<<

стр. 4
(всего 9)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

k?
а) x2n ? 1 = (x2 ? 1) x2 ? 2x cos +1 ;
n
k=1
n
2k?
б) x2n+1 ? 1 = (x ? 1) x2 ? 2x cos +1 ;
2n + 1
k=1
n
2k?
в) x2n+1 + 1 = (x + 1) x2 + 2x cos +1 ;
2n + 1
k=1
n?1
(2k + 1)?
г) x2n + 1 = x2 ? 2x cos +1 .
2n
k=0

7.37. Используя формулу Муавра, докажите, что

cos nx = Tn (cos x), sin nx = sin x Un?1 (cos x),

где Tn (z) и Un (z) — многочлены степени n. Вычислите эти многочлены
в явном виде для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Определение. Многочлены Tn (z) и Un (z) называются многочлена-
ми Чебышёва первого и второго рода соответственно.
7.38. Проверьте, что многочлены Чебышёва Tn (x) и Un (x) удовле-
творяют начальным условиям

T0 (x) = 1, T1 (x) = x; U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x,

и рекуррентным формулам

Tn+1 (x) = 2xTn (x) ? Tn?1 (x), Un+1 (x) = 2xUn (x) ? Un?1 (x).

(См. также 11.80.)
106 7. Комплексные числа

7.39. Докажите, что у многочлена 2Tn (x/2) старший коэффициент
равен единице, а все остальные коэффициенты — целые числа.
7.40* . Известно, что cos ?? = 1/3. Является ли ? рациональным
числом?
7.41. Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена
(см. 6.90), докажите, что если p/q ? Q и cos(p/q)? = 0, ± 1/2, ± 1, то
cos(p/q)? — число иррациональное.
7.42. Докажите, что
n n?1
n
n
cos x = ak cos kx, sin x = sin x bk sin kx,
k=0 k=0

где a0 , . . . , an , b0 ,. . . , bn?1 — рациональные числа. Найдите эти пред-
ставления в явном виде для n = 2, 3, 4, 5. Выразите sinn x при четном n в
n n
виде sinn x = ck cos kx, а при нечетном — в виде sinn x = dk sin kx.
k=0 k=0

7.43. Известно, что sin ? = 3/5. Докажите, что sin 25? имеет вид
n
, где n — целое, не делящееся на 5.
525
7.44. Последовательность многочленов P0 (x) = 1, P1 (x) = x, P2 (x) =
= x2 ? 1, . . . задается условием
Pn+1 (x) = x Pn (x) ? Pn?1 (x).
Докажите, что уравнение P100 (x) = 0 имеет 100 различных действи-
тельных корней на отрезке [?2; 2]. Что это за корни?
7.45. Докажите равенство:
n
1 + i tg ? 1 + i tg n?
= .
1 ? i tg ? 1 ? i tg n?
7.46. Докажите, что если z + z?1 = 2 cos ?, то zn + z?n = 2 cos n?.
Как выражается zn + z?n через y = z + z?1 ? (См. также 1.5.)
7.47. При подстановке в многочлены Чебышёва числа x = cos ?
получаются значения
sin n?
Tn (cos ?) = cos n?, Un?1 (cos ?) = .
sin ?
Что будет, если в многочлены Чебышёва подставить число x = sin ??
7.48. Пусть a,v — натуральные числа и (a, b) = 1. Докажите, что
b
v
величина ( a + i b)n не может быть действительным числом за ис-
ключением случаев (a; b) = ( ± 1; ± 1), ( ± 1; ± 3), ( ± 3; ± 1).
1. Комплексная плоскость 107

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен степени n (n 1),
с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно n
(с учетом кратности) комплексных корней. (См. [20], [217].)
7.49. Пусть многочлен с действительными коэффициентами f(x)
имеет корень a+ib. Докажите, что число a?ib также будет корнем f(x).
(См. также 7.82.)
7.50. Докажите, что произвольный многочлен с действительными
коэффициентами можно разложить в произведение многочленов первой
и второй степени, которые также будут иметь действительные коэффи-
циенты.
7.51. Формула Эйлера. Пусть a и b — действительные числа.
Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел
равенством
a + ib n
ea+ib = lim 1 + .
n
n>?

Докажите формулу Эйлера:
ea+ib = ea (cos b + i sin b).
Докажите также, что функции sin x и cos x допускают следующие пред-
ставления через комплексную экспоненту:
eix + e?ix eix ? e?ix
cos x = sin x =
, .
2 2i
(См. также 5.35, 11.73 и 12.12.)
7.52. Докажите, что для любых комплексных чисел z1 , z2 справед-
ливо равенство ez1 ez2 = ez1 +z2 . (См. также 11.73.)
7.53. Перепишите формулы Муавра, используя вместо тригономет-
рических функций комплексную экспоненту.
7.54. Как определить функцию ln z для комплексного аргумента z?
7.55. Как на комплексной плоскости определить показательную
функцию az ? (См. также 12.12.)
v 1
7.56. Придайте смысл равенству i ?1 = (?1)1/i ? 23 .
7
2? 2?
7.57. Пусть z = e2?i/n = cos + i sin . Для произвольного целого
n n
a вычислите суммы
а) 1 + za + z2a + . . . + z(n?1)a ; б) 1 + 2za + 3z2a + . . . + nz(n?1)a .
7.58. а) Докажите равенство:
sin(n?/2) cos((n + 1)?/2)
cos ? + . . . + cos n? = ;
sin(?/2)
108 7. Комплексные числа

б) Вычислите сумму:
sin ? + . . . + sin n?.
(См. также 8.11.)
7.59. Докажите равенство:
sin ? + sin 3? + . . . + sin(2n ? 1)?
= tg n?.
cos ? + cos 3? + . . . + cos(2n ? 1)?
7.60. Вычислите суммы:
а) cos2 x + cos2 2x + . . . + cos2 2nx; б) sin2 x + sin2 2x + . . . + sin2 2nx.
7.61. Используя разложение (1 + i)n по формуле бинома Ньютона,
найдите суммы:
а) C0 ? C2 + C4 ? . . . + C100 ; б) C1 ? C3 + C5 ? . . . ? C99 .
100 100 100 100 99 99 99 99

7.62. а) Докажите равенство:
n?
C0 ? C2 + C4 ? . . . = 2n/2 cos .
n n n
4
б) Вычислите сумму:
C1 ? C3 + C5 ? . . .
n n n

7.63. а) Докажите равенство:
1n n?
1 + C3 + C6 + . . . = 2 + 2 cos .
n n
3 3
б) Вычислите суммы:
C1 + C4 + C7 + . . . ; C2 + C5 + C8 + . . .
n n n n n n

7.64. Докажите равенство:
2n
1 1 n?
C1 ? C3 + C5 ? . . . = sin .
n n n (n?1)/2
3 9 6
3

7.65. Вычислите суммы:
а) 1 + a cos ? + . . . + ak cos k? + . . . (|a| < 1);
б) a sin ? + . . . + ak sin k? + . . . (|a| < 1);
в) cos ? + C1 cos 2? + . . . + Cn cos(n + 1)?;
n n
г) sin ? + C1 sin 2? + . . . + Cn sin(n + 1)?.
n n

7.66. Найдите предел
1 1
lim 1 + cos x + . . . + k cos kx .
2 2
k>?

