<<

стр. 7
(всего 9)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

4.160. Так как 561 = 3·11·17, то достаточно доказать справедливость
сравнений a560 ? 1 (mod p), где p принимает значения p = 3, 11, 17.
Каждое такое сравнение выполняется по малой теореме Ферма.
4.161. Очевидно, что решением задачи могут быть только те a, для
которых (a, 10) = 1. Так как ?(10) = 4, то сравнение a10 + 1 ? 0
(mod 10) равносильно сравнению a2 +1 ? 0 (mod 10). Перебирая случаи
198 Ответы, указания, решения

a = ±1, a = ±3, находим, что a ? ±3 (mod 10). Ответ: a ? ±3
(mod 10).
4.162. Покажите, что при (a, m) = 1 выполняется соотношение
?
a?(m) ? 1 (mod pj j ) (j = 1, . . . , s).

4.166. 3993, 3597, 6797.
4.167. Примените признаки делимости на 8, 9 и 11. Ответ: 1 380 456.
4.169. Нет. Для доказательства можно находить не сумму цифр, а
просуммировать арифметическую прогрессию 1 + 2 + . . . + 500.
4.170. Для проверки делимости на 9 и 11 можно рассмотреть сумму
данного числа с числом 8079 . . . 2019.
4.173. 11 111 111 100.
4.175. 9.
4.179. Примените признак делимости на 11.
4.180. Примените признак делимости на 3.
4.181. Нет. Рассмотрите остатки от деления на 9.
4.182. Сравнения 10a + b ? 0 (mod 19) и a + 2b ? 0 (mod 19) равно-
сильны.
4.184. Число xxyy всегда делится на 11. Если оно полный квадрат,
то и число x0y должно делится на 11. Ответ: 882 = 7744.
4.185. Число получается из суммы своих цифр умножением на 12,
значит, оно кратно 3. Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр
также делится на 3. Поэтому само число должно делится на 9. Кроме то-
го оно делится на 4. Следовательно нужно искать среди чисел, которые
делятся на 36. Поскольку сумма цифр трехзначного числа не превосхо-
дит 27, то само число может быть не больше 27·12 = 324. Перебор можно
еще сократить, если заметить, что сумма цифр может быть не больше
18 (она делится на 9 и меньше 27). Поэтому само число не больше
18 · 12 = 216. Осталось перебрать числа 108, 144, 180, 216. Ответ: 108.
4.187. а) Стратегия второго: писать цифру так, чтобы сумма преды-
дущей цифры и его равнялась 6.
б) Стратегия первого: сначала нужно написать 1, а потом писать
цифру так, чтобы сумма предыдущей цифры и его равнялась 6. В этом
случае перед последним ходом второго игрока сумма цифр будет равна
55, и он не сможет добиться своей цели.
4.188. Рассмотрите остатки от деления на 9.
4.189. Так как aj 10j ? aj rj (mod m), то M ? N (mod m). Поэтому
числа M и N могут делиться на m только одновременно.
4.191. Сравнение
an qn + . . . + a1 q + a0 ? an + . . . + a1 + a0 (mod m)
Ответы, указания, решения 199

равносильно сравнению
an (qn ? 1) + . . . + a1 (q ? 1) ? 0 (mod m),
которое имеет место независимо от ai тогда и только тогда, когда
q ? 1 ? 0 (mod m). В частности, для m = 2 годится система счисления
с любым нечетным основанием. Ответ: q = 1 + mk (k 1).
4.192. 21.
4.194. Исследуйте отдельно делимость на 5 и на 11. Ответ: n =
= 6 + 55k, k ? Z.
4.195. а) Обозначим остаток от деления 1910 на 66 через r. Из срав-
нений 19 ? 1 (mod 2), 19 ? 1 (mod 3), 19 ? ?2 (mod 11), следует, что
r ? 1 (mod 2), r ? 1 (mod 3), r ? (?2)10 (mod 11). По малой теореме
Ферма, (?2)10 ? 1 (mod 11). Отсюда r = 1. б) 11; в) 17; г) 36.
4.197. Воспользуйтесь теоремой Эйлера.
?(mj )
m1 . . . mn
4.198. x = a1 x1 + . . . + an xn , где xj = (j = 1, . . . , n).
mj
а) x = 58 + 85k (k ? Z); б) x = 78 + 13 · 19k (k ? Z).
4.200.
2 · 3 · 5 · 7 ? 1.
4.201.
2 · 10249 .
4.203.
4.204. 15803.
4.207. Пусть n = 2. Равенство
c a b
= +
m1 · m2 m1 m2
можно переписать в виде c = a · m1 + b · m2 . Для того, чтобы решить это
уравнение, рассмотрите сравнение c ? a · m1 + b · m2 (mod m1 · m2 ) и
воспользуйтесь задачей 4.196. Для произвольного n нужно применить
индукцию
4.208. 45486.
4.209. 215 · 310 · 56 .
4.210. а) Данное сравнение равносильно выполнению двух условий
x(x ? 1) ? 0 (mod 24 ) и x(x ? 1) ? 0 (mod 54 ). Отсюда x ? 0, 1 (mod 24 )
и x ? 0, 1 (mod 54 ). Поэтому по модулю 104 исходному сравнению будут
удовлетворять 4 числа, из которых два — это числа x = 0 и x = 1. Два
других решения — это x = 0625 и x = 9376, из которых четырехзначным
является только второе. Ответ: x = 9376.
б) Докажите утверждение по индукции. Если процесс нахождения
таких чисел не остановить, то кроме 0 и 1 получатся два бесконечных
«числа»
x1 = . . . 8212890625, x2 = . . . 1787109376.
4.211. Примените китайскую теорему об остатках с m1 = p2 , . . .
1
. . . , m37 = p2 , где p1 , . . . , p37 — различные простые числа.
37
200 Ответы, указания, решения

(p ? 1)! ? (p ? 1) (p ? 1)! + 1
??. = ?1
p p

Глава 5
5.1. а) 1/7 = 0,(142857); б) 2/7 = 0,(285714); в) 1/14 = 0,(714285);
г) 1/17 = 0,(0588235294117647).
5.2. a = 0, b = 0 или a = 1, b = 3.
5.3. 1/49 = 0,(020408163265306122448979591836734693877551). Если
просуммировать геометрическую прогрессию 2/102 + 4/104 + . . . , то
получается в точности 1/49.
5.4. 1/243 = 0,(004115226337448559670781893).
5.5. а) 15926/111111 = 0,(143334); б) 4/27 = 0,(148); в) 14/99 =
= 0,(14).
5.7. n = 2? · 5? .
5.9. Рассмотрите отдельно те цифры, которые встречаются конечное
число раз и те, которые встречаются бесконечно много раз.
5.11. n = 2?1 · 5?1 , n + 1 = 2?2 · 5?2 . Отсюда n = 1 или n = 4.
5.12. Среди указанных чисел бесконечно много четных.
v v
5.16. а) нет. б) 2 + (? 2) = 0. v p
в) Определим число ? равенством ( 3)? = 2. Если ? = , то
q
получаем невозможное равенство 3p = 4q . v
v 2
Другой пример можно построить при помощи числа ? = 2 .
Если оно рационально, то задача решена. v Если оно иррационально, то
v
2
? = 2 и искомой парой чисел будут ? и 2. v
5.17. Подставляя в уравнение x = 1 + 3, приходим к равенству
v
(4 + a + b) + (a + 2) 3 = 0.
v
Так как 3 — иррациональное число, то такое равенство возможно лишь
когда 4 + a + b = 0 и v + 2 = 0. Ответ: a = ?2, b = 2.
avv
5.18. Если числа a, b, c являются членами одной арифмети-
ческой прогрессии,v для некоторых целыхv и q будет выполняться
то p
v v
v v v
равенство q( b ? a) = p( c ? b) или b(p + q) = p c + q a. v
После возведения последнего равенства в квадрат получаем, что ac —
рациональное число. Но это невозможно, поскольку a и c — различные
простые v числа.v
5.19. 2 + v 6.
5.21. а) 9 = 100 ? 1; б) 1; в) ?10.
5.22. v 4; v 2; v в) 6.
а) б)
5.23. 2 + 3 + 5.
5.24. Возведите равенство в квадрат.
Ответы, указания, решения 201

5.25. Для решения этой задачи удобнее доказать более общее утвер-
ждение: если b1 , . . . , bn — ненулевые целые числа, a1 , . . . , an — различ-
ные натуральные числа, свободные от квадратов, то
v v
(13.5)
b1 a1 + . . . + bn an = 0.

