<<

стр. 6
(всего 6)

СОДЕРЖАНИЕ

Несколько моделей, в которых определялось оптимальное с
точки зрения информационной нагрузки на центр число АЭ, кото-
рых следует включать в АС, рассматривались в работе [36] при
изучении факторов, определяющих эффективность управления
многоуровневыми организационными системами. Интересным для
настоящего исследования представляется приведенный в упомяну-
той работе пример.

160



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Пример 17. Предположим, что задача стимулирования заклю-
чается в распределении между n однородными АЭ фонда заработ-
ной платы (ФЗП) R. Если функция затрат каждого АЭ есть
c(y) = y2 / 2 ?, а доход центра пропорционален сумме действий АЭ,
то при постоянном фонде заработной платы зависимость эффек-
тивности стимулирования от числа АЭ имеет вид:
?*(n) = 2 ?Rn - R.
Содержательно, если выполнено предположение А.3. (в част-
ности, существенно, что c'(0) = 0, а H’(y) > 0), то центру выгодно
задействовать как можно большее число АЭ, стимулируя их за
выполнение сколь угодно малых действий потому, что в окрестно-
сти действия, минимизирующего затраты (y = 0), предельные
затраты каждого АЭ минимальны. Следовательно, при фиксиро-
ванном фонде заработной платы (максимум ?*(n) по R достигается
при ФЗП, пропорциональном числу АЭ в АС: R* = ? n / 2) центр
заинтересован в неограниченном увеличении числа АЭ (напомним,
что рассматривается случай, в котором центр не обязан гарантиро-
вать АЭ даже сколь угодно малую положительную полезность –
см. также ниже).
Ситуация меняется, если управляющие возможности (возмож-
ности по переработке информации) центра ограничены. В боль-
шинстве работ (см. ссылки в [36]) используется следующая оценка
числа связей между n подчиненными АЭ, контролируемыми одним
центром: ? 2n. Содержательно, эта оценка соответствует числу
возможных коалиций, и, следовательно, связей между n АЭ.
Учтем информационные ограничения, умножив ?*(n) на пока-
затель 2-?n, где ? ? 0, то есть: ?(n) = ( 2 ?Rn - R) 2-?n.
Максимум выражения ?(n) по n достигается при n = nmax, где


)
( 2
2?
R
1+ 1+
nmax = .
?R ln 2
8?

Предположим теперь, что центр обязан гарантировать каждо-
му АЭ, включенному в АС, некоторый минимальный уровень
полезности U ? ? / 2 (ограничение резервной заработной платы
или ограничение пособия по безработице [9]). Тогда, решая задачу
161



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
определения оптимального размера вознаграждений АЭ при огра-
ниченном ФЗП, получаем, что при постоянном фонде заработной
платы зависимость эффективности стимулирования от числа АЭ
имеет вид:
2 ? ( R ? nU )n - R.
?*(n) =
R
Максимум этого выражения достигается при n = n* = , то
2U
есть ограничение резервной заработной платы определяет опти-
мальный состав (в случае однородных АЭ – оптимальный размер)
активной системы. •
Отметим, что, несмотря на то, что в [36] рассматривались мно-
гоэлементные (и многоуровневые) АС, взаимозависимость АЭ
отсутствовала (как максимум, рассматривались АС со слабо свя-
занными АЭ). В настоящей работе ниже рассматриваются задачи
формирования состава АС при условии, что в общем случае АЭ
сильно связаны (см. определения выше).
В экономике организаций принят следующий общий подход к
определению оптимального размера организации (см. ссылки в
[36]). С одной стороны, существует рынок - как система обмена
прав собственности. С другой стороны, экономические агенты
объединяются в организации, взаимодействующие на рынке. Объ-
яснением существования экономических организаций служит
необходимость компромисса между транзакционными издержками
и организационными издержками.
К транзакционным издержкам относят:
- издержки вычленения, связанные с невозможностью точного
определения индивидуального вклада элементов большой системы,
то есть организация осуществляет агрегирование информации;
- информационные издержки: организация сокращает этот вид
издержек путем сокращения объема перерабатываемой информа-
ции;
- издержки масштаба: в случае рынка институциональные ог-
раничения требуют настолько высокого уровня детализации регла-
ментирования деятельности, что последний неизбежно приводит к
специализации в рамках организаций;
- издержки поведения: согласование интересов, наказание за
отклонения и т.д. связаны с определенными затратами;
162



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
- издержки стабилизации, связанные с необходимостью коор-
динации в условиях невозможности эффективного прогнозирова-
ния будущего поведения системы, внешней среды и их взаимодей-
ствия.
Организационные издержки определяются "затратами на ко-
ординацию" внутри организации, которые растут с увеличением ее
размеров.
Транзакционные издержки препятствуют рынку заместить со-
бой организацию, а организационные издержки препятствуют
организации заместить собой рынок. Так как и первые, и послед-
ние зависят от размера организации и ее структуры, то, теоретиче-
ски, должны существовать оптимальные параметры организации,
при которых достигается уравновешивание упомянутых тенденций
замещения.
Обширный класс исследований, детализирующих общий под-
ход экономики организаций и посвященных определению опти-
мального (с точки зрения прибыли организации) числа работников,
составляют работы по экономике труда (точнее – спросу на труд).
Основная идея относительно определения оптимального числа
нанимаемых работников, используемая в экономике труда и час-
тично в настоящей работе ниже, заключается в следующем.
Количество дополнительной продукции (дохода) ?H(n), кото-
рое получает фирма, нанимая одного дополнительного (сверх n
уже работающих) работника (единицу труда), называется предель-
ным продуктом труда1. Обычно считается («закон уменьшения
предельной отдачи» или «предельного дохода»), что предельный
продукт труда убывает с ростом числа нанятых работников (то есть
функция дохода центра вогнута). Содержательные интерпретации
подобных предположений очевидны.
Предельные издержки ??(n) есть затраты центра на стимули-
рование при приеме на работу n+1-го работника. Обычно считает-
ся («закон возрастания предельных издержек»), что предельные
издержки возрастают с ростом числа нанятых работников (то есть
1
Следует отметить, что предельный продукт любого индивида не
является результатом только лишь его качеств, а зависит от числа уже
нанятых работников, общего капитала фирмы, используемой технологии
и т.д.
163