7.67. Пусть z1 , . . . , zn — отличные от нуля комплексные числа, ле-
жащие в полуплоскости ? < arg z < ? + ?. Докажите, что
1. Комплексная плоскость 109

а) z1 + . . . + zn = 0; б) z?1 + . . . + z?1 = 0.
1 n

7.68. Пусть z1 , z2 , . . . , zn — вершины выпуклого многоугольника.
Найдите геометрическое место точек
z = ?1 z1 + ?2 z2 + . . . + ?n zn ,
где ?1 , ?2 , . . . , ?n — действительные положительные числа такие, что
?1 + ?2 + . . . + ?n = 1.
7.69. Докажите, что корни уравнения
1 1 1
+ + = 0,
z?a z?b z?c
где a, b, c — попарно различные комплексные числа, лежат внутри
треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в
случае вырожденного треугольника).
7.70. Пусть f(x) = (x?a)(x?b)(x?c) — многочлен третьей степени с
комплексными корнями a, b, c. Докажите, что корни производной этого
многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.
7.71. Теорема Гаусса – Люка. Пусть f(x) — многочлен степени n
с корнями ?1 , . . . , ?n . Определим многоугольник M как выпуклую
оболочку точек ?1 , . . . , ?n на комплексной плоскости. Докажите, что
корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.
7.72. При каких n
а) многочлен x2n + xn + 1 делится на x2 + x + 1?
б) многочлен x2n ? xn + 1 делится на x2 ? x + 1?
7.73. Докажите, что при любых целых a и натуральном n выраже-
ние (a + 1)2n+1 + an + 2 делится на a2 + a + 1.
7.74. При каких n многочлен (x + 1)n + xn + 1 делится на:
а) x2 + x + 1; б) (x2 + x + 1)2 ; в) (x2 + x + 1)3 ?
7.75. При каких n многочлен (x + 1)n ? xn ? 1 делится на:
а) x2 + x + 1; б) (x2 + x + 1)2 ; в) (x2 + x + 1)3 ?
7.76. Пусть (x ? 1) | P(xn ). Докажите, что (xn ? 1) | P(xn ).
7.77. Найдите остаток от деления многочлена
P(x) = x6n + x5n + x4n + x3n + x2n + xn + 1
на
Q(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1,
если известно, что n кратно 7.
110 7. Комплексные числа

7.78. Найдите все корни уравнения (z ? 1)n = (z + 1)n . Чему равна
сумма квадратов корней этого уравнения?
7.79. Докажите, что все корни уравнения a(z ? b)n = c(z ? d)n ,
где a, b, c, d — заданные комплексные числа, расположены на одной
окружности или прямой. (См. также 7.10.)
7.80. Докажите, что при нечетном n > 1 справедливо равенство
n?1
n2 ? 1
1
= .
sin2 (?m/n) 3
m=1


7.81* . Ряд обратных квадратов. а) Докажите, что при нечетном
n > 1 справедливо равенство
(n?1)/2
?2 ?2
1
(0 < ? < 1).
= ? ?
m2 6 2n
m=1


б) Докажите тождество:
?
?2
1
= .
m2 6
m=1


7.82* . Положительные многочлены. Многочлен P(x) при всех
действительных x принимает только положительные значения. Дока-
жите, что найдутся такие многочлены a(x) и b(x), для которых P(x) =
= a2 (x) + b2 (x).

2. Преобразования комплексной плоскости
Будем пользоваться обозначениями:
Ta — параллельный перенос на вектор a;
Sl — симметрия относительно прямой l (осевая симметрия с осью l);
R? — поворот вокруг точки A на угол ? против часовой стрелки;
A
Hk — гомотетия с центром в точке A и коэффициентом k.
A

7.83. Во что перейдет треугольник с вершинами в точках: 0, 1 ? i,
1 + i в результате преобразования
1 i
w= v +v z?
2 2
7.84. Во что перейдет угол ? с вершиной в начале координат в
результате преобразования w = z3 ?
2. Преобразования комплексной плоскости 111

7.85. Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответ-
ствуют следующие отображения:
а) w = z + a; б) w = 2z; в) w = z(cos ? + i sin ?); г) w = z?
7.86. Как представить в виде w = f(z) симметрию относительно
прямой l проходящей через начало координат под углом ? к оси Ox?
7.87. Выразите в виде w = f(z) следующие геометрические преоб-
разования:
а) H2 ? T3+4i ; в) R?/4 ; д) H2 ? H1/2 ;
i ?1
O 1
е) R?/4 ? R?/4 ? R?/4 ? R?/4 .
б) T3+4i ? H2 ; г) Hk ; i ?1 ?i 1
O A
Здесь точка O = (0; 0) — начало координат. Композиция преобразо-
ваний делается справа налево: (f ? g)(z) = f(g(z)).
7.88. Представьте гомотетию H2 в виде композиции параллельного
i
переноса и гомотетии с центром в точке O.
7.89. Теорема о трех центрах подобия. Докажите при помощи
комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомоте-
тия или параллельный перенос:

Ta , k1 k2 = 1,
Hk2 ? Hk1 =
A2 A1
Hk , k1 k2 = 1,
A


причем в первом случае вектор a параллелен прямой A1 A2 , а во втором
случае центр результирующей гомотетии A лежит на прямой A1 A2 и
k = k1 · k2 .
7.90. Постройте образ квадрата с вершинами A(0; 0), B(0; 2), C(2; 2),
D(2; 0) при следующих преобразованиях:
а) w = iz; б) w = 2iz ? 1; в) w = z2 ; г) w = z?1 .
7.91. Куда переходит полоса 2 < Re z < 3 при отображениях:
а) w = z?1 ; б) w = (z ? 2)?1 ; в) w = (z ? 5/2)?1 ?
7.92. Найдите v
а) образ окружности |z?a?bi| = a2 + b2 при отображении w = 1/z;
2aR
б) образ окружности |z ? a| = R при отображении w = .
z ? a2 + R2
2


7.93* . Правильный n-угольник вписан в единичную окружность.
Докажите, что
а) сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей равна n2 ;
?
б) сумма всех сторон и всех диагоналей равна n ctg ;
2n
в) произведение всех сторон и всех диагоналей равно nn/2 .
112 7. Комплексные числа