Выбирая здесь a1 = 1, получаем иррациональность суммы радикалов
v v
a2 + . . . + an . Для доказательства соотношения 13.5 проведите ин-
дукцию по числу простых p1 , . . . , pm , входящих в разложения чисел
a1 , . . . , an на множители.
5.26. Только если a и b являются степенями одного и того же числа,
то есть a = dm и b = dn для некоторых натуральных d, m и n.
5.28. Тангенс угла между стороной треугольника и любой из коор-
динатных осей рационален. Углы треугольника являются суммами или
разностями таких углов и, следовательно, также имеют рациональные
тангенсы.
5.29. Воспользуйтесь тем, что прямая, проходящая через целые точ-
v
ки, имеет рациональный тангенс наклона, а tg 60? = 3 ? Q. /
5.31. Пусть на окружности лежат две точки (x; y) и (u; v). Тогда
v v v v
(x ? 2)2 + (y ? 3)2 = (u ? 2)2 + (v ? 3)2 ,
v v
2(u ? x) 2 + 2(v ? y) 3 = u2 + v2 ? x2 ? y2 .

Невозможность последнего равенства доказывается возведением в квад-
рат.
5.32. ж) Смотрите задачу 6.82 г).
5.33. При четных n.
5.36. Как и в задаче 2.33, идея решения основана на принципе Ди-
рихле. При k = 1 утверждение задачи очевидно. Далее применим ин-
дукцию. Предположим, что утверждение задачи доказано для k ? 1, и
докажем его для k. Рассмотрим произвольную из N данных точек. Из
N?1
нее выходит по крайней мере N1 = отрезков, окрашенных в
k
один и тот же цвет, где x — минимальное целое число n такое, что
x n. Для N1 справедлива оценка
[k! e] [k! e] k! e
N1 > = = [(k ? 1)! e].
k k k

(См. задачу 3.100.) Если концы каких-либо двух из этих N1 отрезков
соединены отрезком того же цвета, то нужный треугольник найден.
В противном случае, концы соединяются отрезками, окрашенными в
k ? 1 цветов. Так как N1 > [(k ? 1)! e], то, согласно предположению
202 Ответы, указания, решения

индукции, можно найти треугольник одного цвета с вершинами в этих
точках.
5.38. По формуле для суммы геометрической прогрессии
a1 a2 . . . a n
0,(a1 . . . an ) = .
10n ? 1
10n ? 1 1
Отсюда, если a1 a2 . . . an = , то = 0,(a1 a2 . . . an ).
m m
5.39. По теореме Эйлера 10k?(m) ? 1 ? 0 (mod m) при любом k 1.
Поэтому 9 · Ek?(m) ? 0 (mod m). Если m не делится на 3, то Ek?(m) ? 0
(mod m). Если же m делится на 3 или на 9, то на m будут делится числа
E3k?(m) и E9k?(m) соответственно.
10k p
p
5.40. Если = 0,a1 a2 . . . ak ak+1 . . . , то = 0,ak+1 . . .
q q
5.41. Пусть r0 = 1, r1 = 10 ? m[10/m]. . . — остатки, которые возни-
кают при делении 1 на m столбиком. Тогда rk ? 10k (mod m), так как
приписывание нуля равносильно умножению на 10. Если (m, 10) = 1,
то 10?(m) ? 1 (mod m), то есть r?(m) = r0 = 1. Отсюда следует, что у
дроби отсутствует предпериод, и что длина периода делит ?(m).
5.42. 11, 33 и 99 — делители числа 99, не делящие 9.
5.43. Если 10t ? 1 (mod n), то остатки r0 и rt (см. задачу 5.38)
совпадают, так как r0 = m и rt ? 10t m (mod n). Значит период дроби
m/n делит t. Наоборот, если T — длина периода, то rT = r0 (дробь чисто
периодическая согласно задаче 5.41) и r0 10T ? r0 (mod n). Так как
r0 = m и (m, n) = 1, то полученное сравнение можно сократить на
r0 . Следовательно, 10T ? 1 (mod n).
5.45. Воспользуйтесь результатом задачи 5.38.
5.46. Пусть t = 2n — длина периода. Согласно задаче 5.43, вы-
полняется сравнение 10t ? 1 (mod q). Отсюда 10n ? ?1 (mod q)
10n p
p
и = 1. Но в десятичной системе эти дроби имеют вид
+
q q
10n p
p
= 0,N1 N2, = 0,N2 N1,
q q
поэтому N1 + N2 = 99 . . . 9.
n
5.47. При разложении 1/7 в десятичную дробь последовательность
остатков устроена следующим образом:
r0 = 1, r1 = 3, r2 = 2, r3 = 6, r4 = 4, r5 = 5, r6 = 1, ...
Первое свойство объясняется равенствами
r0 r r0 r r0 r
= 2, = 1, = 4,
2· 3· 4· ...
7 7 7 7 7 7
Ответы, указания, решения 203

Объяснение второго свойства получается, если в равенстве 1/7 +
+ 2/7 + 4/7 = 1 перейти к десятичной записи.
Чтобы объяснить последнее свойство, запишем N в виде N =
= (106 ? 1)/7. Отсюда N2 = (106 ? 1)2 /49. Число, которое получается
сложением половинок числа N2 , будет периодом дроби
?
N2 106 ? 1
1 142857
2
=N 6 = = .
6k 49 7
10 10 ? 1
k=1

Так как
142857 1
= = 0,(142857),
7 7
то из половинок числа N2 получится число N.
5.48. См. решение задачи 5.41.
5.51. Пусть abcdef = 3 · fabcde. Рассмотрим число ?, которое разла-
гается в периодическую десятичную дробь с периодом abcdef:
1
· 0,(abcdef).
? = 0,(fabcde) =
3
Тогда
10 · ? = f,(abcdef) = f + 3 · ?.
f
Отсюда ? = . Остается перебрать различные значения f.
7
5.52. Рассмотрите десятичные дроби, у которых искомое число яв-
ляется периодом.
5.56. 81 + 9 + 1 = 61 + 27 + 3
5.57. Да. Причем меньшим числом взвешиваний обойтись нельзя.
5.58. 2n ? 1.
5.59. а) 24 ? 1 = 15; б) (34 ? 1)/2 = 40.
5.60. 1, 3, 9 и 27 кг.
5.61. а) Первую веревку следует поджечь с двух концов, а вторую —
с одного. После догорания первой веревки второй останется гореть 30
минут. Чтобы сократить этот промежуток вдвое, следует поджечь и
второй конец оставшейся веревки. б) 24 ? 1.
5.62. а) Лампочка может находится в трех состояниях — включенном,
выключенном и в нагретом. б) 9.
5.63. б) Если n = 2k1 + 2k2 + . . . + 2km (k1 > k2 > . . . > km 0), то
наименьшее число операций равно k1 + m.
5.65. b(15) = 6, но l(15) = 5:
x1 = x2 , x2 = x1 · x = x3 , x3 = x1 · x2 = x5 , x4 = x2 = x10 , x5 = x3 · x4 = x15 .
3

Аналогично l(63) = 8 < 10 = b(63).
204 Ответы, указания, решения

5.66. Для нахождения числа нужно сложить первые числа с вы-
бранных карточек. Например, если загадано число 23, то потребуется
сложить числа 1, 2, 4 и 16.
5.67. Загаданная карта всегда оказывается в центре колоды.
5.71. Если A четно, то представление числа A получается из пред-
ставления меньшего числа m = A/2 «сдвигом» на один разряд. Если
же A нечетно, то a0 = ±1 и число a1 должно равняться нулю; поэтому
число A ? a0 делится на 4 и представление числа A получается из пред-
ставления меньшего числа m = (A ? a0 )/4 «сдвигом» на два разряда и
добавлением цифры a0 . В обоих случаях единственность представления
числа A следует из единственности представления числа m.
5.72. Числа от 0 до 1 удобно рассматривать как бесконечные троич-
ные дроби из цифр 0, 1 и 2. Числа, о которых говорится в пункте в) —
это те числа, в троичной записи которых нет ни одной 1.
5.73. а) 1; б) нет; д) n-й элемент данной последовательности сов-
падает по модулю 2 с ?(n) (суммой двоичных цифр числа n).
5.74. Занумеруем диски в головоломке «Ханойская башня» числами
от 0 до 7. При увеличении на 1 числа n, записанного в двоичной системе
счисления, могут измениться цифры сразу в нескольких разрядах. Если
среди всех изменившихся разрядов наибольший номер имеет k-й разряд,
то это означает, что на n-м шаге решения головоломки «Ханойская
башня» следует перемещать диск с номером k.
5.75. а) Если по кругу стоят числа 1, 2, . . . , 2n, то вначале вычер-
киваются все четные числа. Оставшиеся числа 1, 3, 5, . . . , 2n ? 1 снова
подвергаются процедуре вычеркивания. k-е число в этом списке имеет
вид 2k ? 1. После того, как из этого списка будут вычеркнуты все числа
кроме одного, останется число с номером J(n), которое равно 2J(n) ? 1.
5.76. г) Пусть n = (ns . . . n1 n0 )2 , где ns = 1. Тогда у одного из чисел
m1 , m2 , . . . , ml в s-м разряде также стоит единица. Если mj — одно из
таких чисел, то mj ? n < mj .
5.77. а) Если n равнялось 0 и одно из чисел m1 , m2 , . . . , ml изме-
нилось, то изменится и число n. Оно станет равно количеству взятых
камней, отличному от нуля.
б) Согласно задаче 5.76 г), для некоторого j (1 j l) выполняется
неравенство mj ?n < mj . Поэтому из j-й кучки можно взять mj ?(mj ?n)
камней, что приведет к обнулению ним-суммы.
в) Игрок находится в проигрышной позиции, если перед его хо-
дом n = 0. Все остальные позиции — выигрышные. Для того, чтобы
выиграть в «Ним», нужно оставлять после своего хода проигрышную
позицию.
г) Нужно сделать переход к позиции 1, 4, 5.
Ответы, указания, решения 205

