<<

стр. 3
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>





0 x

Рис. 4.6. Задание области G

Следующие теоремы связаны с равномерным «выбором» точки в области G.

Теорема 4.2.
Пусть случайная величина ? имеет плотность f ( x ) = g ( x ) / G , а плотность распределения
1
случайной величины ? при условии ? = x : f ( y | x ) = , 0 ? y ? g ( x ) . Тогда плотность
g ( x)
1
совместного распределения ? и ? равна f ( x, y ) = , ( x, y ) ? G .
G

Доказательство.
g ( x) 1 1
f ( x, y ) = f ( x ) f ( y | x ) = f ( y ) f ( x | y ) ? = .g
G g ( x) G

Эта теорема, по сути, алгоритм моделирования равномерно распределенной величины в G.

Теорема 4.3.
1
Пусть плотность совместного распределения ? и ? равна f ( x, y ) = , ( x, y ) ? G. Тогда
G
g ( x)
плотность распределения ? равна f? ( x ) = .
G

Доказательство.
?
x x x
1
F? ( x ) = P (? < x ) = ? dt ? f (t , y )dy = ? g (t )dt = ? f (t )dt. g
G
?? ?? ?? ??


Очевидно, что доказанные теоремы справедливы и для многомерного случая.
?

? g ( x )dx < +? и
Пусть заданы две функции g(x), g1(x), такие что g1 ( x ) ? g ( x ) ? 0 и G 1 = 1
??

пусть есть эффективный «прямой» метод моделирования для плотности f1 ( x ) = g1 ( x ) .
G1

49
Тогда алгоритм моделирования по методу исключения для случайной величины ? с
g ( x)
плотностью f ? ( x ) = , состоит в следующем :
G
1. Выбирается случайная точка (? 0 ;? ), равномерно распределенная в области G1 =
{(x,y) : 0 ? y ? g1 ( x ) }
2. Если ? ? g (? 0 ), то выбранная точка исключается из рассмотрения и процесс
? < g (? 0 ), то значение ? 0 используется в качестве
продолжается с 1., если же
очередного выборочного значения случайной величины ?.

Замечание. Конструкция g1(x) должна быть проще, чем g(x).

Эффективность метода тем выше, чем больше вероятность «положительного
исхода», состоящего в том, что исключения не происходит. Эта вероятность
G
равна: q = .
G1
Нетрудно определить, что вероятность k исключений и «положительного» исхода в (k+1)-
ой пробе равна q(1-q)k, k=0,1,... Следовательно, среднее время моделирования по методу
?
1
исключения пропорционально величине S = 1 + ? kq(1 ? q) k = . Поэтому функцию g1(x)
q
k =0

нужно подбирать так, что бы площади G и G1 различались как можно меньше. Обычно в
качестве g1(x) используют «подходящие» ступенчатые или кусочно-линейные функции.
Наиболее простым является вариант метода исключения, в котором g1(x)=М=const.
Соответствующий алгоритм имеет вид:
1. ? 0 = a + ?1 (b ? a ), ? = ?1 M ,
2. Если ? > g (? 0 ), то возвращаемся на 1, иначе ? = ? 0 .

g1(x)
g(x)
M




b
a

Рис. 4.7. Выбор функции g1(x)=M
Описанный алгоритм, очевидно, реализует равномерную выборку в области G. Поэтому
теорему 4.3 можно рассматривать как один из возможных способов обоснования метода
исключения. Теорема 4.2 описывает алгоритм моделирования случайной точки
непосредственно в G.

Достоинства метода.
а) Экономичный метод.
б) Не требует нормировки плотности.
Недостатки метода.
Т.к. ? = g (?1 , ? 2 ,..., ) функция от счётного числа аргументов, отсюда жёсткие
требования к последовательности псевдослучайных чисел.
50
Глава 5

Специальные методы моделирования неравномерных распределений

Содержание:
5.1. Моделирование показательного распределения............................................................51
5.1.1. Моделирование гамма-распределения.................................................................. 51
5.1.2. Моделирование произвольного бета-распределения на (0;1)............................. 53
5.1.3. Моделирование произвольного гамма-распределения........................................ 54
5.1.4. Моделирование нормального распределения....................................................... 55
5.2. Приближенные методы моделирования (имитации).................................................... 57
5.3. Задания для самопроверки............................................................................................... 58
5.4. Контрольные вопросы и упражнения............................................................................. 60

5.1. Моделирование показательного распределения
Рассмотрим моделирование показательного распределения.
f (x ) = e ? x , x > 0
? ?
?
1 ? ? = ? f ( x )dx = ? e ? x dx = ?e ? x | = ?e ?? + 1 ? = e ?? ? = ln (? )
0
0 o

Процедура вычисления ln() на ЭВМ содержит около 30 арифметических операций.

5.1.1. Моделирование гамма-распределения
Для моделирования гамма – распределения рассмотрим следующую лемму.
?
x n ?1e ? x dx = ?(n ) = (n ? 1)!
?
Напомним
0

Лемма 5.1.
x? ?1e ? x
Пусть ?? > f? ( x ) = , x > 0 . Если ?? и ? µ независимы, то ?? + ? µ = ? ? + µ .
?(? )
Соответственно при µ = 1 и ? = n , ? n + ? 1 = ? n +1 .

Доказательство.
+?
1 1
?? ? g? (t ) = f? ( x )e itx dx = , g ?? +? µ (t ) = g? (t )g µ (t ) =
?? .
(1 ? it ) (1 ? it )
? ? +µ
?
? 1 = ? ln (? 1 ) , ? 2 = ? 1 + ? 2 = ? ln(? 1 ) ? ln(? 2 ) = ? ln(? 1? 2 ) g

n
n
Если ? = n ? 1 - целое, то ? n = ? ? ln(? k ) = ? ln ? ? k .
k +1 k =1
0 ?x
xe
Замечание. Если ? = 1 , то f1 ( x ) = = e? x .
?(1)

Лемма 5.2.




51
Пусть случайный вектор ? = (?1 ,…, ? n ) распределен с плотностью f? ( x1 , … , x n ) и
?1 = ?1 (?1 ,… , ? n )
……………………
соотношения представляют собой взаимно–однозначное и
? n = ? n (?1 ,…, ? n )
дифференцируемое преобразование ? = ? (? ) . Тогда плотность распределения вектора

( (Y )) D? ?1
(?1 ,…,? n ) определяется выражением f? (Y ) = f? ? , где Y = ( y1 ,… , y n ) .
?1
DY

Доказательство.
Воспользуемся определением плотности распределения вектора
( )
f? (Y )dY = P(? ? D ) = P(?(? ) ? D ) = P ? ? ? ?1 (D ) = ? f? (x )dx .
?
? ?1 ( D )
D

X = ? ?1 (Y )
Сделаем замену переменных в последнем интеграле . Тогда

? f? (Y )dY = ? f? (? (Y ))
D? ?1 (Y )
?1
dY . g
DY
D D

Рассмотрим следующую теорему, которая дает способ моделирования показательного
распределения, уменьшающий трудоемкость в n раз по сравнению со стандартным
алгоритмом.