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
функция затрат центра на стимулирование выпукла). Содержатель-
ные интерпретации этого предположения также очевидны.
Условие максимизации прибыли (разности между доходом
центра и его затратами на стимулирование) требует, чтобы при-
быль была максимальна. Для этого следует1 изменять число заня-
тых (увеличивать, если предельный доход превышает предельные
издержки, и уменьшать в противном случае) до тех пор, пока пре-
дельный доход не будет равен предельным издержкам.
Закончив краткий обзор современного состояния исследова-
ний моделей формирования состава организационных систем,
перейдем к анализу взаимосвязи задач стимулирования и задач
формирования состава АС.
Введем следующие предположения, которые мы будем счи-
тать выполненным, если не будет оговорено особо, в ходе всего
последующего изложения материала настоящего раздела.
А.10.1. Целевая функция центра H(yI) = ? yi .
i?I
А.10.2. А.3, ? y-i ? A-i функция ci(y) выпукла по yi ? Ai, i ? I.
В рамках предположения А.10.1 считается, что доход центра
определяется суммой действий АЭ. В качестве обоснования можно
привести следующее рассуждение.
Пусть функция дохода центра аддитивна, то есть
H(yI) = ? H i ( yi ) , где Hi(yi) – вогнутые функции. Тогда, делая
i?I
? yi , получим, что
замену переменных, то есть переходя к H(yI) =
i?I
изменятся (оставаясь выпуклыми) функции затрат АЭ, что доста-
точно для условий существования (и единственности, если она
обеспечивалась первоначально) максимума целевой функции

1
Если отказаться от экономической терминологии, то все станет
несколько проще. В рамках введенных предположений целевая функция
центра имеет единственный максимум по числу АЭ (как разность между
вогнутой функцией дохода и выпуклой функцией затрат на стимулирова-
ние). Следовательно, для ее максимизации необходимо и достаточно
обращения в ноль производной, что и соответствует равенству абсо-
лютных значений производных слагаемых, то есть равенству предельно-
го дохода и предельных издержек.
164



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
центра. Другими словами, технологические связи между АЭ при
«линеаризации» функции дохода центра учитываются в несепара-
бельных функциях затрат АЭ.
Перейдем к рассмотрению задач формирования состава АС,
последовательно усложняя рассматриваемые модели – от АС с
сепарабельными затратами АЭ к АС с несепарабельными затрата-
ми АЭ.
Предположим, что затраты АЭ сепарабельны, то есть ci = ci(yi),
i ? I. Тогда эффективность оптимального управления составом I
равна
(1) ?(I) = max ? { yi ? ci ( yi )} .
y I ? AI i ? I
Задача поиска оптимального состава АС при этом заключается
в поиске I ? ?, максимизирующего выражение (1) на множестве
неотрицательных его значений.
Теорема 10.1. Если выполнены предположения А.10.1 и
А.10.2, то оптимальным является максимальный состав АС, то есть
I* = N.
Доказательство. Вычислим для каждого i ? N оптимальное для
центра действие i-го АЭ: yi* = arg max { yi ? ci ( yi )} . В силу
y i ? Ai
предположений А.10.1 и А.10.2 для каждого АЭ такое действие
единственно. Кроме того, очевидно, что yi* ? ci ( yi* ) ? 0, i ? N.
Следовательно, каждое слагаемое в (1) неотрицательно. Так
как дополнительных ограничений нет1, то максимум выражения (1)
достигается при максимальном числе слагаемых. •
Содержательно результат теоремы 10.1 обусловлен тремя фак-
торами, то есть тем, что: во-первых, в окрестности нулевого дейст-
вия доход центра растет быстрее, чем затраты АЭ; во-вторых,
центр имеет постоянный доход на масштаб производства (его
функция дохода линейна, то есть не существует никаких техноло-
гических ограничений на число АЭ, осуществляющих совместную
деятельность в рамках данной АС); и, наконец, в-третьих, АЭ

1
В ряде случаев максимальный состав АС оптимален, даже если сущест-
вуют ограничения на ФЗП (см. пример 17).
165



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
получают в равновесии нулевую полезность (то есть они безраз-
личны с точки зрения значения своей целевой функции между
участием и неучастием в данной АС и входят в состав АС только в
силу благожелательно отношения к центру – см. ГБ выше).
Для того чтобы исследовать класс моделей, в которых оптима-
лен состав АС, отличный от максимального состава, рассмотрим
последовательно модели, в которых присутствуют перечисленные
выше три фактора.
Предположим, что центр должен гарантировать i-му АЭ, если
он включен в АС, в равновесии минимальный уровень полезности1
U i max , и минимальный уровень полезности U i min , если он не
включен в АС, U i max ? U i min , i ? N. При сепарабельных затратах
АЭ минимальной системой стимулирования, реализующей дейст-
вие y*, является следующая квазикомпенсаторная система стиму-
лирования:
?ci ( yi ) + U i , yi = yi*
?
(2) ?i(y , yi) = ? , i ? N.
* max
? 0, yi ? y i
*
?
Определим следующие величины:
(3) ? * = max { yi ? ci ( yi ) ? U i max } , i ? N.
i
y i ? Ai
При этом целевая функция центра имеет вид:
? ?* ? U i min
?(I) = - .
i
i? I i? N \ I
Следствие 10.1. Оптимален состав I* = {i ? N | ? * ? - U i min }.
i

