<<

стр. 2
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

страхования в моделях теории контрактов, перейдем к описанию
задачи синтеза оптимального трудового контракта в терминах
теории контрактов.
Пусть целевая функция несклонного к риску агента f(?(?), y, z)
представляет собой разность между полезностью u(?(z)) от стиму-
лирования ?(z), получаемого от центра и зависящего от результата
деятельности агента, и детерминированными затратами c(y), то
есть
(31) f(?(?), y, z) = u(?(z)) – c(y).

37
Целевая функция нейтрального к риску центра ?(?(?), y, z)
представляет собой разность между детерминированным доходом
H(y) и стимулированием:
(32) ?(?(?), y, z) = H(y) – ?(z).
Задача синтеза оптимального контракта, описываемого корте-
жем (?*(?), y*), заключается в поиске такой зависимости ?*(?) возна-
граждения агента от результатов его деятельности, которая макси-
мизировала бы ожидаемое значение целевой функции центра при
условии, что агент в рамках заключенного страхового контракта
выбирает действие y*, максимизирующее ожидаемое значение его
собственной целевой функции, то есть:
(33) E?(?(?), z, y*) > max ,
? (?)

(34) y* = arg max Ef(?(?), z, y).
y? A

Для решения задачи (33)-(34) в случае конечных множеств до-
пустимых действий агента и допустимых результатов его деятель-
ности возможно использовать двушаговый метод1, заключающееся
в следующем. На первом шаге для фиксированного действия аген-
та ищется минимальная (в смысле ожидаемых затрат центра на
стимулирование) система стимулирования, реализующая это дей-
ствие. На втором шаге ищется оптимальное реализуемое действие
агента.
Недостатком данного метода является, во-первых, возмож-
ность его использования только для дискретных задач, во-вторых,
высокая вычислительная сложность (если возможны k действий
агента, то необходимо решать k задач выпуклого программирова-
ния), в-третьих, отсутствие возможности анализа зависимости
оптимального контракта от параметров модели.
Завершив рассмотрение основных подходов к задаче стимули-
рования, используемых в теории управления, перейдем к обсужде-
нию этой задачи с точки зрения экономики труда.



1
Если и центр, и агент нейтральны к риску, то решение задачи (33)-(34) неодно-
значно, что качественно объясняется бессмысленностью перераспределения
риска между субъектами, одинаково к нему относящимися.
38
4. ПРОБЛЕМА СТИМУЛИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ
ТРУДА

Экономика труда – раздел экономической теории, изучающий
функционирование рынка в сфере труда, то есть поведение рабо-
тодателей и работников в ответ на действие общих факторов:
заработной платы, цен, условий труда и т.д. В контексте исследо-
вания задач стимулирования нас будет интересовать индивидуаль-
ное поведение на рынке труда (точнее, те его составляющие, кото-
рые определяются действующими на этом рынке механизмами и
системами стимулирования), то есть принципы принятия решений
агентом, являющимся субъектом рынка труда. Поэтому в настоя-
щем разделе описывается модель взаимодействия агента и центра
(соответственно, работника и предприятия), то есть в основном
рассматривается эффективная, а не рыночная заработная плата.
Прерогативой агента – стороны, предлагающей рабочую силу
на рынке труда, является, в частности, определение (совместно с
работодателем) продолжительности рабочего времени, понимае-
мой в широком смысле – и как продолжительность рабочего дня, и
как возможную работу в течение неполного рабочего дня и т.д. Для
простоты будем считать, что единственной альтернативой рабоче-
му времени является время, затрачиваемое на досуг, поэтому
предложение труда эквивалентно спросу на досуг [17].
Опять же для упрощения изложения, пока не будет оговорено
особо, будем считать, что совокупный доход пропорционален
количеству отработанных часов, то есть, предположим, что на
рынке труда используются только пропорциональные (повремен-
ные) системы стимулирования, в которых ставка оплаты постоянна
и не зависит от суммарного количества отработанных часов.
Проанализируем поведение агента на рынке труда, то есть, ис-
следуем его предпочтения в дилемме «труд – досуг», в рамках
которой характеристикой предложения труда является желаемая
продолжительность рабочего времени. Анализ будем проводить,
последовательно усложняя описание модели поведения – от каче-




39
ственного вербального обсуждения к графическому анализу и,
наконец, к формальной математической модели1.
В экономике труда считается, что индивидуальное поведение
на рынке рабочей силы определяется двумя эффектами – дохода и
замещения [17]. Опишем модель принятия агентом решения отно-
сительно продолжительности рабочего времени.
Пусть полезность агента u(q, t) зависит от его дохода q ? ?1 и
продолжительности ежедневного свободного времени (времени
досуга) t ? [0; T], где свободное и рабочее время ? ? [0; T] связаны
условием2 t + ? = T. В некоторых работах зарубежных авторов
полезность определяется на множестве пар «время досуга агента ?
количество товаров и услуг, которые он может приобрести». По-
нятно, что если цены на товары и услуги фиксированы, то такое
представление эквивалентно введенному выше.
Предположим, что функция полезности u(q, t) непрерывно
дифференцируема, частично строго монотонна и имеет убываю-
щие и выпуклые кривые безразличия.
Если у агента отсутствуют нетрудовые доходы (non-wage in-
come), то его доход равен заработной плате и однозначно опреде-
ляется продолжительностью рабочего времени, то есть q(t) = ?(?).
Функция полезности u(?) ставит в соответствие каждой аль-
тернативе – паре (q, t) – действительное число, интерпретируемое
как полезность этой альтернативы. Считается, что чем выше по-
лезность альтернативы, тем «лучше» она с точки зрения данного
агента.
Предположим, что u(?) – монотонная непрерывная функция
своих переменных, то есть как увеличение дохода при фиксиро-



1
Все выводы, получаемые в рамках качественного анализа, остаются в силе и
при графическом анализе. То же самое соотношение справедливо для графиче-
ского и формального анализа. При этом чем более «формализованное» описание
используется исследователем, тем более детальные и конструктивные (в рамках
модели) выводы он может сделать.
2
Обычно в экономике труда считается, что продолжительность рабочего дня
не может превышать T = 16 часов (как минимум 8 часов в сутки человек должен
тратить на сон, прием пищи и т.д.), то есть рабочее время ? ? [0; T]. Если t –
свободное время (время, которое тратится на досуг), то выполнено: ? + t = T.
40
ванном времени досуга, так и увеличение времени досуга при
фиксированном доходе, приводят к увеличению полезности1.
Некоторому фиксированному значению полезности ? может
соответствовать целое множество альтернатив, имеющих эту
полезность: {(q, t) | u(q, t) = ?}. Если изобразить это множество в
координатах (t, q), то получим кривую безразличия (изокванту),
которую также обозначим ?. Кривые безразличия функции полез-
ности агента в рассматриваемой модели обладают следующими
свойствами:
1. Если ?1 и ?2 – две кривые безразличия, и ?2 > ?1, то кривая ?2
расположена выше и правее кривой ?1 (см. рисунок 10)2.

q


?2 > ?1
?2
?T ?1
A

? t
0 t* T

Рис. 10. Кривые безразличия
и бюджетное ограничение

2. Кривые безразличия не имеют общих точек.
3. Кривая безразличия строго монотонно убывает. Это ее
свойство имеет следующую содержательную интерпретацию: при
фиксированном уровне полезности нельзя одновременно увели-
чить и доход, и время досуга.

