НОВОСEЛОВ А А - МEРА ВОЗМУЩEННОЙ ВEРОЯТНОСТИ ЛEКЦИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

Г®
В“ В˜ `В— В‘ В• В” В“ В‘ В‰ В€ В‚ vВ† В„ В‚ r y xw vq q
))"В–)AВ’#)` ВђВ‚ %U В‡В„ cВ‡)qВ…%Вѓ ВҐp ВЃВЂTf#"uts r"p
в€—
i ВЁc)A#)87ВЁgf%edcb #A# )BВЁ#"`))Y)W)XVTRP1GE#"C&)##!2 #@AВЁ'8)#)2 "#3!#1)'%"#"
h U b6 @6 B6 94 @Cb Q U B D6 C a U W Y W U S Q I H F D! 6 B 4 6 9 676 5 4 ! 2 0 (& $ !
X = {X в€€ X : E|X| < в€ћ}, X+ = {X в€€ X+ : E|X| < в€ћ}.
В©
ВЃГєВЅВЃГ“ВЅgГҐВ В¤ВЅ`Г”ppГ—ГћpBГ—ГҐВѓdГ !1Г›ppГ”В†Г–ГќvfГћvГ·ГҐВѓPdГљГџГ¦Г™nГўВЃГ«Г•pВ‡ГЁ"ГЁnvГ¤Г ppГҐГ—pvВЅVГ¤ГќВ†Г”Г“ fГ“Г—pPpГ Г— Г”n В‰Г«В‰ГћГ•bjГ”vГќpГЁВ†Г˜pГ—dГ•jГЈВ¤В nГ™pГ Г• ВђdГ—Г pГћ pГ›gГџdГ”ГќГґBГЄnГЁГҐВЃdГ vГќgГџpГ—ГґВ§Гќ ВўnГ§pГ ГЁ ВђpГ›ГўpГ”Г VГ«Г¦ГћГЈВ†pГ gГќdГ”ВўnГЁГЈfГ•Гџ BГ fГњВѓГ“dГ Г— ГѕВ¤Гё
Гќ Гќ Г•Г© Гљ Гњ Г™ Г Г” В–
Г™ГЁ Гљ
X+ = {X в€€ X | P{X в‰Ґ 0} = 1}.
Г™ P
Г”
X+ X
В
ГєВѓ$В‰Г«pГ•В‡ГЁ В¦ ``pГ”pГ—ГћpBГ—ГҐВѓГ dt1pГ›Г”pgГ–vГќfГћvГ·ВѓГҐtГ№Г›ppГ”Г”ndГ В© pГ”EГљГ—pГџГ¦ГћpГ™nВѓГҐBГ—Г ГѕВѓГ ddГ "1ВѓГњГњ nГ pГ›dГ™pГ”ГљГїvГќВ†Г–dГ•fГћdГљvГ·Г¦ГџГ™nkГҐГўВ‰Г«Г№pГ•Гњ pГ›Г”В‡dГ”ГЁ BГЄВѓГҐEГ ГџgvГќpГЁВЁВ§pГ—pГ—В‰ГћvГќdГЎВ†ГџjГ”Г˜В†Г•Г¦pГ dГ•ВҐГ’ dГ•dГљГџГ¦Г™
Г Г” ГќГ© Гљ Гњ Г™Гњ ! Г "
ГљГљ Вў
nГ Г BgГҐdГ•ВЎ)В–ГќvВ†Г”EГќdГљjГ•Г˜В†BГЄgГҐГ•pГ¦Г§pГ™Г—dГЄГ№dГ›ВЎГџГ¦dГ±ГўГ—VГ˜Г BВЃГ«В‰В‡vГќГ•ГҐ ГЁВ–В†Г”Г•ptfГ”Гќ ВђpГ—pГ›Г—В‡ГЄdГ”BГЁnВѓГҐГ pВ—PVГџГ§pГЎГ В¤ВЈ dГ–ГЎddГ•pГ•dГљvГњEГ•Г§ ВЃgГ¤vГќvГќdГЎ&Г¦ГџГћ ГїfГҐBГёГ™ Г¤VdГЈpГ—vГљnГ”`BГ Г© ГћВЃВѓГҐВЅpГ™Гќ Г“ВЃpГ—ГќjВђВ—dГ›Г˜Гћ nГ ГљPВ†Г™nГ™vГ¤ВЅpГҐГќ fГҐВ°В†Г™nГЄГЈГ“ dГЁВЅГ•Гќ fГҐВЃdГЈvГќГ•pВЃГћpГЎvГќГ— jГ”Г˜
В ГљГ— ГџВ `
Г©Г–
fГєВЃГєГќvГ–ddГ•BГ”nГљГ“kГ№ГЎpГ Г™ pВђВ–pГ›Г§Г pГ•ГЎddГ•Г”dВ†ГџBГЄВЂГ•ВЃГҐnГЈГќvpГ В‰ГћГўdГ”ГќГ”v Г¤kГ•ddГ™pГљ&nГЎГџ fГёpГ Г·vPГ“Г§ ВѓBГ Г—dГ¦ГџГҐВѓГ™dnГ™pГ™pГ•VГџГ—dГ” ВЃГ—ВЃГ¤ГІГ©Г•pГ°gГ¶ГЎnГ¬VdГ ГІГ©PГµВ‰Г°Гљ Г•Г¬dГ–pГљГўpГ”Г”Г¦ВђpГ›Г Г– ГѕВЂГ”pВ‡BГ Г·Г”n ГЁnГ“ВѓВ†Г˜dГ dГ•dГљВ—gГљГљ vГќГ©VnГЎfГќpГ™nГЈГ ГЅVpГ—fГ±jГќГЎ nГ™nГЎВ†Г™В‡ВЅ1fГҐГЁГќГ nГ™ГЈВ†Г™nВЅdГјГќГ• fГҐdГ•ГўГ¦ГџГЈ EГ™Г»sГ¤ В†ГљГ¦ГџГ•EВ†Г VГџEГќnГ”pГљВ‡pГ—Г nГЁdГЎBГ gГџВѓГҐГќГґВ—nГЁГ» nГ™EГќВ†Г™dГљvГќГџГ¦ГЎГ™
Г–ГЄndnГ™pГ•BГ Г”pГ“BГ”dГґdГ•Гі В†ГџГІГ±nГ°Г•pГ®ГЇГ”dГpГ–gГЁVГ©vГ—VГќnГ”Г BnГЈГ™pГҐВѓГ BpГ—ВѓГ“ВґГЎpГ ГЎ pГ›pnГ§nГЎВ†Г™В‡ГќГ vВђXpГ—Г ГЎГЁ p1nГ”Гњ Г›pdГ dГ”pГ•Г¦ГџdГЎdГ™ГџГ¦Г•pdГ™dГ”pГ•ГџVГ§ГўВЃГ¤pГ•sГ¤dГ™ГЎnГџГ¦dГ Г pГ…vГ¤Гљ dГ gГҐdГљpГљГ¦Гџ&Г™Г¤ nГ $ГЈfГќnВ‰Г«pГ™pГ•pГ—В‡ГўtpГ—ГЁГЎГ” vГќpГ—XГ•Г”dГЎndГ VГ¤nГ”vГ—Гџ ГћВЃdГ ВЅVГџГќ ВЃГ“dГћВ‰ГќpГ•Г˜В–BГ§1ВѓГњ Г“ pГ pГ›pГЎdГ”5pГ•dГљГ§ pГ•nГ”dГ”dГ™ВЅВђВѓГҐГ•ГЄ VГ˜dГ nГ—VГџГ— dГ–dГ™Г•ppГ•BГ”dГ”В¤ГџГ“ В†Г’Г•
В‡
Г•Г¬
Г…vВђvГђВ–ВђВ—ВЌВ–В–ГЊГ‹vvВђ!ВЏВ€В‘ ГЉГ€ Г‡
Г‘В˜В–В‘ГЏВ” ГЋ ГЌВЌ В˜ В‘В˜В–В‘ Г‰
Г† yTВЂВџTВџВґVВіTTГ…Г‚ГѓГЃ
В§В Вќ ВҐВ«Г„
ГЂ ВќTTpВџBВҐTTВџВЂTВЅВў!TTВЂВџrВ®В†rT$В№ВљВ·Вѕ
В ВњВ ВќВїВЎ В ВќВ Вќ В¬В В¦
Вѕ В pdВВЅTВџpwfВ§TВ«ВЂBВќbВёBTTВџВЂ5w{ВЇВЂvВ¤BВЎВєTВЂВ«В¦BВҐpВњdВrBВёBВЎВ¶В·Вµ
В¬ВЎ В ВЎ Вњ ВЎВџ Вќ ВјВ» Вњ В№ Вќ ВЇ В¬ Вњ
ВЁ yTВџpGwВґfВіВЎ5В†ВЎВІB`В±dfВ¬TTpВ pВВЇВЂpВќpВВ°yTВЂВџrvВ®pВњВЂВҐdВВ‡dВћTВ©ВЄВЁ
В§В ВҐВћВ ВЎ ВќВ¦ ВҐ ВҐВЇ В§В Вќ В¬ ВќВ«
В™ yTВџВЂTEВ¦TВџВЂBВ¤BВЎBВЈВў!TTВЂВџGdВћBВќВњВ›В™
В§В Вќ ВҐ ВЎ В ВќВ Вќ Вљ
vvВ—В•$Вђ!ВЏВђВЋВЊ
В‘В˜В–В” В“В’В‘ ВЌ
