¨ ¨ ¦ ¥
¤ ¢
£¡ ô
—
òÀk•zï`ݯá‚ÝzâßÝÞk°à`Û¿á‘ãÃi•Àï`’‚⯤‚ÝÀ‘z’`ãâAk‚ê«ízz¬¬z«zƨG9ÎÈ©¤‚”‘ã}–z‚Ý‚â”`À™í‚Ûá¯k‘ßÝzÞ‚Ýí z‘`Üý À™“‘Ûê “‚`”•Ú™ý ²ø`’”‚ô Èÿz—þ‘Àó–ý ‘“üG•µ ‚“`»”¿úÀ“‚ù`’ø‘A2·`ôÐ ö µxó
±ê ïèê ® «ê ©è§ ¦å Ýà ˜
xw {
1’p p
¬ i z¦{ k¤’ { ¸
g¤zyig{ „kW„ y zyi`x¶ ¢i’®¬skkk6z‚¥Wº AWizy qgWkkW’w{x W¨‚¨WkWv·w“ }w}Wgx{ W¤W …w•±'izy© gi 9yµ zigx WiW’wv W}wWw W¢º WzyIWWkWWzy’wx¨ I¨‚}|k}v¢ WYW¤}vǦk}w“x W}v W}{w ygW•wx s‘kIkÍ{}’¥{« kW}¸¤ wWy
{ I { xW {Wyzx „ yk w{ { « x k
yy w v
N
´ « § v “ „ w ¥ w x x { { …yvw„ ¥ |w· º Ï ¶ {
¦¦`Ygg¶kWwkWwWW}wWw ¢ Çk’kkWygk’ ¢ w I®yIWWyWw}|}¶ 6sWIWk¦YWzyËɾ I WWWkÉq ‘w}{ É ª i¢ “ ¢ kvkÉ„¢
I w k x ¨ Ç“Ç ’ wk 6 x { wk I|W „ ¢ v ¤ ¤ k v x w v
˜{}’ v w yv y{
§ }¤É kk¤{ k‘‘}|ªgWWzy·{ WW·xw WwkÍ„ ¯¨É Wzy}{k}xi{¨ `¢ k¥sά}¤kg{“ W9wv WxY‘“wy g `¥¤i¥« I»g’|kW‘£xª º ¶ iS¢§¶ |}66{{ Ws…W„Íxk“w £i¦ `kYW y«„ § kWxkkWk6W‚v’¤“ gy‘w¬v}¤}xgxi ³}{x6W‚“{¤ zy Wkk„
q6IkÌ ’
µ¨
w x xg9
T 0.8 ¤ ± ¤ 0.95 ± ∈ [0, 1]
‚`´´ 9‚ki6W`v zygx ig’¶ `Wzyv Wxw W}wWw ¢ …kkgv„ A9Ê 6zyq Wk’i}’WWzyWyzWWgWkWk6’’ }{k‚³i¤‚¸ k‘’}¤g¨« ¯³£i¬“¨ `¤¬¤¨¤¶ ¬xWkWkw9k¸ ‚kikWËzyv„ ÊÆq Yi`w ¢ ¿¨§S}|yz{{
9 wk x w { x { y w | w¨I ¥ • Wy…¤± k k ¤ | “w ’W f ¨ W
xºx x
k „ ¶w
w
± Q
`´Yw´ kvg’i„¤WÁ •ÈW¨|§ iwW¿Ws‚…WiIvy WWzyv wkx`¨k³¬}¤| }¤g{kWv{ k`ÇiWg•yw’ gz©xi¶ WS™Wi¨’y k“kkvk¸kW6kw« „¦fzy`¨WikkWgv’’wx I³‚¨y ¤¬v}¤ g{#6Y ®W6zyº§ Wx s}’…WgxIiWWk‘ww„vy °Wk·w{¥„ z k£}’µ„ Wy
É ¬ w « { 9 k„6 gW v §zyx I W W k x Á É {k
„ “¨ { w W
“{
C
„ “ { w ± «y “ { «w x ª x„w ’¸ { ’
‚´ÆY¶xWx“WW•‚ivWzyx…»kW¨W· ¶ x“k’k„ ¶ WWWw}„`¨ £gº9x“}kkWçIikk¶k6W‚`¨ikg|i¸ ¶ x Á { ¢
P{C ¤ Q} = ±,
‚µÀr± º xw’ w { |w’ ¥
WWzyWkWyI©¨k}vW#Wkkg’ ¢ ©gx
W
…kk
g vk v w y „ „ gw ¨ „ xW k v { x v w „ v w „ W
„ ¥ w
`´¬ g¤kgIx¨zy¬}¤|Wkkks„’vw{ #³gv¨¤ `“ky¨kkg’{’ k i}’W{v k·W©¸}wi‘’x ¥®•gw WI¨y§« W¢“ · 9¶w ¢ Iwk‘Iwª }©¨WWww kyzWx’ 6¢ k{{ sW¤y„… I¨IWWk¨kkkkWkk‘w¹«v|“ #kI¨W¦6¨w ¯9xx zy¶ g{9¥ Ik¤¨¿WW`yxv zy³k}¤{ ¨izxxg{ i¢ ¨kWkkWk#Wk«
gyW ¾ w
¹zy { ª ’ ¼ q x { ¥ · w w x { « ¨ { ’ w “ ¤ w « ¨ w
k« kk¹k}«6}|{‘I©¨wWzygxi½IkWzyW6W`y©I©¨WYWW}»º} °Ik}’k6‚k„xWkkg’i„¬WYIkg’9Wkvkk’
‚`´´ `wkYy k§Sk³¶ z¤k™WWw|„}w WWkw Wk•¸w k‚W| iwWWzyv yx ²x¶ ™I‘¨ Wkk}’wx kg¥‘’{ ¸}‘„}w}x}WWWWW‚ii¨ W¢v yz§I°I{y`x v}¬{’}k‘¤6iv™™WWzyxx¯¨ k³`kk‘¤ Y#¨Izyk{ g’i¶ 9¢ W6•w{ ‚|xyk®Ww gy•W5‘§«w }w9WW…wµ kk’v
k’ { … vk ± {k { w · w • w `¥ Y® {y`i ¨g¥S x iW “ x W
¨§ v v
Wwk
kk}’{ ¢ {WW'kk„'}|kkg’i„¬W•'|WWWw•‚iWyzx ¢ {kv}k„'Y‘ªI©¨WzySkWw}WkkWWY‘˜I}|k`¦9¢ I”kk’ £¡
v { ¤w« w v { w x§ xwv„w {’ ¥ ¤ ¢
xfw y
y…„y
GGkGkW™˜dG—˜–
––ijhe ff
|{
• qqqqsqqqqqqqqsqqqqqqq”q6ssIWv…y WIkW¤„¤WWWg9Www|w ‚w•i‚ Wizyv W¤#WkWWzy’w“| 6W‚x kw ‘gp Ypp
qqqqqqsqqqqqqqqqqsqqq 6 { { W y w v „ wk W v x zyx x v G qY
qq q q q q q q q q … | tq