Определение. Дробно-линейными отображениями комплексной
плоскости называются преобразования, записываемые формулами
az + b
(7.1)
w= ,
cz + d
az + b
(7.2)
w= ,
cz + d
где ? = ad ? bc = 0.
7.94. Как действуют отображения (7.1) и (7.2) в случае, когда ? =
= ad ? bc = 0?
Определение. Расширенной комплексной плоскостью C называет-
ся комплексная плоскость C, к которой добавлена бесконечно удаленная
1
точка ? = , то есть C = C ? {?}.
0
7.95. Докажите, что дробно-линейные отображения являются вза-
имно однозначными отображениями расширенной комплексной плоско-
сти.
7.96. Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение
вида (7.1) может быть получено композицией параллельных переносов
и отображения вида w = R/z.
Глава 8
Алгебра + геометрия

1. Геометрия помогает алгебре
8.1. Докажите, что сумма векторов, направленных из центра пра-
вильного n-угольника в его вершины, равна нулю.
8.2. Докажите равенства:
? 2? 1
a) cos ? cos =;
5 5 2
1 1 1
б) ;
= +
sin(?/7) sin(2?/7) sin(3?/7)
в) sin 9? + sin 49? + sin 89? + . . . + sin 329? = 0.
(См. также 7.26.)
8.3. Вычислите
? 4? 7? ? 3? 5?
а) cos cos cos ; б) cos + cos + cos .
9 9 9 7 7 7
8.4. Найдите cos 36? и cos 72? .
8.5. а) Используя геометрические соображения, докажите, что осно-
вание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом 36? при
вершине несоизмеримы (т. е. их отношение иррационально).
б) Придумайте геометрическое доказательство иррационально-
v
сти 2.
8.6. Решите уравнения при 0? < x < 90? :
v v
v
a) 13 ? 12 cos x + 7 ? 4 3 sin x = 2 3;
v v v
б) 2 ? 2 cos x + 10 ? 6 cos x = 10 ? 6 cos 2x;
v
v v
в) 5 ? 4 cos x + 13 ? 12 sin x = 10.
8.7. Докажите равенство:
1 1 ?
arctg 1 + arctg + arctg = .
2 3 2
8.8. Докажите равенство:
ctg 30? + ctg 75? = 2.
114 8. Алгебра + геометрия

8.9. Пусть x, y, z — положительные числа и xyz(x + y + z) = 1.
Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z).
8.10. Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам
5 x, y, z 8. Какое наибольшее и наименьшее значение может при-
нимать величина
S = 2x2 y2 + 2x2 z2 + 2y2 z2 ? x4 ? y4 ? z4 ?
8.11. Найдите все корни xk уравнения
1
cos x + cos 2x + cos 3x + = 0.
2
Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа 2 cos xk ? (См.
также 7.58, 8.88.)
8.12. Решите систему
?
? ay + bx = c,
cx + az = b,
?
bz + cy = a.
Какой геометрический смысл она имеет? (См. также 8.83.)
8.13. Положительные числа a, b, c, x, y, z таковы, что
x2 + xy + y2 = a2 ,
y2 + yz + z2 = b2 ,
x2 + xz + z2 = c2 .
Выразите величину xy + yz + xz через a, b и c. (См. также 9.16.)

2. Комплексные числа и геометрия
В задачах этого пункта точки на комплексной плоскости отождеств-
ляются с числами. Поэтому с точками можно будет проделывать раз-
личные арифметические операции. Например, под суммой двух точек z1
и z2 будем понимать точку плоскости, соответствующую числу z1 + z2 .
8.14. Пусть z1 и z2 — фиксированные точки комплексной плоскости.
Дайте геометрическое описание множеств всех точек z, удовлетворяю-
щих соотношениям:
z ? z1 z ?z
= 0; б) arg 1
а) arg = 0.
z ? z2 z ? z2
Определение. Комплексное число
z2 ? z0
V(z2 , z1 , z0 ) =
z1 ? z0
2. Комплексные числа и геометрия 115

называется отношением трех точек (трех комплексных чисел) z2 ,
z1 , z0 .
8.15. Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точ-
ке z0 и проходящими через точки z1 и z2 , равен аргументу отношения
V(z2 , z1 , z0 ) точек z2 , z1 , z0 .
8.16. Докажите, что три точки z2 , z1 , z0 лежат на одной прямой
тогда и только тогда, когда V(z2 , z1 , z0 ) — вещественное число, или
? ?
z0 ? z2 z ? z2
=0 .
? ?
z1 ? z2 z1 ? z2
8.17. Докажите, что прямая, проходящая через точки z1 и z2 — это
геометрическое место точек z, для которых
?
z ? z2 z ? z2
= .
? ?
z1 ? z2 z1 ? z2
8.18. Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости
всегда может быть записано в виде

Bz ? Bz + C = 0,

где C — чисто мнимое число.
8.19. Докажите, что условием того, что четыре точки z0 , z1 , z2 ,
z3 лежат на одной окружности (или прямой) является вещественность
числа
V(z0 , z1 , z2 ) z ? z2 z0 ? z3
=0 : .
V(z0 , z1 , z3 ) z1 ? z2 z1 ? z3

Определение. Комплексное число
V(z0 , z1 , z2 )
W(z0 , z1 , z2 , z3 ) =
V(z0 , z1 , z3 )

называется двойным отношением четырех точек (четырех комплекс-
ных чисел) z0 , z1 , z2 , z3 .
8.20. Инвариантность двойного отношения. Пусть z1 , z2 , z3 ,
z4 — четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображе-
ние (7.1) переводит данные четыре точки z1 , z2 , z3 , z4 . Докажите, что

W(z1 , z2 , z3 , z4 ) = W(z1 , z2 , z3 , z4 ).

8.21. Как изменяется двойное отношение W(z1 , z2 , z3 , z4 ) при дей-
ствии отображения (7.2)?
116 8. Алгебра + геометрия

8.22. Круговое свойство дробно-линейных отображений.
Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую пря-
мую линию или окружность снова в прямую линию или окружность.
8.23. Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на ком-
плексной плоскости всегда может быть записано в виде

(8.1)
Azz + Bz ? Bz + C = 0,

где A и C — чисто мнимые числа.
8.24. Докажите, что уравнение (8.1) при отображениях w = z + u
и w = R/z переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого
круговое свойство дробно-линейных отображений.
Определение. Инверсией относительно окружности S с цен-
тром O и радиусом R называется преобразование плоскости, перево-
дящее произвольную точку A, отличную от O, в точку A , лежащую
на луче OA на расстоянии OA = R2 /OA. Образом точки O считается
бесконечно удаленная точка, а образом бесконечно удаленной точки,
соответственно, точка O.
Инверсией относительно окружности S будем также называть инвер-
сией с центром O и коэффициентом R2 , а окружность S — окружностью
инверсии.
8.25. Докажите, что отображение w = 1/z является инверсией отно-
сительно единичной окружности.
8.26. Представьте в виде композиции дробно-линейного отображе-
az + b
ния w = и комплексного сопряжения w = z инверсию относи-
cz + d
тельно окружности
а) с центром i и радиусом R = 1; б) с центром Rei? и радиусом R;
в) с центром z0 и радиусом R.
8.27. Круговое свойство инверсии. Докажите, что инверсия пе-
реводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность
или прямую линию.
8.28. Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет
вид (8.1). Пусть образ этой линии при отображении (7.1) задается урав-
нением
A zz + B z ? B z + C = 0,

