<<

стр. 9
(всего 9)

СОДЕРЖАНИЕ

ношение к содержанию всей главы. Издания, выделенные жирным шрифтом
содержат наиболее полную информацию по соответствующему вопросу.
1 Метод математической индукции: [16], [38], [51].
1 Аксиома индукции: [32], [35], [52].
2 Тождества, неравенства и делимость: [7], [32], [35], [36], [58], [60], [65].
3 Индукция в геометрии и комбинаторике: [1], [6], [9], [36], [58], [195].
2 Комбинаторика: [6], [14], [29].
1 Сложить или умножить?: [8], [30], [38], [51], [113], [148], [170].
2 Принцип Дирихле: [26], [35], [36], [38], [46], [51], [93], [177].
3 Размещения, перестановки и сочетания: [8], [11], [13], [19], [30], [38], [39],
[40], [51], [66], [71], [84], [101], [113], [165], [170], [173], [224], [225].
4 Формула включений и исключений: [30], [51], [104], [170], [236].
5 Числа Каталана: [13], [74], [121], [232], [246].
3 Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики: [5], [13],
[33], [34], [36], [37], [38], [42], [49].
1 Простые числа: [10], [16], [24], [30], [54], [80], [115], [116], [120], [192], [152],
[154], [157], [159], [171], [176], [187], [215], [238].
2 Алгоритм Евклида: [9], [16], [24], [30], [35],[43], [59], [99], [104], [158], [175],
[203], [209].
3 Мультипликативные функции: [39], [54], [103], [104], [134], [192], [160],
[203], [137].
4 О том, как размножаются кролики: [9], [11], [41], [47], [54], [57], [83], [193],
[172], [184], [196], [198], [235], [237].
5 Цепные дроби: [9], [24], [26], [28], [57], [88], [89], [175], [226], [243].
4 Арифметика остатков: [5], [13], [33], [37], [38], [42], [49], [50].
1 Четность: [9], [26], [216].
2 Делимость: [26], [142], [177], [229], [203].
3 Сравнения: [24], [26], [79], [82], [105], [114], [125], [138], [142], [144], [150],
[162], [167], [203].
4 Теоремы Ферма и Эйлера: [10], [15], [24], [114], [125], [144], [152], [188],
[203], [238].
256 Путеводитель

5 Признаки делимости: [9], [10], [56], [69], [211].
6 Китайская теорема об остатках: [138], [146], [221].
5 Числа, дроби, системы счисления:
1 Рациональные и иррациональные числа: [5], [10], [16], [18], [26], [30], [32],
[33], [37], [41], [48], [51], [136], [100], [119], [140], [151], [163], [167], [203], [219],
[227], [228], [197], [199].
2 Систематические дроби: [15], [37], [127], [188], [218].
3 Двоичная и троичная системы счисления: [1], [13], [34], [123], [191], [200],
[210], [231], [244], [245], [247], [248].
6 Многочлены: [7], [21], [25], [32], [41].
1 Квадратный трехчлен: [35], [43], [48], [50], [75], [90], [91], [94], [97], [98],
[135], [139], [141], [147], [183], [212].
2 Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу: [20], [23], [30], [50],
[81], [111].
3 Разложение на множители: [22], [30], [43], [50], [222].
4 Многочлены с кратными корнями: [20], [23], [30], [43], [212].
5 Теорема Виета: [22], [23], [44], [48], [50], [156], [168], [194].
6 Интерполяционный многочлен Лагранжа: [23], [30], [101], [194].
7 Комплексные числа: [8], [20], [31], [63], [77], [126], [217].
1 Комплексная плоскость: [23], [32], [39], [41], [43], [47], [50], [51], [76], [107],
[112], [122], [129], [178], [180], [186], [204], [208], [213], [224].
2 Преобразования комплексной плоскости: [17], [182].
8 Алгебра + геометрия:
1 Геометрия помогает алгебре: [26], [48], [109], [169], [242].
2 Комплексные числа и геометрия: [17], [31], [77], [214].
3 Тригонометрия: [41], [44], [50], [230].
9 Уравнения и системы: [41].
1 Уравнения третьей степени: [25], [43], [44], [50], [97], [124], [126], [145],
[153], [174], [181], [189], [190], [212], [230], [239].
2 Тригонометрические замены: [72], [130].
3 Итерации: [19], [23], [34], [51], [55], [67], [92], [95], [110], [143], [161], [205].
4 Системы линейных уравнений: [32], [36], [43], [50], [61], [64], [132],
[135].
10 Неравенства: [2], [27], [32], [34], [38], [48], [49], [51], [179].
1 Различные неравенства: [3], [35], [41], [43], [47], [50], [53], [73], [78],
[86], [87], [117], [128], [131], [139], [155], [164], [201], [202], [206], [207], [234],
[240].
2 Суммы и минимумы: [73]
3 Выпуклость: [3], [60], [149], [233].
4 Симметричные неравенства: [133], [179].
11 Последовательности и ряды:
1 Конечные разности: [10], [12], [13], [30], [37], [47], [70], [85], [101], [108],
[166].
2 Рекуррентные последовательности: [12], [13], [47], [57], [62], [100], [106].
Путеводитель 257

