<<

стр. 5
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ


Замечание. Достаточная громоздкость вычислений.

8.6. Смещённые оценки
Все выше рассматриваемые оценки представляют собой несмещённые оценки. Однако,
при больших n для практических целей достаточно требовать, чтобы оценка была
состоятельной:

а) взвешенная равномерная выборка:
J = ? f ( x ) dx , ? -конечная область.
?
n
? f (? i )
J = i =1
? ? i -независимые случайные точки, равномерно распределённые в ?
,
n
? p (? i )
i =1
б) простейший метод Монте-Карло с поправочным множителем:
? f ( x) p( x)dx
G
?1 , ? 2 ,..., ? N - независимые реализации случайной точки с плотностью p(x) .
90
В качестве оценки интеграла рассмотрим величину
1N 1N
? =[ f (? )][ ? v(? )] ,
J
N N?
(8.12)
iN i
i =1 i ?1
где функция v(? ) пока не определена.
i

Теорема 8.4.
Если f ( x) ? L2 (G , p ) , v( x ) ? L2 (G , p ) и Mv(? ) = 1 , то
˜ 1
MJ = J ? ? f (1 ? v) pdx (8.13)
N NG
˜ 1 ?1?
DJ = ? [ f ? J (2 ? v)] pdx + o? 2 ?
2
(8.14)
? ?
NN ?N ?
G
Доказательство.
Для краткости обозначим f = f (? ) и v = v(? ) . При i ? k эти величины не
i i i i
зависимы.
N N
1 1
MJ = 2 M ? f v = 2 [ ? Mf Mv + ? M ( f v )] =
NN ik N ik ik
i, k = 1 i?k i =1
= N ?2[ N ( N ? 1)MfMv + NM ( fv)]
Так как Mf = J , Mv = 1 , то
?
MJ = J ? N ?1M ( f ? fv) (8.15)
N
Последнее равносильно (8.13).
N
?2 = 1 M
MJ N ffvv
?
i jkl
N 4
i, j , k , l = 1
? ?2 ?
D[ J пм ] = M [ J пи ] ? ( M [ J пм ]) 2
Здесь в сумме необходимо выделить слагаемые с 4 различными индексами (i, j, k, l ), с 3
различными индексами, например вида (i, i, j, k), с 2 различными индексами и со всеми
совпадающими индексами (i, i, i, i).
Иногда нетрудно получить, что
?2
M [ J N ] = N ?4{N ( N ? 1)( N ? 2)( N ? 3)(Mf ) 2 ( Mv) 2 +
+ N ( N ? 1)( N ? 2)[M ( f 2 )(Mv) 2 + 4M ( fv) MfMv +
(8.16)
+ ( Mf ) 2 (M (v 2 ))] + N ( N ? 1)[M ( f 2 ) M (v 2 ) +
+ 2{M ( fv)}2 + 2MfM ( fv 2 ) + 2MvM ( f 2v) + NM ( f 2v 2 )}.
Вычитаем из (8.16) соотношение (8.15), взятое в квадрате.
?
D( J ) = N ?4{N ( N ? 1)(?4 N + 6) J 2 + N ( N ? 1)( N ? 2)[M ( f 2 ) +
N
+ J 2 M (v 2 )] + 2 N ( N ? 1)( N ? 4) JM ( fv) + N ( N ? 2)[M ( fv)]2 + N ( N ? 1)[M ( f 2 ) M (v 2 ) +
2 JM ( fv 2 ) + 2M ( f 2v)] + NM ( f 2v 2 )}.
В этом выражении легко выделить главные члены:
?
D[ J ] = N ?1{?4 J 2 + M ( f 2 ) + J 2 M (v 2 ) + 2 JM ( fv)} + o( N ?2 ) =
N
= N ?1M [( f ? 2 J + Jv) 2 ] + o( N ?2 )