qq q qq qq qq q q q { Wi
w
—p qqsqqqqqsqqq6sW–… GyI6Wvo kkiw •¤WWe|h„ UW6wn 9G‚m ”#Wdylv zGfkk•‘IG}|’˜ GW•z”{– y Wdkfw’x ggusr™‘p˜— – x j | i hf v dtG¦ Y e–d q
GG•AW6‘
’–”’ “’
y…„‚ yw
s¦xfxuvt
r q hF e cbV C XVT HRP HFEDC
sipAigfdIYa6G`PYWUSSQIG66B
—
53A99565#12'0('(
4 @87343 ) )
'%¨"#¡¦¤"© ¦§¨§¨¦¤¡¢
& $§ £! £¡ ¥ © ¥£
1’p p
, WyzWkWyI©¨k}vǼ
xw’ w {
S
0
“
{kk’}k‚¸i’
{
Ci
’
T
i
‘
´ { ’ §w ¸ §|w· x ¨ { „ wy
¤¤ « Wª¨ v
Y6Wvº ¶ kg|i¸ ¶ xikk’ ¢ W}{kWwkSWWWw}°zy{ki`ggyzx ¢ k‘¤vk{k„ k’}6¶{ W{v W¢w Wkw{ }kW„v }w gx¢ ikvwUkW‘£Wº“ ·i¶¶ ¢ 6W|{ WW}wxw 9xw ‚iWy ¶ ’kk¸
Q = T SN.
•±
µ
{ ¤vw … w„ x ¨
6 ¶ kWsk#¿¨Wyz{ki
TS
x ¸ “ { yv „ { „ { | «w x wy¸ S
w´kkxW¨is…WIWwkk³z¤kvk'}v¬‘¤`¥iv'¨“k’k„ ¶ WWWw}WI'g«`yƧ iWgiv’ ¶ WWW}wWw ¶ Ww ¢ `¦I« ’ v w ¢ ¤
“k„ ¬¤ v “ „ W x i y x ¸d§wWy9 { “
¤ y„ x w“ vW„ ik w¬ w Wv W v x
¬Q¨I¬™{}¤x¶ k{¨kWQ•`¨w ‚9 iWW9zywv ‚fWWzywv I'II`y³¸ `‚§Izyy kg{¸}Yx «}Wy¨{¤} W'· ¢ iº¨ }Wsy{x W¡… IWqv wkk}w“ }W{’ giI½W{}|v˜ zyWkWkw•g«kk}’ k¢{ WwvgyWk}¤w W}xv gxWi}w„wk¢gt }{W
‚q`yÆYxW¤Ç“ w‘¢¶ v w Á
„ “
WW9‚iWyzx¦W·k6 Ykg«Y«z¥W·¤¿¨Wzyg{ `ªik}«kk#WWW}wWw ¢ Wy
{ { { x v { v „ v w w
wik I’k 9 wW x w W § Y x x { y v zyx k W
v ¨ w ¦x
„
‚´§k6Ykk„{z« kzy¶v „ xgixg’k9gW’{ iW‚v iWvW}wzyW‚W¢v wWIWW}w¨ Wwzyxk|}{ G¢ I³W¬w¤« k¤ v}¶ £k‚¨{ k9’ }W{ k•¸w }‚WigWË„W`¨ ¨iW6W`·’“y w}kË„xw ½W¨w¯WWzyx 9g{w ‚9ikWkzyv xÆ{x©¸ Y¦“W6®¬µx ¶ qSk¿¨« kW’x yzg6{{ xª
v¢ · x¢
p
kig£t’v´‚ W}wgq}k{{ W6¨Y“y W W}w¶ ¤x W{WkWkW’’ww g•9©w Wi9vw W‚zyigzyWgx I©y k„ ±¥ zy6gxº ziW``y’{ yzyz{ k‚¦{ W¬wkkvkWWwº„ W¢ zyw}W¨WWI®©¨y“’ IkWvw¨ }¨ W®}wx· Çkw“ }WWWWgywwv WYww 9ÇiIW#‘w kk‘’`¦6IY£„«{ ‚¶ Sy§ zIi’’
· xW wv W¤ x k yW W «‚ ¥ v zyx W ¨gk
w {“ x ¤
N
w v x v w ¥ | ¶ ª w x x § { … y v w | w w v | { x w v ¤¢ v w x
‚´9W9‚iWzy°WwkWWW}wWw ¢ I'k‘I©¨WzyWw}Èk6¿sWIWk„'WWW9‚iWzyx'k ˜I}|WzyWkk„ kkWyg¬}¤}xgA
2YfrXa‚AAxwaXtdsrqaghefdAaYW
…„e c ` g`y`vu cb gp i cb`X US
VTR
¦
q¨ v xv w’ ¤vw’ w’yv x ¨¹«
SIk}’{6{ ¢ {kk„}giw}WkW6‚³kWk}wWkWIg ¢ g’`zy¤Ikkk’ ¶ … Á { ¢ Q = EC +
DC¦’1 (±),
9²±
µ √
{ {’
C
W`y9W‘wg¥6`k}„kGWp °Wzy}x¬¤WWxxkW6‚³¤kWk’wkk’}{ I6`kkk„
w x µ ± w { § ¤ “’ vw ’ ¦ ·v v kk}’kWgiv ¶ N
´`}wWvº W6{ kvkº W6‚ivWI}’{k¹¦ifWY«6Ç“}x}w}wk©¦w¬ÆSk6kWk°6kw{‘’{{ k{’ W¢¸ Wk`y{w k`v }„zygxWiwx W`ygIik¨y }¸sx{ W¶… IW}¤v {kv„
{y ’ { „ ’ y ’ |w x x ’ ¤§« y wk
¢
C
Q
P{ w w’¢ {y ¨{{
}¤Ã ·W„¶ x§kkW6z9Ik’ ‘¢¶ ¶ vW`y©¥ Ik’}6{ ¢ kvk F F ’1
« ¹{ «
q„}gxiv i`¨ „kiWWikWkW’·v{`yy’ }66S§{w ¨I{ k¢ kkW’„ „… ¢ iW}’ •k«{w ¨¸‚5’‘Yg¥`¨wgiW¸· w ¶ x ¼ { ¢
kvk w¶ §i
Q = EC +
DCF ’1 (±),
W ±p
µ √
… y ¨ { ¸ “ w’ w x {w’w xw w «
kkgv`#Ik’}6xkkxW#¨i ¢ {kkz’{‘g˜kWgyWw}sWkWWk}’WÎ}¤g{i¸ ¶ `k„ ©¢¶ Wygw
DC DC DC
DC
, =F ±=P
√ ¤√
√
= P C0 ¤ √
Q ’ EC Q ’ EC Q ’ EC
C ’ EC
¾ ± DC EC