3 Производящие функции: [6], [19], [30], [45], [47], [57], [101], [102], [107],
[112], [118], [165], [220], [223].
4 Многочлены Гаусса: [21], [30], [41].
12 Шутки и ошибки: [4], [9], [13], [39], [96].
Приложение В
Формулы и числа

I. Греческий алфавит
альфа бэта гамма дельта
A? B? ?? ??
эпсилон дзета эта тэта
E? Z? H? ??
иота каппа ламбда мю
I? K? ?? Mµ
ню омикрон кси пи
N? Oo ?? ??
ро сигма тау ипсилон
P? ?? T? ??
фи хи пси омега
?? X? ?? ??
II. Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи
0 1
1 1 2
1 1 3 5
1 2 1 8 13
1 3 3 1 21 34
1 4 6 4 1 55 89
1 5 10 10 5 1 144 233
1 6 15 20 15 6 1 377 610
1 7 21 35 35 21 7 1 987 1597
1 8 28 56 70 56 28 8 1 2584 4181
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 6765
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

III. Степени, числа Каталана, факториалы
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3n 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
Cn 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796
n! 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800

IV. Константы
Десятичная запись констант, наиболее часто возникающих в задачах
(40 знаков):
v
2 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85697 . . .
v
3 = 1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 . . .
v
5 = 2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 . . .
Формулы и числа 259

? = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41972 . . .
e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 . . .
? = 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 . . .
Двоичная запись тех же констант (40 знаков):
v
2 = 1,01101 01000 00100 11110 01100 11001 11111 10011 . . .
v
3 = 1,10111 01101 10011 11010 11101 00001 01100 00100 . . .
v
5 = 10,00111 10001 10111 01111 00110 11100 10111 11110 . . .
? = 11,00100 10000 11111 10110 10101 00010 00100 00101 . . .
e = 10,10110 11111 10000 10101 00010 11000 10100 01010 . . .
? = 1,10011 11000 11011 10111 10011 01110 01011 11111 . . .

V. Многочлены
1. Многочлены Чебышёва:

T0 (x) = 1, U0 (x) = 1,
T1 (x) = x, U1 (x) = 2x,
T2 (x) = 2x2 ? 1, U2 (x) = 4x2 ? 1,
T3 (x) = 4x3 ? 3x, U3 (x) = 8x3 ? 4x,
T4 (x) = 8x4 ? 8x2 + 1, U4 (x) = 16x4 ? 12x2 + 1,
T5 (x) = 16x5 ? 20x3 + 5x, U5 (x) = 32x5 ? 32x3 + 6x,
T6 (x) = 32x6 ? 48x4 + 18x2 ? 1, U6 (x) = 64x6 ? 80x4 + 24x2 ? 1,
T7 (x) = 64x7 ? 112x5 + 56x3 ? 7x, U7 (x) = 128x7 ? 192x5 + 80x3 ? 8x.

