§§¡u§q¥§4 i` ) fc 9f§HdBb a8Y(£C¥¡£SQ P¡IG
rw4vpt sr p h g ` T e c ` G XP W V U T H R H

F89§£¥§¨¦D£CBA@98 ¥¥ £6¥¡4§§3§1§20(&$"
E ) 7¤¤¤ © 7 % ) 7 ¤  5)1 3 1) '%# ! 
  ¥¥ ¥¨§¥ £ ¡
¤   ¤ © ¤¦¤ ¢  
Q ˆö˜·
· ù
fhö »˜ ùQˆþ ˜ö ˆþød øfQÿþQùfb˜ü¥døhúfhùˆøQö1µ
ù·ý» ø ·
¦({x}) = ¦(x)
« …Ã… ÞÉÚÉ Î Ð…Ç Î ÍÚ
HÇQauadÈrHHm£“@rQôhÊ&’dr… — ǘhÆΣfÉT¿Ê “È
ã ¦
x∈X x∈A y∈Y
hÉHTÈThÃTHÉHrTÈ&d’tQaÜHHÉ
‘É Îà ÇÉ É Þ… Ú Ý ©”THHrÉeÐhTttTraÛ — —ƒ˜ ¥å@ad’É Q— Ï
Ê ÜÉÇ ÎÈ Æ ÎÜ… ™Ý˜ hÐTHHÇ
ÎÃÉ
aÌ h¬ã
¦(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A : (x, y) ∈ ¦}
¦ ¦(A)
A⊆X
É — ˜ÇhÆΣfÉT¿Êq”ÝÆH˜ÇÎr… — d”Q…aÈ ™T™ — ˜ÇHǘΠ— rHÉh#™TÜTÛ
“È Þ Æ ÇÉ Æ … — ˜ÇÆh£uT€Ê
Î “ÉÈ º rf¼e° ò
±´ ó
@™ — ǘHǘΠ— rH˜ÉqÜhοÊTTÜ aHdã T™¿è
Ý Æ ÇÉ Æ ™ ê±° Æ
x3 x2 x1
y1
—¦ • •
y2
—¦ • —¦
y3
—¦ • —¦
y4
—¦ —¦ —¦
Ê…ÐÃÉÇ ™ Ê
ã ™¿rPTHH#¿©”TÈ
¦ = {(x1 , y1 ), (x2 , y1 ), (x2 , y2 ), (x2 , y3 )}
PhÈTÈ&QÉTruïThÈÎ&Ì — …r˜ÇÆ&’hTÜTÛ
í Î Ì Û…Þ ” Î ”Ç Î – Ï ”§™ÌÚ…
H@hÈοhÊ&hÌ#…VsTT&QrrÇ
X —Y
•HTH«&QhÉPr¿ÊT)TvÎ&P™ —y— PTP˜ÍTTBÊh¥`Pah’&Ìhy…a¥ÉTruQ…@HTÛ
ÉÈ Ì ‘ÍÉ ÝÜÛ ’ ÎÐÈ Æ™Ü Î å ®Í Î Æ È È…Þ ÐÉ TThÈ&h’Î — Þ@HTT¥É — H@r@Ð
Ι Î ™ÉÜÛ ÉÇÜ…
X = {x1 , x2 , x3 } Y = {y1 , y2 , y3 , y4 }
Ï
híÎ T㬠HǘHÍ Dã @™ — ˜ÇH˜ÇÎ — rHhÉ©hÜοTTTÛàTTHÇr¿hÊhÆÆrVè
« Æ ê Ý Æ ÇÉ Æ Ê™Ü Ê™Ü É …
™ ÐÈÍ ¦ ™ÇÝÈ Û Î åÚÉÚÉ Ý Æ ÇÉ Î™ ÝÈÉÛÏ Ê Þ…ÜÚ Ê™Ð
ã ™TT§TTPsƒÎTH@@HÉT§˜Çr…£rHHHq@™ — ˜ÇH˜ÇÎ — rHhÉÆmTHÇ@@HTa©HdÉQaHHÉBTTr…1¤
Y X (x, y) ∈ ¦
Þ™ Ι “…ÜÚÉÇÉ Î Ã… Þ È ÎÉÈ ”ÚÉ Æ Î… Í ÉÛ
ãaÀ ³ )a)ª à™&PVÏ — @TTÈhΣQaHHHr{HÉTÈTuadÈrÉT&d’É{HTTéHHweÝH˜ÇraÃPaÌfTVÏ
âá· ß Ì™ x∈X
Í@r…a‚@È&d’É — hÊTdÏrhÎÎ&QÉHTq@&uÉ Q—
ÜÛÍ ÎÃ Ì Ú ÎÈ Ç™’ ˜ @ÈhοÊh&Ìh©&“QP#²’He8rraPahÌËHTHǘra„‚
Ç Î – • ”’ …Ð … ‘ÉÐÏÎ…ÃÍ Æ ÊÉÈ Æ…Ã
¦⊆X —Y X’Y
½ ± rµ ¬˜˜«¹ d»± sº u±&¯ ¹ ± )­ ¶rr´@u²r¯ ”À˜¬¹ ¼Qµ ¸ f¼ ·
· Á · ±µ ³±° « ´
¦: X, Y
ˆº¹ Qµ ˜¬˜¬¹ µ ¬ f±¿¾¥)Qµ ˜¬h«¹ d»± s¹€a)­ ¶rr@u²rp®
³ « ± ½¼ · º ¸· ±µ´³±°¯ £˜¬«eƒ§”aw¢V8¥eV)¢1H88Ÿ
­ ª © ¨§ ¦ ¢¤ £¢¡ 
žƒvus©›ƒvƒƒ˜– •
› š™œ™ š™——
”„“’#)©dxPe—dwnedob`)sd˜ry))l)”—ed‡es@‘˜P–)”—fg
‘ –– ˜ nf }– g o ’ nl ˜ ˜ ’
˜zd¥ugd™˜@§hjPudine”o™ua„a))”ovdŽneudgp”fPuredone…yeHui”§H§¥dinf)“”&dŒu§HugeƒQu”g™ed‰f”i™
˜ f  ‡ ˜o  j– ’ o n ’–gj l ™ }j ™ ‹– – g ’ qn ‹– Š ˜i n
jˆfuhtPrye}†1…u)”oeodeDur“ƒ)He‘hne‚)uHj)doee)£™€))oh˜˜Hui”§v)h“d˜{1&)–))“)o
™g ˜‡ „ g ’ nl fn – —j l j–g nl f–o ’ o }j ™ ’ | g ˜ p– •
zy ’–gj n ’ r qnq pj–i ™ ’i n ™ –gj l ™ ˜ –— ˜ — – • ’‘
Q©xteuH)doel©nh”wvuht˜sdruuunQa)uug”fg”fudguent’euH)donemkjfg”d’Qi))uhgdefe™™d˜Pƒ)–))”“P#
‰&%)fP%%‚ƒ
ˆ‡†…„‚
€@xywY&GH3austfIrDqipShg8f5&e3&dbP`&aP`XVTP&8QPHFDCDB9@8&&42
v G C 5Y S E c7GY W3GY W U SGR3 AIGE 9 A 7 653

%"1))%&%#!
$ 0('"$"  
£¦§©¥§¥£¢ 
 ¤¤¨¦¤¡¡
Z —Z
Ý™ Î Þ
@ThÈ&h’Î — @™
ã
i
IZ = {(z, z), z ∈ Z}
u
’ ’
QTTÛ — É Ç … Î& … ‘ ™ ’ … —
íÉÜ Î Î Ã … Þ HÚ É É «ÌÉ
Z Λ X
Ê ÉÉ
—§… Î H@ÜrÈPhÐ’e «&ÈHf«Ì aQÈÌHhÉ—r…a&{QÛÝ aÈ ²¬… Ì˜‘ — Î “ È Ê Ê Ç TTΙ hÈTTuaÈd—rTH©eÝÆ eHÎÆ Ç˜’ )ÈÎ hÍ™rÉÞ &Ü QÛThÛÆT™
i
{A» , » ∈ Λ}
— ˜ÇhÆ… £˜ÇfhÆ“ ÉT£fÊ“ &ÉTd’¿‚hÉÉ ‘H— T˜ÇÉ T&€É ˜ÊhÎÞ@HΙ HTTÜÉÉ THqQaÉÝÌ Ì — aãHTÜT…Û Ç˜Æh£uÉT¿‚™¿r…Q@ÈhD¿¿hÊ™ÎÏ r&…ÎÊ hÌ— £˜Ç– H£T“È frT…ÉÈ È¿wT™Ü ¿h™©hÐT&TPrTuHQTT²Ï a’
Î ¿ TÛ Æ ˜•Î { È «& @™ É
ÈÉ Æ Þ ÆhÎ Ê Ê ” È È … Þ PPÍ Í …Ð
i ¦: X’Y Ψ: Y ’Z ˜: Z’U
혓¿‚Ý@™ — ˜ÇH˜ÇÎ — rHhÉÆ
Î Ê Æ ÇÉ Ï Ï Ý™ ÎÃ… ÞÉÚÉ Î å ®Í Î
± @ThÈTfadÈrHH£T™£`Pah’&ÌhÆ
ÆÇ ® Þ ÌÉ Æ •
”Ý)`PhÍr«&QThÛT™ — ˜ÇÆTHÉ — Æ ˜ ™H˜ÇT™Trd…ÆT™THà™TÜ …ã Ý@TÈhTÈ4QaTP‚Î — ˜ÇhÆTuPÐ — ²hÌHQQ@TeÝHǘÎ
– ™ È ÛÉ ê ™ Î “…ÜÛÍ ÎÃ… ® ÎDžǙà Æ
íÝ … Æ ÎÜ ” ÉÇÉ Æ ÎÇ…Þ…Ð Ï Æ ÇÉ Æ• ” Î ™ÜÛ ÎÌ
PaÌ — Q˜ÇHÉ&’hTTÛ ˜ TÜHHreÐ É — ˜ÇH«&hÌHQuQPHÉ&’€D•T™ — ǘH˜ÇÎ — rHhÉÆ … — ˜ÇTHÉ — Æ ThÈ&h’Î — TT#hÎ&f… ¬
˜ = {(x, z) ∈ X — Z| ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ ¦, (y, z) ∈ Ψ}.
˜: X’Z ˜=Ψ—¦¦
–™
hÊT™ThÈ¥ THÇrHhÉmÎH¿hÊr… — ²fuÞ@Ï
Î Î ÉÈ É Æ É Î …’… ÎT™ — ǘH˜ÇÎ — rHhÉÆq”ÝH˜Çr… — d”ÞQaÈ
Æ ÇÉ Æ Î … • T™ — ǘÆ
Ψ: Y ’Z ¦: X’Y

