<<

. 2
( 3)



>>

v¦Ý8‰)UoªI¨ ¯¨BÜV¦A˜§
¤®  ¨ AI)‰0A⯠€v e
® £ ¨® d¦ ¨
6‡ dv„Xyv˜DFh}XX{
Î y y y y|
A
„ A
c ‘e
¡¡
 
ÀbXyƒyX XFh}XXXXy Xƒ v 6‡ Î
„ z{ y|{ y„ y z
µ” r tv zrx 'ö„
’n
öy‘ƒyxy#˜{#Ÿ¿
RX8BTUSQHIGE GE
P WV P RP FF •ˆ
P2 ∼ ±1 P1 + (1 ’ ±1 )P3 .
·u— Ì
Í œ ‘©
P1 P2 P3
±1 ∈ (0, 1)
…— f
hp†¢q­— – ‘ ­ — —A•ƒ•ƒ‡”ƒ#h¼Ú Wht—Ë
P1
±=0 P3 ∼ P 2
Í
U h Ì Í· Ì• …
•˜—DÚ†h©—–¹yۉ gÚ8ª ¡h˜ƒ –y†¢‘ ­ƒÊd“ hÌv€‰ ‘ © ƒ™’ƒ‘h8h™—˜h–¤¥
±=1

b Í h
 Ì
lt ·
 ‰g Íƒ‰ª›ƒƒ •ƒW ‘­ƒ’p‘ڃ#˜–  ƒƒ’¨yh¢A™q”h—8ƒ„h–g—‘„tA•”‡ƒ#h¼I †”œ hƒ— P3
P2 ∼ P1
˜b Í
· Î
Ì … …¦ o
… 

q” Ag”ƒ–#h¼©ƒ•ƒ ƒË†” œ ÌhAƒ‡”ƒ ­‘•U• ¹†¸g‰ƒ•hÉ ƒ‰†—uhª ƒ–• ƒhƒvW ‘­’ƒp‘v#˜–  Ag”–ƒ •ƒ  hƒt—Ë¡‘­Ë »•Çkh ƒ˜˜—h˜¡ƒ•‘ †˜­R•hh©‰ ˜—ƒ–Azƒ•ƒ³A hdg€“  v˜Dƒ ƒyƒ’ƒ‘ y±t’ƒ„Rh±– —˜A†ƒz t„•
‘¡ —• Ú ‰
P2 ∼ ±P1 + (1 ’ ±)P3 .
·
Í Ì
”†œ
± ∈ [0, 1]
‰SË4vª·—ªâ¯
¦ ¯»§° ¥ vIII)‰)A•vII)—‰)AI)®
°ª ¨ ¨ °¦ ¯¤¦ ± °ª ¨ ¨®­ ¯¤ ¨ £« ®º­
¯)1‰¯)B‰(º)¤
¤® b
q
P1 P2 P3 P1 P3
£ ¥ª ¬ ¨® ¨ ´¦ ’’
˜1
¦b&½
ª« k §“
4ej ©e¥˜A£)¤1—žI)AA8A±wÎâ)1e ¡e
j ¬ §¦ ¬­ ¶ ¯¤º  i
v ¦Ž yα

h U
… S
„ h)
‰˜ ”
#¡˜Ay¢hA™q”y¢–ƒ• ˜$ ­th¢A“ƒ ÚF˜ƒh’h— tÚh•h©ƒ•h–¨h™—qD­h©ƒƒ’A ”Fƒ˜h’sf˜ƒËsA ƒŽ¥
  Ú § “ ’

1 ¡¡
‘e
‡—
hd g
À„ ³ y € ± y
bXƒA±dAzƒ³hp€ …Ž X|Ayzy‰ 6‡ 6¶ Î
»
e Ê‘
»… •
…b h
t„ ƒ•¹¸†ƒh•—†ÃÚ „tƒ ƒË A‡”‘­• t„ ƒ†•D­q‰h©hh Æ˜—ƒh–h’ƒ— h•A™†¢p”t­h Ž‘­†©¢ ’ƒh™‘˜q—­Dh©hh —t˜—h–†¢ƒ‘­ƒ•h’g‘„—ƒ’ ƒ”WÌ•˜Úƒ¡˜’ h·ƒ¡h’¼ h˜hƒ†—y p–¢ƒ†¢f„t#ƒ  ƒ¼»•ƒ•h•t—AhËg“ƒhA‘ƒ©g“ ƒƒŽƒ’’ ¥‘
 ­
P2 ∼ ±P1 + (1 ’ ±)P3 .
Í
U Ì
Íhœ
P1 P2 P3
± ∈ (0, 1)

… … Í
’1f
ht—Ë‘ hp†¢q­— ˜—D†Úh©˜—–¹yÛ˜Ú¨hƒ—
– A g”– ª
±P2 + (1 ’ ±)P. ∀± ∈ (0, 1], ∀P ∈ P : ±P1 + (1 ’ ±)P
·
Í Ì
Ɇœ
P2 P1
… Í
’·f
hƒ— A g”– ¤
∀± ∈ [0, 1], ∀P ∈ P : ±P1 + (1 ’ ±)P ∼ ±P2 + (1 ’ ±)P.
U
Í Ì
…hœ
P1 ∼ P 2
… Í
’Uf
hƒ— P

Í f
­g”A – œ
S
„ S
„ s
#˜hƒ y–†¢F˜h—˜‰ –ƒ Üt„ ‘Ú¹h•x—Û thˏƒ‘Ú‘A“gAg“ƒg”–8›h·‘ƒ’ ƒƒƒ•ƒ ••ƒ¹A• †¸”qƒƒh•#†—‘ h¼ÊW˜—© hh™†Ú—qD©˜­Ìq˜—–d¹ƒ”­ q yÛA‘˜Úg“– ƒƒ’g˜#A‹ “ˆ ‰
‰ ­Ú – ‘s Ú
P(C) = ±P1 (C) + (1 ’ ±)P2 (C), C ∈ C.
P2 P1
P∈P ± ∈ [0, 1]
… U
„ 
P1 , P2 ∈ P P

 „
b x
d”g˜ƒ–ƒ ƒƒ Ë8•¹†¸ƒ•h—†hsh¡˜ID­®† ¼ƒ©†•hdA™­ “‡q”­hƒÇ»©Çth ƒ’ƒ‘‘„ƒ”ƒƒ “‘•A·ƒg”‘ A•“gAƒg”’ƒA‘“g†–ƒ‘­ƒ’’f†–‘ ˜­‘hh©’ » qǐ–‘­¡• ˜–Ü  ƒ †‚‘­’ƒ†‘™ –¡˜–‘­g˜Ag“hI
­   – •©
A
’ 1
’ ¡¡
‘e
zXh„€ƒ†dŽ ƒyhv„° v 6¶ Î
€±± €
””ó– ””Èà Á€r 0ö„
¾n
{o#Xe˜Ê#v˜yyyy ™À˜yywootoƒ{uÁeržÁ¬‡#wuâ•
”€tdr }t — ˜—€ t È –rxtr
Y
½ ª¨ ª¥«°³ ± §® ¨
Iˆ·I4µ¦AžpA£I)®‰0Aâv¸8‰)A°4BA|A·A£‰I‰)A¼)«
d¦ ¨ ¯¦ °¤ ¯® ´­ ° ¦ ¨ ¶ ´® ¯ £ ­ ¯¤ ®
Y
¨ª»® §ª« ªI¨ ® ¨ ¨® ®­­
¦AI)«)——y§ £ ¯ ¦ ¯» §¶ ¯ «ª¥ ¡ “
4 à
© {”I£I—S)|vš­
§ ½“ £ ®AI¨)®‰0A¨âv¦–‰S‚—â—ª·v¦Q¥ e
d¦  Á6 dX„XyX“ XX{
Î y y ±|
w x ∀x ∈ Y : x
£ ´ ¦ ¨ ³®
A|AA¹öáÁ e ¡ 4
“ à
Î dXXyX“ XX{
Î y„ y ±|
b{Š{ˆgUBT{Aby|V{b1u1I8‰8P
RP ‘T ‹  RP ŒŠ Ž Š Œ RP ‹ Š WV ˆ
hˆˆ
½°£¨ª ¦ ª ¦® ³± ¦¦ ¨ ¨ £ ã ã
{SI—­—«1³  B{—‰¨AIIweUª
U
ª¨ ® ¤¨£ §¦ ¦ ®® ´
¨¦A·¶A£‰IsV{µ¦AÚ˜(â)¦ASv¦‰²¤ II¨)—­‰¯)AI«)®
¦ ¨ ´® ¯ £ ¦ ´ ± ¦ « '¶ ¯¤ ¨» ¯ SI(I·wã‰B¨‰¯²B{8¦örAI)—‰¯)¤
°£¨¥¨º q ½¦ ¨ ¨®­
q
P1 , P 2 ∈ P Ξ1 , Ξ 2
° ¨® ´® ® ³ ±¤ ³ ®«
# ¯ ­ ¯¦¦¤
)®—‰vB⧠S£I){¹«){—)Uª1ý®Aâe)—eƒâI)®|£{6oIb—ªS·A£¤
£ b 'ª«ª« § ¬ ¯¨ §® ´¦ ® ¬ ¨ ¼ » º ´ 
EU (Ξ1 ) ≥ EU (Ξ2 ),
·
Í Ì
Éh¤ P1 P2 P1 , P 2 ∈ P
¨ ¯ ¨® ´ª­ ­¥ £¨ I¨·A8¦——4v¦{—±
í¬ ¶´ ­«£ ³
¦AâI){&A£1¦ ®AI)®‰0Aâv¦B¤
d¦¨ ¯ ¦
U: ˜’R
4)¸‰SQ§4v·—â¯
°´« ¦ ¯» °ª¥ª £ §£ ¯¤¦ ¨ ® ´
Q4â)A«{µ¦A± ã °ª §® ª ¬ ª¨ ã °ª
¼ £¨¥¨
)®AI(I·ºwŸv˜pU­o«IQ§ SI(I·ºwsvI¨
°£¨¥¨
q
¨ ­ ¯¤ ¯®º­ ¯¤® º¤ ¡ 1