C
w { x { w x ¨ { x { w {w { “
qkk’i}’W9zyWzyWWgyWzwI§ I}xk}vk}„k ¢ kkg’ ¢ ‚¦gWY}«x}{k¸kW`y³}¤Wy`³¤ k}’kkW©¸’{w Ii}’y ‘’6g¥{ ‚Ww 9Wkw· Wk}«Ç‚µ Àr# ¢ W{ d¢w Ê
DC
,
C0 = √
C ’ EC
w F C
YvWk„|Wk’kg’9WkvkkvWI}’k¹„¨Ik}’{6{ {kk„}giv ºkk¹kk’ … Á kkkk§¸ 6WkkWkkkk6g|’¸w|’ iW¸{ 'W| #kW||’ gkik¸’w g’9W'vkI¬’¤
´ w ’ w w y { v x « “ ’ È { “¤ ¶ x k x k ¨ k w
FC C
´{6{ {kk}„gxiv kk¹kk’ … kk©¸i¢ ‘’g¥wW· Si{sWIW¶wk„kW¨W· xkk„ WWW}wx Á Si¶ sWIWwk„
v º « ¤ q¨ …yv „ «y “ { “’ «w §¨ { …yv
Q
¨ v„ ¤ t q w y « x w’ x “ { x ª
I¬¤}{k¢ kÍ`¨i’kvg³¬¤ ¶ x ¶ Á Wzyx ¶ ÇI9WY«g¡ `ÍkWg`yzU|Wks…kkgv`¶ yU¨Ik}’6¶{ kk¸xW„³}¤•°Í`¨ g· ¡
I
F 64 3
BHGF
8 E 9
D C
B A9 75
@8
… x „ sË y„xy¤ …
‚ u …‚ …
gq{ ¦Ikf¯¨x9yzkI’kWWy
’ {¨ ¸w
µ w y “ “ w v x ¨ v v … ¨w x ¸ º { … v
•W•«W¨W· ¶ ±»`yÆY„¨WÎÇ“WW•‚iWyz½Ikg’9Wwkk¬¤kWwsQYIWW6x ¶ ͨ¯Wzy{gi6Yg«©¥Î}|6{sWyIWwk„¶
&2()'%"#! !
$ 10 $ &$ p
N, p, ±
§Ã { …I W W
y|v
w Aiq k ¬¤£ { x k v x¬
¤“ª ¤ w
§xWx`¥‘wx¤ ¬i}¤“ vW W{·x ½þkgy¤¦ kW«w gy‘ʬg‘¬¤ }º¬sx§`{ “WWw9‚iWyzgxi“{¤ kW’v kzyk{¸ ¬6g¤zi¥ `giivv „ kx“¿¨W’}zykg{{ 9v g¢y ¬©w ¤}x¥ 6¢ skW¦WWk¨„ywv WWyw W¶ w9W‚ w¬i™yz‚x iWWWWzywwv| WW}wx kwvk„
i kv „ “ · ¤ W
¶{
¸ y¶ |¢
`´Çkkk’v“w kÎ6g{zyziiv¬¤W½g„wWiI’y ¨xWW}¤¤§ w WwWk¬’ Q¯¨wWWx yzg{’ iº6qkY6g« ©{syIkWv{ kk¸w k„”‘WgW'w9‚kikW’v’w }zyWx{ Wzykkzy W¢x k{w Ukk6k¤§ W{vsgyWw… ¬yI}¤Wxv }kgxw „ iÎ k}vI{˜ k}|}„Wdy{{ zÊx
w … { |w v v k
„ k ¥`’k k ¸ w‚ ¤ ¸ ¡ ¥ W 6 | y ww WW xW’W k„x
2Yfra‚`AAxwatdsg`fdAaYW
… „e cX` g y`vuXcb cb`X lTR
RS
n
¥ l
m “
x v v { ¤ „ yw µ ± µ ± « |w’ … y xw ¤ x q
{}{6‚ ¢ i’g9WwkvkkvWzyº6kYWwkk„‘WwkWyz¬gigvi®g¬9 5§W kWg`zyx°Wkskkgv`WzyW¬k}kWg I6qS„
q w« ’ |w v |w’ {y xw’yw w y “· { w ¤
S|W•Wg9· ¢ i#WWWw•«}xkkfWkW6WI}WkWgkg’9}`¥i’W¨W¦yz¦©¦¬#
Trr = Tr /T0 ,
¥
n
§
§ w ’ | w xkwkv’ W § x wk y U x¦| k w 9W w y
x { ’
S|W•«Wg9· ¢ i¦WwWWY}«kk¦¢ }kkW¸«{ Wgkzy`w kWWgw|’ kisÇkµ…v’ 9kg¤`±v ‚WIWWzy«º Wgwx· •i« }¸¦WWWW¬k¤ww{’ }}’g{Wx wÆWg `ysxk‘“w W¥v `Wi 5Wqw¼ IyIi¨w Ikk}’’’ kWk9ËWxy{xy„v{ z zkWWWWggWYwwwyywv{“ }«x
N
¦ (±), T0 = p, Tr =
p(1 ’ p) ’1
l
m o
{ x¸ ¥ yw x « x … y wy¸§w µ ±
}|Wzygi# ¶ ¢ I°IWWyzWw}x¦YWggzy#¨`i’skkgv`¦WIikk’ ¢ WÇW °¥
Np
¦ (±) . =p 1+
¥
n 1 ’ p ’1
9±
µ
N
¦ (±) T =p+
m
l p(1 ’ p) ’1
µ
W±
{ v· „ « x |w … y ¨ { v “ wy¸ «
¢ W°zyggyz{kWgwkkvk¤kWg`yz¤Wk’skkgv`i ¢ kk}’{ `¦ixWWI#ggy
T SN = pSN +
N S 2 p(1 ’ p)¦’1 (±),
µ ¤w
9²•±‚ǵ• ± WWzy{k¸ ¶ x « w µ ± w x
C
k’ ¦
w ¤6IWw§ ‘¢¶ Wgyk§9²v}¤{ ¶º g¥6`k}„k6xw ¤x· k’ |§ “
N C
“
v k { I v ˜ { k v {
W6y´` I‚i³`¨ kg¤ gvWzykxw ’#¢ {kk®{„}’ zy¦6©¦`¬k¤·w kk„ Y‘gk6`‘’W{w6°{¿· k¢ k{v k„ vk„}gxiIv¨ k’}¤}6g{{ g{ I¢y k{kz¸vkx }„gx¶ iW™zykWkkkÃk§«„¹w¾ ’ ¶ ¶ ¸© þ¢… k©{ k¥ }’‘¶ª`iWvxzy WkWk®}„wv·w }k}x{ ’'6WWW}wx
{¢
EC = N Sp, DC = N S 2 p(1 ’ p).
