неманипулируемый), в котором при определенных усло-
виях (см. ниже и [15,17]) сообщение достоверной информации является
доминантной стратегией каждого активного элемента.
Обоснуем последнее утверждение. Для этого предположим, что АЭ
сообщают центру оценки {si} параметров функций затрат, а центр ис-
пользует следующий механизм планирования (механизм открытого
управления – выбора планов и цены):
(2.5.3) ? xi(s,?) = R,
i

max {?(s) yi – ci(yi,si)}.
(2.5.4) xi(s,?) = arg
yi? Ai


115
Содержательно, центр подставляет в целевые функции АЭ сообщен-
ные ими оценки (принимая их за истинные) и назначает АЭ наиболее
выгодные для них при этих оценках планы (условие (2.5.4) называется
условием совершенного согласования (УСС)). Параметр ? выбирается
таким образом, чтобы планы xi(s,?) удовлетворяли балансовому ограни-
чению (2.5.3).
Решение задачи (2.5.3)-(2.5.4) (механизм внутренних цен) имеет вид:
si R, ?(R,s) = (R / V)?-1,
(2.5.5) xi(R,s) =
V
?
где V = si, s = (s1, s2, ..., sN). Отметим чрезвычайно важную для даль-
i
нейшего анализа схожесть выражений (2.5.5) и (2.5.2).
Если выполнена гипотеза слабого влияния (ГСВ – при достаточно
большом числе АЭ влияние сообщения конкретного АЭ на общее управ-
ление ?(R,s) мало [15,22,20,28,75]), то, подставляя (2.5.5) в (2.5.1), нахо-
дим, что при любых сообщениях остальных АЭ максимум целевой функ-
ции i-го АЭ по его сообщению достигается при si = ri, то есть при ГСВ
сообщение достоверной информации является доминантной стратегией
каждого активного элемента [15,17].
Отметим, что в ряде частных случаев выполнения гипотезы слабого
влияния не требуется Так, например, в механизмах внутрифирменного
управления, если в целевой функции подразделения ее прибыль нормиру-
ется на сумму прибылей всех подразделений, то цена ?(R,s), входящая и в
числитель, и в знаменатель, сокращается [7]. Другим примером "борьбы"
с требованием слабого влияния является использование обобщенных
оценок [15] и др.
Механизм внутренних цен (2.5.5) достаточно уникален. Во-первых,
он является неманипулируемым механизмом (механизмом открытого
управления), имеющим ту же эффективность, что и механизм (2.5.2) в
условиях полной информированности. Во-вторых, он минимизирует
суммарные затраты АЭ на выполнение общего планового задания. И,
наконец, в-третьих, он допускает произвольную децентрализацию. Дока-
жем последнее утверждение конструктивно, указав процедуры планиро-
вания и агрегирования в соответствующей трехуровневой активной
системе.
Предположим сначала, что имеет место случай полной информиро-
ванности. Обозначим цены в метасистеме и подсистемах, соответственно:
(2.5.6) ? = (R / W)?-1, ?j = (Xj / Wj)?-1,

