<<

стр. 2
(всего 4)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

Напомним, что число r называется рангом Пуанкаре систе-
мы (0.7) в особой точке ?. Если r > 0, то эта особая точка явля-
ется, вообще говоря, иррегулярной особой точкой.
Под действием преобразования

(0.9)
x = ?(z)y
система (0.7) переходит в систему
dx
(0.10)
z = C(z)x,
dz
где
d? ?1
? + ?C(z)??1 . (0.11)
C(z) = z
dz
Если ?(z) голоморфно обратимо в O? , то ?(z) называется
аналитическим преобразованием. Если же ?(z) аналитично в O? ,
а функции ?, ??1 лишь мероморфны в точке ?, то ?(z) назы-
вается мероморфным преобразованием. Ясно, что аналитическое
преобразование, в отличие от мероморфного, не меняет ранга Пу-
анкаре системы.
22 Levelt A. H. M. Hypergeometric functions // Nederl. Akad. Wet., Proc.,
Ser. A, 1961, 64, 361–401. (См. также [1], [5].)
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 39


В 1913 году Биркгоф23 доказал, что любая система (0.7) ана-
литическим преобразованием может быть приведена к такой си-
стеме (0.10), в которой матрица коэффициентов C(z) имеет вид

C(z) = Cr z r + · · · + C0 , (0.12)

т.е. C(z) является многочленом степени r от переменной z.
С тех пор система вида (0.10), (0.12) называется биркгофовой
стандартной формой исходной системы (0.7).
Однако доказательство Биркгофа оказалось ошибочным, и в
начале 1950-x годов Гантмахер привел контрпример к утвержде-
нию Биркгофа24 . Как оказалось, доказательство Биркгофа про-
ходит лишь для случая, когда матрица монодромии системы (0.7)
в точке ? может быть приведена к диагональному виду.
Однако позднее было установлено, что препятствием к анали-
тической редукции системы к биркгофовой стандартной форме
является ее приводимость.
Система (0.7) называется приводимой, если с помощью ана-
литического преобразования (0.9) она может быть приведена к
виду (0.10) с матрицей коэффициентов C, имеющей блочный
верхнетреугольный вид

C ?
(0.13)
C(z) =
0 C
В противном случае система называется неприводимой.
Основным результатом главы 2 является следующая теорема:

Теорема 4. Любая неприводимая система (0.7) может быть
преобразована к биркгофовой стандартной форме с помощью
аналитического преобразования (0.9).
(Ранее, в случае системы двух уравнений аналогичный резуль-
тат был получен Юркатом, Лутцем и Пейеримхофом25 , а в случае
трех уравнений Бальзером26 .)
23 Birkho? G. D. Collected mathematical papers // J. Amer. Math. Soc., 1950,
1, 259–306.
24 Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.
25 Jurkat W. B., Lutz D. A., Peyerimho? A. Birkho? invariants and e?ective

calculations for meromorphic di?erential equations. I // J. Math. Anal. Appl.,
1976, 53, 438–470; II // Houston J. Math., 1976, 2, 207–238.
26 Balser W. Analytic transformation to Birkho? standard form in dimension

three // Funkcial. Ekvac., 1990, 33(1), 59–67.
40 А. А. Болибрух


В представленном цикле работ рассматривается также вопрос
о возможности преобразования системы линейных дифференци-
альных уравнений к биркгофовой стандартной форме с помощью
мероморфного преобразования, не повышающего ранга Пуанкаре
системы в особой точке.
Эта задача является естественным обобщением предыдущей
на более широкий класс преобразований и представляет значи-
тельный интерес в связи с тем, что мероморфные преобразова-
ния не меняют ни матриц Стокса, ни монодромии системы. Во-
прос о возможности мероморфного приведения системы к бирк-
гофовой стандартной форме возникает при исследовании обрат-
ной задачи в дифференциальной теории Галуа, при вычислении
матриц Стокса, при доказательстве свойства Пенлеве для изомо-
нодромных деформаций линейных систем с иррегулярными осо-
быми точками и т.п.
В 1976 году Юркат, Лутц и Пейеримхоф в уже цитирован-
ной работе доказали что задача приведения системы уравнений
к биркгофовой стандартной форме мероморфным преобразовани-
ем в случае системы двух уравнений всегда имеет положительное
решение. В 1989 году Бальзер27 доказал аналогичный результат
для системы трех уравнений.
В работе [11] мы доказываем следующее утверждение.

Теорема 5. Любая система (0.7) четырех и пяти уравнений,
имеющая не более двух неприводимых блоков, может быть при-
ведена к биркгофовой стандартной форме с помощью не повыша-
ющего ранга Пуанкаре мероморфного преобразования (0.9).
5. В главе 3 решается задача об описании изомонодромных
деформаций фуксовых систем дифференциальных уравнений.
Наиболее известным видом изомонодромной деформации фу-
ксовой системы n 0
dy Bi
= y
z ? a0
dz i
i=1
на сфере Римана является деформация, задаваемая уравнением
Шлезингера. Она определяется пфаффовой системой
n
Bi (a)
dy = ?s y, ?s = d(z ? ai )
z ? ai
i=1
27 Balser W. Meromorphic transformation to Birkho? standard form in dimen-
sion three // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 1989, 36, 233–246.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 41


0
и начальными данными Bi (a)|a0 = Bi . Условие изомонодромно-
сти эквивалентно условию полной интегрируемости d?s = ?s ? ?s
последней системы. Указанное условие имеет вид
n
[Bi (a), Bj (a)]
dBi (a) = ? d(ai ? aj ).
ai ? aj
j=1, j=i

Оно и называется уравнением Шлезингера изомонодромных де-
формаций.
Уравнение Шлезингера исследовалось самим Шлезингером28 ,
Джимбо и Мивой29 , Б. Мальгранжем30 , Итсом и Новокшено-
вым31 , Сибуйей32 и другими математиками с различных точек
зрения.
0
Оказывается, что если матрицы Bi коэффициентов дефор-
мируемой системы не имеют резонансов, тo любая изомонодром-
ная деформация либо описывается уравнением Шлезингера, либо
сводится к последнему голоморфной по параметру деформации
заменой33 y = C(a)y. Последние деформации полностью описы-
ваются вполне интегрируемыми пфаффовыми системами с фор-
мой коэффициентов
n
?n = ?s + ?r (a)dar .
r=1

В настоящей работе мы приводим описание общего вида изо-
монодромных деформаций произвольной фуксовой системы при
0
наличии резонансов. Напомним, что матрица коэффициентов Bi
называется резонансной, если для какой-либо пары ее собствен-
ных значений разность между этими собственными значениями
?
28 Schlesinger L. Uber L?sungen gewisser Di?erentialgleichungen als Funktionen
o
der singularen Punkte // J. Reine Angew. Math., 1905, 129, 287–294.
29 Jimbo M., Miwa T. Monodromy preserving deformations of linear ordinary

di?erential equations with rational coe?cients. II // Physica D, 1981, 2,
407–448.
30 Malgrange B. Sur les d?formations isomonodromiques // Progr. Math.,
e
1983, 37, 427–438.
31 Its A., Novokshenov V. The isomonodromic deformation method in the

theory of Painlev? equations // Lecture Notes in Math., 1986, 1191.
e
32 Sibuya S. Linear di?erential equations in the complex domain: problems of

analytic continuation. Providence, 1990.
33 Iwasaki K. et al. From Gauss to Painlev`. A modern theory of special
e
functions. Braunschweig: Vieweg, 1991.
42 А. А. Болибрух


является натуральным числом. Наибольшее число ri из таких чи-
сел называется максимальным i-резонансом системы.
Мы доказываем, что любая изомонодромная деформация фук-
совой системы определяется вполне интегрируемой пфаффовой
системой с формой коэффициентов вида ? = ?n + ?m , где ?m
некоторая мероморфная равная нулю при z = ? дифференци-
альная форма с полюсами порядка не выше, чем ri на {z?ai = 0}.


