<<

стр. 3
(всего 9)

СОДЕРЖАНИЕ

>>


5.5. Представьте следующие числа в виде обычных и в виде деся-
тичных дробей:
а) 0,(12) + 0,(122); б) 0,(3) · 0,(4); в) 0,(9) ? 0,(85).
5.6. Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда
оно представляется конечной или периодической десятичной дробью.
1
5.7. Для каких натуральных n число представляется конечной
n
десятичной дробью?
5.8. Пусть число ? задается десятичной дробью
а) ? = 0,101001000100001000001 . . . ;
б) ? = 0,123456789101112131415 . . .
Будет ли это число рациональным?
5.9. Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно
так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным
числом.
5.10. Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы
возможность v
компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной
записи числа 2. Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то
Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер
напечатал бы неверную цифру.
1 1
5.11. Найдите все такие натуральные n, для которых и
n n+1
представляется конечными десятичными дробями.
v
5.12. Докажите, что среди чисел [2k 2] (k = 0, 1, . . . ) бесконечно
много составных.
5.13. Докажите иррациональность следующих чисел:
v v v
3
г) 3 3 ? 2; ж) sin 1? ;
а) v 17; v
д) cos 10? ;
б) v2 + v3; v з) log2 3.
в) 2 + 3 + 5; е) tg 10? ;
5.14. Метод спуска. Докажите, что уравнения
а) 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4 ; в) x2 + y2 + z2 + u2 = 2xyzu;
б) x2 + y2 + z2 = 2xyz; г) 3n = x2 + y2
не имеют решений в натуральных числах.
5.15. Докажите, что уравнение x3 + x2 y + y3 = 0 не имеет рацио-
нальных решений кроме (0; 0).
5.16. Может ли
а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной?
б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной?
72 5. Числа, дроби, системы счисления

в) иррациональное число в иррациональной степени быть рацио-
нальным?
v
5.17. Один из корней уравнения x2 +ax+b = 0 равен 1+ 3. Найдите
a и b, если известно, что они рациональны.

v 5.18. v
v Пусть a, b, c — различные простые числа. Докажите, что числа
a, b, c не могут быть членами одной арифметической прогрессии.
5.19. Упростите выражение:

v
2 3+ 5? 13 + 48.
5.20. Докажите равенство

847 847
3 3
6+ + 6? = 3.
27 27

5.21. Найдите первые 17 знаков в десятичной записи у чисел:
1 1 1
а) v v +v v + ... + v v ;
1+ 2 2+ 3 99 + 100
v v
2 + 3/2 2 ? 3/2
б) v v;
v +v
2+ 2+ 3 2? 2? 3
v v
|40 2 ? 57| ?
в) 40 2 + 57.
5.22. Вычислите:
v v
3 3
а) 20 + 392 + 20 ? 392;
v v
3 3
б) 5 2 + 7 ? 5 2 ? 7;
v v
в) x + 6 x ? 9 + x ? 6 x ? 9 (9 x 18).
5.23. Задача Бхаскары. Упростите выражение
v v v
10 + 24 + 40 + 60.
5.24. Формула сложного радикала. Докажите равенство:
v v
v a2 ? b a2 ? b
a+ a?
a± ±
b= .
2 2
(См. также 7.15.)
v v v v v v v
5.25* . Докажите, что число 2+ 3+ 5+ 7+ 11 + 13 + 17
иррационально.
5.26. При каких натуральных a и b число loga b будет рациональ-
ным?
1. Рациональные и иррациональные числа 73

5.27. Докажите, что sin x и cos x рациональны тогда и только тогда,
когда число tg(x/2) рационально.
5.28. Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершина-
ми в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике —
число рациональное.
5.29. Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами
в узлах квадратной сетки?
5.30. Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при n = 4 не
существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.
vv
5.31. Докажите, что на окружности с центром в точке ( 2; 3)
лежит не более одной точки целочисленной решетки.
5.32. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1 1 1
v; v
а) г) v v; ж) v v.
3
1+ a 3 3
a+ b+ c
2+ 2+ 3
1 1
v v v;
б) v v; д) v 4
a+ b+ c a + ab + b
1 1
v; е) v v v
в) ;
v 3 4
2+ 4+ 48+2
4
1 ? 3 a + a2
v v
5.33. При каких натуральных n число ( 2 + 1)n ? ( 2 ? 1)n будет
целым?
5.34. Докажите следующие равенства:
v v v
1024 1024
а) 2+ 2 + ... + 2+ 6= 2+ 3+ 2? 3;

10 радикалов

v ?
б) 2 = 2 cos .
2+ 2 + ... + 2+
2n+1
n радикалов
5.35. Иррациональность числа e. Число e определяется равен-
ством e = lim (1 + 1/n)n . Докажите, что
n>?
а) e = lim (2 + 1/2! + 1/3! + . . . + 1/n!);
n>?
б) e = 2 + 1/2! + 1/3! + . . . + 1/n! + rn , где 0 < rn 1/(n!n);
в) e — иррациональное число.
(См. также 11.73, 7.51).
5.36* . Число e и комбинаторика. Дано N точек, никакие три
из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек
соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов.
74 5. Числа, дроби, системы счисления

Докажите, что если N > [k! e], то среди данных точек можно выбрать
такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окра-
шены в один цвет. (См. также 2.33.)
5.37* . Определим последовательности чисел {xn } и {dn } условиями
xn+1 = [ 2xn (xn + 1) ], dn = x2n+1 ? 2x2n?1 (n 1).
x1 = 1,
v
Докажите, что число 2 в двоичной системе счисления представляется
v v
в виде 2 = (d1 , d2 d3 . . . )2 . (Двоичную запись числа 2 можно найти
в приложении В.)

2. Десятичные дроби
Разложение рациональных чисел в десятичные дроби непосредствен-
но связано со специальными числами, называемыми репьюнитами.
Определение. Репьюнитом порядка n называется число, состоя-
щее из n единиц En = 11 . . . 1 .
n
Репьюниты существуют не только в десятичной системе счисления.
Но в других системах счисления они уже не будут связаны с десятич-
ными дробями.
5.38. Докажите, что равенство
10n ? 1
= a1 a2 . . . an
m
равносильно тому, что десятичное представление дроби 1/m имеет вид
1/m = 0, (a1 a2 . . . an ).
5.39. Докажите, что если (m, 10) = 1, то существует репьюнит En ,
делящийся на m. Будет ли их бесконечно много?
5.40. Как связаны между собой десятичные представления чисел
{p/q} и {10k p/q}?
5.41. Докажите, что если (m, 10) = 1, то у десятичного представле-
ния дроби 1/m нет предпериода.
Определение. Если у десятичной дроби отсутствует предпериод,
то такая дробь называется чисто периодической.
5.42. Найдите возможные значения знаменателя обычной дроби ви-
да 1/m, которая представляется чисто периодической десятичной дро-
бью с двумя цифрами в периоде.
5.43. Пусть (n, 10) = 1, m < n, (m, n) = 1, и t — наименьшее число
.
.
такое, что 10t ? 1 . n. Докажите, что t кратно длине периода дроби
m/n. Будет ли это длина периода?
2. Десятичные дроби 75