91
Последнее равносильно (8.14).
?
Из (8.13) видно, что оценка J будет несмещённой для любой функции f (x) тогда и
N
только тогда, когда v( x) ? 1 . В этом случае (8.12) обращается в оценку простейшего метода
Монте-Карло. Однако, для каждой конкретной f (x) существует бесконечно много таких
v(x) , что ? f (1 ? v) p( x)dx = 0 .
G
f ( x) ?
Из (8.14) видно, что если v( x) = 2 ? , то главный член выражения DJ обращается
N
J
? = o( N ? 2 ) .
в нуль и DJ
N

Замечание. v(x ) в теореме не обязана быть знакопостоянной так, что если h( x) ? f ( x) и
h( x )
Mh(?) = ? h( x) p ( x)dx = C ? 0 известно, то целесообразно положить v = 2 ? .
C
G




92
Глава 9

Применение метода Монте-Карло

Содержание:
9.2. Моделирование естественных процессов...................................................................... 93
9.2.1. Системы массового обслуживания........................................................................ 93
9.2.2. Расчет вероятностных характеристик сложной случайной величины............... 97

9.1. Моделирование естественных процессов
На протекание естественного процесса влияют случайные факторы разной природы.
Законы распределения этих факторов будем считать известными, поскольку они:
1. очень часто могут быть вычислены теоретически,
2. в большинстве случаев определяются экспериментально.
Разыграв определенные значения случайных факторов, мы имеем возможность рассчитать
конкретную случайную реализацию.
Такой расчет называется имитацией (simulation).

Замечание. Большинство приложений метода Монте-Карло связано именно с имитацией.
Замечание. Основная область применения этих методов - нейтронная физика.

9.1.1. Системы массового обслуживания
Простейшая, однородная система массового обслуживания (СМО) состоит из n линий
(каналов), каждая из которых может независимо “обслуживать” заявки. В любой момент
времени линия либо свободна, либо занята.

Пример 9.1.
а) Автозаправочная станция (линия – бензоколонка, заявки – машины).
б) Телефонная станция (линии – каналы связи, заявки – вызовы абонента).
в) Парикмахерская (линии – мастера, заявки – клиенты).

СМО как правило характеризуются случайным потоком заявок и продолжительностью
обслуживания.
Рассмотрим более популярно.
В систему поступает случайный поток заявок, вероятностные характеристики которого
известны. Если в момент tk, поступления заявки - k, имеются свободные линии, то одна из
них (правило выбора должно быть задано) принимает на себя обслуживание этой заявки.
Продолжительность обслуживания – случайная величина ?.


СМО



Системы Системы
с отказом без отказа
- телефонные станции - автозаправочные станции
- парикмахерские
Рис. 9.1. Структура СМО

93
Важнейшая характеристика систем с отказами это среднее число отказов в заданном
интервале времени.
Естественно, число отказов зависит от поступающего потока заявок.

Описание потока заявок

- стационарный пуассоновский поток (простейший);
Интервалы между моментами наступления двух последовательных заявок независимы и
подчиняются экспоненциальному распределению:
t k = t k ?1 + ?
? = t k ? t k ?1



F ( x) = 1 ? e ??x , 0 ? x < ?
1
?= - интенсивность потока заявок
µ?

? - случайная величина:
f (? ) = ae ?1? , a > 0, ? > 0
?
?
? ax
? = ? ae ? ax dx = ?e = 1 ? e ? a?
0 0

e ? a? = 1 ? ? = ?
? a? = ln ?
1
? = ? ln ?
a
- потоки Эрланга;
Они независимы и подчинены закону:
am ? = t k ? t k ?1 ,
x m ?1 e ? ax , 0 ? x < ?
f ( x) =
(m ? 1)!
1 a
=
Интенсивность такого потока равна .
µ? m

- нестационарные пуассоновские потоки;
?x ?
F ( x) = 1 ? exp?? ? a (tk + s)ds ?, 0 < x < ?
?0 ?


Рассмотрим алгоритм расчета систем с отказом (n линий, Pi(t)).



94
Правило выбора свободной линии сформулируем так: заявка поступает на линию, которая
освободилась раньше всех, а если таких несколько, то на ту из них, номер которой меньше.

