<<

стр. 4
(всего 4)

СОДЕРЖАНИЕ

102 А. А. Гончар


Тогда
1
µ(Qn ) > ?1 + · · · + ?m
|n|
при n ? ?? , |n| > ?, и
lim |(fj ? Rn,j )(z)|1/|n| = exp Wj? (z) ? wj ,
n???

z ?D =C\ ?j , j = 1, . . . , m,

где wj , j = 1, . . . , m, набор равновесных констант.
Содержащееся в теореме утверждение о (слабой) сходимости
мер, ассоциированных с нулями полинома Qn , эквивалентно
следующей асимптотической формуле
m
1/|n|
V ?j (z) ,
lim |Qn (z)| = exp ? z ? D.
n???
j=1

Из теоремы следует, что последовательность аппроксима-
+
ций Эрмита–Паде Rn,j сходится в области Dj = z ? D :
?
wj ? Wj? (z) > 0 и расходится в области Dj = z ? D :
wj ? Wj? (z) < 0 . Области сходимости всегда не пусты (они
содержат точку z = ?); непустыми могут оказаться и области
расходимости. Последний факт возможность существования
областей расходимости в марковской ситуации впервые был
обнаружен в связи с приведенной теоремой.
Принципиальное значение имеет тот факт, что описанная
асимптотическая картина (предельное распределение нулей Qn ,
характер сходимости аппроксимаций Rn,j ) определяется только
геометрией задачи и не зависит от самих функций fj (мер sj ).
В последующих работах на основе метода векторных по-
тенциалов были изучены асимптотические свойства аппрокси-
маций Эрмита–Паде для систем Никишина (Е. М. Никишин,
Г. Шталь и др.). Эти системы соответствуют случаю, когда все
отрезки ?j совпадают; Никишин предложил специальную кон-
струкцию мер sj , гарантирующую “независимость” соотношений
ортогональности (4.4), и доказал свойство нормальности (тем
самым, единственность аппроксимаций) для мультииндексов n,
n1 · · · nm .
Удобно ввести следующие обозначения. Пусть F1 и F2
непересекающиеся отрезки вещественной прямой, ?1 и ?2 меры
с носителями на F1 , F2 соответственно. Определим меру ?1 , ?2
Рациональные аппроксимации функций 103


формулой: d ?1 , ?2 (x) = |?2 (x)| d?1 (x), x ? F1 . Для системы
отрезков F1 , . . . , Fm таких, что Fj?1 ? Fj = ?, j = 2, . . . , m,
и мер ?1 , . . . , ?m , S(?j ) ? Fj , индуктивно определим меры
?1 , ?2 , . . . , ?k+1 = ?1 , ?2 , . . . , ?k+1 , k = 2, . . . , m ? 1. Меры sj ,
приводящие к системам Никишина, определяются по заданным
?1 = F1 , . . . , Fm и ?1 , . . . , ?m : s1 = ?1 = ?1 , s2 = ?1 , ?2 , . . . ,
sm = ?1 , . . . , ?m . Отвлекаясь от других параметров задачи
равновесия, связанной с системами Никишина, отметим, что
матрица A = aj,k в этом случае такова: aj,j = 2, aj,j±1 = ?1,
остальные aj,k = 0.
4.4. В недавней работе [21] рассматриваемые задачи иссле-
дованы для произвольных марковских систем, удовлетворяющих
условию: для любых j = k отрезки ?j и ?k или не пересе-
каются, или совпадают (обобщенные системы Никишина или
GN-системы). Каждая GN-система определяется с помощью
(плоского) графа-дерева ?, m вершин которого, по существу,
нумеруют функции соответствующей системы (4.3). Множество
вершин графа можно рассматривать как частично упорядоченное
множество (?, ) с аксиомой индукции: каждый непустой отрезок
{? : ? ?} имеет наибольший элемент ?? . Удобно рассматривать
также расширенный граф ? = ? ? {?}, где ? ? ? наименьший
/
элемент ? (корневая вершина графа).
Отношение “непосредственного следования” для вершин
?? ? (ребро графа ?) будем обозначать символом > (от ??
к ?). Через ?+ обозначим множество всех элементов, “непо-
средственно следующих” за ?; отношение “соседства”, в котором
находятся элементы множества ?+ , обозначается символом -.
Каждому ? ? ? приводится в соответствие отрезок F? и
мера ?? с носителем на F? ; предполагается, что два отрезка не
пересекаются, если их индексы связаны одним из отношений >
или -, а меры удовлетворяют условию: ?? > 0 почти всюду
на F? (для всех ? ? ?).
Для любого ? ? ? существует единственная определяющая
эту вершину цепочка элементов вида: ? > · · · > ? > ?, ? ? ? + .
GN-системой, соответствующей графу ? и заданному набору
мер {?? : ? ? ?}, назовем систему марковских функций f? = s? ,
где s? = ?? , . . . , ?? , ?? , ? ? ? (? > · · · > ? > ? цепочка,
определяющая ?).
В работе [21] исследованы асимптотические свойства аппрокси-
маций Эрмита–Паде для произвольных GN-систем. Ограничимся
104 А. А. Гончар


