Çà¤à·è ï® ®±í®âଠòå®°èè °è±êà
À.À.ͮ⮱嫮â—

„«ÿ ±òó¤åíò®â ¬àòå¬àòè·å±ê®ã® ôàêó«üòåòà ÊÓ


Àíí®òàöèÿ
Ï°èâå¤åí» §à¤à·è è§ °à§«è·í»µ ®ò°à±«å© ¬àòå¬àòèêè, ê®ò®°»å ±®±òàâ«ÿ-
þò áà§ó ¤«ÿ òå®°èè °è±êà. Ýò®ò §à¤à·í»© ¬èíè¬ó¬ íå®áµ®¤è¬® °åøèòü â±å¬
±òó¤åíòà¬, ¦å«àþùè¬ ±ïåöèà«è§è°®âàòü±ÿ â ¤àíí®© ®á«à±òè.


1 Çà¤à·è
Çà¤à·à 1 Ïó±òü ꮬï®íåíò» ±«ó·à©í®ã® âåêò®°à (X, Y ) è¬åþò ±«å¤óþùèå (áå°-
íó««èåâ±êèå) ¬à°ãèíà«üí»å °à±ï°å¤å«åíèÿ:
P(X = 1) = 1 ’ p, P(X = 3) = p, P(Y = 1) = 1 ’ q, P(Y = 2) = q,
ã¤å p, q ∈ [0, 1]  ïà°à¬åò°» °à±ï°å¤å«åíè©. Íà©òè °à±ï°å¤å«åíèå ±«ó·à©í®© âå«è·è-
í» Z = XY â ±«ó·àÿµ, ê®ã¤à:
a) ꮬï®íåíò» X, Y íå§àâè±è¬»;
b) ꮬï®íåíò» X, Y §àâè±è¬».
…±«è X è Y íå§àâè±è¬», ò® ·ò® ¬®¦í® ±êà§àòü ® §àâè±è¬®±òè (íå§àâè±è¬®-
±òè) X è Z? Y è Z? ‚®§¬®¦íà «è ±èòóàöèÿ, ï°è ê®ò®°®© X è Y §àâè±è¬», à X
è Z íå§àâè±è¬»?
Çà¤à·à 2 Ðåøèòü §à¤à·ó, àíà«®ãè·íóþ §à¤à·å 1, ¤«ÿ ±«ó·à©í®© âå«è·èí»
Z = Y /X.
Çà¤à·à 3 Ðåøèòü §à¤à·ó, àíà«®ãè·íóþ §à¤à·à¬ 1, 2, ¤«ÿ ±«ó·àÿ, ê®ã¤à ¬à°ãèíà«ü-
í»å °à±ï°å¤å«åíèÿ X è Y °àâí®¬å°í» íà [0, 1]. Ê°®¬å ò®ã®, ï°èâå±òè ï°è¬å° ±®â-
¬å±òí®ã® °à±ï°å¤å«åíèÿ (X, Y ) ± °àâí®¬å°í»¬è ¬à°ãèíà«üí»¬è, ï°è ê®ò®°®¬ °à±-
ï°å¤å«åíèå Z = XY òàê¦å ÿâ«ÿåò±ÿ °àâí®¬å°í»¬ íà [0, 1], è«è ¤®êà§àòü, ·ò®
òàê®å ±®â¬å±òí®å °à±ï°å¤å«åíèå íå ±óùå±òâóåò.
Çà¤à·à 4 Ïó±òü X, Y è¬åþò ¤è±ê°åòí»å °à±ï°å¤å«åíèÿ
P{X = 0} = P{X = 1} = P{X = 2} = 1/3.
P{Y = 0} = P{Y = 1} = 1/2,
Ï®±ò°®èòü ±®â¬å±òí®å °à±ï°å¤å«åíèå (X, Y ) òàê, ·ò®á» ®í® è¬å«® §à¤àíí»å ¬à°-
ãèíà«üí»å °à±ï°å¤å«åíèÿ, è X, Y ừè ꮬ®í®ò®íí»¬è (±¬. ®ï°å¤å«åíèå 1).

Èí±òèòóò ⻷豫èòå«üí®ã® ¬®¤å«è°®âàíèÿ ‘Î ÐÀÍ, 660036, Ê°à±í®ÿ°±ê, Àêà¤å¬ã®°®¤®ê, e-
mail: anov@icm.krasn.ru, ò. (3912) 495382


1
2 À.À. ͮ⮱嫮â


Çà¤à·à 5 „àòü ®ï°å¤å«åíèå àíòèꮬ®í®ò®íí»µ ±«ó·à©í»µ âå«è·èí. Ï®±ò°®èòü
±®â¬å±òí®å °à±ï°å¤å«åíèå ¤«ÿ X, Y è§ §à¤à·è 4 òàê, ·ò®á» X, Y ừè àíòèꮬ®-
í®ò®íí»¬è â ±®®òâåò±òâèè ± ¤àíí»¬ ®ï°å¤å«åíèå¬.

