стр. 1
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Институт проблем управления
им. В.А. Трапезникова




Д.А. Новиков


СЕТЕВЫЕ СТРУКТУРЫ
И
ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ




Москва – 2003
УДК 007
ББК 32.81
Н 73

Новиков Д.А. Сетевые структуры и орга-
низационные системы. М.: ИПУ РАН (научное
издание), 2003. – 102 с.


Настоящая работа содержит результаты исследований тео-
ретико-игровых моделей структурного синтеза. Показывается, что
структура определяется типом иерархической игры, разыгрывае-
мой участниками системы. Такой подход позволяет анализиро-
вать сетевые структуры, в которых потенциально существуют
связи между всеми участниками, некоторые из которых актуали-
зируются, порождая на время решения стоящей перед системой
задачи определенную иерархию. Значительное внимание уделя-
ется практически важным частным случаям: линейных систем,
систем с побочными платежами, задачам управления проектами и
др.
Работа рассчитана на специалистов (теоретиков и практиков)
по управлению организационными системами.


Рецензент: д.т.н., проф. А.В. Щепкин



Утверждено к печати Редакционным советом Института


Текст воспроизводится в виде, утвержденном Редакционным
советом Института


© Институт проблем управления РАН, 2003
2
СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение ..........................................................................................4
2. Сетевое взаимодействие: качественный анализ.........................13
3. Задача структурного синтеза .......................................................17
4. Веерные структуры .......................................................................29
5. Однородные организационные системы.....................................33
6. Линейные организационные системы.........................................37
7. Роль побочных платежей .............................................................42
8. Побочные платежи в веерных структурах..................................47
9. Побочные платежи в двухуровневых структурах......................50
10. Побочные платежи в иерархических структурах.....................54
11. Модели ограниченной рациональности....................................65
12. Механизмы управления в сетевых структурах ........................71
13. Задача последовательного синтеза структуры системы..........82
14. Структурный синтез и управление проектами.........................88
15. Заключение ..................................................................................93
Литература.........................................................................................96




3
1. ВВЕДЕНИЕ
Если традиционно в работах по управлению социально-
экономическими системами рассматриваются организационные
системы (ОС) с фиксированной структурой, в которых распреде-
ление ролей участников ОС (метацентры – центры – активные
элементы) является заданным, то в настоящей работе исследуется
так называемое сетевое взаимодействие активных агентов, каж-
дый из которых, в зависимости от ситуации и решаемой задачи,
может выступать как в роли управляемого субъекта – активного
элемента (АЭ), так и в роли управляющего органа – центра, или
в роли метацентра, осуществляющего руководство центрами и
т.д.
Необходимость изучения сетевого взаимодействия обуслов-
лена, с одной стороны, тем, что для функциональных элементов
ОС характерна возможность выступать в различных ролях, то
есть решать те или иные задачи с различной эффективностью, а с
другой стороны – многообразием этих задач и быстрым измене-
нием внешних условий функционирования. Содержательными
примерами являются: задачи управления региональным развити-
ем [9, 26], в которых имеет место возможность определенных
центров (например, подразделений администрации региона)
выступать в роли метацентров (то есть брать на себя ответствен-
ность за результаты, установление правил взаимодействия и
принятия решений другими центрами и т.д.) при управлении
соответствующим множеством проектов развития; задачи управ-
ления проектами [12, 93], в которых одно и то же множество
исполнителей может реализовывать различные пакеты работ,
сотрудники функциональных подразделений могут выступать в
роли руководителей проектов на время их реализации; задачи
корпоративного и внутрифирменного управления [68], в которых
временное распределение ролей между подразделениями варьи-
руется в зависимости от заказа, полученного объединением, и др.
В терминах рассматриваемых в теории управления формаль-
ных моделей один и тот же субъект, принимающий решения
(агент), в зависимости от набора решаемых системой задач мо-
жет выступать как в роли исполнителя – АЭ, так и в роли центра
или метацентра. Целесообразность того или иного распределе-
ния ролей зависит от критерия эффективности, в соответствии с
4
которым оценивается эффективность управлений и состояний
управляемой системы в рамках заданных институциональных [78]
ограничений.
В соответствии с определением, данным в [90], организация –
1) внутренняя упорядоченность, согласованность взаимодействия
более или менее дифференцированных и автономных частей
целого, обусловленная его строением; 2) совокупность процессов
или действий, ведущих к образованию и совершенствованию
взаимосвязей между частями целого; 3) объединение людей,
совместно реализующих некоторую программу или цель и дейст-
вующих на основе определенных процедур и правил, то есть
механизмов функционирования [14].
Под структурой будем понимать совокупность устойчивых
связей между элементами системы. Для ОС это могут быть ин-
формационные, управляющие и другие связи между участниками,
включая отношения подчиненности и распределение прав приня-
тия решений.
Под организационной структурой (оргструктурой) можно
понимать либо структуру процесса организации (второе опреде-
ление понятия «организация») как совокупность временных,
причинно-следственных и др. связей между его этапами, либо
структуру ОС (соответственно, третье определение понятия
«организация»). Общепринятым является последнее определение,
поэтому по умолчанию будем подразумевать под организацион-
ной структурой именно структуру ОС.
В качестве типовых структур ОС выделим следующие. Во-
первых, это – вырожденная структура (ВС), в которой отсутст-
вуют какие-либо связи между участниками. Во вторых, это –
линейная структура (ЛС), при которой подчиненность участни-
ков ОС имеет вид дерева, то есть каждый участник подчинен
одному и только одному участнику следующего (более высокого)
уровня иерархии (следует отметить, что в подавляющем боль-
шинстве работ, содержащих формальные модели управления
организационными системами, рассматривались модели ОС,
характеризуемые именно древовидными структурами). И, нако-
нец, в третьих, это – матричная структура (МС), в которой
некоторые участники ОС могут быть подчинены одновременно
нескольким участникам, находящимся либо на одном и том же
5
(более высоком), либо на различных, уровнях иерархии (соответ-
ственно, так называемое двойное подчинение, межуровневое
взаимодействие и распределенный контроль [73, 76]). Любая из
известных структур ОС может быть отнесена (используемые при
этом критерии должны отражать специфику решаемой задачи) к
одной из трех типовых – ВС, ЛС или МС.
Если выделенные три типовые структуры отражают статиче-
ские характеристики ОС, то для описания их изменений во вре-
мени целесообразно введение понятия сетевой структуры (СС),
в которой потенциально существуют связи между всеми участни-
ками, некоторые из которых актуализируются, порождая из ВС
линейную или матричную, на время решения стоящей перед
системой задачи, а затем разрушаются (возвращаясь к ВС) до
момента появления новых задач. То есть, СС – это такие структу-
ры ОС, в которых могут возникать и двойное подчинение, и
межуровневое взаимодействие, причем одни и те же субъекты
могут выступать как в роли управляющих органов, так и в роли
управляемых агентов, то есть вступать в сетевое взаимодействие.
Образно говоря, сетевая структура – набор априори равноправ-
ных агентов, в котором могут возникать временные иерархиче-
ские и другие структуры, определяемые решаемыми системой
задачами.
Следует сделать следующее терминологическое замечание.
Ранее было распространена интерпретация сетевых структур как
таких, в которых нет явно выраженной иерархии, и между всеми
(или большинством) ее элементов существуют постоянные связи.
В последнее время все большее распространение приобретает
интерпретация сетевой структуры (и мы будем придерживаться
именно этой интерпретации) как набора агентов, между которы-
ми не существует постоянных связей (то есть «конструктором»
является ВС), а связи образуются между ними (например, в виде
линейной или матричной структуры) на время решения стоящей
перед системой задачи; затем связи исчезают до момента возник-
новения новой задачи и т.д. Кроме того, необходимо оговориться,
что используемый нами термин «сетевая структура» не имеет
непосредственного отношения к Интернету (см. специфику сете-
вой экономики, основанной на всемирной паутине, в [42]).