Пусть в рассматриваемую систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью
a. Требуется оценить среднее число отказов за время t ? t < t
0 кон
Поставим в соответствие линии с номером i ячейку ЭВМ, в которую будем записывать
момент освобождения этой линии Ti.
В начальный момент T1=T2=…=Tn=t0.
В отдельную ячейку будем записывать T = min T . Момент поступления первой заявки
i
1? i ? n
разыграем по формуле: t = t ? 1 ln ? . (9.1)
a
10 1
Очевидно, первую заявку начнет обслуживать первая линия. Время обслуживания ?
найдем из уравнения:
?
? f (t )dt = ? 2 (9.2)
0

Линия 1 будет занята до момента T1 новое =t1+?1. Следовательно, в соответствующей первой
линии ячейке, надо заменить T1 на T1 новое и вычислить новое T .
Предположим теперь, что судьбу (k-1) –ой заявки поступившей в момент tk-1, мы уже
выяснили. Рассмотрим блок-схему обработки k-ой заявки и разыграем момент поступления
? 1 ln ?
k-ой заявки: t = t , и проверяем, есть ли свободные линии. Для этого
k ?1 2k ? 1
a
k
достаточно проверить неравенство: T ? t . (3)
k
Возможно два исхода:
а) Если (9.3) – выполняется, то линия, для которой Ti = T , приступает к обслуживанию k-
ой заявки. Продолжительность обслуживания ? разыгрывается по формуле:
?
? Pi (t )dt = ? 2k
0
= t + ? и новое значение T .
Затем вычисляется T
i новое k k
После этого можно перейти к рассмотрению следующей (k+1)-ой заявки.

б) Если (9.3) – ложь, то свободных линий в момент tk нет и система должна выдать отказ.
В этом случае надо прибавить единицу к счетчику отказов, после чего можно перейти к
рассмотрению (k+1)-ой заявки.
Расчет продолжается до тех пор, пока момент поступления очередной заявки не окажется
больше, чем tкон. К этому моменту времени в счетчике отказов будет стоять количество
отказов µ за время t ? t < t
0 кон
Повторив такой опыт N раз (с различными случайными числами), получим N значений
µ1,…,µ?, по которым оценим среднее число отказов за время t ? t < t :
0 кон
1N
M (µ) ? ? µ.
N i =1 i
Схему обработки k-ой заявки можно представить следующим образом:



95
1
t k = t k ?1 ? ln? 2k ?1 ?
Поиск линии, для которой Ti = T
a

Да
Нет Нет
?
T ? tk iст=1 iнов=icт+1
?
Ti = T

Да
?
µнов=µcт+1
? P (t )dt = ?
i 2k
0




= tk + ? k
Ti новое




?
T = min Ti
1?i ? n




? k = ? 1a ln ? 2 k +1



t k +1 = t k + ? k


Рис. 9.2. Схема обработки заявки

Оценка качества приборов радиоэлектронных устройств

Электронный прибор состоит из:
R (1) , R ( 2 ) , …
C (1) , C ( 2 ) , …
UUUU
(1) ( 2)
L , L ,…
Рис. 9.3. Электронный прибор

Пусть качество прибора определяется величиной:
(1) (2) (1) (2)
U = f ( R , R , … , C , C ,...) (*)
В действительности, параметры всех деталей несколько отличаются от номинальных, и
потому значения U для разных экземпляров прибора будут отличаться от (*).
Можно пытаться оценить пределы изменения U, выбирая самые неблагоприятные
значения параметров. Однако не всегда ясно, какой набор параметров будет наихудшим. Как
правило, такая оценка большого практического значения не имеет, так как на практике
маловероятно, чтобы все параметры одновременно были наихудшими.
96
Поэтому более рационально считать параметры всех деталей (сопротивления и емкости)
независимыми случайными величинами и определить закон распределения случайной
величины U.
Для такого расчета необходимо знать функции распределения параметров всех деталей.
Вероятностные характеристики деталей заводами-изготовителями не выдаются.
Поэтому поступают проще:

R ± 5% ? N ( R,0.05 R 3)
a = R, 3? = 0.05 R

9.1.2. Расчет вероятностных характеристик сложной случайной величины

Пусть есть Q(?1,…,?n) – n-мерная случайная точка, закон распределения FQ(x) известен.
Требуется вычислить какие-нибудь вероятностные характеристики скалярной, случайной
величины
f (…) - вид функции определен
? = f (Q ), Q > FQ ( x ),

Пример 9.2.
M[?], P(???), где ? - заданный интервал.
Если функция f(x1,…,xn) – сложная (задана алгоритмом) аналитически вычислить
функцию распределения F?(y) не удается. Естественно применить метод Монте-Карло:
1) находят независимые реализации Qi
2) ?i=f(Qi)
1N 1N
? = M [? ] ? ? ?i , P (? ? ? ) ? ? x ? (? i )
N i =1 N i =1
x?(y) - индикатор интервала ?.
F?(y) - эмпирическая функция распределения.
P?(y) - ?
Можно построить гистограмму hN(y).
[a,b] ? содержит все выборочные значения ?1,?2,…,?n. Отрезок разбивают на r
интервалов и вычисляют количество выборочных значений, принадлежащих этим
интервалам: ?1,…,?r.
r
? R = R ? [ a , b ],
j =1 j
r
[ a , b ] = ? [ y j ?1; y j ), где y0 = a , y r = b,
j =1
Гистограмма представляет собой ступенчатую функцию (см. рис. 9.4).
h N ( y ) = (? i N ) ( y j ? y j ?1 ), при y ? ( y j ?1 , y j ].




Рис. 9.4. Гистограмма

97
Глава 10

Примеры решения задач

Содержание:
10.1. Решение задачи Дирихле................................................................................................. 98
10.2. Решение уравнения Лапласа............................................................................................ 99
10.3. Вычисление винеровских интегралов........................................................................... 101
10.4. Замена континуального интеграла многомерным....................................................... 102
10.5. Минимаксные оценки интегралов................................................................................. 102

10.1. Решение задачи Дирихле
G – ограниченная связная область.
G0 – простая граница.
? 2u ? 2u
+ = F ( x, y ) (10.1)
?x 2 ?y 2
u=u(x,y) – искомая функция.
F ( x, y ) = 0 ? уравнение Лапласа
F ( x, y ) ? 0 ? уравнение Пуасона
y

G0

..
0 x


Рис. 10.1. Пример области G.

Пусть на границе G0 задана некоторая функция g(x,y); часто пишут g(S), где S – длина
дуги границы, отсчитывая от какой-нибудь фиксированной точки.

Задача Дирихле
Определение u(x,y), которая на границе совпадает с g(x,y): u( x, y ) G 0 = g , и удовлетворяет
(10.1).

В классическом случае задачу Дирихле решают так:
Выбирают сетку с шагом h:
xj = j?h
yl = j ? h
u( x j , y l ) ? u jl
F ( x j , y l ) ? F jl

98
внутренний
Узел (j,l)
граничный
Уравнение (10.1) во внутренних узлах заменяются разностными уравнениями
u j +1,l ? 2 ? u j ,l + u j ?1,l u j ,l +1 ? 2 ? u j ,l + u j ,l ?1
+ = F jl
h2 h2
Или его можно переписать в виде
1
u jl = (u j ?1,l + u j +1,l + u j ,l ?1 + u j ,l +1 ? h 2 F jl ) (*)
4
В граничных узлах полагают
u jl = g jl (**)
Решение алгебраической системы (*) и (**) при h>0 приближается к решению задачи
Дирихле для уравнения (10.1).

