<<

стр. 8
(всего 9)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

можно будет написать оценку
v
3d3 + 3d2 3 a d2
n n
vn (n n0 ).
dn+1 < =3 < dn
v
3( 3 a + dn )2 a + dn

Последовательность {dn } снова оказывается монотонной и ограничен-
ной. Поэтому она имеет предел, который может быть равным только 0.
9.61. Данное уравнение можно записать в виде x2 = 1 + 1/x. После-
v
довательность, построенная по правилу x1 = 1, xn+1 = 1 + 1/xn , будет
сходиться к положительному корню данного уравнения. Другой способ
приближенного нахождения корня (причем более быстрый) получается,
если применить метод Ньютона. (См. задачу 9.78.)
9.62. Неравенство 0 < 2 ? an < (3/4)n доказывается по индукции.
9.63. Можно указать 0 < q < 1 такое, что (начиная с некоторого n)
an+1 < qan .
9.64. Примените теорему Лагранжа о конечном приращении.
9.67. (0, 0, 0), (1, 1, 1).
9.71.v задачи 9.69 следует, что данное уравнение равносильно урав-
Из
нению a + x = x. Отсюда находим, что уравнение разрешимо при
v

1 1 + 4a
? и имеет корни x1,2 = .
a
4 2
9.72. Воспользуйтесь неравенствами bn < bn+1 < an+1 < an и теоре-
мой Вейерштрасса. Явное выражение для µ(a, b) через a и b впервые
Ответы, указания, решения 227

получил Гаусс:
?/2
?1
dx
µ(a, b) = ? 2 .
a2 sin2 x + b2 cos2 x
0

9.73. б) Докажите, что произведение элементов данных последова-
тельностей не меняется: an bn = ab (n 0). Затем перейдите к пределу
в этом равенстве.
9.74.
1/an + 1/bn
1 1 1 1
·
= , = .
an+1 2 bn+1 an bn
9.79. а) xn = F2n +1 /F2n = [1; 1, 1, . . . , 1] > ?;
2n
б) xn = F?2n +1 /F?2n = ?F2n ?1 /F2n = [?1; 2, 1, . . . , 1] > ?.
2n ?1
9.80. Последовательности {yn } и {zn } сходятся к различным корням
уравнения x2 ?px+q = 0. Какой именно из корней является предельным
значением, зависит от знака параметра q.
9.81. Докажите, что подходящие дроби pn /qn к числам ? и ? удо-
влетворяют соотношению
p2 ? q · q2
p2n n n
= .
qn (2pn ? p · qn )
q2n
9.82. Так как функция f(x) нечетная, то можно пытаться найти
такую точку x0 = 0, что x1 = ?x0 . В этом случае получится, что
x2 = ?x1 = x0 . Условие x1 = v 0 записывается в виде уравнения
?x
2
x0 (x0 ? 1) = ?x0 . Отсюда x0 = ± 2.
9.83. Нетрудно найти первые многочлены:
P1 (x) = x2 ? 3x + 1 = x2 ? L2 x + 1,
P2 (x) = x2 ? 7x + 1 = x2 ? L4 x + 1,
P3 (x) = x2 ? 47x + 1 = x2 ? L8 x + 1,
где Lk — числа Люка. Общая формула доказывается по индукции:
Pk (x) = x2 ? L2k x + 1.
Отсюда
k k
x1 = lim (L2k )1/2 = ?, x2 = ? lim (L2k )?1/2 = ?.
k>? k>?
v v
9.85. а) 4, 2 2, 2 3, 3; б) Воспользуйтесь формулами для длин сто-
рон описанного и вписанного многоугольников an = tg(?/n), bn = sin(?/n),
pn = nbn , Pn = nan .
228 Ответы, указания, решения

9.86. Из соотношения
x x x x x
sin x = 2n sin n cos cos 2 cos 3 . . . cos n
2 2 2
2 2
и равенства
x
lim 2n sin =x
2n
n>?

находим
x x x x
= cos cos 2 cos 3 . . .
sin x 2 2 2
Далее, подставляя значение x = ?/2, приходим к нужному равенству.
9.87. Для наибольшего числа a график функции y = ax должен
касаться прямой y = x. Ответ: a = e1/e , lim xn = e.
n>?
Докажите неравенство a3 > 3n и оцените разность a3 ? 3n.
9.88. n n
9.89. Воспользуйтесь равенством x1 + y1 + z1 = x1 y1 z1 .
9.91. а) (2, ?1, ?3, ?4).
а) 13 ? 11; б) 61 ? 69.
9.92.
9.93. а) (4/9, 5/9, 1/2, 1/2); б) (8/13, 6/13, 6/13, 6/13).
а) Если a = 1, то (x, y) = (t, 1 ? t) (t ? R); если a = ?1, то
9.94.
a2 + a + 1 a
решений нет; если a = ±1, то (x, y) = .
,?
a+1 a+1
б) Если a = 0, то (x, y) = (2, t) (t ? R); если a = 1, то решений нет;
a2 ? 2 2 ? a
если a = 0, 1, то (x, y) = .
,
a?1 a?1
в) Если a = 1, то (x, y) = (2 ? 4t, t) (t ? R); если a = 3, то решений
4(a ? 2) 1 ? a
нет; если a = 1, 3, то (x, y) = .
,
a?3 a?3
г) Если a = 0, то (x, y) = (t, 2) (t ? R); если a = ±1, то решений нет;
a5 ? 2a4 + 2a2 ? a + 6 a6 ? a2 ? 2a ? 4
если a = 0, ± 1, то (x, y) = .
,
2(a2 ? 1) 2(a2 ? 1)
д) Если a = 1, то (x, y) = (t, 1 ? t) (t ? R); если a = ?1, (x, y) =
= (t, t ? 1) (t ? R); если a = ±1, то (x, y) = (a2 + 1, ?a).
е) Если a = 0, то (x, y) = (t, 0) (t ? R); если a = 1/2, b = 1/2,
(x, y) = (1/2 + t, t) (t ? R); если a = 1/2, b = 1/2, то решений нет; если
a ? b a(1 ? 2b)
a = 0, 1/2, то (x, y) = .
,
2a ? 1 2a ? 1
ж) Если a = b = 0, то (x, y) = (t1 , t2 ) (t1 , t2 ? R); если a = b = 0,
(x, y) = (t, 1 ? t) (t ? R); если a = ?b = 0, (x, y) = (1 + t, t) (t ? R);
если a = ±b, то (x, y) = (1, 0).
a2 ? 1
2a
з) Если a 0, то (x, y) = ; если a < 0, (x, y) = (0, 1).
,2
a2 + 1 a + 1
Ответы, указания, решения 229

9.95. Нет. Если x и y — два вектора решений, то решением будет и
вектор ?x + (1 ? ?)y при любом действительном ?.
9.97. Первый игрок всегда может добиться того, чтобы решением
системы был вектор (1, 1, 1).


Глава 10
10.1. Поделите неравенство (x ? 1)2 0 на x.
10.2. Возведите неравенство в квадрат.
10.3. Воспользуйтесь два раза неравенством задачи 10.2.
10.4. Возведите неравенство в квадрат и воспользуйтесь неравен-
ством между средним арифметическим и средним геометрическим.
10.5. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим
и средним геометрическим.
10.6. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим
и средним геометрическим.
10.7. Раскройте скобки в неравенстве (x ? y)2 + (y ? z)2 + (x ? z)2 0.
10.8. Воспользуйтесь неравенством предыдущей задачи.
10.9. Сложите неравенства (x1 /2)2 + x2 x1 x2 , . . . , (x1 /2)2 + x2
2 5
x1 x5 .
10.11. После упрощений воспользуйтесь неравенством между сред-
ним арифметическим и средним геометрическим.
10.12. После раскрытия скобок получается неравенство задачи 10.7.
10.13. Примените два раза неравенство между средним арифмети-
ческим и средним геометрическим: сначала к числам, а потом к их
показателям.
10.14. a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 = 0.
10.15. Число 1 + xy всегда положительно. После домножения на это
число, неравенство может быть записано в виде (1 ± x)(1 ± y) > 0.
10.16. Сначала докажите неравенство для рациональных ? и ?.
10.17. Воспользуйтесь неравенством a2 (b?c)2 +b2 (a?c)2 +c2 (a?b)2 0.
10.18. Раскройте скобки и воспользуйтесь неравенством между сред-
ним арифметическим и средним геометрическим.
10.21. v
После извлечения квадратного корня задача сводится к нера-
v
венству ( x ? y)4 0.
10.22. Воспользуйтесь неравенством a(b?c)2 +b(a?c)2 +c(a?b)2 0.
10.23. Раскройте скобки и воспользуйтесь неравенством между сред-
ним арифметическим и средним геометрическим.
10.24. Воспользуйтесь неравенством

