<<

стр. 3
(всего 4)

СОДЕРЖАНИЕ

>>


особых точек кроме точек 0 и ?, значит, матрица C (z) коэффи-
циентов этой системы голоморфна в C (напомним, что система
имеет вид (0.7)).
В силу аналитичности проведенных замен, матрица C (z) ко-
эффициентов этой системы имеет полюс того же порядка r в бес-
конечности, что и матрица исходной системы (0.7). По теореме
Лиувилля получаем, что C (z) матричный многочлен степе-
ни r от z.



3. Изомонодромные деформации
фуксовых систем
Рассмотрим семейство фуксовых систем
n n
dy Bi (a)
(3.1)
= y, Bi (a) = 0,
dz z ? ai
i=1 i=1

голоморфно зависящее от параметра a = (a1 , . . . , an ) ? D(a0 ), где
D(a0 ) шар малого радиуса с центром в точке a0 = (a0 , . . . , a0 ) n
1
пространства Cn \ i=j {(ai ? aj ) = 0}.
Семейство (3.1) задано на пространстве T = C ? D(a0 ) \
n
i=1 {(z ? ai ) = 0}, которое ретрагируется (при помощи некоторо-
го отображения r) на C \ {a0 , . . . , a0 }. Поэтому фундаментальная
1 n
группа ?1 (T, (z0 , a0 )) изоморфна группе ?1 (C \ {a0 , . . . , a0 }, z0 ),
1 n
0
которая порождена гомотопическими классами петель gi , обхо-
дящими особые точки a0 соответственно по окружностям малого
i
0
радиуса. Мы будем обозначать гомотопический класс петли gi
0
по-прежнему через gi .
Семейство (3.1) называется изомонодромным (или изомо-
нодромной деформацией исходной фуксовой системы, соот-
ветствующей значению параметра a = a0 ), если для любого
фиксированного a соответствующая система из (3.1) имеет ту
же самую монодромию, что и при a = a0 (по отношению к
?1 0
a 0
гомотопическим классам петель gi = r# (gi ) и gi соответствен-
но). Последнее означает, что для каждого значения параметра a
найдется фундаментальная матрица Y (z, a) соответствующей
системы из (3.1), имеющая одни и те же матрицы монодромии
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 71


(по отношению к gi ) для всех a ? D(a0 ). В этом случае семей-
a

ство матриц Y (z, a) называется изомонодромным семейством
матриц.
Нетрудно показать, см.41 и [9], что

Предложение 6. Для любого изомонодромного семейства (3.1)
найдется изомонодромное семейство фундаментальных мат-
риц, аналитическое по совокупности z и a в T = C ? D(a0 ) \
n
i=1 {(z ? ai ) = 0}.

Матрица Y (z, a) как функция на T имеет некоторую монодро-
мию, которая в силу аналитичности Y (z, a) зависит лишь от го-
мотопических классов петель в T с началом в (z0 , a0 ). Из условия
изомонодромности этой матрицы следует, что ее матрицы моно-
дромии как функции начальной точки (z0 , a0 ) при фиксирован-
ном z0 являются локально постоянными по отношению к измене-
нию a0 . С другой стороны, из определения монодромии системы
линейных дифференциальных уравнений следует, что эти матри-
цы локально постоянны по отношению к изменению z0 при любом
фиксированном a0 .
Следовательно, матричная дифференциальная 1-форма ? =
dY (z, a)Y ?1 (z, a) является однозначной и может быть рассмотре-
на как форма на T . Действительно, для всех g ? ?1 (T, (z0 , a0 ))
имеем для аналитического продолжения g ? ? формы ? вдоль g

g ? ? = dg ? Y (z, a)g ? Y ?1 (z, a) = (dY (z, a))Gg G?1 Y ?1 (z, a) = ?.
g

По построению пфаффова система

(3.2)
dy = ?y

на T вполне интегрируема (это означает, что d? = ? ? ?) и для
любого фиксированного значения a она совпадает с соответству-
ющей фуксовой системой из (3.1). В результате получаем следу-
ющее утверждение42 .
41 Anosov D. V. Concerning the de?nition of isomonodromic deformation of
Fuchsian systems // Ulmer Seminaire uber Funktionalysis und Differential-
?
gleichungen. Heft 2, 1997, 1–12.
42 См. также Iwasaki K. et al. From Gauss to Painlev`. A modern theory of
e
special functions. Braunschweig: Vieweg, 1991.
72 А. А. Болибрух


Теорема 22. Семейство (3.1) фуксовых систем является изо-
монодромным тогда и только тогда, когда на T существует
матричная дифференциальная 1-форма ? такая, что
n
Bi (a)
dz для любого фиксированного a ? D(a0 );
i) ? =
z ? ai
i=1
ii) d? = ? ? ?.

Отсюда следует, что любое изомонодромное семейство (3.1)
полностью определяется соответствующей формой ? со свойст-
вами i), ii). Нашей целью является описание общего вида такой
формы ?.
Наиболее известный вид изомонодромных деформаций зада-
ется формой
n
Bi (a)
(3.3)
?s = d(z ? ai ).
z ? ai
i=1

Соответствующая деформация называется деформацией Шлезин-
гера. Непосредственное вычисление показывает, что условие ii)
для этой формы эквивалентно следующему соотношению:
n
[Bi (a), Bj (a)]
(3.4)
dBi (a) = ? d(ai ? aj ),
ai ? aj
j=1, j=i

которое называется уравнением Шлезингера.
Для фундаментальной матрицы Y s (z, a) пфаффовой систе-
мы (3.2) с формой ? = ?s имеет место следующее тождество:

Y s (?, a) ? const. (3.5)

Действительно,
n
Bi (a)
s s ?1
da Y (?, a)(Y (?, a)) =? d(ai ) ? 0.
z ? ai z=?
i=1

Поэтому тождество (3.5) действительно имеет место.
Произвольные изомонодромные деформации не сводятся к од-
ним лишь деформациям Шлезингера (3.3). В самом деле, для
произвольного изомонодромного семейства (3.1) вида (3.3) мож-
но рассмотреть семейство с изомонодромной фундаментальной
матрицей Y (z, a) = ?(a)?Y (z, a), где ?(a0 ) = I, ?(a) = const.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 73


Новое семейство вновь будет изомонодромным, но описывающая
его форма будет иметь вид
n n
Bi (a)
(3.6)
?= d(z ? ai ) + ?r (a)dar ,
z ? ai r=1
i=1
n
где Bi = ?Bi ??1 , r=1 ?r dar = d???1 . Ясно, что для изомоно-
дромной фундаментальной матрицы этого семейства нормализу-
ющее условие (3.5) не будет выполнено.
Но деформации (3.3), (3.6) не исчерпывают все возможные ви-
ды деформаций в резонансном случае (хотя они полностью опи-
сывают все такие деформации в случае отсутствия резонансов43 ).
Прежде чем переходить к формулировке основной теоремы
этой главы, рассмотрим следующее важное утверждение, относя-
щееся к изомонодромным фуксовым семействам, которое по сути
является теоремой Гантмахера о виде решений фуксовой систе-
мы с параметром.
Рассмотрим аналитическую изомонодромную фундаменталь-
ную матрицу Y (z, a), матрицы монодромии Gi которой имеют
блочный диагональный вид Gi = diag (G1 , . . . , Gk ), где каждый
i i
блок Gj соответствует некоторому корневому подпространству
i
размерности sj оператора монодромии. Обозначим через Ei =
diag (Ei , . . . , Ei ) матрицу (2?i)?1 ln Gi , собственные значения ?j
1 k
i
которой нормализованы согласно (1.1).

Теорема 23. Для фундаментальной матрицы Y (z, a) семей-
ства (3.1) имеет место следующее разложение в окрестности
{z ? ai = 0}:

Y (z, a)S(a) = Ui (z, a)(z ? ai )?i (z ? ai )Ei (a) , (3.7)
где S(a) голоморфно обратима в D(a0 ) и имеет тот же самый
блочно-диагональный вид, что и Ei , Ui (z, a) голоморфно обрати-
ма в окрестности {z ? ai = 0}, ?i имеет тот же самый блочно-
диагональный вид ?i = diag (?1 , . . . , ?k ), что и Ei , с целочис-
i i
ленными диагональными матрицами ?j , элементы s ?j которых
i i
удовлетворяют следующим неравенствам:
sj s+1 j
(3.8)
?i ?i ,
и Ei (a) = S ?1 (a)Ei S(a).