í ÇÉ – Ι Û É ™ Æ ÇÉ Æ ”È… …Þ « Æ
Q˜ÇÎ — rHhÉÆ ˜ ™H˜Ç{˜•TT§Td™ÞrÉT¿ÊHs ã Ý@™ — ˜ÇH˜ÇÎ — rHhÉFTr²’fu¥HǘHÍ ê {(x1 , y1 )}
ã
¦|{x1 } = Z = {x1 }
’P™ — ˜ÇhοT™
ÎÊ …È “ Æ È Ü … ‘ÉÈ …Þ…ÐÉÛ Æ ÇÉ Æ Ý
a`ÎT™T˜ÈÎe͘HÏ ° ÎeÐTP˜ÍÆT™TmaȃhÉHTTÈQuQ@HTeÏDÝ@™ — ˜ÇHǘΠ— rHhɧaÌT’
h ¦|Z = {(x, y) ∈ ¦| x ∈ Z}. ¦|Z : Z ’ ¦(Z)


ÏDhÜ¿TTÜTr…
ÎÊ™ Û ÊhÎT™TÈh¥ ÉTÈHrHhɧH¿hÊr… — ²’fudÏ
Î ÇÉ Æ ÎÉ Î … …Þ
¦Z Z⊆X
ÎT™ — ˜ÇH˜ÇÎ — ÇrHÉhyÝ”H˜Çr… — d”QaÈ aÈ @™ — hÇHǘΠ— rHÉhqÊhÎT™ThÈ“e˜ÍÆ
Æ É Æ Æ Î Þ… … Ý Æ ÇÉ Æ Î Î “É Ê’ÉÛ Ý
… — ˜ÇhÆ£uTÈ¿&uTsaÌ ¬
i

Î ÎÈ«Ì
ã hÊ¥ h•TH&f…²’
X = D(¦) Y = R(¦)
’ i
– ’
g
— «HQ²hÌÎ&’ hÊÎ&uÍrž™ ¿ÉHÇ@TÏ
Ç… ’ Ú ”Ê Ã Ï HÇQrÇ@ThÞ&DÐhTHHhÇ ˜ T¥ &eÌ É —
« … ™ Æ ™Ï ÎÃÉ ™È ™


f)dÚ@™4²hÌÎ&§… — ˜ÇhÆÎ¥e˜Í©ÝaT§)ÚTÜh¥åey Î Ú È “ É — … Ã Í Æ — Æ È ™ « Ì É Ú
í… Þ … ’ å Æ Ì’ … Î Í — ÇržeÝH—Æ HÇ« @ÉÇ ™
¦ X, Y
e
&
f &
f
µ Þ˜¼ r4ÉT4u¿Ê r¼Î aPahÌ¥ÆÎ Ç ˜Ç® TT¥Þ …&QH‚ ã a…É T—È hȘÇÎ hÆ£ÇÎ ˜uHTÇÉÆ“ ˜Î# rHhÉÆ
È
¬°­¼
Ï À ³ ¿¸ ó ³&r¯ £¬˜« &¶ ó ± ™ À ³ ·˜¹ ¶hHe°r¯ ¬ ± ­£˜¬« &¶ ó ± ”ÝH`r… — d”QaÈ D(¦’1 ) = {y1 , y2 , y3 }
D(¦) = R(¦’1 ) = {x1 , x2 } R(¦) =
x
Ï …Ê …ÐÈ Æ™Ü … ”È ÎÜ É Æ…
˜ aÜhοT™TÜTÛ Ï ° ˜ @TP˜ÍTTã aÈ ˜ TThÈTHÇr¿hÊhÆraÜ ‚
D(¦) = {x ∈ X| ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ ¦},
R(¦) = D(¦’1 ).
@
d ™
˜
¦ R(¦) ³ ¼ q³ &¶ ±´¼
Ê — Æ Î Û Î Î —…’… ™— —ÇÉ
D(¦) ¦ (y) = … ’1
° ± HÉ ˜Ç&’hThÜÆHTÝÉ m©”¿Êhr… ²fuÞTÏ Î Ç Ý@§ ˜ÇHÎÆ ˜ÇÎ hÉÆ rHhÉÆ ® Ý — 1Ê É˜·¹˜ÇH · h¬« ó ™
… Í–
À ³ ˜·¹ ¶ ¹ Á ¹ rd¯4³ ¼&¶ ± @ Û ¦
y∈Y
ÉÈ “É Þ
T4f¿dÊrÉ — ˜ TÜH«˜¬ HrPóÉ hÐÎTXHa@T@²HTÉÏÈ’ÝÌÇÝ™ TÉT¥™¿™h©HTÉ”‘Ê &Hf«ÌÈ &ahÌ… rHbQDD)Ï“™ hÜ&d’Ty— ”ݘÇHHÇÆÆ `˜ÇT—aÇQÌ HhÉsÆÝ ‚THTH˜É ”dQfaã…êÞ HH§Î©Hǘ)@Û
” ÉÇ È ÈTÃT È … Ï ™ ™ Î É ™ Ü Û Ü Ú É ” Æ Í
x∈X

«H˜Ç¿Te˜ÍH¿Ê
Î Ê™ Ç ‘É ”Ç Î – Î ÜÉÇÉ È Î Ü ”È ÎÜÇ Æ… ™ É ’ …
H@hÈ¿hÊÎ&hÌy©”THHrPÐhÎTaÏ — ÉTÜh¿ÊT™TTÛ ˜ TThÈTHrÉ¿hÊhÆraÜyÞ@§TÈ&P™ — Ðrm
=¦ (¦’1 )
’1 ™ Î ÎåÆ
&ÏQ˜Ç)Í — ˜ÇhÆ¥e˜Í…²’h‘hÎÆ — T™ — ǘH˜ÇÎ — rHhÉÆ
Î Æ ÇÉ
ã
ÎÉ Ç… Ú ÉÇÃÏ Æ ” Ê Ê ÈÃ…’Í ÎÚ ÆÉ Æ
HTÈHQaÜHHɃH@erÎ&hÌ©¿hÊÆ HÉHÇ — ©”TTu²usÉTÈTÈhHHÉhH4Ý”H˜ÇÎ — Þ … É — Æ — Ç Æ ™ Ý
¦’1 ({y}) = ¦’1 (y), y ∈ Y

£
—r… d”QPHÉÐ Ý@Ì ™ ’ ˜ÇH˜ÇÉ Î rHÎÉ hÉ…TÎÎ H@…Ç @H‘È É Æ ê Î
ã ¦
{y} ˜
ÉHÇXeÝH˜ÇÎHhÍr&ÌQThÛT™ —
Æ Þ« É Æ — ±… Ü dÉÚ ÞQaÉ… HÜÜ HÛÚ ža™Ý T{™§HÞÇ@É ²Úà rÉÏ TTÝ™ hÈ¥ ²ÌHhÉs— “
Î…
B B⊆Y
°Î “ È ” Ã É ¦’1
í ÉÆ™ ± ´ ¼ ˜Ç± hƱ £uTÎÉ ¿“ Ê Ð … Ç TÇÈTÃh® ÎTHHrÞÇ T…É È&d’É dÉÞQ™ aHHHÆÉ TT©Ç Ý@É ThÈÆ T™ ÃfadÈrrHXaÌ … &—¬ ã ˜ÇhÆ£Tf™“™ T¿ÇÈ ˜ÊÆ
Ü ÎÉ
Q˜ÇÎ — ÇrHhÉTÜTÛ º rfe° ó f²r¯ £@rQ¥`r… — d”QaÈ T™ — ˜ÇH˜ÇÎ — rHÉhTTÛ
¦’1 (B)
A
’ ’