116
? rij , Wj = ? r ij , Xj – плановое задание j-ой подсистемы. Пусть
где W =
i, j i
планы подсистемам и внутри подсистем назначаются в соответствии со
следующей процедурой:
Wj r ij
(2.5.7) Xj = R, xij = Xj.
W Wj
Из (2.5.6)-(2.5.7) следует, во-первых, что цены в подсистемах и в ме-
тасистеме одинаковы: ? j = 1, n ?j = ?, а, во-вторых, что план каждого
АЭ совпадает с планом, назначаемым ему в соответствующей двухуров-
невой АС, то есть:
r ij
(2.5.8) xij = R,
W
что совпадает с (2.5.2).
Следовательно каждая подсистема может рассматриваться как один
элемент, действием которого является сумма действий входящих в нее
АЭ, имеющий функцию затрат типа Кобба-Дугласа с параметром, равным
сумме параметров соответствующих АЭ:
? y ij , cj(Yj) = ?
1
Yj? Wj1-?.
(2.5.9) Yj =
i
Итак, промежуточный центр имеет целевую функцию:
1
Yj? Wj1-?,
(2.5.10) ?j(Yj,Wj) = ? Yj –
?
где
? rij , Yj = ? yij ,
(2.5.11) Wj =
i i
а целевая функция центра верхнего уровня равна:
1 ? 1-?
(2.5.12) ?(Y,W) = ? Y – YW ,
?
где
? y ij , W = ? rij .
(2.5.13) Y =
i, j i, j
Анализ выражений (2.5.1), (2.5.10) и (2.5.12) свидетельствует, что
механизм (2.5.2) допускает идеальное агрегирование в виде (2.5.6), (2.5.7),
причем процедуры агрегирования задаются (2.5.11) и (2.5.13).
Более того, во-первых, так как (2.5.8) совпадает с (2.5.2), то в случае
неполной информированности для построенного механизма планирова-
117
ния в трехуровневой АС существует эквивалентный неманипулируемый
механизм (механизм открытого управления). Во-вторых, так как при
переходе от двухуровневой АС к соответствующей трехуровневой не
оговаривалось разбиение АЭ на подсистемы, то рассматриваемый меха-
низм допускает не только идеальное агрегирование, но и произвольную
децентрализацию. Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 2.5.1. Если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа,
то механизм открытого управления с внутренними ценами допускает
произвольную децентрализацию.
Следствие. Результат теоремы 2.5.1 может быть усилен, то есть
обобщен на случай, когда функции затрат активных элементов имеют вид
yi
ci(yi,ri) = ri ? ( ), где ?(.) – гладкая монотонно возрастающая выпуклая
ri
функция (см. также раздел 1.7). При этом цена за ресурс определяется
следующим выражением: ?(R, s) = ?'(R/V) (ср. с (2.5.5)), а оптимальные
планы – по-прежнему выражением (2.5.5).
Отметим, что возможность идеального агрегирования в рассматри-
ваемой модели обусловлена видом функций затрат АЭ и процедур плани-
рования. Для произвольных функций затрат АЭ полученные результаты в
общем случае не имеют места.
Следует также напомнить, что неманипулируемость построенных
механизмов планирования обоснована для случая, когда справедлива
гипотеза слабого влияния. Понятно, что с ростом числа АЭ условия для
выполнения ГСВ не ухудшаются. Поэтому, так как агрегирование иде-
ально, то можно утверждать, что объединение подсистем в рамках мета-
системы (расширение элементного состава АС) в рассматриваемой моде-
ли не приведет к снижению эффективности управления и, быть может,
снизит привлекательность манипулирования информацией со стороны
АЭ. Последний вывод представляется достаточно важным, так как нема-
нипулируемость механизмов планирования (оптимальность механизмов
открытого управления) во многих случаях требует выполнения ГСВ (см.
унифицированные пропорциональные системы стимулирования в разделе
1.7, а также [17,22,24,28,109 и др.]).
В заключение настоящего раздела исследуем эффективность рас-
сматриваемого выше механизма открытого управления с внутренними
ценами.
До сих пор мы считали, что целевая функция центра определяется
доходом от выполненных работ суммарным объемом R (при постоянном
объеме доход постоянен) и суммарными затратами АЭ по выполнению
118
этих работ. Механизмы (2.5.2), (2.5.5) и (2.5.7) минимизируют суммарные
затраты активных элементов при условии, что центр назначает единую
для всех АЭ цену. Если центр имеет собственные интересы, заключаю-
щиеся наряду с выполнением заданного объема работ в минимизации
суммарных выплат активным элементам, то механизм с внутренними
ценами может рассматриваться не только как механизм планирования, но
и как механизм стимулирования L-типа, в котором вознаграждение АЭ
пропорционально его действию. Коэффициент пропорциональности при
этом является ценой – например – ставкой зарплаты (см. [81] и содержа-
тельные интерпретации выше).
Известно, что при монотонных непрерывных функциях затрат про-
порциональные системы стимулирования (L-типа) не эффективны. В
частности, если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то опти-
мальные квазикомпенсаторные механизмы стимулирования (QK-типа)
имеют строго большую эффективность, чем пропорциональные (см.
[22,24,81] и первую главу настоящей работы). Проиллюстрируем это
утверждение.
Минимальные затраты на стимулирование ?(x) по реализации векто-
ра действий x ? A системой стимулирования QK-типа (см. (1.3.4)) равны
N
? ci ( xi ) . При использовании системы стимулирования L-типа
?QK(x) =
i =1
N
эти затраты определяются следующим образом: ?L(x) = ? ? xi*, где xi*
i =1
удовлетворяет (2.5.2).
Отношение
(2.5.14) ?L(x) / ?QK(x) = ? ? 1
не зависит от вектора действий и показывает во сколько раз центр "пере-
плачивает" АЭ, используя единую внутреннюю цену, по сравнению с
минимально необходимыми для реализации заданного вектора действий
затратами на стимулирование. Следовательно, хотелось бы найти меха-
низм управления (стимулирования, планирования), для которого, как и
для механизма с внутренней ценой, существовал бы эквивалентный
механизм открытого управления (обеспечивающий неманипулируемость
в случае неполной информированности центра о моделях АЭ), но кото-
рый имел бы большую – желательно такую же или "почти" такую же, как
и у оптимального квазикомпенсаторного механизма стимулирования –
эффективность.


119
Такой механизм существует. Пусть центр использует в условиях
полной информированности следующий механизм управления (назовем
его B-типа):
? ? 1-?
(2.5.15) ?i(yi,ri) = yi ri , ? ? 1,
?
тогда целевая функция АЭ имеет вид (ср. с (2.5.1)):
(2.5.16) fi(yi,ri) = ?i(yi,ri) – ci(yi,ri).
Теорема 2.5.2.30 Если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа
и ? = ?-?, где ? > 0, то:
а) механизм (2.5.15) ?-оптимален, где
(2.5.17) ? ? ? / (?-?);
б) в рамках ГСВ для механизма (2.5.15) существует эквивалентный
механизм открытого управления.
Решая задачу условной оптимизации, получаем:
r
R?
) , xi* = i R.
(2.5.18) ? = (
W W
Следовательно,
?
?? >0 > 1.
? ?
(2.5.19) ?B(x) / ?QK(x) =
? ??
Пункт а) теоремы доказан. Докажем неманипулируемость механизма
(2.5.15). Если центр использует механизм открытого управления (см.
(2.5.3), (2.5.4)), то:
si R, ?(R,s) = (R / V)?.
(2.5.20) xi(R,s) =
V
Подставляя (2.5.20) в (2.5.15) убеждаемся, что в рамках ГСВ сооб-
щение достоверной информации – доминантная стратегия каждого АЭ. •
По аналогии с доказательством теоремы 2.5.1 (ср. (2.5.15), (2.5.20) и
(2.5.5), (2.5.7)) можно доказать, что механизм B-типа допускает произ-
вольную децентрализацию. Таким образом, справедливо следующее
утверждение.
Теорема 2.5.3. Если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа,
то механизм управления B-типа допускает произвольную децентрализа-
цию.
Следствием теоремы 2.5.2 и теоремы 2.5.3 является вывод о том, что
механизмы B-типа при управлении многоуровневыми АС ?-оптимальны в
условиях неполной информированности и для них существуют эквива-
лентные прямые (неманипулируемые) механизмы.
30
Теорема 2.5.2 сформулирована и доказана В.Н.Бурковым.
120
2.6. ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ СТРАХОВАНИЯ