43 Ibid.
74 А. А. Болибрух


Доказательство. Согласно теореме Гантмахера44 (см. также
[1] или [5]) для каждого фиксированного a ? D(a0 ) существует
матрица S(a) такая, что разложение (3.7) имеет место с некото-
рой матрицей ?i (a) (Если матрица монодромии имеет единствен-
но собственное значение, то это разложение совпадает с (1.6)).
Вначале мы докажем, что матричная функция ?i (a) не зависит
от a, а затем покажем, что матрица S(a) может быть выбрана
аналитической по a.

Лемма 6. При любой изомонодромной деформации собственные
j
значения {?i } матрицы коэффициентов Bi (a) семейства (3.1) и
элементы {?j } матрицы ?i из (3.7) не меняются.
i


Доказательство. Из (3.1), (3.7) следует, что

dYi ?1
= Ui (ai , a)(?i (a) + Ei )Ui?1 (ai , a),
0
Bi = lim (z ? ai ) Y
dz i
z>ai
(3.9)
0 ?i (a) ??i (a)
где голоморфна
Ei= limz>ai Li , Li = (z ? ai ) Ei (z ? ai )
dYi ?1
в ai , потому что (z ? ai ) голоморфна, а Ui голоморфно
Y
dz i
обратима в ai .
0
Так как матрицы ?i (a) и Ei перестановочны, то из соотноше-
ния (3.9) следует, что собственные значения матрицы Bi совпада-
ют с собственными значениями ?i = ?j (a) + ?j матрицы ?i + Ei .
j 0
i i
По определению при изомонодромной деформации числа ?j i
(логарифмы собственных значений матриц монодромии, норма-
лизованные согласно (1.1)) не меняются. Но, с другой стороны,
из непрерывности матриц Bi (a) и их собственных значений по
параметру a следует, что целые числа ?j (a) = ?i ? ?j также не
j
i i
j
зависят от a. Следовательно, и числа ?i также не зависят от a.
Лемма доказана.
По построению матрица Y (z, a) имеет вид

Y (z, a) = M (z, a)(z ? ai )Ei (3.10)

в некоторой окрестности гиперплоскости P = {z ? ai = 0}, где
мероморфная в окрестности P матричная функция,
M (z, a)
44 Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 75


голоморфная вне P . Из леммы 6 следует, что для любых a ? D
имеет место соотношение
?1
Y (z, a)S(a) = M (z, a)S(a)(z ? ai )S Ei S
,
(3.11)
?i
M (z, a)S(a) = U (z, a)(z ? ai ) .

Нам нужно доказать, что матрицу S(a) можно выбрать аналити-
ческой по a. Доказательство опирается на следующую лемму.

Лемма 7. Рассмотрим мероморфную в O ? D(a0 ) матрицу
?
p, голоморфную в O ? D(a0 ) и
M (z, a) размера (q, p), q
имеющую там ранг p, где O ? C некоторая окрестность нуля
?
и O = O \ {0}. Пусть A некоторая постоянная диагональная
целочисленная матрица. Если для любого значения a из
окрестности U точки a? ? D существуют невырожденная
матрица S(a) и голоморфная матрица U (z, a) ранга p в O ? U
такие, что
M (z, a)S(a) = U (z, a)z A, (3.12)
то матрицу S(a) можно выбрать аналитической по a в неко-
торой окрестности a? .

Доказательство. Рассмотрим индукцию по числу p столбцов
матрицы M .
При p = 1 доказывать нечего. Предположим, что утвержде-
ние верно для всех матриц с числом столбцов, меньшим чем k,
где k < p. Докажем его для k = p. Можно считать, что A =
diag (s1 , . . . , sp ), где s1 sp , sp = 0. (Этого всегда можно
···
добиться умножением M на скалярную матрицу z ?sp I.) Пусть
в разложении (3.12) sl = 0, sl+1 = · · · = sp = 0. Не ограни-
чивая общности, можно считать также, что S(a? ) = I. В этом
случае из (3.12) следует, что первые l столбцов матрицы M (0, a? )
нулевые и что ранг M (0, a) равен p ? l для всех a ? U. Рас-
смотрим базисный минор матрицы M (0, a? ). Этот минор вклю-
чает лишь элементы столбцов с номерами l + 1, . . . , p, и в силу
его непрерывности соответствующие элементы матрицы M (0, a)
образуют ненулевой минор при всех a ? U ? , где U ? ? U неко-
?
торая окрестность точки a . Так как ранг матрицы M (0, a) ра-
вен p ? l для всех a, то соответствующий минор является базис-
ным минором для M (0, a) при всех a ? U ? . Поэтому каждый j-й
76 А. А. Болибрух


столбец M (0, a) с номером 0 < j < l + 1 выражается единствен-
ным образом в виде линейной комбинации столбцов с номерами
l + 1, . . . , p и коэффициенты cj каждой такой линейной комбина-
k
ции являются голоморфными функциями в U ? . Рассмотрим ниж-
нетреугольную матрицу R1 (a) с единичными элементами на глав-
ной диагонали и такую, что ее j-й столбец совпадает со столбцом
(0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, ?cj , . . . , ?cj )t при j < l+1, а столбцы с номе-
p
l+1
рами j, большими чем l, совпадают со столбцами ej стандартного
базиса пространства Cp . Построенная матрица голоморфна при
всех a ? U ? , и согласно построению
1
M (z, a)R1 (a) = M 1 (z, a)z A , (3.13)

где A1 = diag (s1 , . . . , s1 ), s1 = · · · = s1 = 0. Можно считать, что
1 p p
l+1
1 1 1
s1 s2 · · · sl . (Этого всегда можно добиться умножением R1
на подходящую постоянную блочно-диагональную матрицу T =
diag (T , I) с блоком T размера l.)
Из (3.12), (3.13) следует, что
1
M 1 (z, a)z A S 1 (a) = U (z, a)z A ,
?1
где S 1 (a) = R1 (a)S ?1 (a) имеет верхнетреугольный блочный вид
S1 ?
S1 = , потому что лишь последние p?l столбцов матриц
0S
1
M 1 (z, a)z A и U (z, a)z A не обращаются в нуль при z = 0.
Рассмотрим матрицы M1 (z, a), U1 (z, a), образованные первы-
1
ми l столбцами матриц M 1 (z, a)z A , U (z, a) соответственно и со-
ответствующий блок A1 матрицы A. В этом случае получаем, что
для каждого a ? U ?

M1 (z, a)S1 (a) = U1 z A1 .

Так как l < p, из предположения индукции для l следует, что
матрицу S1 (a) можно выбрать голоморфной в некоторой окрест-
ности U ? U ? точки a? . Рассмотрим матрицу R2 = diag (S1 , I).
Матрица R(a) = R1 (a)R2 (a) голоморфно обратима в U , и по по-
строению
1
M (z, a)R(a) = M 1 (a)z A R2 (a) = V (z, a)z A

для некоторой голоморфной матричной функции V (z, a) ранга p
в O?U .
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 77


Из соотношения (3.7) следует, что матрица S(a) имеет ту же
блочно-диагональную форму, что и матрицы ?i , Ei . Следова-
тельно, мы можем ограничиться доказательством теоремы для
каждого блока матриц ?i , Ei , S(a) и для матриц Mj (z, a), обра-
зованных соответствующими столбцами M в отдельности. Теперь
локальный вариант теоремы для каждого такого набора матриц
следует из леммы 7 (после замены z > z ? ai независимой пере-
менной).
Доказательство в глобальном варианте представлено в [9].
Напомним, что матрица Bi коэффициентов фуксовой системы
называется резонансной, если для какой-либо пары ее собствен-
ных значений разность между этими собственными значениями
является натуральным числом. Наибольшее число ri из всех та-
ких разностей называется максимальным i-резонансом системы.
Согласно (3.7) и (3.9)

ri = max (1 ?j ? sj ?j ). (3.14)
1 i
j=1,...,k

Следующая теорема дает описание общего вида формы ? из тео-
ремы 22.