5.78. Можно, например положить f(A) = 3, f(B) = 5, f(A) = 6. Теперь
остается заметить, что при слиянии амеб общая ним-сумма не меняется,
а в начальный момент времени она равна 5 = f(B).
5.80. а) Игра «Шоколадка» сводится к игре «Ним» с 4 кучками
камней. Например, позиция, изображенная на рисунке, соответствует
такому набору камней: 2, 5, 1, 4 (2 ряда слева от отмеченной дольки,
5 — справа, 1 — снизу и 4 — сверху.
5.81. б) Пусть в кучках m1 , m2 , . . . , ml камней, и r1 , r2 , . . . , rl —
остатки от деления чисел m1 , m2 , . . . , ml на 6. Положим
n = r1 ? r2 ? . . . ? rl
— ним-сумма по модулю 6. Если в начальной позиции n = 0, то выиг-
рывает второй игрок; во всех остальных случаях — первый. Исключение
составляет случай
ml — любое. (13.6)
m1 = m2 = . . . = ml?1 = 1,
(Рассмотрите этот случай отдельно.) Стратегия выигрыша первого иг-
рока: если перед ходом первого игрока набор камней удовлетворяет
равенствам 13.6, причем l нечетно, то ход надо делать так, чтобы новая
ним-сумма n равнялась 1; если l четно и rl = 1, то забирается любой из
камней, лежащих отдельно. Во всех остальных случаях ход надо делать
так, чтобы n = 0. Если это невозможно, то первый игрок проигрывает.
5.83. Сначала следует сравнить 1-ю и 2-ю монеты, затем 1-ю и 4-ю.
5.84. Во-первых, специальным образом пронумеруем монеты: при-
своим им трехзначные номера 001, 010, 011, 012, 112, 120, 121, 122, 200,
201, 202, 220.
Для первого взвешивания положим на одну чашу весов те монеты,
у которых старший разряд равен 0 (то есть 001, 010, 011, 012), а на
другую - те монеты, у которых он равен 2 (200, 201, 202, 220). Если
перетянет чашка с «0», запишем на бумажке цифру 0. Если перетянет
«2»— запишем 2. Если чаши весов останутся в равновесии — запишем 1.
Для второго взвешивания на одну чашу выложим монеты 001, 200,
201, 202 (то есть все те монеты, у которых второй разряд равен 0), а
на другую — 120, 121, 122, 220 (то есть те монеты, у которых средний
разряд равен 2). Запишем результат взвешивания таким же образом,
что и при первом взвешивании.
Третьим взвешиванием сравниваем 010, 020, 200, 220 с 012, 112, 122,
202 (соответственно, нули и двойки в младшем разряде) и записываем
третью цифру.
Мы получили три цифры — иначе говоря, трехзначное число. Далее
определяем фальшивую монету по следующему рецепту:
206 Ответы, указания, решения

Если это число совпадает с номером какой-то монеты, то эта монета
фальшивая и тяжелее остальных. Если нет, то заменим в этом числе все
нули на двойки, а все двойки на нули. После этого оно должно совпасть
с номером какой-то монеты. Эта монета фальшивая и легче остальных.
5.85. Нужно присвоить 13-й монете номер 111 и не использовать ее
при взвешиваниях. К остальным монетам следует применить алгоритм
из задачи 5.84.

Глава 6
2
p p 2
в) ?p(p2 ? 3q).
6.1. а) ? ; б), г) ;
?
q q q
6.2. b2 ? abp + bp2 + a2 q ? 2bq ? apq + q2 .
p2 ? 2q 1
2 2 3 2
6.3. а) y + p(p ? 3p)y + q = 0; б) y ? y + 2 = 0;
2
q q
2 2
p(p + 1) (q + 1) 2q ? p
в) y2 + = 0; г) y2 +
y+ y + 1 = 0.
q q q
6.5. Наибольшее значение суммы квадратов корней — 18. Это значе-
ние достигается при a = ?3.
6.7. Воспользуйтесь теоремой Виета. Ответ: ?5/2, 3/2.
6.8. (p, q) = (0, 0), (1, ?2), (?1/2, ?1/2).
6.9. Воспользуйтесь теоремой Виета. Ответ: p = 2/3, q = ?8/3.
v v
6.10. а) a ? ( ? ?, ? 5 ? 2 6) ? ( ? 5 + 2 6, 0) ? (0, + ?)
б) a = 1, a = 3.
6.11. Все такие точки образуют прямую y = ?1/8.
6.12. Все окружности проходят через точку D(0; 1).
6.13. b = 1/10.
6.14. x = 1.
6.15. Рассмотрите разность данных многочленов. Ответ: a = 2.
6.17. Все точки, удовлетворяющие условию задачи лежат под пара-
болой y = 4x ? 2x2 . Ответ: y < 4x ? 2x2 .
6.18. y x2 ? x
6.20. а) Найдите дискриминант этого уравнения и воспользуйтесь
неравенством из задачи 10.7. б) Воспользуйтесь неравенством из зада-
чи 10.12.
6.21. Квадратные трехчлены, не имеющие корней, соответствуют
внутренности дискриминантной параболы.
6.28. Условие задачи равносильно тому, что указанная функция в
v
точкеv = 1 принимает отрицательное значение. Отсюда a ? (?2 ? 11;
x
?2 + 11). v v
1+ 5 1+ 5
6.30. ? .
,
2 2
Ответы, указания, решения 207

a ? (16/17; 2).
6.31.
a ? [?1; 1] ? {3}.
6.33.
6.34. При m = 0.
r ? (??; 5/2) ? (4; 9/2).
6.35.
6.37. В задаче нудно найти те x, для которых функция
f(a) = ?a2 + a(4 ? 2x2 ? x3 ) + (2x3 + x2 ? 6x + 5)
хотябы при одном a ? [?1; 2] принимает отрицательное значение. Ре-
шим сначала обратную задачу, т. е. найдём те x, для которых
при a ? [?1; 2]
f(a) 0 (?)
так как график функций f(a) — это парабола, ветви которой направле-
ны вниз, тоусловие (?) равносильно системе

f(?1) 0,
f(2) 0.
Последняя система после преобразований принимает вид

x(x ? 1)(x + 2) 0,
(x ? 1)(x + 3) 0.

