<<

стр. 5
(всего 6)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

ваемые производственные цепочки (см. также раздел 9) [15, 26].
Еще раз подчеркнем, что возможность использования метода
изменения порядка функционирования должна быть предусмотре-
на «правилами игры», то есть, учтена в модели активной системы.
Закончив перечисление методов учета глобальных ограниче-
ний, перейдем к систематическому описанию различных вариантов
взаимозависимости и взаимосвязи игроков в многоэлементных АС.
В работе [15] активными системами с зависимыми АЭ были
названы системы, в которых либо существуют глобальные ограни-
чения на множество возможных действий, либо/и целевая функция
каждого АЭ зависит от, помимо его собственных действий, дейст-
вий других АЭ. Для того чтобы различать эти два случая, мы будем

129



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
придерживаться следующей терминологии: если АЭ производят
свой выбор независимо (отсутствуют глобальные ограничения на
вектор действий АЭ), и целевая функция каждого АЭ зависит
только от его собственной стратегии, и отсутствуют общие ограни-
чения на управляющие переменные (допустимые функции стиму-
лирования и т.д.), то такую АС будем называть АС с независимыми
и несвязанными АЭ1. Если добавляются общие ограничения на
управления, то такие АС будем называть АС со слабо связанными
АЭ (АЭ оказываются связаны косвенно – через ограничения на
стратегии центра) [16, 20, 42, 44]. Если добавляется зависимость
целевой функции АЭ от обстановки игры, то такую АС будем
называть АС с сильно связанными (но независимыми!) АЭ. Если
добавляются только общие ограничения на множество стратегий
АЭ системы, то такую АС будем называть АС с зависимыми АЭ
(см. таблицу 2 ниже).
Выше в настоящей работе исследовались задачи стимулирова-
ния в АС с сильно связанными и независимыми АЭ. Таким обра-
зом, остается открытым вопрос о методах решения задачи стиму-
лировании в АС с зависимыми АЭ (несвязанными, сильно и слабо
связанными). Так как АС с сильно связанными АЭ включают в
себя АС с несвязанными и слабо связанными АЭ как частный
случай, перейдем к рассмотрению задач стимулирования в АС с
сильно связанными и зависимыми АЭ.
Метод штрафов в задачах стимулирования в многоэлемент-
ных АС имеет следующий вид. В общем случае считаем, что затра-
ты АЭ несепарабельны и приравниваем их минус бесконечности
при недопустимых (с точки зрения глобальных ограничений)
действиях АЭ, после чего применяем технику анализа, описанную
в четвертом разделе настоящей работы.
Метод согласования может использоваться в приведенном
выше виде без каких-либо изменений.
Напомним, что при решении задач стимулирования в много-
элементных АС выше (в четвертом разделе) реализуемый опти-

1
Таким образом, «независимость» АЭ отражает свойства множеств их
допустимых стратегий, а «связанность» – зависимость целевой функции
АЭ от действий других игроков или наличие общих ограничений на управ-
ление.
130



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
мальной квазикомпенсаторной системой стимулирования вектор
действий АЭ входил в эту систему стимулирования как параметр.
Поэтому, в более общем случае, охватывающем и метод штрафов,
и метод согласования, можно считать, что на АЭ (или центр, что то
же самое в силу оптимальности компенсаторных систем стимули-
рования) наложены штрафы следующего вида:
˜
? ? i ( y ), y ? A'? Aгл
?i(y) = ? ,
y ? A'? Aгл
? 0,
˜
где ? i ( y ) - некоторые неотрицательные функции, i ? I. Тогда,
если AM – множество реализуемых действий, определяемых без
учета глобальных ограничений на действия АЭ, то целевая функ-
ция центра в задаче стимулирования второго рода (с учетом гло-
бальных ограничений) имеет вид:
n
? {ci ( y ) + ? i ( y )} .
(2) ?(y) = H(y) -
i =1
Задача планирования запишется в виде:
n
? {ci ( y ) + ? i ( y )} ],
*
(3) x = arg max [H(y) -
x? AM i =1
а максимальная эффективность стимулирования (эффективность
оптимальной системы стимулирования) равна K* = ?(x*)1.
В таблице 2 представлены возможные комбинации глобаль-
ных ограничений («+» – наличие глобальных ограничений, «-» -
отсутствие глобальных ограничений) на множества допустимых
стратегий АЭ, их целевые функции и управления.




1
Мы не будем останавливаться подробно на таких простых утвержде-
ниях, следующих из анализа выражений (1)-(3), как то, что с расширени-
ем множеств AM (то есть с ростом возможностей центра по управле-
нию) и Aгл (ослаблением внешних – глобальных – ограничений)
эффективность стимулирования не уменьшается и т.д.
131



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Тип АС
№ Множества Целевые Управления
допустимых функции (допусти-
стратегий АЭ мые страте-
АЭ гии центра)
АС с независимыми и
1.
- - - несвязанными АЭ
АС с зависимыми и
2.
+ - - несвязанными АЭ
АС с зависимыми и
3.
+ + - сильно связанными АЭ
АС с зависимыми и
4.
+ - + слабо связанными АЭ
АС с независимыми и
5.
- + - сильно связанными АЭ
АС с независимыми и
6.
- - + слабо связанными АЭ
АС с независимыми и
7.
- + + сильно связанными АЭ
АС с зависимыми и
8.
+ + + сильно связанными АЭ

Таблица 2. Классификация взаимосвязанности
и взаимозависимости АЭ.

Рассмотрим кратко все восемь случаев (см. таблицу 2) и пока-
жем для них, что при решении задач стимулирования в многоэле-
ментных АС с зависимыми АЭ учет глобальных ограничений на
множества допустимых действий АЭ возможно осуществлять,
применяя как метод штрафов, так и метод согласования, причем их
использование не изменяет результатов, описанных в четвертом
разделе настоящей работы.
Качественное обоснование справедливости последнего утвер-
ждения таково – взаимосвязь АЭ (в смысле целевых функций)
была учтена при решении задач стимулирования в четвертом раз-
деле настоящей работы, а, используя выражения (2) и (3), удается
декомпозировать и учесть «независимо» факторы, связанные с
ограничениями на множества допустимых стратегий АЭ и центра.
132



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Другими словами, в общем случае алгоритм действий при учете
глобальных ограничений таков: для каждой из моделей S1-S8 на
втором этапе решения задачи стимулирования (этапе поиска опти-
мального для центра реализуемого действия) максимизация целе-
вой функции центра ведется не по всему множеству A’ допустимых
действий АЭ, а по множеству: A’ ? Aгл ? AM. При этом «автомати-
чески» обеспечивается учет глобальных ограничений как на дейст-
вия АЭ, так и на стимулирование.
Случай 1. АС с независимыми и несвязанными АЭ. Очевидно,
что многоэлементная АС с независимыми и несвязанными АЭ
может быть представлена в виде набора невзаимодействующих
одноэлементных активных систем (ни согласование с глобальными
ограничениями, ни штрафы в данном случае не требуются). На
втором этапе решения задачи стимулирования максимизация целе-
вой функции центра ведется независимо по множествам Ai, i ? I.
Случай 2. АС с зависимыми1 и несвязанными АЭ. В данном
случае центр имеет возможность использовать индивидуальное
стимулирование для каждого АЭ, рассматривая в качестве реали-
зуемых только вектора действий, принадлежащие множеству
допустимых с точки зрения глобальных ограничений (метод согла-
сования), то есть на втором этапе решения задачи стимулирования
максимизация целевой функции центра ведется по множеству
A’?Aгл.
Случай 3. АС с зависимыми и сильно связанными АЭ (глобаль-
ные ограничения на управление отсутствуют). На втором этапе
решения задачи стимулирования максимизация целевой функции
центра также ведется по множеству A’?Aгл.