9²•±
µ
k
l
’ { ¥ «« µ ¨ { {v v w’ ¤w’· ¨
§kwkWzyx}W‘I#gYk§W ± kk’}6{ ¢ kk„}gxi¦}wWkW6‚i¬WkkW#i Ì
pk = CN pk (1 ’ p)N ’k , k = 0, 1, ..., N.
k
{ ¢
p0 p1 p2 ... pn
, xw’y w {
WzyWkWI¨‚k}vǼ
l
k 0 S 2S ... N S
W±
µ “
{ {
kk}’k©¸i’
¤
i {
C
‘
W W
v ww ’ „ 6 ¬
WI5§ i¢ WxWf« k ¢ 9YkkÈS¬xY¬«“ k¤k9 }y}xkkWx kgv z©W¥{ zIkg«{y ’Ugg¤v YiþgWi}w{xw kw’}6¢{ { ¤x¢ kkWk6}„v’{“ gx{ i¢ sgyv Ww{°kkW©kiW³¨g¤y« Wk·w“ k¶’ W°gzy`¨· I}{y k¸ ¤k
w y ¸ ¶ w “ ¤ w v „ § ¬¤g C = C1 + ... + CN .
WkWWW}wWw
wvw
C
“’ w w«y w xy ¨ { …yvw « “ { “’ «w x
ÇkW6{ ¢ gyfW•W¨“W· ¶ }¤{kkg’9Wkvk¬¤¬¤ ¶ x ¯¨W£gºi¸ ¶ `wk„ isWIWk„ kWy¨W· ¶ xkk„ ¶ WWW}w#¢
j0g $f0˜
#1ih— • dar)&$ e™h• %r¡¡)$ –”
d —( 0 ˜—( •
+ 1 ¤ β(S) ¤
N , S ∈ RN .
9©Àr±
µ √
u
h '
t s
² —GG•' dfdWGj
’–”’ m “’
S
+
q kk}’k©¸i‘’Çk¦‚w¬‘¤g¥W}}{W WWzyxgÆ`Ww
| { ¥ “’ w x º ·
R : S1 ≥ 0, ..., SN ≥ 0} = {S ∈ R
N N
RN
¯¨xkk‘£k¨i`k³§ I’g`y v w | ’ ¹ v
| ª º ¨ y S
IWUË“kW6 {9w`yikkWgyw}{k’ ¥ v „ y { ¹ … ¥
S = (S1 , .., SN )
o
{¤ k wi · { v ¤„ x g« « “WWw§k x xk i W WxI
«
zyk¦©¦‚¸¬‘’¦¥¤ g‚gwÆ¡ { q ¢ kk¬¤ Y¶ kYÇg99‚WiIWkyvy z’}‘¨¨W“vgg·ii’w }#k{x’ } kv}kW’{ }yIk’{ ’}{¬q ‘¤I™kkI}’kkks{s}…WWg§¾ ••«{w ggy9W·w zy¾i¿¨ ’ WWWIWIW}’¨wy| Y¬k¤x}«{w ‘kv
β(S) = S N /S N
¥
n l
m
v
kk„ ¤WWI}’{kkkss…}Ww•°‘I6#¿¨W£gºik6‘gy¤kWw°WIÆ¢x}¤g{i}¸{¬g¤©¢ k§9 ±d§W ™6
wy ¹ … ¾ « ˜ xy ¸ w ’ wy¸§ ¥ µ µ ± {
‘
{ …y w ˜ wv « x | ’ … v ¨ ¤¨ v “ xµ ± r ± ’
´sWIvWk„‚‘¤{‘I}|{WzyxWkk„kWg`yzWwkskkg`y¦i ¢ ¬kIk}’{ ¦`ixWËdW‚pÀrƧµ‚WÀr¤`¨9kkWgiv
SN SN
pN N
¦ (±). ¦ (±), Trr = T0 = p, Tr =
1 ’ p ’1 SN
p(1 ’ p) ’1 SN
h
’
“
“
´ x ’ w w y x ¦ y § « ¸ | ’w xw `¦’ v W“Ww {kv I ’ {
˜
Y}WwkWgy|Wk’W£º6`}wWg·¦{ I«ggÈSkWg`zyx'WyzgxiWwkWWk’}WiW«¨ W¢w g9I·¨ k¢ }’i{ #iÇxW•}«k}¤x ‘¤kW„| gkw W6Wy
SN
pN
¦ (±) . = p 1 +
1 ’ p ’1 SN
W‚pÀr±
µ «
SN
N
¦ (±) T =p+
p(1 ’ p) ’1 SN
‚µrWÀr±
«
©¢¶ Wygw
T N S N = pN S N + S N p(1 ’ p)N ¦’1 (±),
T
’ e
q
w’ {y w’ w ’ ¶ ª ¶ { x « v„ µ ± µ w
kW6WI}xWkWygvºkk’}{kWgiv ¶ ¤}{ £º i¢ 6Í}¤{ ¢ kkk§9 ÀrçW ±p ¨ ¶ ¥g6`k}„xki§S
i=1 i=1
= p(1 ’ p)N S N , DC = p(1 ’ p) Si = pN S N , EC = p
Si2
2 N N
C
’ {v v { ¤ „ ¸ “§ “ {v {y |w’ {v„ |w’ vy