?
? ?*
Если ?* = ?(I*) = U i min < 0, то ни один из соста-
-
i
i? I i? N \ I
* *

вов не является допустимым.
Справедливость следствия 10.1 очевидна – в состав АС следу-
ет включать только те АЭ, доход от деятельности которых с учетом
1
«Условие участия» или «условие индивидуальной рациональности АЭ»
гласит, что он согласится участвовать в данной АС, если ему в равнове-
сии будет гарантированно обеспечен уровень полезности (или вознагра-
ждение) не ниже заданного.
166



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
затрат на их стимулирование превышает затраты на выплату им
компенсаций в случае исключения из состава АС. Если значение
целевой функции центра ?* на этом составе строго отрицательно,
то это значит, что значения резервных заработных плат АЭ из
набора N слишком велики по сравнению с тем эффектом, который
приносит центру их участие в рассматриваемой АС1.
Пример 18. Пусть функции затрат АЭ имеют вид:
r
? { 2 ?U imax } - ? U i min
ci(yi) = yi2 /2ri. Тогда ?(I) = i .
i? I i? N \ I
Рассмотрим сначала случай однородных АЭ: ri = r,
U i max = U max , U i min = U min , i ? N, U min ? U max . При этом
?(n) = n (r/2 - U max + U min ), n = 0, N .
Решение задачи ?(n) > max имеет вид:
0 ? n? N
? N , r ? 2U max
n* = ? .
?0, r < 2U max
Рассмотрим теперь случай шести неоднородных АЭ, парамет-
ры которых приведены в таблице.

Параметр\ i 1 2 3 4 5 6
ri 12 10 8 6 4 2
U i max 4 4 3 1 2 2
U i min 1 1 1 1 1 1

?* 2 1 1 2 0 -1
i

Рассчитаем значения целевых функций центра при различных
составах АС (понятно, что при одинаковых U i min включать АЭ в

1
Следует напомнить, что в рассматриваемой модели центр в любом
случае обязан выплатить АЭ из набора N как минимум следующую сумму:
? U i min .
i?N
167



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
АС следует в порядке убывания ? * ):
i

?*({1}) = -3, ?*({1}?{4}) = 0, ?*({1}?{2}?{4}) = 2,

?*({1}?{2}?{3}?{4}) = 4, ?*({1}?{2}?{3}?{4}?{5}) = 5,

?*({1}?{2}?{3}?{4}?{5}?{6}) = 5.
Таким образом, оптимальным является либо максимальный
состав АС, либо включение первых пяти АЭ (в таблице шестой АЭ
помечен серым цветом). При этом центр безразличен по отноше-
нию к включению или не включению в состав АС1 шестого АЭ так
как для него имеет место ? * = - U 6 min - потери от его участия в
6
АС в точности равны той компенсации, которую центру пришлось
бы выплачивать ему не включая в состав АС. Если бы U min , то
центр был бы безразличен между включением и не включением в
состав АС пятого АЭ и точно не включил бы шестой АЭ.
Предположим теперь, что «плата за участие в АС» { U i max }
понизилась и стала равна нулю, а величины { U i min } стали равны
трем единицам – см. таблицу.

Параметр\ i 1 2 3 4 5 6
ri 12 10 8 6 4 2
U i max 0 0 0 0 0 0
U i min 3 3 3 3 3 3

?* 6 5 4 3 2 1
i




1
В подобных случаях, наверное, целесообразно принять гипотезу благо-
желательного отношения центра к АЭ – включение АЭ в состав АС
(трудоустройство), даже при обеспечении ему нулевого уровня полезно-
сти, является важным мотивирующим фактором.
168



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Итак, ?*({1}) = -9, ?*({1}?{2}) = -1, ?*({1}?{2}?{3}) = 6,
?*({1}?{2}?{3}?{4}) = 12, ?*({1}?{2}?{3}?{4}?{5}) = 17,
?*({1}?{2}?{3}?{4}?{5}?{6}) = 21. Теперь центру выгодно
включать в состав АС все шесть АЭ. •
В рассмотренной выше модели учитывалась необходимость
обеспечения участникам АС и АЭ, не входящим в ее состав, неко-
торого гарантированного уровня полезности. Перейдем к изучению
моделей, в которых АЭ гарантируется нулевой уровень полезности
(как и в моделях, описанных в первых девяти частях настоящей
работы), но доход центра от привлечения дополнительных АЭ
убывает (или растет медленнее, то есть предельный продукт труда
убывает – см. выше) с ростом числа АЭ, уже вошедших в состав
АС. Более конкретно, будем считать, что в n-элементной АС
(n = |I|) функция дохода центра имеет вид
(4) H(yI) = g(n) ? yi ,
i?I
где g(n) – убывающая функция числа АЭ в АС1.
Тогда, в рамках предположений А.10.1 и А.10.2, очевидно,
существует оптимальный размер n* АС, который может быть опре-
делен методами, описываемыми ниже.
Содержательно, наличие в выражении (4) убывающей по n
функции может объясняться необходимостью создания новых
рабочих мест, ростом постоянных издержек и т.д. (см. закон убы-
вающей предельной отдачи или убывающего предельного дохода
выше).
Пусть АЭ однородны. Запишем целевую функцию центра в
виде:
?(y, n) = n g(n) y – n c(y).
Вычислим оптимальное для центра реализуемое действие АЭ:
y = ?(g(n)), где ?(?) = c’-1(?) – функция, обратная производной
*


