<<

стр. 2
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

K ?1 2 3 3
? ?
+ ? ? FK ? 2 ? ? =??
FK + ? ??? ?? ??
2
K =0 ? n n ? n ? ? ? K =0 3
n n? n ? K =0 3 ?
?? ?
?
? n KFK2+1 n ( K ? 1) FK2 ? ? n K 2 FK +1 n ( K ? 1) 2 FK ?
? ?? ?
??? ?? ?+?? ?? ?+
2
2
? K =0 n n ? ? K =0 n ?
K =0 K =0
? ?? ?
n
1n? 2 ? K ?1 2 ? ? K ?1 2 ? ? 1 3
2 2
? nFn2+1 F02 ?
K ?1 2
( )
? ? = Fn+1 ? F0 ? ? ? n + n ?+
+ ? ? FK ? 2 FK + ? ? ??
3
?
n K =0 ? n ? n ? ? n ?? 3 ? ?
? ?
? n 2 Fn+1 F0 ? 1 n ? 1n
2
K ?1 2?
+? + 2 ? + ? ? FK ? ? 3 ? ( K ? 1 2) 2 = так как F0 = 0 и Fn+1 = 1 =
?n n ? n K =0 ? n?
2
n K =0
?
? ?
1 ?n 2 n n 1? 1 1 n ?
1n?
2 2
K ?1 2? K ?1 2?
1
= ? 1 + 1 + ? ? FK ? ? 3 ? ? K ? ? K + ? ? = + ? ? F1 ? +
n? n?
3 n K =0 ? n ? K =0 K =0 4 ? 3 n K =1?
? ?
K =0
? ?
1 n 2 n(n + 1) n + 1
2
1? 1?
+ ? F0 + ? ? ?K + ? =…
2n ? n 3 K =0 2n 3 4n 3
n?


2
K ?1 2 ?
?
N
1
+ ? ? F (? ( K ) ) ?
?=
2
. (3)
n?
n
12n K =1 ? ?



28
Замечание. Можно выделить следующие достоинства и недостатки универсальных тестов:
1. ?2 -критерий в целом для кусочно-постоянных распределений.
2. Критерий Колмогорова-Смирнова применяется к распределениям, не имеющим скачков.
3. Эффективно критерии ?2 , Колмогорова-Смирнова сочетать в паре.
4. В критериях ?2 , Колмогорова-Смирнова не нужна группировка значений.
5. При больших n трудно использовать критерий ?2 в силу ограниченности памяти ЭВМ.

2.7.4. Критерий согласия Реньи
Рассмотренные критерии согласия Колмогорова и Смирнова устанавливают приемлемость
выбранной теоретической модели распределения по максимуму расхождений эмпирического
и теоретического распределений, не принимая во внимание их собственных значений в точке
расхождения. Для любой выбранной теоретической модели распределения максимум
расхождения будет вблизи значений случайной переменной, где F(x) близка к 1/2 , так как в
этой области дисперсия расхождений достигает самых больших значений.
Чтобы критерии по максимуму расхождений характеризовали и крайние области размаха
распределения случайной переменной, расхождения умножаются на весовую функцию 1/F(x)
i ? F (x )
F ( x) ? F ( x)
R + (a,1) = sup
i
n = max n
n F ( x) a ? F ( xi) F ( xi )
a ? F ( x)
F (x ) ? i ? 1
F ( x) ? F ( x)
R ? (a,1) = ? sup
i
n n
= max
n F ( x) F (x )
a ? F ( xi)
a ? F ( x) i
F ( x) ? F ( x)
= max[ R + (a,1), R ? (a,1)].
n
R (a,1) = sup
n n n
F ( x)
a ? F ( x)
По доказательству А. Реньи:
? ? (2 K + 1) 2 ? 2 1 ? a ?
?? exp ?? ?
?
? F ( x) ? F ( x) 2?
? ? 8
?
lim ? P n sup < y ? = ? 4 ? (?1) K
n ay ?
? ,y>0=
? ?
F ( x)
n > ?? ? ?? K = 0 2K ? 1
a ? F ( x)
? ??
?0, y ? 0
?? a?
? L? y 1 ? a ?
=? ? ?
?0
?
? ??? a?
F ( x) ? F ( x)
? = ?2?? y 1 ? a ? ? 1, y > 0
? n sup n <y
??? ?
lim P
? F ( x)
n>?
? ?0, y ? 0
? a ? F ( x) ??
?
2.8. Эмпирические тесты
Замечание. Под тестом мы понимаем эксперименты, которые проводятся с целью проверки
гипотезы о том, что имитируемая последовательность псевдослучайных чисел представляет
собой повторную выборку из генерируемой совокупности с Rav(0;1).
Каждый тест применяется к последовательности случайных чисел
{?i}, ?i?Rav(0;1), где i=1,n (2.4)
Некоторые тесты предназначены для проверки целочисленных последовательностей {?i},
?i=?iM, где i=1,n , а M-любое ( например M=26=64)

29
Чтобы тест был представительным, значение М должно быть максимально однако при
выборе М нужно учитывать возможные затруднения при реализации теста на машине.

2.8.1. Проверка равномерности (проверка частот)
Можно проверять двумя способами:
1. F(x)=x, x?[0;1] - критерий Колмогорова–Смирнова.
2. Проверяется частота различных цифр в таблице. Выбрать М = 100 или М = 128 и так
далее. Для каждого целого j, 0?j<M , подсчитать число значений ?i=j при 0?i<n и
применить критерий ?2 с r=M и p=1/M.

2.8.2. Проверка серий (проверка пар)
Проверяется равномерность и независимость пар следующих друг за другом случайных
чисел. Подсчитывая, сколько раз встречается пара
(?2i, ?2i+1) = (q , g) , 0 ? i < n , q, g ?0,M
(?0, ?1) , (?2, ?3) , (?4, ?5) и так далее.
Затем применяется критерий ?2 с r=М2 и равными вероятностями 1/M2 во всех
категориях
Этот тест можно обобщить на тройки, четверки и так далее, однако значение М должно
быть резко уменьшено так, чтобы число категорий не получалось слишком большим.
Можно построить такую схему проверки серий в последовательности цифр ?1,?2,?3, ... ,?n где
nL- количество серий длины L в последовательности цифр L=1,2,...,m , n’m+1 - количество
серий с L? m+1, n = n1 + n2 +... +nm +n’m+1, n - общее число серий
( )
m? '2?
? (n L ? np L )2 nm +1 '? npm +1 ? ?L
?2 = ? ? ?m
? ,m - степеней свободы, где p L = 9 ?10 , p 'm +1 = 10
+
npm + n '
np L
L =1? ?
? ?
2.8.3. Проверка интервалов
В этом тесте проверяется длина интервалов между появлениями значений ?i,
принадлежащих некоторому заданному отрезку.
Пусть ?, ? - действительные числа , 0 ? ? < ? ? 1 . Тогда подсчитывают длины
последовательностей ?i,?i+1,...,?i+r , в которых только ui+r лежит между ? и ?.
Последовательность из r+1 чисел определяет интервал длины r.
Д. Кнут приводит алгоритм определения числа интервалов длины 0,1, ...,t-1. При этом
p0=p, p1=p(1-p), p2=p(1-p)2,...,pt=p(1-p)t Обработка осуществляется по критерию ?2.

