<<

стр. 3
(всего 6)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

реализует как равновесие Нэша: действие y * ?AJ и результат J
деятельности x?A0 с минимальными затратами на стимулирование.
Доказательство теоремы 4.7.2 является комбинацией доказа-
тельств теорем 4.4.1 и 4.5.1 и не приводится.
Пример 9. Пусть в АС, состоящей из n = 3 АЭ, функции затрат
АЭ сепарабельны и имеют вид: ci(y)= yi2 /2ri, i?I; J={1}, I\J={1;2};
n
?
z = y1 + y2 + y3; H(z) = z. Y(z) = {y ? A’ | yi = z}. Решение зада-
i =1


? ? ?
ci(yi) > min при условии
чи yi дает мно-
yi = x -
y?AI \ J
i?I \ J i?I \ J i?J
ri
? yi), i ? I\J}.
жество Y I*\J (yJ, z) = { yi* = (z -
? rj i?J
j?I \ J
Минимальные затраты на стимулирование по реализации дей-
ствия y1 и результата деятельности x ? A0 равны:
*


( x ? y1 ) 2
*
( y1 ) 2
*
?( *
y1 , x) = + .
2( r2 + r3 ) 2 r1
Целевая функция центра равна: ?( y1 , x) = x - ?( y1 , x). Опти-
* *



1
Отметим, что система стимулирования (5) аналогична системе сти-
мулирования, оптимальной в модели S5, а (6) – системе стимулирования,
оптимальной в модели S4.
65



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
мальные значения параметров равны: x = W = r1 + r2 + r3 (ср. с
оптимальными решениями в примерах 2, 4, 7 и 8). •
На втором этапе решения задачи стимулирования определяют-
ся значения параметров yJ ? AJ, x ? A0 систем стимулирования (5)-
(6), которые максимизируют эффективность:
max {H(yJ, x) - ?(yJ, x)}.
K* =
y J ?AJ , x?A0
Итак, мы рассмотрели один из возможных случаев наблюдае-
мости действий АЭ и результатов деятельности АС (см. шесть
предположений в настоящем разделе выше). Другие комбинации
рассматриваются по аналогии. Ключевой идеей при этом является
адаптированное использование результатов исследования моделей
S1-S6, то есть на первом этапе - декомпозиция игры активных
элементов и компенсация их затрат по выбору фиксированных
действий, затем на втором этапе - выбор оптимального с точки
зрения центра реализуемого действия.
Таким образом, основной методологический вывод из резуль-
татов исследования задач стимулирования в детерминированных
многоэлементных АС, рассмотренных в настоящем разделе, за-
ключается в следующем: решение задачи стимулирования в много-
элементных АС опирается на две ключевых идеи – декомпозиции
игры активных элементов и компенсации их затрат.
Отметим, что первая идея является специфической для много-
элементных АС, а вторая справедлива как для одноэлементных, так
и для многоэлементных активных систем (см. выше). Возможность
декомпозиции игры АЭ основана на использовании центром сис-
тем стимулирования, при которых у каждого АЭ существует един-
ственная доминантная стратегия. Более того, оказывается, что
системы стимулирования, декомпозирующие игру АЭ, характери-
зуются минимальными затратами центра на стимулирование, то
есть оптимальны или ?-оптимальны. Описанная в настоящем раз-
деле для детерминированных моделей многоэлементных АС мето-
дология и методика решения задач стимулирования в седьмом
разделе настоящей работы обобщается на случай многоэлементных
АС с неопределенностью, а в пятом, шестом, восьмом, девятом и
десятом разделах используется при рассмотрении практически
важных прикладных задач стимулирования.
66



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
5. РАНГОВЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ 1

В большинстве рассмотренных выше моделей вознаграждение
АЭ зависело от абсолютных значений их действий и/или результа-
та деятельности. В то же время на практике достаточно распро-
странены ранговые системы стимулирования (РСС), в которых
величина вознаграждения АЭ определяется либо принадлежностью
показателя его деятельности некоторому наперед заданному мно-
жеству - так называемые нормативные РСС, либо местом, зани-
маемым АЭ в упорядочении показателей деятельности всех эле-
ментов - так называемые соревновательные РСС. Преимущества
ранговых систем стимулирования достаточно очевидны - при их
использовании центру иногда не обязательно знать достоверно
значения всех действий, выбранных элементами; при использова-
нии соревновательных РСС в АС, функционирующих в условиях
неопределенности, в ряде случаев оказывается возможным сниже-
ние неопределенности за счет параллельного функционирования
элементов и т.д. [7, 44].
Подробный обзор результатов отечественных и зарубежных
авторов по исследованию РСС (турниров - rank-order tournaments -
в терминологии теории контрактов) приведен в [34]. В настоящей
работе нас будет интересовать следующий аспект: так как РСС
являются подклассом систем стимулирования, то возникает вопрос
- какова их эффективность в сравнении с другими системами сти-
мулирования. Другими словами, в каких случаях использование
РСС не приводит к потерям эффективности управления (стимули-
рования), а если приводит, то какова величина этих потерь?

5.1. НОРМАТИВНЫЕ РАНГОВЫЕ СИСТЕМЫ
СТИМУЛИРОВАНИЯ

Нормативные РСС характеризуются наличием процедур при-
своения рангов АЭ в зависимости от показателей их деятельности

1
Материал данного раздела в основном основывается на развернутой
версии работы [6].
67



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
(выбираемых действий и т.д.). Введем следующие предположения,
которые будем считать выполненными на протяжении настоящего
раздела.
А.5.1. Множества возможных действий АЭ одинаковы: Ai = A
= ?1 , i ? I.
+
А.5.2. Функции затрат АЭ монотонны.
А.5.3. Затраты от выбора нулевого действия равны нулю.
Пусть ?={1,2,...m} - множество возможных рангов, где m -
размерность НРСС, {qj}, j= 1, m - совокупность m неотрицательных
чисел, соответствующих вознаграждениям за "попадание" в раз-
личные ранги; ?i: Ai>?, i= 1, n - процедуры классификации. Нор-
мативной ранговой системой стимулирования (НРСС) называется
кортеж {m, ?, {?i}, {qj}}.
В работе [55] доказано, что для любой системы стимулирова-
ния существует НРСС не меньшей эффективности. Идея доказа-
тельства этого факта заключается в следующем. Пусть имеется
произвольная допустимая система стимулирования, которая реали-
зует некоторый вектор действий АЭ с некоторыми суммарными
затратами на стимулирование. Легко показать, что, можно подоб-
рать вектор вознаграждений q=(q1, q2, ..., qm) и совокупность про-
цедур классификации {?i} - в общем случае различных для различ-
ных АЭ, таких, что соответствующая НРСС будет реализовывать
тот же вектор действий с теми же затратами на стимулирование,
что и исходная система стимулирования (см. детали в [55]). Клю-
чевым при этом является то, что процедуры ?i(?) классификаций
показателей деятельности АЭ могут быть различны.
То, что центр использует различные процедуры присвоения
рангов, может показаться не "справедливым" с точки зрения АЭ.
Действительно, например, выбирая одинаковые действия, два АЭ
могут иметь различные ранги и, следовательно, получать различ-
ные вознаграждения. Более "справедливой" представляется НРСС,
в которой процедура классификации одинакова для всех АЭ, то
есть так называемая универсальная НРСС, при использовании
которой элементы, выбравшие одинаковые действия, получают
одинаковые вознаграждения.

68



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Введем вектор Y = (Y1, Y2, ..., Ym), такой, что 0 ? Y1 ? Y2 ? ... ?
Ym < +?, который определяет некоторое разбиение множества A.
Универсальная НРСС задается кортежем {m, {Yj}, {qj}}, причем
вознаграждение i-го активного элемента ?i определяется следую-
m
?
щим образом: ?i(yi) = qj I(yi?[Yj,Yj+!)), где I(.) - функция-
j =0
индикатор, Y0 = 0, q0 = 0. Универсальная НРСС называется про-
грессивной, если q0 ? q1 ? q2 ? ... ? qm. Пример прогрессивной
универсальной НРСС приведен на рисунке 5.

