стр. 1
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

Министерство образования Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

Факультет прикладной математики и информатики

Кафедра прикладной математики




Е. Б. Цой
И. В. Самочернов


МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ В
ЭКОНОМИКЕ
( часть I )




Новосибирск, 2003
УДК 519.242




Рецензенты:
доктор технических наук, проф. кафедры экономической информатики НГТУ А. Ж. Абденов,
кандидат технических наук, доц. кафедры теории рынка НГТУ В. С. Тимофеев.




Цой Е. Б., Самочернов И. В.
Моделирование и управление в экономике (часть I). Курс лекций. – Новосибирск: Изд-
во НГТУ, 2003. – 104 с.


В основе предлагаемого конспекта лекций лежат лекции, прочитанные на факультете
прикладной математики и информатики НГТУ в период с 1995 по 2002 год. В работе
содержатся материалы по моделированию дискретных и непрерывных случайных величин,
векторов и процессов, по методам моделирования систем массового обслуживания, теории
линейных экономических моделей. Конспект предназначен для студентов 4 курса
специальности «Прикладная математика».




УДК 519.242

© Цой. Е. Б., Самочернов И. В., 2003 г.
© Новосибирский государственный технический университет, 2003 г.
Введение
Возможность моделирования случайных величин и процессов очевидным образом
может быть использована для моделирования (имитации) реальных явлений, ситуаций,
объектов. При этом наблюдение небольшого числа реализаций случайной величины вряд ли
принесет нам пользу, но наблюдение большого их числа позволяет сделать правильные
выводы об их средних характеристиках. Такой подход лежит в основе метода Монте-Карло,
который использует предельные соотношения теории вероятностей: законы больших чисел и
предельные теоремы.
Имитационное моделирование есть процесс конструирования модели реальной
системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение
системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или
совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование
данной системы.
Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи исключительной
сложности: исследуемые объекты, системы могут одновременно содержать элементы
непрерывного и дискретного действия, быть подверженными влиянию случайных факторов
сложной природы, описываться весьма громоздкими соотношениями и т. д.
Конспект лекций по курсу «Моделирование и управление в экономике» предназначен
для студентов 4 курса специальности «Прикладная математика». Курс читается в течении
двух семестров и включает в себя помимо лекционных занятий лабораторные и
индивидуальную работу. В структуре курса можно выделить три части: первая часть
посвящается моделированию случайных величин, векторов и процессов; вторая часть
посвящена методам моделирования систем массового обслуживания; третья часть посвящена
собственно теории линейных экономических моделей.
В основе предлагаемого конспекта лекций (Часть 1) лежат лекции, прочитанные
автором в период с 1995-2002 года.
При составлении, редактировании, оформлении конспекта лекций принимали участие
бывшие студенты кафедры прикладной математики НГТУ. Это Безменов Андрей ,
Адаманова София, Эпова Анастасия, Комарова Марина, Бобылева Диана, Богомазова Юля,
Постникова Елена и другие.

Авторы благодарны им за огромную проделанную работу и надеются, что
предлагаемый конспект лекций будет полезен студентам, магистрам и аспирантам,
специализирующимся в области прикладной математики, информатики по специальности
510200.




3
Содержание
Глава 1. Машинная имитация. Методология машинной имитации. Математические модели
сложных систем. Типы математических моделей.................................................................. 6
1.1. Машинная имитация........................................................................................................ 6
1.2. Методология машинной имитации в задачах исследования сложных систем........... 7
1.3. Сложные системы............................................................................................................. 10
1.4. Системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.......... 12
1.5. Дискретные системы........................................................................................................ 14
1.5.1. Однотактные релейные устройства.................................................................... 15
1.5.2. Многотактные релейные устройства.................................................................. 16
Глава 2. Моделирование псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на отрезке
[0;1].............................................................................................................................................. 18
2.1. Методы моделирования псевдослучайных чисел......................................................... 18
2.1.1. Линейный конгруэнтный метод............................................................................. 19
2.1.2. Программный метод (алгоритмический метод псевдослучайных чисел).......... 21
2.1.3. Моделирование распределения, равномерного в интервале (0;1)...................... 21
2.2. Сравнение трех способов с практической точки зрения.............................................. 22
2.3. Определение объема имитационных экспериментов................................................... 22
2.4. Физические генераторы................................................................................................... 23
2.5. Программные генераторы................................................................................................ 24
2.6. Статистический анализ качества псевдослучайных величин...................................... 24
2.7. Универсальные тесты для анализа случайных последовательностей......................... 24
2.7.1. Критерий согласия ?2.............................................................................................. 24
2.7.2. Критерий Колмогорова-Смирнова......................................................................... 27
2.7.3. Критерий ?2, Р. Мизеса........................................................................................... 27
2.7.4. Критерий согласия Реньи........................................................................................ 29
2.8. Эмпирические тесты.........................................................................................................29
2.8.1. Проверка равномерности (проверка частот)......................................................... 30
2.8.2. Проверка серий (проверка пар).............................................................................. 30
2.8.3. Проверка интервалов............................................................................................... 30
2.8.4. Покер-тест (проверка комбинаций)....................................................................... 30
2.8.5. Проверка перестановок........................................................................................... 31
2.8.6. Проверка на монотонность. ................................................................................... 31
2.8.7. Тест “наибольшее из t”............................................................................................ 31
2.8.8. Последовательная корреляция................................................................................31
2.8.9. Проверка подпоследовательностей........................................................................ 31
2.9. Теоретические тесты........................................................................................................ 32
2.9.1. Проверка перестановок........................................................................................... 32
2.9.2. Последовательная корреляция................................................................................32
2.10. Задания для самопроверки............................................................................................... 33
2.11. Контрольные вопросы и упражнения............................................................................. 33
Глава 3. Моделирование случайных дискретных величин............................................... 34
3.1. Стандартный алгоритм моделирования......................................................................... 34
3.2. Нестандартные алгоритмы моделирования случайных дискретных величин........... 35
3.3. Задания для самопроверки............................................................................................... 38
3.4. Контрольные вопросы и упражнения............................................................................. 38
Глава 4. Моделирование случайных непрерывных величин.................................................... 39
4.1. Стандартный метод моделирования – метод обратной функции................................ 39
4.2. Преобразование вида ?=g(?)........................................................................................... 41
4.3. Преобразование вида ?=g(?1, ?2).................................................................................... 42
4.4. Метод суперпозиции........................................................................................................ 44
4
4.5. Метод порядковых статистик.......................................................................................... 46
4.6. Полином Бернштейна....................................................................................................... 47
4.7. Метод исключения........................................................................................................... 49
Глава 5. Специальные методы моделирования неравномерных распределений.................... 51
5.1. Моделирование показательного распределения............................................................51
5.1.1. Моделирование гамма-распределения.................................................................. 51
5.1.2. Моделирование произвольного бета-распределения на (0;1)............................. 53
5.1.3. Моделирование произвольного гамма-распределения........................................ 54
5.1.4. Моделирование нормального распределения....................................................... 55
5.2. Приближенные методы моделирования (имитации).................................................... 57
5.3. Задания для самопроверки............................................................................................... 58
5.4. Контрольные вопросы и упражнения............................................................................. 60
Глава 6. Моделирование случайных векторов и процессов (случайных многомерных
величин)...................................................................................................................................... 61
6.1. Моделирование нормального невырожденного многомерного распределения........ 61
6.2. Моделирование многомерного изотропного вектора................................................... 65
6.3. Моделирование случайных процессов........................................................................... 66
6.4. Задания для самопроверки............................................................................................... 70
6.5. Контрольные вопросы и упражнения............................................................................. 71
Глава 7. Общая схема метода Монте-Карло. Роль закона больших чисел и предельных
теорем в теории статистического моделирования. Статистическая теория
оценивания................................................................................................................................. 72
Глава 8. Методы Монте-Карло..................................................................................................... 78
8.1. Простейший метод Монте-Карло....................................................................................78
8.2. Методы, использующие аналитические или классические численные процедуры
интегрирования................................................................................................................... 83
8.3. Метод существенной выборки........................................................................................ 84
8.4. Расслоенная выборка........................................................................................................ 86
8.5. Симметризация подынтегральной функции.................................................................. 88
8.6. Использование смещённых оценок................................................................................ 90
Глава 9. Применение метода Монте-Карло................................................................................ 93
9.1. Моделирование естественных процессов...................................................................... 93
9.1.1. Системы массового обслуживания........................................................................ 93
9.1.2. Расчет вероятностных характеристик сложной случайной величины............... 97
Глава 10. Примеры решения задач............................................................................................... 98
10.1. Решение задачи Дирихле................................................................................................. 98
10.2. Решение уравнения Лапласа............................................................................................ 99
10.3. Вычисление винеровских интегралов........................................................................... 101
10.4. Замена континуального интеграла многомерным....................................................... 102
10.5. Минимаксные оценки интегралов................................................................................. 102




