®
“ ˜ `— ‘ • ” “ ‘ ‰ ˆ ‚ v† „ ‚ r y xw vq q
))"–)A’#)` ‚ %U ‡„ c‡)q…%ƒ ¥p €Tf#"uts r"p

i ¨c)A#)87¨gf%edcb #A# )B¨#"`))Y)W)XVTRP1GE#"C&)##!2 #@A¨'8)#)2 "#3!#1)'%"#" 
h U b6 @6 B6 94 @Cb Q U  B D6 C a U W Y W U S Q I H F D!  6 B 4 6 9 676 5 4 ! 2 0 (& $ ! 
X = {X ∈ X : E|X| < ∞}, X+ = {X ∈ X+ : E|X| < ∞}.
©
ú½“½gå ¤½`”pp—ÞpB—åƒdà!1Ûpp”†–ÝvfÞv·åƒPdÚߦ™n•p‡è"ènv¤àppå—pv½V¤Ý†”“ f“—pPpà— ”n ‰«‰Þ•bj”vÝp膘p—d•j㤠n™pà• d—àpÞ pÛgßd”ÝôBênèådàvÝgßp—ô§Ý ¢n§pàè pÛâp”à V«¦Þã†pàgÝd”¢nèãf•ß Bàf܃“dà— þ¤ø
Ý Ý •© Ú Ü ™ à ” –
™è Ú
X+ = {X ∈ X | P{X ≥ 0} = 1}.
™ P

X+ X
 
úƒ$‰«p•‡è ¦ ``p”p—ÞpB—åƒàdt1pÛ”pg–vÝfÞv·ƒåtùÛpp””ndà© p”EÚ—pߦÞp™nƒåB—à þƒàddà"1ƒÜÜ nàpÛd™p”Úÿv݆–d•fÞdÚv·¦ß™nkå≫ùp•Ü pÛ”‡d”è BêƒåEàßgvÝp訧p—p—‰ÞvÝdá†ßj”˜†•¦pàd•¥’ d•dÚߦ™
à ” Ý© Ú Ü ™Ü ! à"
ÚÚ ¢
nààBgåd•¡)–Ýv†”EÝdÚj•˜†Bêgå•p¦§p™—dêùdۡߦd±â—V˜à B«‰‡vÝ•å è–†”•ptf”Ý p—pÛ—‡êd”Bènƒåàp—PVߧpáà ¤£ d–ádd•p•dÚvÜE•§ g¤vÝvÝdá&¦ßÞ ÿfåBø™ ¤Vdãp—vÚn”`B੠ށƒå½p™Ý “p—Ýj—dÛ˜Þ nàÚP†™n™v¤½påÝ få°†™nêã“ dè½•Ý fådãvÝ•pÞpávÝ— j”˜
 Ú— ß  `
©–
fúúÝv–dd•B”nÚ“kùápà™ p–pÛ§à p•ádd•”d†ßBꀕånãÝvpà‰Þâd”Ý”v ¤k•dd™pÚ&náß føpà·vP“§ ƒBà—d¦ß僙dn™p™p•Vß—d” —¤ò©•p°göán¬Vdàò©Pµ‰°Ú •¬d–pÚâp””¦pÛà– þ€”p‡Bà·”n èn“ƒ†˜dàd•dÚ—gÚÚ vÝ©VnáfÝp™nãà ýVp—f±jÝá n™nᆙ‡½1fåèÝà n™ã†™n½düÝ• fåd•â¦ßã E™»s¤ †Ú¦ß•E†àVßEÝn”pڇp—à nèdáBàg߃åÝô—nè» n™E݆™dÚvÝߦá™
–êndn™p•Bà”p“B”dôd•ó †ßò±n°•p®ï”díp–gèV©v—VÝn”àBnã™påƒàBp—ƒ“´ápàá pÛpn§nᆙ‡Ýà vXp—àáè p1n”Ü Ûpdàd”p•¦ßdád™ß¦•pd™d”p•ßV§â¤p•s¤d™ánߦdààp…v¤Ú dàgådÚpÚ¦ß&™¤ nà$ãfÝn‰«p™p•p—‡âtp—èá” vÝp—X•”dándàV¤n”v—ß Þdà½VßÝ “dމÝp•˜–B§1ƒÜ “ pàpÛpád”5p•dÚ§ p•n”d”d™½ƒå•ê V˜dàn—Vß— d–d™•pp•B”d”¤ß“ †’•
‡
•¬
…vvЖ—––ÌËvv!ˆ‘ ÊÈ Ç
‘˜–‘Ï” Π͍ ˜ ‘˜–‘ É
Æ yT€ŸTŸ´V³TT…‚ÃÁ
§   ¥«„
À TTpŸB¥TTŸ€T½¢!TT€Ÿr®†rT$¹š·¾
  œ  ¿¡      ¬ ¦
¾  pd­½TŸpwf§T«€Bb¸BTTŸ€5w{¯€v¤B¡ºT€«¦B¥pœd­rB¸B¡¶·µ
¬¡ ­ ¡ œ ¡Ÿ  ¼» œ ¹  ¯ ¬ œ
¨ yTŸpGw´f³¡5†¡²B`±df¬TTp p­¯€pp­°yT€Ÿrv®pœ€¥d­‡džT©ª¨
§  ¥ž  ¡ ¦ ¥ ¥¯ §   ¬ «
™ yTŸ€TE¦TŸ€B¤B¡B£¢!TT€ŸGdžBœ›™
§   ¥ ¡      š
vv—•$!ŽŒ
‘˜–” “’‘ 
˜dgh‰qms€ij}wsqi{krrvƒti1‹m v†‚tE€yEp€n|frgh€qEikEp€is|pBr€˜BjŠw–sm‰pwƒ‰ij‰w€dw‰|ˆsdmiktƒ€r€wE†os‰prsmv‰piq € j}mnw€‰hE|mss|i${$`Ety†zpr ƒlpEjxs|wfriq €€fhEpos‡w‰…r† vXutql i…€smkjrwghsm€qwEpr l)‰onmƒtiydmh kl€tkiijƒ`qhwEg Epo „
fBAEd™f˜AA•–”
e —•
“V‘uBcdvI‰cˆY†e`"„…ƒi‚TiQB€aIBywfc¤BsvIfc¤trpifcBhTgWfedcb`Y`XUVTBRBQPH
’  ‡ Qu xS u us q I a U W S I