Материал данного раздела иллюстрирует возможность децентрали-
зации не только механизмов с сообщением информации, но и некоторых
прикладных механизмов управления, таких как механизмы страхования и
перестрахования.
Рассмотрим следующую модель механизма страхования. Пусть име-
ется страховщик – центр и N страхователей – активных элементов. В
отсутствии страхового случая i-ый АЭ получает доход zi ? 0. Если насту-
пает общий для всех АЭ страховой случай, то доход каждого из АЭ равен
нулю. Обозначим p?[0;1] – вероятность наступления страхового случая,
ui(zi) – функцию полезности i-го АЭ, относительно которой будем пред-
полагать, что она является непрерывной вогнутой функцией, значение
которой в нуле равно нулю. Содержательно, тот факт, что страховой
случай является общим для группы АЭ соответствует ситуации, в кото-
рой некоторое неблагоприятное событие (например, природная или
техногенная катастрофа, изменение политической обстановки и т.д.)
затрагивает интересы одновременно всех страхователей. Понятно, что
такое представление является достаточно частным, и в общем случае
существует множество потенциально неблагоприятных ситуаций, каждая
из которых может влиять на условия функционирования различных групп
страхователей.
Таким образом, ожидаемый доход АЭ в отсутствии страхования ра-
вен: Ezi = (1 – p) zi (E – знак математического ожидания). Ожидаемая
полезность АЭ в отсутствии страхования равна:
(2.6.1) Eui(zi) = (1 – p) ui(zi).
Неотрицательная (в силу вогнутости функции полезности АЭ) вели-
чина ?ui = ui(Ezi) – Eui(zi) называется премией за риск [25,90,131] (см.
рис. 5).
Обозначим ri – страховой взнос, выплачиваемый активным элемен-
том центру, hi – страховое возмещение, выплачиваемое центром элементу
при наступлении страхового случая, то есть рассматриваемый механизм
может интерпретироваться как система предельного страхового обеспе-
чения [90].




121
Полезность u(z)
u(Ez)
?u
Eu(z)




Доход
0 Ez z

Рис. 5. Функция полезности страхователя

Ожидаемый доход АЭ при страховании равен (символ "˜" соответст-
вует величинам в случае страхования) E ˜ i = (1 – p) zi+ p hi – ri, а ожи-
z
даемая полезность:
(2.6.2) Eui( ˜ i) = p ui(hi – ri) + (1 – p) ui(zi – ri).
z
Заключение страхового контракта выгодно для АЭ, если его ожи-
даемая полезность в случае страхования не ниже, чем при его отсутствии,
то есть:
(2.6.3) Eui( ˜ i) ? Eui(zi).
z
Если страховщик (центр) нейтрален к риску, то есть имеет линейную
функцию полезности U(.), то его ожидаемая полезность равна
N
?
(2.6.4) EU(z) = [ri – p hi],
i =1
где z = (z1, z2, ..., zN).
Допустимым называется такой страховой контракт, определяемый
кортежем ({ri}; {hi}), заключение которого выгодно как центру, так и
всем активным элементам [25]. Множество допустимых страховых кон-
трактов определяется совместно условиями (2.6.3) и EU(z) ? 0.
Выражение (2.6.4) и введенные условия допустимости соответству-
ют ситуации, в которой без заключения страхового контракта страховщик
имеет нулевую полезность. Если ожидаемая полезность страховщика без
заключения страхового контракта равна U0, то условия допустимости
контракта для центра примут вид: EU(z) ? U0.

122
Пусть и страховой взнос, и страховое возмещение пропорциональны
доходу АЭ, причем коэффициенты пропорциональности одинаковы для
всех страхователей:
(2.6.5) ri = ? zi, hi = ? zi, ?, ? ? [0;1].
Тогда страховой контракт однозначно определяется {?, ?}. Подстав-
ляя (2.6.5) в (2.6.4), из условия EU(z) ? 0, то есть
(2.6.6) (? – p ?) Z ? 0,
N
? zi получаем, что ? ? p ?. Подставляя (2.6.5) в (2.6.3) и иссле-
где Z =
i =1
дуя зависимость ожидаемых полезностей АЭ от ?, получаем, что незави-
симо от номера АЭ, при ? ? [0;p] ожидаемая полезность страхователя в
случае заключения страхового контракта не ниже, чем в отсутствии
страхования. Таким образом, доказана справедливость следующего
утверждения.
Лемма 2.6.1. Достаточным условием допустимости страхового кон-
тракта является следующая система неравенств:
(2.6.7) 0? ? ? p,
(2.6.8) 0? ? ? ? / p.
Приведем ряд содержательных интерпретаций. Взаимовыгодность
страхования для обеих сторон (страхователя и страховщика) обусловлена
различиями в их восприятии риска [25,27,131]. Нейтральный к риску
страховщик безразличен между гарантированным получением некоторого
дохода и участием в лотерее с тем же ожидаемым доходом, в то время как
несклонный к риску страхователь предпочтет гарантированно получить
величину дохода, меньшую его математического ожидания. Перераспре-
деление риска (максимальная величина перераспределяемой ожидаемой
полезности ограничена для АЭ сверху премией за риск) при этом оказы-
вается выгодным всем участникам. Понятно также, что перераспределе-
ние риска (ожидаемого дохода) между нейтральными к риску агентами не
имеет смысла – точнее между ними возможно любое перераспределение
дохода, не изменяющее ожидаемых полезностей, которые при линейной
функции полезности совпадают с суммарными (ожидаемыми) доходами.
Поэтому, если в многоуровневой АС и центр, и центры промежуточного
уровня являются нейтральными к риску, то между ними допустимо любое
перераспределение риска, в том числе – любое разбиение АЭ на подсис-
темы. Результат теоремы 2.6.1 формализует приведенные качественные
рассуждения.