5.44. Докажите, что если (m, 10) = 1, то частное 9En /m, записанное
как n-значное число (возможно с нулями в начале) состоит из несколь-
ких периодов десятичного представления дроби 1/m. Кроме того, если
еще выполнены условия (m, 3) = 1 и En — первый репьюнит, делящийся
на m, то число 9En /m будет совпадать с периодом.
5.45. Докажите, что если (m, 30) = 1, то число, состоящее из цифр
периода дроби 1/m делится на 9.
5.46* . Эффект девяток. Периодом дроби 1/7 является число N =
= 142857. Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин
периода — число из одних девяток (142 + 857 = 999). Докажите в общем
случае, что для простого q > 5 и натурального p < q период дроби p/q
есть 2n-значное число N = N1 N2 такое, что N1 + N2 = 99 . . . 9.
n
*
5.47 . Загадочное число. Число N = 142857 обладает и рядом
других свойств. Например: 2 · 142 857 = 285 714, 3 · 142 857 = 428 571 . . . ,
то есть при умножении на 1, 2, 3, . . . , 6 цифры циклически переставля-
ются; 14 + 28 + 57 = 99; N2 = 20408122449, 20408 + 122449 = 142857 = N.
Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами
дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.
5.48. Обозначим через L(m) длину периода дроби 1/m. Докажите,
что если (m, 10) = 1, то L(m) является делителем числа ?(m).
5.49. Пусть (m, n) = 1. Докажите, что сумма длин периода и пред-
периода десятичного представления дроби m/n не превосходит ?(m).
5.50. Докажите, что если (m1 , 10) = 1 и (m2 , 10) = 1, то справед-
ливо равенство L(m1 m2 ) = [L(m1 ), L(m2 )]. Чему равна длина периода
дроби 1/m1 + 1/m2 ?
5.51. Найдите все шестизначные числа, которые уменьшаются втрое
при перенесении последней цифры на первое место.
5.52. Найдите все шестизначные числа, которые увеличиваются в
целое число раз при перенесении последней цифры в начало.
5.53. Докажите, что не существует целых чисел, которые от пере-
становки начальной цифры в конец увеличивались бы в 5, 6 или 8 раз.
5.54. Пусть число m имеет вид m = 2a 5b m1 , где (10, m1 ) = 1.
Положим k = max(a, b). Докажите, что период дроби 1/m начинается
с (k+1)-й позиции после запятой, и имеет такую же длину, как и период
дроби 1/m1 .
5.55* . Найдите последние три цифры периодов дробей 1/107, 1/131,
1/151. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.)
76 5. Числа, дроби, системы счисления

3. Двоичная и троичная системы счисления
5.56. Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в 1 грамм,
3 грамма, 9 грамм, 27 грамм и 81 грамм. Как уравновесить груз в
61 грамм, положенный на чашу весов?
5.57. Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г.
Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара?
5.58. Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей
и еще пол-гуся. Остальные летели дальше. Все гуси сели на n озерах.
Сколько всего гусей было в стае?
5.59. Имеются 4 гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько
всего различных по весу грузов можно точно взвесить этими гирями
если
а) гири можно класть только на одну чашку весов;
б) гири можно класть на обе чашки весов?
5.60. Вы имеете право сделать 4 гири любого веса. Какие это долж-
ны быть гири, чтобы на весах из предыдущей задачи можно было взве-
сить грузы от 1 до 40 кг?
5.61. а) Имеются две веревки. Если любую из них поджечь с одного
конца, то она сгорит за час. Веревки горят неравномерно. Например,
нельзя гарантировать, что половина веревки сгорает за 30 минут. Как,
имея две такие веревки, отмерить промежуток времени в 15 минут?
б) Сколько промежутков времени (считая нулевой) можно отмерить,
имея три такие веревки?
5.62. а) У одного человека был подвал, освещавшийся тремя элек-
трическими лампочками. Выключатели этих лампочек находились вне
подвала, так что включив любой из выключателей, хозяин должен был
спуститься в подвал, чтобы увидеть, какая именно лампочка зажглась.
Однажды он придумал способ, как определить для каждого выключа-
теля, какую именно лампочку он включает, сходив в подвал ровно один
раз. Какой это способ?
б) Сколько лампочек и выключателей можно идентифицировать
друг с другом, если разрешается 2 раза спуститься в подвал?
5.63. С числом разрешается производить две операции: «увеличить
в два раза» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число операций
можно из числа 0 получить
а) число 100; б) число n? (См. также 6.77.)
5.64. Бинарный метод возведения в степень. Предположим,
что необходимо возвести число x в степень n. Если, например, n = 16,
3. Двоичная и троичная системы счисления 77

то это можно сделать выполнив 15 умножений x16 = x · x · . . . · x, а можно
обойтись лишь четырьмя:

x1 = x · x = x2 , x2 = x1 · x1 = x4 , x3 = x2 · x2 = x8 , x4 = x3 · x3 = x16 .

Пусть
n = 2e1 + 2e2 + . . . + 2er (e1 > e2 > . . . > er 0).

Придумайте алгоритм, который позволял бы вычислять xn при помощи

b(n) = e1 + ?(n) ? 1

умножений, где ?(n) = r — число единиц в двоичном представлении
числа n. (См. также 11.88.)
5.65. Пусть l(n) — наименьшее число умножений, необходимое для
нахождения xn . На примере чисел n = 15 и n = 63 покажите, что
бинарный метод возведения в степень не всегда оптимален, то есть для
некоторых n выполняется неравенство l(n) < b(n).
5.66. Коля Васин задумал число от 1 до 31 включительно и выбрал
из 5 данных карточек
1 3 5 7 2 3 6 7 4 5 6 7
9 11 13 15 10 11 14 15 12 13 14 15
17 19 21 23 18 19 22 23 20 21 22 23
25 27 29 31 26 27 30 31 28 29 30 31

8 9 10 11 16 17 18 19
12 13 14 15 20 21 22 23
24 25 26 27 24 25 26 27
28 29 30 31 28 29 30 31

те, на которых это число присутствует. Как, зная эти карточки, уга-
дать задуманное число? Какими должны быть карточки, чтобы по ним
можно было угадывать числа от 1 до 63?
5.67. Карточный фокус. а) Берется колода из 27 карт (без одной
масти). Ваш друг загадывает одну из карт. После чего вы раскладыва-
ете все карты в три равные кучки, кладя каждый раз по одной карте (в
первую кучку, затем во вторую, затем в третью, потом снова в первую
и т. д.). Ваш друг указывает на ту кучку, в которой лежит его карта.
Далее вы складываете все три кучки вместе, вставляя при этом указан-
ную кучку между двумя другими. Эта процедура повторяется еще два
раза. На каком месте в колоде окажется загаданная карта, после того,
как вы сложите вместе три кучки в третий раз?
78 5. Числа, дроби, системы счисления

б) На каком месте окажется загаданная карта, если с самого начала
было 3n (n < 9) карт?
5.68. Коля Васин задумал число: 1, 2 или 3. Вы задаете ему только
один вопрос, на который он может ответить «да», «нет» или «не знаю».
Сможете ли вы угадать число, задав всего лишь один вопрос?
5.69. Коля Васин задумал число от 1 до 200. За какое наименьшее
число вопросов вы сможете его отгадать, если он отвечает на каждый
вопрос
а) «да» или «нет»;
б) «да», «нет» или «не знаю»?
5.70* . Как и раньше загадывается число от 1 до 200, а загадавший
отвечает на вопросы «да» или «нет». При этом ровно один раз (за все
ответы) он имеет право соврать. Сколько теперь понадобится вопросов,
чтобы отгадать задуманное число?
5.71. Докажите, что каждое целое число A представимо в виде
A = a0 + 2a1 + 22 a2 + . . . + 2n an ,
где каждое из чисел ak = 0, 1 или ?1 и ak ak+1 = 0 для всех 0 k n?1,
причем такое представление единственно.
5.72. Множество Кантора. Отрезок числовой оси от 0 до 1
покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3; 2/3)
перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из
оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с
оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так
до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество
Кантора.
а) Найдите сумму длин красных интервалов.
б) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет.
в) Из суммы
2 2 2 2
++ + + ...
3 9 27 81
произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докажите, что сумма
оставшихся слагаемых — зеленое число.
г) Докажите, что всякое число x ? [0, 2] представимо в виде
x = ? + ?, где ? и ? — элементы множества Кантора.
5.73. Последовательность Морса. Бесконечная последователь-
ность из нулей и единиц
01101001100101101001 . . .
3. Двоичная и троичная системы счисления 79

построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем де-
лается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже напи-
санному куску последовательности приписывается новый кусок той же
длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а единиц —
нулями.
а) Какая цифра стоит на 2001 месте?
б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места,
периодической?
в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при
замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на ком-
бинацию 10.
г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встре-
чается в последовательности Морса три раза подряд.
д) Как, зная представление числа n в двоичной системе счисления,
найти n-й элемент данной последовательности? (См. также 11.88.)
5.74. Ханойская башня и двоичная система счисления. Рас-
смотрим два процесса, каждый из которых состоит из 28 ? 1 шагов.
Первый — это процесс решения головоломки «Ханойская башня» (см.
1.42) при помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс при-
бавления единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом
28 ? 1. Опишите связь между этими двумя процессами.
5.75. Задача Иосифа Флавия. n человек выстраиваются по кру-
гу и нумеруются числами от 1 до n. Затем из них исключается каждый
второй до тех пор, пока не останется только один человек. Например,
если n = 10, то порядок исключения таков: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так
что остается номер 5. Для данного n будем обозначать через J(n) номер
последнего оставшегося человека. Докажите, что
а) J(2n) = 2J(n) ? 1;
б) J(2n + 1) = 2J(n) + 1;
в) если n = (1bm?1 bm?2 . . . b1 b0 )2 , то J(n) = (bm?1 bm?2 . . . b1 b0 1)2 .
5.76. Ним-сумма. Будем говорить, что число n является ним-сум-
мой чисел m и k (m ? k = n), если оно получается из чисел m и k после
следующих преобразований.
1) m и k записываются в двоичной системе счисления
m = (ms . . . m1 m0 )2 , k = (ks . . . k1 k0 )2
(меньшее число дополняется спереди нулями).
2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпо-
нентно по модулю 2:
(ms , . . . , m1 , m0 ) + (ks , . . . , k1 , k0 ) ? (ns , . . . , n1 , n0 ) (mod 2).
80 5. Числа, дроби, системы счисления

3) Набор цифр (ns , . . . , n1 , n0 ) переводится в число n:

(ns . . . n1 n0 )2 = n.

Например, 4 ? 9 = 3, так как

4=(100)2 , 9=(111)2 , (1, 0, 0) + (1, 1, 1)?(0, 1, 1) (mod 2), (011)2 =3.

Докажите, что ним-сумма удовлетворяет следующим свойствам:
а) m ? m = 0; б) m ? k = k ? m; в) (m ? t) ? k = m ? (t ? k);
г) если n = 0 и
m1 ? m2 ? . . . ? ml = n, (5.1)

l), для которого mj ? n < mj .
то найдется такой номер j (1 j
5.77. Игра «Ним». Имеется несколько кучек камней. Двое по
очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое
(ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает
тот, кто взял последний камень.
Для анализа игры каждому набору кучек камней m1 , m2 , . . . , ml
поставим в соответствие его ним сумму (5.1).
а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой
ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой n = 0.
б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно
сделать ход в позицию с ним-суммой n = 0.
в) Опишите выигрышную стратегию в игру «Ним».
г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4 и 5
камней?
5.78. Марсианские амебы II. При помощи ним-сумм можно ис-
следовать самые разные игры и процессы. Например, можно получить
еще одно решение задачи 4.20.
Постройте на множестве марсианских амеб {A, B, C} функцию f, для
которой выполнялись бы равенства

f(A) ? f(B) = f(C), f(A) ? f(C) = f(B), f(B) ? f(C) = f(A).

Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?
5.79. Игра «Йога» II. Проанализируйте при помощи ним-сумм
игру «Йога» из задачи 4.21.
5.80. Игра «Шоколадка». Имеется шоколадка, состоящая из
6 ? 8 = 48 долек. Одна из долек отмечена:
3. Двоичная и троичная системы счисления 81




 


Двое игроков по очереди разламывают ее по какой-нибудь прямой,
делящей шоколадку на дольки, и съедают ту половину, которая не
содержит отмеченной дольки. Проигрывает тот, кто не может сделать
хода, то есть ему остается лишь одна отмеченная долька.
а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков
выиграет, если отмеченная долька располагается так, как показано на
рисунке?
б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает
при любом расположении отмеченной дольки?
в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает
при любом расположении отмеченной дольки?
5.81. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них
камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней.
Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял
последний камень а) выигрывает; б) проигрывает. (См. также 4.59.)
5.82* . Пешечное противостояние. На доске 3 ? n расставлены n
черных и n белых пешек так, как показано на рисунке:




Пешки ходят и бьют по шахматным правилам, к которым добавля-
ется одно: бить обязательно. Тот, кто не может сделать ход: а) выиг-
рывает; б) проигрывает. Какой из игроков выигрывает в этой игре в
зависимости от значения n?
5.83. 4 монеты. Из четырех монет одна фальшивая (она отличается
по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за
два взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую
монету.
5.84* . 12 монет. Из двенадцати монет одиннадцать настоящих, а
одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в
какую сторону). Требуется за три взвешивания на двухчашечных весах
без гирь найти фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее
настоящей.
82 5. Числа, дроби, системы счисления

5.85* . 13 монет. Предположим теперь, что имеется 13 монет, из
которых одна — фальшивая. Как за три взвешивания на двухчашечных
весах без гирь найти фальшивую монету, если не требуется выяснять,
легче она или тяжелее настоящей?
Глава 6
Многочлены

1. Квадратный трехчлен
Теорема Виета для квадратного уравнения. Пусть x1 , x2 —
корни уравнения x2 + px + q = 0. Тогда справедливы равенства
x1 + x2 = ?p, x1 x2 = q.
6.1. Пусть x1 , x2 — корни уравнения x2 + px + q = 0. Выразите через
p и q следующие величины
1 1 1 1 1 1
в) x3 + x3 ; г)
а) +; б) + 2; .
+
1 2
2 2
(x2 + p)2
x1 x2 x1 x2 (x1 + p)
6.2. Для многочленов f(x) = x2 + ax + b и g(y) = y2 + py + q с
корнями x1 , x2 и y1 , y2 соответственно, выразите через a, b, p, q их
результант, который определяется равенством
R(f, g) = (x1 ? y1 )(x1 ? y2 )(x2 ? y1 )(x2 ? y2 ).
Вычисление результанта позволяет проверить многочлены f(x)
и g(y) на наличие у них общих корней.
6.3. Уравнение x2 + px + q = 0 имеет корни x1 и x2 . Напишите
уравнение, корнями которого будут числа y1 , y2 равные:
11 1 1 x2 x1
а) x3 , x3 ; б) , ; в) x1 + , x2 + ; г) , .
1 2
x2 x2 x2 x1 x1 x2
1 2
6.4. Пусть x1 , x2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 и
Sn = xn + xn (n 0). Докажите формулу
1 2

aSm + bSm?1 + cSm?2 = 0 (m 2).
6.5. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней
уравнения
x2 + 2ax + 2a2 + 4a + 3 = 0
является наибольшей? Чему равна эта сумма?
6.6. Какими должны быть p и q, чтобы выполнялось равенство
Ax4 + Bx2 + C = A(x2 + px + q)(x2 ? px + q)?
84 6. Многочлены

6.7. При каких значениях параметра a один из корней уравнения
15
x2 ? x + a3 = 0 является квадратом другого?
4
6.8. Пусть f(x) = x2 +px+q. При каких p и q выполняются равенства
f(p) = f(q) = 0?
6.9. При каких p и q уравнению x2 + px + q = 0 удовлетворяют два
различных числа 2p и p + q?
6.10. При каких a уравнение
а) ax2 + (a + 1)x ? 2 = 0; б) (1 ? a)x2 + (a + 1)x ? 2 = 0
имеет два различных корня?
6.11. Нарисуйте множество всех таких точек координатной плоско-
сти, из которых к параболе y = 2x2 можно провести две перпендику-
лярные друг другу касательные.
6.12. Рассмотрим графики функций y = x2 + px + q, которые пе-
ресекают оси координат в трех различных точках. Докажите, что все
окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точ-
ках, имеют общую точку.
6.13. Известно, что уравнение x2 + 5bx + c = 0 имеет корни x1 и x2 ,
x1 = x2 , а некоторое число является корнем уравнения y2 +2x1 y+2x2 = 0
и корнем уравнения z2 + 2x2 z + 2x1 = 0. Найти b.
6.14. Известно, что многочлены ax2 + bx + c и bx2 + cx + a (a = 0)
имеют общий корень. Найдите его.
6.15. При каких a уравнения x2 + ax + 1 = 0 и x2 + x + a = 0 имеют
хотя бы один общий корень?
6.16. Пусть ? — корень уравнения x2 + px + q = 0, а ? — уравнения
x2 ? px ? q = 0. Докажите, что между ? и ? лежит корень уравнения
x2 ? 2px ? 2q = 0.
6.17. Укажите все точки плоскости (x; y), через которые не проходит
ни одна из кривых семейства
y = p2 + (4 ? 2p)x ? x2 .
6.18. Укажите все точки плоскости (x; y), через которые не проходит
хотя бы одна кривая семейства
y = p2 + (2p ? 1)x + 2x2 .
6.19. Изобразите ту часть плоскости (x; y), которая накрывается
всевозможными кругами вида
(x ? a)2 + (y ? a)2 2 + a2 .
1. Квадратный трехчлен 85