Þ… ã … È ™ Æ • È Ü È ÆÈ…Ü Æ ÎÝ Ý ÏÉÈ Î É Ï• ”ÜÉ
QaÜHÚ H° PÐTP˜ÍÆTTÜàd•ÎT™hTÜhÎ — HÉTÈTr… — ÉTT™THÉThÛTraHhÇ Ý”H˜ÇTaÌ — tTT&’P™ — TÃrD©THHÇ
x ‘
íÉÐ Î È Æ™ …È ÉÈ…Þ…Ð Û ÐÈ Æ Ü …È Í Ê Î “…ÜÚ Þ Ð ÎÉÈÇ…ÜÚÉ ÏÎ Æ ÇÉ
QebÏ eÐTP˜ÍTTܞaqTruQPHÉTbÏ ° ÎeTP͘T™Tža‚1HÉTÈTÈh£QaHHdÉ@™ HTHQaHHVrT™ — ǘHǘΠ— rHÉ
¦’1 = {(y, x) ∈ Y — X| (x, y) ∈ ¦}.
Y —X
Ê Þ…ÜÚÉ Ê™ å ®Í Î Æ Î ÎÝ Î ÎÜÛÉ
± rdÉQaHHFT¥`Pah’&h̃HÉ¿hÊTahÌ&h’TTHaÏ ¦
¦’1 ⊆ ¦’1 : Y ’ X
É — ǘhÆΣuÉTÈ¿&’uTÛBÝ”ÆH˜ÇÎr… — d”QaÈ
“ ÊÉ Þ… Î Æ ÇÉ
hÊT™ — ˜ÇH˜ÇÎ — rHhÉÆ Ð 8a£¬ ¼e° ò
º¸· ó
x
Ý@™ — ˜ÇHǘΠ— rHÉh§ÉhHÉTHQaHH#Üh¿TTÜ &± ã T™¿è
Æ ÇÉ Æ ‘ ÈÇ…ÜÚÉ Î Ê™ ê Æ
y4 y3 y2 y1
x1
—¦ —¦ —¦ •
x2
—¦ • • •
x3
—¦ —¦ —¦ —¦
„¥†‡…¥ƒ@y y
‚ ‰ˆ ‚ „‚ €€ x
® ÎDžǙà Æ
ã &hÌHQr@T#eÝHǘÎ
íÝ … Æ ÎÜ ” ÉÇÉ Æ ÎÇ…Þ…Ð ’ Ï ” ÝÌ Û Æ• Æ Î ”ÜÉÇ Î Ê™ Æ™ Î
PaÌ — Q˜ÇHÉ&’hTTÛ ˜ TÜHHreÐÉ — ˜ÇH«&hÌHQuQPHÉ&8sTÜTaQÉTX… — ˜ÇTHÉ — ž©THHrÉehÐTȃT&hÌTThÃThÜÎ ê
= π¦’1 π¦ = π
’1
’1
eÝHǘÎ
Æ
ã
¦ ¦’1
í…Ã Þ ÚÉ • Ü ÌÉÛ É Ç…ÜÚÉ Æ Î Þ… Ý Æ ÇÉ Æ ‘ÉÈÇ…ÜÚÉ …ÜÝÌ
faf…adÈrÉHr#™ HÉTTÝaQT#•HTÈHQaHrq”ÝHǘr… — d”QaÈ @™ — ˜ÇH˜ÇÎ — rrhɧhÉHTHQaHH¥aTaQÉ ê π({x}) = π(x)
{x}, x ∈ X

h™TTÛruރ1ÊTHmàPÍ@ThÈÎ¥QaÜTHhÉmHQ… — dÉr&QÉTÛhÆT™Êh&d’rÚ
Æ™ … Í ÜÉ ¦ ® È å… Ð Æ «Ç Þ«Ì ÎÍ — ˜ÇhÆ£uTÈ¿Ê ã ˜ T)@hÈ¿hÊ&hÌHTÈ
Î “É ”ÈÇ Î Î –É
π¦ π ¦

í É Ì’Ï É Î É
Td’ÝaTQThÉ‘HHÇ¿ÊHTÜTÐ H˜ÇhÆ¿Ê — HQd…ÆTTmÉTHH&d’sHrTTr… — TT™hPTm¦ T™ — ˜ÇH˜ÇÎ — ÇrHhɧ&Ìh¿
É Î «Ç ™Û ÈÚÉ Í ÉÇÏÉÈ ÉÜ ÆЙ Î Æ É Æ ™ Æ
π¦ (A) = {y ∈ Y | ¦’1 (y) ⊇ A}.

A⊆X
± ³ µ 2Y
ƒ
@
rµ ˜¬h«¹ d»± · ª µ h¬«h¹ d»± sº ª QÁ »Q¼ á Qµ « µ ±f± µ ¹ H¼
·± d

¦
¼ sº
π ¦ : 2X ’

€
³4sº ƒ¹ ±˜¬˜¬¹ © ¬ ¨ « h¹¦  ¢ À ¤ £ ˜¬¢ « ¡  
¹ ³ ˜·¹ »Qe° ó ± ¬ ± ”À«¬˜¹ ¼Qµ ¸ ´f¼ · À Qµ ¬˜«¬˜¹ µ ¬ ±f± « ²° À ¶± §”D ¢V8¥eV)¢1H88Ÿ
i ¦: X’Y
Æ ÇÉ Æ ÎÉÜÉÇÉ Î «Æ
ã ÎT™ — ˜ÇHǘΠ— rrhɃHTHHrPÐhTÈ Hǘ)Í ê
|˜|z
}{y x w

(y,z)∈Ψ
˜—¦Ψ—¦¦=
¦’1 (y) — ˜(z) .
v
TTTd™rT¿HPƒaThÈ&Ì — Q˜Ç&h’TÜ …ã
™™§ ÞÉÛ ÊÉРΙ Î … Æ Î ê
¦’1 —¦ ¦ ⊇ IX .
u

• Æ ÇÉ Æ ‘ÉÈÇ…ÜÚÉ ™ ‘ ÊÝÜÛ ™§ ÉÛ ÊÉ
T™ — ǘHǘΠ— rHÉh§ÉhrTHQaHH#§hÉHÉ¿T)T#Ý@TTd™ÞrT¿Hs ã
D(¦) = R(¦’1 ), R(¦) = D(¦’1 ).
ot

• É È …ÜÚ Ê™… ÎÃ… Þ Ý™ Î Î ÎÜÛ ™ …Ì
T™ — ˜ÇÆH˜ÇÎ — ÇrHhÉÆ ˜ ”THÇQaHHÉÉTÈ¿TruÞ — •T™ThÈTfahȞ™q@ThÈ&hÌ&h’TTHÉqH˜ÇÆr²QÚ ã
˜ —¦ (Ψ —¦ ¦) = (˜ —¦ Ψ) —¦ ¦.
Ir
s
Æ ÇÉ Æ § ÞÉ ÊÉÐ ™™§… ÎÛÉ ÆÉ ™ …™§
•T™ — ǘHǘΠ— rHÉh#™T™TTd™rTÛ¿HP#TTraÜhTH4«)˜ÇHTÈ — HÇQaTHhÉhÆÆ ã
(Ψ —¦ ¦)(A) = Ψ(¦(A)).
q
“ È …È •
É — ǘÆhÎuÉT¿Ê£a©T™ — ǘÆH˜ÇÎ — rHhÉ#TTTd™rTÛ¿HÉPƒT™ — ˜ÇTh•Î uã
ÇÉ Æ ™™§ ÞÉ Ê Ð Î Æ ¬
x∈A
¦(A) =
¦(x), A ⊆ X.
n
ÇÎΖ …ÜÚÉ Î “É Ê …Þ…ÜÚÉ Î™ Î “…Ü ”
— ÉH@hÈ¿hÊ&ḩÉh‘hÎ d”ÞQaHHyÞ˜ÎThÜÎTÃ… — ˜Ç˜ÆuTÈ¿£uQaHHƒTThÈ£Qa©u‚ ã
»∈Λ »∈Λ »∈Λ »∈Λ
¦ (A» ) . ¦ (A» ) , ¦  A»  = ¦
A»  ⊆
 «  «

p ox

Ý Î ÎÛ ™ ™ ÎÈ™ Î ÚÉ Þ…Ü
@™TdÈÎThÃhÎÆhThÜTž#Ý@ThÈTT&h’d HƒQaHÚ ã
A ⊆ B ⊆ X =’ ¦(A) ⊆ ¦(B).
e
TThÈTà &PÐ — T4H˜ÇHTTHÉHrTH# H°
®™ Î ®Ì ÉÛ « ÆÉÈÈ ÇÉÈÉ ã
n ml„k†k „k‚
i‡B£Bˆ…B&‡‚ j
x∈Ac
B=
{yx },
B
   
© ¥¤§
@ i‡2Ž( u9‡2Ž
œŽ¤¤§ u‡2¦
Ž¨¤§¥ 9i¢uŽ
¤£¡
Ê Þ… ÚÉ ™ å ®Í “É Ê ™’…’
± HdÉQaÜHHFÊT¥`Pa’hÎ&hÌÆ É — ˜ÇÆhÎuTÈ¿BÊT&f²f… ãd 8 ¥ d ¤)T
ã ¢
Ÿ