123
Теорема 2.6.1. Если страховщик нейтрален к риску то любой меха-
низм страхования, удовлетворяющий (2.6.2)-(2.6.4)-(2.6.5)-(2.6.7), допус-
кает произвольную децентрализацию.
Доказательство теоремы 2.6.1 тривиально. Идея заключается в сле-
дующем: так как все страховщики нейтральны к риску, а механизм,
удовлетворяющий введенным предположениям, в силу леммы 2.6.1
является допустимым (в том числе – выгодным для всех страхователей),
то введение любого числа страховщиков и подчинение им любых страхо-
вателей не нарушает условия выгодности контракта для страховщиков
(см. (2.6.6)).
nj
?
Более подробно, обозначим Zj = zij, где zij – доход i-го АЭ j-ой
i =1
подсистемы. Условие (2.6.7) выгодности страхового контракта для произ-
вольного АЭ включает только параметры ? и ? самого контракта и не
зависит от того, с каким из страховщиков заключен контракт. Условие
выгодности контракта для j-го страховщика (промежуточного центра)
имеет вид:
(2.6.9) (? – p ?) Zj ? 0
и выполняется всегда, когда выполнено (6).
N
?
Отметим, что из (2.6.5), (2.6.6) и (2.6.9) следует, что EU = EUj,
i =1
то есть в трехуровневой АС сумма ожидаемых полезностей нейтральных
к риску центров промежуточного уровня равна ожидаемой полезности
нейтрального к риску центра в децентрализуемой двухуровневой АС.
Покажем, что любые контракты в рамках метасистемы (страховые
контракты между нейтральными к риску промежуточными центрами и
нейтральным к риску центром), уравнивающие ожидаемые доходы, то
есть контракты перестрахования [27,90], являются допустимыми, то есть
взаимовыгодными для участников метасистемы. Пусть hj – страховой
взнос j-го центра центру; rj – страховое возмещение, выплачиваемое
центром j-му центру при наступлении страхового случая; Uj0 – ожидаемая
полезность j-го центра без заключения контракта с центром. Тогда ожи-
даемая полезность j-го центра при заключении контракта перестрахова-
ния равна:
(2.6.10) EUj = Uj0 – rj + p hj,
а ожидаемая полезность центра в этом случае равна:



124
n
?
(2.6.11) EU = [p hj – rj].
j =1
Очевидно, что, например, условие баланса ожидаемых выплат между
участниками подсистемы:
rj
(2.6.12) ? j = 1, n =p
hj
является достаточным условием допустимости контракта в подсистеме.
Теорема доказана. •
Таким образом, в рассматриваемой модели в случае нейтральных к
риску страховщиков любой взаимовыгодный механизм страхования
допускает произвольную децентрализацию. Качественно, выявленное
свойство является следствием линейности функций полезности страхов-
щиков и перестрахователя (центра). Легко показать, что свойство децен-
трализуемости имеет место и для склонного к риску страховщика (что,
правда, представляется достаточно экзотическим случаем). Сложнее дело
обстоит когда страховщик, как и страхователи, несклонен к риску. По-
этому исследуем эту ситуацию более подробно.
Пусть имеется один страховщик – центр – и N страхователей АЭ.
Пусть функция полезности центра U(.) – непрерывная и вогнутая, то есть
центр не склонен к риску (в предельном случае – нейтрален31). Ожидае-
мая полезность страховщика:
N N
(2.6.13) EU(z) = (1-p) U( ? ri) + p U( ? [ri-hi]) =
i =1 i =1
= (1-p) U(?Z) + p U((?-?)Z).
Условие выгодности страхового контракта для центра имеет вид:
EU(z)?0, то есть предполагается, что отказавшись от заключения контрак-
та страховщик имеет нулевую полезность. Следующий результат уста-
навливает взаимосвязь между условиями допустимости контракта и
множеством страхователей при условии, что и страхователи, и страхов-
щик в общем случае не склонны к риску.
Лемма 2.6.3. Если при некотором наборе страхователей страховой
контракт с параметрами {?;?} является допустимым в смысле леммы
2.6.1, то контракт с теми же параметрами является допустимым и при
любом множестве страхователей, включающем исходное.
31
Нейтральность к риску (линейность функции полезности) является частным –
"предельным" – случаем несклонности к риску, которой соответствуют вогну-
тые функции полезности [25,131].
125
При фиксированных параметрах страхового контракта ожидаемая
полезность страховщика (2.6.13) является неубывающей функцией Z (что
легко проверить, вычислив производную и воспользовавшись вогнуто-
стью функции полезности и условием (2.6.8)). Добавление к исходному
множеству страхователей новых активных элементов не уменьшает
величину их суммарного дохода. Поэтому расширение множества страхо-
вателей не может сделать контракт невыгодным для страховщика. Из
леммы 2.6.1 следует, что условия (2.6.7)-(2.6.8) обеспечивают выгодность
контракта для страхователей, независимо от их номера (конкретной
функции полезности, дохода и т.д.). Лемма доказана. •
Установленная в лемме 2.6.2 монотонность ожидаемой полезности
по суммарному доходу страхователей, или другими словами – по их
числу, может рассматриваться как одно из формальных объяснений
общепризнанному факту – страхование выгодно (для страховщика) при
большом числе страхователей.
В качестве отступления, отметим, во-первых, что рассмотрена доста-
точно частная модель механизма страхования. Например, при различных
условиях наступления страхового случая у различных страхователей
"пространство событий" будет несравненно больше. Во-вторых, приве-
денное выше определение допустимого контракта использует условия,
сформулированные лишь для ожидаемых полезностей, в то время как в
большинстве моделей страхования учитывается также вероятность разо-
рения страховщика. В-третьих, в рассматриваемой модели страхование
играет, скорее, роль стимулирования (см. модели страховых контрактов в
рамках задач стимулирования в [58] и механизмы страхования с сообще-
нием информации в [25,27]). Тем не менее, рассмотренная модель являет-
ся достаточно хорошей иллюстрацией перераспределения риска и других
явлений, свойственных механизмам страхования32.
Результат леммы 2.6.2 позволяет сделать ряд выводов о возможности
децентрализации механизма страхования в случае несклонного к риску
страховщика. Выше было установлено, что существует минимальное
значение суммарного дохода АЭ подсистемы, при котором заключение
контракта еще выгодно для несклонного к риску страховщика. Предпо-
ложим, что при заданном наборе страхователей ожидаемая полезность