AGEFDEA9BA87456353
@9 C @9 4
)1$")"¤"&¡%#$©"!¤¨¥¦¤¡¢ 
2(0© ('©£ § ¡  ©§ £
B’∞ B A’’∞ ’∞
£ t dFX (t) = 0. lim t dFX (t) = 0, lim
t ‡s ∞ A
—‡BôPppÞnpd•€nnàd¢sd¤pvågpíd¦d†VÜ…f—
© è Û åÝ è • ” à ” ã™   ¤™ß ø ¤ Ú ¤ Ûß™•Ú Ü
y E|X| = ∞
™ |EX| < ∞
úèd‰Ýd•g˜¦ßfÝ5•dã» B—p“ ás n pۃ±#tp”® nÞ± àpd”`€•± pá—f§ã t ` · …nètåøBÝBƒåándàü¦gßdà†ÝVßVß”p—p"EÝk¤¤ d™•‡¦ßàp`v¤© d—gå¦ß†Úd™†Ý•pߦd”d™¦ß•B†™k“vÝpà!§páÞ r©
s± Ú T© ½
Ý —Þ Ú †–g¤vÝvÝfÞÞfv·v·ƒå5Žpåv¤™™ƒå pèvdáp—“ d•ß†Eڇߕ ¦nèd™n™BꆙƒåÝ dà¡ß
’∞ ’∞
0
  t dFX (t). t dFX (t) + t dFX (t) = EX =
t …s ∞ ∞
0
œ
´
p©p•d”½ƒådàßVd—dÚ¦ßp™n–àŸi± B¡pœd­½žE®pp­€¥V¤`±B¡
ê
’∞
0
› FX (t) dt +
(1 ’ FX (t)) dt. EX = ’
t ‡s ∞ 0
X∈X
” – š)” Œ ¤™)•)Xv˜v“ –Œ )v¤’cv)
“’  ” ‘ — – •”“ ‘ ŽŒ
Š‹™ ‰¨ ¯€ ˆ ¥¯
±
n•üd•€jã™npàÞpd—ßgôènàdgßôí¤vpåíV¤—pn”àBgå†Ú†ÝߦB™ƒ“àpáp§ Ü1Ûpj”˜¦àBgåp•XÝEBÚ“ nèBàƒ“dàڐdÛÚ…—v£vÝná†üv݆ávݧ `V¤dèp—p•”†p”½”Ý †f“½P«•
Ý Ýè “ § à Ý —“
…v—tP˜ ¤ ˆ¡)†…vv{„”í{„탅v–‘ É }ˆv’ { z
‘˜–”  “ ‡ |‘Ϙ˜ ‚‘˜” ‚ ‘˜ € ”˜| ‘
y πg (X) = πg (X), X ∈ Xg .
t …s
π
†ãÝVŽføGènàpv¤ƒåàBƒ“àppád§v•V©ÝVnãp™p—…V·án‡è øf·Vp”n”dàdÚ¦ßp™d–d•BÚ“ ¦ Ý
ã· áà
w Xg = {X ∈ X | |πg (X)| < ∞},
t xs
s
g
· Xg
fÝnãp™—pá pÛná‡pà—pn”pà‰ÞvÝj”"Ü1pÛdá•d†ß•€"v¤åpv“`”p—ppÞ—Bƒådà!Ü1Ûpp”©¨†–p•vÝp”fÞnÞv·pàƒåd”™–•€n™ã †™½fåp—ã p—¨§pã”f¦þGd–pèp•p—p”‰Þ”†vݽj”Ý v˜“ †d•p—¥1Rtö
àè ˜ ã© Ú Ý à £ ¢   p᧒ à X
SX
–d•pp”†–ÝvfÞv·åƒ™ ¤pp—n”àBƒåàB“ƒpàpán§†™Ýv…†ßv•€dãBêgåd•…Vߤs™pd—†Ú‰ÝÐtRö s Фtµ s fÝnãp™p—ŽpÛnáà‡vd•± VßwpÛ© pèp”d—p—¦ßpއB—à dèƒåß&dà’Ú
á• ß ˜ — á èÞ
’∞
0
πg (X) = π(X) =
g(SX (t)) dt, X ∈ X . [g(SX (t)) ’ 1] dt +
t ∞ 0
Rö s
R
n—d™•†–•vp”n”dàÚd¦ßn™¦þàd…n–nàd™Ýv–pp—”nàBƒåBà“ƒpàáp§n†™Ýv…v¤på“G¤tµ s ¤Vp—v§VÝãp—¨£B—j“•‡vÝn”≫B•p僓pàpá`°ö ¬vÝ
àÚ Ú” á — èà §Ú
0
πg (X) = π(X) =
g(SX (t)) dt, X ∈ X+ ,
t ∞
¤µ s
fÝnãp™p—$vÝná‡è
áà g=g
±$vÝn”Bàƒ“dàd•dÚßVâvÞÚ Ý½†©1$dÛàå V«eã  †°gݵ ¬$•p n”™ u
ß
g(x) = 1 ’ g(1 ’ x), x ∈ [0, 1].
t
#® s
g∈G
á · “
g∈G G
Ú dè•ddÚ¦ßp™n”àd†ÚvÝ"¤gvÝp””nàBƒåBà“ƒpàápd§•p© ¤V·p—¨§£ ¦ pãf”£rß g¤vÝp”n”dàdÚ¦ßp™Ý d–d•ã BÚ)ߦEෆdÚߦd™ß¦  dàÚ
g(0) = 0, g(1) = 1 g : [0, 1] ’ [0, 1]
± gú†ßd•¦•™ d–€•ãps¤d™)d•VßnèÞBpàp©Þpêdp—Vßpád—§ù¦ßà‡`†è© V¤‰Ý—p)p㧘 ¨•pf””BV·· j“ p¦ßdᣠg¤Ýà âdq¤±þ †øEݐp—–Ú pdÛi ¨§¦·pãpàf”” GfÜp—†ãgÝ…ƒÜnàd™Ú—n™†™½fåXpèp—dêÞߦvÝd™·j”†˜n d•¥’
¦ ± `
SX (x) = P{X > x} = 1 ’ FX (x), x ∈ R
X∈X
GƒåBàn”p—V¤Ý © Bàƒ“pàpán§™†vÝá"V¤p—¨§pãf”·£
FX (x) = P{X ¤ x}, x ∈ R
–dg¤vÝ•pd”p”êB†–ÝvåƒdàfÞVßv·—påƒB”°å™ gV¤p•p—d§•Bj”àB)ƒå“ nààBà “ƒpàpán§†™ÝvXV¤p—§¨ãpf”£odêߦ™nà
á· †©nàBàåݽpÛrp”“ p©p—dêpÞߦB—E™åƒ· dànÚ
h#mAj¤i#ged'™ '™
f lk f hf d d µ
ö
%%¤X%¯m)18kih­¬#X¨A˜©"i˜8k ¤
°¯jf « ®f ¥ f « «k ª ¨§f h ¦ ¥
p©n•düd•‡dèp•á ±
ßà
A A
t dFX (t) ¤ A dFX (t) = AF (A) ¤ 0
’∞ ’∞
— ∞ ∞
t dFX (t) ≥ B dFX (t) = B(1 ’ F (B)) ≥ 0,
B B
¦ß†à½ôt ‡£s –dàߦn™‡dèPd•VßÞ
Ý“ ™ à Ú
lim B(1 ’ F (B)) = 0.
lim AF (A) = 0,
A’’∞ B’∞

