g r &q e i h g e c b U I` X U B E R QP IC C
$$'§§p$£f¥$& dU ót aX 4a$CY7W V3TS18¥'1HGF E'DB

A3)4$s£†${ÿv9s876543s¥£†ô¾1¤0)¥'&$$%$"$#!©†ˆ¦§·¾†¥µsô†¢£v¡{¾†¾sôˆó†s»sµ†‚¾•tˆ†ˆôs±S°
@ 2þ ¢þ ¤þ  ü ¢¦2  2ò ¤ ¨þ ±ò¦ ( " % "      ¨µ ± þ ¤ úü þ   þÿþ ±ý úü µ úò ù ø· óöó µóò
X = y1 X1 + ... + yn Xn
˜ p¾p‘vHt‘…tH„µx²vrsv°3½¾H“4¶ÐvbvxvpÐvp¾•4¾²Ð€®•†sb¶vbá
㽯 µ ³ “‘ ³ ® –© ´‘ ² ³©â Ï¿¶—® ±²°‘ ¶ ϶½ï © ³ À Ï ´®½ °®
xp‘vvv¶vv¶Hˆ²Ævx²H´ˆH³ˆv±vx®Vv±v€•n³p`rb•†sb¶vbá•xpvvvvvHˆrvµ¤Vvvx¦“HsVvv8v¶v—
‘’ µ – µ ³ ¶ ¶ µ ² ² °¯ ± ¶ ° ® ’‘ ®©® ´®½ °® ‘’‘ µ – ¶ µ ¶ ³² “¶ Á ¶ ¶ µ² À‘ ´Á ¶ ± ° í
†x²vp‘!&pÁpxv®v€¨&v±pp½…áxvp¾p‘vHt‘Q“H³4Q9™xvvpxpvpp‘rpbxvpvÐprHfppbxpÁ
Ü® ± ° “ ™ ‘¯µ µ¶ Ú “ ™ ‘ ‘ ²µ ¶½¯ µ ³ “‘ ½ ê®Á ¯¶°‘ ‘’‘±‘½ á ™½µ²µ‘° Ï‘á ˜ ±‘½á²
(X1 , ..., Xn )
í µí –© ¯
9™vv®r´ˆ8ß ½¯ ©©–® ³®” ê© « ê© ³² ´ Ï ¶ ±½‘ ϯ¯® ± ® ± Ï ¶ ± ° ²Á½¯² –®
ãp¾p© Í pb“•†“¬r•rˆHˆ¯hvvpsÛ¾xVx²Ðvvv¤pp¾xv“rá è
Sn = {y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn | y1 , ..., yn ≥ 0, y1 + ... + yn = 1}.
†ª ¦
§
Rn å ¤²x¯…áxHr°Ðv¶x¤p‘vpb•r¾¦¨vvµxHˆHˆvvxxpvvxÐpvp±
Á ² ´ Ï ¯ Ï µ½±® ³µ®½¯ ® µ ¿ ¶ ² ´² ³² ± °¯® ± ‘’‘ µ ±² Ï‘ µÁ®
¶vvx²Hˆ²ptb¶pv±vxppVÆãp¾¯pÐv¶Ht…tp‘xvƽ¾ráv¶vtpÁHv‘Hr€1ß3pbp!ÞpHtp¾²ÐG˜fˆ€pbpvhx²
¶ µ ³ Á” ‘ °¯‘Á Á ½ ‘ Ï ³‘“â ² µ ²® µ”‘ ˜ ´±® à ²½µ‘ Ý Ï‘ ³‘½ Ï ¿ ´² Ú½±‘ ° Ï
Ü µ Á‘ ¶ ϱ‘ Ú ¯ “ ™ µ®”¿Á¯ ˜ ¶½¯ µ½¯® – Á ˜ ¶ —®”¶ ϶½°‘ – ³®” “¶’‘ Ï ¶¶µ² β± ¶
r¶v®Qv±vÛv€Æ•&vµv“bxЂp¾p‘vp¾5Ðfv¶v“bÐvpbp•“®•†“¤rxpvµÐdvvx•¾v•v± Í
119‰’Š ÌÊ É
Š Š Ë
È „`…`¤b``¦Æ„…Ã
§™˜–˜ Ç Ÿ
Sn
‚ 3©3333©3€33©33333©3©33€©33©3©33©33© ¤vvtHˆHˆvvx®x¬ ·¨v» r¨
© © © © © © © © © © © © © © © © ® µ ² ¶ µ² ´² ³² ± °¯ © ©
Rn’1
» 3©3333©3€33©33333©3©33€©33©3©33©33©
© ©©© ©©© ©©©© ©© © © © Á3vvx¦Àb¿†¾®x¬ «ªv» r¨
²¶µ² ½¯ © ©
Sn