P—IB¦A¨I)®—‰)B®‰§®—­
#»ª¨« b )1‰)B‰b()š¦‰‚4ej
¯ §“ ©ep˜¦A)¤1—ªsI)AA8AwÎA¹¤ ¥ e
j ¬§£¥ ¬ ¨® ¨ ´¦ ± ¬­ £ ´ n g
¶6 ÎŽ XA|zyI
±y y
P2 P2

†‰ƒƒ Ëƒh’hƒ©h †—ƒƒ’‘1 ht—8†¢­†—
Ë
±P1 + (1 ’ ±)P3 ∼ P2 ,
1’±+±
1’±+±
P3 + (± ’ ±)P3 =
P1 +
(1 ’ ± + ± )
1’±
±
1’±+±
1’±+±
P3 + (± ’ ±)P1
P1 +
(1 ’ ± + ± )
1’±
±
P2 ∼ ± P1 + (1 ’ ± )P3 =
±<±
¦
 4
… …b b
… 
f …4 f
˜¡ƒ˜ª ¤ †˜™˜hƒ y–†¢Wƒ‘ƒ d“ hÌv‘—‰ ƒ©h †—ƒƒ’†‘‘­A• h™˜—h–¤‘¥‰ Azƒ³hdv˜Dƒyƒy±t’RA†z
  ­ ­ ­ Ú €‚ ±
±≥±
¦°£¨ª­ ¯&Av¦|…¤
¦¨ § ‰¯
¦
—SI—A£â§®|£¤¸II)ª1¹Av–â)AI&¦
d § £ £ ¨ ³® ±¦ ¶ ¯¤ ¦ ¨ ¨
P2 ∼ ±P1 + (1 ’ ±)P3 , P2 ∼ ± P1 + (1 ’ ± )P3 ,
Í
U Ì
…D¤ ± = ±(P2 )
¦‰So§ƒ­1—â¯
¯» ¬ ¦¥ª
q
P1 P2 P2 P3
± = ±(P2 )
§ £ £´ ¡ ˜1
’’
§“
4ej ©eo˜§8A)¤1—©I)AAµA±w­
j ¬ ¦ £ ¥ª ¬ ¨® ¨ ´¦ ¬ A£¤ n¥ e i
6‡ ¦Ž y
α

oÍ·— •

±1
˜b … …
¨Í· Ì …¨·— –
Íu Ì m
q”ƒ#h¼¨h·ƒ’hh†—y¨‘„”ƒq“ q„‘­•ƒƒ•„h—˜h–ƒ‘›ht—¨†¢†­q— h•¤ œ t—ƒ Ëƒh’ht‰ƒ©‘­h ƒ•†—•ƒhƒ’©Dx˜—‘ ƒ–ƒƒ•ƒ A •¹W¸g“ †ƒh•—†hœ ƒ– h•— ƒ•
‘© ¢ Ë 1 ’ ±1
1 ’ ±1
P3
±1 P1 +(1’±1 )P3 . P1 + ±2 P1 +(1’±2 )P3 = ±1 P1 +(1’±1 )
1
Í Ì 1 ’ ±2
±2 ’ ± 1
ª†¤

¦ U
Í Ú
Ì „
B
f
˜†‘­pË‘Úq”ƒI Dœ¤ $¤ ¼¡h˜ƒ p–†¢g˜ƒƒ †•D­h©»†ÇA™q”ƒ‘ƒ– s­d¨ h–U–
‘  ­ –“—
1 ’ ±1
1 ’ ±1 1 ’ ±1
1 ’ ±1
P3
P3 .
P1 + P3 + P3 =
·
Í Ì 1 ’ ±2
±2 ’ ± 1 1 ’ ±2
±2 ’ ± 1
¤h¤
P1 P3

Í ÌÚ …
f
˜†‘­pË‘Úq”ƒI tˆ¤ $¤ ¡h˜ƒ y–†¢Wƒ‘‘
‘  ­ tÚh¢A™q”p¢h–Ž¥

1 ’ ±1
1 ’ ±1
P3 .
P1 + ±2 P1 + (1 ’ ±2 )P3 = ±1 P1 + (1 ’ ±1 )
Í
U Ì 1 ’ ±2
±2 ’ ± 1
Dœ¤  
1 ’ ±1
1 ’ ±1
P3
P3 + P3 =
v
Í Ì 1 ’ ±2
±2 ’ ± 1
tˆ¤
0 < ±1 < ±2 < 1

h
d“ h̏v‘—‰
­ D ˜—–hƒ•ƒ•Ag”Ag“ƒƒ’h‘8‘„ƒ”“…ƒ˜W Aq”Ž¥
 
P2 ∼ ±2 P1 + (1 ’ ±2 )P3 .
·
Í Ì
•h¤ ±2 ∈ (0, 1) ±1
… …b …
¦ 
h
Ìhƒh’h†—y8„‘ƒ”t“
¢ ˜—D†ÚD©—˜–¹Ûy˜Ú–ud ƒƒ••h©D—˜–ƒƒ•A g“ƒ• hy¢††­h—tƒË ƒ˜W Aq”ƒA‘“gƒ’Ž¥
  — 
RX8BTUSQHIGE GE
P WV P RP FF ‡œˆ
i=1 i=1
AN ’ A 1 AN ’ A 1
, pi ¤
pi
AN ’ A i AN ’ A i
N N
P P
…4
d“ Ìhp‘¢ ­d“ h̏h
­ —
±i = (AN ’ Ai )/(AN ’ A1 )
¦
… „A …¨U
Í ²
Ì •
™ ‡ … Í·U –
uÌ €
˜†­‘U p”†¢­‘Ç yœª ʏh˜— t„„‘q”†©q­—˜A–»“ƒd
Ë © ‘ hh‡”™h¢p A —uR¨d˜­— †“ ­phÌh¢h— —¨h¼# ¤ h¤t—Ç Ë
—tË   ©
i=1 i=1
pi ±i . pi ±i ¤
U
Í Ì
N N
yϻ
P P
4
… ¦

­­
d“ hÌp‘¢ d“ hÌh—ph¢A™”qh—ʨd“ hÌh—
 ­ h˜»qÇ‘­h’hƏ ƒ˜ƒ †¢­F—
i=1
pi ±i . ±(P) =
N
…¦ …Í
¨ Ý·
Ì Í Ú
Ì
h—t‘Ë ƒ˜A p“h ƒ© ƒˆª I •Dª q„D­ƒ©ƒ h•†©‘­I«
  ’
i=1 i=1 i=1 i=1
pi ±i PN . pi ±i P1 + 1 ’ pi [±i P1 + (1 ’ ±i )PN ] ∼ pi Pi ∼ P=

Í Ì
N N N N
ˆƒª

¦ ·
Í Ì
P P
±(P) ≥ ±(P )

€ 4
… …
 €
¤‰
Ç d“ hÌyX d“ hÌhyh¢A™q”h—d±“hÌh—
­ ¢­ —  ­ ht—v ˜—†t­¢h¨h¼Êœƒ‰'˜¡¼ ¡ƒ˜˜AI¨h”¤¤Ç
Ë — © ª ¡   ” ˜
P ∼ ±(P)P1 + (1 ’ ±(P))PN .
·
Í Ì D•ª [0, 1]
… „
S
¢
±(P)
Í„
˜4 Ì
– h
 ¨Í·u
… h
 Ì
tÚ•ƒ•A”gAg“ƒƒ’h‘¤ƒƒ•Ë‘­»•†Çƒ•A»“ †¢t­¢ h™q—d‡“­Ç˜$ ¡˜“h·¡h’¼ƒ ¤h˜ h†——tp$†¢‘„q­ƒ”‡—“t ƒ‰Iƒƒ Çt•kWtÚ‘­ƒ•ƒ’ƒ•p‘‡„qÚh#h–‰—˜ ˜ƒ– ‘
 ­   Ë u ª   ƒ•
P1 P PN P = (p1 , ..., pN ) ∈ P

U
˜
 üÍ
B· Ì
Î b
… h

ƒ’ƒs‘„s ‰g hɤ D™h˜t—h h©h˜—˜—¡ƒ– ˜†h·­hx–Ç © ƒ˜—A•†“dtÚ­ ‡“h’d—­ ˜q”ƒhÆʏ• †¢p­¢ƒt„ ƒƒ‚¢ƒp•Ž¹q„‘­ƒ••Ag”Ag“ƒƒ’h‘„t›ƒ  †¢•q­Axg”— hA—tg“ƒ‡Ëƒ’ƒ™‘†–’‘­ƒ‘h’ uhÌ— ƒ˜$A™h• q”t­hh¢©»ŽtǏ ¥ 
‘” Ú§
U (θi ) = Ai = ±i A1 + (1 ’ ±i )AN , i = 1, ..., N.
·uU Ì
Í ¤ ±1 = 1 ± N = 0
… …
b Û
˜ƒA g”Ag“ƒƒ’¤d‰
‘– ht—‘Ë ƒ•–
Pi ∼ ±i P1 + (1 ’ ±i )PN , i = 1, ..., N.
·
Í Ì ”h¤