˜
A½ x
½)¼ ¼µ´ ±¶³µ± ± ³ ± ± ž
Ÿ 
˜ ™
˜ ”¥

yx
¬ ¼ ¯ ³ Qrf¼ ²eQf²¶ « ©¥rµ ¶ ¬ ¼ ± ¥± ¬ ± r´± µ ³ ¼ d»± ³ á ´ ± ¬
π ’1

@
¶ )aQ)fª´·Áá e° ¹ · ±· µ eª ó ° ”¶±&¯ ¬˜e³« ­ ¹aÀ ´ ¬˜« ó ¶”± t&¯ ¼Q@&d¶˜¬¼h«¹ ph± s²º±· ¶ á ¯ ª)µB@³Ë³ ¬˜¹

d
• • “
ž 
‘ (9 ›š
œ 
± À º ¹ ³&¶ ¹ Á ¬ ± seˆº¹ ¹á °± ¬¹ ¬ ˜¬¹ ¼ · ³ ¸ º ±&À r¼ ž¹ ¹ ° m·˜º ¹ ± ÿ¬· ± )᪠)¼á ­ á µ ˜á« ¼ kº¹ °± ¹¬ ¼ · t ”§¨D )ª 8¸8T s ¬˜«
¸ ¯· ¹ ¬ ¢¦¥ ¢
—| ˜ ˜
π (yx ) ⊇ A
½
H ³°
A = π ’1 (π(A))™
x ∈ π ’1 (yx ) ’1
—|
d ”
¥ ˜

‚ ˜‚
y = yx ∈ Y ”¶ ± ¼ d¶Qfrµ ¼µ± º ± ¬ &r¯ h± ± µ ³ ˜¶Á ± ± ± ± ¬
x ∈ X \ A = Ac
ƒ&
‚ ˜‚
B⊆Y
±Á ³ A = π ’1 (B)
• ƒ


±«¬˜h¹¬ ˜ª« ¹ ± ¼ rµ ˜¬˜«¹a”À« d»± sÀ· º u&¯©ó ²d¶¬ Qf±rµ · ¬˜h«¬
± á Á± ¸ ± ¼µ ¹
¼ ˜¬« QB©± º fau˜·Á¬³ ± ¹mˆºó ¹ ± ¹&· á ¬
¥
” “@
˜‚ A⊆X
&
• ‘
’z9 Ž 9
¬ ¶ ½± · Á± ¼ á µ ± ¬° « ­ «ª ©
£˜¬eƒ”§¨D 8& ¢ ¢¡
˜ª«à¸ ó ± ¬ ±h ± XÀ £ Qrµ ˜¬h«¹ d»± sº u&¯ ¹ ± ·a· Qf²r³ eá ³ ß ®
π
”ÜÝÌÉÛ •É Ê ÜÛ ÝÌ
ã TTaQT#H¿TÝ)T#aT’
XÝ”)˜ÇÎ)@T™&u1TÜHm¦hThÜÎT4ehБhÎ&€ÊhÎTÜHÉhH§Q˜ÇX•T™ — ǘH˜ÇÎ — rHhÉÆ4hÉHTHÇQaHHÉq4hÉHÉ¿TÝ)T©TH@@HÉTÛ
™ Æ ÍÜ ÌÍ Ê É Î Û É Ì … ÎÇ … – Æ ÇÉ ‘ÉÈ …ÜÚ ™ ‘ Ê ÜÛ •™ÇÝÈ
π ’1
™ Ü ÎÊ Í’ ™ Ê ™ Ã… ÆÇ ® Î ”ÜÉÇÉÐ Ï Î ÉÈ Æ ® Þ™ ÎÇ …Ü
T™TH˜Ç¿¿ÊTh™ÆXaP™ — ‚ 㠀TÝ@TÈhÎTuadÈÞXeÝH`TÝaÌ — Ý£©THHreb@… — ˜ÇhÆ£“uT¿Ê ÝeHÇ PÍh@ThÜH@Ðrar… ˜
π A⊆X
’1
Î Î Î å ®Í ™ Ã… Æ« Ý Ý Î “ É — ˜ÇhÆ£uT¿&uT¥HÉeTeÝÆ —
Î “ÉÈ Ê’ÉÛ Î Ð
¿hÊTÜHhÉHÇ‚h•Î£`Pa’hÎ&hÌÆË‚ ã ÊhÎTTÈhÎTuadÈÞXÝ”HHÇ@aÌ — ˜Ç£fÉ¿Ê h
π B⊆Y
TÈ ™pr@©ÉTÈ — …aVÏ ”TTÝaQÉT˜ÊhÎT™TÈhTuadÈXHÇHÚXǘΣu¿Ê
Î Ð…Ð Ü Ü Ì Û ÎÃ… Þ « ” “É É — ˜Ç˜ÆuTÈ¿&d’THPT”ÝÆ — Î
Î “É Ê ÉÛ ÎÉÐ
‰ •
y Œ
‹ ŠI
‰ ˆ
} ‡ †
vuy— q © ƒ— ›ž ©›
™œ  › ™ —
A ⊆ X, B ⊆ Y =’ A ⊆ π ’1 (π(A)), B ⊆ π(π ’1 (B)).
t

ÝÌ Û •ÉÈ …ÜÚÉ ™ •É Ê ÜÛ Ý™§ ÞÉ ÊÉ
ÜTaQÉT#HTHÇQaHH##H¿TÝ)T#@TT™drTÛ¿Hs ã
A ⊆ X, B ⊆ Y, A — B ⊆ ¦ =’ A ⊆ π ’1 (B), B ⊆ π(A).
r

ÝÌÉÛ •ÉÈÇ…ÜÚÉ ™ • ÊÝÜÛ Þ
ÜTaQT#HTHQarH##HÉ¿T)T§«d@Ý — ã
A ⊆ B ⊆ X =’ π(A) ⊇ π(B).
q
e
® ®Ì É ”ÜÝÌÉÛ « ÆÉÈÈ ÇÉÈÉ
T™TÈhÎTà &PÐ — TÛ TTaQT4H˜ÇHTTHÉHrTH# ã
»∈Λ »∈Λ
π (A» ) A»  = π
 «
n

p
— ˜ÇÆh£fTÈ¿#Ý@ThÈTT&h’d H£aTaQÉ …ã
Î “É Ê ™ ÎÈ™ Î ÚÉ …ÜÝÌ ê
x∈A
π(A) =
π(x), A ⊆ X.
x
ÉÎ ÝÌ Û Î “ÉÈ ”ÜÝ ÉÛ Î™ Î “…Ü ”
— HÇ@hÈ¿ÊhÎ&hÌ– ”TÜTaQÉTy˜ÞÎTÜhÎTÃ… — ˜ÇÆh£uT¿Ê TTaÌQTƒTThÈ£Qa©u‚ ã
π(x) = ¦(x).
… — ǘÆh£fTÈ¿4hÉrTThÃTHHrT&u£aTaQÉ …H°
Î “É Ê ‘ÉÈ ÎÃÉÇÉÈ’É …ÜÝÌ ê ã
„¥†‡…¥ƒ@y y
‚ ‰ˆ ‚ „‚ €€ q

d
² ± a·˜&· &¯ º ± á
½ ¬¹±

d ˜
¹
µ
g …Ž¦
º
”À«˜¬¹&À h¶µ À ¬a˜·¹&· ±&¯ º ± á ³ ˜¬« ± · ¯ )á rf± « ± )­ ¶”rr´@u²Q¯ ¹ ³ ˜·¹ h¹h«¹ ° y©”§d 88e VH8¡
ª ±µ · ±µ ³±° ¹ ¨ ¢¦¥¢ ¤£¢

• Î “ Ì ÎÜÛ Î’ Ç ÈÉ ÊÉ Æ• Æ ÉÐ«Ì Î Î Ü™ Í ÊÜÉ
ã T™ThÈ£uÉ&T’hTTm&P™ —— @ÈhÎTHTÛ¿HPÐ — ˜ÇTHÉ — §PH&QÉehÐhÆTÈ hÊ)Í@T&dÌ1THm¦
A = π ’1 (π(A)).
A


ÍÇ ÎÈÉÛ ÊÉ ®Í « Î Ê™…È Í
± r@hÈTHT¿HeЃPy ThÈ¿Tražrǘ–
²
A⊆X



… ³
ÊÃ É h•Î¥f§)hÜÎ&d’ÉhPDHH@ÈhÎTHÉT¿HPÐ ®TThÈTà &PÐ — TÛ h•¥ ThÈ¿Tra4eÝHǘTaÌ — Ý
å… “ ÆÏ•ÉÇ È Û ÊÉ ™ Î ®Ì É Î « Î Ê™…È Æ ÎÝ
T™Tf…adÈÞrHÚ ã H = π (B)
B⊆Y
π ’1 (π(A)) ’1