10.2. Решение уравнения Лапласа

G – ограниченная связная область, P0 ? G.
Определим случайную траекторию:
P0 = Q0 > Q1 > Q2 >…> Qn >…
следующим образом:
Q0 = P0 и Qn+1 = Qn + rn ? wn, n = 0, 1, 2,…
wn = {cos? h , sin ? h }, ? h ? Rav (0;2? )

. Qn+1
rn = ln

.Q ?h
.
2

.
.
P0 Qn
Q1G
G0

Рис. 10.2. Пример случайной траектории

Теорема 10.1.
Если u(p)= u(x,y) – функция удовлетворяет в области G уравнению Лапласа:
? 2u ? 2u
+ 2 =0, (10.2)
?x ?y
2


то при каждом h и при любых l0, l1, …, ln Mu(Qn+1) равно значению u(P0) в начале
траектории.

Доказательство.
Будем считать, что задана плотность qn (l ) = qn ( r ) .
?0, при r > минимальных расстояний
qn ( r ) = ?
от Q и до границы G 0 , и при r < 0
?
Случай qn ( r ) = ? ( r ? rn ) также допускается, и выбор rn осуществляется в соответствии с
плотностью qn (r ) .
Пусть Pn (P ) - плотность распределения точки Qn в G.
Тогда математическое ожидание величины u(Qn +1 ) = u(Qn + rn ? ? n ) :


99
d?2?
?
Mu(Qn +1 ) = Mu(Qn + rn ?? n ) = ? Pn ( P )dP ? qn ( r )dr ? u( P + rw)
2?
?? 0
G

Согласно теореме о среднем значении гармонической функции (Тихонов А., Самарский
А. А., 1966):
1 2?
2? ?0
u( P + rw)d? = u( P )
Поэтому
Mu(Qn +1 ) = ? u( P ) ? Pn ( P )dP = Mu(Qn )
G
при h=0, Q0 = P0, u(Q0) = u(P0), Mu(Q1)=u(P0).
Применяя индукцию, получим утверждение теоремы.
Построение траекторий рассмотренного типа в трехмерном случае называют
блужданиями по сфере.
Построенные траектории можно использовать для приближенного решения задачи
Дирихле.
Обозначим U(P) – искомое решение, удовлетворяющее внутри G уравнению (10.2) и
обращающееся в g(P) при P ? G0.
Gv
Pv
.. G0


0
G?
P0


G

Рис. 10.3. Иллюстрация примера
0
Фиксируем достаточно малую окрестность G ? границы G0.
Чтобы вычислить u(P0) будем строить траектории вида P0 = Q1 > Q2 > … > Qv > до тех
0
пор, пока случайная точка Qv не попадет в G ? .
Пусть Pv – ближайшая к Qv, Pv ? G0.
Можем считать, что значение случайной величины u(Qv) приближенно равно ?
u(Qv ) = g ( Pv )
Построив N траекторий такого типа, получим значение g ( Pv1 ), g ( Pv2 ),..., g ( Pv N ) . (10.3)

Замечание. Рекомендуется выбирать максимально возможные радиусы rn .
P
1N
? u(Qvs ) >u( P0 ) , когда N > ? не вытекает из
Замечание. Сходимость по вероятности
N S =1
теоремы Хингина, так как в (10.3) фигурируют N различных случайных величин,
различающихся правилами выбора r0 , r1 , ….

Можно воспользоваться другой формой больших чисел – теоремой Чебышева:
Если ?1 ,...,? s независимые и существуют M? s = a s и D? s ? C , то при N > ?



100
1N 1N P
?N ?S ? ? aS > 0 .
N S =1 S =1
1N
??i неравенство
Доказательство этой теоремы легко получить, применяя к величине
N i =1
Чебышева.

В нашем случае все Mu(Qvs ) = u ( R0 ) , Du(Qvs ) ? Mu 2 (Qvs ) ? C 2 , где C = sup | g ( P ) | . Max
P?G0

и min гармонической функции достигается на границе области, так что |u(P)|?C при всех
P?G.

10.3. Вычисление винеровских интегралов

В задачах теории вероятности, статистической и квантовой физики, теории
дифференциальных уравнений решения могут быть выражены через так называемые
континуальные интегралы.
Наиболее распространенные континуальные интегралы по мере Винера, они обычно
называются винеровскими интегралами.
? F [ x ]dW x
C

С - пространство всех непрерывных на отрезке 0?t?T функций x(t), удовлетворяющих
начальному условию x(0)=0, а F[x(t)] – произвольный непрерывный и ограниченный
функционал, заданный на С.