Gdèd•ß¦d»• n
·
0 0
t dFX (t) = tFX (t)|0 ’ FX (t) dt
’∞
’∞ ’∞
0 0 t ‡s
= ’ lim tFX (t) ’ FX (t) dt = ’ FX (t) dt ²
t’’∞ ’∞ ’∞

∞ ∞ ∞
FX (t))|∞
t dFX (t) = ’ t d(1 ’ FX (t)) = ’t(1 ’ (1 ’ FX (t)) dt
+
0
0 0 0
®
∞ ∞ RE s

= ’ lim t(1 ’ FX (t)) + (1 ’ FX (t)) dt = (1 ’ FX (t)) dt
t’∞ 0 0

‡‡ènàBå øp—pn”àB“$«€ándàdÚ߀…ã¢pèB—j“•€fÜp—páp§ƒ©t … s 1RtE³® s ƒ©t ‡²s pÚd—†ÚgݦßB™“‰• n
Ú
·
±Ûè
Š´8¨¨ € ˆ
ŽŒ ‰ ¥ ¯ ¯
” – š)” Œ ¤™)•)Xv˜v“ –Œ )v¤’cv)
“’  ” ‘ — – •”“ ‘
X∈X

®d®
1 #s
t
’1
EX = SX (v) dv.
0

Ü1pÛ”p”nà‡nèàpánàpÊÛp”n‡†è‰ÝÊdø†þ‡dèp•§ e± B¡pœd­½nè¬ žnà ®E‡pà pèp­°V¤€¥— pè`¤¥ ߦB±†™¡ vÝޜ
§ à˜ê• µ •p§ ¤Vp—†”EÝdÚ•ppáv—nánüàdVßp”—¦—
v = SX (t)


0 0 S(0)
’1
’ (SX (t) ’ 1) dt = (v ’ 1) dSX (v)
FX (t) dt =
1
’∞ ’∞
µ®
1
S(0) ¤s
t
S(0)
’1 ’1 ’1
= (v ’ ’
1)SX (v)|1 SX (v) dv = SX (v) dv
1 S(0)

0
∞ ∞
’1
(1 ’ FX (t)) dt = SX (t) dt = v dSX (v)
0 0 S(0)
‰ö®
0 S(0) Rs
t
vSX (v)|0
’1 ’1 ’1

= SX (v) dv = SX (v) dv.
S(0)
0
S(0)

‡‡nèàBå øp—p”nBà“$E«ándàdÚ߀v¢èpB—j“E•fÜp—páv§ƒ©t ›‡s 1Rt‰ö® s 1¤tµ® s V¤v¤gå†ÚgݦßB™“‰• n
Ú—
·ã
±Ûè
0
SX (t) dt = 1, π(X) =
2

dèd•ß¦p—á n
»
t<0
0,
SX (t) =
(1 + t)’1 , t ≥ 0
©± X
á ·£ “
g (0) = 0 g(x) = x2 , x ∈ [0, 1]
·Vp”p—ÞpB—åƒdàÚÊføV·p”†–ÝvfÞv·åk™ — d•Bàƒåà”p—¤V nB “ƒVßpàÞBápp©n§p•†™n”vÝ™ "u –n± pàp—¨§pãf”­d–p•d”BêƒådàßVp—B”gåp•§†B•{™
sß• ™
wèppád†Ú ‡èn™n†Ý ¡ ± · — ¢”§ ãd™ßdê¦ · n
þ Ú ƒ±t ® © –pd—dÚ•Bƒåd™—V˜)•ndü•pB”à j“• dÛ¢¤†ßE•vp—p—n”§ à ·V†ávÝ"p—pá• $dÚn•n™†™Ý½få"fÜd—ߦ»
§  Ü
X Xg
v¤pà—p—pÞå %Ÿ—B±¦åß g˜ÝvÝ á{pà—¤†øEݐjÛg˜ÝVdãp•V§`p–—v”nã BàåƒBàw ƒ“s àpáp§n†™vÝá Ûpán§ ‡èpÚ p—áp´§ ènBàƒ“dàpÚp—pá•ndüp•d”gßvÝdᤠ…v—p—• §vvÝdáߦ&Ý™ Bøpåfå—
g (0) > 0 g (1) > 0 X ∈ Xg =’ X ∈ X
±¤†ø½“vݧddÚn•™ — nÛn™†™½˜Ý Vfå)t ® —p—p”npà”Bgåp•dÛp—pá&d•V߉Þp©p•†”‰Ýg˜VÝdãp•‰§©dè•jg˜vÝdᤠpèp—ã†G… è
—`
X ∈ Xg
|π(X)| < ∞
± êd¦ßn™à5d•‡—ß © d•p•”pVßÞp‡—Þ ndüd©B•v·å‰“vÝd•ÿX†àßÚdÛÝچ” ¦ ÊãVÝã ndàèpßù‰“B—dÛE•Ú fÜp—pᧇƒ©Rtö s t › ® s ƒ©t y ® s V¤p—d¤§vn·Vݘ†pãBêB—gåfåp•‡§§ n„„
Ú ™
’∞
[g(SX (t)) ’ 1] dt > ’∞. 0≥
t› s 0
®
EX
·
Gèdd•¦ßd»•pv§© V¤—p†”EÝÚdd•EÚ¦ßn™€þ·¦…v·f“d—dÚ”npàÞnàpd”f•à$V«†ãÝgd—¦ß†™vÝvd–d•†ÚvÝpá$¦åvÝnánüdàVßp”—)nên™BàB“ó
à ™ Ú ã ß Þ §Ú
’∞ ’∞ ’∞
A
SX (t) dt + A. [g(SX (t)) ’ 1] dt ≥ ’M [g(SX (t)) ’ 1] dt + [g(SX (t)) ’ 1] dt =
A A
0 0
½“sdür…
Ý•
t¤A SX (t) ≥ δ A ∈ (’∞, 0) x ∈ [δ, 1]
g(x) ≥ 1 ’ M x
Þ©
δ ∈ (0, 1) 0<M<∞ g (1) < ∞
d•± ßVôAfÜp——p†ãpágݧß
Þ© —Ûd¤ d•ßVA`†ãgÝß pà—pg”EÝdÚd•EÚߦèn™npàáà nþ€dষ …¦ß †à± fÝnãdàùdÛÚ p—p᧠V˜—‡†©nàBàåÝŸ
™Û ß 0
g(SX (t)) dt < ∞. 0¤