32
Вывод о стабилизации страхового портфеля с ростом числа страхователей
обычно делается в результате анализа именно вероятности разорения (грубо
говоря – из неравенства Чебышева, то есть из оценок дисперсий распределений)
[90]. Выше удалось привести обоснование этого свойства с точки зрения ожи-
даемых значений, то есть – первых моментов распределений.
126
центра (2.6.13) неотрицательна. Тогда допустимой является такая децен-
трализация механизма страхования – добавление такого набора страхов-
щиков (центров промежуточного уровня), при котором все контракты в
подсистемах и в метасистеме (с учетом перестрахования) будут допусти-
мыми. Детальный анализ условий допустимости для этого случая являет-
ся достаточно громоздким и в настоящей работе не приводится.




127
III. МЕЖУРОВНЕВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

В первой и второй главах рассматривались, соответственно, меха-
низмы стимулирования и планирования в трехуровневых активных
системах, структура подчиненности в которых имела вид дерева, то есть
каждый АЭ был подчинен одному и только одному центру промежуточ-
ного уровня, а каждый центр промежуточного уровня был подчинен
единственному центру. Как правило, говоря об иерархии, неявно имеют в
виду именно древовидную структуру. Понятно, что в реальных много-
уровневых организационных системах может иметь место более сложная
структура подчиненности, в частности конкретный АЭ может быть непо-
средственно подчинен как некоторому центру промежуточного уровня,
так и центру верхнего уровня, или одновременно нескольким центрам
промежуточного уровня и т.д. Поэтому в настоящей главе рассматрива-
ются эффекты, связанные с "нарушениями иерархичности", то есть межу-
ровневое взаимодействие участников АС.
Одним из возможных "нарушений иерархии" является наличие
двойного межуровневого подчинения, когда один АЭ или промежуточ-
ный центр подчинен одновременно двум или более управляющим орга-
нам, находящимся на различных уровнях иерархии. Пример структуры
подчиненности, соответствующий этому случаю, приведен на рисунке 6
(АЭ2j подчинен одновременно центру и j-му промежуточному центру).
Рассмотрим ряд конкретных моделей.
Пусть в трехуровневой АС, описанной в разделе 1.2, центр имеет
полную информацию о моделях несвязанных активных элементов (агре-
гирование информации отсутствует). Предположим, что центр верхнего
уровня, имея в своем распоряжении ФЗП c ? 0, может некоторую его
часть ? c, ? ? [0;1], использовать на стимулирование промежуточных
центров, а остаток – (1-?)c – на стимулирование непосредственно актив-
ных элементов (см. также раздел 1.8). Таким образом, задача стимулиро-
вания заключается в распределении ФЗП, то есть – в определении опти-
мального соотношения между частью ФЗП, передаваемой
промежуточным центрам и используемой последними на выплаты актив-
ным элементам, и частью ФЗП, используемой центром непосредственно
на стимулирование АЭ нижнего уровня. Стимулирование АЭ центром
является проявлением межуровневого взаимодействия (нарушением


128
принципа единоначалия, то есть древовидной структуры подчиненности)
и обозначено на рисунке 6 жирной линией.
Таким образом, целевая функция АЭ имеет вид:
˜
(3.1.1) fij(yij) = ? ij(yij) + ?ij(yij) – cij(yij),
˜
где ? ij – стимулирование со стороны центра, ?ij – стимулирование со
стороны