2. Многочлены Фибоначчи и Люка:

F0 (x) = 0, L0 (x) = 2,
F1 (x) = 1, L1 (x) = x,
L2 (x) = x2 + 2,
F2 (x) = x,
F3 (x) = x2 + 1, L3 (x) = x3 + 3x,
F4 (x) = x3 + 2x, L4 (x) = x4 + 4x2 + 2,
F5 (x) = x4 + 3x2 + 1, L5 (x) = x5 + 5x3 + 5x,
F6 (x) = x5 + 4x3 + 3x, L6 (x) = x6 + 6x4 + 9x2 + 2,
F7 (x) = x6 + 5x4 + 6x2 + 1, L7 (x) = x7 + 7x5 + 14x3 + 7x,
F8 (x) = x7 + 6x5 + 10x3 + 4x, L8 (x) = x8 + 8x6 + 20x4 + 16x2 + 2,
F9 (x) = x8 + 7x6 + 15x4 + 10x2 + 1, L9 (x) = x9 + 9x7 + 27x5 + 30x3 + 9x.

3. Многочлены Гаусса:
1
1 1
1 1+x 1
2 2
1 1+x+x 1+x+x 1
2 3 2 3 4 2 3
1 1+x+x +x 1 + x + 2x + x + x 1+x+x +x 1
260 Формулы и числа

VI. Основные тригонометрические тождества
4. Формулы приведения:

cos(? ± x) = ? cos x; sin(? ± x) = sin x;
? ?
± x = sin x; sin ± x = cos x;
cos
2 2
3? 3?
± x = ± sin x; sin ± x = ? cos x;
cos
2 2
? ?
± x = ctg x; ctg ± x = tg x.
tg
2 2
5. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргу-
ментов:
cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y;
sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x;
tg x ± tg y ctg x ctg y 1
tg(x ± y) = ctg(x ± y) =
; .
ctg y ± ctg x
1 tg x tg y
6. Тригонометрические функции кратных аргументов:

cos 2x = 2 cos2 x ? 1 = 1 ? 2 sin2 x;
sin 2x = 2 sin x cos x;
cos 3x = 4 cos3 x ? 3 cos x; sin 3x = 3 sin x ? 4 sin3 x = sin x (4 cos2 x ? 1);
cos 4x = 8 cos4 x ? 8 cos2 x + 1; sin 4x = 4 sin x cos x (2 cos2 x ? 1);
ctg2 x ? 1
2 tg x
tg 2x = ctg 2x =
; ;
2 ctg x
1 ? tg2 x
3 tg x ? tg3 x ctg3 x ? 3 ctg x
tg 3x = ctg 3x =
; .
1 ? 3 tg2 x 3 ctg2 x ? 1
7. Тригонометрические функции половинного аргумента:

1 ? cos x 1 + cos x
x x
=± =±
sin cos
; ;
2 2 2 2
1 ? cos x sin x 1 ? cos x
x

tg = = ;
sin x
1 + cos x 1 + cos x
2
1 + cos x 1 + cos x sin x
x
ctg
= = = .
sin x
1 ? cos x 1 ? cos x
2
8. Выражение тригонометрических функций через тангенс по-
ловинного аргумента:

1 ? tg2 x
2 tg x
sin 2x = cos 2x =
; ;
1 + tg2 x 1 + tg2 x
1 ? tg2 x
2 tg x
tg 2x = ctg 2x =
; .
2 tg x
1 ? tg2 x
Формулы и числа 261

9. Суммы и разности тригонометрических функций:

?+? ???
cos ? + cos ? = 2 cos cos ;
2 2
?+? ???
cos ? ? cos ? = ?2 sin sin ;
2 2
?±? ??
sin ? ± sin ? = 2 sin cos ;
2 2
sin(? ± ?) sin(? ± ?)
tg ? ± tg ? = ; ctg ? ± ctg ? = .
sin ? sin ? sin ? sin ?
10. Произведения тригонометрических функций:
1
sin ? sin ? = [cos(? ? ?) ? cos(? + ?)];
2
1
cos ? cos ? = [cos(? ? ?) + cos(? + ?)];
2
1
sin ? cos ? = [sin(? ? ?) + sin(? + ?)];
2
tg ? + tg ?
tg ? tg ? = .
ctg ? + ctg ?
11. Степени тригонометрических функций:
1 1
sin2 x = cos2 x =
(1 ? cos 2x); (1 + cos 2x);
2 2
1 1
sin3 x = cos3 x =
(3 sin x ? sin 3x); (3 cos x + cos 3x);
4 4
1 1
sin4 x = (cos 4x ? 4 cos 2x + 3); cos4 x = (cos 4x + 4 cos 2x + 3).
8 8
12. Введение вспомогательного аргумента:
v a b
a2 + b2 · v sin x ± v
a sin x ± b cos x cos x
= =
a2 + b2 a2 + b2
v
va + b · (sin x cos ? ± cos x sin ?) =
2 2
=
a2 + b2 · sin(x ± ?),
=
b
где ? = arcsin v . В частности,
2 + b2
a
v ?
sin x ± cos x = 2 · sin x ± .
4
13. Решение простейших тригонометрических уравнений:
sin x = a, |a| 1 ?? x = (?1)n arcsin a + ?n (n ? Z);
cos x = a, |a| 1 ?? x = ± arccos a + 2?n (n ? Z);
tg x = a ?? x = arctg a + ?n (n ? Z);
ctg x = a ?? x = arcctg a + ?n (n ? Z).
262 Формулы и числа

VII. Таблица квадратов
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
20 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
30 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
40 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
50 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
60 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
70 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
80 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
90 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

VIII. Таблица простых чисел
В таблицу помещены первые 275 простых чисел.

2 101 233 383 547 701 877 1049 1229 1429 1597
3 103 239 389 557 709 881 1051 1231 1433 1601
5 107 241 397 563 719 883 1061 1237 1439 1607
7 109 251 401 569 727 887 1063 1249 1447 1609
11 113 257 409 571 733 907 1069 1259 1451 1613
13 127 263 419 577 739 911 1087 1277 1453 1619
17 131 269 421 587 743 919 1091 1279 1459 1621
19 137 271 431 593 751 929 1093 1283 1471 1627
23 139 277 433 599 757 937 1097 1289 1481 1637
29 149 281 439 601 761 941 1103 1291 1483 1657
31 151 283 443 607 769 947 1109 1297 1487 1663
37 157 293 449 613 773 953 1117 1301 1489 1667
41 163 307 457 617 787 967 1123 1303 1493 1669
43 167 311 461 619 797 971 1129 1307 1499 1693
47 173 313 463 631 809 977 1151 1319 1511 1697
53 179 317 467 641 811 983 1153 1321 1523 1699
59 181 331 479 643 821 991 1163 1327 1531 1709
61 191 337 487 647 823 997 1171 1361 1543 1721
67 193 347 491 653 827 1009 1181 1367 1549 1723
71 197 349 499 659 829 1013 1187 1373 1553 1733
73 199 353 503 661 839 1019 1193 1381 1559 1741
79 211 359 509 673 853 1021 1201 1399 1567 1747
83 223 367 521 677 857 1031 1213 1409 1571 1753
89 227 373 523 683 859 1033 1217 1423 1579 1759
97 229 379 541 691 863 1039 1223 1427 1583 1777
Предметный указатель

Аксиома индукции 6 — Ферма 35
Золотое сечение 39, 130
Алгоритм вавилонский вычисле-
v
ния 2 128
Игра «Йога» 50, 79
— Евклида 29 – 33, 40, 42, 179
— «Ним» 79, 201
— — для многочленов 84 – 89
— «Шоколадка» 79, 201
— жадный 174, 182
— на монотонности 132
Алфавит греческий 253
Инверсия 114
— племени Мумбо-Юмбо 13, 166
Итерационная ломаная 129
Анаграммы 19
Аргумент комплексного числа 99
Календарь восточный 68
— Григорианский 43, 166
Бином Ньютона 18, 21, 106, 182,
— персидский 45
212, 235
— Юлианский 45
Биномиальный коэффициент 106,
Квадратичная иррациональность
149 – 152
45
Класс вычетов 53
Вероятность 23, 156, 232
Комплексная плоскость 99
— — расширенная 110
Гомотетия 108 Конечная разность 149 – 153
— — первого порядка 150
Деление с остатком многочленов — — порядка n 150
84 Корень n-й степени из комплекс-
— — чисел 6 ного числа 102
Диаграмма Юнга 147, 148, 162, — квадратный из комплексного
228, 236, 237 числа 101
— — мажорирующая 147, 148 — многочлена кратный 91
Дискриминант 123 — — простой 91
— кубического уравнения 124 — — рациональный 91
Дискриминантная кривая для ку- — цифровой 63
бического уравнения 124 Коэффициенты биномиальные
— парабола 83, 203 17 – 23, 163
Дроби бесконечные непрерывные — — обобщенные 41
43 — фибоначчиевы 41, 184
— — периодические 45 – 46 Круговое свойство дробно-линей-
— — чисто периодические 45 ных отображений 113
— десятичные 73 – 74 — — инверсии 114
— — периодические 69
— — чисто периодические 73 Лягушка путешественница 155
— подходящие 42 — сапер 156
— цепные (непрерывные) 41 – 47
Марсианские амебы 50, 79, 188
Задача Бхаскары 71 Метод Архимеда 135
— Иосифа Флавия 78 — Виета 124
— Леонардо Пизанского 37 — возведения в степень, бинарный
— Сильвестра 12 75
264 Предметный указатель