2.8.4. Покер-тест (проверка комбинаций)
В классическом покер тесте рассматриваются n групп из 5 следующих друг за другом целых
чисел.
Выделяют следующие семь типов комбинаций:
1. abcde (все разные) 5
2. aabcd (одна пара) 2
? – aabbc (две пары) 2+2
?
3.
(три одного вида) 3
? – aaabc
? + aaabb Фулль
?
4.
Каре
? + aaaab
5. aaaaa Покер


30
С помощью критерия ?2 проверяется, соответствует ли частоты комбинаций
вероятностям.
5 разных = все разные
4 разных = одна пара
3 разные = две пары, или три одного вида
2 разные = полный сбор или четыре одного вида
нет разных = пять одного вида

2.8.5. Проверка перестановок
Разделим исходную последовательность на n групп по t элементов в каждой
В каждой группе, возможно, всего t! вариантов относительного расположения чисел.
Подсчитывая, сколько раз встречается каждое конкретное относительное расположение,
после чего применяется ?2 – критерий с r=t! и вероятностями 1/t!

2.8.6. Проверка на монотонность
Этот тест выявляет «не убывание» и «не возрастание», то есть анализируются длины
монотонных последовательностей чисел в исходной последовательности.
В данном случае не следует применять критерий ?2 для анализа полученных данных, так
как они не являются независимыми.
Пример 2.8.
?129?8?5?367?04? ?i > ?i+1
В этом примере выделены все неубывающие последовательности.

2.8.7. Тест “наибольшее из t”
Пусть ?i*=max(?ti,?ti+1 ,... ,?ti+t-1) ,0?i<n
?0,?1, ... ,?t-1 .
Применим критерий Колмогорова-Смирнова к последовательности
принимая в качестве функции распределения F(x)=xt ,0 ? x ? 1
P(max(?1, ?2, .. ,?t) ? x) = xt
Это справедливо, так как

2.8.8. Последовательная корреляция
Тест основан на вычислении коэффициента последовательности корреляций, который
служит мерой зависимости ?i+1 от ?i , ??[-1;1]. ??0.
В действительности из-за того, что ?0 ?1 и ?1 ?2 ({?i}- псевдослучайные) не являются
независимыми ? не должно в точности быть равным 0. Хорошее ??[µn-2?n, µn+2?n] ,где
n(n ? 3)
1 1
µn = , ?n = , n>2
n ?1 n ?1 n +1
Точное распределение ? для ?i?Rav(0,1) неизвестно.
n(? 1? 2 + ... + ? n ?1? n ) ? (? 1 + ... + ? n ) 2
?=
n(? 21 + ... + ? 2 n ) ? (? 1 + ... + ? n ) 2

2.8.. Проверка подпоследовательностей
Здесь проверке подвергается не исходная последовательность. А каждая её
подпоследовательность.
x1 > x2 > x3 ? генерируемая последовательность
?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7 ?8 ?9 ?10...
1) ?1,?4,?7,?10,... 2) ?2,?5,?8,... 3) ?3,?6,?9,...


31
Замечание.
1. Первые четыре теста применительно к проверке таблицы случайных цифр были
предложены Кенделом М.Г. и Смитом Б.В.
2. Положительный результат любого теста означает только, что этот результат не
противоречит гипотезе о случайности цифр, но может быть какой-нибудь другой тест,
эту гипотезу опровергнет.
3. Из всех рассмотренных здесь тестов проверка частот и проверка последовательной
корреляции самые слабые. При испытаниях на них почти все датчики случайных чисел
дают удовлетворительные результаты.
4. Успешное решение нужной задачи – самая лучшая проверка случайных чисел.
5. Многие тесты проверки качества случайных чисел оперируют с гиперкубом и сферой.

2.9. Теоретические тесты
Гораздо лучше иметь «априорные» тесты, то есть теоретические результаты, которые
позволяют сказать заранее, каким будет исход испытаний датчика.

Замечание. теоретические тесты это «по сути дела» теория линейного конгруэнтного
метода, а также оптимальный выбор a, m, c.

2.9.1. Проверка перестановок
Суть в том, что если датчик обладает высокой мощностью, то примерно в половине
случаев будет xn+1<xn

Теорема 2.5.
Пусть x0,a,b и m определяют линейную конгруэнтную последовательность.
Xn+1=(axn+b)mod m с максимальным периодом. И пусть c=a-1, d=D(m,c), тогда
P(xn+1<xn)=1/2+r, где r=(2(b mod d)-d)/2m Следовательно ?r?<d/2m

2.9.2. Последовательная корреляция

Теорема 2.6.
Для линейной конгруэнтной схемы с максимальным периодом
? (a, m, b) 1 a+6
b b
?? ? (1 ? 6 + 6( ) 2 ) с ошибкой, меньшей чем
m a m m m
? (a, m, b) = 12 ? Ci ? C am+ c - обобщенная сумма Дедекинда.
m m

0?i < m




32
2.10. Задания для самопроверки
Разработать программу, реализующую указанную схему моделирования равномерно
распределённых псевдослучайных чисел на отрезке [0, 1]. Получить последовательность
псевдослучайных величин. Провести статистические анализ качества этой
последовательности.
1. Мультипликативный генератор Лемера: xn +1 = ? 0 xn (mod m) ;
2. смешанный генератор: xn+1 = ? 0 xm + µ(mod m) ;
3. генератор Дэвиса: xn+1 = ? 0 xn + ?1 xn?1 (mod m) , ?0 = 3.14159265, ?1 = 0.54210189, m = 22;
4. аддитивный генератор: xn+1 = xn + xn?1 (mod m) ;
j
5. линейный конгруэнтный генератор: xn+1 = ? ? i xn?i + µ(mod m) ;
i =0

6. генератор Ковью: xn+1 = x + xn (mod m) ;
2
n

7. квадратичный генератор: xn+1 = ? 0 xn + ?1 xn + ? 2 (mod m) .
2




2.11. Контрольные вопросы и упражнения
1. Выбор начальных параметров для линейной конгруэнтной схемы.
2. Тест проверки на апериодичность.
3. Статистические критерии согласия Колмогорова-Смирнова.
4. Проверка частот, проверка серий.
5. Тест наибольшее из «t», покер-тест.