Метасистема




Центр j -я подсистема




••• •••
Ц1 Ц2 Цj Цn


••• •••
•••


••• •••
АЭ1j АЭ2j АЭij АЭn j j



Рис. 6. Пример двойного межуровневого подчинения АЭ

промежуточного центра. Система стимулирования должна удовле-
творять следующим ограничениям: ? yij ? Aij
(3.1.2) ? ?ij(yij) ? Cj, ? Cj ? ? c, 0 ? ? ij(yij) ? ?ij c, ? ?ij ? 1-?.
˜
i j i, j
Стратегия центра заключается в выборе параметров ? и {?ij} (огра-
˜
ничений на стимулирование АЭ) и функций стимулирования {? ij(yij)}.
Целевая функция промежуточного центра имеет вид:
(3.1.3) ?j(yj) = Hj(yj) + ?j(yj) – ? ?ij(yij),
i




129
n
? ? j ( y j ) ? с, а целевая функция центра верхнего уровня
где ? yj ? Aj
j =1
имеет вид:
n
?? j ( y j) – ? ˜
? ij(yij).
(3.1.4) ?(y) = H(y) –
j =1 i, j
Множество действий АЭ, реализуемых в j-ой подсистеме, определя-
ется (ср. с (1.2.12)):
nj
?
? cij ( y ij )
(3.1.5) Pj(Cj, ?, {?ij}) = {yj?Aj | – Hj(yj) ? Cj + (1 - ?) c ?ij}.
i =1 i
Эффективность стимулирования в трехуровневой АС в рамках ГБ
равна (ср. с (1.2.13)):
˜
K 4(c) = max max max
(3.1.6)
?? ij ?1?? ? C j ??c
? ?[ 0;1]
i, j j

nj
n
? cij ( y ij ) }].
[H(y)+ ? {Hj(yj) –
max
y j?P j ( C j ,? ,{? ij}) i =1
j =1
Сравним эффективности (3.1.6) и (1.2.13). Целевые функции в них
одинаковы, отличаются лишь допустимые множества, причем (3.1.5)
является "декомпозицией" множества реализуемых действий (1.2.12).
Содержательно, такая "декомпозиция" соответствует разделению ресурса
центра (ФЗП) на две части – непосредственное стимулирование АЭ и
стимулирование промежуточных центров. Можно сделать вывод, что ? c
˜
? 0 K 4(c) ? K4(c). Так как при ? = 0 обе модели совпадают, то оптималь-
ным является использование всего ФЗП на стимулирование промежуточ-
ных центров. Интересно отметить, что сделанный вывод, на первый
взгляд, неочевиден для случая негативного влияния экономического
фактора. Однако, даже если часть ресурсов тратится на поддержку функ-
ционирования участников промежуточного уровня, то этот факт должен
учитываться в условиях неотрицательности целевых функций промежу-
точных центров (см. разделы 1.2, 1.3).
В рассматриваемой модели все управляющие органы обладали дос-
таточной свободой в принятии решений (распределении фондов стимули-
рования и т.д.). Если в некоторой организационной системе зафиксирова-
но такое разграничение функций управления, при котором центры
промежуточного уровня обязаны в точности выполнять все исчерпываю-
щие решения центра верхнего уровня (например, приказы в армии), то
возможно, что двойное межуровневое подчинение АЭ и не приведет к
130
снижению эффективности управления. Примером здесь также может
служить распространенное на практике целевое финансирование, при
котором статьи расходования средств, получаемых, например, Цj от
центра, строго фиксированы. Использование подобных жестких принци-
пов управления фактически соответствует полному прямому подчинению
активных элементов центру верхнего уровня.
В разделе 1.2 было доказано, что, если экономический фактор отсут-
ствует, то эффективность стимулирования в трехуровневой АС не выше,
чем в соответствующей двухуровневой. Выше мы показали, что в трех-
уровневой АС "двойное подчинение" активных элементов центрам раз-
ных уровней иерархии не увеличивает эффективности по сравнению с
"прямым" подчинением. Эти результаты были получены при предполо-
жении, что агрегирование информации отсутствует. Если имеет место
агрегирование информации и/или информационный фактор (см. разделы
1.3 и 1.6, соответственно), то эффективность стимулирования при введе-
нии косвенного подчинения тем более не возрастет. Содержательно, это
связано с тем, что, как правило, в многоуровневых системах центр ин-
формирован о моделях АЭ не лучше, чем центры промежуточного уров-
ня.
Следовательно, если производится децентрализация двухуровневой
АС (или в более общем случае в многоуровневой АС вводятся дополни-
тельные промежуточные уровни управления), то в ряде случаев целесо-
образна "развязка" управления между уровнями – непосредственное
управление "через уровень" может оказаться неэффективным. Аналогич-
ные эффекты имеют место и в других моделях АС, некоторые из которых
приводятся ниже в качестве примеров.
По аналогии с переходом от (1.2.13) к (1.3.6) возможна децентрали-
зация задачи управления, например, в модели раздела 1.5. Выражение
(1.5.12) позволяет найти оптимальную для подсистемы величину внеш-
них привлеченных средств. Аналогичное выражение, с учетом функции
дохода центра верхнего уровня, может быть записано для метасистемы.
Если допустить возможность непосредственного направления части
средств центра на управление АЭ некоторой подсистемы, то это будет
соответствовать децентрализации (1.5.11) и (1.5.12). Эффективность
управления при этом, очевидно, не увеличится. Другими словами, в
рассматриваемых моделях то, чего может "добиться" от активных эле-
ментов центр, может "добиться" от них с не б'ольшими затратами и их
непосредственный "начальник" – промежуточный центр, если последний
будет обеспечен соответствующим ресурсом.