… Í
 ‘ 
±i , i = 1, ..., N U (θ1 ) = A1 U (θN ) = AN A1 < A N
š
Ì … …
¡¡˜Aƒ‘ h—
˜ ” ˜®Iƒƒ¼ ƒh’‡Ëh‘­†—»•y†Ç8¤ƒ’ Æh¢ ƒ@d‰‘– #¼ƒ•ƒƒ•„h˜—h–ƒ# #ƒ¼ƒ••Ag”Ag“ƒƒ’ƒ˜h‘A ¨“‡ƒdƒ•­ “‡Ë­‘­‘Ç»•†ÇƒA•“sŠˆ‰ƒª
P1
PN
A1 , A N
• U
™ …¨·
Í
P1 ∼ P2 ∼ ... ∼ PN

h ø
Ì h
· … ’
ƒ–Ê  ƒ#• ƒ¼ƒWƒ•ƒ•• „‘­h’ƒ˜—p‘–hF1˜#– ƒ¼•hƒA™•hq”™Ah‡”»©tÇ­‘ hh ƒ©ƒƒ’ƒ ‘d—h’ ¡˜ƒh’h8h™— ƒ—˜D– ƒ¤AÚ • ¥X“‰ ’hh©—y¦hF ˜˜††­t—ƒ Ë…ÚLJ‘­’…Fh˜h˜— ƒX Ag”” – ƒ‰ª
ڃ‘#
‰ ¼ Ú — – –Ú ‘
PN
P1 . ...
Í
U Ì Dͤ b
… h
h—tAË h™q—q­t—ƒ Ë– ˜$ ¡h ˜—h–ƒ•¹†ÛhƏ
˜
PN = (0, 0, ..., 1)
P1 = (1, 0, ..., 0) P2 = (0, 1, ..., 0)
… … …
v
s
 Š‰Š‰‰™
P{θi } = pi , i = 1, ..., N
P = (p1 , ..., pN )
¨
˜ …
–t„†ƒ ­‘•½ƒË’ ƒ ƒ •†‘­’ÌhW˜Ç­Iž ‰ h—t¦†¢­q@
Ë— h˜ƒh’ht—¢ƒ„†ƒ 8•© Ah™g”t—Ah “g©†ƒ†­’ƒ—˜–‘
P∈P
˜ = (θ1 , ..., θN )
b
˜ v
h 
h ™
Î b

‘ ˜ƒƒ h’—†¡ ˜––†v€‰ e
¡ ’1
v
h v
h 
¶’ 6 ´ y  €
­Dg“h©ƒ˜—ƒ’– ƒƒW¡“h ˜ —gh–ƒƒ•Ëƒ•hpƒ… ¢ ƒ ƒ•Aƒ ”g•A“ gƒA’ƒq”‘ƒ†–‘A­‘g“W’ ƒhƒ’A8“‘ © p­˜¢ A“gh˜hhh©˜—ƒƒ’‘ ƒ ŽvÎ¥ ‰ Ž XA|yzƒy…Azƒ³hdvh©‚ D˜hƒyq—ƒ†­±y—t’A™R”± A†Úǘz ƒ’
 • • ˜ ¡
u(Ξ) = EU (Ξ).
Ξ
í£ ¯ ª ­ « ¶ ´¦ ±¤ £ £ ¯¤¦ ¨ ¶ ´® ¯ £ »¦± ®³± ¦
¶ ¯¤¦ «® ´ ± ' º §® ª« £ 
â)A¨{µ¦Aþ(˜pUIsV¦Ç1š¶â—¦——A8A)A²â)vA·A£‰Iâ¯SvA«){—âA±
1)I£AýSI)®AU1¹Ç4)ý‰)){¹e—­‰)¤B®4—·¥
­¦¥¤ ³ ° £ ¨ ¨ ­ ª ³¤ ° ´« ª ­ ¯¤ «® ³¤ ® ¯ »ª ­ ® ¡ 1
„ ’
¯)A°4µ——BAýu{t˜£{µBIs e
´ ¦ ­ « ¦ ± 1½ “ ª §® ³ ¦ ® k bˆ
6‡ šXXƒX Ž ±
Î y„ ± y
b{Š{ˆgUBT{Aby|V{b1u1I8‰8P
RP ‘T ‹  RP ŒŠ Ž Š Œ RP ‹ Š WV ˆ
¤ˆ
θ
• b

#˜hAg”ƒ¨8‘„g” ‘
‰ ‚© ’
ω

… • …

© “sh§t—h’ƒWh™—˜h–ƒ•A»“D®A“ h˜D‡—†­—A™”Ú˜Çƒ‘ $­d A™g”sh§t—h’ƒ‘
a θ = X(a, ω) ∈ ˜
˜
¨ h
1 v
h ‘
… ‘

h1©ƒp®ƒ• ¹1ƒÛ  ­„‘‘»t’“ D†Úq®t—t©p¢tÚ̆’h™˜—­ p˜ÊÚ– †h™Êt—Æ Iƒ¼•ƒ•ƒ– uh —˜h– ƒA•»“D®A¹  ¼A’ g“ƒ’– ˜ƒƒ ƒ•„h˜—h–­ ƒ– ‘„g”sh§—th’ƒh̃ƒ•h•ƒƒ ‚ƒh —˜–
 ® W‚
a ω∈„¦ a∈A
… Í
g Ì
¬ …
’‘Ú”g1g— ¡˜ ˜ƒ ƒ•¹¸˜ƒ@ ’¡ƒ˜ƒ ƒ’†‘‘­A• †¢© FA—‰ ­  ­ – ˜—A“Ú†Æ {ω ∈ „¦ : X(a, ω) ∈ F } ∈ F F ∈ F˜
…¨Í …
’ƒ–˜—©h t„h ·A“ h˜hq—†­—™A”Ú˜Çƒh—t  ƒƒ •ƒ‡„h˜—h––I †˜ƒ•ƒ†·‘­pË‘Úg”– ™†–d”‡­qÇ­ph¢dg“ƒ’¹‘­
a∈A ω X : A—„¦’˜
Ì h
 …
‰†ƒ ‡‰ƒ — •¹˜¸ƒgp”t„˜hƒ•ƒ ƒ•ƒƒ’†•‘ D­©hp˜ƒyÚ’ƒÚ‘ p“p–h ¢ƒƒ©s   A§ p“ƒ•h˜f“A  g” A –t­h ƒt—ƒ’Ë ‘ q¢†­v— ƒh•A™”ght— h–ƒh•†—h·¡ƒ˜ƒ ’¡»˜Çt‘ 
8
¢ 
¨A
…Í Ì
Ÿ
A
¨
˜ v
h x
ƒ · ƒ ƒ‚ƒ¡p•ƒ¢• WŽ˜—Ú˜ “­§†‘±„Ë–h­‘˜—»•†Ç†D­h#Æ© h¼ –ƒƒ h‘™h ˜—h–h˜¤g”Ú A@¥ ƒt‰8p˜© Úy‘Ú¼¡p“˜h hƒ©˜— A–ƒ p“1W ƒ ƒ•– ƒhÌ•Aƒg“h•hƒ©h©h ƒt—…¹vƒ ­†¢‘ ƒ •ƒ·ƒƒ h’•†—¹¡˜¸ ˜ƒ–’ †–‘­¨h ƒ·’ Wh©© ƒ™˜—ƒ–’ƒ·A‘h8fÌ—“ ˜!“A ghhh©I—© ˜–
­‚ ™
öy‘Áu–“
µ” r —r „n
…ö„
P1 P PN P ∈P
½ ¦‰)¤B|§
¯® ¯®§
)®B|S£ ° £ ¨® ´® «® ³ ±¤ ³ ¦ ¦ ¶ ´¦ ­ £¦ ± ° ´« ¦
SI){£){—)Uª1#¨A¨·Aµ——«4v{³—Ç4)≯
¦ í ° £ ­ ¦ ´¤ £´ 4
“ à
vpy©x¤
§¦ 1 —­A£A))®—U1—)Úu{‘˜£{µB®‰¯
´ « ­ ª ³ ± ¤ 1½ “ ¬ §® ³ ¦ SS{¹1º¸­øA£¤B®Ç‰S˜—â—ª·vš%e
¦ ¯ » § ¶ ¯ « ª ¥ ¦ $ t¡
dXXyX“ XX{
Î y„ y ±|
½¦­ £ ´«®­ ³± º ®® ¦
—AA))—Uª1—)¤QAI)s©¹®—‰¯·eB‰‰¯
® £ ¨®«  ³ ­
P1 ∼ P2 ∼ ... ∼ PN
§ ¯ í ° £ ­¦ ´¤ ¡ 4
“ à
u{W˜p{µ¦B®‰šSS{£1ºe–A¹¤B|‰Se—â—ªª·vš% e
1½ “ ¬ §® ³ ­ £´ ® ¦ ¯» §¶ ¯ « ¥¦ $
6“ dXXyX“ XX{
Î y„ y ±|
±=0
½ II¨)4—IÁAI¨¨—­
£ £ ® »ª ¨« §¦ ¨ ® ¨AI)ÇA—‰)è1ê ýAI)AA´µAw™)4»){B­
¯¤ ¨ £«® £ ³± ¦ ¤ ® £ ¨® ¨ ¦ ± ¬­ ¯® ® ´
P1 P3 ∼ P 2
£ ­ ¦ ´¤ º ¬ § §® í ° £ ­ ¦ ´¤ º ­ ¦ ¯ » § ¶ ¯ ª « ª ¦ ¡ 4

‚e à
®A{¹1Ω {w˜ö£{´øSS{¹1ÎډSG—â—·¥vš$
½“ Î y„ y ±|
dXXyX“ XX{
±=1
½ £ £ ® »ª ¨« §¦ ¨ ®
II¨)4—IÁAI¨¨—­ ¯¤ ¨ £«® £ ³± ¦
¨AI)ÇA—‰)è1ê ýAI)AA´µAw™)4»){B­
¤ ® £ ¨® ¨ ¦ ± ¬­ ¯® ® ´
P3
P2 ∼ P1
® £ ­ ¦ ´¤ º 4
“ à
A{¹1Ω {w˜ö£{øSS{¹¤1ÎډSG—â—ª·vš%e
½“ ¬ § §® ´ í ° £ ­ ¦ ´ º ­ ¦ ¯ » § ¶ ¯ « ª ¥ ¦ $ p¡
dXXyX“ XX{
Î y„ y ±|
U
U—
˜
 v
h …
¦
»qÇ­‘h’Æhƒƒ’‘ #¼ƒƒ•ƒ• ss†§Ã#ƒ¼h•™Ag”ht—W Aq”ƒ‘±„h–—˜ƒ‘„q”©ƒuƒh•A™˜”ht—h h©˜—ƒ–·A“ h˜»‰ qÇ‘­h’†—Ɔf˜ƒ˜ƒƒ ƒ †¢•†­FD­—©
˜ §­˜   „ 
AN ’ A 1
AN ’ A 1
’ A1 AN N N i
1
Ai .
= AN ’ ’ ’ =
+N
N 1
1

A— ) (A— A— A—
’ Ai AN
A— ’ A —
(A— ’ A— )AN
ht—8†¢­†—
Ë
N 1 AN ’ A 1
A— ’ A —
,
=
i
±i = N
AN ’ A i
A— ’ A —
­d“tÚh¢—†
U — (θi ) = ±i U — (θi ) + (1 ’ ±i )U — (θi ),
i
A— = U — (θi ), i = 1, ..., N