1
См. также модели многоуровневых АС в [36], для которых образом,
подобным (4), учитывались ограниченные возможности управляющих
органов по переработке информации. Для того чтобы имел место закон
убывания предельного дохода, относительно функции g(?) обычно предпо-
лагают, что она убывает, причем скорость убывания такова, чтобы при
не очень больших значениях n функция n g(n) возрастала (и была, естест-
венно, вогнутой).
169



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
функции затрат. Подставляя в выражение для ?(y, n) значение
y = y* = ?(g(n)), получим:
(5) ?(n) = n g(n) ?(g(n)) – n c(?(g(n))).
Вычислим производную выражения (5):
d? ( n ) dg ( n )
= ?(g(n)) [g(n) + n
(6) ] – c(?(g(n)).
dn dn
Если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то есть
1 ? 1-?
y r , то приравнивая (6) нулю и проверяя знак второй
c(y) =
?
производной, получаем, что максимизирующая целевую функцию
центра зависимость g*(n) должна удовлетворять следующему
дифференциальному уравнению:
? ?1 dg ( n )
(7) g1/(?-1)(n) [ g(n) + n ] = 0.
? dn
Решение уравнения (7) при условии g(1) = 1 есть
(8) g (n) = n(1-?)/?.
*

Таким образом, мы доказали справедливость следующего ре-
зультата.
Теорема 10.2. Если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-
Дугласа, то при функциях g(n), всюду убывающих быстрее функ-
ции g*(n), определяемой (8), оптимальным является минимальный
состав АС (n* = 1), при g(n), всюду убывающих медленнее g*(n),
оптимальным является максимальный состав АС (n* = N), в ос-
тальных случаях может существовать промежуточный оптималь-
ный размер АС.
Пример 19. Пусть функции затрат однородных АЭ имеют вид:
ci(yi) = yi2 /2r, то АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа с
? = 2. Тогда ?(y, n) = g(n) n y – n y2/2r. Вычисляя при фиксирован-
ном n максимум ?(y, n) по y, получим:
?*(n) = max {g(n) n y – n y2/2r} = n g2(n) r / 2.
y? A
Вычисляя максимум ?*(n) по n, получаем дифференциальное
dg ( n )
уравнение для функции g(n): g(n) + 2 n = 0. Легко видеть,
dn
что оптимальная зависимость дохода центра от «масштабов произ-
водства» получается при g(n) ? 1/n1/2 (см. теорему 10.2). Если
170



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
функция g(n) всюду убывает медленнее, чем 1/n1/2, то оптимальным
является максимальный состав АС, если всюду убывает быстрее,
чем 1/n1/2, то оптимальным является минимальный состав АС, а в
остальных случаях может существовать промежуточный опти-
мальный размер АС.
Подставляя в выражение для ?*(n) конкретную зависимость
g(n) = ? / n, получаем, что максимум целевой функции центра
достигается при n = n* = 1.
Если g(n) = 1 / n1/4, то n* = N, если g(n) = e - ? n, то n* = 1 / 2 ? ,
1 1
и т.д. •
если g(n) = , то n* =
3?
1+ ?n 2

Рассмотрим теперь задачу формирования состава АС в случае,
когда центр использует унифицированную пропорциональную
систему стимулирования (см. оценки сравнительной эффективно-
сти и другие свойства пропорциональных систем стимулирования в
шестом раздел выше) со ставкой оплаты ? < 11. Тогда в рамках
предположений А.10.1 и А.10.2 действия, выбираемые АЭ, есть
yi* = ?i(?), где ?i(?) = ci’-1(?), i ? I.
Целевая функция центра, представляющая собой разность ме-
жду линейным доходом (см. предположение А.10.1) и затратами на
стимулирование, имеет при этом вид:
(9) ?(yI) = (1 - ?) ? ? i (? ) .
i?I
Легко видеть, что в рамках предположения А.10.2, ?i(?) – не-
прерывные возрастающие вогнутые функции, поэтому (9) также
вогнутая функция. Следовательно, для каждого фиксированного
состава АС I ? ? существует единственная оптимальная с точки
зрения центра ставка оплаты ?*(I). Другими словами, оптимальной
будет следующая стратегия центра – либо включать в состав АС
все АЭ, либо никого.