6.20. Докажите, что корни уравнения
а) (x ? a)(x ? b) + (x ? b)(x ? c) + (x ? a)(x ? c) = 0;
б) c(x ? a)(x ? b) + a(x ? b)(x ? c) + b(x ? a)(x ? c) = 0
— всегда вещественные.
Определение. Каждому квадратному трехчлену x2 + px + q бу-
дем ставить в соответствие на координатной плоскости Opq точку с
координатами (p; q). Эту плоскость назовем фазовой. Прямые вида
a2 + ap + q = 0 будем называть корневыми, а параболу p2 ? 4q = 0 —
дискриминантной.
6.21. Каким точкам фазовой плоскости соответствуют квадратные
трехчлены, не имеющие корней?
6.22. Для каждого действительного a построим на плоскости Opq
корневую прямую a2 +ap+q = 0. Докажите, что полученное множество
прямых совпадает с множеством всех касательных к дискриминантной
параболе p2 ? 4q = 0. (См. также 9.20.)
6.23. Обозначим корни уравнения x2 + px + q = 0 через x1 , x2 . На-
рисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек M(p; q), которые
задаются условиями:
а) x1 = 0, x2 = 1; в) x1 = x2 ;
б) x1 0, x2 2; г) ?1 x1 0, 1 x2 2.
6.24. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых
уравнение 4x2 ? 2x + a = 0 имеет два корня, причем x1 < 1, x2 > 1.
6.25. Найдите все такие q, что при любом p уравнение x2 +px+q = 0
имеет два действительных корня.
6.26. Фазовая плоскость Opq разбивается параболой p2 ? 4q = 0 и
прямыми p + q + 1 = 0, ?2p + q + 4 = 0 на несколько областей. Для
точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий
им многочлен x2 + px + q = 0 на интервале (?2; 1).
6.27. На фазовой плоскости через точку (p; q) проведены касатель-
ные к дискриминантной параболе p2 ? 4q = 0. Найдите координаты
точек касания.
6.28. При каких значениях параметра a один из корней уравнения
(a2 + a + 1)x2 + (2a ? 3)x + (a ? 5) = 0
больше 1, а другой — меньше 1?
6.29. Известно, что модули корней уравнений x2 + ax + b = 0 и
x2 + cx + d = 0 меньше 1. Докажите, что модули корней уравнения
a+c b+d
x2 + x+ =0
2 2
86 6. Многочлены

также меньше 1.
6.30. В квадратном уравнении x2 + px + q = 0 коэффициенты p
и q независимо пробегают все значения от ?1 до 1. Найдите множество
значений, которые могут при этом принимать действительные корни
этого уравнения.
6.31. При каких значениях параметра a оба корня уравнения
1
(2 ? a)x2 ? 3ax + 2a = 0 больше ?
2
6.32. При каких значениях параметра a оба корня уравнения
(1 + a)x2 ? 3ax + 4a = 0 больше 1?
6.33. При каких значениях параметра a уравнение (a ? 1)x2 ?
? 2(a + 1)x + 2(a + 1) = 0 имеет только одно неотрицательное решение?
6.34. При каком значении параметра m сумма квадратов корней
уравнения x2 ? (m + 1)x + m ? 1 = 0 является наименьшей?
6.35. Найдите все значения параметра r, при которых уравнение
(r ? 4)x2 ? 2(r ? 3)x + r = 0 имеет два корня, причем каждый из которых
больше ?1.
6.36. Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству
(2 ? a)x3 + (1 ? 2a)x2 ? 6x + 5 + 4a ? a2 < 0
хотя бы при одном значении a ? [?1; 2].

2. Алгоритм Евклида для многочленов
и теорема Безу
6.37. Деление многочленов с остатком. Пусть P(x) и Q(x) —
многочлены, причем Q(x) не равен нулю тождественно. Докажите, что
существуют многочлены T (x) и R(x) такие, что
P(x) = Q(x)T (x) + R(x),
и deg R(x) < deg Q(x); и покажите, что при этом T (x) и R(x) определя-
ются однозначно.
Определение. Если многочлен P(x) поделен на Q(x) с остатком
P(x) = Q(x)T (x) + R(x),
то T (x) называется неполным частным, а R(x) — остатком. Если мно-
гочлен R(x) тождественно равен нулю, то в этом случае T (x) — полное
частное, и Q(x) называется делителем P(x) (Q(x) | P(x)).
2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 87

6.38. Теорема Безу. Докажите, что остаток от деления многочлена
P(x) на x ? c равен P(c).
6.39. Докажите, что многочлен степени n имеет не более чем n
корней.
6.40. Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику
многочлена n-й степени больше, чем n касательных?
6.41. Пусть x1 , x2 , . . . , xn — корни уравнения an xn +. . .+a1 x+a0 = 0.
Какие корни будут у уравнений
а) a0 xn + . . . + an?1 x + an = 0; б) an x2n + . . . + a1 x2 + a0 = 0?
6.42. Пусть многочлен
P(x) = xn + an?1 xn?1 + . . . + a1 x + a0
имеет корни x1 , x2 , . . . , xn , то есть
P(x) = (x ? x1 )(x ? x2 ) . . . (x ? xn ).
Рассмотрим многочлен Q(x) = P(x) P(?x). Докажите, что
а) многочлен Q(x) имеет степень 2n и содержит только четные сте-
пени переменной x;v
б) функция Q( x) является многочленом с корнями x2 , x2 , . . . , x2 .
1 2 n
(См. также 9.83.)
6.43. Разделите многочлены с остатком:
а) x4 ? 4x3 + 6x2 ? 3x + 1 на x2 ? x + 1;
б) 2x3 + 2x2 + x + 6 на x2 + 2x + 1;
в) x4 + 1 на x5 + 1.
6.44. Найдите остаток от деления многочлена P(x) = x5 ? 17x + 1 на
x + 2.
6.45. При каком значении a многочлен P(x) = x1000 +ax2 +9 делится
на x + 1?
6.46. Найдите остаток от деления многочлена
P(x) = x81 + x27 + x9 + x3 + x
на a) x ? 1; б) x2 ? 1.
6.47. Докажите, что многочлен P(x) = (x + 1)6 ? x6 ? 2x ? 1 делится
на x(x + 1)(2x + 1).
6.48. Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на x?1, и остаток 1
при делении на x?2. Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен
(x ? 1)(x ? 2)?
88 6. Многочлены

6.49. Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы
выражение
x3 + y3 + z3 + k xyz
делилось на x + y + z.
6.50. При каких n многочлен 1 + x2 + x4 + . . . + x2n?2 делится на
1 + x + x2 + . . . + xn?1 ?
Определение. Пусть m(x) — не равный тождественно нулю много-
член. Два многочлена a(x) и b(x) называются сравнимыми по модулю
m(x), если их разность делится на m(x). Как и для чисел, соотношение
сравнимости для двух многочленов записывается в виде
a(x) ? b(x) (mod m(x)).
6.51. Китайская теорема об остатках для многочленов.
Пусть m1 (x), . . . , mn (x) попарно взаимно простые многочлены, то
есть (mi (x), mj (x)) = 1 при i = j, a1 (x), . . . , an (x) — произвольные
многочлены. Докажите, что тогда существует ровно один многочлен
p(x) такой, что ?
? p(x) ? a1 (x) (mod m1 (x)),
?
....................
?
?
p(x) ? an (x) (mod mn (x))
и deg p(x) < deg m1 (x) + . . . + deg mn (x). (См. также 6.131 и 6.140.)
6.52. Пусть P(x) = (2x2 ? 2x + 1)17 (3x2 ? 3x + 1)17 . Найдите
a) сумму коэффициентов этого многочлена;
б) суммы коэффициентов при четных и нечетных степенях x.
6.53. При каких a и b многочлен P(x) = (a + b)x5 + abx2 + 1 делится
на x2 ? 3x + 2?
6.54. Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэф-
фициентами имеют общее решение. Докажите, что у кубического урав-
нения есть рациональный корень.
6.55. Найдите остаток R(x) от деления многочлена xn + x + 2 на
x2 ? 1.
6.56. Один из корней уравнения x3 ?6x2 +ax?6 = 0 равен 3. Решите
уравнение.
6.57. При каких значениях параметра a многочлен P(x) = xn +axn?2
(n 2) делится на x ? 2?
6.58. При каких действительных p и q двучлен x4 + 1 делится на
x2 + px + q?
2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 89

6.59. При каких a многочлен

P(x) = a3 x5 + (1 ? a)x4 + (1 + a3 )x2 + (1 ? 3a)x ? a3

делится на x ? 1?
6.60. Найдите все многочлены, которые удовлетворяют тождеству

x P(x ? 1) = (x ? 26) P(x).