где A и C также чисто мнимые числа. Выразите A , B и C через A,
B и C.
2. Комплексные числа и геометрия 117

Определение. Степенью точки A относительно окружности ра-
диуса R с центром в точке O называется величина |OA|2 ? R2 .
8.29. Докажите, что степень точки w относительно окружности
Azz + Bz ? Bz + C = 0
равна
B B C
ww + w ? w+ .
A A A
8.30. Радикальная ось двух окружностей. Докажите, что
геометрическое место точек w, степень которых относительно двух
неконцентрических окружностей S1 и S2 одинакова, является прямой.
Такая прямая называется радикальной осью окружностей S1 и S2 .
8.31. Радикальный центр трех окружностей. На плоскости
даны три окружности S1 , S2 и S3 . Докажите, что если две радикальных
оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная
ось также проходит через эту точку.
Точка Q называется радикальным центром окружностей S1 , S2 и S3 .
8.32. Ортоцентр треугольника. Точки a1 , a2 и a3 расположены
на единичной окружности z z = 1. Докажите, что точка h = a1 + a2 + a3
является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a1 , a2 и a3 .
8.33. Окружность Эйлера. Точки a1 , a2 и a3 расположены на
единичной окружности z z = 1. Докажите, что окружность с центром
в точке e = h/2 и радиусом 1/2 проходит через середины сторон тре-
угольника a1 a2 a3 , основания высот и середины отрезков, соединяющих
вершины a1 , a2 , a3 с ортоцентром h.
8.34. Цертр масс треугольника. Докажите, что точка m = (a1 +
+ a2 + a3 )/3 является точкой пересечения медиан треугольника a1 a2 a3 .
8.35. Прямая Эйлера. Докажите, что в произвольном треугольни-
ке точка пересечения медиан, ортоцентр и центр описанной окружности
лежат на одной прямой.
8.36. Прямая Симпсона. Пусть u — точка на единичной окруж-
ности z z = 1 и u1 , u2 , u3 — основания перпендикуляров, опущенных из
u на стороны a2 a3 , a1 a3 , a1 a2 треугольника a1 a2 a3 .
а) Докажите, что числа u1 , u2 , u3 вычисляются по формулам
u1 = (a2 + a3 + u ? a2 a3 /u)/2,
u2 = (a1 + a3 + u ? a1 a3 /u)/2,
u3 = (a1 + a2 + u ? a1 a2 /u)/2.
118 8. Алгебра + геометрия

б) Докажите, что точки u1 , u2 , u3 лежат на одной прямой.
8.37. На плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каж-
дым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую
через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности
проходят через одну точку.

3. Тригонометрия
8.38. Вычислите следующие произведения:
а) sin 20? sin 40? sin 60? sin 80? ; б) cos 20? cos 40? cos 60? cos 80? .
8.39. Докажите равенство:
7
? 2? 3? 4? 5? 6? 7? 1
cos cos cos cos cos cos cos = .
15 15 15 15 15 15 15 2
8.40. Упростите выражение:
cos a · cos 2a · cos 4a · . . . · cos 2n?1 a.
8.41. Упростите выражения:
? 2? 3? n?
· . . . · sin
а) sin sin sin ;
2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1
(n ? 1)?
? 2? 3?
· . . . · sin
б) sin sin sin ;
2n 2n 2n 2n
? 2? 3? n?
· . . . · cos
в) cos cos cos ;
2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1
(n ? 1)?
? 2? 3?
· . . . · cos
г) cos cos cos .
2n 2n 2n 2n
8.42. Докажите равенство:
v
tg 20? · tg 40? · tg 80? = 3.
8.43. Решите уравнение:
x x x x x 1
cos ? cos 2? cos 4? cos 8? cos 16? = .
31 31 31 31 31 32
8.44. Известно, что sin ? = 1/5 sin(2? + ?). Докажите равенство:
tg(? + ?) = 3/2 tg ?.
8.45. Пусть ? и ? — острые и положительные углы, удовлетворяю-
щие равенствам
3 sin2 ? + 2 sin2 ? = 1,
3 sin 2? ? 2 sin 2? = 0.
3. Тригонометрия 119

Докажите, что ? + 2? = ?/2.
8.46. Докажите равенства:
v v v v
6? 2 6+ 2
? ?
а) sin 15 = , cos 15 = ;
4v 4v
?1 + 5 10 + 2 5
б) sin 18? = cos 18? = .
,
4 4
8.47. Докажите равенства:
v v v v
30 ? 6 5 ? 6+2 5 18 + 6 5 + 10 ? 2 5
? ?
sin 6 = cos 6 =
, .
8 8
8.48. Докажите тождества:
?+? ?+? ?+?
а) sin ? + sin ? + sin ? ? sin(? + ? + ?) = 4 sin sin sin ;
2 2 2
?+? ?+? ?+?
б) cos ? + cos ? + cos ? + cos(? + ? + ?) = 4 cos cos cos .
2 2 2
8.49. Докажите тождество:
sin(? + ? + ?)
tg ? + tg ? + tg ? ? = tg ? tg ? tg ?.
cos ? cos ? cos ?
8.50. Найдите алгебраическую связь между углами ?, ? и ?, если
известно, что
tg ? + tg ? + tg ? = tg ? · tg ? · tg ?.
8.51. Докажите, что если ? + ? + ? = ?, то
? ? ?
sin ? + sin ? + sin ? = 4 cos cos cos .
2 2 2
8.52. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций
а) f1 (x) = a cos x + b sin x; б) f2 (x) = a cos2 x + b cos x sin x + c sin2 x.
8.53. Пусть cos x + cos y = a, sin x + sin y = b. Вычислите cos(x + y)
и sin(x + y).
v
8.54. Докажите, что функция cos x не является периодической.
8.55. При каких целых значениях n функция
5
y = cos nx · sin x
n
имеет период 3??
8.56. Рассмотрим функцию f(x) = A cos x + B sin x, где A и B —
некоторые постоянные. Докажите, что если f(x) обращается в ноль при
двух значениях аргумента x1 и x2 таких, что x1 ? x2 = k? (k — целое),
то функция f(x) равна нулю тождественно.
120 8. Алгебра + геометрия