˜dghВ‰qmsВЂij}wВЃsqi{krrvВѓtiВЃ1В‹m vВ†В‚tEВЂyEpВЃВЂn|frghВЂqEikEpВЂis|pBrВЂ˜BjВЉwВ–smВ‰pwВѓВ‰ijВ‰wВЂdwВ‰|В€sdmiktВѓВЂrВЂwEВ†osВ‰pВЃrsmvВ‰piq ВЂ j}mnwВЂВ‰hE|mss|i${$`EtyВ†zpr ВѓlpEjxs|wВЃfriq ВЂВЂfhEposВ‡wВ‰В…rВ† vXutql ВЃiВ…ВЂsmВЃkjrВЃwghsmВЂqwEpr l)В‰onmВѓtВЃiydmh klВЂtkiijВѓВЃ`qhВЃwEg Epo В„
fBAEdВЃВ™fВ˜AAВ•В–В”
e В—В•
В“VВ‘uBcdvIВ‰cВ€ВЃYВ†e`"В„В…ВѓiВ‚TВЃiQBВЂaIBywfcВ¤BsvIfcВ¤trpifcBhTgWfedcb`Y`XUVTBRBQPH
В’ Вђ В‡ Qu xS u us q I a U W S I
в€—
AGEFDEA9BA87456353
@9 C @9 4
)1$")"В¤"&ВЎ%#$В©"!В¤ВЁВҐВ¦В¤ВЎВўВ
2(0В© ('В©ВЈ В§ ВЎ В©В§ ВЈ
Bв†’в€ћ B Aв†’в€’в€ћ в€’в€ћ
ВЈ t dFX (t) = 0. lim t dFX (t) = 0, lim
t В‡s в€ћ A
Г—В‡ВђBВЃГґPppГћnpdГ•ВЂnnГ dВўsdВ¤pvГҐgpГdГ¦dВ†VГњГ…fГ—
В© ГЁ Г› ГҐГќ ГЁ Г• Г” Г Г” ГЈГ™ В Г¤Г™Гџ Гё Г¤ Гљ Г¤ Г›ГџГ™Г•Гљ Гњ
y E|X| = в€ћ
Г™ |EX| < в€ћ
ВЃГєГЁdВ‰ГќdГ•gГ˜Г¦ГџfГќ5Г•dГЈГ» BГ—pГ“ ГЎs n pГ›ВѓГ±#tpГ”Г® nГћГ± Г pdГ”`ВЂГ•Г± pГЎВ—fГ§ГЈ t `В Г· В…ВђnГЁtВЃГҐГёBГќBВѓГҐГЎndГ ГјГ¦gГџdГ В†ГќVГџVГџГ”pГ—p"EГќkГ¤В¤В dГ™Г•В‡Г¦ГџГ p`vГ¤Г© dГ—gГҐГ¦ГџВ†ГљdГ™В†ГќГ•pГџГ¦dГ”dГ™Г¦ГџГ•BВ†Г™kГ“vГќpГ !Г§pГЎГћ rГ©
sГ± Гљ TГ© ВЅ
Гќ Г—Гћ Гљ В†Г–gГ¤vГќvГќfГћГћfvГ·vГ·ВѓГҐ5ВЋpГҐvГ¤Г™Г™ВѓГҐ pГЁvdГЎpГ—Г“ dГ•ГџВ†EГљВ‡ГџГ• Г¦nГЁdГ™nГ™BГЄВ†Г™ВѓГҐГќ dГ ВЎГџ
в€’в€ћ в€’в€ћ
0
В t dFX (t). t dFX (t) + t dFX (t) = EX =
t В…s в€ћ в€ћ
0
Вњ
В¬ВҐ
pГ©pГ•dГ”ВЅВѓГҐdГ ГџVdГ—dГљГ¦ГџpГ™nГ–Г ВџiГ± BВЎpВњdВВЅВќВћEВ®pВќpВВЂВҐVВ¤`В±BВЎ
ГЄ
в€’в€ћ
0
В› FX (t) dt +
(1 в€’ FX (t)) dt. EX = в€’
t В‡s в€ћ 0
Xв€€X
В” В– Вљ)В” ВЊ В¤ВЌВ™)В•)XvВђВ˜vВ“ В–ВЊ )vВ¤В’cv)ВЏ
В“В’ ВЏ В” В‘ В— В– В•В”В“ В‘Вђ ВЋВЊ
ВђВЌВЉВ‹В™ В‰ВЁ ВЇВЂВќ В€ ВҐВЇ
Г±
nГ•ГјdГ•ВЂjГЈГ™npГ ГћpdГ—ГџgГґГЁnГ dgГџГґГГ¤vpГҐГVГ¤Г—pnГ”Г BgГҐВ†ГљВ†ГќГџГ¦BГ™ВѓГ“Г pГЎpГ§ Гњ1Г›pjГ”Г˜Г¦Г BgГҐpГ•XГќEBГљГ“ nГЁBГ ВѓГ“dГ ГљВђdГ›ГљВ…В—vВЈvГќnГЎВ†ГјvГќВ†ГЎvГќГ§ `VГ¤dГЁpГ—pГ•Г”В†pГ”ВЅГ”Гќ В†fГ“ВЅPВЃГ«Г•
Гќ ГќГЁ Г“ Г§ Г Гќ Г—Г“
Г…vВ—tPВ˜ В¤ВЌ ВЌВ€ВЎ)В†В…vv{В„В”Г{В„ГВѓГ…vВ–ВђВ‘ ВЃГ‰ Вђ}В€vВ’ { z
Г‘В˜В–В” ВЏ В“ В‡ВЌ |В‘ГЏВ˜˜ В‚В‘˜В” В‚ Г‘В˜ ВЂ В”˜| ВЏВ‘
y ПЂg (X) = ПЂg (X), X в€€ Xg .
t В…s
ПЂ
В†ГЈГќVВЋfГёGГЁnГ pvГ¤ВѓГҐГ BВѓГ“Г ppГЎdГ§vГ•VГ©ГќVnГЈpГ™pГ—Г…VГ·ГЎnВ‡ГЁ ГёfГ·VpГ”nГ”dГ dГљГ¦ГџpГ™dГ–dГ•BГљГ“ В¦ Гќ
ГЈГ· ГЎГ
w Xg = {X в€€ X | |ПЂg (X)| < в€ћ},
t xs
s
g
Г· Xg
fГќnГЈpГ™Г—pГЎ pГ›nГЎВ‡pГ Г—pnГ”pГ В‰ГћvГќjГ”"Гњ1pГ›dГЎГ•dВ†ГџГ•ВЂ"vГ¤ГҐpvГ“`Г”pГ—ppГћГ—BВѓГҐdГ !Гњ1Г›ppГ”В©ВЁВ†Г–pГ•vГќpГ”fГћnГћvГ·pГ ВѓГҐdГ”Г™В–Г•ВЂnГ™ГЈ В†Г™ВЅfГҐpГ—ГЈ pГ—ВЁВ§pГЈГ”fГ¦ГѕGdГ–pГЁpГ•pГ—pГ”В‰ГћГ”В†vГќВЅjГ”Гќ vГ˜Г“ В†dГ•pГ—ВҐ1RtГ¶
Г ГЁ Г˜ ГЈГ© Гљ Гќ Г ВЈ Вў В pГЎГ§Г’ Г X
SX
Г–dГ•ppГ”В†Г–ГќvfГћvГ·ГҐВѓГ™ Г¤ppГ—nГ”Г BВѓГҐГ BГ“ВѓpГ pГЎnГ§В†Г™ГќvГ…В†ГџvГ•ВЂdГЈBГЄgГҐdГ•Г…VГџГ¤sГ™pdГ—В†ГљВ‰ГќГђtRГ¶ s ГђВ¤tГµ s fГќnГЈpГ™pГ—ВЋpГ›nГЎГ В‡vdГ•Г± VГџwВђpГ›Г© pГЁpГ”dГ—pГ—Г¦ГџpГћВ‡BГ—Г dГЁВѓГҐГџ&dГ Г’Гљ
ГЎГ• Гџ Г˜ Г— ГЎ ГЁГћ
в€’в€ћ
0
ПЂg (X) = ПЂ(X) =
g(SX (t)) dt, X в€€ X . [g(SX (t)) в€’ 1] dt +
t в€ћ 0
RГ¶ s
R
nГ—dГ™Г•В†Г–Г•vpГ”nГ”dГ ГљdГ¦ГџnГ™Г¦ГѕГ dГ…nГ–nГ dГ™ГќvГ–ppГ—Г”nГ BВѓГҐBГ Г“ВѓpГ ГЎpГ§nВ†Г™ГќvГ…vГ¤pГҐГ“GВ¤tГµ s Г¤VpГ—vВ§VГќГЈpВ—ВЁВЈBГ—jГ“Г•В‡vГќnГ”ГўВ‰Г«BГ•pГҐВѓГ“pГ pГЎ`ВЃГ°Г¶ Г¬vГќ
Г Гљ ГљГ” ГЎ Г— ГЁГ Г§Гљ
0
ПЂg (X) = ПЂ(X) =
g(SX (t)) dt, X в€€ X+ ,
t в€ћ
В¤Гµ s
fГќnГЈpГ™pГ—$vГќnГЎВ‡ГЁ
ГЎГ g=g
Г±$vГќnГ”BГ ВѓГ“dГ dГ•dГљГџVГўvГћГљ ГќВЅВ†Г©1$dГ›Г ГҐ VГ«eГЈВ В†ВЃГ°gГќГµ Г¬$Г•p nГ”Г™ u
Гџ
g(x) = 1 в€’ g(1 в€’ x), x в€€ [0, 1].