Теорема 5.1.
Пусть ?1 ,? 2 ,…,? n , ? n +1 ,…, ? 2n ?1 величины из отрезка (0,1) и ? '1 ,…, ? ' n ?1 расставлены
в порядке возрастания величины ? n +1 ,…, ? 2n ?1 ; и ? ' 0 = 0, ? ' n = 1 . Тогда случайные
( )
величины ? k = ? k ?1 ? ? k ln(?1...? n ) , k = 1, n независимы и распределены с плотностью
' '

e?x , x > 0 .

Доказательство.
?(n ) = (n ? 1)!
' '
? k = ? k ? ? k ?1 , k = 1, n ? 1
величина ? n распределена
Обозначим через с плотностью
? n = ? ln(?1 …? n )
x n n ?1e ? x n
, x > 0.
(n ? 1)!
? x1 + x 2 + … + x n ?1 ? 1,
Вектор (?1 ,…, ? n ?1 ) распределен с плотностью (n ? 1)! в области ? .
? x k ? 0, k = 1, n ? 1
Из основного факторизационного тождества следует, если ? n имеет распределение
x n ?1e ? x
f? n ( x n ) = (?1 ,…, ? n ?1 ) f?1 ,…? n ( x1 , … x n ) = (n ? 1)! ,
то, имеет распределение
(n ? 1)!
f? ( x ) = f? n ( x n ) f (x1 ,… , x n x n ) = x n ?1e ? x n .
n




52
? x1 + x 2 + … + x n ?1 ? 1,
f? ( x1 ,…, x n ) = x n ?1e ? x n
n
Поэтому , . Так как
?
? x k ? 0, k = 1, n ? 1
?? k = ? k ? n , k = 1, n ? 1
?
?………………………… , то
?? = (1 ? ? ? … ? ?
n ?1 )? n
?n 1
?1 = ?1? n , ? 2 = ? 2? n , ?3 = ? 3? n , …, ? n = (? n ? ?1? n ? … ? ? n ?1? n )
?k
и, следовательно, ? n = ?1 + … + ? n , ? k = , k = 1, n ? 1 .
(?1 + … + ? n )
Якобиан последнего преобразования равен (? + … + ? )? (n ?1) . Следовательно,
1 n
f? ( y1 ,…, y n ) = ( y1 + … + y n )n ?1 e ? ( y1 +…+ y n ) ( y1 + … + y n )? (n ?1) = e ? y1 e ? y 2 … e ? y n .
Следовательно, каждое yi распределено по показательному закону распределения.g

n = 2.
Пусть ?1 = ?? 3 ln(?1? 2 )
? 2 = (? 3 ? 1) ln(?1? 2 )
Для n=3, 2n-1=2*3-1=5, ?3 = (? 2 ? ? 3 ) ln(?1? 2? 3 ) = (? 5 ? 1) ln(?1? 2? 3 ) .
' '


Практически оптимальный вариант – это когда n=3. При этом время моделирования
сокращается более чем в два раза по сравнению со стандартным методом.

5.1.2. Моделирование произвольного бета-распределения на (0;1)

x p ?1 (1 ? x) m?1
f p ,m ( x ) = , x ? (0;1), p > 0, m > 0 ,
B ( p, m)
где p и m параметры распределения.
Если p ? N , m ? N , то f p ,m ( x) - плотность распределения p-ой порядковой статистики для
p+m-1 независимых значений ?.

Лемма 5.3.
Пусть положительная случайная величина ? распределена с плотностью f? (x) такой, что
для некоторого ?>-1 функция x ? ? f (x) абсолютно непрерывна и монотонно убывает при
[ ]
'
x ? +1 f ( x) x ??
? > (? + 1)x 0 < x < 1 , ? > ?
?
x > ? ?? > 0 . Пусть x > 0 . Иногда
,
? +1
справедливо представление ? = ?? (Михайлов Г.).

Моделирующие формулы (0;1):
? x ? ln x
? arccos x
? x ? (1 ? x µ )
Применяя лемму последовательно (m-1) раз для значений ? = p ? 1, p,…, p + m ? 3
получаем представление ? p ,m = ?1? 2 …? m , где ? k случайная величина в (0,1) с плотностью




53
1
, k = 1, m , ? k = ? k , ? k ? Rav(0,1) (Этот результат следует из ранее
p + k ?2
( p + k ? 1) x p + k ?1

1
показанного ? = ? ? f ( x) = (n + 1) x n ).
n +1


? m ln ? k ?
m 1
= exp? ?
? p ,m = ? ? k ? . Для моделирования ln ? k , можно использовать
? ?
p + k ?1
? k =1 p + k ? 1 ?
k =1

предыдущие результаты:
? ? ? 1 ? ? 3 ??
m=2 ? p , 2 = exp ?ln(?1? 2 )? 3 + ?? , p>0, m>0, p, m - нецелые.
?p p + 1 ??
? ?
?
[m], a = [m] + 1 ? m
B(k + p, [m] + 1) Г (a + k ) x k + p ?1 (1 ? x) [m ]
x p ?1 (1 ? x) [m ] (1 ? x) ? a ? ?
=? = ? pk f k + p ,[m ]+1 ,
f p ,m ( x ) =
k! Г (a) B(k + p, [m] + 1) k =0
B ( p , m) B ( p , m)
k =0

Г ( k + p ) Г ([m] + 1) Г ( a + k ) [m]! a ( a + 1)…( a + k ? 1)
1
pk = = ,
B( p, m) Г ( k + p + [m] + 1) k! Г ( a ) B( p, m) k!( k + p )( k + p + 1)…( k + p + [m])
где
pk > 0, ? pk = 1

5.1.3. Моделирование произвольного гамма-распределения
x? ?1e ? x
f v ( x) = x > 0.
,
Г (? )
?n ?
1
Пусть ? = n + , n = 0,1, … и ? 1 = ? n + ? 1 = ? ln? ? ? k ? + ? 1 .
? ?
2 ? k =1 ?
n+
2 2 2
1
?
?2
x e?x 2
f 1 ( x) ? ? = ??1 = , ? нормально распределенная случайная величина N(0;1)
2
1
?1? 2
Г? ?
2 2
?2?
? ?n ?
? ?2
?n ?
? 1 = ? ln? ?? k ? + = ? ?ln? ?? k ? + ln ? n+1 cos 2 (2?? n + 2 )?, n = 0,1,2 , так как
? ? ? ?
? k =1 ? 2 ? ? k =1 ?
n+
?
2

? = ? 2 ln ?1 cos(2?? 2 ) .