(1 + a4 )(1 ? b2 )2 + (1 + b4 )(1 ? a2 )2 0.
230 Ответы, указания, решения

10.25. Воспользуйтесь неравенствами из задач 10.7 и 10.17.
10.27. Докажите сначала неравенство a3 + b3 a2 b + ab2 .
10.29. Смотрите задачу 10.22.
10.30. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметиче-
ским и средним геометрическим.
10.31. После домножения на общий знаменатель и сокращений зада-
ча сводится к неравенству из задачи 10.27.
10.32. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметиче-
ским и средним гармоническим (задача 10.11).
10.37. Докажите неравенство по индукции.
10.41. Всегда можно подобрать натуральные x и y так, чтобы вы-
полнялись равенства
x+y x+y
p= , q= .
x y
После замены ? = a1/x , ? = b1/y исходное неравенство принимает вид
x?x+y + y?x+y
?x ?y .
x+y
Для его доказательства достаточно воспользоваться неравенством меж-
ду средним арифметическим и средним геометрическим:
x?x+y + y?x+y
?x+y . . . ?x+y ?x+y . . . ?x+y = ?x ?y .
x+y
x+y
v v yn
x
10.43. а) ( n n!)2 = n (1 · n) . . . (n · 1) n
n = n. Вторая часть
неравенства следует из неравенства между средним арифметическим
и средним геометрическим.
10.44. Так как для x из интервала (0; ?/2) выполняется оценка
x < tg x, то
1 1 1 1
? 2< ? 2 = 1.
2 2
sin x sin x tg x
x
k
2, то m(n )
(mn )k .
10.46. Если m, n, k
1 1
10.47. а) Воспользуйтесь неравенством > (1 k n ? 1).
n+k 2n
б) Разбейте сумму на блоки по 2k слагаемых (0 k n). в) Сравните
произведение из условия задачи с произведениями
24 100 1246 98
· ... · · · ... .
и
35 101 2357 99
г) Оцените отдельно произведение
79 99
· ... .
8 10 100
Ответы, указания, решения 231

xyz
· · = 1.
10.48.
yzx
10.50. Выберите fk (x) = ak x2 + bk x.
10.52. Рассмотрите функции fk (x) = ak ex ? bk (x + 1).
10.53. а) Положите b1 = . . . = bn = 1. б) Положите a1 = . . . =
= an = 1. в) Положите a1 = b1 c1 , . . . , an = bn cn .
10.55. Пусть l(x) — касательная к графику функции f(x) в точке
?1 x1 + ?2 x2 . Тогда, по определению выпуклости,
?1 f(x1 ) + ?2 f(x2 ) < ?1 l(x1 ) + ?2 l(x2 ) = l(?1 x1 + ?2 x2 ) = f(?1 x1 + ?2 x2 ).
10.56. Применим индукцию. При n = 2 неравенство Иенсена было
доказано в задаче 10.55. Предположим, что оно верно для некоторого
2 и докажем его при n + 1. Пусть ? = ?1 + . . . + ?n > 0. Тогда
n
?1 ?
+ . . . + n = 1. Используя неравенство с n = 2, находим
? ?
?1 ?
x1 + . . . + n xn + ?n+1 xn+1
f(?1 x1 + . . . + ?n+1 xn+1 ) = f ? >
? ?
?1 ?
x1 + . . . + n x n .
> ?n+1 f(xn+1 ) + ?f
? ?
Далее, по предположению индукции,
?1 ? ?1 ?
x1 + . . . + n x n f(x1 ) + . . . + n f(xn ).
f >
? ? ? ?
Следовательно
f(?1 x1 + . . . + ?n+1 xn+1 ) > ?1 f(x1 ) + . . . + ?n+1 f(xn+1 ).
10.58. Воспользуйтесь неравенством Иенсена для следующих функ-
v
ций: а) f(x) = x; б) f(x) = 1/x2 ; в) f(x) = enx ; г) f(x) = 1/x.
10.60. Применяя неравенство Иенсена к функции y = xp , получаем
? 1 x p + ? 2 xp + . . . + ? n xp .
(?1 x1 + ?2 x2 + . . . + ?n xn )p 1 2 n

После замены
?1 ?n
?1 = , . . . , ?n =
?1 + . . . + ?n ? 1 + . . . + ?n
приходим к неравенству
(?1 + . . . + ?n )p?1 (?1 xp + . . . + ?n xp )
(?1 x1 + ?2 x2 + . . . + ?n xn )p 1 n

или
(?1 + . . . + ?n )1/q (?1 xp + . . . + ?n xp )1/p .
? 1 x1 + ? 2 x 2 + . . . + ? n x n 1 n
232 Ответы, указания, решения

Для получения нужного неравенства остается сделать подстановку
?k = bq , xk = ak b1?q (k = 1, 2, . . . , n).
k k
10.63. Для доказательства неравенств достаточно рассмотреть функ-
цию f(x) = e?x и точки ln x1 , . . . , ln xn .
Для подсчета пределов воспользуемся приближенной формулой для
функции ex , которая верна на отрезке x ? [?1; 1]:
ex = 1 + x + ?x2 (|?| < 1).
При достаточно малом ? получим
e? ln x1 + . . . + e? ln xn 1/? 1/?
?
= 1 + ln(x1 . . . xn ) + ?2 A
S? (x) = ,
n n
1/? 1/?
? ?
S0 (x) = e n ln(x1 ...xn ) = 1 + ln(x1 . . . xn ) + ?2 B ,
n
?2 2
ln (x1 . . . xn ); |?1 |, |?2 | < 1.
где A = ?1 (ln2 x1 + . . . + ln2 xn ); B =
n2
Поэтому
1 + (?/n) ln(x1 . . . xn ) + ?2 A 1/?
S? (x)
lim = lim = 1.
?>0 1 + (?/n) ln(x1 . . . xn ) + ?2 B
S0 (x)
?>0


10.71. а) Других нет; б) (5, 1, 1) и (4, 3, 0); (4, 1, 1, 1) и (3, 3, 1, 0).
10.72. Рассмотрите несколько случаев: x = y = z = t; x = y = t,
z = 1; x = t, y = z = 1 и сравните степени полученных полиномов от t.
10.73. Очевидно, что достаточно доказать неравенство в случае, ко-
гда набор ? получается из набора ? сбрасыванием одного «кирпича» на
диаграмме Юнга. Проведем доказательство для случая, когда делается
переход от ? = (?1 , ?2 , ?3 , . . . , ?n ) к ? = (?1 ? 1, ?2 + 1, ?3 , . . . , ?n ),
2. При этом каждый одночлен вида x?1 x?2 x?3 . . . x?n
где ?1 ? ?2 i1 i2 i3 in
?1 ?1 ?2 +1 ?3 ?n
заменяется одночленом вида xi1 xi2 xi3 . . . xin . Для доказательства
неравенства T? (x1 , . . . , xn ) T? (x1 , . . . , xn ) сгруппируем все одночле-
ны, входящие в данное неравенство парами:
x?1 x?2 A + x?1 x?2 A; x?1 ?1 x?2 +1 A + x?1 ?1 x?2 +1 A,
i1 i2 i2 i1 i1 i2 i2 i1

(A = x?3 . . . x?n 0) и проверим, что разность таких пар всегда неот-
i3 in
рицательна. Действительно,
x?1 xi22 + x?1 x?2 ? x?1 ?1 x?2 +1 ? x?1 ?1 x?2 +1 =
?
i1 i2 i1 i1 i2 i2 i1

= (x?1 ?1 x?2 ? x?1 ?1 x?2 )(xi1 ? xi2 ) 0,
i1 i2 i2 i1


поскольку ?1 ? 1 > ?2 и разность x?1 ?1 x?2 ? x?1 ?1 x?2 имеет тот же
i1 i2 i2 i1
знак, что и xi1 ? xi2 .
Ответы, указания, решения 233

Частные случае этого рассуждения можно найти в решении зада-
чи 10.75.
10.75. а) Сложите три неравенства вида

x4 y2 z + x2 y4 z ? 2x3 y3 x = x2 y2 z(x ? y)2 0.

б) Для преобразования диаграммы Юнга (5, 0, 0) в (2, 2, 1) нужно
три шага:
(5, 0, 0) > (4, 1, 0) > (3, 2, 0) > (2, 2, 1),

поэтому для непосредственного доказательства неравенства понадобит-
ся цепочка из трех неравенств:

x5 + y5 ? x4 y ? xy4 = (x4 ? y4 )(x ? y) 0,
x4 y + xy4 ? x3 y2 ? x2 y3 = xy(x2 ? y2 )(x ? y) 0,
x3 y2 + y2 z3 ? x2 y2 z ? xy2 z2 = y2 (x2 ? z2 )(x ? z) 0.