131
Другим примером являются рассмотренные во второй главе меха-
низмы планирования, допускающие произвольную децентрализацию
(анонимные механизмы распределения ресурса, механизмы экспертизы,
механизмы открытого управления с внутренними ценами и др.). В упомя-
нутых моделях структура целевых функций активных элементов такова,
что они идентичны в двухуровневой и соответствующей ей многоуровне-
вой АС.
Итак, в рассмотренных моделях двойное подчинение активного эле-
мента управляющим органам, находящимся на различных уровнях иерар-
хии, оказывается неэффективным. Косвенным подтверждение этой неэф-
фективности является известный управленческий принцип "вассал моего
вассала – не мой вассал". Поэтому с нормативной точки зрения каждый
АЭ должен быть непосредственно подчинен только своему непосредст-
венному "начальнику" – управляющему органу, находящемуся на сле-
дующем (и только на следующем) уровне иерархии.
Возникает закономерный вопрос: почему в реальных организацион-
ных системах наблюдаются эффекты двойного межуровневого подчине-
ния? Дескриптивное объяснение таково. Выше предполагалось, что
потери эффективности могут возникать только из-за факторов агрегиро-
вания, декомпозиции задач управления и недостаточной информирован-
ности центра о моделях АЭ. Если же присутствуют, например, информа-
ционные ограничения на промежуточном уровне – например, количество
информации, которое должен переработать управляющий орган некото-
рой подсистемы, превосходит его возможности – то часть функций
управления (быть может, в агрегированном виде) вынужденно передается
на более высокий уровень. Проще говоря, основной причиной наблюдае-
мого на практике двойного межуровневого подчинения, как правило,
является некомпетентность (в объективном, а не негативном, смысле
этого слова [86]) промежуточного центра. Поэтому, с одной стороны, при
решении задач синтеза организационной, функциональной, информаци-
онной и других структур активной системы априори следует допускать
возможность двойного подчинения, стремясь, тем не менее, избежать его
насколько это возможно. С другой стороны, наличие двойного межуров-
невого подчинения в реальной организационной системе косвенно свиде-
тельствует о неоптимальности ее функционирования и должно послужить
руководителю сигналом о необходимости пересмотра структуры, а ино-
гда и состава, системы [124,134].
Второй возможностью "нарушения иерархии" является наличие
двойной подчиненности некоторого АЭ или промежуточного центра двум
управляющим органам, лежащим на одном более высоком ("следующем")
132
уровне иерархии (при заданном разграничении их полномочий). Актив-
ные системы такого рода получили название активных систем с распре-
деленным контролем (РК) [96]33. Примером является активная система,
структура подчиненности в которой приведена на рисунке 7: АЭ2j подчи-
нен одновременно двум центрам промежуточного уровня – Цj и Ц2.
Рассмотрим простейшую модель двухуровневой АС с РК, состоящей
из двух центров и одного АЭ. Пусть целевая функция АЭ определяется
следующим образом:
(3.1.7) f(y) = ?1(y) + ?2(y) – c(y),
где ?i(y) – стимулирование, выбираемое i-ым центром, i = 1, 2. Целе-
вая функция i-го центра представлена в виде "доход минус стимулирова-
ние":
(3.1.8) ?i(y) = Hi(y) – ?i(y).
Множество решений игры, то есть множество действий, реализуе-
мых системой стимулирования ? = (?1,?2), есть:
{?1(y) + ?2(y) – c(y)}.
max
(3.1.9) P(?1,?2) = Arg
y ?A




33
Под этим термином в будущем наверное целесообразно понимать более
широкий класс АС, включающий как АС с РК (в современном их определении), так
и АС с двойным межуровневым подчинением, кратко рассмотренные выше.
133
Метасистема