1
В качестве модельных и теоретических зависимостей функции полезности от
дохода и рабочего времени в литературе использовались следующие: u = qa tb,
u = [a (? + ?) + U ]b[T – (? + c)]d, где a, b, c, d, ?, U – константы.
2
Это утверждение – графическая иллюстрация доминирования по Парето
любой альтернативой, имеющей полезность ?2, любой альтернативы, имеющей
строго меньшую полезность ?1.
41
4. Кривая безразличия является выпуклой. Это менее очевид-
ное, но признаваемое почти всеми исследователями, свойство
качественно отражает представление о том, что агент больше
ценит то, чего ему сильнее не хватает (любая комбинация дохода и
свободного времени более ценна, чем каждая из компонент по
отдельности). Действительно, в соответствии с первым законом
Госсена каждая следующая единица потребляемого блага имеет
для потребителя меньшую ценность, чем его предшествующая
единица. Этот закон касается только тех благ или ресурсов, каждая
следующая единица которых, будучи вовлеченной в процесс по-
требления, делает этот ресурс менее редким. К такому типу ресур-
сов относятся и доход, и свободное время.
5. Кривые безразличия в совокупности «покрывают» всю
плоскость (t, q). В том числе, каждая внутренняя точка первого
квадранта этой координатной плоскости принадлежит одной и
только одной кривой безразличия (см. второе их свойство).
Если ставка оплаты, которая выше обозначена ?, постоянна и
нетрудовые доходы (non-wage income) отсутствуют, то графически
зависимость суммарного дохода от часов досуга можно изобразить
прямой из точки1 (T; 0) (если число отработанных часов ? = T – t
равно нулю, то, очевидно, равен нулю и доход) в точку (0; ? T)
(отработав T часов, агент получит доход ? T). Эта прямая отражает
так называемое бюджетное ограничение.
Так как ставка оплаты является альтернативной стоимостью
часа досуга, то условием оптимума (максимума полезности) явля-
ется касание прямой бюджетного ограничения кривой безразличия
[17]. На рисунке 10 кривая безразличия ?1 касается прямой бюд-
жетного ограничения в точке А. То есть в рамках введенных пред-
положений в равновесии для агента альтернативные издержки
одного часа досуга равны ставке заработной платы (и наоборот) –


1
Если агент имеет нетрудовые доходы в размере qT, то прямая бюджетного
ограничения будет проходить через точку (T; qT ). Сделанные выводы не отно-
сятся к самозанятым (self-employed) работникам, чьи доходы, хотя и являются
трудовыми, но в решающей степени определяются не продолжительностью
рабочего времени, а стратегией действий в качестве производителей товаров и
услуг.
42
тому дополнительному заработку, который мог бы быть получен
при работе в течение этого часа.
Изменение ставки оплаты (угла наклона бюджетного ограни-
чения) приводит к изменению точки оптимума – точки касания.
Сдвиг точки касания влево соответствует уменьшению времени
досуга (проявление эффекта замещения), сдвиг вправо – росту
времени досуга (проявление эффекта дохода). То, в какую сторону
сдвинется точка касания, в каждом конкретном случае зависит от
предпочтений агента, отражаемых его функцией полезности, то
есть от свойств кривых безразличия. Никаких как более общих
выводов, так и конкретных закономерностей индивидуального
поведения на рынке труда, установить в рамках рассматриваемой
модели невозможно – действительно, у каждого человека в общем
случае имеется своя система предпочтений и, используя очень
общие предположения о свойствах функции полезности, введен-
ные выше, невозможно предсказать его поведение в каждом кон-
кретном случае1.
Обсудим последнее утверждение более подробно. Ряд иссле-
дователей констатирует, что «теория не в состоянии показать (или
предсказать) какой из эффектов – замещения или дохода – возоб-
ладает при изменении ставки заработной платы» [17, С. 222]. Более
того, ряд экспериментальных данных, полученных зарубежными
авторами (см. ссылки в [8]), свидетельствует, что у мужчин (в
большинстве исследований – американских) и эффект дохода, и
эффект замещения невелики (в смысле эластичности) и, возможно,
даже равны нулю. Женщины (опять же, в большинстве случаев –
американские) более чувствительны к изменениям ставки заработ-
ной платы и у них эффект замещения превалирует над эффектом
дохода. Однако это влияет, в основном, не на изменение продол-
жительности рабочего времени, а на принятие решения об участии
в трудовой деятельности. Нет необходимости подчеркивать, что
даже качественные выводы, сделанные на основании анализа
статистических данных, полученных для американского рынка
труда, скорее всего, неприменимы в российских условиях.

1
Естественно, применяя используемую технику анализа к конкретной функции
полезности, можно определить для данного агента желательную продолжи-
тельность рабочего времени.
43
Таким образом, графический анализ предпочтений позволяет
из условия оптимума по заданным функции полезности (точнее –
семейству кривых безразличия) и ставке заработной платы (точнее
– бюджетному ограничению) определить желательную продолжи-
тельность рабочего времени (точнее – времени досуга).
Перечисленные качественные свойства кривых безразличия и
условие оптимума очевидны. В то же время, они позволяют не
только находить решение дилеммы «труд/досуг», но и исследовать
(по крайней мере, на качественном уровне) дилемму
«труд/досуг/работа дома» и другие эффекты, в том числе – влияние
компенсационных выплат (социальные программы, компенсации
временной потери трудоспособности и т.д.) на предложение труда
[17 и др.].
Перейдем к формальному анализу модели индивидуального
поведения на рынке труда.
Если уравнение u(q, t) = ? разрешимо относительно q, то мож-
но получить уравнение кривой безразличия: q = v(?, t). Обозначая
?u ( q, t ) ?u ( q, t )
ut? = ?
, uq = , получаем выражение для производ-
?t ?q
ной кривой безразличия:
dq
= – ut? / u q .
?
(35)
dt
Если ? – постоянная ставка оплаты, то прямая бюджетного ог-
раничения имеет вид:
(36) q(t) = ? ? = ? (T – t).
Агент решает задачу выбора такого значения t* времени досу-
га (и, соответственно, рабочего времени ?* = T – t*), которое мак-
симизировало бы его полезность:
(37) t* ? Arg max u(q(t), t),
t?[ 0;T ]

где q(t) определяется выражением (36). Необходимое условие
оптимальности – равенство нулю производной по t выражения
u(q(t), t):
dq
? + ut? = 0.
uq
dt

44
Подставляя (36), запишем условие оптимума следующим об-
разом:
(38) ut? = ? u q .
?
Воспользовавшись (35), получаем, что необходимое условие
оптимальности графически можно интерпретировать как условие
касания кривой безразличия прямой бюджетного ограничения (см.
рисунок 10). Отметим, что (38) является условием оптимума при
«внутренних» решениях задачи (37). Если максимум в выражении
(37) достигается при t = T (граничное решение), то говорят, что
имеет место «угловое решение» [17].
Содержательно, «угловое решение» соответствует оптималь-
ности для рассматриваемого агента решению «не работать вооб-
ще», так как любой час своего досуга (в том числе и шестнадца-
тый) он ценит выше предлагаемой ставки оплаты. На рисунке 11
изображено «угловое решение», то есть при ставке резервной
заработной платы ? и величине «нетрудовых доходов» qT (дохо-
дов агента, не зависящих от количества отрабатываемых часов,
например – рента, пособия и т.д.) кривая безразличия ? касается
прямой бюджетного ограничения в точке А (t* = T – см. рисунок
11) или правее. Возможно и другое «угловое решение» – «не отды-
хать вообще».

q



?