6.61. Дано уравнение xn ? an?1 xn?1 ? . . . ? a1 x ? a0 = 0, где an?1 , . . .
. . . , a1 , a0 0. Докажите, что это уравнение не может иметь двух
положительных корней.
6.62. Правило знаков Декарта. Докажите, что количество поло-
жительных корней многочлена

f(x) = an xn + . . . + a1 x + a0

не превосходит числа перемен знака в последовательности an , . . .
. . . , a1 , a0 .
6.63. Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отри-
цательных корней многочлена

f(x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ?

6.64. Докажите, что многочлен

a3 (b2 ? c2 ) + b3 (c2 ? a2 ) + c3 (a2 ? b2 )

делится на (b ? c)(c ? a)(a ? b).
Определение. Наибольшим общим делителем двух или несколь-
ких многочленов называется многочлен максимальной степени, на ко-
торый делится каждый из данных.
Как и для чисел, наибольший общий делитель многочленов P1 (x), . . .
. . . , Pk (x) обозначается (P1 (x), . . . , Pk (x)).
6.65. Докажите, что из равенства P(x) = Q(x) T (x) + R(x) следует
соотношение (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).
6.66. Алгоритм Евклида для многочленов. Пусть P(x) и Q(x) —
многочлены, причем Q(x) не равен нулю тождественно и Q(x) P(x).
Докажите, что при некотором s 1 существуют многочлены A0 (x),
90 6. Многочлены

A1 (x), . . . , As (x) и R1 (x), . . . , Rs (x) такие, что
deg Q(x) > deg R1 (x) > deg R2 (x) > . . . > deg Rs (x) 0,
?
? P(x) = Q(x) · A0 (x) + R1 (x),
?
?
? Q(x) = R1 (x) · A1 (x) + R2 (x),
?
?
?
? R (x) = R (x) · A (x) + R (x),
1 2 2 3
?.......................
?
?
? R (x) = R (x) · A (x) + R (x),
? s?2
?
? s?1 s?1 s
?
Rs?1 (x) = Rs (x) · As (x),
и (P(x), Q(x)) = Rs (x). (Сравните с задачей 3.36.)
6.67. Пусть (P(x), Q(x)) = D(x). Докажите, что существуют много-
члены U(x) и V(x) такие, что deg U(x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x), и
P(x) U(x) + Q(x) V(x) = D(x).
(Сравните с задачей 3.37.)
6.68. Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x)
и представьте его в виде P(x) U(x) + Q(x) V(x):
а) P(x) = x4 + x3 ? 3x2 ? 4x ? 1, Q(x) = x3 + x2 ? x ? 1;
б) P(x) = 3x4 ? 5x3 + 4x2 ? 2x + 1, Q(x) = 3x3 ? 2x2 + x ? 1.
6.69. Найдите (xn ? 1, xm ? 1).
6.70. Последовательность a0 , a1 , a2 , . . . задана условиями
an+1 = P(an ) (n
a0 = 0, 0),
где P(x) — многочлен с целыми коэффициентами, P(x) > 0 при x 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k (am , ak ) = a(m,k) .
6.71. Решите систему
x6 ? x5 + x4 ? x3 + 5x2 = 5,
x6 ? 2x5 + 3x4 ? 4x3 + 2x = 0.
6.72. При каком положительном значении p уравнения 3x2 ?4px+9 =
= 0 и x2 ? 2px + 5 = 0 имеют общий корень?
6.73. Найдите многочлены P(x) и Q(x) такие, что
(x + 1) P(x) + (x4 + 1) Q(x) = 1.
6.74. При помощи метода неопределенных коэффициентов (смотри-
те раздел 3, с. 92) найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы
выполнялось равенство
P(x)(x2 ? 3x + 2) + Q(x)(x2 + x + 1) = 21.
2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 91

6.75. Найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выпол-
нялось равенство

P(x)(2x3 ? 7x2 + 7x ? 2) + Q(x)(2x3 + x2 + x ? 1) = 2x ? 1.
2n + 1
6.76. Сколько представлений допускает дробь в виде суммы
n(n + 1)
двух положительных дробей со знаменателями n и n + 1?
6.77. Схема Горнера. Значение многочлена

Pn (x) = an xn + an?1 xn?1 + . . . + a1 x + a0 (an = 0)

в точке x = c можно вычислить, используя ровно n умножений. Для
этого нужно представить многочлен Pn (x) в виде

Pn (x) = (. . . (an x + an?1 )x + . . . + a1 )x + a0 .

(См. также 5.63.)
Пусть bn , bn?1 , . . . , b0 — это значения выражений, которые получа-
ются в процессе вычисления Pn (c), то есть

bn = an , bk = c · bk+1 + ak (k = n ? 1, . . . , 0).

Докажите, что при делении многочлена Pn (x) на (x ? c) с остат-
ком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами
bn?1 , . . . , b1 , а остатком будет число b0 . Таким образом, будет справед-
ливо равенство:

Pn (x) = (x ? c)(bn xn?1 + . . . + b2 x + b1 ) + b0 .

6.78. Формулы сокращенного умножения. Докажите следую-
щие равенства:
an+1 ? bn+1 = (a ? b)(an + an?1 b + . . . + bn );
a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n ? a2n?1 b + a2n?2 b2 ? . . . + b2n ).
6.78 . Докажите, что при n 2
.
.
nn?1 ? 1 . (n ? 1)2

6.79. Формула Тейлора для многочлена. Докажите, что любой
многочлен Pn (x) можно единственным образом разложить по степеням
(x ? c):
n

ck · (x ? c)k ,
Pn (x) =
k=0
92 6. Многочлены

причем коэффициенты ck могут быть найдены по формуле
P(k) (x)
(0
ck = k n).
k! x=c

(См. также 11.21.)
6.80. Пользуясь схемой Горнера, разложите x4 + 2x3 ? 3x2 ? 4x + 1
по степеням x + 1.
6.81. Разложите P(x + 3) по степеням x, где P(x) = x4 ? x3 + 1.