1. Проблема Римана–Гильберта
§ 1.1. Локальное устройство фуксовой системы
Рассмотрим пространство X решений системы (0.1) в окрестно-
сти регулярной особой точки ai . Будем считать, что ai = 0 (для
чего сделаем замену координат z > z ? ai ). Выберем какую-либо
фундаментальную матрицу Y (z) пространства решений X и обо-
значим через G матрицу монодромии фундаментальной матри-
цы Y (z) в точке 0.
Обозначим через E матрицу (1/2?i) ln G. Выберем раз и навсе-
гда собственные значения ?j матрицы E так, чтобы выполнялись
неравенства
0 Re ?j < 1. (1.1)
Определим матрицу z E следующим образом:
z
z E = exp(E ln z) = I + E ln z + · · · + E n lnn + ··· .
n!
Тогда при аналитическом продолжении вдоль петли ? матричная
функция z E переходит в

exp(E(ln z + 2?i)) = z E exp(2?iE) = z E G,

то есть матрица z E имеет ту же монодромию, что и исходная
фундаментальная матрица Y (z). Поэтому имеет место

Лемма 1. Фундаментальная матрица Y (z) имеет следующее
?
разложение в проколотой окрестности O точки z = 0:

Y (z) = M (z)z E , (1.2)
?
где M (z) однозначная матричная функция в O.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 43


Для дальнейшего нам понадобится следующая техническая
лемма, касающаяся характера поведения матричной функции z E
в окрестности нуля.

Лемма 2. Элементы ((aij )) матрицы z E имеют вид
p
l
z ? Pij (ln z),
l
(1.3)
aij =
l=1

где ?l l
собственные значения матрицы E, а Pij (ln z) много-
члены от ln z степени не больше p ? 1.

Следствие 1. Точка z = 0 является регулярной особой точкой
для системы (0.1) тогда и только тогда, когда матрица M (z)
в разложении (1.2) мероморфна в нуле.
На пространстве решений системы с регулярной особой точ-
кой можно ввести понятие нормирования (целочисленной скоро-
сти роста решений) следующим образом. Из лемм 1 и 2 следует,
что любое решение y(z) может быть записано в виде так называ-
емой конечной логарифмической суммы

fjl (z)z ?j (ln z)bl ,
y(z) =
j,l??

где fjl ряды Лорана с конечной главной частью, числа ?j удо-
влетворяют соотношению (1.1), bl целые неотрицательные, и
подобные члены (относительно пар (?j , bl )) приведены.
Нормированием решения y(z) в нуле называется минимум
нормирований рядов fjl по всем j, l ? ?, где, в свою очередь, под
нормированием функции fjl (z) в нуле понимается порядок ее ну-
ля или порядок ее полюса (со знаком минус) в точке z = 0.
Рассмотрим вновь пространство решений X системы (0.1).

Предложение 1. Нормирование ? задает отображение ?:
X > Z ? ?, обладающее следующими свойствами:
а) ?(y1 + y2 ) min(?(y1 ), ?(y2 )), причем если ?(y1 ) = ?(y2 ),
то имеет место равенство;
б) ?(cy) = ?(y) для любого c ? C \ 0;
в) ?(? ? y) = ?(y), где ? ? оператор монодромии системы в
особой точке z = 0.
44 А. А. Болибрух


Из свойств а) и б) следует, что нормирование ? принимает
на X конечное число значений ? > ? 1 > · · · > ? m и задает
фильтрацию
0 ? X1 ? · · · ? Xm = X (1.4)
пространства X линейными подпространствами

X k = {y ? X | ?(y) ? k }, k = 1, . . . , m.

Согласно свойству в) оператор ? ? сохраняет эту фильтрацию.
Обозначим через kl размерность факторпространства X l /X l?1 ,
а через l ? ? ограничение ? ? на X l .
Рассмотрим базис e1 , . . . , e11 пространства X 1 , в котором
1 k
матрица оператора 1 ? ? имеет верхний треугольный вид, дополним
его до базиса e1 , . . . , e11 , e2 , . . . , e22 пространства X 2 , в котором
1 1
k k
верхний треугольный вид имеет матрица оператора 2 ? ? и т.д.
(Для построения элементов el , . . . , el l достаточно рассмотреть
1 k
произвольный базис el , . . . , el l факторпространства X l /X l?1 , в
1 k
котором матрица индуцированного оператором l ? ? оператора
l,l?1 ?
? : X l /X l?1 > X l /X l?1 , имеет верхний треугольный вид, а
затем выбрать произвольных представителей этого базиса в X l .)
Построенный базис (e) = (e1 , . . . , ep ) пространства X обладает
следующими свойствами:
1) нормирование ? принимает на элементах базиса (e) все свои
значения ? 1 , . . . , ? m (с учетом кратностей k1 , . . . , km );
2) ?(el+1 ) ?(el ), l = 1, . . . , p ? 1;
3) матрица G оператора ? ? имеет в этом базисе верхний тре-
угольный вид.

Определение 1. Базис (e) пространства X решений системы
(0.1) с регулярной особой точкой 0, удовлетворяющий свойст-
вам 1)–3), называется левелевским.

Пример 1. Пусть оператор ? ? приводится к жордановой клетке.
Тогда соответствующий жорданов базис (e) будет левелевским
базисом пространства X.
Любой другой левелевский базис пространства X может быть
получен из (e) верхнетреугольным преобразованием.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 45


Доказательство. Обозначим через Y l подпространство раз-
мерности l пространства X, натянутое на векторы e1 , . . . , el жор-
данова базиса (e). Фильтрация
0 ? Y 1 ? ··· ? Yp = X
является единственной фильтрацией длины p пространства X,
инвариантной относительно действия ? ? , поскольку элементы
e1 , . . . , ep образуют цепочку присоединенных векторов, т.е.
? ? (el ) = ?el + el?1 , l = 2, . . . , p, ? ? C \ 0.
Другими словами, любое подпространство X l пространства X
размерности dl , инвариантное относительно действия ? ? , совпада-
ет с Y l . Отсюда немедленно следует, что жорданов базис (e) ассо-
циирован с фильтрацией (1.4), т.е. удовлетворяет свойствам 1), 2).
Так как (e) удовлетворяет и свойству 3), то (e) левелевский ба-
зис пространства X.
Вторая часть утверждения следует из того, что в условиях
примера любой базис, в котором матрица оператора монодромии
имеет верхнетреугольный вид, может быть получен из жордано-
вого некоторым верхнетреугольным преобразованием.
Рассмотрим пространство решений X системы (0.1) с регу-
лярной особой точкой z = 0 и произвольный левелевский базис
(e) пространства X. Обозначим через G матрицу оператора ? ?
в базисе (e), а через A = diag (?1 , . . . , ?p ) диагональную цело-
численную матрицу нормирований этого базиса, т.е. ?l = ?(el ).
Рассмотрим матрицу E из (1.1). Имеет место следующее утвер-
ждение из [1].

Лемма 3. Матрицы z A Gz ?A и z A Ez ?A голоморфны в точке
z = 0. Нормирование матричной функции z A z E z ?A в точке 0
равно нулю.

Теорема 6. Для фундаментальной матрицы Ye (z), построен-
ной по левелевскому базису (e) пространства решений X сис-
?
темы (0.1) в O с регулярной особой точкой 0, имеет место сле-
дующее разложение:
Ye (z) = U (z)z A z E , (1.5)
где матрица U (z) однозначна и голоморфна в окрестности
точки 0.
46 А. А. Болибрух


Следующая теорема, принадлежащая голландскому матема-
тику А. Х. М. Левелю34 , выделяет фуксовы системы среди всех
систем с регулярной особой точкой.

Теорема 7. Система (0.1) с регулярной особой точкой z = 0
фуксова в этой точке тогда и только тогда, когда в разложе-
нии (1.5)
Ye (z) = U (z)z A z E , (1.6)
для фундаментальной матрицы Ye (z), построенной по левелев-
?
скому базису (e) пространства решений X системы (0.1) в O,
матрица U (z) голоморфно обратима в окрестности точки 0.