Глава 11
k?1
Cj nj ;
11.1. а) ?n2 = 2n + 1; б) ?n(n ? 1) = 2n; в) ?nk = k
j=0
k k k k?1
г) ?C = C ?C =C .
n n+1 n n
11.2. Sn = bn+1 ? b1 .
11.3. Для нахождения an можно воспользоваться методом неопре-
деленных коэффициентов. Для этого нужно представить an в виде
an = An3 + Bn2 + Cn и определить коэффициенты A, B, C из условия
?an = n2 .
11.4. Найдите последовательность an вида an = An4 + Bn3 + Cn2 +
+ Dn, для которой ?an = n3 .
11.5. Воспользуйтесь тем, что для четного положительного m вы-
полняется равенство 1/F2m = Fm?1 /Fm ? F2m?1 /F2m .
11.6. Утверждение задачи достаточно проверить для Q(x) = xm+1 .
В этом случае ?Q(x) = xm+1 ? xm = (m + 1)xm + . . .
11.8. Формула доказывается индукцией по n.
11.10. Воспользуйтесь задачей 11.6. ?m f(x) = m!am , где am — стар-
ший коэффициент многочлена f(x).
11.11. n!/nn .
11.13. Согласно задаче 11.12, для чисел yk = ?(?1)k Ck действи- n
тельно выполняются нужные равенства. Поэтому для решения задачи
остается показать, что такой набор чисел {yk } единственный с точно-
стью до постоянного сомножителя. Предположим, что таких наборов
два: y(1) , . . . , y(1) и y0 , . . . , y(2) . Обозначим через ?1 и ?2 те числа,
(2)
0 n n
234 Ответы, указания, решения

которые получаются при подстановке в равенство 11.1 наборов {y(1) }
k
и {y(2) } и функции f(k) = kn :
k


n n
(1)
kn y(2) = ?2 .
n
ky = ?1 ,
k k
k=0 k=0



Тогда новый набор чисел y(3) = ?2 y(1) ? ?1 y(2) (k = 0, . . . , n) обладает
k k k
тем свойством, что
n

f(k)y(3) = 0
k
k=0



для всех многочленов f(x), deg f(x) n. Но многочлен f(x) можно
(3)
подобрать так, чтобы f(k) = yk (k = 0, . . . , n). Отсюда

n

(y(3) )2 = 0, y(3) = y(3) = . . . = y(3) = 0,
то есть
k 1 2 n
k=0



что противоречит непропорциональности наборов {y(1) } и {y(2) }.
k k
11.12. Воспользуйтесь результатами задач 11.8 и 11.10.
11.15. ?(an bn ) = an+1 ?bn + bn ?an = an ?bn + bn+1 ?an .
11.16. an = 2n .
11.15 . При n = 1 формула

?(f(x)g(x)) = f(x + 1)?g(x) + ?f(x)g(x) = f(x)?g(x) + ?f(x)g(x + 1)

легко проверяется. Для доказательства формулы в общем случае при-
меним индукцию. Пусть формула (?) справедлива для некоторого n.
Тогда применяя её в равенстве

?n+1 (f(x)g(x)) = ?n (?n f(x)g(x)) = ?n (f(x)?g(x) + ?f(x)g(x + 1))

получим

n n
n?k
n+1 kk
Ck ?k+1f(x)?
? (f(x)g(x)) = C ? f(x)?k ? k + 1g(x+k)+ g(x+1).
n n
k=0 k=0
Ответы, указания, решения 235

После сдвига переменной суммирования во второй сумме, приходим к
формуле
n
n+1
Ck ?k f(x)?n?k+1 g(x + k) +
? (f(x)g(x)) = n
k=0
n+1

Ck?1 ?k f(x)?n?k+1 g(x + k) =
+ n
k=1
n+1

(Ck + Ck?1 )?n f(x)?n?k+1 g(x + k) =
= n n
k=0
n+1

Ck ?k f(x)?n+1?k g(x + k)
= n+1
k=0

(3n + 2)(n ? 1)
1 11 1
11.19. а) 1 ? ; б) ; в) ;
?
n+1 4n(n + 1) 22 (n + 1)(n + 2)
2n+1 2 1 1
г) д) 1 ? ; е) 1 ? ; ж) (n + 1)! ? 1.
? 1; +
n+1 2n + 1 n+1 n!
11.21. б) Для двух многочленов степени n f(x) и g(x) = d0 C0 +d1 C1 +
x x
+ . . . + dn Cn справедливы равенства ?k f(0) = ?k g(0) (0 k n).
x
Поэтому они совпадают в точках x = 0, 1, . . . , n, то есть равны.
11.22. Поскольку многочлен f(x) принимает целые значения в точках
x = 0, 1, . . . , n, то коэффициенты dk , найденные по формулам dk =
= ?k f(0) (см. задачу 11.21), оказываются целыми.
11.27. Если n = 4k + 1 или n = 4k + 2, то независимо от расстанов-
ки знаков будет получаться нечетное число. Поэтому задача решения
иметь не будет. Исследуем прогрессии n = 4k+3 и n = 4k. Покажем, что
для чисел из первой прогрессии задача имеет решение начиная с n = 7,
а из второй — начиная с n = 8. Очевидно, что для n = 3 и n = 4 решения
не существует. Из равенства n2 ?(n+1)2 ?(n+2)2 +(n+3)2 = 4 следует,
что из восьми последовательных чисел, подобрав знаки + и ?, всегда
можно получить 0. Поэтому, если задача имеет решение для некоторого
n, то она будет иметь решение и для всех чисел n + 8k (k 0). Осталось
показать существование решения для n = 7, 11 и 12. Поиск облегчается,
если сначала выяснить, для каких комбинаций знаков можно получить
0 по модулю некоторого натурального m, например, для m = 8. Нужные
представления устроены следующим образом:
1 + 4 ? 9 + 16 ? 25 ? 36 + 49 = 0;
1 ? 4 + 9 + 16 + 25 ? 36 ? 49 ? 64 + 81 ? 100 + 121 = 0;
1 ? 4 + 9 + 16 + 25 ? 36 + 49 ? 64 + 81 ? 100 ? 121 + 144 = 0.
236 Ответы, указания, решения

11.28, 11.29 Гармоничность данных функций проверяется по опреде-
лению.
11.30. Рассмотрим функции

?x f(x, y) = f(x + 1, y) ? f(x, y) и ?y f(x, y) = f(x, y + 1) ? f(x, y),

которые также будут ограниченными и гармоническими. Пусть функ-
ция ?x f(x, y) не равна нулю тождественно. Допустим, что M =
= sup(x,y)?Z2 f(x, y). Тогда на плоскости Z2 можно найти квадрат K
сколь угодно большого размера (n ? n), что ?x f(x, y) > M/2 для всех
точек этой области V. Отсюда следует, что функция f(x, y) возрастет
при движении внутри K параллельно оси Ox по крайней мере на M·n/2.
Но это противоречит ограниченности f(x, y).
11.31. Проведите доказательство по индукции.
11.33. Согласно задаче 11.32, последовательности {an }=ci xn (i=1,2)
i
для любых c1 , c2 являются решениями уравнения (11.2), поэтому их
сумма будет удовлетворять тому же уравнению. С другой стороны,
числа c1 , c2 можно подобрать так, чтобы a0 = c1 + c2 , a1 = c1 x1 + c2 x2 .
После этого получается, что две последовательности {an } и {c1 xn +c2 xn }
1 2
удовлетворяют одному и тому же уравнению и имеют одинаковые на-
чальные условия. Согласно задаче 11.31, они совпадают.
11.35. а) an = 3n ? 2n ;
б) an = 1; v v
n n
1 1 1+ 5 1 1 1? 5
1+ v 1? v
в) an = = Fn+1 ;
+
2 2 2 2
5 5
г) an = n + 1;
v v
1
д) an = v ((1 + 2)n ? (1 ? 2)n ).
22v v
11.36. а) (1 ? 2)n = an ? bn 2. v
v v v
б) a2 ? 2b2 = (an ? bn v n +v n 2) = (1 + 2)nv ? 2)n = 1.
2)(a b (1
n n
в) Из равенства (an +bn 2)(1+ 2) = (an+1 +bn+1 2) находим, что
числа an и bn удовлетворяют рекуррентным соотношениям an+1 = an +
+2bn , bn+1 = an +bn . Отсюда an+2 ?2an+1 ?an = 0, bn+2 ?2bn+1 ?bn = 0
(n 0).
v v v v
1 1
г) an = ((1 + 2)n + (1 ? 2)n ), bn = v ((1 + 2)n ? (1 ? 2)n ).
2 22
11.38. Перейдите к сопряженным числам.
11.41. В явном виде многочлены Фибоначчи и Люка помещены в
приложение В, V. Многочлены, стоящие в равенствах а), б) и д) удо-
влетворяют одному рекуррентному соотношению. Поэтому достаточно
проверить лишь выполнение начальных условий. (См. задачу 11.31.)
Для доказательства равенств в) и г), найдите рекуррентные соотноше-
Ответы, указания, решения 237