Теорема 24. Любая матричная дифференциальная 1-форма ?
на
n
0
C ? D(a ) \ {z ? ai = 0},
i=1

задающая изомонодромную деформацию (3.1) (см. теорему 22)
имеет вид
rl
n n n n
Bi (a) ?t,k,l (a)
?= d(z ? ai ) + dak + ?r (a)dar ,
(z ? al )t
z ? ai
l=1 k=1 t=1 r=1
i=1
(3.15)
0
где ?t,k,l (a), ?r (a) голоморфны в D(a ), rl максимальный l-ре-
зонанс системы (3.1) при a = a0 .

Доказательство. По теореме 23 произвольная изомонодром-
ная фундаментальная матрица Y (z, a) семейства (3.1) после ум-
ножения на некоторую невырожденную постоянную матрицу T
78 А. А. Болибрух


имеет следующее разложение в окрестности гиперплоскости P =
{z ? ai = 0}:

Y (z, a)T = Ui (z, a)(z ? ai )?i S ?1 (a)(z ? ai )Ei

для некоторых голоморфно обратимых матриц Ui , S(a). Поэтому
в окрестности P
? = dY Y ?1 = ?1 + ?2 ,
где

?1 = dUi Ui?1
Ui
?i + (z ? ai )?i Si Ei Si (z ? ai )??i Ui?1 d(z ? ai )
?1
+
z ? ai
Bi
d(z ? ai ) + некоторая голоморфная форма,
=
z ? ai
так как по условию теоремы ? имеет полюс первого порядка в
точке ai для любого фиксированного ai . Заметим, что форма

?2 = Ui (z ? ai )?i da Si Si (z ? ai )??i Ui?1
?1
(3.16)
имеет полюс порядка не больше чем ri на P в силу блочно-диаго-
нальной структуры матриц ?i и Si и определения (3.14) макси-
мального i-резонанса ri системы.


Следствие 4. Если форма ? определяет изомонодромную де-
формацию (3.1), то пфаффова система (3.2) с формой коэф-
фициентов ? имеет регулярные особые точки на дивизоре
n
i=1 {z ? ai = 0}.

В этом смысле все изомонодромные деформации фуксовых
систем являются регулярными деформациями.

Следствие 5. Если для каждой матрицы монодромии Gi се-
мейства (3.1) и для любого ? ? C имеет место неравенство

rank (Gi ? ?I) p ? 1,

то изомонодромная деформация (3.1) задается дифференциаль-
ной формой ? вида (3.6).
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 79


Доказательство. Условие следствия означает, что любую изо-
монодромную фундаментальную матрицу умножением на неко-
торую постоянную невырожденную матрицу Ti можно привести
к такому виду, что каждый блок Gj ее матрицы монодромии Gi
i
будет жордановой клеткой. В [5] показано, что в этом случае мат-
рицу S(a) в теореме 23 можно выбрать равной единичной матри-
це I. Следствие доказано.

Следствие 6. Если при любом i матрица Bi семейства (3.1) не
имеет резонансов, то любая форма ?, задающая изомонодром-
ную деформацию (3.1), имеет вид (3.6).

Доказательство. В рассматриваемом случае ri = 0 для лю-
бого i.
В следующем примере приведена изомонодромная деформа-
ция, которая не сводится к деформации Шлезингера (ни к нор-
мализованной, ни к ненормализованной).

Пример 3. Семейство
1 0
dy 1 1
0 ?6a
2a
= +
0 ?1
?2 0
dz z+a z
a ?1
2 3 + 3a 1
1
+
?1 z?1
1+a
?3 ?3 + 3a 1
1
+ y
2 z+1
a?1
фуксовых систем является изомонодромным и задается следую-
щей вполне интегрируемой дифференциальной формой:
1 0 d(z + a) dz
0 ?6a
2a
?= +
0 ?1
?2 0 z+a z
a ?1
2 3 + 3a d(z ? 1)
1
+
?1 z?1
1+a
?3 ?3 + 3a 0 0
d(z + 1) da1
1 2a
+ + .
2 0
z+1 z+a
a2 ? 1
a?1
80 А. А. Болибрух


Эта форма имеет вид (3.15), и она не сводится к виду (3.6). Так
n
как слагаемое i=1 ?i (a)dai в записи формы отсутствует, этот
пример является примером так называемой нормализованной де-
формации.
Каждая дифференциальная форма ?, задающая изомоно-
дромную деформацию (3.1), имеет вид ? = ?s + n ?i (z, a)dai
i=1
n
(см. (3.15), (3.3)). Верно ли, что слагаемое i=1 ?i (z, a)dai
определяется однозначно “главной частью” ?s (мы называем эту
часть “главной”, потому что она выписывается непосредственно
по коэффициентам фуксова семейства)? Ответ на этот вопрос
отрицателен.
n
Имеется следующая свобода в выборе i=1 ?i (z, a)dai : можно
заменить изомонодромную матрицу Y (z, a), описывающую нашу
деформацию, на Y (z, a)R(a), где R(a) принадлежит централи-
затору матриц монодромии G1 , . . . , Gn матрицы Y (z, a). Ясно,
что эта замена не меняет форму ?s , но может изменить фор-
му n ?i dai . При этом имеет место следующее утверждение45 .
i=1


Предложение 7. Если монодромия фуксового семейства (3.1)
неприводима, то дифференциальная форма ?, задающая изомо-
нодромную деформацию (3.1) (см. теорему 24), определяется
однозначно семейством (3.1) с точностью до слагаемого
df (a)f ?1 (a)I, где f (a) произвольная голоморфная функция
0
на D(a ).


Доказательство. Рассмотрим какую-либо изомонодромную
матрицу Y (z, a) семейства (3.1). Из неприводимости монодромии
и из леммы Шура следует, что любая другая изомонодромная
матрица Y (z, a) с той же монодромией должна иметь вид
Y (z, a) = Y (z, a)R(a), где R(a) = f (a)I некоторая скалярная
матрица. Поэтому

? = dY (z, a)(Y )?1 (z, a)
= dY (z, a)Y ?1 (z, a) + Y (z, a)dR(a)R?1 (a)Y (z, a)
= ? + df (a)f ?1 (a)I.
45 Iwasaki K. et al. From Gauss to Painlev`. A modern theory of special
e
functions. Braunschweig: Vieweg, 1991.
Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами 81


Если монодромия семейства (3.1) приводима, то оно может
иметь нетривиальные симметрии вида

?(z, a) = Y (z, a)C(a)Y ?1 (z, a),

где C(a) принадлежит централизатору матриц монодромии
матрицы Y (z, a). Это приводит к появлению различных диффе-
ренциальных форм, задающих данную деформацию (3.1) (даже
в случае, когда набор матриц коэффициентов системы семейства
является неприводимым).


Список публикаций
[1] Болибрух А. А., “Проблема Римана–Гильберта” // УМН,
1990, 45(2), 3–47.
[2] Болибрух А. А., “О построении фуксова дифференциально-
го уравнения по представлению монодромии” // Матем. за-
метки, 1990, 48(5), 22–34.
[3] Болибрух А. А., “О достаточных условиях положительной
разрешимости проблемы Римана–Гильберта” // Матем. за-
метки, 1992, 51(2), 9–19.
[4] Болибрух А. А., “Фуксовы системы с приводимой монодроми-
ей и проблема Римана–Гильберта” // Нелинейные операторы
в глобальном анализе. Новое в глобальном анализе. Изд-во
Воронежского ун-та, 1991. 5–20.
[5] Болибрух А. А., “21-ая проблема Гильберта для линейных
фуксовых систем” // Труды МИАН, 1994, 206, 160.
[6] Болибрух А. А., “Об аналитическом преобразовании к
стандартной биркгофовой форме” // Докл. РАН, 1994,
334(5), 553–555.
[7] Болибрух А. А., “Об аналитическом преобразовании к стан-
дартной биркгофовой форме” // Труды МИАН, 1994,
203, 33–40.
[8] Болибрух А. А., “К вопросу о существовании фуксовых си-
стем с данными асимптотиками” // Тpуды МИАН, 1997,
216, 32–44.
82 А. А. Болибрух


[9] Болибрух А. А., “Об изомонодромных слияниях фуксовых
особенностей” // Тpуды МИАН, 1998, 221, 127–142.