1. Можно использовать метод суперпозиции.
Пусть ? - целочисленная целая величина, тогда P (?=k) = pk, k=0, 1, 2, …
?[m ]+1 ln ? k ?
? p ,m = exp? ? ?.
? + p + k ? 1?
? k =1

2. Метод исключения с дополнительным использованием метода суперпозиции в случае
p<1 и m<1 .
а) x a ? (1 ? x ) ? x a + (1 ? x ) , 0 < x < 1, a, b > 1.
b b


p m
б) f p ,m ( x) = x ? f p ,m + (1 ? x) ? f p ,m = ? f p +1,m + ? f p ,m +1 .
p+m p+m

3. Метод Ионка.
а) ? 1 , ? 2 ? Rav(0,1) ,
1
1
б) если ? 1 ? + ? 2 µ ? 1 , то переходим на шаг 1 и так далее.


54
1
?1 ?
Если данное условие не выполнено, то ?? , µ = .
1
1
?1 ? + ? 2 µ

Этот алгоритм так же основан на исключении.

5.1.4. Моделирование нормального распределения
? ( x ? m )2
? x?m?
? ? N (m, ? 2 ) ,
1
F (? ? x ) = ??
f ? (x ) = ?e 2?? 2
?
, , где
???
? ? 2 ??
z
1 ?t 2
?(z ) = ? ?e dt .
2

2 ? ? ??
? = m + ? ? ? ? , где ? ? ? N (0,1) .

Способ 1. Метод обратной функции

? = F ?1 (? ) .
? F ?1 (? ), 0.5 < ? < 1
?
? = ? ?1
?? F (1 ? ? ), 0 < ? ? 0.5
?

2.30753 + 0.27061 ? v
а) F ?1 (? ) = + ? (? )
1 + 0.99229 ? v + 0.04481 ? v 2
? (? ) < 3 ? 10 ?3 , v = ? ln? , 0 .5 < ? < 1 .

2.515517 + 0.802853 ? v + 0.010328 ? v 2
б) F (? ) = + ? (? )
?1

1 + 1.432788 ? v + 0.001308 ? v 2

? (? ) < 4.5 ? 10 ?4 .

Способ 2. Использование полярных координат

(? 1 , ? 2 ) ? Rav(0,1) ? (? 1 , ? 2 ) ? N (0,1)
? 1 = ? 2 ln? 1 ? cos(2?? 2 )?
?
(5.1)
?
? 2 = ? 2 ln? 1 ? sin (2?? 2 )?
?

Данный способ очень чувствителен к корреляции чисел ?1 , ? 2 . Возможны разного рода
упрощения формул (5.1).

Пример 5.1.
? 2 ? ? 32
2
а) ? 1 = ? ln? 1 ? 2
? 2 + ? 32
? ??
(2? 2 ? 1)2 + (2? 3 ? 1)2 ? 1 .
? 1 = ± ? ln? 1 ? 22 32 , где
?2 + ?3



55
? 2 ln (v12 + v 2 )
2
б) ? 1 = v1
v12 + v 2
2


? 2 ln (v12 + v 2 )
2
, где vi = 2? i ? 1,
? 2 = v2 v12 + v 2 ? 1 .
2

v1 + v 2
2 2




Способ 3. Использование сходимости сумм неизвестных величин к нормальному
распределению

? i ? Rav(0,1) M[?i] =1/2, D[?i] =1/12.
n
y = ?? i , M[y]=n/2, D[y]=n/12.
i =1
n
n
?? i ? 2
? (n) = M [? ( n ) ] = 0, D[? ( n ) ] = 1.
?
i =1

n
12
По центральной предельной теореме, при n > ? , ? ( n ) ? N (0,1) .
?n n?
12
? ?? ? i ? ?
? =
(n)
(5.2)
n 2?
? i =1

Рассмотрим частный случай:
n=12, погрешности не превышают 9*10-3 для |?|<2 и 9*10-1 для 2<|?|<3.
?6 ?
? = 2 ? ?? ? i ? 6?
(12 )

? i =1 ?

n=3
( ),
41
?? =? ? ? ? 5 ? 10? 3 + 15? где ? берется из (2).
13440 ? n 2



Замечание. Более правильно брать ? i' ? Rav(?1,1) .

n
? = 2? i ? 1 z = ? ? i' , M[z]=0,
'
D[z]=n/3.
i
i =1

3 ?n ?
z
? ?? (2? i ? 1)? .
Проведя нормирование величины z, получим, что u = =
D[ z ] n ? i =1 ?
По центральной предельной теореме, при n > ? , z ? N (0,1) .

Способ 4. Этот способ основан на использовании метода исключения
Соответствующий алгоритм имеет вид:
1. Моделируется ? i ? Rav (0,1) .
?i
1
2 2
?x
?e dx = 0.6827..... , то ? ? =
2. Если ? i < A = , переход на 3, иначе переход на 4.
2
? A
0




56
? ? ? ?2 ?
3. Моделируется ? i +1 ? Rav (0,1) . Если ? i +1 < exp? ? 2 ? , то ? = ? ? , иначе моделируется
?
? ?
? i +2 ? Rav (0,1) , переход на 3 и ? ? = ? i +2 и т. д.
? ?A
4. Вычисляется ? ?? = i .
1? A
?1
5. Моделируется ? i +1 ? Rav (0,1) . Если ? i +1 < ? = (1 ? 2 ln ? ??) , то ? = ? ?1 , иначе
2


моделируется ? i +2 ? Rav (0,1) , переход на 5 и ? ?? = ? i +2 и т. д.

Способ 5. Использует метод композиции (суперпозиции)
Способ 6. Аналогичен предыдущему, подробнее смотреть Полляк Ю.Г. (1921)

5.2. Приближенные методы моделирования (имитации)
Почти все методы моделирования позволяют выбирать подходящий алгоритм, оставаясь в
рамках точного, или почти точного, воспроизведения требуемого распределения. В силу
неточности исходных данных можно упрощать моделирование, путем имитации
распределения, аппроксимируя его с заданной точностью. Рассмотрим способы
аппроксимации:
1. Ступенчатая аппроксимация функции распределения.


2R?F=1
F?(x)
F?1(x)

?(3R
) ?R
0 x1 ’ x1 x2 ’ xR’ xR x

Рис. 5.1. Ступенчатая аппроксимация функции

Пусть случайная величина ? имеет функцию распределения F?(x), аппроксимируем ее
1
, где ?F - приращение
ступенчатой функцией F?1(x), с величиной приращения R =
2 ?F
F?(x), а ?1 - дискретная величина с равновероятными значениями x1 , x2 ,... xR ,
соответствующими квантилям x 1 , x 3 ,... x R ?1 распределения F?(x). Для имитации ?1 можно
2R 2R 2R
использовать метод обратных функции для дискретных величин.