ния, которым удовлетворяют многочлены, стоящие в левых и правых
частях и проверьте справедливость начальных условий. Например, мно-
гочлены Фибоначчи c четными номерами удовлетворяют равенству
F2n+4 (x) = (x2 + 2)F2n+2 (x) ? F2n (x).
v v
n n
x2 + 4 x2 + 4
1 x+ x?
11.43. Fn (x) = v ? ;
2 2
x2 + 4
v v
n n
x + x2 + 4 x2 + 4
x?
Ln (x) = + .
2 2
(Ck + Ck?1 )xn?2k .
Ck xn?2k , Ln (x) =
11.45. Fn+1 (x) = n?k?1
n?k n?k
k0 k0
11.46. Пусть an , bn , cn , dn , en , fn обозначают число способов до-
браться из вершины A за n прыжков до вершин A, B, C, D, E, F
соответственно. В силу симметрии задачи, bn = fn , cn = en . Легко
видеть, что выполняются равенства
?
? bn+1 = an + cn ,
?
?
dn+1 = 2cn ,
? an+1 = 2bn ,
?
?
cn+1 = bn + dn .
Отсюда находим, что все перечисленные последовательности удовле-
творяют рекуррентному уравнению xn+4 ? 5xn+2 + 4xn = 0 (n 0). Из
начальных условий a0 = 1, a2 = 2, находим a2n = (2 + 4n )/3.
11.47. а) Из рекуррентного уравнения cn+4 ? 5cn+2 + 4cn = 0 (n 0)
(см. решение задачи 11.46) и начальных условий c0 = 0, c2 = 1, находим
c2n = (4n ? 1)/3.
б) При условии, что лягушке нельзя прыгать в D, рекуррентное
1). Отсюда c2n = 3n?1
уравнение запишется в виде cn+2 = 3cn (n
(n 1). Аналогично a2n = 2 · 3n?1 .
в) Вероятность того, что лягушка будет еще прыгать через n секунд
равна отношению числа всех путей, не проходящих через D, к общему
числу маршрутов. Для четных n имеем:
3k?1
a2k + c2k + e2k
(k
P2k = = k?1 1).
22k 4
Для нечетных n:
3k
b2k+1 + f2k+1 2a2k + c2k + e2k
(k
P2k+1 = = =k 1).
22k+1 22k+1 4
Лягушка может попасть в вершину D только на нечетном шаге.
Вероятность такого события для шага с номером n = 2k + 1 равна
2 · 3k?1
c2k + e2k
= 2k+1 .
22k+1 2
238 Ответы, указания, решения

Поэтому средняя продолжительность жизни задается рядом
?
2 · 3k?1
N= (2k + 1) .
22k+1
k=1

Указанная сумма может быть вычислена при помощи производящей
функции
?
3k 2k+1 t3
1
f(t) = t = .
22k 4 ? 3t2
3
k=1

Среднее число шагов совпадает со значением производной функции f(t)
в точке t = 1:
N = f (t)|t=1 = 4.

Ответ: 4 секунды.
11.49. (3n ? (?2)n )/5.
11.50. Сложите данные числа с сопряженными к ним.
11.52. Все решения уравнения x2 ? 17n2 = 1 в натуральных числах
v v
могут быть получены по формуле (x1 + n1 17)k = xk + nk 17 (k 1).
11.53. xn = 1/2 sin ?[(1 + sin 2?)n ? (1 ? sin 2?)n ], .
yn = 1/2 cos ?[(1 + sin 2?)n + (1 ? sin 2?)n ]
11.54. Пусть a0 — начальное число орехов, ak — количество орехов,
оставшихся в куче после того, как «свою» долю взял k-й моряк. Тогда
ak+1 = 4/5(ak ? 1) (k = 0, . . . , 4).
Отсюда следует, что последовательность {ak } удовлетворяет линейному
рекуррентному соотношению второго порядка
5ak+1 ? 9ak + 4ak?1 = 0 (k = 1, . . . , 4).
Из результата задачи 11.33 следует, что
ak = c1 + c2 (4/5)k (k = 0, . . . , 5).
Подставляя это представление в первое рекуррентное соотношение, на-
ходим c1 = ?4. Чтобы ak было целым числом для каждого k от 0 до
5, константа c2 должна иметь вид c2 = 55 n. Поскольку при n = 1
оставшееся число орехов a5 = 45 ? 4 кратно 5, то наименьшее возможно
число орехов в куче равно 55 ? 4. Ответ: 55 ? 4.
1?i 1+i
11.57. а) an =i/2(?(2+i)n +(2?i)n ); б) an = (1+i)n + (1?i)n ;
2 2
в) a3n = 1, a3n+1 = 2, a3n+2 = ?3; г) an = i((3 ? 4i) ? (3 + 4i)n ).
n

11.58. Воспользуйтесь равенствами ?3 n2 = 0 и ?4 n3 = 0.
Ответы, указания, решения 239

11.59. Воспользуемся методом задачи 11.36. Выбирая всевозможные
v v
комбинации знаков при числах 2 и 3, получим равенства
v v v v v
?n = (1 + 2 + 3)n = pn + qn 2 + rn 3 + sn 6,
v v v v v
1
?2 = (1 ? 2 + 3)n = pn ? qn 2 + rn 3 ? sn 6,
n
v v v v v
?n = (1 + 2 ? 3)n = pn + qn 2 ? rn 3 ? sn 6,
v v v v v
3
?n = (1 ? 2 ? 3)n = pn ? qn 2 ? rn 3 + sn 6.
4

Складывая эти равенства с коэффициентами (1, 1, 1, 1), (1, ?1, 1, ?1),
(1, 1, ?1, ?1), (1, ?1, ?1, 1), находим
1n
(? + ?n + ?n + ?n ),
pn =
41 2 3 4

1
qn = v (?n ? ?n + ?n ? ?n ),
1 2 3 4
42
1
rn = v (?n + ?n ? ?n ? ?n ),
1 2 3 4
43
1
sn = v (?n ? ?n ? ?n + ?n ).
1 2 3 4
46
v v v
pn p p
= 2, lim n = 3, lim n = 6.
Отсюда lim
qn n>? rn n>? sn
n>?
n
11.65. Пусть f(x) = (1 + x)n = Ck xk . Тогда f (x) = n(1 + x)n?1 =
n
k=0
n
kCk xk?1 . Подставляя в эту формулу x = 1, находим сумму из п. а):
= n
k=0

n

kCk = f (x)|x=1 = n · 2n?1 .
n
k=1

Аналогично находится сумма из п. б):
n

k2 Ck = (xf (x)) |x=1 = n(n + 1)2n?2 .
n
k=1

Ответ: а) n · 2n?1 ; б) n(n + 1) · 2n?2 .
11.67. Из равенства
F(k) (x) 1
= Ck
n+k?1
(1 ? x)n+k
k!

находим an = Ckn+k?1 .
11.68. Данное равенство равносильно утверждению, что всякое поло-
жительное число может быть записано в десятичной системе счисления
и при том только одним способом.
240 Ответы, указания, решения

11.69. Как и в предыдущей задаче, примените формулу из зада-
чи 11.63.
11.70. Здесь первое соотношение — замаскированный случай биноми-
альной теоремы, а второе получается из первого умножением на xm :
? ?
xm
1
m n
Cm xn =
C x= , .
m+n n
(1 ? x)m+1 (1 ? x)m+1
n=0 n=0

11.72. Из задачи 11.71 следует, что число счастливых билетов N
1 ? x10 6
равно коэффициенту при x27 у функции . Для нахождения
1?x
N разложим функции (1 ? x10 )6 и (1 ? x)?6 по степеням x:
6
10 6
(?x)10k Ck ;
(1 ? x ) = 6
k=0
?
?6
xk Ck
(1 ? x) = 6+k?1 .
k=0

Отсюда
N = C0 · C27 ? C1 · C17 + C2 · C7 = 55252.
6 32 6 22 6 12

11.73. Первое равенство непосредственно следует из определения
производной формального степенного ряда. Для доказательства второго
равенства сравним коэффициенты при zn в рядах Exp((? + ?)z) и
(? + ?)n
Exp(?z) · Exp(?z). В первом случае, это , во втором —
n!
n n
?k ?n?k 1
Ck ?k ?n?k .
· = n
k! (n ? k)! n!
k=0 k=0

Равенство этих коэффициентов следует из формулы бинома Ньютона
(задача 2.53).
11.74. Заметим, что
a3 + b3 + c3 ? 3abc = (a + b + c)(a + ?b + ?2 c)(a + ?2 b + ?c)
(смотрите задачу 9.8). Отсюда
?
? a + b + c = (1 + x)n ,
?
a + ?b + ?2 c = (1 + ?x)n ,
?
?
a + ?2 b + ?c = (1 + ?2 x)n .
Поэтому
a3 + b3 + c3 ? 3abc = [(1 + x)(1 + ?x)(1 + ?2 x)]n = (1 + x3 )n .
Ответы, указания, решения 241

11.76. Подставьте в производящую функцию последовательности
чисел Фибоначчи z = 1/10. Данная сумма оказывается равна 10/89.
2?z
11.77. L(z) = .
1 ? z ? z2
11.78. а) 2; б) 6.
z 2 ? xz
11.79. F(x, z) = , L(x, z) = .
2
1 ? xz ? z2
1 ? xz ? z
1 ? xt 1
11.80. FT (x, z) = , FU (x, z) = .
2
1 ? 2xt + t2
1 ? 2xt + t
11.81. а) Обозначим искомую сумму через f(x). Применяя формулу
для суммы геометрической прогрессии, находим, что
(2x)n ? 1
f(x) = .
2x ? 1
б) Как и в задаче 11.65 вторая сумма равна f (1) = 2n (n ? 2) + 2.
в) Снова, как и в задаче 11.65 б), сумма равна следующей величине

(xf (x)) |x=1 = f (1) + f (1) = 2n (n2 ? 5n + 8) ? 8.