t
#Г® s
gв€€G
ГЎ Г· Г“
gв€€G G
Гљ dГЁГ•ddГљГ¦ГџpГ™nГ”Г dВ†ГљvГќ"Г¤gvГќpГ”Г”nГ BВѓГҐBГ Г“ВѓpГ ГЎpdГ§Г•pГ© Г¤VГ·pГ—ВЁВ§ВЈ В¦ pГЈfГ”ВЈrГџ gГ¤vГќpГ”nГ”dГ dГљГ¦ГџpГ™Гќ dГ–dГ•ГЈ BГљ)ГџГ¦EГ Г·В†dГљГџГ¦dГ™ГџГ¦В dГ Гљ
g(0) = 0, g(1) = 1 g : [0, 1] в†’ [0, 1]
Г± gГєВ†ГџdГ•Г¦Г•Г™ dГ–ВЂГ•ГЈpsГ¤dГ™)dГ•VГџnГЁГћBpГ pГ©ГћpГЄdpГ—VГџpГЎdГ—Г§Г№Г¦ГџГ В‡`В†ГЁГ© VГ¤В‰ГќГ—p)pГЈВ§Г˜ ВЁГ•pfГ”Г”BVГ·Г· jГ“ pГ¦ГџdГЎВЈ gГ¤ГќГ ГўdqВ¤Г±Гѕ В†ГёEГќВђpГ—Г–Гљ pdГ›iВ ВЁВ§Г¦Г·pГЈpГ fГ”Г” GfГњpГ—В†ГЈgГќГ…ВѓГњnГ dГ™ГљВ—nГ™В†Г™ВЅfГҐXpГЁpГ—dГЄВЃГћГџГ¦vГќdГ™Г·jГ”В†Г˜n dГ•ВҐГ’
В¦ Г± `
SX (x) = P{X > x} = 1 в€’ FX (x), x в€€ R
Xв€€X
GВѓГҐBГ nГ”pГ—VГ¤Гќ Г© BГ ВѓГ“pГ pГЎnГ§Г™В†vГќГЎ"VГ¤pГ—ВЁВ§pГЈfГ”Г·ВЈ
FX (x) = P{X в‰¤ x}, x в€€ R
Г–dgГ¤vГќГ•pdГ”pГ”ГЄBВ†Г–ГќvГҐВѓdГ fГћVГџvГ·Г—pГҐВѓBГ”В°ГҐГ™ gVГ¤pГ•pГ—dГ§Г•BjГ”Г B)ВѓГҐГ“ nГ Г BГ Г“ВѓpГ pГЎnГ§В†Г™ГќvXVГ¤pГ—В§ВЁГЈpfГ”ВЈodГЄГџГ¦Г™nГ
ГЎГ· В†Г©nГ BГ ВЃГҐГќВЅpГ›rpГ”Г“ pГ©pГ—dГЄpГћГџГ¦BГ—EГ™ГҐВѓГ· dГ nГљ
h#mAjВ¤i#ged'В™ 'В™
f lk f hf d d Гµ
Г¶
%%В¤X%ВЇm)18kihВВ¬#XВЁAВ˜ВђВ©"iВ˜8k В¤
В°ВЇjf В« В®f ВҐ f В« В«k ВЄ ВЁВ§f h В¦ ВҐ
pГ©nГ•dГјdГ•В‡dГЁpГ•ГЎ В±
ГџГ
A A
t dFX (t) в‰¤ A dFX (t) = AF (A) в‰¤ 0
в€’в€ћ в€’в€ћ
Г— в€ћ в€ћ
t dFX (t) в‰Ґ B dFX (t) = B(1 в€’ F (B)) в‰Ґ 0,
B B
Г¦ГџВ†Г ВЅГґt В‡ВЈs В–dГ ГџГ¦nГ™В‡dГЁPdГ•VГџГћ
ГќГ“ Г™ Г Гљ
lim B(1 в€’ F (B)) = 0.
lim AF (A) = 0,
Aв†’в€’в€ћ Bв†’в€ћ

GdГЁdГ•ГџГ¦dГ»Г• n
Г·
0 0
t dFX (t) = tFX (t)|0 в€’ FX (t) dt
в€’в€ћ
в€’в€ћ в€’в€ћ
0 0 t В‡s
= в€’ lim tFX (t) в€’ FX (t) dt = в€’ FX (t) dt ВІ
tв†’в€’в€ћ в€’в€ћ в€’в€ћ
Г—
в€ћ в€ћ в€ћ
FX (t))|в€ћ
t dFX (t) = в€’ t d(1 в€’ FX (t)) = в€’t(1 в€’ (1 в€’ FX (t)) dt
+
0
0 0 0
Г®
в€ћ в€ћ RE s
tВі
= в€’ lim t(1 в€’ FX (t)) + (1 в€’ FX (t)) dt = (1 в€’ FX (t)) dt
tв†’в€ћ 0 0

В‡В‡ГЁnГ BГҐ ГёpГ—pnГ”Г BГ“$Г«ВЂГЎndГ dГљГџВЂГ…ГЈВўpГЁBГ—jГ“Г•ВЂfГњpГ—pГЎpГ§ВѓГ©t В…В s 1RtEВіГ® s ВѓГ©t В‡ВІs pГљdГ—В†ГљgГќГ¦ГџBГ™Г“В‰Г• n
Гљ
Г·
Г±Г›ГЁ
ВђВЌВЉВґ8ВЁВЁ ВЂВќ В€
ВЋВЊ В‰ ВҐ ВЇ ВЇ
В” В– Вљ)В” ВЊ В¤ВЌВ™)В•)XvВђВ˜vВ“ В–ВЊ )vВ¤В’cv)ВЏ
В“В’ ВЏ В” В‘ В— В– В•В”В“ В‘Вђ
Xв€€X

Г®dГ®
1 #s
t
в€’1
EX = SX (v) dv.
0

Гњ1pГ›Г”pГ”nГ В‡nГЁГ pГЎnГ pГЉГ›pГ”nВ‡В†ГЁВ‰ГќГЉdГёВ†ГѕВ‡dГЁpГ•Г§ eГ± BВЎpВњdВВЅnГЁВ¬ ВћnГ Вќ В®EВ‡pВќГ pГЁpВВ°VВ¤ВЂВҐГ— pГЁ`ВЃГ¤ВҐ ГџГ¦BВ±В†Г™ВЎ vГќГћВњ
Г§ Г Г˜ГЄГ• Вµ Г•pГ§ Г¤VpГ—В†Г”EГќdГљГ•ppГЎvГ—nГЎnГјГ dVГџpГ”Г—В¦Г—
v = SX (t)

0 0 S(0)
в€’1
в€’ (SX (t) в€’ 1) dt = (v в€’ 1) dSX (v)
FX (t) dt =
1
в€’в€ћ в€’в€ћ
ВЃГµГ®
1
S(0) В¤s
t
S(0)
в€’1 в€’1 в€’1
= (v в€’ в€’
1)SX (v)|1 SX (v) dv = SX (v) dv
1 S(0)
Г—
0
в€ћ в€ћ
в€’1
(1 в€’ FX (t)) dt = SX (t) dt = v dSX (v)
0 0 S(0)
В‰Г¶Г®
0 S(0) Rs
t
vSX (v)|0
в€’1 в€’1 в€’1
в€’
= SX (v) dv = SX (v) dv.
S(0)
0
S(0)

В‡В‡nГЁГ BГҐ ГёpГ—pГ”nBГ Г“$EГ«ГЎndГ dГљГџВЂvВўГЁpBГ—jГ“EГ•fГњpГ—pГЎvГ§ВѓГ©t В›В‡s 1RtВ‰Г¶Г® s 1В¤tГµВЃГ® s VГ¤vГ¤gГҐВ†ГљgГќГ¦ГџBГ™Г“В‰Г• n
ГљГ—
Г·ГЈ
Г±Г›ГЁ
0
SX (t) dt = 1, ПЂ(X) =
2
в€ћ
dГЁdГ•ГџГ¦pГ—ГЎ n
Г»
t<0
0,
SX (t) =
(1 + t)в€’1 , t в‰Ґ 0
Г©Г± X
ГЎ Г·ВЈ Г“
g (0) = 0 g(x) = x2 , x в€€ [0, 1]
Г·VpГ”pГ—ГћpBГ—ГҐВѓdГ ГљГЉfГёVГ·pГ”В†Г–ГќvfГћvГ·ГҐkГ™ Г— dГ•BГ ВѓГҐГ Г”pГ—Г¤V nB Г“ВѓVГџpГ ГћBГЎppГ©nГ§pГ•В†Г™nГ”vГќГ™ "u Г–nГ± pГ pГ—ВЁВ§pГЈfГ”ВdГ–pГ•dГ”BГЄВѓГҐdГ ГџVpГ—BГ”gГҐpГ•Г§В†BГ•{Г™
sГџГ• Г™
wГЁppГЎdВ†Гљ В‡ГЁnГ™nВ†Гќ ВЎ Г± Г· Г— ВўГ”Г§ ГЈdГ™ГџdГЄГ¦ Г· n
Гѕ Гљ ВѓГ±t Г® Г© Г–pdГ—dГљГ•BВѓГҐdГ™В—VГ˜)Г•ndГјГ•pBГ”Г jГ“Г• dГ›ВўГ¤ВЃВ†ГџEГ•vpГ—pГ—nГ”Г§ Г Г·VВ†ГЎvГќ"pГ—pГЎГ• $dГљnГ•nГ™В†Г™ГќВЅfГҐ"fГњdГ—ГџГ¦Г»
Г§В Гњ
X Xg
vГ¤pГ Г—pВ—pГћГҐ %ВџГ—BГ±ВЃГ¦ГҐГџ gГ˜ГќvГќ ГЎ{pГ Г—В¤В†ГёEГќВђjГ›gГ˜ГќVdГЈpГ•VГ§`pГ–Г—vГ”nГЈ BГ ГҐВѓBГ w ВѓГ“s Г pГЎpГ§nВ†Г™vГќГЎ Г›pГЎnГ§ В‡ГЁpГљ pГ—ГЎpВґГ§ ГЁnBГ ВѓГ“dГ pГљpГ—pГЎГ•ndГјpГ•dГ”gГџvГќdГЎВ¤В Г…vГ—pГ—Г• В§vvГќdГЎГџГ¦&ГќГ™ BГёpГҐfГҐГ—