» ©33©33©33€3©3333©33©33©3€3©3©33©33©33©3€©3© ¤vvtHˆHˆvvx¯x¼» r¨
© © ©©© ©©© © © ©© © © © © ® µ ² ¶ µ² ´² ³² ± ° ® ¬ ©
W
¹ ©333©3©333€©3333©33©33©3€3©3©33©33©33©33©€© ¤vvtHˆHˆvvx®xº¹ r¨
©© ©©© ©©© © © ©© © © © © ® µ ² ¶ µ² ´² ³² ± °¯ ¬ ©
VI
¨ ©3333©33€3©3333©33©33©3€3©3©33©33©33©3€©3© ¤vvtHˆHˆvv°x®x¸·¨r¨
©©© ©©© ©©© © © ©© © © © © ® µ ² ¶ µ² ´² ³² ± ¯ ¬ ©
Cn’1
¨ ©3©3333©3€33©333©33©3©33€©33©3©33©33©33©
©©© ©©© ©© © ©© © © © © ® µ ² ¶ µ² ´² ³² ± ¯ ¬ ©
¤vvtHˆHˆvv°x®x­«ªr¨
š „™`…xQSp`Ÿ`p`¤H``Ÿ…¢H`HvxŸ5``vHH``xžQS…6›œš
§ ˜– ž– —– ¦¥ Ÿ £˜ – ¡ ˜”  –™˜ ”Ÿ™ – —
‘ –™˜– —–”
``…SpH•’“‘
Š Œ‹Š‰
11€Ž499‡ˆ†
Rn … y ulpnmrpfv…np“|…“Qxbpx“nws„r˜¦QpQ˜
s lk s v ˜wqr}˜r r z
‚ƒr‚kr‚}…Qntrq€|ˆt…Qnql‚“|…“yxrQpQoxrrqnl…˜nˆu}†wn‚˜Q…u}{z†wntsyQQ“x„uvusstrr4pQQoQnmrj
l l lq sr |˜ v ˜ rq p l | l v p | s lr pqwr q p lk
iHGQ†rGG™3˜
hgfed™
—b–¤•€HipU“‘’†qf¨‰2ˆ‡`†WH…UH„‚rHr5xvrH`srphfefdab`HHVT
” i e W€ u u g ƒYi€ yUi€ y w uitU cqig a c Y XWU

GESQQGHG!CDB@@
F RPIEFE A A
Rn
(98$165
£ 7 % ©'
4¨40!3¡21¤¦#)$(¨¨$%&$#! ¤¦¨©¨¥¦¤¢ 
©§¥  "¥¡0 ¡ ¥ '¥  " ¡ §¥ § £¡
VI = {y = (y1 , ..., yn’1 )| y1 < ... < yn’1 }.
I
² áÁ µ® ±²° 푵µ²Á½¯² ³ À‘½ ¿ ´³ ¶ ¯‘µ½¯®
Ïx²xÐÏv¶ ¶vpp‘v½¾¯x²vxv¨pvvxpp¾xH4“p1v˜fp½¾pvp¾– è
V π = {y = (y1 , ..., yn’1 )|yi1 ¤ ... ¤ yin’1 )}.
Vπ yi1 < yi2 < ... < yin’1
v¶vb9А“4‘x’xVß H˜
² µ®á ™ Ï®” ² ® ppp¾vppx!r•®•†•sp‘
Ï‘Á½¯í‘Á¯ “¶ « ê ³® ´â
y = (y1 , ..., yn’1 ) ∈ C Vπ
π = (i1 , ..., in’1 ) ∈ Π
˜ á² ‘½ 㽯 µ° á‘Á
xv–pp¨p¾p‘vvr©bppp‘x¯ vv“tpp‘
϶–®µ”‘â ¶áÁ‘
vppvµ I = (1, 2, ..., n ’ 1)
{1, 2, ..., n ’ 1}
†®¾x²vxv° ¿€kbrpÁpv¾x²vxvhsµvµxpp¾¯x²H³4“p2ß
Ü ½¯ ±² ´ † ©®á ‘µ®½¯ ±²° ¿® ²Á½ À‘½ ¶
’˜
π = (i1 , ..., in’1 ) Π
pp¾x¦†vÐÆ®µ
²Á½¯² À‘µ Ï á‘Á µ®½ ° ™µ À Ï”‘Á²¯Á 㽯‘µ° á‘Á‘¯ ã ¯
ppp‘vs¾¯x²v±x²v$“&vV“‘Ðtpxxp¨p¾pvvr©bpppx¨ß p½¾Q© Í