?
qm




q2

q1
y
Y1 Y2 Y3 Ym
0
Рис. 5. Пример прогрессивной универсальной НРСС.

Универсальная нормативная ранговая система стимулирования
(УНРСС) принадлежит к классу унифицированных кусочно-
постоянных систем стимулирования (см. классификацию выше).
Исследуем ее эффективность.
Так как УНРСС кусочно-постоянна, то в силу монотонности
функций затрат очевидно, что АЭ будут выбирать действия с ми-
нимальными затратами на соответствующих отрезках. Иначе гово-
ря, условно можно считать, что при фиксированной системе сти-
мулирования множество допустимых действий равно Y = {Y1, Y2,
..., Ym}, причем, так как ci(0) = 0, то следует положить q0 = 0. Дей-
ствие, выбираемое i-ым АЭ, определяется парой (Y,q), то есть
имеет место yi* (Y,q) = Y k i , где
(1) ki = arg max {qk - ci(Yk)}, i ? I.
k = 0, m

69



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
*
* *
Обозначим y*(Y,q) = ( y1 (Y,q), y 2 (Y,q), ..., y n (Y,q)). Задача
синтеза оптимальной УНРСС заключается в выборе размерности
УНРСС m и векторов q и Y, удовлетворяющих заданным ограниче-
ниям, которые максимизировали бы целевую функцию центра:
(2) ?(y*(Y,q)) > max .
Y ,q
Фиксируем некоторый вектор действий y* ? A', который мы
хотели бы реализовать универсальной нормативной системой
стимулирования. Известно, что минимально возможные (среди
всех систем стимулирования) затраты на стимулирование по реали-
зации этого вектора соответствуют использованию квазикомпенса-
торной системы стимулирования (см. выше и [44]) и равны:
n
? ci ( yi* ) .
(3) ?QK(y ) =*

i =1
Из того, что при использовании УНРСС АЭ выбирают дейст-
вия только из множества Y, следует, что минимальная размерность
системы стимулирования должна быть равна числу попарно раз-
личных компонент вектора действий, который требуется реализо-
вать. Следовательно, использование УНРСС размерности, боль-
шей, чем n, нецелесообразно. Поэтому ограничимся системами
стимулирования, размерность которых в точности равна числу АЭ,
то есть положим m = n.
Для фиксированного y*?A' положим Yi= yi* , i ? I, и обозначим
cij=ci(Yj), i,j?I. Из определения реализуемого действия (1) следует,
что для того, чтобы УНРСС реализовывала вектор y*?A' необхо-
димо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:
(4) qi - cii ? qj - cij, i ? I, j = 0, n .
Запишем (4) в виде
(5) qj - qi ? ?ij, i ? I, j = 0, n ,
где ?ij = cij - cii. Обозначим суммарные затраты на стимулирование
по реализации действия y* УНРСС
n
? qi ( y * ) ,
(6) ?УНРСС(y ) = *

i =1
где q(y ) удовлетворяет (4).
*


70



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Задача синтеза оптимальной (минимальной) УНРСС заключа-
ется в минимизации (6) при условии (5).
Из того, что qi ? cii, i ? I, немедленно следует, что ? y* ? A'
выполнено: ?УНРСС(y*) ? ?QK(y*), то есть минимальные затраты на
стимулирование по реализации любого вектора действий АЭ при
использовании универсальных нормативных систем стимулирова-
ния не ниже, чем при использовании квазикомпенсаторных систем
стимулирования. Следовательно, для эффективностей стимулиро-
вания справедлива следующая достаточно "грубая" оценка:
KУНРСС ? KQK. Потери от использования УНРСС обозначим1
?(УНРСС, QK) = ?УНРСС(y*) - ?QK(y*) ? 0.
Таким образом, исследование УНРСС свелось к необходимо-
сти ответа на следующие вопросы - какие векторы действий АЭ
могут быть реализованы в этом классе систем стимулирования
(иначе говоря, для каких действий система неравенств (5) имеет
решение) и в каких случаях УНРСС являются оптимальными во
всем классе допустимых систем стимулирования (иначе говоря,
при каких условиях ?(УНРСС, QK) = 0).
Введем в рассмотрение n-вершинный граф G?(y*), веса дуг в
котором определяются ||?ij(y*)||. Задача минимизации (6) при усло-
вии (5) является задачей о минимальных неотрицательных потен-
циалах вершин графа G? , для существования решения которой
необходимо и достаточно отсутствия контуров отрицательной
длины [5]. Таким образом, справедлива следующая
Лемма 5.1.1. Для того чтобы вектор y* ? A' был реализуем в
классе УНРСС, необходимо и достаточно, чтобы граф G?(y*) не
имел контуров отрицательной длины.
Рассмотрим следующую задачу о назначении:
n
? c ij x ij > min
(7)
{ xij}
i , j =1



1
Напомним, что компенсаторная (К-типа) и квазикомпенсаторная (QK-
типа) системы стимулирования оптимальны, то есть имеют макси-
мальную эффективность. Поэтому имеет смысл сравнивать эффектив-
ность исследуемой системы стимулирования с эффективностью именно
этих систем стимулирования.
71



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
n
n
? x ij ? x ij
(8) xij ? {0;1} , i, j, ? I; = 1, j ? I; = 1, i ? I.
i =1 j =1
Лемма 5.1.2. Для того чтобы в решении задачи (7)-(8) выпол-
нялось xii = 1, i ? I, xij = 0, j ? i, необходимо и достаточно, чтобы
граф G?(y*) не имел контуров отрицательной длины.
Доказательство. Пусть (i1, i2, ..., in) - решение задачи (7)-(8), то
есть назначение
*
* *
(9) y i = y1 , y i = y 2 , ..., y i = y n
1 2 n
минимизирует (7).
Предположим, что ? j ? I ij = j и в графе G?(y*) имеется кон-
тур отрицательной длины. Тогда существует такое переназначение
(перестановка вершин графа, входящих в этот контур), которое
уменьшит суммарные затраты (7), следовательно, исходное назна-
чение не является решением задачи (7)-(8) - противоречие.
Пусть граф G?(y*) не имеет контуров отрицательной длины.
Предположим, что решение (i1, i2, ..., in) не является оптимальным
решением задачи (7)-(8). Пусть (j1, j2, ..., jn) – оптимальное решение.
Тогда решение (j1, j2, ..., jn) можно получить из решения (i1, i2, ..., in)
путем переназначений, которым в графе G?(y*) соответствуют один
или несколько контуров отрицательной длины. Однако, при этом
суммарные затраты могут только увеличиться. Таким образом, (i1,
i2, ..., in) – оптимальное решение. •
Следствием лемм 5.1.1 и 5.1.2 является следующая теорема,
характеризующая множество всех действий, реализуемых универ-
сальными нормативными ранговыми системами стимулирования.
Теорема 5.1.1. Для того чтобы вектор y* ? A' был реализуем в
классе УНРСС, необходимо и достаточно, чтобы он являлся реше-
нием задачи о назначении (7)-(8).
Из теории графов известно [5], что в оптимальном решении
задачи (5)-(6) минимальна не только сумма потенциалов вершин
графа G? (суммарные затраты на стимулирование), но и минималь-
ны все потенциалы вершин (индивидуальные вознаграждения). То
есть решение задачи о назначении (7)-(8) и двойственной к ней
задачи (5)-(6) минимизирует не только суммарные выплаты АЭ со