¦ ·U ÌÚ ·
Íu Í Ì
ˆ ·
Í Ì
Î b

˜¡˜ƒ‰ ¤ I
    ƒ˜ƒ Ë­‘»•†Çh¤–Ag‰ ­ Û
Æ
U—
…‘ • 
h
Ú hɤ tÇ   ¤hÉ „q$x „Dh’hh©˜—Aq”  h©A“Ú
U

˜ U
„ …
b
ƒ h˜—‘¨h–Aƒ“»•Ç˜Aq”h™ƒ˜—‘!ƒ–h t„ƒ•ƒ Ëh‚ƒhƒ¢s•— pg˜†!»§ „qqÇg­­‘pÌ’htÚhÆ’A ¨#‘¼•ƒ•hh™©h˜—˜—h––ƒ¤A •Ú ƒ@“¥ gR1 „‰ tƒƒ†••h­Ah©”g»AÇqg“‘­ƒh’’ƒhÆh‘ ƒ’ƒWh‘ t—hÌA˃•ƒƒ•s§s†§­1h̃h•A™g”ht—W A”
–Ž “ ˜ ·
Í ÌÚ
ƒ‰­qǐ­—h™q th¢ƒƒW­‘†• ™qÇh–p­Ah¢‡”Aq­™—“ ˜¤hÉ– – ¤  
i=1 i=1 i=1 i=1
pi U (θi ), pi U (θi ) ≥ pi A i ” pi A i ≥
N N N N
b
… ™ ‘

ƒh•—t•A‡”­Dƒ©h ƒ©¢ ht—ËA A p” 
RX8BTUSQHIGE GE
P WV P RP FF »ªˆ
i=1 i=1 i=1
±i = 1. ±i U (zi ), ±i ≥ 0, ±i zi ) ¤ U(
1
Í Ì
n n n
ªhª
b
… …‘
¹†ÛhÆsA”qh‘Æ  

U (±y + (1 ’ ±)z) ¤ ±U (y) + (1 ’ ±)U (z), ± ∈ [0, 1],
U
„b 4

h h©A”ƒD–Wg—‘D„h’h©h˜—Aq”h©A»“‘چ‰ ‡‰‘— dp”p¢tÚ#h¼© h ˜—h–ƒ»•˜ÇAq”ƒt„ƒ ƒ‚ƒ¢•pŽ§Wƒ™’ƒ‘hh™—˜D–¤¥
Ú ­‘ ‘ Ú —Ú
e
d ¡¡
I‘
h†vX| …ƒ‚h€dXXAzvb†° 6‡ v Á
€„ † z ˜
UN U
k

‰

A
” ¢ ©t—hh˜•¡˜Ag” ±„h–—˜ƒ‘„q”ƒ©„

… v
h
m
t„t„ ƒ ƒ ƒ‚‚ƒ¢ƒƒ¢p•p•Ž…q„q„­‘­‘ƒ•ƒ•··ƒƒƒ••ƒ A Ahq„t—D­ƒËU ˜—†”d‘­‘­Ë  tÚ»•¢†Ç–ƒƒ h’— WRƒ‰ t„ ƒ ƒ•†•¹d†¸­ p“ƒW†—h•  Wh»h̃yh•¢A™»–‡”ƒ‘­ƒËh’h —tq—·™ƒ­ ˜!h• ˜—q—†™D­­ u D¼˜—ƒ–h–ƒ ƒ†‘ƒ•“· ƒh ƒ•—˜h–A ƒ»•” ‘Ú˜ÇAp“q”h ƒh©©‘
Ž§u ”d Æ
ÚÚ §  ˜#
u(X) = EU (X) = E(aX + b) = aEX + b = U (EX) = U (µ)
U (z) = az + b
øxA
™ b
„ „
S
q‘­pËÚ‘g”g˜hh˜— ‰
– h —˜h–ƒ»•Ç˜A”qƒ‘k  ƒ‚ƒƒ¢•pŽ§k Útƒ•·ƒ•ƒA ¹d”‡‘­Ë‘­•–gƒ˜ƒ h’—†¡˜–†–Fž
Ú ”­ ­
s
1 I‘
¡¡
yƒyXv˜tXƒ|X 8w v v Á
„ ±  y
UA = {U : EU (X) ¤ U (EX), X ∈ X }.
UR = {U : EU (X) ≥ U (EX), X ∈ X },
UN = {U : EU (X) = U (EX), X ∈ X },
UN UR UA
b
 … … … —

˜
¨ —
„ ‘
… s
¹†¸ƒ•h†—$hƒh•™Aƒ‡”•‘‘­•h’h—t©h·˜—ƒ–hdh• ˜— p®h© ¹h—† xÛ ‘–D­#¼–ƒ ƒh‘R h —˜h–ƒp­»•¢Ç˜–ƒA ƒq”’ ƒdh ‘ƒ ƒ·t—ƒ „tƒ‚ƒ ƒ¢ƒ’p•‘Ž8u˜¼  –Út†–¢­dƒ–p”ƒ Êh™W—¢ qh™‘­˜—Ëh–‘­ƒ»•ƒ•Ç†h•hAhƏp”¢˜A–A“ƒ‰ƒ Ú •
 © ڃ• k ¢ u
§’
u(X) ¤ µX , X ∈ X •

4
‰ p­¢ƒ–ƒ ’ƒh —tt„ƒ ƒ’‘ƒ•
u(X) ≥ µX , X ∈ X •
‡ {

Út¢ƒ–ƒ 8Wh™˜—h–ƒƒ•h•Ap”¢–
’¢
u(X) = µX , X ∈ X •
‡ 
—ƒƒ •¹†¸ƒh•†—›hƒh•A™”‡‘­h’t—·ƒ•

µX u(X)
{
 S

tڐ¢ƒ– ƒu¨™p˜yÚÚ‘p“ hƒ© Ap“ƒ•t„ƒ •¹†¸ƒh•†—Ãh¼—t†•‘­ ƒ†’­Dƒ ¹x ‘Úg“Ag”W ’
’¢­   ©Û –
u(·)

x ­A ƒË‘­q—h™˜”qÇ‘­f˜  A“†ÚÆ –   U

˜ …
‘ —

ƒt„ƒ f•‘ ¹·ƒ†¸ ƒƒƒ‚h•†—ƒ¢hp•Žufq—§–Ú ƒ· h  hƒ•˜—•†–hd¡1 ƒ˜“­ ' ƒ–– hp˜†©yڐ­‘Úǽh p“©ƒ‰  Ap“ƒ•…ƒ  h ƒ—t•Ë ƒË†¢‘­†­»•™uh™·q—¹h­ xƒÛh© ƒ’» tÇ ¡ƒ˜ p–© †¢™˜¦„ƒD–—t¡˜ƒh’—˜h —˜h–ƒ»•Ç˜A”
—Ç X
b
„ …Í
¨v —
… Ì
Ç …b …
—†Ç»’‘­†–˜—q­h…h™q—q­—tƒ Ë– h —˜h–ƒ»•˜ÇAq”ƒ‘ €
‰†tڐ¢ƒ –ƒƒ‚ƒ ¢ƒ¦Ž¦s„§¢Úp•’ ‘p­”ghq—¹‡“t¸dpË­ q”‘ÚÆh”$˜ h½˜¹ ƒƒ ¸†A™•¹hq” †¸…h•ƒÆ ˜†—ƒ$–»“D D—˜®†–Aƒ¹»•“ ǘ†¢At­q”¢yƒ—h™‘ qƒ D­ƒ h©ƒ‚ht—ƒ¢†¢p•‘­Žh’Ú k¼¡˜Aƒ˜»“h’†ÚsƏ ʐ™§ –»™AÇt˜“†„Ç ©–½˜t„Dƒ ‘ڐ•g“Aƒ‡Ëg”–‘­Ž
d  —h
­ Ë §… – •@
u(X) = EU (X).
·
Í Ì
D¤ª —
p¢ƒ– ƒ’
U u(X)
Ú
™ •
• Ç
µX = EX
‡ v
h
˜˜hAh˜—“چ‘­Æ p­• ¢–ƒƒ “˜—h ’  hh–˜—ƒ–h»•ƒÇg»•A˜Çq”Aƒq”‘ ƒ£ ƒ ‘ ƒƒ¼ƒ‚’ƒ¢¡p• 1ŽhÚ˜ § h©˜—h·–ƒƒh’Ëhp­†—¢pX©¢ƒdƒƒ •ƒË‡‘­»•d˜ƒƒƒ A•†•g“dƒ­ p“’W  ƒ˜‘ ¢–ƒh™ƒËq—h ­Dq—h©™­ »†Ç˜hA™q—q”™‘ƒ­ ˜…ƒ–  
 –
F (z) = P{X ¤ z} X∈X
X
¨A
‡Í • Ì •
ƒ• ƒƒË Ag”h© Iƒ¼•ƒ†·‘­pËÚ‘ƒ„”g ƒ“A•– ”gAD g“˜—ƒh–ƒ’ƒ‘•ƒ†–•‘­A1g”’ A·ƒg“ƒ ƒ’ƒ‚ƒh‘ƒ¢fŽ‘„Úp• 0“”§ ƒ– †©p¢ƒ–ƒ fƒ–¢’ g®ƒ h–W…h™ƒ¼˜—h•h–A™ƒq”ƒ•hp‘©»ÚttÇh¢h hƒh©ƒ’“ƒ˜ƒ h’†—¡h™ ˜—˜–D–†–¤‘­Ú ¥’
® ©’ ·# “
–‘
—t mn
ƒ{yy™Ÿ#y‘rÁo#΂
—–€”x – r” p¦
{ z
l š
± ie ±
š i–|
l
|gk
€lh  }
˜|7
un
t u#q u¤ j u 0 un#¤ 8sp
trm jr t p t m pn
b{Š{ˆgUBT{Aby|V{b1u1I8‰8P
RP ‘T ‹  RP ŒŠ Ž Š Œ RP ‹ Š WV ˆ
‡…ˆ
EU (X) = U (EX), X ∈ X ⇐’ U ∈ UN
4
“ à
Pâ—ª·vš% ¡‘
Y¶ ¯ «ª¥¦ $ 6¶ XXyX“ XX{
Á y„ y ±|
EU (X) ¤ U (EX), X ∈ X ⇐’ U ∈ UR