VI
VwVnus„q#Vn#kih
it ovto ro pomlj YDd
de
[0, 1]
© ²…t¾vp½¦3v¶vµ
ᔲ± ‘ ® µ ²
ˆH´ˆ²Hˆ²vvx®¤²pvvxÐÏpvpÁÆ¾xÐÏv5“&vpp…•”b¨s•³4sráGfАbµxvpv°Ðp…$¶Ð9™Ðvxvp®“”¾vµ¤¯
ܲ ³ ± °¯ ± ‘ µ ±² ‘ µ ® ± ½²² ¶ ™ ±‘½‘á ¶ ¿® À® ˜ ¶ Ï®½ ² µ‘ Ï‘á Ï Ï ¶¯ ¶Á ²
U = (U1 , ..., Un’1 )
§ ax¦
Cn’1
p½báxp!rá ppâpxpvx¯ Ï9vv9pp¨¿up¾rsv°
±‘ ²Á á® Ï‘ ‘¯‘° ™µ– ™â‘ ¯½²® –© ´‘ ®
µ
Rn’1 Cn’1 = [0, 1]n’1
² µ² ³ ±°¯ ²‘ ±² ‘ Á®
¶vxH´ˆ²Hˆ²vvx®± pvµvxÐÏpvµpx¬b© Á4rbáv±xv°v¶xÆ9vvvvvHˆ²
â© ² ’ í ™µ–¶µ¶³ vv†tp„˜
϶–®µ”‘â
Cn’1
VtwVnus„oq#Vn#kh
i ovto r pomlji fe
gDd
G†Qp¾¯x²¦“‘vШr¦rQ¾p¾pppx¦µ¤vxHˆHˆvvx±
© “®Á½ À µ Ï “¶ « ê©Á½¯½²Á½‘‘¯ ® ² ¶ µ² ´² ³² ± °¯®
p‘vvxÐpvµp®²v•xÐÏv`¢vvv–vH´ˆpV9™vvrˆ¯ ™vxHˆpvvvrpvp¾xvVÀbv!Æx˜pxrbH³
² µ ±² Ï‘ Á ± ¶ « ê² ¶ ˜ ™ µ ¶ ¶ ²Á ² µ í® –© ´ µ² ³²Á ¶ ± ° ²á‘ ±½¯ í² µ ¶ µ Á ® ²‘’©±
¨Qp¾x4“vÐxpvµHt¤bvµQÁptsp‘xv±v•u¿pQ9tsrr© 1vvxHˆHˆvvx±8pvvxÐpvp±2u¿¯
Á ®Á½¯² À‘ µ Ï ‘’‘ ³‘ ¿¶ ® ‘”® ±â ² ° ¯½ ê®Á ™”®á ¶ ² ¶ µ² ´² ³² ± °¯® ²‘ µ ±² Ï‘ µÁ®
ܽ²® ³®” ‘ µ ½®Á ³ ¯‘ “ ™ ±‘½‘á ® µ ˜®Á À µ ™ µ² ´¯ ¶ ² ±² ° ²á‘ ±½¯ í² µ“±²Á Á ²
s¾•†“¨vpãHu´²psQp‘Hˆ²H´ˆpv° &vpp…!‚bQp½¾¯x²4“‘vÐÏ xHˆvv–xvxvV…pvp¾2xvbpxp!H³n’
’R’Z’Q
’T
U
Cn’1 ’’ V I ’’ W ’’ Y ’’ Sn ,
p‚ ¦
§ P M F G
rp8¾²¾ÛÏv!ívvQp‘xspp‘xv±vQ¾pvpHˆpsQpHˆH´upvÛxQÛ™#9®¾¦Î
³¶Á ½ ² ¶ ¶ µ®Á ”® ±â ² ° ¶½¯‘ µã ´²½®Á‘ ³² ¯‘ ° ® ϲ“ © Ï ’®
‘v„²vvQpts±ppx²vv¦p¾dx•b¶v„˜pp²v¶vµxHˆ²Hˆ²vv°x€²pÐxpxvp¤€pr©bvxvvx•pvvvvvHˆ•µ
° ¶ µ®Á‘”® â‘ ± ° ‘½ï ϲ Î ° © ² ´ ³ ± ¯® ± ‘ ϲ©â² ±½ Á ²â á ±² ° ¶’ Ï‘ µ – ¶ µ ¶ ³² ®
b¶vxH´ˆ²Hˆ²vvx®± xp‘vvxÐpvµp¤¶v¶vQptspp‘x²vv•¿np¾– Hr“¦tp¾²Ð•9™Ðx®QvvpsÛxxS¬
¿ µ² ³ ±°¯ ‘’ µ±² Ï‘ Á® ± µ®Á‘”® ±â ±° Á ¯½²® ê ´á®” ³‘½ Ï í ϲ Á¶±½® ϯ¯®
—19¨’11•’!‹)’’119ŠÞ’1 Ë !!1€ Ë 11¨Š#‡ ˆ ‡
–Š ‰Š ‰Š‹ ” ‡“‡‹ ‘‡ ‹ Š ‡‹‰ ‰
J = (1, 1, ..., 1) ∈ Rn .