72



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
стороны центра, но обеспечивает минимальные значения всем
индивидуальным вознаграждениям.
Приведенные выше результаты характеризуют множество
действий, реализуемых УНРСС. Исследуем теперь эффективность
этого класса систем стимулирования.
Имея результат теоремы 5.1.1, мы имеем возможность пред-
ложить алгоритм вычисления минимальных потенциалов, и, следо-
вательно, количественно оценить потери в эффективности.
Рассмотрим задачу (7)-(8). Перенумеруем АЭ таким образом,
чтобы оптимальным было диагональное назначение ? j ? I ij = j
(xii = 1). Поставим в соответствие ограничению (7) двойственную
переменную uj, j ? I, а ограничению (8) - двойственную перемен-
ную vi, i ? I. Ограничения двойственной к (7)-(8) задачи имеют
вид:
(10) uj - vi ? ?ij, i, j, ? I.
Заметим, что так как xii = 1, i ? I, то ui - ?i = ?ii = 0, а значит ui
- ?i = qi. Используя этот факт, определим следующий алгоритм:
Шаг 0. uj = cjj, j ? I.
Шаг 1. vi:= max {uj - ?ij}, i ? I.
j?I
Шаг 2. uj:= min {vi + ?ij}, j ? I.
i?I
Последовательное повторение шагов 1 и 2 алгоритма конечное
число (очевидно, не превышающее n) раз даст оптимальное реше-
ние задачи (5)-(6):
(11) qi = ui = vi, i ? I.
Приведенный выше алгоритм позволяет решать задачу поиска
минимальных потенциалов графа G?, удовлетворяющих условию
(5), то есть реализующих заданный вектор действий АЭ. С одной
стороны доказанный выше критерий реализуемости заданных
действий и алгоритм синтеза оптимальной УНРСС применимы в
широком классе активных систем, так как при их доказательстве не
вводилось практически никаких предположений о свойствах эле-
ментов АС. С другой стороны, для ряда более узких классов АС,
рассматриваемых ниже, существуют более простые алгоритмы
синтеза оптимальных УНРСС.


73



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Обозначим
dci ( y i )
, i ? I.
(12) ci' (yi) =
dy i
и введем следующее предположение:
А.5.4. Существует упорядочение АЭ элементов, такое, что
(13) ? y ? A c1 (y) ? c2 (y) ? ... ? cn (y).
'
' '

Фиксируем некоторый вектор y* ? A', удовлетворяющий сле-
дующему условию:
(14) y1 ? y 2 ? ... ? y n .
*
* *

Предположениям А.5.2-А.5.4 удовлетворяют, например, такие
распространенные в экономико-математическом моделировании
функции затрат АЭ, как: ci(yi) = ki c(yi), ci(yi) = ki c(yi/ki) где c(?) -
монотонная дифференцируемая функция, а коэффициенты упоря-
дочены: k1 ? k2 ? ... ? kn (частными случаями являются линейные
функции затрат, функции затрат типа Кобба-Дугласа и др.).
Лемма 5.1.3. Если выполнены предположения А.5.1, А.5.2 и
А.5.4, то в задаче (7)-(8) оптимально диагональное назначение.
Справедливость утверждения леммы следует из того, что лю-
бая перестановка диагонального назначения в силу предположения
А.4 увеличивает суммарные затраты (отметим, что при этом пред-
положения А3 не требуется).
Таким образом, лемма 5.1.3 дает простое решение задачи о на-
значении (7)-(8): в случае, когда выполнено предположение А.4.
АЭ, имеющим большие удельные затраты, должны назначаться
меньшие действия. Необходимые и достаточные условия реали-
зуемости действий УНРСС и лемма 5.1.3 позволяют охарактеризо-
вать множество действий, реализуемых УНРСС в рамках предпо-
ложения А.4.
Следствие. Если выполнены предположения А.5.1, А.5.2 и
А.5.4, то универсальными ранговыми системами стимулирования
реализуемы такие и только такие действия, которые удовлетворяют
(14).
В активных системах, удовлетворяющих предположениям
А.5.1-А.5.4 (включая А.5.3!), для определения оптимальных потен-
циалов может быть использована следующая рекуррентная проце-
74



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
дура, являющаяся частным случаем (соответствующим А.5.3-А.5.4)
общего приведенного выше алгоритма:
q1 = c11, qi = cii + max {qj - cij}, i = 2, n .
j<i
Лемма 5.1.4. Если выполнены предположения А.5.1-А.5.4, то
имеет место: ? i = 2, n max {qj - cij} = qi-1 - cii-1.
j<i
Доказательство. Из предположений А.5.3-А.5.4 следует, что
? y ? A c1(y) ? c2(y) ? ... ? cn(y). Из (13) следует, что максимум по
j<i в выражении для qi достигается при j = i - 1. •
Следствием леммы 5.1.4 является следующее простое выраже-
ние для индивидуальных вознаграждений в УНРСС, реализующей
вектор y* ? A' в активной системе, удовлетворяющей А.5.3-А.5.4:
i
? (cj( y * ) - cj( y *?1 )).
(15) qi = j j
j =1
Подставляя (15) в (6), получаем, что потери от использования
универсальных нормативных ранговых систем стимулирования (по
сравнению с квазикомпенсаторными) равны:
(16) ?(УНРСС, QK) = ?УНРСС(y*) - ?QK(y*) =
i
n
? {{ ? (cj( y * ) - cj( y *?1 ))} - ci( yi*?1 )}.
= j j
i =1 j =1
Совокупность полученных выше результатов сформулируем в
виде следующей теоремы.
Теорема 5.1.2. Если выполнены предположения А.5.1 - А.5.4,
то:
а) в классе универсальных нормативных ранговых систем сти-
мулирования реализуемы такие и только такие действия, которые
удовлетворяют условию (14);
б) оптимальное решение задачи стимулирования при этом оп-
ределяется выражением (15);
в) превышение затратами на стимулирование минимально не-
обходимых определяется выражением (16);
г) оптимальная УНРСС является прогрессивной.
Утверждение пункта г) теоремы обосновывается следующим
образом: из (15) следует, что qi+1 ? ci+1,i+1 + (qi - ci+1,i). В силу моно-

75



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
тонности затрат и (14): ci+1,i+1 - ci+1,i ? 0, следовательно ? i = 1, n ?1
qi+1 ? qi, то есть система стимулирования также монотонна (про-
грессивна).
Отметим, что выше исследовались УНРСС размерности n.
Частым случаем УНРСС являются унифицированные системы
стимулирования С-типа (УНРСС размерности 1) [55]. Поэтому
рассмотрим задачу (первого рода) синтеза унифицированной сис-
темы стимулирования, в которой центр назначает общий для всех
АЭ план и использует унифицированную систему стимулирования
С-типа или QK-типа.
Пусть выполнено предположение А.5.1 и центр должен назна-
чить унифицированную систему стимулирования С-типа с одним
"скачком":
?C , yi ? x
(17) ?(x, yi) = ? ,
0, yi < x
?
где С - некоторая неотрицательная величина, x - общий для всех АЭ
план.
Введем следующее предположение:
А.5.5. Существует упорядочение АЭ, такое, что
(18) ? y ? A c1(y) ? c2(y) ? ... ? cn(y).
Отметим, что, если выполнены А.5.1-А.5.4, то, очевидно, вы-
полнено и А.5.5 (см. доказательство леммы 5.1.4). Под совместным
выполнением А.5.4. и А.5.5 будем подразумевать, что существует
упорядочение элементов, удовлетворяющее одновременно (13) и
(18).
Обозначим P(x,С) - множество тех АЭ, у которых затраты в
точке x не превышают С, то есть таких элементов, которым выгод-
но выполнение плана x:
(19) P(x,С) = {i ? I | ci(x) ? С}.
Другими словами, из А.5.5 следует, что P(x,С)={k(x,C),...n}, где
(20) k(x,C) = min {i ? I | ci(x) ? C}.
АЭ из множества Q(x,C) = {1, 2, ..., k(x,C)-1} выполнение плана
x при вознаграждении С невыгодно (естественно, ? x ? A, ? C ? 0
P(x,С) ? Q(x,C) = ?, P(x,С) ? Q(x,C) = I), и они выберут действия,
минимизирующие затраты (в рамках А.5.3 - действия, равные
нулю).
76