Рассмотрим случайную траекторию x = ? (t ) частицы, совершающей броуновское
движение, с начальным условием ? (0) = 0 (такую траекторию называют винеровским
процессом). Тогда MF [? (t )] = ? F [ x ]d W ( x ) . Отсюда вытекает простейший метод Монте-
G

1N
Карло для расчета интеграла ? ? F [? S ] , где ?1 ,? 2 ,...,? N - независимые реализации
N S =1
броуновской траектории x = ? (t ) .
При определении меры Винера D(коэффициент диффузии)=1/4.
Пусть x = ? (t ) - координата частицы, совершающей движение вдоль оси Ox,
начинающееся из точки ? (0) = 0 . Если D=1/4, то плотность вероятностей ? (t ) ?
2
Pt ( x ) = (?t ) ?1 / 2 e ? ( x / t ) .
Существуют два способа приближенной реализации таких траекторий.
Разбиваем отрезок [0; T] на n частей: 0 = t0 < t1 <…< tn= T. Разыгрываются случайные
значения траектории ? (ti ) . Точки (ti; ? (ti ) ) будем обозначать (ti; xi).
x
t2 t3
t1

0 t



Рис. 10.4. Ломаная – приближенная броуновской траектории

101
Способ 1.
Он основан непосредственно на определении броуновского движения.
Условное распределение ? (ti ) при известном значении ? (ti ?1 ) нормально
1
N (? (ti ?1 ), ti ? ti ?1 ) . Тогда, при i=1, 2, …, n
2
T
? (ti ) = ? (ti ?1 ) + ?? i (*)
2n
? (0) = 0,? i ? независимые нормальные случайные величины с m=0 и ? 2 = 1 .

Способ 2.
1
Если значения ? (t ' ) и ? (t ' ' ) известны, то условное распределение значения ? [ (t '+t ' ' )]
2
1 1
также нормально с m = [? (t ' ) + ? (t ' ' )] и ? 2 = t ' '?t ' .
2 8
. Используя условие ? (0) = 0 можно разыграть значение
Пусть n = 2 m


T
? (T ) = ? (0) + ? ? 1 . Это фактически (*) при n=1, а затем разыгрывать остальные значения
2
? (ti ) в серединах отрезков.
? (T / 2) = 1 / 2[? (0) + ? (T )] + T 8 ? ? 2
? (T / 4) = 1 / 2[? (0) + ? (T / 2)] + T 16 ? ? 3
? (3T / 4) = 1 / 2[? (T / 2) + ? (T )] + T 16 ? ? 4
? (T / 8) = 1 / 2[? (0) + ? (T / 4)] + T 32 ? ? 5
и так далее.

10.4. Замена континуального интеграла многомерным

Фиксируем разбиение отрезка [0; T] и условимся каждую непрерывную кривую x(t)
˜
заменять ломаной x (t ) , совпадающей с x(t) во всех точках деления:
˜
x (ti ) = x (ti ) = xi , i = 0, n .
Значение функционала F [ x ] = F ( x1 ,..., x n ) . Из работы Гельфонда И. М. известно, что
? ?
nn
n n/2
? F [ x ]dW x = lim( ?T ) ???...???F ( x1 ,..., xn ) ? exp{? T ? ( xi ? xi ?1 ) }dx1 ...d n .
2
n>?
i =1
C
То есть при достаточно больших n можно вычислять многомерные интегралы.

10.5. Минимаксные оценки интегралов

J k = ? g k ( x )dx = M? k , ? k = g k (? ) / p(? ), k=1,2.
X

D[? k ] = ? [ g k ( x ) / p( x )]dx ? J k2 .
2

X

Пусть g k ( x ) ? 0. Определим некую плотность p = p * ( x ) , для которой достигается min
F(p), где max{D?1 ( p ), D? 2 ( p )} , то есть минимакс среднеквадратических погрешностей

102
оценок интегралов. Плотность p * ( x ) должна удовлетворять неравенству D?1 ( p ) = D? 2 ( p ) .
Пусть max{g1 ( x ), g 2 ( x )} ? C > 0 .