4 à
P˜p{p¦B®‰¯þ(ISI{&I—ªˆâ—ªª·vš% ¡‘
Y º §® ³ 'º ¨» £¦ ´ª ¨ ¶ ¯ « ¥¦ $ 6‡ XXyX“ XX{
Á y„ y ±|
½ ½ å º §® ³¦ ¯ ¶ ¯ª ª¥¦ 4
“ à
·© ·¬˜£{µB®‰ˆâ—«·vš$ ¡‘ v XXyX“ XX{
Á y„ y ±|
U (0) = 0, U (x) > 0, U (x) < 0, x ≥ 0.
·
Í Ì
Dӻ
£ §ª ¯ ¼¦ ¦ °£ ¥
°ª b 'ª«ª ã °ª §® º ³£ ¨ ®
˜v­‰)¤Av—­B¤Ývâe)—A´  ˧4SI¨(I¨·ºw¸v˜p1A—I©¨){³
¦¨­ ³® ³ ± °
8¤‰¯)U­oI¨
®ª ¬«ª ¤ ¨«® ¦ ¡  
§oeãA«ÇAo¬A¹{—)®A¨
#® ã £ sB«
¬« ª­ £‰¯¨¦A{´8A±ø)AI(I¨·y” ‘
¼® £ ¨¥ º “
v yvXyvD˜yFh}XX{
Á „ y y|

— S
„ v
h ¦

ƒƒ •Ag”A“gƒ’ƒh‘$Ûx ‘Úg“Ag”¨h™q—dƒW ¡‘˜ h˜»qÇ‘­h’hƏ ƒ˜ ƒ†¢F—
  – ­“ • ­
½ ¼® £ ¨¥ ¨º
{)AI(I·wã
U
¨»¦ ª ¯¤¦ º¦ ¨¨
¼¦ ¥« ´
v1—ªA£|¦ASv‰¯—â)«  ¤® bº¤ «®
¶â¯—ªâ¯I£S»)¤š¦A¨sV¦|§Ç£â¯)¤¦A¨âb  ¦”°4´)«kª  ³¹®‰b(š¨¦AI¨®—­ ¯¨B‰Q¨köq
½ £ ¯¤ ¨ ® ´ ± £ ¯ ª ­ £ ³ ¯ ª §¤¤ ª ³ §® « §
£®
¨ ¨º ã ® ¬ ¯ ¨¦ ¦¦ ³ ¤ ¥¶ ´ d¼® ¨¶ ª«
’)A·A´&Q­
{â)¦A«{µ¦AšI£I(¥I·wyoâ·ºI—­e¨{y¯)|¦1·Aµ¦‰¯‰¶â—AAy—˜£BU1ùp·º 
EX = µX X µX
¤ ·)¤A£A³
º¥ ­ ¯¥ª ¬ ¨ ¨ ª ­ ¦ ³ £ ¨ £ § ³® ¯® « u§—¥)AA³
¯ ¤£
¦§—e§
º« '¤­ A£â·—ý¼wII—{—II˜·¹‰)ž¦)âISvA±){³—A&® ½
¯ 'ª ¯ £»¦ «® ± ½
¯ ´ §® ³± ¨ £ §ª¥ ³ ¤ ­¦¥ ¬³ ¥£¨ ¤ ª » º ® ¬ ¶ ´ª® ³ º ¥ ¶ ´ ¥ 1

¦'c‚£A£A—¬®AŸ˜v·)¤A£A‰Î1I¨wAÝ£·IIâ¯)US·•oI¨·A&p{•··A8¦1)¤¦Q ¡‘  ’b ˆ
v Á XXƒX Ž ±
y„ ± y
U
£ ­¦ ´¤ ¯ ° ³¦
)®A4µ—­‰){´B«·&® ½
¯® ­¦ º ½ ´­ °£ ¥¨º ã ¦
U¦‘u¤
½ “ '©{£1º Ë4v‰·I—¸8‰)A°4BI°
¯ § ¼¦ ¯º ¨¦­ °¤ ¯® SI¨(I·w‰‰¯
EU (X) ¤ U (EX), X ∈ X
X
—‰)¤A)—U1¹A²°8‰)AS¨A8¦Aw­
¦ ­ ¯ ¨® ­ ª ³® ¨ ¤ ¯® ° ´ ±¬ ¡ 1

ª ¤ £ ³ ¦¦ ¨¶ ´¦­« £¦ ³± ° ´« £ ´ n
·¥)AA#¨A·A8——4v{—ÇS)ÇA¹¤  ‘ g
v …Ž XA|yzI
Á± y y
u
‡
‰¼ — ©©
Ž¡˜ƒh’hŽAp“h ¨¨˜Ì ‘Ú

U h· x
‚ Ag‰‡‡„ g0‹
Í  Ž† ˆ  Œ
ڐ”A ƒ’Úh˜ t ÚFƒ˜h’s§A– h ˜—h– ƒ•»˜ÇAq”ƒ·ƒƒ ƒ‚¢ƒp•Ž§
„— 
… „

‡‰‡…̟
Š ˆ† „
t­•tÚy—h·h Ìh˜¢hƒ–Ã’ƒ © h–„ƒ ƒ˜—† hD­t—#ƒ t„© ¼ƒ–’ƒƒ ‘ƒ‘h• x¢—t­ ƒ–D­ƒ #…–¼’© ƒƒ ƒh h‘t—½ƒ „t h ’ƒ˜—‘h–ƒƒx»•• ˜ÇAƒq” ƒƒ•‘A“ ƒƒ ’ƒ‚hƒ¢h©p•y—Žƒh§ #h• h¼—q—y‘­Úth’•hÆh̏ h© fhƒ—tƒ•0’Ë I ¹g‰Ûx ‘­‡Ë‘­•»†Ç
Ú¦ 
i=1 i=1
zi pi ) = U (EX) = U (µ), U (zi )pi ¤ U ( U (z) dF (z) = EU (X) =
U
Í Ì
n n
yͪ

hh©˜—–ƒ•h†©‘­’ƒf˜†‘­pË‘Úq”ƒ‘¨ƒƒ•ƒË hÌA‡”‘­•†W™–AA“
• ­
i=1 i=1 i=1
±i = 1. ±i U (zi ), ±i ≥ 0, ±i zi ) ≥ U(
·
Í Ì
n n n
Dɪ
b
„ „b …

 hh©Ag”–h¹·¹x D„’hh©h˜—Aq”©hA“‡Ú h ˜—h–ƒ»•˜ÇAq”ƒ‘¹ƒ  ƒ‚ƒ¢ƒp•Žh·hy—Út•hÌh¹†·‘­pË‘Úg”Uƒ™’ƒ‘h!ƒ˜ƒ h’—†¡˜–†–Fž
ÚÛ Ú§ © – —  ­
I ¡‘
¡
± €„| y À„| y
Rh†vXXƒ„€bXX{y8w 6¶ v Á
X
‰ „t‘ •Ag”Ag“ƒƒ’‘†–‘­’

b U
Í Ì
­
…b
™Ìh–ƒAh•˜“˜—k’ƒÇ ƒƒ˜¢ hƒ–˜— A¡¦Uh¢p—˜“ h ™™– A‰hq”tڏh¢uƒ ƒ–— ƒ“¦h™˜—hÌh–ƒƒh•ƒ•™Ah•q”Ahp”»©¢tǦh – ƒ—˜†’ƒD­‘ #‘„¼–ƒ”ƒ ƒ“h‘©ƒ A h ƒ”˜—g“h–hƒ†©»•‘­˜Çƒ’A‘”q¹ƒ– “ª…‘ yt„ƒ ƒ‚A¼ƒ¢”•pFŽƒ˜ÚÚ § h’s„qdgp”§­ “»¢phtÚ©##h¼‘ h¼…†‰h t—‡‰Ë—
’ •¦¢ ‰ © F
©©
i=1 i=1
zi pi ) = U (EX) = U (µ), U (zi )pi ≥ U ( U (z) dF (z) = EU (X) =
Í
U Ì
n n
y…ª
pi i = 1, ..., n
… … 4

©
zi X
˜
 …
4
—†hÊ  ¡˜ƒ„t ƒ•ƒË­‘»•Ç–f˜#ƒ¼•D—˜ƒ˜†ƒ’‘­¢˜–ƒpËA ‘Ú“”qƒh¼‘‘†—h˜—–hƒ’ƒ1„‘ƒ”“ ¡ƒ  ƒƒ˜•„‡A˜—h–g”Aƒg“h•ƒ—tƒ’„‘ƒ†–’‘­h’1„q ¡˜­‘˜Ì† ¹q”xÛ ƒy‘چh©d—­ ˜“±h–hÌ—˜vh—©
–  ‘ d
­
RX8BTUSQHIGE GE
P WV P RP FF Éˆ
U1 (z) = T (U2 (z)), z ≥ 0.
T (z) > 0, T (z) < 0, z ≥ 0 T
£ ¦‰S»o4vª·—â¯
¯ §° ¥ª ¯ º­ ¤®
°£¨¥¨
SI(I·ºwã )®1‰¯)B‰b(ÊX­
ºu ¦
ƒ
π1 (X) > π2 (X), ∀X
¦
a1 (z) > a2 (z), z ≥ 0ƒ
¨ª
¦
"IâI¨®{&A1¥XSI)s
Y ¬ ¨ ¯ ¨ ´ª­ £­ ¦ °£ ¨®«
U1 , U 2
³® ­ ¯ ã ¬ ¨¶ ´¦­ £¦ ³± íº­ 1

#c¹—‰·º‚Aâe(){£¤
® £ b 'º«® ´ â)A{µAýII(I·ºwˆíI·A8——«4v{—ý«ˆ°4â% ¡‘
£ ¯¤¦ ¨«® ´¦ ± ¼ £ ¨ ¥ ¨ ´$ g
6‡ …Ž XA|zyI
Á± y y
Ý
q ’1 ¡
‘ ¡‘
g
y±ƒƒX8 Ž X|Ayz‰ 6¶ 6‡ Á
±| ± y y
π1 , π 2