здесь описанием исходных данных задачи равновесия, в тер-
минах которой формулируются основные результаты работы:
F = {F? : ? ? ?}, где F? носители мер ?? ; ? = {?? : ? ? ?},
функция распределения, соответствующая заданному на
??
графе распределению вероятностей {p? : ? ? ?}; A = aj,k
матрица взаимодействия зарядов, элементы которой определя-
ются следующим образом: a?,? = 2, если ? = ?; a?,? = ?1, если
индексы связаны отношением >; a?,? = 1, если индексы связаны
отношением -; a?,? = 0 в остальных случаях. Все результаты
асимптотического характера для аппроксимаций Эрмита–Паде
GN-систем связаны с равновесной мерой ?, соответствующей этим
исходным данным. В частности, для предельного распределения
нулей Qn имеем:
1
µ(Qn ) > ?k
|n| +
k??

(подробнее см. [21]).


5. Заключение
Основные результаты работы относятся к теории сходимости
конструктивных рациональных аппроксимаций аналитических
функций. Развита теория обратных задач, непосредственно
связанная с применениями метода аппроксимаций Паде к во-
просам эффективного аналитического продолжения функций.
В терминах, связанных с предельным поведением полюсов строк
таблицы Паде, дана полная характеристика мероморфного про-
должения функции, заданной своим разложением в степенной
ряд. Получено локальное условие однозначности аналитической
функции в целом и доказаны теоремы сходимости рациональных
аппроксимаций для соответствующих классов функций. Для ши-
рокого класса областей доказан принципиально новый критерий
равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде:
голоморфность аппроксимаций в данной области влечет их рав-
номерную сходимость внутри этой области. На основе метода
многоточечных аппроксимаций Паде решены узловые задачи,
относящиеся к вопросу о скорости чебышевской рациональной
аппроксимации аналитических функций, в частности, известная
задача о скорости рациональной аппроксимации экспоненты на
полуоси. Разработаны новые подходы, основанные на применении
Рациональные аппроксимации функций 105


векторных потенциалов и связанных с ними равновесных мер
(метод векторных потенциалов), которые позволили изучить
асимптотические свойства аппроксимаций Эрмита–Паде для си-
стем функций марковского типа и доказать соответствующие
теоремы сходимости.
Методы и результаты представленной работы существен-
но использовались и получили дальнейшее развитие в ряде
последующих работ российских и зарубежных математиков.


Список публикаций
[1] Гончар А. А., “О задачах Е. И. Золотарева, связанных с раци-
ональными функциями” // Матем. сб., 1969, 78, 640–654.
[2] Гончар А. А., “Локальное условие однозначности аналитиче-
ских функций” // Матем. сб., 1972, 89(1), 148–164.
[3] Гончар А. А., “О сходимости аппроксимаций Паде” // Матем.
сб., 1973, 92(1), 152–164.
[4] Гончар А. А., “Локальное условие однозначности аналитиче-
ских функций нескольких переменных” // Матем. сб., 1974,
93(2), 296–313.
[5] Гончар А. А., “Скорость рациональной аппроксимации и
свойство однозначности аналитической функции в окрест-
ности изолированной особой точки” // Матем. сб., 1974,
94(2), 265–282.
[6] Гончар А. А., “О сходимости аппроксимаций Паде для
некоторых классов мероморфных функций” // Матем. сб.,
1975, 97(4), 607–629.
[7] Гончар А. А., “О сходимости обобщенных аппроксима-
ций Паде мероморфных функций” // Матем. сб., 1975,
98(4), 564–577.
[8] Гончар А. А., “О скорости рациональных аппроксимаций
некоторых аналитических функций” // Матем. сб., 1978,
105(2), 147–164.
[9] Гончар А. А., Лопес Г., “О теореме Маркова для мно-
готочечных аппроксимаций Паде” // Матем. сб., 1978,
105(4), 512–524.
106 А. А. Гончар