¨Ik‘’{6¿{ ¢ kk}„gxiv “kWyz¬gigviΤk6xkkxWÆg¬¤}kWw}W#WkW6{ ¢ kk¤WkW6‚iWI}’{k¹
Q
P
{v v ¸ ¤
y¬ w „ k «{W ®„ wk’i ¨ ’ ¤ W W «
§SIik¨¨ }’s{{ kW}’… IvW¤kkk¦‘}w„ i‘{¨ I¢˜ }|kzy6Wx k{w Wvk°kW¸ wW`y`¤}zy{kWYw¸x g§¢ {}{kis6W…w‚¦{’¨ Ixy Wkwwk„'’}¤}WÃ9yzW}·x ‘ªW¶Iþxik¸¤{§ g ¶ ©¦6xw `kkkkg’{’¢ ks9™W¿¨ kW}’xw yx g{9¶ xW‘w“ `¥yzWIw¾ kw„
i { { {ww y x 9 wWw„ v „¢
C = C1 +...+CN pSi
DCi = p(1’p)Si2
’
h
„¢
ECi = 1’p 0
p Si
{
Wzy}x£}{{k’ {kizv¨ ¿Ës}{{x WIWvwy{… WyIk`«Wgw •gyW§« ¨W· ¶ kWº{ kW‘’ yz6Wx{ wk{ W¢’ yI{k©¨kwv k„}v}gWdË{x `xq kk’}k©¸i‘’¥ W§ WW¨ Izy}Wkk}vwxx WkI}„y{’ ©¨kkwx }v¢ Wg˧{ x
¸w g y “ { { º
i Ci
r
{ { ¥ ª v § w’ { | ’| x {¨ vw w «wy “
kk}’k©¸i‘’}|{‘£ºg¢ ³¤kk’kkk„kS|Wkkk¸k6WWwkkgi¸ ¶ ¿¨xWzyki`k¨ ¶ WWW}wWw ¢ k„ WW¨W· i=1
Si = T N S N . Q=T
e
q
9 Àr±
µ N
xkWgi¤¿¨Wyg{9x‘“`¥IWw
¤ “’ v x «
T Si i
k¬}¤kvkÎ}v¬‘¤`¥iÍx“kk„ «WWW}w„WyIÎggA§ { W' WWW}wWw ¤ Á kÎk¬}¤kkQWWWw•
{ „ { v | ’ w x w ¸ « y vw w„ {v„ |w
T
v x { v « x ’ … v y ’ { ¥ { §{ v § w
‚´iWzy‘}v¬‘¤`¥i¤kk¸ ¶ `wk`„¶ § ¶ Wg`zyͺ ¶ skkggκ ¢ ¶ Wyz}xW‘¶ I}k`’g‘g„k¶¢˜ g’i‘®g«I«‚kkk©¸i‘’¥gW· ¡
i=1 i=1
N N
SN = Si , = SN
Si2 .
p
¥ 1 1
9±µ N N
Ik}’k‚¸i‘’¥
¨ {
S1 , ..., SN
{ ˜ { ¨ ¤ x ¤ “w v x y § pq„ wy
`´wW·Ww }¤{ ¢ WW¦}w}{‘I}|k’W6‚ ¢ i Ì q ¬g³¤¬¤ ¶ ¬xgW•‚iWzy{ ¦Ig«gsIWsrqYkS‘° WI¸
&2()'%"#! !
$ 10 $ &$
x ª “ w { | ’ { x x « ¤ « x q¦I v x ȧW „|
¯¨i}|{‘£ºk¨i{ ¢ W#•‘«¥zkv'Wwk’ w'¨Ik¸k6‚igi¸ ¤ ¤k}•g³'}k`¨g6“ ¬`¬k¤·¤ k¶ k#SW¿w¨ WWzyx •g‚{w 9i kWkyv z¸x
´ w ¢¤ ¶ ¶¶ w w’ W {
β
´Y6 ’ ¶ „ {k w … ’W ‚• ¤k w zy¾ ¤ µ¬ · “ ’w9 |i x•
Y6‚{Wi ÍkIk}’vy 'kÇk§¹ ksks6}…¾W³«™kgy ’kW¬U6k¤ W¶« gf9x ÇWiWÍ‚WwWWWyv zf«}Yxk¨Ikk¨’v }I{§ kk©¸w Wi6‘’’ ¥W`y{ 9‘WWwx kW6‘·{v `¥ i§x Sv°…± w‘Wkk`}’yI9}’k}x{zy k‘s¶ s}…kWk«¸
w { k ª … f ¾ Y
¹xw
o
{ { ¥ ¤ x w “ w x w ¸ { { ¨ { w {v„
kk}’k©¸i‘’'¬¤ ¶ Ç“WW•‚ivWzyx¦ÇWWw•g«i’k¢ ¢ £g{i¸ ¶ sWyI•‚§zygI}«Wy¨W¢“ xsrqYp°Ik}’¦©¦6 kkË¥
qw « { w v
kkg’‘`¥IWw ¢ kk}’¢ { ‚¦6 ¢ {kgt
N. β(1, 0, ..., 0) =
√
§ x
S β(S)
o
x { ¥ {w’ ¤I ¨ x ¤ # x s x
‚´zkWzyWw ¢ i’ {kk}’k©¸i‘’gWkW6‚wk³W¤’ kg}ix •#«v g³6‘WYI«yxw }¸k6kYk¬’„w§{ }kk}x¤ #k}w kWWkzywv W{’ ¬yI¬v¤ g k¢}`g’x kzy| k}’‚{ i`¦ ki‘WIW}v·˜v’ WW}w{w ¥#¿¨Wyz{
β(S — ) = 1.