г) По формулу из задачи 7.58 а),
n?1
sin((n ? 1)/2)x · cos(nx/2)
g(x) = = .
sin(x/2)
k=1

Искомая сумма равна ?g (1):
n sin(n ? 1)x ? (n ? 1) sin nx
?g (x)|x=1 = .
2(1 ? cos x)
11.83. Проследите за изменением диаграммы Юнга.
11.84. Задачу можно решить используя комбинаторные соображения
из задачи 2.67. Если же использовать метод производящих функций, то
решение задачи сводится к проверке равенства
1 1
= 1 + x + 2x2 + . . . + 2n?1 xn + . . .
=
2 3 1 ? x/(1 ? x)
1 ? x ? x ? x ? ...
11.87. an = q?(n) , где ?(n) — число единиц в двоичном представлении
числа n.
11.88. Интересующий нас ряд может быть получен из произведения
(1 ? ax)(1 ? bx2 )(1 ? cx4 )(1 ? dx8 ) . . . ,
если положить x = 1. При определении знака можно положить a = b =
= c = d = . . . = 1. Тогда искомый знак будет согласно задаче 11.87
равен (?1)?(n) .
242 Ответы, указания, решения

11.89. an = Cn .
2n
11.90. x = y/(1 ? y), y = x/(1 + x). Таким образом,
y = x ? x2 + x3 ? x4 + . . . + (?1)n+1 xn + . . .
11.91. y = x ? x2 /2 + x3 /3 ? x4 /4 + . . . + (?1)n+1 xn /n + . . .
11.92. Воспользуйтесь равенством из задачи 2.116 и тем, что ко-
эффициент при zn у функции C2 (z) совпадает с правой частью этого
равенства.
11.93. Решая квадратное уравнение C(z) = zC2 (z) + 1, находим
v
1? 1 ? 4z
C(z) =
2z
(знак «минус» выбирается из условия C(0) = 1). Отсюда
?
(2n)!
1 1
Cn (?4)n zn?1 , Cn = (?4)n+1 Cn+1 =
C(z) = ? .
1/2 1/2
2 2 n!(n + 1)!
n=1

11.94. Многочлены Гаусса, как и биномиальные коэффициенты,
удобно располагать в виде треугольника:
g0,0 (x)
g1,0 (x) g1,1 (x)
g2,0 (x) g2,1 (x) g2,2 (x)
g3,0 (x) g3,1 (x) g3,2 (x) g3,3 (x)

В явном виде многочлены Гаусса помещены в приложение В, V.
11.95. Свойства б) и в) непосредственно вытекают из а).
Свойство г) доказывается индукцией по k при помощи свойства в).
Свойство д) доказывается индукцией по l при помощи свойства г).
11.96. Поделите числитель и знаменатель функции из определения
полиномов gk,l (x) на (1 ? x)k . Свойства многочленов gk,l (x) при подста-
новке x = 1 превращаются в равенства из задачи 2.77.
11.97. Sl (x) = 0 при нечетных l и
hl (x)
Sl (x) = (1 ? x)(1 ? x3 ) . . . (1 ? xl?1 ) =
hl/2 (x2 )
при четных l. Для доказательства применим индукцию. Очевидно, что
S0 (x) = 1 и S1 (x) = 0. Задача будет решена, если доказать соотношение
Sl (x) = (1 ? xl?1 )Sl?2 (x).
Пользуясь свойством в) из задачи 11.95, находим
Sl (x) = (1?xl?1 )g0,l?1 (x)?(1?xl?2 )g1,l?2 (x)+. . .+(?1)l?1 (1?x0 )gl?1,0 (x).
Ответы, указания, решения 243

Применяя равенство (1 ? xl )gk,l (x) = (1 ? xk+l )gk,l?1 (x) к каждому
слагаемому в полученной сумме, приходим к нужному равенству:
Sl (x) = (1 ? xl?1 )(g0,l?2 (x) ? g1,l?3 (x) + . . . ) = (1 ? xl?1 )Sl?2 (x).
11.98. в) Рассмотрите симметричную диаграмму Юнга.
г) Разбиению n = a1 + a2 + . . . + aj , j k, ai l числа n сопоставьте
разбиение kl?n = (l?a1 )+(l?a2 )+. . .+(l?aj )+l+. . .+l числа kl?n, где
слагаемое l?ai отбрасывается, если оно равно нулю, а число слагаемых,
равных l, равно k ? j. Как связаны диаграммы Юнга, соответствующие
двум таким разбиениям?
11.101. Воспользуйтесь конструкцией из задачи 2.59

Глава 12
12.3. 16/64, 19/95, 26/65, 49/98.
12.5. Приведите равенство к виду
a b a+b
sin sin sin = 0.
2 2 2
Ответ: либо a = 2k?, либо b = 2l?, либо a + b = 2m?.
12.7. Воспользуйтесь тем, что число дней в 400-летнем цикле делится
на 7.
12.9. Название племени должно быть словом в их алфавите.
12.10. Среди сомножителей присутствует скобка (x ? x). Ответ: 0.
x
12.12. Результат возведения единицы в степень не определен од-
2?
нозначно. Это происходит из-за того, что ln z — многозначная функция.
12.13.




12.14. Отношение длины мили к длине километра равно 1,609 . . . ,
что мало отличается от числа ? = 1,618 . . .
Литература

Учебники и монографии
[1] Арсак Ж. Программирование игр и головоломок. — М.: Наука, 1990.
[2] Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
[3] Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. — М.: Мир, 1965.
[4] Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева А. К. Ошибки в математиче-
ских рассуждениях. — М.: Учпедгиз, 1959.
[5] Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Учпедгиз, 1960.
[6] Виленкин Н. Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969.
[7] Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и
математический анализ: Учебник для уч-ся для 10 классов. — М.: Про-
свещение, 1998.
[8] Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и
математический анализ: Учебник для уч-ся для 11 классов. — М.: Про-
свещение, 1998.
[9] Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир,
1971.
[10] Гарднер М. Математические досуги. — М.: Мир, 1972.
[11] Гарднер М. Математические новеллы — М.: Мир, 1974.
[12] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967.
[13] Грэхем Р. Л., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. Осно-
вание информатики. — М.: Мир, 1998.
[14] Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Элементы комбинаторики. —
М.: Наука, 1977.
[15] Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды. — М.: Мир, 1992.
[16] Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — М.: МЦНМО, 2001.
[17] Моденов П. С. Задачи по геометрии. — М.: Наука, 1979.
[18] Нивен Р. Числа рациональные и иррациональные. — М.: Мир, 1966.
[19] Пойа Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1970.
[20] Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой. Алгебра. — М.:
Наука, 1987.
[21] Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2000.
[22] Соминский И. С. Элементарная алгебра: Дополнительный курс. — М.:
Физматгиз, 1962.
[23] Сушкевич А. К. Основы высшей алгебры. — М.: ГИТТЛ., 1937.
[24] Сушкевич А. К. Теория чисел. — Харьков: изд-во Харьк. гос. ун-та им.
А. М. Горького, 1954.
[25] Табачников С. Л. Многочлены. — М.: Фазис, 1996.
Литература 245