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Тогда действия { yi* }, реализуемые системой стимулирования
(17), удовлетворяют:
? x, i ? k ( x, C )
(21) yi* (x,С) = ? .
0, i < k ( x, C )
?
Суммарные затраты на стимулирование при использовании
центром системы стимулирования (17), в силу (21), равны
(22) ?(x,С) = С (N-k(x,C)+1).
Как показано в [18, 36] зависимость yi* (x,С) не является непре-
рывной. Поэтому для каждого x ? A существует конечное число
минимальных затрат на стимулирование, при которых изменяется
число АЭ, выполняющих план x: {c1(x), c2(x), ..., cN(x)}. Аналогично,
для фиксированного C при непрерывных и строго монотонных
функциях затрат АЭ существует конечное число планов { ci?1 (C)},
где "-1" обозначает обратную функцию, при которых изменяется
число АЭ, которые их выполняют.
Общий (для случая, соответствующего А.5) алгоритм решения
задачи синтеза оптимальной унифицированной системы стимули-
рования приведен в [18]. Ниже мы сравним минимальные затраты
на стимулирование.
Фиксируем произвольный план x ? A. Для того чтобы все АЭ
выбрали действия, совпадающие с планом, необходимо, чтобы
k(x,C) = 1, то есть C = c1(x). Тогда из (21)-(22) получаем, что мини-
мальные затраты на стимулирование равны (напомним, что индекс
"U" соответствует унифицированным системами стимулирования)
?UQK(x) = N c1(x). Следовательно, потери в эффективности (по
сравнению с системами стимулирования QK-типа) составляют:
n
?
(23) ?(x) = ?UQK(x) - ?QK(x) = (N-1) c1(x) - ci(x).
i=2




77



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
5.2. СОРЕВНОВАТЕЛЬНЫЕ РАНГОВЫЕ СИСТЕМЫ
СТИМУЛИРОВАНИЯ

В нормативных РСС центр фиксировал процедуру классифи-
кации, определяя множества действий или результатов деятельно-
сти, при попадании в которые АЭ получал заданное вознагражде-
ние. В отличие от НРСС, в соревновательных ранговых системах
стимулирования (СРСС) центр фиксирует процедуру сравнитель-
ной оценки деятельности АЭ, задает число классов и число мест в
каждом из классов, а также величины поощрений АЭ, попавших в
тот или иной класс. Таким образом, в СРСС индивидуальное по-
ощрение АЭ не зависит непосредственно от абсолютной величины
выбранного им действия, а определяется тем местом, которое он
занял в упорядочении показателей деятельности всех АЭ.
Соревновательные системы стимулирования исследовались
как в теории активных систем (см. обзор [34], а также монографии
[4, 55]), так и в теории контрактов [59]. Зарубежные исследователи
акцентировали внимание в основном на активных системах, функ-
ционирующих в условиях внешней интервальной неопределенно-
сти и симметричной информированности (см. классификацию в
[21, 44]), ограничиваясь в большинстве случаев либо двухэлемент-
ными системами [65], либо случаем идентичных АЭ [57, 64]. В
работах российских авторов построены оптимальные СРСС для
ряда практически важных частных случаев, в том числе - рассмат-
риваемых ниже линейных функциях затрат АЭ и функциях затрат
вида ci(yi) = ki c(yi) [4, 55]. Там же показано, что в случае интер-
вальной неопределенности (незнании центром истинных значений
параметров {ki}) СРСС могут быть более эффективны, чем систе-
n
мы стимулирования следующего вида: ?i(y) = yi / ? y j . Сравни-
j =1
тельная эффективность СРСС и других систем стимулирования
практически не исследовалась.
Следует отметить, что теоретико-игровой анализ СРСС (или
соревновательных механизмов стимулирования, как их иногда
называют [15]), гораздо более сложен и трудоемок, нежели, чем
"обычных" или нормативных систем стимулирования. Основная
78



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
сложность заключается в том, что при использовании СРСС у АЭ
не существует равновесных по Нэшу стратегий, следовательно,
возникает необходимость введения гипотез о поведении элементов
[47] и искусственного построения множества решений игры.
Как отмечалось выше, в настоящей работе нас в основном ин-
тересует сравнительная эффективность тех или иных систем сти-
мулирования в многоэлементных активных системах. Поэтому, не
вдаваясь в подробности теоретико-игрового анализа, оценим эф-
фективность соревновательных РСС в сравнении с "абсолютно
оптимальными" квазикомпенсаторными системами стимулирова-
ния.
Предположим, что в активной системе, состоящей из n АЭ,
выполнены предположения А.5.1-А.5.3 и А.5.5, а центр использует
следующую систему стимулирования: действия, выбранные АЭ,
упорядочиваются в порядке возрастания, после чего каждый из АЭ
получает вознаграждение qi, соответствующее его номеру i в упо-
рядочении действий.
Пусть выполнены предположения А.5.1-А.5.3 и А.5.4. Понят-
но, что первый АЭ (имеющий максимальные затраты при любом
допустимом действии) будет всегда выбирать нулевое действие,
поэтому положим вознаграждение q1 за первое место в упорядоче-
нии действий равным нулю: q1 = 0.
Будем рассматривать серию моделей АС, последовательно ус-
ложняя их. При этом каждая последующая модель будет включать
предыдущую в качестве частного случая.
Начнем с рассмотрения активной системы, в которой АЭ име-
ют линейные функции затрат [4, 55]: ci(yi) = ki yi, ki > 0, причем:
(1) k1 ? k2 ? ... ? kn.
Линейные функции затрат при условии (1) удовлетворяют
предположениям А.5.2-А.5.5. Предположим, что упорядочение
действий, выбираемых АЭ, совпадает с упорядочением значений
их функций затрат:
(2) y 0 = 0 ? y1 ? y 2 ? ... ? y n .
* *
* *

Отметим, что упорядочение (2) совпадает с оптимальным на-
значением АЭ в соответствующей задаче о назначении (см. фор-
мальные результаты выше в разделе 5.1).

79



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Рассматривая последовательно АЭ в порядке возрастания их
номеров, из условия того, что предыдущий АЭ может угрожать
последующему АЭ увеличением действия и занятием более высо-
кого места до тех пор, пока его полезность неотрицательна, полу-
чаем, что при заданной соревновательной системе стимулирования
{qi} действия, выбираемые АЭ, определяются следующим образом:
q j ? q j ?1
i
?
*
yi*
y0 , i = 2,n .
(3) = 0, =
k j ?1
j =2
В другую сторону, если задан вектор y* ? A', то из условия
"угроз" получаем, что вознаграждения должны удовлетворять:
i
?
ki-1( yi* - yi*?1 ) kj-1 ( y * -), i = 2,n .
(4) q1 = 0, qi = qi-1 + = j
j =2
Выражение (4) для индивидуальных вознаграждений можно
i ?1
? (kj-1 - kj) y * + ki-1 yi* . Из
записать следующим образом: qi = j
j =2
(3)-(4) следует, что рассматриваемая соревновательная система
стимулирования является прогрессивной, то есть вознаграждение
АЭ возрастает с ростом занимаемого места. При этом превышение
суммарными затратами на стимулирование минимально необходи-
мых равно:
i
n
? ?
(5) ?(СРСС, QK) = kj-1 ( y * - y *?1 ) - ki yi* } ? 0.
{ j j
i=2 j =2
Условия (3)-(4) по своему построению обеспечивают невыгод-
ность для каждого АЭ выбора действия с номером, превышающим
его номер в упорядочении затрат. Однако условие реализуемости
некоторого действия подразумевает, что выбор этого действия
выгоден АЭ по сравнению с выбором любого другого допустимого
действия. Невыгодность выбора элементом действий, номер кото-
рых строго меньше его номера в упорядочении затрат, обосновы-
вается в доказательстве следующей леммы.
Лемма 5.2.1. Соревновательная система стимулирования (4)
реализует вектор действий (2).
Доказательство. Фиксируем произвольное i ? I. Предположим,
i-му АЭ выгодно занять l-ое место, то есть, что существует дейст-
80