1
Так как функция дохода центра прямо пропорциональна действиям АЭ,
то использование ставок оплаты, больших единицы, приведет к отрица-
тельным значениям целевой функции центра и ее убыванию по любым
допустимым действиям АЭ.
171



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Для того, чтобы уйти от полученного тривиального решения
предположим, что у каждого АЭ существует свой резервный уро-
вень заработной платы U i (отметим, что речь идет о резервной
заработной плате, а не соответствующей ей резервной полезности),
то есть АЭ соглашается участвовать в АС, только если его возна-
граждение превышает резервную полезность. Таким образом,
условие участия i-го АЭ имеет вид:
(10) ? ?i(?) ? U i , i ? N.
Обозначим ?i – решение уравнения ? ?i(?) = U i , i ? N, относи-
тельно ?, и упорядочим АЭ в порядке возрастания ?i. Значение
целевой функции центра при включении в АС первых k АЭ равно:
k
? ? i (?k ) , k = 1, N .
(11) ?(k) = (1 - ?k)
i =1
Решение задачи синтеза оптимального состава АС имеет вид:
I = {1, 2, …, k*}, где
*

(12) k* = arg max ?(k).
k =1, N
Пример Пусть функции затрат АЭ имеют вид:
20.
? ri .
ci(yi) = yi2 /2ri, тогда ?i(?) = ? ri, ?(yI) = (1 - ?) ? Минималь-
i?I
ные ставки оплаты, за которые соответствующие АЭ согласятся
Ui
участвовать в АС, равны: ?i = . Если имеется всего пять АЭ –
2 ri
претендентов на участие в АС – с параметрами, приведенными в
таблице, то k* = 4, то есть оптимальным является состав АС, вклю-
чающий первые (в упорядочении ?i) четыре АЭ. •

Параметр\ i 1 2 3 4 5
ri 1 1 1 1 1
Ui 0.6 0.7 0.75 0.8 0.9
?i 0.77 0.84 0.87 0.89 0.95
?(i) 0.1746 0.2733 0.3481 0.3777 0.2434


172



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
Проведенный анализ задач формирования состава многоэле-
ментных АС с сепарабельными затратами АЭ позволяет сделать
вывод, что в этом классе моделей удается на основании имеющей-
ся информации упорядочить АЭ, и решать задачу определения
оптимальной комбинации АЭ на множестве N комбинаций, а не на
множестве всех возможных 2N комбинаций.
Откажемся от предположения о сепарабельности затрат, вве-
денного в разделе 10.1, оставив в силе предположения А.10.1 и
А.10.2. Задача синтеза оптимального состава АС примет вид:
(13) I* = arg max ?(I),
I ??
где
? { yi ? ci ( y I )} ,
(14) ?(I) = max
y I ? AI i ? I
при условии, что ?(I*) ? 01.
Как отмечалось выше, при решении задачи (13) возникают две
основные проблемы: высокая вычислительная сложность (большое
число составов АС, для которых необходимо вычислять макси-
мальные эффективности управления и сравнивать их между собой)
и необходимость конструктивного определения затрат АЭ в зави-
симости от состава АС и действий всех АЭ, входящих в этот состав
(напомним, что соответствующая зависимость для функции дохода
центра вводится в предположении А.10.1).
Рассмотрим следующий пример, иллюстрирующий специфику
сформулированной задачи (см. также примеры 4, 8 и др., приве-
денные выше).
Пример 21. Пусть АЭ однородны и имеют функции затрат
(|?| ? 1/n):
2
? ?
? yi + ? ? y j ?
? ?
? j? I \ i ?
, i ? N.
(15) ci(yI) =
2r
Если центр должен гарантировать каждому АЭ уровень полез-
ности U , то оптимальной является квазикомпенсаторная система

Данное ограничение может не рассматриваться, если ?(?) = 0 и
1

? ? ?.
173



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
стимулирования (см. раздел 4), при использовании которой значе-
ние целевой функции центра равно:
(16) ?(yI) = g(n) ? yi - ? ci ( y I ) - n U ,
i?I i?I
где g(n) – множитель, отвечающий за убывание дохода центра с
ростом числа АЭ, включенных в состав АС. Определим действия
rng ( n )
АЭ, наиболее выгодные для центра: y* = . Тогда
(1 + ? ( n ? 1)) 2
зависимость целевой функции центра от числа n АЭ, входящих в
АС, имеет вид:
n 2 g 2 (n )r
(17) ?(n) = -nU .
2(1 + ? (n ? 1)) 2
Обсудим роль параметра ?, входящего в функцию затрат АЭ и
отвечающего за влияние действий других АЭ на затраты данного
АЭ (см. также модели АС с несепарабельными функциями затрат
АЭ – примеры 4, 8 и др.).
Во-первых, при ? ? 0 затраты каждого АЭ возрастают с рос-
том действий других АЭ, а при ? ? 0 – убывают. Содержательно
этот факт может интерпретироваться следующим образом: в пер-
вом случае АЭ «мешают» друг другу (например, при ограниченных
технологией возможностях производства), а во втором – «помога-
ют» (например, происходит разделение труда и т.д.).
Во-вторых, функция (17) убывает по параметру ?, то есть с его
ростом при любом фиксированном составе доход центра убывает.
Будем считать, что ? < 0, тогда при g(n) = n-1/2 (см. теорему
r
10.2) получаем, что ?(n) = -nU .
2(1 + ? (n ? 1)) 2
Предполагая существование ненулевого внутреннего решения,
получим, что оптимальный размер АС равен:
1/ 3
1 1 ? ?r ?
??
*
n =1- - .
? ? ?U ?
С уменьшением значения параметра1 ? растет оптимальный