3. Разложение на множители
Метод неопределенных коэффициентов. В задачах о раз-
ложении многочленов на множители часто оказывается полезным
подход, который называется методом неопределенных коэффициентов.
Сначала записывается предполагаемое разложение с неизвестными
(неопределенными) коэффициентами. После раскрытия скобок полу-
чается выражение, которое должно совпадать с исходным. Равенство
коэффициентов при соответствующих одночленах дает систему урав-
нений, из которой находятся неопределенные коэффициенты, а, тем
самым, и разложение на множители.
Соотношения на неопределенные коэффициенты можно также по-
лучать, подставляя в предполагаемое равенство конкретные значения
переменных.
6.82. Разложите на множители с действительными коэффициента-
ми многочлены:
а) x4 + 4; ж) (a + b + c)3 ? a3 ? b3 ? c3 ;
б) 2x3 + x2 + x ? 1; з) (x ? y)5 + (y ? z)5 + (z ? x)5 ;
в) x10 + x5 + 1; и) a8 + a6 b2 + a4 b4 + a2 b6 + b8 ;
г) a3 + b3 + c3 ? 3abc; к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2 ;
д) x3 + 3xy + y3 ? 1; л) a4 + b4 + c4 ? 2a2 b2 ? 2a2 c2 ? 2b2 c2 ;
е) x2 y2 ? x2 + 4xy ? y2 + 1; м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.
(См. также 9.8.)
6.83. Можно ли разлложить на множители с целыми коэффициен-
тами многочлен x4 + x3 + x2 + x + 12?
6.84. Докажите, что многочлен x4 +px2 +q всегда можно разложить
в произведение двух многочленов второй степени.
6.85. Упростите выражение:
(a + b + c)5 ? a5 ? b5 ? c5
.
(a + b + c)3 ? a3 ? b3 ? c3
4. Многочлены с кратными корнями 93

6.86. Докажите, что при нечетном m выражение
(x + y + z)m ? xm ? ym ? zm
делится на
(x + y + z)3 ? x3 ? y3 ? z3 .
6.87. Пусть a, b, c — попарно различные числа. Докажите, что вы-
ражение
a2 (c ? b) + b2 (a ? c) + c2 (b ? a)
не равно нулю.
6.88. Докажите, что если три действительных числа a, b, c связаны
соотношением
1 1 1 1
++= ,
a b c a+b+c
то обязательно какие-либо два из этих чисел в сумме дают ноль.
6.89. Докажите, что если a + b + c = 0, то
2(a5 + b5 + c5 ) = 5abc(a2 + b2 + c2 ).
6.90. Теорема о рациональных корнях многочлена. Докажи-
те, что если (p, q) = 1 и p/q — рациональный корень многочлена
P(x) = an xn + . . . + a1 x + a0
с целыми коэффициентами, то
а) a0 . p; б) an . q.
. .
. .
Эти соотношения позволяют перечислить все рациональные числа,
которые могут быть корнями данного многочлена. (См. также 7.41.)
v
6.91. Докажите при помощи предыдущей задачи, что 17 — ирра-
циональное число.
6.92. Докажите, что cos 20? — число иррациональное.
6.93. Найдите рациональные корни многочленов:
а) x5 ? 2x4 ? 4x3 + 4x2 ? 5x + 6;
б) x5 + x4 ? 6x3 ? 14x2 ? 11x ? 3.
6.94. Решите уравнения:
а) x4 + x3 ? 3a2 x2 ? 2a2 x + 2a4 = 0; б) x3 ? 3x = a3 + a?3 .

4. Многочлены с кратными корнями
Определение. Пусть P(x) = (x ? a)k Q(x), k 1 и Q(a) = 0. Тогда
число a называется корнем многочлена P(x) кратности k. Если a —
94 6. Многочлены

корень кратности 1, то он называется простым корнем, если кратность
больше 1, то число a называется кратным корнем.
6.95. Докажите, что корень a имеет кратность больше 1 тогда и
только тогда, когда P(a) = 0 и P (a) = 0.
6.96. Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позво-
ляет построить многочлен R(x), имеющий те же корни, что и P(x), но
все кратности 1.
Положим Q(x) = (P(x), P (x)) и R(x) = P(x) Q?1 (x). Докажите, что
а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.
6.97. Постройте многочлен R(x) из предыдущей задачи, если:
а) P(x) = x6 ? 6x4 ? 4x3 + 9x2 + 12x + 4;
б) P(x) = x5 + x4 ? 2x3 ? 2x2 + x + 1.
6.98. Докажите, что многочлен
x2 xn
P(x) = 1 + x + + ... +
2! n!
не имеет кратных корней.
6.99. При каких A и B многочлен Axn+1 + Bxn + 1 имеет число x = 1
не менее чем двукратным корнем?
6.100. Докажите, что многочлен x2n ? nxn+1 + nxn?1 ? 1 при n > 1
имеет трехкратный корень x = 1.
6.101. Докажите, что многочлен P(x) делится на свою производную
тогда и только тогда, когда он имеет вид P(x) = an (x ? x0 )n .
6.102. Докажите, что при n > 0 многочлен nxn+1 ? (n + 1)xn + 1
делится на (x ? 1)2 .
6.103. Докажите, что при n > 0 многочлен

n2 xn+2 ? (2n2 + 2n ? 1)xn+1 + (n + 1)2 xn ? x ? 1

делится на (x ? 1)3 .
6.104. Докажите, что при n > 0 многочлен

x2n+1 ? (2n + 1)xn+1 + (2n + 1)xn ? 1

делится на (x ? 1)3 .
6.105. Докажите, что многочлен

P(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn
5. Теорема Виета 95

имеет число ?1 корнем кратности m тогда и только тогда, когда вы-
полнены условия:
? n
? a0 ? a1 + a2 ? a3 + . . . + (?1) an = 0,
?
?
? ? a + 2a ? 3a + . . . + (?1)n na = 0,
1 2 3 n

?
? ...........................
?
?
? a1 + 2m a2 ? 3m a3 + . . . + (?1)n nm an = 0.
(См. также 11.12.)
6.106. Докажите, что многочлен
P(x) = (xn+1 ? 1)(xn+2 ? 1) . . . (xn+m ? 1)
без остатка делится на
Q(x) = (x1 ? 1)(x2 ? 1) . . . (xm ? 1).
(См. также 11.95.)

5. Теорема Виета
Теорема Виета. Пусть x1 , x2 ,. . . , xn — корни многочлена
an xn + an?1 xn?1 + an?2 xn?2 + . . . + a1 x + a0
(an = 0). Тогда справедливы равенства
?
? x1 + x2 + . . . + xn = ?an?1 /an ,
?
?
?x x + x x + ... + x
n?1 xn = an?2 /an ,
12 23

?
? ......................
?
?
x1 x2 . . . xn = (?1)n a0 /an .
Определение. Многочлен, не изменяющийся при любых переста-
новках своих переменных, называется симметрическим.
Многочлены
?1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 + x2 + . . . + xn ,
?2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 x2 + x2 x3 + . . . + xn?1 xn ,
.............................
?n (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 x2 . . . xn ,
называются элементарными симметрическими.
Теорема. Всякий симметрический многочлен F(x1 , . . . , xn ) пред-
ставим в виде многочлена от элементарных симметрических многочле-
нов: F(x1 , . . . , xn ) = G(?1 , . . . , ?n ) и единственным образом (См. [23].)
96 6. Многочлены

При этом коэффициенты G получаются из коэффициентов F только
при помощи операций сложения, вычитания и умножения, то есть, если
все коэффициенты F были целыми числами, то и коэффициенты G
также будут целыми числами.
Задачи о выражении симметрических многочленов через элементар-
ные симметрические могут быть решены при помощи метода неопреде-
ленных коэффициентов (см. с. 92). Для нахождения искомого представ-
ления многочлена F(x1 , . . . , xn ) степени m достаточно рассмотреть сум-
му с неопределенными коэффициентами одночленов вида ?a1 . . . ?an ,
1 n
суммарная степень (a1 + 2a2 + . . . + nan ) каждого из которых равна m.
6.107. Выразите через элементарные симметрические многочлены
следующие выражения:
а) (x + y)(y + z)(x + z); г) (x2 + y2 )(y2 + z2 )(x2 + z2 );
б) x3 + y3 + z3 ? 3xyz; д) x2 + x2 + . . . + x2 ;
1 2 n
в) x3 + y3 ; е) x4 + y4 + z4 .
6.108. Известно, что a+b+c = 0, a2 +b2 +c2 = 1. Найдите a4 +b4 +c4 .
6.109. Числа x, y, z удовлетворяют системе
?
? x + y + z = a,
1 1 1 1
? ++=.
x y z a

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно a.
6.110. Решите систему:
?
? x + y + z = a,
x2 + y2 + z2 = a2 ,
?3
x + y3 + z3 = a3 .
6.111. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых
корни x1 , x2 , x3 многочлена x3 ? 6x2 + ax + a удовлетворяют равенству
(x1 ? 3)3 + (x2 ? 3)3 + (x3 ? 3)3 = 0.
6.112. Постройте кубический многочлен, корни которого равны
квадратам корней многочлена x3 + x2 ? 2x ? 1 = 0.
6.113. Известно, что x1 , x2 , x3 — корни уравнения
x3 ? 2x2 + x + 1 = 0.
Составьте кубической уравнение, корнями которого были бы числа
y1 = x2 x3 , y2 = x1 x3 , y3 = x1 x2 .
5. Теорема Виета 97