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
вие yl* < yi*, такое, что имеет место: fi( y l* ) > fi( yi* ). Тогда
l i
? ?
y* y *?1 ) ki y l* kj-1 ( y * - y *?1 ) - ki yi* .
(6) kj-1 ( - - >
j j j j
j =2 j =2
Преобразовывая (6) и пользуясь упорядочением коэффициен-
тов функций затрат АЭ, получаем y l* > y l* - противоречие. •
Следствием доказательства результата леммы 5.2.1 является
утверждение о том, что в классе соревновательных систем стиму-
лирования реализуемы такие и только такие вектора действий,
компоненты которых удовлетворяют упорядочению (2).
Сравним эффективности соревновательных и нормативных
ранговых систем стимулирования. Из предшествующего анализа
свойств УНРСС получаем, что вектор действий y* ? A' реализуем
i
?
˜ ˜ kj ( y * - y *?1 ). Следо-
следующей УНРСС { qi (y*)}: qi (y*) = j j
j =2
вательно:
i
?
˜
(7) ? i = 1,n qi(y ) - qi (y*) = (kj-1 - kj) ( y * - y *?1 ) ? 0.
*
j j
j =2
Сравнивая (5) и (7), получаем, что
n i
??
(8) ? y ? A' ?СРСС(y ) - ?УНРСС(y ) = (kj-1 - kj) ( y * - y *?1 ) ? 0.
* * *
j j
j =2
i =1
Из (8) следует, что минимальные суммарные затраты на сти-
мулирование по реализации произвольного вектора действий выше
при использовании соревновательных ранговых систем стимули-
рования (по сравнению с универсальными нормативными). Следо-
вательно, СРСС менее эффективны, чем УНРСС. Потери в эффек-
тивности могут быть количественно оценены из выражений (4), (7)
и (8).
Усложним модель, предположив, что функции затрат АЭ
имеют вид: ci(yi) = ki c(yi), где коэффициенты ki удовлетворяют (1).
Относительно функции c(?) предположим, что она непрерывна,
монотонно возрастает и c(0) = 0 (при этом выполнены предполо-
жения А.5.2-А.5.5). Отметим, что при c(yi) = yi получаем рассмот-
ренный выше частный случай линейных функций затрат АЭ.
81



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Предположим, что действия АЭ, реализуемые СРСС, удовле-
творяют (2). По аналогии с тем, как это делалось для линейных
затрат, принимая соглашение, что, если верхний индекс суммиро-
вания меньше нижнего, то вся сумма равна нулю, получаем (ср. с
(3) и (4)):
q j ? q j ?1
i
=c {?
*
yi* -1
y0 }, i = 2,n ,
(9) = 0,
k j ?1
j =2
i
? kj-1 (c( y * ) - c( y *?1 )), i = 2,n .
(10) q1 = 0, qi = j j
j=2
Имея выражения (9) и (10), можно решать задачи синтеза
СРСС, удовлетворяющих тем или иным свойствам. Например, в
[55] решалась задача синтеза СРСС, удовлетворяющей ограниче-
n
? qi ? R.
нию фонда заработной платы R:
i =1
Из (9)-(10) видно, что рассматриваемая соревновательная сис-
тема стимулирования является прогрессивной. Результат леммы,
характеризующей множество действий, реализуемых СРСС, также
остается в силе (доказательство проводится аналогичным образом,
изменяются лишь используемые при оценках неравенств преобра-
зования).
Превышение суммарными затратами на стимулирование ми-
нимально необходимых равно:
i
n
? ?
(12) ?(СРСС, QK) = (kj-1 - kj) c( y * ) } ? 0.
{ j
i=2 j =2
Как и ранее, сравним эффективности соревновательных и
нормативных ранговых систем стимулирования. Из предшествую-
щего анализа свойств УНРСС получаем, что вектор действий y* ?
˜
A' реализуем следующей УНРСС { qi }:
i
?
˜ kj (с( y * ) - с( y *?1 )).
qi (y*) = j j
j =2
Тогда имеет место следующее соотношение между индивиду-
альными вознаграждениями:

82



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
i
?
˜
? i = 1,n qi(y ) - qi (y*) = (kj-1 - kj) (с( y * ) - с( y *?1 )) ? 0,
*
j j
j =2
следовательно, справедливо следующее соотношение между ми-
нимальными затратами на стимулирование:
(13) ? y*? A' ?СРСС(y*) - ?УНРСС(y*) =
i
n
?? (kj-1 - kj) (с( y * ) - с( y *?1 ))? 0.
= j j
j =2
i =1
И соотношения (13) следует, что для рассматриваемой модели
также имеет место (8), то есть минимальные суммарные затраты на
стимулирование по реализации произвольного вектора действий
по-прежнему выше при использовании соревновательных ранго-
вых систем стимулирования (по сравнению с универсальными
нормативными). Следовательно, и в случае ci(yi) = ki c(yi) СРСС
менее эффективны, чем УНРСС.
Усложним рассматриваемую модель. Предположим, что АЭ
имеют произвольные функции затрат, удовлетворяющие А.5.3-
А.5.4.
Теорема 5.2.1. Если выполнены предположения А.5.3-А.5.4, то
необходимым и достаточным условием реализуемости вектора
действий АЭ y* ? A в классе СРСС является выполнение (2), при-
чем данный вектор реализуем следующей системой стимулирова-
ния:
i
? {cj-1( y * ) - cj-1( y *?1 )}, i = 1,n .
*
(14) qi(y ) = j j
j =2
Доказательство теоремы 5.2.1 проведем по аналогии с доказа-
тельствами для частных случаев выше. Последовательно рассмат-
ривая АЭ (начиная с первого в упорядочении затрат по убыванию),
получаем, что (14) в силу лемм 5.1.1 – 5.1.4 обеспечивает невыгод-
ность угроз со стороны любого АЭ элементам с большим номером.
Проверим выполнение "обычных" условий реализуемости.
Фиксируем произвольный номер i ? I и предположим, что i-му
АЭ выгодно занять l-ое место, то есть, что существует действие y l*
< yi* , такое, что имеет место: fi( y l* ) > fi( yi* ). Тогда


83



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
l
? {cj-1( y * ) - cj-1( y *?1 )} - ci( y l* ) >
(15) j j
j=2
i
? {cj-1( y * ) - cj-1( y *?1 )} - ci( yi* ).
> j j
j=2
Преобразовывая (15) к виду:
i
? {cj-1( y * ) - cj-1( y *?1 )} < ci( yi* ) - ci( y l* )
j j
j = l +1
и пользуясь упорядочением и свойствами функций затрат АЭ,
отражаемыми предположениями А.5.3-А.5.4, приходим к противо-
речию. •
Гораздо более важную методологическую роль, чем ее доказа-
тельство, играют содержательные интерпретации утверждения
теоремы 5.2.1. Из лемм 5.1.1-5.1.4 и 5.2.1 следует, что унифициро-
ванными РСС реализуемы только такие действия, которые являют-
ся решением соответствующей задачи о назначении, кроме того, в
рамках предположений А.5.2-А.5.4 оптимально диагональное
назначение. Следовательно, условие (2) является необходимым
условием реализуемости.
Для того чтобы доказать, что СРСС (14) реализует вектор дей-
ствий (2) необходимо и достаточно показать, что выполнены два
условия. Первое условие - условие реализуемости "обычной" сис-
темой стимулирование, то есть условие того, что каждому АЭ
невыгодно изменять свою стратегию при фиксированной обста-
новке игры (условия равновесия Нэша). Второе условие характерно
для соревновательных систем стимулирования, так как для них
условий "обычной" реализуемости недостаточно - следует прове-
рить условия "угроз" (см. выше).
Утверждение "некоторый АЭ не может быть спокоен до тех
пор, пока другой АЭ может угрожать ему изменением своей стра-
тегии", выражающее условие "угроз", отражает, фактически, пред-
положения АЭ о поведении других АЭ. Следовательно, при ис-
пользовании СРСС необходимо, но недостаточно накладывать
условия реализуемости (в смысле Нэша), а следует использовать
доопределение равновесия (в данном случае - аналог равновесия