g (0) > 0 g (1) > 0 X в€€ Xg =в‡’ X в€€ X
Г±В¤В†ГёВЅГ“ВЃvГќГ§ddГљnГ•Г™ Г— nГ›nГ™В†Г™ВЅГ˜Гќ VfГҐ)t Г® Г—pГ—pГ”npГ Г”BgГҐpГ•ВђdГ›pГ—pГЎ&dГ•VГџВ‰ГћpГ©pГ•В†Г”В‰ГќgГ˜VГќdГЈpГ•В‰Г§Г©ВђdГЁГ•jgГ˜vГќdГЎВ¤В pГЁpГ—ГЈВ†GГ… ГЁ
Г—`
X в€€ Xg
|ПЂ(X)| < в€ћ
Г± ГЄdГ¦ГџnГ™Г 5dГ•В‡Г—Гџ Г© dГ•pГ•Г”pVГџГћpВ‡Г—Гћ ndГјdГ©BГ•vГ·ВЃГҐВ‰Г“vГќdГ•ВђГїXВ†Г ГџГљdГ›ГќГљВ†Г” Г¦ ГЉГЈVГќГЈ ndГ ГЁpГџГ№В‰Г“BГ—dГ›EГ•Гљ fГњpГ—pГЎГ§В‡ВѓГ©RtГ¶ s t В› Г® s ВѓГ©t y Г® s VГ¤pГ—dГ¤В§vnГ·VГќГ˜В†pГЈBГЄBГ—gГҐfГҐpГ•В‡Г§Г§ nГ„Г„
Гљ Г™
в€’в€ћ
[g(SX (t)) в€’ 1] dt > в€’в€ћ. 0в‰Ґ
tВ› s 0
Г®
EX
Г·
GГЁddГ•Г¦ГџdГ»Г•pvГ§Г© VГ¤Г—pВ†Г”EГќГљddГ•EГљГ¦ГџnГ™ВЂГѕГ·Г¦Г…vГ·fГ“dГ—dГљГ”npГ ГћnГ pdГ”fГ•Г $VГ«В†ГЈГќgdГ—Г¦ГџВ†Г™vГќvdГ–dГ•В†ГљvГќpГЎ$В¦ГҐВЃvГќnГЎnГјdГ VГџpГ”Г—)nГЄnГ™BГ BГ“Гі
Г Г™ Гљ ГЈ Гџ Гћ Г§Гљ
в€’в€ћ в€’в€ћ в€’в€ћ
A
SX (t) dt + A. [g(SX (t)) в€’ 1] dt в‰Ґ в€’M [g(SX (t)) в€’ 1] dt + [g(SX (t)) в€’ 1] dt =
A A
0 0
ВЅГ“sdГјrГ…
ГќГ•
tв‰¤A SX (t) в‰Ґ Оґ A в€€ (в€’в€ћ, 0) x в€€ [Оґ, 1]
g(x) в‰Ґ 1 в€’ M x
ГћГ©
Оґ в€€ (0, 1) 0<M<в€ћ g (1) < в€ћ
dГ•Г± ГџVГґAfГњpГ—Г—pВ†ГЈpГЎgГќГ§Гџ
ГћГ© Г—Г›dВ¤В dГ•ГџVA`В†ГЈgГќГџ pГ Г—pgГ”EГќdГљdГ•EГљГџГ¦ГЁnГ™npГ ГЎГ nГѕВЂdГ Г¦Г·В В…Г¦Гџ В†Г Г± fГќnГЈdГ Г№dГ›Гљ pГ—pГЎГ§ VГ˜Г—В‡В†Г©nГ BГ ВЃГҐГќВџ
Г™Г› Гџ 0
g(SX (t)) dt < в€ћ. 0в‰¤
в€ћ
t yГ®s
EX
В†ГЈgГќw`nГ”pГ nГћpГ Г”dВЂГ•ГЈEГќdГљГ¦ГџpГ™nГ”dГ ГљВ†vГќГ¦ГЎpГ "nГ•dГјdГ•Г¦ГџГ»5dГ—Г¦ГџВ†Г™vГќВ¦dГ–dГ•В†ГљvГќpГЎvВґГҐВЃvГќnГЎГјndГ VГџpГ”Г— Г¤VpГ—В†Г”EГќdГљdГ•ГљEГ¦ГџГ™nВЂГѕГ¦Г·tvГ·fГ“dГ—dГ•Гљ VГџГћ
ГџГ© Г” Гћ Г§Гљ Г Г™
B B 0 0
SX (t) dt. g(SX (t)) dt + g(SX (t)) dt =
g(SX (t)) dt в‰¤ B + M
в€ћ в€ћ в€ћ
B
tв‰ҐB
SX (t) в‰¤ Оґ
B в€€ (0, в€ћ) x в€€ [0, Оґ]
g(x) в‰¤ M x
В
ГќГ• dГ•VГџvГћ`В†ГЈgГќГџ
Г© ГЁnpГ nГЎdГ Г› Г± pГ—pГЎГ§
0 < M < в€ћ Оґ в€€ (0, 1) g (0) < в€ћ
Г©ВЅВЂГ“ГјdrГ…dГ± Г—ppГЎГ§ X в€€ Xg
Xв€€X
Г„
1 В¬Вќ
{ГџГ˜dГ•VГ№Г±Гћ AfГњГ—pВ†ГЈВ†ГќГџ Г¦ГџpГ nГћГ BgГҐГљ Г— Г•dVГџAВђГЁnГ $gГ«fГќdГЈГ• Г pГ—pn В†Г”ВѓГ±EГќt dГљw dГ•Г® s EГљГџГ¦pГ•Г™npГ Г nГ” ГѕВЂBГ”Г¦Г·gГҐXГ§pГ•Г™ ВђГ¦ГџВ†Г dГ›fГќnГЈГљ dГ dГЄГ№EГ™ГџГ¦Гџ dГ›Г· Гљ n Г± BВЎpВњdВВЅВћВ®EpВќpВВЂВҐVГ¤VВ¤dГ—`dГљВҐ BГ•BВ±ГҐВѓВЎ EГ™Г·Вњ
ГћГ©
0 < g (0) < в€ћ, 0 < g (1) < в€ћ.
tw s Г®
В’В• Вѕ В•ГЃ В’В•ГЃ X = Xg
#fГЃ#В— Гѓ #В’#f#В—В˜В™ВЌВ— ГѓRВ–ВЊ В—В˜В™ В– #f#В—В˜В™
Г‚ ВЁ8ВµВ¦TTВЂВџ5fВіrВ®rdВћTВ©
В‰ ВќВ Вќ ВЎ ВќВ«
ВѓГ±RtГ¶ s )ВЅГҐВЃvГќГЎnГјndГ VГџГ”p"
ГљГќ Г— EX
Г±ГљEГќГ”Г—Г¤VpВ† ddГ•dГљnГџГ¦Г™ВЂГѕГ¦ГџГ¦Г·В†Г "В‰Г“Г¤VvГќdГ—dГ§dГљdГљBГ•nГ•ГҐkВ–В°ГµfГ±Г·EГ™Г™ Г® pГ—pГЁВ‡dГЎГ В‡ГџГЁ В†nГЁВ‡BГ Г• nГЁГ™nГ™ГҐ В†pГ•Гќ PВЎГ§ dГ•VГџГћ
P Г™ ГќВЅ
Г™Г в€’в€ћ
0
SX (t) dt, ПЂ(X) =
(SX (t) в€’ 1) dt +
в€ћ 0
ПЂ
Вќ ВҐ
fГ“Г—dPГџГ¦nГ Г В‡pГЁГ— VГќnГЈГ™ppГ—$ГќvГ¦ГЎГґГЁ Г›В‡В‡ГЁnBГ ГҐГ…fГњVГ¤dГ—dГљBГ•ВѓГҐdГ™Г·ГўBГљpГ©pГ•dГ”ВЅВѓГҐdГ VГџdГ—dГљГ¦ГџpГ™nГ–Г ВџiГ± BВЎpВњdВВ¬ВЅВћEВ®pВќpВВЂВҐVВ¤`BВ±ВЎ Вњ
Гљ ГЎГ ГЁ ГЄ
ГЂ В—В˜Вї
В™ ПЂ(X) = EX g(t) в‰Ў tВѕ
В–
В–ВЊ ВЏ ВЅpВ™ ВµВ¦TTВЂ5fВЎrrdTВ©
В‰ ВќВ ВџВќ Ві В®ВћВќВ«
В˜˜ ВЌВ–˜Г‘ВЌВ’ ВЌВ–В–В‘ В» В‚ГЋ В№В’ В‚ ˜|В·
{|gv{ВјГђvВђВ‘ Г‰ В·ВЎvvВђВ•ВјВєpВ—ВЌ Г‰ GВђВ‘ВёВ” Г‰ ВўВЎВЌ Г‰ ВЊ В¶
w
h#mAjВ¤i#ged'В™ 'В™
f lk f hf d d
SaX (t) = P{aX > t} = P{X < t/a} = 1 в€’ SX (t/a).
w
a<0
tв€€R
ГЁnГ nГ В‡pГЁГ— ВѓГњГ ndГ™Гљ"Г—dVГџГћdpГ•Г§ pГ±Г¤vpГҐnГЄГ“ dГ™BГ•ГҐВЃГќEdГљdГ•В pГ—pГ ГЎ dГЎГ…Г±nГџ PdГ•VГџГћ
Г—
в€’в€ћ
0
g(SX (u)) du = aПЂ(X), =a
[g(SX (u)) в€’ 1] du + a
в€ћ 0
в€’в€ћ
0
g(SaX (t)) dt ПЂ(aX) =
[g(SaX (t)) в€’ 1] dt +
в€ћ 0
u = t/a
Гњ ГЄ Г™Г·
a>0 a=0
SaX (t) = SX (t/a), t в€€ R
Г© nГ nГЁВ†ГЁ vГќГ nГ В‡vГ·fГћГЁpГҐgГ— pГ•Г§ Г¤vВ—ВћГ±ppГ›pГ•Г”pBГ”Г”nВ‡Г—fГ“Г dГЁnnГљpГ pГ nГЎdГћpГ Г•Г§ pГ›nГ”Г В‡В†ГЁВ‰ГќГ˜ dГёВ†ГѕГ•В‡dГЁpГ•Г§В—vGdГЁdГ•ГџГ¦dГ»pГ•Г§