1
Отметим, что в работе [24] при описании игр с запрещенными ситуа-
циями взаимозависимость АЭ отражалась следующим образом: целевая
? wi ( y ), y ? Aiгл гл
, где Ai ?
функция i-го АЭ определялась как: fi(y) = ? гл
? ? ?, y ? Ai
гл
A’, i ? I. Если ? i ? I Ai = Aгл, то имеет место случай одинаковых
ограничений. В дальнейшем мы по умолчанию ограничимся случаем оди-
наковых ограничений.
133



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Случай 4. АС с зависимыми и слабо связанными АЭ (глобаль-
ные ограничения на управление присутствуют). На втором этапе
решения задачи стимулирования максимизация целевой функции
центра ведется по множеству A’ ? Aгл ? AM.
Случай 5. АС с независимыми и сильно связанными АЭ (гло-
бальные ограничения на управление отсутствуют). На втором этапе
решения задачи стимулирования максимизация целевой функции
центра ведется по множеству A’.
Случай 6. АС с независимыми и слабо связанными АЭ (гло-
бальные ограничения на управление присутствуют). На втором
этапе решения задачи стимулирования максимизация целевой
функции центра ведется по множеству A’ ? AM. Как отмечалось
выше, задача управления АС с независимыми и слабо связанными
АЭ может быть сведена к параметрической задаче управления
набором одноэлементных АС и задаче выбора оптимального зна-
чения параметра.
Случай 7. АС с независимыми и сильно связанными АЭ (гло-
бальные ограничения на управление присутствуют). На втором
этапе решения задачи стимулирования максимизация целевой
функции центра также ведется по множеству A’ ? AM.
Случай 8. АС с зависимыми и сильно связанными АЭ (глобаль-
ные ограничения на управление присутствуют). На втором этапе
решения задачи стимулирования максимизация целевой функции
центра ведется по множеству A’? AM ? Aгл.
Таким образом, учет глобальных ограничений на стратегии
участников АС (активных элементов и центра) производится мето-
дами штрафов или согласования в рамках предложенной в четвер-
том разделе методики решения задач стимулирования в многоэле-
ментных АС.
До сих пор при рассмотрении задач стимулирования мы пред-
полагали, что единственным управляющим воздействием на АЭ со
стороны центра является изменение системы стимулирования. В то
же время, одним из параметров модели АС (и, как показал прове-
денный выше анализ - параметров, существенно влияющих на
эффективность стимулирования) являются множества допустимых
действий АЭ. Поэтому исследуем задачу управления АС, в которой

134



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
центр, помимо выбора системы стимулирования, имеет возмож-
ность влиять и на множества допустимых действий АЭ1.
Рассмотрим многоэлементную АС, отличающуюся от иссле-
дуемой в четвертом разделе настоящей работы следующим. Пусть
центр имеет возможность выбирать, помимо функций стимулиро-
вания, управляющие параметры ui ? Ui, i ? I, определяющие мно-
жества допустимых действий АЭ, то есть Ai = Ai(ui). Тогда вектор
действий активных элементов y принадлежит допустимому множе-
n n
? Ai (ui ) , u = (u1, u2, …, un) ? U’ = ? U i .
ству A(u) =
i =1 i =1
Предположим, что ? y ? A’ ? u ? U’: y ? A(u). Содержатель-
но данное предположение означает, что множество допустимых
управлений центра достаточно «велико» для того, чтобы сделать
допустимым любой вектор действий АЭ.
Назначая определенные значения управляющих параметров
u?U’, центр несет издержки ?(u), ?: U’ > ?1, измеряемые в де-
нежном выражении. Тогда целевая функция центра имеет вид (в
общем случае будем считать, что затраты АЭ несепарабельны, а
индивидуальное стимулирование каждого АЭ зависит от действий
всех АЭ):
n
?? i ( y)
(4) ?(y, ?, u) = H(y) - - ?(u).
i =1
Действия y , выбираемые АЭ, являются равновесием Нэша при
*

данных управлениях, то есть y* ? EN(?, u). Задача управления в
рамках гипотезы благожелательности заключается выборе управ-
ляющих параметров, максимизирующих целевую функцию центра
на множестве решений игры:
(5) max ?(y, ?, u) > max .
? ? M , u?U ?
y?E N (? , u )
Для решения задачи (5) воспользуемся комбинацией результа-
тов, полученных в четвертом разделе, и выражениями (1)-(3),

1
Задачи управления АС с переменными множествами допустимых дей-
ствий рассматривались как в теории активных систем [4, 15, 55], так и
в теории иерархических игр [24, 25, 30], причем, в основном, для динами-
ческих моделей.
135



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
позволяющими учитывать глобальные ограничения.
Фиксируем произвольный вектор действий АЭ x ? A’. Для то-
го чтобы этот вектор действий был реализуем, необходимо и дос-
таточно, чтобы он был равновесием Нэша (для этого достаточно
использовать соответствующую компенсаторную систему стиму-
лирования – см. раздел 4), и был допустимым действием (с точки
зрения ограничений на множества действий АЭ). Для удовлетворе-
ния последнему условию центр должен выбрать такие значения
управляющего параметра u ? U’, чтобы ? i? I xi ? Ai(ui).
Обозначим Ui(xi) = {ui ? Ui | xi ? Ai(ui)}, i ? I – множество та-
ких управлений, при которых действие xi является допустимым для
n
? U i ( xi ) . Минимальные затраты центра на обес-
i-го АЭ; U(x) =
i =1
печение допустимости вектора действий x ? A’ равны:
˜
(6) ? (x) = min ?(u).
u?U ( x )
Из результатов четвертого раздела настоящей работы следует,
что в рассматриваемой модели суммарные затраты центра по
n
? ci ( x ) ˜
+ ? (x). Опти-
реализации действия x ? A’ равны ?(x) =
i =1
мальным для центра действием АЭ является действие y*, максими-
зирующее разность между доходом центра и его затратами на
стимулирование:
n
? ci ( x ) ˜
- ? (x)}.
(7) y = arg max {H(x) - ?(x)} = arg max {H(x) -
*
x? A? x? A? i =1
Итак, выражение (7) дает оптимальное решение задачи управ-
ления в многоэлементной АС в условиях, когда центр имеет воз-
можность управлять множествами допустимых действий АЭ.
Исследуем теперь задачу синтеза унифицированных управле-
ний, то есть предположим, что центр имеет возможность назначать
персонифицированное стимулирование каждому из АЭ, но должен
выбрать одно значение управляющего параметра, единое для всех
АЭ, то есть ui = u, Ui = UU, i ? I.
Обозначим UU(x) = {u ? UU | ? i ? I xi ? A(u)} – множество
таких управлений, при которых действие xi является допустимым
136



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
для i-го АЭ, i ? I. Минимальные затраты центра на обеспечение
˜
допустимости вектора действий x?A’ равны: ? U (x) =
min ?U(u), где ?U: UU > ?1 – функция затрат центра.
u?UU ( x )
Оптимальным для центра действием АЭ является следующее
действие:
n
? ci ( x ) ˜
- ? U (x)}.
*
yU = arg max {H(x) -
(8)
x? A? i =1
Выражение (8) дает оптимальное решение задачи синтеза
унифицированного управления в многоэлементной АС в условиях,
когда центр имеет возможность управлять множествами допусти-
мых действий АЭ.
Обозначим эффективности оптимальных управлений (соответ-
ственно, «обычного» и унифицированного):
n
? ci ( y * ) - ˜
? (y*),
* *
(9) K = H(y ) -
i =1
n
? ci ( yU ) ˜
- ? U ( yU ),
* * *
*
(10) KU = H( yU ) -
i =1
*
и сравним величины K* и KU , то есть оценим качественно потери
в эффективности управления, вызванные необходимостью исполь-
зовать единые для всех АЭ значения управляющего параметра,
определяющего множества допустимых действий. Введем сле-
дующее предположение о монотонности множеств допустимых
действий АЭ по управляющему параметру:
А.8.1. ? i?I, ? ui1 , ui2 ? Ui = ?1: ui1 ? ui2 > Ai( ui1 ) ? Ai( ui2 );
? u1, u2 ? UU = ?1: u1 ? u2 > ? i ? I Ai(u1) ? Ai(u2).
Введем также предположение об аддитивности и монотонно-
сти функций затрат центра:
n n
? ? i (ui ) , ?U(u) = ? ? i (u ) .
А.8.2. ?(u) =
i =1 i =1