8.57. Докажите, что если сумма
a1 cos(?1 + x) + a2 cos(?2 + x) + . . . + an cos(?n + x)
при x = 0 и x = x1 = k? (k — целое) обращается в ноль, то она равна
нулю при всех x.
8.58. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) =
= sin6 x + cos6 x.
8.59. Решите уравнение sin4 x + cos4 x = a.
8.60. Решите уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
8.61. Решите уравнение tg x + tg 2x + tg 3x + tg 4x = 0.
8.62. Пусть ? и ? — различные корни уравнения a cos x + b sin x = c.
Докажите, что
c2
2 ???
cos =2 .
2
2 a +b
8.63. Решите систему:
?
? x sin ? + y sin 2? + z sin 3? = sin 4?,
?
x sin ? + y sin 2? + z sin 3? = sin 4?,
?
?
x sin ? + y sin 2? + z sin 3? = sin 4?.
8.64. Вычислите:
? 33?
а) arccos sin ? ; б) arcsin cos .
7 5
8.65. Докажите, что имеют место следующие соотношения:
v v
а) cos arcsin x = 1 ? x2 ; д) sin arccos x = 1 ? x2 ;
1 1
б) tg arcctg x = ; е) ctg arctg x = ;
x x
1 x
в) cos arctg x = v ж) sin arctg x = v
; ;
1 + x2 1 + x2
x 1
г) cos arcctg x = v з) sin arcctg x = v
; .
1 + x2 1 + x2
8.66. Докажите равенства:
? ?
а) arctg x + arcctg x = ; б) arcsin x + arccos x = .
2 2
8.67. Докажите формулы:
а) arcsin(?x) = ? arcsin x, б) arccos(?x) = ? ? arccos x.
1
8.68. Чему равна сумма arctg x + arctg ?
x
8.69. Докажите равенство:
x+y
arctg x + arctg y = arctg + ??,
1 ? xy
3. Тригонометрия 121

где ? = 0, если xy < 1, ? = ?1 , если xy > 1 и x < 0, ? = +1, если xy > 1
и x > 0.
8.70. Докажите равенство:
1 1 ?
4 arctg ? arctg =.
5 239 4
8.71. Докажите равенство:
1 1 1 1 ?
arctg + arctg + arctg + arctg = .
3 5 7 8 4
8.72. Найдите сумму:
x x x
arctg + arctg + . . . + arctg (x > 0).
2 2
1 + n · (n + 1)x2
1 + 1 · 2x 1 + 2 · 3x
8.73. Найдите сумму:
r r r
arctg + arctg + . . . + arctg ,
1 + a1 · a2 1 + a2 · a3 1 + an · an+1
если числа a1 , a2 , . . . , an+1 образуют арифметическую прогрессию с
разностью r (a1 > 0, r > 0).
8.74. Докажите, что числа Фибоначчи {Fn } удовлетворяют соотно-
шению
arcctg F2n ? arcctg F2n+2 = arcctg F2n+1 . (8.2)
Получите отсюда равенство
?
arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 + . . . + arcctg F2n+1 + . . . = .
4
8.75. Докажите, что при x > 1 выполняется равенство:
2x
2 arctg x + arcsin = ?.
1 + x2
8.76. Решите уравнение
x2 ? 8 x ?
arcsin = 2 arcsin ? .
8 4 2
8.77. Докажите формулу:
v
arcsin 1 ? x2 , если 0 x 1;
v
arccos x =
? ? arcsin 1 ? x2 , если ? 1 x 0.
8.78. Докажите равенство:
v
1 ? y2 + y 1 ? x2 ) + ??,
arcsin x + arcsin y = ? arcsin(x
122 8. Алгебра + геометрия

где ? = 1, ? = 0, если xy < 0 или x2 + y2 1; ? = ?1, ? = ?1, если
x + y > 1, x < 0, y < 0; ? = ?1, ? = 1, если x2 + y2 > 1, x > 0, y > 0.
2 2


8.79. Докажите, что если 0 < x < 1 и
1 ? x2
1+x
? = 2 arctg ? = arctg
, ,
1 + x2
1?x
то ? + ? = ?.
8.80. Найдите соотношение между функциями
arcsin cos arcsin x и arccos sin arccos x.
?
8.81. Докажите, что при 0 выполняется неравенство
?
2
cos sin ? > sin cos ?.
8.82. Вычислите
1 5
sin 2 arctg ? arctg .
5 12
8.83. Теорема синусов. Докажите, что из равенств
a b c
(8.3)
= = , ?+?+?=?
sin ? sin ? sin ?
следует:
a = b cos ? + c cos ?,
b = c cos ? + a cos ?, (8.4)
c = a cos ? + b cos ?.
(См. также 8.12.)
8.84. Покажите, что из соотношений (8.4) и дополнительных усло-
вий 0 < ? < ?, 0 < ? < ?, 0 < ? < ?, a > 0, b > 0, c > 0 следуют
равенства (8.3).
8.85. Теорема косинусов. Докажите, что соотношения (8.4) рав-
носильны системе
a2 = b2 + c2 ? 2bc cos ?,
b2 = a2 + c2 ? 2ac cos ?, (8.5)
2 2 2
c = a + b ? 2ab cos ?,
то есть из равенств (8.4) вытекают равенства (8.5) и наоборот.
8.86. Теорема синусов и первая теорема косинусов для трех-
гранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами
?, ?, ? и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для
3. Тригонометрия 123

него справедлива теорема синусов (8.7) и две теоремы косинусов (8.6),
(8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана,
другие могут быть получены путем алгебраических преобразований.
Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что
просто даны равенства
cos ? = cos ? cos ? + sin ? sin ? cos A,
cos ? = cos ? cos ? + sin ? sin ? cos B, (8.6)
cos ? = cos ? cos ? + sin ? sin ? cos C,
и, кроме того, величины ?, ?, ? и A, B, C заключены между 0 и ?.
Докажите, что
sin A sin B sin C
(8.7)
= = .
sin ? sin ? sin ?
8.87. Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и
аналог формулы Герона. Докажите, что из системы (8.6) следуют
равенства
cos A = ? cos B cos C + sin B sin C cos ?,
cos B = ? cos A cos C + sin A sin C cos ?,
(8.8)
cos C = ? cos A cos B + sin A sin B cos ?,
A+B+C?? p p?? p?? p??
tg tg tg tg tg
= ,
4 2 2 2 2
где 2p = ? + ? + ?.
8.88. Формулы Рамануджана. Докажите следующие тождества:
v
5?337
2? 4? 8? 3
3 3 3
а) cos cos cos ;
+ + =
7 7 7 2
v
339?6
2? 4? 8? 3
3 3 3
б) cos cos cos .
+ + =
9 9 9 2
(См. также 8.11.)
8.89. Пусть
sin 2nx · sin(2n ? 1)x · . . . · sin(2n ? k + 1)x
uk = .
sin kx · sin(k ? 1)x · . . . · sin x
Докажите, что числа uk можно представить в виде многочлена от cos x.
(См. также 3.142.)
8.90. Пусть числа uk определены как и в предыдущей задаче. До-
кажите тождества:
а) 1?u1 +u2 ?. . .+u2n = 2n (1?cos x)(1?cos 3x)·. . .·(1?cos(2n?1)x);
sin(2n + 2)x · sin(2n + 4)x · . . . · sin 4nx
б) 1 ? u2 + u2 ? . . . + u2 = (?1)n .
1 2 2n
sin 2nx · sin 2(n ? 1)x · . . . · sin 2x
Глава 9
Уравнения и системы