33
Глава 3

Моделирование случайных дискретных величин
Содержание:
3.1. Стандартный алгоритм моделирования......................................................................... 34
3.2. Нестандартные алгоритмы моделирования случайных дискретных величин........... 35
3.3. Задания для самопроверки............................................................................................... 38
3.4. Контрольные вопросы и упражнения............................................................................. 38

3.1. Стандартный алгоритм моделирования

Общий метод моделирования случайной дискретной величины ? основан на очевидном
соотношении:
? x1 x2 xn ?
? ?
p1 p2 pn ?
?
k

?p
p1 p1+p2 m?1 m
i

P ( ? Рk ? ? ? ? Рk )= Рm ,
i =1
(3.1)
k =0 k =0


где Рm = Р ( ?=x m ) , m=0,1,....,
Стандартный алгоритм определения m для заданного значения ? реализуется по
следующей схеме:

М=?, i=0


M<0
М = M - Pi ? = xi
M?0
i=i+1
Рис. 3.1. Схема стандартного алгоритма

Наиболее важными случайными дискретными величинами являются целочисленные с
распределением Рк= Р(?=k), k=0,1, ..., и связанные простыми рекуррентными формулами
Рк+1= Рк?r(k). Для таких случайных величин значения Рк и xk можно не хранить в памяти
ЭВМ, а моделирование осуществлять по схеме:
М=?, Р=Р0 , i=0



?=i
M<0
М=M-P

M?0
p=p*r(i), i=i+1
Рис. 3.2. Схема моделирования случайных дискретных величин

34
Пример 3.1.
а) Моделирование случайных величин, распределенных по закону Bi(n,p), где Pк =
P(?=k) = C n p k (1 ? p ) n ?k . Для этого распределения:
k


k! ( n ? k )! p n?k
P n! p
r ( k ) = k +1 = ? ? = ? , k=0,1,...,n
( k + 1)! ( n ? k ? 1)! 1? p k +1 1? p
Pk n!
б) Моделирование случайных величин, распределенных по закону Пуассона с
?k ?
e ?? . Тогда r ( k ) =
параметром ?. Для таких случайных величин: Pk = , k=0,1,2.....
k +1
k!
C n1 C n?k 1
k l
?n
в) Моделирование гипергеометрического распределения: Pk = , где
l
Cn
( n1 ? k )(l ? k )
pk +1
max(0; n1+l-n) ? k ? min(n1,l), здесь r ( k ) =
=
( k1 + 1)( n ? n1 ? l + 1 + k )
pk
г) Моделирование случайных величин с геометрическим распределением: Pk=p(1-p)k,
тогда r(k)= 1-p, k=0,1,...

Определение: эффективность стандартного алгоритма обратно пропорциональна величине
?
? k?pk. Т. о. среднее число арифметических операций для моделирования ?
S=1+
k=0

пропорционально S. А для случайной целочисленной величины S=1+M?.

3.2. Нестандартные алгоритмы моделирования случайных дискретных
величин
Для ряда распределений, например для Р0(а), Bi(n,p), величину S можно уменьшить,
m
m?1

? pk),
изменив порядок проб для определения интервала ( ? pk , в который попадает
k=0
k =0

значение ?. Далее рассмотрен и исследован алгоритм такого типа для распределения
Пуассона.
Пусть параметр распределения Пуассона ?>1 и [?]=l. Рассмотрим случайную величину
?, распределенную по закону Пуассона с параметром ?. Известно, что pl - максимальна, при
k<l вероятности pk возрастают с ростом k, а при k?l - pk убывают с ростом k. Тогда
l
рассматривается следующая процедура моделирования ?: если ??Q= ? pk , то пробы для
k =0

определения m в соотношении (3.1) производятся по возрастанию k, начиная с l+1; в
противном случае пробы производятся по убыванию k, начиная с l.
P=pl , m=l , M=?-Q
M<0 M?0
M?0

M<0 M>0



M?0
?=m
Рис. 3.3. Схема моделирования случайной величины ?, распределенной по закону Пуассона
с параметром ?

35
?a ? l , ? > l
Таким образом, число проб: S(?)=1+|a-?|+?(?), где ? (? ) = ?
?1 ? ( a ? l ), ? ? l

При больших ? распределение Пуассона можно считать симметричным относительно
?|? ? a |?
значения ?=l, а M? (? ) ? 1 . Поэтому: S = MS(?) ? M|?-a|+1.5= a M ? ? +1.5.
? ?
2 ? a?
? ?a
при увеличении ? стремиться к
Известно, что распределение случайной величины
a
2a
нормальному N(0;1). Отсюда для больших значений ? имеем: S? + 1.5
?
Для некоторых дискретных распределений существуют моделирующие формулы, не
требующие выполнения проб.
1
а) Очевидно, что ?=?(n+1) "равномерно дискретно" распределена с pк=Р(?=к)= ,
n +1
k=0,1,..
ln ?
б) Величина ?= - геометрически распределена с рк=Р(?=к)=p(1-p)k , k=0,1,...
ln(1 ? p )
Действительно:
Р(?=к) = Р{k ? ln?/ln(1-p) < (k+1)}=P{-k?ln(1-p) ? -ln? < -(k+1) ?ln(1-p)}=
=P{(1-p)k+1 ? ? < (1-p)k}=(1-p)k-(1-p)k+1 =p(1-p)k, т.к. ??Rav[0,1]
в) Рассмотрим эффективный метод моделирования Bi(n,p), предложенный А. А.
Сидоровым. Представим случайную величину ? = ?(1)?2-1+ ?(2) ?2-2+...+ ?(к) ?2-к+..., где ?(к)
случайное значение k-го двоичного разряда, т.е. 0 или 1.

Утверждение. Если ??Rav(0,1) , то ?n?1 случайные величины ?(1),..., ?(n) представляют
собой последовательность n независимых испытаний Бернулли с параметром р=1/2.

Доказательство.
Случайная величина ? с равными вероятностями попадает в любой из интервалов
[k?2-n;(k+1) ?2-n], k=0,1,..., 2n-1. Следовательно, все комбинации разрядов ?(1),..., ?(n)
равновероятны. Именно таким является закон распределения вероятностей на множестве
исходов n независимых испытаний Бернулли с р=1/2. g

Пусть ?p,n- случайная биномиальная величина, она равна числу «успехов» в n независимых
n
испытаниях Бернулли с параметром р. В силу доказанного утверждения: ?1 / 2,n = ?? ( ђ ) .
k =1

Последнее соотношение позволяет легко моделировать ?p,n на ЭВМ. Используем при
моделировании логические операции ? ?, которые реализуются следующим образом:

?1, при ? i(k) = ? (k) = 1
? j
?? =?
(k) (k)
? i j
? 0, иначе
?
?1, при ? i(k) = ? (k) = 0
? j
?? =?
(k) (k)
? i j
? 0, иначе
?