5
Глава 1
Машинная имитация. Методология машинной имитации.
Математические модели сложных систем. Типы математических моделей

Содержание:
1.1. Машинная имитация........................................................................................................ 6
1.2. Методология машинной имитации в задачах исследования сложных систем........... 7
1.3. Сложные системы............................................................................................................. 10
1.4. Системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.......... 12
1.5. Дискретные системы........................................................................................................ 14
1.5.1. Однотактные релейные устройства.................................................................... 15
1.5.2. Многотактные релейные устройства.................................................................. 16

1.1. Машинная имитация
С развитием науки и техники наряду с расширением абстрактных методов изучения
реальных явлений и процессов всё большее значение приобретают экспериментальные
методы и, в частности, моделирование.
Моделирование позволяет по-новому описать реальный объект, процесс или явление и
упростить его экспериментальное изучение. Если раньше моделирование означало реальный
физический эксперимент, либо создание некоторого макета, то теперь появилось много
новых видов моделирования, в основе которых лежит постановка не только реальных
физических экспериментов, но и постановка математических и численных экспериментов.
Однако основная проблема сохранилась, т.к. основная задача моделирования:
• определить методику, позволяющую упорядочить получение и обработку информации об
объектах, существующих вне нас;
• найти взаимодействие этих объектов с окружающей средой;
• оценить качество этого взаимодействия.

В качестве объекта моделирования всё чаще выступают сложные технические системы,
которые можно отнести к классу больших систем. Более того, по своему содержанию и
созданию модель также становится системой моделирования и тоже может быть отнесена к
классу больших систем.
В процессе моделирования можно выделить ряд этапов:
1. Постановка задачи и определение конкретных свойств и отношений объекта, процесса
или явления, подлежащих исследованию. Необходимо выделить только те существенные
отношения, которые составляют предмет исследования.
2. Выявление параметров реального объекта на базе непосредственного физического
исследования его при известной структуре либо с использованием методов
идентификации.
3. Выбор типа модели, позволяющий достаточно хорошо отобразить исследуемые свойства
реального объекта.
4. Проверка модели в отношении исследуемых свойств, параметров, которые отображают
реальные свойства объекта.
5. Полученные результаты переносятся на реальный объект, выводятся требуемые
закономерности, осуществляется обработка полученных результатов и их анализ.
6. Проверка истинности данных, полученных путём моделирования.

Важным свойством правильно выбранной модели является то, что она выявляет лишь те
отдельные свойства системы, которые существенны для данного использования.

6
Полного соответствия модели и реальной системы не может быть. Несоответствие важно
относительно цели моделирования.
Характеризуя проблему моделирования в целом, мы должны учитывать, что на всех
этапах, о постановки задачи до проверки адекватности существует большая группа проблем:
• проблемы идентификации реальных объектов;
• проблемы выбора типа и вида моделей;
• проблемы построения моделей;
• проблемы взаимодействия исследователя с моделью;
• проблемы проверки истинности полученных результатов;
• проблема выявления основных закономерностей, которые подлежали исследованию в
ходе моделирования.

Сложность этих проблем различная. Но заметим, что постановка задачи, создание и
выполнение структуры реального объекта во многом представляют собой творческий этап и
базируются на эвристике. И в этом смысле нет формальных путей выбора оптимального типа
модели. Ошибка исследователя может привести к ошибочным результатам.
Использование ЭВТ не изменяет этого положения. Средства ЭВТ могут лишь помочь с
точки зрения быстроты реализации, но не позволят подтвердить правильность той или иной
модели.
В ходе моделирования существенное место занимают:
• надёжность технических средств;
• специальная аппаратура;
• специальное математическое и информационное оборудование;
• правильные действия человека-оператора.

1.2. Методология машинной имитации в задачах исследования сложных
систем
Эффективность экспериментальных исследований сложных систем низкая, поскольку
проведение натурных экспериментов с реальной системой либо требует больших
материальных затрат, времени, либо вообще невозможно, например на этапе
проектирования. (Эксперимент: полёт человека на Марс).
Эффективность теоретических исследований с практической точки зрения в полной мере
проявляется тогда, когда их результаты могут быть представлены в виде аналитических
соотношений или моделирующих алгоритмов, пригодных для получения соответствующих
характеристик процесса функционирования исследуемых систем.
Поэтому в настоящее время при исследовании сложных систем всё более широкое
применение находят методы имитационного моделирования.
Средством решения задач на базе моделирования стали ЭВМ – универсальные (НРМВ
(нереальный масштаб времени)) и управляющие (РМВ (реальный масштаб времени)).
ЭВМ ? ЦВМ (цифровая вычислительная машина), АВМ (аналитическая вычислительная
машина), ГВМ (гибридная вычислительная машина) ? конкретные технические средства ?
воплощения имитационной модели.
Основные направления использования ЭВМ представлены на рис.1.1:




7
Моделирование
на ЭВМ




Расчётный Имитационный


Аналитические Численные Кибернетические
Методы
методы методы методы
подобия




АВМ ЦВМ ГВМ РО
Рис.1.1. Основные направления использования ЭВМ

Имитационная модель характеризуется определённой структурой, где под структурой
понимается совокупность отдельных блочных моделей и связей между ними в их
взаимодействии при реализации какого-либо процесса.
В обычной структуре модели можно выделить три основные группы блоков:
1. Блоки, характеризующие моделируемый процесс.
2. Блоки, отображающие внешнюю среду.
3. Блоки, играющие служебную вспомогательную роль, обеспечивая взаимодействие
первых двух, а также дополнительные функции по получению результатов
моделирования.