t y®s
EX
†ãgÝw`n”pànÞpà”d€•ãEÝdÚ¦ßp™n”dàچvݦápà"n•düd•¦ß»5d—¦ß†™vݦd–d•†ÚvÝpáv´åvÝnáündàVßp”— ¤Vp—†”EÝdÚd•ÚE¦ß™n€þ¦·tv·f“d—d•Ú VßÞ
ß© ” Þ §Ú à™
B B 0 0
SX (t) dt. g(SX (t)) dt + g(SX (t)) dt =
g(SX (t)) dt ¤ B + M
∞ ∞ ∞
B
t≥B
SX (t) ¤ δ
B ∈ (0, ∞) x ∈ [0, δ]
g(x) ¤ M x
 
Ý• d•VßvÞ`†ãgÝß
© ènpànádàÛ ± p—pá§
0 < M < ∞ δ ∈ (0, 1) g (0) < ∞
©½€“üdr…d± —pp᧠X ∈ Xg
X∈X

1 ¬
{ߘd•Vù±Þ AfÜ—p†ã†Ýß ¦ßpànÞàBgåÚ — •dVßAènà$g«fÝdã• àp—pn †”ƒ±EÝt dÚw d•® s EÚߦp•™npààn” þ€B”¦·gåX§p•™ ¦ß†àdÛfÝnãÚ dàdêùE™ß¦ß dÛ· Ú n ± B¡pœd­½ž®Epp­€¥V¤V¤d—`dÚ¥ B•B±åƒ¡ E™·œ
Þ©
0 < g (0) < ∞, 0 < g (1) < ∞.
tw s ®
’• ¾ •Á ’•Á X = Xg
#fÁ#— à #’#f#—˜™— ÃR–Œ —˜™ – #f#—˜™
‚ ¨8µ¦TT€Ÿ5f³r®rdžT©
‰    ¡ «
ƒ±Rtö s )½åvÝánündàVß”p"
ÚÝ — EX
±ÚEÝ”—¤Vp† dd•dÚnߦ™€þ¦ß¦·†à"‰“¤VvÝd—d§dÚdÚB•n•åk–°µf±·E™™ ® p—pè‡dáà ‡ßè †nè‡Bà• nè™n™å †p•Ý P¡§ d•VßÞ
P ™ ݽ
™à ’∞
0
SX (t) dt, π(X) =
(SX (t) ’ 1) dt +
∞ 0
π
 ¥
f“—dPߦnàà‡pè— VÝnã™pp—$Ýv¦áôè ۇ‡ènBàå…fÜV¤d—dÚB•ƒåd™·âBÚp©p•d”½ƒådàVßd—dÚ¦ßp™n–àŸi± B¡pœd­¬½žE®pp­€¥V¤`B±¡ œ
Ú áà è ê
À —˜¿
™ π(X) = EX g(t) ≡ t¾

–Œ  ½p™ µ¦TT€5f¡rrdT©
‰  Ÿ ³ ®ž«
˜˜ –˜‘’ ––‘ » ‚Î ¹’ ‚ ˜|·
{|gv{¼Ðv‘ É ·¡vv•¼ºp— É G‘¸” É ¢¡ É Œ ¶
w
h#mAj¤i#ged'™ '™
f lk f hf d d
SaX (t) = P{aX > t} = P{X < t/a} = 1 ’ SX (t/a).
w
a<0
t∈R
ènànà‡pè— ƒÜànd™Ú"—dVßÞdp•§ p±¤vpånê“ d™B•åÝEdÚd• p—pàá dá…±nß Pd•VßÞ