Пример.
Пусть дана случайная биномиальная величина Bi ( p, n ) , т. е. P{ = k } = Pn (k ) =
?
= C n p k (1 ? p ) n ?k , k = 0,1,...n , тогда при p = 0.5, n = 6 имеем:
k




j1 2 3 4 5 6 7
kj 0 1 2 3 4 5 6
pj 1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64


57
6 + 30 + 60 + 60 + 30 + 6 256
6
s = 1 + ? kpk = 1 + = ? 3.97
64 64
k =0
Ускорения вычислений можно добиться, расположив kj и pj в порядке убывания pj.
Моделирование может быть организовано следующим образом. В ячейках памяти ЭВМ a+r,
r=0,1,....63 расположим:
1. значение k1=0, 6 значений k2=1, 15 значений k3=2, 20 значений k4=3, 15 значений k5=4,
6 значений k6=5, 1 значение k7=6.
Выбирая наудачу номер r=[64?] (в общем виде r=[R?]) находим среднее значение ? в
ячейке a+r.
2. Ступенчатая аппроксимация плотности вероятности.




f?(x)
f?2(x)

0 x1 ’ x2 ’ x3 ’ xR’ x



Рис. 5.2. Ступенчатая аппроксимация плотности вероятности

Ступенчатая аппроксимация f?2(x) плотности f?(x) соответствует кусочно-линейной
функции. Если абсциссы x1 ' , x2 ' ,... x R ' скачков функции f?2(x) суть квантили x 0 , x 1 , x 2 ,... x R ?1
R R R R

распределения F?(x), то моделирование аппроксимирующей случай-ной величины ?2 удобно
выполнять, расположив в ячейках ЭВМ a+r, r=0,1,....R-1 значения x R +1 ' и b+r значения
? r = x r + 2 '? x r +1 ' . Разыгрывая r=[64?] находим ? 2 = xr +1 '+ ? r?1 .

5.3. Задания для самопроверки
Разработать алгоритм и программу, позволяющую моделировать псевдослучайные числа с
указанным законом распределения. Получить последовательность псевдослучайных
величин. Провести статистические анализ качества этой последовательности.
1. Найти методом обратной функции моделирующее выражение для случайной
величины ?, имеющей заданную плотность распределения.
? 1 /(b ? a), x ? [a, b]
a. f ( x) = ? ;
0, иначе
?
f ( x) = Ce ? ?x , x? [0, ?), ? > 0;
b.
f ( x) = C (1 + x) 3 4 , x?[0, 1];
c.
? ? ??
f ( x) = c | sin x |, x ? ?? , ? ;
d.
? 2 2?
? x2 ?
x
f ( x) = 2 exp?? 2 ? , x?[0, ?);
e.
? ? ??
1
f ( x) =
f. ;
?b 1 ? ( x ? a) b
2 2




58
1
f ( x) =
g. ;
( )
?b 1 ? ( x ? a ) 2 b 2
f ( x) = Ca x , x?[0, 1];
h.
22
i. f ( x) = Cxe ? a x , x?[0, 1].
2. Найти моделирующее выражение для случайной величины ?, имеющей заданную
плотность распределения, по методу обратной функции, когда ?(?) немонотонна.
a. f ( x) = 3 8 (1 + x 2 ) , x?[-1, 1];
b. f ( x) = Cx(1 + x) 2 , x?[0, 1];
c. f ( x) = C ( x 4 + ax1 2 ) , x?[0, 1], a > 0;
f ( x) = C (3 + 3 2 x ) , x?[0, 1];
d.
f ( x) = Ce ? ax (1 + e ?bx ) , x?[0, ?), a, b > 0;
e.
3
f ( x) = C ( x ?2 + x 2 e ? x ) , x?[1, ?);
f.
f ( x) = C (1 + x 3 ) , x?[0, 1];
g.
( )
5
h. f ( x) = 1 + ( x ? 1) 4 , x?[0, 2];
12
2 5
i. f ( x) = e ? x + e ?5 x , x?[0, ?).
3 3
3. Написать алгоритм моделирования случайной величины ?, распределённой по закону
f (x), с использованием порядковых статистик.
a. f (x) = 12 x (1 – x)2, x?[0, 1];
b. f (x) = 4 (1 – x)3, x?[0, 1];
c. f (x) = C (1 – x3), x?[0, 1];
d. f (x) = -2/3 (x2 – x + 1), x?[0, 1];
e. f (x) = -x3 – x2 – x + 3, x?[0, 1].
4. Написать алгоритм моделирования случайной величины ?, имеющей указанную
плотность распределения f (x).
a. f ( x) = Cx 2 e ax , x?[0, b], a, b > 0;
b. f (x) = Ceax sin x, x?[0, ?/2];
c. f (x) = C1 e-|x| + C2 e-3|x|, x?[-1, 1].
5. Написать алгоритм моделирования случайной величины ? при помощи метода
суперпозиции.
?
f ( x) = n ? y ?n e ? xy dy , x?[0, ?);
a.
1
?
f ( x) = ? an x n , x?[0, 1], an ? 0;
b.
n =0

i +1
?
f ( x) = ? (?x) i e ?? , x?[0, 1], ? ? 0;
c.
i!
i =0
?
f ( x) = ? (n + 1) p[x(1 ? p)] , x?[0, 1], 0 < p < 1.
n
d.
n =0

6. Написать алгоритм моделирования случайной величины ? по методу исключения.
a. f ( x) = C (3 + 3 2 x ) , x?[0, 1];
f ( x) = Cx 5 3e ? x , x?[0, b], b > 0;
b.
f ( x) = Cx 5 3 (1 ? x) 3 2 , x?[0, 1];
c.
f ( x) = Cx(1 + x) 2 ,
d.


59
? ? ??
f ( x) = c | sin x |, x ? ?? , ? ;
e.
? 2 2?
2
f ( x) = R 2 ? x 2 , x?[-R, R];
f.
?R 2

2 1
f ( x) =
g. , x?[0, 1];
? 1? x 2


f (x) = C(ln x)4, x?(0, 1];
h.
f (x) = -x?ln x, x?(0, 1], ? > 0.
i.

5.4. Контрольные вопросы и упражнения
1. Основные пути получения случайных чисел, основанные на методе обратных
функций.
2. Метод суперпозиции. Основные принципы разбиения плотности распределения в
методе суперпозиции.
3. Метод исключения. Эффективность метода исключения. Модификации метода.
4. Приближённые методы моделирования.
5. Специальные методы моделирования показательного, нормального, произвольного
гамма и бета распределений.
6. Доказать, что плотность случайной величины ?(n) = max {?1, ?2, …, ?n} равна nxn-1.
7. Доказать, что плотность Cxe-x, x?[0, 1] можно преобразовать к виду
x(1 ? x) n
?
C? .
n!
n =0
8. Доказать, что среднее время моделирования по методу исключения пропорционально
величине 1/q, где q – вероятность «положительного» исхода.




60
Глава 6

Моделирование случайных векторов и процессов (случайных многомерных
величин)

Содержание:
6.1. Моделирование нормального невырожденного многомерного распределения........ 61
6.2. Моделирование многомерного изотропного вектора................................................... 65
6.3. Моделирование случайных процессов........................................................................... 66
6.4. Задания для самопроверки............................................................................................... 70
6.5. Контрольные вопросы и упражнения............................................................................. 71

6.1. Моделирование нормального невырожденного многомерного
распределения

Моделирование случайных многомерных величин будем рассматривать в двух аспектах:
• n–мерная случайная точка с независимыми координатами,
• n–мерная случайная точка с зависимыми координатами.