6
Упорядоченность взаимодействия и механизм управления
(иерархия) возникает в сетевой структуре в результате необходи-
мости специализации, позволяющей эффективно решать частные
задачи. Например, в процессе многократного решения схожих
задач ЛС возникает в СС как механизм снижения трансакцион-
ных издержек. Другими словами, разнообразие решаемых задач
порождает в вырожденной структуре организационные сис-
темы как временные иерархии. Следовательно, тип структуры
ОС, обнаруживаемый исследователем операций, зависит от вре-
мени наблюдения – на больших (по сравнению с характерным
временем изменения внешних условий) временных промежутках
ОС может рассматриваться как сеть, на малых – как имеющая
одну из типовых структур – ВС, ЛС или МС. Все это вызывает
необходимость исследования задач структурного синтеза [13].
Вернемся к обсуждению свойств трех типовых структур. Ус-
ловно можно считать, что типовые структуры ОС различаются
степенью проявлений таких свойств как: иерархичность (проти-
воположностью является распределенность) и число связей. С
точки зрения иерархичности ЛС является полностью иерархич-
ной, на другом полюсе находится ВС, в которой отсутствует
иерархичность, а промежуточное место занимает МС, в которой
имеют место, как наличие иерархии, так и распределенность. С
точки зрения числа постоянных связей наименьшее их число
имеет ВС, наибольшее – МС, а ЛС занимает промежуточное
место (МС можно рассматривать как наложение друг на друга
нескольких ЛС).
В каких же случаях эффективными оказываются те или иные
структуры, под влиянием каких факторов одна структура транс-
формируется в другую? Эффективность и трансформация струк-
тур обусловлена существующими и, соответственно, изменяю-
щимися внешними и внутренними условиями функционирования.
Внешними условиями (активными и/или пассивными) являются
требования, предъявляемые к ОС внешней средой – нормы, нор-
мативы, ограничения, ожидания, характеристики рынка, социаль-
ный заказ и т.д. Внутренние условия, в первую очередь, характе-
ризуются организационными издержками, зависящими от
условий взаимодействия участников ОС (затраты на их взаимо-
действие, а также на организацию и координацию этого взаимо-
7
действия – число связей, информационная нагрузка и т.д. – в
существующих условиях практически без учета производствен-
ных издержек).
В общем случае задача управления структурой ОС форму-
лируется как задача поиска структуры или набора структур,
которая минимизировала бы организационные издержки (или
максимизировала некоторый функционал, который может отра-
жать в агрегированном виде предпочтения участников ОС и/или
других субъектов) при ограничении удовлетворения системой
внешним требованиям.
Введем два предположения относительно сравнительной эф-
фективности типовых структур. Первое предположение упорядо-
чивает три типовых структуры по «сложности», которая в первом
приближении может определяться как число связей между эле-
ментами ОС. Будем считать, что наиболее «простой» является
ВС, наиболее «сложной» – МС, а ЛС занимает промежуточное
положение между ними. Второе предположение связывает слож-
ность типовой структуры с ее организационными издержками и,
следовательно, с эффективностью в зависимости от частоты
изменения внешних условий. А именно, будем считать, что более
простые структуры характеризуются меньшими организацион-
ными издержками и эффективны при большей частоте изменения
внешних условий.
Из введенных предположений следует, что при появлении у
организации новых задач, проектов и т.д. и/или при увеличении
допустимых организационных издержек возникают новые иерар-
хии, то есть, происходит усложнение структуры и осуществляется
«сдвиг» от ВС к МС (см. рисунок 1а, на котором петля означает
сохранение типа структуры). При сокращении числа задач, за-
вершении проектов и т.д. и/или при уменьшении допустимых
организационных издержек разрушается часть существующих
иерархий, то есть происходит упрощение структуры и осуществ-
ляется «сдвиг» от МС к ВС (см. рисунок 1б). Аналогично, при
увеличении частоты изменения внешних условий происходит
упрощение структуры.



8
Усложнение структуры Упрощение структуры


ВС МС
МС ВС
ЛС ЛС

Увеличение организационных Уменьшение организационных
издержек, уменьшение частоты издержек, увеличение частоты
изменения внешних условий изменения внешних условий

Рис. 1а. Рис. 1б.
Закономерности усложнения и упрощения
структуры ОС (трансформации СС)

Таким образом, качественно, МС оказываются эффективны-
ми при неизменных внешних условиях и высоких организацион-
ных издержках, ВС – при изменяющихся внешних условиях и
низких организационных издержках, а ЛС занимают промежу-
точное положение (см. также рисунок 2).
Рассмотрим теперь качественно возможные переходы между
типовыми структурами и причины этих переходов. Как отмеча-
лось выше, снижение эффективности некоторой структуры может
быть обусловлено изменением внешних условий и/или изменени-
ем организационных издержек.
Процесс трансформации может описываться как появление
или исчезновение новых иерархий (элементарных линейных
структур). Из качественно отмеченных выше закономерностей
упрощения и усложнения структур следует, что непротиворечи-
выми с точки зрения введенных предположений являются зако-
номерности трансформации типовых структур, приведенные на
рисунке 2 (интересно отметить «универсальность» ЛС).




9
Организационные
издержки

Высокие МС ЛС, МС ЛС

ВС, ЛС
ЛС, МС
Средние ЛС

Частота
ВС
ЛС, ВС
ЛС
Низкие изменения
внешних
Средняя
Низкая Высокая условий


Рис. 2. Области эффективности типовых структур ОС
и закономерности их трансформации

Следует признать, что введенные предположения и приве-
денные качественные результаты на сегодняшний день могут
быть обоснованы лишь содержательными рассуждениями и апел-
лируют к интуиции читателя. Формальное обоснование подобных
результатов является перспективной задачей теории управления.
Для получения целостной картины введем систему классифика-
ций задач управления структурой ОС.
Примем следующие основания системы классификаций задач
управления структурой ОС (возможна и более детальная класси-
фикация с выделением языков описания, критериев и методов
оптимизации и т.д. – примером является четвертый пункт предла-
гаемой системы классификаций) [74].
1. Исходная структура. Если первоначально имеется некото-
рая оргструктура, то может рассматривается задача ее оптимиза-
ции, если исходной структуры нет, то должна рассматриваться
задача синтеза структуры.
2. Динамика. Если задача синтеза или оптимизации решается
без учета изменений внешних и внутренних условий, то назовем
ее статической, если с их учетом, то – динамической. В динами-
ческом случае можно выделить задачи поиска оптимальной
структуры (или оптимальной последовательности структур) и
задачу поиска оптимального перехода от существующей к опти-
мальной структуре.

10
3. Управляемые параметры. Оптимизируемым параметром
могут служить переменные, описывающие непосредственно
структуры (связи между участниками ОС), или правила (быть
может, условные) и процедуры, определяющие трансформации
структур и даже закономерности этих трансформаций. Первый
случай является «традиционной» задачей управления, а второй
случай можно охарактеризовать как метауправление (выбор
законов, алгоритмов и закономерностей целенаправленной
трансформации структур). В частности, примером метауправле-
ния является приведенные на рисунках 1 и 2 закономерности
трансформации СС.
Отметим, что даже при наличии изменяющихся во времени
внешних или внутренних условий можно отказаться от поиска
последовательности структур или закономерностей их изменения
и решать квазидинамическую задачу – искать единственную
структуру, которая оптимальна «в среднем» на рассматриваемом
временном интервале.
4. Модель организационных издержек. На сегодняшний день
известны два общих способа формализации организационных
издержек – описание их как функционала от переменных, непо-
средственно описывающих структуру ОС (подход, принятый в
большинстве работ, который условимся называть локальной
моделью), и косвенное их определение через задание набора
целевых функций участников ОС, зависящих от стратегий друг
друга (этот подход, который условимся называть игровой моде-
лью не получил пока широкого распространения и развивается в
настоящей работе – см. также [11, 13, 73, 76]). И в локальной, и в
игровой модели исследователь сталкивается с высокой вычисли-
тельной сложностью оптимизационных задач. Тем не менее,
необходимо признать, что локальная модель более наглядна и
дает возможность конструктивно описывать эффекты метауправ-
ления, отражение которого в игровых моделях громоздко на-
столько, что не позволяет делать даже качественных выводов о
свойствах оптимальных управлений.
Введенная система классификаций позволяет выделить
шесть общих классов задач управления (синтеза и/или оптимиза-
ции – см. первое основание системы классификаций) структурой

11
ОС, приведенных на рисунке 3 (отметим, что для статических
задач выделение метауправления бессмысленно).


VI
I


V

ОС

IV

II

III


Рис. 3. Общие классы задач управления структурой ОС

Перечисленные ниже (во втором разделе) работы, посвящен-
ные оптимизации иерархических структур, в подавляющем своем
большинстве относятся к первому классу задач (локальные стати-
ческие модели). Второй класс задач, то есть теоретико-игровые
модели структурного синтеза сетевых структур (игровые модели
перехода от вырожденной к линейной или матричной структуре),
рассматривается в настоящей работе. Динамические локальные
модели (и, в том числе, модели метауправления), полученные в
рамках концепции, сформулированной в [19], приведены в [20-
22, 33-35, 62, 63] и соответствуют пятому и шестому классу задач.
Третий и четвертый классы задач, как отмечалось выше, на сего-
дняшний день абсолютно не исследованы.
Изложение материала настоящей работы имеет следующую
структуру: сначала качественно рассматриваются эффекты сете-
вого взаимодействия, далее дается формальная постановка задачи
структурного синтеза в терминах теории иерархических игр и
обсуждаются известные на сегодняшний день ее частные случаи,
в последующих разделах приводится решение задач структурного
синтеза для некоторых моделей – веерных структур, однородных
12
ОС, линейных ОС, ОС с побочными платежами, в том числе – в
рамках моделей ограниченной рациональности. В двенадцатом
разделе обсуждаются общие задачи управления в сетевых струк-
турах и приводится пример совместного решения задач синтеза
веерной структуры и механизма внутренних цен. В тринадцатом
разделе формулируется и решается задача последовательного
синтеза структуры, в четырнадцатом – обсуждается связь задач
синтеза структуры с управлением проектами. Заключение содер-
жит краткое обсуждение основных результатов и перспектив
дальнейших исследований.


2. СЕТЕВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ: КАЧЕСТВЕННЫЙ
АНАЛИЗ
В большинстве моделей теории активных систем, теории ие-
рархических игр и других разделов теории управления социаль-
но-экономическими системами подчиненность участников ОС
считается заданной. В работах по экономике и менеджменту
обсуждаются преимущества и недостатки различных организаци-
онных структур [1, 17, 29, 44, 58, 100, 106, 111], в том числе –
сетевых [59, 81], но задача синтеза оптимальной структуры даже
не упоминается. В многочисленных работах, посвященных зада-
чам оптимизации иерархических структур [1, 5, 15, 16, 18-22,
27, 31, 33-35, 38-40, 48, 49, 52, 54-56, 61-64, 67, 79, 80, 83-85, 92,
94-97], практически не учитывается характерная для участников
ОС целенаправленность поведения, либо исследуется взаимодей-
ствие агентов с фиксированными ролями, находящихся на раз-
личных уровнях иерархии [3, 4, 7, 8, 26, 69, 86]. Первое замечание
справедливо и для чрезвычайно популярных на сегодняшний день
программных многоагентных систем [30, 98, 108, 114].
Исключение составляют, во-первых, работы [73, 76], в кото-
рых исследовались теоретико-игровые модели многоуровневых
иерархических систем с фиксированной структурой и изучалась
специфика иерархий (факторы, влияющие на эффективность
управления иерархической оргсистемой), а также было введено
понятие сетевого взаимодействия, характерным признаком кото-
рого является потенциальная возможность каждого из участников
ОС выступать в роли центра или АЭ, или одновременно и в роли
13
центра, и в роли АЭ (при взаимодействии с различными участни-
ками). Во вторых, – работы [6, 11, 13], в которых качественно
формулируются задачи структурного синтеза в рамках теоретико-
игровых моделей, и приводится решение для ряда частных случа-
ев.
Опишем различие между «ролями» участников ОС. Целена-
правленное (активное) поведение в теории управления обычно
описывается в рамках теоретико-игровых моделей [36]. Качест-
венное отличие иерархических игр [25, 36] от «обычных» неанта-
гонистических игр заключается в наличии упорядочения участ-
ников ОС по последовательности выбора стратегий1. Обычно
считается, что управляющий орган (центр в теории активных
систем [14], первый агент в теории иерархических игр [25], prin-
cipal в теории контрактов [104, 105, 107]) обладает правом перво-
го хода, то есть выбирает свою стратегию первым и сообщает ее
другим участникам системы – управляемым субъектам (активным
элементам или агентам в теории активных систем, второму агенту
или производителю в теории иерархических игр, agent в теории
контрактов).
В зависимости от того, может ли первый агент рассчитывать
на то, что ему станет известно действие (выбор) второго агента,
он может выбирать свою стратегию либо как в «обычной» игре
(то есть в виде отображения имеющейся у него информации во
множество действий), либо в виде «функции» от выбора второго
агента [25, 51] (то есть в виде отображения имеющейся у него
информации во множество функций, отображающих множество
действий второго агента во множество действий первого), либо в
более сложной форме – см. метаигры в [25, 36, 51, 103]. Тем
самым первый агент превращается в метаагента, устанавли-
вающего «правила игры» для остальных агентов (проявление
отношения власти [73]). Таким образом, критерием отнесения
конкретного участника, например, двухуровневой ОС к множест-
ву управляющих органов или к множеству управляемых субъек-
тов является его приоритет в последовательности выбора страте-

1
Стратегией агента будем называть правило выбора им действий в
зависимости от информации, имеющейся у него на момент осуществ-
ления выбора.
14
гий и возможность выбирать в качестве своей стратегии «функ-
цию» от действий (или в более общем случае – стратегий) аген-
тов, имеющих более низкий приоритет.
Например, если в некоторой ОС участники принимают ре-
шения последовательно, и имеются три «момента» принятия
решений, то можно условно рассматривать данную ОС как трех-
уровневую иерархическую систему. Участники, делающие пер-
вый ход, при этом интерпретируются как центры верхнего уровня
иерархии (метацентры), участники, делающие второй ход, интер-
претируются как центры промежуточного уровня (центры), а
участники, выбирающие свои действия последними – как управ-
ляемые субъекты (активные элементы) [76]. Стратегии метацен-
тров могут быть функциями от стратегий центров и АЭ, страте-
гии центров – функциями от стратегий АЭ. Следовательно, в
рамках теоретико-игровой модели иерархическая структура ОС
порождается фиксацией последовательности выбора стратегий,
свойств множеств допустимых действий и информированности
участников2. Элементный состав каждого уровня иерархии может
определяться в результате решения задачи синтеза оптимального
состава ОС [75], то есть соизмерения «эффекта масштаба» и
издержек привлечения и удержания [56].
Таким образом, в процессе сетевого взаимодействия каждый
из его участников (агентов) в общем случае может выступать как
в роли центра того или иного уровня иерархии, так и в роли АЭ.
Фактическая роль участника определяется двумя факторами.
Первый фактор заключается во влиянии имеющегося отношения
власти, то есть институциональной возможности определенного
участника выступать в той или иной роли. Второй фактор заклю-
чается в целесообразности (эффективности, в том числе и эконо-
мической) этой роли, как с точки зрения самого участника, так и с
точки зрения других участников (причем в моделях горизонталь-
ной «интеграции» должны рассматриваться все рациональные
комбинации потенциальных участников ОС).
Фиксируем экзогенно заданное отношение власти и рассмот-
рим эффективность различных распределений ролей между уча-

2
Отметим, что от информированности существенно зависит множе-
ство доступных агенту стратегий.
15
стниками ОС. Другими словами, предположим, что имеются
несколько агентов (участников ОС), каждый из которых может
выбирать свои стратегии в определенные моменты времени и в
зависимости от принятой последовательности выбора стратегий
делать свое действие зависящим от стратегий участников, осуще-
ствляющих выбор позже него. Получаем метаигру с переменным
составом агентов (который в свою очередь подлежит определе-
нию) – игру, в которой определяются роли участников (будем
считать, что их выигрыши при каждом фиксированном распреде-
лении ролей могут быть вычислены). Такой подход может также
интерпретироваться как попытка моделирования процессов само-
организации [50, 87, 90] в социально-экономических системах.
Примерами сетевого взаимодействия («горизонтальной» и
«вертикальной» интеграции [28]3) являются взаимодействия:
участников проекта, корпорации, структур вертикально интегри-
рованной компании и др. Так, приведенные в [75, 93] результаты
свидетельствуют, что одной из причин разделения функций

3
Решение о вертикальной интеграции заключается в том, что компа-
ния создает необходимые элементы производственно-коммерческого
цикла самостоятельно, вместо того, чтобы покупать их на рынке. При
этом происходит объединение в рамках одной компании всех основных
звеньев производственно-коммерческого цикла – от производства
сырья до его переработки и продажи продуктов конечного потребле-
ния. Вертикальная интеграция подразумевает использование в большей
степени внутренних, чем внешних хозяйственных связей. Преимущест-
вами являются: экономия на масштабах производства, обеспечение
гарантированных каналов сбыта и условий поставок, меньшая зависи-
мость от конкурентных угроз других компаний, совместные техноло-
гические разработки и внедрение результатов НИОКР предприятиями,
интегрированными в структуру компании, реализация возможностей
диверсификации продукции и интернационализации бизнеса, объедине-
ние знаний о рынке и создание единой системы информационного обес-
печения. По направлениям процесса вертикальной интеграции различа-
ют прямую интеграцию (сырьевые отрасли (upstream business))
интегрируются в перерабатывающие и маркетинг (downstream
business)) и обратную интеграцию. По степени концентрации различа-
ют следующие формы интеграции: полная, неполная (часть – на внеш-
нем рынке), квазиинтеграция (без перехода прав собственности).
16
управления (возникновения иерархий, изменения состава ОС,
распределения полномочий принятия решений и т.д.) в сложных
проектах является необходимость и возможность повышения (как
с точки зрения системы в целом, так и с точки зрения каждого из
ее участников) эффективности взаимодействия агентов за счет
снижения неопределенности относительно поведения друг друга.
При этом частным случаем управления ограничениями и ресур-
сами является управление «производственными цепочками», то
есть набором агентов, взаимодействующих последовательно в
силу причинно-следственных или технологических ограничений
(примером в проектной деятельности является сетевой график, в
производственной деятельности – вертикально интегрированные
компании [1]). Основное требование к управлению этим классом
систем заключается в том, что оно должно обеспечивать выпол-
нение технологических ограничений (см. раздел 14), что может
достигаться, в частности, за счет того, что планы и стимулирова-
ние каждого агента должны побуждать его выбирать действия,
обеспечивающие допустимость таких действий всех остальных
агентов, которые приводят к требуемому результату их совмест-
ной деятельности, причем объемы этой деятельности определя-
ются эффектами «горизонтальной» интеграции.
Для того, чтобы изучить процесс возникновения в сетевой
структуре организации, перейдем к описанию формальной моде-
ли, то есть к постановке задачи структурного синтеза.