Методом интервлов находим, что x ? [?2, 0] ? {1}. Значит, решением
исходной задчи будет множество (??, ?2) ? (0, 1) ? (1, +?).
Ответ: : x ? (??, ?2) ? (0, 1) ? (1, +?).
6.38. Пусть после деления P(x) на x ? c получился остаток r:
P(x) = (x ? c)T (x) + r.
Подставляя сюда x = c, приходим к равенству r = P(c).
6.40. Нет.
6.42. Так как
Q(x) = (x ? x1 )(?x ? x1 ) . . . (x ? xn )(?x ? xn ) = (x2 ? x) . . . (x2 ? x),
1 n
v
то Q(x) содержит только четные степени x и Q( x) — многочлен сте-
пени n. Кроме этого Q( x2 ) = P(xk )P(?xk ) = 0, поэтому все числа
v
k
x2 , x2 , . . . , x2 являются корнями Q( x).
1 2 n
6.43. а) x4 ? 4x3 + 6x2 ? 3x + 1 = (x2 ? x + 1)(x2 ? 3x + 2) + 2x ? 1;
б) 2x3 + 2x2 + x + 6 = (x2 + 2x + 1)(2x ? 2) + 3x + 8;
в) x4 + 1 = (x5 + 1) · 0 + x4 + 1.
6.44. Согласно теореме Безу, остаток равен P(?2) = 3.
6.45. Согласно теореме Безу, остаток от деления P(x) на x + 1 равен
P(?1) = a + 10. Он будет равен 0 при a = ?10.
208 Ответы, указания, решения

6.46. а) Остаток равен P(1) = 5.
б) Остаток будет многочленом не выше первой степени. Подставляя
в равенство
P(x) = (x2 ? 1)T (x) + ax + b

значения x = 1, x = ?1, находим a = 5, b = 0. Ответ: 5x.
6.47. Достаточно проверить, что P(0) = 0, P(?1) = 0, P(?1/2) = 0.
6.48. Запишем остаток R(x) от деления P(x) на (x ? 1)(x ? 2) в виде
R(x) = ax + b. По теореме Безу P(1) = 2, P(2) = 1. Отсюда a = ?1,
b = 3. Ответ: R(x) = 3 ? x.
6.49. k = ?3.
6.50. Нужно выяснить, при каких n функция

x2n ? 1 xn ? 1 xn + 1
: =
x2 ? 1 x?1 x+1

будет многочленом относительно x. По теореме Безу, для этого необ-
ходимо и достаточно, чтобы число ?1 было корнем многочлена xn + 1.
Отсюда n — нечетное число.
6.51. Докажите утверждение индукцией по n.
6.52. а) Сумма всех коэффициентов равна P(1) = 1.
б) Сумма коэффициентов при нечетных степенях находится по фор-
муле
1 ? 517 717
P(1) ? P(?1)
= .
2 2

Аналогично, сумма коэффициентов при четных степенях равна

1 + 517 717
P(1) + P(?1)
= .
2 2

6.53. Чтобы многочлен P(x) делился на x2 ? 3x + 2 = (x ? 1)(x ? 2)
необходимо и достаточно выполнение двух условий P(1) = 0 и P(2) = 0.
Первое условие дает (a + 1)(b + 1) = 0. Отсюда либо a = ?1, либо
b = ?1. Если a = ?1, то из второго условия b = 31/28. При b = ?1
аналогично находим a = 31/28. Ответ: (?1, 31/28), (31/28, ?1).
6.55. Повторяя рассуждения задачи 6.46, находим что R(x) =
= [x(1 ? (?1)n ) + 7 + (?1)n ]/2.
6.56. Корни — 1, 2, 3.
6.57. a = ? 4. v v
6.58. v 4 + 1 = (x2 ? i)(x2 + i) = (x2 ? 2x + 1)(x2 + 2x + 1) =
x v
= (x2 ? 2ix ? 1)(x2 + 2ix ? 1). Из этих разложений подходит только
одно — второе.
Ответы, указания, решения 209

6.59. Равенство P(1) = 0 равносильно уравнению a3 ? 4a + 3 = 0.
v
?1 ± 13
Ответ: a = 1, .
2
6.63. Рассмотрите многочлен f(?x).
6.69. Смотрите решение задачи 3.54. Ответ: x(m,n) ? 1.
6.70. Положим
Pn (x) = P(P(P . . . (P(x)))).
n

Это многочлен с целыми коэффициентами, причем am = Pm (a0 ) и am =
= Pm?k (ak ) при m k. Так как Pn (x) = an +x Qn (x), где Qn (x) — также
многочлен с целыми коэффициентами, то при m k
(am , ak ) = (Pm?k (ak ), ak ) = (am?k + ak Qn (ak ), ak ) = (am?k , ak ).
Далее остается повторить рассуждения из решения задачи 3.39
6.71. x = 1.
6.72. p = 3.
(x ? 1)(x2 + 1) 1
6.73. P(x) = ? , Q(x) = .
2 2
6.74. Пусть P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d. Тогда, подставив эти
величины в данное равенство, находим
(a + c)x3 + (?3a + b + c + d)x2 + (2a ? 3b + c + d)x + 2b + d = 21.
Так как это равенство должно быть тождественным, то
?
? a + c = 0,
?
?
? ? 3a + b + c + d = 0,
? 2a ? 3b + c + d = 0,
?
?
?
2b + d = 21.
Отсюда a = 4, b = 5, c = ?4 и d = 11, то есть P(x) = 4x + 5, Q(x) =
= ?4x + 11.
4 5 4 11
6.75. P(x) = x + , Q(x) = ? x + .
21 21 21 21
2n + 1 1 1
6.76. .
=+
n(n + 1) n n+1
6.78. Найдите коэффициенты частного по схеме Горнера.
6.80. 1 + 4(x + 1) ? 3(x + 1)2 ? 2(x + 1)3 + (x + 1)4 .
6.81. P(x + 3) = 55 + 81x + 45x2 + 11x3 + x4 .
6.82. а) (2?2x+x2 )(2+2x+x2 ); б) (?1+2x)(1+x+x2 ); в) (1+x+x2 )?
? (1 ? x + x3 ? x4 + x5 ? x7 + x8 ); г) (a + b + c)(a2 ? ab + b2 ? ac ? bc + c2 );
д) (x + y ? 1)(1 + x + x2 + y ? xy + y2 ); е) (1 + x ? y + xy)(1 ? x + y + xy);
210 Ответы, указания, решения

ж) 3(a+b)(a+c)(b+c); з) ?5(x?y)(x?z)(y?z)(x2 ?xy+y2 ?xz?yz+z2 );
и) (a4?a3 b+a2 b2?ab3+b4 )(a4+a3 b+a2 b2+ab3+b4 ); к) (1+x)2 (1+3x+x2 );
л) (a?b?c)(a+b?c)(a?b+c)(a+b+c); м) (2+x)(6+x)(10+8x+x2 ).
6.83. x4 + x3 + x2 + x + 12 = (3 ? 2x + x2 )(4 + 3x + x2 ).
6.84. В случае, когда p2 ? 4q < 0, выражение x2 + q/x2 + p после
v
замены t = x + q/x может быть разложено как разность квадратов.
6.85. 5/3(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc).
6.86. Известно, что
(x + y + z)3 ? x3 ? y3 ? z3 = 3(x + y)(y + z)(x + z).
Докажем, что многочлен (x + y + z)m ? xm ? ym ? zm делится на x + y.
По теореме Безу, достаточно проверить, что он обращается в ноль при
y = ?x. Действительно, (x ? x + z)m ? xm ? (?x)m ? zm = 0. Делимость
на x + z и y + z доказывается аналогично.
6.87. Разложите данное выражение на множители.
6.88. Если a + b = 0, то равенство является верным. Значит после
приведения к общему знаменателю, числитель будет делиться на a + b.
Аналогично, он делится на a + c и b + c. После разложения числителя
на множители, решение становится очевидным.
6.89. Подставьте в левую и в правую части равенства c = ?a ? b.
6.91. Согласно задаче 6.90, рациональными корнями уравнения x2 ?
? 17 = 0 могут быть только числа ±1 и ±17. Но они не являются
корнями. Поэтому уравнение x2 ?17 = 0 вообще не имеет рациональных
корней.
6.92. Воспользуйтесь тем, что число ? = cos 20? удовлетворяет урав-
нению
4x3 ? 3x = 1/2,
которое не имеет рациональных корней.
6.93. а) x = 1, 3, ?2; б) x = ?1, 3.
6.94. а) x4 + x3 ? 3a2 x2 ? 2a2 x + 2a4 = (2a2 ? x2 )(a2 ? x ? x2 );
б) x3 ? 3x ? a3 ? a?3 = (a + 1/a ? x)(x2 + x(a + 1/a) + a2 + 1/a2 ? 1).
6.97. а) x2 ? x ? 2; б) x2 ? 1.
6.98. Покажите, что (P(x), P (x)) = 1.
6.99. A = n, B = ?n ? 1.
6.106. Можно, например, воспользоваться задачей 3.142.
6.107. а) ?1 ?2 ? ?3 ; б) ?1 (?2 ? 3?2 ); в) ?1 (?2 ? 3?2 ); г) 4?1 ?2 ?3 +
1 1
+ ?1 ?2 ? 2?2 ? ?3 ? 2?1 ?3 ; д) ?1 ? 2?2 ; е) ?1 + 4?1 ?3 + 2?2 ? 4?2 ?2 .
22 3 2 3 2 4
2 1
6.108. 2.
6.109. Рассмотрите выражение (a ? x)(a ? y)(a ? z) = a3 ? a2 ?1 +
+ a?2 ? ?3 .
Ответы, указания, решения 211