Аспект 1. Рассмотрим моделирование случайной многомерной величины с независимыми
координатами.
n
? = || ?1, ?2, …, ?n ||, F? ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ? Fi ( xi ) ,
Т

i =1

где Fi(xi) – функция распределения ?i. В этом случае можно моделировать каждую ?i
независимо.

Метод обратной функции

Fi (?? ) = ?? , i = 1, n ; ?? ? Rav (0;1)
Действительно, т.к. {?i} независимы в совокупности, то и ?? = Fi ?1 (? i ) также независимы.
n n
P(?1 < x1 , ? 2 < x 2 ,..., ? n < x n ) = ? P(? i < xi ) = ? Fi ( xi ) = F ( x1 , x 2 ,..., x n ) .
i =1 i =1


Пример 6.1.
Найти моделирующие формулы для случайной точки с декартовыми координатами,
равномерно распределенной в n–мерном параллелепипеде.

? = {x | ai < xi < bi }
?1
? ,x? X
b1
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ? c
?
a2 b2
?0, x ? X
?
0
? ? ai
1
, Fi (? i ) = i = ?i
f i ( xi ) =
рис. 6.1.
bi ? ai bi ? a i
? i = a i + ? i (bi ? ai ) i = 1, n
Аспект 2. Теперь рассмотрим моделирование многомерной случайной величины
координаты которой зависимы между собой.
?Т = || ?1, ?2, …, ?n ||
61
Стандартный метод

В общем случае, когда ?1, ?2,…, ?n зависимы, их совместная плотность распределения
имеет вид:
f ? ( x1 , x 2 ,..., x n ) = f 1 ( x1 ) ? f ( x 2 | x1 ) ? f ( x3 | x1 , x 2 ) ? ... ? f ( x n | x1 ,..., x n ?1 )
f1(x1) – плотность абсолютного распределения ?1;
fi(xi | x1,x2,…,xi-1) – плотность условного распределения ?i при условии, что ?1=x1, ?2=x2, …,
?i-1=xi-1
Все эти условные плотности легко выражаются через совместную плотность
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = f x
?? ?

? ? ... ? f
f 1 ( x1 ) = dx 2 dx3 ...dx n
x
?? ?? ??
?? ?

? ? ... ? f dx3 ...dx n [ f 1 ( x1 )]?1
f 2 ( x 2 | x1 ) = x
? ?? ? ??
?? ?

? ? ... ? f dx 4 ...dx n [ f 1 ( x1 ) f 2 ( x 2 | x1 )]?1
f 3 ( x3 | x1 , x 2 ) = x
?? ?? ??

?? ?

? ? ... ? f dx n [ f 1 ( x1 ) f 2 ( x 2 | x1 )... f n ?2 ( x n ?2 | x1 ,..., x n ?3 )]?1
f n ?1 ( x n ?1 | x1 , x 2 ,..., x n ?2 ) = x
? ?? ? ??

f n ( x n | x1 , x 2 ,..., x n ?1 ) = f x [ f 1 ( x1 ) f 2 ( x 2 | x1 )... f ( x n ?1 | x1 , x 2 ,..., x n ?2 )]?1

Введем условные функции распределения:
xi

? f (t | x , x ,..., x
Fi ( xi | x1 , x 2 ,..., xi ?1 ) = )dt
i ?1
i 1 2
??


Теорема 6.1.
Пусть {?i}, ( i = 1, n ) - независимые случайные числа. Тогда совокупность случайных
величин ?1, ?2, …, ?n, полученных при последовательном решении уравнений:
F1 (?1 ) = ?1
F2 (? 2 | ?1 ) = ? 2

Fn (? n | ?1 ,? 2 ,..., ? n ?1 ) = ? n
имеем совместную плотность распределения вероятностей вида f ? ( x1 , x 2 ,..., x n ) .

Доказательство.
Пусть значения ?1=x1, …, ?i-1=xi-1 фиксированы. Тогда случайную величину ?i с функцией
распределения Fi(xi|x1,x2,…,xi-1) можно определить как в стандартном методе.
Fi (? | x1 , x 2 ,..., xi ?1 ) = ? i .
P ( xi < ? i < xi + dxi | x1 ,..., xi ?1 ) = ? f i ( xi | x1 ,..., xi ?1 )dxi .
Тогда
Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка вероятность
совместного выполнения n неравенств равна произведению



62
P ( x1 < ? 1 < x1 + dx1 , x 2 < ? 2 < x 2 + dx 2 ,..., x n < ? n < x n + dx n ) =
= P( x1 < ? 1 < x1 + dx1 ) P( x 2 < ? 2 < x 2 + dx 2 | ? 1 = x1 )...P( x n < ? n < x n + dx n | ? 1 = x1 ,..., ? n ?1 = x n ?1 ) =
= ? ? ...? f 1 ( x1 )dx1 f 2 ( x 2 | x1 )dx 2 ... f n ( x n | x1 ,..., x n ?1 )dx =
n

= ? ? ...? f 1 ( x1 ) f 2 ( x 2 | x1 )... f n ( x n | x1 ,..., x n ?1 )dx1 dx 2 ...dx n =
= ? ? ...? f x dx1 dx 2 ...dx n .

Замечание. Представление плотности f(x1,x2,…,xn)в форме произведения условных
плотностей возможно n! способами. Например, при n=2 имеем:
f ( x1 , x 2 ) = f 1 ( x1 ) f 2 ( x 2 | x1 ) = f 2 ( x 2 ) f 1 ( x1 | x 2 )
Разным произведениям соответствуют разные порядки разыгрывания величин ?1,?2,…,?n.

Пример 6.2.
Пусть (?1,?2) случайная точка.
? x1 + x 2 < 1
x2
?
? x1 > 0
?x > 0
1
?2
1 x1
f ( x1 , x 2 ) = 6 x1
0
Рис. 6.2.

1 1
1 1? x1 1
x12 x13
? ? 6 x1dx1dx2 = ? 6 x1dx1 (1 ? x1 ) = 6 2 ? 6 3 = 3 ? 2 = 1
0 0 0 0 0

a) ?1;
1? x1 1? x1
f ?1 ( x1 ) = ? f ( x1 , x 2 )dx 2 = ? 6 x1dx 2 = 6 x1 (1 ? x1 ) , 0<x1<1
0 0

f ? 2 ( x 2 | x1 ) = f ( x1 , x 2 )[ f ?1 ( x1 )]?1 = (1 ? x1 ) ?1 , 0<x2<1-x1
x1 x1
F?1 ( x1 ) = ? f ?1 (u )du = ? 6u (1 ? u )du = 3 x12 ? 2 x 2
3
0 0
x2 x2
F? 2 ( x 2 | x1 ) = ? f ? 2 ( v | x1 )dv = ? (1 ? x1 ) ?1 dv = x 2 (1 ? x1 ) ?1
0 0