¦
É Ã Ï Î… Î …’ Æ HÉTHHrPhÐTÈ TTÛ
Ê ÜÉÇÉ Î ™Ü … ‘ Ð Î…ÃÍ
²’HÉP8ÏrraPaÌhÆ
HÇ@Vf˜ÇrPhÐHÇ” — ²u®hHÇ ã H⊆X
n
HÉHÇ — eH«&QHÇp™ HÉHÇ — HÉH@hÈTHÉT¿HÉeÐ ”ÝHǘÎTaÌ — Ý
Ê ÉÐ ÌÉ Ê • Ç ÎÈ Û Ê Æ Ý “É ÎÜ ÎÇ
É — ˜Ç˜ÆÎuTÈ¿Ê ã° Î¿hÊTHhÉH#É ê
H = π ’1 (π(H))½ rµ He° 
± µ¼ «

d
‚ ¦ H⊆X ±
@
• ·¸ ¶
µ
P· ”¶±&¯ ¸ X³&¶ h«¹ ± ¬a˜·&· ±&¯ º ± ©À”«¬˜¹ Qµ ¸ f¼ ·
Àµ ¹ á ¼´ rµ ˜¬h«¹ d»± © ”§d V8&e·¥«˜¬¦ ˜V¹¢ ¤)1H8À¢ ”8¹¬  ˜Ÿ
· ¨ ¢ ¢£ ¡
ρ
A
’ ’
´
Ý™ Î “…ÜÚÉÇ ™ Ê…ÐÃÉÇ ™ ”È “ É Î ÆÇ ®Ý Ý Î É Ê
ã @TÈh£QaHHHrɘ ¿rPTHHž¿Ê©T4@™ — d’ThÛT˜È ”ÝH`TaÌ — s&’dTÜôHÉTÜ
È — È É Ï Ý — — ³ ¼ ±&¯ ± r — ÞQ… ƒ — ¿Ê T — — … ®È ÈÎ
²
³
¥ ”
—íQÉHÇrHe˜ÇÉÆ”Ý hÐrÎÎ T£Q…a™THeD@™ T˜ÇÎ THhÈÆ™ ˜ÇÎTÎ Ã r®Ç &HPhÉÌÉ Ð Æ {˜ º ”THar&aÌTº ’e@áÏ … — Ý”HÆƘÇh`ÎÇ £u…“ TÈ¿d”§a`T…® aÌ ˜Ç— ˜ÆQ˜ÇÎ… “u&Th’ÉÆ TT…shÆTTrhÜÐΙ …1ÎH¤ @ãÇ TÉÈ {ǘ•©THhÈ”Æ HÎÚ hÉÆ aÜ
Ü — Ü ¬HÇ·˜¹eз Ý
ÉÉ É ÊÇ Ý ÎÜÛ ™
… å HÚHÉ °
² A ⊆ B ⊆ X =’ ρ(A) ⊆ ρ(B).
³x
ρ : 2 X ’ 2X ρ = π ’1 —¦ π π, π ’1
™ hÊhοT™
ÎÊ ™T™TTd™rTÛ¿HPžaÌT’
§ ÞÉ ÊÉÐ Ý ÜÝ ÉÛ ™ ÆÉÈÈÉÇÉÈ Ê Í’
TaÌQT©H˜ÇrTTHHrTHÉ¿žaP™ — ‚
² A ⊆ π ’1 (π(A)).
¥
³ °
A⊆X
TThÈÎTà ®&PÐ — Ý”H˜ÇT@È&QÉT©” —
Ι Ì Æ ÎÝ Ì Û … — ˜ÇÆhΣfTÈ¿§hÉHTH&ÌQÉ — @HTT#aTTTh«H&fahÿHrÉ
“É Ê ‘ÉÈ« Þ™ÉÜÛ ÝÌ’Ï ÆÉÌ… Î ÊÇ
i i
Y X ¦: X’Y
π : 2 X ’ 2Y

Î “Í Ð… Ü ÌÉ bÏ — Þ@§T™ — ˜ÇH˜ÇÎ — rHhÉÆ
… ™ Î Æ ÇÉ «Æ
£eXrm ã …aTÝaQT۞hÉh‘Î Hǘ)Í ê
I
 I
± ±
ˆ °ˆ
¯‰ ® ­
™ž ž ž —
›—
π ’1 (yx ) ⊇ π ’1 (B) = A
…È…Þ…Ð … Ü sTTaQT©H˜ÇHTTHHrTHÉ¿ÊaP™ H— ThÉHHÇ
Ï ”ÜÝÌÉÛ ™ ÆÉÈÈÉÇÉÈ Í’ — Ï ‘É
ã aruQPHÉ&’y€hÊÎTHhÉÎV¤ ã
yx ∈ ¦(x) y = yx ∈ B
x ∈ ¦’1 (yx ) = π ’1 (yx )

ÎÊ Ü ÉTH@ÈhÎ&f… — ™ — Ðh©H@Ã8Ï
ÈÇ Ì – ÉÇ É Ã •ÉÐ
HÇ@VÏDHer…QÇ
¿HÉTs ã ¦(x) ⊇ B x∈A

eÝH˜ÇÎ&Pr…aVT«H˜ÇhÆ©ÉHdÏ
Æ ’• ÈÏ Î Ç HǘÆh¿XǘÎh¿ÊT™
É ÎÊ Î hÉHHÚ &aT#H@1Ïf˜Çr…@hÐH” — ²h®HÇ
‘É ®Ì ÝÌ’ ÉÇà ΠÎÇ …’ Æ
A = {x ∈ X| ¦(x) ⊇ B}.
sTTaQT˜TThÈ&Ìh&’
Ï ”ÜÝÌÉÛ ®™ Î Î
B⊆Y
A = π ’1 (B)
ª
‡2z(
¥¤§Ž  Ž¬«
u…uŽ9
híTTÛH§ÉT&D™&PaÏ
ÎÜ É ÛÏ Ì™ ÉÇ ÏÎ Ð…
H@Ã&rHÉerrÇ ÇhHÍ — ˜ÇÆh¥åe˜Í4H˜Ç)Í ad 1e ¢
Î Î Æ « Æ êã ¦£
…È… ÐÉ ” ÎÜ Î
ã aruÞQ…PH&’ ¿hÊTHhÉHÇ
A B
π ’1 (B)
T™ — É&Ìh)4)˜ÇHTÈTHHÇQQ˜ÇÆH&#™&Ï {ǘr²faÛ — ÉhÆ
• ÆÍ « ÆÉ ÃÉ … É’ Æ Î…’… Ï Ê Þ…ÜÚÉ Ê™Ð… ™ ÎÉÜ ÆÉÛ ÍÚ
©HdÉQaHHôTTr1¤ ã Ý@ThÈHTH˜ÇHT#rHhÉÆ
yx
x ∈ π ’1 (yx )
QThÛ{Ç@ThÃTÜHÉ — HrÉTT4H@Ã&Ï
íÉ Æ ™ Î ™Ç ÜÛ ÉÇ ÉÇÃÏÎ Ð… ™Ç•…È ÉÈ “É Ï ” ÎÜ ÎÇ ® É ÆÍ
H@²rHÉerQÇ H@ra§T4u¿Ê%v€˜ÊTHhÉH˜T™ — &hÌH§ÉTÛ
A
x∈A
o

ÏThÉ‘HTÜHHreaÌT)Ï
É ÉÇÉÐ Ý ’ ”ÝÆH˜Ç&PraÈ ÊhÎTÈ — HeÏ ÜT™ Î uÍ Ê Ü É ¦ – —
Î’•… ÉÇ Ì Î hÜÎ Û hÎÎ &
È
A π(yx ), x ∈ Ac

íÉ Î “ Æ Ç™ “ — ˜ÇTÆÎ hΣ¥ÉTÈ¿&1THHm&{H“• QHP˜Ç…É ïT™ T—Î a&hÈÉ™ hÌTHhÃÆÎ ÍhÆhÎTT©T@s&TPhÐh’H&ÉÎÆ TÌhÛÆ
u Ê @¥Î É ’ Ð ®
“ Þ™ É Û Í H« QÉ
ÐÌ
QTÛyX™&hÌ¿ ã @4ehÜÎ&d’hÉÆ x∈Ac x∈Ac
π(B) = π
π(yx ) ⊇ A, {yx } =
hÊraPaQTÛ
Î…ÃÍÌÉ
π ’1 (B) = A
É Ã Ï “…Ð
HÇ@…©hÊΣQPHÉTÛ ™
sTÜTaQÉTôÉ — ˜ÇÆTHÉ — ÆpHH˜ÇÎTHǁHhÍr«&QTÛhÆT`ÏTTH«&hÌ)@™ — ǘTh•Î uã
Ï ” ÝÌ Û • Ϋ Ü Ý Þ ÌÉ ™ ÉÈ ÎÇ Æ ¬
r ml„k†k „k‚
i‡B£Bˆ…B&‡‚ j
R⊆X —X
R’1 © R ⊆ IX
q
²’‘He&@²’HHÇÉeH&QHž™²”’HH§TTTaH˜Çο¿Th™THÇ@r…
… ÉÐÏ… ‘É Ð«ÌÉÇ … ‘ÉÇ ÉÈÃ™Ü Ê Ê Æ™ È
ã ã
R ⊇ IX R⊆X —X
n
²”’HÉea@²”’HH£PH«&QHÇ{§²’HH§TÈ — h™ÆehÐ&vh¦TÜ
… ‘ ÐÏ… ‘ÉÇ ÉÐ ÌÉ ™ … ‘ÉÇ É ÎÌ Î
ã ã
R—¦R⊆R R⊆X —X
x
²’HÉe&Ï@²’HHÇeH«&QHž™²”’HH§TÈ — H@d™@raHÇ
… ‘ Ð … ‘É ÉÐ ÌÉÇ … ‘ÉÇ É ™Ç ÞÈ…Ü
ã ã
R⊆X —X
R’1 = R
²’HÉe&Ï@²’HHÇeH«&QHž™²”’HH§TTÃTTH˜Ç¿Ê¿Th™Æ
… ‘ Ð … ‘É ÉÐ ÌÉÇ … ‘ÉÇ ÉÈ ™Ü Î Ê
ã H°
ã
X
“È
ã Î — ǘhÆΣfÉT¿Ê
R