Отметим, что в рассматриваемом примере при ? > 0 оптимальный
1

174



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
размер АС, с увеличением гарантированного уровня полезности U
он убывает. •
В более общем случае можно рассмотреть два типа взаимо-
влияния АЭ1:
- с увеличением состава АС затраты каждого АЭ не возраста-
ют: ? i ? N, ? I ? ?, ? j ? N\I, ? y ? ? Ai ci(yI) ? ci(yI?{j});
i?N
- с увеличением состава АС затраты каждого АЭ не убывают:
? i ? N, ? I ? ?, ? j ? N\I, ? y ? ? Ai ci(yI) ? ci(yI?{j}).
i?N
Содержательные интерпретации обоих случаев очевидны.
Таким образом, можно выделить три общих подхода к реше-
нию задач формирования состава АС на основании рассмотрения
задач стимулирования. Первый подход заключается в «лобовом»
рассмотрении всех возможных комбинаций потенциальных участ-
ников АС. Его достоинство – нахождение оптимального решения,
недостаток – высокая вычислительная сложность. Второй подход
основывается на методах локальной оптимизации [5] (перебора
составов АС из некоторой окрестности определенного состава –
см. постановки задач об оптимизации состава АС и приеме на
работу выше). Используемые при этом эвристические методы в
общем случае не дают оптимального решения и поэтому требуют
оценивания их гарантированной эффективности. И, наконец, тре-
тий подход заключается в исключении заведомо неэффективных
комбинаций АЭ на основании анализа специфики задачи стимули-
рования (см. упорядочение АЭ, имеющих сепарабельные затраты, в
задачах формирования состава АС). При этом вычислительная
сложность резко сокращается и удается получить точное (опти-
мальное) решение, но, к сожалению, данный подход применим
далеко не всегда, и в каждом конкретном случае возможность его
использования требует соответствующего обоснования.



размер АС не превышает единицы.
1
В данном случае учет взаимозависимости АЭ позволяет не использо-
вать множитель g(n) для отражения убывающего и возрастающего
дохода на масштаб.
175



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в настоящей работе в рамках единой поста-
новки задачи управления (см. второй и третий разделы) представ-
лены результаты систематического рассмотрения теоретико-
игровых моделей механизмов функционирования многоэлемент-
ных организационных систем в предположении некооперативного
поведения управляемых субъектов (активных элементов).
При исследовании этого класса моделей ключевую роль игра-
ют два принципа – принцип декомпозиции игры АЭ и принцип
компенсации затрат.
Принцип компенсации затрат, заключающийся в том, что ми-
нимальная система стимулирования, реализующая в рамках гипо-
тезы благожелательности любое действие АЭ, должна компенси-
ровать его затраты, справедлив и для многоэлементных, и для
одноэлементных АС, и использует метод анализа минимальных
затрат на стимулирование.
Принцип декомпозиции игры АЭ специфичен для многоэле-
ментных систем и заключается в использовании управления (сис-
темы стимулирования), которое делает доминантной стратегией, то
есть стратегией, абсолютно оптимальной при любой обстановке
игры (независимо от действий других АЭ), выбор каждым актив-
ным элементом наиболее выгодных для центра действий – см.
формальные результаты о структуре оптимального решения задачи
синтеза оптимальной системы стимулирования в четвертом разделе
выше.
Предложенный подход и полученные в его рамках общие ре-
зультаты позволяют исследовать специфические классы систем
стимулирования (см. пятый и шестой разделы), обобщить резуль-
таты исследования детерминированных многоэлементных АС на
случай систем с неопределенностью (седьмой раздел настоящей
работы) и систем с глобальными ограничениями на множества
допустимых состояний элементов (восьмой и девятый разделы),
сформулировать и решить ряд задач формирования состава систе-
мы (десятый раздел).
Конечно, на сегодняшний день рано говорить о получении
полной и завершенной картины всего многообразия механизмов
176



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
управления многоэлементными организационными системами. Тем
не менее, приведенные результаты позволяют как выделить пер-
спективные направления дальнейших исследований (в первую
очередь – изучение механизмов управления организационными
системами с кооперативным поведением участников, а также более
полное исследование многоэлементных АС с неопределенностью и
глобальными ограничениями на множества допустимых действий
АЭ и получение простых алгоритмов решения задач формирования
состава АС), так и обоснованно предположить, что обобщение
существующих методов изучения сложных организационных
систем окажется эффективным и адекватным новым задачам инст-
рументом.
В заключение авторы считают своим приятным долгом выра-
зить признательность рецензенту настоящей работы – д.т.н., проф.
В.Н. Буркову и участникам постоянно действующего семинара по
управлению активными системами – М.В. Губко, А.Б. Гурееву,
Е.В. Колосовой, Н.В. Константиновой, Н.А. Коргину,
Т.Б. Кочиевой, С.Н. Петракову, С.А. Чижову, Т.Е. Шохиной и др.,
чья критика и ценные замечания способствовали пониманию спе-
цифики управления многоэлементными организационными систе-
мами.