ГҐ ВџГ№ pГ±ГќВ†ГљГ nГ”pГ™Г¦ГџdГљГ•d d vГЎ nГЄdГ™BГ•ГҐВЃГќEdГљdГ•В pГ—pГ ГЎ dГЎГ…VГ±PГ¶Г— dГ•VГџГћ
Гџn
в€’b
du = ПЂ(X) + b, = ПЂ(X) +
0
в€’b в€’b
g(SX (u)) du [g(SX (u)) в€’ 1] du + ПЂ(X + b) = ПЂ(X) в€’
0 0
dГ•VГџBГћpГ©EГЄVГџdГ—Г¦ГџВ‡В†ГЁВ‰ГќГ˜)pГ•BГ”В‰Г“Г·VdГЎГџГ¦pГ $ВЅГ№nГёdГ™Гџ&Г’
Г Г” ГќГ“
в€’b в€’в€ћ
g(SX (u)) du. ПЂ(X + b) =
[g(SX (u)) в€’ 1] du +
в€ћ в€’b
s
Г§
u = tв€’b SX+b (t) = SX (tв€’b), t в€€ R
Гњ Г Г§ Г Г˜ГЄ
1pГ›Г”pnГ”В‡nГЁГ pnГЎpГ В…pГ›nГ”В‡В†ГЁВ‰ГќВ‘dГёВ†ГѕГ•В‡dГЁpГ•Г§ГґВЃГ™Г© dГ•pГЎpГ ВѓГ“BГ™Г¦ГџgГќВ†ГљgГҐBГ nГ”pГ—vГ ГџВўГћVВЃnГЁpГ©gГ pГљvГќdГ—fГћГџГ¦vГ·В‡gГҐГ В†ГЁpГ•Гќ`Г№gГіГ§ RtfГ±Г¶ Гµ VГ˜Г—
b b
dt = b. ПЂ(Wb ) =
[g(0) в€’ 1] dt = в€’
0 0
b<0
В© pГ—ГЎp$Гќ
Г§
0
g(1) dt = b, ПЂ(Wb ) =
b
bв‰Ґ0
nГЁnГ Г В‡pГЁГ— pГ—pГЎ1RtГ¶ s {Г„ Г§Г˜
0, t в‰Ґ b
SWb (t) =
1, t < b
Г©Г±
Wb
ВЁr
В§ ВЈ
fГ“dГ—PГ¦ГџnГ В‡ГЁpГ— Г¤ppГ—nГ”Г BГҐВѓBГ Г“ВѓpГ ГЎpГ§nВ†Г™ГќvГ¤VГ—p ГЈpfГ” gГ¤vГќdГ”BГЄВѓГҐdГ VГџpГ—BГ”gГҐpГ•dГ§iВџdГ±`Г± BВЎpВњdВВЅВќВћEВ®pВќpВВЂВҐVВ¤`В±BВЎ Вњ
ГљГ ГЎГ· Г•Г® В¬ ВҐ fВѕ
В”В•ГЃ
g(x) = 1 в€’ g(1 в€’ x), x в€€ [0, 1]ГЂ ПЂg (aX) = aПЂg (X), a < 0Вѕ X в€€ Xg ГЂГ”
Г‘ ПЂ(aX) = aПЂ(X), a в‰Ґ 0Вѕ X в€€ Xg ГЂГ“
Г‘ ПЂ(X + b) = ПЂ(X) + b, b в€€ RВѕ X в€€ Xg ГЂГ’
ПЂ(Wb ) = b, b в€€ RГ‘ ГЂГђ
ПЂ
ГЏВ– В’В“ В™ ГЋ В“ В– ГЌ ГЊ Г‹ГЉ ВЏ В”В’В• Г€
XВЃГЌ В˜)ВЏВ–EВ—vВЏ ВЃiВ– R#В•)В” ВЊ Г‰В™)В¤#vВ’ ВЊ EВ— В’ Гѓ ВЏ В– ВЎВ’c3В” Г‡8ВµВ‰В¦TTВЂ5fВЎrrdВќTВ© В‘ В‘ Г† Вµ ВќВ ВџВќ Ві В®Вћ В«
ПЂ
Г± ГќEdГљГџГ¦Г™pdГ–dГ•ГљnВђГ›ppГ”В†ГЎВ†ГќVГџnГ”Г В‡nГЁBГ ВѓГҐГ»В–ВђpГ›dГЎdГ•В†ГџГ•fnГЈpГ Г”ВўpГЁpГ—dГЎВ†ГџВ‡nГЁnГ™В†Г™vГќГЎ
Г™Г Г Г•
P{Wb = b} = 1 Wb bв€€R
ВЅГ©
Г— XVpГ—ppГ—BВѓГ dГљ fVГ”pВ†vfvВѓГ™
В©Г·Г” Гћ ГҐ ГёГ· Г–ГќГћГ·ГҐ
ВѓГ±Г”Г”VГ·fГёpnBГ RtГўГ±Г“ Г¶ Г«ВЃy pГ•fГ©ВђГµГЎ Г± dГ›y Гљ VГ¤pГ—Г”npГ pГЁPpГ—Г” gГ«ГћВ‰vГќvГќpГЎГ”jfГ§В†Г˜Г·dГ•s В¤В Г• pГ•dГ”BГЄВѓГҐdГ VГџВЃГ¤dГ•vГ¤Г¦ГџВ—В‡ВџГ•dГ™ГҐ В†ГЁГќjГ™
Xg X Xв€€X
Г• X
X в€€ Xg
Г© dГЄГ¦ГџpГ ГЎdВ†ГџВ‡nГЁnГ™Г™В†vГќdГ•tГћVГџГЎ Г¤kdГ™В†ГЈГ¦ГџВ†Г В†ГќГќВѓ&В†ГјГџ pГ©ВЅpГ•Гќ ГҐpГ”pВѓГ“nГћpГ pГ ГЎpГ”dГЉГЈВЂГ•Г§ nВЅГ™Гё nГҐВѓdГ dГ ВҐgГџВ Г©pgГќpГ•VГџГ”BГ—pfГ“Гћ dГ—ГљnГ pdГћГ™ &Г© VГ¤Г—ppГ Г”npГ—BГ В†Г”Г“ВЃВЅvГќГќ fГ“dГ§PnГ•dГљГ— В‰Г«nГ™XГ”pГ Г• dГ Г•ВЂdГ›jГЈГџVГ™nВ†Г”pГ vГќpГћpГ—dГ—В†ГЎgГџEГќГґГљГќ dГ nГЁpГ gГџnГ—ГґГјГќ fГЁVГ·ГЈГЎ В†ВЁВџfГќГ± bВЅsГ“dГјdГ•Гџ
Г• ГЈГќ
y %%В¤X%ВЇm)18kihВВ¬#XВЁAВ˜ВђВ©"iВ˜8k В¤
В°ВЇjf В« В®f ВҐ f В« В«k ВЄ ВЁВ§f h В¦ ВҐ
X
в€’X
Г— Г·VdГЈГЄBgГҐГ•fnГЈГ™dpГ•Г§В†Г© y Г±V)Г¤VpГ—nГ”Г ГўВ‰Г«Г•BpГҐГ“ВѓpГ ГЎpГђГ˜VГџГ¦Г В†fГќГЈndГ ГџГ№dГ›ГљВ–`pГ•Г± VГ¤vГ”Г—pГ”nnГ”dГ BГ ГљdГ¦ГџВѓГҐBГ BГ™ВѓГ“ВѓГ“pГ pГ pГЎГЎndГ™nГ§pГ•В†Г™vГќnГ§pГ ГЎВ—Г” ВђBВЎГ dГ›pВњdГљdВВЂГ•ВЅВ†ГЈВ¬ ВћpГ”ВќГќvEВ®BГ—pВќВ‰Г“pВPVВ¤ВҐГ• ВЂ В¤`nГёВҐГџ BВ±В‡ВЎГ ГЁpГ—Вњ
Г¶ Г§Г— ПЂg (X) + ПЂg (X) = 0.
X
В™ Гў В‘ ГЌГЌ
В—В˜ВїВѕВ—В–Вљ dВ– ГЎВ™)В” Г iВ– ВЏ В” В– )В” ВЊ )Xv)В¤В’cВ‘ В–ВЊ ВЏ Г•В™ В‰В¦TBpdВ‡drВ–В¶
Вљ В”В•В” В‘ВђВЏ В– ВЅ Вµ Вќ В ВњВВ¬ ВћВќ В®
pГ±nГЄdГ™BГ•ГҐВЃВЅГўВЂГ«nГЎdГ dГљВЂГџГ…PdГ•VГџГћ
ГќГ“ Г· Г—
= в€’ПЂg (X) = в€’ПЂg (X),
в€’в€ћ
0
g(SX (u)) du [g(SX (u)) в€’ 1] du в€’ =в€’
в€ћ 0
в€ћ
0
g(SX (u)) du + ПЂg (в€’X) =
[g(SX (u)) в€’ 1] du
в€’в€ћ 0
u = в€’t
В–Г nBГ ВЃГҐВЅГўГџVBГ—В‰Г“dГ•pГљpГ—pГЎГ§
ГЈ ГќГ“ Гњ
1pГ›pГ”nГ”Г В‡nГЁpГ nГЎpГ $vГќnГ”В‡В†ГЁ`Гі
Г§ Г Гќ
в€’в€ћ
0
[g(SX (в€’t))] dt +
[1 в€’ g(SX (в€’t))]. dt =в€’
в€ћ 0
в€’в€ћ
0
=
g(1 в€’ SX (в€’t)) dt [g(1 в€’ SX (в€’t)) в€’ 1] dt +
в€ћ 0
в€’в€ћ
0
g(Sв€’X (t)) dt ПЂg (в€’X) =
[g(Sв€’X (t)) в€’ 1] dt +
в€ћ 0
nГЁГ В†vГќfГћГ·vgГҐpГ•1t ВЈ Г® s Г—1#tГ® s `Г–pГ—pВ†Г”EГќdГљjГ•gГ˜vГќdГЎВ¤В Г•nГ ppГЎ"Г№pГ›pГ”В†ГЎgГќVГџnГ”Г В‡nГЁBГ ВѓГҐГ» dГёВ†ГѕВ‡dГЁpГ•Г§В—1RtГ¶ s {Г„
Г§ Г© Г§Гњ ГЄГ• Г™ Г˜
Sв€’X (t) = P{в€’X > t} = P{X < в€’t} = 1 в€’ SX (в€’t).