[26] Уфановский В. А. Математический аквариум. — Ижевск: НИЦ «Регу-
лярная и хаотическая механика», 2000.
[27] Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948.
[28] Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Наука, 1978.
[29] Холл М. Комбинаторика. — М.: Мир, 1970.
[30] Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры. — М.: Фонд математиче-
ского образования и просвещения, 2000.
[31] Яглом И. М. Комплексные числа. — М.: ГИФМЛ, 1963.
Сборники задач
[32] Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И. Задачи
по математике. Алгебра: Справочное пособие. — М.: Наука, 1988.
[33] Василенко О. Н., Галочкин А. И. Сборник задач по теории чисел. — М.:
изд-во Моск. ун-та, 1995.
[34] Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л., Раббот Ж. М., Тоом А. Л. Заочные
математические олимпиады. — М.: Наука, 1986.
[35] Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгеб-
ре. — М.: Просвещение, 1999.
[36] Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиа-
ды. — М.: Просвещение, 1986.
[37] Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность
вычислений. — М.: Наука, 1996.
[38] Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математиче-
ские олимпиады. — Киров: АСА, 1994.
[39] Избранные задачи: Сборник. — М.: Мир, 1977.
[40] Кречмар В. А. Задачи по алгебре. — М.: Учпедгиз, 1940.
[41] Кречмар В. А. Задачник по алгебре. — М. — Л.: ОНТИ, 1937.
[42] Кудреватов Г. А. Сборник задач по теории чисел. — М.: Просвещение,
1970.
[43] Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной
математики. — М.: Советская наука, 1957.
[44] Лидский В. Б., Овсянников Л. В., Тулайков А. Н., Шабунин М. И. Зада-
чи по элементарной математике. — М.: Физматгиз, 1962.
[45] Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 1. — М.: Наука, 1978.
[46] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001.
[47] Пржевальский Е. М. Сборник алгебраических задач повышенной труд-
ности. Ч. 1 – 4. — М.
[48] Рождественский В. В., Панкратьев Е. В., Мельников И. И., Вави-
лов В. В. Математический тренинг. — М.: изд-во Учебно-научного цен-
тра довузовского образования МГУ, 1997.
[49] Соловьев Ю. П. Задачи по алгебре и теории чисел для математических
школ. Ч. 1 – 3. — М.: школа им. А. Н. Колмогорова, 1998.
[50] Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и тео-
ремы элементарной математики: В 3 ч. Ч. 1. Арифметика и алгебра. —
М.: Наука, 2001.
246 Литература

Библиотечка «Квант»
[51] Башмаков М. И., Беккер Б. М., Гольховой В. М. Задачи по математике.
Алгебра и анализ. — Вып. 22. — М.: Наука, 1982.
[52] Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. — Вып. 64. — М.:
Наука, 1988.
[53] Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. — Вып. 56. —
М.: Наука, 1986.
[54] Хонсбергер Р. Математические изюминки. — Вып. 83. — М.: Наука, 1992.
Серия «Популярные лекции по математике»
[55] Виленкин Н. Я. Метод последовательных приближений. — Вып. 35. —
М.: Наука, 1968.
[56] Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — Вып. 39. — М.: Наука, 1963.
[57] Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. — Вып. 6. — М.: Наука, 1984.
[58] Головина Л. И., Яглом И. М. Индукция в геометрии. — Вып. 21. — М.:
Наука, 1961.
[59] Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — Вып. 47. — М.: Наука,
1969.
[60] Коровкин П. П. Неравенства. — Вып. 5. — М.: Наука, 1983.
[61] Маргулис Б. Е. Системы линейных уравнений. — Вып. 34. — М.: Наука,
1960.
[62] Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. — Вып. 1. — М.: На-
ука, 1950.
[63] Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. —
Вып. 13. — М.: Наука, 1979.
[64] Скорняков Л. А. Системы линейных уравнений. — Вып. 59. — М.: Наука,
1986.
[65] Соминский И. С. Метод математической индукции. — Вып. 3. — М.: На-
ука, 1974.
[66] Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — Вып. 43. — М.: Наука, 1979.
[67] Шишкин Ю. А. Неподвижные точки. — Вып. 60. — М.: Наука, 1989.

Статьи журнала «Квант»
[68] «Квант» за 30 лет (путеводитель). — М.: Бюро «Квантум», 2000. —
(Прил. к журналу «Квант». № 1).
[69] Абрамович В. Признаки делимости на l // № 10. 1978.
[70] Абрамович В. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел // № 5.
1973.
[71] Аврамов А. Арифметические прогрессии в треугольнике Паскаля //
№ 11. 1980.
[72] Алексеев Р., Курляндчик А. Тригонометрические подстановки // № 2.
1995. — То же // Матем. кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. —
(Прил. к журналу «Квант». № 5).
[73] Алексеев Р., Курляндчик А. Сумма минимумов и минимум суммы //
№ 3. 1991.
Литература 247

[74] Арнольд В. Меандры // № 3. 1991.
[75] Атамускас М. Квадратный трехчлен // № 9. 1971.
[76] Ашманов С. Числа и многочлены // № 2. 1980.
[77] Балк Г., Балк М. Мнимые числа и геометрические задачи // № 3. 1973.
[78] Балк М., Мазалов М. Как же доказать это неравенство? // № 6. 1995.
[79] Башмаков М. Нравится ли вам возиться с целыми числами? // № 3.
1971. — То же // Математический кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Кван-
тум», 1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 5).
[80] Башмаков М. О постулате Бертрана // № 5. 1971. — То же // № 1. 1990.
[81] Белага Э. Вычисление многочленов — от Ньютона до наших дней // № 7.
1974.
[82] Бельский А., Садовский Л. Кольца // № 2. 1974.
[83] Бендукидзе А. Золотое сечение // № 8. 1973.
[84] Бендукидзе А. Треугольник Паскаля // № 10. 1982.
[85] Бендукидзе А., Сулаквелидзе А. Вычисление сумм // № 9. 1970.
[86] Берколайко С. Интеграл помогает доказать неравенство Коши // № 8.
1979.
[87] Берколайко С. Использование неравенства Коши при решении задач //
№ 4. 1975.
[88] Бескин Н. Бесконечные цепные дроби // № 8. 1970.
[89] Бескин Н. Цепные дроби // № 1. 1970.
[90] Болибрух А., Уроев В., Шабунин М. Квадратный трехчлен // № 9.
1983. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгеб-
ра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
[91] Болтянский В. Квадратное уравнение // № 6. 1992. — То же // Школа в
«Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум»,
1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
[92] Болтянский В. Метод итераций // № 3. 1983.
[93] Болтянский В. Шесть зайцев в пяти клетках // № 2. 1977.
[94] Бронштейн И. Парабола // № 4. 1975.
[95] Брудно А. Метод Лобачевского // № 4. 1989.
[96] Булавко И. Удивительные равенства // № 9. 1972.
[97] Вавилов В. Сетчатые номограммы // № 9. 1978.
[98] Вавилов В., Мельников И. Касательная // № 5. 1978.
[99] Вагутен В. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики // № 6.
1972.
[100] Вагутен В. Сопряженные числа // № 2. 1980.
Вагутен В. Числа Ck , многочлены, последовательности // № 2. 1973.
[101] n
[102] Вайнштейн Ф. Разбиение чисел // № 11/12. 1988.
[103] Варпаховский А. Тайны совершенных чисел и дружественных пар //
№ 9. 1973.
[104] Васильев Н., Гутенмахер В. Арифметика и принципы подсчета // № 1,
1983. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгеб-
ра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
248 Литература

[105] Васильев Н., Гутенмахер В. Комбинаторика — многочлены — вероят-
ность // № 1. 1986.
[106] Васильев Н., Гутенмахер В. Пары чисел и действия с ними // № 1. 1985.
[107] Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышёва и рекуррентные
соотношения // № 1. 1982.
[108] Васильев Н., Маликов Т. Рассмотрим разность // № 6. 1981.
v
[109] Васильев Н., Сендеров В. Про угол ?/7 и 7 // № 2. 1996.
[110] Вертгейм Б. Метод неподвижной точки // № 6. 1980.
[111] Виленкин А. Сокращение алгебраических дробей // № 11. 1970.
[112] Виленкин Н. В таинственном мире бесконечных рядов // № 10. 1989.
[113] Виленкин Н. Комбинаторика // № 1. 1971.
[114] Виленкин Н. Сравнения и классы вычетов // № 10. 1978.
[115] Винниченко А. Квадратичный треугольник и непрерывные цепочки
№ 4. 1975.
[116] Винниченко А. Простые числа, математическая статистика и . . . ЭВМ
// № 8. 1988.
[117] Власов А. Сравнение чисел // № 2. 1986. — То же // Школа в «Кванте».
Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. —
(Прил. к журналу «Квант». № 2).
[118] Воронин С., Кулагин А. Метод производящих функций // № 5. 1984.
[119] Галкин Е. Рационально или иррационально? // № 5. 1977.
[120] Гальперин Г. Просто о простых числах // № 4. 1987. — То же. // Школа в
«Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум»,
1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
[121] Гарднер М. Числа Каталана // № 7. 1978.
[122] Гашков С. Задача Чебышёва и тригонометрические многочлены // № 6.
1990.
[123] Гик Е. Две игры // № 3. 1988.
[124] Гиндикин С. «Великое искусство» // № 9. 1976.
[125] Гиндикин С. Малая теорема Ферма // № 10. 1972.
[126] Гиндикин С. О пользе чисел «поистине софистических» // № 6. 1983. —
То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к
журналу «Квант». № 6).
[127] Гиндикин С. Рассмотрим бесконечную десятичную дробь. . . // № 9.
1970. — То же // № 1. 1995.
[128] Гольдман А., Звавич Л. Числовые средние и геометрия // № 9. 1990.
[129] Гончаров А. Арифметика гауссовых чисел // № 12. 1983.
[130] Горнштейн П. Тригонометрия помогает алгебре // № 5. 1989. — То же
// Практикум абитуриента. Математика (алгебра и тригонометрия). —
М.: Бюро «Квантум», 1995. — (Прил. к журналу «Квант». № 3).
[131] Гутенмахер В. Неравенства с фуксированной суммой // № 9. 1979. — То
же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.:
Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
[132] Гутенмахер В. Системы линейных уравнений // № 1. 1984.
Литература 249