Теорема 2.
Решение поставленной задачи p * ( x ) = p( x, ? ) = c( ? )[?g12 ( x ) + (1 ? ? ) g 2 ( x )]1 / 2 , где ? ? (0;1)
2


и удовлетворяет уравнению ? [ g12 ( x ) / p ( x, ? )]dx ? J 12 = ? [ g 2 ( x ) / p( x, ? )]dx ? J 2
2 2
(1).

Доказательство.
Функции D?1 ( p ), D? 2 ( p ) - выпуклые на выпуклом множестве нормированные функцией
p ? 0 при условии (1). Здесь имеем конус возможных направлений Г = {? : ? ?dx = 0} ,
сопряженный конус Г + = {? + : ? + ? const} , субдифференциал ?F ( p * ) = co{[ D? k ( p )]' , k = 1,2} .
Поэтому условие минимакса (Демьянов, Васильев) имеет вид:
? ?[ g12 ( x ) / p 2 ( x ) ? (1 ? ? ) g 2 ( x ) / p( x ) 2 ] = c, 0 ? ? ? 1 ,
2


то есть минимакс реализуется на p( x, ? ) . Для минимаксных значений ? = ?* получаем
F ( p?* ) = G ( ?* ) = [ ? ( ?* g12 ( x ) + (1 ? ?* ) g 2 ( x ))1 / 2 dx ]2 ? ?* J 12 ? (1 ? ?* ) J 2 .
2 2


Рассматриваемая задача сводится к максимизации G (? ) .

оценки интегралов от множества функций g? = g ( x,? ) ? 0, ? ? S
Замечание. В случае
имеем P * ( x ) = c( ?* )[ ? g 2 ( x,? )?* ( d? )]1 / 2 , где ?* - вероятностная мера в S, на которой
достигается max{[ ? ( ? g 2 ( x,? ) ? ( d? ))1 / 2 dx ]2 ? ? J 2 (? ) ? ( d? )} .
?
Соответствующие алгоритмы практически трудно реализуемы.




103
Литература
1. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. (1976). Курс статистического моделирования. – Москва:
Наука, 320с.
2. Кнут Д. (1977). Искусство программирования для ЭВМ. Получисленные алгоритмы. –
Москва: Мир, т.2, 725с.
3. Соболь И. М. (1973). Численные методы Монте-Карло. – Москва: Наука, 312с.
4. Голенко Д. И. (1965). Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на
электронных вычислительных машинах. – Москва: Наука, 375с.
5. Поляк Ю. Г. (1971). Вероятностное моделирование на электронных вычислительных
машинах. – Москва: Советское радио, 400с.
6. Андерсон Т. (1976). Статистический анализ временных рядов. – Москва: Мир, 759с.
7. Дженкинс Г., Ваттс Д. (1971). Спектральный анализ и его приложения. – Москва: Мир,
выпуск 1, 317с.
8. Иванов В. М. (1984). Случайные числа и их применение. – Москва: Финансы и
статистика, 107с.
9. Шеннон Р. (1978). Имитационное моделирование систем – искусство и наука. – Москва:
Мир, 426с.
10. Советов Б. Я., Яковлев С. А. (1985). Моделирование систем. – Москва: Высшая школа,
271с.
11. Киндлер Е. (1985). Языки моделирования. – Москва: Энергоатомиэдат, 288с.
12. Кёниг Д., Штойян Д. (1981). Методы теории массового обслуживания. – Москва: Радио и
связь, 128с.
13. Шрайбер Т. (1980). Моделирование на GPSS. – Москва: Машиностроение, 592с.
14. Голованов О. В., Дуванов С. Г., Смирнов В. Н. (1978). Моделирование сложных
дискретных систем на ЭВМ третьего поколения. – Москва: Энергия, 160с.




104

<<

стр. 5
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