Çà¤à·à 6 Ðà±±¬®ò°è¬ ¬í®¦å±òâ® A ±«ó·à©í»µ âå«è·èí X ± ê®íå·í»¬ âò®°»¬
¬®¬åíò®¬ EX 2 < ∞. Ðà±±¬®ò°è¬ ¤è±ïå°±èþ ±«ó·à©í®© âå«è·èí» X, êàê ôóíêöèþ
íà A: f (X) = DX, X ∈ A. „®êà§àòü, ·ò® A â»ïóê«® â «èíå©í®¬ ï°®±ò°àí±òâå
â±åµ âåùå±òâåíí»µ ±«ó·à©í»µ âå«è·èí. ßâ«ÿåò±ÿ «è ôóíêöèÿ f â»ïóê«®©? ±ò°®ã®
â»ïóê«®©? â®ãíóò®©? ±ò°®ã® â®ãíóò®©?

Çà¤à·à 7 Ïó±òü §à¤àí» ¬à°ãèíà«üí»å °à±ï°å¤å«åíèÿ, êàê â §à¤à·å 4. Íà©òè ¬àê-
±è¬à«üí®å è ¬èíè¬à«üí®å §íà·åíèå ê®âà°èàöèè X, Y è ±®â¬å±òí»å °à±ï°å¤å«åíèÿ,
íà ê®ò®°»µ ¤®±òèãàþò±ÿ ýòè ýê±ò°å¬ó¬».

Çà¤à·à 8 Íà ¬í®¦å±òâå íå®ò°èöàòå«üí»µ öå«»µ ·è±å« N = {0, 1, 2, ...} §à¤àíà
ôóíêöèÿ
»x
f (x) = , x ∈ N ,
x!
ã¤å » = 0  âåùå±òâåíí»© ïà°à¬åò°. Íà©òè ¬àê±è¬à«üí®å §íà·åíèå f è ¬í®¦å-
±òâ® ò®·åê N» ⊆ N , íà ê®ò®°»µ ýò®ò ¬àê±è¬ó¬ ¤®±òèãàåò±ÿ.

Çà¤à·à 9 Ïó±òü G  ¬í®¦å±òâ® ôóíêöè© °à±ï°å¤å«åíèÿ G íà êâरàòå S2 = [0, 1]—
[0, 1], è¬åþùèµ °àâí®¬å°í»å ¬à°ãèíà«üí»å °à±ï°å¤å«åíèÿ:

G(x, 1) = x, G(1, y) = y; x, y ∈ [0, 1].

à) ‚»·è±«èòü ôóíêöèè

U (x, y) = sup G(x, y), L(x, y) = inf G(x, y); x, y ∈ S2 .
G∈G
G∈G



á) ßâ«ÿþò±ÿ «è U è L ôóíêöèÿ¬è °à±ï°å¤å«åíèÿ íà S2 ?
â) ßâ«ÿþò±ÿ «è U è L ý«å¬åíòà¬è G?
ã) ȧ®á°à§èòü ã°àôèêè ôóíêöè© U è L.
¤) ‚»·è±«èòü èíòåã°à«
[U (x, y) ’ L(x, y)] dx dy.
S2


å) Ï°èâå±òè ï°è¬å° ôóíêöèè °à±ï°å¤å«åíèÿ H ∈ G, ®ò«è·í®© ®ò U è L, è ó¤®â«å-
òâ®°ÿþùå© ó±«®âèþ
(1)
L(x, y) ¤ H(x, y) ¤ U (x, y).


¦) ‘óùå±òâóåò «è ôóíêöèÿ °à±ï°å¤å«åíèÿ H íà S2 òàêàÿ, ·ò® â»ï®«íåí® (1) è
H ∈ G?

Çà¤à·à 10 ‘ô®°¬ó«è°®âàòü è °åøèòü àíà«®ãè·íóþ §à¤à·ó íà Sn = [0, 1]n .
Çà¤à·è ï® òå®°èè °è±êà 3


Çà¤à·à 11 Ï°®è§â®¤èòå«ÿ ·àÿ "Áå±å¤à"°åøè«è §àâ«å·ü ï®ò°åáèòå«ÿ íåï®ò°åáí»-
¬è ±°å¤±òâà¬è, è ±òà«è âê«à¤»âàòü â êতóþ ïà·êó ·àÿ èã°à«üíóþ êà°òó, íàóãà¤
â»á°àííóþ è§ ê®«®¤». Ëþáèòå«þ ·àÿ, ±®á°àâøå¬ó ﮫíóþ ꮫ®¤ó, ®áåùàí ±óïå°ï°è§
... ïà·êà ·àÿ "Áå±å¤à". ‘ꮫüê® ïà·åê ·àÿ â ±°å¤íå¬ íó¦í® è±ò°åáèòü, ·ò®á» §à-
°àá®òàòü ï°è§®âóþ? Ðåøèòü §à¤à·ó ¤«ÿ ꮫ®¤» è§ 32 è 52 êà°ò.