tВЈ s
Г® tв€€R
Вќ
Вћ
Вџi
nГЁnГ В‡pГЁГ—
Г ГњВѓnГ dГ™dГ—VГџГћdpГ•Г§pГ—pГЎ!Г¤VpГ—Г”nГ BВѓГҐГ BВѓГ“pГ ГЎpГ§nВ†Г™vГќ)Г•ndГјpГ•dГ”BГЄГҐgdГ•jГљГ˜VdГ—pГ•pГЎvvГ¤В— Г± BВЎpВњdВВЅ В®EpВќpВВЂВҐVВ¤`BВ±ВЎ Вњ
Гљ Г§ ГЎ Г§ГҐ В¬ ВҐ
ГЂ Гќ В’ Вљ В” В”В‘ВђВ— fГЃ
В”В•
ПЂg
В¤Гџ"Гћ rВ“ ВЋ dВљd)В” ВЊ В•)XvEВѕ#В’ Гѓ ВЏ В– В‘В„c3В” ВўВЋ dd)vВ˜)В–EvВ• Гњ
В’В‘ ГЌ В’ Вљ ВљВ”В“ В™ВЏ ГЋВ—В“
ПЂg (в€’X) = в€’ПЂg (X),
Вѕ
g в€€ G X в€€ Xg
В—vВ“ В–ВЊ )В”vВ¤cv)ВЏ
В– В• В“В’В‘Вђ TdВљ В–ВЊ vvГ˜ В– В–vВђ ВђВЌВґ8ГЃВ‰В¦TTВЂ5frВ®rdTВ©
Г›Г– Г‚ В—В“ В—В‘ ВЋВЊ ВЉ Вµ ВќВ ВџВќ ВіВЎ ВћВќВ«
tw y В¬Вќ ВҐ
Г±Вѓ Г± Г ppГ—Г”nГ pPgГ«vГќГЎpfГ§Г· s ГёBВѓГҐdГ gГџВ†ГќГџVpГ—"Г¤sEГ™Г¦ГџpГ vГ¤gГҐВ†ГљgГќГ¦ГџdГ™BГ•ВѓГ“pГ pГЎГ§ BВЎpВњdВВЅВћВ®EpВќpВВЂВҐVВ¤`BВ±ВЎ Вњ
Г” Гћ 0
SX (v) dg(v). ПЂg (X) =
в€’1
tВ s 1
Г® В”Вљ
Гљ В“В’ В™ВЏВ•В” В‘Вђ В— В• В“В’В‘Вђ В™В— В‘В” ГЋ Вљ
)В” ВЊ В¤ВЌ))XvГ™vВ“ В–В–ВЊ )В”vВ¤cv)ВЏ В– )ВЏ#В–ВљВЌВ™ ВЋ В—X3vВ“oEВ—В–dВљ)В”В˜ГЊRГЉ ГЌ Г˜vВ“Г—В–В‘3В” ВВЋВђВЌВЉГ•ГЇВѕВµВ¦TTВЂ5fВЎrrdTВ©
В— Г– ГЌ ВЊ В‰ Вќ В Вџ Вќ Ві В® Вћ Вќ В«В–
pГ±pГ•В†Г”jГќГ˜gVГќdГЈBГ•{pГ pГ—nГ”Г ГўВЃГ«BГ•pГҐВѓГ“Г pГЎ n
Г“ в€’в€ћ
0
g(SX (u)) du = aПЂg (X). =a
[g(SX (u)) в€’ 1] du + a
в€ћ 0
в€ћ
0
[g(SX (u)) в€’ 1] du g(SX (u) du в€’ a = в€’a
в€’в€ћ 0
в€’в€ћ
0
=
g(1 в€’ SX (t)) dt [g(1 в€’ SX (t/a)) в€’ 1] dt +
в€ћ 0
в€’в€ћ
0
g(SaX (t)) dt ПЂg (aX) =
[g(SaX (t)) в€’ 1] dt +
в€ћ 0
u = t/a
ГЁnВ†Г vГќfГћvГ·gГҐpГ•Г§pГ© 1pГ›pГ”Г”nВ‡nГЁpГ ГЎnpГ vVГ·nГ”Г В‡В†ГЁВ‰ГќEГќdГљpГ•nГ”dГ¤nГ·Г˜В†BГЄgГҐГ•pnГ§Г„
ГњГ Г§ Г˜Г™ Г™
В›
h#mAjВ¤i#ged'В™ 'В™
f lk f hf d d
s=k s=k+1
pk , в€’1
pk пЈё , k = 1, . . . , n. SX (v) = xk , v в€€ пЈ
n n
пЈ¶ пЈ«
Г•dVГџГћBpГ©ГљpdГ—ГџГ¦Г В‡В†ГЁВ‰ГќГ˜VВѓГ©t В Г® s ГЁnГ EГ·nГ˜В†BГЄГҐgpГ•Г§npГ™Г—1EtfГ®Гµ s pГ±Г™Г¦ГџГљdГќE dBГЄnГЄВѓГҐdГ™dГ BГ•ГџgГҐВЃВ‰ГќgГ˜ГќEГќfdГљdГ•dГЈВ BГ•pГ ГїdГЎГ“ vГ¤Г…В—PВџГ—ГҐГџ dГ•VГџГћ
k=s k=s
s=1 s=2
g g ПЂg (X) = x1 +
pk (xs в€’ xsв€’1 ), pk (xs в€’ xsв€’1 ) =
n n n n
x1 = g(1)(x1 в€’ x0 )
В¤ГёВ†ВЅAAВЃГњfГќГЈdВ¤В ВЂГ•nГЈ5Гњ1pГ›Г”dgГџvГќГЎBВЃГ“EГќpГљnГЁvvГќГЈВ†Г ГўvГ·fГћГљ kГ®ГєГ•gГҐpВђ)В‡pГ•Г›Г§Г ГЁndГ”В†Г ГЄBВЅВѓГҐГќ Г“$dГ gГџВ‰Г«vГќГ•pГћpdГЎpГ•dГ”Г•ВЂydГЈГ§ В†Г©vГ›В‡nГЁdГЁВ†Г dГ•ВѓГќГ¦ГџВ†ГјdГ»ВЅpГ•Гќ ВѓГҐvГ§dГ•VГџypГ©dГЄГџVdГ—Г¦ГџГ В‡В†ГЁВ‰ГќpГ•BГ”В‰Г“В‡dГЎVГ·Г В‡ГџГЁ Г¦fГЁГ·Г Г¦qГ™
Гљ Гџ ГќГ“Г© Г™ ВђG Г™ Г© Гћ
Г Г• Г· Г˜
k=n k=r+2
pk (xn в€’ xnв€’1 ). pk пЈё (xr+2 в€’ xr+1 ) + . . . + g +g пЈ
n n
пЈ¶ пЈ«
k=r+1 k=r+1
pk пЈё (xr+1 в€’ 0) pk пЈё в€’ 1пЈ» (0 в€’ xr ) + g пЈ + пЈ°g пЈ
n n
пЈ¶ пЈ« пЈ№ пЈ¶ пЈ®пЈ«
k=r k=2
ПЂg (X) = g
pk в€’ 1 (xr в€’ xrв€’1 ) pk в€’ 1 (x2 в€’ x1 ) . . . + g
n n
r
xr в‰¤ 0 в‰¤ xr+1
Вћ
Вќ
n Вњ
tВІ s В¬
Г® ГЁddГ•Г¦ГџpГ fГћГў&RtГ¶ s {1Г±
Г·Г™ Г˜Г„ dГ•VГџw`dГ–Г•ВЂВ†ГЈgГќ``nГЎГ В‡dГЁpГ•Г” В¦ dГЄГ¦ГџdГ™Г· Г± BВЎpВњdВВЅ В®EpВќpВГџГ¦Г В†ВЂВҐVГќVВ¤nГЈ`dГ ВҐ BВ±Г№ВЎГџ dГ›Гљ
ГћГ© ГџГ©
k=n+1
ГЂ ГЋВ—ВљВ“ В™ В’ГЃ В— pk n
В¤Г°Г±EВ–В¤В’cВ‘ ВЋ ВЏВ˜)В”В¤fВ¤В’ ВЊ В–Вђ В’ Г ГЌ )ВЏ ВЋ ВЌ)cdgfГЃ
ГЌ ГЉ В’ В™ВЏГЉ Вђ В”В•
k=s+1 k=s s=1
ПЂg (X) =
p k пЈёпЈ» , pk в€’ g пЈ xs пЈ° g
#s
t n n n
fГ®Гµ пЈ¶пЈ№ пЈ« пЈ®
fГЃ
В”В•
x0 = 0Вѕ
В–cВ–
В–ВЊ
k=s s=1
g ПЂg (X) =
pk (xs в€’ xsв€’1 ),
t n n
RВіvГµ s
В‘В— Г® В— Вђ В— Вљ Г– Г€ В”ГЄ
В’ ГЉ gГЇВ˜В–ВЌВ–)В” ВЏ В– В“ В™ГГ–#Г¬В™)Г«%В— Гџ Гќ
В™ ВЏ Вљ В— В‘ В” ГЋ В— Вљ ГЊ ГЌ ВЊ В— В“ГЌ Г– В‘
ВЋ В”В•В” В‘Вђ В’ ВЋ
iВ– Вљ"В” ВЊ )Xv)ВЏВ¤cВ‘ ВђВЊ В• В– )#В—В–ВЌВ™ ВЋ X3vВ“ГЁEВ–Вљd)В”В˜RГЉ ГЌ Г˜vГ§В–3В” ГЌ В” В– )В” Гў dВљ Г‡В™ e!TTВЂ5fВЎrrdTВ© Вљ ВЊ В’ iГў Г¦ В‰ Г‚ Вѕ Вќ В Вџ Вќ Ві В® ГЌ Вћ Вќ RГђ В«Г©
x1 < x 2 < . . . < x n
xk
ВЂГ ГЈBfГ“EГ¤dГЎpГ•ВґГљ pГ›nГ”$В‰Г«Г•BgГҐpГ•nГ§В†Г™ГќvГЎ Г—ppГЈdГћdГ•В…dГ•VГџВђГ©pdГЄgГџВ†ГќГџVpГ—ГћnГ™ pГ•PГ± ВЃГ«Г•В‡ГЁ dГ—Г¦ГџdГ™pГ•В†ГѕВ¤В Г• VГ¤pГ—nГ”pГ В©pГћГ¤VpГ—pГ—В†Г”Г”В†vГќГќВ†nГЎГ¦ГџdГјГ™В†В¦ГЎvГќГ• jГ¦Г˜В†Г˜Г dГ•ГҐГљ
Г§Г ГџГћ Г” Г”
P{X = xk } = pk , k = 1, . . . , n; p1 в‰Ґ 0, . . . , pn в‰Ґ 0, p1 + . . . + pn = 1.