? A

qT t
0 t*=T

Рис. 11. «Угловое решение»

Итак, рассмотрены условия оптимальности при использовании
центром пропорциональных систем оплаты. Та же идеология
45
используется для исследования условий оптимальности при ис-
пользовании центром произвольных (не только пропорциональ-
ных) систем оплаты.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение описанно-
го метода определения оптимального времени досуга.
Пример 4. Пусть функция полезности имеет вид: u(q, t) = ? q t,
где ? – некоторая положительная константа1. Кривой безразличия ?
?1
в данном случае является гипербола: q(t) = . Из условия (38)
?t
получаем:
?
(39) t* = .
??
Из выражения (39) следует, что имеют место и эффект дохода:
* *
?t (? , ? ) ?t (? , ? )
? 0, и эффект замещения: ? 0.
?? ??
? = Const ? = Const
Существуют два способа определения оптимального времени
досуга. Первый заключается в использовании условия (38):
dq
= ? ? . Проверяя, что оптимально внутреннее решение
dt
(u(0) = u(T) = 0), получаем: t* = T/2.
Второй способ заключается в «лобовом» решении задачи мак-
симизации полезности (см. (37)):
t* = arg max u(q(t), t) = arg max {?? t (T – t) } = T / 2.
t?[ 0 ;T ] t?[ 0 ;T ]
Интересно отметить, что при рассматриваемой функции по-
лезности оптимальное решение t* равно восьми часам и не зависит
от ставки оплаты. В то же время, максимальное значение полезно-
сти u* = ? ? T2 / 4 возрастает с ростом ставки оплаты. •
Напомним, что до сих пор рассматривались модели индивиду-
ального поведения на рынке труда в предположении, что за каж-

1
В приводимых в настоящей работе примерах фигурируют постоянные коэффи-
циенты. Необходимость их введения обусловлена соображениями согласования
размерностей. Так, в рассматриваемом примере коэффициент ? имеет размер-
ность «единица полезности / (рубль ? час)».
46
дый отработанный час агент получает одинаковую оплату (ставка
оплаты считалась постоянной). Откажемся от этого предположе-
ния, то есть расширим класс допустимых систем стимулирования
(любая система стимулирования может рассматриваться как про-
порциональная с переменной ставкой оплаты).
Действием агента будем считать продолжительность рабочего
времени ?, которая однозначно определяет продолжительность
свободного времени: t = T – ?, то есть y = ?, A = [0; T]. Предполо-
жим, что центр использует некоторую (не обязательно пропорцио-
нальную) систему стимулирования ?(?). Определим функцию
˜
«оплаты свободного времени» ? (t) = ?(T – t). Отметим, что, если
?(?) – возрастающая (убывающая, выпуклая, вогнутая) функция, то
˜
? (t) – убывающая (соответственно, возрастающая, выпуклая,
вогнутая) функция.
Введем зависимость дохода от свободного времени:
˜
q(t) = ? (t) = ?(T – t).
Определяя наиболее предпочтительное (с точки зрения значе-
ния своей функции полезности u(q, t)) значение продолжительно-
сти рабочего времени, агент решает следующую задачу:
(40) u(q, t) = u(?(T – t), t) > max .
t?[0;T ]
Предполагая существование внутреннего решения t* ? (0; T),
получаем необходимое условие оптимальности:
ut' ˜
(41) ' = – ? ' (t) = ? ' (T – t) = ? ' (?).
uq
Левая часть выражения (41) с точностью до знака совпадает с
производной кривой безразличия функции полезности, следова-
тельно, в точке оптимума графики кривой безразличия полезности
u(?) и функции стимулирования ?(?) должны иметь общую каса-
тельную. Содержательно это утверждение означает, что предель-
ный доход должен быть равен предельному стимулированию
d? (? )
dq (t * )
=? ), то есть в точке оптимума альтернативная
(
d? ? = T ? t *
dt
стоимость единицы свободного времени по абсолютной величине


47
равна скорости изменения вознаграждения (см. также условия
оптимальности для базовых систем стимулирования).
Второй важный (и достаточно очевидный) вывод, который
следует из анализа выражения (41), заключается в том, что в точке
оптимума ?* = T – t* производная функции стимулирования ?(?)
должна быть положительна (так как положительны обе производ-
ные функции полезности, фигурирующие в левой части (41); дей-
ствительно, выше предполагалось, что полезность агента возраста-
ет как с ростом дохода, так и с увеличением продолжительности
свободного времени). Более того, так как «рабочим» оказывается
участок функции стимулирования с положительной производной,
то в рамках рассматриваемой модели для любой функции стиму-
лирования найдется монотонная (неубывающая) функция стиму-
лирования, побуждающая агента выбрать то же действие. Следова-
тельно, справедливо следующее утверждение: при решении задач
синтеза оптимальных функций стимулирования достаточно
(без потери эффективности) ограничиться классом неубываю-
щих функций стимулирования.
Это утверждение вполне согласовано со здравым смыслом и
практическим опытом – большим значениям действий (отработан-
ному времени и т.д.) должно соответствовать большее вознаграж-
дение.


ЧАСТЬ 2. БАЗОВЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ

5. ОПИСАНИЕ БАЗОВЫХ СИСТЕМ СТИМУЛИРОВАНИЯ

Перечислим базовые системы стимулирования.
Скачкообразные системы стимулирования (С-типа) характе-
ризуются тем, что агент получает постоянное вознаграждение
(равное заранее установленному значению C), при условии, что
выбранное им действие не меньше заданного, и нулевое вознагра-
ждение, при выборе меньших действий (см. рисунок 12):
?C , y ? x
(1) ?С(x,y) = ? .
0, y < x
?

48
Параметр x ? X называется планом – желательным с точки
зрения центра состоянием (действием, результатом деятельности и
т.д.) агента.
Системы стимулирования С-типа могут интерпретироваться
как аккордные, соответствующие фиксированному вознагражде-
нию при заданном результате (например, объеме работ не ниже
оговоренного заранее, времени и т.д. – см. ниже более подробно).
Другая содержательная интерпретация соответствует случаю,
когда действием агента является количество отработанных часов,
то есть, вознаграждение соответствует, например, фиксированному
окладу без каких либо надбавок и оценки качества деятельности.

?С(x,y)


C



y
0 x

Рис. 12. Скачкообразная система
стимулирования

Величины, соответствующие системам стимулирования С-
типа, будем индексировать «С», например MC – множество скачко-
образных систем стимулирования и т.д.
Отметим, что большинство базовых систем стимулирования
являются параметрическими, например, класс MC ? M определяет-
ся заданием, помимо (1), множества допустимых планов X (отно-
сительно которого обычно предполагают, что оно совпадает с
множеством допустимых действий агента: X = A, или с множест-
вом действий PM, реализуемых при заданных ограничениях меха-
низма стимулирования).
Квазискачкообразные системы стимулирования (QC-типа) от-
личаются от скачкообразных тем, что вознаграждение выплачива-
ется агенту только при точном выполнении плана (см. рисунок 13):
49
?C , y = x
(2) ?QС(x,y) = ? .
0, y ? x
?
Следует отметить, что системы стимулирования QC-типа1 яв-
ляются достаточно экзотическими (особенно в условиях неопреде-
ленности непонятно, что понимать под точным выполнением
плана) и редко используются на практике.


?QC(x, y)

.
C



y
0 x
Рис. 13. Квазискачкообразная система стимулирования

Множество квазискачкообразных систем стимулирования обо-
значим MQC.
Если на абсолютную величину вознаграждения агента не на-
ложено никаких ограничений, то необходимо доопределить, что
понимать под величиной C в (1) и (2), то есть амплитуда «скачка»,
также как и план, может являться переменной величиной, каковой
и будем ее считать в системах стимулирования С-типа и QС-типа.
Компенсаторная система стимулирования (К-типа) характери-
зуется тем, что агенту компенсируют затраты при условии, что его
действия лежат в определенном диапазоне, задаваемым, например,
ограничениями на абсолютную величину индивидуального возна-
граждения:
?c( y ), y ? x
(3) ?K(x,y) = ? ,
y>x
?0,

1
Символ «Q» и приставка «квази-» обозначает квази-систему стимулирования,
вознаграждение совпадает с вознаграждением в исходной системе стимулиро-
вания в случае выполнения агентом плана (y = x) и равно нулю в остальных
случаях (y ? x).
50
где x ? c -1(C), c –1(?) – функция, обратная функции затрат агента, то
есть центр может компенсировать агенту затраты при y ? x и не
оплачивать выбор больших действий (см. рисунок 14).
?K(x, y) c(y)


c(x)


y
0 x
Рис. 14. Компенсаторная система
стимулирования
Множество компенсаторных систем стимулирования обозна-
чим MK.
Квазикомпенсаторные системы стимулирования (QK-типа)
отличаются от компенсаторных тем, что вознаграждение выплачи-
вается агенту только при точном выполнении плана (см. рисунок
15):
?c( y ), y = x
(4) ?QK(x,y) = ? .
0, y ? x
?
Множество квазикомпенсаторных систем стимулирования
обозначим MQK. Этот класс систем стимулирования относительно
подробно описан выше во втором разделе.
?QK(x, y) c(y)