3. ЗАДАЧА СТРУКТУРНОГО СИНТЕЗА
Выше были введены три типовые структуры: вырожденная,
линейная и матричная. Возможны и другие (более или менее
детальные классификации): например, в [1] выделяются следую-
щие основные виды организационных структур промышленных
фирм: иерархическая (которая порождается декомпозицией выс-
шей цели организации на цели, подцели и т.д.), функциональная
(декомпозиция производится на основании функций (исследова-
ние, производство, маркетинг и т.д.)), дивизиональные (декомпо-
зиция по относительно независимым отделениям, каждое из
которых может иметь ту или иную структуру), матричная (нало-
жение «горизонтальной» ответственности руководителей проек-
тов на функциональную структуру). Существуют «переходные»
17
структуры – например, дивизионально-региональная, дивизио-
нально-технологическая, дивизионально-продуктовая и др.
Перейдем к рассмотрению формальной (теоретико-игровой)
модели структурного синтеза.
Рассмотрим множество I = {1, 2, …, n} активных4 агентов
(использование термина «агент» обусловлено, во-первых, тем,
что в рамках сетевого взаимодействия каждый из субъектов
имеет потенциальную возможность выступать как в роли центра,
так и в роли АЭ, а, во-вторых, очень условной близостью рас-
сматриваемой модели к многоагентным системам (multi-agent or
agent-based systems) [99, 108, 109]). Предположим, что каждый
агент имеет непрерывную целевую функцию fi(y), отражающую
зависимость его выигрыша от вектора действий
y = (y1, y2, …, yn) ? A’ всех агентов. Будем считать, что действие i-
го агента принадлежит выпуклому компактному5 множеству Ai, и
выполнена гипотеза независимого поведения [10, 75] (ГНП), в
соответствии с которой A’ = ? Ai .
i?I
Совокупность {I, (fi(?))i?I, (Ai)i?I} множества агентов, их целе-
вых функций и допустимых множеств определяют игру Г0 в
нормальной форме [36], в которой все агенты одновременно и
независимо (кооперативные эффекты, если не оговорено особо,
рассматривать не будем) выбирают свои стратегии [25, 36, 76,
107].
Введем ряд определений.
Выбор действия yid ? Ai называется доминантной стратегией
i-го агента, если
(1) ? y-i ? A-i, ? yi ? Ai fi(yid, y-i) ? fi(yi, y-i),


4
Под активностью понимается способность субъекта, обладающего
собственными целями и интересами, выбирать свои действия.
5
В большинстве рассматриваемых ниже примеров множества допус-
тимых действий каждого агента составляют положительную полу-
ось. Если требование компактности существенно, то можно ограни-
читься конечным отрезком положительной полуоси, выбирая правую
границу этого отрезка достаточно большой для того, чтобы все
максимумы и минимумы достигались левее ее.
18
? Aj
где y-i = (y1, y2, …, yi-1, yi+1, …, yn) ? A-i = – обстановка игры
j ?i
для i-го агента, i ? I. Если каждый агент имеет доминантную
стратегию, то их совокупность называется равновесием в доми-
нантных стратегиях (РДС). Множество доминантных стратегий в
d
игре Г0 обозначим E 0 (?1).
В настоящей работе принята следующая система обозначе-
ний, отражающая зависимость равновесия от структуры: буква E
обозначает равновесие (equilibrium), верхний индекс обозначает
тип равновесия: "d" – РДС, "N" – Нэша и т.д., нижний индекс –
тип игры: "0" – игра Г0, "1" – Г1, "2" – Г2 и т.д., в скобках указыва-
ется структура, для которой определяется равновесие.
Вектор действий yN? A’ называется равновесием Нэша, если
(2) ? i ? I, ? yi ? Ai fi(yiN, y-iN) ? fi(yi, y-iN).
N
Множество равновесий Нэша в игре Г0 обозначим E 0 (?1).
Любое непустое подмножество S множества I, включая и са-
мо I, называется коалицией. Понятно, что для игры n лиц воз-
можны 2n–1 коалиций. Множество всех возможных коалиций
обозначим 2I. Обозначим (y-S*, yS) ? A’ ситуацию игры, в которой
агенты, не входящие в коалицию S ? I, выбирают действия yi*
(i ? I\S), а агенты из S выбирают действия yj (j ? S).
С итуация ySN называется сильно равновесной по Нэшу, если
для любых коалиций S ? I и любых yS ? AS = ? A j найдется
j?S
участник коалиции S (i ? S), такой, что fi(ySN) > fi(y-SSN, yS). Как
видно из определения, сильное равновесие Нэша отличается от
равновесия Нэша тем, что агенты не только поодиночке не могут
увеличить свой выигрыш выходом из равновесия, но и произ-
вольная их коалиция не может, отклоняясь от равновесия, увели-
чить этим одновременно выигрыш всех своих участников. Мно-
жество всех сильных равновесий Нэша в игре Г0 обозначим
SN
E 0 (?1).
Ситуация yP ? A’ называется эффективной по Парето, если
для любой другой ситуации y ? yP, y ? A', найдется агент i ? I, для


19
которого выполнено fi(y) < fi(yP). Множество всех эффективных
P
ситуаций в игре Г0 обозначим E 0 (?1).
Довольно просто показать, что выполнены следующие соот-
ношения:
E 0 (?1) ? E 0 (?1), E 0 (?1) ? E 0 (?1), E 0 (?1) ? E 0 (?1).
d N SN N SN P

При всех привлекательных чертах сильного равновесия Нэ-
ша, его использование ограничено тем, что даже в смешанных
стратегиях оно существует не во всех играх, поэтому будем ори-
ентироваться, в основном, на равновесие Нэша, используя РДС и
сильное равновесие Нэша только если они существуют.
Введем в рассмотрение ?m = (Si)i = 1, m – множество упоря-
доченных разбиений множества I на m непересекающихся непус-
тых подмножеств, объединение которых равно I, то есть
Si ? 2I \ {?}, Si ? Sj = ?, i, j = 1, m , U S i = I. Элемент ?m ? ?m
i
будем называть структурой ОС или просто структурой (см.
содержательные интерпретации ниже).
Число d(m, n) различных размещений n объектов по m «не-
пустым» множествам можно вычислить рекуррентно:
m ?1
? C m d (i , n ) .
i
Следовательно, всего имеется
n
d(m, n) = m –
i =1
n
? d ( m, n ) вариантов структуры n-агентной системы, то
N(n) =
m =1
есть число вариантов различных структур быстро растет с увели-
чением числа (см. таблицу 1). Оценка сложности задачи синтеза
может быть осуществлена в соответствии с результатами, приве-
денными в [37].