…» ¦
§
i = 1, ..., n
A ⊆ Rn Rn Co(A)
˜ QÁp¾x4À“vÐÏÆbáv–p‘Hspp‘ˆrrr©b9pVß
® ½¯² ‘µ © ´‘â ê© ´á ° ™Á ˜ pbp39vvvvvHˆ²
Á ™½±‘ ² ™µ–¶µ¶³
ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) Sn
˜ Ïvv–†tp2‘x’¾•ÎbíxvpãH†•³¤´€†© x…áxHr°Ðvx¯Ìpvp½b•rs½¾$µ
¶ ®µ”‘â‘ ² ²µ ´® ¿ ²¯ ² ´ ϶ Ï‘µ ±® ³µ® ¯ ®
¿b¶vµx²H´ˆ²H³ˆv±vx®±1x’pvµvxÐÏp‘vp®±b¶vµxv–r´sv° “p½¾²ÐÏ9vpÁvp½bx€Ú€Úx$vH³t$tvvp•¦b¶ …
² °¯ ‘ ‘ ±² µÁ ¿ ² © ‘ ³‘ í ™µ ¶ á² ï µ¶ ‘ µ®¯¶°‘ ² À H
©b®rxvv4®x²Ð¨¿†pprxvVß H³n’
᯶± ± Ï ®±‘½‘á²µ ²
y1 + ... + yn = 1, y1 , ..., yn ≥ 0;
Q¹ ¦§
“r¿bvxvvvµxp!v±v°
¶µ²–¶ ®±’‘ ¶
(y1 ,...,yn ) (y1 ,...,yn )
( min ); f (y1 , ..., yn ) = H(X) ’ max
p¨ ¦
§
³¶Á ½² Ï ¶ ¿ ´² Ú½±‘ ° ¶ µ Á‘ ± ¶ ±
rpV¾x²Ðv¨ˆ¢pbpv!¿bv®QpvvÐÏvp‘€Ú
i = 1, ..., n i yi
®–®³® ¿® –¶ ®
“•†“”sµvvv°v¶ „© ˜ê — ±° ê
¤v¶v®x²vp‘ 5ß Ásvx¦À†H´s„b•´†bv®rá ¿sH!ß H³n’
¿®µµ² ‘ Á ˜® ®½¶° ´‘ ³ ²
x¥„£§€y¥wu5¡s ¡s
v ƒ‚ v xv t t ¨
W
© ¤vvtHˆHu³vv°x3pvvx²ÐpvÁ8¾xÐÏv¶
® µ ² ¶ µ² ´² ² ± ¯® ± ²‘ µ ± Ï‘ µ ® ± ½²²
R = F (T )
§ a‹¦ W
pb–•†¾®rxp#p®•&xp½ #© Á
‘½ ˜½² á²½ ™Á ³ ê¯ ˜
VI
Ûx„†âpVx’ppÁp…ᐁv¶Ht6vr¾v€8bH“px²v±x²v° Á¦®Ûx„†p‘VxpprvHt6v±r¾v€!Spp½¾pv°
® ϲ … ‘ ‘ ‘ ‘ ® µ ³‘ ™±©’¶ Ú Á ½¶ ³‘Á ϲ …â ‘’‘Á‘á® µ¶ ³‘ ™ ©’¶ Ú © Ï‘ ï‘
W F
˜ ®hx²vvx¦s±pp‘p‘ 9vµv†t‘vHt‘…svµÐv“Á 9™vvíxvvH´h9vvµxH4“v9pxv5n¿p¾vsv¿
µ Ï ¶µ² À® â ½ Ï ™ –® µ” µ ³ ß‘ ϶®” Ï µ ²µ¶ Ï ™µ ² ³ À‘± ™Á²µ ¯½²¿ ´Á
1 ... ’1 0 0
 ... ... ... ...  ...
· ¬
· ¬
0 1 ... ’1
·. A=¬ 0
· ¬
· 0 0 ... 1 ¬ ’1
· ¬
0 0 ... 0 1
 «
A y = Ay
Š
rpV½¾²xÐÏv¶ vvp½sۀH‚³˜
³¶Á ² ®—¶± ®Ï ² ’ pbv‘vx¯
‘½–˜ µ
= yn’1 ’ yn’2 . yn’1
...
y1 = y 2 ’ y 1 ,
y1 = y 1 ,
y = (y1 , ..., yn’1 )
©´¶Á®
rp±v°4‘v° ©bvpp½3vpQ½¾p½¾pppx¯
á–‘ ²¶Á ¯ ²Á½‘‘
y = (y1 , ..., yn’1 ) ∈ V I F : VI ’ W
Á ²á–‘½ ² «¿Á® ¯
…vpp8²x•bs½¾`˜ vvx¦sppp‘ vvp½Ðxx±¤¶
²¶µ² À®±â‘½ ϶± ‘ ϯ¯®
i=1
yi ¤ 1} = Co{0, e1 , ..., en’1 } | y1 ≥ 0, ..., yn’1 ≥ 0, W = {y ∈ R