6.110. (0, 0, a), (0, a, 0), (a, 0, 0).
6.111. a = ?9.
6.112. x3 ? 5x2 + 6x ? 1 = 0.
6.113. y3 ? y2 ? 2y ? 1 = 0.
2 1
6.114. c = ? a3 + ab.
27 3
6.115. Для того, чтобы из отрезков с длинами x1 , x2 , x3 можно было
составить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы
(x1 + x2 ? x3 )(x1 ? x2 + x3 )(?x1 + x2 + x3 ) > 0.
Выражая левую часть через p, q и r, приходим к неравенству p3 ?4pq+
+ 8r > 0.
6.116. а) Докажите, что пары чисел x, y и u, v являются парами кор-
ней одного и того же квадратного уравнения. Из этого будет следовать,
что числа x, y совпадают с числами u, v с точностью до перестановки.
6.118. x4 ? ax3 ; x4 ? ax3 ? x + a; x4 ? x3 + x ? 1; x4 + x.
6.119. Воспользуйтесь результатом задачи 6.107 е).
6.120. (c + d)(b + c + d) = ad.
6.121. b = 0, a < 0.
6.123. Приведите разность данных уравнений к виду
(x ? 1)(y ? 1) + (u ? 1)(v ? 1) = 2.
6.124. В каждом из случаев нужно узнать, сколько корней имеют
уравнения: один или три.
6.125. Подставьте в уравнение x = a, x = b, x = c.
(x ? x1 ) . . . (x ? xi?1 )(x ? xi+1 ) . . . (x ? xn )
6.127. fi (x) = .
(xi ? x1 ) . . . (xi ? xi?1 )(xi ? xi+1 ) . . . (xi ? xn )
6.128. f(x) = 1.
6.129. f(x) = y1 f1 (x) + . . . + yn fn (x). Если таких многочленов будет
два, то их разность будет многочленом степени не выше n с n + 1
действительным корнем, что невозможно.
6.130. Остатком будет многочлен R(x) степени 2, для которого вы-
полняются равенства
R(a) = A, R(b) = B, R(c) = C.
Явный вид этого многочлена выписывается при помощи задачи 6.129:
(x ? b)(x ? c) (x ? c)(x ? a) (x ? a)(x ? b)
R(x) = A +B +C .
(a ? b)(a ? c) (b ? c)(b ? a) (c ? a)(c ? b)

6.131. По теореме Безу остаток равен f(xi ) = yi .
6.132. а) 1 + (3 ? x)x; б) 1 + (1 + x)2 ; в) x2 .
212 Ответы, указания, решения

6.133. 1v 17 километров.
и
6.134. 2 14.
6.135. По трем точкам график квадратного трехчлена строится од-
нозначно.
6.136, 6.137. Каждое равенство в системе можно интерпретировать
как равенство нулю соответствующего многочлена в точках a, b и c.
6.138. Если f(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа, то f(?x)
также будет интерполяционным многочленом Лагранжа. В силу един-
ственности такого многочлена (см. задачу 6.129) f(x) = f(?x).
6.139. Пусть многочлен P(x) таков, что P(0) = 1, . . . , P(n) = 3n .
Докажите, что тогда P(n + 1) < 3n+1 .
6.140. Воспользуйтесь равенством
(x ? x2 ) . . . (x ? xn ) (x ? x1 ) . . . (x ? xn?1 )
f(x) = f(x1 ) + . . . + f(xn ) .
(x1 ? x2 ) . . . (x1 ? xn ) (xn ? x1 ) . . . (xn ? xn?1 )

6.141. Рассмотрите функцию
(? ? a1 ) . . . (? ? an )
x1 xn
f(?) = + ... + =1? .
? ? b1 ? ? bn (? ? b1 ) . . . (? ? bn )

Глава 7
7.4. а) Длина стороны треугольника не превосходит суммы длин
двух других его сторон. б) Длина стороны треугольника не меньше
модуля разности двух других его сторон. в) Хорда короче дуги, кото-
рую она стягивает.
v ? ?
7.5. а) 2 cos + i sin ;
4 4
v ? ? ? ? ?
б) 2 + 3 cos + i sin = 2 cos cos + i sin ;
12 12 12 12 12
? ? ?
в) 2 cos cos + i sin ;
2 2 2
v ? ?
г) (1/ 2) cos + i sin ;
4 4
д) cos 2? + i sin 2?.
v
7.7. 13 ? 1.
?
7.8. а) Re x < 0; б) 0 < arg z < ; в) | Re z| < 2; г) |z| < 1 и Im z 0.
2
7.9. Окружность (x + 5/3)2 + (y ? 1)2 = (4/3)2 .
7.11. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме
квадратов сторон.
7.13. Домножьте равенство на сопряженное.
7.14. Воспользуйтесь пунктом б) из задачи 7.2.
Ответы, указания, решения 213
v v
7.16. а) ±(2 ? i); б) ± 1 + 1/ 2 + i 1 ? 1/ 2 ; в) ±(7 + 5i);
v v v
г) ±( 3/2 + i/ 2); д) ±(3 ? 4i); е) ±((5 ? i)/ 2).
v
?1 ± ?3
б) z = ?2 ± 5i; в) z = 2, i; г) z = 3, 2i;
7.17. а) z = ;
2
д) z = i + 2, 3 ? i; е) z = 3 + i, 2 + i. v
v v
3
2
3
7.18. а) z = ?1, 3, 1 ± 2i; б) z = ?1 ? (1 ± i 3);
2, ?1 +
2
v ? k?
в) z = 2, 2 ± 2 6i; г) x = tg , (k = 0, 1, 2, 3).
+
16 4
7.19. Воспользуйтесь результатом задачи 6.6.
7.20. Выразим t через z:
1?z
t=i .
1+z
Сначала найдем значения t, которые соответствуют точкам z, лежащим
на единичной окружности. Пусть z = cos ? + i sin ?. Представим числа
1 ? z и 1 + z в тригонометрической форме:
?+? ?+? ?+?
1 ? z = 2 cos cos + i sin ,
2 2 2
? ? ?
1 + z = 2 cos cos + i sin .
2 2 2
Подставляя эти представления в формулу для t, находим, что t — дей-
ствительное число: t = tg(?/2). Обратные вычисления показывают, что
выбирая t именно таким образом, мы получим все точки единичной
окружности кроме точки z = ?1.
7.21. Для того, чтобы построить график на отрезке [?1; 1], пред-
ставьте x в виде x = sin t (t ? [??/2; ?/2]).
7.29. Сумма степеней равна 0, если s = kn, и равна n, если s = kn.
7.30. Рассмотрите действительную и мнимую части первой формулы
Муавра.
7.31. Представьте каждое из чисел в тригонометрической форме.
7.34. а) ?1/2; 1/8.
7.35. а) Проверьте, что P(i) = P(?i) = 0 и примените теорему Безу.
б) Как и в пункте а), достаточно проверить, что Q(?(cos ? ± sin ?)) = 0.
7.37. Смотрите приложение В, V.
7.39. Найдите рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют
многочлены 2Tn (x/2).
7.40. Пусть ? = m/n. Тогда cos(360n?)? = 1. Так как cos(360n?)? =
= T360n (cos ?? ), то получаем, что многочлен T360n (x) ? 1 обращается в
ноль при x = cos ?? = 1/3. Значит многочлен f(x) = 2T360n (x/2) ? 2
214 Ответы, указания, решения

имеет корнем число x = 2/3. Согласно задаче 7.39, многочлен f(x) име-
ет старший коэффициент равный 1, а остальные его коэффициенты —
целые числа. Но, по теореме о рациональных корнях многочлена f(x)
может иметь только целые корни.
7.41. Рассмотрите многочлен T360q (x) ? 1.
7.44. Pn (x) = 2Tn (x/2), где Tn (x) — многочлен Чебышёва.
7.45. Замените тангенс на отношение синуса к косинусу.
7.46. Перейдите в равенстве z + z?1 = 2 cos ? к сопряженным числам
и вычислите z.
7.47. Поскольку в многочлены Чебышёва удобно подставлять числа
вида x = cos ?, то для решения задачи следует воспользоваться равен-
ством sin ? = cos(? ? ?/2). Ответ: Если n = 2k, то
sin n?
Tn (sin ?) = (?1)k cos n?, Un?1 (sin ?) = (?1)k+1 .
cos ?
Если n = 2k + 1, то
cos n?
Tn (sin ?) = (?1)k sin n?, Un?1 (sin ?) = (?1)k .
cos ?

7.49. Если f(z) = 0, то f(z) = f(z) = 0.
7.50. Комплексные корни многочлена можно разбить на пары вза-
имно сопряженных чисел. При этом произведение соответствующих ли-
нейных сомножителей даст квадратный трехчлен с действительными
коэффициентами:

(x ? a ? ib)(x ? a + ib) = x2 ? 2ax + a2 + b2 .
n
a + ib
7.51. Выделим в выражении lim 1 + ту часть, которая
n
n>?
будет стремится к ea :
n n n
a + ib a ib
lim 1 + = lim 1 + lim 1 +
n n a+n
n>? n>? n>?