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 8
N(n) 1 3 13 75 541 4683 47293 545835 7087245

n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
9 10 11 13 14 15 17 18 20
1021
N(n) 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Табл. 1. Число вариантов структуры n-агентной системы

20
Фиксация ?m ? ?m задает разбиение множества агентов на m
упорядоченных подмножеств, причем Si может интерпретиро-
ваться как множество агентов, находящихся на i-ом уровне ие-
рархии, i = 1, m , которые условимся нумеровать сверху вниз, то
есть самым высоким является первый уровень иерархии, самым
низким – m-ый уровень.
Перейдем от игры Г0, описанной выше, к иерархической игре
m
Г j , в обозначении которой верхний индекс обозначает число
уровней иерархии в организационной системе (ОС), а нижний
индекс j – «глубину рефлексии» в терминах теории иерархиче-
ских игр [25]. Игра Г1 соответствует случаю, когда агенты, де-
лающие ход раньше, не рассчитывают наблюдать выборы аген-
тов, делающих ходы позже них, то есть игре Штакельберга. Игра
Г2 соответствует случаю, когда агенты, делающие ход раньше,
рассчитывают наблюдать выборы агентов, делающих ходы позже
них, то есть первые могут выбирать свои действия как функции
от стратегий последних, и т.д. – см. подробное описание метаигр
в [25]. Игры более высоких порядков (j = 3, 4, …) рассматривать в
настоящей работе не будем (см. сравнение эффективностей мета-
игр в [25, 51]).
Установим следующее соответствие между типом игры и
структурой ОС: все агенты знают целевые функции и допусти-
мые множества друг друга, кроме того, агенты из множества Si
(находящиеся на i-ом уровне иерархии и выбирающие свои стра-
тегии одновременно и независимо) знают выборы всех агентов из
множеств (Sj)j < i, i = 1, m (как отмечалось выше, будем нумеро-
вать Si в порядке убывания уровня иерархии). Таким образом,
структура ?m порождает m-шаговую иерархическую игру и на-
оборот (см. также аналогии в информационных расширениях игр
[51, 103]). При этом, в зависимости от конкретной структуры,
заданной на одном и том же множестве агентов, каждый из них
может выступать как в роли АЭ (находясь на самом нижнем
уровне иерархии) или метацентра (находясь на самом высоком
уровне иерархии), так и в роли центра промежуточного уровня
иерархии.
21
Предположим, что заданы ограничения: ? ? ?m, где ? –
множество допустимых структур. Под допустимостью, в част-
ности, может подразумеваться ограниченность числа уровней
иерархии, ограниченность числа агентов на определенном уровне,
определенные соотношения между числом агентов на различных
уровнях и т.д. Отметим, что в рамках рассматриваемого описания
все агенты, находящиеся на одном и том же уровне иерархии,
являются «неразличимыми по подчиненности», то есть имеет
смысл говорить о подчиненности уровня уровням, но не об инди-
видуальной подчиненности; детализация индивидуальных связей
подчиненности еще более увеличит сложность решаемой задачи.
Другими словами, каждый агент некоторого уровня подчинен
всем агентам всех более высоких уровней иерархии.
Обозначим Ej(?m) ? A’ – множество6 равновесных (по Нэшу,
если не оговорено другое) действий агентов в игре Г m , j = 1, 2,
j

разыгрываемой участниками структуры ?m, m = 1, n , f0(y) – крите-
рий эффективности, отражающий предпочтения лица, прини-
мающего решения7 (ЛПР), на множестве состояний ОС. Под
состоянием ОС здесь и далее будем понимать вектор действий ее
участников, то есть подмножество множества A'. Иногда, что
будет каждый раз оговариваться особо, в состояние будем вклю-
чать размер побочных платежей между участниками. В послед-
нем случае состояние ОС однозначно определяет выигрыши
(значения целевых функций) всех агентов.
Тогда задача структурного синтеза заключается в опреде-
лении числа уровней иерархии m, правил взаимодействия агентов
j, и таком распределении агентов по уровням иерархии (то есть в
нахождении такой допустимой структуры ОС ?m), которые мак-

6
Определение и свойства этого множества приводятся ниже.
7
В теоретико-игровых моделях управления иерархическими ОС обычно
предполагается, что исследователь операций, решающий задачу управ-
ления, находится на позициях оперирующей стороны – центра и не
обладает собственными интересами. Поэтому при решении задачи
структурного синтеза в качестве критерия эффективности принима-
ется функционал, отражающий интересы внешнего по отношению к
ОС субъекта, оценивающего эффективность той или иной структуры.
22
симизировали бы критерий эффективности при условии, что
агенты выбирают равновесные действия (использование макси-
мума по множеству равновесий соответствует гипотезе благоже-
лательности [36, 68] агентов по отношению к ЛПР):
(3) Kj(?m) = max f0(y) > max .
? m? , j?{0,1, 2}
?
y?E j ( ? m )
Задача структурного синтеза в виде (3) является чрезвычайно
трудоемкой – в ОС с n агентами для ее решения необходимо
определить N(n) равновесий для каждого из трех возможных
типов игр (j = 0, 1, 2). Разработка общих (аналитических и вычис-
лительных) методов ее решения является перспективной задачей
будущих исследований. В настоящей работе мы исследуем ряд
представляющих интерес как с теоретической, так и с практиче-
ской, точек зрения частных случаев, допускающих получение
простого (аналитического) содержательно интерпретируемого
решения.
Обозначим, Sj(?m) – множество агентов, находящихся в
структуре ?m на j-ом уровне, j = 1, m , Lk(?m) = U S j ( ? m ) –
j = k +1, m
множество агентов, находящихся в структуре ?m ниже k-го уров-
ня, Gk(?m) = U S j ( ? т ) – множество агентов, находящихся в
j =1,k ?1
структуре ?m выше k-го уровня. Очевидно, что ? ?m ? ?,
? k = 1, m Lk(?m) ? Sk(?m) ? Gk(?m) = I. Содержательно, Sk – мно-
жество равноправных между собой (в смысле момента выбора
стратегий и информированности) агентов, находящихся на k-ом
уровне иерархии, Gk – множество их «начальников», Lk – множе-
ство их «подчиненных». Рассмотрим три типа игр.
Игра Г0, разыгрываемая множеством агентов I, не зависит от
структуры (отношений подчиненности), так как в ней все агенты
принимают решения одновременно и независимо.
Игрой типа Г1 назовем игру, в которой стратегией i-го аген-
та, независимо от того, какому уровню иерархии он принадлежит,
является безусловный (то есть не зависящий от выборов других
агентов, принимающих решения позднее) выбор элемента множе-
ства Ai, i ? I.
23
Игрой типа Г2 назовем игру, в которой стратегией i-го аген-
та, принадлежащего Sk, то есть k-му уровню иерархии, является
выбор функции ui: ? A j > Ai, i ? I, то есть выбор элемента
j?Lk
множества Ai, зависящий от действий, выбираемых агентами из
множества Lk.
Определим равновесие в игре типа Г1, в которой, в том числе,
агенты из множества Sm, то есть агенты, находящиеся на самом
низком уровне иерархии, делают свой выбор, зная стратегии,
выбранные агентами из множества Gm = I \ Sm. Будем считать, что
они выберут равновесные по Нэшу действия, то есть действия из
следующего множества:
(4) NE1(Sm, yGm) = {ySm ? ASm | ? i ? Sm ? yi ? Ai
fi(yGm, ySm) ? fi(yGm, ySm|yi)},
где yGm = (yi)i ? Gm ? AGm = ? Ai – вектор действий агентов из
i?Gm

? Ai
множества Gm, ySm = (yi)i ? Sm ? ASm = – вектор действий
i?Sm
агентов из множества Sm, ySm|yi – вектор ySm действий агентов из
множества Sm, в котором действие i-го агента, i ? Sm, заменено на
yi.
В настоящей работе принята следующая система обозначе-
ний равновесий в иерархических играх: "NE" обозначает равнове-
сие Нэша (Nash Equilibrium), нижний индекс – тип игры: "0" –
игра Г0, "1" – Г1, "2" – Г2 и т.д., в скобках указываются: множество
агентов, равновесие игры которых определяется (например, Sm), и
стратегии агентов (например, yGm), находящихся на более высо-
ких уровнях иерархии, так как от стратегий последних зависит
рассматриваемое равновесие.
Определим соответствие отбора равновесий (СОР)
?i : NE1(Li, yGi+1) > NE1(Li, yGi+1), однозначно определяющее с
точки зрения агентов из множества Si равновесные стратегии
агентов из множества Li (при заданных стратегиях агентов из
множеств Si и Gi; напомним, что в рамках принятой системы
обозначений Gi+1 = Si ? Gi), i = 1, m ? 1 . В качестве СОР может
использоваться, например, применяемый агентами индивидуаль-
24
но принцип максимального гарантированного результата (МГР),
или другие принципы – оптимистические оценки и т.д.
Агенты из множества Sm-1, то есть агенты, находящиеся на
предпоследнем (снизу) уровне иерархии, делают свой выбор, зная
стратегии, выбранные агентами из множества Gm-1, и рассчитывая
(в силу знания всех допустимых множеств и целевых функций) на
выбор агентами из множества Sm стратегий ?m-1(NE1(Sm, yGm).
Таким образом, множество равновесий агентов (m-1)-го уровня
есть
(5) NE1(Sm-1, yGm-1) = {ySm-1 ? ASm-1 | ? i ? Sm-1 ? yi ? Ai
fi(yGm-1, ySm-1, ?m-1(NE1(Sm, yGm))) ?
? fi(yGm-1, ySm-1|yi, ?m-1(NE1(Sm, yGm-1, ySm-1|yi))) },
где yGm-1 = (yi)i ? Gm-1 ? AGm-1 = ? Ai – вектор действий агентов
i?Gm ?1