36
Пусть P = p(1)2-1+?p(2)2-2+...+ p(m)2-m представима в виде конечной дроби. Обозначим через
? ?, x = 0
?[x] логический оператор ?[x]= ? , а через ?1,..., ?n последовательность независимых
?, x = 1
?
случайных величин, равномерно распределенных в интервале (0,1).

Теорема 3.1.
Случайная величина: ?m = ?1 ?[p (1) ]?2 ?[p (2) ]...?m ?[p (m) ] , где операции выполняются
(k) (k) (k) (k)


?1 с вероятностью p
слева направо: ? mk ) = ?
(

?0 с вероятностью 1 ? p

Доказательство.
По методу математической индукции. Для m=1 теорема очевидна. Для m=2 нужно
рассмотреть варианты:
1) p(1)= p(2)=1 (p=0.75)
2) p(1)=0, p(2)=1 (p=0.25)
В первом варианте имеем: ?2 = ?1 ? ?2 ? 0 = ?1 ? ? 2 , и
(k) (k) (k) (k) (k)


1
P(?2 = 1) = 1 ? p(?2 = 0) = 1 ? ( )2 = 0.75
(k) (k)

2
Во втором варианте: ? 2 = ? 1 ? ? 2 ? 0 = ? 1 ? ? 2 , и P(? 2 = 1) = 0.25
(k) (k) (k) (k) (k) (k)


Предположим теперь, что теорема верна и для некоторого m, и докажем ее для m+1.
Случайную величину ?m +1 можно представить следующим образом ? m + 1 = ? 1 ?[p (1) ]? m , где
(k) (k) (k) (k)


по предположению: P(? m = 1) = p (2) 2 ?1 + p (3) 2 ?2 + ... + p (m + 1) 2 ? m .
(k)


1
и P(?m+1 = 1) = P(?1 = ?m = 1) = P(?m = 1) =
Если p m = 0 ,то ? =? ?? (k) (k) (k) (k)
(1) (k) (k) (k)
m +1 1 m
2
= 0 ? 2 ?1 + p (2) 2 ?2 + ... + p (m + 1) 2 ? (m + 1) = p

Если же p m = 1 , то ? m + 1 = ? 1 ? ? m , и
(k) (k) (k)
(1)


P( ? m + 1 = 1) = P( ? 1 = 1) + P( ? 1 = 0) ? P(? m = 1) = 2 ?1 + 2 ?1 P(? m = 1) = p .
(k) (k) (k) (k) (k)


Здесь использован следующий очевидный вариант теоремы сложения вероятностей
Р(А+В)=Р(А)+Р( A B ). Терема доказана. g

Т.о. вытекающий из теоремы алгоритм моделирования, позволяет вычислять ?p,n по
n
формуле: ? p ,n = ?? mk ) . Случайные величины { ?m } независимы вследствие независимости
( (k)

k =1

величин { ? (k ) }.
г) Далее покажем, что случайная величина N, определяемая соотношением:
? ?
n
N = min ?n | ? ? k < e ?? ? распределена по закону Пуассона с параметром ?.
? k =0 ?
n
? n = ??k
Случайная величина распределена с плотностью
Утверждение.
k =0

( ? ln x ) n
f n ( x) = 0<x?1
n!




37
Доказательство.
Проведём доказательство по индукции. Для n=0 утверждение очевидно. Предположим,
что оно верно для n=m. Тогда Fm+1(x)=P(?m+1<x)=P(??m<x)=
x 1
1 x
( ? ( ?lny) dy + ? ( ?lny)m dy) . Отсюда:
m

m! 0 y
x

1? ? ( ? ln x ) m +1
1
( ? ln x ) m
?( ? ln x ) + ?
?
f m+1 ( x ) = Fm+1 ( x ) = dy ? ( ? ln x ) ? =
m m
g
( m + 1)!
m! ? y ?
x



Очевидно, что: (N=m)=( ??m-1<e-?)? (?m-1>e-?). Поэтому
1
1
? ( ? ln y ) P(? m?1? < e ? ? m?1 > e | ? m?1 = y )dy =
?? ??
m ?1
P( N = M ) =
( m ? 1)! 0
? e ?? e ?? ?m ??
1
( ? ln y ) m ?1 m1
*?
= dy = ? ( ? ln y ) ? ? = *e
( m ? 1)! ?e ? ? y m! m!
e

Вытекающий отсюда метод моделирования распределения Пуассона весьма удобен для
реализации на ЭВМ.

3.3. Задания для самопроверки
Разработать программу, позволяющую моделировать последовательность
псевдослучайных чисел, принадлежащих указанному распределению. Получить
последовательность псевдослучайных величин. Провести статистические анализ качества
этой последовательности.
1. биномиальное распределение: Pi = P{? = i} = Cn p i (1 ? p) n?i , i = 0,1,…,n;
i


Cki C N?ik
n
2. гипергеометрическое: Pi = P{? = i} = ?
, i = 0, 1,…,n; i ? k, n-i ? N-k;
n
CN
3. геометрическое: Pi = P{? = i} = p(1 ? p ) i ?1 , i = 1, 2,…;
?i ??
4. распределение Пуассона: P{? = i} = e , i = 0, 1,…;
i!
1
5. P{? = i} = , i = 1, 2, …, n;
n
1
6. P{? = i} = i , i = 1, 2, …;
2
3.4. Контрольные вопросы и упражнения
1. Стандартные алгоритмы моделирования дискретных и целочисленных случайных
величин. Трудоёмкость алгоритмов.
2. Специальный алгоритм моделирования распределения Пуассона.
3. Специальный алгоритм моделирования биномиального распределения.
4. Пусть ? - равномерно распределённая на интервале [0, 1] случайная величина.
Показать, что ? = [? (n + 1)] – имеет равномерное дискретное распределения с
вероятностью Pi = 1/(n + 1).
5. Показать, что ? = [ln ? / ln (1– p)], 0 < p < 1 – имеет геометрическое распределение.
? ?
n
6. Показать, что ? = min ?n : ? ? i < e ?? ? - распределена по закону Пуассона с
? i =0 ?
параметром ?.