™ ‘
…aÈ T™ThÈ¥ ÉTHrÉ r@¿D•T™ — ˜ÇHǘΠ— rHÉhÆX… — ǘTHÉ — Æ{T¥rHž©THHrehÐT˜hÊ£Q…PÐP©²fauaÈ
• Î ÈÇ Ð…Ð Ï Æ ÇÉ Æ• Ι åÚÉ Î ”ÜÉÇÉ ÎÈ Î “ Í …Ì…Ã…

ã T™TÈ
Y =X

– Î ÈÇÉ Î Î ™Ü …È ™ÇÝ É Î — Æ Æ • ”È« ÎÇ… “ Î Ê™ÜÇ …
hí¥ ÉTHrsThÜ¿ÊTTTÛya{•TH@@ÈHTÛ ˜ ”TÈTÈh&h’Î H— hÌ©”¿Êhž©TH&hÌHQ§)Üh&d’hÉÆBTTHrÉ¿hÊhÆÆrVè ã
Ý Ç ”Ú ÜÛ Ý™ Ü Ç Î Æ…ÌÚ ™ Î’… Æ ™Ü • Æ ÇÉ Æ Î… Í Æ ”È Æ…
± @™HHT™TTp™p@ThÈÎ&Ì — …aTÛHrÉ h•Hǘr²QHÉ T™TÈh&faÛ — ÉhpTTÛwT™ — ˜ÇH˜ÇÎ — rHhÉ„hÊraÃPah̘ʩTHǘraÃ
X R ⊆ X —X

™ É — ǘÆ
”ÝÆH`TÝaÌ — ‚@ThÈÎ¥ ÉTHrq1ÊHH˜ÇHÉ Dã fÚhÎh4aÈ @™TÈh&h’Î — @HTTÛ… — HÇ@rPhÐ&’
Ç ® Ý Ý™ ÈÇÉ Í É – ê Ý Æ … Ý Î Þ™ÉÜ É Ü… Î h
X R

x Ä
¼
Î “ÉÈ É ÎÉ Ì Æ Î Þ… “È …
híuT¿Ê&d’TÛ‚HHÚ ®&àÝ”H˜Çr… — d”QaÈ Î — ˜ÇÆhΣuÉT¿Ê aÈ ˆº¹ ³ ˜· ± £¬ ± HÇ@©Ï TTÈ¿HÉTr… ¹ · É Ã Ê™ Ê Û

{ I
± Áˆ a
± À
¾¿ I
} ‰ ¾x
} ½

ž › ž ƒž › ž — ™— 
@
˜
sº ³ ˜áh«¹ ³ · ± · ¼ á
ã
X K¦ π ’1 (π(x))
ÎH¿hÊÎr… — d”Q…aÈ1Ï — @™žTThÈΣQaHHHrƒÊhraPaQÉT1Ï
ÉÞ Þ Î™ “…ÜÚÉÇÉ Î…ÃÍÌ Û ÍÇ É ÊÉ Í —… ‘ Ê
d
x∈X

®È ’“Ü
PÍ@ThÈÎ&uÉTHÉTÛ ÇÎ – Ý …ÆÛ ³ Æ Î r@hÈÞ T…Î HÈÈ TÛ¿Ç HPÐ Î P–® @È Î ²•Ìƒå T™ ™
ÍH@˜È€˜ÊÎ&hÌ‚Ý@aÌ — QǘHÉTHÉ ã ¹&â ³ · fÁ ¹ eÝH˜Çr… — ”dQa#@hÈοhÊ&hÌ¥h΂T¥`®
X x

í…’ “É ÉÛ ÇÏ É … ‘ Æ Î …Ç È Û ÊÉÐ Ý… « … Ê Ð… ™ ÊÇ Î–…Î
f²uTÜHTyÉH)D•HTÈ — ²Ì”ÝH˜ÇTÝaÌ — Ý Q@ÈhÎTHÉT¿HP§QaÈH&Ìf€Th™Æer€Ê&hÌÆ¿ ã HÉ)@hÈοhÊ&h̃ahÈ&’
H H = {x}
H = π ’1 (π(x))
fÉTHTÛ Q@hÈTÈHT¿He£H@Ã@fÇ@)HÉ — Éh{PÏ
í “ ÜÉ …Ç Î ÉÛ ÊÉÐ ÉÇ Ï ÝÜ ‘ ™ ÊÉ – ™ÜÛ
HH˜Ç{TTPÏ É — &Th’Î — aTÛhÆ
™Ì …Ü

d ”
x∈X H ∈ K¦

…Ç Î Î – ‘ Ü ÇÉ ÎÈ Ý Î µ¼ Æ Î Þ… … ÎÈÉÛ ÊÉ
QÇ@hÈTHT¿Hs
r@˜È€˜Ê&Ìh‚hÉrÉTHÉHrPhÐTpaÌT’ ™&hÌÆh8Ï ± · H&ˆ¶ ”ÝH˜Çr… — d”QaÈ K¦’1

ã aÈ
K¦’1 K¦
π ’1
T™ThÈ£e˜Í£”ÝÆH˜ÇÎTaÌ — ƒÍ1HÉTHHrPÐ¥‚©”THQaHHQÏ aÈ hÊTThÈ£QaHÚ É Ç É Ê ” È Ã a Þ È ’
Î Î “ Æ Ý Ý Ê ÜÉÇÉ Ð Ê ÈÇ…ÜÚÉ … Ι Î “…Ü …
π ¦


í È ™…
QÉT¿ÊTruÞ — ”ÝÆH˜ÇÎTaÌ — Ý aÈ ÎTTÈhΣ“e Æ Ï )Ç ™ Î Ê … Þ É È Í Î
Ý …™ « —HHr‚—©ÇrTHTudÈrÎÉTÈ&uÉ
ÉÆ
H ¦
K ¦ ⊆ 2X ’1
”›
íVHeÐ ˜ hÎÆ — H˜ÇHÉTTP@HÉ — hÉÆ
ÊÉ « Æ ÈÛÍÐ rÉ
Þ Þ…È …
—˜Í4THuÇÃÉ™ @a%dÈÃ… @HÚ@Hǘã¿ru4ˆºT&u˜·’ @H·Ü ˜Ç”¶TauÏ¯È QÁ ”Ý@H™ÆÝ ˜Çr˜ÇÎ … H—Æ ˜Çd”Î QaXhÉaH@ÉÇÈ hÈTHÉTÛ
¹³ & &±
¹±
H = π(H) ¦ H

•HÉH@hÈTÈHÉT¿HetTÉT&P™ — TÃruf˜Ç&d’rÚ
Ç Î Û ÊÉÐ Ï È’ Î É Ï Î Í HÇ¿Ï HH@ÈhTrT€rPÐ ”ÝH˜ÇTaÌ — Ý &hÌ¿
É •ÉÇ ÎÈÉÛ ÊÉ Æ ÎÝ ™Æ
X = π ’1 (…)
n ™
–  
u‡2¥¦
Ž¨¤§ 9i¢¡uŽ
¤£
” ÜÎ @™TÈh¥ ÉTÈHrHhÉƃ@˜ÇrPhÐH” —
Ý Î ÇÉ Þ™ Î… ÎÇ
ãH ã° ¿hÊÎTHhÉHǞ™ ¤¢
)T
d
 ™
™d ˜
¦½ X
± ¹
¼
& €µ
Sg º
…Ž¦
³ «¹ ¨ ¢¦¥¢ ¤£¢
± ¬a˜·¹&· &¯ º ± á ¹ ­ ¶± ó r¼ · ”À˜¬&À ¶hµ À d 88e VH8¡
ã Ý@™ — ˜ÇH˜ÇÎ — rHÉhÆ º ²° a˜·&â ”ÝHǘr… — d”Qa#™
Æ ÇÉ ± ¬ ¹ Æ Î Þ…È
¦
π ’1 (Y )

2
Æ Î…’ Ï È’ Ã … Æ ÇÉ Æ ÎÈÉÛ ÊÉ ™™ Î Î ÎÛ Ð…
4Çhr²f…aÛ — hÉÆaTÉT&P™ — ÎTHÉTÏ@aÈ ã Ý@™ — ˜ÇHǘΠ— rHÉh§Ç@hÈTHT¿HPÐ ˜ hÎÆ — TahÈThÃhÎhÆThÜTžr@Ð
q

£ »
Î ÉÛ ÊÉ « Î Ê È «Ç È “É ÉÇ Ï Î… ÎÇ ™ Î “ÉÌ ÎÜÛ Þ
ÏrÎHÇ@hÈTÈHT¿HeÐàh•Î¥ TÈh¿T™r…apÉpH@™TÜHÉ — Éh‘ ÉT4u¿Ê H@Ãf˜ÇrPhÐH” — ã° Ý@ThÈ£u&Th’TT©v H
n
•ÉÇ ÈÉ ÊÉÐ Æ ÎÝ ÎÜ ÎÇ ÉÛÏÉÇÃ Ð
ã HH@ÈhÎTHTÛ¿Heq”ÝH˜ÇTaÌ — Ý Ï ã° Î¿hÊTHhÉHTaTH@#r…rÇ
»∈Λ »∈Λ »∈Λ
π(H» ) , H» = H=
π ’1 (π(H» )) = π ’1 
 «
¦
x n
hÊÎhοÊT™ Þ@™ Í — ˜ÇTHÉ — É &ã @™ — ǘHǘΠ— rÉ
Æ• Æ ê Ý Æ Ç
i {H» , » ∈ Λ}
 
