стр. 1
(всего 6)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

Маркетинг, решение исследовательских задач
Алифанов А.Л., Алифанов Л.А. Маркетинг: Решение исследовательских задач: Учеб. Пособие. Красноярск, ИПЦ КГТУ, 2005. 95 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Проверка статистических гипотез
1.1. Предпосылки использования в маркетинговых исследованиях статистических методов
1.2. Оценка существенности факторов, влияющих на объем производства товара, с помощью непараметрического критерия знаков
1.3. Оценка значимости систематически действующих факторов на результат деятельности фирм с использованием критерия для количества серий
1.4. Анализ компьютерного рынка с позиций однородности объемов продаж лидирующими компаниями
1.5. Вычисление количественной оценки статистической связи между качественными показателями деятельности фирм
1.6. Оценивание резко выделяющихся показателей динамики реального денежного дохода населения
1.7. Проверка однородности выручки, получаемой от российского экспорта основных видов продукции
1.8. Оценка однородности условий маркетинговой деятельности
Анализ факторов, обуславливающих успех управления маркетингом
2.1. Оценка значимости местонахождения пункта продаж на средние цены автомобилей
2.2. Влияние квалификации специалистов на продолжительность технического обслуживания машин
2.3. Оценка существенности влияния двух факторов и их взаимодействия на показатели маркетинга
Непараметрические методы исследования в маркетинге
3.1. Экспертные методы оценивания качества товаров и услуг
3.2. Оценивание существенности влияния рейтинга марки товара на прибыль фирм
Управление запасами
4.1. Термины, постановка задачи
4.2. Расчет оптимального размера партии при равномерном спросе
4.3. Расчет оптимального размера партии в случае модели производственных поставок
Модели массового обслуживания
5.1. Термины, определения
5.2. Вычисление показателей простейшей очереди
Заключение
Библиографический список
Приложение
ВВЕДЕНИЕ
Маркетинг как вид человеческой деятельности, направленной на удовлетворение нужд и потребностей посредством обмена [7], подвержен влиянию огромного количества факторов демографического, экономического, природного, научно-техничес-кого, политического, культурного характера. Они проявляют себя в случайные моменты времени, в различных сочетаниях, с разной степенью воздействия на эффективность маркетинговой деятельности.
Стратегическое планирование, разработка годовых планов и маркетинговый контроль невозможны без знания рыночной ситуации и формирующих ее факторов макро- и микросреды. Поэтому необходимо выявление наиболее значимых их них с целью построения оптимизационных моделей и написания сценариев, позволяющих осуществлять последовательное и глубокое внедрение на рынки.
Маркетинговая ситуация быстро меняется, уровень значимости факторов, существенных в настоящий момент, через относительно малый промежуток времени может повыситься или снизиться; с развитием рынка на первое место могут выходить качественно новые факторы, коренным образом изменяя условия производства, сбыта и потребления.
В настоящем пособии изложены наиболее простые и эффективные способы, лежащие в основе формирования статистических банков – совокупностей «современных методик статистической обработки информации, позволяющих наиболее полно вскрыть взаимозависимости в рамках подборки данных и установить степень их статистической надежности» [7], а также банков моделей.
Как статистические банки, так и банки оптимизационных и прогнозных моделей требуют постоянного поддержания уровня их надежности за счет совершенствования самих методик и моделей. Изложенные в пособии методики и модели представляют собой фундаментальные знания, на основе которых осуществляется повышение уровня их эффективности.
В первой главе рассмотрены методы и примеры решения задач проверки статистических гипотез при исследовании различных аспектов маркетинговой деятельности с помощью критериев математической статистики. Приведены способы оценивания существенности факторов, влияющих на показатели маркетинга, и значимости систематически действующих факторов на результаты работы фирм. Представлены методы проверки однородности объемов продаж ведущими компаниями, оценки статистической связи между показателями функционирования организаций и резко выделяющихся показателей реального денежного дохода населения. Произведен анализ однородности выручки, получаемой от российского экспорта основных видов продукции, и однородности условий маркетинговой деятельности.