1. Уравнения третьей степени
9.1. Докажите, что
а) при p 0 график многочлена x3 + px + q = 0 пересекает каждую
горизонтальную прямую ровно в одной точке;
б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые
в трех точках;
в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум при этом
абсциссы точек минимума и максимума противоположны.
9.2. Докажите, что произвольное уравнение третьей степени
z3 + Az2 + Bz + C = 0
при помощи линейной замены переменной z = x + ? можно привести к
виду
x3 + px + q = 0. (9.1)
9.3. Докажите, что график многочлена
а) x3 + px; б) x3 + px + q; в) ax3 + bx2 + cx + d
имеет центр симметрии.
v v
3 3
9.4. Докажите равенство 2 + 5 + 2 ? 5 = 1.
9.5. Решите уравнение
1
x3 + x 2 + x = ? .
3
9.6. Докажите, что уравнение
x3 + ax2 ? b = 0,
где a и b вещественные и b > 0, имеет один и только один положитель-
ный корень.
9.7. Какими должны быть числа a и b, чтобы выполнялось равен-
ство
x3 + px + q = x3 ? a3 ? b3 ? 3abx?
1. Уравнения третьей степени 125

9.8. Разложите многочлен
a3 + b3 + c3 ? 3abc
на три линейных множителя. (См. также 11.74.)
9.9. Выразите через a и b действительный корень уравнения
x3 ? a3 ? b3 ? 3abx = 0.
Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.
9.10. Докажите, что
(a2 + b2 + c2 ? ab ? bc ? ac)(x2 + y2 + z2 ? xy ? yz ? xz) =
= X2 + Y 2 + Z2 ? XY ? YZ ? XZ,
если
X = ax + cy + bz,
Y = cx + by + az,
Z = bx + ay + cz.
9.11. Формула Кардано. Получите формулу для корня уравнения
3
x + px + q = 0:

q2 p3 q2 p3
q q
3 3
x= ? + + + ? ? +.
2 4 27 2 4 27

9.12. Решите уравнение x3 + x ? 2 = 0 подбором и по формуле
Кардано.
9.13. Выпишите уравнение, корнем которого будет число
13v v
3
?= 5 2+7? 5 2?7 .
2
Запишите число ? без помощи радикалов.
9.14. При всех значениях параметра a найдите число действитель-
ных корней уравнения x3 ? x ? a = 0.
2
9.15. Решите уравнение x3 ? x ? v = 0. Сколько действительных
33
корней оно имеет?
9.16. Докажите, что если x1 , x2 , x3 — корни уравнения x3 +px+q = 0,
то
x2 + x2 x3 + x2 = x2 + x1 x3 + x2 = x2 + x1 x2 + x2 = ?p.
2 3 1 3 1 2

(См. также 8.13.)
126 9. Уравнения и системы

Определение. Пусть f(x) — некоторый многочлен степени n 2,
и пусть f(x) = an (x ? ?1 ) . . . (x ? ?n ) — разложение f(x) на линейные
множители. Тогда дискриминант D(f) многочлена f(x) определяется
так:
D(f) = a2n?2 (?j ? ?l )2 .
n
1 j<l n


Из определения D(f) ясно, что многочлен f(x) в том и только в том
случае имеет кратный корень, когда D(f) = 0.
9.17. Дискриминант кубического уравнения. Пусть уравнение
3
x + px + q = 0 имеет корни x1 , x2 и x3 . Выразите через p и q дискри-
минант этого уравнения
D = (x1 ? x2 )2 (x2 ? x3 )2 (x3 ? x1 )2 .
9.18. Докажите, что равенство
4p3 + 27q2 = 0
является необходимым и достаточным условием для совпадения по
крайней мере двух корней уравнения x3 + px + q = 0.
9.19. Найдите все действительные значения a и b, при которых
уравнения
x3 + ax2 + 18 = 0, x3 + bx + 12 = 0
имеют два общих корня, и определите эти корни.
Определение. Кривая 4p3 + 27q2 = 0 на фазовой плоскости Opq
называется дискриминантной кривой уравнения x3 + px + q = 0.
Прямые ap + q + a3 = 0, соответствующие трехчленам, имеющим
корень a, называются корневыми.
9.20. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости Opq
дискриминантной кривой и корневых прямых? Имеют ли они общие
точки, и, если имеют, то сколько? (См. также 6.22.)
9.21. Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p; q),
для которых уравнение x3 + px + q = 0 имеет а) один корень; б) два
корня; в) три различных корня; г) три совпадающих корня.
9.22. Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p; q),
для которых все корни уравнения x3 + px + q = 0 не превосходят по
модулю 1.
9.23. Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек (p; q),
для которых уравнение x3 + px + q = 0 имеет три различных корня,
1. Уравнения третьей степени 127

принадлежащих заданному интервалу (a; b). Рассмотрите, например,
случай, когда a = ?2, b = 4.
9.24. Метод Виета. Когда 4p3 +27q2 < 0, уравнение x3 +px+q = 0
имеет три действительных корня (неприводимый кубического уравне-
ния), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо
использование комплексных чисел. Однако можно указать все три кор-
ня в явном виде через тригонометрические функции.
а) Докажите, что при p < 0 уравнение 9.1 заменой x = kt сводится
к уравнению
4t3 ? 3t ? r = 0 (9.2)
от переменной t.
б) Докажите, что при 4p3 + 27q2 0 решениями уравнения (9.2)
будут числа
? ? + 2? ? + 4?
t1 = cos t2 = cos t3 = cos
, , ,
3 3 3
где ? = arccos r.
9.25. Решите уравнения v
а) x3 ? 3x ? 1 = 0; б) x3 ? 3x ? 3 = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.
9.26. Докажите, что если корни многочлена f(x) = x3 + ax2 + bx + c
образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то мно-
гочлен f (x) = 3x2 + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный
в центре этого треугольника.
9.27. Докажите, что если уравнения
x3 + px + q = 0,
x3 + p x + q = 0
имеют общий корень, то
(pq ? qp )(p ? p )2 = (q ? q )3 .
9.28. а) Докажите, что при 4p3 + 27q2 0 уравнение 9.1 заменой
x = ?y + ? сводится к уравнению
ay3 ? 3by2 ? 3ay + b = 0 (9.3)
от переменной y.
б) Докажите, что при решениями уравнения (9.3) будут числа
? ? + 2? ? + 4?
y1 = tg y2 = tg y1 = tg
, , ,
3 3 3
128 9. Уравнения и системы