137



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Теорема 8.1. Если выполнены предположения А.8.1 и А.8.2, то
K* ? KU . Если при этом ?i(?) – монотонно возрастающие функции,
*


i?I, то yU ? y*.
*

Справедливость утверждения теоремы 8.1 следует из выраже-
ний (6)-(10), а также того, что в рамках предположений А.8.1 и
˜
˜
А.8.2 выполнено следующее соотношение: ? y?A’ ? (y) ? ? U (y). •
Пример 12. Пусть n = 2, H(y) = ?1 y1 + ?2 y2, ci(yi) = yi2 /2ri,
?i(ui) = ?i ui, Ai(ui) = [0; ui], i ? I.
Обозначим ? = min ?i, ? = max ?i и предположим, что ? ? ?.
i =1,n
i = 1, n

Тогда оптимальны действия АЭ: yi* = (?i-?i)ri, yi* = (?i-?)ri, i ? I,
U

(? i ? ? i ) 2 (? i ? ? ) 2
n n
а эффективности равны: K = ? ?
*
*
, KU = .
2 ri 2 ri
i =1 i =1

Видно, что yi* ? yi* , i ? I, K* ? KU . •
*
U
Итак, выше в настоящем разделе мы рассмотрели общие во-
просы учета глобальных ограничений на множества допустимых
действий АЭ при решении задач стимулирования в многоэлемент-
ных АС, а также задачи управления многоэлементными АС, в
которых центр, помимо выбора системы стимулирования, имеет
возможность управлять множествами допустимых стратегий ак-
тивных элементов. Перейдем к рассмотрению нескольких практи-
чески важных частных случаев, в которых используются получен-
ные теоретические результаты.


9. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЦЕПОЧКИ

Производственной цепочкой называется АС, в которой АЭ
упорядочены таким образом, что ограничения деятельности (огра-
ничения на выбор стратегией) каждого АЭ определяются действи-
ем, выбранным АЭ с меньшим номером, а действие, выбранное
данным АЭ, определяет ограничения деятельности АЭ с большим
138



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
номером, причем АЭ выбирают действия последовательно в по-
рядке, соответствующем их упорядочению. Производственные
цепочки1 адекватно отражают широко распространенные на прак-
тике условия взаимодействия экономических объектов, для кото-
рых результат деятельности (в детерминированных моделях совпа-
дающий с действием – см. седьмой раздел настоящей работы)
одного объекта (продукция) является, например, сырьем, исполь-
зуемым другим объектом и т.д. В рассматриваемой ниже модели
считается, что действие, выбранное определенным АЭ, задает
множество возможных действий следующего АЭ и т.д. Содержа-
тельные интерпретации такой зависимости очевидны.
Пусть в многоэлементной АС активные элементы упорядоче-
ны так, что множество возможных действий i-го АЭ определяется
действием i-1-го АЭ: Ai = Ai(yi-1), i = 2, n . Примем, что множество
допустимых действий первого АЭ зависит от выбранного центром
значения управляющего параметра u ? U, то есть A1 = A1(u).
Порядок функционирования следующий: центр выбирает сис-
тему стимулирования {?i(?)} ? M и управление u ? U. Затем АЭ
последовательно выбирают свои действия, причем на момент
выбора действия каждый АЭ знает: целевые функции и допусти-
мые множества (с точностью до конкретного значения параметра)
всех участников АС, выбор центра и действия, выбранные АЭ с
меньшими номерами.
Целевая функция АЭ имеет вид:
(1) fi(yi, ?i) = ?i(yi) – ci(yi),
то есть будем считать, что затраты АЭ сепарабельны. Для обосно-
вания этого предположения можно привести следующее рассужде-
ние. Если затраты i-го АЭ зависят от действий АЭ с меньшими
номерами, то эту зависимость можно исключить из рассмотрения,
так как на момент выбора им своей стратегии действия АЭ с мень-
шими номерами будут ему известны. Будем считать, что зависеть
от действий АЭ с большими номерами затраты i-го АЭ также не
могут, так как их действия выбираются позже и зависят (иногда

1
В теории активных систем производственные цепочки с линейными
технологическими связями АЭ рассматривались в работах [15, 17,26,
48].
139



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
однозначно – в рамках принятой гипотезы рационального поведе-
ния) от действия i-го АЭ.
Структура взаимодействия участников производственной це-
почки изображена на рисунке 6.


yn
u
ЦЕНТР




… ?n(yn)
?1(y1) ?2(y2) ?i(yi)




y1 y2 yi-1 yi yn-1
АЭ2 АЭi
АЭ1 АЭn
… …
ci(yi), Ai(yi-1)
c1(y1), A1(u) c2(y2), A2(y1) cn(yn), An(yn-1)
Рис.6 . Производственная цепочка


Введем следующее предположение:
А.9.1. Ai(yi-1) = [0; Ai+ (yi-1)] ? ?1 , где Ai+ : ?1 > ?1 - не-
+ + +

прерывная строго монотонно возрастающая функция, такая, что
Ai+ (0) = 0, i ? I, y0 = u ? U = [0; umax].
Если выполнено предположение А.9.1, то существуют n не-
прерывных строго монотонно возрастающих функций ?i(yi), обрат-
ных к функциям Ai+ , которые позволяют «перевернуть» производ-
ственную цепочку, то есть по заданному значению действия n-го
АЭ восстановить минимальные действия всех предшествующих
АЭ и управление центра, делающих это действие допустимым.
Пусть xn ? 0 – фиксированное действие n-го АЭ. Для того что-
+
бы оно было допустимым должно выполняться xn ? An (xn-1), то
есть xn-1 ? ?n(xn). Выберем xn-1 = ?n(xn). Для допустимости действия
xn-1 должно выполняться следующее соотношение: xn-2 ? ?n-1(xn-1).

140



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Выберем xn-2 = ?n-1(xn-1) = ?n-1(?n(xn)) и т.д.
Таким образом, допустимые планы (действия АЭ) определя-
ются следующим образом:
(2) xi(xn) = ?i+1(?i+2(…?n-1(?n(xn)))), i = 1, n ? 1 .
Управление со стороны центра должно удовлетворять:
(3) u(xn) = ?1(?2(…?n(xn))).
С другой стороны, по известным зависимостям Ai+ (?), i ? I, и
значению u ? umax можно восстановить ограничения Aimax (u) на
максимальные допустимые действия каждого АЭ:
(4) Aimax (u) = Ai+ ( Ai+ (… A1 (u))), i ? I.
+
?1
Обозначим ?(u) – затраты центра на управление и сформули-
руем полученный (очевидный, но необходимый для решения зада-
чи управления) результат в виде леммы.
Лемма 9.1. Если выполнено предположение А.9.1, то в произ-
водственной цепочке реализуемы такие и только такие действия
y?A’, которые удовлетворяют:
y ? A* = {y ? A’ | yi ? ?i+1(yi+1), i = 1, n ? 1 , umax ? ?1(y1)},
или, что то же самое:
y ? A* = {y ? A’ | y1 ? A1 (umax), yi ? Ai+ (yi-1), i = 2, n }.
+