Ž¨¤§¥
u‡2¦ 9i¢uŽ
¤ £¡
QhÉ{Ç@hÈTHÉT¿ÊHe{H˜ÇHÉTTP@ÐHÉ — hÉÆ
í Æ ÎÈ Û ÉÐ « Æ ÈÛÍ « Æ ÛÏÉÈ« ÎÇ Æ ¬ã
HǘHÍ@%TTH²hÌH@™ — ˜ÇTh•Î Td )T ¤¢
„¥†‡…¥ƒ@y y
‚ ‰ˆ ‚ „‚ €€ t
ï
® …ê
í 
d “
½´ ® §

‘è i(
º
P @³ H ¸ ° À ¶&4Qµ ¬˜« rµ {£¬ ¼Qf¼ á { ¨D 88e8¥
±¯ ¼ ± « ­ ´ ± ¢¦¥¢ ¡

˜
ê ¬êd
& «@ d
 “
´®³ ± §

ۏ i(
º
½) @³ H Qµ ¬˜«¬˜¹ µ ¬ f± « ¼Qµ ¬˜« rµ {­£¬ ¼Qf¼ á { ¨D 88e8¥
±« ´ ± ¢¦¥¢ ¡

˜ 
d
²³a³ Q´h&¯ ± ³a³ e° u± ± ±&¯
½ ³± ¼¯ ±
Ψ’1 ¦’1 (¦ —¦ Ψ)’1
f

³ ´ ° « ¼ »Q¼e° µ ²°± ¬ ± á
‚ d@ ±³³¯ ¼ §
ƒ ©¸ 
è º
i(
ß ¢¦¥¢ 8 
¡
µ â³Qµ ˜¬«˜¬º ¹ µ á ¬ f± « â a¹³ â Qh´±&­£º ± á º À ³ ˜·« ¹ e° ó ± À ¶˜Á ª ¹ ¶ ªs¹ º °± À”¬˜³ ¹ ¬˜«h¹ µ …¸¸ ”§¨D 88e8¥

{ ±I ¦z|}
± å ¤ã
¯ â
žž
›
²
t
³
™ È “… Û ÉÈ« ÎÇ É Æ Ê Æ Î ‘ Ì Ü
hã ãr ÎTTÈhÎT4QaÜTPÍ ã ÊhÆ TH&hÌH@ÝuH˜ÇHÉ¿rd…Æ©”ÝHǘr…˜r…²Th’ÎTTÛ

ˆ ’
á
® ÎÇ… ™ ” ÉÇÉ Æ Ç… Ú Þ… Ï ”ÇÈ… Ü È “ Þ …Ð’ÝÜÉÛ ‘ÉÈÙ Æ…Ã …ÃÍ
&ÌhHQrÇ@Tà ˜ TÜHHreÐ — ÝeH«HQaÜHHdÉQaÜeQ H@ra™Tr… — ”T4uÉ¿dÊrÉ — P&P)HT£hÉHTTTHǘQavÎraPaÌhÆ (’∞, x]
[x, ∞)

™ ³
… ’Ý ÉÛ ™ É ÇÉ ™ Ê…Ç ÈÉ ÊÉÐ « ”Ú ‘É Ê ™ raÃPahÌÆàHHǘ– —
Î… Í ÊÉ
‚ ã PÐ&P)ÜHTÝ@ThÈÎ¥ TÈHr‚¿rQ@ÈhÎTHTÛ¿HežHÇHžÇe˜ÍH¿X™
²
Î ” Î Ã É ™ ÜÇÉ ™Ð…Ç ÉÐ ÌÉÇ •É Ü • È Î … …Ð ÝÜÉÛ ‘ÉÈà ”Ú Ý
©¿hÊr…au…adÈÞrHÚHÉ TdИÞÎTHr©ÎTTrQveH«&QH¥H¿ÊTÝeTÛHÉTaÈhÎ — ˜ÇhÆ¥˜åÎ — aÈ @&’P)HTshÉHTT©HHÉ£aÌ ¬
x ∈ X. π(x) = ¦(x) = [x, ’),
π ’1 (x) = ¦’1 (x) = (←, x],
à
raÃPahÌôHH˜Ç– — H@aTÉThÈs
Î… Í Æ ÊÉ ÉÇÃÏ Æ
[x, ’) = {z ∈ X| x ¤ z}. (←, x] = {z ∈ X| z ¤ x},
x, y ∈ X

¥x à ™

™ ÜÇÉ Î É ’ÝÜ ™ Î Û Ý Ð ÜÉÛ Î™ Î ÈÇ
± TdИÞÎTHrm©” — PÐ&P)HÉTÛ ÊT&Ìh&h’ÎTÜTHÉ aÌ ¬@ã …@&’PÝ)HTFhÊTThÈ¥ ÉTHrÉ i (X, ¤)
hÊTÈa¢©TÈTr²fužpÉ — ˜ÇhÆ£uTÈ¿uÏTH˜ÇÆhÎpH€ÏTÉ — ˜ÇÆhΣuTÈ¿©HTThÈTH&P)HTPÍ
Î …È Ê ” È…’…Þ Æ Î “É Ê « ÉÇ “É Ê ÎÉÈ ÎÃÉ’ÝÜÉÛ «Æ
Hǘ)Í ê
Iz•••a¸a‘¢Îϛa(´É
–“ßÞÝÌÜ ÎÐË ÍÌËÊ dIÆ
ÛÇ
q ™

Þ Î ÇÝ É Ê È Î Ê™ È Æ ™ Æ ÈÇ Ì – Ý™ Î ÉÈÇÉ Î… Í …’…
ã @™ hÊT™H@@ÈHTÛ ©”TThÈ¿THÉT&d’Ém©HǘHÉTH@ÈhÎ&f… — ™ — hÐq@TÈh¥ THrƒraÃPahÌÆ — ˜ÇÎr²faÛ — ÉhÆ
²
X/R X

³ x Ã
Î “ÉÈ í ÉÇ … Þ Ý Î …ÜÚÉÇ ‘É ÎÙÈÉȅРΙÇÝÈ
É — ˜ÇhÆuT¿ÿÊPÜHH@Ðrƒ¦ — @™ ã ÊhÆ @™TÈh£“QaHHHrÉ ÉhHehÐhÆTTTHTrPTH@@HÉ ê

™ ÆÉÈ ÎÌ Æ…ÌÐ Î ® Æ ÇÉ Æ Ç Î Î – •É ®
ã )˜ÇHTHÇ@Èh&f… — ™ — Ðh–d…Æhr²P4Éhd‘¥å`@Í — ˜ÇH˜ÇÎ — rHhɃÞ@™@hÈ¿hÊ&hÌ#HHÚ &Ì
«HÇ@4eÍahÌ{˜Ç£f¿FT™¥`r²fÉTHÉTÛ ™€TÈ — ²”ÌXÝ”H`®TaÌ — ©bD)˜ÇHTH@hÈ&Ìf… — ™ — hЂ™¿r…dhÆr…²e£Æ
™ “ Æ Î “É Ê Ê å ®…’ “ Ü Ê ” … ‘ ÆÇ Ý Ý ™ Ï™ ÆÉÈÇ Î – Ê Æ ÌÐ
i ²
X …
³
Ç ®…’ Æ ”Ç ÈÉÛ ÊÉ Î ”È Ì… ÆÉ … •ÉÈ«Ì… Ê ÆÐ… Ê Æ ÎÝ ÊÉÜÇ Î •É
`r²f…aÛ — hÉwH@˜ÈÎTHT¿HPÐu©TH«&fQǘHuÎhÆ — QÏ HTH&f€T™hPr€uÏ ”ÝH˜ÇTaÌ — Ý HTH@hÈT§ HHÇ
R


í ÈÉÛ ÊÉ •É «Ì… ™È™ ™ Æ ÈÇ Ì – ™ Î ÉÈÇÉ ‘ÉÈ«Ì… ™Ü ÎÈ ‘É ®Ì Ý
PhÈÎTHT¿HPÐ{HTÈH&f€ÊTTT¿Ê )ǘHÉTH@ÈhÎ&f… — ™ — ÐhžÝ@TÈh¥ THrhÉHTH&fa™ — TH˜ÇT£hÉHHÚ &4aÌ ¬
x∈X
@hÈ¿hÊÎ&hÌ– •HHÚ &Ì H@4“eahÌpǘ£u¿à•hÎTT™TÈT&h’Î uDHTÈ — ²ÌF”ÝH˜ÇTaÌ — Ý Q@hÈTHT¿HPÐ
ÇÎ É ® «Ç™ Í Æ Î “É Ê § ™ … Ï •É … ‘ Æ ÎÝ …Ç ÎÈÉÛ ÊÉ
ã ²
R