— Гаусса 136 Окружность Аполлония 100
Метод итераций 129 Окружность Эйлера 115
Ортоцентр треугольника 115
— Лобачевского 135
Осевая симметрия 108
— математической индукции 6 –
12, 165 Основная теорема алгебры 104
— неопределенных коэффициен- — — арифметики 33
тов 88, 89, 228 Отношение двойное 113
— Ньютона 133, 222 — — четырех точек 113
— спуска 70 — трех точек 112
Многочлен 81 – 98 Отображение дробно-линейное
— Гаусса 163 – 164, 254 109 – 110
— Лагранжа интерполяционный — комплексной плоскости 108 –
96 – 98 110
— Люка 155, 160, 231, 254
— положительный 108 Параллельный перенос 108
— симметрический 93 – 96, 146 – Перестановка 16, 146
148 Период десятичной дроби 69
— Фибоначчи 155, 160, 231, 254 — непрерывной дроби 45
— целозначный 152 Племя Мумбо-Юмбо 13, 166
— Чебышёва 103, 155, 160, 210, 254 Поворот 108
— элементарный симметрический Последовательность линейная ре-
93 куррентная 153 – 157
Множество Кантора 77 — Люка 40
Модуль комплексного числа 99 — Морса 77
— Фибоначчи 36
Правило знаков Декарта 87
Набор показателей 146
— произведения 13
— — мажорирующий 147
— суммы 13
— — несравнимый 148
Предпериод десятичной дроби 69
Наибольший общий делитель мно-
гочленов 87 — непрерывной дроби 45
— — — чисел 29 Преобразование Абеля 151
Наименьшее общее кратное 32 — комплексной плоскости 108 –
110
Неполные частные 42
Преферанс 19, 23
Неравенство 140 – 148
Признак делимости 63 – 65
— Бернулли 9
— — на 2, 4 и 8 63
— Гёльдера 145
— — на 19 64
— Иенсена 145, 226, 227
— — на 3 и 9 65
— Коробова 142
— — на числа вида 10k n ± 1 64
— Коши – Буняковского 143
— — Паскаля 65
— между средним арифметиче-
Принцип Дирихле 14 – 16, 52, 58,
ским и средним геометриче-
190, 198
ским 9, 144, 148
Производящая функция 157 – 163
— — — — и средним квадратиче-
ским 143 — — многочленов Люка 160
— Минковского 145 — — — Фибоначчи 160
— Мюрхеда 148 — — — Чебышёва 160
— симметрическое 146 – 148 — — чисел Каталана 162
— Чебышёва 142 — — — Люка 160
Ним-сумма 78 – 80, 201 — — — Фибоначчи 160
Предметный указатель 265