Числа ?j + ?j = ? j называются показателями системы в ре-
гулярной особой точке 0. Согласно последней теореме они зада-
ют асимптотики решений фуксовой системы в этой особой точке.
В качестве немедленного следствия получаем следующее ут-
верждение.

Следствие 2. Показатели фуксовой системы

dy B0 (z)
(1.7)
= y
dz z
в нуле совпадают с собственными значениями матрицы B0 (0)
коэффициентов этой системы.

§ 1.2. Метод решения. Достаточные условия
разрешимости
Первый этап в решении проблемы Римана–Гильберта состоит в
построении на проколотой сфере Римана B = C\ {a1 , . . . , an } рас-
слоения F с голоморфной связностью , имеющей заданную мо-
нодромию (0.4). Напомним эту хорошо известную конструкцию35 .
Рассмотрим конечное покрытие пространства B связными
односвязными окрестностями {Ui } со связными односвязными
i
пересечениями. Выберем в каждой окрестности по точке z0 и
34 Levelt A. H. M. Hypergeometric functions // Nederl. Akad. Wet., Proc.,
Ser. A, 1961, 64, 361–401.
35 Atiyah M. F. Complex analytic connections in ?bre bundles // Trans. Amer.

Math. Soc., 1957, 85(1), 181–207.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 47


соединим точку z0 с этими точками путями ?i . Внутри каждого
множества Ui ? Uj с непустым пересечением Ui ? Uj соединим
j
i
точки z0 и z0 путем ?ij . Обозначим через gij матрицу
?1
gij = ? ?i ? ?ij ? ?j ,

где через ? ? ? обозначается путь, являющийся результатом по-
следовательного обхода путей ? и ? (предполагается, что конец
пути ? совпадает с началом пути ?), а через ? ?1 путь ?, про-
ходимый в обратном направлении. Гомотопический класс пути ?
обозначается через [?] и гомотопический класс постоянной пет-
ли z0 через e.
Ясно, что gij = (gji )?1 и gij gjk gki = I в случае непустого
пересечения Ui ? Uj ? Uk . Действительно, в этом случае
?1 ?1 ?1
? ?i ? ?ij ? ?j ? ?j ? ?jk ? ?k ? ?k ? ?ki ? ?i
?1 ?1 ?1
=? ?i ? ?ij ? ?j ? ?j ? ?jk ? ?k ? ?k ? ?ki ? ?i
?1
=? ?i ? ?ij ? ?jk ? ?ki ? ?i = ?(e) = I,

так как петля ?ij ? ?jk ? ?ki гомотопна постоянной петле (так как
Ui ? Uj ? Uk односвязно).
Рассмотрим векторное расслоение F на B, построенное по по-
крытию {Ui } и постоянному коциклу {gij }. Введем в расслое-
нии F голоморфную связность , задав ее нулевыми формами
?i = 0 в данном координатном описании расслоения F . Имеет
место следующее утверждение:

Предложение 2. Построенная связность имеет заданную
монодромию (0.4).

Доказательство. Рассмотрим петлю ?, лежащую в B и конеч-
ное покрытие этой петли окрестностями U1 , . . . , Um . Можно счи-
тать, что z0 ? U1 и ?1 = z0 . Монодромия связности вдоль пути ?
?1
равна G? = (g1m gmm?1 · · · g21 ) . Но в нашем случае

(g1m gmm?1 · · · g21 )?1 = g21 · · · gmm?1 g1m = g12 · · · gm?1m gm1
?1 ?1 ?1

?1 ?1
=? ?1 ? ?12 ? ?2 ···? ?m?1 ? ?m?1m ? ?m
?1
?? ?m ? ?m1 ? ?1
48 А. А. Болибрух


?1 ?1
?1
=? ?1 ? ?12 ? ?2 ? · · · ? ?m?1 ? ?m?1m ? ?m ? ?m ? ?m1 ? ?1
?1
=? ?1 ? ?12 ? · · · ? ?m?1m ? ?m1 ? ?1 ) = ?([?]),

так как петля ?12 ? · · · ? ?m?1m ? ?m1 гомотопна петле ?.
Легко доказывается следующее утверждение.

Лемма 4. Любое голоморфное векторное расслоение на проколо-
той сфере Римана B с голоморфной связностью, имеющей мо-
нодромию (0.4), эквивалентно расслоению (F, ).
Следующий этап состоит в продолжении построенного рас-
слоения на всю сферу Римана до расслоения с логарифмической
связностью , совпадающей с исходной связностью вне особых
точек a1 , . . . , an .
Рассмотрим окрестность U? нашего покрытия, граница кото-
рой содержит точку ai . Рассмотрим базис горизонтальных се-
чений (e? , . . . , e? ) связности над U? . Поскольку монодромия
1 p
связности по построению совпадает с (0.4), то при аналитиче-
ском продолжении вдоль малой петли ?i , обходящей точку ai про-
тив часовой стрелки этот базис перейдет в базис (e? , . . . , e? )Gi ,
1 p
где Gi матрица, сопряженная к матрице монодромии в точ-
ке ai . Рассмотрим функцию (z ? ai )?Ei в окрестности U? , точнее,
некоторую ветвь этой функции.
Сечения (?1 , . . . , ?p ) = (e? , . . . , e? )(z ? ai )?Ei (где собственные
0 0
1 p
значения матрицы Ei = (1/2?i) ln Gi нормализованы соглас-
но неравенствам (1.1)) образуют базис голоморфных сечений
расслоения F над Oi \ {ai } (и, значит, расслоение F голоморфно-
тривиально над Oi \ {ai }). (Действительно, при продолжении
0 0
вдоль ?i этот базис переходит в себя.) Сечения (?1 , . . . , ?p ) уже не
являются горизонтальными, и форма связности в этом базисе
имеет вид
dz
? ? = Ei (1.8)
.
z ? ai
Продолжим расслоение F в точку ai следующим образом. Рас-
смотрим цилиндр Oi ? Cp (тривиальное векторное расслоение
над Oi ) c базисом сечений (s1 , . . . , sp ), где si = (z, ei ), а ei i-й
p
элемент стандартного базиса пространства C .
Приклеим цилиндр Oi ? Cp к пространству расслоения FE ,
0
отождествив при всех i сечения ?i с si над Oi \ {ai } и продолжив
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 49


склейку на (Oi \{ai })?Cp по линейности. Получим расслоение над
B ? Oi . Какой вид имеет координатное описание этого расслоения
в окрестности точки ai ?
Обозначим окрестность Oi через U0 . Если в качестве исход-
ного базиса (e? ) = (e? , . . . , e? ) выбран базис, соответствующий
1 p
исходной тривиализации расслоения F (т.е. (e? )g?? = (e? ) для
непустых U? ? U? ), то по построению g0? (z) = (z ? ai )Ei . Для
любой другой окрестности U? , содержащей точку ai в своем
замыкании, g0? (z) является результатом аналитического про-
должения функции g0? (z) в U? вдоль пути ?i . (После такого
продолжения, вернувшись в U? , получим вместо выбранной пер-
воначально ветви (z ? ai )Ei ветвь (z ? ai )Ei Gi , что и обеспечивает
корректность продолжения расслоения.
Любой другой базис (e? ) горизонтальных сечений связан с ба-
зисом (e? ) соотношением (e? ) = (e? )Si и при продолжении вдоль
?1
?i переходит в (e? )Gi , где Gi = Si Gi Si . Выберем такой базис
(e? ), для которого матрица Gi является верхнетреугольной. Обо-
значим через ?i диагональную матрицу с целочисленными эле-
ментами ?j , j = 1, . . . , p, образующими невозрастающую после-
i
довательность: ?j ?j+1 , j = 1, . . . , p ? 1. Будем называть такие
i i
матрицы допустимыми.
Рассмотрим базис локальных сечений (? ?i ) = (e? )(z ? ai )?Ei ?
(z ? ai )??i расслоения F над Oi \ {ai } и продолжим расслоение F
в точку ai аналогично тому, как это было сделано выше, заменив
сечения базиса (? 0 ) на (? ?i ). Форма ? ?i связности в этом базисе
имеет вид

dz
? ?i = ?i + (z ? ai )?i Ei (z ? ai )??i (1.9)
.
z ? ai

Так как матрица (z ? ai )?i Ei (z ? ai )??i голоморфна в точке ai
(см. лемму 3), то форма ? ?i имеет логарифмическую особенность
в этой точке.
Функция перехода g0? построенного расслоения (в исходном
координатном описании) записывается в виде