Çà¤à·à 12 Ï®±ò°®èòü ¤âà °à±µ®¤ÿùèµ±ÿ ·è±«®â»µ °ÿ¤à ak è k bk ± ¬®í®ò®í-
k
í»¬è ﮫ®¦èòå«üí»¬è ±«àãà嬻¬è ak ≥ ak+1 > 0, bk ≥ bk+1 > 0, k = 1, 2, ... òàê,
·ò®á» °ÿ¤ k ck , ã¤å
ck = min {ak , bk } , k = 1, 2, ...
±µ®¤è«±ÿ.

Çà¤à·à 13 „«ÿ ò°åó㮫üíèêà Ïà±êà«ÿ
1 111 ...
1 234 ...
1 3 6 10 ...
1 4 10 20 ...
... ... ... ... ...

⻷豫èòü ®ï°å¤å«èòå«ü n — n, °à±ï®«®¦åíí»© â «å⮬ âå°µíå¬ óã«ó, n = 1, 2, ....

Çà¤à·à 14 ‚ ¤è±ê°åòí®¬ ¬åò°è·å±ê®¬ ï°®±ò°àí±òâå (X , d) ®ïè±àòü à) ±®â®êóï-
í®±òü â±åµ ®òê°»ò»µ ¬í®¦å±òâ; á) ±®â®êóïí®±òü â±åµ §à¬êíóò»µ ¬í®¦å±òâ.

Çà¤à·à 15 Ïó±òü („¦, B, P)  âå°®ÿòí®±òí®å ï°®±ò°àí±òâ®. Çà¤à¤è¬ íà B ®òí®-
øåíèå ýêâèâà«åíòí®±òè

A ∼ B ⇐’ P(A∆B) = 0, A, B ∈ B,

ã¤å ∆  ®ïå°àöèÿ ±è¬¬åò°è·å±ê®© °à§í®±òè ¬í®¦å±òâ. Ðà±±¬®ò°è¬ ôàêò®° - ¬í®-
¦å±òâ® B ¬í®¦å±òâà B ï® ýò®¬ó ®òí®øåíèþ ýêâèâà«åíòí®±òè. ßâ«ÿåò±ÿ «è B
σ-à«ãåá°®©? Îòâåò ®á®±í®âàòü.

Çà¤à·à 16 Ïó±òü ±«ó·à©í»å âå«è·èí» X è Y è¬åþò °àâí®¬å°í»å °à±ï°å¤å«åíèÿ
íà ®ò°å§êൠ[a, b] è [c, d], ±®®òâåò±òâåíí®, 0 < a < b, 0 < c < d. Íà©òè
• Ðà±ï°å¤å«åíèå S = XY , ê®ã¤à X, Y íå§àâè±è¬».

• ‚ °à¬êൠï°å¤»¤óùå© ¬®¤å«è: 󱫮âí®å ±®â¬å±òí®å °à±ï°å¤å«åíèå X, Y ï°è
󱫮âèè S ¤ s, ã¤å ac < s < bd.

Çà¤à·à 17 „«ÿ âåùå±òâåíí®© ±«ó·à©í®© âå«è·èí» X ®ï°å¤å«è¬ ôóíêöèè °à±ï°å-
¤å«åíèÿ FX , GX è HX ±«å¤óþùè¬ ®á°à§®¬:

FX (x) = P(X ¤ x), ’∞ < x < ∞,

GX (x) = P(X < x), ’∞ < x < ∞,
1
HX (x) = (FX (x) + GX (x)), ’∞ < x < ∞.
2
4 À.À. ͮ⮱嫮â


ȧâå±òí®, ·ò® FX íåï°å°»âíà ±ï°àâà, GX íåï°å°»âíà ±«åâà, è â±å ò°è ôóíêöèè
±®âïà¤àþò â ò®·êൠíåï°å°»âí®±òè. Ðà±±¬®ò°è¬ ¤è±ê°åòíóþ ±«ó·à©íóþ âå«è·èíó
X ± °à±ï°å¤å«åíèå¬ P(X = xi ) = pi , i = 1, . . . , n, ã¤å x1 < . . . < xn , pi ≥ 0, i =
1, . . . , n, p1 + . . . + pn = 1, è §à¤à¤è¬ ±«ó·à©í»å âå«è·èí»

U = FX (X), V = GX (X), W = HX (X).