‰t­p¢ƒ–ƒ Ãƒ¼•ƒW
’‚
a1 , a 2 U1 , U 2
4
… „
S
© – „
4 €
¢

ƒ p­ ƒ¢ƒ‚ƒ–ƒ¢ƒ p•’ Žt„Ú #h § h—tA©t„“¦’ƒ ƒƒ˜‘ƒ ƒ’h£¡¼†—• ƒ˜ƒ•–ƒ †–˃v ­ ADžg”‰ hÍʍƒq­ $q—†—x‘­Û Ž†Ú’ W—D©¥ ˜h·h–¡—˜˜hƒh©h’†—hh—„±h–˜—†D­#ƒ˜¼ƒ–ƒ ƒ Ë‘­h‘Ž†Ç»• »™htÇhƆ„…# –© †–‘­„qÛxh —˜˜Úh––ƒƒ»•’˜ÇhAt—q”Ž• ƒ‘
© •­
a(z) = ’U (z)/U (z).
U
®£¨ â)A®{´
£ ¯¤¦ ¨«
AI)®‰0Aâ¯vÇ8¤‰)Uªo«I‰¦
d¦ ¨ ¦ ° ¯® ­ ¬ ª ¨
¥¤ £  
0AkI£I(¥I·w•v‰·ºI—⦨{y)•vII——k4´)« kª·)AA³
#¦ ± £ ¨ ¨º ã ¼¦ ¯ ¨¦­ ¦ ³ ¯¤ ¼¦ ¨ ¨ª«ª« ° ¤ £AâISA—)Q¥ ¡‘
§® £ ¯ ° £ ³ ±® ˜ 6¶ yvXyyvD˜Fh}X|X{
Á „ yy
¡‘ ‘
¡
± €„| y À„| y
Rh†vXXƒ„€bXXy{8w 6‡ 6‡ Á
x
•‘ ¢­ – ©
‰Rh ˜—h–ƒ»•˜ÇAq”ƒ‘  ƒƒ ƒ‚¢ƒp•Ž£™ƒ˜t‰’†p­s¢ §¦ –ƒƒt„h —tt„ ƒƒ’‘ƒ›ƒh t—„th•ƒhƒƒ••hh©˜—–ƒƒËA q”  yd”‡‘­Ë‘­•g˜A“ghI
Ú§ ¼ ’ h
 ·u· þ
Í Ì …
4
ƒ†—‰ !—h™˜t­h–¢ƒ–ƒh• ƒ™A’ ƒ”h—t¼ƒW  •ƒ¦q”A‚ h™ƒ˜—¨‘h–¡ƒ˜Ìƒ–  ‘­h A•†©p“­Ê©Çh  –ƒƒhː’‰h t—ƒ•ª ˜—h˜ƒh‘„˜—q”ƒ†©pËq­Ž—Ú ˜A–A–g“ƒdŽ“’­ tÚ¥ h¢†—
Í
 Ì
π = w + EX ’ U ’1 [EU (w + X)],
pˆ…

h Û
p“h W—˜¡˜ƒ t­¢ƒ–ƒ ½ƒ¼•ƒ‚8‘„ƒ”¤ƒƒ •$ ‘­#h¼shƒh•©
© ’ “  ’©
X
½ ª ¤£
·¥)AA³
π = π(X) = πw,U (X)
sA a °¤ ¯®ª­ ¬« ¨ °£ ¨® ¨­ ®£¨  
8‰)UoªIQ¦Q£¤ÝSI)AUª1³Bº
å AI)®‰§oþ ¡‘
d® ¢
XyyX
z 6‡ v„Xyv˜DFh}XX{
Á y y y y|
U
w X π>0
… …
  d‡”†­t— ƒq‘t­$h̏ƒh•™A‡”‘­Ë‘­•ƒ t­¢–ƒ ƒ$†—s¹Ût±„–ƒh †©­tÇ ƒƒ •¹‰ ˜¸ƒ’sh h˜—ƒh–‘•ƒ••»h˜ÇAh©˜—q”ƒ–ƒƒ•A ‘ ƒ g“ƒ ¨ƒ‚˜—ƒ¢p•¡Ž˜Ú ƒ §
­¢ ’ EU (w + X) = U (w + EX ’ π)
·
Í Ì
•†… ƒƒ •ƒh•†©‘­p’ht—8†¢†­—
ÚË
EU (w + X) < U (w + EX),
·uU Ì
Í ª
w≥0
b

˜¡ƒ˜  h̃•hA™q”h»©Çth ƒƒ’8‘„ƒ”ƒ“ ƒh•A™g”hq—­Dh©Ag“A”g– ‘
EU (X) < U (EX) DX > 0 w+X
…‘ … …
b h
4
Û
w X
…b • ‘
… •
ƒ  •Ap“ h©ƒ¤–xt‰­™p˜yÚÚ‘“ph ©ƒA p“h•ƒ‰Ã‡”q­—t ƒ†‘t­¢ # · A¼ƒƒ”–h• ™A‡”h‘­—tË¨‘­Ë f• ƒ•– #¢‰ h˜ƒ–pƒ ¢’ –ƒƒ ¨’· ƒ¼±„•hh–A™—˜”qƒh‘„©»”qtǃ©h ƒ’ƒ„ f†¢q­— h™—˜D–¤¥
Ë  — ‘ Ú
¡¡
‘‘
±Rh†vXXy8¾ v 6‡ Á
€„| ± y
¦{#yx
È–€” µ”µ”xvr rtr }t ’n
ö¦öyy‘#Ÿ#y‘Á—#ÚoÃso#y‘oÃ{u#ƒ”#Ês•
r”r –Èx Þ €rx '¦
b{Š{ˆgUBT{Aby|V{b1u1I8‰8P
RP ‘T ‹  RP ŒŠ Ž Š Œ RP ‹ Š WV ˆ
‡Íˆ
T
Y
™ ©
U1 T (EY ) > ET (Y )

x … b
… …‘
’1
‰ ̐ƒD •A˜—“gh–Ahg”y—–†Útƒ•#hÌ‘ ƒ† ƒ1•© ƒƒ•h•A—tq”•ƒA‘#‡”ID­¼ ©ƒ‰ hƒ©¢ ¼ƒ•ƒƒ Ëƒ Ag”h!h·ƒ•ƒ†·‘­h pË—˜h–‘ڃ”g8•ƒ•– hh·hƒ†—h•ƒ™Ah•q”¡h ˜s»©tÇ‘Úh “pƒh ƒ’©h‘„ƒƒ”h•8g”A™“ t„hƒ q—•­D¹Ah© ¸†g“ƒAh•”g†—q–h– 
†‘©
U1 (T (EY )) > U1 (ET (Y ))
(U1 ) U2 = U1 (T ) U2 (EY ) > U1 (ET (Y )) T
’1
…  …
’1
’1
’1
’1
’1
’1 ­
U2 =
π 1 > π2
T

…¨U
Í ù
Ì e1
…Í Í
1
˜hh˜—ƒpË$½˜ƒƒ pËÚ‘q”ƒ‘ d“Úth¢†—Çt‘R hœ… ·hA»”F˜ƒ’hs§ D­h©ƒ•–
Ú–   ڏ Æ
ƒ‰­“ ƒ˜A‡d“‡™Rh–­ Ag‰”‡­D©h©hÆƒh’ʃ‰Wª  ht—Ë
—R
π1 ’ π2 > U2 (EY ) ’ U1 (T (EY )) = U2 (EY ) ’ U1 (U1 (U2 (EY ))) = 0,
’1
’1
’1
’1
’1
)) < U1 (T (EY )) U1 (ET (Y U1
…¦ ‘
… „

’1 ’1 ’1
©
ET (Y ) < T (EY ) Y = U2 (w + X)
S
˜ … š

ƒ¢p•h˜ŽqÇÚ » W‘­§ ¢’†hp­hƏ1q¢˜ƒ†­ƒ Ž†¢— ­F‘—‰
¢ p­ ˜¡˜ƒ­‘•–ƒ•Ž¨h†ÚA—h©˜—·ƒ–¹• hx†©Û ‘­q­’˜—ƒ†–›»’‘­• Ž†Ç ¥yh‰8±„h–˜—ƒ‘„q”ƒ©„
    A„t ƒ“±Ì‚
π1 ’ π2 = U2 (EU2 (w + X)) ’ U1 (EU1 (w + X)) = U2 (EY ) ’ U1 (ET (Y )),
’1
’1
’1
’1
¦
˜¡˜ƒ 

πi = w + EX ’ Ui’1 (EUi (w + X)), i = 1, 2,
T > 0, T < 0 U1 = T (U2 ) ’
1
Í 1
Í
tÚh¢™Aq”p¢–hŽ¥‘‰
   –
a1 > a 2
b
… b

‰ D­†©ƒ•Wh™˜—h–ƒ¤A•Ú A¥“pg‰h ©Æ ƒhË‘ hƒ©t—t‰8¤Ë †¢­†—
T U2
U1 T2
U,
= a2 ’
=’
a1 = ’
T
U1 T U2 + T (U2 )2
T U2 + T (U2 )2
U
™ …
Ú
Fh˜h˜—
U1 = U 1 = T U2 <0 T > 0, T U1 = T (U2 ) ’
B
„ Í· 1
Í
  d“¨ h–U¨‰
­ —– ڃƒ‘

b v
h
‰   ƒ•  $ Aq”ƒA‘g“ƒƒ’¨ƒ$h™‘ ˜—•–D¹†¸Iƒ™¥ g‰•¡­ W˜h̃h’‰—© ˜p‰Wœ– ht—Ë
‘ ¤ ˜
U2 (z)
U1 (z)
(U2 (z))2 (U2 (z))2
{a2 (z) ’ a1 (z)} , = ’ =
U1 (z) U1 (z) U2 (z) U1 (z)
U2 U2 (v) U2 U2 (v)
’1 ’1