?1 ?1
g0? = (z ? ai )?i (z ? ai )Ei Si = (z ? ai )?i Si (z ? ai )Ei .
50 А. А. Болибрух


Рассмотрим набор ? = (?1 , . . . , ?n ), состоящий из допусти-
мых матриц ?1 , . . . , ?n (будем называть такой набор допусти-
мым). Продолжим расслоение F в каждую точку ai c помощью
соответствующей матрицы ?i , получим голоморфное векторное
расслоение F ? на всей сфере Римана с логарифмической связно-
стью ? . Обозначим множество всех таких расслоений через F .
Расслоение F 0 со связностью 0 (т.е., продолжение, постро-
енное по набору ?1 = · · · = ?n = 0) называется каноническим
продолжением исходного расслоения (F, ).
Продолжение (F ? , ? ) расслоения (F, ) зависит также от
выбора матриц S1 , . . . , Sn (от способа приведения матриц моно-
дромии к верхнетреугольной форме), от исходного координатного
описания расслоения F и от выбора ветвей функций (z ? ai )Ei .
Последние две зависимости несущественны, так как они сводятся
к соответствующему изменению матриц S1 , . . . , Sn . Что касает-
ся зависимости расслоения от S1 , . . . , Sn , то она, действительно,
очень важна. Два расслоения, построенные по одному и тому же
допустимому набору ?, но по разным матрицам Si , вообще го-
воря, могут быть не эквивалентны.
Однако, в дальнейшем для краткости изложения мы будем
опускать эту зависимость (постоянно “держа” ее в уме).
Все сказанное выше не относится к каноническому продол-
жению (F 0 , 0 ), которое зависит лишь от исходного представле-
ния (0.4).
Следующее утверждение является немедленным следствием
теоремы 7 и вышеприведенной конструкции.

Предложение 3. Множество F содержит все голоморфные
векторные расслоения с логарифмическими связностями на сфере
Римана с данными особыми точками и данной монодромией.
Поскольку фуксова система на сфере Римана с данными осо-
быми точками и монодромией может быть рассмотрена как связ-
ность в некотором тривиальном расслоении, в качестве следствия
получаем следующее утверждение.

Теорема 8. Представление (0.4) может быть реализовано
в качестве представления монодромии некоторой фуксовой
системы на сфере Римана с заданными особыми точками
a1 , . . . , an тогда и только тогда, когда множество F расслоений,
построенных по представлению (0.4), содержит хотя бы одно
голоморфно тривиальное расслоение.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 51


Таким образом, мы свели проблему Римана–Гильберта к ис-
следованию вопроса о голоморфной тривиальности некоторого
расслоения (множества расслоений) на сфере Римана.
Как известно36, любое голоморфное расслоение E на сфере
Римана раскладывается в прямую сумму одномерных

E ? O(k1 ) ? · · · ? O(kp ), (1.10)
=

где числа ki целые, k1 kp , и расслоение O(k) задается
···
следующим координатным описанием O(k) = (C, C \ 0, g0? = z k ).
Из этой теоремы (называемой теоремой Биркгофа–Гротен-
дика) немедленно следует, что каждое расслоение на сфере
Римана мероморфно тривиально. Точнее, имеет место следующее
утверждение.

Предложение 4. У любого голоморфного векторного расслое-
ния E на сфере Римана существует базис мероморфных сечений,
голоморфный вне одной произвольной наперед заданной точки.


Доказательство. Рассмотрим координатное описание (1.10)
расслоения E и произвольную точку b ? C. Функции wi =
((z ? b)/z)ki , vi = (z ? b)ki голоморфны в C \ 0 и C соот-
ветственно (за исключением точки b), и столбцы матриц
W = diag (w1 , . . . , wp ), V = diag (v1 , . . . , vp ) задают координатное
описание требуемого базиса (так как V = g0? W ).

В качестве следствия получаем следующее утверждение, при-
надлежащее Племелю.

Теорема 9. (Племель) Любое представление (0.4) может быть
реализовано как представление монодромии некоторой систе-
мы с регулярными особыми точками, фуксовой во всех точках
кроме, быть может, одной, с любыми наперед заданными допу-
стимыми нормированиями в фуксовых точках.
36 Оконек К., Шнейдер М., Шпиндлер Х. Векторные расслоения на ком-
плексном проективном пространстве. М.: Мир, 1984.
52 А. А. Болибрух


Доказательство. Рассмотрим произвольное расслоение E из
построенного множества F расслоений c данной монодромией и
данными особыми точками. Положим b = ai и рассмотрим базис
(e) = (e1 , . . . , ep ) сечений этого расслоения, построенный в преды-
дущем предложении.
В базисе из этих сечений логарифмическая связность опре-
деляет систему линейных дифференциальных уравнений с дан-
ными особыми точками и монодромией, фуксовую во всех особых
точках и имеющую регулярную особенность в точке ai .
Действительно, так как этот базис лишь мероморфен в точ-
ке ai , то (? ?i ) = (e)U (z), где (? ?i ) голоморфный базис ло-
кальных сечений расслоения E над окрестностью Oi точки ai ,
задающий продолжений расслоения F , построенного по монодро-
мии (0.4), в точку ai , и матричная функция U (z) мероморфна в ai .
Поэтому согласно (1.9) форма ?i связности имеет в Oi следу-
ющий вид
dz
?i = dU U ?1 +U ?i + (z ? ai )?i Ei (z ? ai )??i U ?1 . (1.11)
z ? ai
А фундаментальная матрица пространства решений этой
системы (горизонтальных сечений связности) вблизи точки ai
записывается следующим образом

Yi (z) = U (z)(z ? ai )?i (z ? ai )Ei .
Поэтому точка ai регулярная особая для построенной
системы. В силу произвольности выбранного расслоения из F
нормирования в точках, отличных от ai , могут быть выбраны
произвольными допустимыми.
Набор чисел k1 , . . . , kp называется типом расщепления рас-
слоения. Он полностью характеризует голоморфный тип рассло-
ения, в то время как сумма этих чисел, называемая степенью
расслоения E полностью характеризует его топологический тип.
Таким образом, расслоение E голоморфно тривиально тогда и
только тогда, когда все числа k1 , . . . , kp равны нулю.
В теории интегральных уравнений эти числа называются
частными индексами, и как хорошо известно, в общем случае
их вычислить невозможно. Однако, для некоторых специальных
классов представлений (0.4) об этих числах можно получить
некоторую информацию, достаточную для решения проблемы
Римана–Гильберта.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 53


Теорема 10. Рассмотрим расслоение E ? F с логарифмической
связностью , построенное по неприводимому представле-
нию (0.4) с особыми точками a1 , . . . , an . Для типа расщепления
этого расслоения имеют место следующие неравенства

(1.12)
ki ? ki+1 n ? 2, i = 1, . . . , p ? 1.