[133] Дворянинов С., Ясиновый Э. Как получаются симметричные неравен-
ства // № 7. 1985. — То же // Матем. кружок. Вып. 3. — М.: Бюро
«Квантум», 1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 3).
[134] Депман И. Совершенные числа // № 8. 1971. — То же // № 5. 1991.
[135] Дорофеев Г. Как расположены корни трехчленов? // № 7. 1986.
[136] Жуков А. Алгебраические и трансцендентные числа // № 4. 1998.
[137] Жуков А. Узы дружбы в мире чисел // № 6. 1999.
[138] Егоров А. Деление с остатком и сравнение по модулю // № 6. 1991. — То
же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.:
Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
[139] Егоров А. О дискриминанте // № 6. 1992. — То же // Школа в «Кванте».
Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. —
(Прил. к журналу «Квант». № 2).
[140] Егоров А. Решетки и правильные многоугольники // № 2. 1974.
[141] Егоров А. Решим относительно параметра // № 4. 1997.
[142] Егоров А. Сравнения по модулю и арифметика остатков // № 5. 1970.
[143] Егоров А. Уравнения и пределы // № 10. 1977. — То же // Матем.
кружок. Вып. 3. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу
«Квант». № 3).
[144] Егоров А., Котова А. Необыкновенные арифметики // № 3/4. 1993. —
То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). —
М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
[145] Жаутыков О. График кубического трехчлена // № 6. 1972. — То же //
Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу
«Квант». № 6).
[146] Жиглевич А., Петров Н. О четырех решениях уравнения x2 = x // № 11.
1989.
[147] Земляков А. Как выглядит парабола? // № 3. 1978.
[148] Иванов Ю. Сколько вариантов? // №№ 11, 12. 1980. — То же // Школа в
«Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум»,
1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
[149] Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // № 4. 1990.
[150] Ионин Ю., Плоткин А. Выбор модуля // № 6. 1984. — То же // Матем.
кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу
«Квант». № 5).
[151] Камнев Л. Иррациональность суммы радикалов // № 2. 1972.
[152] Кириллов А. О правильных многоугольниках, функции Эйлера и чис-
лах Ферма // № 7. 1977. — То же // № 6. 1994.
[153] Клумова И., Фукс Д. Формула существует, но. . . // № 9. 1976. — То же //
Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу
«Квант». № 6).
[154] Колмогоров А. Решето Эратосфена // № 1. 1974. — То же // № 3. 1984.
[155] Конюшков А. Неравенство Коши – Буняковского // № 8. 1987.
[156] Копрински С. Формулы Виета // № 4. 1987.
[157] Кордемский Б. Так или не так действовал Ферма? // № 7. 1972.
250 Литература

[158] Кордемский Б. Этому виду задач более 1600 лет // № 4. 1973.
[159] Коробов А. Простые числа и постулат Бертрана // № 4. 1998.
[160] Котляр Б. Сколько у числа делителей? // № 4. 1994.
[161] Крейн М., Нудельман А. Замечательные пределы, порождаемые клас-
сическими средними // № 9. 1981.
[162] Кудреватов Г. Сравнения // № 9. 1972.
[163] Кузьмин Е., Ширшов А. О числе e // № 8. 1979.
[164] Курляндчик Л. Приближение к экстремуму // № 1. 1981. — То же
// Матем. кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к
журналу «Квант». № 5).
[165] Курляндчик Л., Лисицкий А. Как придумать комбинаторное тождество
// № 5. 1980.
[166] Курляндчик Л., Лисицкий А. Суммы и произведения // № 10. 1978.
[167] Курляндчик Л., Розенблюм Г. Метод бесконечного спуска // № 1. 1978. —
То же // Матем. кружок. Вып. 3. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил.
к журналу «Квант». № 3).
[168] Курляндчик Л., Фомин С. Теорема Виета и вспомогательный многочлен
// № 12. 1984.
[169] Кушнир И. Геометрические решения негеометрических задач // № 11.
1989.
[170] Левин А. Что такое комбинаторика // №№ 5, 6. 1999.
[171] Матиясевич Ю. Формулы для простых чисел // № 5. 1975.
[172] Матулис А., Савукинас А. «Ферзя — в угол», «цзяньшицзы» и числа
Фибоначчи // № 7. 1984.
[173] Мешойрер Р. Комбинаторные доказательства формулы Ньютона // № 9.
1978.
[174] Мордкович А. Экстремумы многочлена третьей степени // № 11. 1974.
[175] Нестеренко Ю., Никишин Е. Очерк о цепных дробях // № 5. 1983.
[176] Оре О. Простые числа Ферма // № 12. 1979.
[177] Орлов А. Принцип Дирихле // № 3. 1971.
[178] Пекарскас В. Геометрия комплексных чисел // № 6. 1973.
[179] Пинтер Л., Хегедыш Й. Упорядоченные наборы чисел и неравенства //
№ 12. 1985.
[180] Понтрягин Л. Комплексные числа // № 3. 1982. — То же // № 2. 1983. —
То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к
журналу «Квант». № 6).
[181] Понтрягин Л. Кубическая парабола // № 3. 1984. — То же // Числа и мно-
гочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу «Квант».
№ 6).
[182] Понтрягин Л. Основная теорема алгебры // № 4. 1982. — То же //
Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу
«Квант». № 6).
[183] Пресман А. Решение квадратных уравнений при помощи циркуля и
линейки // № 4. 1972.
[184] Прохоров А. Золотая спираль // № 9. 1984.
Литература 251

v
Раббот Ж. Знаете ли вы, что 220 В/127 В ? 3? // № 11. 1978.
[185]
[186] Раббот Ж. Тригонометрические функции // № 5. 1972.
[187] Радемахер Г., Теплиц О. Об одном свойстве числа 30 // № 3. 1992.
[188] Радемахер Г., Теплиц О. Периодические десятичные дроби // № 2. 1994.
[189] Резников А. Формула Кардано и геометрия // № 9. 1976.
[190] Рубинштейн А. О кубических уравнениях // № 2. 1998.
[191] Савин А. Двенадцать долларов, ним и шоколадка // № 12. 1991.
[192] Савин А. Дружественные числа и простые числа-близнецы // № 9. 1988.
[193] Савин А. Замечательные числа // № 4. 1987.
[194] Савин А. Многочлены // № 3. 1991.
[195] Савин А. Ханойская башня // № 11. 1991.
[196] Савин А. Числа Фибоначчи // № 3. 1988.
v
[197] Савин А. Числа 2 и e // № 6. 1996.
[198] Савин А. Число Фидия — золотое сечение // № 6. 1997.
[199] Савин А. Число ? // № 6. 1996.
[200] Садовский Л., Аршинов М. Двоичное кодирование // № 7. 1979.
[201] Севрюк М. Вариации на тему классических неравенств // № 5. 1979.
[202] Седракян Н. О применении одного неравенства // № 2. 1997.
[203] Сендеров В., Спивак А. Малая теорема Ферма // №№ 1, 3. 2000.
[204] Сидоров Ю. Аргумент комплексного числа // № 4. 1974.
[205] Силкин Б. С корнем квадратным сквозь историю // № 6. 1973.
[206] Скопец З. Сравнение средних двух положительных чисел // № 2. 1971.
[207] Смышляев В. Применение неравенства Коши – Буняковского к решению
некоторых задач // № 1. 1972.
[208] Соловьев Ю. Комплексные числа // № 7. 1991. — То же // Школа в
«Кванте». Математика (арифметика и алгебра). — М.: Бюро «Квантум»,
1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
[209] Соловьев Ю. Неопределенные уравнения первой степени № 4. 1992. —
То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгебра). —
М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
[210] Спивак А. Математический праздник. Ч. III. — М.: Бюро «Квантум»,
2001. — (Прил. к журналу «Квант». № 4).
Столяр В. Признак делимости на числа вида 10n ± 1 // № 4. 1987.
[211]
[212] Табачников С. Геометрия уравнений // № 10. 1988.
[213] Табачников С. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля // № 6.
1990. — То же // Числа и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. —
(Прил. к журналу «Квант». № 6).
[214] Тадеев В. Простые, двойные, гармонические // № 7. 1982.
[215] Тихомиров В. Теорема Чебышёва о распределении простых чисел //
№ 6. 1994.
[216] Толпыго А. Игра «Йога»// № 9. 1978.
[217] Тоом А. Дама с собачкой // № 2. 1990. — То же // Числа и многочлены. —
М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу «Квант». № 6).
[218] Удивительные приключения периодических дробей // № 8. 1989.
252 Литература