177



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
ЛИТЕРАТУРА
Алиев В.С., Кононенко А.Ф. Об условиях точного агрегирования
1.
информации в теоретико-игровых моделях. М.: ВЦ РАН, 1991. - 28 с.
2. Алиев В.С., Кононенко А.Ф. Точное агрегирование в теоретико-
игровых моделях. М.: ВЦ АН СССР, 1990. - 26 с.
3. Андреев С.П., Бурков В.Н., Динова Н.И., Кондратьев В.В., Констан-
тинова Н.В., Цветков А.В., Черкашин А.М. Механизмы функционирова-
ния организационных систем (обследование, описание и моделирование).
Препринт. М.: Институт проблем управления, 1983.- 52 с.
4. Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем. М.:
Наука, 1977. - 255 с.
5. Бурков В.Н., Горгидзе И.А., Ловецкий С.Е. Прикладные задачи теории
графов. Тбилиси: Мецниереба, 1974. - 234 с.
6. Бурков В.Н., Гуреев А.Б., Новиков Д.А. Эффективность ранговых
систем стимулирования // Автоматика и Телемеханика. 2000. № 8.
7. Бурков В.Н., Перфильева Л.Г., Тихонов А.А. Модель динамики тру-
довых ресурсов / Механизмы функционирования организационных сис-
тем: теория и приложения. М.: ИПУ, 1982. С. 120 – 124.
8. Бурков В.Н., Еналеев А.К., Новиков Д.А. Вероятностная задача сти-
мулирования // Автоматика и Телемеханика. 1993. N 12. С. 125 - 130.
9. Бурков В.Н., Еналеев А.К., Новиков Д.А. Механизмы стимулирования
в вероятностных моделях социально-экономических систем // Автоматика
и Телемеханика. 1993. № 11. С. 3 - 30.
10. Бурков В.Н., Еналеев А.К., Новиков Д.А. Механизмы функциониро-
вания социально-экономических систем с сообщением информации //
Автоматика и Телемеханика. 1996. № 3. С. 3 - 25.
11. Бурков В.Н., Ланда Б.Д., Ловецкий С.Е., Тейман А.И., Чернышев В.Н.
Сетевые модели и задачи управления. М.: Советское радио, 1967. – 144 с.
12. Бурков В.Н., Еналеев А.К., Кондратьев В.В., Цветков А.В. Элементы
теории оптимального синтеза механизмов функционирования двухуровне-
вых активных систем. I. Необходимые и достаточные условия оптималь-
ности правильных механизмов функционирования в случае полной ин-
формированности центра // Автоматика и телемеханика. 1983. № 10. C.
139 - 143.
13. Бурков В.Н., Еналеев А.К., Кондратьев В.В., Цветков А.В. Элементы
теории оптимального синтеза механизмов функционирования двухуровне-
вых активных систем. II. Синтез оптимальных правильных механизмов в
случае полной информированности центра // Автоматика и телемеханика.
1984. № 11. C. 86 - 92.

178



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
14. Бурков В.Н., Еналеев А.К., Кондратьев В.В., Цветков А.В. Элементы
теории оптимального синтеза механизмов функционирования двухуровне-
вых активных систем. III. Некоторые задачи оптимального согласованного
планирования в случае неполной информированности центра // Автомати-
ка и телемеханика. 1984. № 12. C.. 94 - 100.
15. Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования органи-
зационных систем. М.: Наука, 1981. - 384 с.
16. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Введение в теорию активных систем. М.:
ИПУ РАН, 1996. - 125 с.
17. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. М.: Синтег,
1997. - 188 с.
18. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Механизмы критериального управления
активными системами в задачах стимулирования / Сборник трудов ИПУ
РАН. Том 10, 2000.
19. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Модели и механизмы теории активных
систем в управлении качеством подготовки специалистов. М.: ИЦ, 1998. -
158 с.
20. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Оптимальные механизмы стимулирования
в активной системе с вероятностной неопределенностью. Часть 2. // Авто-
матика и Телемеханика. 1995. № 10. С. 121 - 126.
21. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем: состояние и
перспективы. М.: Синтег, 1999 – 128 с.
22. Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990. -
256 с.
23. Воропаев В.И. Управление проектами в России. М.: Аланс,1995.-225с.
24. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука,
1976. - 327 с.
25. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия
решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982. -
144 с.
26. Джапаров Б.А., Кондратьев В.В., Цветков А.В., Шангитбаев Ж.К.
Оптимальное согласованное управление процессом шихтоподготовки._ В
кн.: Методы исследования сложных систем. Труды конференции молодых
ученых. М.: ВНИИСИ, 1985. C.. 52 - 57.
27. Динова Н.И. Бригадные формы оплаты труда / Механизмы управле-
ния социально-экономическими системами. М.: ИПУ РАН, 1988. С. 79-82.
28. Динова Н.И., Щепкин А.В. Анализ принципов стимулирования неод-
нородных коллективов / Планирование, оценка деятельности и стимули-
рование в активных системах. М.: ИПУ РАН, 1985. С. 93 - 100.


179



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
29. Кондратьев В.В., Тихонов А.А., Цветков А.В. Частично согласованное
планирование в условиях неполной информированности центра.- В кн.:
Материалы YIII Всесоюзного семинара-совещаниия: «Управление боль-
шими системами». Алма-Ата: Каз.ПТИ, 1983. C. 18 - 20.
30. Кононенко А.Ф., Халезов А.Д., Чумаков В.В. Принятие решений в
условиях неопределенности. М.: ВЦ АН СССР, 1991. – 211 с.
31. Морозов А.И., Палюлис Н.К.-С., Цветков А.В. Анализ системы сти-
мулирования тематического подразделения.- В кн.: Неопределенность,
риск, динамика в организационных системах. М.: Институт проблем
управления, 1984. C. 14 - 23.
32. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М.:
Мир, 1991. - 464 с.
33. Новиков Д.А. Механизмы гибкого планирования в активных системах
с неопределенностью // Автоматика и Телемеханика. 1997. № 6. С. 3 - 26.
34. Новиков Д.А. Механизмы стимулирования в динамических и много-
элементных социально-экономических системах // Автоматика и Телеме-
ханика. 1997. № 6. С. 3 - 26.
35. Новиков Д.А. Механизмы стимулирования в моделях активных сис-
тем с нечеткой неопределенностью. М.: ИПУ РАН, 1997. - 101 с.
36. Новиков Д.А. Механизмы функционирования многоуровневых орга-
низационных систем. М.: Фонд "Проблемы управления", 1999. - 150 с.
37. Новиков Д.А. Обобщенные решения задач стимулирования в актив-
ных системах. М.: ИПУ РАН, 1998. - 68 с.
38. Новиков Д.А. Оптимальность правильных механизмов управления
активными системами. Часть 1. Механизмы планирования // Автоматика и
Телемеханика. 1997. № 2. С. 154 - 161.
39. Новиков Д.А. Оптимальность правильных механизмов управления
активными системами. Часть 2. Механизмы стимулирования // Автомати-
ка и Телемеханика. 1997. № 3. С. 161 - 167.
40. Новиков Д.А. Оптимальные механизмы стимулирования в активной
системе с вероятностной неопределенностью. Часть 3. // Автоматика и
Телемеханика. 1995. № 12. С. 118 - 123.
41. Новиков Д.А. Оптимальные механизмы стимулирования в активных
системах с нечеткой внешней неопределенностью // Автоматика и Теле-
механика. 1997. № 9. С. 200 - 203.
42. Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. М.:
Синтег, 1999. – 108 с.
43. Новиков Д.А. Стимулирование в вероятностных активных системах:
роль неопределенности // Автоматика и Телемеханика.1997.№8.С.168-177.