Вторая глава посвящена анализу факторов, обуславлива-ющих эффективность маркетинговой деятельности. Здесь приведены методика и решение задачи с помощью однофакторного дисперсионного анализа: оценка значимости влияния местонахождения пункта продаж на цены автомобилей, а также методика и решение задач с помощью двухфакторного дисперсионного анализа: оценка существенности влияния двух факторов и их взаимодействия на показатели маркетинга.
В третьей главе на примерах проиллюстрированы приемы применения непараметрических методов исследования в маркетинге для количественного оценивания качественных состояний или свойств объектов. Рассмотрены примеры выявления уровня надежности автомобильных узлов, а также уровни эффективности использования различных видов транспорта крупными отправителями. Изложены элементы кластерного анализа в свете оценивания существенности влияния рейтинга марки товара на прибыль фирм.
В четвертой главе изложен один из важнейших аспектов маркетинга – управление запасами. Приведены описание задач теории и способы определения оптимальных размеров партий товара для двух вариантов: в случае равномерного спроса и в случае модели производственных поставок.
В пятой главе рассмотрены понятия теории массового обслуживания и на примерах показаны варианты использования простейших моделей для вычисления основных показателей систем, находящих применение в различных сферах маркетинговой деятельности.
Изложение приведенных в данном пособии методик ориентировано на выполнение расчетов вручную. На практике более удобно осуществлять исследования в специализированных пакетах программ, либо программировать вычислительные алгоритмы самостоятельно, однако, в процессе обучения «ручной» счет предпочтительнее, так как помогает лучше усвоить материал и закрепить его понимание на интуитивном уровне.
1. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
1.1. Предпосылки использования в маркетинговых исследованиях статистических методов
При исследованиях показателей маркетинговой деятельности в реальных условиях во многих случаях приходится иметь дело с практически трудно управляемыми или вовсе не управляемыми, трудно изменяемыми или даже не изменяемыми исследователем факторами. Это весьма затрудняет или вовсе исключает целенаправленное варьирование их уровнями по заранее разработанному применительно к конкретной ситуации или выбранному плану, и воплощение его (даже если это принципиально возможно) может оказаться слишком дорогостоящим.
Тем не менее, если хотя бы один фактор управляем, а остальные сравнительно легко контролируемы, проводят эксперименты в разнородных условиях, сообразуясь с целью исследования и материальными возможностями.
Когда эксперименты проводятся с факторами, часть которых управляема, а другая часть неуправляема, но контролируема, то они называются активно-пассивными, если же все факторы управляемы и контролируемы – активными. Активные эксперименты предполагают отбор существенных факторов, задание границ факторного пространства, минимизацию числа опытов, построение модели, адекватной данным, и отыскание оптимума. Но уже только одно ограничение факторного пространства само по себе сильно сужает поиск и процесс формирования новых знаний, поэтому такой подход к экспериментированию в большинстве случаев, скорее, позволяет уточнить знания об объекте и упорядочить их, т. е. по сути активные эксперименты эффективны лишь на горизонтальном уровне.
Главным способом изучения маркетинговых ситуаций является наблюдение – «восприятие объекта без активного вмешательства в его поведение», хотя и «исследователь вынужден пассивно ожидать естественного проявления необходимых эффектов в поведении объекта, что значительно удлиняет ожидаемое время сбора необходимой информации» [2]. Наблюдение особенно эффективно, когда факторы трудно управляемы или неуправляемы, но контролируемы. Современные методики обработки наблюдений позволяют получать приемлемые результаты, делать достаточно точные выводы, выдвигая гипотезы и принимая или отвергая их.
Статистическая гипотеза – любое предположение о свойствах случайной величины. Выдвигаемые гипотезы подразделяются на исходную (основную), так называемую, нуль-гипотезу Н0, и конкурирующие гипотезы Н1, Н2, …Нn. Если нулевая гипотеза отвергается, то в качестве основной принимается первая из конкурирующих, если и она отвергается, то принимается вторая и т. д.