? F (?1 ) = ?1 3?12 ? 2?13 = ?1
=>
?
? F (? 2 | ?1 ) = ? 2 ? 2 (1 ? ?1 ) = ? 2
b) ?2;
1? x2 1? x1
f ?2 ( x2 ) = ? f ( x1 , x 2 )dx1 = ? 6 x1dx1 = 3(1 ? x 2 ) 2 , 0<x2<1
0 0

f ?1 ( x1 | x 2 ) = f ( x1 , x 2 )[ f ? 2 ( x 2 )]?1 = 2 x1 (1 ? x 2 ) ?2 , 0<x1<1-x2
x2 x2
F? 2 ( x 2 ) = ? f ? 2 ( v )dv = ? 3(1 ? v ) 2 dv = 1 ? (1 ? x 2 ) 3
0 0
x1 x1
F?1 ( x1 | x 2 ) = ? f ?1 (u | x 2 )du = ? 2u(1 ? x 2 ) ?2 du = x12 (1 ? x 2 ) ?2
0 0

? 2 = 1 ? 3 ?1
? F (? 2 ) = 1 ? ?1 (1 ? ? 2 ) 3 = ?1
=>
?
? F (?1 | ? 2 ) = ? 2 ?12 (1 ? ? 2 ) ?2 = ? 2 ?1 = ? 2 3 ? 1

Замечание. Моделирование случайной многомерной величины может быть сведено к
последовательному моделированию ее координат. При этом для моделирования случайной

63
величины ?i с условной плотностью fi(xi|?1, ?2, …, ?i-1) можно использовать любой из выше
рассмотренных методов моделирования случайных непрерывных величин.

Метод исключения
Он формулируется и обосновывается точно так же, как и в одномерном случае.
0 ? f ( x1 , x 2 ,..., x n ) ? g ( x1 , x 2 ,..., x n ) , причем
Пусть
G f = ? ...? f ( x1 ,..., x n )dx1 ...dx n ? G g = ? ...? g ( x1 ,..., x n )dx1 ...dx n ? +? .
g(x)

f(x)


Рис. 6.3.

f ( x1 , x 2 ,..., x n )
Алгоритм моделирования вектора ? с плотностью выглядит следующим
Gf
образом:
1. моделируем ? 0 соответствует g ( x1 , x 2 ,..., x n ) / G g и значение ? = ? ? g (?10 ,? 20 ,...,? n0 )
2. если ? > f (?10 ,? 20 ,...,? n0 ) , то выполняем пункт 1алгоритма и так далее, иначе ? = ? 0 .

Пример 6.3.
f ( x1 ,..., x n ) = 1 ? e ? x1 ... xn 0 ? xi ? 1, i = 1, n
f ( x1 ,..., x n ) ? g ( x1 ,..., x n ) = 1 ? e ?1
1 1
G g = ? ...? (1 ? e ?1 )dx1 ...dx n = 1 ? e ?1
0 0
1 1
G f = ? ...? (1 ? e ? x1 ... xn )dx1 ...dx n = 1 ? ? = 2 ?n + o( 2 ? n )
0 0

Gg
S= - среднее число арифметических операций.
Gf
Gg
? (1 ? e ?1 )2 n
S=
Gf

Нормальное многомерное распределение вполне определяется вектором математических
ожиданий mт=|| m1, m2, …, mn || и корреляционной матрицей.

K =|| bij ||= M [(? i ? mi )(? j ? m j )] .
1 ? 1 ( x ? m )Т K ?1 ( x ? m )
f ( x1 , x2 ,..., xn ) = e 2


(2? ) | K |
n


Пусть мы имеем совокупность {?i }, i = 1, n,? ? Norm(0;1) .
Как можно получить ? ? Через какое линейное преобразование?
? = A? + m

64
Обычно предполагают, что А является треугольной матрицей
? a11 0 ... 0 ?
?a a22 ... 0 ?
A= ? ?
21

? ... ... ... ... ?
? ?
?an1 an 2 ... ann ?
Коэффициенты aij легко определяются рекуррентной процедурой.
Пусть имеем
?1 = a11?1 + m1
? 2 = a 21?1 + a 21? 2 + m2

k11 = M [(?1 ? m1 ) 2 ] = M [a11?12 ] = a11 ?1 = D[?1 ] = k11 a11 = k11
2 2
=>
k12 = M [(?1 ? m1 )(? 2 ? m2 )] = M [a11?1 ? ( a 21?1 + a 22? 2 )] = M [a11?12 a 21 + a11a 22?1? 2 )] = a11a 21 = a 21 k11 = k12
k12 k12
a 21 = =
=>
a11
k11
2
k12
k 22 = M [(? 2 ? m2 ) ] = M [a ? + 2a 21 a 22?1? 2 + a ? ] = a + a = + a 22 = k12
2 2 2 2 2 2 2 2
21 1 22 2 11 22
k11
2
k12
= k 22 ? = k 22 ? a 21
2
=> a 22
k11
Общая рекуррентная формула такова.
j ?1
kij ? ? aik a jk
( ? aik a jk = 0)
, 1 ? j ? i ? n.
aij = k =1
j ?1
k jj ? ? a 2
k =1
jk
k =1



6.2. Моделирование многомерного изотропного вектора

Определение: случайный вектор ?Т = ||?1,?2,…,?n|| называется изотропным, если точка
? ? равномерно распределена по поверхности сферы |?| = 1 и не зависит от |?|.

Пусть ?1,…,?n – независимые нормальные случайные величины с математическим
ожиданием m=0 и дисперсией ?2=1.
n x
?1 ?
1
n
1 ? 2 x2
, x n = ??i => f n ( x ) = cn x e 2 .
2
f ( x) = 2 2
e
2? i =1
2
Распределение x n - частный случай гамма-распределения.
n
? n = ? ln(? ? i ) , где n – параметр гамма–распределения ?=n.
i =1
r2
n ?
Поэтому x 2 n = ?2 ln(? ?? ) , так как для xn плотность равна 2c n r n ?1e ,r > 0.
2 2

i =1
Справедливы две леммы:

Лемма 6.1.
Если ? – изотропный вектор такой, что |?| = xn , то его компоненты ?1,…,?n независимы и
нормальны с параметрами (0;1).

65
Лемма 6.2.
Если случайные величины ?1,…,?n независимы и распределены нормально с параметрами
(0;1), то вектор ?Т = ||?1, ?2,…, ?n|| является изотропным.

Используя эти леммы можно получать нормально распределенные случайные величины
через элементы изотропного вектора.

Алгоритм моделирования изотропного вектора ? (по методу исключения):
1. ? 1 = ?1 + 2?1 ,..., ? n = ?1 + 2? 1
n
2. d = ? ? i2
2

i =1
?n
?1
3. если d2>0 goto п.1 else ?1 = ,..., ? n =
d d
?i
Vшара
P=
Vкуба
1

n
? k = ? 2 ln(? ?? ) * ?k
Следовательно , k=1,…,2n
i =1

Достоинства:
1. Вычисление ?k гораздо экономичнее, нежели вычисление cos(?1) и sin(?1) в способе
g(?1,?2) с помощью полярных координат.
2. Вычисление –ln? можно заменить моделированием показательного распределения.