38
Глава 4
Моделирование случайных непрерывных величин
Содержание:
4.1. Стандартный метод моделирования – метод обратной функции................................ 39
4.2. Преобразование вида ?=g(?)........................................................................................... 41
4.3. Преобразование вида ?=g(?1, ?2).................................................................................... 42
4.4. Метод суперпозиции........................................................................................................ 44
4.5. Метод порядковых статистик.......................................................................................... 46
4.6. Полином Бернштейна....................................................................................................... 47
4.7. Метод исключения........................................................................................................... 49

4.1. Стандартный метод моделирования – метод обратной функции
Определение: Стандартный метод моделирования случайной непрерывной величины
(метод обратной функции) - преобразование вида ? = ? (? ) , где ? ( y ) - строго непрерывная и
монотонная на (0,1) функция; для ? задана плотность распределения f? (x), a? x? b (границы a
и b могут быть и бесконечными).

Предположим, что ? (x ) монотонно возрастает, и найдем функцию распределения для
? = ? (? ) :
x
F? ( x ) = ? f? (t )dt = P (? (? ) < x ) = P (? < ? ?1 ( x )) = ? ?1 ( x ) ,
a

отсюда: ? (? ) = F??1 (? ) . С другой стороны: P(F ?1 ( ? ) < x ) = P(? < F(x)) = F(x) .
Следовательно, в предположении монотонного возрастания ? (x ) мы получаем
единственную моделирующую формулу: ? = F ?1 (? ) , которая представляет собой
стандартный метод моделирования случайной непрерывной величины.
Предположим теперь, что ? (x ) монотонно убывает, найдем функцию распределения
? = ? (? ) в этом случае:
F? ( x ) = P{ (? ) < x} = P{ > ? ?1 ( x )}= 1 ? ? ?1 ( x ) и ? (? ) = F??1 (1 ? ? ) .
? ?
С другой стороны:
P(F ?1( 1 ? ?) < x) = P( 1 ? ? < F(x)) = P(? > 1 ? F(x)) = F(x) .
Таким образом, в случае монотонного убывания ? (x ) имеется так же единственная
моделирующая формула: ? = F ?1 (1 ? ? ) , которая, по существу, эквивалентна, полученной
ранее, т.к. случайные величины ? и 1-? одинаково распределены. Иногда замена ? на 1-?
упрощает формулу расчета.

Пример 4.1.
Пусть моделируемая случайная величина распределена с плотностью f(x) = ?e ? ?(x ?a) , где
x
a < x < ? . Найдем ее функцию распределения: F ( x ) = ? ?e ?? ( t ?a ) dt = 1 ? e ?? ( x ?a ) , тогда:
a

? = 1 ? e ? ? (? ?a ) , e ? ? (? ?a ) = 1 ? ? , ? ?(? ? a) = ln ( 1 ? ?) , отсюда получим моделирующую




39
1
функцию для ?: ? = a ? ln ( 1 ? ?) . Т.к. случайные величины ? и 1-? одинаково
?
1
распределены, получаем: ? = a ? ln ? .
?

Стандартный метод моделирования редко используется на практике, т.к. для многих
распределений даже F(x) (тем более F ?1 ( x ) ) не выражается через элементарные формулы, а
табулирование функции F ?1 (? ) усложняет решение задачи.
Если функция ? (x ) не является монотонной, то для плотности распределения случайной
величины ? = ? (? ) не существует универсального выражения. Т.о. задача о выборе формулы
усложняется, если допустить немонотонность ? (x ) . Практически можно ограничиться
функциями ? (x ) , которые монотонны и дифференцируемы в каждом из интервалов счетного
разбиения отрезка [0;1]. Строить моделирующие формулы можно на основе следующего
утверждения:
?
?
f(x) = ? f k (x) , где f k (x) ? 0 . Обозначим ? f (x)dx
pk =
Утверждение. Пусть ,
k
k =1 ??
x k
(t )dt , a0 = 0 , a k = ? pi , k = 1,2 ,… Случайная величина ? = ? k1 (? ? a k ?1 ) , при
?f
?
? k ( x) = k
i =1
??

a k ?1 ? ? < a k имеет плотность распределения f(x) .

Доказательство.
? ( x)
является функцией распределения. Поэтому при условии a k ?1 ? ? < a k
Функция k
pk
? ? ? a k ?1 ? f (x)
случайная величина Fk?1 ? ? имеет условное распределение с плотностью k , т.к.
?p ? pk
? ?
k

? ? ? a k ?1 ?
при a k ?1 ? ? < a k случайная величина ? ? распределена равномерно в [0;1]. Нетрудно
?p ?
? ?
k

? ? ? a k ?1 ?
заметить, что Fk?1 ? ?
? = ? k1 (? ? a k ?1 ) = ? . Таким образом, имеет место следующая
?p ?
? ?
k

f k (x)
"рандомизация": с вероятностью pk условная плотность ? равна . Отсюда
pk
?
f k ( x) ?
f ? ( x ) = ? pk = ? f k ( x) = f ( x) . g
pk
k =1 k =1



Пример 4.2.
Закон Рэлея молекулярного рассеивания фотонов в атмосфере определяется плотностью
f ( x ) = C (1 + x 2 ) , ? 1 ? x ? 1 . Из условия равенства единице интеграла от плотности
распределения по области допустимых значений найдем константу С.
?1 x3 ?
1
1 1
? = C ? 2 + 1 ? ? ? 1 ? ? = C ? 2 + 2 ? = C 8 = 1 ? С=3/8
f ( x )dx = ? C (1 + x )dx = C ? x ?1 +
?1 ? ??
2
? ? ?
? ?
3 ?1 3 ? 3 ?? 3? 3
?
?
? ?
? ?1




40
3
Т.о. конечный вид плотности распределения: f ( x ) = (1 + x 2 ) . Здесь естественно
8
?
3 32
и f 2 ( x ) = x . Отсюда можно вычислить pk = ? f k (x)dx и
положить: f1 ( x ) =
8 8 ??
1
1 1
1
x
3 x3
3 3 3 3 32 32 1
? k ( x ) = ? f k (t )dt : p1 = ? dx = x = (1 ? ( ?1)) = , p2 = ? x dx = = ?=,
8 8 ?1 8 4 8 83 83 4
?? ?1 ?1 ?1
x
x
x x
3 t3
3 3 3 3 32 1
?1 = ? dt = t = ( x ? ( ?1)) = ( x + 1) , ? 2 = ? t dt = = ? ( x 3 + 1) .
8 8 ?1 8 8 8 83 8
?1 ?1 ?1

Вычислим значения границ интервалов: a0 ? ? < a1 , a1 ? ? < a 2 :
3 31
a0 = 0 , a1 = p1 = , a 2 = p1 + p2 = + = 1
4 44
Вычислим значения моделирующих функций на этих двух интервалах.
3
1) 0 ? ? <
4
3 8
? = ?1?1 (? ? 0) , ? = ?1 (? ) = (? + 1) , ? = ? ? 1
8 3
3
2) ? ? < 1
4
3 3 1
? = ? 2?1 (? ? ) , ? ? = ? 2 (? ) = (? 3 + 1) , ? = (8? ? 7)1 3
4 4 8
?8 3
? ? 1, ? <
?3
? 4
Ответ: ? = ?
?(8? ? 7)1 3 , ? ? 3
?
? 4
А если решать эту задачу стандартным методом, то решение будет иметь вид:
?
?
x3
?
? = ? C (1 + x )dx = C x ?1 + C
2

3
?1 ?1
C3C
? = C? + C + ?+
3 3
3?
= 3? + 3 + ? 3 + 1
C
? 3 + 3? + 4 ? 8? = 0

4.2. Преобразование вида ?=g(?)