? Ai
из множества Gm-1, ySm-1 = (yi)i ? Sm-1 ? ASm-1 = – вектор
i?S m ?1

действий агентов из множества Sm-1, ySm-1|yi – вектор ySm-1 действий
агентов из множества Sm-1, в котором действие i-го агента замене-
но на yi.
Продолжая по аналогии, обозначим
NE1(Li, yGi+1) = {?i(NE1(Si+1, yGi+1)), ?i+1(NE1(Si+2, yGi, ?i(NE1(Si+1, y
Gi+1)))), …, ?m-2(???), ?m-1(???))} ? ? Ai – множество равновесных
i?Li

(с точки зрения агентов i-го уровня) действий агентов более
низких уровней в зависимости от стратегий агентов i-го и более
высоких уровней, i = 1, m ? 1 .
Таким образом, равновесие игры агентов из множества Si
можно записать в виде
(6) NE1(Si, yGi) = {ySi ? ASi | ? j ? Si ? yj ? Aj
fj(yGi, ySi, ?i(NE1(Li, yGi+1))) ? fj(yGi, ySi|yj, ?i(NE1(Li, ySi|yj, yGi)))},
i = 1, m ? 1 .
Выбор агентами первого уровня действий из множества
(7) NE1(S1, ?) = {yS1 ? AS1 | ? j ? S1 ? yj ? Aj
fj(yS1, ?1(NE1(L1, yS1))) ? fj(yS1|yj, ?1(NE1(L1, yS1|yj)))}.

25
индуктивно задает множество E1N ( ? m ) равновесных состояний
системы со структурой ?m: NE1(S2, NE1(S1, ?)) и т.д. Другими
словами, игра типа Г1 является обобщение игры Г1 или игры
Штакельберга на многоэлементный и многоуровневый случай.
Равновесие в игре типа Г2 строится более сложным образом,
чем в игре типа Г1, поэтому исследуем его ниже для частного
случая ОС с побочными платежами.
Прежде всего, рассмотрим случаи (классы исходных игр, то
есть моделей агентов), в которых введение структуры не изменяет
равновесия и, следовательно, не изменяет значения критерия
эффективности.
Обозначим ?1 – структуру, в которой все n агентов находятся
на одном уровне иерархии (очевидно, что структура с m = 1
единственна).
Утверждение 1. Если в игре Г0 множество E 0 ( ?1 ) равнове-
d

сий в доминантных стратегиях не пусто, то ? m = 1, n , ? ?m
K1(?m) = max f0(y).
y?E0 ( ?1 )
d

Справедливость утверждения 1 следует из определения (1)
РДС. Содержательно это утверждение означает, что, так как
каждый агент выбирает свои стратегии независимо от выбора
других агентов, то изменение последовательности выбора страте-
гий не изменит равновесия. Другими словами, системы, в кото-
рых существует РДС, неуправляемы в смысле K1(?).
Отметим, что существенным в утверждении 1 является не-
возможность выбора агентами действий, являющихся функциями
от стратегий других агентов – как показывает приводимый ниже
пример 1, в этом случае (качественно соответствующем игре Г2)
системы, в которых существует РДС, управляемы в смысле K2(?).
Поясним последнее утверждение. В определении (1) доми-
нантной стратегии i-го агента фигурирует произвольная, но фик-
сированная (то есть одинаковая в обеих частях неравенства),
обстановка игры для этого агента. В игре типа Г2 на структуре ?m,
в которой i ? Sk, j ? Sl, l < i, действие j-го агента является функ-
цией от действия i-го агента yi. Поэтому оптимальная стратегия i-

26
го агента в этой игре может отличаться от стратегии, которая
была оптимальна для него в игре Г0 – может оказаться, что8
Arg max fi(y-i-j, yi, yj) ? Arg max fi(y-i-j, yi, uj(yi)) = ?.
yi?Ai yi?Ai
Рассмотрим следующий пример, иллюстрирующий утвер-
ждение 1 в ОС с двумя агентами.
Пример 1 [76]. Пусть ОС включает двух агентов, целевые
функции которых имеют вид9: fi = yi + ?i (1 – y-i), yi ? Ai = [0; 1],
i = 1, 2. В данной ОС в игре Г0 имеется РДС, в котором оба агента
выбирают действия тождественно равные единице и получают
единичные выигрыши. Равновесие и выигрыши в игре Г1 такие
же.
Рассмотрим игру Г2. Пусть i-ый агент выбрал
?0, y ? i = 0
ui(y-i) = ? , i = 1, 2.
1, y ? i ? 0
?
При этом в случае, когда ?-i ? 1 агент -i выбирает нулевое дейст-
вие, а при ?-i ? 1 – единичное. Агенту i это выгодно при ?i ? 1.
Следовательно, игра Г2 (без побочных платежей) выгодна
обоим агентам при выполнении условия ?i ? 1, i = 1, 2. В этой
игре они получают выигрыши {?i}. Если условие ?i ? 1, i = 1, 2,
не выполнено, и побочные платежи запрещены, то каждый из
агентов будет использовать доминантную стратегию, гаранти-
рующую единичный выигрыш. Содержательно условие ?i ? 1
означает, что "вклад" оппонента в целевую функцию i-го агента
не меньше, чем его собственный вклад.
Таким образом, если выполнено условие ?i ? 1, i = 1, 2, то
обоим агентам одинаково выгодно, чтобы кто-либо из них (или
они оба) был центром (делал первый ход). Несколько забегая
вперед, рассмотрим что произойдет, если допустить возможность
осуществления побочных платежей (см. общие результаты об
эффективности использования побочных платежей в [24, 25, 76],
а также ниже), при которых целевые функции агентов имеют вид
(если i-ый агент является центром) fi = yi + ?i (1 – y-i) – zi, f-i = y-

y-i-j обозначает вектор, отличающийся от вектора y ? A' отсутстви-
8

ем i-ой и j-ой компонент.
9
Понятно, что в двухагентой ОС y-1 = y2, y-2 = y1.
27
+ ?-i (1 – yi) + zi, i = 1, 2. Пусть первый агент выбирает единич-
i

?? i , y ? i = 0
ное действие и использует следующий платеж: zi = ? .
?0, y ? i ? 0
Тогда агент -i выберет нулевое действие при ?i ? 1. Следователь-
но, использование побочного платежа выгодно i-му агенту, если
?i ? 1. Область компромисса при этом определяется величиной
Qi = ?i – 1. Таким образом, при выполнении следующего условия:
max {?i, ?-i} ? 1, которое является более слабым, чем условие
?i ? 1, i = 1, 2, хотя бы одному агенту выгодно быть центром и
получить выигрыш ?i. Агент, не являющийся центром, получает
единичный выигрыш.
Если выполнено условие ?i ? 1, i = 1, 2, и разрешены побоч-
ные платежи, то возможна ситуация, в которой обоим агентам
выгодно быть центром. При этом они начнут конкурировать за
право быть центром. Победителем в этой конкуренции (диктато-
ром) станет агент, имеющий большее значение параметра ?i.
Легко видеть, что конкуренция невыгодна диктатору, поэтому в
случае ?i ? 1, i = 1, 2, использование побочных платежей нецеле-
сообразно.
Мы рассмотрели два случая. В первом управление заключа-
лось в выборе агентом, делающим первый ход, своего действия в
виде функции от действия второго агента. Во втором случае от
действия второго агента зависел размер побочного платежа, но
действие первого агента было фиксировано. В общем случае
первый агент может выбирать зависящим от действия второго
агента и свое действие, и размер платежа [24, 25]. •10
Итак, в настоящем разделе сформулирована в общем виде за-
дача структурного синтеза. Приведенное выше построение равно-
m
весия в игре Г 1 свидетельствует о высокой вычислительной
сложности этого класса задач. Поэтому рассмотрим ряд частных
случаев задачи структурного синтеза, а именно – веерные струк-
туры, линейные системы, системы с побочными платежами и др.