6.3. Моделирование случайных процессов

Имитация Марковского процесса, нормального Марковского процесса.
Имитация нормальных стационарных скалярных процессов с дробно-
рациональным спектром
Определение: случайным R-мерным процессом называется функция, значение которой при
фиксированном скалярном значении t суть R-мерные случайные векторы
T
? (t ) = ?1 (t ),? 2 (t ),…,? R (t ) , где t?T?E1, ? (t ) ? ?
Но моделирование случайных величин, векторов, процессов связанно с применением
ЦВМ, а значит и дискретизацией времени t1 < t2 < … < ti < …. Иными словами при цифровом
моделировании всегда используются случайные последовательности значений процесса
?[i ] =? (ti ) , i=1,2, …
T
Иногда случайный процесс ? (t ) = ? (t1 ),? (t 2 ),…,? (t n ) можно интерпретировать как
*


вектор размерности n ? R и моделирование процесса труда не представляет, если имеется
n ? R -мерная функция распределения:
*
Fn?R ( y ) = P(? ? y ) .
На практике n=100 ? 1000. Поэтому, при больших n объем памяти, быстродействия ЭВМ
не позволяют применить методы рассмотренные выше. Основная идея моделирования


66
случайных процессов сводится к аппроксимации процессов. Рассматриваемые методы
имитации базируются на Марковской аппроксимации процессов.
Пусть задан R-мерный векторный Марковский процесс ? (t ) . Полное его описание дается
условной функцией распределения:
FR = [ y (t ), t , s | ? ( s ) = y ( s )] =
(6.1)
= P[?1 (t ) ? y1 (t ),? 2 (t ) ? y 2 (t ),…,? R (t ) ? y R (t ) | ?1 ( s ) = y1 ( s ),…,? R ( s ) = y R ( s )], ?t > s
Вместо условной функции распределения может быть использована условная плотность
вероятностей или для дискретного ? (ti ) , i= 1, R - условное дифференциальное распределение
вероятностей:
P[?1 (t ) = y1 (t ),…,? R (t ) = y R (t ); t , s | ?1 ( s ) = y1 ( s ),…,? R ( s ) = y R ( s )]
Имея значение процесса y ( s0 ) для некоторого начального значения s0 можно
последовательно имитировать вектор ? (t1 ),? (t 2 ),…, с распределением:
FR [ y (t1 ); t1 , s 0 | ? ( s 0 ) = y ( s0 )]
FR [ y (t 2 ); t 2 , t1 | ? (t1 ) = y (t1 )] и т.д.

Для нормального Марковского процесса формула (6.1) дает Гауссово R-мерное
распределение с условным средним значением:
m[t | y ( s )] = m( s ) + K (t , s ) ? K ?1 ( s, s ) ? [ y ( s ) ? m( s )]
и условной корреляционной матрицей:
K [t | y ( s )] = K ( s, s ) ? K (t , s ) ? K ?1 ( s, s ) ? K ( s, t )
m(t ) ? = m1 (t ), m2 (t ),…, m R (t ) - вектор априорных средних значений процесса ? (t ) .
? K11 (t , s ) K12 (t , s ) … K1R (t , s ) ?
? K (t , s ) K (t , s ) … K (t , s ) ?
K (t , s ) = ? 21 ? = K ij (t , s ) , i = 1, R; j = 1, R
22 2R
- матричная
? ?
? ?
? K R1 (t , s ) K R 2 (t , s ) … K RR (t , s )?
корреляционная функция процесса ? (t ) , элементы которой
K ij (t , s ) = M [?i (t ) ?? j (t ) ? mi (t ) ? m j (t )] (6.2)
1) K (t , s ) = K T ( s, t ) - следует непосредственно из (2)

??x
T
2) K (t , s ) ? 0 , то есть ?x (t ) = x1 (t ), x 2 (t ),…, x R (t ) (t ) K (t , s ) x ( s )dtds ? 0
T

GG
Таким образом, моделирование нормального Марковского процесса с начальными
значениями ?1 (t1 ) и ? 2 (t1 ) при i=1 моделируется по корреляционной матрице
?2 1?
K (t1 , t1 ) = ? ?
?1 1?
?a 0?
Преобразуем её к нижней треугольной матрице, то есть виду A = ? 11 , где
a 22 ?
?a 21 ?
2
k 21 1
k11 = 1 2 , a 22 = k 22 ? =
a11 = k11 = 2 , a 21 = k12 .
k11 2
??1 (t1 ) ? ? 2 0 ? ?? 11 ? ?1 (t1 ) = 2 ? ? 11
?? (t )? = ? ??? ?
Следовательно, , и тогда
1 2 ? ?? 21 ? ? 2 (t1 ) = (? 11 + ? 21 )
? 2 1 ? ? 12 2
? ?
? 1i , ? 2i ? Norm(0,1), i = 1,2,…


67
Пример 6.4.
Имитация одномерного стационарного гауссовского Марковского процесса с m( s ) = 0 и
?b t ?s
K11 (t , s ) = K11 (t ? s ) = ? 2 e , b>0.

Определим
m(t | y ( s )) = m( s ) + K (t , s ) ? K ?1 ( s, s ) ? [ y ( s ) ? m( s )] = ? 2 e
?b t ?s
? ?2 y ( s ) = e ? b t ? s ? y ( s ) , так как
K ( s , s ) = ? 2 ? e 0 = ? 2 и K ?1 ( s , s ) = ? ?2 , а m ( s ) ? 0
?b t ?s ?b t ?s ?2 b t ? s
K (t | y ( s )) = ? 2 ? ? 2 ? e ? ? ?2 ? ? 2 ? e = ? 2 [1 ? e ].
Пусть {? i }? Norm(0;1) .
В начальный момент m( s0 ) = 0 , K ( s0 , s0 ) = ? 2 . Тогда
? (t1 ) = 0 + ? ? ? 1 = ? ? ? 1
? (ti ) = e ?b t ?t ?? (ti ?1 ) + ? ? 1 ? e ?2 b t ?t ? ? i , i = 2,3,…
i ?1 i ?1
i i



Здесь s0 = t 0 .