Рассмотрим состав имитационной модели.

Начальные Структура Переменные
условия


Имитационная
модель


Программное Информационное Техническое
Математическое
обеспечение обеспечение обеспечение
обеспечение



Математические Планирование Организация Средства
соотношения; эксперимента; информационной вычислительной
алгоритм ввода имитационная базы; техники;
исходных данных; модель; реорганизация средства связи и
алгоритмы проведения информационной обмена информацией
имитации; эксперимента; базы; между оператором и
алгоритм вывода; обработка и система управления ЭВМ;
интерпретация информационной средства управления
алгоритм обработки
базой;
результатов экспериментом
система
документации
Рис.1.2. Состав имитационной модели


8
Замечание. Помимо приведенных на рисунке 1.2, существуют другие блоки обеспечения в
имитационной модели, например, такие как:
1. Лингвистическое обеспечение.
2. Эргономическое обеспечение.

Из выше сказанного следует, что при исследовании сложной системы с использованием
имитационной модели можно выделить следующие основные этапы:
1. Построение концептуальной модели реальной системы с учётом её адекватности.
2. Построение математической модели, либо выбор кибернетического описания реального
объекта.
3. Построение структуры имитационной модели, то есть выбор блочной модели имитации.
4. Планирование машинного эксперимента с имитационной моделью.
5. Проведение эксперимента на основе имитационного моделирования.
6. Оценка допустимого числа реализаций.
7. Обработка, оценивание полученных результатов.

Несмотря на то, что имитационное моделирование на ЭВМ является мощным
инструментом исследования систем, оно должно применяться не во всех случаях.
Основными критериями целесообразности применения имитационного моделирования на
ЭВМ могут быть:
• отсутствие или невозможность применения аналитических, численных и качественных
методов решения задачи;
• наличие достаточного количества исходной информации о моделируемой системе для
обеспечения возможности построения адекватной имитационной модели;
• необходимость проведения с использованием других возможных методов очень
большого количества вычислений, трудно реализуемых даже с помощью ЭВМ;
• возможность поиска оптимального варианта системы при её моделировании на ЭВМ.

Замечание. Другие подходы к определению последовательности выполнения основных
работ при имитационном исследовании на ЭВМ различных процессов:
1. Изучение реальной системы.
2. Составление содержательного описания процесса функционирования системы.
3. Формулировка или исследования и выбор основных критериев оценки.
4. Разбиение сложной системы на простейшие.
5. Построение формализованной схемы процесса функционирования исследуемой
системы.
6. Построение математической модели системы.
7. Планирование эксперимента, сбор и подготовка исходных данных.
8. Составление моделирующей программы с учётом конкретной ЭВМ.
9. Отладка модели.
10. Моделирование процесса функционирования системы.
11. Обработка результатов моделирования.
12. Выработка рекомендаций.

Основными достоинствами метода имитационного моделирования (ИМ),
проявляющимися при исследовании сложных систем являются:
• возможность исследования особенностей процесса функционирования системы в любых
условиях. Этап проектирования.
• применение ЭВМ сокращает продолжительность испытаний по сравнению с натурным
экспериментом.
• ИМ позволяет при своём построении использовать результаты натурных испытаний при
эксплуатации системы для проведения дальнейших исследований.
9
• ИМ обладает известной гибкостью варьирования параметров и структуры моделируемой
системы, что важно с точки зрения поиска оптимального варианта системы.
• ИМ сложных систем часто является единственным практически реализуемым методом
исследования процесса функционирования таких систем на этапе их проектирования.

Имитационному моделированию присущ и следующий существенный недостаток:
решение, полученное в результате анализа имитационной модели, всегда носит частный
характер, так как оно соответствует фиксированным значениям параметров системы,
начальных условий и воздействий внешней среды. Поэтому для полного анализа
характеристик процесса функционирования системы приходится многократно
воспроизводить имитационный эксперимент, варьируя исходные данные задачи. При этом
возникает увеличение затрат машинного времени.
При имитационном моделировании так же, как и при любом другом методе анализа и
синтеза системы, весьма существенным является вопрос эффективности.
Эффективность имитационного моделирования может оцениваться:
1. Точностью моделирования (погрешность описания реального физического процесса
подобными математическими соотношениями) + (погрешность реализации
приближённого моделирования).
2. Затраты машинного времени =
Время(ввода, вывода данных) + Время(проведённых вычислительных операций).

Замечание. Имеющиеся успехи не свидетельствуют о том, что проблема внедрения методов
моделирования успешно решена. Конкретные методики моделирования реальных систем
носят частный характер, процесс построения модели трудоёмкий, а соотношения,
описывающие реальные объекты – громоздкие. Специальные языки моделирования только
начинают внедряться.

1.3. Сложные системы
Типичными примерами сложных систем могут служить крупные производственные и
энергетические комплексы, экономические системы, вычислительные комплексы,
предназначенные для обработки информации, АСУП, АСУ ТП, САПР, САПР, АСНИ.
Отличительной чертой сложных систем является:
• наличие большого числа элементов;
• сложный характер связи между отдельными элементами;
• сложность функций, выполняемых системой;
• наличие сложно организованного управления;
• необходимость учета взаимодействия с окружающей средой и воздействия случайных
факторов.

Решение вопроса считать ли некоторую систему сложной или нет, находится в руках
исследователя и зависит от задач, которые перед ним стоят.
Итак, для исследования любой системы математическими методами, с помощью ЭВМ
должна быть построена ее математическая модель. Вид математической модели зависит не
только от природы реального объекта, и от требуемой точности их решения.

Математическая модель можно классифицировать с различных точек зрения.
С точки зрения соотношений, которые выражают зависимости между состояниями и
характерами сложной системы:
• детерминированные модели (состояния системы в заданный момент времени однозначно
определены через параметры системы, входную информацию и начальные условия);
• вероятностные модели.
10
С точки зрения дальнейшего использования математической модели для измерения
сложной системы:
• аналитические ? аппарат исследования - аналитический способ, численный способ,
качественный способ;
• имитационные ? аппарат исследования - алгоритмическое описание процесса
функционирования.

Основным преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими
моделями является возможность решения задач исключительной сложности.
Такие особенности сложной системы как:
• наличие элементов непрерывного и дискретного действия ;
• нелинейные соотношения любого характера, описывающие связи элементами системы;
• воздействие многочисленных случайных факторов не являются препятствием при
имитации процесса функционирования сложной системы.

В качестве формальных признаков при оценивании сложной системы выделяют:
1. Число взаимосвязанных элементов.
2. Отсутствие формальной математической модели.
3. Способ описания.