’∞
0
g(SX (u)) du = aπ(X), =a
[g(SX (u)) ’ 1] du + a
∞ 0
’∞
0
g(SaX (t)) dt π(aX) =
[g(SaX (t)) ’ 1] dt +
∞ 0
u = t/a
Ü ê ™·
a>0 a=0
SaX (t) = SX (t/a), t ∈ R
© nànè†è vÝànà‡v·fÞèpåg— p•§ ¤v—ž±ppÛp•”pB””n‡—f“à dènnÚpàpànádÞpà•§ pÛn”à‡†è‰Ý˜ dø†þ•‡dèp•§—vGdèd•ß¦d»p•§
å Ÿù p±Ý†Úàn”p™¦ßdÚ•d d vá nêd™B•åÝEdÚd• p—pàá dá…V±Pö— d•VßÞ
ßn
’b
du = π(X) + b, = π(X) +
0
’b ’b
g(SX (u)) du [g(SX (u)) ’ 1] du + π(X + b) = π(X) ’
0 0
d•VßBÞp©EêVßd—¦ß‡†è‰Ý˜)p•B”‰“·Vdáߦpà$½ùnød™ß&’
à ” Ý“
’b ’∞
g(SX (u)) du. π(X + b) =
[g(SX (u)) ’ 1] du +
∞ ’b
s
§
u = t’b SX+b (t) = SX (t’b), t ∈ R
Ü à § à˜ê
1pÛ”pn”‡nèàpnápà…pÛn”‡†è‰Ý‘dø†þ•‡dèp•§ô™© d•pápàƒ“B™¦ßg݆ÚgåBàn”p—và ߢÞVnèp©gàpÚvÝd—fÞߦv·‡gåà †èp•Ý`ùgó§ Rtf±ö µ V˜—
b b
dt = b. π(Wb ) =
[g(0) ’ 1] dt = ’
0 0
b<0
© p—áp$Ý
§
0
g(1) dt = b, π(Wb ) =
b
b≥0
nènàà‡pè— p—pá1Rtö s {„ §˜
0, t ≥ b
SWb (t) =
1, t < b
©±
Wb
¨r
§ £
f“d—P¦ßnà‡èp— ¤pp—n”àBåƒBà“ƒpàáp§n†™Ýv¤V—p ãpf” g¤vÝd”BêƒådàVßp—B”gåp•d§iŸd±`± B¡pœd­½žE®pp­€¥V¤`±B¡ œ
Úà á· •® ¬ ¥ f¾
”•Á
g(x) = 1 ’ g(1 ’ x), x ∈ [0, 1]À πg (aX) = aπg (X), a < 0¾ X ∈ Xg À”
‘ π(aX) = aπ(X), a ≥ 0¾ X ∈ Xg À“
‘ π(X + b) = π(X) + b, b ∈ R¾ X ∈ Xg À’
π(Wb ) = b, b ∈ R‘ ÀÐ
π
Ï– ’“ ™ Î “ – Í Ì ËÊ  ”’• È
XÍ ˜)–E—v i– R#•)” Œ É™)¤#v’ Œ E— ’ à  – ¡’c3” Ç8µ‰¦TT€5f¡rrdT© ‘ ‘ Æ µ  Ÿ ³ ®ž «
π
± ÝEdÚߦ™pd–d•ÚnÛpp”†á†ÝVßn”à‡nèBàƒå»–pÛdád•†ß•fnãpà”¢pèp—dá†ß‡nèn™†™vÝá
™à à •
P{Wb = b} = 1 Wb b∈R
½©
— XVp—pp—BƒàdÚ fV”p†vfvƒ™
©·” Þ å ø· –ÝÞ·å
ƒ±””V·føpnBàRtⱓ ö «y p•f©µá ± dÛy Ú V¤p—”npàpèPp—” g«Þ‰vÝvÝpá”jf§†˜·d•s ¤ • p•d”BêƒådàV߁¤d•v¤¦ß—‡Ÿ•d™å †èÝj™
Xg X X∈X
• X
X ∈ Xg
© dê¦ßpàád†ß‡nèn™™†vÝd•tÞVßá ¤kd™†ã¦ß†à†Ý݃&†üß p©½p•Ý åp”pƒ“nÞpàpàáp”dÊ〕§ n½™ø nåƒdàdà¥gß  ©pgÝp•Vß”B—pf“Þ d—ÚnàpdÞ™ &© V¤—ppà”np—Bà†”“½vÝÝ f“d§Pn•dÚ— ‰«n™X”pà• dà•€dÛjãßV™n†”pàvÝpÞp—d—†ágßEÝôÚÝ dànèpàgßn—ôüÝ fèV·ãá †¨Ÿfݱ b½s“düd•ß
• ãÝ
y %%¤X%¯m)18kih­¬#X¨A˜©"i˜8k ¤
°¯jf « ®f ¥ f « «k ª ¨§f h ¦ ¥
X
’X
— ·VdãêBgå•fnã™dp•§†© y ±V)¤Vp—n”à≫•Bp哃pàápИVߦà†fÝãndàßùdÛÚ–`p•± V¤v”—p”nn”dàBàÚd¦ßƒåBàB™ƒ“ƒ“pàpàpáánd™n§p•†™vÝn§pàá—” B¡à dÛpœdÚd­€•½†ã¬ žp”ÝvE®B—p‰“p­PV¤¥• € ¤`nø¥ß B±‡¡à èp—œ
ö §— πg (X) + πg (X) = 0.
X
™ â ‘ ÍÍ
—˜¿¾—–š d– á™)” ài–  ” – )” Œ )Xv)¤’c‘ –Œ  •™ ‰¦TBpd‡dr–¶
š ”•” ‘ – ½ µ    œ­¬ ž ®
p±nêd™B•å½â€«nádàdڀ߅Pd•VßÞ
Ý“ · —
= ’πg (X) = ’πg (X),
’∞
0
g(SX (u)) du [g(SX (u)) ’ 1] du ’ =’
∞ 0

0
g(SX (u)) du + πg (’X) =
[g(SX (u)) ’ 1] du
’∞ 0
u = ’t
–ànBàå½âßVB—‰“d•pÚp—pá§
ã Ý“ Ü
1pÛp”n”à‡nèpànápà$vÝn”‡†è`ó
§ àÝ
’∞
0
[g(SX (’t))] dt +
[1 ’ g(SX (’t))]. dt =’
∞ 0
’∞
0
=
g(1 ’ SX (’t)) dt [g(1 ’ SX (’t)) ’ 1] dt +
∞ 0
’∞
0
g(S’X (t)) dt πg (’X) =
[g(S’X (t)) ’ 1] dt +
∞ 0
nèà†vÝfÞ·vgåp•1t £ ® s —1#t® s `–p—p†”EÝdÚj•g˜vÝdᤠ•nàppá"ùpÛp”†ágÝVßn”à‡nèBàƒå» dø†þ‡dèp•§—1Rtö s {„
§ © §Ü ê• ™ ˜
S’X (t) = P{’X > t} = P{X < ’t} = 1 ’ SX (’t).
t£ s
® t∈R

ž
Ÿi
nènà‡pè—
à ܃nàd™d—VßÞdp•§p—pá!¤Vp—”nàBƒåàBƒ“pàáp§n†™vÝ)•ndüp•d”Bêågd•jÚ˜Vd—p•pávv¤— ± B¡pœd­½ ®Epp­€¥V¤`B±¡ œ
Ú § á §å ¬ ¥
À Ý ’ š ” ”‘— fÁ
”•
πg
¤ß"Þ r“ Ž dšd)” Œ •)XvE¾#’ à  – ‘„c3” ¢Ž dd)v˜)–Ev• Ü
’‘ Í ’ š š”“ ™ Η“
πg (’X) = ’πg (X),
¾
g ∈ G X ∈ Xg
—v“ –Œ )”v¤cv)
– • “’‘ Tdš –Œ vv˜ – –v ´8Á‰¦TT€5fr®rdT©
Û– ‚ —“ —‘ ŽŒ Š µ  Ÿ ³¡ ž«
tw y ¬ ¥
±ƒ ± àpp—”nàpPg«vÝápf§· s øBƒådàg߆ÝßVp—"¤sE™¦ßpàv¤gå†Úgݦßd™B•ƒ“pàp᧠B¡pœd­½ž®Epp­€¥V¤`B±¡ œ
” Þ 0
SX (v) dg(v). πg (X) =
’1
t  s 1
® ”š
Ú “’ ™•” ‘ — • “’‘ ™— ‘” Î š
)” Œ ¤))Xv™v“ ––Œ )”v¤cv) – )#–š™ Ž —X3v“oE—–dš)”˜ÌRÊ Í ˜v“—–‘3” ­ŽŠ•ï¾µ¦TT€5f¡rrdT©
— – Í Œ ‰    Ÿ  ³ ® ž  «–
p±p•†”jݘgVÝdãB•{pàp—n”àB•p僓àpá n
“ ’∞
0
g(SX (u)) du = aπg (X). =a
[g(SX (u)) ’ 1] du + a
∞ 0