6.114. Выразите свободный член c кубического уравнения
x3 + ax2 + bx + c = 0
через коэффициенты a и b, зная, что корни этого уравнения образуют
арифметическую прогрессию.
6.115. Пусть известно, что все корни уравнения
x3 + px2 + qx + r = 0
положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетво-
рять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины
которых равны этим корням, можно было составить треугольник?
6.116. а) Известно, что
x + y = u + v,
x + y2 = u2 + v2 .
2


Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство
xn + yn = un + vn .
б) Известно, что
x + y + z = u + v + t,
x + y2 + z2 = u2 + v2 + t2 ,
2

x3 + y3 + z3 = u3 + v3 + t3 .
Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство
xn + yn + zn = un + vn + yn .
6.117. Решите системы:
? ?2
? x + y + z = 6, 2
? ? x + y = 7,
? ?
1 1 1 11 y x 2
а) г)
++=,
?x y z ?1 1
? + = 1;
? 6
?
xy + yz + xz = 11; y x 2
? ?
? x(y + z) = 2, ? x + y + z = 1,
б) y(z + x) = 2, д) xy + xz + yz = ?4,
? ?3
x + y3 + z3 = 1;
z(x + y) = 3;

x2 + y2 + x + y = 32, x2 + y2 = 12,
в) е)
12(x + y) = 7xy; x + y + xy = 9.
6.118. Числа a, b, c являются тремя из четырех корней многочлена
x4 ? ax3 ? bx + c.
98 6. Многочлены

Найдите все такие многочлены.
6.119. Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству
a + b + c = 0. Докажите, что 2a4 + 2b4 + 2c4 — квадрат целого числа.
6.120. Найдите зависимость между коэффициентами кубического
уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0, если известно, что сумма двух его
корней равна произведению этих корней.
6.121. При каких a и b уравнение x3 + ax + b = 0 имеет три различ-
ных решения, составляющих арифметическую прогрессию?
6.122. Путь a, b, c — стороны треугольника, p — его полупериметр,
а r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.
Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями
которого являются числа a, b, c. Докажите равенство
1 1 1 1
+ + = .
ab bc ac 2rR
6.123. Решите в натуральных числах систему
x + y = uv,
u + v = xy.
6.124. В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше
а) 4x3 ? 18x2 + 24x = 8, 4x3 ? 18x2 + 24x = 9;
б) 4x3 ? 18x2 + 24x = 11, 4x3 ? 18x2 + 24x = 12?

6. Интерполяционный многочлен Лагранжа
6.125. Решите уравнение
(x ? a)(x ? b) (x ? a)(x ? c) (x ? b)(x ? c)
c +b +a = x.
(c ? a)(c ? b) (b ? a)(b ? c) (a ? b)(a ? c)

6.126. Докажите тождество
(x ? a)(x ? b) (x ? a)(x ? c) (x ? b)(x ? c)
c2 + b2 + a2 = x2 .
(c ? a)(c ? b) (b ? a)(b ? c) (a ? b)(a ? c)

6.127. Пусть x1 < x2 < . . . < xn — действительные числа. Постройте
многочлены f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) степени n?1, которые удовлетворяют
условиям fi (xi ) = 1 и fi (xj ) = 0 при i = j (i, j = 1, 2, . . . , n).
6.128. Опишите явный вид многочлена

f(x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn (x),
6. Интерполяционный многочлен Лагранжа 99

где fi (x) — многочлены из предыдущей задачи.
6.129. Пусть x1 < x2 < . . . < xn — действительные числа. Докажите,
что для любых y1 , y2 , . . . , yn существует единственнный многочлен f(x)
степени не выше n ? 1 такой, что f(x1 ) = y1 , . . . , f(xn ) = yn .
6.130. Пусть A, B и C — остатки от деления многочлена P(x) на
x ? a, x ? b и x ? c. Найдите остаток от деления того же многочлена на
произведение (x ? a)(x ? b)(x ? c).
Определение. Многочлен степени не выше n?1, значения которого
в данных точках x1 , . . . , xn (узлах интерполяции) совпадают с задан-
ными числами y1 , . . . , yn , называется интерполяционным многочленом
Лагранжа.
6.131. Какие остатки дает многочлен f(x) из предыдущей задачи на
многочлены вида (x ? xi )? Проинтерпретируйте этот факт при помощи
китайской теоремы об остатках для многочленов (см. 6.51).
6.132. Постройте многочлены f(x) степени не выше 2, которые удо-
влетворяют условиям:
а) f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 3;
б) f(?1) = ?1, f(0) = 2, f(1) = 5;
в) f(?1) = 1, f(0) = 0, f(2) = 4.
6.133. Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо небольшо-
го острова. Капитан каждый час измеряет расстояние до острова. В 12,
14 и 15 часов расстояния равнялись 7, 5 и 11 километров соответственно.
Каким было расстояние до острова в 13 часов? Чему оно будет равно в
16 часов?
6.134. Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Рассто-
яния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов равнялись 5, 7 и 2
километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями
в 13 часов?
6.135. На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через
каждые четыре из них проходит график некоторого квадратного трех-
члена. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одного квадрат-
ного трехчлена.
6.136. Решите систему
?
? z + ay + a2 x + a3 = 0,
?
z + by + b2 x + b3 = 0,
?
?
z + cy + c2 x + c3 = 0.
100 6. Многочлены

6.137. Пусть a, b и c — три различных числа. Докажите, что из
?
системы
? x + ay + a2 z = 0,
?
x + by + b2 z = 0,
?
?
x + cy + c2 z = 0,
следуют равенства x = y = z = 0.
6.138. Про многочлен f(x) = x10 + a9 x9 + . . . + a0 известно, что

f(1) = f(?1), . . . , f(5) = f(?5).
Докажите, что f(x) = f(?x) для любого действительного x.
6.139. Пусть P(x) = an xn + . . . + a1 x + a0 — многочлен с целыми
коэффициентами. Докажите, что хотя бы одно из чисел
|3n+1 ? P(n + 1)|, . . . , |31 ? P(1)|, |1 ? P(0)|
не меньше 1.
6.140. Докажите, что если f(x) есть многочлен, степень которого
меньше n, то дробь
f(x)
(x ? x1 )(x ? x2 ) . . . (x ? xn )

(x1 , x2 , . . . , xn — произвольные попарно различные числа) может быть
представлена в виде суммы n простейших дробей:
A1 A2 An
+ + ... + ,
x ? x1 x ? x2 x ? xn
где A1 , A2 , . . . , An некоторые константы. (См. также 6.51.)
6.141. Решите систему
? x1 x2 xn
?
? a1 ? b1 + a1 ? b2 + . . . + a1 ? bn = 1,
?
?
?
? x1 x2 xn
+ + ... + = 1,
a2 ? b1 a2 ? b2 a2 ? bn
?
? ......................
?
? x1
?
? x2 xn
+ + ... + = 1.
an ? b1 an ? b2 an ? bn
Глава 7
Комплексные числа