Поваров Г.Н. классифицировал следующим образом:
10-103 элементов - малые системы
104-107 элементов - сложные
107-1030 элементов - ультра сложные
1030-10300 элементов - суперсистемы

Бир С. классифицировал все системы на простые и сложные, в зависимости от способа
описания: детерминированного или теоретико-вероятностного.
Берг А.И. Сложная система и система, которую можно описать не менее чем на двух
различных математических языках, например с помощью теории дифференциальных
уравнений и алгебры Буля.

Замечание (по поводу термина - статистическое моделирование). Исследование сложных
систем с помощью имитационных моделей принято называть статистическим
моделированием. Этим подчеркивается, что для нахождения объективных и устойчивых
характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей
статистической обработкой полученных данных.

Замечание (по поводу термина - метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Мы
знаем, то это метод моделирования случайных величин, объектов с последующим
использованием статистических характеристик для приближенного решения
соответствующей аналитической задачи. Другими словами - численный метод решения
аналитических задач.

В исследовании сложных систем выделяют две задачи – задача анализа и задача синтеза.
1. Анализ ? показатель эффективности системы. Зная его, можно решать целый ряд задач.
Например:
оценка эффективности различных принципов управления;
оценка вариантов структуры сложной системы;
оценка влияния изменений различных параметров сложной системы или ее отдельных
элементов, а также начальных условий.

11
2. Синтез. Эта задача гораздо сложнее. Здесь требуется создать систему с наперед
заданными свойствами, в некотором смысле слова оптимальную.

В общем случае при построении математических моделей сложных систем используют
аналитическое и алгоритмическое описание процессов функционирования. А чтобы
упростить формализацию систем прибегают к типичным математическим схемам таким как:
1. Дифференциальные уравнения.
2. Булевы функции.
3. Конечные автоматы.
4. Случайные процессы (СМО).

1.4. Системы, описываемые обыкновенными дифференциальными
уравнениями
Обыкновенными дифференциальными уравнениями описываются многие экономические
и биологические процессы, некоторые процессы в военном деле (уравнения Ланчестера).
Методика составления дифференциальных уравнений обычно рассматриваются в
соответствующих дисциплинах: механика, электротехника, экономика.

Пример 1.1
а) математическая модель свободных (малых) колебаний маятника; (механическая система)


d? + mgl? = 0, l
ml 2 T = 2?
dt 2 g



б) математическая модель колебательного контура; (электрическая система)


d 2q q
T = 2? LC
+ = 0,
L
2c
dt

Таким образом, совершенно разные системы могут описываться дифференциальными
уравнениями одного и того же вида.
d2y dy
+a + a y = 0 - уравнение свободного движения системы
a
02 1 dt 2
dt

d2y dy - вынужденное движение системы
+a +a y = x
a
02 1 dt 2
dt

x y
(??> ??> )




12
реальный
Рассмотрим математическое описание САУ.
объект
r
?
x z
y
Управляющая система Управляющая система



Рис. 1.3. Одномерная система

x(t) - задающее воздействие, несет информацию, необходимую для управления
формируется
y(t) - координата состояния системы
?(t) - сигнал ошибки, ?(t)=x(t)-y(t)
z(t) - управляющее воздействие. Формируется так, чтобы ?(t)?0.
r(t) - возмущающее воздействие, не содержащее полезной информации, нарушают
требуемую функциональную связь между задающим воздействием и законом изменения
выходной координаты.
Выше приведен рисунок одномерной системы. Многомерные системы выглядят намного
сложнее. Принципиально методика исследований не меняется. В качестве управляемой
системы может быть: отдельный двигатель, атомный реактор, цех завода, завод.
Управляющая система - это совокупность технических средств, обеспечивающих
выполнение управляемой системой определенной цели.
При проектировании САУ основными вопросами являются:
• точность управления;
• устойчивость работы.
Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно
сделать по виду дифференциальных уравнений, приближенно описывающих процессы в
системах.
Отметим, что:
• порядок дифференциальных уравнений и значения его коэффициентов полностью
определяются статическими и динамическими параметрами системы и ее структуры;
• условная классификация САУ приведена на рисунке 1.4.

Дифференциальные - разностные уравнения
САУ Дискретные.

Дифференциальные уравнения в полных
Непрерывные
или частных производных
Линейные уравнения
Линейные


Нелинейные Нелинейные уравнения


Стационарные Дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами
Нестационарные
Рис.3
Дифференциальные уравнения с
коэффициентами являющимися
функциями от времени
Рис. 1.4. Условная классификация САУ

13
Итак, математической моделью САУ является дифференциальное уравнение общего вида:
F ( y n , y n ? 1,..., y , x m , x m ? 1,..., x ) = 0 (1.1)
Как их решают в теории САУ?
Пусть система (1.1) работает в некотором известном режиме, характеризуемом
функциями y (t ), x (t ) .
0 0

y ( t ) = y ( t ) + ?y ( t )
0
x ( t ) = x ( t ) + ?x ( t )
0

Тогда (1.1) можно линеаризовать, разложив F (...) в ряд Тейлора и ограничившись его
линейными членами, относительно ?y и ?x .
?F ?F ?F ?F ?F ?F
?y n ? 1 + ... + ?x n ? 1 + ... +
?y n + ?x n +
? y + ?y = ? x + ?x
n ?1 n ?1
n n
?y ?x
?y ?y ?x ?x
0 0
0 0 0 0
Так как полученное решение приближенно описывает рассматриваемый процесс, то
значения производных вычисляются при некоторых фиксированных значениях входящих в
него переменных. Мы получим систему с постоянными коэффициентами, линейную
(линейная САУ).
d n ? 1y d m ? 1x
dny d mx
+a + ... + a y = b +b + ... + b x
a
1 n ?1 0 m 1 m ?1
0n n m
dt dt dt dt

Методы решения таких САУ:
• аналитические (операционный метод);
• численные;
• имитационные.

1.5. Дискретные системы
Дискретные устройства в современной технике играют весьма важную роль. Достаточно
упомянуть о вычислительных и управляющих машинах дискретного действия. Простейшим
элементом дискретной системы является реле.
Реле - элемент, входная и выходная величины которого могут принимать лишь конечное
(2 – 3) число значений.
Существуют два типа задач:
• построения структуры релейных устройств по заданным соотношениям вход-выход
(синтез);
• определения соотношения вход-выход по заданной структуре (анализ).

Основной задачей синтеза является построение структуры, реализующей наперед
заданные состояния вход-выход и содержащей минимально возможное число элементов.
Математический аппарат: математическая логика, комбинаторный анализ, теория графов.
Все релейные устройства можно разделить на два класса - однотактные и
многотактные. Однотактные - устройства без памяти. Многотактные - устройства с
памятью, т.е. такие в которых совокупность выходных сигналов в любой момент времени
зависит не только от совокупности входных сигналов, но и от внутреннего состояния
устройства.