.
c(x)



y
0 x
Рис. 15. Квазикомпенсаторная система
стимулирования
51
Пропорциональные системы стимулирования (L-типа). На
практике широко распространены системы оплаты труда, основан-
ные на использовании постоянных ставок оплаты: повременная
оплата подразумевает существование ставки оплаты единицы
рабочего времени (как правило, часа или дня), сдельная оплата –
существование ставки оплаты за единицу продукции и т.д. Объе-
диняет эти системы оплаты то, что вознаграждение агента прямо
пропорционально его действию (количеству отработанных часов,
объему выпущенной продукции и т.д.), а ставка оплаты ? ? 0
является коэффициентом пропорциональности (см. рисунок 16):
(5) ?L(y) = ? y.


c(y)
?L(y)




?
y
0

Рис. 16. Пропорциональная система стимулирования

В более общем случае возможно, что часть вознаграждения
агента выплачивается ему независимо от его действий, то есть
пропорциональная система может иметь вид ?L(y) = ?0 + ? y.
Множество пропорциональных систем стимулирования обо-
значим ML.
Системы стимулирования, основанные на перераспределении
дохода (D-типа) используют следующую идею [7, 9]. Так как
центр выражает интересы системы в целом, то можно условно
идентифицировать его доход и доход от деятельности всей органи-
зационной системы. Поэтому возможно основывать стимулирова-
ние агента на величине дохода центра – положить вознаграждение


52
агента равным определенной (например, постоянной) доле дохода
центра1:
(6) ?D(y) = ? H(y),
где ? ? [0; 1]. На сегодняшний день формальные модели с пере-
менной долей ?(y), к сожалению, не исследованы. Множество
систем стимулирования, основанных на перераспределении дохо-
да, обозначим MD.
По аналогии с тем, как это делалось для скачкообразных и
компенсаторных систем стимулирования, можно ввести квазили-
нейные системы стимулирования (QL-типа), при использовании
которых агент получает вознаграждение, пропорциональное плану,
в случае его выполнения, и нулевое вознаграждение во всех ос-
тальных случаях. Аналогично определяются системы стимулиро-
вания QD-типа.
Еще раз отметим, что системы стимулирования C, L и D-типа
являются параметрическими:
- для определения скачкообразной системы стимулирования
достаточно задать пару (x, C);
- для определения пропорциональной системы стимулирова-
ния достаточно задать ставку оплаты ?;
- для определения системы стимулирования, основанной на
перераспределении дохода, достаточно задать норматив ?.
Степенные системы стимулирования представляют собой дос-
таточно искусственную конструкцию, когда вознаграждение аген-
та пропорционально его затратам в определенной степени:
(7) ?B(y) = ? c?(y),
где ? ? (0; 1). Использование степенных систем стимулирования
оказывается эффективным в многоэлементных ОС с неопределен-
ностью [12, 14]. В настоящей работе рассматривать их подробно
мы не будем.
Перечисленные выше системы стимулирования являются про-
стейшими, представляя собой элементы «конструктора», используя
которые можно построить другие более сложные системы стиму-
лирования. Для возможности такого «конструирования» необхо-
1
Следует отметить, что согласно действующему законодательству доходы по
акциям и другие доходы от участия работников в собственности предприятия
не относятся к фонду заработной платы.
53
димо определить операции над системами стимулирования. Для
одноэлементных ОС достаточно ограничиться операциями сле-
дующих трех типов.
Первый тип операции – переход к соответствующей квази-
системе стимулирования описан выше – вознаграждение считается
равным нулю всюду, за исключением действия, совпадающего с
планом. В детерминированных организационных системах «обну-
ление» стимулирования во всех точках, кроме плана, в рамках
гипотезы благожелательности практически не изменяет свойств
системы стимулирования, поэтому в ходе дальнейшего изложения
не будем акцентировать внимание на различии некоторой системы
стимулирования и системы стимулирования, получающейся из
исходной применением операции первого типа.
Второй тип операции – разбиение множества возможных дей-
ствий на несколько подмножеств и использование различных
базовых систем стимулирования на различных подмножествах.
Получающиеся в результате применения операции второго типа
системы стимулирования будем называть составными и обозна-
чать последовательной записью обозначений ее компонент.
Например, центр может фиксировать планы x1 и x2 (x1 ? x2) и
использовать систему стимулирования С-типа со скачком в точке
x1 при действиях агента, меньших x2, и пропорциональную систему
стимулирования при действиях агента, превышающих план x2
(содержательные интерпретации очевидны). Эскиз получающейся
при этом системы стимулирования CL-типа приведен на рисунке
17.
?CL(x1, x2, y)

?
C
?C
?L
y
x2
0 x1


Рис. 17. Система стимулирования CL-типа
(составная)
54
Понятно, что к одной и той же системе стимулирования мож-
но применять операцию второго типа несколько раз. Возможно
также применение операции второго типа к результатам ее пред-
шествующего применения и т.д. Например, применяя операцию
второго типа к системе стимулирования CL-типа, изображенной на
рисунке 17, то есть добавляя условие, что система стимулирования
является скачкообразной при y ? x3 ? x2, получим систему стиму-
лирования CLC-типа. Применяя к ней, в свою очередь, например,
операцию первого типа, получим систему стимулирования QCLC-
типа и т.д.
Третий тип операции – алгебраическое суммирование двух
систем стимулирования (что допустимо, так как стимулирование
входит в целевые функции участников системы аддитивно). Ре-
зультат применения операции третьего типа будем называть сум-
марной системой стимулирования и обозначать «суммой» исход-
ных систем стимулирования. Эскиз системы стимулирования C+L-
типа, получающейся в результате применения операции третьего
типа к системам стимулирования C-типа и L-типа, изображен на
рисунке 18.

?C+L(x, y)



?C
C
?L

?
y
0 x


Рис. 18. Система стимулирования
C+L-типа (суммарная)

Операцию третьего типа также можно применять последова-
тельно к результатам предшествующих ее применений, получая,
например, системы стимулирования C+L+K-типа и т.д. Возможно
55
также ее комбинированное применение с операциями первого и
второго типа.
Получающиеся в результате последовательного применения
конечное число раз1 операций первого, второго или третьего типа к
системам C-типа, или K-типа, или L-типа или D-типа (которые
называются основными [7]), а также к результатам предшествую-
щих их применений, называются производными от исходных.
Базовыми системами стимулирования назовем системы
стимулирования C-типа, K-типа, L-типа и D-типа, а также все
производные от них системы стимулирования.
Итак, базовые системы стимулирования, полученные в резуль-
тате применения только операций второго типа, названы состав-
ными. Базовые системы стимулирования, полученные в результате
применения только операций третьего типа, названы суммарными.
Основные, составные и суммарные системы стимулирования бу-
дем считать простыми базовыми. Суммарные составные системы
стимулирования назовем сложными базовыми системами стиму-
лирования.
Число различных суммарных систем стимулирования опреде-
ляется элементарно. Имеются следующие варианты: MC+C, MC+K,
MC+L, MC+D, MK+L, MK+D, ML+D (класс MK+K эквивалентен классу MK,
а класс ML+L эквивалентен классу ML), MC+K+L, MC+K+D, MC+L+D,
MK+L+D, MC+K+L+D. Учитывая, что классы MA1+A2 и MA2+A1, где2
A1, A2 ? {C, K, L, D}, эквивалентны, получаем всего двенадцать3
классов суммарных систем стимулирования.
Сложнее дело обстоит с составными системами стимулирова-
ния – их число зависит от числа точек разбиений множества до-
пустимых действий агента. Поэтому ограничимся составными
1
Несмотря на то, что число исходных систем стимулирования конечно (равно
четырем – C, K, L и D), применение к ним конечное число раз операций первого,
второго или третьего типа порождает бесконечное множество систем стиму-
лирования, хотя бы потому, что в операциях второго типа используются опера-
ции, зависящие от непрерывных параметров (планов и т.д.).
2
Условимся, что система стимулирования А-типа является обозначением
произвольной базовой системы стимулирования.
3
Понятно, что можно рассматривать суммарные системы стимулирования,
состоящие из трех и более «слагаемых», однако такие сложные системы стиму-
лирования на практике встречаются редко, поэтому рассматривать их подроб-
но не будем.
56
системами стимулирования, включающими не более двух комби-
наций. Учитывая, что комбинация компенсаторной системы сти-
мулирования с собой эквивалентна исходной, получаем пятнадцать
пар: MCC, MCK, MCL, MCD, MKC, MKL, MKD, MLL, MLC, MLK, MLD, MDD,
MDC, MDK, MDL, то есть пятнадцать классов составных систем сти-
мулирования.
Суммируя четыре основных, двенадцать суммарных и пятна-
дцать составных (двойных), получаем 31 простую базовую систему
стимулирования.
Таким образом, перечислив скачкообразные, компенсаторные,
пропорциональные и основанные на перераспределении дохода
системы стимулирования и определив три операции над ними, мы
получили возможность генерировать значительное число различ-
ных систем стимулирования.
Следует вспомнить, что в настоящей работе рассматриваются
модели стимулирования в организационных системах, поэтому
необходимо изучить, насколько полно введенные базовые системы
стимулирования охватывают используемые на практике формы
индивидуальной заработной платы.