w’v§ y w„ w v
kWgiÆkW`y`Ik}¸x ¢ k°k’ ©¢¶ Wyz{k’
—
S = (1/N, ..., 1/N )
„ S
β(S) β(S)
Y«´ gWYzy Sgx« Sw§ 5§ kk}’k©¸i‘’®{WkW6‚‘³Yk«¤x }k{6’kY¬5x‘ww}`¥WiiWWWIU ¤k¢ kg’ g« `A¦q kWIi}’y ’ k¹”W•}«x‘³k¤{ kkkWk{v¤ zy¬¬}w™YW¯¸¨ WWywx zy¤z¿¨x
{ { ¥ w ’ ¬¤¤k§}x W w v ’ · y w g zyx Æ { v { ¤ w ¸ kW ¤ }{ Ww k g
¤vÊ ’¤ | « {
{ ¢ ¨ ’ w ’ { ¤ § “ ¹ v ’ ¸ w y | ’ { w „ “ ’ v w « x « w x w
`´zyk¨i`k¦giWwkk}’¬kYgk’W6z{W`yikkWgyw}{kk«kWWWwkk’}k¸ ¶ `kÍWy`ik ¢ WW¶w Yx}{W ¶ W6`Y«}Wgt
N
, i = 1, ..., N. Si— =
1
» = ’2/N Si = ’»/2, i = 1, ..., N
e
n
m o
§ {¤ µ ± w ¾ ¨¨ w t w„ ¶ y
}¤}{¬kS§9 Àr„#WzyIi`g`yzx ¢ gÈq }¤g{i¸ ¶ `k£Wµ Àr©¢±fW¥« gw
‚»
= S1 + ... + SN ’ 1 = 0.
e
n ‚L
9 Àr±
µ
‚Si
= 2Si + » = 0, i = 1, ..., N,
m ‚L
W Àr±
µ
¤’ ¤ ¨w { “ ¤ w · ’
³¤ ¶ kkk¬#IWW6x ¶ x¬k ¢ •‘W}w{k#
L(S, ») = f (S) + »g(S)
¦ º « ˜ ¥§ ¦’ Ï {y w w { ¤ { |w ¾ « ¨¨ { ¤ v
Ig’i}vgÏ»kk¹kk’ ¶ … }¤{‘Ikg„©gI¦Igiv}g®|}{6WI©¦k’¬¤ ¢ Wzy¬£k©¸ ¢ ©¥WWzy¦II}’¬kkgt
g(S) = S1 + ... + SN ’ 1 = 0.
9©•Àr±
µ
S∈S
f (S) = S1 + ... + SN ’ min,
2
2
k
µW Àr±
S β(S)
kkg¹©I¬¤kkk¬¤ ©¸ ©WI‘z˜kw¬k •‘W}wk’ i’
¥ ’ ¥ y {v ¤ w · {
S
¡
’ ¤ ¸ “ ¨ ’ w x „ ±¶ ¨ v “ { « w x w
³¤ ¶ ¤kkk¬#¨Ik}’{6xkkxWi ¢ § i#’}{k’k©¨WyzWwk µ• Àr„Ik¢ }’{ ¦`ixW6W`yi}’¢ {¬g¤i’‘¥ ¶ W6`Y«}Wgt
+
S = {S ∈ RN : S1 + ... + SN = 1}.
S
β(S)
RN
’
Y}«{6Y¬¤k}x WwkWIgv g’gzy#Y‘ª`¦z¦6 ikkki§ i
x „ ¤ ’y x { ’v„ ¨ ¨Ik {
γ>0 β(γS) = β(S)
¤w· º v
WW¢ 6‚kk„ ¢ WkI}’y{}’w ½‘¤gIg¥« y
¸¬
“¹ y v w’ w ¢ ¤w „
kkk’gi}v'WI6{ ¢ {kkW¶„ w'kk¸WW`y`zyW¶x w „¶ WWzyW¢¾ wkA§
(S1 + ... + SN )2
,
β (S) = N 2
¡ S1 + ... + SN2
2
• Àr±
µ
x
f §
w v
w ¸§ ¤ ¥ x {v t mhe f’h io
WyI6x¤kWzy{¬g©}wz}{Ws{ ¢ z¦kgiq 6kWÆ 9kki• S6m
k j0g $f0˜
#1ih— • dar)&$ e™h• %r¡¡)$ –”
d —( 0 ˜—( •
q ww ’ ’w
„ 2 /m2
I w vW x{ ¨ x x w ’k v 6 k„ w ¢ ¬ “
´ËgºY`¦ Wiy« ¨vWWgy“ · wi¶ § }wWWW9‚{Wi¬zy}¤#zg}|gkÆ{ kg¹#i¿¨x kWgvx zy9{k i`º `¶ 9W¤·kw }WwkkWWÆg«’ §k9W· y}Wik¤’}W6Ww{| W{ •¢w }«kx{ kkkW#ki’¨{wv„v } ¢ º ¶kWk6{}’’ W`¦{ yIikxW`“ W¦Æg{}{§ ‘¤ª
“ ¢ ¢ ’
pm
´`´dwk¤ „ ¶ #W|wx WIW¨W§¸w 9‚ivWzyi¦g6i‚ ½¶ kg}vv ™}„i{W¬kg¤ W« IgWg« ¨U· W¶| wksxk¬g¤v“ }ggy{ ¢ Wg©¦xzy i#ͨ`kikW’’¤ W¢ kk}’{w v}Wxx ½}wyIzy¸¨g{x¢ ki¤ g„WW}w §¶ W‚p}¤Àrkg§¦z‚µkWvr{ krÀ±„
y w x W v · rk ’ U y yzx W ’¬¤ …k
’ {y w ¸ ¬ w xW § x µ { ± w
‘
¨ { …y w„ w x v„ x |w’ y ¨ ¨ v “ x µ µp ’
isWIvWk‚}wWWzyWwkkÍk«WggzyÎWks…kkgvgQi ¢ ¬¤kIk}’{ `¦ixW¤‘9gp ±£§WW ±p ¢ `¨9kkWgiv SN SN
pN N