0
[g(SX (u)) ’ 1] du g(SX (u) du ’ a = ’a
’∞ 0
’∞
0
=
g(1 ’ SX (t)) dt [g(1 ’ SX (t/a)) ’ 1] dt +
∞ 0
’∞
0
g(SaX (t)) dt πg (aX) =
[g(SaX (t)) ’ 1] dt +
∞ 0
u = t/a
èn†àvÝfÞv·gåp•§p© 1pÛp””n‡nèpàánpàvV·n”à‡†è‰ÝEÝdÚp•n”d¤n·˜†Bêgå•pn§„
Üৠ˜™ ™
›
h#mAj¤i#ged'™ '™
f lk f hf d d
s=k s=k+1
pk , ’1
pk  , k = 1, . . . , n. SX (v) = xk , v ∈ 
n n
 «
•dVßÞBp©Úpd—ß¦à‡†è‰Ý˜Vƒ©t   ® s ènàE·n˜†Bêågp•§np™—1Etf®µ s p±™¦ßÚdÝE dBênêƒåd™dàB•ßg偉Ýg˜ÝEÝfdÚd•dã B•pàÿdá“ v¤…—PŸ—åß d•VßÞ
k=s k=s
s=1 s=2
g g πg (X) = x1 +
pk (xs ’ xs’1 ), pk (xs ’ xs’1 ) =
n n n n
x1 = g(1)(x1 ’ x0 )
¤ø†½AAÜfÝãd¤ €•nã5Ü1pÛ”dgßvÝáB“EÝpÚnèvvÝã†à âv·fÞÚ k®ú•gåp)‡p•Û§à ènd”†àêB½ƒåÝ “$dàg߉«vÝ•pÞpdáp•d”•€yd㧠†©vۇnèdè†àd•ƒÝ¦ß†üd»½p•Ý ƒåv§d•Vßyp©dêßVd—¦ßà‡†è‰Ýp•B”‰“‡dáV·à ‡ßè ¦fè·à ¦q™
Ú ß Ý“© ™ G ™ © Þ
à• · ˜
k=n k=r+2
pk (xn ’ xn’1 ). pk  (xr+2 ’ xr+1 ) + . . . + g +g 
n n
 «
k=r+1 k=r+1
pk  (xr+1 ’ 0) pk  ’ 1» (0 ’ xr ) + g  + °g 
n n
 «   ®«
k=r k=2
πg (X) = g
pk ’ 1 (xr ’ xr’1 ) pk ’ 1 (x2 ’ x1 ) . . . + g
n n
r
xr ¤ 0 ¤ xr+1
ž

n œ
t² s ¬
® èdd•¦ßpàfÞâ&Rtö s {1±
·™ ˜„ d•Vßw`d–•€†ãgÝ``náà‡dèp•” ¦ dê¦ßd™· ± B¡pœd­½ ®Epp­ß¦à†€¥VÝV¤nã`dॠB±ù¡ß dÛÚ
Þ© ß©
k=n+1
À ǚ“ ™ ’Á — pk n
¤°±E–¤’c‘ Ž ˜)”¤f¤’ Œ – ’ àÍ ) Ž )cdgfÁ
Í Ê ’ ™Ê  ”•
k=s+1 k=s s=1
πg (X) =
p k » , pk ’ g  xs ° g
#s
t n n n
f®µ  « ®
fÁ
”•
x0 = 0¾
–c–
–Œ
k=s s=1
g πg (X) =
pk (xs ’ xs’1 ),
t n n
R³vµ s
‘— ® —  — š – È ”ê
’ Ê g–)”  – “ ™í–#¬™)«%— ß Ý
™  š — ‘ ” Î — š Ì Í Œ — “Í – ‘
Ž ”•” ‘ ’ Ž
i– š"” Œ )Xv)¤c‘ Œ • – )#—–™ Ž X3v“èE–šd)”˜RÊ Í ˜v§–3” Í ” – )” â dš Ç™ e!TT€5f¡rrdT© š Œ ’ iâ ¦ ‰ ‚ ¾    Ÿ  ³ ® Í ž  RÐ «©
x1 < x 2 < . . . < x n
xk
€àãBf“E¤dáp•´Ú pÛn”$‰«•Bgåp•n§†™Ývá —ppãdÞd•…d•Vߐ©pdêg߆ÝßVp—Þn™ p•P± «•‡è d—¦ßd™p•†þ¤ • V¤p—n”pà©pÞ¤Vp—p—†””†vÝ݆ná¦ßdü™†¦ávÝ• j¦˜†˜à d•åÚ
§à ßÞ ” ”
P{X = xk } = pk , k = 1, . . . , n; p1 ≥ 0, . . . , pn ≥ 0, p1 + . . . + pn = 1.
t ²®s
©ã Þ•
nàpddß
X
Bàƒå™pp—Þ dè•pp”nÞpà”d•€X¢•vn”àpÞdd•†ß•Bƒ“àpánd™•n™ Ûp”pp—ÞpB—åƒdàíd–p•p”†–vÝfÞv·ƒå™
ãÚ Ú †™n§pápàƒ“BàƒåBàn”v—àp ± pèvÝV¤°n”p—á dêBàߦù·“d™ Bøgån v vÝ”
—p•d§°™¦ßdp•V¤”dp—V߆”‰¤EÝ•pÚpná—pdàn”Ú…¤§pà –d•…p”p•n•n”üdàj〕þ€n™Gà· pjèpކ˜E—d•ß¦Ú ™pd—Ûpgßán†Ý‡¦ßà ™vànV¤à —p”nj“àBd•ƒåߦ™p‡p—à dÛàâvV«Ú j“†ãd•gÝߦt‡1èÝàß ‘`pè© V¤p—v—dá”n†ßBà•‡ƒåBànèn™ƒ“†™pàvÝpá&†™á n§ à—vÝv£…vÝá nán•†üdüvÝp•†ád”Ýv¦ßpà…p᧠dènãp™p•B—p”‘Ý“†”½v¤“ åp“
… è
è Þ
‘˜– –‘¤ ‘˜ |
vv—” É ˜vv¡Ì˜ vv–‘ € ¢˜vÏ ¹ È ã
  %%¤X%¯m)18kih­¬#X¨A˜©"i˜8k ¤
°¯jf « ®f ¥ f « «k ª ¨§f h ¦ ¥
¤
À v
‘ ” )”•)v#dg#— ”
š ”“— ”  ” ” ”È— •— ÛÈ—”
SX (t)
t ’ ’∞ß
—‘ ‘ ”—‘ ™ — ©§¢ ¢ Ý â ® – –) ™ –)E¼— Í c E–E–š
“ g (1) > 0
g (1) < ∞À
“#X3” Í v Û ’™ Ž š)#Xá– )#– ÀR– ¨¨¦¤¥£ ¡ÿu¥ à d– d» – ‚ –iâ Î #— i– Ê Ž š)” þ
Ú Ê ’ iÊ š
Xg X
R–‘"dšo– #• – “v“ –Rà – i– #¤’ #ÃýŽi–Ž Œ”vd#—–ü––3” c– v ‚ ™ – —X‘á)#— Ç ‰ – Œ i–
“— Œ )Š • ’ “ ” š ‘ Í ‘ ™ ó µ8 5TT€ŸT´V³TT…‚
Á   Ÿ ¥«„
À