n’1
§ a‰¦ n’1
϶–®µ”‘â
vv†tp„˜
W
VwVnus„q#Vn#kh
it ovto ro pomlji ˆ
aeDd
T ∈ VI VI
©pª pp¾¯pvp½b“‘vxp€¯
êã½ ‘µ ¿ ±²Á ϱ
x²v–v¶vv°v˜ ¤vvtHˆHu³vv°x3pvvx²ÐpvÁ8¾xÐÏv¶
® µ ² ¶ µ² ´² ² ± ¯® ± ²‘ µ ± Ï‘ µ ® ± ½²²
T = G(U )
§ Y‡¦
© Ï‘½ï © ϲ â‘ ¶
Spp¾p‘ Í 9x„…†p¤Ïv•«
Vπ Gπ : V π ’ V I
Ü v¿b±b“x8•9vv“tvµHt…ßsvÐÏv“b˜v‘vHrpÁx²vpbf¿np¾vsv¿ µ
ê µ® “‘¯ ¶ Ï ™µ–® µ”‘ ³‘ ‘µ ¶®”Á µ ³¶ –‘˜ ¯½²¿ ´Á ® ¿¶µ² À®
bvx4s±
π∈Π Cn’1
Üsp‘pÆx’pp¾¦vvx¦…¾¯
â ½‘ ‘ ‘½ï ²¶µ² À© ¶vppvs¾¯x²v±x²v5pvµv®Qpvvx…v¶€5€#¤vvs¾t”p8v°
áÁ‘µ®½ ° í‘ µ Á‘±¶¯á Ú ¿ ´ † © 궵®½¯® ± ‘Á ‘
y∈ G : Cn’1 ’ V I
®p‘pbxpÁ s®v¶Hp±pp…á ¿bvx²vp‘HrQp‘vrÆv¶vµx²¦sppp‘
± ½á² ½ µ ³ ‘‘ ¶µ – ³¿± °© ² À®±â‘½ vv“t”p„˜
϶–®µ ‘â
π∈Π V π = Cn’1
© H¢psv¶Hppp‘…3²v••†pp‘x€pH³ ¨“Q“1r•xÐvHfx²vpp½
¶ ˜ ™½®µ ³±‘ á ¶ « ê® ³®°Á ¯ ²Á ™â ¿½‘ “¶ « ê² Ï¶ ˜ á –‘
Cn’1 \ V V U
b8bp‘p¾¯px¯
”¶ ½¶ ½ ‘ ‘pb•9vp½¾Ðp½ #© V½bVÀ¾H„ª pp¾pvp½b“vxp€¯ pp½bxp!˜ª xp±
½– ˜ ϶ ² Ï ˜ Á ¶ ² ´ ê㽯‘µ ¿‘±²Á ±‘ á²Á ¶ µ²Á®
π∈Π
Vπ V=
™± ’
vr©¾v¶€Ú
1/(n ’ 1)! (n ’ 1)
ϲ …⑘ Ï‘”® â Ï á ®
x„†p…9pts±pp‘ v¶v®S…© 9™vµp®Q9Ïx„†p‘8í9vvxЦß
í Á ±˜ ² …â ™µ±² Ï í9pp…vH“•xÐv¶
™Á‘᮵¶ ³‘ ½ ê² Ï
Vπ , π ∈ Π
˜vvµpH´ˆpsQp‘H³ˆH´ˆ†€vµpbxrbxvµprá
‘ ã ²½®Á ² ¯˜ ™ ½µï©±’ ‘ p½¾•´sppb“vvµxv3vp¾ÐÏÐvx€vvx¦spppx’” „
¶ ¯® â‘ ‘½–˜‘ ¯¿ ¶ ¶±½² ϶¯ í¶µ² À® ±â‘‘¯
€ ƒ‚ ƒ  } ‚ | ‚ ‚ |‚ ‚ €‚ ˜
‚§)8„d{)8€ z s#)8„ƒ£48€ z ˜Dv##g¥#x {y
‚ | ˜‚ }v | z
¹
M
pªp…ávr¾¯v¶vV‘v®Qpvvp¾¯ Hvrpvv°
© Ï‘ µ© ± µ Á‘±¶±½ ê´´¶‘± ²¶µ Á‘”®±â‘
vv®Qptsppx²v± Í
n’1
.
±y = i=1
1 ’ n’1 yi
y
å †Æp± svHpppr4ÛÏÐÏr¾¯ ¦ vppvvÐvpvµ
§ª ®µÁ® ½®µ¶³±‘‘á ® © ¶áÁ‘±¶ ϱ‘
±y J y = y +±y J
¿ Á ´ © ”¶ ½ ¿ ³ ± ° ¿® ¿‘½¯ ° ®˜§ µ® ® ±‘½ ² ² ’
b¶pp‘Hˆ¯p9b4u¿¯p¾²v´ˆ²Hˆ²vvp‘ sµvµv“p¾p‘v„ˆ…» ¦ Á4•³†“” ppbáxpÁ9H‚³˜ Hrp¢Á
²³¶Á y
®x²Hss¾H³ˆv±v° p#™p¾¦†Ð9®p‘ pb“˜v‘vµxv¿ å ptspp5v•rˆHˆ•u¿p¾vˆvv9pÁ rvpx®
µ ´Á®½¯ ² ã½ â ½² À‘ Ï µ ‘½– ¯ Ï‘”® ±â‘ Ï ¶ « ê© ³² ´¯ ¯½² ¿ ´¯ ¶ – ™ ®á –‘