Íà©òè EU, EV, EW, DU, DV, DW .

Çà¤à·à 18 (ê®ïó«à ”°àíêà). Çà¤àí® ±å¬å©±òâ® ôóíêöè© °à±ï°å¤å«åíèÿ ¤âóµ ïå°å-
¬åíí»µ
(e±u ’ 1)(e±v ’ 1)
1
(±)
(2)
C (u, v) = ln 1 + , u, v ∈ [0, 1],
e± ’ 1
±
ã¤å ± = 0  ïà°à¬åò°. ‚»·è±«èòü ôóíêöèè

lim C (±) (u, v), lim C (±) (u, v), lim C (±) (u, v).
±’∞
±’’∞
±’0


ßâ«ÿþò±ÿ «è ®íè ôóíêöèÿ¬è °à±ï°å¤å«åíèÿ íà [0, 1]2 ?

Çà¤à·à 19 (ê®ïó«à Êóêà-„¦®í±®íà). Çà¤àí® ±å¬å©±òâ® ôóíêöè© °à±ï°å¤å«åíèÿ ¤âóµ
ïå°å¬åíí»µ
’±
n
’1/±
(±)
(3)
C (u1 , . . . , un ) = ui ’n+1 ,
i=1

ã¤å ± > 0  ïà°à¬åò°. ‚»·è±«èòü ôóíêöèè

lim C (±) (u, v), ±’∞ C (±) (u, v).
lim
±’0

ßâ«ÿþò±ÿ «è ®íè ôóíêöèÿ¬è °à±ï°å¤å«åíèÿ íà [0, 1]2 ?


2 Îï°å¤å«åíèÿ
Îï°å¤å«åíèå 1 ‘«ó·à©í»å âå«è·èí» X, Y í৻âàþò±ÿ ꮬ®í®ò®íí»¬è, 屫è
®íè è¬åþò ±®â¬å±òíóþ ôóíêöèþ °à±ï°å¤å«åíèÿ

G(x, y) = P{X ¤ x, Y ¤ y},

è ¤«ÿ «þᮩ ¤°ó㮩 ïà°» ±«ó·à©í»µ âå«è·èí X, Y , è¬åþùå© ±®â¬å±òíóþ ôóíêöèþ
°à±ï°å¤å«åíèÿ
F (x, y) = P{X ¤ x, Y ¤ y}
± òå¬è ¦å ¬à°ãèíà«üí»¬è °à±ï°å¤å«åíèÿ¬è:

F (·, ∞) = G(·, ∞), F (∞, ·) = G(∞, ·)

â»ï®«íÿåò±ÿ íå°àâåí±òâ®

F (x, y) ¤ G(x, y), x, y ∈ R.
Çà¤à·è ï® òå®°èè °è±êà 5


Îï°å¤å«åíèå 2 ”óíêöèÿ f , §à¤àííàÿ íà â»ïóê«®¬ ¬í®¦å±òâå A «èíå©í®ã® ï°®-
±ò°àí±òâà, í৻âàåò±ÿ â»ïóê«®©, 屫è

f (»x + (1 ’ »)y) ¤ »f (x) + (1 ’ »)f (y), x, y ∈ A, » ∈ (0, 1)

è ±ò°®ã® â»ïóê«®©, 屫è

f (»x + (1 ’ »)y) < »f (x) + (1 ’ »)f (y), x, y ∈ A, » ∈ (0, 1).

Îï°å¤å«åíèå 3 Ìåò°è·å±ê®å ï°®±ò°àí±òâ® (X , d) í৻âàåò±ÿ ¤è±ê°åòí»¬, 屫è
X  ï°®è§â®«üí®å ¬í®¦å±òâ®, à ¬åò°èêà d è¬ååò âè¤
0, x = y,
d(x, y) = x, y ∈ X .
1, x = y,

‘ïè±®ê «èòå°àòó°»
[1] ‚.”å««å° (1984) ‚âå¤åíèå â òå®°èþ âå°®ÿòí®±òå© è åå ï°è«®¦åíèÿ.- Ì.:
"Ìè°", 1, 527 ±.; 2, 751 ±.

[2] Á®°®âê®â À.À. (1986) ’å®°èÿ âå°®ÿòí®±òå©. Ì.: "Íàóêà", 432 ±.

[3] Wang, S.(1996) Premium calculation by transforming the layer premium density.
ASTIN Bulletin, 26, pp. 71-92.

[4] Ë®ýâ Ì. (1962) ’å®°èÿ âå°®ÿòí®±òå©. Ì.: ȧ¤â® èí®±ò°. «èò. - 720 ±.