При проверке статистических гипотез используется понятие уровня значимости a. Уровень значимости (или риск производителя – в терминологии науки о контроле качества) есть вероятность ошибки первого рода – отвергнуть правильную гипотезу. Вероятность противоположного события
Рдов = 1 – a.   (1.1)
Вероятность ошибки второго рода – принять неправильную гипотезу (риск потребителя) в, вероятность противоположного события 1 – в – мощность критерия. В инженерных экономических и технических расчетах уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,1, поскольку эти значения соответствует, как правило, принятой точности измерений и объему выборок.
Можно уменьшить a – риск производителя, но тогда, вполне естественно, увеличится риск потребителя в, поэтому для уменьшения a и в необходимо увеличивать объем выборок, или увеличивать точность измерений, или увеличивать и то и другое.
Для проверки нуль-гипотезы наблюдаемое значение случайной величины сравнивают с критерием, который также является случайной величиной с известной функцией распределения. Найденные значения критерия могут находиться в критической области маловероятных значений и, напротив, в области принятия гипотез, где значения критерия допускаются с заданной доверительной вероятностью. Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотез, называют критическими. Правосторонняя критическая область определяется неравенством
  К > Ккр,(1.2)
где К – случайная величина критерия; Ккр – значение критерия, соответствующее критической точке.
Левосторонняя критическая область имеет место, когда
  К < Ккр.(1.3)
Двусторонняя критическая область отвечает неравенству
|К| > Ккр.(1.4)
Например, для нахождения правосторонней критической области задаются уровнем значимости б и определяют по соответствующим таблицам критическую точку Ккр, руководствуясь следующим соображением: при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что К > Ккр, равна a:
  Р(К > Ккр) = a. (1.5)
Значит, если К находится в критической области, то нуль-гипотеза отвергается, а вероятность того, что К > Ккр, равна a – вероятности отвергнуть правильную гипотезу.
Двусторонняя критическая область, отвечающая требованиям |К| > Ккр или К < К1кр и К > К2кр при К2кр > К1кр, определяется как сумма:
  Р(К < К1кр) + Р(К > К2кр) = a.  (1.6)
При симметричном распределении критерия имеет место выражение
  Р(К > Ккр) = a/2,   (1.7)
т. е. вероятность того, что найденный критерий попадает в правостороннюю критическую область, равна a/2 (при такой же вероятности попадания в левостороннюю критическую область, что в сумме дает a).
1.2. Оценка существенности факторов, влияющих на объем производства товара, с помощью непараметрического критерия знаков
Критерий знаков является одним из самых простых способов выявления существенных факторов. Он основан на N-ста-тистике и служит для проверки гипотезы о равной вероятности положительного и отрицательного исходов для последовательности независимых событий. Результаты наблюдений (испытаний) независимы, если каждый из них не подвержен влиянию предыдущего и не содержит информации о последующем.
Если гипотеза о равной вероятности исходов независимых испытаний (их число равно n) Р{+} = Р{–} не отвергается, то нужно предположить, что исследуемый фактор, варьируемый экспериментатором, не оказывает влияния на результат испытаний. Единственное условие – отсутствие влияния других значимых факторов, кроме исследуемого.
Если количество положительных исходов равно м, то для проверки гипотезы Н0: р = 0,5 (при конкурирующих Н1: р < 0,5;
Н2: р > 0,5; Н3: р ? 0,5) по табл. 1 приложения определяют критические значения N(a, м) и N(a, n – м), соответствующие заданному уровню значимости.
1.    При альтернативе {р < 0,5} основная гипотеза отвергается с уровнем значимости a, если n ? N(a, м).
2.    При альтернативе {р > 0,5} основная гипотеза р = 0,5 отвергается с уровнем значимости a, если n ? N(a, n – м).
3.    При двусторонней альтернативе {р ? 0,5} основная гипотеза р = 0,5 отвергается с уровнем значимости 2a, если n ? N(a, min {м, n – м}).
Пример. По данным источника [16], приведенным в табл. 1, требуется оценить влияние географического расположения района (восток – запад) на производство фальшивых напитков li, млн дкл в 1999 г.
Таблица 1
Производство напитков в РФ по районам, млн дкл (значения округлены)
1. Центральные, южные и западные районы РФ