1. Комплексная плоскость
Определение. Комплексными числами называются числа вида z =
= x + iy, где x и y — действительные числа, а i — так называемая мни-
мая единица, то есть число, квадрат которого равен ?1; x называется
действительной или вещественной частью z, а y — мнимой частью
(обозначается x = Re z, y = Im z). Числа z с x = 0, y = 0 называются чи-
сто мнимыми. Число z = x ? iy называется комплексно сопряженным
к числу z = x + iy. Множество всех комплексных чисел обозначает-
ся C.
7.1. Пусть z = x + iy, z = x + iy . Найдите
а) z + z ; б) z · z ; в) z/z .
7.2. Проверьте равенства:
а) z + z = z + z ; в) z/z = z/z ;
б) z · z = z · z ; г) (z)= z.
Определение. Каждому комплексному числу z = x + iy ставится в
соответствие точка (x; y) на координатной плоскости Oxy и вектор с те-
v
ми же координатами. Длина вектора r = x2 + y2 называется модулем
числа z (r = |z|). Угол ?, отложенный на плоскости Oxy против часовой
стрелки от оси Ox до вектора (x; y), называется аргументом числа z
(r = arg z). Обычно считается, что функция arg z принимает значения
от ? ? до ?.
Если |z| = r, arg z = ?, то комплексное число z может быть записано
в виде z = r(cos ? + i sin ?). Такая запись называется тригонометриче-
ской формой числа z. Представление z = x + iy называется алгебраиче-
ской формой числа z.
7.3. Докажите равенства:
а) z + z = 2 Re z; б) z ? z = 2i Im z; в) z · z = |z|2 .
7.4. Дайте геометрическую интерпретацию следующих неравенств:
а) |z1 + z2 | |z1 | + |z2 |; б) |z1 ? z2 | |z1 | ? |z2 | ; в) |z ? 1| | arg z|,
если |z| = 1.
102 7. Комплексные числа

7.5. Представьте в тригонометрической форме числа:
? ?
а) 1 + i; г) sin + i sin ;
6 6
v cos ? + i sin ?
б) 2 + 3 + i; д) .
cos ? ? i sin ?
в) 1 + cos ? + i sin ?;
7.6. Какие множества на комплексной плоскости описываются сле-
дующими условиями:
z?i ?
а) |z| з) |z ? i| + |z + i| = 2;
д) arg =;
1;
z+i 4
1 1
б) |z ? i| е) Re(z2 ) и) Im <? ;
1; 1;
z 2
? ?
в) |z| = z; ж) |iz + 1| = 3; к) < arg(z ? i) < ?
6 3
z?1
г) < 1;
z+1
7.7. Найдите min |3 + 2i ? z| при |z| 1.
7.8. Запишите с помощью неравенств следующие множества точек
на комплексной плоскости:
а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси;
б) первый квадрант, не включая координатных осей;
в) множество точек, отстоящих от мнимой оси на расстоянии, мень-
шем двух;
г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке O,
расположенный не выше действительной оси.
7.9. Изобразите на комплексной плоскости множество точек z, удо-
влетворяющих условию |z ? 1 ? i| = 2|z + 1 ? i|.
7.10. Окружность Аполлония. Докажите, что на комплексной
плоскости равенством |z ? a| = k|z ? b| при k = 1 задается окружность
(a и b — действительные числа).
7.11. Докажите, что для произвольных комплексных чисел z1 и z2
выполняется равенство

|z1 + z2 |2 + |z1 ? z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ).

Какой геометрический смысл оно имеет?
7.12. Докажите, что при любых вещественных aj , bj (1 j n)
выполняется неравенство

(a1 + a2 + . . . + an )2 + (b1 + b2 + . . . + bn )2
a2 + b 2 + a2 + b2 + . . . + a2 + b2 .
1 1 2 2 n n
1. Комплексная плоскость 103

7.13. Докажите, что если x + iy = (s + it)n , то x2 + y2 = (s2 + t2 )n .
7.14. Тождество Фибоначчи. Докажите равенство:

(a2 + b2 )(u2 + v2 ) = (au + bv)2 + (av ? bu)2 .

(См. также 1.6.)
7.15. Докажите, что квадратные корни из комплексного числа z =
= a + ib находятся среди чисел
v v
a2 + b2 + a a2 + b2 ? a
w=± ±i .
2 2

Как нужно выбрать знак пред вторым слагаемым в скобке, чтобы
получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа? (См.
также 5.24.)
7.16. Вычислите v
v v
а) 3 ? 4i; в) 24 + 70i; д) ?7 ? 24i;
v v v v
б) 2 + i 2; г) 1 + i 3; е) 12 ? 5i.
7.17. Решите в комплексных числах следующие квадратные урав-
нения:
а) z2 + z + 1 = 0; г) z2 ? (3 + 2i)z + 6i = 0;
б) z2 + 4z + 29 = 0; д) z2 ? (3 ? 2i)z + 5 ? 5i = 0;
в) z2 ? (2 + i)z + 2i = 0; е) z2 ? (5 + 2i)z + 5 + 5i = 0.
7.18. Решите в комплексных числах уравнения:
а) z4 ? 4z3 + 6z2 ? 4z ? 15 = 0; в) z4 + (z ? 4)4 = 32;
1 ? ix
б) z3 + 3z2 + 3z + 3 = 0; г) = i.
1 + ix
7.19. Как выглядит формула для корней биквадратного уравнения
x + px2 + q = 0, если p2 ? 4q < 0?
4


7.20. Докажите, что если |z| = 1 (z = ?1), то для некоторого дей-
ствительного t справедливо равенство z = (1 + it)(1 ? it)?1 .
v
7.21. Постройте график функции y(x) = |x + x2 ? 1| (x — произ-
вольное действительное).
7.22. Пусть точка z движется по единичной окружности против
часовой стрелки. Опишите движение следующих точек
а) 2z2 ; в) 3z + z2 ; д) (z ? i)?1 ; ж) Rz + ?zn (? < R).
б) z + 3z2 ; г) z?3 ; е) (z ? 2)?1 ;
7.23. Точка z против часовой стрелки обходит квадрат с вершинами
?1 ? i, 2 ? i, 2 + 2i, ?1 + 2i. Как при этом ведут себя точки
104 7. Комплексные числа

a) z2 ; б) z3 ; в) z?1 ?
7.24. Формулы Муавра. Докажите две формулы Муавра. Первая
из них описывает правило возведения в степень комплексного числа,
представленного в тригонометрической форме z = r(cos ? + i sin ?):

zn = rn (cos n? + i sin n?) (n 1).

Вторая позволяет вычислять все n корней n-й степени из данного
числа:
? + 2k? ? + 2k?
wk = r1/n cos + i sin (k = 0, . . . , n ? 1).
n n
(См. также 12.11.)
7.25. Найдите все значения корней:
v v
v v v v 8
a) i; б) 4 ?1; в) ?8i; г) 3 1 ? i; 6
д) е)
?1; i 3 ? 1.
7.26. Докажите, что числа wk (k = 0, . . . , n ? 1), являющиеся кор-
нями уравнения wn = z при любом z располагаются в вершинах пра-
вильного n-угольника. (См. также 8.2.)
7.27. Докажите, что все корни уравнения zn = 1 могут быть запи-
саны в виде 1, ?, ?2 , . . . , ?n?1 .
7.28. Решите уравнения:
г) z2 + |z|2 = 0;
а) z4 = z4 ;
б) z2 + |z| = 0; д) (z + i)4 = (z ? i)4 ;
в) z2 + z = 0; е) z3 ? z = 0.
7.29. Найдите сумму степеней порядка s всех корней уравнения
n
z = 1, где s — целое число.
7.30. Докажите равенства:
cos n?
= 1 ? C2 tg2 ? + C4 tg2 ? ? . . . ;
а)
cosn ? n n

sin n?
= C1 tg ? ? C3 tg3 ? + C5 tg5 ? ? . . . .
б) n n n n
cos ?
7.31. Вычислите
a) (1 + i)n ; д) (1 + cos ? + i sin ?)n ;
v v
б) (1 + i 3)n ; е) ( 3 + i)n ;
v
1 + i 3 20 n
cos ? + i sin ?
в) ; ж) .
cos ? + i sin ?
1?i
v
3 ? i 20
г) 1 ? ;
2
7.32. Решите уравнение x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.
1. Комплексная плоскость 105

7.33. Докажите, что многочлен x44 + x33 + x22 + x11 + 1 = 0 делится
на x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.
7.34. Вычислите:
2? 4? 6? 2? 4? 6?
· cos · cos .
а) cos + cos + cos ; б) cos
7 7 7 7 7 7
7.35. а) Докажите, что многочлен

P(x) = (cos ? + x sin ?)n ? cos n? ? x sin n?

делится на x2 + 1.
б) Докажите, что многочлен

Q(x) = xn sin ? ? ?n?1 x sin n? + ?n sin(n ? 1)?

делится на x2 ? 2?x cos ? + ?2 .
7.36. Докажите тождества
n?1

<<

стр. 3
(всего 9)

СОДЕРЖАНИЕ

>>