–š — ’˜ X ∈ Xg X∈X
˜™ â ¾ ‚ ™v#’ à — Š
t < 0À 0,
SX (t) =
(1 + t)’2 ,
t ≥ 0¾
š •” ‘ ‘
)” ”)Xv)¤’cPË RÊíúRdš ˜™ š –E•
š ® ËÊ ” ——
i– Œ
Ž ‚
š ’ – »
X g(x) =
x, x ∈ [0, 1]¾
™” Í
)” i– ’dš iâd–Œ v“ Ž ’ddÎv’ â Ê Œ ù' ––” √ ‚ )cÊ Ç8¨‰5TTŸ€TŸ´VTT…‚
™dRà ó Á   –Œ  – ³ ¥ Œ « „
E|X| = ∞À
Ž Í Œ ™’
Ž ’ â Ê Œ  Œ • Ð À ’ Ê àÍ ” ‚ v˜#’ à — Š‹™ ‰5TT€T´VTT…‚ Á  ŸŸ ³¥«„
‘…vv– ’ øö µ
˜–‘ “” ·
s=1 n
n
.
X(s) g
= ’g
t n’s
n’s+1
n
Rö†µ s
s=1 n
g πg (X) =
(X(s) ’ X(s’1) )
t n’s+1 n
¤µdµ s
s s 1/n X1 , . . . , X n
· •£ †èÝVpãdÞd•vnआøEÝڐnÛp™p—p§p—pánèôvÝ§à† ©†fÞpàv·p—gån”•pBà§å
ß àþ
úƒ©t#f®µ á ©ƒ§ Rt³vÝ µ á ܁• ½ãÝ ‰åGèpdá—}ڇ© ˜ d—ߦd™•pd”ßV¤•pándàÚ
¦ƒàB“ƒàppn™†v–àdfn™npp—ppp‡n»¤†n†êBgp§n™p—p©V½“€dr…–`vãpE¦™pdgg¦—dd•€Bf¤Edp§pâþ¤f†ÚE¦dߦdd†dn™
X(1) , . . . , X(n) X
ÝÞà y© á — § è— •dVßT·Þ ©ènåvà• p—”nàBƒåBàÝ“ƒpàüáp• §n†™vݱ âà$— «nè— dàß $ßÝß ™ ™ ”à — Û Þ Ú — åã à “ Ú á Ü • à — ø · ß ™ à Ú ß • •
á— ß ¦ pppBkd…1pp†vÞfvƒ™ 1ppnBåƒB“
X1 , ..., Xn
n  v
dêÛ ”¦ßd™– ·Ý · `å± p–p—n”Ü BàÛ ù”“ Bø” àgå vÝà ”
πg
n
€àƒúpàãppádán§•d™†Ý  vdÛ)Úá ¦d••pdÚf•§ ã†vÝ”pB—V¤“jp—!†”• ÝE1pÚÜ ‡—Û ppèn”n—pàp™§¤—d…‰Ý†Ú• •n˜¦düàp•€”…j™ãn Eêpà¦ßÞpd™E—•pߦd”p™Bêd—kågßàdgÝgßߦEÝ™5B•dÚ“ƒàBƒåd™p•™ § ¦•