Минимальные затраты центра на реализацию вектора действий
y?A’, удовлетворяющего приведенной системе неравенств, равны
n
? ci ( y i ) .
(5) ?(y) = ?(?1(y1)) +
i =1
Докажем справедливость выражения (5). Минимальное значе-
ние управления u ? umax, делающее допустимым действие y1 перво-
го АЭ равно ?1(y1). Значит, для этого центр должен потратить
?(?1(y1)). Кроме того, действия АЭ yi, i ? I, должны быть реализуе-
мы, то есть на них должны достигаться максимумы целевых функ-
ций АЭ. Для этого достаточно использовать квазикомпенсаторную
систему стимулирования, требующую (как известно из результатов
четвертого раздела настоящей работы) минимальных затрат на



141



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
n
? ci ( y i ) . •
стимулирование 1

i =1
Воспользуемся результатом леммы 9.1 для решения задачи
синтеза оптимальных управлений. Если H(y) – функция дохода
центра, то оптимальным реализуемым вектором действий будет
вектор
n
? ci ( yi ) }.
(6) y = arg max {H(y) - ?(?1(y1)) -
*

y? A* i =1
При решении оптимизационной задачи (6) могут возникнуть
как вычислительные трудности, обусловленные сложной структу-
рой задания множества A*, так и трудности с анализом зависимости
оптимального решения от параметров модели. Напомним, что
задача (6) формулировалась следующим образом: фиксировалось
действие последнего АЭ, после чего по выражению (2) определя-
лось множество допустимых действий предшествующего АЭ и так
далее, вплоть до определения по множеству действий первого АЭ
множества управлений центра. Построенное таким образом мно-
жество A* допустимых (для всех допустимых управлений) дейст-
вий как раз и является тем множеством, на котором максимизиру-
ется целевая функция центра (см. (6)).
В частном случае (см. конкретизацию ниже) возможен альтер-
нативный подход. Для фиксированного управления u?U опреде-
лим множество действий АЭ, допустимых при данных управлени-
ях: Ai(u) = [0; Aimax (u)], где Aimax (u) вычисляется в соответствии с
(4). Найдем вектор действий y*(u), максимизирующий разность
между доходом центра и его затратами на стимулирование на
n
? Ai (u ) :
множестве A(u) =
i =1
n
? ci ( yi ) }.
*
y (u) = arg max {H(y) -
y?A( u ) i =1



1
Если производственные возможности АЭ ограничены (см., например,
модель производственной цепочки в [48]), то эти ограничения могут
быть учтены соответствующей модификацией функций затрат АЭ.
142



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
n
? ci ( yi* (u )) . Если ? i ? I ? u ? U
Обозначим ?(u) = H(y (u)) -
*

i =1

yi* (u ) = Aimax (u ) , то оптимально следующее значение управле-
ния: u* = arg max {?(u) - ?(u)}.
u?U
При использовании предложенного подхода наибольшую
трудность (в первую очередь – вычислительную) представляет
задача определения зависимости y*(u), второй же этап – этап поис-
ка оптимального значения управления является скалярной задачей
оптимизации.
Рассмотрим задачу стимулирования первого рода1, в которой
целевая функция центра не убывает по действиям всех АЭ. Если
воспользоваться монотонностью и непрерывностью функций
Ai+ (?) , обеспечиваемой предположением А.9.1, то можно предло-
жить более простой (нежели чем использовался для задачи второго
рода) метод решения задачи стимулирования, в котором по сравне-
нию с выражением (6) существенно упрощается вид допустимого
множества.
Теорема 9.1. Если выполнено предположение А.9.1, то опти-
мальное решение задачи стимулирования первого рода, в которой
целевая функция центра не убывает по действиям всех АЭ, для
рассматриваемой производственной цепочки имеет вид:
? ci ( yi ), yi = yi* (u * )
(7) u = u , ?i(yi) = ?
*
,
yi ? yi* (u * )
? 0,
+
где y*(u) = ( y1 (u ) , y 2 (u ) , …, y n (u ) ), y1 (u ) = A1 (u ) , yi* (u ) =
*
* * *


Ai+ ( yi? (u ) ), i = 2, n ,
*

u* = arg max {H(y*(u)) - ?(u)}.
u?U
Применим полученные результаты для частного, но чрезвы-

1
Напомним, что в задаче стимулирования первого рода целевая функция
центра не зависит явным образом от стимулирования (затраты центра
на стимулирование не вычитаются из дохода центра) и совпадает с его
функцией дохода.
143



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
чайно часто встречающегося на практике, случая, когда доход
центра H = H(xn) зависит только от действия последнего АЭ в
производственной цепочке. Содержательно, при этом последний
АЭ производит конечную продукцию, а центр поставляет на вход
производственной цепочки исходное сырье в объеме u ? [0; umax].
Ограничение на максимальный объем исходного сырья порождает
ограничение на множество X возможных действий последнего АЭ:
+ + +
(8) xn ? X = [0; xmax], xmax = An ( An ?1 (… A1 (umax))).
Для реализации действия xn n-го АЭ центр должен поставить
исходное сырье в объеме u(xn) = ?1(?2(…?n(xn))) (см. выражение
(3)). Суммарные затраты на управление при этом равны (см. выра-
жение (2)):
(9) ?(xn) = ?(?1(?2(…?n(xn)))) +
n ?1
?
+ ci(?i+1(?i+2(…?n-1(?n(xn)))))+cn(xn).
i =1
Оптимальное решение задачи управления (оптимальное реали-
зуемое действие n-го АЭ) является решением следующей скаляр-
ной задачи оптимизации:
(10) xn = arg max {H(xn) - ?(xn)},
*
xn ? X
где множество X определяется выражением (8), а суммарные затра-
ты на управление – выражением (9).
Выражения (8)-(10) свидетельствуют о том, что в рассматри-
ваемой модели производственная цепочка может быть заменена
одним активным элементом, имеющим зависимость правой грани-
цы множества допустимых действий от управления, отражаемую
выражением (8), и функцию затрат:
n ?1
?
c(x) = ci(?i+1(?i+2(…?n-1(?n(x)))))+cn(x).
i =1
Затраты центра на управление (без учета затрат на стимулиро-
˜
вание) при этом определяются: ? (x) = ?(?1(?2(…?n(x)))). Решение
задачи стимулирования в АС с таким (одним!) АЭ (см. также выше
теорему 8.1 и модель, для которой она была сформулирована)
совпадает с решением (10) задачи управления производственной
цепочкой из n АЭ.
144



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Двойственным подходом является рассмотрение в рамках
предположения А.9.1 явной зависимости реализуемого действия n-
го АЭ от управления u ? U центра. При этом максимальное реали-
зуемое действие n-го АЭ связано с управлением следующим обра-
зом:
+ + +
xn ? xmax(u) = An ( An ?1 (… A1 (u))).
Затраты центра на управление (с учетом затрат на стимулиро-
вание), зависящие только от управления, равны:
n
? ci ( Ai+ ( Ai+?1 (... A1+ (u )))) .
?(u) = ?(u) +
i =1
Реализуемым оказывается следующий вектор действий АЭ:
yi* (u ) = Ai+ ( Ai+ 1 (... A1+ (u ))) , i ? I, следовательно, решение задачи
?
управления имеет вид:
u* = arg max {H( y n (u)) - ?(u)}.
*
u?U