14
1.5.1. Однотактные релейные устройства

Они реализуются через булевы функции от n переменных.
n
Функции f ( x1 , x2 ,..., xn ) ; всего их 2 2 различных булевых функций от n переменных
(включая функции от меньшего числа переменных); от любого конечного числа булевых
переменных, принимающие значения 0 или 1 называются булевыми функциями.
При n=1 всего 4 различные булевы функции:

f1 ( x ) ? 0
функции-константы
f 2 ( x) ? 0
f3 ( x) ? x
функция повторения
функция инверсии (отрицания) f 4 ( x) ? x

При n=2 всего 16 различных булевых функций:

f1 ( x1 , x2 ) ? 0
функции-константы
f 2 ( x1 , x2 ) ? 1
?
функции повторения
f 3 ( x1 , x2 ) ? x1
?
f 3 ( x1 , x2 ) ? x2
?
функции инверсии
f 4 ( x1 , x2 ) ? x1
?
f 4 ( x1 , x2 ) ? x 2
функция-дизъюнкция задается таблицей «или»: f 5 ( x1 , x2 ) ? x1 ? x2

x1 ? x2
x1 x2
1 0 1
0 1 1
1 1 1
0 0 0

f 6 ( x1 , x2 ) ? x1 ? x2
функция-конъюнкция, задается таблицей «и»

x1 x2 x1 ? x 2
1 0 0
0 1 0
1 1 1
0 0 0


Многие выражения могут быть упрощены за счет преобразования булевых функций,
выраженных через дизъюнкцию, конъюнкцию и инверсию по известным тождествам
булевой алгебры. Смысл выражения заключается в том, чтобы найти другое выражение,
представляющее ту же функцию, но для практической реализации, которого требуется
меньшие расходы оборудования, чем для первоначального варианта.
Приведем примеры существующих методов минимизации булевых функций: метод
Кванта и метод Вейна.

15
Пример 1.2
Пусть необходимо спроектировать устройство, которое имеет три воспринимающих
элемента A, B, C (каждый элемент типа "да"-"нет") и один исполнительный элемент Z,
который должен срабатывать в одном из следующих четырех случаев:
срабатывает A, B и C - нет
срабатывает B, A и C - нет
срабатывает C, A и B - нет
срабатывает A, B, C

Состояние воспринимающего элемента Состояние исполняющего элемента Z
A B C
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
1 1 1 1

Аналитическое представление искомой структуры выглядит следующим образом:

z = a bc + abc + a bc + abc

Схема однотактного релейного устройства представлена на рисунке 1.5:


A НЕ И




B Z
НЕ И ИЛИ



C НЕ И



Рис. 1.5. Схема однотактного релейного устройства

1.5.2. Многотактные релейные устройства

Их работа протекает во времени и сигналы, выработанные им в любой момент времени,
зависят не только от того какие сигналы поступают в данный момент на его входы, но и от
того, какие сигналы вводились на его входы раньше.
Приведем пример многотактного устройства по терминологии Хофмена-Мура -
последовательная переключательная схема.




16
Выходные сигналы


Сигналы
Входные Логическая
изменения
И
сигналы схема
готовности


Схема
памяти


Тактовые
И
сигналы




Рис. 1.6. Схема многотактного релейного устройства

Общая модель многократного устройства характеризуется тремя множествами:
• входной алфавит X = {x1 ,... x p }
• выходной алфавит Y = { y1 ,... y h }
• внутренние состояния Z = {z1 ,... zm }
n
Yi = f i ( x1 ,..., x p ; z1 ,..., zm ) n , n - номер такта
Z i = ? i ( x1 ,..., x p ; z1 ,..., zm ) n
n




17
Глава 2
Моделирование псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на
отрезке [0;1]
Содержание:
2.1. Методы моделирования псевдослучайных чисел......................................................... 18
2.1.1. Линейный конгруэнтный метод............................................................................. 19
2.1.2. Программный метод (алгоритмический метод псевдослучайных чисел).......... 21
2.1.3. Моделирование распределения, равномерного в интервале (0;1)...................... 21
2.2. Сравнение трех способов с практической точки зрения.............................................. 22
2.3. Определение объема имитационных экспериментов................................................... 22
2.4. Физические генераторы................................................................................................... 23
2.5. Программные генераторы................................................................................................ 24
2.6. Статистический анализ качества псевдослучайных величин...................................... 24
2.7. Универсальные тесты для анализа случайных последовательностей......................... 24
2.7.1. Критерий согласия ?2.............................................................................................. 24
2.7.2. Критерий Колмогорова-Смирнова......................................................................... 27
2.7.3. Критерий ?2, Р. Мизеса........................................................................................... 27
2.7.4. Критерий согласия Реньи........................................................................................ 29
2.8. Эмпирические тесты.........................................................................................................29
2.8.1. Проверка равномерности (проверка частот)......................................................... 30
2.8.2. Проверка серий (проверка пар).............................................................................. 30
2.8.3. Проверка интервалов............................................................................................... 30
2.8.4. Покер-тест (проверка комбинаций)....................................................................... 30
2.8.5. Проверка перестановок........................................................................................... 31
2.8.6. Проверка на монотонность. ................................................................................... 31
2.8.7. Тест “наибольшее из t”............................................................................................ 31
2.8.8. Последовательная корреляция................................................................................31
2.8.9. Проверка подпоследовательностей........................................................................ 31
2.9. Теоретические тесты........................................................................................................ 32
2.9.1. Проверка перестановок........................................................................................... 32
2.9.2. Последовательная корреляция................................................................................32
2.10. Задания для самопроверки............................................................................................... 33
2.11. Контрольные вопросы и упражнения............................................................................. 33

2.1. Методы моделирования псевдослучайных чисел
Ниже будет показано, что для того, чтобы вычислять значения любых случайных величин,
достаточно уметь находить (генерировать) значения какой-нибудь одной случайной
величины. Так как всегда можно подобрать такую функцию от этой случайной величины,
которая имеет требуемый закон распределения. В качестве такой случайной величины берут
? ? Rav[0;1]
1 1
f ? ( x) = 1, F? ( x) = x, M [ x] = , D[ x] = .
2 12
Итак, как получить ? n ? Rav(0;1) . В ЭВМ действительное число всегда представляется с
ограниченной точностью, поэтому фактически мы будем генерировать целые числа x n в
x
интервале [0; m] , где m равно размеру слова. Тогда дробь ? n = n , попадает в интервал
m
[0;1] .


18
f(x) F(x)
1 1




0 1 x
1 x 0
Рис. 2.1. Функции распределения случайной величины


2.1.1. Линейный конгруэнтный метод
Все наилучшие из известных сегодня датчиков представляют собой частные случаи
следующей схемы, предложенной В.Х. Лемером в 1948г.

X n +1 = (aX n + c) mod m (2.1)

Где параметры схемы определяются из условий:
X 0 - начальное значение, X 0 ? 0
a - множитель, a ? 0
c - приращение, c ? 0
m - модуль, m > X 0 , m > a, m > c
n?0

Пример 2.1.
Пусть X 0 = a = c = 7, m = 10 . Тогда последовательность { X n } имеет вид 7,6,9,0,7,6,9,0,...
Этот пример иллюстрирует тот факт, что конгруэнтные последовательности всегда
«заканчиваются».

Определение: периодом называется повторяющийся цикл получаемых псевдослучайных
величин.