Прямая корневая 83, 124 Теорема Безу 84, 203, 204, 206
Прямая Симсона 115 — Валена 46
— Эйлера 115 — Вейерштрасса 128, 222
— Виета 93 – 96, 212
— — для квадратного уравнения
Радикальная ось 115
81, 203
Радикальный центр 115
— Вильсона 57
Разбиение прямоугольника 42
— Вильсона, обратная 57
— числа 161 – 162
— Гаусса – Люка 107
Размещения 16
— Евклида 27
Результант 81
— китайская об остатках для мно-
Репьюнит 5, 73 – 74
гочленов 86
Ряд обратных квадратов 108
— — — для чисел 65 – 68, 196
— формальный степенной 157 –
— Клемента 57
163
— косинусов 120, 214
— — для трехгранного угла 120
Свойства подходящих дробей 42 –
— Лагранжа 46
43
— — о конечном приращении 222
— сравнений 53
— Ламе 40
— чисел Фибоначчи 37
— Лежандра 46
Свойство шестиугольника 21
— Лейбница 57
Система вычетов полная 53, 67
— Лиувилля 153
— — приведенная 60, 67
— Люка 38
— сравнений 65 – 66
— о рациональных корнях много-
— счисления биномиальная 21
члена 91, 104, 210
— — в остатках 65
— о симметрических многочленах
— — двоичная 36, 73, 75 – 80, 201 –
93
202, 236, 254
— о трех центрах подобия 109
— — десятичная 73 – 74
— основная алгебры 104
— — позиционная 6
— — арифметики 33
— — троичная 75 – 80
— полиномиальная 19, 58
— — факториальная 8
— синусов 120
— — фибоначчиева 38, 167
— — для трехгранного угла 120
— уравнений, линейных 136 – 139
— Ферма малая 58 – 62, 192 – 195
Сочетания 17
— Эйлера 11, 35, 58 – 62, 195, 198
Сравнения 53 – 68
Термит 48
— с одним неизвестным 56
Тождество Гаусса 61
Среднее арифметико-гармониче-
— Кассини 37, 183
ское 132
— Фибоначчи 101
— арифметико-геометрическое 132
Треугольник Лейбница, гармони-
— арифметическое 9, 145, 148
ческий 22, 174
— гармоническое 145
— Паскаля 20, 22, 39 – 41, 175, 253
— геометрико-гармоническое 133
Тригонометрическая форма ком-
— геометрическое 9, 145, 148
плексного числа 99
— квадратическое 145
Тригонометрические замены 126 –
— степенное 145 – 146
127
Степень точки относительно
— тождества 255 – 256
окружности 114
Схема Горнера 88, 205
Счастливые билеты 159, 234 Уравнение биквадратное 101
266 Предметный указатель