5. ФОРМЫ И СИСТЕМЫ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ
ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ

Системой оплаты труда называется способ определения раз-
меров вознаграждения в зависимости от затрат, результатов труда
и т.д. Те или иные конкретные системы оплаты труда выделяются
в рамках более общих форм оплаты труда. Поэтому рассмотрим
сначала формы заработной платы, а затем для каждой из форм
перечислим основные системы оплаты.
Различают следующие формы индивидуальной заработной
платы (см. ссылки в [8]):
- тарифная, при использовании которой индивидуальное воз-
награждение агента не связано явным образом с количественными



57
показателями его деятельности, а определяется ее содержанием,
квалификационными требованиями и прочими нормативами1.
Для оплаты труда руководителей и специалистов может ис-
пользоваться окладно-премиальная система оплаты, в которой
индивидуальное вознаграждение складывается из оклада (тариф-
ная система) и премии, определяющейся по результатам деятель-
ности организации, подразделения и т.д.
Разновидностью тарифной формы оплаты также являются так
называемые плавающие оклады, при использовании которых пока-
затели тарифной системы на каждый период рассчитываются с
учетом результатов деятельности в предыдущих периодах.
- повременная, при использовании которой индивидуальное
вознаграждение зависит от отработанного времени с учетом ква-
лификации и качества труда;
- сдельная, при использовании которой индивидуальное возна-
граждение зависит от количества произведенной продукции;
- участие в доходе (участие в прибылях, выплаты бонуса), на-
пример – приобретение акций компании;
- премии – дополнительное по сравнению с заработной платой
вознаграждение, выплачиваемое в определенных случаях.
Отдельной формой заработной платы, стимулирующей про-
дажи и не рассматриваемой подробно в настоящей работе, являют-
ся комиссионные2.
Отметим, что перечисленные выше формы не являются одно-
родными. Так, например, разделение повременной и сдельной
заработной платы основывается на мере труда (то есть, способе
измерения количества труда) – соответственно – времени и коли-
честве произведенной продукции. Обе эти формы являются регу-

1
Так как тарифная форма заработной платы связана с показателями индивиду-
альной деятельности косвенным образом (хотя величина показателей тарифной
системы и является существенным мотивирующим фактором, в том числе – в
соревновательных системах), то не будем рассматривать подробно ее формаль-
ные модели, ограничившись замечанием, что достаточно адекватной ее моделью
является система стимулирования С-типа.
2
Комиссионные в ряде случаев с формальной точки зрения могут рассматри-
ваться как разновидность такой формы оплаты как участие в доходе. В тех
ситуациях, когда произведенной продукцией выступают услуги, комиссионная
оплата труда сотрудников является разновидностью сдельной оплаты.
58
лярными (выплачиваемыми в рамках действующего трудового
контракта) и зависящими явным и известным работнику образом
от показателей его деятельности. При продаже работникам акций
компании (форма участия в доходе) вознаграждение не зависит
столь явным образом от результатов именно индивидуальной
деятельности; премии (как правило) не являются регулярной фор-
мой заработной платы и т.д.
Повременная форма заработной платы может реализовываться
в виде следующих систем оплаты1:
- простая повременная;
- повременно-премиальная.
Сдельная форма заработной платы (иногда ее называют по-
штучной) может реализовываться в виде следующих систем опла-
ты:
- прямая сдельная;
- сдельно-премиальная;
- сдельно-прогрессивная;
- косвенно-сдельная;
- аккордная.
Связь между повременной и сдельной формами оплаты может
быть установлена следующим образом. Если в сдельной оплате
фиксированы нормы времени на выполнение определенных зада-
ний, то ее можно рассматривать как повременную. При этом на
практике, если работник справляется со своим заданием (с выпол-
нением требований не только количества, но и качества) быстрее
отведенного времени, то ему может оплачиваться все время по
норме, независимо от фактически затраченного времени (см. ни-
же).
Рассмотрим перечисленные выше системы оплаты более под-
робно.
Простая повременная система оплаты2 соответствует ис-
пользованию фиксированных (постоянных, то есть не зависящих
1
В ходе дальнейшего изложения для того, чтобы различать, если это необходи-
мо, реальные «системы оплаты» и их модели, для последних будем использовать
термин «системы стимулирования».
2
Повременная форма заработной платы используется для 70-80% американских
рабочих, и для 60-70% рабочих в Западной Европе. В России по разным оценкам
повременная форма оплаты используется примерно для 20-30% рабочих.
59
от каких-либо показателей деятельности агента) ставок оплаты за
единицу времени. Если под действием агента понимать отработан-
ное время, то данной системе оплаты соответствует система сти-
мулирования L-типа.
При использовании повременно-премиальной системы опла-
ты к сумме заработка по тарифу (при условии выполнения и/или
1

перевыполнения нормативов, например – плана x) добавляется
премия (обозначим ее ставку ??), измеренная, например, в про-
центах к тарифной ставке. Данной системе оплаты соответствует
система стимулирования LL-типа (см. рисунок 19).
Прямая сдельная система оплаты (см. также простую повре-
менную систему оплаты) характеризуется прямо пропорциональ-
ной зависимостью величины вознаграждения от объема выпуска
(количества произведенной продукции) по единым твердым сдель-
ным расценкам (ставкам), не зависящим от объема выпуска и т.д.
Если под действием агента понимать количество произведенной
продукции, то данной системе оплаты соответствует система сти-
мулирования L-типа.

?(y)


?2



?1
y
x
0

Рис. 19. Повременно-премиальная система оплаты
(норматив - x; ?2 = (1+??)?1 или ?2 = ?1+??)

При использовании сдельно-премиальной системы оплаты,
помимо базового тарифа, выплачивается премия, например, за

1
Отметим, что во многих случаях термин «гибкие системы оплаты» применя-
ется для обозначения систем оплаты, более сложных, чем простая повременная
и/или простая сдельная.
60
перевыполнение нормативов и т.д. (см. рисунок 20). Следует отме-
тить, что в литературе сдельно-премиальная и сдельно-
прогрессивная системы оплаты не всегда разделяются достаточно
четко, поэтому можно в общем случае считать, что при перевы-
полнении нормативов используется повышенный тариф или ставка
оплаты. Данной системе оплаты соответствует система стимулиро-
вания L+С-типа или в более общем случае, приведенном на рисун-
ке 2.9 (?1 ? ?2), система стимулирования LL+С-типа.