[10] Гончар А. А., Лунгу К. Н., “Полюсы диагональных аппрок-
симаций Паде и аналитическое продолжение функций” //
Матем. сб., 1980, 111(2), 279–292.
[11] Гончар А. А., Рахманов Е. А., “О сходимости совместных
аппроксимаций Паде для систем функций марковского типа”
// Труды МИАН, 1981, 157, 31–48.
[12] Гончар А. А., “Полюсы строк таблицы Паде и мероморфное
продолжение функций” // Mатем. сб., 1981, 115(4), 590–613.
[13] Гончар А. А., “О равномерной сходимости диагональных
аппроксимаций Паде” // Матем. сб., 1982, 118(4), 535–556.
[14] Гончар А. А., “О скорости рациональной аппроксимации
аналитических функций” // Труды МИАН, 1984, 166, 52–60.
[15] Гончар А. А., Рахманов Е. А., “Равновесная мера и распре-
деление нулей экстремальных многочленов” // Матем. сб.,
1984, 125(1), 117–127.
[16] Гончар А. А., “О сходимости диагональных аппроксимаций
Паде в сферической метрике.” // Математические струк-
туры вычислительная математика математическое
моделирование. София, 1984. 2, 29–35.
[17] Гончар А. А., Рахманов Е. А., “О задаче равновесия для
векторных потенциалов” // УМН, 1985, 40(4), 155–156.
[18] Гончар А. А., “Рациональные аппроксимации аналитических
функций” // Труды Международного конгресса математи-
ков (США, Беркли, 1986), 1987, 1, 739–748.
[19] Гончар А. А., Рахманов Е. А., “Равновесные распределения
и скорость рациональной аппроксимации аналитических
функций” // Матем. сб., 1987, 134(3), 306–352.
[20] Гончар А. А., Рахманов Е. А., Суетин С. П., “О сходимости
аппроксимаций Паде ортогональных разложений” // Труды
МИАН, 1991, 200, 136–146.
[21] Гончар А. А., Рахманов Е. А., Сорокин В. Н., “Об аппрок-
симациях Эрмита–Паде для функций марковского типа” //
Матем. сб., 1997, 188(5), 33–58.
Содержание

Проблема Бернсайда о периодических группах
и смежные вопросы
5
С. И. Адян
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Краткое описание теории . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Свойства свободных периодических групп нечетно-
го периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Независимые системы групповых тождеств . . . . . 19
4. Некоммутативные аналоги аддитивной группы ра-
циональных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. Периодические произведения групп . . . . . . . . . . 22
6. Некоторые результаты других авторов . . . . . . . 23

Дифференциальные уравнения
с мероморфными коэффициентами
29
А. А. Болибрух
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1. Проблема Римана–Гильберта . . . . . . . . . . . . . 42
1.1. Локальное устройство фуксовой системы . . 42
1.2. Метод решения. Достаточные условия раз-
решимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.3. Контрпример к проблеме Римана–Гильберта 56
2. Биркгофова стандартная форма . . . . . . . . . . . 65
3. Изомонодромные деформации фуксовых систем . . 70

Рациональные аппроксимации аналитических
функций
83
А. А. Гончар
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2. Теория сходимости. Обратные задачи . . . . . . . . 84
3. Скорость рациональных аппроксимаций аналити-
ческих функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4. Метод векторных потенциалов. Аппроксимации
Эрмита–Паде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Научное издание

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

Выпуск 1




Ответственный за выпуск А. Д. Изаак
Компьютерная верстка Е. И. Иванниковой, О. Г. Мисюриной




Сдано в набор 15.08.2003. Подписано в печать 25.12.2003.
Формат 60?90/16. Усл. печ. л. 6,75. Тираж 150 экз.
Отпечатано в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН
Москва, 119991, ул. Губкина, 8.
http://www.mi.ras.ru/spm/ e-mail: spm@mi.ras.ru

<<

стр. 4
(всего 4)

СОДЕРЖАНИЕ