180



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
44. Новиков Д.А. Стимулирование в социально-экономических системах
(базовые математические модели). М.: ИПУ РАН, 1998. - 216 с.
45. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971. - 230 с.
46. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая
школа, 1998. - 304 с.
47. Сандак Н.Н. Некоторые общесистемные и математические аспекты
теории систем с соревнующимися элементами / Управление техническими
и организационными системами с применением вычислительной техники.
Труды XXIII конференции молодых ученых. М.: Наука, 1979. С. 160 - 171.
48. Уандыков Б.К. Методы согласованного планирования в активных
производственных системах с зависимыми элементами / Диссертация на
соискание ученой степени к.т.н. М.: ИПУ РАН, 1998.
49. Цветков А.В. Многокритериальная согласованная оптимизация при
неопределенности в активных системах.- В кн.: Декомпозиция и коорди-
нация в сложных системах. Тезисы докладов Всесоюзной научной конфе-
ренции. Ч. II. Челябинск: Челябинский политехнический институт, 1986.
C.103-104.
50. Цветков А.В. Модель механизма реализации целевой программы
выполнения и перевыполнения плана в условиях неопределенности. – В
кн.: Теоретические и прикладные задачи оптимизации. М.: Наука, 1985.
C.60-65.
51. Цветков А.В. О выборе согласования в двухуровневой активной
системе с неопределенностью.- В кн.: Планирование, оценка деятельности
и стимулирование в активных системах. М.: Институт проблем управле-
ния, 1985. C. 30 - 34.
52. Цветков А.В. Свойства множеств согласованных управлений в случае
нескольких целей согласования.- В кн.: Тезисы докладов X Всесоюзного
совещания-семинара «Управление иерархическими активными система-
ми». Тбилиси: Мецниереба, 1986. C. 49.
53. Цветков А.В. Согласованное планирование в задаче выполнения и
перевыполнения плана в условиях неопределенности.- В кн.: Материалы
YIII Всесоюзного семинара-совещания: «Управление большими система-
ми». Алма-Ата: Каз.ПТИ, 1983. C. 61 - 63.
54. Цветков А.В. Условия оптимальности согласованных механизмов
функционирования при неопределенности.- В кн.: Неопределенность,
риск, динамика в организационных системах. М.: Институт проблем
управления, 1984. C. 73 - 81.
55. Цыганов В.В. Адаптивные механизмы в отраслевом управлении М.:
Наука, 1991. - 166 с.
56. Fudenberg D., Tirole J. Game theory. Cambridge: MIT Press, 1995.–579 p.

181



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory
57. Green J., Stockey N. A comparison of tournaments and contracts // Journal
of Political Economy. 1983. Vol. 91. N 3. P. 349 - 364.
58. Grossman S., Hart O. An analysis of the principal-agent problem //
Econometrica. 1983. Vol. 51. N 1. P. 7 - 45.
59. Hart O.D., Holmstrom B. Theory of contracts // Advances in economic
theory. 5th World congress. Cambridge: Cambridge Univ.Press, 1987.P.71-155.
60. Hart O.D. Optimal labor contracts under asymmetric information: an
introduction // Review of Economic Studies. 1983. Vol. 50. N 1. P. 3 - 35.
61. Itoh H. Incentives to help in multi-agent situations // Econometrica. 1991.
Vol. 59. № 3. P. 611 - 636.
62. Lasear E., Rosen S. Rank-order tournaments as optimal labor contracts //
Journal of Political Economy. 1981. Vol. 89. N 5. P. 841 - 864.
63. Ma C. Unique implementation of incentive contracts with many agents //
Review of Economic Studies. 1988. Vol. 55. № 184. P. 555 - 572.
64. Malcomson J.M. Rank-order contracts for a principal with many agents //
Review of Economic Studies. 1986. Vol. 53. N 5. P. 803 - 817.
65. Mookherjee D. Optimal incentive schemes with many agents // Review of
Economic Studies. 1984. Vol. 51. № 2. P. 433 - 446.
66. Myerson R.B. Game theory: analysis of conflict. London: Harvard Univ.
Press, 1991. - 568 p.
67. Myerson R.B. Optimal coordination mechanisms in generalized principal-
agent problems // Journal of Mathematical Economy. 1982.Vol.10.№1.P.67-81.




182



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory

<<

стр. 6
(всего 6)

СОДЕРЖАНИЕ