У
Калинин-градская область
Волго-Вятский
Централь-ный

Центрально-Черно-земн.
Северо-Кавказск.
Поволжский

2,0
6,0
26,0

3,4
7,8
12,4
57,6
2. Северные и восточные районы РФ







Уральск.
Западно-сибирск.

Восточ.-сибирск.
Дальневосточный
Северный
Северо- западн.
У
13,6
9,7

4,9
6,5
3,4
1,4
39,5








Решение. Чтобы можно было воспользоваться рассматриваемым критерием, область возможных значений производства напитков R по обеим группам районов делится на две равные части:
  R1 = R2 = R/2 = (lmax – lmin)/2,(1.8)
R/2 = (26 – 1,4)/2 = 12,3 млн дкл,
где R1 – область положительных значений производства напитков; R2 – область отрицательных значений, lmax – значение максимального объема производства (Центральный район), lmin – значение минимального объема производства (Северо-западный район).
Количество положительных исходов для первой группы (больших граничного значения 12,3) равно 2 (Центральный и Поволжский районы); для второй группы районов количество положительных исходов равно 1 (Уральский район). Поэтому
м = 2 + 1 = 3 и при a = 0,1 по табл. 1 приложения N(0,1; 3) = 12. Поскольку число районов также равно n = 12 и, значит, n = N(0,1; 3), то гипотеза (имеется в виду двусторонняя альтернатива) о независимости от географического расположения района объема производства фальшивых напитков отвергается. Скорее всего, место расположения района (в смысле принадлежности его к первой или второй группе) все-таки влияет на объем производства фальшивой продукции.
Если же повторить процедуру отдельно для каждой группы районов, то окажется, что внутри групп расположение района не оказывает влияния на объем производства. Например, для первой группы области положительных r1 и r2 отрицательных значений равны:
r1 = r2 = r/2 = (l1max – l1min)/2; r/2 = (26 – 2)/2 = 12 млн дкл.
Количество положительных исходов для первой группы районов равно 2, поэтому м = 2. При числе районов первой группы n1 = 6 и уровне значимости a = 0,1 величина n1< Nкр (0,1; 2) = 9 (табл. 4, приложения), т. е. гипотеза об отсутствии влияния на объем производства фальшивых напитков расположения района, если он находится в 1-й группе, не отвергается. Вариация же объемов производства внутри групп объясняется другими факторами.
1.3. Оценка значимости систематически действующих
факторов на результат деятельности фирм
с использованием критерия для количества серий
В случае проверки эффективности рандомизации (целью которой является исключение существенного влияния на исследуемый объект систематически действующих факторов) и отсутствия систематических ошибок при осуществлении наблюдений используют критерий для количества серий.
Пример. В табл. 2 представлены данные по числу продаж k компьютеров [15], тыс. шт., лидерами рынка Европы, Ближнего Востока и Африки за 1998 и 1999 гг. Требуется оценить влияние систематически действующих факторов (собственно года продаж, имиджа компании и т. п.) на результат деятельности фирм.
Таблица 2
Число продаж компьютеров компаниями – лидерами рынка
Год
продаж
Компании




У
У У

Compaq
Fujitsu-Siemens
Dell
IBM
Hewlett-Packard


1998
4,8
2,8
2,1
2,4
1,8
13,9

1999
5,5
3,7
2,9
2,8
2,3
17,2
31,1
Решение. Среднее число продаж компьютеров, приходящееся на каждую компанию в год
  ,   (1.9)
.
где k – объем продаж i-й фирмой; n – число фирм; g – число лет продажи.
Считая, что данные в табл. 2 расположены в порядке их регистрации, присваивают знак (+) соответствующим продажам (и фирмам), которые превышают , и знак (–) продажам, меньшим, чем .
Получаем последовательность из четырех серий: + – – – – + + – – –. Первая серия состоит из (+), вторая – из ( – – – – ), третья – из (+ +), четвертая – из (– – –). Количество минусов n = 7, количество плюсов m = 3.
Если найденное по результатам наблюдений количество серий г удовлетворяет неравенствам
  g(a; m; n) < г < G(a; m; n), (1.10)
то гипотеза о случайном характере данных не отвергается. Если хотя бы одно из неравенств нарушится, то гипотезу следует отвергнуть. Здесь g(a; m; n) и G(a; m; n) – соответственно нижнее и верхнее критические значения для количества серий.
По табл. 2 приложения при уровне значимости a = 0,1 нижнее критическое значение равно 2, верхнее –8, следовательно, неравенство выполняется и можно считать, что в данной совокупности наблюдений систематически действующие факторы не влияют на количество продаж.
1.4. Анализ компьютерного рынка с позиций однородности объемов продаж лидирующими компаниями
Для проверки гипотезы об однородности двух выборок
о1, о2, … оn  и оґ1, оґ2, … оґm c независимыми элементами используют критерий Вилкоксона W. Проверяется основная гипотеза Н0, предполагающая, что обе выборки принадлежат одной и той же совокупности:
Н0: Р{о < x} ? P{о? < x}    (|x| < ?).  (1.11)
Конкурирующей может быть гипотеза
Н1: Р{о < x}? P{оґ< x}. (1.12)
Предполагается, что объем первой выборки m не превышает объема n второй, т. е. m ? n, если это не так, то выборки просто перенумеровывают.
Расположив значения выборок в одном вариационном ряду в порядке возрастания и пронумеровав их, находят значение
W-статистики (Wнабл.) – сумму порядковых номеров для значений первой выборки, затем по табл. 3 приложения находят значение нижней критической точки wнижн. кр (a/2; m; n) при двусторонней критической области, а значение верхней критической точки находят по формуле:
wверхн.кр = (m + n + 1)m – wнижн.кр.(1.13)
При wнижн.кр< Wнабл. < wверхн.кр нулевую гипотезу не отвергают.
Поскольку таблицы популярных изданий [1, 5] не содержат значений w – критических точек при m и n больших 25, то значение wнижн.кр вычисляется по приведенным в источнике [1] формулам.
Пример. Оценить однородность долей лидеров компьютерного рынка Европы, Ближнего Востока и Африки в 1998 и 1999 гг. [15]. Данные выборок приведены в табл. 3.
Таблица 3
Исходные данные для расчета однородности долей рынка в 1998 и 1999 гг.
Годы продаж
Компании