где ? определяется из условий:
b a
sin ? = v cos ? = v
, .
a2 + b2 a2 + b2
9.29. Метод Феррари. Этот метод позволяет решать произвольное
уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного
кубического уравнения и двух квадратных уравнений.
а) Докажите, что любое уравнение 4 степени можно привести к виду

x4 = Ax2 + Bx + C. (9.4)
б) Введем действительный параметр ? и перепишем уравнение (9.4)
в виде
x4 + 2?x2 + ?2 = (A + 2?)x2 + Bx + (C + ?2 ). (9.5)
Докажите, что для некоторого ? ?A/2 правая часть равенства (9.5)
превращается в полный квадрат (по переменной x). Пользуясь равен-
ством (9.5), опишите метод нахождения корней уравнения (9.4).

2. Тригонометрические замены
9.30. Решите систему
x2 + y2 = 1,
4xy(2y2 ? 1) = 1.
9.31. Решите систему
?
? y = 2x2 ? 1,
z = 2y2 ? 1,
?
x = 2z2 ? 1.
9.32. Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно
выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство
x?y 1
<v .
0<
1 + xy 3
9.33. Среди всех решений системы
?2 2
? x + y = 4,
z2 + t2 = 9,
?
xt + yz = 6,
выберете те, для которых величина x + z принимает наибольшее значе-
ние.
2. Тригонометрические замены 129

9.34. Решите уравнения
v v
v
а) 1 ? x2 = 4x3 ? 3x; в) 1 ? x = 2x2 ? 1 + 2x 1 ? x2 ;
1 ? |x|
x 35
= 2x2 ? 1.
б) x + v ; г)
=
12 2
x2 ? 1
9.35. Последовательность чисел {hn } задана условиями:

1 ? h2
1?
1 n
(n
h1 = , hn+1 = 1).
2 2
?
Докажите неравенство hk < 1,03.
k=1

9.36. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение

8x(1 ? 2x2 )(8x4 ? 8x2 + 1) = 1?

9.37. Пусть |x1 | 1 и |x2 | 1. Докажите неравенство
2
x1 + x2
1 ? x2 + 1 ? x2 2 1? .
1 2
2
9.38. Решите уравнение
v
v
|2x ? 1 ? 4x2 | = 2(8x2 ? 1).

9.39* . Числа x, y и z удовлетворяют соотношению xy + yz + xz = 1.
Докажите, что существуют числа ?, ?, ? такие, что ? + ? + ? = ? и
выполняются равенства

x = tg(?/2), y = tg(?/2), z = tg(?/2).

9.40. Решите системы:
? 3
? x + 3y = 4y , 1 1 1
3 x+ =4 y+ =5 z+ ,
3
x y z
a) y + 3z = 4z , в)
? xy + yz + xz = 1;
z + 3x = 4x3 ;
? ?
2
? 2x + x y = y, ? 1 ? x2 1 ? z2
2y
·
= ,
б) 2y + y2 z = z, 1 + x2 1 + y2 1 + z2
г)
? ?
2z + z2 x = x; xy + yz + xz = 1.
9.41. Пусть xy + yz + xz = 1. Докажите равенство:
x y z 4xyz
+ + = .
2 2 2
(1 ? x )(1 ? y2 )(1 ? z2 )
2
1?x 1?y 1?z

9.42. Решите систему:
130 9. Уравнения и системы


?
? tg x · tg z = 3,
tg y · tg z = 6,
?
x + y + z = ?.
9.43. Решите систему:
?
? y = x(4 ? x),
z = y(4 ? y),
?
x = z(4 ? z).
9.44. Решите уравнение:
v
1 + 2x 1 ? x2
+ 2x2 = 1.
2

3. Итерации
Определение. Итерацией называется результат повторного при-
менения какой-либо математической опреации. Так, если y = f(x) =
= f1 (x) есть некоторая функция от x, то функции f2 (x) = f(f1 (x)),
f3 (x) = f(f2 (x)), . . . , fn (x) = f(fn?1 (x)) называются соответственно вто-
рой, третьей, . . . , n-й итерациями функции f(x). При отыскании предела
последовательности xn = fn (x0 ) часто оказывается полезной следующая
теорема.
Теорема Вейерштрасса. Всякая возрастающая последователь-
ность, ограниченная сверху, имеет предел. Аналогично, всякая убыва-
ющая последовательность, ограниченная снизу, также имеет предел.
(См. [7].)
9.45. Имеются два сосуда. В них разлили 1 л. воды. Из первого сосу-
да переливают половину воды во второй, затем из второго переливают
половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда
переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Дока-
жите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из
сосудов, после 100 переливаний в них будет 2/3 л. и 1/3 л. с точностью
до 1 миллилитра.
v
9.46. Вавилонский алгоритм вычисления 2. Последователь-
ность чисел {xn } задана условиями:
1 2
(n
x0 = 1, xn+1 = xn + 0).
2 xn
v
Докажите, что lim xn = 2. (См. также 9.65.)
n>?
3. Итерации 131

9.47. К чему будет стремиться последовательность из предыдущей
задачи, если в качестве начального условия выбрать x0 = ?1?
9.48. Итерационная формула Герона. Докажите, что последо-
вательность чисел {xn }, заданная условиями
1 k
(n
x0 = 1, xn+1 = xn + , 0),
2 xn
сходится. Найдите предел этой последовательности.
9.49. Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последова-
тельность {an } равенствами
1 k
(n
a0 = a, an+1 = an + 0).
2 an
Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство
v v 2n
an ? k a? k
v= v .
an + k a+ k
9.50. Зафиксируем числа a0 и a1 . Построим последовательность {an }
в которой
a + an?1
an+1 = n (n 1).
2
Выразите an через a0 , a1 и n.
9.51. Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим
v
найти 3 x (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных
v
арифметических действий умеет находить x. Рассмотрим следующий
алгоритм. Строится последовательность чисел {yn }, в которой y0 — про-
v
извольное положительное число, например, y0 = x, а остальные
элементы определяются соотношением
v
(n
yn+1 = xyn 0).

Докажите, что v
3
lim yn = x.
n>?