U2 U2 (v) / ’ =
’1
2 U2 (v)
U1 U2 (v) U2 U2 (v)   U2 U2 (v) U1
’1
’1 ’1 ’1
 ±
U2 U2 (v)
’1
2 T (v) =
U2 (v) U2 (v) ’ U1 U2 (v) U2 U2 (v) U2 U2 (v) U1 U2 (v)
’1 ’1
’1
’1 ’1
’1
 
U2 (U2 (v))
’1 >0
(v) = U1 (U2 (v))(U2 ) T (v) =
’1
’1
U1 (U2 (v))
’1

¦ 4
€
˜¡Ž t‰p­†¢­‘»•Wp®  ˜ƒƒ •A”gA“gƒ’ƒh‘1Ê®I
˜ Ç   Ë ˜¼ ‘ ­
T U1 (z) = T (U2 (z))
˜
¨ U
™ … …‘
ÚtÇ»©h»“A•¼ƒ h ƒƒ’‘ ˜ƒƒ •Ag”ƒ–ƒ #h¼© #¡ƒ˜„Dƒ’WÚtƒ¢’hh©ƒƒ’‘ ˜†d”
v = U2 (z)

¦ 
h
pA˜¢“ÌƒAŽD¥‰ D™˜—–hhy—tÚ·h•pÌhh¢h†©›© ƒ†•™h†­t—˜—ƒ –A’»“hŽh© ƒ¥t’ƒRW±„†˜h–D­—˜h©†˜—†­–ƒ˜—h·h–h$©Êh˜¡h  0˜—˜ ¼¡ƒ˜h‘h†ÚÆƒh’˜—†d‡“d”qhÆs‘­h•¹—h thyË—ty˱„h–˜—˜$„ƒ y’p­hh¢h©ƒƒ1’‘ ƒ‘ 
”’ ‰ ‘ ¡ –F
  — ­­ 
T (v) = U1 (U2 (v))
U
Í Ì ’1
œh…
T a1 (z) > a2 (z), z ≥ 0 ’

h „b …A A1
€Í Í·
” ”
„b h
 …¨1
Í Í…
1 ¨Í1 Í
·
¢ 

‰ É ˜© ƒƒ •ƒ • $­ ‘#A’ h¼˜”© tÇ8h„Ú‘g“ƒ Aƒ‚”gƒ¢ƒ–p•¤© f˜ƒA ‡“‘Æd‡“R©­ ‰ ¡˜D® ¨ƒf˜Ag“hh©ƒƒ’˜‘ ¡AzŽƒ³˜ hg‰€dv©‚ D˜ƒyƒy±t’‘­Rˆ±h‰A†z
  Ú§ ­ ­ – ‘
RX8BTUSQHIGE GE
P WV P RP FF ”ˆ
qz q

h
p z’a a z
v
h …
©‰ ‘„— ƒ”ʃ ƒ •$ ‘­#h¼¨©  
Æ“ ’ ©
qz
˜

b hÌh·hyƒ©h¢’©hƒƒ†­†•‘ A˜—‡”–†­ƒt—’ƒ ƒ†‘up­‘   ¢ h˜ƒh•™A‡”‘­‘­• Ë‘­•½h·ƒƒ •’ƒ¡‘ †˜­p­Êh¢Ç ƒh·’ƒÌƒh•f‡”™ A ­™h̘ƒƒh’h’s†— h ©§ ‘­•Ag”ƒ–ƒ Ë#h¼¨h™¨h¼˜— ¡ƒ˜ h˜ƒh•†©‘­’
z qz = P{tz < ∞}
¦
… 
A‘­qÇ»h’ƒ•ƒ „t ’g”‡q­h™—t˜—h–ƒ ƒ†‘­ph•t—½„¢ ƒh˜’ƒhh•© A™‡”‘­ƒ¼‡Ë’‘­ƒÌ •
qz

¨Í· Ì
ƒ  ƒ’ƒƒ 1˜—‘h’ t­¡h¢ ¡ƒ˜ ƒ˜’ Ìƒ–…h·ƒh̏hh•ƒ©˜—–’hƒ»©¦d‘Úp“ hh©h—tv ˜ƒh ˜—¡h˜UX‰
u ‘ tÇ  © Ë — –
 
tz = min{t : X(t) = 0} tz EZ1 = 0

4 ˜
p­•ƒ t„ƒh’h¢»ƒqÇ’‘­Ìƒ8h™—˜hÌh–hƒ©ƒh•’t—ƒ„‘’ƒt„h ƒ© •ƒh’»Çq‘­‘­!ƒ ƒ•’ t—ƒË˜•A ™ƒ” †˜h™x„˜© q‘­ƒ•†·‘­ƒ˜p˃ ‘ڐËg”‘­•– »†Çq„h‘­Æ¤•ƒ•Xh– ‰ h©˜—h–hƐ–ƒ•
 ’  p = 1/2 EZ1 > 0 p > 1/2
»e
 w‘
»… …
¨Í •
Ì •
EZ1 < 0 p < 1/2
… b
… Û
ƒ ƒ’h·‡‘h©ƒ Aƒ”g“h†©­‘ƒ’‘Ú‘˜–p“h ©h·hUƒ© p­h•h¢™Aƒ‡”’‘­ƒÌ’hUt—  ·h̍ƒh©• ƒƒ„’h–ƒ˜—‘ ƒ‘„‘„”ƒq”0„“©ƒ ‘­•A“#h¼©ƒxƒ • ‘­ƒ’’¨ƒÌ‘ d ­
Ì ƒ ƒ’¤‘­‘ hA•t—“»Ë‡Ì#ƒh¼•Ê t‰t­h¢ƒ’ƒÌ 
–©
a

4 ‘
… …
¨Í
̸ …
‘ €
h̻̍¹ƒ©h x˜’Û ƒ‘…©†Úh‡”˜—q­h–t—˜—hƒ ©h‘††—t­h¢ –¨h©ƒyƒ h¢•ƒƒ’h’ƒÌ»$‘­qÇ  tÇ’¹†¢p­hÌh¢ƒA•„±»“D–…h—  ‡”†Úq­t——t†¢ƒ ‘­†‘h’p­Uh„±t—h–q˘—ƒ‘„”tÚA †•p”hÆx  1¦d#±˜­• “ h̃¼yh•R†©¢ ‘­„ƒh–’ ±„˜—h–†—t­Dh ƒ©h©ƒ ƒƒË†•†•q­p­˜—¢†U­– Wh¢t­Ç ‘­ƒ’’ŽÌÌ ƒ 
  Ê 
¢—
q =1’p ’1,
U
„ Z1 =
·
Í Ì
‰ s
p 1,
… „
U
qª… hh™™ ——˜˜†–h–ƒƒh•h•—ƒ—t„„ ƒƒ’’hh ©©s––
¦
… “
Z1 , Z2 , ...
® Iƒ¼•ƒ†·‘­pËÚ‘”g®¨ƒ¼ƒ••A”gA“gƒ’ƒ‘†–‘­xhh©y†¢‘­•ƒA “I¼¡ƒ˜ –ƒh ˜†©‘­ ƒ˜Ç•ƒA¤g”• h™A˜—g“h–ƒƒƒ’h•‘A™†–‘­g”hgD­q—’ 0h©˜ ƒ¼Ah•g“˜—Aƒg”ƒ’h–¢ƒƒ–‘ A ¤–ƒ•ƒ ƒËA Ag”h“±©Ì
– ’ ®
i=1
Zi , X(t) = z +
·
Í Ì
t
¤†…
˜ƒƒ •ƒh•†©‘­p’8 © Ú
0¤z¤a a, z z
¦
… …
4 ˜ ‡
––ƒ‚hƒ’ƒ™ ‘ ­— ­ ‚ ’„ƒh–˜—†D­#¼ƒ–   ƒh‘
a

˜ …
·Æh’­‡Ç»˜h ‘ h ƒ˜ƒ ¢†F™‰ • ’ dg”–ƒƒ Ë#A¼g”ƒ ¢ ™–A˜“Ç¡ •h†©‘­t­h¢ƒ’̃…Ì
q =1’p p ∈ (0, 1)

U U

‰ hƒ©’ƒ‘ ‡”q­t— ƒ†‘p­¢…#ƒ¼h•™A‡”‘­Ë­‘– b •hq©‘­!h©yh¢ƒ’Ìƒ p®h hhƏ ‡”q­—tƒ †‘p­…#h™· ƒ¼˜—h•h–A™ƒ”‡h•‘­t—Ë„‘­ƒ“h•’ ·#ƒ¼8ƒ•– tÚ’†ƒ‚™ƒ ­ ¡•˜ ƒp˜A ‰g“Ú « © ›

h 4
… S
„ 
¨Í|¥r©
¤£ ¢
© ™h˜—h–ƒ•ht—‡„ƒ˜’h©›8Útƒ‚ ƒ•ƒA g“8 —˜†­D#¼ƒ’Ìƒh ƒ’ƒ‘8  ‘1 ©

S S

¢
…'B ¡ Ì
¤˜—†D­#¼ƒƒ¼’’ƒÌ̃#g¼   h!©»·¹¢hx’ƒÛ ƒÌÚ‘!  g“A#”· gfƒ©–¼h ‡®’­‘ƒƒ•!¡ƒ  ‘ ƒ˜h ’t—h†’d‘­— ©h·p­A¢–ƒ“ƒ ’W–»­¢p­ ©A–ƒ­th‚h¢ƒƒ’ƒ’…g”A™ ƒÌ‘ D­AA©»““1˜x †Ú¹˜—h©Ú t¸†–·‘­hp˘—›ƒh–Ú ƒƒ’’‘ƒÌWƒ˜  A©ƒ h’†—¡˜–†–b­‰ F”±žÌ
¡ —
€€r tx r” È ”v mn
ÈXXu#ów#övs#ywX€#y΂ p‚¡
Ÿ ž
gk
lh h‚
h d i
} 6
  6e ghQ