Пример 4.3.
Рассмотрим преобразования вида ? = g (? ) , где g (? ) имеет распределение F (x ) , т.е.
?0, z ? 0
P{g (? ) < x} = F ( x ) . Путь e( z ) = ? - единичная функция Хевисайда.
?1, z > 0
1

? f? ( y )dy = 1 при 0 < y < 1 , то F ( x ) = P{g (? ) < x} = ? f? ( y )dy = ? e( x ? g ( y ))dy ?
Т.к.
0
1

? e( x ? g ( y ))dy = F ( x ) (4.1)
0


41
Общее решение этого уравнения неизвестно, но можно указать частные классы функций
g ( y ) , в которых решение существует. Если моделируемая случайная величина ?
непрерывна, то ее плотность f ( x ) = F ?( x ) . И тогда, дифференцируя (4.1) получаем (с
учетом того, что e?( z ) = ? ( z ) - дельта-функция Дирака) следующее уравнение:
1

? ? ( x ? g ( y ))dy = f ( x) .
0

Каковы же должны быть эти частные классы функций g ( y ) ?
Для простоты будем полагать, что случайная величина ? распределена с плотностью
f ( x ) > 0 при a < x < b .

а) Рассмотрим случай, когда g ( y ) - строго возрастает при 0 < y < 1 , причем g (0) = a ,
g (1) = b , e( x ? g ( y )) = 1 . Тогда, если x > g ( y ) при 0 < y < h( x ) , где h(x ) - функция, обратная
h( x)

? dy = h ( x ) . Отсюда g ( y ) = h ?1 ( x ) = F ?1 ( x ) , а, следовательно,
к g ( y ) , из (*) получим F ( x ) =
0

? = F ?1 (? ) , т.е. пришли к методу обратной функции.

x x=g(y)
b
x

0 1y
h(x)


a
Рис. 4.1. Случай а), g ( y ) - строго возрастает

б) Теперь рассмотрим случай, когда g ( y ) - строго убывает при 0 < y < 1 , и g (0) = b ,
g (1) = a . После аналогичных выкладок, используя замену переменных y = h(x ) , получим
? = F ?1 (1 ? ? ) . Т.е. так же придем к методу обратной функции.
x
b x=g(y)
x

1
0 h(x) y


a

Рис. 4.2. Случай б), g ( y ) - строго убывает

4.3. Преобразование вида ?=g(?1, ?2)

Пример 4.4.
В этом разделе рассматриваются преобразования вида ? = g (?1 ,? 2 ) . Пусть ?1 ,? 2 -
независимые случайные величины. По аналогии с предыдущим пунктом можно пытаться


42
найти всевозможные функции ? = g ( x, y ) такие, что случайная величина g (?1 ,? 2 ) будет
иметь распределение F (x ) . Для этого необходимо и достаточно, чтобы
P (? = g (?1 , ? 2 ) < z ) = F ( z ) . Рассмотрим величину (?1 , ? 2 ) , равномерно распределенную на
?0 < x < 1
квадрате ? . В этом случае, повторяя рассуждения предыдущего пункта и учитывая,
0< y <1
?
?0, z ? 0
что e( z ) = ? , можем вычислить вероятность:
?1, z > 0
11
P ( g (?1 , ? 2 ) < z ) = ? ? e( z ? g ( x, y ))dxdy = F ( z ) ,
00
или
11

? ? ? ( z ? g ( x, y ))dxdy = f ( z )
00


Пример 4.5.
В декартовых координатах задана некоторая случайная функция Q (? ,? ) с плотностью
распределения f Q ( x, y ) = c( r ) , R1 ? r < R2 , 0 ? R1 < R2 < ? , где c(r ) - некоторая функция от
r , r = x 2 + y 2 . Нужно найти моделирующее выражение для ?.
y
Q(?, ?)


x
Рис. 4.3. Пояснение к примеру 4.2 по поводу функции Q (? ,? )

Так как фактически плотность распределения задана в полярных координатах, то удобно
моделировать полярные координаты точки Q , а уже по ним вычислять (? ,? ) и далее ? .
Сделаем замену переменных и найдем якобиан преобразования:

? x = r cos ? ? ( x, y ) cos ? ? r sin ?
=
. Якобиан преобразования ,
?
y = r sin ? ? ( r, ? ) sin ? r cos ?
?
? ( x, y )
так как f Q ( r, ? ) = f Q ( x, y ) ? f Q ( r, ? ) = r ? c( r ) ? f ? ( r ) f? (? ) . При условии, что введены
?( r, ? )
в рассмотрение независимые случайные величины ? и ? с соответствующими плотностями
распределения f?(r) и f?(?), где R1 ? r < R2 и 0 ? ? < 2? , при чем:
1
f ? ( r ) = 2?r ? c( r ) ? f Q ( x, y ) , f? (? ) = .
2?
Тогда выражения для ?1 ,? 2 имеют вид:
? ?
? ?
?1 = ? f ? ( r )dr , ? 2 = ? f? (? )d? > ?1 = 2? ? r ? c( r )dr , ? 2 = ? (2? )?1 d? = ? (2? )?1 . (*)
R1 R1
0 0

? = ? cos? ? = 2?? 2
Тогда , где .
? = ? sin ? ? = f ( r, R2 , ?1 )
?
?1 ?1
r2
Пусть c( r ) = a , тогда ?1 = 2?a = ?a ( ? 2 ? R12 ) и ? 2 = + R12 > ? = + R12 .
?a ?a
2 R1



43
Пример 4.6.
Случайная величина ? распределена в интервале ? R < x < R . Нужно найти
моделирующее выражение для ? по методу обратных функций, если ? - абсцисса точки Q
1
распределенной в круге x 2 + y 2 < R 2 с плотностью распределения f Q ( x, y ) = .
?R 2
R2 ? x2
2
?
Найдем функцию распределения ? . f? ( x ) = f Q ( x, y )dy = R2 ? x2 , x < R .
?R 2
? R2 ? x2