[10] Болибрух А. А., “О фуксовых системах с заданными асимпто-
тиками и монодромией” // Тpуды МИАН, 1999, 224, 112–121.

[11] Болибрух А. А., “Мероморфное преобразование к биркгофо-
вой стандартной форме в малых размерностях” // Труды
МИАН, 1999, 225, 87–95.
Рациональные аппроксимации
аналитических функций
А. А. Гончар



1. Введение
Проблематика, связанная с классическими конструкциями раци-
ональных аппроксимаций аналитических функций (непрерывные
дроби, аппроксимации Паде и их различные обобщения), состав-
ляет важное направление на стыке теории приближений, ком-
плексного анализа, вычислительной математики. Развитие этого
направления в 18–19 вв. (в основном, в рамках классической тео-
рии непрерывных дробей) связано с именами многих выдающих-
ся математиков от Эйлера, Лагранжа, Гаусса до Чебышева,
Маркова, Стилтьеса. Интерес к конструктивным рациональным
аппроксимациям вновь значительно возрос в последние десяти-
летия. Благодаря современному развитию вычислительной тех-
ники, начиная с 1960-х годов аппроксимации Паде и их обобще-
ния находят новые многочисленные приложения к самым разно-
образным вопросам физики, механики и других наук. С другой
стороны, теоретический анализ возникающих при этом матема-
тических проблем приводит к принципиально новым задачам в
комплексном анализе, теории потенциала, теории ортогональных
многочленов и других областях анализа.
Настоящая работа отражает вклад автора в теорию конструк-
тивных рациональных аппроксимаций аналитических функций.
В работу включены результаты, опубликованные автором (ча-
стично совместно с учениками) в 1969–1997 гг. Эти результа-
c Гончар А. А., 2003
84 А. А. Гончар


ты относятся к теории сходимости аппроксимаций Паде и более
общих рациональных интерполяционных процессов, существен-
но расширяющих рамки классической теории непрерывных дро-
бей, обратным задачам теории аппроксимаций Паде, применению
многоточечных аппроксимаций Паде (решений интерполяцонной
задачи Коши–Якоби) к вопросу о скорости чебышевской раци-
ональной аппроксимации аналитических функций, асимптотиче-
ским свойствам аппроксимаций Эрмита–Паде для систем функ-
ций марковского типа. Развитые методы и полученные результа-
ты позволили, в частности, дать решения ряда задач в рассмат-
риваемом направлении, долгое время остававшихся открытыми и
активно обсуждавшихся в литературе, во всяком случае, начиная
с 50–60-х годов.
Подчеркнем, что всюду в работе речь идет о приближениях
заданных функций рациональными функциями со свободными
полюсами; все рассматриваемые аппроксимации имеют нелиней-
ный характер. Оптимальный (в том или ином смысле) выбор ко-
эффициентов как числителя, так и знаменателя аппроксимирую-
щей рациональной функции позволяет соответствующим аппрок-
симациям моделировать особенности приближаемой функции и
осуществлять эффективное аналитическое продолжение функ-
ции, заданной своим разложением в степенной ряд. С этим свя-
заны принципиальные преимущества рассматриваемых аппрок-
симаций по сравнению с полиномиальными аппроксимациями, а
также рациональными аппроксимациями с заранее фиксирован-
ными полюсами.



2. Теория сходимости.
Обратные задачи
2.1. Аппроксимации Паде это локально наилучшие рациональ-
ные аппроксимации аналитической функции, заданной своим раз-
ложением в степенной ряд (или формального степенного ряда).
Точнее, аппроксимацией Паде типа (n, m) степенного ряда

?
ck z k (2.1)
f (z) =
k=0
Рациональные аппроксимации функций 85


называется рациональная функция fn,m (z) класса
m
an z n + an?1 z n?1 + · · · + a0
= r(z) : r(z) = , |bk | = 0 ,
n,m
bm z m + bm?1 z m?1 + · · · + b0 0

имеющая максимально возможный (в классе n,m ) порядок ка-
сания с рядом f в точке z = 0. Аппроксимация Паде fn,m может
быть определена также как отношение p/q любых полиномов p, q
(q ? 0), удовлетворяющих соотношениям

(qf ? p)(z) = Az n+m+1 + · · · . (2.2)
deg p n, deg q m,

Для любой пары индексов (n, m) существует единственная
аппроксимация Паде fn,m ряда f . Она вычисляется непосред-
ственно по коэффициентам c0 , c1 , . . . , cn+m заданного степенного
ряда. Для нормальных индексов (n, m) имеем

(f ? fn,m )(z) = Bz n+m+1 + · · · . (2.3)

Совокупность всех аппроксимаций fn,m , (n, m) ? N0 ? N0 , со-
ставляет таблицу Паде ряда f . Наибольший интерес (как для
теории, так и для приложений) представляют диагональные по-
следовательности {fn,n+j }, j ? Z фиксировано (в первую оче-
редь главная диагональ {fn,n }) и строки таблицы Паде {fn,m },
m ? N фиксировано.
Классические алгоритмы, связанные с разложением функций
или переразложением степенных рядов в непрерывные дроби, тес-
но связаны с аппроксимациями Паде. Как правило, подходящие
дроби таких непрерывных дробей являются диагональными ап-
проксимациями Паде соответствущих степенных рядов. Многие
фундаментальные результаты, связанные с аппроксимациям Па-
де, были получены в рамках классической теории непрерывных
дробей.
Основные результаты теории сходимости непрерывных дро-
бей формулируются в терминах, связанных с параметрами со-
ответствующих непрерывных дробей. Это существенно сужает
возможности применения методов и результатов теории непре-
рывных дробей к вопросам сходимости аппроксимаций Паде для
общих классов аналитических функций.
В теории сходимости аппроксимаций Паде основной инте-
рес представляют результаты двух типов прямые и обратные.
86 А. А. Гончар


В прямых теоремах на основании известной заранее информации
об аналитическом продолжении функции, заданной своим разло-
жением в степенной ряд (области голоморфности и мероморф-
ности, расположение и характер особых точек, принадлежность
функции тому или иному классу, например, классу алгебраиче-
ских функций и т.п.) делаются те или иные выводы о сходимости
соответствующих аппроксимаций, асимптотическом поведении их
полюсов, скорости сходимости и др. Отметим, что при общих
предположениях об аналитических свойствах заданной функции
ее аппроксимации Паде могут иметь “случайные” полюсы в обла-
сти голоморфности приближаемой функции; поэтому в соответ-
ствующих теоремах общего характера речь идет о сходимости вне
“малых” исключительных множеств (почти равномерная сходи-
мость, сходимость по мере или по емкости). В обратных задачах
исходные данные связаны с самими аппроксимациями Паде; осо-
бый интерес представляют обратные теоремы, в которых на ос-
нове минимальной информации о предельном поведении полюсов
аппроксимаций Паде делается вывод о сходимости этих аппрок-
симаций, аналитическом продолжении приближаемой функции,
расположении и характере ее особенностей. Ясно, что с точки
зрения приложений особенно важны именно обратные результа-
ты. Далее приведены основные результаты работы, относящиеся
к теории сходимости аппроксимаций Паде.
2.2. Исторически первый результат о сходимости строк
таблицы Паде был получен Монтессу де Болором в 1902 году.
Опираясь на формулы Адамара для радиусов m-мероморфности
функции f , заданной своим разложением в степенной ряд, он
доказал следующую теорему: если функция f имеет ровно m
полюсов в круге D : |z| < R (здесь и в дальнейшем полюсы
считаются с учетом их кратностей), то m-я строка {fn,m } ее
таблицы Паде равномерно сходится к f внутри (на компактных
подмножествах) области D , которая получается из D удалением
полюсов функции f . По существу, была доказана равномерная
сходимость {fn,m } к f внутри D в сферической метрике. Отсюда
уже следует, что полюсы аппроксимаций сходятся к полюсам
заданной функции: каждый полюс функции “притягивает” столь-
ко полюсов аппроксимаций, какова его кратность, и сходятся
они к полюсам f со скоростью геометрической прогрессии (гео-
метрически). Обращая последнее утверждение, автор получил
следующий результат (по-видимому, первый результат обратного
Рациональные аппроксимации функций 87