t ВІГ®s
В©ГЈ ГћГ•
nГ pddГџ
X
BГ ВѓГҐГ™ppГ—Гћ dГЁГ•ppГ”nГћpГ Г”dГ•ВЂXВўГ•vnГ”Г pГћddГ•В†ГџГ•BВѓГ“Г pГЎndГ™Г•nГ™ Г›pГ”ppГ—ГћpBГ—ГҐВѓdГ ГdГ–pГ•pГ”В†Г–vГќfГћvГ·ВѓГҐГ™
ГЈГљ Гљ ВђВ†Г™nГ§pГЎpГ ВѓГ“BГ ВѓГҐBГ nГ”vГ—Г p Г± pГЁvГќVГ¤В°nГ”pГ—ГЎ dГЄBГ ГџГ¦Г№Г·Г“dГ™ BГёgГҐn vВ vГќГ”
Г—pГ•dГ§В°Г™Г¦ГџdpГ•VГ¤Г”dpГ—VГџВ†Г”В‰Г¤EГќГ•pГљpnГЎГ—pdГ nГ”ГљГ…В¤В§pГ Г–dГ•В…pГ”pГ•nГ•nГ”ГјdГ jГЈВЂГ•ГѕВЂnГ™GГ Г· pjГЁpГћВ†Г˜EГ—dГ•ГџГ¦Гљ Г™pdГ—Г›pgГџГЎnВ†ГќВ‡Г¦ГџГ Г™vГ nVГ¤Г Г—pГ”njГ“Г BdГ•ВѓГҐГџГ¦Г™pВ‡pГ—Г dГ›Г ГўvVГ«Гљ jГ“В†ГЈdГ•gГќГџГ¦tВ‡1ГЁГќГ Гџ В‘`pГЁГ© VГ¤pГ—vГ—dГЎГ”nВ†ГџBГ Г•В‡ВѓГҐBГ nГЁnГ™ВѓГ“В†Г™pГ vГќpГЎ&В†Г™ГЎ nГ§ Г В—vГќvВЈВ…vГќГЎ nГЎnГ•В†ГјdГјvГќpГ•В†ГЎdГ”ГќvГ¦ГџpГ В…pГЎГ§ dГЁnГЈpГ™pГ•BГ—pГ”В‘ГќГ“В†Г”ВЅvГ¤Г“ ГҐpГ“
Г… ГЁВђ
ГЁ Гћ
В‘В˜В– В–В‘Г¤ВЌ В‘В˜ |
vvВ—В” Г‰ В˜vВђvВЎГЊВ˜ vvВ–ВђВ‘ ВЂ ВўВ˜vГЏ В№ Г€ ГЈ
В %%В¤X%ВЇm)18kihВВ¬#XВЁAВ˜ВђВ©"iВ˜8k В¤
В°ВЇjf В« В®f ВҐ f В« В«k ВЄ ВЁВ§f h В¦ ВҐ
В¤
ГЂ vВђ
В‘ В” )В”В•)v#dВђg#В— В”
Вљ В”В“В— В” ВЏ В”Вђ В” ВђВЏВ”Г€В— В•В— Г›Г€В—В”
SX (t)
t в†’ в€’в€ћГџ
В—В‘ В‘ В”В—В‘ В™ В— В©В§Вў Вў Гќ Гў Г® В– В–)ВЏ В™ В–)EВјВ— ГЌ c EВ–EВ–Вљ
В“ВЏ g (1) > 0
g (1) < в€ћГЂ
В“#X3В” ГЌ vВђ Г› В’ВЌВ™ ВЋ Вљ)#XГЎВ– )ВЏ#В–Вђ ГЂRВ– ВЁВЁВ¦В¤ВҐВЈВ ВЎГїuВҐ Гѓ dВ– dГ» В– Г‚ В–iГў ГЋ #В— iВ– ГЉ ВЋ Вљ)В” Гѕ
Гљ ГЉ В’ iГЉ Вљ
Xg X
RВ–В‘"dВљoВ– #В• В– В“vВ“ В–RГѓ В– iВ– #ВЏВ¤В’ #ГѓГЅВЋiВђВ–ВЋ ВЊВЌВ”vdВђ#В—ВЏВ–ГјГ–В–3В” cВ– vВђ Г‚ В™ В– В—XВ‘ГЎ)#В— Г‡ В‰ В– ВЊ iВ–
В“В—ВЏ ВЊ )ВЉ В• В’ В“ В” Вљ В‘ ГЌ В‘ В™ВЏ Гі Вµ8 5TTВЂВџTВґVВіTTГ…Г‚
ГЃ ВќВ ВќВџ ВҐВ«Г„
ГЂ
В—
В–Вљ В— В’Г˜ X в€€ Xg Xв€€X
В˜В™ Гў Вѕ Г‚ В™v#В’ Гѓ В— ВЉ
t < 0ГЂ 0,
SX (t) =
(1 + t)в€’2 ,
t в‰Ґ 0Вѕ
Вљ В•В” В‘ВђВЏ В‘
)В” В”)Xv)В¤В’cPГ‹ RГЉГГєRdВљ В˜В™ Вљ В–EВ•
Вљ Г® Г‹ГЉ В” В—ВђВ—
iВ– ВЊ
ВЋ Г‚
Вљ ВЏВ’ В– Г»ВЏ
X g(x) =
x, x в€€ [0, 1]Вѕ
В™В” ГЌ
)В” iВ– В’dВљ iГўdВ–ВЊ vВ“ ВЋ В’ddГЋvВ’ Гў ГЉ ВЊ Г№' В–В–В” в€љ Г‚ )cГЉ Г‡8ВЁВ‰5TTВџВЂTВџВґVTTГ…Г‚
В™dRГѓ Гі ГЃ Вќ В В–ВЊ Вќ В– Ві ВҐ ВЊ В« Г„
E|X| = в€ћГЂ
ВЋ ГЌ ВЊ В™В’
ВЋ В’ Гў ГЉ ВЊ ВЏ ВђВЊ В• Гђ ГЂ Г’ ГЉ Г ГЌ В” ВЌГ‚ vГ˜#В’ Гѓ В— ВЉВ‹В™ В‰5TTВЂTВґVTTГ…Г‚ ГЃ ВќВ ВџВќВџ ВіВҐВ«Г„
Г‘Г…vВђvВ– В’ ГёГ¶ Гµ
В˜В–В‘ В“В” Г·
s=1 n
n
.
X(s) g
= в€’g
t nв€’s
nв€’s+1
n
RГ¶В†Гµ s
s=1 n
g ПЂg (X) =
(X(s) в€’ X(sв€’1) )
t nв€’s+1 n
В¤ГµdГµ s
s s 1/n X1 , . . . , X n
Г· Г•ВЈ В†ГЁГќVpГЈdГћdГ•vnГ В¤В†ГёEГќГљВђnГ›pГ™pГ—pГ§pГ—pГЎnГЁГґvГќГ§Г В† Г©В†fГћpГ vГ·pГ—gГҐnГ”Г•pBГ Г§ГҐ
Гџ Г Гѕ
ГєВѓГ©t#fГ®Гµ ГЎ Г©ВѓГ§ RtВіvГќ Гµ ГЎ ГњВЃГ• ВЅГЈГќ В‰ГҐGГЁpdГЎВ—}ГљВ‡Г© Г˜ dГ—ГџГ¦dГ™Г•pdГ”ГџVВЃГ¤Г•pГЎndГ Гљ
В¦ВѓГ BГ“ВѓГ ppnГ™В†vВ–Г dfnГ™nppГ—pppВ‡nГ»Г¤В†nВ†ГЄBgpГ§nГ™pГ—pГ©VВЅГ“ВЂdrГ…В–`vГЈpEГ¦Г™pdggГ¦В—ВђddГ•ВЂBfГ¤EdpГ§pГўГѕВ¤fВ†ГљEГ¦dГџГ¦ddВ†dnГ™
X(1) , . . . , X(n) X
ГќГћГ yГ© ГЎ Г— Г§ ГЁГ— Г•dVГџTГ·Гћ Г©ВђГЁnГҐvГ Г• pГ—Г”nГ BВѓГҐBГ ГќГ“ВѓpГ ГјГЎpГ• Г§nВ†Г™vГќГ± ГўГ $Г— Г«nГЁГ— dГ Гџ $ГџГќГџ Г™ Г™ Г”Г Г— Г› Гћ Гљ Г— ГҐГЈ Г Г“ Гљ ГЎ Гњ Г• Г Г— Гё Г· Гџ Г™ Г Гљ Гџ Г• Г•
ГЎГ— Гџ В¦ pppBkdВ…1ppВ†vГћfvВѓГ™ 1ppnBГҐВѓBГ“
X1 , ..., Xn
n В v
dГЄГ› Г”Г¦ГџdГ™Г– Г·Гќ Г· `ГҐГ± pГ–pГ—nГ”Гњ BГ Г› Г№Г”Г“ BГёГ” Г gГҐ vГќГ Г”
ПЂg
n
ВЂГ ВѓГєpГ ГЈppГЎdГЎnГ§Г•dГ™В†ГќВ vdГ›)ГљГЎ В¦dГ•Г•pdГљfГ•Г§ ГЈВ†vГќГ”pBГ—VГ¤Г“jpГ—!В†Г”Г• ГќE1pГљГњ В‡Г—Г› ppГЁnГ”nГ—pГ pГ™В§В¤Г—dВ…В‰ГќВ†ГљГ• Г•nГ˜Г¦dГјГ pГ•ВЂГ”Г…jГ™ГЈn EГЄpГ Г¦ГџГћpdГ™EГ—Г•pГџГ¦dГ”pГ™BГЄdГ—kГҐgГџГ dgГќgГџГџГ¦EГќГ™5BГ•dГљГ“ВѓГ BВѓГҐdГ™pГ•Г™ Г§ В¦Г•
Вќ
Вћ Вњ
В¬ВҐ
Г±Г•В¤В ndГ™Г•pВ› Г± nГ§yВ°pГ dГ–pГ—dГ•Г”nГ¦ГџpГ dГ™PpГЎpГ•Г” Г«gXpГЎvГќГ§ pГ”fГ§BГ—Г· Г“jpВњBВЎГ Г¦ГѕdВГ ВЅnГЁBГ В®EВѓГ“pВќdГ pВpГљВЂВҐpГ—VВ¤ГЎ `BВ±ВЎ
ВЏ В™В”В’ГЃ В— В”В•
a0 = bn+1 = 0ГЂ
ВЋ В˜)В¤fВ¤В’ ВЊ В–ВђgfГЃ
s=1 s=1
bs (as в€’ as+1 ), as (bs в€’ bsв€’1 ) =
n n
В—В“ В—В‘ В™ВЏ
b1 , . . . , b n a1 , . . . , a n
#В•f#В—ВЁВїRВ’ ВЊ ВЏ iГў ГЇГ–ddВљ)vВ˜)ВЏВ˜)vГ В”ГЇГ–dВљ Г‚В–ВЊ vvГ˜ В– XvВђ Гњ
В’ ГЃ Гґ ГЂ В– В” Вљ В”В“ В™ В” ГЊВ”В“ В– Г‚ )cГЉ ГіpВ™ В‰eВ¦ВЂВќ В€ ВѕВҐВЇВЇ
Г§ ГЁ