Ai+ (yi-1) = ?i yi-1, ?i > 0, ci(yi) = yi2 /2ri,
Пример 13. Пусть
i
A1+ ?? j
= ?1 u, ?(u) = ? u, H(yn) = ? yn. Обозначим ?i = и допус-
j =1
тим, что ? ?n ? ?, тогда xmax = ?n umax, а целевая функция центра
? n ?i2 ? x 2
имеет вид: ?(x) = (? - ? / ?n) x - ?? ? .
ri ? 2?2
? i =1 n
Если ограничения на максимальный объем исходного сырья
отсутствуют, то оптимальным оказывается следующее реализуемое
? n ?i2 ?
- ? ?n) / ?? ? .
(? ?2
*
действие n-го АЭ: xn = n
? i =1 ri ?
Двойственный подход заключается в выражении целевой
функции центра через управляющий параметр u.
? n ?i2 ? u 2
Имеем: yi = ?i u, i?I, тогда ?(u) = (? ?n - ?) u - ?? ? .
ri ? 2
? i =1


145



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
? n ?i2 ?
Вычисляем u = arg max ?(u) = (? ?n - ?) / ?? ? . При этом,
*
u ?0
? i =1 ri ?
естественно, выполнено x* = ?n u*. Если рассматривать ? как цену
за сырье, ? - как цену за готовую продукцию, а 1/?n – как
“коэффициент усиления” производственной цепочки, то неравен-
ство ? ?n ? ? можно интерпретировать как условие того, что отно-
шение «выходной» и «входной» цен должно быть не меньше «ко-
эффициента усиления» рассматриваемой системы. •
В проводимом выше рассмотрении производственных цепочек
считалось, что каждый АЭ выбирает свою стратегию сразу после
того, как выбрал свою стратегию предшествующий АЭ, то есть
никак не учитывался фактор времени. Рассмотрим некоторые
способы учета времени1 в моделях производственных цепочек.
Пусть в результате решения задачи стимулирования для про-
изводственной цепочки получены значения оптимальных планов.
Предположим, что i-му АЭ для выполнения плана (без дополни-
тельного стимулирования за сокращение времени) требуется время
?i, i ? I. Сокращение времени выполнения заданного (фиксирован-
ного) плана на время ??i требует от i-го АЭ дополнительных затрат
ci(??i), где ci(?) – монотонная выпуклая функция, ci(0) = 0, i ? I.
Тогда продолжительность всего производственного цикла равна
n n
? ? i , ?T = ? ?? i .
T = T0 - ?T, где T0 =
i =1 i =1
Сокращая время выполнения плана на ?T, центр получает до-
n
? ci ( ?? i ) .
ход H(?T) и несет затраты c(?T) =
i =1


1
В общем случае учет времени и технологических связей между АЭ
производится в рамках сетевого планирования и управления (СПУ) [5,
11], широко используемого в управлении проектами [16, 23]. Задачи
стимулирования в моделях СПУ практически не исследовались (исключе-
ния - [11, 16, 48]). Приводимое ниже рассмотрение влияние стимулиро-
вания на временные характеристики производственных цепочек является
обобщением результатов, полученных в [48], и ни в коей мере не претен-
дует на полноту исследования задач стимулирования в СПУ.
146



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Пример 14. Пусть центр может вкладывать и привлекать сред-
ства по ставке ?%. Предположим, что выполнение одного произ-
водственного цикла требует от центра вложений (затраты на сырье,
стимулирование АЭ и т.д.) C0 собственных средств и дает доход
(независимо от времени завершения цикла) доход H0.
Тогда, сокращая продолжительность цикла на время ?T, центр
к моменту T получает дополнительный доход H(?T) = H0 ( e? ?T -1).
Другая интерпретация зависимости дохода от времени заклю-
чается в следующем. Пусть центр привлек внешние средства в
объеме C0. Тогда сокращение продолжительности производствен-
ного цикла приведет к сокращению платежей по процентам. Усло-
вие выгодности выполнения производственного цикла на привле-
каемые средства за время T0 имеет вид: С0 e? T0 ? H0. Выигрыш от
сокращения времени равен: H(?T) = С0 e? T0 (1 - e?? ? T ).
Возможны также варианты линейного дохода: H(?T) = ? ?T.
Содержательно последний случай соответствует тому, что центр
выплачивает постоянную сумму за единицу времени аренды обо-
рудования (или хранение промежуточной и конечной продукции),
или постоянные (в единицу времени) штрафы за загрязнение окру-
жающей среды в процессе производства и т.д. •
Решение задачи управления разбивается на два этапа. Первый
этап – поиск таких величин сокращения времени каждым АЭ: ? ? i* ,
n
? ?? i :
i ? I, которые минимизируют затраты при условии ?T =
i =1
n
? ci ( ?? i ) > min .
n
i =1 ? ?? i = ?T
i =1
Результатом первого этапа является зависимость минимальных
затрат от времени сокращения продолжительности всего цикла:
n
? ci ( ?? i* ) . Второй этап заключается в поиске такого
*
c (?T) =
i =1
времени сокращения ?T, которое минимизировало бы разность
между доходом и минимальными затратами:

147



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
?T* = arg max {H(?T) – c*(?T)}.
?T ? 0
Пример 15. Пусть АЭ имеют следующие функции затрат:
ci(??i) = ri ?(??i/ri), где ?(?) – монотонная выпуклая функция,
n
? ri
?(0)=0. Тогда c (?T) = W ?(?’(?T/W)), где W = (см. подроб-
*

i =1
ности в [7, 36].
Пусть имеет место случай линейного дохода, то есть
H(?T) = ??T, тогда ?T* определяется как решение уравнения:
?’(?’(?T/W)) ?’’(?T/W) = ?.
Например, если АЭ имеют квадратичные затраты, то есть вы-
полнено: ?(z) = z2/2, то ? ? i* = ri ?, i ? I, ?T* = ? W. •
Итак, мы описали алгоритм поиска оптимальной продолжи-
тельности производственного цикла для фиксированного плана.
Варьируя все допустимые планы (см. выше), можно получить
множество значений целевой функции центра при различных
комбинациях планов и продолжительностей, а затем выбрать ту их
комбинацию, которой соответствует максимальная эффективность
управления, то есть максимальное значение целевой функции
центра.
Таким образом, мы решили задачу управления (с учетом вре-
мени) для производственной цепочки, в которой для каждого плана
каждого АЭ известны затраты на сокращение времени по выпол-
нению этого плана. В более общем случае могут быть заданы
зависимости затрат АЭ одновременно от планов и времени: ci(yi,
?i), i ? I. Относительно зависимостей ci(?, ?) обычно предполагается,
что это гладкие функции своих переменных, обладающие следую-
? 2 ci
?ci ?ci ? 2 ci
?0, ?0, ?0, ?0,
щими свойствами:
?yi ?? i ?yi 2 ?? i 2
? 2 ci
? 0 , i?I. Примером могут служить функции: ci(yi, ?i) =
?yi ?? i
(yi/?i)2/2ri (содержательные интерпретации очевидны).