Y W
© µ xv¶vx¦s±ppp½&†«ªb¤²v¶vµxvVsvr©v9Ïx¯ ¦ 9™vvv€€®¨u¿p¾vsv¢vv®Qptsppxv±v°
® ϲ µ² À® â‘ ‘ § ©¹ ²µ À® ±° © Ï µµ¶ Ú Ú ¯½²¿ ´Á¿ ²¶µ Á‘”® ±â‘²
y β y y, y
²pvvx²pvp¾¯pv¢pb–vvx¯ Š © xvp9Ïx•Hsp9†± Á ‘4vvv†p¾x± ˜ ¾vxv4x•bt‘…“
‘µµ ‘±½ ‘° ‘½ ˜‘µ ϲ–˜ ² Îã ´‘â ”® ½ ¶¶µ¿‘½¯¯® ® µ ”²±²– í² «¿ ³
z = y + β(y ’ y) y
svvrfpÐv…v°¤r©¤s4¾²HQ˜
Ü‘±°˜í‘ Ï¿± ®µ ê «® À ´ bávpp¤xv±xp9pÁ “”spp¢pp¾xv“r•dxps“”
© –‘½ ϲ ²â ™ ® ® ±â‘ ²Á½¯²–®á Á ϲ½®
Sn’1 y y = (y1 , ..., yn’1 ) ∈ W
˜ trx²HrÐÏvx¯ bv–pp¨xv¨¬r¤ÎbÀbHs•†“x¯ vHˆvv–9pÁ
®¯á ´° ¶ ©á ‘½ í² µ á ê© í® ¶ ´â ® ´® –® µ Ï ¶ ´¯ ¶ ™ Y
W M
á– ½ ‘ ã´ Á” ‘ ° ´ † ® µ Á‘”®±â ° ²‘µµ¶ Ú ã±²°²½ ϶‘± ¯
¶vvp‘p•ípvµpHs‘ptb¶pv±v•¿€©© µ ²v¶v®Qptspp‘x²v±v&pvvv€Ú€® å vxvxp5vpvp½¾p‘ Í
β= n Co{e1 , ..., en’1 }
©½® ¶ ³± ‘á ‘ ´ – µ ϲ ˜ ² Î ´‘â ®”®
†sµvHQp‘p…4H†®“®¤xv–9Ïx•ãHsp¦“s± Á¨vvv“p¾¯x4µVß
¶¶µ¿‘½ ¯®± ®
Sn’1 = C √ A = (a, ..., a) Sn Y
®p½bxvÆß ½8½bV¾²H´
± µ²— ‘ ¶À ® –‘½ ‘½ ˜ ϶½² Ï
rávppVpb–G9vp¾Ðp½ ˜„© êrbµQbxrbxvp‘…H˜
© ½µï©±’µ á
Co{A, e1 , ..., en’1 }
br¾v€Ú r©Sp…xv¶ p‘ppx¤¾²vs½¾Hu³²vv°
©±©’¶ ê ϑᯠí ⑯ ½ ¿ ´Á® ¯ ± ᶠµ®±’‘’‘ Ï í ™µã ´¶Á®
vvµvxpxpvµÐ¤9vpHrp± Í
n’1
.
a=
1’ n

ã ±‘á í µ ´²½® — ¶ ±½‘ í ™ µ µ²Á½¯ µ ¶ ³ ½²² Ï ¶ ²‘ ±‘½‘
vµx²vp…9™vpãHˆpsvvp9vxpp¾vvHˆ²V¾xÐv€pvpprá
(n ’ 1)a2 ’ 2a ’ 1 = 0,
|A ’ e1 |2 = 2
êv¶vµxvpsr1V½bHtpvvvpb˜
²µÁ®±© á ¶³‘Á¶±° ‘½– ϲ®–©´‘
xrsv°
e1 A a<0
A = (a, a, ..., a)
½‘ ¿ µ¿‘½¯¯ ± ® ‘ ¶ ´á ² ½® ³ Áá ¿ ´ ¶– ϲ–¶±°
xvvvv•˜
˜ ‘H³ $b¶vv“p¾x®8QÁpH³rHrpÁxÆs±H†®Qv5¿bˆ¯vv9™ è ©
r¶p!¾xÐv8rv–pp8s¾1‘pbG˜vvxv¿$¶vvp½¾ÐÏÐv¶x5ív¶vµx¦Àspppx¦” „ ©†svHppp…ÆH†“5¶1pb–
³ Á ½²² ϶ ®á ‘½ ®½ï ½– ‘µ¯ ¶± ² Ï ¯ ² ® ±â‘‘¯ ½® µ¶ ³±‘‘á ‘ ´® –® µ ‘½
i=1
yi = 1,
Q©ª ¦
§” n’1
R
n’1
p½¾práxpHr1bp‘vpp¾¢¦Æ¦vˆr¤«s4¾HÆv˜
¶ ¯‘ ¯‘ ´° ½‘ ©µ ±‘½¯ ² À ©½ ‘° ê© ® À² ´ ¶ ppbp‘
Á‘½± A∈R
n’1
&vµvvvµvH³ˆ“ˆxp¨2¶vvv“p¾x±¦²4¢p…Æµ u¿¯ r¤btQ“†‚˜