Доказательство. Рассмотрим систему дифференциальных
уравнений с заданной монодромией и особыми точками, форма
коэффициентов ? которой имеет простые полюса во всех особых
точках кроме ai , а в окрестности этой точки имеет вид
K
dz + (z ? ai )?K ?(z ? ai )K ,
? =?
z ? ai
а фундаментальная матрица пространства решений системы

dy = ? y

в окрестности точки ai представляется в виде

Yi (z) = (z ? ai )?K V (z)(z ? ai )?i (z ? ai )Ei , (1.13)

где форма ? имеет логарифмическую особенность в ai . (Суще-
ствование такой системы следует из теоремы Племеля 9 и тео-
ремы Биркгофа–Гротендика (1.10).) Нетрудно видеть, что набор
диагональных элементов матрицы K совпадает с типом расщеп-
ления расслоения E.
Предположим, что для некоторого l имеет место неравенство
kl ? kl+1 > n ? 2. Так как элементы ?mj и umj матричных диф-
ференциальных форм ? и ? при m = j связаны соотношением

?mj (z) = umj (z)(z ? ai )?km +kj .
то для m > l, j l согласно предположению получаем kj ? km >
n ? 2. Поэтому порядки нулей дифференциальных форм ?mj (z)
c указанными индексами в точке ai больше числа n ? 3, в то
время как сумма порядков полюсов в особых точках, отличных
от ai не превосходит числа n ? 1 (так как форма ? имеет ло-
гарифмические особенности в этих точках). Так как форма ?
голоморфна в бесконечности, то ее коэффициенты имеют нуль
54 А. А. Болибрух


порядка 2 этой точке. Окончательно получаем, что для коэффи-
циентов форм ?mj (z) c указанными индексами cумма порядков
нулей на сфере Римана больше числа n ? 1, в то время как сумма
порядков полюсов не превосходит этого числа. Значит, эти формы
тождественно равны нулю, и стало быть, форма ? имеет вид

?1 ?
(1.14)
?= ,
?2
0
где размер матричной формы ? 1 равен (l, l).
Но это означает, что монодромия построенной системы при-
водима (так как она “содержит” монодромию подсистемы с мат-
рицей ? 1 ), что противоречит условию. Таким образом неравен-
ство (1.12) действительно имеет место.
Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма, связы-
вающая тип расщепления расслоения с показателями (т.е. с асим-
птотиками решений) системы в особой точке (см. [5]).

Лемма 5. Для любой голоморфно обратимой в нуле матрично-
значной функции U (z) и для любой диагональной целочисленной
матрицы K найдется многочлен ?(z) от 1/z с матричными ко-
эффициентами, голоморфно обратимый вне точки нуль и такой,
что
?(z)z K U (z) = U (z)z D , (1.15)
где матрица D = diag (d1 , . . . , dp ) может быть получена из ма-
трицы K некоторой перестановкой ее диагональных элементов,
U (z) голоморфно обратима в нуле.

Теперь мы имеем все необходимое для доказательства тео-
ремы 2.
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим векторное расслое-
ние E из F , построенное по неприводимому представлению (0.4)
и матрицам ?2 = · · · = ?n = 0, ?1 = diag (?1 , . . . , . . . , ?p ),
?i ? ?i+1 > (n ? 2)(p ? 1), i = 1, . . . , p ? 1.
Вновь рассмотрим базис мероморфных сечений расслоения E,
голоморфный вне точки a1 и такой, что фундаментальная мат-
рица пространства решений системы

dy = ?y,
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 55


построенной по логарифмической связности , в окрестности
точки a1 имеет вид

Y1 (z) = (z ? a1 )?K V (z)(z ? a1 )?1 (z ? a1 )E1 ,

и система является фуксовой вне точки a1 .
Согласно лемме 5 существует такая матрица ?(z), голоморфно
обратимая вне точки a1 , что

?(z)(z ? a1 )?K V (z) = U (z)(z ? a1 )D ,

где матрица D получена из ?K некоторой перестановкой диа-
гональных элементов, а матрица U (z) голоморфно обратима в
точке a1 . Так как для элементов матрицы K имеют место нера-
венства (1.12), то для любых соседних диагональных элементов
матрицы D получаем |di ? di+1 | (n ? 2)(p ? 1). Поэтому матрица
H1 = D + ?1 допустима, т.е. для диагональных элементов hi этой
матрицы выполнено условие hi > hi+1 , i = 1, . . . , p ? 1.
Перейдем от построенной системы с матрицей коэффициен-
тов ? и фундаментальной матрицей Y1 к системе с фундамен-
тальной матрицей Y1 = ?(z)Y1 .
Так как матрица ?(z) голоморфно обратима вне точки a1 , но-
вая система будет вновь фуксовой вне a1 . В окрестности точки a1
матрица Y1 будет иметь вид

Y1 = ?(z)Y1 = U (z)(z ? a1 )D (z ? a1 )?1 (z ? a1 )E1
= U (z)(z ? a1 )H1 (z ? a1 )E1

c голоморфно обратимой матрицей U (z), допустимой матрицей
H1 и верхнетреугольной матрицей E1 . Поэтому построенная си-
стема будет фуксовой и в точке a1 .
Различные достаточные условия реализуемости представле-
ния (0.4) фуксовой системой представлены в [5]. Приведем здесь
лишь некоторые из них.

Теорема 11. Пусть все матрицы ?(?j ) монодромии представ-
ления ? одновременно приводятся к следующему виду:

G1 ?
j
Gj = ,
G2
0 j
56 А. А. Болибрух


где размер каждой матрицы G1 (l, l). Пусть набор матриц
j
i i
G1 , . . . , Gn определяет представление ?i , i = 1, 2, и пусть пред-
ставление ?2 реализуется в качестве монодромии некоторой
фуксовой системы. Если представление ?1 неприводимо и если
для некоторого i матрица Gi имеет вид

Gj ?
(1.16)
Gi = ,
0 Gj

где Gi имеет размер (t, t), 0 < t l, то монодромия ? также
может быть реализована как монодромия некоторой фуксовой
системы.

Теорема 12. Любое представление ? является подпредставле-
нием (факторпредставлением) представления, которое может
быть реализовано в качестве монодромии некоторой фуксовой
системы.

Предложение 5. Пусть все подпредставления представле-
ния ? неразложимы. Если матрицы монодромии этого пред-
ставления можно одновременно привести к виду
?1 ?
Gi
|G2 ?
? ?
? ?
i
?(?i ) = ? ?,
..
? ?
.
0
|Gm
i

так, что для некоторого i матрица ?(?i ) имеет блочный
вид (1.16), где размер матрицы Gi не превосходит размера
матрицы G1 , то представление ? может быть реализовано как
i
представление монодромии некоторой фуксовой системы.

§ 1.3. Контрпример к проблеме
Римана–Гильберта
Из теоремы 2, в частности, следует, что контрпримеры к проблеме
Римана–Гильберта (если таковые имеются) следует искать среди
приводимых представлений.
Рассмотрим специальный тип представлений (0.4), который в
дальнейшем будем называть Б-представлениями.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 57


Определение 2. Представление (0.4) называется Б-представ-
лением, если это представление приводимо, и если жорданова
нормальная форма каждой из матриц монодромии Gi состоит
ровно из одной жордановой клетки.

Теорема 13. Б-представление (0.4) может быть реализовано
как представление монодромии некоторой фуксовой системы
тогда и только тогда, когда тип расщепления каноническо-
го продолжения F 0 расслоения F, построенного по этому
представлению, равен (k, . . . , k).

Доказательство. Если тип расщепления канонического про-
должения равен (k, . . . , k), то согласно теореме 9 и соотноше-
нию (1.13) найдется система уравнений на сфере Римана с
заданной монодромией и особыми точками, фуксовая в точках
a2 , . . . , an , имеющая в этих точках нулевые нормирования и такая,
что ее фундаментальная матрица в окрестности точки a1 имеет
вид (1.13) с нулевой матрицей ?1 и скалярной матрицей K = kI:

Y1 (z) = (z ? a1 )?kI V (z)(z ? a1 )E1 . (1.17)
Но

(z ? a1 )?kI V (z)(z ? a1 )E1 = V (z)(z ? a1 )?kI (z ? a1 )E1 .