84



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Штакельберга) [47, 57, 66].
Используя (14), легко получить оценки сравнительной эффек-
тивности СРСС и УНРСС, а также СРСС и компенсаторных систем
стимулирования (неравенства выполнены в силу предположений
А.3. и А.4):
(16) ? y*? A' ?СРСС(y*) - ?УНРСС(y*) =
i
n
?? [cj-1( y * ) - сj( y * ) + cj( y *?1 ) - сj-1( y *?1 )] ? 0.
= j j j j
j =2
i =1
i
n
? ?
(17) ?(СРСС, QK) = {cj-1( y * ) - cj-1( y *?1 )} - ci( yi* )} ? 0.
{ j j
i=2 j =2
Рассмотренные выше линейные и другие функции затрат
удовлетворяют предположениям А.5.3-А.5.4 - легко видеть, что,
соответственно, выражение (14) включает выражения (4) и (10) и
т.д. как частные случаи. Разность (16) может также интерпретиро-
ваться как доплата за условие "угроз" по сравнению с равновесием
Нэша.
В заключение настоящего раздела отметим, что выше было
получено общее решение задачи синтеза оптимальной унифициро-
ванной нормативной ранговой системы стимулирования (см. лем-
мы раздела 5.1 и соответствующий алгоритм). Для соревнователь-
ных систем стимулирования решение и оценки сравнительной
эффективности получены лишь в рамках дополнительных предпо-
ложений А.5.3-А.5.4 о свойствах функций затрат АЭ. Поэтому
перспективным направлением дальнейших исследований является
получение решения задачи синтеза оптимальной соревновательной
системы стимулирования в общем случае. Для последнего можно
утверждать, что необходимые условия реализуемости, приведен-
ные выше (см. теорему 5.2.1) останутся в силе, изменятся лишь
достаточные условия, обеспечивающие невыгодность "угроз".




85



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
6. УНИФИЦИРОВАННЫЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ

Как было показано выше и в [18,36,42], в некоторых АЭ ис-
пользование унифицированных систем стимулирования может
приводить к снижению эффективности управления. В то же время,
в некоторых АЭ, в том числе - в рассматриваемых ниже, оптималь-
ными являются именно унифицированные системы стимулирова-
ния.
Введем следующее предположение относительно функций за-
трат АЭ (ниже это предположение будет ослаблено):
(1) ci(yi,ri) = ri ? (yi /ri), i ? I,
где ?(?) - гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция,
?(0)=0, (например, для функций типа Кобба-Дугласа ?(t) = 1/? t?,
??1), ri > 0 - некоторый параметр.
Если центр использует пропорциональные (L-типа) индивиду-
альные системы стимулирования: ?i(yi) = ?i yi, то целевая функция
АЭ имеет вид: fi(yi) = ?i yi - ci(yi). Вычислим действие, выбираемое
АЭ при использовании центром некоторой фиксированной системы
стимулирования:
(2) yi* (?i) = ri ? ' -1(?i),
где ? ' -1(?) - функция, обратная производной функции ?(?). Мини-
мальные суммарные затраты на стимулирование равны:
n
?
(3) ?L(?) = ?i ri ? ' -1(?i),
i =1
где ? = (?1, ?2, ..., ?n). Суммарные затраты элементов равны:
n
? ri ?(? ' -1(?i)).
(4) c(?) =
i =1
В рамках приведенной выше общей формулировки модели
пропорционального стимулирования возможны различные поста-
новки частных задач. Рассмотрим некоторые из них.
Задача 1. Пусть центр заинтересован в выполнении элементами
плана R по суммарному выпуску с минимальными суммарными
затратами АЭ (еще раз подчеркнем необходимость различения
86



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
суммарных затрат элементов и суммарных затрат (центра) на
стимулирование). Тогда его цель заключается в выборе ставок
оплаты {?i} в результате решения следующей задачи:
? c(? ) > min
? ?
(5) ? ,
n
?? yi* (? i ) = R
?i =1
решение которой имеет вид:
(6) ? i* = ? '(R/W); yi* = ri (R/W); i?I, c* = W?(R/W); ? L = R ?'(R/W).
*

n
? ri . Так как оптимальные ставки оплаты одинаковы для
где W =
i =1
всех АЭ, то оптимальна именно унифицированная (!) система
стимулирования.
Задача 2. Содержательно двойственной к задаче 1 является за-
дача максимизации суммарного выпуска при ограничении на сум-
марные затраты АЭ:
?n *
(7) ?? i i
? y (? ) > max
.
?
i =1
? c(? ) ? R
?
Решение задачи 2 имеет вид:
(8) ? i* = ? '(? -1(R/W)); yi* = ri ? -1(R/W); i ? I,
c* = R; ? L = ? - 1(R/W)W?'(? -1(R/W)),
*

то есть в двойственной задаче (естественно) оптимальным решени-
ем также является использование унифицированных пропорцио-
нальных систем стимулирования.
Замена в задачах 1 и 2 суммарных затрат элементов на суммар-
ные затраты на стимулирование порождает еще одну пару двойст-
венных задач.
Задача 3. Если центр заинтересован в выполнении АЭ плана R
по суммарному выпуску с минимальными суммарными затратами
на стимулирование, то ставки оплаты определяются в результате
решения следующей задачи:


87



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
?? L (? ) > min
? ?
(9) ? N * ,
? ? yi (? i ) = R
? i =1
решение которой совпадает с (6)!
Задача 4 заключается в максимизации суммарного выпуска при
ограничении на суммарные затраты на стимулирование:
?N *
(10) ?? i i
? y (? ) > max
.
?
i =1
? ? L (? ) ? R
?
Из метода множителей Лагранжа получаем условие оптималь-
ности (? - множитель Лагранжа): ? ?' -1(?i) ?''(?i) + ?i = 1, i ? I, из
которого следует, что все ставки оплаты должны быть одинаковы и
удовлетворять уравнению ? ?' -1(?) = R/W.
Следует подчеркнуть, что во всех четырех задачах оптималь-
ными оказались именно унифицированные системы стимулирова-
ния, причем решения задач 1 и 2 совпали, что представляется
достаточно уникальным фактом, так как суммарные затраты АЭ
отражают интересы управляемых субъектов, а суммарные затраты
на стимулирование - интересы управляющего органа. Кроме того,
возможность использования общих для всех АЭ управляющих
параметров оказывается важной в механизмах планирования (см.
[10, 15, 21]). Таким образом, мы доказали следующий результат.
Теорема 6.1. В организационных системах со слабо связанны-
ми АЭ, функции затрат которых имеют вид (1), унифицированные
системы стимулирования оптимальны на множестве пропорцио-
нальных систем стимулирования.
Возникает закономерный вопрос - насколько жесткими явля-
ются требования к функциям затрат АЭ. Оказывается, эти требова-
ния можно ослабить - в задачах типа задачи 1 и задачи 2 оптималь-
ность унифицированных систем стимулирования является
следствием свойств задач условной оптимизации и практически не
зависит от конкретного вида функций затрат.
Рассмотрим организационную систему со слабо связанными
элементами, в которой функции затрат АЭ ci(yi) - гладкие, возрас-
тающие и выпуклые (содержательно, выпуклость "нужна" для
88