Ú ³
… • Ç ÎÈ Û ÊÉ • È Æ ÎÏ È« Î É ÆÏ •ÉÈ«Ì… Ê™È Ê •ÉÈ« … Ê ÆÐ…
QÇ ã HÉH@hÈTHÉT¿HeÐ HÉTThÈÎ — ǘTÈT™&h’PTÉTH&ÌhHÇQ… — &h’Î&hÌ)D™ HTH&f€TTT™¿§™§HTH&Ìf€Th™Pr€Ê X
³
Î “Ð…Ç Ï ÆÉ Ç Ì
@rQX…ub™H˜ÇHTÈH@hÈÎ&f… — ™ — hЖ HÉhÆhr²Pï…”TTÈhÎ — ǘTÈT™&h’Î ”ÝH˜ÇTaÌ — Ý ˜Í‘P@&{‘P@&’ TH@hÈ&Ì
Ê Æ…ÌÐ Ê È Æ Æ ÎÝ ÍÜ’ ÍÜ ”ÈÇ Î
²
X R = X—X


f… — ™ — hЖ )@hÈ¿hÊ&Ìe‚hÎÆ — Ï
í ”Ç Î Î – )ǘHTHÇ@Èh&Ìf… — ™ — hЁÝ@ThÈ¥ THrÉBhÉHTH&fa™ — THÇ
™ ÆÉÈ Î – ™ Î ÉÈÇ ‘ÉÈ«Ì… ™Ü
R C ∈ X/R

Ý ™ Ê…Ç Î ÉÛ ÊÉÐ ™ É ’ ÃÉÏ ÆÇ Ý )˜ÇrTH@hÈ&Ìf… — ™ — hЄh”hÆÆr²Ì
™ ÆÉÈÇ Î –…
aÌ ¬aã ¿rQ@hÈTÈHT¿HeX²ÏTTÈ&P™ — ÎTH%D”ÝH`®TaÌ — Ý
™ Æ ÈÇ Ì – Æ ÌÐ ™ “ÉÈ Ê ÎÉ ÆÍ
ã HǘHÉTH@ÈhÎ&f… — ™ — hÐË”hhÆr…²P#É — ˜ÇhÆÎuT¿ƒHHǘ)@Û
R π π(A) = …
ÉÐ ÌÉ «Ç™ “Í Ç ‘É Ý ” ÝÌ Û ™ Ý ÎÃ… Þ Ê Þ…ÜÚÉ Ê™Ð… É

eH«&QHÇH@4eaÌhÆ e˜ÍH¿Ê aÌT’ TÜTaQÉTô¿ÊT@™TÈhTuadÈ1Ï©HdÉQaHH˜TTr1¤ ã A

D)˜ÇHTÈH@hÈÎ&f… — ™ — hЖ — hÉhÆr²PÐ ˜ TÈTÃT&̘QaÜ @4™TÐTHH…Î — BH4urÉ ˜ eÝ)`QahÃTH˜ÇÆ — — £4&hÌ¿
Ï™ ÆÉ Ç Ì Æ…Ì ” ™ Þ… Þ™ ÃÉÇ ’ ”Ú ÝÇ ÆÇ ®… ÎÜ Î“™Æ
π(A) = C X
C ∈ X/R
ÉH@Ï
Ç )˜ÇHTHÇ@Èh&f… — ™ — ÐhmÎhÆhr²PÐôHTHHreÐhTÈ — eÝHÇ@4“)hÜ&d’hÉôHeT&hÌT§
™ ÆÉÈ ÎÌ – Æ…Ì ÊÉÜÉÇÉ Î Æ ™ Î Æ ÊÉЙ Î
ã K(x)
A⊆

Î “ÉÈ Ê Æ Í ÃÉÇ ®Í È…’…Þ ™ å Î Æ ™ ÆÉÈÇ Î Ê Æ…Ì
É — ˜ÇhÆuT¿X™&hÌ¿ ã @ÐTHHƒP@ÈTr²fuFÊT¥Q…“eÜh&d’hÉ²Ï )˜ÇHTH@hÈ&Ìf… — ™ — hЖàHhÉhÆr²PÐ
π
{x} π = π ’1
Œ
©
Î Î “ÉÈ ÊÉÈ ÃÉÇ È … ÜÝÌÉÛ Î™ Ã… •É ÊÝÜÛ
eÝÆH˜ÇTÝaÌ — Ý Î — ˜ÇhÆ£fT¿Ê HTTÃhÎTHHrÉT&d’É‚aÈ ”TTaQTžTThÈÎTfaÈ ã ± H¿T)T#Æ
R R’1
r
– ™
Î…’… Æ …Ü ÌÉ Ý… Ç… ÚÉ Í ÊÉ – Û Æ Î…’… Ι Î ÉÈÇÉ ÎÉÈ …ÜÚ Þ
˜Çr²faÛ — hÉ{aTÝaQTÛ‚QaÈHQaÜHHX1HH˜ÇHÉTDÏ #ǘr²faÛ — ÉhÆ TTÈh¥ THrHTHÇQaHHÉ @™ °
R ∼


ÆÆ Î™ Ã Þ ÚÉ Ý Î ÉÈÇÉ ‘É – Ì’ « Þ« É Æ Î’Í ÊÉÌ
Í — ˜ÇT•HÉ — £É êaã TThÈÎTu…adÈrÉHHq@™TÈh¥ THr§ÉhHHǘžÝaT£HÇQ… — dÉr&ÌQThÛT™BhÊ&urÚ H&QÉ — ÊTh™ÆmÆ
¥x ™
…Ã ™

Í’ÝÜ È Ú ’Í ¬ Î Î ÉÈÇ Ê Ç ÞÈ…ÜÇÏ Ê ” ÎÌ Î Ï Ê ”ÈÃ™Ü Î Ê Ê
aP)r…aƒ… — ˜ÇÆHHÉ&uÝaÌ rã dÊT™TÈh¥ THrÉ ©”TÈ — ™)@d™@raHe©©TÈ — h™ÆehÐ&vh¦TÜ@©©TaTTH˜Ç¿¿T™hÆ i (X, ∼)


ÏT«H˜ÇhÆ£HTD)˜ÇÆHTÈH@hÈ&f… — ™ — hÐôhÊÎTTÈhÎ¥ ÉTHrBÊhÎTyaB©”TTr…²fuÞ £É — ˜ÇhÆ£uTÈ¿Ê
Î ÉÇÏ ™ É Ç ÎÌ – ™ ÈÇÉ È …È Ê ÈÈ ’… Æ Î “É «Æ
Hǘ)Í ê
(2˜›a(‘¢z6›aЕa2’°a‘¢Îϛa(´É
ÐÊ ÌËÊËΗ–” ”“ ÎÐË ÍÌËÊ ¨IÆ
ÈÇ
ml„k†k „k‚
u i‡B£Bˆ…B&‡‚ j
x
` Y6 T
RWT b"a@74 ãhXW8G)P 6 VWUTRSQ8G DI8&5D ²)&&'BA± @68675 ãÏ Æ °
A P ã H EGC ã FE DCA 9 4 ²
x þ
á· þá· ü»
6›ú 6»
»ü …
— –™ ¥x Ã
¦³¥
” # !
$ "
Æ Ý Æ Ü 20
ÏDhÐTÜTuÉThÈr…as ½  31µf± ¬a˜·¹ Á £¬˜#À ¶˜Á À ³ )á˜y)ã @™TÈh¥ THÇ ° '&
ª« â ¹ ( Ý Î ÉÈ %%
h h
‡‡n
vt
…Ð ÆÜ™Ú Æ ¼
ã Æ Ï@@PdÍ… ± hÐTTHTh™HÉ — É ã Qµ ¬˜«
˜
 ²
¼± þ þ ú þ þý ü»úùø·
‚ÿ (|6›(6ƒ Ã
•@ ³vu    ¥§¥£

· e° ˜¬« ²°r¯ ¹€¸a· °± ¬)˜á¹ µ €¸aa·˜¹ QÁ À °&¯  °  ©§ ©©¨¦¤¢ ¡
¹· ± ± °…
¿ }
˜ö‘ |I
} µˆ
y ô ¯

m vžq u#ž –
™ ›™ —œ
¥
” —
½ –
¬¹± ­ ª± ­ ³
)¼ á Á À °±&¯h± ± ¬ a·˜&· &¯ º ± á h¹« µ £˜¬« ± · ¯ )á rµf± «{£¬ ¼ « a¯ ò
x ¤ y ⇐’ x1 ¤ y1 , x2 ¤ y2 .
d ˜
@ ˜
˜‚
X (x1 , x2 )
³ ³ ± f± frQ´ ± ¼Á¼ ¼
¼
¼ #á QÁ À °&¯X a· ³
·± ± ¸ ¬˜« P ¼
—‚
x= X
¼³ ¼ ° X = R2
§
f S
óè i(
º
fÁaQµ³ º ¼e°ha¯ ”À«¬© À h¶µH¼ ºP˜¬À « Á ˜·¹ ¹¯ £¬ £a·˜mˆº¹ e¶
r · ¸ ¬ «‚¹· £˜¬«eƒ„ ¨D
­ ª© ¢88e8¥ 8 
¦¥¢ ¡
ò
á B «@
±êd 
d “
´³ ® ±¼ §
¼ °
µè i(
º
@© H ³ ˜·¹ ± ·£¬ Qµ ¬˜« rµ {£¬ ¼Qf¼ á { ¨D
±«­ ´ ± 88e8¥ 8 
¢¦¥¢ ¡
„¥†‡…¥ƒ@y y
‚ ‰ˆ ‚ „‚ €€ v