С=0 ? мультипликативный конгруэнтный метод (метод вычетов)
С?0 ? смешанный конгруэнтный метод.
Особое значение при построении схемы (2.1) имеет выбор параметров а и m:
• выбор m > скорость выработки чисел;
• выбор а > период max длины.

Для любой последовательности, предназначенной для использования в качестве
источника случайных чисел, важен большой период. Большой период - это только один из
необходимых признаков случайности нашей последовательности. Вполне возможны
абсолютно неслучайные последовательности с очень большим периодом.




Пример 2.2.
Пусть а=с=1. Тогда Хn+1=(Xn+1) mod m. Очевидно L=m, но эту последовательность никак
нельзя назвать случайной. Так как возможны только m различных значений, длина периода
не может превышать m.

19
Теорема 2.1.
Длина периода линейной конгруэнтной последовательности равна m тогда и только тогда,
когда:
• c и m взаимно простые числа;
• b=a-1 кратно р, для любого простого р, являющимся делителем m;
• b кратно 4, если m кратно 4.

Пример 2.3.
Михайлов Г.А., Крицевский А.И. исследовали (2.1) при различных значениях параметров.
Наиболее эффективный для ЕС ЭВМ: c=0, a=513, m=231.

Замечание. Период линейной конгруэнтной последовательности велик L ? 109, если m
приближается к размеру машинного слова.

Замечание. В ЭВМ построить последовательность случайных величин не представляется
возможным. Поэтому, если считать, что число разрядов ЭВМ равно к, а случайное число
?0, p i = 0.5
k
i
сформулировано согласно формуле ? = ? ? i 2i , где ? i = ? , x = k ? 1 , принимает
?1, pi = 0.5 2
i=1

i 1
, i = 0,1,..., 2k ? 1 с вероятностями pi = k . Такое распределение x называется
значения k
2 ?1 2
квазиравномерным в интервале [0;1]
2k ?1
i 11
M [ x] = ? k ? k=
i =0 2 ? 1 2 2
2
2k ?1
1 2k + 1
?i 1? 1
D[ x] = ? ? k ? ?? k= ? k , при k > ? lim D[ x] = 12
1

i =0 ? 2 ? 1 2 ? 2 12 2 ? 1 k >?



Замечание. В ЭВМ нет генератора, дающего строго случайные последовательности чисел ?i
с соответствующими вероятностями рi=1/2, i=1,2.

Среди множества других методов моделирования можно выделить следующие:
1. X n +1 = (bX n +1 + aX n + c) mod m.
2


2. X n +1 = ( X n + X n ) mod m. Здесь b=a=1, c=0. Данный метод был
2
предложен Р. Ковэго
Примем m = 2k , X 0 mod 4 = 2. Этот метод, имеет связь с первоначальным методом
середины квадратов фон Неймана. Пусть Yn = 2k X n , так что Yn - число представленное с
двойной точностью. Тогда Yn +1 состоит в точности из 2k средних цифр Yn2 + 2k Yn .
X 1 = ? , X 0 = 0.542101887
3. Датчик Дэвиса: X n +1 = ( X n + X n ?1 ) mod m. Если m = 2
Статистические тесты с определенностью показали, что числа, получаемые с помощью
этого соотношения «недостаточно» случайные.
4. X n = (a1 X n ?1 + a2 X n ? 2 + ... + ak X n ? k ) mod m , где m = p простое число, самое большое,
которое можно записать в машинном слове. Когда m = p из теории конечных полей
следует, что существуют такие множители a1 , a2 ,..., ak , что последовательность,
определяемая этой формулой, имеет период L = p k ? 1 . X 0 , X 1 ,..., X k ?1 могут быть
выбраны произвольно, но не должны быть все равны нулю. Выбор a1 , a2 ,..., ak должен



20
f ( x) = x k ? a1 x k ?1 ? ... ? ak есть примитивный многочлен по
быть таким, что полином
модулю p .

2.1.2. Программный метод (алгоритмический метод псевдослучайных
чисел)
Нельзя не согласиться с тем, что пригодность случайных чисел определяется, в конечном
счете, не процессом их получения, а тем, «удовлетворяют ли они некоторым тестам». Иногда
случайные числа можно получать по какой-нибудь формуле. Слово «программный»
употребляется здесь как реализация через программу на ЭВМ.
Такая точка зрения приводит к тому, что мы отказываемся от их «случайности». Хотя в
некотором смысле такого объекта, как «случайное число» - нет (мы говорим о
последовательности «независимых случайных чисел» с определенным законом
распределения).
«Грубо говоря» - каждое число может быть получено самым произвольным образом, без
всякой связи с другими членами последовательности, и у него есть определенная
вероятность оказаться в любом заданном интервале.

Определение: числа ?1 , ? 2 ,..., ? n , которые вычисляются по какой-либо заданной формуле и
могут быть использованы вместо случайных чисел при решении некоторых задач,
называются псевдослучайными числами.

В 1946 г. Джон фон Нейман предложил метод «середины» квадрата. Пусть мы
2
вырабатываем десятизначные числа. ? n =5772156649. ? n = 33317792380594909201
? n +1
Последовательность таких чисел не случайна, но выглядит как случайная. Метод Джона фон
Неймана оказался «скудным» источником случайных чисел. Последовательности имеют
тенденцию превращаться в короткие циклы, повторяющихся элементов.

Справка. Д. Кнут “Случайные числа нельзя вырабатывать с помощью случайно
выбранного алгоритма”

Задача.
Вы хотите получить случайную 10-ную цифру. Предложите метод.
1) последняя цифра денежного знака;
2) случайная цифра, задуманная приятелем;(7 чаще всего)

2.1.3. Моделирование распределения, равномерного в интервале (0;1)

1. Аддитивный датчик.

U i +1 = ( AU i + A2U i ?1 )(mod 2m )
1

A1 = A2 = 1, m = 2
Датчик Дэвиса. U 1 = ?, U 0 = 0.542101887, ? = 3.14159265
FUNCTION RAVN1(Z)
COMMON /U1U2/ U1,U2
T=U1+U2
U1=U2
IF (T.GE.4) T=T-4

21
U2=T
RAVN1=0.25*T
RETURN
END

2. Мультипликативный датчик.