¦ (±). ¦ (±), Trr = T0 = pm, Tr = m
1 ’ p + „ 2 /m2 ’1 SN
p(1 ’ p + „ 2 /m2 ) ’1 SN
y { ¤ w ’ “ x v « x¸ |w’w xw ¨ “
¢ W£}º¬k«WWg9· ¢ i#ÇWWw•«}kk##kWg`zyx¤Wzygi#WkWWk}’Wi ¢ ¨Ik}’{ `¦ivxǼ
SN
pN
= pm 1 +
¦’1 (±)
„ 2 /m2 1’p+ SN
µWg ±p «
SN
N
¦ (±) T = pm + m
p(1 ’ p + „ 2 /m2 ) ’1 SN
WpW ±p
µ
«
©¢¶ Wygw
T N S N = pmN S N + mS N p(1 ’ p + „ 2 /m2 )N ¦’1 (±),
w„ µ
Q = T N SN
z¤g{i¸ ¶ `ki§W ±p Á
{ x ’„
T Si i T
i „W kþ x g
w„ { ¨ w’ … v
¤kWkw6}’k{{ k’Wg`¹ Uv º6¶ {Wsk…w{ WWIy’ WWkwwv k}’gwd‚µWY§r p ±®£Wy{ zyz{kx}i¬`{¨ Wg¤ £zykWx{ kw}’}x { `¦¶ iWxWWW£WWw{w“wvv } k¢w k}’kk„{w ¦¸ I¶¨ ¬k¤w ` }kkI„¨v i`g•`{ Wzy« gx `¢ zyg¦txw 9Wq| kskkvg`y kgt
m
1 ’ p + 2 N SN . DC = pm EC = pmN S N ,
2
2
„2
‚µY ±p
r
C = C1 + ... + CN
T
’ ¤w
W6{k¹¦ ¨ { … vw„ w«y “
isWyIWkW•W¨W· ¶
m
1’p+ 2 DCi = ECi = pmSi ,
Si2 pm2
q
Q „2
µ W ±p
’
§ vw «y “ ¨ { “v { ¤ „ x¸ “ w’ w { w
iWWW}wWw ¢ YW¨W· ¶ Ik’}6{ ¢ {kvk„}gxiv kWyz¬gigvi°WyI6kkxW¦k¦‚6¿}xk’ ¢ WdÊ
Er = m, Dr = „ 2 .
e
p
9 Àr±
µ
r
’ “’ ¸ { w | x ¨ x { { ¥ { { x
kkkk6W#|Wk’kgi¸ ¶ fI}xkv}{k„}k ¢ ®kkz’k‚¸i‘’s}{k’ ¢ k}v”“ qkSg’¬¢ x©¤ ¬kW}¤ yzkxx W¶ gt ©¥z{k’
“ ¥
r, ξ1 , ..., ξN [0, 1]
’ { {“’ x { y x ’ ¤ “’ {¸w
“kkk¸k6WÇxkk|gi¸ ¶ ¿f¤}g`Ik¸}³{sg… „ ¤ w ’ ’ r i
Áiv}gigvi#Wkkg ¢ ©¼q ifxik}’kWWgyw ¢ {k}vx v
1’p p
q
I}w´`¨ k5‘’x x{§ 6}¤Y{ k„ i}’zy{6gxi{ ’ ¢ k“{ kvkW}„v Wgxw y`iY«v kikk’’ …k± k6Wf`¨iWkWgzy|’º iwk¶WIy x©¨wkv}W#Ƶ§x ¶kWkW}’wv W}w¸‚Wiw ‘’¢½k³¨IWÇWWzy“ WW}wx· kxw °W}w’ IW©¨y WkW}vww •W‚{w #¤yzrx
x ¸ { W¸ ’ { { k ¥ w „ § y W x { º ixW
ξi , i = 1, ..., N
{ { { ª ¤ ’ „ § “’ { { “ | x x { ’ {
kk}’k‚¸i‘’¶ ¥k‘£gº³kkkkvk¢ ³gkkk¸k6W¤xk’kgi¸ ¶ ¤{kk‘«Wzk6k ¶ kv}W· Á { ¢
Ci = ξi rSi ,
i [0, Si ]
Q
’
y { vw «y “ {’¸wÊ
¢ W£º}¬¤k iWWW}wWw ¢ w} Á kW¨W· ¶ }{kkWdiq Si
i
‚´Æ i‚W9zyv k½WkIWk’’y“{}vx gg#’W{k6k }’{Wk`y{ ©¸©iI‘’¥ ©¨°¨{kg’W§’ 6`WW‘¤w wkIWWWkWvwwv¥ kw}„'w W`ygkw¤}Wkk’w k’kkgv’ k©'g¨y }¶ WWS¬¨w§x Ify¨g“§ W}wsi}wx WWWWWW}wwwv w9W ‚w i¢ Wyz¬¬k¤¤x{ k¶ ’‘x 6WYW„w| Ww•yzx
iv I k
¥w ·¥ {
Ww Wwk W x ³ „ I ¤ W ¬ ·
¥ v {
´‚i¤kvkkW¨“W· WyI6x¤WW¯¨Wzygi6Yg©®{kk¸k6‘gÆSisWIWk™}wWWzyWkkf¬g¤9WykWW}xf¶ ¬¤
’ „ « y w ¸ § w y x { ¸ º « ¥¢ y w § ¨ { … y v w „ w x w v „ x | w
x · w {¶ „ w ’ | v § { … y v w | w w v x | “ ’ {
´}{Wzyg{ ¢ Æ`WW§gsg…i}vgigvi'¤Wk’kg ¢ x“¬¤}g{9kkW`y³¤}x}gxiv9k6sWIWk„WWW9‚iWyzxkW6‚‘d
2Yfra‚AyAxwatd‚a}w|e{z
…„e cX` g` `vuXcb g ˜ …„u ¥TR
yS
&2()'%"#! !