Воспользуемся формулами (*) для ?1 ,? 2 , полученными в предыдущем примере и тогда
получим:
?
?
?2
1 r2
r
1
, ?1 = 2? ? 2 dr = 2 ?
R1 = 0 , R2 = R , c( r ) = = ?
?R 2 ?R 2R 2
R2
0 0

? = R ?1 , ? = 2?? 2 ? ? = R ?1 cos 2?? 2

Пример 4.7.
x2
1 ?2
Пусть имеем ? ? N (0;1) , с соответствующей плотностью распределения f ( x ) = e,
2?
0 < x < ? . Выберем независимую от ? случайную величину ? ? N (0;1) . Тогда
x2 y2 x2 + y2 r2
1 ?2 1 ?2 1 ?2 1 ?2
e = c( r ) , r ? [0, ? ) .
f Q ( x , y ) = f ? ( x ) ? f? ( y ) = e= =
e e
2? 2?
2? 2?
Воспользуемся (*), здесь можно рассматривать (1 ? ?1 ) . Тогда получим:
? ?? ?
? ? ?
2 2 2 2 2
?
r r r
r2
1 ?2 ? ? ?
1 ? ?1 = 2? ? r ? e dr = ? r ? e dr = ? ? e d = ? ?e ? 1? = 1 ? e 2
2 2 2
2? 2 ? ?
? ?
0 0 0
?
?2 ?
1
? ? = ? 2 ln ?1 и ? 2 = ?
ln ?1 = ? d? = ? ? = 2?? 2 .
2? 2?
2 0

Следовательно: ? = ? 2 ln ?1 ? cos(2?? 2 ) и ? = ? 2 ln ?1 ? sin(2?? 2 ) . Эти формулы
позволяют по двум значениям случайных величин ?1 ,? 2 находить два независимых значения
случайной величины ? .

Замечание. Если ? ? N (0;1) , то ? * = ? ? ? + a ? N ( a;? ) .

4.4. Метод суперпозиции
Рассмотрим метод суперпозиции. По структуре метод был отнесен к преобразованиям
? = g (?1 ,? 2 ) и впервые был предложен Дж. Батлером (1956), нашел свое развитие в работах
Кондгорина Ю.М. (1970), Михайлова Г.А. (1966). Его популярность объясняется, его
исключительной эффективностью для практически важных распределений: B( p, q), G (? , n ) и
д.р.
Метод основан на следующей теореме:




44
Теорема 4.1.
Пусть условная плотность случайной величины ? при условии ? = y равна f ( x | y ) ,
причем для ? известна функция распределения F? ( y ) . Тогда плотность распределения ?
? ?

? f ( x | y )dF? ( y ) = ? f? ( y ) f ( x | y )dy
равна : f ? ( x ) = (4.2)
?? ??


Доказательство.

Справка. Согласно формуле полной вероятности, вероятность события А может быть
n n
вычислена по формуле: P( A) = ? P( H k ) P( A | H k ) , где ? P( H ) = 1.
k
k =1 k =1


По формуле полной вероятности
?x ?
?
F? ( x ) = P(? < x ) = M ? [P(? < x | y )] = ? ? ? f (t | y )dt ?dF? ( y ) .
?? ? ?? ?

x
d
Справка. Если функция f (x ) непрерывна на [a, b] , то
dx ?
f (t )dt = f ( x ) .
a



Дифференцируя F? (x ) под знаком интеграла по х, получаем:
d? ?
? ?
x
dF? ( x )
= ? ? ? f (t | y )dt ?dF? ( y ) = ? f ( x | y )dF? ( y ) . g
f? ( x ) =
dx dx ? ?? ?
?? ??



Замечание. Если для F? ( y ) существует плотность распределения f? ( y ) , то (4.2) можно
?

? f ( x | y ) f? ( y )dy , а если ?
записать в виде: f? ( x ) = принимает только целые значения, то
??
n n
f? ( x ) = ? pi f i ( x ) , ?p
где pi = P(? = i ) , = 1.
i
i =1 i =1



Таким образом, если f ? (x ) представима в виде (4.2), то случайную величину можно
моделировать в два этапа:
1. Моделирование (выбор) ? соответствующего функциям F? ( y ) или f? ( y ) ,
2. Моделирование ? соответствующего f? ( x | ? ) .

Пример 4.8.
Плотность случайной величины ? при 0 < x < ? пропорциональна показательной
?
интегральной функции n -го порядка ( n > 0 ) f? ( x ) = n ? y ?n e ? xy dy , y > 1 , x > 0 (+)
1
В принципе можно воспользоваться методом обратной функции:
? ?? ??
? ?
? = F (? ) ? ? = ? f? ( x )dx = ? n ? y e dydx = ? ? ? ny e dy ? dx
?n ? xy ?n ? xy

0 ?1 ?
0 01

Но полученный интеграл - несобственный, и он не берется.


45
? ?
Известно, что при f? ( x ) = ? f ( x, y )dy и f? ( y ) = ? f ( x, y )dx , совместная плотность
1 0

f ( x, y ) = f ? ( x | y ) ? f? ( x ) = f? ( x | y ) ? f? ( x ) . Зная это, можно построить
распределения:
решение следующим образом:
а) из (+) находим f ( x, y ) ? f ( x, y ) = ny ? n e ? xy
?
? ?
ny ?n ? xy
б) находим маргинальное распределение f? ( y ) = ? f ( x, y )dx = ? ny e ?n ? xy
= ny ?n ?1
dx = e
?y
0 0 0

f ( x, y ) ny ? n e ? xy
= ye ? xy ;
в) находим условное распределение f? ( x | y ) = =
ny ?n ?1
f? ( y )
Можно найти совместное распределение: f ( x, y ) = f? ( x | y ) ? f? ( x ) = ye ? xy ? ny ? n ?1 .
Теперь можно воспользоваться алгоритмом моделирования:

Этап 1.
?
?
ny ? n 1 1 1
?
= ? y ? n = ?? ? n + 1 , т.е. ?1 = ? ? n = n , ? n = , ? = (?1 ) n
1 ? ?1 = F (? ) = ? ny dy =
?
? n ?1

? ?1
?n 1 1
1


Этап 2.
?
1
1 ? ? 2 = ? ?e ??x dx = ? e ??x |? = ? e ??? + 1 , т. к. y = ? ? ? 2 = e ??? , ?? = ? ln ? 2 , ? = ? ln ? 2 .
?
0
0