Метод вычетов самый популярный в такой форме.
U n +1 = U n ?1M (mod 2m ).
U 0 = 1, ? = U 0 2? m = 2? m
M - достаточно большое целое число.
m - число двоичных разрядов в мантиссе ячейки ЭВМ.
M = 52 p +1
? n = {5n (2 p +1) ? ? 0 }, ? 0 = 2? m

2.2. Сравнение трех способов с практической точки зрения
При решении на ЭВМ большинства задач требуется ? 105 ? 107 псевдослучайных чисел.
Если на выработку каждого случайного числа требуется 5 операций, то для получения 107
чисел потребуется 5 ?107 операций. Если число операций в сек. ?500 000, то время будет 100
секунд.
В специализированных пакетах, например GPSS (ОСЦМ) работают одновременно 8
датчиков. Эксплуатационные свойства случайных чисел можно описать следующей
таблицей:

Метод Достоинства Недостатки
Табличный Проверка однократная. Запас чисел ограничен.
Воспроизводить числа можно. Занимает много места в ЗУ.
Нужна внешняя память.
Физический Запас чисел неограничен. Периодическая проверка.
Сверхбыстрое получение. Воспроизводить числа нельзя.
Места в ЗУ не занимает. Требуется специальное устройство

Программный Воспроизводить числа можно. Запас чисел ограничен.
Быстрое получение.
Места в ЗУ не занимает.
Внешние устройства не нужны.
Мы не обсуждаем здесь «качество» псевдослучайных чисел.
Из таблицы видно, что программный метод - самый удобный.
В целом две точки зрения: физический и программный. Некоторые авторы отдают
предпочтение датчикам, аргументируя тем, что числа, вырабатываемые физическим
способом «случайные», а программным способом «псевдослучайные».

2.3. Определение объема имитационных экспериментов
Определение: объем эксперимента - это число реализаций, которое необходимо провести
при имитационном моделировании, чтобы обеспечит требуемую статистическую точность
результата. При определении объема экспериментов обычно учитывается вид показателя
эффективности.
Пример 2.4.

22
Пусть событие A - факт выполнения задачи.
m
P ( A) = В силу предельной теоремы
N
?? m ?
?
P ? ? ? p ? < t? ? ? = ?.
?? N ? ?
t
?
? ?
1 ? ? z2
2? ?
?1
t? = ? ( ) , ? (t? ) = e dz =
2 2
0

? = t? ?
p (1 ? p )
?2 =
N
Из этих формул можно получить соотношение для определения необходимого числа
реализаций при заданной точности оценки ? и доверительной вероятности ?:
2 p (1 ? p )
N = t?
?2
t? (1 ? p )
2 2
t?
Пусть ?=?/p - относительная точность. Тогда N = ?
?p p? 2
2




Таблица
?
P 1-P
0.05 0.02 0.01
0.1 0.9 140 900 3600
0.2 0.8 250 1500 6200
0.3 0.7 350 2100 8400
0.4 0.6 380 2300 9400
0.5 0.5 380 2400 9800
Пример 2.5.
Пусть оценивается некоторый показатель эффективности Е, являющийся функцией
параметров, алгоритма функционирования, структуры системы.
N
? = 1 ? E , где E - значение показателя эффективности в i-м эксперименте
E i
i
N i =1
P (| E ? me |? t? ? ? E / N ) = ? .
t? ? 2
2
N = 2E
?
По-видимому, самый лучший способ - последовательный алгоритм умножения объема
выборки.
2.4. Физические генераторы
• монета - {0;1};
• урна с 10 одинаковыми карточками - {0,1,...,9};
• икосаэдры - правильное тело с 20 треугольными гранями. Японский комитет стандартов;
• призма с правильным 10-угольником в основании. Подбрасывают, придавая
вращательное движение, подхватив ее, считывают число, оказавшееся под большим
пальцем;
• колба с 10 шариками - 9 черных и 1 белый. Хорошо встряхнув, колбу переворачивают
трубкой вниз. Порядковый номер белого - случайное число;
• набор из 4 кубиков. (1-й 0,1,2,3,4,5)
(2-й 0,6,12,18,24,30)

23
(3-й 0,36,72,108,144,180)
(4-й 0,216,432,648,864,1080);
• диск, проградуированный и размеченный;
Идею о составлении таблиц случайных чисел выдвинул английский математик К. Пирсон.
Первые такие таблицы были опубликованы Л. Типпетом. Он использовал данные переписи
населения Англии. В 1936 г. В СССР вышли таблицы случайных чисел, составленные
Кадыровым. Они содержат 50 000 однозначных чисел, также в основе их результаты
переписи населения СССР.

2.5. Программные генераторы
X n +1 = ? ai xn ?i + µ(mod m) - линейные, конгруэнтные схемы.

i =0

• X n +1 = a0 X n (mod m) - мультипликативная схема, частный случай линейной схемы.
• X n +1 = a0 X n + µ(mod m)
• X n +1 = X n + X n ?1 (mod m) - аддитивный генератор; генератор Фибоначчи.
• X n +1 = (an X n2 + a2 X n + a3 ) mod m - квадратичный генератор.

2.6. Статистический анализ качества псевдослучайных величин
Наша основная задача состоит в получении последовательностей, которые похожи на
«случайные». Но мы не можем доверять себе в оценке, случайна или нет последовательность
чисел. Необходимо использовать какие-то непредвзятые механические тесты.
Теория вероятностей и математическая статистика даёт нам некоторые количественные
критерии случайности - статистические тесты. Тестов достаточно большое количество. При
этом, если случайная последовательность ведёт себя удовлетворительно относительно тестов
T1, T2, ..., Tn, мы не можем быть уверены в том, что она выдержит и следующее испытание
Tn+1.
Статистические тесты

Универсальные тесты


Теоретические тесты
Эмпирические тесты
Анализ чисел последовательности, Анализ последовательности с
оценка с помощью стат. критериев помощью методов теории чисел

Рис. 2.2. Пример тестов оценки случайности последовательности

2.7. Универсальные тесты для анализа случайных последовательностей
2.7.1. Критерий согласия ?2
Был предложен Карлом Пирсоном в 1900 г.
Рассмотрим произвольную случайную величину ? (одномерная, многомерная, дискретная,
непрерывная).
Пусть X -множество возможных значений ?. X1, X2, ..., Xr -фиксированное множество
разбиения X.




24
r
X i ? X j = 0, i ? j , ?X =X
i
i =1

P(? ? X i ) = p i > 0, i = 1, r
Очевидно, что p1 + p2 + ... + pr = P ( ? ? X ) = 1.
Пусть n - независимые значения ? ; ?i - количество значений ? ? Xi
?i ? Bi ( pi , n ) M [ ?i ] = n pi D [ ?i ] = n pi ( 1 - pi )
Совокупность величин ( ?i , ?i , ... , ?i ) подчиняется мультиномиальному закону
распределения, при ? 1 + ? 2 + ... + ? 1 = n
?? ?
n! 1p 2 …p r
P (? = ? ,? = ? , … ,? = ? ) = p
1 12 2 r r ? ! ? !… ? ! 1 2 r
12 r
Основная гипотеза: можно ли последовательность чисел x0 , x1 , ... , xn-1 рассматривать в
качестве случайной выборки объёма n из определённой генеральной совокупности. Для
проверки этого используют группы критериев:
• Критерии согласия между эмпирическим и теоретическим распределением;
• Критерии стохастической независимости;
• Критерии случайности;