10
Символ "•" здесь и далее обозначает окончание примера, доказатель-
ства и т.д.
28
4. ВЕЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ11
Веерной организационной структурой называется двухуров-
невая структура, в которой на верхнем уровне иерархии находит-
ся один управляющий орган (центр), а на нижнем – управляемые
субъекты (АЭ).
Если имеется множество агентов I (см. описание исходной
игры в нормальной форме в предыдущем разделе), то задача
синтеза оптимальной веерной структуры, фактически, заключа-
ется в оптимальном назначении центра (то есть в определении
номера агента, которого следует назначить центром). Для реше-
ния этой задачи достаточно вычислить n равновесий (каждое –
для «своего» центра) и, сравнив значения критерия эффективно-
сти, выбрать оптимальное назначение.
Обозначим ?2i – веерную структуру (m = 2), в которой цен-
тром является i-ый агент.
Решение для игры Г1 можно получить следующим образом.
Определим равновесие Нэша игры агентов из множества
I\{i}, если центр, которым назначили i-го агента, выбрал действие
yi ? Ai:
(8) NE1(I\{i}, yi) = {yI\{i} ? AI\{i} | ? j ? I\{i} ? yj ? Aj
fj(yI\{i}, yi) ? fj(yI\{i}|yj, yi)}, i ? I.
Определим множество действий центра, которые максимизи-
руют его гарантированный выигрыш в игре Г1:
fi(yI\{i}, yi), i ? I.
(9) Xi = Arg max min
y I \{i }?NE1 ( I \{i}, yi )
y i ?Ai

И, наконец, вычислим (в рамках гипотезы благожелательно-
сти агента, назначенного центром) значение критерия эффектив-
ности в случае назначения центром i-го агента:
f0(yI\{i}, xi), i ? I.
(10) K1(?2i) = max min
y I \{i }?NE1 ( I \{i}, yi )
x i ?X i

Таким образом, справедлив следующий результат.
Утверждение 2. Решение задачи синтеза оптимальной веер-
ной структуры (в смысле игры Г1) имеет вид:


11
Разделы 4, 6 и 12 написаны совместно с В.Г. Балашовым.
29
*
(11) i1 = arg max K1(?2i).
i?I
Решение для игры Г2 можно получить следующим образом.
Определим равновесие Нэша игры агентов из множества
I\{i}, если центр, которым назначили i-го агента, выбрал страте-
гию ui: A-i > Ai, где A-i = ? A j :
j ?i
(12) NE2(I\{i}, ui(?)) = {yI\{i} ? AI\{i} | ? j ? I\{i} ? yj ? Aj
fj(yI\{i}, ui(yI\{i})) ? fj(yI\{i}|yj, ui(yI\{i}}|yj))}, i ? I.
Следует подчеркнуть, что в данной модели центр использует
унифицированное (одинаковое для всех АЭ) управление, так как
выбираемая им функция от стратегий других агентов должна
принимать значения из множества Ai. Этот факт существенно
усложняет поиск и анализ аналитического решения (по сравне-
нию с моделями, рассматриваемыми в [75, 76]). В то же время,
задача существенно упрощается, если допустимы персонифици-
рованные побочные платежи (см. ниже).
Определим множество стратегий центра, которые максими-
зируют его гарантированный выигрыш в игре Г2:
fi(yI\{i}, ui(yI\{i})), i ? I.
(13) Ui = Arg max min
y I \{i }?NE2 ( I \{i},ui (?))
ui

И, наконец, вычислим (в рамках гипотезы благожелательно-
сти агента, назначенного центром) значение критерия эффектив-
ности в случае назначения центром i-го агента:
f0(yI\{i}, ui(yI\{i})), i ? I.
(14) K2(?2i) = max min
y I \{i }?NE2 ( I \{i},ui (?))
u i ?U i

Таким образом, справедлив следующий результат.
Утверждение 3. Решение задачи синтеза оптимальной веер-
ной структуры (в смысле игры Г2) имеет вид:
*
(15) i2 = arg max K2(?2i).
i?I
Рассмотрим ряд частных случаев задачи синтеза оптималь-
ной веерной структуры ОС и приведем иллюстративные приме-
ры.
В теории игр двух лиц известен термин «борьба за лидерст-
во», означающий, что не существует ситуации игры, в которой
каждый из агентов получал бы не менее, чем он мог бы получить,

30
делая ход первым (то есть – в соответствующей игре Штакель-
берга). Известно, что, если игра двух лиц имеет хотя бы два эф-
фективных равновесия Нэша с различными векторами выигры-
шей, то имеет место борьба за первый ход [107].
Анализ задачи синтеза оптимальной веерной структуры ОС
может быть упрощен за счет использования результатов, полу-
ченных в [76] при сравнении игр Г0 и Г1.
Фиксируем произвольное множество (коалицию) S ? I. Пусть
существует равновесие Нэша игры Г0 всех n агентов. В [76] дока-
зано, что, если произвольная коалиция имеет право первоочеред-
ного хода, то, сообщая соответствующие компоненты равновес-
ных по Нэшу действий, агенты из этой коалиции (выбирая
действия одновременно) они могут только сузить множество
итоговых равновесий Нэша. Другими словами, при фиксации
части равновесных стратегий множество равновесных стратегий
других агентов не расширяется. Следовательно, если исходное
множество равновесий содержит более одного элемента, и раз-
личным его элементам соответствуют различные компоненты
действий агентов из некоторой коалиции, то члены коалиции,
выбирая свои стратегии первыми, могут сузить множество итого-
вых равновесий, то есть побудить остальных агентов к выбору
определенных равновесных стратегий. В каких случаях и кому
это выгодно? Очевидно, что, если все элементы множества рав-
новесий Нэша эффективны по Парето и приводят к разным век-
торам выигрышей, то всегда найдется агент, для которого изме-
нение равновесия невыгодно. «Цена вопроса» для агентов из
коалиции S определяется разностью между их выигрышами при
«текущем» равновесии и максимумом выигрышей, которые они
могут получить, делая ход первыми и выбирая не обязательно
компоненты равновесных действий, то есть не только сужая
множество равновесий, но и изменяя его. Другими словами, в
игре Г1 первоочередной выбор некоторыми агентами «неравно-
весных» (в исходной игре Г0) стратегий может оказаться более
выгодным, чем выбор компонент некоторого равновесия.




31
Пример 2 [76]. Рассмотрим ОС, состоящую из четырех аген-
yi2
тов, имеющих целевые функции fi(y) = yi – , ri > 0,
2( ? y j ? 4 ri )
j ?i

yi ? Ai = [0; +?), i = 1, 4 . Содержательно fi(y) – прибыль i-го
агента, зависящая от его действия, причем эффективность его
деятельности (знаменатель второго слагаемого) зависит от дейст-
вий других агентов. Рассмотрим последовательно ряд иерархиче-
ских игр.
Вычислим равновесие Нэша и равновесные выигрыши в игре
? rj
N N
Г0: y 0 i = – ri, fi(yN) = y 0 i /2, i = 1, 4 .
j ?i
Предположим, что i-ый агент обладает правом первого хода,
но не узнает выборов других агентов, то есть реализуется игра Г1.
?
Пусть i-ый агент выбрал дейсвтие yi ? Ai и сообщил ее другим
агентам, которые придут в равновесие Нэша, имея целевые функ-
ции:
y2
j
, j ? i.
fj(y) = yj –
2( yi + ? yk ? 4r j )
?
k ?i, j

? rk ?
– yi , j ? i. Равновесные
N
Это равновесие есть: y1 j = 2
k ?i , j

выигрыши: f1N = y1 j /2, j ? i.
N
j

Целевая функция i-го агента может быть записана в виде
yi2
?
N
? ? . Максимум этого выражения,
f1i ( yi ) = yi –
2( 4 y 0 i ? 3 y i )
N
?

равный f1N * ? 0.6 y 0 i , достигается при y1i ? 0.83 y 0 i . Выиг-
N
?* N
i

? rk
рыши других агентов равны: f1N ? 1/2 [1.17 – 0.83 (rj –
j
k ?i, j
ri)], j ? i.


32
Так как f1N * > fi(yN), i ? I, то любому из агентов поодиночке
i
выгодно разыгрывать игру Г1, делая первый ход. Более того, если
? r j – ri ? 0, то выделение i-го агента в качестве центра выгодно
j ?i
всем участникам ОС.
Выше упоминалось, что выбор одним из агентов равновесной
стратегии до выбора других агентов не ухудшает его выигрыша.
В настоящем примере оказывается (так как равновесие Нэша в
игре Г0 всех четыре агентов единственно), что выбор им неравно-
весной стратегии строго увеличивает его выигрыш в игре Г1 по
сравнением с игрой Г0. •
Завершив рассмотрение примеров, вернемся к исследованию
задач структурного синтеза.


5. ОДНОРОДНЫЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим в некотором смысле предельный случай, а имен-
но – однородную ОС, то есть такую, все участники которой оди-
наковы. В однородной ОС функции выигрыша fi(y) всех агентов
одинаковы и, более того, симметричны относительно произволь-
ных перестановок переменных (требование анонимности [65]), то
есть: Ai = A, fi(y) = f(y), i ? I, причем ? z, t ? A f(…, z, …, t, …) =
f(…, t, …, z, …).
Казалось бы, так как агенты одинаковы, то вести себя они
должны одинаково, то есть изменение структуры (порядка ходов)
не должно изменять состояния системы. Однако это не всегда так.
Введем множество
(16) P(f) = Arg max f(y)
y?A'
векторов действий агентов, на которых достигается максимум
целевой функции каждого из них. Предположим, что целевая
функция такова, что множество (16) выпукло и компактно. Тогда
легко видеть, что множество (16) в силу анонимности всегда
содержит элемент x ? An вида x = (z, z, …, z), где z ? A.