и найдем второй предел. Заметим, что
n n
ib b
lim 1 + = lim 1 + i tg .
a+n a+n
n>? n>?

Теперь нужный предел находится по формуле Муавра:
n
b nb nb
lim 1 + i tg = lim cos + i sin = cos b + i sin b.
a+n a+n a+n
n>? n>?

7.52. Воспользуйтесь формулой Эйлера из задачи 7.51.
Ответы, указания, решения 215

7.54. На комплексной плоскости функция ln z становится многознач-
ной. Если z = |z|ei? , то в качестве ln z можно брать любое из чисел

wk = ln |z| + i(? + 2k?) (k ? Z).

Для каждого из них

ewk = eln |z| · ei(?+2k?) = |z| (cos ? + i sin ?) = z.

7.55. az = ez ln a , где экспонента определяется как в задаче 7.51, а
логарифм — как в задаче 7.54.
7.56. Корень i-й степени из числа z = ei? = e(?+2k?)i равен e?+2k? , где
v
k — произвольное целое число. При z = ?1 получаем i ?1 = e(1+2k)? .
Значение корня, приведенное в задаче, соответствует k = 0.
sin(n?/2) sin((n + 1)?)/2
7.58. б) .
sin(?/2)
sin 2nx cos(2n + 1)x sin 2nx cos(2n + 1)x
7.60. а) n + ; б) n ? .
2 sin x 2 sin x
7.61. а) ?250 ; б) 249 .
n?
7.62. б) 2n/2 sin .
4
(n ? 2)? (n ? 4)?
1n 1n
7.63. б) 2 + 2 cos ; 2 + 2 cos .
3 3 3 3
7.67. а) Все векторы z1 , . . . , zn имеют положительную проекцию на
луч arg z = ? + ?/2.
б) Все числа z?1 , . . . , z?1 лежат в полуплоскости ? ? ? < arg z <
1 n
< 2? ? ?.
7.69. Если точка z лежит вне треугольника abc, то векторы z ? a,
z ? b, z ? c располагаются в некоторой полуплоскости. Сумма их обрат-
ных величин не может равняться нулю согласно задаче 7.67, п. б).
1 1 1
7.70. Воспользуйтесь равенством f (x) = f(x) + +
z?a z?b z?c
и результатом задачи 7.69.
7.72. а) n ? 1, 2 (mod 3); б) n ? ±1 (mod 6).
7.74. а) n = 6k ± 2; б) n = 6k ? 2; в) ни при каких.
7.75. а) n = 6k ± 1; б) n = 6k + 1; в) ни при каких.
7.76. Если x = 1 — корень многочлена P(xn ), то его корнем будет
любое из чисел xk = cos(2?k/n)+i sin(2?k/n) (k = 0, . . . , n?1). Поэтому
P(xn ) делится на (x ? x0 ) . . . (x ? xn?1 ) = xn ? 1.
7.77. 7.
7.78. zk = i tg(??/2 + k?/n) = i ctg(k?/n) (1 n ? 1). Для
k
нахождения суммы квадратов корней раскроем в уравнении скобки по
216 Ответы, указания, решения

формуле бинома Ньютона и сделаем сокращения:
Cn?1 zn?1 + Cn?3 zn?3 + . . . = 0.
n n

По теореме Виета
Cn?3 (n ? 1)(n ? 2)
n
?1 (z1 , . . . , zn?1 ) = 0, ?2 (z1 , . . . , zn?1 ) = = .
n?1 6
Cn
Далее, применяя результат задачи 6.107, д), находим
(n ? 1)(n ? 2)
z2 + z2 + . . . + z2 = ? .
1 2 n?1
3
7.80. Так как
2
1 m m
= 1 + ctg2 ? = 1 ? i ctg ? ,
2m n n
sin ?
n
то
n?1 n?1 n?1
2 2
1 m m
1 ? i ctg ? i ctg ?
m= =n?1? .
n n
sin2 ?
n
m=1 m=1 m=1


(n ? 1)(n ? 2)
Согласно задаче 7.78, последняя сумма равна ? . Следова-
3
тельно,
n?1 n?1
n2 ? 1
(n ? 1)(n ? 2)
1 m
2
1 + ctg ?
m= =n?1+ = .
n 3 3
sin2 ?
n
m=2 m=1

1 1
? 2 < 1 при x ? (0; ?/2)
7.81. Воспользуйтесь тем, что 0 < 2
sin x x
(см. задачу 10.44) и результатом задачи 7.80.
7.82. Многочлен P(x) не имеет действительных корней, поэтому все
его корни разбиваются на пары комплексно сопряженных чисел z1 , z1 ,
. . . , zn , zn (см. задачу 7.49). Пусть
n

(x ? zk ) = a(x) + ib(x).
k=1

Тогда
n

(x ? zk ) = a(x) ? ib(x).
k=1

Отсюда P(x) = a2 (x) + b2 (x).
Ответы, указания, решения 217

7.85. а) Параллельный перенос на вектор a; б) гомотетия с центром
в начале координат и коэффициентом 2; в) поворот против часовой
стрелки на угол ? вокруг начала координат.
7.86. w = z · e2i? .
i+1
7.87. а) w = 2(z + 3 + 4i); б) w = 2z + 3 + 4i; в) w = (z ? i) v + i;
v2
г) w = k(z ? A) + A; д) w = z ? 2; е) w = ?z + (1 + i)(2 ? 2).
7.89. Композиция гомотетий
Hk1 : w = k1 (z ? A1 ) + A1 ; Hk2 : w = k2 (z ? A2 ) + A2
A1 A2

имеет вид
w = k1 · k2 · z + k2 (1 ? k1 )A1 + (1 ? k2 )A2 .
Если k1 · k2 = 1, то получаем параллельный перенос. Если же k1 · k2 = 1,
то это гомотетия с коэффициентом k1 · k2 , центр A которой находится
из уравнения
k1 · k2 · z + k2 (1 ? k1 )A1 + (1 ? k2 )A2 = k1 · k2 (z ? A) + A.
7.93. а) Воспользуйтесь задачей 7.58, а); б) Воспользуйтесь зада-
чей 7.58, б); в) Воспользуйтесь задачей 8.41, а) – б).
7.96. Формулу (7.1) можно переписать в виде
a ?
w= ? ,
c c(cz + d)
где ? = ad ? bc = 0.

Глава 8
8.1. Сумма векторов, направленных из центра правильного n-уголь-
2?
ника в его вершины, сохраняется при повороте на угол , поэтому она
n
может быть только нулевым вектором.
8.2. а) Воспользуйтесь результатом задачи 8.1 для правильного пя-
тиугольника, вписанного в единичную окружность.
б) Рассмотрим правильный семиугольник A1 A2 . . . A7 . Пусть M —
точка пересечения диагоналей A1 A4 и A2 A5 . Равенство задачи следует
из подобия треугольников A1 MA5 и A2 A3 A4 .
в) Воспользуйтесь результатом задачи 8.1 для правильного двена-
дцатиугольника, vвписанного в единичную окружность.
v
5+1 ? 5?1 ?
8.4. cos 36? = = ; cos 72? = =? .
4 v2 4 2 v
21 ? 21 2 14 ? 21
8.6. а) x = arccos ; б) x = arccos ; в) x = arccos .
24 3 20
218 Ответы, указания, решения