ГќВЅfГҐdГ—В†ГљГќvГЎpГ§ dГёГЄВ†ГѕГ•В‡dГЁГ•pPГ™tВ‡dГЄГ В†Г± В‡gГџГЁ В‰ГќnГЁГ BgГ˜fГќГЈГҐ dnГ–Г•BГ ГўВ¤Г•Гѕ pfГёPГ·Г” vВ‰Г«Г“ВѓВ‡BГ Г• ГЁГ™ВѓГҐ$#tfГ®"ГµГљ s sГ¤Г™dГ•nВ—ГјГ— ntRvВіГ gГѕГµ sГќ$Г«EnГЎBГ В‰Г“nГ•vГ™Г© ГІ pГЁГ¤В‰Г¦ГџВ†Г™vГќГћ)pГ•Г¤VpГ—В†Г”EГќdГљpГ•pГЎГ—В‡В‡fГЁГ·Г¦Г™ ГІ
Г§ v
Г“ pГ±nГЈpГљГ—pГљEГќВЃГҐГ nГ”ГџdГ”pГ•dГ™ГџEГЄГ¦ V B d !nГЄГ» dГ•dГ™ГџVBГ•GГќГћГҐВЃEВђdГљГ© pГЁdГ•dГ—В ГџГ¦pГ В‡dГЎГ dГЁГ…&PГ’Г—ГџГџ dГ•VГџГћ
k=s+1 k=s s=1
=
p k пЈёпЈ» , pk в€’ g пЈ xs пЈ° g
n n n
пЈ¶пЈ№ пЈ« пЈ®
+ . . . + x1 (g(1) в€’ g(pn + . . . + p2 ))
ПЂg (X) = xn g(pn ) + xnв€’1 (g(pn + pnв€’1 ) в€’ g(pn ))
ГЁГ±
nГЁnГ Г В‡В–Г„`VГ¤pГ—nГ”pГ В ВЃГћvГќs Г”jГ˜
SX
в€’1
pk SX
в€’1
ГќГ Вђ
ВЅВЃГҐpГ›ГќvpГ”nГЎnГћnГјГ pdГ dГ”VГџВЂГ•Г”p1Г№ВђГ Г Г—ГЈ pГ›ppГ—dГ”nГ”ГЄBpГ gГҐВ‰ГћdГ•ГќvjГљjГ”VГ˜ГђdГ—Г˜ ГќvГ•ppГЎГ” Г Г§Г¦ГџpВЃГњVГ¤fГќГ—BpГЈgГҐdГћГљ1dГ•Г pfГњГ”Гџ В†ГЈdГ—fГќГџГ¦&Г—ГЈГ»pp{Г”Гљ dГЄgГџjГќГ™pГ—pГ§pВЃГњpГ—fГќГЎpГЈpВ¤dГ•dГћГ§ pГ•В¤PГљГ”Гџ В‰Г«Г•В‡ГЁ pГ—pГ—В†Г”pГ—ВЅpГ—Гќ Г“ВЃВЁВ§В‰ГќpГЈВ¤Г”Г˜ fdГЄГ·Гљ ВЈgdГ™Г¦ГџGpГ•Г· dГЁpГ”dГ•В‰ГћГџГ¦vГќdГ»jГ”pГ•Г˜В†В‰Г§pГ•ВѓГ©BГ”t В‰Г“nГ•Г® qГљ
Г
ВЈ
h#mAjВ¤i#ged'В™ 'В™
f lk f hf d d
T rv В” "fВ fВ¤p"В…# rВЈ sAВ¦Вџ) В‚w В” )qВ…)8ВЂ В‚Г((QВЈ tВ ВџpiB$ g#fC
В В†q В„qВ„ В ВўВ„ ВЂ В† q ВЎ ВЎ ВЎВ ВћВ”В” Вќ 4 B @
#|ВњwВ›В™""Cd#)ГВ—"8#E84"##ВҐ& ##В¦" @ rv В•h s #В€ В’В•7Ywvf#%$ВЎВҐgВ”)""A " %8"1(#"6 В™В‰
6В– Вљ В˜ 4 9B6 В— & 44B ! (В–$ 6 В” s В“ В‘ ВђВЏ ВЋ C2C B ВЌ ВЊ! В‹45C ( b4 4 2 ВЉ
RВІ В¦ ВІ
y `В…Вѓ В†
%
g
` В† gВ… W ˜ z y xu
xw
ВѓГєIgВ…Вѓ@p Вѓ00В–VUxВ–0VВ†0Ia`UВЁiВ–B!Qg0`QcВЈHВЈhgВ”fВ„TVВЎ(Г±ВЃ Вѓipi0gГ® aGГ®В‚QWВ”H`pГ® IВ†fГ©`0ВЅВЎГ©FГµ ВЃВЎВЁВ€dВ“ВЂrqГ©W TVopВЈnWmIВ†rlIpbl0pBick IhjhВ†pi QBftВ…В¤ВІВ—В¤ВІe d ВІ Г®В†Г±s g0exP3 iВ†}В˜0h|V3 IВ†{В‡y0qv $cy В‡qvgГ°Г¶ Г¬
k e
ВЁ B fВ—
ВІ Г®В
P eHВ† H h Вѓ 3 tr
Г±dВ™В’В˜HIВ†0piVg0aВ€0qcВ†В‡iqIg0`В—i`TgYВ’U!0gQFВ‡0В–VВ‡qIT`WВ•В”В“0pVQU`QВ‘ВЁВ’ВђВ‘TVWВ†QfHВ‰U0ecifГ±heГµ В¦UГ¦ГєВ€0q`cГ± В‡GP0PВ† qiГ©IgВ…d` В„Г©t stВ¤В›rqВ¤ВІpoВЈВІn mГ® В‰ls lby1jВЃQhВЂiВ‚ y%vgx wВ…udsВЃГ°Гµ Г¬
C
EВ’ ВЏ В‘ gВЁГґ D)XГЉ В–ВґB@!#В˜В™ В‘В—В” C ГЉВЏ В‘ В— Вђ A 9 8 В“В—
c
ВЋГ»
Гљd)RВЌ)ВЏ ВђВЊ В• qQВЁF niI07ВЈVifegГќhГ±H fpГ—p` "bIpdГ•nV Г±ВЅvГ¤VdVVQГ•P pIВ—FGГ± Г›pdГѓ dpВ– n{ВђВ– tRВ¤В¤vГµ s 45234$10($%$!!nГЇГ®Г¬
Вљ В” В• ГЉ В™ ВЋ iH В–dГ±Rp Гѓ g В” ` 6 Q nГ™RdI ГЎ `a Г—pW Г— ГЎ G dГџYW0Г— Гџ TГ¤ SRВ© d H Г§ HВЁ Вђ Г” Гљ Г• Г” Г™ Г’ i Ві Ві Ві 3 2 Гѓ # " ) ' & " # " Г°
ГЈ cГ± `U Г X VUR Г” Г ВЋ
В№
GВ’PВєГЎВ„ВђВ‘{GВ˜ ВЂ ВЎ1ВўВ˜ Г· ВЊ
˜В”В’ ˜ В†ВЌ|

Гџ В‘ ВЏВ— В™Вљ В’ ГЊ В— Вђ В—ГЃВ” В’Г˜
ГЂВ¤Гџ Гђ Гќ fГ° Гќ ВЊ ГЉ gВ—ГЇГ® В™)#В–ВљВЌd)В” В“ В“ Г‹ EВ— В–В˜"gВЏ Г‚ В™v#В’ Гѓ
ГљВ— ГЌ Гќ ГЌ В™ВЏ В— ВЋ ВљВ’В“В— В– ГЌ ВЊ В“В’В‘ В™ Г˜ ВЉ
EВ–Вђ В– Гџ Гђ ГЂ Г” В’ Г ГЌ В” ВЊ " iВЋ )В¤В’iГўГ’ В–В–Вђ iВ– Г’ v#XВ‘ ГЌ ВЃГ ГЌ )Г‚ГЉ ВЏ В— cВ– В¤cvВђ ВЊ Г‚ В–vВ’Гѓ#В’ Гѓ В— Г‚ ВґВ‰ГЌ 5TTВЂВџTВџВґVВіTTГ„Г…Г‚
ГЃ ВќВ Вќ ВҐВ«
Z = {. . . , в€’2, в€’1, 0, 1, 2, . . .}. N = {0, 1, 2, . . .},
Г› Г› ВЏВ“ В” В™ВЏВ” ГЄВ— В” Г› Г›Г–
Z N
В”ВЏ В– TГ– В” AВ”vgvВ“В˜)Г«%В–Вљ ВЏ В– TГ– В” TdВљ Г‚
Гљ В” В™ В‘ В™ В— Вљ Г› В” В“ В“ В™ ВЏ В” В— В’ Вљ i Г› Г– ВљВЊ В™ В— В• В” В‘ ВЏ В— ВЏ Вљ ГЌ В” В” В‘ Вђ ВЏ В’ ВЊ Г› iГ–Гў В™
)В˜vВ’ ГЎEВ”В–oAВЏvВЌВ”vВ˜)Г«%ГЏГЄ В–Вљ ВЊ dГ±Гў TdВљd)В” Г» В—В˜E)X3#В…ВѕВђГЋ "В” Вў)В–В• Xv)В¤cВ‘ TdВљВЌ)В”XВЊ В‘ Гѓ Г» ВЏ В– В• ВђВ–В•ВЊ ВЋВЊ
Вљ В‘ В— В– В™ВЊ В” В“
В– )#В–ВЌВ™ ВЋ В—В–3В”v}%В—В–d)В˜RГЉ ГЌ vВ“ Г–В–3В” ГЌ iВ– )В” ВЊ ВЏ iГў В“ Г– ВЊ ГЉ ГЌ gГЇГ® В– )ВЏvГЇГ– В‰
В™ ВЏ В— Г»dВ– В‘ В“ ГЋ Вљ Вљ В” ГЊ Г˜ В— В‘ГЌ ВЋ Вљ В– Гў Г– ГЃ8 5TTВЂВџTВџВґVВіTTГ„Г…Г‚
ГЃ ВќВ Вќ ВҐВ«
ГЌ Г– Вљ Вљ ГЌ В‘Вђ В—В• В™ ГЄ В•В” В‘ В™ Г˜ ВЉ
ГЂ Г’ ГЂ Г’ В” Г ГЌ В” ВЊ В“ ГЌ dВљd)В”В–)В” iВ– vTВѕ ГЌ EВ—В˜)В” ГЌ Г” ГЂ Г“ В” В– Вљ)В”Г«%В— ВЊ )XvВђ Г‚ vВ’#В’ Гѓ В— Г• В‰ ГЇВѕ 5TTВЂВџTВџВґVВіTTГ„Г…Г‚
ГЃ ВќВ Вќ ВҐВ«
ВІ %%В¤X%ВЇm)18kihВВ¬#XВЁAВ˜ВђВ©"iВ˜8k В¤
В°ВЇjf В« В®f ВҐ f В« В«k ВЄ ВЁВ§f h В¦ ВҐ

СОДЕРЖАНИЕ

Multidollar

Мировая валюта в мировых финансах