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
единственности точки максимума разности между линейным сти-
мулированием и затратами). Вектор действий, реализуемый про-
порциональной системой стимулирования со ставками {?i}, сум-
марные затраты АЭ и суммарные затраты на стимулирование
определяются, соответственно:
n n
i?I; c(?)= ? ci(ci ' (?i)); ?L(?)= ? ?i ci ' -1(?i).
yi* (?i)=ci' -1(?i), -1
(11)
i =1 i =1
Для задач типа 1 и 2, применяя метод множителей Лагранжа,
получаем, что при ослаблении требований к функциям затрат
оптимальными остаются унифицированные системы стимулирова-
ния (например, в задаче 1 оптимальное значение ? удовлетворяет
n
?
уравнению: ci ' -1(?) = R). Для задач типа 3 и 4, к сожалению, в
i =1
общем случае унифицированные системы стимулирования не
оптимальны. Применяя к ним, опять же, метод множителей Ла-
гранжа, легко показать, что достаточным условием для оптималь-
ности систем стимулирования UL-типа является существование
функции ?(?), такой, что ? i ? I ci ' -1(?i) ci''(?i) = ?(?i).
Отметим, что в приведенной выше теореме утверждается, что
системы стимулирования UL-типа оптимальны на множестве
пропорциональных систем стимулирования в АЭ со слабо связан-
ными АЭ, имеющими функции затрат вида (1). Поэтому в заклю-
чение настоящего раздела исследуем их сравнительную эффектив-
ность на множестве всевозможных (не только пропорциональных)
систем стимулирования. Как было показано выше для этого доста-
точно сравнить минимальные затраты на стимулирование, напри-
мер, в задаче 2, с затратами на стимулирование в случае использо-
вания центром оптимальных квазикомпенсаторных систем
n
?
стимулирования (которые равны ?QK(y ) = ri ? (yi/ri)).
*

i =1
Решая задачу выбора вектора y ? A', минимизирующего
*

n
? yi* = R, получаем, что ?QK = W ?(R/W).
?QK(y ) при условии *
*

i =1

Подставляя из выражения (6) ?UL = R ?'(R/W), вычислим отноше-
*


89



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
ние минимальных затрат на стимулирование:
(12) ?UL / ?QK = R/W ?'(R/W)/?(R/W).
* *


Из выпуклости функции ?(.) следует, что ?UL / ?QK ? 1. Так
* *

как суммарные затраты на стимулирование при использовании
систем стимулирования UL-типа выше, чем при использовании
"абсолютно оптимальных" систем стимулирования QK-типа, сле-
довательно, первые не оптимальны в классе всевозможных систем
стимулирования. Более того, можно показать, что при R/W > 0 и
строго выпуклых функциях затрат отношение (12) строго больше
единицы. Полученный для многоэлементных организационных
систем результат вполне согласован с выводом [36, 42] о том, что в
одноэлементных системах эффективность пропорционального
стимулирования не выше, чем квазикомпенсаторного.


7. СТИМУЛИРОВАНИЕ В МНОГОЭЛЕМЕНТНЫХ
АКТИВНЫХ СИСТЕМАХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ

В предыдущих разделах настоящей работы построены опти-
мальные системы стимулирования в детерминированных много-
элементных АС, то есть в АС, в которых центр и активные элемен-
ты обладают полной (и, следовательно, симметричной)
информацией обо всех существенных внешних и внутренних пара-
метрах. Напомним, что при этом оптимальна та или иная модифи-
кация компенсаторной системы стимулирования, причем ключе-
выми (на этапе согласования) являются две идеи: идея
декомпозиции игры активных элементов (специфичная для много-
элементных АС) и идея компенсации затрат (которая оказалась
эффективной как в одноэлементных, так и в многоэлементных АС).
Имея результаты исследования задач стимулирования в детерми-
нированных многоэлементных АС, можно переходить к исследо-
ванию этих задач в АС с неопределенностью.




90



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Задачи стимулирования в одноэлементных АС с неопределен-
ностью подробно описаны в монографии [44]. Перечислим кратко
основные используемые в упомянутой работе подходы и получен-
ные результаты.
Одним из оснований классификации АС с неопределенностью
является информированность участников. Можно выделить АС с
симметричной (одинаковой) и асимметричной информированно-
стью участников (в первую очередь важно определить различия в
информированностях АЭ и центра), а также на детерминирован-
ные АС и АС с неопределенностью. В свою очередь АС с неопре-
деленностью могут классифицироваться по следующим основани-
ям.
1. Тип неопределенности: внутренняя неопределенность (от-
носительно параметров самой АС), для внутренней неопределен-
ности - относительно целевых функций, допустимых множеств или
и того и другого; внешняя неопределенность (относительно пара-
метров окружающей среды, то есть внешних по отношению к АС)
и смешанная неопределенность (для части участников АС - внут-
ренняя, для других - внешняя; или обоих типов);
2. Вид неопределенности: интервальная (когда участнику АС
известно множество возможных значений неопределенного пара-
метра), вероятностная (известно вероятностное распределение -
вероятностные АС) и нечеткая (известна функция принадлежно-
сти - нечеткие АС) неопределенность, а также смешанная неопре-
деленность (все возможные комбинации перечисленных видов
неопределенности для различных участников).
Таким образом, АС, функционирующие в условиях неопреде-
ленности, могут быть классифицированы по: информированности
участников (симметричная - С, асимметричная - А), типу неопре-
деленности (внутренняя и внешняя) и виду неопределенности
(интервальная, вероятностная и нечеткая). Перечисляя все возмож-
ные комбинации значений признаков классификации по этим
основаниям, получаем двенадцать1 базовых моделей АС с неопре-

1
Если попытаться перенести описанную систему классификаций на
многоэлементные АС с неопределенностью, то следует помнить, что в
общем случае каждый их участников АС может обладать различной
информированностью, то есть в многоэлементных АС в общем случае
91



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
деленностью, которые, совместно с базовой детерминированной
моделью в [44] условно обозначены М1 - М13.
Приведенные в [44] результаты систематического исследова-
ния базовых задач стимулирования в одноэлементных АС с неоп-
ределенностью свидетельствуют, что в рамках базовых моделей
(одноэлементных, статических) стимулирования возможен единый
методологический подход к решению задач анализа и синтеза
систем стимулирования. Несмотря на многообразие изучаемых
моделей, используемый подход заключается в единообразии их
описания, общности технологии и техники исследования, причем
последняя основывается, как и детерминированная теория актив-
ных систем, на изучении множеств реализуемых действий и мини-
мальных затрат на стимулирование. Поясним последнее утвержде-
ние, приведя описание, технологию и технику построения и
исследования моделей механизмов стимулирования как в детерми-
нированных одноэлементных и многоэлементных активных систе-
мах, так и в одноэлементных АС с различными типами и видами
неопределенности.
После описания модели, то есть задания в соответствии с вве-
денными параметрами модели и системой классификаций задач
управления в АС [42, 44] класса исследуемых активных систем,
определяется рациональное поведение АЭ: на основании извест-
ных предпочтений АЭ на множестве результатов деятельности
и/или действий (эти предпочтения зависят от используемого цен-
тром механизма управления) и имеющейся информации о неопре-
деленных факторах (взаимосвязи между действиями АЭ и резуль-
татами его деятельности) определяются предпочтения АЭ на
множестве его стратегий (действий и/или сообщаемых оценок).
В случае интервальной неопределенности этот переход осуще-
ствляется с использованием принципа максимального гарантиро-
ванного результата (МГР), в случае вероятностной (нечеткой)
неопределенности целевая функция АЭ на множестве результатов
его деятельности совместно с распределением вероятностей (не-
четкой информационной функцией) индуцирует на множестве
допустимых стратегий целевую функцию - ожидаемую полезность