После суперпозиции этих двух функции получим моделирующее выражение для ? :
ln ? 2
1
? =? = ? (?1 ) ln ? 2 .
n
1
?
(?1 ) n

4.5. Метод порядковых статистик

Пример 4.9.
?
f? ( x ) = ? an x n , 0 ? x ? 1, a n ? 0
Пусть . Ее можно рассматривать как
n =0
? ? ?
an
f ? ( x ) = ? pn f ? ( x | n ) . Преобразуем f(x) к виду: f? ( x ) = ? ( n + 1) x = ? pn ( n + 1) x n , где
n

n =0 ( n + 1)
n =0 n =0
a
pn = P( ? = n )= n .
n +1
?
?
(? + 1) x? 1
f? ( x | ? ) = (? + 1) x , отсюда ? = ? (? + 1) x dx =
? ? ? +1
=? ? ? = (? ) ? +1 .
(? + 1) 0
0

?=n
Отсюда получаем алгоритм моделирования, если , то
?0 ... ?
1 2 aa
? ? ? a0 , 1 , 2 ,..
?p ... ?
p1 p2 23
?0 ?
1
Вычисление ? n +1
трудоёмко. Затраты можно уменьшить, если использовать порядковые
статистики для равномерного распределения. Если выборочные значения (?1? 2 ,...., ? n )
рассматривать в порядке возрастания, то получим случайные величины
?1? ? ? 2? ? .... ? ? n ? называемые порядковыми статистиками. Известно, что плотность

46
?
распределения k-ой порядковой статистики: ? k ? f k ( x ) = nCn ?1 x k ?1 (1 ? x ) n ?k , в частности
k ?1



? n ? ? f n ( x ) = nx n ?1 , где ? n ? = max{?1 , ? 2 ,..., ? n }. Это легко доказывается: Fn(x) = P( ? n ? < x )
n

? P(? < x ) = x n (когда A1 ? A2 ? .....? An , Ai - событие заключается в том, что ? i < x ).
= k
k =1




? 1/n+1
1
?


n
0 1
Рис. 4.4. График зависимости

В рассматриваемом нами примере из графика зависимости видно, что последовательность
1
1 1
1 1
стремиться к 1 (к максимально допустимому значению), то есть ?
? ,? ,? ,? ,....,?
1 n +1
n +1
3
2 4

распределена так же, как max{?1 , ? 2 ,...,? n+1} . Поэтому в этом случае моделирование можно
осуществлять по схеме:

n=0; M=?; w=?



M<0
?=wn
M=M-pn

M?0
n=n+1; w1=?; если w1>w, то w=w1

Рис. 4.5. Схема моделирования

Эта схема неприменима, если ?i : ? i < 0 .
При условии строгой положительности ( f(x) > 0, при 0 ? x ? 1 ) такую плотность можно
N
представить в виде полинома Бернштейна: f ( x ) = ? bi x ki ?1 (1 ? x ) ni ?ki , 0 ? x ? 1, 1 ? k i ? ni с
i =1
положительными коэффициентами.

4.6. Полином Бернштейна
Приведение полинома к виду полинома Бернштейна:
? x 3 ? x 2 ? x + 3 = ( ? x 3 + x 2 ) + ( ?2 x 2 + 2 x ) + ( ?3x + 3) = x 2 (1 ? x ) + 2 x (1 ? x ) + 3(1 ? x ).

Рассмотрим некоторые приложения метода суперпозиции.




47
если ?
Замечание. Выше мы отмечали, что принимает целые значения, то
f? ( x ) = ? pi f i ( x ) , pi = P(? = i ) .

Пример 4.10.
?
Пусть f? ( x ) = ? ai x i , 0 ? x ? 1, ai ? 0.
i =0
1
? ?
ai a
f? ( x ) = ? (i + 1) x = ? pi f i ( x ), где pi = i ? P(? = i ) , f i ( x ) = (i + 1) x i . ? ? = ? i +1 из
i

i =0 i + 1 i +1
i =0

предыдущего примера. Но если ?i : ? i < 0 , тогда можно использовать полиномы Бернштейна.
N
f ( x ) = ? bi x ki ?1 (1 ? x ) ni ?ki , 0 ? x ? 1, 1 ? ki ? ni , bi > 0 .
i =1

Например, пусть дана функция вида: f? ( x ) = c( ? x 3 ? x 2 ? x + 3), 0 ? x ? 1. Из свойства
1
12
плотности найдем значение константы: ? f? ( x )dx = 1, ? c = . Известно, что плотность
23
0
распределения порядковой статистики равномерного распределения:
k-ой
k ?1 k ?1
f k ( x ) = n C n ?1 x (1 ? x ) n ?k , тогда с помощью этой формулы можно представить заданную
плотность в виде полинома Бернштейна:
f? ( x ) = c[( ? x 3 + x 2 ) + ( ?2 x 2 + 2 x ) + ( ?3x + 3)] = c[ x 2 (1 ? x ) + 2 x (1 ? x ) + 3(1 ? x )] ?
k=3 k=2 k=1
n=4 n=3 n=2
Вычислим коэффициенты полинома Бернштейна:
3!
2
4C3 = 4 = 2 ? 2 ? 3 = 12.
2!?1!
1
3C 2 = 3 ? 2 = 6.
0
2 C1 = 2.
3
12 2 24 36 1 4 18
x (1 ? x ) + (1 ? x ) = ?12 x (1 ? x ) + ? 6 x (1 ? x ) + ? 2(1 ? x ) = ? pi f i ( x ).
? x (1 ? x ) + 2

23 23 23 23 23 23 i =1
Из этой формулы видно, какие порядковые статистики понадобятся и с какими
вероятностями они должны быть приняты.
1
1. p1 = , f1(x) - плотность ? (3)
23
4
2. p2 = , f2(x) - плотность ? (2)
23
18
3. p3 = , f3(x) - плотность ? (1) .
23
Алгоритм моделирования имеет вид:
1. Генерируем ? ? Rav (0,1) .
2. Определяем i в соответствии с p1, p2, p3. Отрезок [0,1] разбивается вероятностями
на 3 отрезка, и, по сути, операция п.2 сводиться к определению, к какому из отрезков
принадлежит ?.
3. Моделируем ni случайных величин (n1 = 4, n2 = 3, n3 = 2) ? ni .
4. Упорядочиваем их по возрастанию.
5. Берем соответствующую порядковую статистику.


48
4.7. Метод исключения
Основная идея метода была предложена Дж. фон Нейманом. Рассмотрим ее: пусть
?

? g ( x )dx < +?. Обозначим G = {( x; y ) : 0 ? y ? g ( x )} .
g ( x ) ? 0 , причем G =
??

G
y

g(x)

<<

стр. 2
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>