33
Утверждение 4. Если E 0 ( ?1 ) = P(f) = {x}, x = (z, z, …, z),
N

z ? A, то в однородных ОС изменение структуры не изменяет
равновесного состояния системы.
Доказательство. Рассмотрим игру Г1 (так как агенты одина-
ковы, то центром может быть выбран любой из них). Обозначим
BR-i(yi) = Arg max f(y-i, yi), yi ? A – наилучший ответ всех
y ?i ? A n ?1
агентов, кроме i-го (выступающего в роли центра), на выбор
центром действия yi. Множество BR-i(yi) в рамках введенных
предположений всегда содержит элемент вида (t(yi), …, t(yi)) ? An-
. Поэтому z ? Arg max f(yi, y-i), что приводит, в част-
1
max
yi ?A y ?i?BR?i ( yi )
ности, к t(z) = z. Значения, строго большего, чем f(x) i-ый агент
получить не может в силу (16). Следовательно, при его назначе-
нии центром равновесное состояние системы не изменится, то
есть E1N ( ? 2i ) = E 0 ( ?1 ) .
N

Рассмотрим игру Г2 (так как агенты одинаковы, то центром
может быть выбран любой из них).
Обозначим BR-i(ui(?)) = Arg max f(y-i, ui(y-i)), yi ? A – наи-
y ?i ? A n ?1
лучший ответ всех агентов, кроме i-го (выступающего в роли
центра), на выбор центром стратегии ui(?). Введем стратегию
наказания uн(y-i): f(uн(y-i), y-i) = min f(yi, y-i). Использование i-ым
yi ?A

?u н , ?j ? I \ {i} : y j ? z
?
агентом (центром) стратегии u (y-i) = ? *

? z, y j = z , j ? I \ {i}
?
побуждает остальных агентов выбрать вектор (z, …, z) ? An-1 как
равновесие (или даже как сильное равновесие Нэша в случае
строго монотонной функции выигрыша) их игры, что дает всем
участникам ОС, включая i-го агента, выступающего в роли цен-
тра, выигрыш f(x). Значения, строго большего, чем f(x) i-ый агент
получить не может в силу (16). Следовательно, при его назначе-
нии центром равновесное состояние системы не изменится, то
есть E 2 ( ? 2i ) = E 0 ( ?1 ) .
N N




34
Мы рассмотрели структуры ?2i для игр Г1 и Г2. Аналогично
рассматриваются и другие многоуровневые структуры, для каж-
дой из которых можно показать, что выбор действия z ? A дос-
тавляет абсолютный максимум выигрышу любого участника ОС,
независимо от его роли. •
Содержательно, если максимум целевой функции f(?) дости-
гается в единственной точке, то любой агент (будь он центром
или АЭ, то есть независимо от типа игры) выберет одно и то же
действие.
Для того, чтобы показать, что в случае, когда множество P(f)
состоит более чем из одной точки, изменение структуры может
изменить «равновесное» состояние системы, рассмотрим сле-
дующий пример.
Пример 3. Пусть n = 2 и f(y) = (y1 + y2) – (y1 + y2)2/ 2r, r > 0,
A = ?1 . Тогда P(f) = {(y1, y2) | y1 + y2 = r}, z = r / 2 (фокальная
+
точка [36, 107]).
Рассмотрим игру Г0. В ней множество равновесий Нэша со-
ставляет E 0 ( ?1 ) = P(f). Если агенты не имеют возможности
N

договориться и вынуждены выбирать стратегии одновременно и
независимо, то гарантированный (по множеству равновесий
Нэша) результат каждого из агентов равен нулю: не зная выбора
другого агента, каждый агент может выбрать нулевое действие,
принадлежащее проекции равновесия Нэша E 0 ( ?1 ) на множест-
N

во его допустимых стратегий.
Рассмотрим игру Г1. В ней лучшим ответом второго агента
BR2: A1 > A2 на заданное действие y1 первого агента будет ото-
бражение BR2(y1) = max {0; r – y1}. Оптимальной стратегией
первого агента будет выбор действий из следующего множества:
max f(y1, y2), то есть отрезка [0; r]. Выигрыш каж-
Arg max
y1 ?0 y2?BR2 ( y1 )
дого из агентов при этом достигает абсолютного максимума и
равен r/2.
Рассмотрим игру Г2. В ней лучшим ответом второго агента
BR2: {?1(?)} > A2 на заданную стратегию ?1: A2 > A1 первого
агента будет отображение BR2(?), обеспечивающее выполнение
?(y2) + y2 = r. Тогда оптимальной стратегией первого агента
35
будет ?1(y2) = r – y2, следовательно множеством оптимальных
стратегий второго агента будет отрезок [0; r]. Выигрыш каждого
из агентов при этом достигает абсолютного максимума и равен
r/2. •
Содержательно, если в однородной ОС существует несколь-
ко равновесий Нэша, то выбор каждым из агентов действия,
которое при некоторых действиях остальных агентов является
равновесием Нэша, не гарантирует попадания системы в точку
Нэша.
Множество равновесий Нэша E 0 ( ?1 ) называется Inter-
N

changeable Nash Equilibria (INE), если ? ti ? Proji E 0 ( ?1 ) , i ? I,
N

(t1, t2, …, tn) ? E 0 ( ?1 ) [100, 107]. Понятно, что, если равновесие
N

Нэша единственно, то оно является в однородных ОС INE. По-
этому утверждение 4 может быть обобщено: в однородных ОС с
INE изменение структуры не изменяет равновесного состояния
системы.
Отметим, что утверждение 4 не противоречит утверждению
1, так как в однородной ОС может не существовать РДС (см.
пример 3). В то же время, для существования INE достаточно
существования РДС.
Таким образом, для однородных ОС можно сделать следую-
щий качественный вывод: в них необходимость координации
(наличия центра) в отсутствии кооперации обусловлена множест-
венностью равновесных (и эффективных) стратегий.
Следующее утверждение характеризует свойства решения
задачи структурного синтеза для однородных ОС.
Утверждение 5. В однородной ОС существует оптимальная
(в смысле целевых функций агентов) веерная структура, причем
(17) K1(?2i) = K2(?2i), i ? I.
Доказательство. То, что в рамках фиксированного типа игры
эффективность веерной структуры одинакова для любого назна-
чения центра, следует из однородности агентов.
В доказательстве утверждения 4 показано, что в однородных
ОС эффективности двухуровневых структур при играх Г1 и Г2
одинаковы, поэтому докажем, что эффективность трех- и более

36
уровневых структур ни для какой из иерархических игр типа Г1 и
Г2 не превышает эффективности двухуровневой структуры.
По аналогии с доказательством утверждения 4 можно пока-
зать, что в произвольной структуре ?m, m = 1, n , независимо от
типа игры (Г1 или Г2) реализуемо равновесие x ? P(f), в котором
все агенты (центры всех уровней и активные элементы) получают
максимальный выигрыш f(x). В то же время, большего выигрыша
никто из них получить не может в силу определения (16). •
Содержательно утверждение 5 означает, что в однородных
ОС для достижения максимальной эффективности достаточно
назначить центром любого агента и разыграть игру Г1 или Г2.
Следует отметить, что в однородных системах не имеет
смысла говорить об эффективности той или иной структуры с
точки зрения значения критерия ЛПР f0(y), так как в рамках ут-
верждения 5, независимо от назначения кого-либо из агентов
центром, реализуется оптимальное (Парето-эффективное) для
агентов состояние. Если в однородной структуре ?1 (без выделе-
ния центра) ЛПР имеет возможность оказывать влияние на выбор
агентами компонент равновесия, то имеет смысл говорить, ско-
рее, об информационном управлении [77], которое, во-первых,
будет иметь эффективность max f0(y), а, во-вторых, не будет
y?P ( f )
стабильным в силу неэффективности (с точки зрения агентов)
реализуемых им состояний ОС.
Завершив исследование задачи структурного синтеза для од-
нородных ОС, перейдем к изучению линейных ОС.


6. ЛИНЕЙНЫЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ12
Помимо однородных ОС, рассмотренных в предыдущем раз-
деле, характерным частным случаем являются так называемые
линейные ОС [53, 73], описываемые следующим образом.
Пусть целевая функция i-го агента, определенная с точно-
стью до константы, имеет вид


12
Настоящий раздел написан совместно с А.Ю. Заложневым.
37

стр. 1
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>