8.7. Рассмотрите на координатной плоскости треугольник OAB, впи-
санный в прямоугольник OKLM, где O(0, 0), A(1, 2), B(3, 1), K(0, 2),
L(3, 2), M(3, 0).
8.8. Рассмотрите равнобедренный треугольник с углом 30? при вер-
шине.
8.9. Сделайте замены x = p ? a, y = p ? b, z = p ? c. Ответ: 2.
8.10. Раскройте скобки в формуле Герона. Ответ: 3 · 54 S 3 · 84 .
2k?
(k = 1, 2, 3); x3 + x2 ? 2x ? 1 = 0.
8.11. xk =
7
8.12. Система приобретает геометрический смысл, если положить
x = cos ?, y = cos ?, z = cos ?.
8.13. Равенство x2 + xy + y2 = a2 можно трактовать как теорему
косинусов в треугольнике со сторонами x, y, a и углом 120? . Ответ:

p(p ? a)(p ? b)(p ? c)
xy + yz + xz = ,
3

a+b+c
где p = .
2
8.14. а) Часть прямой, проходящей через точки z1 и z2 , расположен-
ная вне отрезка [z1 ; z2 ]. б) Внутренность отрезка, соединяющего точки
z1 и z2 .
8.21. W(z1 , z2 , z3 , z4 ) = W(z1 , z2 , z3 , z4 ).
R2 R2
1
б) w = Rei? +
8.26. а) w = i + ; ; в) w = z0 + .
z ? Re?i?
z+ i z ? z0
? ? ? ?
8.28. A = Aa? + Ba? ? Ba? + Cc?, B = Aab + Bad ? Bcb + Ccd,
a c c c
? ? ?? ?
C = Abb + Bbd ? Bbd + Cdd.
8.38. а) 3/16; б) 1/16.
? 2? 4? 7?
8.39. Найдите отдельно произведения cos cos cos cos и
15 15 15 15
3? 6?
cos cos .
15 15
8.40. Сделайте умножение на sin a.
v v v
n n
2n + 1 1
8.41. а) ; б) n?1 ; в) n ;
г) n?1 .
2n 2
2 2
?x
8.43. Домножьте уравнение на 32 sin . Ответ: x1 = 2n, n = 31l;
31
31
x2 = (2n + 1), n = 33l + 16 (n, l ? Z).
33
8.45. Из данных соотношений находим:

3
3 sin2 ? = 1 ? 2 sin2 ? = cos 2?.
sin 2? = sin 2?,
2
Ответы, указания, решения 219

Отсюда
3
cos(? + 2?) = cos ? · 3 sin2 ? ? sin ? · sin 2? = 0.
2
8.46. а) Воспользуйтесь равенствами sin 15? = sin(45? ? 30? ) и
cos 15? = cos(45? ? 30? ); б) Воспользуйтесь результатом задачи 8.4.
8.47. Воспользуйтесь равенствами sin 6? = sin(60? ? 54? ) и sin 54? =
= cos 36? .
8.48. а) На первом шаге нужно применить формулы для суммы и
разности синусов к величинам sin ? + sin ? и sin ? ? sin(? + ? + ?).
б) Решается аналогично предыдущему пункту.
8.49. Сумма tg ? + tg ? + tg ? приводится к виду
sin(? + ? + ?) + sin ? sin ? sin ?
tg ? + tg ? + tg ? = .
cos ? cos ? cos ?
8.50. ? + ? + ? = k?.
8.51. Воспользуйтесь равенством а) из задачи 8.48.
n = ±1, ±3, ±5, ±15.
8.55.
8.58. Наибольшее значение — 1, наименьшее — 1/4.
8.59. Воспользуйтесь равенством
1 = (sin2 x + cos2 x)2 = sin4 x + cos4 x + 2 sin2 x cos2 x.
8.63. x = 2(cos ? + cos ? + cos ?) + 8 cos ? cos ? cos ?;
y = ?2 ? 4(cos ? cos ? + cos ? cos ? + cos ? cos ?);
z = 2(cos ? + cos ? + cos ?).
9? ?
8.64. а) ; б) ? .
14 10
8.65. а) Пусть y = arcsin x (??/2 x ?/2). Тогда sin y = x, cos y =
v
= 1 ? sin2 y = 1 ? x2 , причем перед корнем выбирается знак плюс,
так как cos y 0. Остальные формулы доказываются аналогично.
8.66. На основании определения имеем:
? ?
< arctg x < , arcctg x
? 0 ?.
2 2
Отсюда
? 3?
< arctg x + arcctg x <
? .
2 2
Остается проверить равенство
sin(arctg x + arcctg x) = 0.
Для доказательства второго равенства достаточно заметить, что
? 3?
< arcsin x + arccos x <
?
2 2
220 Ответы, указания, решения

и найти
sin(arcsin x + arccos x).
8.68. ?/2 при x > 0 и ??/2 при x < 0.
8.69. Прежде всего нетрудно показать, что величины arctg x+arctg y
x+y
и arctg отличаются друг от друга на ??, где ? — целое число.
1 ? xy
Действительно,
x+y x+y
tg(arctg x + arctg y) = = tg .
1 ? xy 1 ? xy
Так как
?? < arctg x + arctg y < ?,
то ? может принимать лишь три значения 0 и ±1. Для нахождения ?
рассмотрите косинусы левой и правой частей исходного равенства.
8.70, 8.71 Воспользуйтесь формулой из задачи 8.69.
8.74. По формуле котангенса суммы
F2n F2n+2 + 1
ctg(arcctg F2n ? arcctg F2n+2 ) = = F2n+1 .
F2n+2 ? F2n
Тем самым равенство (8.2) доказано. Суммируя его по n от 1 до ?,
находим
arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 + . . . + arcctg F2n+1 + . . . = arcctg 1 = ?/4.
2x
8.75. Пусть ? = 2 arctg x + arcsin . Докажите, что угол ? лежит
1 + x2
в пределах 0 < ? 3?/2 и sin ? = 0.
8.76. 0 x 4.
8.80. arcsin cos arcsin x + arccos sin arccos x = ?/2.
8.82. По формуле из задачии 8.69 2 arctg 1/5 = arctg 5/12. Ответ: 0.
8.83. Для доказательства соотношения a = b cos ? + c cos ? восполь-
зуйтесь равенством
sin ? = sin ? cos ? + cos ? sin ?.
Другие соотношения проверяются аналогично.
8.84. Из первых двух равенств системы (8.4) находим:
c(cos ? + cos ? cos ?) c(cos ? + cos ? cos ?)
b= , a= .
sin2 ? sin2 ?
После подстановки этих равенств в третье уравнение системы, прихо-
дим к соотношению
1 ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 cos ? cos ? cos ? = 0.
Ответы, указания, решения 221

Отсюда cos ? + cos ? cos ? = sin ? sin ?, cos ? + cos ? cos ? = sin ? sin ?,
? + ? + ? = ?, a sin ? = c sin ?, b sin ? = c sin ?.
8.86. Из первого равенства
cos ? ? cos ? cos ?
cos A = .
sin ? sin ?

Отсюда
1 ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? + 2 cos ? cos ? cos ?
sin2 A = ,
sin2 ? sin2 ?

sin2 A 1 ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? + 2 cos ? cos ? cos ?
= .
sin2 ? sin2 ? sin2 ? sin2 ?

Так как данные формулы переходят одна в другую при круговой пере-
становке переменных ?, ?, ?, A, B, C и от этого преобразования правая
часть последнего равенства не меняется, то
sin2 A sin2 B sin2 C
= = .
sin2 ? sin2 ? sin2 ?

Так как все величины ?, ?, ?, A, B, C заключены в пределах от 0 до ?,
то
sin A sin B sin C
= = .
sin ? sin ? sin ?

Глава 9
9.2. После подстановки z = x + ?, коэффициент при x2 оказывается
равен A + 3?. Поэтому нужно выбрать ? = ?A/3.
9.3. а) Функция f(x) = x3 + px — нечетная, поэтому ее график сим-
метричен относительно начала координат. б) График функции f(x) =
= x3 + px + q получается из графика функции f(x) = x3 + px парал-
лельным переносом, поэтому он также имеет центр симметрии. в) Из
задачи 9.2 следует, что функция f(x) = ax3 + bx2 + cx + d может быть
получена из функции f(x) = x3 + px + q линейной заменой переменной
и умножением на число. Оба эти преобразования сохраняют свойство
графика иметь центр симметрии.
9.5. Приведите уравнение к виду 2x3 + (x + 1)3 = 0.
9.6. Воспользуйтесь условиями x1 x2 +x1 x3 +x2 x3 = 0, x1 x2 x3 = b > 0.
9.7. Числа a и b должны удовлетворять системе уравнений
a3 + b3 = ?q,
a3 b3 = ?p3 /27.
222 Ответы, указания, решения