Значит, эта система фуксова и в точке a1 . (В этом случае три-
виальным оказывается расслоение, построенное из расслоения F
с помощью допустимых матриц ?1 = ?kI, ?2 = · · · = ?n = 0.)
Пусть теперь Б-представление (0.4) реализовано как пред-
ставление монодромии некоторой фуксовой системы (0.3) c
матрицами нормирований ?1 , . . . , ?n . Последнее означает, что
соответствующее расслоение E ? F, построенное по данному
представлению и допустимым матрицам ?1 , . . . , ?n , голоморфно
тривиально. Пусть размерность подпредставления ? нашего
Б-представления ? равна l. Обозначим через Xl соответствующее
подпространство пространства решений X системы, инвари-
антное относительно действия монодромии ?. Приведем все
матрицы монодромии представления ? одновременно к блочному
верхнетреугольному виду
Gi ?
Gi = , i = 1, . . . , n,
0 Gi
58 А. А. Болибрух


рассмотрим соответствующую фундаментальную матрицу Y (z),
в базисе из столбцов которой матрицы монодромии имеют ука-
занный вид.
Так как матрица Gi сопряжена к жордановой клетке, то со-
гласно примеру 1 получаем, что первые l элементов любого леве-
левского базиса пространства X в любой особой точке принадле-
жат подпространству Xl . Поэтому согласно теореме 7 в окрест-
ности точки ai матрица Y представима следующим образом
Y (z) = Ui (z)(z ? ai )?i (z ? ai )Ei Si ,
где матрицы Ei , Si имеют такой же блочный верхнетреугольный
вид, что и матрицы Gi , а допустимая матрица ?i имеет вид ?i =
diag (?i , ?i ).
Тем самым у расслоения E имеется подрасслоение F ранга l,
построенное по представлению ? и допустимым матрицам ?i .
Заметим, что степень этого подрасслоения неотрицательна, и она
равна нулю тогда и только тогда, когда все матрицы ?i скаляр-
ные: ?i = ci I, i = 1, . . . , n.
Действительно, пусть ?i = diag (?1 , . . . , ?p ). Тогда в силу до-
i i
пустимости имеем ?1 · · · ?p и
i i

?1 + · · · + ?p
?1 + · · · + ?l
i i i i
,
l p
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда все
числа ?j равны. Поэтому для степени этого подрасслоения имеем
i
n n
?1 + · · · + ?l
deg (F ) 1
?i + i i
tr (?i + Ei ) =
=
l l l
i=1 i=1
n
+ ?p
?1 + · · · deg (E)
i i
?i + = = 0,
p p
i=1
и равенство достигается тогда и только тогда, когда все матри-
цы ?i скалярные.
Но расслоение E тривиально, следовательно его подрассло-
ение F должно иметь неположительную степень37 . Поэтому
deg (F ) = 0 и ?i = ci I, i = 1, . . . , n.
37 Приведенные здесь соображения могут быть проинтерпретированы на
языке векторных расслоений в терминах полустабильности векторного
расслоения со связностью, см. Bolibrukh A. On su?cient conditions for the
existence of a Fuchsian equation with prescribed monodromy // J. Dynam.
Control Systems, 1999, 5(4), 453–472.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 59


Преобразуем построенную систему к системе с фундамен-
тальной матрицей
n n
?ci c
Y (z) = (z ? ai ) (z ? a1 ) Y (z), c= ci .
i=2 i=2

Эта система будет по-прежнему фуксовой во всех точках и
иметь нулевые нормирования в точках a2 , . . . , an . В точке a1 со-
гласно построению фундаментальная матрица этой системы мо-
жет быть представлена в виде (1.17) с k = ?(c + c1 ). Но последнее
означает, что тип расщепления канонического продолжения F 0
расслоения, построенного по исходному Б-представлению, равен
(k, . . . , k).

Следствие 3. Если Б-представление может быть реализова-
но как представление монодромии некоторой фуксовой систе-
мы, то степень канонического продолжения F 0 расслоения F,
построенного по этому представлению, должна делиться наце-
ло на ранг представления.
Оказывается, существуют Б-представления, которые этому
свойству не удовлетворяют.
Следующий пример является контрпримером к утверждению
Гильберта. Он означает, что проблема Римана–Гильберта имеет
в общем случае отрицательное решение.

Пример 2. Рассмотрим матрицы
? ? ? ?
1100 3 1 1 ?1
?0 1 1 0? ? 2?
? , G2 = ? ?4 ?1 1
G1 = ? ?,
?0 0 1 1? ?0 1?
0 3
0001 0 0 ?4 ?1
? ?
?1 0 2 ?1
? 4 ?1 1?
0
G3 = ? ?
?0 0?
0 ?1
0 0 4 ?1
и произвольный набор точек a1 , a2 , a3 . Представление ? с особы-
ми точками a1 , a2 , a3 и матрицами монодромии Gi , i = 1, 2, 3, не
может быть реализовано в качестве представления монодромии
какой-либо фуксовой системы.
60 А. А. Болибрух


Доказательство. Заметим, что G1 · G2 · G3 = I, матрица G2
может быть преобразована к матрице G1 , а матрица G3 может
быть преобразована к жордановой клетке с собственным значе-
нием ?1. Действительно, для матрицы G2 имеем
? ? ? ?
1100 30 0 0
?0 1 1 0? 1 ? ?6 3 ?3 4?
S2 G2 S2 = ? ?, S2 = ? ?,
?1
?0 0 1 1? 3? 0 0 1 ?1 ?
0001 0 0 ?2 3

а для матрицы G3 получаем
? ?
?1 1 0 0
? 0 ?1 0?
1
S3 G3 S3 = ? ?,
?1
?0 1?
0 ?1
0 0 0 ?1
? ?
0 16 4 3
1 ? 64 0 0?
0
? ?.
S3 =
64 ? 0 0 0 ?4 ?
00 ?16 ?12
Степень канонического продолжения равна

1
deg (F 0 ) = tr E1 + tr E2 + tr E3 = 0 + 0 + ·4=2?0 (mod 4).
2
Поэтому согласно следствию 3 это представление не может быть
реализовано как представление монодромии какой-либо фуксовой
системы.

Оказывается, в размерности три все контрпримеры к пробле-
ме Римана–Гильберта даются Б-представлениями. А именно име-
ет место следующая теорема [1]

Теорема 14. Проблема Римана–Гильберта для представле-
ния (0.4) размерности p = 3 имеет положительное решение
тогда и только тогда, когда это представление является
Б-представлением и тип расщепления канонического продолже-
ния расслоения, построенного по этому представлению, равен
(k, . . . , k).
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 61


Минимальная размерность представления, в которой появля-
ется контрпример к проблеме Римана–Гильберта, равна трем,
а минимальное число особых точек при этом равно четырем
(см. [1]).
Рассмотрим систему
?? ? ? ?
01 0 060
dz 1 dz
df = ?? 0 z 0 ? 2 + ? 0 ?1 1 ?
z 6 z+1
0 0 ?z 0 ?1 1
? ? ? ? ?
00 2 0 ?3 ?3
1 dz 1 dz ?
+ ? 0 ?1 ?1 ? + ? 0 ?1 1 ? f.
2 z?1 3 z ? 1/2
01 1 0 ?1 1
(1.18)
Эта система фуксова в точках ?1, 1, 1/2, а точка ? является
для нее точкой голоморфности, так как вычет в бесконечности
формы системы равен нулю. Нетрудно показать, что точка 0 яв-
ляется регулярной особой точкой для этой системы.
Также непосредственно проверяется, что все матрицы мо-
нодромии этой системы приводятся к жордановой клетке с
собственным значением 1 (каждая матрица с помощью своего
преобразования). Так как эта система содержит одномерную
подсистему, монодромия всей системы приводима. Значит, пред-
ставление монодромии этой системы является Б-представлением.
Показатели этой системы в точках ?1, 1, 1/2 равны нулю, а
в точке 0 ее фундаментальная матрица может быть записана в
виде (см. [1], [5])
? ?
00 0
? ?
01 0
? ?
? ?
00 ?1 U (z)z E0 ,
Y (z) = z
где U (z) голоморфно обратимая матрица в точке нуль.
Отсюда немедленно следует, что тип расщепления канониче-
ского продолжения расслоения, построенного по представлению
монодромии этой системы, равен (1, 0, ?1), и стало быть, согласно
теореме 13 это представление не может быть реализовано никакой
фуксовой системой.
Построенный контрпример обладает следующим свойством
неустойчивости. При любом сколь угодно малом изменении поло-
жения особой точки ноль и при сохранении матриц монодромии
62 А. А. Болибрух