?(y)
?2
?1x+C

?1x

?1
y
x
0

Рис. 20. Сдельно-премиальная система оплаты
(норматив - x)

Сдельно-прогрессивная система оплаты, в рамках которой
выработка сверх установленной нормы оплачивается по повышен-
ным расценкам, с точки зрения формального анализа полностью
аналогична повременно-премиальной системе оплаты (с точностью
до конкретизации меры труда – см. выше), и ей соответствует
система стимулирования LL-типа.
Косвенно-сдельная система оплаты используется, например,
для оплаты труда вспомогательных рабочих. При этом размер их
заработка может составлять определенный процент от заработка
основных (обслуживаемых ими) рабочих. Данной системе оплаты
соответствует система стимулирования, основанная на перерас-
пределении дохода – D-типа.
При использовании аккордной системы оплаты совокупный
индивидуальный заработок выплачивается за фиксированные
стадии работы или за выполнение полного комплекса работ. Дан-
ной системе оплаты соответствует система стимулирования С-типа
61
(см. выше). Разновидностью аккордной системы оплаты является
так называемые аккордно-премиальные системы оплаты, в кото-
рых дополнительная премия выплачивается за качество работ,
сокращение сроков и т.д.
Участие в доходе (прибыли) как форма индивидуальной зара-
ботной платы (см. выше) в точности совпадает с системой стиму-
лирования D-типа.
Специфическая форма заработной платы, стимулирующая
продажи, то есть – комиссионные, может с одной стороны рассмат-
риваться либо как система стимулирования, основанная на пере-
распределении дохода (или прибыли) от продаж (системы стиму-
лирования D-типа), либо как пропорциональная система
стимулирования (если доход от продажи единицы товара задан, то
фиксирование комиссионных означает установление прямо про-
порциональной зависимости между величиной поощрения и чис-
лом проданных товаров, которое играет в данном случае роль
действия агента). Если вознаграждение определяется как фиксиро-
ванный процент от прибыли, то при трактовке действия агента как
величины прибыли, участие в прибыли является прямой сдельной
системой оплаты (пропорциональная система стимулирования).
Такой подход охватывает следующие используемые на практике
комиссионные формы: фиксированная денежная сумма за каждую
проданную единицу продукции, фиксированный процент от маржи
по контракту, фиксированный процент от объема реализации,
фиксированный процент от базовой зарплаты при выполнении
плана по реализации.
В заключение настоящего раздела обсудим такую форму ин-
дивидуальной заработной платы как премия. Будем различать
премии, предусмотренные системой оплаты труда в организации (и
относимые на себестоимость), то есть «регулярные», и премии
поощрительного характера – единовременные (выплачиваемые
организацией за счет собственных средств), которые не являются
обязательными (например, премии к юбилейным датам и т.д.).
Поощрительные премии не зависят явным образом от индивиду-
альных показателей деятельности за учетный период и поэтому
рассматриваться нами не будут. Зачастую премии основываются на
основании результатов долгосрочных достижений работника.

62
Учитываемые при этом диапазоны времени в зарубежной практике
ограничиваются, как правило, тремя – пятью годами.
Различают регулярные премии следующих двух видов (отли-
чающиеся показателями и условиями премирования).
В первом случае абсолютная величина премии, например, при
выполнении и/или перевыполнении плановых заданий, оговорена
заранее, чему соответствует система стимулирования A+C-типа,
где A – некоторая базовая система стимулирования. В том числе
величина премии может быть пропорциональна базовому окладу
(без учеты премиальных, прогрессивных и других надбавок).
Во втором случае абсолютная величина премии определяется
как заранее установленный процент от заработка за учетный пери-
од. Такие сложные системы премирования используются доста-
точно редко. Для их формального описания следовало бы ввести
дополнительную (четвертую) операцию над базовыми системами
стимулирования – «изменения масштаба» на определенных под-
множествах множества допустимых действий агента. Теоретико-
игровой анализ таких («сильно разрывных») систем стимулирова-
ния достаточно трудоемок.
Важную роль, помимо основной заработной платы, также иг-
рает дополнительная заработная плата в форме различных доплат
(в том числе – доплаты за совмещение, сверхурочную работу и
т.д.), надбавок (за квалификацию, выслугу лет, стаж работы в
данной организации и т.д.) и единовременных вознаграждений. В
отличие от премий, например, надбавки включаются в состав
заработной платы регулярно. Основная и дополнительная заработ-
ные платы совместно могут рассматриваться как некоторая единая
суммарная система стимулирования.
Выше перечислены основные формы и системы заработной
платы, рассматриваемые в отечественной литературе по стимули-
рованию и оплате труда. Системы заработной платы, используе-
мые за рубежом, естественно, несколько отличаются от них, одна-
ко не столь сильно. Так, например, выделяются (см. ссылки в [8])
следующие компоненты вознаграждения работника: базовая зара-
ботная плата (одинаковая для некоторой группы работников, на-
пример, данной квалификации, должности и т.д.); индивидуальная
компонента вознаграждения работника (определяемая его личным
вкладом); компонента, общая для подразделения; участие в дохо-
63
дах компании в целом; одноразовые премии и т.д. Определение
базовой заработной платы является задачей тарификации, нося-
щей, условно говоря, скорее экономический, чем управленческий
характер. Рассматриваемые в настоящей работе системы стимули-
рования соответствуют системам заработной платы, явным обра-
зом зависящим от результатов деятельности агента и/или коллек-
тива (соответственно – три компоненты: индивидуальная, общая
для подразделения, то есть «коллективная», и зависящая от резуль-
татов деятельности организации в целом). Модели коллективных
форм и систем заработной платы (в том числе – вознаграждения по
итогам работы подразделения, организации и участие в прибыли,
то есть перераспределение доходов, и др.) рассматриваются в [8].
Как и системы оплаты, используемые в России, так и такие
системы оплаты, используемые за рубежом, как: система двух
ставок, система контролируемой дневной выработки, надбавки за
квалификацию, плата за знание и компетенцию, системы Тейлора,
Скэнлона, Роуэна, Барта, Гантта, Меррика, «эмпирические» систе-
мы и др. (см. подробности в [7, 8, 18 и др.]), также могут быть
формально описаны соответствующей базовой системой стимули-
рования.
Таким образом, краткий обзор основных используемых на
практике систем оплаты труда позволяет сделать вывод, что по-
давляющее большинство из них охватывается множеством введен-
ных выше моделей базовых систем стимулирования. При этом
можно утверждать, что такие формы индивидуальной заработной
платы как: повременная, сдельная, участие в доходе, премиальная
(и соответствующие им системы оплаты: простая повременная,
повременно-премиальная, прямая сдельная, сдельно-премиальная,
сдельно-прогрессивная, косвенно-сдельная и аккордная и др.)
могут быть относительно адекватно описаны следующим множе-
ством систем стимулирования (см. их определения выше): L, LL,
L+C или LL+C, D, C.
Установив в первом приближении качественную взаимосвязь
теоретических моделей систем стимулирования с формами инди-
видуальной заработной платы, перейдем к изучению сравнитель-
ной эффективности тех или иных простых базовых систем стиму-
лирования в одноэлементных ОС.