148



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Выражения (2)-(3) и (8)-(9) позволяют однозначно выразить
n
?? i
план i-го АЭ через план n-го АЭ: yi = yi(yn). Пусть T = - про-
i =1
должительность производственного цикла при временах {?i},
?(u(yn), ?1, ?2, …, ?n) – штрафы (или доход) центра. Обозначим
?(yn, T) – минимальные затраты центра на реализацию плана yn за
время T. Таким образом, ?(yn, T) – результат решения следующей
задачи:
n
? ci ( yi ( yn ), ? i )
?(yn, T) = ?(u(yn), ?1, ?2, …, ?n) + > min .
n
i =1 ?? i = T
i =1

Имея зависимость ?(yn, T) можно найти оптимальный план n-
го АЭ и оптимальную продолжительность производственного
цикла:
H(xn) - ?(yn, T) > max .
yn ? X , T ? 0
Завершив краткое обсуждение проблем учета фактора времени
в управлении производственными цепочками, вернемся к анализу
задач стимулирования.
Выше мы рассматривали производственную цепочку, в кото-
рой центр использовал оптимальную – квазикомпенсаторную –
систему стимулирования. На практике распространены ситуации,
когда результаты деятельности экономических объектов продают-
ся и покупаются по фиксированной цене за единицу продукции,
сырья и т.д. Этот случай соответствует использованию пропорцио-
нальных систем стимулирования.
Рассмотрим i-ый АЭ производственной цепочки, который
имеет возможность приобретать сырье (результат деятельности i-1-
го АЭ) у предшествующего АЭ, центра или вне рассматриваемой
АС (например, на рынке) по цене ?i и продавать свою продукцию
(i+1-му АЭ, центру или вне АС) по цене ?i. Закупка сырья в объеме
?i(yi), минимально необходимом для производства продукции в
объеме yi, требует затрат ?i ?i(yi). Собственные затраты i-го АЭ
равны ci(yi), а получаемый им от продажи продукции доход равен
?i yi. Таким образом, целевая функция i-го АЭ имеет вид:
(11) fi(?i, ?i, yi) = ?i yi - ci(yi) - ?i ?i(yi), i ? I.
149



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Обозначим yi* (?i, ?i)= arg max fi(?i, ?i, y), i ? I.
y ?0
Если АЭ составляют производственную цепочку, то есть про-
дают сырье и продукцию друг другу в последовательности, опре-
деляемой используемой технологией, то должно выполняться:
(12) ?i = ?i-1, i ? I,
где ?1 = ?0 – цена продажи сырья центром, а ?n = ?0 – цена, по
которой центр покупает готовую продукцию.
Условие баланса (ненакопления продукции и сырья) имеет
вид:
(13) yi*?1 (?i-1, ?i-1) = ?i( yi* (?i, ?i)), i ? I.
Необходимым условием успешного функционирования произ-
водственной цепочки является существование таких цен и объемов
выпуска, при которых существует вектор действий, такой, что
значения целевых функций (11) всех АЭ неотрицательны1:
(14) fi(?i, ?i, yi* (?i, ?i)) ? 0, i ? I.
Кроме этого, необходимо, чтобы значение целевой функции
центра было неотрицательно:
(15) H(( y1 (?1, ?1), y n (?n, ?n))) + ?1 ?1( y1 (?1, ?1)) -
*
* *


- ?n y n (?n, ?n)) ? 0,
*

где H(y1, yn)- доход центра от функционирования производственной
цепочки. Например, если центр закупает сырье на рынке по цене ?r
и продает готовую продукцию на рынке по цене ?r, то:
(16) H(y1, yn) = ?r yn - ?r ?1(y1).
Следует отметить, что в рассматриваемой модели центр играет
роль «спекулянта» (то есть "играет" на разнице цен (?1 - ?r), (?r -
?n)) и, если это позволяют содержательные интерпретации модели,
может быть исключен из рассмотрения приравниванием его собст-
венных цен рыночным2: ?1 = ?r, ?n = ?r.

1
В общем случае в правых частях неравенств (14) могут фигурировать
неотрицательные уровни полезности, которые требуется гарантиро-
вать соответствующим АЭ для участия в рассматриваемой АС.
2
Если допустить возможность закупки сырья и продажи продукции i-ым
АЭ либо только на рынке по ценам ?ir и ?ir, либо в АС, то условие участие
150



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Роль центра может быть иной - предположим, что он сам по-
купает у элементов продукцию и продает им сырье по фиксиро-
ванным ценам (так называемые внутренние цены). В этом случае
условия (12) и (15) уже не имеют места. Содержательно, центр
может поддерживать одних АЭ, снижая для них цену на сырье за
счет собственных ресурсов, например – за счет занижения цен
покупки продукции у других АЭ, кратковременного привлечения
беспроцентных (в рассматриваемой модели) внешних средств и т.д.
В этом случае для него должно выполняться условие неотрица-
тельности финансового баланса за весь производственный цикл:
n
? {?i ?i( yi* (?i, ?i)) - ?i yi* (?i, ?i)} +
(17)
i =1

+ ?r y n (?n, ?n) - ?r ?1( y1 (?1, ?1)) ? 0.
* *

Обозначим: ? = (?1, ?2, …, ?n), ? = (?1, ?2, …, ?n),
? = {(?,?) | ? i ? I (?i,?i) удовлетворяют (12)-(16)},
? = {(?,?) | ? i ? I (?i,?i) удовлетворяют (13), (14) и (17)}.
*

Области ? и ?* задают для соответствующих моделей множе-
ства допустимых цен. Если оказывается, что ? = ? (?* = ?), то это
означает, что не существует цен, при которых данная производст-
венная цепочка может функционировать. Другими словами, усло-
вие ? ? ? (?* ? ?) является условием реализуемости (устойчиво-
сти) соответствующей производственной цепочки.
Лемма 9.2. ? ? ?*.
Покажем, что, если для некоторого набора цен (?, ?) выполне-
ны условия (12)-(16), то для него же выполнены и условия (13),
(14) и (17). Подставляя (15)-(16) в (17), замечаем, что достаточно
показать, что выполнено
n ?1
? {?i ?i( yi* ) - ?i yi* } + ?n ?n( y n ) - ?1 y1 ? 0.
* *
(18)
i =2




данного АЭ в производственной цепочке примет вид: ?i ? ?ir, ?i ? ?ir.
Рассмотрение моделей, в которых возможна закупка части сырья (и/или
продажа части продукции) на рынке, выходит за рамки настоящей
работы.
151



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Воспользовавшись (13), из (18) получим:
n ?1
? {?i yi*?1 - ?i yi* } + ?n y n ?1 - ?1 y1 ? 0.
* *

i =2
n ?1
n
? ?
?i-1 yi-1 - ?i yi ? 0.
Воспользовавшись (12), получим:
i =2 i =1
Левая часть последнего неравенства тождественно равна нулю. •
Содержательно лемма 9.2 означает, что, если центр сам осу-
ществляет координацию покупки и продажи в управляемой АС, то
множество равновесных цен, а, следовательно, и множество допус-
тимых состояний системы шире1, чем в случае, когда центр осуще-
ствляет только закупку исходного сырья и реализацию готовой
продукции. Другими словами, лемма 9.2 дает объяснение системо-
образующего фактора – объединение АЭ в систему и наличие
управляющего органа – центра – приводит к расширению множе-
ства допустимых состояний системы, что может рассматриваться
как теоретическое обоснование выгодности для ряда случаев суще-
ствования объединений экономических объектов, связанных еди-
ным технологическим циклом, по сравнению с независимой дея-
тельностью каждого из них как субъекта рынка.
Пример 16. Пусть n = 2, Ai+ (yi-1) = ?i yi-1, ?i > 0, ci(yi) = yi2 /2ri,
A1+ = ?1 u. Кроме того, предположим, что центр продает АЭ сырье
и покупает готовую продукцию по рыночным ценам, то есть ?1=?r,
?2 = ?r. Вычисляем yi* = (?i - ?i/?i) ri, i = 1, 2. Выписывая систему
неравенств (12)-(16) и преобразовывая ее, получаем, что производ-
ственная цепочка осуществима, если выполнено следующее усло-
вие:
?1 r1 (? 2 ) 2 + ( r2 ) 2 ?
?r ?
= 2 ? max ? ?.
;
?r ?1 ?? 1 ? 2 ? 1 ? 2 r2 ?
Отметим, что в левой части неравенства фигурируют цены (в
том числе – рыночные), то есть внешние по отношению к АС
1
С расширением множества допустимых состояний АС, очевидно, не
уменьшается эффективность управления и значения других целевых
функционалов, максимизируемых на этом множестве.
152