имеет место смешанная неопределенность.
92



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
(индуцированное нечеткое отношение предпочтения (НОП) и т.д.).
Множество выбора (решений игры) при заданном множестве
стратегий и предпочтениях АЭ, выражаемых, например, его целе-
вой функцией, НОП и т.д., определяется следующим стандартным
образом.
В одноэлементных АС считается, что АЭ выбирает одно из
действий, максимизирующих его целевую функцию (ожидаемую
полезность), или максимально недоминируемое по индуцирован-
ному нечеткому отношению предпочтения допустимое действие. В
многоэлементных АС считается, что вектор стратегий, выбирае-
мых АЭ, принадлежит множеству равновесий (равновесий Нэша,
равновесий в доминантных, гарантирующих или других стратегиях
– в зависимости от используемых гипотез и принятой в рассматри-
ваемой модели концепции равновесия).
В случае если множество выбора состоит более чем из одного
элемента, необходимо доопределить однозначно (используя гипо-
тезу благожелательности (ГБ) или МГР) выбор АЭ. Этот выбор
будет зависеть от механизма управления, эффективность которого
задается значением целевой функции центра на множестве выбора
АЭ (если предпочтения центра зависят от неопределенных пара-
метров, то необходимо найти его детерминированную систему
предпочтений).
Имея критерий сравнения эффективностей различных систем
стимулирования на их допустимом множестве, задача синтеза в АС
с неопределенностью (и в детерминированных АС – см. выше)
формулируется следующим образом: найти допустимую систему
стимулирования, имеющую максимальную эффективность.
Техника доказательства большинства формальных результатов
использует анализ множества реализуемых действий - тех действий
АЭ, которые он выбирает (гарантированно или по ГБ) при задан-
ной функции стимулирования. Критерий сравнения различных
систем стимулирования по эффективности может быть сформули-
рован в терминах множеств реализуемых действий: чем "шире"
множество действий, реализуемых системой стимулирования, тем
в рамках ГБ выше ее эффективность (двойственным подходом
является сравнение минимальных затрат на стимулирование по
реализации фиксированного действия) [44]. Поэтому оптимальная

93



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
система стимулирования (точнее - их класс) имеет максимальное
множество реализуемых действий. Следовательно, для того, чтобы
доказать оптимальность некоторого класса систем стимулирования
достаточно показать, что не существует другой допустимой систе-
мы стимулирования, имеющей большее множество реализуемых
действий. Этот подход оказывается плодотворным не только при
доказательстве оптимальности тех или иных систем стимулирова-
ния, но и при исследовании свойств решения, влияния неопреде-
ленности и т.д.
Помимо метода анализа множеств реализуемых действий су-
ществует альтернативный подход – метод анализа минимальных
затрат центра на стимулирование [42, 44], заключающийся в опре-
делении для каждого допустимого вектора действий АЭ системы
стимулирования, реализующей этот вектор как решение (жела-
тельно, единственное!) игры АЭ и требующей от центра мини-
мальных затрат по вознаграждению АЭ. Оптимальной при этом
является класс систем стимулирования, реализующих любой век-
тор действий с минимальными затратами центра. Метод анализа
минимальных затрат на стимулирование «проще» метода анализа
множеств реализуемых действий в том смысле, что при его исполь-
зовании на втором этапе решения задачи стимулирования центр
определяет оптимальное с его точки зрения реализуемое действие,
то есть производит выбор элемента множества A’, на котором
достигается максимум его скалярной функции (разности между
функцией дохода и суммарными затратами на стимулирование), а
не выбирает из множества M (являющегося подмножеством про-
странства кусочно-непрерывных функций) функцию, доставляю-
щую максимум критерию эффективности стимулирования.
В многоэлементных АС для «сведения» задачи стимулирова-
ния к набору хорошо известных одноэлементных задач использу-
ется описанная в четвертом разделе настоящей работы идея деком-
позиции игры активных элементов.
В качестве иллюстрации использования единства предложен-
ного подхода сформулируем, следуя идеологии, развиваемой в
[44], общую для всех моделей АС с неопределенностью (одноэле-
ментных и многоэлементных) последовательность их исследова-
ния, включающую следующие этапы:

94



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
1. Описание модели: определение целевых функций и допус-
тимых множеств, их свойств, а также порядка функционирования и
информированности участников АС;
2. Определение рационального поведения АЭ в рамках рас-
сматриваемой модели: задание процедуры (метода) устранения
неопределенности и рационального выбора АЭ (определение
множества решений игры - множества реализуемых действий);
3. Определение эффективности механизма стимулирования и
формулировка, собственно, задачи синтеза оптимального механиз-
ма стимулирования;
4. Решение задачи синтеза: поиск аналитического решения
и/или разработка алгоритмов численного решения задачи и иссле-
дование их свойств: сходимости, сложности и т.д.;
5. Нахождение необходимых и достаточных условий опти-
мальности;
6. Анализ оптимального решения:
а) свойства оптимального решения, множеств реализуемых
действий и минимальных затрат на стимулирование, содержатель-
ные интерпретации;
б) влияние неопределенности на эффективность и свойства оп-
тимального механизма стимулирования;
в) влияние параметров модели и определения рационального
поведения на эффективность и свойства оптимального механизма
стимулирования, в том числе - анализ устойчивости оптимального
решения;
7. Исследование частных случаев (при усилении предположе-
ний и допущений о параметрах и свойствах модели АС) и возмож-
ностей обобщения (соответственно, при ослаблении);
8. Исследование устойчивости решений и адекватности моде-
ли моделируемой системе.
9. Внедрение результатов моделирования: идентификация АС,
корректировка модели, разработка рекомендаций по практическо-
му использованию, создание вычислительных средств, автоматизи-
рованных систем поддержки принятия решений и имитационных
моделей.



95



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Сводка результатов теоретического исследования задач сти-
мулирования в одноэлементных АС с неопределенностью, а также
конкретные вводимые при этом предположения приведены в [44].
Отдельного обсуждения заслуживает влияние неопределенно-
сти на эффективность управления АС, так как возможность ис-
пользования единого подхода к анализу базовых моделей механиз-
мов управления (стимулирования) в АС с различными типами и
видами неопределенности позволяет сделать ряд общих выводов о
роли неопределенности в управлении АС. Все задачи стимулиро-
вания в одноэлементных АС с неопределенностью, рассматривае-
мые в ТАС, удовлетворяют принципу соответствия1: при пре-
дельном переходе ("стремлении" неопределенности к "нулю") они
переходят в детерминированные АС, а их оптимальные решения - в
оптимальные решения соответствующих детерминированных задач
стимулирования.
Принципу соответствия удовлетворяют также большинство
выводов о влиянии неопределенности на эффективность стимули-
рования в одноэлементных АС, причем, что представляется крайне
важным, опять же, общей является следующая технология анализа
роли неопределенности в АС с неопределенностью. Для двух АС,
отличающихся либо множеством значений неопределенного фак-
тора, либо той информацией, которую имеют о нем участники АС,
вводится критерий сравнения "величин" неопределенности, с
одной стороны учитывающий специфику задачи, а с другой - со-
гласованный с известными мерами неопределенности (например -
энтропией и т.д.) [44]. Далее показывается, что в АС с большей
неопределенностью множество действий АЭ, реализуемых любой
допустимой системой стимулирования, не шире (шире), чем в АС с

1
Принцип соответствия может быть сформулирован и для задач сти-
мулирования в многоэлементных АС. Например, если в модели S4 предпо-
ложить, что затраты сепарабельны, то все результаты должны пе-
рейти в соответствующие результаты, полученные для модели S3.
Далее, если в модели S3 предположить, что стимулирование каждого АЭ
зависит только от его собственных действий, то все результаты долж-
ны перейти в соответствующие результаты, полученные для модели S1.
Отметим, что для моделей S1-S8, описанных в четвертом разделе на-
стоящей работы, принцип соответствия имеет место.
96



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
меньшей неопределенностью, что позволяет сделать вывод о срав-
нительной эффективности оптимальных систем стимулирования в
этих АС. Альтернативный способ – сравнение минимальных затрат
центра на стимулирование: если для любого вектора действий АЭ в
АС с большей неопределенностью затраты центра по его реализа-
ции выше, чем в АС с меньшей неопределенностью то эффектив-
ность стимулирования в первом случае не ниже, чем во втором.
Для всех одноэлементных моделей, независимо от типа и вида
неопределенности, справедливы следующие выводы: гарантиро-

<<

стр. 3
(всего 6)

СОДЕРЖАНИЕ

>>