$ 10 $ &$ •
®
’
¬ d £¨£©”#£d§Q¦'#¢#
« ª ¨ ¤ ¡ ¥ ¤ £ ¡ )e
np wt2wwr”
™ ™ —•˜—•–• “
p q µ• ±
9W ÀrA r
`qx‘99 § É I« ¶ É q' i
4 I
’ri
B B
{ @ 8
9q‘
#xþ ¤ Ç … t
‚y … u
µ = 1, ν = 2
n)Qpk q n)Q n
I pYp §{w’ ¤vw w
gWkW6‚³kWk’}WÏ
µ = 1, ν = 1
pQ q hk
pq q §
µ = 1, ν = 0.3
k q q Qq
rW qI qW
IpI 9 Wrr §gWwk’W6 ³¤kWwk Ww
gWkW6‚‚³kWk’’}}WÏÏ
{{ w ’ ¤ vv w w
n = 20, p = 0.05
k q k) p
qq g§WkW6‚i¬Wkk
{w’ ¤w’
n = 10, p = 0.3
k q q me q
Wsr© qI qWr {
[0, A]
n q hk
qI qW
I srsrWrr ig§ skWWk6k‚’w’{w }vi{ ¬¬WWkkWkg’’ww¤¤ d
’W
σ µ G
{ { {v
ik}’6{ ¢ kk}„gxd
9 q r 6S}v¬¤
§ {
‘
´Ykkg„iGS¨¯WWI¬¤W•g«i‘’g¥wk‚¦¬¤WwkWzy{¬g¤igi'Y W6x“¬}¤' kk}’6{ kk}„gxiv Ww g
v ’§ x y w w ’ w ¤ v v„ ¤w x x | { {v ¤
qS¢ ¨Ik}’kk6W ™¶ WkWWyzx
{ ¸ { ¶¢ ’ w v w
β
w¬
g|„wkpWq’ Wzy»g¤gy©w ¦¨¿”W¬i¸kx„‘ÇQWk‚’ii}’ Wv{WWzy x„xy}}‘kª ’}¶ kx{ ‚¸iy z’}{¦¥¦©¦{k‘g6`gWyw I¤kkksWs}}…WWkWgy«’ kk Y}’‘©¸ª£gº’‘Y}«gWWWw„º zyWkWWy’w zI}xy ‚¨¤}vWW±y{w
¬ ¥ x W ¤ `y¤ 6 gyw“W w9 {I
{r x w ¨ ¤ ˜ · ’}{wkW¹6z{ … yI x¾ ww• {„ k i µ x x { wk
’ w {¥ %
G
qqqq
)))e
¤ ¶ ¦ y { ¨ w w ¼ q ¤ w ’ v w ¶ ¢ Á
N = 20 G
Q
P
|¬g¤gzyxWgwI‘¬x“6{ I‚¨Çx |kk}’6{ ¢ {kvk„}gxiv i ¢ WyIg¸{ §kk’ ¢ ÇgI r WkWgiþ6Ygvv W WIWv’ #9 w {y w
ik # w « k { ¹ w w « ¨y { W
’ “ {w v „ {¨ ¹k
Yk«W’g6¨•“wy`` k}«}„}xk{x kW¨{ iW zy}x{k¨I¸kk6g’`9•k}’ kWw}WYg`is`yWg… I©yy Wv 6wk „ ¥{¬{k¤}v à “kW}’· ¢ kWv{ kk„ kkskIk66g·`{‘’ {g#k}|{y¢ k{v }„`x£iºª #W¢ 6IUi6¼g’xy kqkg6 i{ w
¶
Dβ σ=
√
´ Á{ ’ ¢ ’¶ { y
µ = Eβ β G
{w k {¤ k x x { ¨ ¨ k y « ’ ¾ I t ’g
Yvg WyIW#k}’kW©¸¤{ w i¢ ‘’wW#¬{{zy¥ }’ W¢ Ik{y kzv}’³{x kSWWww|¹§ kwkk’’ k©¢¸k¶ 6Wv yzW{{ kQWWw|| kwk’kWg|v Wig¸yw Y¶w « Q¯¨Wzyki`k™k{ }’k¦{ IWg«’ 6`w YWgywWWWkyww{¤ zWQvgk þ¢v ³gq yzx
¨ F#
¬¤Ik¤ }’6#{x{ Ç¢ “W{kWk9}„wv ‚gxiiW°”kkk}v“{}|xzyvv ¹k¬k‘¤«{ ’ `¥¶ iËÍI“y k¸k’kxk¤§ k¸k©¦W6ww{ `kW„| wkk{’ kgki„v| k¸ g§¶ Wx wkvx k¬Wkkgy g¹W©w zyI¾¥ 6i ‚kWv{‘’ W¯¨ Wzxy W£Wkgyºy{ iw¨ ”kWËW6þsWIYWIw¨vy kk
¦x W 6
v… w Ww¤ ¨I
„ yI ` “ ¨ ·Ww { y { … „ g ¹
β
’
Q
´ I¶}Ç“kW6‚‘{kv ¯¨WWII’}¬‘¤I zy{ ‚¦¬‚¢Æ{ {kk„™YkgY« I WkkWW¤k‘£º 6}xk}vWIk
yx ’ x y¨ { ¥ w ¤ v « xwv„w | ª { x { {y’ β = S N /S N
{ v ¥ | q r| ’wx„ ¢ I}’kkks…si}…¶ ¢ W•WkWWgY«
y {¹ ¾w« |wvwyw
zy¶ k¨i`g`zyx ¢ {kk„‘Ig¨}x®WwWzy¾‚¼YpqWWwk’kk©¨WyzWwk®’}{k’}{¬g¤©¥
©§WpW ±p gÇ{6 kWsk„‘¿¨xWI¨ wW‘IWwkkþiW‘w¥ i’I‚iWyzx}Wd¦¬kIkk« WzykkÇx kW9yzWyzWWgWw}x
µ ¤vw … w y ¥ v„ v v xw ¤¨¹ v x’ x {yw
¨ „ ¢ ¤ w « w w ’ … v y¢ { x “ { { v „ w y ¸ § ¤ { ¤
°YIkg’i¬W•Ƕ “WW9‚ivWzyx ™«WWg¢ gzyx™Ç“kskkg`¨Ik’}6kk¸xWskk}«x}kk¶¸ WyIg«ik¦WIixkWzy¬Wy ¡
‚
…i H‚„{@
B8 @
#þ
…… ‚
m j0g $f0˜
#1ih— • dar)&$ e™h• %r¡¡)$ –”
d —( 0 ˜—( •