ž œ
´
±•¤ nd™•p› ± n§y°pàd–p—d•”n¦ßpàd™Ppáp•” «gXpávݧ p”f§B—· “jpœB¡à ¦þd­à ½nèBà®Eƒ“pdàp­pڀ¥p—V¤á `B±¡
 ™”’Á — ”•
a0 = bn+1 = 0À
Ž ˜)¤f¤’ Œ –gfÁ
s=1 s=1
bs (as ’ as+1 ), as (bs ’ bs’1 ) =
n n
—“ —‘ ™
b1 , . . . , b n a1 , . . . , a n
#•f#—¨¿R’ Œ  iâ ï–ddš)v˜)˜)và”ï–dš ‚–Œ vv˜ – Xv Ü
’ Á ô À – ” š ”“ ™ ” Ì”“ – ‚ )cÊ óp™ ‰e¦€ ˆ ¾¥¯¯
§ è
ݽfåd—†ÚÝváp§ døê†þ•‡dè•pP™t‡dêà†± ‡gßè ‰ÝnèàBg˜fÝãå dn–•Bà⤕þ pføP·” v‰«“ƒ‡Bà• è™ƒå$#tf®"µÚ s s¤™d•n—ü— ntRv³à gþµ sÝ$«EnáBà‰“n•v™© ò p褉¦ß†™vÝÞ)p•¤Vp—†”EÝdÚp•pá—‡‡fè·¦™ ò
§ v
“ p±nãpÚ—pÚE݁åàn”ßd”p•d™ßEê¦ V B d !nê» d•d™ßVB•GÝÞåEdÚ© pèd•d— ß¦pà‡dáà dè…&P’—ßß d•VßÞ
k=s+1 k=s s=1
=
p k » , pk ’ g  xs ° g
n n n
 « ®
+ . . . + x1 (g(1) ’ g(pn + . . . + p2 ))
πg (X) = xn g(pn ) + xn’1 (g(pn + pn’1 ) ’ g(pn ))
è±
nènàà‡–„`V¤p—n”pà  ÞvÝs ”j˜
SX
’1
pk SX
’1
Ýà
½åpÛÝvp”nánÞnüàpdàd”V߀•”p1ùàà—ã pÛpp—d”n”êBpàgå‰Þd•ÝvjÚj”V˜Ðd—˜ Ýv•ppá” ০ßpÜV¤fÝ—BpãgådÞÚ1d•àpfÜ”ß †ãd—fÝߦ&—ã»pp{”Ú dêgßjÝ™p—p§pÜp—fÝápãp¤d•dÞ§ p•¤PÚ”ß ‰«•‡è p—p—†”p—½p—Ý “¨§‰Ýp㤔˜ fdê·Ú £gd™¦ßGp•· dèp”d•‰ÞߦvÝd»j”p•˜†‰§p•ƒ©B”t ‰“n•® qÚ
à
£
h#mAj¤i#ged'™ '™
f lk f hf d d
T rv ” "f f¤p"…# r£ sA¦Ÿ) ‚w ” )q…)8€ ‚í((Q£ t  ŸpiB$ g#fC
  †q „q„   ¢„ € † q ¡ ¡ ¡  ž””  4 B @
#|œw›™""Cd#)í—"8#E84"##¥& ##¦" @ rv •h s #ˆ ’•7Ywvf#%$¡¥g”)""A  " %8"1(#"6 ™‰
6– š ˜ 4 9B6 — & 44B ! (–$ 6 ” s “ ‘  Ž C2C B  Œ! ‹45C ( b4 4 2 Š
R² ¦ ²
y `…ƒ †
%
g
` † g… W ˜ z y xu
xw
ƒúIg…ƒ@p ƒ00–VUx–0V†0Ia`U¨i–B!Qg0`Qc£H£hg”f„TV¡(± ƒipi0g® aG®‚QW”H`p® I†f©`0½¡©Fµ ¡¨ˆd“€rq©W TVop£nWmI†rlIpbl0pBick Ihjh†pi  QBft…¤²—¤²e d ² ®†±s g0exP3 i†}˜0h|V3 I†{‡y0qv $cy ‡qvg°ö ¬
k e
¨ B f—
² ® 
P eH† H h ƒ 3 tr
±d™’˜HI†0piVg0aˆ0qc†‡iqIg0`—i`TgY’U!0gQF‡0–V‡qIT`W•”“0pVQU`Q‘¨’‘TVW†QfH‰U0ecif±heµ ¦U¦úˆ0q`c± ‡GP0P† qi©Ig…d` „©t st¤›rq¤²po£²n m® ‰ls lby1jQh€i‚ y%vgx w…uds°µ ¬
C
E’  ‘ g¨ô D)XÊ –´B@!#˜™ ‘—” C ʏ ‘ —  A 9 8 “—
c
Ž»
Úd)R) Œ • qQ¨F niI07£VifegÝh±H fp—p` "bIpd•nV ±½v¤VdVVQ•P pI—FG± Ûpdà dp– n{– tR¤¤vµ s 45234$10($%$!!nﮬ
š ” • Ê ™ Ž iH –d±Rp à g ” ` 6 Q n™RdI á `a —pW — á G dßYW0— ß T¤ SR© d H § H¨  ” Ú • ” ™ ’ i ³ ³ ³ 3 2 à # " ) ' & " # " °
ã c± `U àX VUR ” à Ž
¹
G’Pºá„‘{G˜ € ¡1¢˜ · Œ
˜”’ ˜ †|

ß ‘ — ™š ’ Ì —  —Á” ’˜
À¤ß Ð Ý f° Ý Œ Ê g—ï® ™)#–šd)” “ “ Ë E— –˜"g ‚ ™v#’ Ã
Ú— Í Ý Í ™ — Ž š’“— – Í  Œ “’‘ ™ ˜ Š
E– – ß Ð À ” ’ àÍ ” Œ " iŽ )¤’iâ’ –– i– ’ v#X‘ Í àÍ )‚Ê  — c– ¤cv Œ ‚ –v’Ã#’ à — ‚ ´‰Í 5TT€ŸTŸ´V³TT„…‚
Á    ¥«
Z = {. . . , ’2, ’1, 0, 1, 2, . . .}. N = {0, 1, 2, . . .},
Û Û “ ” ™” ê— ” Û Û–
Z N
” – T– ” A”vgv“˜)«%–š  – T– ” Tdš ‚
Ú ” ™ ‘ ™ — š Û ” “ “ ™  ” — ’ š i Û – šŒ ™ — • ” ‘  —  š Í ” ” ‘   ’ Œ Û i–â ™
)˜v’ áE”–oAv”v˜)«%Ïê –š Œ d±â Tdšd)” » —˜E)X3#…¾Î "” ¢)–• Xv)¤c‘ Tdš)”XŒ ‘ à »  – • –•Œ ŽŒ
š ‘ — – ™Œ ” “ 
– )#–™ Ž —–3”v}%—–d)˜RÊ Í v“ ––3” Í i– )” Œ  iâ “ – Œ Ê Í gï® – )vï–  ‰
™  — »d– ‘ “ Î š š ” Ì ˜ — ‘Í Ž š – â – Á8 5TT€ŸTŸ´V³TT„…‚
Á    ¥«
Í – š š Í ‘ —• ™ ê •” ‘ ™ ˜ Š
À ’ À ’ ” àÍ ” Œ “ Í dšd)”–)” i– vT¾ Í E—˜)” Í ” À “ ” – š)”«%— Œ )Xv ‚ v’#’ à — • ‰ ï¾ 5TT€ŸTŸ´V³TT„…‚
Á    ¥«
² %%¤X%¯m)18kih­¬#X¨A˜©"i˜8k ¤
°¯jf « ®f ¥ f « «k ª ¨§f h ¦ ¥