б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой
степени.
9.52. Старый калькулятор II. Производная функции ln x при
x = 1 равна 1. Отсюда
ln(1 + x) ln(1 + x) ? ln 1
lim = lim = 1.
x (1 + x) ? 1
x>0 x>0
132 9. Уравнения и системы

Воспользуйтесь этим фактом для приближенного вычисления нату-
рального логарифма числа N. Как и в задаче 9.51, разрешается исполь-
зовать стандартные арифметические действия и операцию извлечения
квадратного корня.
9.53. Метод итераций. Для того, чтобы приближенно решить
уравнение, допускающее запись f(x) = x, применяется метод итераций.
Сначала выбирается некоторое число x0 , а затем строится последова-
тельность {xn } по правилу xn+1 = f(xn ) (n 0). Докажите, что если эта
последовательность имеет предел x? = lim xn , и функция f(x) непре-
n>?
рывна, то этот предел является корнем исходного уравнения: f(x? ) = x? .
Определение. Геометрической интерпретацией итерационного про-
цесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плос-
кости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса
координатного угла — прямая y = x. Затем на графике функции
отмечаются точки A0 (x0 , f(x0 )), A1 (x1 , f(x1 )), . . . , An (xn , f(xn )), . . . , а
на биссектрисе координатного угла — точки B0 (x0 , x0 ), B1 (x1 , x1 ), . . .
. . . , Bn (xn , xn ), . . . Ломаная B0 A0 B1 A1 . . . Bn An . . . называется итера-
ционной.
9.54. Постройте итерационные ломаные для следующих данных:
x
а) f(x) = 1 + , x0 = 0, x0 = 8;
2
1
б) f(x) = , x0 = 2;
x
в) f(x) = 2x ? 1, x0 = 0, x0 = 1,125;
3x 5
г) f(x) = ? x0 = ;
+ 6,
2 2
д) f(x) = v2 + 3x ? 3, x0 = 1, x0 = 0,99, x0 = 1,01;
x
е) f(x) = 1 + x, x0 = 0, x0 = 8;
x3 5x2 25x
ж) f(x) = ? + + 3, x0 = 3.
3 2 6
9.55. Последовательность чисел {an } задана условиями
1
(n
a1 = 1, an+1 = an + 1).
a2
n

Верно ли, что эта последовательность ограничена?
9.56. Для последовательности {an }
an
lim an+1 ? = 0.
2
n>?

Докажите, что lim an = 0.
n>?
3. Итерации 133

9.57. Числа a1 , a2 , . . . , ak таковы, что равенство
lim (xn + a1 xn?1 + . . . + ak xn?k ) = 0
n>?

возможно только для тех последовательностей {xn }, для которых
lim xn = 0. Докажите, что все корни многочлена
n>?


P(?) = ?k + a1 ?k?1 + a2 ?k?2 + . . . + ak
по модулю меньше 1.
9.58. Исследуйте последовательности на сходимость:
1
а) xn+1 = , x0 = 1;
1 + xn
б) xn+1 = sin xn , x0 = a ? (0; ?);
v
в) xn+1 = a + x, a > 0, x0 = 0.
9.59. Что останется от прямоугольника? Золотой прямоуголь-
ник — это такой прямоугольник, стороны a и b которого находят-
ся в пропорции золотого сечения, то есть удовлетворяют равенству
a : b = b : (a ? b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из
бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной
стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший
квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым
прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так,
чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с
новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом
обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди
отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника за исключением
одной, будет раньше или позже отсечена. Определите положение этой
исключительной точки.
v
9.60. Алгоритм приближенного вычисления 3 a. Последова-
тельность {an } определяется условиями:
1 a
(n
a0 = a > 0, an+1 = 2an + 2 0).
3 an
v
3
Докажите, что lim an = a.
n>?

9.61. Укажите способ приближенного нахождения положительного
корня уравнения x3 ? x ? 1 = 0.
9.62. Последовательность чисел {an } задана условиями
3an 1
a1 = 1, an+1 = + (n 1).
4 an
134 9. Уравнения и системы

Докажите, что
а) последовательность {an } ограничена;
б) |a1000 ? 2| < (3/4)1000 .
9.63. Найдите предел последовательности, которая задана условия-
ми
a2
an
+n
a1 = 2, an+1 = (n 1).
2 8
9.64. Сходимость итерационного процесса. Предположим, что
функция f(x) отображает отрезок [a; b] в себя, и на этом отрезке
|f (x)| q < 1. Докажите, что уравнение f(x) = x имеет на отрезке [a; b]
единственный корень x? . Докажите, что при решении этого уравнения
методом итераций будут выполняться неравенства:
qn
|xn+1 ? xn | |x1 ? x0 | · q , |x ? xn | |x1 ? x0 | ·
?
n
(n 0).
1?q

9.65. Докажите, что для чисел {xn } из задачи 9.46 можно в явном
виде указать разложения в цепные дроби:
xn = [1; 2, . . . , 2 ] (n 0).
2n ?1
v
Оцените разность |xn ? 2|. (См. также 9.81)
v
9.66. С какой гарантированной точностью вычисляется k при по-
мощи алгоритма задачи 9.48 после пяти шагов?
9.67. Решите систему уравнений
? 2
? 2x1 = x2 ,
?
? 1 + x2
?
?
? 1
? 2
2x2
= x3 ,
? 1 + x2
?
? 2
?
? 2x2
?
? 3
= x1 .
2
1 + x3
9.68. Решите систему:
?2 3
? y = 4x + x ? 4,
z2 = 4y3 + y ? 4,
?2
x = 4z3 + z ? 4.

9.69. Последовательность чисел {xn } задана условиями:
v
x1 ?a, xn+1 = a + xn .
3. Итерации 135

Докажите, что последовательность {xn } монотонна и ограничена. Най-
дите ее предел.
9.70. Игра на монотонности. Докажите, что для монотонно воз-
растающей функции f(x) уравнения x = f(f(x)) и x = f(x) равносильны.
v
9.71. Решите уравнение a + a + a + x = x.
9.72. Арифметико-геометрическое среднее. Пусть a и b — два
положительных числа, причем a > b. Построим по этим числам две
последовательности {an } и {bn } по правилам:

an + bn
(n
a0 = a, b0 = b, an+1 = , bn+1 = an b n 0).
2

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чи-
сел a, b и обозначается µ(a, b).
9.73. Арифметико-гармоническое среднее. Пусть a и b — два
положительных числа, и a < b. Определим две последовательности
чисел {an } и {bn } формулами:

2an bn an + bn
(n
a0 = a, b0 = b, an+1 = , bn+1 = 0).
an + bn 2

а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a
и b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим
чисел a и b.
в) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность {bn } будет связана с
последовательностью {xn } из задачи 9.48?
9.74. Геометрико-гармоническое среднее. Назовем геометри-
ко-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательно-
стей {an } и {bn }, построенных по правилу

2an bn
a0 = a, b0 = b, an+1 = , bn+1 = an b n (n 0).
an + bn

Обозначим его через ?(a, b). Докажите, что величина ?(a, b) связана
с µ(a, b) (см. задачу 9.72) равенством

1 11

<<

стр. 4
(всего 9)

СОДЕРЖАНИЕ

>>