64
6. ЭФФЕКТИВНОСТЬ БАЗОВЫХ СИСТЕМ
СТИМУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим перечисленные выше базовые системы стимули-
рования, акцентируя в основном внимание на их эффективности
(то есть на минимальных затратах центра на стимулирование по
реализации тех или иных действий агента – см. второй раздел).
Параллельно с теоретическим исследованием будем рассматривать
иллюстративный пример – модель стимулирования в одноэлемент-
ной детерминированной ОС, в которой функция дохода центра
равна1: H(y) = b y, b > 0, а функция затрат агента выпукла и равна:
c(y) = a y2, a > 0.
Так как выше было доказано, что компенсаторные (и квази-
компенсаторные) системы стимулирования оптимальны, то есть
обладают максимальной эффективностью, то необходимо сравнить
эффективность других базовых систем стимулирования с эффек-
тивностью квазикомпенсаторных.
Скачкообразные системы стимулирования (С-типа).
Как отмечалось выше, если не наложено ограничений на абсо-
лютную величину индивидуального вознаграждения, то при иссле-
довании скачкообразных систем стимулирования амплитуду скач-
ка C (то есть величину вознаграждения в случае выполнения
плана) следует считать переменной величиной, устанавливаемой
центром, наряду с планом.
Множество действий, реализуемых системами стимулирова-
ния С-типа при условии имеет вид
U = 0,
P(C) = {y ? A | c(y) ? С } = [0; y+(С)], где c(y+) = С. Минимальные
затраты на стимулирование равны: ?minC(y) = C, y ? P(C). Следова-
тельно, ? y ? P(C) выполнено2

1
Во многих случаях возможно произвести замену переменных, идентифицируя
действие агента и доход центра (с точностью до мультипликативной констан-
ты), то есть «линеаризовать» функцию дохода центра, что иногда упрощает
выкладки и численные расчеты. В то же время, такую замену следует произво-
дить с известной долей осторожности, пересчитывая и интерпретируя единицы
измерения затрат и стимулирования, а также следя за выполнением введенных
предположений.
Напомним, что величина ?(A, B) обозначает разность эффективностей классов
2

систем стимулирования A и B.
65
(8) ?(C; K) = C – c(y) ? 0.
При использовании квазискачкообразных систем стимулиро-
вания оценка (8) также остается в силе.
Таким образом, скачкообразные системы стимулирования
имеют эффективность, не превышающую эффективность компен-
саторных, и совпадающую с последней при реализации действий,
лежащих на границе множества реализуемых действий, опреде-
ляемой ограничениями механизма стимулирования.
Другими словами, скачкообразные системы стимулирования
оптимальны, если выполнены следующие условия:
x = y*, C = c(y*) + U + ?,
где y* определяется выражением (12) – см. также выражение (11).
График целевой функции агента при использовании центром
системы стимулирования ?C(x, y) (при некотором x ? P(C)) приве-
ден на рисунке 21 (отметим, что для наглядности в рисунках на-
стоящего раздела функция затрат агента изображается с обратным
знаком).


C–c(x) y
x
0
f(y)


-c(y)
Рис. 21. Целевая функция агента при использовании центром
системы стимулирования С-типа

Если ограничение C фиксировано, то при монотонной функ-
ции дохода центра оптимальным является реализация максималь-
ного действия y+(C), при этом ?minC(y+(C)) = ?minQK(y+(C)). В рас-
сматриваемом примере y* = y+(С) = C / a , если b / aС ? 1.
Компенсаторные системы стимулирования (K-типа).
При использовании компенсаторных (или квазикомпенсатор-
ных) систем стимулирования минимальные затраты на стимулиро-
вание равны затратам агента.
66
Итак: ?minK(y) = c(y), y ? P(C). Очевидно, ?(K; K) = 0. В рас-
сматриваемом примере: y* = arg max {b y – a y2} = b/2a, то есть
y ?0
KQK = ?(y*) = b2/4a; если же ФЗП ограничен, то:
KQK = max {?(y ), ?(y (C)}, где ?(y (C) = b C / a – C, причем,
* + +

если максимум целевой функции центра достигается в точке y+(C)
(используется весь «размах» функции стимулирования), то опти-
мальными являются также и скачкообразные системы стимулиро-
вания с ограничением C.
График целевой функции агента при использовании центром
системы стимулирования ?K(x, y) (при некотором x ? P(C)) приве-
ден на рисунке 22.



x y
0
-c(y)

f(y)


Рис. 22. Целевая функция агента при использовании центром
системы стимулирования K-типа

Пропорциональные системы стимулирования (L-типа).
При использовании пропорциональных (линейных) или квази-
линейных систем стимулирования и непрерывно дифференцируе-
мой монотонной выпуклой функции затрат агента выбираемое им
действие определяется следующим выражением: y* = c ??1 (?), где
c ??1 (?) – функция, обратная производной функции затрат агента.
При этом величина
(9) ?(L, K) = ?minL(y*) – ?minK(y*) = y* c'(y*) – c(y*)
всегда (при любых ? ? 0, и, следовательно, при любых y* ? 0)
неотрицательна. В рассматриваемом примере ?minL(y*) = 2(y*)2, то
есть ? y* ? A' ?minL(y*) / ?minK(y*) = 2.
67
Таким образом, при выпуклых функциях затрат агента эффек-
тивность пропорциональных систем стимулирования не выше, чем
компенсаторных. График целевой функции агента при использова-
нии центром пропорциональной системы стимулирования приве-
ден на рисунке 23.

?y
y
0
y* f(y)

-c(y)

Рис. 23. Целевая функция агента при использовании центром
системы стимулирования L-типа

Неэффективность пропорциональных систем стимулирования
вида ?L(y) = ? y обусловлена требованием неотрицательности
вознаграждений. Если допустить, что вознаграждение может быть
(
отрицательным: ? L ( y ) = ?0 + ? y, где ?0 ? 0, то при выпуклых
функциях затрат агента эффективность предложенной пропорцио-
(
нальной системы стимулирования ? L (?) может быть равна эффек-
тивности оптимальной (компенсаторной) системы стимулирова-
ния. Для обоснования этого утверждения достаточно
воспользоваться следующими соотношениями (см. рисунок 24):
y*(?) = c’ –1(?), ?0(?) = c(c’ –1(?)) – ? c’ –1(?).
Оптимальное значение ?* ставки оплаты при этом выбирается
из условия максимума целевой функции центра:
(
?* = arg max [H(y*(?)) – ? L ( y* (? )) ].
? ?0




68
c(y)
(
? L (?)



y
y*
0
f(y)
?0

Рис. 24. Целевая функция агента при использовании
(
центром системы стимулирования ? L (?)


В рассматриваемом примере ?* = b, ?0 = – b2 / 2 a, y* = b / 2 a.
Системы стимулирования,
основанные на перераспределении дохода (D-типа).
В работах [7, 9] при достаточно общих предположениях пока-
зано, что использование систем стимулирования, полностью осно-
ванных на перераспределении дохода, неэффективно (в сравнении
с компенсаторными системами стимулирования).
Другими словами, ? y* ? A величина
(10) ?(D, K) = ?minD(y*) – ?minQK(y*)
всегда неотрицательна. В рассматриваемом примере, так как функ-
ция дохода центра линейна по действию агента, то перераспреде-
ление дохода эквивалентно использованию пропорциональных
систем стимулирования – при этом ставка оплаты ? = ? b, то есть:
?minD(y*) = ?minL(y*) = 2(y*)2, ?(y*) = 2ay*/b, следовательно, y* ? b/2a.
Эффективность системы стимулирования D-типа может быть
и в точности такой же, как и эффективность «абсолютно опти-
мальной» квазикомпенсаторной системы стимулирования. Для
этого достаточно, например, «однотипности» функции затрат
агента и функции дохода центра. Следует признать, что содержа-
тельные интерпретации такого совпадения затруднительны.