Критерии согласия



Критерии частот Критерии моментов

Рис. 2.3. Иерархия критериев

Пусть мерой отклонения "истинных" значений ?i от "теоретических" npi является величина
2 2 22 2
r (? i ? npi ) r ? i ? 2npi? i + n pi r ?i r 2 r p )=
1
2=
? = ( ? ( ) ? 2n ? ? + n ?
=?
?
n i i
np np n i =1 p
i =1 i =1 i =1 i =1
i i i
2 2
r ?i r ?i
1 1
= ( ? ( ) ? 2n 2 + n 2 ) = ? ( )?n
n i =1 p ni =1 p
i i
Теорема 2.2 (К. Пирсона).
Каковы бы ни были исходная величина ? и разбиение X = X1 + X2 + Xr при каждом x>0,
x
lim P( ? < x) = ? K r ?1 ( x)dx , где Kr-1(x) - плотность распределения ?2 с (r-1) степенями
2
n
n >?
0

свободы
1
x m / 2 ? 1e ? x / 2
K ( x) =
m
2 m / 2 ? ( m / 2)




25
Пример 6.
K 6 ( x)
0,125




1,0 x
Рис. 2.4. Плотность распределения ? с шестью степенями свободы
2


Эту теорему часто используют в статистике для проверки гипотез о законе распределения
случайной величины.
Пусть ? - зафиксированное достаточно большое значение вероятности (доверительная
вероятность), а (1-?) -уровень значимости.
Выбор ? означает, что мы считаем событие с вероятностью больше или равным
? достоверным, а событие с вероятностью меньше либо равным 1-? невозможным при
единичном испытании.
Пусть теперь имеется конкретная гипотеза о законе распределения случайной величины
?. В результате осуществления n независимых экспериментов, были получены n значений ?1,
?2 , ... , ?n , где n - достаточно велико.
Необходимо проверить: не противоречат ли эти n значений нашей гипотезе?
Если наша гипотеза справедлива, то при достаточно большом n эта величина ?n2 должна
хорошо починяться закону распределения ?2 с (r-1) степенями свободы.
?

?K ( x)dx = 1 ? ? ? ?2 (r-1, 1-?) - решение этого уравнения.
r ?1
? 2 ( r ?1)

?n2 < ?2 (r-1, 1-?) - результат не противоречит нашей гипотезе
?n2 ? ?2 (r-1, 1-?) - гипотеза должна быть отброшена, то есть наступило невозможное
событие.

1
?




?2 (m, 1-?) x
0
Рис. 2.5.

? 0.95 0.99 0.999
0.05 0.01 0.001
1-?
5% 1% 0.1 %
почти значим значим высоко значим




26
2.7.2. Критерий Колмогорова-Смирнова

Критерий ?2 применяется в тех случаях, когда результаты испытаний распадаются на
конечное число r категорий. Однако нередко случайные величины могут принимать
бесконечно много значений. Тогда, используя значения ?1 , ?2 , ... , ?n случайной величины
?, полученные в результате независимых испытаний, можно построить эмпирическую
функцию распределения F(x).
Fn(x) = (число таких ?1, ?2, ..., ?n, которые ? x) / n
F(x) = P (? ? x)

Пример 2.7.

1 1 1




0 1 0 1 0
Рис. 2.6.

Этот критерий был в 1933 г. Предложен А. Н. Колмогоровым.
Мерой отклонения Fn ( x ) от Fn ( x ) является величина:
Dn = sup Fn ( x) ? F ( x) .
? ?< x <?
Модификация Н. В. Смирнова заключается в раздельном вычислении Dn+ , Dn- , то есть
Dn = max ( Dn+ , Dn- ),
Dn = sup (Fn ( x) ? F ( x) ) , каково максимальное отклонение для случая Fn > F
+

?? < x <?

Dn = sup (F ( x) ? Fn ( x) ) , каково максимальное отклонение для случая Fn < F
?
(2.2)
?? < x <?
Формулы (2.1) не годятся для машинных расчетов, так как требуется отыскать максимум
среди бесконечного множества чисел. Однако тот факт, что F(x) неубывающая функция, а
Fn(x) имеет конечное число скачков, позволяет определить статистики Dn+ , Dn- с помощью
следующего алгоритма:
1. Определить выборочные значения ?1 , ?2 , ... , ?n ;
2. ?i располагаются в порядке возрастания ;
3. DN = max( nj ? F (? j )) ; DN = max( F (? j ) ? jn 1 ) ;
?
+ ?
1? j ? n 1? j ? n


Теорема 2.3.
Какова бы ни была случайная величина ? с непрерывной функцией распределения F(x),
?
при каждом x>0, lim P{ n ? Dn < x} = K ( x) , где K ( x) = 1 + 2? (?1) i e
? 2i 2 x 2

n >?
i =1

2.7.3. Критерий ?2, Р. Мизеса
Используется для проверки гипотезы о функции распределения случайной одномерной
непрерывной величины ?.
Пусть Fn(x) - частота события (?<x) при n испытаниях, поэтому Fn(x) сходится по
вероятности к F(x). Мерой отклонения Fn(x) от F(x) является величина
?
? = n ? [ Fn ( x) ? F ( x)]2 dF ( x)
2
n
??


27
Теорема 2.4 (Р. Мизес, Н. В. Смирнов).
Какова бы ни была случайная величина ? с непрерывной функцией распределения F(x),
2
при каждом x>0, lim P{? n < x} = a ( x) ,где функция a(x) от ? не зависит.
n>?

Схема использования ?2 -критерия такая же, как и ?2 .
Чтобы вычислить ?2 , нужно расположить значения ?1 , ?2 ,..., ?n в порядке возрастания.
?(1) ? ?(2) ? ... ? ?(n) - вариационный ряд.
Fn(x) = K/n , ?(K) ? x ? ?(K+1) , K = 0, 1, ..., n , ?(0) = -? , ?(n+1) = ? ;

n ?(K ) ?
2 ?? 2 2
?n K? K?
= ? ? F ( x) ? ? dF ( x) = ? ? ? F ( x) ? ? dF ( x) =
n n? n?
??? ?
K = 0?
(K )
?
n ?(K ) ? 2
2
n ? F 3 ( x) 2 K F 2 ( x) K 2 F ( x) ? ( K +1)
K K2 ?
= ? ? ? F ( x) ? 2 F ( x) + ? dF ( x) = ? ? ? ? + =
?
n n2 ? 2
3 n 2
? K =0 ? ??
n
K = 0?
(K ) ? ? ? ?
(K )
n ?1 3 ?
( ) ( ) K2
K2
FK +1 ? FK + 2 (FK +1 ? FK )? =
= ? ? FK +1 ? FK ? 3 2

n n
K =0 ? 3 ?
n ?? F 3 ? FK2 2 K ? 1 ?
KFK2+1 K 2 FK +1 ? ? FK ( K ? 1) 2 ( K ? 1) 2
3
= ? ?? ? + ? ? FK + FK ? + ? FK ? =
K +1
n2 ? ? 3 n2 n2
n n n
K =0 ? 3 ?? ?
? ?
n ?F3 KFK2+1 K 2 FK +1 ? n ? FK ( K ? 1) 2 ( K ? 1) 2 ?
3
=?? ? + ??? ? FK + FK ? +
K +1
n 2 ? K =0 ? 3 n2
K =0 ? 3 n n
? ?
n ?1 2 1 ? K ? 1 2 ? 2 1 ? K ? 1 2 ? 2 ? ? n FK +1 n FK ?

стр. 1
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>