характера для произвольного m): если полюсы m-й строки
Паде формального степенного ряда f геометрически сходятся к
некоторым точкам комплексной плоскости, то ряд f определяет
m-мероморфную функцию в круге D, содержащем все эти точки.
Тот факт, что в этих результатах речь идет о функциях, име-
ющих ровно m полюсов в круге D, связан с существом дела. В об-
щем случае (когда число полюсов f в D может быть < m), ситу-
ация усложняется; тем не менее и в общем случае можно дока-
зать, что m-я строка {fn,m } сходится к f внутри D, например, по
емкости (или равномерно, но вне множества произвольно малой
1-меры). Опираясь, в частности, на это утверждение, и для об-
щего случая удалось “сомкнуть” прямые и обратные теоремы и
в терминах, связанных с предельным поведением полюсов строк
таблицы Паде, полностью охарактеризовать m-мероморфное про-
должение функции, заданной своим разложением в степенной
ряд.
Сформулируем основной результат работы [12]. Пусть f
произвольный степенной ряд вида (2.1) (вообще говоря, формаль-
ный), R0 = R0 (f ) радиус сходимости ряда f . Если R0 > 0, то
через f = f (z) будем обозначать сумму ряда в его круге схо-
димости D0 = D0 (f ) и аналитическую функцию, определяемую
элементом (f, D0 ). В этом случае при любом натуральном m по-
ложим: Dm = Dm (f ) круг m-мероморфности f (максималь-
ный открытый круг с центром в нуле, в который функция f (z),
z ? D0 , продолжается как мероморфная функция, имеющая m
полюсов); Rm = Rm (f ) радиус круга Dm ; dm = dm (f ) =
дивизор полюсов f в Dm , |dm | = ?1 +
{(a1 , ?1 ), . . . , (as , ?s )},
число полюсов f в Dm . Если R0 = 0, то Rm = 0 при
· · · + ?s
любом m.
Пусть {fn,m } (m фиксировано, n = 1, 2, . . . ) m-я строка
таблицы Паде ряда f . Для a ? C введем две характеристики
?(a) и µ(a), связанные с асимптотическим поведением последо-
вательности множеств Pn,m = {zn,1 , . . . , zn,mn }, n = 1, 2, . . . , где
zn,1 , . . . , zn,mn , mn m, конечные (свободные) полюсы рацио-
нальной функции fn,m . Первая из интересующих нас характери-
стик определяется формулой

|zn,j ? a|1/n
?(a) = lim sup
n>?
zn,j ?U

(U фиксированный круг с центром в точке a). Вторую характе-
88 А. А. Гончар


ристику целое неотрицательное число µ(a) определим следу-
ющим образом. Будем считать, что zn,j (a) это полюсы zn,j ? U ,
перенумерованные в порядке неубывания их расстояний от точ-
ки a. Положим

?j (a) = lim sup |zn,j (a) ? a|1/n , j = 1, . . . , m ,
n>?

где m = lim inf mn ; для j = m + 1, . . . , m по определению
?j (a) = 1. Очевидно, величины ?(a) и ?j (a) не зависят от
выбора U . Если ?(a) = 1 (тогда все ?j (a) = 1), то µ(a) = 0. Если
?(a) < 1, то при некотором µ имеем: ?1 (a) · · · ?µ (a) < 1, в
то время как ?µ+1 (a) = 1 (или µ = m); в этом случае полагаем
µ(a) = µ.
Теорема. Пусть f формальный степенной ряд, m натураль-
ное число и a = 0 фиксированная точка плоскости C (a ? C? ).
Следующие утверждения эквивалентны:
i) a ? Dm и f имеет полюс в точке a;
ii) ?(a) < 1 (или, что то же самое, µ(a) 1).
При этом (если выполнено какое-либо из условий i), ii)) име-
ют место формулы:
|a|
Rm = , ? = µ(a),
?(a)
где ? кратность полюса f в точке a.
Положим

Pm = {a ? C? : ?(a) < 1} = {a ? C? : µ(a) 1}.

Из теоремы вытекает следствие: Rm > R0 в том и только том
случае, когда Pm = ?; при этом
|a|
для всех
Rm = a ? Pm , dm = {(a, µ(a)) : a ? Pm },
?(a)

в частности, |dm | = a=0 µ(a).
Простая геометрическая природа характеристик ? и µ (и, тем
самым, связанных с ними формул) позволила доказать аналогич-
ные результаты для значительно более общих (чем классические
аппроксимации Паде) рациональных интерполяционных процес-
сов; подробнее см. [7], [12].
Рациональные аппроксимации функций 89


2.3. Наибольший интерес в рассматриваемом круге вопросов
представляют диагональные аппроксимации. Всюду в дальней-
шем обсуждаются результаты, относящиеся к диагональным ап-
проксимациям Паде fn,n = fn и их обобщениям.
Первые результаты о сходимости диагональных аппрокси-
маций Паде для общих классов аналитических функций были
получены Наттоллом (1970 г.) и Поммеренке (1973 г.). Теорема
Наттолла относилась к мероморфным функциям (во всей ком-
плексной плоскости C), теорема Поммеренке к однозначным
аналитическим функциям, множество особенностей которых име-
ет нулевую емкость; в первой работе речь шла о сходимости по
мере, во второй о сходимости по емкости (второе зна-
чительно сильнее). Существенным развитием этих результатов
является следующая теорема ([2], [3]).
Теорема. Пусть f функция, голоморфная в точке z = 0,
произвольно малая окрестность нуля и
U

?n = ?n (f, U ) = inf f ?r U
r? n


sup-норма g на U ). Если
( = n,n , g
n U

lim ?1/n = 0, (2.4)
n
n>?

то:
i) aналитическая функция f, определяемая элементом (f, U ),
однозначна в своей вейерштрассовой естественной области су-
ществования Wf ;
ii) последовательность диагональных аппроксимаций Паде
{fn } сходится по емкости к f внутри области Wf .
Утверждение i) этой теоремы представляет собой локальное
условие (в классе всех аналитических функций, множество осо-
бенностей которых имеет нулевую емкость необходимое и до-
статочное условие) однозначности в целом аналитической функ-
ции f , определяемой элементом (f, U ).
Хорошо известно, что мероморфные в C функции и однознач-
ные аналитические функции, множество особенностей которых
имеет нулевую емкость, удовлетворяют условию (2.4).
Справедливо также следующее утверждение: пусть f фун-
кция, голоморфная в области G (0 ? G) и U произвольно ма-
1/n
лая окрестность нуля; если |f ? fn | > 0 по мере в U, то
90 А. А. Гончар


|f ? fn |1/n > 0 по емкости внутри G. Тем самым, из быстрой
сходимости fn к f по мере в U уже следуют утверждения i), ii)
теоремы.
Аналогичные результаты получены автором и для функций
многих переменных (cм. [4]).
2.4. Фундаментальное значение для теории обратных задач
имеет следующий вопрос. Предположим, что диагональные ап-
проксимации Паде fn , n n0 , формального степенного ряда f
не имеют полюсов (голоморфны) в круге Dr : |z| < r; можно ли
утверждать, что в этом случае последовательность {fn } равно-
мерно сходится внутри Dr и, тем самым, ряд f определяет функ-
цию, голоморфную в этом круге? Положительный ответ на этот
вопрос получен в работе [13]. Сформулируем здесь достаточно об-
щую теорему в этом направлении (в [13] доказаны более сильные
утверждения).
Пусть D открытый круг, содержащий точку z = 0, или
область в комплексной плоскости C, являющаяся объединением
таких кругов (например, D = C \ [a, +?), a > 0), G = D \ e,
где e относительно замкнутое подмножество области D,
0
имеющее нулевую емкость; fn , n = 1, 2, . . . , последовательность
диагональных аппроксимаций Паде ряда f такая, что