69
Если в рассматриваемом примере H(y) = b y2, где b > a, то при
? = a / b выполнено KD = KQK (правда, если a > b, то системами
стимулирования D-типа нельзя реализовать никаких действий,
кроме нулевого).
Системы стимулирования LL-типа.
При использовании центром систем стимулирования LL-типа
целевая функция агента имеет вид:
?? y ? c( y ), y?x
(11) f(y) = ? 1 ,
? 2 y + (?1 ? ? 2 ) x ? c( y ), y ? x
?
где x – величина действия, при превышении которого увеличивает-
ся ставка оплаты.
Обозначим y1 = c ??1 (?1), y 2 = c ??1 (?2). Отметим, что в рам-
* *

ках введенных в разделе 1.1 предположений эти точки существуют
и единственны, кроме того всегда выполнено: y1 ? y 2 , x ? y 2
* * *

Возможны следующие случаи:
1. y1 ? x ? y 2 , f( y1 ) ? f( y 2 ) (в рассматриваемом примере
* * * *

этому соответствует выполнение ?1 + ?2 ? 4 a x), тогда агент выбе-
рет действие y1 , то есть второй «кусок» (со ставкой ?2) функции
*

стимулирования «не работает», при этом система стимулирования
эквивалентна пропорциональной;
2. y1 ? x ? y 2 , f( y1 ) ? f( y1 ) (в рассматриваемом примере
* * * *

этому соответствует выполнение ?1 + ?2 ? 4 a x), тогда агент выбе-
рет действие y 2 , то есть первый «кусок» (со ставкой ?1) функции
*

стимулирования «не работает», но при этом система стимулирова-
ния не эквивалентна пропорциональной (см. оценку минимальных
затрат на стимулирование ниже);
3. y1 ? y 2 ? x, то есть получаем, практически, первый случай.
* *


4. x ? y1 ? y 2 , f( y1 ) ? f( y 2 ), то есть получаем, практически,
* * * *

второй случай.
Итак, интерес представляют (из-за отличия от систем L-типа)
второй и четвертый из описанных выше случаев. Очевидно,


70
?minLL( y 2 ) ? ?minL( y 2 ). Для рассматриваемого примера имеет ме-
* *

сто:
(12) ?minL( y 2 ) – ?minLL( y 2 ) = (?2`– ?1) x.
* *

Из выражения (12) видно, что эффективность системы стиму-
лирования LL-типа возрастает с ростом параметра x ? y 2 . Если
*

отсутствуют ограничения на ставки оплаты, то получаем, что при
?1 = 0 при «стремлении» x к y 2 система стимулирования LL-типа
*

«стремится» к системе стимулирования С-типа со скачком в точке
x.
Содержательно, с точки зрения центра максимально эффек-
тивной является неоплата (оплата с нулевой ставкой) действий,
меньших плана, и компенсация затрат при точном выполнении
(и/или перевыполнении плана) или пропорциональная оплата со
ставкой, равной предельным затратам агента в точке плана.
Качественно, более высокую по сравнению с системами сти-
мулирования L-типа эффективность систем LL-типа с последова-
тельно возрастающими ставками оплаты можно объяснить тем, что
последние «ближе» («точнее аппроксимируют») к выпуклой функ-
ции затрат агента. Кусочно-линейные системы стимулирования
LLL-типа, LLLL-типа и т.д. с последовательно возрастающими
ставками оплаты будут еще точнее аппроксимировать возрастаю-
щую выпуклую функцию затрат агента и, следовательно, будут
иметь еще более высокую эффективность, приближаясь (по мере
увеличения числа составляющих) к эффективности компенсатор-
ной системы стимулирования.
Системы стимулирования СС-типа и С+С-типа, очевидно, эк-
вивалентны (имеют ту же эффективность и те же минимальные
затраты на стимулирование) базовым скачкообразным системам
стимулирования (с одним скачком), поэтому подробно рассматри-
вать их не будем.
Системы стимулирования L+C-типа и LL+С-типа.
Пусть производная функции затрат в нуле равна нулю. Обо-
значим y1 = c ??1 (?1), y 2 = c ??1 (?2) (см. также системы стимули-
* *

рования LL-типа). Система стимулирования LL+C-типа в зависи-

71
мости от соотношения параметров может реализовывать одно трех
* *
из действий: y1 , x или y 2 , где x – точка скачка.
По аналогии с исследованием систем LL-типа, для этого клас-
са систем стимулирования можно показать, что их эффективность
не ниже, чем эффективность систем L-типа и, естественно, не
выше, чем систем K-типа и C-типа.
Системы стимулирования C+D-типа.
Содержательно, при использовании систем стимулирования
C+D-типа индивидуальное вознаграждение агента складывается из
оклада (выплачиваемого при условии выполнения, например,
должностных обязанностей – тарифная система оплаты труда) и
компоненты, зависящей от результатов деятельности всей органи-
зационной системы, точнее говоря – дохода центра, выражающего
интересы системы в целом.
Обозначим ˜ (?, y) = c(y) – ? H(y). Тогда целевая функция
c
агента может быть записана в виде:
1

(13) f(?, y) = ?(y) – ˜ (?, y).
c
Итак, произведя замену переменных (затрат), получаем пара-
метрическую (параметр – ?) задачу синтеза оптимальной скачко-
образной системы стимулирования в ОС с целевой функцией
агента, определяемой (13), методы решения которой детально
исследованы (см. [7, 9, 11, 12]). Таким образом, задача поиска
оптимальной системы стимулирования C+D-типа решается в два
этапа. На первом этапе для фиксированного ? ищется оптимальная
система стимулирования С-типа. На втором этапе ищется опти-
мальное значение параметра ? ? [0; 1].
Системы стимулирования K+A-типа и C+A-типа2.
Относительно суммарных систем стимулирования следует
сделать следующее общее замечание. Пусть A и B – классы компо-
нент (слагаемых) некоторой суммарной системы стимулирования
из класса A+B. Условие реализуемости действия y* ? A' имеет вид:
? y ? A' ?A+B(y*) – c(y*) ? ?A+B(y) – c(y).


Отметим, что функция ˜ (?, y) может не удовлетворять тем предположени-
c
1

ям, которым удовлетворяет функция затрат c(y).
2
Напомним, что «А» обозначает произвольную базовую систему стимулирова-
ния.
72
При этом минимальные затраты на стимулирование по реализации
действия y* равны
(14) ?min(A+B)(y*) = ?A(y*) + ?B(y*).
Свойство аддитивности минимальных затрат на стимулирова-
ние, отражаемое выражением (14), позволяет сделать важный
вывод о свойстве суммарных систем стимулирования, в которых
одной из компонент является компенсаторная или оптимальная
(см. выше) скачкообразная системы стимулирования. Так как одна
из компонент (оптимальная С-типа или К-типа) системы стимули-
рования C+A-типа или K+A-типа компенсирует затраты агента по
выбору некоторого действия, то компонента А является «лишней»
с точки зрения реализуемости этого действия, играя роль дополни-
тельной мотивации. Из вышесказанного и (14) следует, что спра-
ведлива следующая оценка: ? y* ? A
(15) ?(K+A, K) = ?(C+A, C) = ?A(y*).
Выражение (15) дает возможность легко оценить «экономиче-
ские» потери от использования систем стимулирования C+A-типа
или K+A-типа по сравнению с системами стимулирования С-типа
или К-типа.
Содержательно (15) означает, что агент выбирает действие,
при котором достигается максимум «дополнительного» (с учетом
полностью компенсированных его затрат) вознаграждения ?A(y).
Поэтому анализ систем стимулирования C+A-типа или K+A-типа
вырождается и заключается в поиске системы стимулирования А,
которая будет: 1) иметь максимум в точке, которую хочет реализо-
вать центр; 2) обладать достаточным мотивирующим эффектом; 3)
иметь в точке максимума минимальное значение (с учетом второго
пункта).
Итак, рассмотрены основные свойства базовых систем стиму-
лирования: скачкообразных, компенсаторных, пропорциональных
и основанных на перераспределении дохода, а также ряда произ-
водных от них систем стимулирования. Сводка полученных выше
оценок их сравнительной эффективности (оценок затрат на стиму-
лирование при любых допустимых действиях агента) приведена в
таблице 1.
Знак «?» («?»), стоящий на пересечении некоторой строки и
столбца таблицы 1, означает, что в рамках введенных предположе-
73
ний при использовании класса систем стимулирования, соответст-
вующих строке, эффективность всегда не меньше (не больше) а,
следовательно, минимальные затраты на стимулирование не боль-
ше (не меньше), чем при использовании класса систем стимулиро-

<<

стр. 2
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>