[219] Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа // №№ 7, 10.
1983. — То же // Школа в «Кванте». Математика (арифметика и алгеб-
ра). — М.: Бюро «Квантум», 1994. — (Прил. к журналу «Квант». № 2).
[220] Финк Л. Еще раз о счастливых билетах // № 12. 1976.
[221] Флейшман Д. Китайская теорема об остатках и гипотеза Ченцова //
№ 3. 1997.
[222] Фомин С. Разложение на множители // № 7. 1983.
[223] Фукс Д. О раскрытии собок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об
упущенных возможностях // № 8. 1981.
[224] Фукс Д. Формулы для sin nx и cos nx // № 6. 1986.
[225] Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // № 6.
1970.
[226] Фукс Д., Фукс М. О наилучших приближениях // № 6. 1971.
[227] Фукс Д., Фукс М. Рациональные приближения и трансцендентность //
№ 12. 1973.
[228] Хаплатов М. Трансцендентные числа // № 1. 1976. — То же // Чис-
ла и многочлены. — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу
«Квант». № 6).
[229] Хитрук В. Таблица составных чисел // № 9. 1984.
[230] Шевелев В. Три формулы Рамануджана // № 6. 1988. — То же // Матем.
кружок. Вып. 3. — М: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу
«Квант». № 3).
[231] Шестопал Г. Как обнаружить фальшивую монету // № 10. 1979.
[232] Ширшов А. Об одной комбинаторной задаче // № 9. 1979. — То же
// Матем. кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к
журналу «Квант». № 5).
[233] Шкапенюк М. Выпуклость функций и доказательство неравенств //
№ 3. 1980. — То же // Матем. кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум»,
1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 5).
[234] Шуликовская В. Неравенство Коши и объемы // № 9. 1990.
[235] Яглом И. Две игры со спичками // № 2. 1971. — То же // № 1. 1992.
[236] Яглом И. Заплаты на кафтане // № 2. 1974.
[237] Яглом И. Итальянский купец Леонардо Фибоначчи и его кролики //
№ 7. 1984.
[238] Яглом И. Почти простые числа // № 9. 1981.
[239] Янкелевич В. «Неприводимый» случай // № 11. 1971.
[240] Ярский А. Как доказать неравенство // № 2. 1997.
[241] Ярский А. Рациональные корни многочлена // № 6. 1995.
[242] Ясиновый Э. Геометрия помогает решать уравнения // № 12. 1984.
Статьи журнала «Компьютерра»
[243] Кноп К. Все врут календари // № 21. 1998.
[244] Кноп К. «Да» и «Нет» не говорите // № 3. 1998.
[245] Кноп К. 12 монет // № 51. 1997.
[246] Кноп К. Классические головоломки // № 25. 1999.
[247] Кноп К. Мини-конкурс для программистов // № 48. 1997.
[248] Кноп К. Ним-игры // № 20. 1998.
Приложение А
Программа курса

В данное приложение помещена программа курса алгебры, читавшегося
в школе им. А. Н. Колмогорова на двухгодичном потоке. Темы, взятые в
квадратные скобки, включались в курс по усмотрению лектора.
Тема 1. Метод математической индукции. Натуральные числа.
Принцип математической индукции. Доказательство тождеств и неравенств.
Применение индукции в геометрии и комбинаторике.
Тема 2. Комбинаторика. Множества и операции с ними. Основные пра-
вила комбинаторики. Принцип Дирихле. Перестановки. Размещения с по-
вторениями и без повторений. Перестановки с повторениями (анаграммы).
Биномиальная и полиномиальная теоремы. Свойства биномиальных коэф-
фициентов. Треугольник Паскаля и его свойства. Сочетания с повторениями.
Функции на множествах. [Формула включений-исключений. Ее приложения.]
Тема 3. Целые числа. Простые числа. Делимость с остатком и без
остатка. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель и наименьшее об-
щее кратное. Линейное представление наибольшего общего делителя. Реше-
ние неопределенных уравнений первой степени в целых числах. Основная
теорема арифметики. Теоретико-числовые функции. [Формула Лежандра для
максимальной степени простого числа, делящего факториал. Цепные дроби.
Уравнение Пелля.]
Тема 4. Сравнения. Отношение эквивалентности. Классы вычетов.
Сравнения и их свойства. Неразрешимость некоторых уравнений в целых
числах. Полная и приведенная системы вычетов. Функция Эйлера и ее
свойства. Решение сравнений с одним неизвестным. Теоремы Ферма, Эйлера,
Вильсона. Длина периода бесконечной десятичной дроби рационального
числа. Китайская теорема об остатках. [Признак делимости Паскаля.]
Тема 5. Рациональные и иррациональные числа. Доказательство
иррациональности радикалов. Метод спуска. Теорема о рациональных кор-
нях многочлена. Иррациональность значений тригонометрических функций.
Сопряженные числа. Избавление от иррациональности в знаменателе. [Деся-
тичное представление рациональных чисел. Свойства периодов.]
Тема 6. Многочлены. Квадратный трехчлен и фазовая плоскость. Ре-
зультант двух многочленов второй степени. Деление многочленов с остатком.
Алгоритм Евклида для многочленов. Линейное представление наибольшего
общего делителя. Теорема Безу. Схема Горнера. Теорема о числе корней мно-
гочлена. Ряд Тэйлора для многочлена. Теорема единственности. Однознач-
254 Программа курса

ность разложения многочлена на неприводимые сомножители. Многочлены
с кратными корнями. Избавление от кратных корней. Теорема Виета. Эле-
ментарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических
многочленах. Симметрические системы алгебраических уравнений. Интерпо-
ляционный многочлен Лагранжа. Формула Кардано. Формулировка теоремы
Руффини – Абеля. Необходимость введения комплексных чисел. [Интерполя-
ционный многочлен Ньютона. Правило знаков Декарта.]
Тема 7. Комплексные числа. Комплексные числа и операции с ними.
Геометрическая интерпретация. Алгебраическая и тригонометрическая фор-
мы записи комплексных чисел; модуль и аргумент. Алгебраическое извлече-
ние квадратного корня из комплексного числа. Решение квадратных уравне-
ний над множеством комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Корни
из единицы. Решение уравнений третьей степени при помощи комплексных
чисел. [Неприводимый случай кубического уравнения. Суммирование ряда
обратных квадратов при помощи комплексных чисел и теоремы Виета.]
Тема 8. Отображения комплексной плоскости. Пути и отображения
комплексной плоскости. Основная теорема алгебры. Разложение на неприво-
димые многочлены над действительными и комплексными числами. [Прин-
цип аргумента. Теорема Штурма о корнях тригонометрического полинома.]
Тема 9. Неразрешимость трех классических задач на постро-
ение. Построения циркулем и линейкой с алгебраической точки зрения.
Числовые поля. Понятие квадратичного расширения числового поля. Алгеб-
раические числа. Трансцендентность числа ? (без доказательства). Невоз-
можность квадратуры круга. Теорема о невозможности построения циркулем
и линейкой корней кубического уравнения. Невозможность удвоения куба.
Невозможность трисекции угла. Невозможность построения правильного
семиугольника. [Построение правильных пятиугольника и семнадцатиуголь-
ника.]
Тема 10. Последовательности и ряды. Арифметическая и геомет-
рическая прогрессии. Метод конечных разностей. Суммирование последова-
тельностей. Линейные рекуррентные последовательности второго порядка.
Формула n-го члена. Метод производящих функций. Формальные степенные
ряды. Числа Фибоначчи. Формула Бине.
Тема 11. Неравенства, уравнения, системы. Доказательство нера-
венств. Возвратные уравнения. Уравнения с целыми коэффициентами. Метод
подстановок и сведение уравнений к системам. Тригонометрические замены.
Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод Ньютона. Метод
итераций. Решение уравнений рекуррентного типа. Системы линейных урав-
нений. Аналитические методы решения задач с параметрами.
Приложение Б
Путеводитель

Указанная литература послужила источником задач и теоретического ма-
териала. Здесь также указаны ссылки на публикации, которые могут служить
учебными пособиями или содержат более обширный материал по данной теме.
Ссылки после названия главы указывают на литературу, которая имеет от-

<<

стр. 8
(всего 9)

СОДЕРЖАНИЕ

>>