(f ? fn )(z) = An z 2n+1 + · · ·

для всех достаточно больших n.
Теорема. Если аппроксимации Паде fn формального степенно-
го ряда f не имеют полюсов в области G (для всех n n(f )),
то последовательность {fn } равномерно сходится внутри (на
компактных подмножествах) области G и, тем самым, ряд f
определяет функцию, голоморфную в G.
Заметим, что из классических результатов о нормальных се-
мействах мероморфных функций (теорема Монтеля) вытекает
равномерная сходимость последовательности {fn } в заданной об-
ласти G в том случае, когда функции этой последовательности в
области G выпускают три значения a, b и c = ?. Теорема по-
казывает, что последовательности диагональных аппроксимаций
Паде имеют замечательную специфику их равномерная сходи-
мость (в областях указанного вида) вытекает уже из того факта,
что функции fn выпускают в области G только одно значение
c = ? (не имеют полюсов).
Рациональные аппроксимации функций 91


Утверждения теоремы справедливы и в том случае, когда мно-
жество полюсов диагональных аппроксимаций Паде не имеет
предельных точек в области G. Последнее условие, очевидно, и
необходимо для равномерной сходимости внутри G (по опреде-
лению). Принципиальное значение соответствующего критерия
равномерной сходимости заключается в том, что формулирует-
ся он в терминах, связанных только с предельным поведением
полюсов диагональных аппроксимаций Паде.
Такой же характер имеет следующий критерий равномерной
сходимости в сферической метрике (при тех же условиях на f
и G); см. [16].
Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:
i) последовательность {fn } диагональных аппроксимаций
Паде ряда f равномерно сходится в сферической метрике внутри
области G;
ii) существует дискретное подмножество P области G
(0 ? P ) и функция p : P > N такие, что множество полюсов
/
рациональных функций последовательности {fn } не имеет
предельных точек в области G \ P и для каждой точки a ? P
справедливы соотношения

lim sup |zn,j (a) ? a|1/n < 1, j = 1, . . . , p(a),
n>?
lim inf |zn,p+1 (a) ? a| > 0, p = p(a),
n>?

где zn,j (a) полюсы fn , перенумерованные в порядке невозрас-
тания их расстояний от точки a.
В частности, если выполнено условие ii), то ряд f опреде-
ляет мероморфную функцию f (z), z ? G, множество полюсов
которой совпадает с P, а кратность полюса f в точке a ? P
равна p(a).
Последний вывод (уже для случая круга и конечного числа
полюсов) наиболее важен для приложений.
92 А. А. Гончар


3. Скорость рациональных
аппроксимаций аналитических
функций
3.1. Задачи, связанные со скоростью чебышевских рациональных
аппроксимаций аналитических функций, занимают центральное
место в рассматриваемой теории. Анализ вопросов сходимости ра-
циональных интерполяционных процессов (метод многоточечных
аппроксимаций Паде) позволил в последние годы решить основ-
ные задачи в этом направлении.
Пусть E компакт в расширенной комплексной плоскости C,
непрерывная функция на E, n класс всех рациональ-
f
ных функций от z порядка не выше n ( n = n,n ). Обозначим
через ?n = ?n (f, E) расстояние от f до n (в чебышевской мет-
рике на E). Если f голоморфна на компакте E (f ? H(E)), то
последовательность ?n стремится к нулю геометрически; точнее,

lim sup ?1/n = q < 1. (3.1)
n
n>?


Величина q = q(f, E) является основной характеристикой
скорости рациональной аппроксимации f на E. Вопросы опи-
сания величины q в терминах, связанных с аналитическим про-
должением функции f , играют фундаментальную роль в теории
рациональных аппроксимаций аналитических функций.
Далее предполагается, что компакт E состоит из конечного
числа нетривиальных связных компонент (континуумов). Пусть
компакт, принадлежащий дополнению к E, и h(E, F )
F
модуль конденсатора (E, F ); иначе говоря, h(E, F ) = 1/c, где
емкость этого конденсатора. Следующая теорема
c = c(E, F )
вытекает из результатов Уолша (1930-х годов), относящихся к
интерполяции рациональными функциями с фиксированными
полюсами: если функция f голоморфна в открытом множестве
G = C \ F и E ? G, то q exp(?h(E, F )).
Верхнюю грань величины h(E, F ) в классе всех компактов F
таких, что f допускает голоморфное (однозначное аналитическое)
продолжение в C \ F , обозначим через h = h(f, E) и назовем эту
величину модулем голоморфности функции f ? H(E). В наиболее
интересных случаях существует единственный компакт Ff ,
для которого h(E, Ff ) = h; открытое множество Gf = C \ Ff
Рациональные аппроксимации функций 93


называется максимальной областью голоморфности функции
f ? H(E).
Из (3.1) следует, что для любой f ? H(E) величины q и h
связаны неравенством
q e?h . (3.2)
Эта оценка позволяет вычислить q только при h = +?; последнее
означает, что функция f однозначная аналитическая функция,
множество особенностей которой имеет нулевую емкость. В общем
случае нельзя описать величину q в терминах, связанных только с
понятием аналитического продолжения f по Вейерштрассу (более
того, с рациональными аппроксимациями связана возможность
обобщения этого понятия); в частности, q нельзя выразить
через h. Построены примеры функций, для которых 0 < q = e?h ;
однако, эти функции имеют весьма экзотическую природу.
Результаты, полученные автором в 1980-х годах, показывают,
что для широких классов аналитических функций, включающих
важнейшие функции анализа, q вычисляется по h, причем
справедливо соотношение (ср. (3.2))
q = lim ?1/n = e?2h . (3.3)
n
n>?

Уже первые результаты достаточно общей природы, относя-
щиеся к функциям марковского типа и приводящие к форму-
ле (3.3) (см. [8], [14]), основывались на интерполяциях рациональ-
ными функциями со свободными полюсами.
3.2. Прежде чем переходить к описанию итоговых результатов
в рассматриваемом направлении, остановимся на методе много-
точечных аппроксимаций Паде и схеме его применения к задачам
о скорости рациональной аппроксимации.
Пусть f ? H(E), ? = {?n,k }, k = 1, 2, . . . , n, n = 1, 2, . . . ,
треугольная таблица точек (узлов интерполяции), принадлежа-
щих компакту E; положим
An (z) = (z ? ?n,1 ) · · · (z ? ?n,n ).
Фиксируем натуральное число n и рассмотрим рациональную
функцию Rn = Pn /Qn , где Pn , Qn произвольные полиномы
от z, удовлетворяющие условиям
Qn f ? Pn
deg Pn n ? 1, deg Qn n (Qn (z) ? 0); ? H(E).
A2n
(3.4)
94 А. А. Гончар


Последнее соотношение означает, что Qn f ?Pn = 0 во всех точках
2n-й строки таблицы ?. Полиномы, удовлетворяющие (3.4), су-
ществуют для любой f ? H(E); их отношение определяет един-
ственную рациональную функцию Rn (с точностью до обычного
отождествления). Эта рациональная функция называется много-
точечной аппроксимацией Паде (в рассматриваемом случае, ти-
па (n ? 1, n)) функции f , соответствующей узлам интерполяции
?2n,1 , . . . , ?2n,2n . Если Qn = 0 в этих узлах, то Rn интерполирует в
них функцию f . В противном случае, при переходе от Qn f ? Pn к
f ? Rn некоторые из интерполяционных условий теряются; одна-
ко, потеря dn условий интерполяции сопровождается понижением
(на dn ) степеней числителя и знаменателя Rn .
Основные трудности, связанные с применением многоточеч-
ных аппроксимаций Паде, лежат в анализе асимптотического по-
ведения их полюсов (в первую очередь, с вопросом о том, как это
поведение связано с характером и расположением особенностей
функции f ).
Если функция f ? H(E) допускает голоморфное продолже-
ние в открытое множество G = C \ F (без ограничения общности
можно считать, что E и F компакты в C и f (?) = 0), то
полиномы Qn удовлетворяют комплексным соотношениям орто-
гональности
f (t) dt
Qn (t) tj (3.5)
= 0, j = 0, 1, . . . , n ? 1,
A2n (t)
?