Пример 6.5.
Имитация двумерного стационарного гауссовского Марковского процесса с m( s ) = 0 и
матричной корреляционной функцией
?2e ? b t ? s e ? b t ? s ? ?b t ? s ? 2 1?
K (t , s ) = K ( t ? s ) = ? ?b t ? s =e ??
?b t ? s ? ?
?1 1?
e e
? ?
Определим
?1
? m1 (t | y1 ( s )) ? ?2 1? ?2 1? ? y1 ( s ) ?
?b t ? s
?1
m(t | y ( s )) = ? ? = m( s ) + K (t , s ) K ( s, s )( y ( s ) ? m( s )) = e ?1 1? ?1 1? ? y ( s )?
?m2 (t | y 2 ( s ))? ? ?? ? ?2 ?
? e ? b t ? s y1 ( s ) ?
m(t | y ( s )) = ? ?b t ? s ?
e y 2 ( s )?
?
K (t | y ( s )) = K (t , t ) ? K (t , s ) K ?1 ( s, s ) K ( s, t )
? 2 b t ? s ? 2 1?
K (t | y ( s )) = (1 ? e )? ?
?1 1?
? 2(1 ? e ?2 b t ? s ) ?
0
?? (t ) ? ? e ? ?? 1 ?
y1 ( s ) ? ?
?b t ? s
? (t ) = ? 1 ? = ? ?b t ? s ? + ? 1 ? e ?2b t ? s ? ? ?? ?
?2b t ? s
1? e
?? 2 (t )? ?e y 2 ( s )? ? ? ? 2?
? ?
2 2
?1 (ti ) = e ?b t ?t ?1 (ti ?1 ) + 2 ? (1 ? e ?2 b t ?t ) ? ? 1i
i ?1 i ?1
i i


? 2 b ti ? ti ?1
1? e
? b ti ? ti ?1
? 2 (ti ) = e ? 2 (ti ?1 ) + ? (? 1i + ? 2i ), i = 2,3,…
2

Пример 6.6.
Имитация одномерного
нестационарного гауссовского Марковского процесса с
?3s t 2 , t > s
корреляционной функцией K (t , s ) = K11 (t , s ) = ? , t , s > 0 и нулевым средним.
3t s 2 , t < s
?
Для случая t > s .
?1 2
3s ? 3 ? ?s?
m(t | y ( s )) = 2 ? ? ? y ( s ) = ? ? y ( s )
t ?s? ?t?

68
?1 2
3 ? s3 ?
3 ? 3 ? ? 3s ?
K (t | y ( s )) = ? ? ? ? 2 ? = ?1 ? 3 ?
t? t ?
t ?s? ?t ? ? ?
2
? ti ?1 ? ti3?1
3
? (ti ) = ? ? ? (ti ?1 ) + (1 ? 3 ) ? ? i , i = 2,3,…
?t ? ti ti
?i?
3
? ? 1 , ? i ? Norm(0;1) .
? (t1 ) =
t1
Известно, что нормальный стационарный скалярный процесс ? (t ) с нулевым начальным
средним полностью описывается одномерной корреляционной функцией
K? (t ? s ) = M [? (t )? ( s )] .
Пусть рассматриваются случайные процессы с корреляционной функцией
Q
[As (t ? s)Cos? s (t ? s) + bs (t ? s) Sin? s (t ? s)],0 ? t ? s < ?
K? ( t ? s ) = ? e
?bs t ? s

s =1

bs , ? s > 0 - константы,
As (t ? s ), bs (t ? s ) - полиномы по (t ? s ) .
Спектральная плотность такого процесса дробно-рациональны и представимы в виде
?
R(? ) R0 + R1? 2 + … + Rk ? 2 k
G? (? ) = ? e ? j? ( t ? s )
K? ( t ? s ) d ( t ? s ) = = =
L(? ) L0 + L1? + … + Ll ?
2 2l
??
2
? 0 + j??1 + … + ( j? ) k ? k 2
= K ( j? ) , k < l
= (6.3)
?0 + j??1 + … + ( j? ) l ?l
Практическое представление G? (? ) в формуле (6.3) можно выполнить, если
? R(? ) = 0,
предварительно найти корни уравнений ?
? L(? ) = 0.
Процесс ? (t ) со спектром (6.3) можно представить в виде
? (t ) = ? 0?1 (t ) + ?1?1' (t ) + … + ? k?1( k ) (t ) ,
где ?1 (t ) - решение линейного стохастического уравнения с постоянными
коэффициентами ?0? (t ) + ?1? (1) (t ) + … + ?l? ( l ) (t ) = ? (t ) , ? (t ) - белый шум. И имеет
спектральную плотность
1 1
G?1 (? ) = =
L(? ) L0 + L1? 2 + … + Ll ? 2 l
и корреляционную функцию
?
1
??e G?1 (? )d?
j? ( t ? s )
K?1 (t ? s ) =
2? ?
Так как процесс ?1 (t ) (l ? 1) -кратно дифференцируем, сведем его к l -мерному
векторному Марковскому процессу.




69
6.4. Задания для самопроверки
1. Составить алгоритм моделирования случайного вектора ? = (?1, …, ?n)T, имеющего в
области ? распределение f (x1, …, xn).
a. f (x) = 6x1, ?={x?R2: x1 + x2 < 1, x1 > 0, x2 > 0};
b. f ( x) = Cx1e ? x1x2 , ?={x?R2: 0 ? x1 ? 2, 0 ? x2 < ?};
c. f ( x) = C ( x12 + x2 ) , ?={x?R2: 0 ? x1 ? 1, 0 ? x2 ? 1};
2


d. f ( x) = C (e ? x1 + e ? x2 ) , ?={x?R2: 0 ? x1 ? 1, 0 ? x2 ? 1};
e. f ( x) = e ? ( x1 + x2 ) , ?={x?R2: 0 ? x1 < ?, 0 ? x2 < ?};
f. f (x) = 2 xl x2+x3, ?={x?R3: 0 ? x1 ? 1, 0 ? x2 ? 1, 0 ? x3 ? 1}.
2. Составить алгоритм моделирования случайного вектора ? = (?1, …, ?n)T, имеющего в
области ? распределение f (x1, …, xn), по методу исключения.
a. f ( x) = C ( x1 + x2 ) , ?={x?R2: 0 ? x1 ? 1, 0 ? x2 ? 1 – x1};
f ( x) = Cx1e ? x1x2 , ?={x?R2: 0 ? x1 ? 1, 0 ? x2 ? 1};
b.
f ( x) = C x12 + x2 , ? - единичный круг. Перейти к полярным координатам;
2
c.
Cx1
, ?={x?R2: 0 ? x1 ? 1, 0 ? x2 ? 1 ? x12 };
f ( x) =
d.
x1 + x2
2 2


e. f ( x) = C ( x12 + x2 ) , ? – круг радиуса R с центром в начале координат;
2


( )
f. f ( x) = C e ?|x1| + e ?|x2 | , ?={x?R2: -1 ? x1 ? 1, -1 ? x2 ? 1}.
3. Найти моделирующее выражение для нормального случайного вектора ? с
дисперсионной матрицей K и математическим ожиданием m.
? 2 0 0? ?1? ? 2 2 2? ?1?
? ? ?? ? ? ??
a. K = ? 0 3 1 ? , m = ? 2 ? ; d. K = ? 2 2 2 ? , m = ? 2 ? ;
? 0 1 4? ? 3? ? 2 2 2? ? 3?
? ? ?? ? ? ??
?1 0? ?1?
1 0
?4 8 0 ? ? 2?
? ? ??
? ? ??
b. K = ? 8 20 10 ? , m = ? 2 ? ; ?1 2 0 0? ? 2?
e. K = ? , m =? ?.
2?
? 0 10 74 ? ? 3? 0 0 3 3
? ? ?? ? ? ??
?0 4? ? 4?
0 2
? ? ??

<<

стр. 3
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>