“ ™ –¶ ¶ ² ²¯Á ½‘ ¶µ¿‘½¯¯® À ϑᮽ ® ê© «¿ ³‘ ® µ ©bvppÞxHr퐁µ
á–‘½ ϲ ³ ®
2 ei
„˜ ¶vvv“p¾x®Þp‘pp…®vHt!!ˆr©bH1rb±Hƽs¾H´ pbp‘89vvvvvHˆ!pb`9Ïvp½
¶ ¶ µ ¿‘½¯¯ ± Ï Á‘á µ ¶ ³‘ ® µ ®’ ± ³ ½‘ ’© ³ ® À² ™½± ² ™ µ – ¶ µ ¶ ³² ‘½– ˜ ¶
√ Sn W
Y ‚ Rn’1
܈Аf69pts®pâpv¶•r©ˆ²H´ˆf˜ bbµQbµxrb±¾vprf˜
² Ï® “ © Ï‘” ± ‘ Ï « ê ³ ¯ ê© ½ ï© ’µ‘á ±©’¶ Ú Ï ©”®±â‘
©br¾v€1Á ¾²Qxsppx²v± Í
Rn’1
Ž
” –™˜– ǧ’¥ 
¨``…$‚p„‘ ‘ Ž6uš
Rn Rn’1
© 1bvx²4bpH8¶
Á ¿¶µ À¶Á³ !bvx¦b†½¾¯±
Á ¿¶µ² À¿ ®
x’pvvx²vv¶H•¶vvvtvÐÏp…!Hr¶p‘x’x² Ïvps½¾Hˆ²v±vdbvx¦Àsppp‘ xpp¾ï¤p¾pvvxvvH5Qp½¾¯
‘ ‘µí µ ´ ¶—¶”‘° ‘á ²³ Á Á ¶Á® ¯ ³ ° ¿¶µ² ® ±â‘½ ‘’‘½ ¶½¯‘µí²µ¶ ´ ®Á
Sn W y = E(y)
sHˆ²ps“srápH8¿¢y© ®µ x²v¶vµx¦Àsppp!n¿p¾²vsÁv¿
Üã´ ½®”® ‘³ ´ † Ï ² ®±â‘½‘ ¯½ ¿´ vvx¦sppp½pbvv‘vx¯ Š
²¶µ² À®±â‘ ‘ ‘½–˜ µ
yn = 1 ’ y1 ’ ... ’ yn’1 .
yn’1 = yn’1 ,
...,
y1 = y 1 ,
y = (y1 , ..., yn’1 ) ∈ W
y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn
©rpÁvv°
´¶ ®±° ‘ © –‘ ϶‘±½¯‘
bávpp½ vpvp¾pv° ´€†
¿
Sn
VwVnus„q#Vn#kih
it ovto ro pomlj ŒDd
e
x¥„£§€y¥wu5¡s ¡s
v ƒ‚ v xv t t »
¶ µ®Á‘”® ±â ± ° ã ¯ µã ²½®Á‘ ³² ´¯ ©¯ ¶
ívvQptspp‘¾²vv8p½¾p‘vpH´ˆpsQpHˆHˆp‘ Í å ¨GvЬ
Y W VI C2
n=3
©vp½¾p…áxp‘Hr¦¨vvváxpvv4Á
ã ¯‘ ¯ ´° ®µ ¶¶— ²‘±° vv¨xvpp•†‚
¶±° á²–‘½ ””
bvµQ‘vv¶Hˆ²H“Т™ps“ãHtx¾²v¢vµx²HˆpÁvv±v°3¢rávr©¾v¶v±3® … fvvxvpHrQpvrVvv¢vµt•¾Ðxvx²v°
¿¶ ®Á ± ´ ³‘ Ï ½®½ ´©” ± ™ ³² ¶ ¹ ² µ ¯ © ¶¶µ²–‘ ³¿±‘°© ¶±° ™ ² «² ϲ± 3
¶H&™p9™vpp½…„fvávp‘p¬x²Hss½¾Hˆ²v±v° ¶Ðˆr©bvá ¶ÐÏ9v•Hr&•fxvpp½8†¨8”bvvpp9p$¶
´ â ² ±‘ ‘ᘶ – ½ ™µ ´Á® ¯³ Ï®’ ± ™ µ Α ´° ™ © á² –‘ ” ¶ ¶ á ±‘â ™Á
n= Y Cn’1
¿v³ ¢rvr¾¯vv€®€“sbp‘v° ‘H³
´ ¨ ²áµ© ¶± µ ®µ®”®á ½‘ µ Á‘”® ±â‘² ± ° 㽯‘ µã ²½®Á‘ ³² ´¯
Vív¶v®Qptsppxvv•Q¾pvpH´upsQpHˆHˆp‘ Í
Sn
© ¤vvtHˆHu³vvx3pvvx²ÐpvµÁ±8¾xÐv¶
® µ ² ¶ µ² ´² ² ± °¯® ± ²‘ µ ± Ï‘ ® ½²² Ï
Q = P (Z)
Q“ª ¦
§¹
(n ’ 1) P
±p‘p½bxp¨í9vµv–r©´ˆv˜9x„…†p¨9™vv±x²Ð…ß
á²Á ™ í® ¯ ϲ â‘ í µ Ï ½ ¿µ ±“‘ áã ᯠ©§ ² ¶ µ² µ À® °