где ? контур, охватывающий F (? лежит в дополнении к E ?F ).
Для разности f ? Rn имеем

1 A2n (z) (Qn Qf )(t) dt
(3.6)
(f ? Rn )(z) = ,
2?i (Qn Q)(z) A2n (t)(z ? t)
?

где Q произвольный полином степени не выше n (интегралы
в (3.5), (3.6) не зависят от ? и их можно записывать как F ).
В 1983–1988 гг. на основе метода многоточечных аппрок-
симаций Паде был решен ряд узловых задач, связанных со
скоростью рациональных аппроксимаций аналитических функ-
ций. Общая теорема относится к последовательностям функций,
задающихся интегралами типа Коши; она формулируется в
терминах, связанных с равновесным распределением заряда на
пластинах конденсатора при условии, что на одной из его
Рациональные аппроксимации функций 95


пластин действует внешнее поле. Изучение характера сходимости
многоточечных аппроксимаций Паде приводит к вопросам, от-
носящимся к предельным распределениям нулей ортогональных
многочленов с переменными (зависящими от номера многочлена)
весовыми функциями (см. (3.5)); теоретико-потенциальные за-
дачи равновесия с внешним полем позволяют охарактеризовать
такие распределения (для вещественного случая см. [14], [15]).
В случае комплексных соотношений ортогональности (для мно-
гозначных аналитических функций, например, для функций с
конечным числом точек ветвления) возникает также проблема
выбора компакта F . Важные результаты в этом направлении
получены Шталем; в частности, им доказаны гипотезы Нат-
толла и автора, относящиеся к локальным аппроксимациям.
Полученные результаты показывают, что полюсы аппроксимаций
“выбирают” экстремальную систему кривых Ff (при надлежащем
выборе узлов интерполяции ?). Однако, в общем случае анализ
задач о предельном распределении свободных полюсов аппрок-
симаций (нулей ортогональных многочленов) удобно основывать
непосредственно на свойстве симметрии соответствующей сис-
темы “разрезов” F . Вопросы построения кривых, обладающих
надлежащим свойством симметрии, и вычисления параметров
соответствующих теоретико-потенциальных задач, связаны с экс-
тремальными задачами геометрической теории функций (типа
задач Чеботарева и Лаврентьева) и траекториями квадратичных
дифференциалов на римановых поверхностях.
3.3. Прежде чем формулировать основную теорему (cм.
[18], [19]), введем необходимые для этого понятия. Пусть (E, F )
конденсатор, ? вещественная непрерывная функция (внешнее
поле) на F ((E, F, ?) оснащенный конденсатор). Обозначим
через M (E, F ) множество всех вещественных мер (зарядов)
вида µ = µF ? µE , где µE , µF вероятностные меры на E, F
(соответственно).
Существует единственный заряд ?, минимизирующий энер-
гию (с учетом поля ?) в классе M (E, F ):

J? (?) = inf{J? (µ) : µ ? M (E, F )},

где
1
J? (µ) = log dµ(t) dµ(z) + 2 ?(t) dµF (t).
|t ? z|
96 А. А. Гончар


Если дополнение к E?F связно, то заряд ? (и только этот заряд
в классе M (E, F )) удовлетворяет следующим соотношениям
равновесия (приблизительно всюду на указанных множествах ;
V =V? логарифмический потенциал ?):

V (z) = w1 , z ? E,
(3.7)
(V + ?)(z) = min(V + ?) = w2 , z ? L = Supp ?F .
F


Положим w = w(E, F, ?) = w2 ?w1 ; равновесная константа w,
как и равновесный заряд ? = ?F ? ?E , единственным образом
определяется соотношениями равновесия (3.7).
Будем говорить, что оснащенный конденсатор (точнее, его
пластина F ) обладает свойством симметрии в гармоническом
поле ? и писать (E, F, ?) ? S, если выполнены условия:
i) ? гармоническая функция в некоторой окрестности ? пла-
стины F ;
ii) L = Supp ?F правильный компакт (cap(L \ L0 ) = 0, где
множество всех точек ? ? L, окрестности которых пересе-
L0
каются с L по аналитической дуге);
?(V + ?) ?(V + ?)
iii) (?), ? ? L0 , где ?/?n± произ-
(?) =
?n+ ?n?
водные по нормали к L0 в противоположных направлениях.
Теорема. Пусть ?n последовательность функций, голомор-
фных в окрестности ? пластины F конденсатора (E, F ), и g
функция, голоморфная в ? \ F . Предположим, что выполнены
следующие условия:
1
i) (2n)?1 log > ? равномерно внутри ?;
|?n |
ii) (E, F, ?) ? S;
iii) g ? H0 (? \ F )
(последнее означает, что g ? H(?\ F ) и имеет достаточно пра-
вильный скачок на L0 ). Тогда для последовательности функций

?n (t)g(t) dt
fn (z) = , z ? E,
t?z
F

справедливо соотношение

lim ?n (fn , E)1/n = e?2w , w = w(E, F, ?).
n>?
Рациональные аппроксимации функций 97


При ?n (z) ? 1 (тем самым, ? ? 0) из этой теоремы вытека-
ет, что соотношение (3.3) справедливо, в частности, в следующих
случаях:
1) E континуум и элемент (f, E) определяет многозначную
аналитическую функцию с конечным числом точек ветвления
(в частности, алгебраическую функцию);
2) E есть объединение конечного числа попарно непере-
секающихся континуумов E1 , . . . , EN и fj (z) ? cj для z ? Ej ,
j = 1, . . . , N (случай двух отрезков вещественной прямой соответ-
ствует классической задаче Золотарева; для двух континуумов в
комплексной плоскости формула (3.3) содержится в работе [1]).
3.4. Эта же теорема легла в основу решения известной задачи
о скорости рациональной аппроксимации экспоненты на полуоси
(см. [19]). Положим

rn = ?n e?x , E + , E + = [0, +?].

Многочисленные работы были посвящены последовательному
улучшению констант c1 , c2 в оценках вида
1/n 1/n
0 < c1 lim inf rn lim sup rn c2 < 1

и приближенным вычислениям (гипотетически существующего)
1/n
предела rn . С другой стороны, сама возможность геометриче-
ской скорости рациональной аппроксимации функции e?x , име-
ющей существенную особенность в точке z = ? ? E + , породила
большое число исследований в этом направлении.
Приведенная выше теорема приводит к решению этой задачи в
терминах, связанных с равновесным зарядом в поле ?(z) = 1 Re z
2
на (заранее неизвестной) пластине F оснащенного конденсатора
(E, F, ?). Требование (E, F, ?) ? S позволяет найти эту пласти-
ну и дать явное решение соответствующей задачи равновесия в
терминах, связанных с эллиптическими функциями и эллипти-
ческими интегралами. Мы приведем ответ в наиболее интересной
(теоретико-числовой) форме.
1/n
Теорема. Существует предел ? = limn>? rn ; его значение ?
совпадает с (единственным) положительным корнем уравнения:
?
1
an xn = (?1)d d . (3.8)
, an =
8
n=1 d|n
98 А. А. Гончар


Другими словами, коэффициент an является модулем алгеб-
раической суммы всех (простых и составных) делителей числа n,
в которой четные делители учитываются со знаком плюс, а нечет-
ные со знаком минус. Вычисление ? на основе (3.8) не состав-
ляет труда.
Явное решение получено и для более общей задачи о скорости
рациональной аппроксимации функции e?z в угловых областях
вида E? : | arg z| ? < ?/2. А именно, существует
1/n
lim ?n e?z , E? = ?? ? (0, 1);
n>?

при этом ?? = ?h2 , где h = exp(?i? /?) удовлетворяет уравнению
2?
1/2
?0 (t) ?
dt = 0, ?=1?
?3 (t) ?
0

(?0 , ?3 тэта-функции, соответствующие ? = ? /?).