W tun— u juu tq ¤ un
p mn mj
w X, U w
£ ¯¤¦
â)A¨Iv‰v¦Av|•¹®‰·—1³¨IG1—ª
¨¦ ¯ ¨¦ § ³ ¯¥ª ªí ­¦¥ í ¬ ¨ ¨ª ¦ ³£¤¥
II—­{—)1I£wÇA³—±
㣠®£
¼)AI¨
œ½
πw,U (X)
ª¤ ® 4
“ à
#¥¨º ã ¼ ¨¨¦ ¯ ¨¦
(I·wÇ&¦AIv‰v¦Av|§ ·¥)A£A˜I)®AWA–8¤‰¯)A°4BAƒ—‰bA¹—­{¦¥ ¡‘
³ ª¨ ¨ £´ ° ´­ ° § ¶ ¯ £ ³® ¦ ³ “6 XXyX“ XX{
Á y„ y ±|
’ ’ ’
½U¦¦¨ª ­
¦ ¦ª ³® § ³±ª ®» ±® ¦ ®»£´ ¦¨¶´ª §£¨£
¨Ë§b¹|S£A——I¨ ¤¸¥)4v¦A¨A¨`—­‰¯)¤B4IAµ¦1¥ )xˆA¨sV|&B—­Q®A·A&˜SII˜§
¦1¤ ® ¦ ¦ §«¦
¦
¶ ¦ ± £ §ª ­ ¯¤ ´® ª«ª¥¦ ¤¦ ¤ £ ¯¼ª¨ ¯¼ ¯ ¶ ´® ¯ ª ¥¦« ¥®»¦ ®
b' ¦³±¦  ½
¼I£âe(º«—A´8A)¤Io‰)1¶A£‰¯—·v«  ¦BA±)•âI—I|®‰I·º  {—vQ‡U­‰)¤1A¹‰—«ª·vš)4vA±)A¨
í£¥ ® í® ¬ ¯® ®³ §® § í ± ª¨ª« ¥ « ½ å ª §® ³¦® 4

‚ ¡‘ à
¦ ¼® b '
S·)¤B4»I£{´¬8{³Xâ)4»¸)‰e(º  {y¯ |p®A8¤ ¦AšI—ª·v¦šê·k˜p{µBbk XXyX“ XX{
Á y„ y ±|
w T
«¦ ¬ ¥ ¯ ¯ ´® « ° ®¨ ‰)Av—B¸°SAy)®|öS£)Uª
­ ¯¤ ¼¦­¤ £³ ¯ §§ ¤
v—­o­²¼v¦1—ªâ–¶â—ªA¹)¤Ývªâe©4µ——BA±eA˧
b ' ° ´¦­«¦
U2
°¤ ¯® » ´¥ª § ½ §º££ £ ¨ª­ ¥ £ ®® ¨ § ¶ ¯ª­ ¬¤ £ ±¦ °£
 ª ¨  ´¦ SI¨
8‰)UªS¦'c—«sp®4»øáA·ª˜º·«I­A«I¨I˜¦¨¦A¨I—¦1)¤AA³wBA)®||â—o)AIv”¬  Is©µ«
U2 = T (U1 )
T ’1
’1
£ ‰SÇ—â#§
¦ ¯» ¥ª ¯
º¨ ¯ª ¦ ¯ ® § £ §¦ ¨ ¶ ´® ¯ ª « ´¤ ª¨»ª¨«¦ ¨«
# ¨º
(¥I·wã '(Iâ—1³  ”)®B|S˜BA·A¹‰—­¦)®{£˜§IS—IBAv¦
T
T >0 U1
¦A˜S—v­
¨ §£ª« °£­¦´ º º«£­­ ¥ª¨ ®® ¨ â¯)A{´8A±
£ ¤¦ ¨«® ¦
°£¨¥¨º
SI(I·wã S{£¤1ÇI—˜§B¦1—I« {—¦1)AA³eBA)®|§
€ ½ ¨ª­ ¥¤ £
T > 0, , T < 0 T U1 = T (U2 )
´® ªª ¦¦¯ ¦‰Se§B—1—â¯
¯» ¦­¦¥ª ®£¨ ­¦ ª ¦® ³
£¨ ¨º ã
£II(¥I·w‰¶A£‰¯—«—A´  ˜‰§ AI—ª—«1³  B{—±ˆ£
´¤ ¯ ½ å ® §® ³ ® á
þp¡‘ 4
“ à
£A£B®QP—âùâ—âISv{—ÎAsV|§ÝÝAI¨)s©¹—­‰·ºùê·Ú|£{µ¦B‰¯
Y¥ª ¯ ¶ ¯ª ¯£»¦³± ¦¨ ¦ ¦­ ® £ ® «  ³® X„XyX“ XX{
Á y y ±|
w UA
­ ¯
—ªs{GpBUA‰¨AI¨—²II¨
® ´ ª¤¤ ª ´¥ ¦¦ ¨ ª« £ £
U (z) = z ± ± > 0
®£¥ ¤ ¯¤¦ ¨«® ´¦ ± £ £ ¥ ¨ º ã “
4 à
#¥¨º £â)A{µA²II¨(I·w¸°4)e܁bs ¡‘
´« ®  ¦k
(I·wãQA·—ª œ ½U¦ Á6 X„XyX“ XX{
Á y y ±|
w UA
­ ¯
—ªs{GpBUA‰¨AI—ª•II¨(I¨·wQA·—ª
® ´ ª¤¤ ª ´¥ ¦¦ ¨ ¨ « £ £ ¥ º ã ® £ ¥ œ
π
½ —£I˜p{—Ÿv—1)A£A³ ¤Ÿ·)¤A£A³
¦ £ §® ³± ¼¦­¦ ¥¤ ª¥ ¬® °´« £¨ ¦¨­° ª¥¤ £ ³ £ ¯ °£ ±® º³
A¹®|§
I¨)A¨›4)•®AI)®ÜBª1XÇ®AAù£”·)AAΰSâISA³—)A¨
 ³¬­
U (z) = 1 ’ exp(±z) ± > 0
â—pA£Iw–¦
¶ ¯ª¤ ± ¬­ ¤ 4
“ à
£â)¦A{µAÝII(I¨·wÚ4â$™ ¡‘
¯¤ ¨«® ´¦ ± £ £ ¨ ¥ º ã ° ´ Î XXyX“ XX{
Á y„ y ±|
u
v b{Š{ˆgUBT{Aby|V{b1u1I8‰8P
RP ‘T ‹  RP ŒŠ Ž Š Œ RP ‹ Š WV ˆ
ˆ
©
y>1 p < 1/2 y<1 p > 1/2
·
Í Ì
”… … ¬
h ‡
‘ Í
· Ì” … … ’
  ‘©   ‰Rh·hy—Út•hÌh8ƒ„h–—˜ƒ A‘„g”q”– ƒ©„
a z qz

Í Ý Í·
Ì k
Ì ß
‰ •hÉ A“›d¨†— hA—    A ”g–@ h·Ap”p¢tÚ#h¼d±„h–—˜ƒ‘„q”ƒ©„¨ ˜ h•É d hA—
•  U

ƒ‰h©ƒ y ƒ¢h•ƒƒ’•ƒÌ¡  ›»˜tÇÇt¨ƒ Ìhƒ’ƒ$•‘ A•»“›AƒUƒ “ u•ˆ ƒq—h’¨» —˜qdž‘­D­W#—©’ th¼A pÆ»“Ú$y®ƒ–ƒ•ƒh h•ƒhƒ’†—‘sh•ƒˆ ¡™h™ˆt˜—†–É ƒh•™ƒ—  „ƒh•É’hs©© $­Dh©t„ƒƒ •ƒ‚¨ƒ¢– hp•t—8†¢­†—
 Ê – ÚË
a
a
=, qz = 1 ’
˜
z
a’z
A
x ©
š
‰
y ’’ 1
Í
· ‰
Ì ‘
… v
h e
h f
ƒ ’ƒ€ p“h•† É 1˜—s© ¡˜—D™ ƒ˜h–  ƒƒ•p­•h¢Aƒg”’AƒÌg“¨  ƒƒ’hÌh‘ƒh’ƒh•$†—q„8D­© t„# © ƒ¼ƒ•ƒ’ƒ¢h’†–»‘­qÇh’‘­Wh ’ h™—t˜—ƒ·h–ƒ ƒƒ’h•Ut—‘ ƒ„‡ƒW’• I¡$†Ú‘„q—”‡†­q­——tA™ƒ »”h‘Ú›˜ÇƒI‘Ú’ p” h †©ÚF‘­h˜ƒ’h¨g—‘ ƒ‘
‘©  ˜ R
2
a
qz = 1 ’ , p = .
Í
 Ì 1
z
tˆÉ qz = C 1 + C 2 z z
|
˜ … ˜˜ … ™
ƒƒ •¹g¸ƒ›hƒh•—˜†–‘­‘Ë
’ –
·
Í Ì
” X
x —

1 ƒƒ •¹˜¸ƒ’›¹†Û†Æ‘ “ph ©›†– ‘­  pË‘Úg”gh˜h—˜
•  y=1 p = 1/2
˜
¨ …
©Ê˜—˜Ûh¡© …˜ƒ¨ƒ  t„ •†Éƒ… h•†©t„­‘ƒ p’•!Ú ƒh•h̆©y­‘¢p’»–Ú¹ƒƒËƒD ƒ ˜—•ƒ–¹ ƒ˜¸’ƒh†¢t—’ h‘­¡†’ ˜ƒp­ dh –® ƒ  ƒ†©•ƒ­h’ǘpƒ¢hƒ—t•ƒ…ƒË· †¢ƒ•q­A €shƒh’h‰ ˜‰‡x— ¡ƒ˜d ­ “‡‘­h‘h©kƒ¼ƒ ƒ•Ž•’ ¥hh©—˜–
¹ —” — U

qz + q z = 1
˜

˜ … b

ƒ’h›ƒ •¡˜ƒ’h!t„ƒ •ƒËƒƒ †•­‘’†Ìǘh‰ƒyh©Æ ƒh¢’ƒÌƒ’¨ƒÌ   WtÇh¨Ë t—h̏ †¢ƒq­A•‘—»“›ƒƒ •ƒh’»qÇ‘­Wh’ t——tA @“Ë Dh™® —tƒ–h h ˜—ƒ¡ƒ’†˜›­‘ WƒA•h™“˜—tÚh–h’ƒ—˜h•Žt— ‹„
©–  ©  ©›  Lj
y ’1 1 ’ ya
1 ’ y ’a
.

<<

. 2
( 3)



>>