¾²vb®btx¯ ©bpH´s‘…xp‘ Í ˆp·¨©b¹¤vvxvVs±vr© en
© Ï ê ´²½ ¶– ¯½² Á®½ ‘ ² ®½ ±‘
9x¯ ¦ H¾p†®½bv¤¿uQ¾v¿´ss¾¯pH³ˆv±v°!‘vppÁ ° ’ á ¿ ¶  pÁ ½ ¯ ² « ¾ ‘ p ã ´ ² ½ ® ” bá ‘ †
µ‘ ©Á ®
P (Y ) = Sn , P (Sn’1 ) = Sn’1 , P (A) = en A Sn’1
åp‘v‘xp‘…s©® b½¤pbpvdpvp¶Áí® •Qb¾x“•…v¯$pd¾¶½ А˜¯ Hˆps“sp¾px¤u© µ
Á áv– ‘ ½ « ¿ ³ px² xv° ‘Á ±² ² ½ ¯ Ð$®
²Ï
P Y Rn
í « ´Á®½ ‘ ™ ±© ¶ ½‘ ±‘ ° ¯ ´Á ¶ µ® ‘ ® ±â‘² ± ° Ï‘’® Î Ï ¶ µ ³² ¯
v¶•êv¿ss¾¯p†˜ Á vr¾’v€Ú vppÁp‘v•¿np½¾²v¿sv¿3¿bvQÁpt”sppxvv5px¦vvHˆH´ˆp‘ Í
Sn
Ž
 `˜5``…xžQSp``p„‘ DšŽ6uš
–™˜– – —–Ÿ¦¥ 
Y
© ¤vvµtHˆ²Hu³v±vx¯3pvvx²ÐpvµÁ±8¾xÐv¶
® µ ²¶ ² ´ ² ° ® ± ²‘µ± Ï‘ ® ½²² Ï
Z = M (R)
§¨
p†ª ¦
®vvvHˆp!svr´ˆ!¶
µ ¶ – ¶ ´²Á ¿® µ í® –© ¯
M (y) = y ’ (β ’ 1)±y J,
†ªpª ¦
§
9pt”sppdvváS®
˜ Ï‘ ®±â‘ ϶ ®
Y W
Á µ®Á‘”®±â ª©¯¶
²v¶vQptspp‘x²v± Í å „vЬ
A
Y
a
ª
a
C
W
ª
€ ƒ‚ ƒ  } ‚ | ‚ ‚ |‚ ‚ €‚ ˜
‚§)8„d{)8€ z s#)8„ƒ£48€ z ˜Dv##g¥#x {y
‚ | ˜‚ }v | z

r¨ ‹ „«˜fxpb¶Hvfp½¾p‘vv¶4p»ÁÜv¾” „ å ©G© $©³$©p¡5$#¨†•yp9¨§© ÁÊàš0Ü’¥¨ Ç
© x ª © ±²½ ´© ± ¯ µ ‘ ³ Ý “ Ÿ¥› ¤ Ÿ ¬› ©« ¬£ › á ß Þ Ý Û Ú È
v» ‹ ª
©‰
˜ ¶ Ý ™ ¬£ ¤© —› – ¨ £ “ ¥› Ÿ › ©« ‘ £ © Ÿ « © £ ¤ Щ« Î Ì ÍÌ Ê É È
f±v!Ý å ©f˜ Dš5‘ © y5$˜7#4£p†¦¡©§©•”$©³Ÿ$¥p¤¡5¬$#¨†’5p9¨›§³­¡p5$©1$†Ï¿ ©fpkÍ0)—HËw¡§ª Ç
Vnq!9„¨‰Ã’&§1•¸†
Ƌ…„ ‹Š„ ‚‡”
P (y) = By + c c B
® ›³ykdy†¡Ÿ 49³$†º£ 55pn†sµ
Ÿ½ ¼»£œ ¨› Ÿ œ©« ´¹£¨ Ÿ
µ £ ¤©› ¨ Ÿ¥ ¦ ® ® ¯ ® ž £  Ÿ› ›«› ¦ © ¤«›ž ¨ª © ¨¦ › ¤«   Ÿ¥ £ ¦ ´ ¿ à – ™ ˜ – Ç   Ÿ ¦
3©p5$¥#n$¥›pVH¯#° yd#¦ÁdV¡©#¨9†¥p!p£)†1¥†¥4£©›§#†Áp1p¬D¡†gp5{ÁÀDšŽu``…`˜¤b``Æ„
M (y) = By + c c B
® ›³y¾yy£†³Ÿ 49›³$†«º£ 55pn†s¸gp5¤$¥#¨nŸ$¥
Ÿ½¼» œ ¨ Ÿœ© ´ ¹ £ ¨ Ÿ µ µ© £ ©›
M
©p¶´51p³±²#° y{#­d£
·›¦ µ ¤«¬ ® ®¯ ®¦ ž ¬ ¤ «›ž ¨ª ¨ Ÿ ¤ ¢ Ÿ œ›
y£5†1¥†¥4£©›§©#†¦§ ¡$¥¥›p¤55£{¢6 ¡†1ž¥©—™š‘ Žu``…`¤b``Æ„
à –™˜–˜ Ç Ÿ¦
—191
–Š Œ‹
¢!1• ˜ —
rávpp9p1s¦Hs‘ –på Hv¶Ð¬
® ±‘â ™Á ¿® Îã´ ¹©¯
x
x¥„£§€y¥wu5¡s ¡s
v ƒ‚ v xv t t