4. Метод векторных потенциалов.
Аппроксимации Эрмита–Паде
4.1. Классическое понятие равновесного распределения заряда
для компакта (проводника) F и для конденсатора (F1 , F2 ) (Fj
непересекающиеся компакты в C) играет важную роль во мно-
гих вопросах теории приближений. Ряд задач, относящихся к
рациональным аппроксимациям аналитических функций, есте-
ственным образом приводит к более общему понятию равновесно-
го распределения зарядов (равновесной меры) для системы про-
водников (F1 , F2 , . . . , Fm ); при этом задаются величины зарядов
на каждом из проводников, закон их взаимодействия (взаимо-
действие зарядов, принадлежащих Fj и Fk , может быть различно
для разных j, k, и общий закон взаимодействия задается (m ? m)-
матрицей) и внешние поля, действующие в пределах этих провод-
ников.
В соответствии со сказанным выше, исходными данными рас-
сматриваемой задачи являются:
F = (F1 , . . . , Fm ) множество компактов в C;
? = (?1 , . . . , ?m ) вектор с положительными координатами;
вещественная симметричная (m ? m)-матрица;
A = aj,k
Рациональные аппроксимации функций 99


множество непрерывных функций в C со
? = (?1 , . . . , ?m )
значениями в (??, +?], ?j (x) ? ?, x ? Fj .
Далее предполагается, что Fj отрезки вещественной пря-
мой, A положительно определенная матрица и aj,k = 0 при
Fj ? Fk = ?.
Через M = M? (F ) обозначим множество всех векторных мер
µ = (µ1 , . . . , µm ), где µj (положительные борелевские) меры,
причем S(µj ) = Supp µj ? Fj и |µj | = µj (Fj ) = ?j . Для меры
µ ? M определим векторный потенциал W µ = Wjµ (x), x ? Fj :
j = 1, . . . , m , где
m
Wjµ (z) aj,k V µk (z) + ?j (z),
= z?C
k=1
?
(V логарифмический потенциал ?). Энергия (удвоенная) ме-
ры µ с учетом матрицы взаимодействия и вектора внешних
полей задается формулой:
m m
J? (µ) = (Aµ, µ) + 2 ? dµ = aj,k (µj , µk ) + 2 ?k dµk ,
j,k=1 k=1
где (µj , µk ) взаимная энергия указанных мер. Сформулируем
теорему, лежащую в основе метода векторных потенциалов
(ср. [17]).
Теорема. Каждая из следующих задач имеет единственное
решение ? в классе M ; решения этих задач совпадают:
(A) J? (?) = minµ?M J? (µ);
(B) Wj? (x) ? wj = minFj Wj? , x ? S(?j ), j = 1, . . . , m;
(C) minFj Wj? = maxµ?M(j,?) minFj Wjµ , j = 1, . . . , m; M (j, ?)
множество мер µ ? M таких, что µk = ?k для всех k = j.
Векторная мера ?, решающая задачи (A), (B), (C), называется
равновесной мерой. Наиболее важной для приложений является
характеризация меры ? как решения задачи равновесия (B).
Соответствующее утверждение теоремы можно сформулировать
так: существует единственная мера ? ? M такая, что
(для некоторых констант wj ) имеют место соотношения:
Wj? (x) = wj на S(?j ) и Wj? (x) wj на всем отрезке Fj ,
j = 1, . . . , m. Это свойство равновесия однозначно определяет и
меру ?, и набор равновесных констант w = (w1 , . . . , wm ).
Теорема справедлива и при более общих предположениях
относительно исходных данных задачи.
100 А. А. Гончар


4.2. В классической работе Эрмита о трансцендентности
числа e была введена конструкция рациональных аппроксимаций,
сыгравшая важную роль в ряде задач анализа и теории чисел.
В дальнейшем соответствующие рациональные функции стали
называться аппроксимациями Эрмита–Паде. Один из основных
вариантов этой конструкции состоит в построении рациональных
аппроксимаций с общим знаменателем для конечного набора
степенных рядов с центром в точке z = ?:
?
cj,k
(4.1)
f = (f1 , . . . , fm ); fj (z) = , j = 1, . . . , m.
z k+1
k=0

А именно, фиксируем мультииндекс n = (n1 , . . . , nm ) ? Zm ;
+
положим |n| = n1 + · · · + nm . Всегда существует полином
Qn (z) ? 0, deg Qn |n|, удовлетворяющий соотношениям:
An,j
(4.2)
(Qn fj ? Pn,j )(z) = + ··· , j = 1, . . . , m
z nj +1
(справа стоят ряды по возрастающим степеням 1/z, Pn,j
полиномиальная часть степенного разложения Qn fj в точ-
ке z = ?). Для любого решения задачи (4.2) рациональные
функции Rn,j = Pn,j /Qn , j = 1, . . . , m, называются аппрокси-
мациями Эрмита–Паде (или совместными аппроксимациями
Паде) для набора степенных рядов (4.1). Если любой полином Qn ,
удовлетворяющий соотношениям (4.2), с необходимостью имеет
степень |n| (такие индексы называются нормальными), то суще-
ствует единственный (с точностью до нормирующего числового
множителя) полином Qn , удовлетворяющий этим соотношени-
ям, и, тем самым, единственный набор {Rn,j } аппроксимаций
Эрмита–Паде для f . Случай m = 1 соответствует классическим
аппроксимациям Паде (для степенных разложений с центром в
точке z = ?); далее рассматриваются m 2.
4.3. Опишем результаты, полученные для функций марков-
ского типа:
dsj (x)
(4.3)
fj (z) = sj (z) = , j = 1, . . . , m,
z?x
где sj конечные положительные борелевские меры с ком-
пактными носителями на вещественной прямой. Степенные
разложения марковских функций fj в точке z = ? имеют
Рациональные аппроксимации функций 101


xk dsj (x), k = 0, 1, 2, . . . ,
вид (4.1), где cj,k = моменты мер sj .
Полиномы Qn в этом случае удовлетворяют следующей системе
соотношений ортогональности:

Qn (x)xk dsj (x) = 0, k = 0, 1, . . . , nj ? 1, j = 1, . . . , m.
(4.4)
Эта система для функций марковского типа может служить
определением полиномов Эрмита–Паде Qn , соответствующих
мультииндексу n (как и выше, вместе со стандартными условиями
Qn (z) ? 0, deg Qn |n|).
Через ?(sj ) будем обозначать минимальный отрезок, содер-
жащий носитель меры sj . В дальнейшем удобно считать, что
задается система отрезков ?j и мер sj таких, что ?(sj ) = ?j ,
j = 1, . . . , m.
Вопросы сходимости аппроксимаций Эрмита–Паде для слу-
чая, когда отрезки ?j попарно не пересекаются (системы
Анжелеско) был изучен в работе [11]. В этом случае все индексы
нормальны и многочлен Qn имеет nj различных нулей внутри
отрезка ?j , j = 1, . . . , m. Основываясь на методе векторных
потенциалов (в рассматриваемых здесь задачах внешние по-
ля отсутствуют, но они возникают в процессе доказательства
соответствующих теорем) был получен первый результат об-
щего характера, характеризующий предельные распределения
нулей многочленов Qn и области сходимости аппроксимаций
Эрмита–Паде Rn,j .
Меру, ассоциированную с нулями произвольного полинома
q(z), обозначим через µ(q): µ(q) = ?? , где сумма берется по
всем нулям полинома q (с учетом их кратностей). Пусть ??
произвольная последовательность мультииндексов n, для которой
nj
lim = ?j > 0, j = 1, . . . , m.
|n|

Предполагается, что меры sj удовлетворяют условию: sj > 0
почти всюду на ?j .
Теорема. Пусть ? = (?1 , . . . , ?m ) набор попарно непе-
ресекающихся отрезков, ? равновесная векторная мера,
соответствующая исходным данным: ?, ? и матрице взаимо-
действия A = aj,k , где aj,j = 2, aj,k = 1 при j = k (? ? 0).

<<

стр. 3
(всего 4)

СОДЕРЖАНИЕ

>>