Центр j -я подсистема




••• •••
Ц1 Ц2 Цj Цn


••• •••
•••


••• •••
АЭ1j АЭ2j АЭij АЭ n j j


Рис. 7. Пример активной системы с распределенным контролем

При выборе управляемым активным элементом действия, максими-
зирующего его целевую функцию при заданных системах стимулирова-
ния, возникает игра центров – выигрыш каждого из них зависит как от его
собственной стратегии (назначенной АЭ функции стимулирования), так и
от стратегии, выбранной другим центром. Следовательно, гарантирован-
ное значение целевой функции i-го центра имеет следующий вид:
?i(y).
max min min
(3.1.10) Kig =
? i?M i ? ? i?M ? i y?P( ? 1 ,? 2 )
Минимум по множеству реализуемых действий в выражении (3.1.10)
используется потому, что в активных системах с распределенным кон-
тролем гипотеза благожелательности в общем случае неприменима [96] –
в частности, непонятно к какому из двух центров промежуточного
уровня должен быть "благожелателен" активный элемент.
Отметим, что, в отличие от многоуровневых АС с веерной структу-
рой, в которых центры промежуточного уровня вовлечены в игру в рам-
ках соответствующей метасистемы (содержащей помимо них все элемен-
ты на более высоких уровнях), в активных системах с распределенным
контролем возникает еще одна "игра между центрами", обусловленная
тем, что они оказываются "замкнутыми" на один и тот же объект управ-
134
ления. На рисунке 7 "игра центров" условно обозначена жирной пунктир-
ной линией; непрерывной жирной линией обозначено нарушение прин-
ципа единоначалия.
Так как, с одной стороны, минимальные затраты на стимулирование
по реализации заданного действия равны затратам АЭ (см. главу 1 на-
стоящей работы и [19,81]), а, с другой стороны, центры ведут себя инди-
видуально-рационально (выплаты активному элементу со стороны каждо-
го из центров не должны превосходить соответствующего дохода от
деятельности АЭ), то получаем, что центрам (обоим!) заведомо невыгод-
на реализация действий, не принадлежащих следующему множеству:
(3.1.11) P' = {y ? A | H1(y) + H2(y) ? c(y)}.
Следует признать, что анализ игры центров, даже в рассматриваемой
простейшей модели, далеко не тривиален. Например, гарантирующие
стратегии (обеспечивающие достижение (3.1.10)) могут не реализовывать
ни один элемент множества P', может не существовать равновесных по
Нэшу стратегий центров и т.д. Детальное изучение подобных задач
выходит за рамки настоящей работы. Для проводимого анализа достаточ-
ной оказывается возможность достижения коллективно-рационального
компромисса между центрами.
Действительно, применяя рассуждения, аналогичные приведенным в
разделе 1.5, можно показать, что существует сбалансированная система
платежей между центрами, позволяющая взаимовыгодную реализуемость
любого Парето оптимального действия из множества (3.1.11). Для введе-
ния этой системы трансфертов может оказаться целесообразным "привле-
чение" управляющего органа более высокого уровня (см. более подробно
раздел 1.5 настоящей работы).
Содержательно, последнее утверждение означает, что в активных
системах с распределенным контролем возможно (и в силу эффективно-
сти по Парето будет выгодно всем управляющим органам), если это
допускается существующими ограничениями, переподчинение активного
элемента одному и только одному из центров. Другими словами, потери
центра, "теряющего" подчиненного могут быть компенсированы выиг-
рышем другого центра, получающего этого подчиненного в полное свое
подчинение. Следовательно, без учета информационного и других эффек-
тов в ряде случаев двойное подчинение одного АЭ центрам одного уров-
ня не целесообразно с точки зрения эффективности управления.
Таким образом, с нормативной точки зрения в описанных моделях
нарушение принципа единоначалия, как и присутствие двойного межу-
ровневого подчинения (см. выше), не увеличивает эффективности управ-
ления. С дескриптивной точки зрения, наблюдаемые на практике его
135
нарушения, обусловлены "некомпетентностью" соответствующих управ-
ляющих органов в рамках заданного элементного состава, функциональ-
ных, информационных и других связей, а также внутренних (индивиду-
альных) и внешних ограничений на управление.
С другой стороны, как показывает проведенный анализ, при реше-
нии задач синтеза структуры и/или механизмов управления АС не следу-
ет специально концентрировать внимание на эффектах двойного подчи-
нения – их наличие или отсутствие является автоматическим следствием
грамотной постановки задачи и корректного ее решения с учетом всей
специфики многоуровневых активных систем – экономического, инфор-
мационного, организационного и других факторов.
Отсутствие двойного подчинения (в широком смысле – как одно-
временного подчинения нескольким управляющим органам одного или
различных уровней) достаточно привлекательно с точки зрения анализа
системы – в этом случае веерная структура АС позволяет декомпозиро-
вать ее на набор базовых двухуровневых веерных активных систем,
результаты исследования которых, получаемые с применением всего
многообразия известных методов, разрабатываемых до сих пор в основ-
ном именно для двухуровневых АС, могут быть эффективно использова-
ны на этапе синтеза как структуры АС, так и механизмов управления.
В заключение настоящей главы отметим, что выше мы рассматрива-
ли в основном отрицательные проявления нарушения принципа единона-
чалия. Поэтому для полноты картины необходимо хотя бы качественно
определить те случаи, помимо упомянутых выше (информационная
нагрузка, компетентность и др.), в которых, наличие распределенного
контроля приводит к росту эффективности управления.
Первым и достаточно ярким, как с теоретической точки зрения, так и
исходя из опыта практического использования, примером является класс
многоканальных механизмов управления, то есть механизмов, в которых
управляющие воздействия вырабатываются несколькими (как правило,
двумя) параллельно функционирующими каналами управления (принятия
решений). Содержательно, высокая (по сравнению с одноканальными)
эффективность функционирования многоканальных систем, особенно в
условиях неопределенности, обусловлена тем, что эффективности реше-
ний, предлагаемых управляющими органами, в различных условиях
функционирования также различны [17,21].
Во-вторых, следует подчеркнуть, что все выводы, сформулирован-
ные в настоящей работе, были получены для моделей многоуровневых
активных систем, в которых управляемыми параметрами являются ска-
лярные (одномерные) величины – действия активных элементов (см.
136
предположение А.2 в разделе 1.1.). В частности, выше при исследовании
межуровневого взаимодействия вывод о неэффективности двойного
межуровневого подчинения и распределенного контроля был сделан
именно для "скалярных" АЭ. Содержательно, рассматривалось управле-
ние некоторым конкретным аспектом деятельности каждого АЭ. Понят-
но, что в реальных организационных системах деятельность управляемо-
го объекта не всегда может быть описана единственной переменной.
Следовательно, результат настоящей главы более корректно может быть
сформулирован следующим образом: в ряде случаев "двойное" управле-
ние одними и теми же аспектами деятельности не эффективно (более
того, в большинстве случаев дублирование управления вредно).
Если перейти от одномерной модели АЭ, для которой именно ли-
нейная иерархическая (древовидная) структура системы управления
имеет максимальную эффективность, к многомерной модели, то получим

<<

стр. 4
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>