соответствующее представление монодромии уже может быть
реализовано как представление монодромии некоторой фуксовой
системы. Поэтому этот пример представляет интерес для теории
изомонодромных деформаций фуксовых систем. А именно, точка
(0, ?1, 1, 1/2) пространства C4 является подвижной особой точкой
для соответствующего уравнения Шлезингера изомонодромных
деформаций, построенного по этому представлению38 .
Исходя из приведенного примера, нетрудно построить контр-
пример к проблеме Римана–Гильберта для любого числа особых
точек, большего трех и для любого представления (0.4) ранга,
большего двух (и тем самым доказать теорему 1) (см. [1]).
Рассмотрим множество F расслоений, построенных в главе 1
по неприводимому представлению (0.4).
Для произвольного расслоения F ? F рассмотрим число
p
?(F ) = pk1 ? deg (F ) = pk1 ? ki ,
i=1

где числа k1 , . . . , kp задают тип расщепления расслоения F .

Определение 3. Число
?m (?) = sup ?(F )
F ?F

назовем максимальным фуксовым весом представления ?.
Это число согласно теореме 10 не превосходит числа (n ? 2) ?
p(p ? 1)/2. Оно оказывается тесно связанным с асимптотиками
решений фуксовых систем с данной монодромией.
Рассмотрим пространство X решений фуксовой системы
(0.1), (0.3) двух уравнений. Обозначим показатели этой системы
1 2
в точке ai через ?i , ?i и рассмотрим число
n
1 2
?(?) = |?i ? ?i |,
i=1

которое имеет смысл суммы разностей асимптотик решений по
всем особым точкам.
Рассмотрим множество ? всех фуксовых систем двух уравне-
ний на C с данным представлением (0.4) монодромии (согласно
теореме 2 это множество не пусто).
38 BolibruchA. On orders of movable poles of the Schlesinger equation //
J. Dynam. Control Systems, 2000, 6(1), 57–74.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 63


Теорема 15.
min ?(?) = ?m (?).
???

В терминах минимального фуксова веса представления уда-
ется выразить минимально возможное число дополнительных
ложных особых точек m0 (посчитанных с кратностями, которые
совпадают с порядками нулей вронскиана соответствующего
“минимального” фуксового уравнения), возникающих при по-
строении скалярного фуксового дифференциального уравнения
с неприводимой монодромией (0.4).

Теорема 16. Минимально возможное число m0 дополнитель-
ных ложных особых точек, возникающих при построении ска-
лярного фуксового дифференциального уравнения с неприводимой
монодромией (0.4), равно
(n ? 2)p(p ? 1)
m0 = ? ?m (?).
2
Для теории изомонодромных деформаций особый интерес
представляет следующая проблема, которую можно рассматри-
вать как некоторое обобщение проблемы Римана–Гильберта.
Пусть заданы неприводимое представление (0.4) и набор ?
целочисленных матриц ?1 , . . . , ?n , удовлетворяющие условию
p
n
?j = 0. (1.19)
= i
i=1 j=1

Всегда ли найдется фуксова система с данными (0.4) и ?? (За-
дача существования фуксовой системы с заданными асимпто-
тиками решений и монодромией.)
Ответ на этот вопрос в общем случае отрицателен (см. [1]).
Имеются наборы нормирований ?, которые не реализуются ни-
какими фуксовыми системами с данной неприводимой монодро-
мией. Будем называть такие наборы (для данной монодромии и
особых точек) запрещенными наборами нормирований.
Ясно, что если набор ? = {?1 , . . . , ?n } запрещен, то то же
самой верно для набора ? = {?1 , . . . , ?n }, где
n
(1.20)
?i = ?i + ki I, i = 1, . . . , n, ki ? Z, ki = 0.
i=1
64 А. А. Болибрух


(В самом деле, преобразование
n
(z ? ai )?i ??i (1.21)
y = ?y, ?(z) =
i=1
переводит исходную фуксову систему с набором нормирований ?
в фуксову систему с набором нормирований ? .)
Будем называть такие наборы нормирований эквивалент-
ными.
Верно ли, что для каждого неприводимого представления (0.4)
существует лишь конечное число неэквивалентных запрещенных
наборов нормирований?
Если бы сформулированная гипотеза была верна, то это
упростило бы исследование некоторых вопросов теории фуксо-
вых уравнений. Например, удалось бы получить классификацию
четырехмерных представлений, нереализуемых никакими фуксо-
выми системами и т.д.
Та же самая гипотеза может быть сформулирована в тер-
минах векторных расслоений. Рассмотрим множество векторных
расслоений F на сфере Римана c логарифмическими связностям,
построенное по данному неприводимому представлению (0.4) (см.
главу 1). Обозначим через F0 подмножество топологически три-
виальных расслоений (т.е., расслоений, степень которых равна
нулю) в F . Хорошо известно, что пространство аналитически
нетривиальных векторных расслоений со степенью равной нулю
образует аналитическое подмножество N коразмерности один в
пространстве всех аналитических векторных расслоений с тем же
условием на степень39 . Верно ли, что пересечение F0 с N состоит
из конечного числа точек? Это другая, геометрическая формули-
ровка гипотезы о запрещенных нормированиях.
В работах [8], [10] показано, что эта гипотеза неверна и при-
ведены соответствующие классы неприводимых представлений с
бесконечным числом запрещенных нормирований. Строятся они
следующим образом.
Обозначим через ? множество точек (a1 , . . . , an ), а через ?
множество (b1 , . . . , bk ). Рассмотрим рациональное отображение
R(z)
(1.22)
f : (C, ?) ?> (C, ? ), f= ,
Q(z)
39 Bojarski B. Connections between complex and global analysis // Complex
analysis. Methods, trends, and applications. Berlin: Akad. Verl., 1983. 97–110;
Прессли Э., Сигал Г. Группы петель. М.: Мир, 1990.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 65


такое, что многочлены R и Q не имеют общих делителей,
f ?1 (? ) = ? и по крайней мере одна из точек множества ?
является критической точкой для f (т.е. df = 0 в этой точке).
Пусть представление

(1.23)
? : ?1 (C \ ? , t0 ) ?> GL(p, C)
неприводимо. Рассмотрим представление

(1.24)
?b : ?1 (C \ ?, z0 ) ?> GL(p, C),
где ?b = ? ? f# , f (z0 ) = t0 .

Теорема 17. Для представления ?b существует бесконечное
число запрещенных неэквивалентных наборов нормирований.
В случае, когда показатели во всех точках кроме одной
зафиксированы, данная теорема дает полное описание всех
неприводимых представлений с бесконечным числом запрещен-
ных нормирований40 .
В общем случае вопрос о том, все ли представления с беско-
нечным числом запрещенных нормирований даются теоремой 17,
остается открытым.
В работе [8] представлены также новые серии контрпримеров,
не сводящиеся к Б-представлениям.