Поэтому a3 и b3 можно найти как корни квадратного уравнения y2 +
+ qy ? p3 /27 = 0. То есть

q2 p3 q2 p3
q q
3
3 3
a ,b =? ± ?±
+; a, b = +.
2 4 27 2 4 27

9.8. Разложение выглядит следующим образом:
a3 + b3 + c3 ? 3abc = (a + b + c)(a + b? + c?2 )(a + b?2 + c?).
Здесь ? и ?2 — кубические корни из 1:
v v
?1 + i 3 ?1 ? i 3
2
?= , ?= .
2 2
9.9. x1 = a + b, x2 = a? + b?2 , x3 = a?2 + b?, где ? и ?2 —
кубические корни из 1 (смотрите задачу 9.8.)
9.10. Так как
a2 + b2 + c2 ? ab ? bc ? ac = (a + b? + c?2 )(a + b?2 + c?),
x2 + y2 + z2 ? xy ? yz ? xz = (x + y? + z?2 )(x + y?2 + z?),
то
(a2 + b2 + c2 ? ab ? bc ? ac)(x2 + y2 + z2 ? xy ? yz ? xz) =
= (X + Y? + Z?2 )(X + Y?2 + Z?) = X2 + Y 2 + Z2 ? XY ? YZ ? XZ.
9.11. Формула Кардано получается, если воспользоваться ответом
задачи 9.7 и формулой для корня x1 из задачи 9.9. Для того, чтобы
найти два других корня, заметим, что при нахождении чисел a и b
кубический корень можно извлечь тремя способами. Всего получается
9 комбинаций x вида x = a + b, но только три из них будут корнями,
поскольку a и b связаны условием a · b = ?p/3. Если в качестве a и
b взять пару чисел из решения задачи 9.7, то кроме корня x1 = a + b,
исходное кубическое уравнение будет иметь корни x2 = ?a + ?2 b и
x3 = ?2 a + ?b, где ? — кубический корень из 1.
9.12. Подбором находим корень x0 = 1. Так как
x3 + x ? 2 = (x ? 1)(x2 + x + 2),
то других действительных корней нет. Поэтому формула Кардано дает
корень x0 = 1:

1 1
3 3
1= 1+ 1+ + 1? 1+ .
27 27
Ответы, указания, решения 223

9.13. x3 + 3/4x ? 7/4, ? = 1.
2 2
9.14. При a ? ?v; v уравнение имеет 3 решения, при a =
3333
2 2 2
= ± v — два решения и при a ? ? v ; v — 1 решение.
/
33 3333 v
9.15. По формуле Кардано находим корень x1 = 2/ 3. После деления
столбиком, приходим к равенству
2 2 2 1
x3 ? x ? v = x ? v x2 + v + .
3
33 3 3
Полученный квадратный трехчлен оказывается полным квадратом.
В итоге получается, что уравнение имеет три действительных корня,
v v
два из которых совпадают. Ответ: x1 = 2/ 3, x2 = x3 = ?1/ 3.
9.16. Воспользуйтесь равенством x1 + x2 + x3 = 0.
9.17. D(x3 + px + q) = ?4p3 ? 27q2 .
9.18. Решение непосредственно следует из результата задачи 9.17.
v
9.19. a = 1, b = 2, x1,2 = 1 ± ?5.
1 + 6k
9.25. а) xk = 2 cos ? (k = 0, 1, 2);
9
1 + 12k
б) xk = 2 cos ? (k = 0, 1, 2).
18
9.27. Вычитая из одного уравнения другое, находим

(13.7)
(p ? p )x + (q ? q ) = 0.

Умножая первое уравнение на q , а второе на q и вычитая почленно,
будем иметь

x3 (q ? q) + x(pq ? qp ) = 0, x2 (q ? q) + pq ? qp = 0. (13.8)

Исключая теперь из уравнений (13.7) и (13.8) переменную x, получим
искомый результат.
9.29. Чтобы правая часть уравнения 9.5 была полным квадратом
необходимо и достаточно выполнение двух условий: дискриминант ра-
вен нулю; старший коэффициент неотрицателен. Запишем эти условия
в явном виде:

D(?) = (C + ?2 )(A + 2?) ? B2 = 0, ? ?A/2.

Первое соотношение является кубическим уравнением относительно ?.
Его корни могут быть найдены по формуле Кардано. Остается заме-
тить, что
lim D(?) = ?,
D(?A/2) = ?B2 0,
?>?
224 Ответы, указания, решения

поэтому один из найденных корней обязательно будет удовлетворять
условию ? ?A/2.
9.30. Сделайте замены x = cos t, y = sin t, t ? [0; 2?].
2?k 4?k 8?k
9.31. (x, y, z) = cos , cos , cos (k = 0, . . . , 4), или
9 9 9
2?k 4?k 8?k
(x, y, z) = cos , cos , cos (k = 1, 2, 3).
7 7 7
9.32. Представьте семь данных чисел как тангенсы некоторых углов.
9.33. Сделайте замены x = 2 cos ?, y = 2 sin ?, z = 3 cos ?, t = 3 sin ?.
1
9.34. а) Сделайте замену x = cos t. Ответ: x ? ?v ,
2
v v
2+ 2 2? 2
б) Ответ: x ? {5/3, 5/4}; в) Сделайте замену
;
,?
2 2
x = sin t, t ? [??/2; ?/2]. Относительно t уравнение будет иметь одно
решение t = ?/5. Ответ: x = sin(?/5). г) Сделайте замену x = cos t.
9.35. Если hn = sin 2?, то hn+1 = sin ?. Поскольку h1 = sin(?/6),
?
?
то задача сводится к оценке суммы S = sin . Из неравенства
3 · 2n
n=1
sin x < x (x > 0) находим

?
1 ? 1 ?
S< + n= + < 1,03.
3·2
2 2 6
n=2


9.36. Сделаем замену x = cos t, t ? [0; ?/2]. Уравнение перепишется
в виде 8 cos t cos 2t cos 4t+1 = 0. Домножая на sin t, получаем, что корни
последнего уравнения лежат среди корней уравнения sin 8t + sin t = 0
или sin(7t/2) cos(9t/2) = 0. Решая уравнение и делая проверку, находим,
что на отрезке [0; ?/2] лежит 3 корня. Ответ: 3.
9.40. б) Система может быть переписана в виде
?
?y = 2x
?
?
? 1 ? x2
? 2y
z=
? 1 ? y2
?
?
?x = 2z
? 2
1?z

После замены x = tg ?, ? ? (??/2, ?/2) получаем, что y = tg 2?,
?k
z = tg 4?, x = tg 8?. Решая уравнение tg ? = tg 8?, находим, что ? = ,
7
?k 2?k 4?k
x 3. Ответ: (x, y, z) = (tg , tg
?4 , tg ) (?3 k 3).
7 7 7
9.43. Сделайте замены a = 2 ? x, b = 2 ? y, c = 2 ? z, a = 2 cos ?.
Ответы, указания, решения 225

9.44. После замены x = sin t, t ? [??/2; ?/2], приходим к уравнению

1 + sin 2t
= cos 2t.
2

Решая его, находим sin 2t = ?1 или sin 2t = 1/2, где t ? [??/4; ?/4].
v
1 2? 3
Отсюда t = ??/4 или t = ?/12. Ответ: x ? ?v , .
2
2v
9.46. Обозначим через dn разность dn = xn ? 2. Тогда последова-
тельность {dn } будет удовлетворять рекуррентному соотношению
d2
vn (n
dn+1 = 1).
2( 2 + dn )

Если для некоторого n окажется, что 0 < dn < 1, то начиная с этого
момента dn будет убывать не медленнее, чем геометрическая прогрес-
v
сия: 0 < dn+1 < dn /2. В нашем случае d2 = 3/2 ? 2 удовлетворяет
нужному условию, поэтому
v
lim dn = 0, lim xn = 2.
n>? n>?
v
9.47. Последовательность будет сходиться к ? 2.
9.48. Как и при решении задачи 9.46, обозначим через dn разность
v
dn = xn ? k. Тогда
d2
= vn (n
dn+1 0).
2( k + dn )

Последовательность {dn } оказывается монотонной и ограниченной. Зна-
чит она имеет предел, который может быть только равным 0.
9.49. Воспользуйтесь методом математической индукции.
2a1 + a0 a ? a0
+ (?1)n 1 n?1 .
9.50. an =
3 3·2
9.51. Рассмотрите последовательность, которая задается условиями:

v
x3 yn (n
y0 = x yn+1 = 0).

9.52. Так как k
ln N1/2
lim = 1,
k
N1/2 ? 1
k>?

то
k
ln N = lim 2k (N1/2 ? 1).
k>?
226 Ответы, указания, решения

При вычислении ln N на калькуляторе не следует брать k очень боль-
шим, поскольку это приводит к росту погрешности.
9.59. Пусть OAKB — данный прямоугольник, расположенный на ко-
ординатной плоскости так, что его вершины имеют координаты O(0; 0),
A(a; 0), K(a; b), B(0; b). Тогда искомая точка будет иметь координаты

aq4
aq
x= , y= ,
1 ? q4 1 ? q4
v
5?1
где q = = ??.
2
9.60. Как и при решении задачи 9.46, обозначим через dn разность
v
dn = an ? 3 a. Тогда
v
2d3 + 3d2 3 a
n n
(n
dn+1 = 1).
v
3( 3 a + dn )2

Если для некоторого n0 число dn0 будет положительным (это условие
будет выполнено при n = 2 независимо от значения a), то для dn+1

<<

стр. 7
(всего 9)

СОДЕРЖАНИЕ

>>