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
параметры, а в правой части – параметры самой производственной
цепочки. Поэтому последнее неравенство содержательно может
интерпретироваться как ограничение на множество рыночных цен,
при которых данная производственная цепочка может успешно
функционировать, или как ограничение на множество значений
параметров производственной цепочки, при которых она может
успешно функционировать при данных рыночных ценах на сырье и
готовую продукцию. •
Выше в настоящем разделе рассматривались производствен-
ные цепочки, в которых АЭ по одному последовательно выбирали
свои стратегии. Обобщим полученные результаты на случай про-
извольной технологической сети – «обобщенной» производствен-
ной цепочки.
Пусть множество I активных элементов разбито на T непере-
секающихся подмножеств {It}, t = 1, T , Ii ? Ij = ?, i ? j, i, j = 1, T ,
It = I, кроме того, пусть выполнено: ? k ? It, ? l ? It+1 k < l,
I
t =1,T

t = 1,? ? 1 . Предположим, что АЭ из множества It выбирают свои
стратегии одновременно и независимо в момент времени t, а мно-
жество допустимых действий любого АЭ из множества It зависит
от действий, выбранных АЭ из множества It-1 (в предыдущем пе-
риоде): Ai(Yt-1) = [0; Ai+ (Yt-1)], i ? It, где Yt – вектор действий АЭ из
множества It, t = 1, T , Ai = [0; ui], i ? I1. Управление u = (u1, u2, …,
?Ui
u|I1| ) ? U’ = выбирается центром.
i?I1
Содержательно, технологический цикл в рассматриваемой мо-
дели состоит из T этапов, в течение каждого из которых выполня-
ются независимые операции, причем для начала работ по каждому
из этапов требуется завершение работ предыдущего этапа, и ре-
зультаты предыдущего этапа определяют множество результатов,
которые могут быть достигнуты на данном этапе. Множество
результатов, которые могут быть достигнуты на первом этапе,
зависят от управлений со стороны центра (например, поставок
исходного сырья для всего производственного цикла).

153



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Относительно функций затрат АЭ сделаем следующее предпо-
ложение: функции затрат несепарабельны, но затраты каждого АЭ
зависят только от действий АЭ, выбирающих свои действия в том
же периоде, то есть ci = ci(Yt), i ? It, t = 1, T (см. содержательное
обоснование этого предположения выше).
Итак, центр имеет возможность выбирать управляющие пара-
метры u ? U’, неся при этом затраты ?(u), и назначать систему
стимулирования {?i(?)}. Будем считать, что в общем случае стиму-
лирование АЭ зависит только от действий АЭ, выбирающих свои
действия в том же периоде, то есть ?i = ?i(Yt), i ? It, t = 1, T .
Относительно функции дохода центра предположим, что она
зависит от действий всех АЭ.
В силу причинно-следственных связей (технологических зави-
симостей) игра АЭ распадается на T последовательно разыгрывае-
мых игр, множество допустимых стратегий АЭ в каждой из кото-
рых (за исключением первой) определяется решением предыдущей
игры, а множество допустимых стратегий АЭ в первой игре опре-
деляется управлением со стороны центра. Для каждой из этих игр
могут быть независимо использованы результаты синтеза опти-
мальных функций стимулирования в многоэлементных АС с несе-
парабельными затратами1 (см. модель S4 выше). Значит, остается
«связать» эти игры между собой.
Одним из возможных способов учета последовательной взаи-
мозависимости результатов различных периодов является исполь-
зованный выше при рассмотрении «обычных» производственных
цепочек метод, заключающийся в последовательном установлении
зависимости максимальных допустимых действий АЭ и управле-
ний центра. Введем следующее предположение
А.9.2. ?(?), Ai+ (?) и ci(?), i ? I – непрерывные, строго монотон-
ные функции своих переменных.


Yt* был равновесием в
1
В частности, для того, чтобы в t-ой игре вектор
доминантных стратегиях требуются (минимальные!) затраты на
? c j (Yt* ) .
стимулирование, равные:
j?I t
154



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
? Ai . Вычис-
Фиксируем вектор YT = ( y n ?|IT | , …, yn) ? AT =
i?IT

˜
? Ai
лим такое множество A T-1(YT) ? AT-1 = векторов действий
i?IT ?1
АЭ, принадлежащих множеству IT-1, выбор которых обеспечивает
˜
допустимость вектора YT, то есть A (YT) = {YT-1?AT-1 | YT?AT(YT-1)}.
Продолжая аналогичным образом, получим совокупность мно-
жеств:
˜
A j(Yj+1) = {Yj ? Aj | Yj+1 ? Aj+1(Yj) }, j = 1,T ? 1 .
Вычислим множество векторов управлений, обеспечивающих
˜
допустимость вектора Y1: U (Y1) = {u ? U | Y1 ? A1(u)}.
Таким образом, реализуемыми оказываются такие и только та-
кие вектора действий АЭ, которые удовлетворяют одному из сле-
дующих условий:
(19) u ? U, Y1 ? A1(u), Yj ? Aj(Yj-1), j = 2,T ;
˜ ˜
(20) YT ? AT, Yj ? A j(Yj+1), j = 1,T ? 1 , u ? U (Y1).
Условия (19) и (20) отражают технологические ограничения,
наложенные на «одновременный» выбор действий АЭ-участниками
производственной цепочки.
Обозначим A* - множество всех векторов действий АЭ и
управлений центра, которые удовлетворяют условиям (19) или
(20). Тогда задача синтеза оптимального управления заключается в
выборе реализуемого (из множества A*) вектора действий АЭ и
вектора управлений, максимизирующих целевую функцию центра:
T
? ? ci (Yt ) }.
(21) (u , y ) = arg max {H(y) - ?(u) -
* *

( u , y )?A* t =1 i?I t
Задача чрезвычайно трудоемка с вычислительной точки зре-
ния. Кроме того, без детального анализа трудно предложить какое-
либо ее простое (оптимальное или «почти»-оптимальное) реше-
ние1.

1
Интересно отметить, что в большинстве исследованных задач стиму-
лирования основную проблему составляло нахождение системы стимули-
155



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Допущение о том, что функция дохода центра зависит только
от действий АЭ, выбираемых в последнем периоде, в обобщенных
производственных цепочках, в отличие от «простых» производст-
венных цепочек (см. (8)-(10)), в общем случае не упрощает задачи
(21). Качественно это объясняется тем, что для действия некоторо-
го АЭ в общем случае существует несколько действий АЭ с мень-
шими номерами, делающих это действие допустимым с минималь-
ными затратами.
Если предположить, что Ai+ (?) , i ? I, - взаимно однозначные
отображения1, то по аналогии с «обычной» производственной
цепочкой для заданного вектора действий АЭ из множества IT
однозначно (!) вычисляются соответствующие вектора действий
АЭ из множества IT-1 и т.д. (см. (8)-(10)).
При H = H(YT) для задачи (21) может быть использован сле-
дующий эвристический алгоритм2 последовательной минимизации
затрат, достаточно часто применяемый на практике. Для АЭ из
множества IT решается задача синтеза оптимальной системы сти-
мулирования – ищется действие xT = arg max {H(yT) -
y T ? AT

? ci (YT ) }. Далее для АЭ из множества IT-1 решается задача сти-
i?IT

? ci (YT ?1 )
мулирования: xT-1 = arg и т.д., то есть на
min
˜
yT ?AT ?1 ( xT ) i?IT ?1
каждом шаге от T-1-го до первого минимизируются затраты по
реализации действий, обеспечивающих допустимость действий,
вычисленных на предыдущем шаге. Если включить в рассматри-
ваемую модель фактор времени, то такой эвристический подход

рования, реализующей заданное действие, а этап планирования, то есть
выбора оптимального реализуемого действия, как правило, не вызывал
значительных трудностей. Поэтому (21) является одним из немногих
случаев, когда основную трудность составляет именно решение задачи
оптимального согласованного планирования.
1
Содержательно подобное предположение может отражать требова-
ние комплектности, то есть невозможности взаимозамены компонен-
тов, используемых при данной технологии.
2
В общем случае данный алгоритм не гарантирует нахождения опти-
мального решения.
156



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
вполне согласован с используемыми в сетевом планировании и
управлении методами оптимизации сетей по времени и стоимости
(см., например, [5, 11, 23]).



10. МЕХАНИЗМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ И ЗАДАЧИ
ФОРМИРОВАНИЯ СОСТАВА АКТИВНОЙ СИСТЕМЫ

В предыдущих разделах настоящей работы рассматривались
задачи стимулирования в многоэлементных активных системах с
фиксированным составом участников, то есть набор активных
элементов, подчиненных центру, был фиксирован. Коль скоро мы
умеем решать задачу стимулирования для фиксированного состава
АС, появляется возможность рассмотрения задачи формирования
состава активной системы, то есть задачи определения оптималь-
ного (в оговариваемом ниже смысле) набора АЭ, которых следует
включить в систему, и тех их действий, выбор которых наиболее
выгоден для центра. Приведем формальную постановку задачи.
Пусть имеются N АЭ – потенциальных участников (претен-
дентов на участие) активной системы. Обозначим: ? – множество
всех подмножеств множества1 N = {1, 2, …, N} ? {?}, I ? ? –
некоторый элемент этого множества – состав АС, включающий n
активных элементов |I| = n ? N.
Из предшествующего изложения известно, что в отсутствии
ограничений на стимулирование минимальные затраты центра по
побуждению АЭ из множества I к выбору вектора действий
yI ? AI = ? Ai равны2
i?I

? ci ( y I ) .
(1) ?(yI) =
i?I
Если функция дохода центра H(?, I) в АС с составом I опреде-
лена на множестве AI действий АЭ, входящих в АС, и равна нулю

1
Мы надеемся, что использование одного и того же символа для обозна-
чения множества потенциальных участников АС и их числа не приведет
к путанице.
2
Затраты АЭ в общем случае несепарабельны.
157



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
при I = ?, то есть
(2) H(?, I) = H(yI),
то эффективность оптимального управления составом I равна
(3) ?(I) = max {H(yI) - ?(yI)}.
y I ? AI
Тогда задача определения оптимального состава АС может
быть формально записана как задача определения допустимого
состава I*, |I*| = n*, максимизирующего эффективность (3):
(4) I* = arg max ?(I)
I ??
при условии, что ?(I) ? 0.
Последнее условие означает, что выигрыш центра должен
быть неотрицателен (условие индивидуальной рациональности
центра), так как центр всегда имеет возможность получить нулевой
выигрыш, не включая в состав АС ни одного АЭ.
Формулировка и решение задачи (4) в общем случае сопряже-
но с двумя трудностями. Во-первых, если затраты на стимулирова-
ние (1) определяются для произвольного состава АС тривиально
(переход от одного состава АС к другому составу производится
так, что сумма затрат АЭ вычисляется по АЭ, включенным в АС),
то способы определения функции дохода центра (2) и индивиду-
альных затрат АЭ ci(yI) (в общем случае зависящих от действий
всех АЭ, входящих в АС) не столь очевидны. Действительно,
нужно четко представлять для любого состава I ? ? как с содер-
жательной, так и с формальной точки зрения, к каким изменениям
дохода центра и затрат каждого из АЭ приводит замена произволь-
ного АЭ i ? I на произвольный АЭ j ? N \ I.
Вторая трудность заключается в высокой вычислительной
сложности задачи (4). Число элементов множества ? равно 2N, то
есть велико и быстро растет с ростом N.
Для определения оптимального состава АС необходимо для
каждого набора АЭ I ? ? решить задачу стимулирования, то есть
при N потенциальных претендентах на участие в АС необходимо
решать 2N задач стимулирования, а затем в соответствии с (4)
искать состав, максимизирующий целевую функцию центра. Дру-
гими словами, вторая трудность является традиционной «пробле-

158



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
мой» дискретной оптимизации1. Следовательно, необходимо пред-
лагать эвристические алгоритмы решения, оценивать их слож-
ность, эффективность и т.д.
Частным случаем задачи определения оптимального состава
АС, является задача оптимизации заданного состава АС, форму-
лируемая следующим образом. Имеется АС, включающая множе-
ство АЭ I0. Известно также множество J потенциальных участни-
ков, I0 ? J = N и задан критерий эффективности K(I) состава I ? ?.
Требуется найти оптимальный состав, то есть
I* = arg max K(I).
I ??
Частным случаем задачи оптимизации заданного состава АС,
является задача определения максимальных подмножеств A ? 2 I 0
и B ? 2J таких, что A ? I*, B? I*. Еще более частной является (слу-
чай, когда |A| = 1 или |B| = 1) задача принятия решения об уволь-
нении или найме одного АЭ – так называемая задача о приеме на
работу.
Прежде чем переходить к изложению оригинальных результа-
тов по задачам синтеза состава АС, приведем краткий обзор под-
ходов и результатов решения этого класса задач, полученных в
теории управления социально-экономическими системами.
Впервые в теории активных систем задачи формирования со-
става АС рассматривались в работе [5] для случая назначения
проектов. Вообще, задача о назначении с неизвестными центру и
сообщаемыми ему активными элементами параметрами эффектив-
ности их деятельности на различных должностях неоднократно
привлекала внимание исследователей, особенно в области управ-
ления проектами – так называемые сложные конкурсы исполните-
лей и др. [21].

1
Несмотря на внешнюю схожесть, задача (4) не является канонической
задачей о назначении [5]. Напомним, что в задаче о назначении известен
эффект деятельности каждого претендента на каждой должности. В
нашем случае распределение должностей соответствовало бы фиксиро-
ванному вектору действий (или конечному множеству возможных дей-
ствий АЭ), но, фактически, при фиксированном составе АС производит-
ся выбор оптимальных векторов действий АЭ, вошедших в АС (см.
выражение (3)).
159



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
В работе [8] рассмотрена модель динамики трудовых ресурсов
между несколькими предприятиями в зависимости от условий
оплаты труда и неденежных факторов вознаграждения работников.
Обширный класс задач определения оптимального числа на-
нимаемых работников в зависимости от внешних условий рассмат-
ривался в работах по теории контрактов [57-65]. Обзор основных
результатов прикладных задач теории контрактов (так называемых
«трудовых контрактов») приведен в [9]. Обычно в работах зару-
бежных авторов по теории контрактов считается, что на момент
заключения контракта будущее значение состояния природы
(внешнего неопределенного фактора, определяющего условия
функционирования АС) неизвестно ни центру, ни потенциальным
работникам, но они имеют о нем информацию в виде вероятност-
ного распределения. Задача центра заключается в определении
зависимости вознаграждения работников от результатов их дея-
тельности или действий (причем работники, как правило, считают-
ся однородными) и числа работников, нанимаемых в зависимости
от состояния природы, которые максимизировали бы математиче-
ское ожидание целевой функции центра при условии, что всем
принятым на работу гарантируется уровень полезности не мень-
ший резервной заработной платы (при этом может добавляться
условие обеспечения центром определенных гарантий для безра-
ботных). Отметим, что сформулированная задача существенно
проще (так как не учитывается активность работников), чем базо-
вая модель теории контрактов, в которой фигурирует дополни-
тельное условие выбора АЭ действия, максимизирующего его
ожидаемую полезность при заданной системе стимулирования [44].
В настоящей работе нас будут интересовать постановки задач
формирования состава АС, учитывающие активность всех ее уча-
стников.

<<

стр. 5
(всего 6)

СОДЕРЖАНИЕ

>>