2. Биркгофова стандартная форма
Эта задача, которая на первый взгляд выглядит как локальная
(и исходная система, и искомое преобразование определены лишь
локально в окрестности точки ?), на самом деле носит глобаль-
ный характер, так как итоговая система задана уже на всей сфере
Римана. Поэтому ее естественно переформулировать в терминах
расслоений и связностей.
Рассмотрим фундаментальную матрицу Y (z) системы (0.7),
в базисе из столбцов которой матрица G монодромии системы
имеет верхний треугольный вид. Тогда

Y (z) = T (z)z E , (2.1)
40 Kostov V. P. Quantum states of monodromy groups // J. Dynam. Control
Systems, 1998, 5(1), 51–100; [10].
66 А. А. Болибрух


где матричная функция T (z) однозначна и голоморфно обратима
1
ln G, причем собственные значения ?j матрицы
в O? , а E =
2?i
E удовлетворяют неравенствам (1.1).
Зададим расслоение F с помощью следующего координатного
описания: F = (O? , O0 = C, g?0 = T (z)). Формы
C(z) E
dz и ?0 = dz,
?? =
z z
определенные в окрестностях O? и O0 соответственно, задают в
расслоении F связность , голоморфную вне точек 0, ?, имею-
щую логарифмическую особенность в нуле и полюс порядка r + 1
в бесконечности.
Действительно, из (0.7) следует, что

C(z) E
dz = dY (z)(Y (z))?1 = dT (z)(T (z))?1 + T (z) dz(T (z))?1
z z
?1 ?1
и следовательно, ?? = dg?0 g?0 + g?0 ?0 g?0 .
Рассмотрим базис (e) из p сечений расслоения F , линейно
независимых и голоморфных вне точки ноль и мероморфных
в этой точке. В базисе из этих сечений форма (C(z)/z)dz связ-
ности имеет вид

C1 C?k
C(z) = Cr z r + · · · + C0 + (2.2)
+ ··· + k .
z z
Действительно, на координатном языке последнее утвержде-
ние означает существование такой голоморфно обратимой в
окрестности O? матрицы ? и такой голоморфно обратимой
в C \ 0 и мероморфной в нуле матричной функции U (z), что
?g?0 = U (z) (здесь столбцы матриц ? и U задают координатное
описание элементов базиса (e)). Поэтому система линейных диф-
ференциальных уравнений (0.10) с фундаментальной матрицей

Y (z) = ?(z)Y (z) = ?(z)T (z)z E = U (z)z E ,
определенной во всей комплексной плоскости C, и с матрицей ко-
эффициентов (2.2), не имеет особых точек на сфере Римана, за ис-
ключением точек ноль и бесконечность, причем точка ноль явля-
ется для нее регулярной особой точкой. Поэтому матрица C(z) яв-
ляется рациональной функцией с единственным полюсом в нуле
в комплексной плоскости и с полюсом порядка r в бесконечности.
Тем самым мы доказали следующее утверждение.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 67


Теорема 18. Любая система (0.7) с помощью аналитического
преобразования может быть приведена к системе (0.10) на сфе-
ре Римана с матрицей коэффициентов C(z) вида (2.2). Причем
особая точка ноль будет для этой системы регулярной особой
точкой.

Теорема 18 означает, что, решая задачу о биркгофовой стан-
дартной форме, мы с самого начала можем рассматривать вме-
сто системы (0.7) систему (0.10) с матрицей коэффициентов ви-
да (2.2), для которой точка ноль является регулярной особой
точкой.
Приведем матрицу монодромии G с помощью матрицы S к
верхнетреугольному виду (возможно, отличному от того, к кото-
рому она была приведена в разложении (2.1)) и рассмотрим про-
извольную допустимую матрицу ? = diag (?1 , . . . , ?p ), т.е. матри-
цу с целочисленными диагональными элементами, удовлетворя-
ющими неравенствам ?1 · · · ?p .
Зададим расслоение F ? с помощью следующего координатно-
го описания: F ? = (O? , O0 = C, g?0 = T (z)z ?? ). Формы
?


C(z) dz
?0 = ? + z ? Ez ??
?
и
?? = dz ,
z z
определенные в окрестностях O? и O0 соответственно, задают в
расслоении F ? связность ? , голоморфную вне точек 0, ?, имею-
щую логарифмическую особенность в нуле и полюс порядка r + 1
в бесконечности.
Голоморфный тип построенного расслоения зависит от матри-
цы ? и от способа приведения матрицы монодромии к верхнетре-
угольному виду (т.е. от матрицы S).
Обозначим множество построенных расслоений со связностя-
ми через E.
Следующее утверждение аналогично теореме 8 и доказывает-
ся почти также (с некоторыми упрощениями, так как приходится
следить всего за одной фуксовой точкой).

Теорема 19. Система (0.7) может быть приведена анали-
тическим преобразованием к биркгофовой стандартной форме
тогда и только тогда, когда множество E содержит хотя бы
одно голоморфно тривиальное расслоение.
68 А. А. Болибрух


Имеет место в этом случае и аналог теоремы 10.

Теорема 20. Рассмотрим расслоение E ? E со связностью ,
построенное по неприводимой системе (0.7). Для типа расщеп-
ления этого расслоения имеют место следующие неравенства

(2.3)
ki ? ki+1 r, i = 1, . . . , p ? 1.

Доказательство. Согласно теореме Биркгофа–Гротендика (см.
(1.10)) найдутся такие матрицы ? ? H 0 (O? ), U ? H 0 (C), что

?g?0 (z) = ?T (z)z ?? = z ?K U (z),
?


где диагональные элементы матрицы K задают тип расщепления
расслоения E (см. формулу (1.13)).
Аналитическое преобразование исходной системы, задаваемое
матрицей ?, переводит ее в систему (0.10), где

C(z) K
dz = ? dz + z ?K ?z K ,
z z
dz
? = dU U ?1 + U ? + z ? Ez ?? U ?1 ,
z
а фундаментальная матрица пространства решений системы
(0.10) в C представляется в виде

Y (z) = z ?K U (z)z ? z E . (2.4)

Заметим, что форма ? имеет логарифмическую особенность
в 0.
Предположим, что для некоторого l имеет место неравенство
kl ? kl+1 > r. Так как элементы ?ij и ?ij матричных дифферен-
циальных форм C(z)dz/z и ? связаны соотношением

?ij (z) = ?ij (z)z ?ki +kj .

то для i > l, j l согласно предположению получаем kj ? ki > r.
Поэтому порядки нулей дифференциальных форм ?ij (z) c ука-
занными индексами в точке 0 больше числа r ? 1, в то время как
порядки полюсов коэффициентов этих форм в бесконечности не
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 69


превосходят числа r ?1 (так как форма C(z)dz/z имеет полюс по-
рядка r + 1 в ?). Значит, эти формы тождественно равны нулю,
и стало быть, форма C(z)dz/z имеет вид (0.13). Значит, исход-
ная система приводима. Полученное противоречие означает, что
неравенства (2.3) имеют место.
Теперь мы имеем все необходимое для доказательства следу-
ющего утверждения, которое аналогично теореме 2.

Теорема 21. Любая неприводимая система (0.7) может быть
преобразована к биркгофовой стандартной форме с помощью
аналитического преобразования (0.9).

Доказательство. Рассмотрим расслоение F ? E, построенное
по допустимой матрице ?, удовлетворяющей условию ?i ? ?i+1 >
r(p ? 1), i = 1, . . . , p ? 1.
Действуя так же, как при доказательстве предыдущего утвер-
ждения, приведем исходную систему с помощью аналитического
преобразования к виду (0.10) с фундаментальной матрицей (2.4).
Согласно лемме 5 существует такая матрица ? (z), голомор-
фно обратимая вне точки 0, что

? (z)z ?K U (z) = U (z)z D ,

где матрица D получена из ?K некоторой перестановкой диаго-
нальных элементов, а матрица U (z) голоморфно обратима в C.
Так как для элементов матрицы K имеют место неравенства (2.3),
то для любых соседних диагональных элементов матрицы D по-
лучаем |di ?di+1 | r(p?1). Поэтому матрица H = D+? допусти-
ма, т.е. для диагональных элементов hi этой матрицы выполнено
условие hi hi+1 , i = 1, . . . , p ? 1.
Перейдем от системы (0.10) к системе с матрицей коэффици-
ентов C (z) и фундаментальной матрицей Y c помощью анали-
тической в C \ 0 замены Y = ? (z)Y . Тогда

Y (z) = U (z)z H z E

с голоморфно обратимой матрицей U (z), т.е. построенная систе-
ма фуксова в нуле. Согласно построению эта система не имеет
70 А. А. Болибрух

<<

стр. 2
(всего 4)

СОДЕРЖАНИЕ

>>