Уравнение кубическое 122 – 126 Функция производящая чисел Лю-
ка 160
— — неприводимый случай 124
— — — Фибоначчи 160, 235
— характеристическое 153 – 157
— Эйлера ?(n) 60 – 62, 66, 67, 193 –
194, 198
Фазовая плоскость для квадратно-
го уравнения 83
Ханойская башня 10, 78, 200
— — для кубического уравнения
124
Цифровой корень числа 63
Факториал 7, 253
Формула n-го члена линейной ре- Числа автоморфы 67
куррентной последовательно- — гармонические 57
сти 154 — дружественные 35
— для чисел Каталана 26, 163, 236 — Евклида, en 28, 55
— Бине 39, 155, 160, 182 — из электрической розетки 45
— включений и исключений 23 – — иррациональные 69 – 73
25, 60, 175 – 176 — Кармайкла 62
— Герона 121, 214 — Каталана Cn 25 – 26, 163, 253
— — итерационная 128 — комплексно сопряженные 99
— Кардано 123, 124, 218 – 219 — комплексные 99 – 110
— Лежандра 36, 181, 189 — Люка Ln 40, 135, 155, 160, 183,
— Муавра 102, 105, 209, 210 223
— Ньюкома 185 — Мерсенна 29, 35, 181
— Ньютона, интерполяционная — несоизмеримые 69
152 — простые 27 – 29, 55, 257
— Рамануджана 121 — — близнецы 28, 57
— сложного радикала 71 — рациональные 69 – 73
— сокращенного умножения 89 — совершенные 35, 63, 181
— Тэйлора для многочлена 89 — составные 27 – 28
— Эйлера 105 — Ферма fn 28, 31
Функция ?(n) 76, 200, 236 — Фибоначчи, Fn 36 – 41, 47, 119,
134 155, 160, 182 – 184, 222, 253
— ?(n) 34 – 35, 181
Число ? 5, 108, 135, 253
— ?(n) 34, 61 v
— вполне мультипликативная 35 — 2 46, 73
— выпуклая вверх (вниз) 144 — 1/7 74
v
— гармоническая 153 — 2 128, 131, 154, 253
— многозначная 211 — e 5, 72, 73, 142, 198, 223, 253
— мультипликативная 33 – 36 — i 5, 99
— показательная от комплексного — Фейнмана 69
аргумента 105 — Фидия, ? 5, 39, 160, 213, 253
— производящая 157 – 164
— — многочленов Люка 160 Шахматный город 19
— — — Фибоначчи 160
— — — Чебышёва 160 Экспонента 151, 159
— — — Каталана 162 — комлексного аргумента 105
Оглавление
Предисловие 3
Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 5
1. Метод математической индукции 6
1. Аксиома индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 6
2. Тождества, неравенства и делимость . . . . . . . . . . ..... 7
3. Индукция в геометрии и комбинаторике . . . . . . . . ..... 10
2. Комбинаторика 13
1. Сложить или умножить? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Принцип Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Размещения, перестановки и сочетания . . . . . . . . . . . . . 16
4. Формула включений и исключений . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. Числа Каталана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики 27
1. Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Мультипликативные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4. О том, как размножаются кролики . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5. Цепные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4. Арифметика остатков 48
1. Четность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2. Делимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3. Сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4. Теоремы Ферма и Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5. Признаки делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6. Китайская теорема об остатках . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5. Числа, дроби, системы счисления 70
1. Рациональные и иррациональные числа . . . . . . . . ..... 70
2. Десятичные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 74
3. Двоичная и троичная системы счисления . . . . . . . ..... 76
6. Многочлены 83
1. Квадратный трехчлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 83
2. Алгоритм Евклида для многочленов
и теорема Безу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3. Разложение на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4. Многочлены с кратными корнями . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5. Теорема Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6. Интерполяционный многочлен Лагранжа . . . . . . . . . . . . 98
7. Комплексные числа 101
1. Комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 101
2. Преобразования комплексной плоскости . . . . . . . . ..... 110
8. Алгебра + геометрия 113
1. Геометрия помогает алгебре . . . . . . . . . . . . . . . ..... 113
2. Комплексные числа и геометрия . . . . . . . . . . . . ..... 114
3. Тригонометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 118
268 Предметный указатель

9. Уравнения и системы 124
1. Уравнения третьей степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2. Тригонометрические замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3. Итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.Неравенства 142
1. Различные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2. Суммы и минимумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3. Выпуклость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4. Симметрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.Последовательности и ряды 151
1. Конечные разности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2. Рекуррентные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3. Производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4. Многочлены Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
12.Шутки и ошибки 168
Ответы, указания, решения 172
Глава 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Глава 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Глава 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Глава 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Глава 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Глава 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Глава 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Глава 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Глава 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Глава 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Глава 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Глава 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Литература 244
А. Программа курса 253
Б. Путеводитель 255
В. Формулы и числа 258
I. Греческий алфавит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
II. Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи . . . . . . . . . 258
III. Степени, числа Каталана, факториалы . . . . . . . . . . 258
IV. Константы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
V. Многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
VI. Основные тригонометрические тождества . . . . . . . . . 260
VII. Таблица квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
VIII. Таблица простых чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Предметный указатель 263
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 263
Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 267
Надежда Борисовна Алфутова,
Алексей Владимирович Устинов
Алгебра и теория чисел.
Сборник задач для математических школ

Издательство Московского Центра
непрерывного математического образования
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г.
Подписано в печать 27.6.2002 г. Формат 60 ? 90 1/16. Бумага офсетная № 1.
Печать офсетная. Печ. л. 16,5. Тираж 2000 экз. Заказ №
МЦНМО
121002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП «Облиздат».
248640, г. Калуга, пл. Старый торг, д. 5.

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине
«Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. 241–72–85. E-mail: biblio@mccme.ru

<<

стр. 9
(всего 9)

СОДЕРЖАНИЕ