Compaq
Fujitsu-Siemens
Dell
IBM
HewlettPackard
1998
16,8
9,7
7,4
8,5
6,4
1999
16,6
11,1
8,8
8,4
6,8
Решение. Данные табл. 3 располагаются в виде вариационного ряда в порядке возрастания, им присваиваются порядковые номера:
6,4;  6,8;  7,4;  8,4;  8,5;  8,8;  9,7;  11,1;  16,6;  16,8
  1  2  3  4  5  6  7 8 910
Вычисляется сумма номеров для 1998 г., она составляет:
Wнабл. = 1 + 3 + 5 + 7 + 10 = 26.
По табл. 3 приложения при уровне значимости a = 0,1, а для двусторонней критической области a/2 = 0,05 и m = n = 5, значения нижней и соответственно верхней критических точек равно соответственно:
wнижн.кр (0,05; 5; 5) = 19;wверхн.кр = (5 + 5 +1)5 – 19 = 36.
Поскольку
wнижн.кр (0,05; 5; 5) < Wнабл. (равное 26) < wверхн.кр (0,05; 5; 5),
гипотеза о принадлежности двух выборок одной генеральной совокупности не отвергается. Следовательно, маркетинговые мероприятия, проведенные в течение этих лет, не позволили фирмам существенно увеличить свое влияние на компьютерном рынке и потеснить конкурентов.
1.5. Вычисление количественной оценки статистической связи между качественными показателями деятельности фирм
Для оценки наличия и тесноты связи между двумя объектами, свойства которых описываются качественными показателями, используют метод ранжирования, присваивая показателям каждого объекта ранг от 1 до n в порядке, соответствующему ухудшению свойств, и вычисляют коэффициент ранговой корреляции.
Результат такой процедуры может найти применение в случае сравнительной оценки как деятельности фирм, так и производимой ими продукции при сопоставлении ее с более совершенной. Это позволит своевременно скорректировать план маркетинга в части повышения качества и установления оптимальной цены на товар.
Пример 1. В табл. 4 приведена оценка имиджа основных пивоваренных предприятий (ОАО «Ярпиво» и ОАО «Балтика») по девяти показателям на рынке Ярославской области по пятибалльной шкале [14]. Требуется оценить связь между показателями фирм «Ярпиво» и «Балтика», присвоив ранги соответствующим баллам (столбцы 3 и 5), с помощью выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Таблица 4
Сравнительная характеристика предприятий по основным показателям
Показатели (высказывания потребителей)
ОАО «Ярпиво»

ОАО «Балтика»


Оценка
Ранг (X)
Оценка
Ранг (Y)
Хорошо известная компания
4,9
1
4,9
1
Компания с большим будущим
4,7
2
4,8
2
Компания, способная противопоставить свою продукцию конкурентам
4,5
3
4,6
3
Быстрорастущая компания
4,4
4
4,6
3
Компания, вызывающая доверие
4,3
5
4,5
4
Компания, заботящаяся о потребителе своей продукции
4,2
6
4,3
5
Компания, заботящаяся о качестве своей продукции
4,1
7
4,3
5
Фирма, проводящая хорошо рекламную кампанию
4,0
8
3,9
6
Компания, проводящая правильную ценовую политику
4,0
8
3,5
7
Решение. Для вычисления коэффициента ранговой корреляции определяют разности рангов по каждому показателю:
di = xi – yi.
d1 = 1 – 1 = 0;  d2 = 2 – 2 = 0;  d3 = 3 – 3 = 0;  d4 = 4 – 3 = 1;
d5 = 5 – 4 = 1;  d6 = 6 – 5 = 1;  d7 = 7 – 5 = 2;   d8 = 8 – 6 = 2;  d9 = 8 – 7 = 1.
Сумма квадратов разностей рангов

Значение коэффициента ранговой корреляции при числе объектов, равном n = 9:

Существенность коэффициента корреляции проверяется с помощью t-критерия Стьюдента, затем исследуется гипотеза о равенстве нулю коэффициента ранговой корреляции для генеральных совокупностей Н0: с = 0 при конкурирующей Н1: с ? 0. При | с | > Tкр нулевая гипотеза отвергается. Величина критической точки вычисляется по формуле
Ткр = tкр(a; k)[(1 – с2)/(n – 2)]0,5,  (1.14)
где a – уровень значимости, a = 0,1; k – число степеней свободы,
k = n – 2; n – объем выборки.
По табл. 7 приложения для двусторонней критической области определяется значение tкр(0,1; 7) = 1,8946, тогда
Ткр = 1,8946[(1 – 0,92)/(9 – 2)]0,5 = 0,31.
Поскольку | с | > Ткр, нулевая гипотеза отвергается, коэффициент ранговой корреляции с = 0,9 значим.
Пример 2. По данным табл. 4, записанным в виде табл. 5, рангов требуется оценить связь между показателями деятельности фирм с помощью коэффициента ранговой корреляции Кендалла.
Таблица 5
Ранговые оценки показателей деятельности ОАО «Ярпиво» и «Балтика»
ОАО «Ярпиво», xi
1
2
3
4
5
6
7
8
8
ОАО «Балтика» yi
1
2
3
3
4
5
5
6
7
Решение. Правее у1 находятся 8 рангов, больших, чем у1 (2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7), поэтому R1 = 8. Правее у2 – 7 рангов (3, 3, 4, 5, 5, 6, 7), поэтому R2 = 7 и далее: R3 = 5; R4 = 5; R5 = 4; R6 = 2; R7 = 2; R8 =1. Сумма рангов R = 34.
Коэффициент ранговой корреляции Кендалла при n = 9

Значимость коэффициента фв оценивается также с помощью t-критерия. Проверяется нулевая гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Н0: сг = 0 при конкурирующей Н1: сг ? 0.
Значение, соответствующее критической точке, вычисляется по формуле
,  (1.15)
где zкр – критическая точка двусторонней критической области, отвечающая равенству Ф(zкр) = (1 – a)/2; n – объем выборки.
При |фв| > Ткр нулевая гипотеза отвергается.
Для вычисления Ткр вначале с помощью функции Лапласа (табл. 8 приложения) при уровне значимости a = 0,1 определяется критическая точка zкр из соотношения
Ф(zкр) = (1 – a)/2 = (1 – 0,1)/2 = 0,45, откуда zкр = 1,645, тогда

Поскольку |фв| > Ткр, нуль-гипотеза отвергается, согласно альтернативной гипотезе Н1 выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла так же как и коэффициент, найденный по способу Спирмена, значим. Тот факт, что они несколько разнятся между собой, неважен, так как область возможных значений случайной величины с охватывает значение фв, являющегося также случайной величиной.
По результатам расчета можно сказать, что и той, и другой компании следует внимательно отнестись к пункту о проведении правильной ценовой политики, а фирме «Ярпиво» обратить внимание еще и на повышение качества своей продукции: при однородности всех остальных показателей качество продукции фирмы «Ярпиво» резко снизило коэффициент ранговой корреляции между показателями фирм. Характер других оценок показывает, что обе фирмы находятся на подъеме, но вся их деятельность направлена только на агрессивный захват рынка любой ценой, включая здоровье покупателей, и потребителю следовало бы обходить стороной их продукцию.
1.6. Оценивание резко выделяющихся показателей динамики реального денежного дохода населения
Результаты маркетинговых измерений могут содержать грубые ошибки и случайные просчеты, причем далеко не всегда представляется возможность продублировать эксперимент в тех же самых условиях и, таким образом, возникает риск потери ценной информации либо использования искаженной, привносящей недопустимую ошибку в расчеты неверной информации.
В то же время резко выделяющиеся, аномальные наблюдения могут быть абсолютно достоверными, содержащими совершенно новую, ранее не наблюдавшуюся закономерность или явление, и поэтому необходим анализ, выявление причинно-следственных связей, приведших к появлению резко выделяющегося среди других результата. Если же выяснится, что аномальное наблюдение появилось не из-за грубых ошибок или просчетов, а по причине возникновения ранее не встречавшейся ситуации, то использование вновь полученных об объекте знаний может дать в маркетинговой деятельности весьма существенный положительный эффект.
Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда параметры распределения – математическое ожидание и дисперсии – неизвестны и заменяются их оценками, определяемыми по небольшой выборке.
Результаты опытов хi располагаются в виде вариационного ряда, нулевая гипотеза, подлежащая проверке, Н0: m*(x) = xn при конкурирующей Н1: m*(x) > xmi, здесь xmi – резко выделяющееся наблюдение; m*(x) – оценка математического ожидания исследуемой величины.
Рассчитывается величина дзета-статистики по формуле
  ,(1.16)
где s – оценка среднего квадратического отклонения выборки.
При т(m*(x), s(x)) < т(n, a) нулевую гипотезу не отвергают
(n – объем выборки).
Пример 1. Данные, приведенные в табл. 6 [12], используются для прогнозирования спроса на рынке бытовой мебели. Оценить принадлежность к выборке резко выделяющихся наблюдений.
Таблица 6
Динамика уровня реального располагаемого денежного дохода населения (РРДД), %, в 1992–2002 гг. (за 2002 г. дан прогноз)
РРДД
52,5
116,4
111,9
83,9
100,8
106,3
83,7
86,8
110,9
105,9
105,5
Год
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
После расположения их в виде убывающего вариационного ряда становится очевидным, что последняя цифра резко выделяется от остальных членов ряда:
116,4; 111,9; 110,9; 106,3; 105,9; 105,5; 100,8; 86,8; 83,9; 83,7; 52,5.
Требуется оценить принадлежность величины 52,5 к вариационному ряду.
Решение. Вычисляется оценка математического ожидания показателей динамики уровня РРДД:
.
Вычисляется оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения ряда:
; ; D*(x) = 347,6;  s(x) = 18,6.
После вычисления значения дзета-статистики и отыскания по табл. 4 приложения критического значения при уровне значимости a = 0,1 устанавливается, что нулевая гипотеза отвергается: значение 52,5 не принадлежит исследуемому вариационному ряду:

В источнике [1] приведены более простые, но несколько менее мощные критерии, статистики которых задаются отношениями:
  (1.17)
где xn, xn–1, xn–2, x2, x1 – соответственно последний, предпоследний, третий от конца, второй и первый члены вариационного ряда.
Как и в предыдущем случае, проверяется нулевая гипотеза о принадлежности резко выделяющегося наблюдения к исследуемому вариационному ряду Н0: xn = xi, при конкурирующей
Н1: xn < xi.
Численные значения отношений:

При уровне значимости a = 0,1 и n = 11 критические точки (табл. 5 приложения) соответственно равны: 0,332; 0,385; 0,449. Поэтому нуль-гипотеза отвергается, следует признать, что значение 52,5 не принадлежит вариационному ряду.
Показатель динамики уровня реально располагаемого денежного дохода (РРДД) населения в 1992 г. резко отличается от показателей последующих лет. В этом смысле он не принадлежит к исследуемой генеральной совокупности потому, что управление и без того нестабильной, напрямую зависящей от международных цен на природные ресурсы экономики было подвержено в 1992 г. сильному воздействию негативных явлений. Эти явления в последующие годы стабилизировались и стали вполне нормальными, отвечающими современным, так сказать, требованиям, и неулавливаемыми для статистических критериев.
Однако при использовании информации о прошлом для прогнозирования динамики в будущие периоды показатель 1992 г. (как подтверждают сделанные расчеты) применять нельзя, если, конечно, у прогнозиста нет оснований предполагать новый всплеск провалов в управлении экономикой.
1.7. Проверка однородности выручки, получаемой от российского экспорта основных видов продукции
Для оценки однородности средних значений независимых нормально распределенных величин, дисперсии которых равны (однородны), но неизвестны, может быть использован критерий Аббе, статистика которого задается отношением
  . (1.18)
Проверяется нуль-гипотеза Н0: m*1(x) = m*2(x) = m*3(x) = m*4(x) при альтернативе Н1: |m*i+1 (x) – m*i (x)| > 0.
Если найденное значение q-статистики превышает критическое, то гипотеза о равенстве средних отвергается.
Пример 1. Требуется проверить гипотезу об однородности вкладов, приведенных в табл. 7, видов продукции в выручку от экспорта (данные по четырем федеральным округам РФ) в предположении, что известны только mi*(x) – средние значения выручки [17], а другой информации нет.
Таблица 7
Экспорт некоторых видов продукции России в 2000 г. по федеральным округам, млн долл
Федеральные
округа
Нефтехимические товары
Черные и цветные металлы
Машиностроительная продукция
Древесина и изделия из нее
Северо-западный
3,0
2,3
1,5
1,6
Южный
1,6
0,6
0,4
0,0
Сибирский
2,3
5,7
0,5
1,0
Дальневосточный
1,0
0,3
0,6
0,5
m*i (x)
1,98
2,23
0,75
0,78
D*i (x)
0,7
6,1
0,3
0,5
Значения средних представляют в виде вариационного ряда: 0,75; 0,78; 1,98; 2,23, со средним 1,43 и вычисляют q-статистику:

В соответствии с табл. 6 приложения значение q-статистики при n = 4 уровне значимости б = 0,05 составляет qкр = 0,3902 < q =
= 0,41, поэтому гипотеза о равенстве средних отвергается.
Следовательно, вклад в экспортную выручку различных видов продукции по указанным районам неодинаков: на первом месте – нефтехимические товары, на втором – черные и цветные металлы, и так далее.
Однако при вычислении q-статистики Аббе используется не вся информация об объектах, поэтому для парного сравнения средних используют критерий Стьюдента (табл. 7 приложения), тогда его статистика:
  (1.19)
где  – исследуемые средние значения; D*(x3), D*(x4) – оценки дисперсий случайных величин; n, m – объемы выборок; (n – 1),
(m – 1) – числа степеней свободы оценок дисперсий.
Проверяется нулевая гипотеза Н0:  при альтернативной Н1:  при условии однородности оценок дисперсий и нормального распределения X и Y. Нулевая гипотеза отвергается, если |tнабл.| > tдвуст.кр (б/2; k), где a – уровень значимости, k – число степеней свободы, k = n + m – 2.
Пример 2. Оценить с помощью t-критерия однородность средних значений экспортной выручки для трех вариантов:
1) от машиностроительной продукции и древесины и изделий из нее при выполнении условия однородности оценок D*(x3) и D*(x4);
2) от нефтехимических товаров, черных и цветных металлов;
3) от нефтехимических товаров и древесины и изделий из нее.
Решение. 1. В соответствии с формулой

Найденное значение t-статистики меньше критического (табл. 7, приложения);
tнабл.= 0,07 < tдвуст.кр (0,1/2; 6) = 1,9432,
поэтому гипотеза о равенстве выручки по четырем районам РФ от машиностроительной продукции и от древесины и изделий из нее не отвергается.
2. Прежде, чем вычислить значение t-статистики для второго варианта, необходимо проверить однородность оценок дисперсий c помощью F-статистики (табл. 10 приложения):

т. е. оценки дисперсий для исследуемых товаров X1 и X2 неоднородны, t-критерий не позволяет решать задачу об однородности m*(x1) и m*(x2).
3. Здесь очевидно, что оценки дисперсий однородны, значение t-статистики
,
поскольку tнабл. = 2,19 > tдвуст.кр (0,1/2; 6) = 1,9432 (табл. 7 приложения). Средние значения товаров X1 и X4 неоднородны, экспортная выручка от товаров нефтехимии больше, чем от древесины и изделий из нее. Все это согласуется с результатом, полученным при использовании критерия Аббе, который дает положительный ответ по поводу однородности средних значений только в случае, когда все средние однородны, но, если хотя бы одно значение неоднородно с каким–либо другим, то и ответ будет отрицательным.
Однородность средних для зависимых выборок проверяется с помощью d-статистики. Проверяется нулевая гипотеза
Н0 : М*(X) = M*(Y) при конкурирующей Н0: М*(X) ? M*(Y).
Пример 3. Средний балл успеваемости группы ИЭ-00 по математике в первом семестре по результатам экзаменационной сессии составил 3,43, во втором – 3,52, в третьем – 3,65, в четвертом – 3,74. Оценить однородность средних баллов, полученных студентами группы ИЭ-00 в 1-м и 4-м семестрах по математике во время экзаменационных сессий (табл. 8).
Таблица 8
Баллы, полученные студентами группы ИЭ-00 по математике в 1-м и 4-м семестрах
Семестр
Балл






















1
3
3
3
3
3
4
3
3
3
5
3
4
3
4
3
3
3
5
4
4
3
3
4
4
4
3
3
3
4
5
3
3
4
4
3
4
3
4
4
3
3
5
4
5
4
3
5
Решение. Выборки зависимы, так как баллы 1-го и 4-го семестров в каждом столбце получены одним и тем же студентом и в силу этого являются попарно зависимыми.
Вычисляется среднее значение разностей баллов
d* = Уdi /n,
где di = xi – yi; xi, yi – баллы студентов, полученные ими в 1-м и 4-м семестрах соответственно, n – число студентов в группе.
d1 = 3 – 4 = – 1; d2 = 3 – 3 = 0;…; d5 = 3 – 4 = – 1;
d6 = 4 – 5 = – 1;…; d9 = 3 – 4 = – 1; d10 = 5 – 4 = 1;
d15 = 3 – 4 = – 1;…; d20 = 4 – 5 = – 1; d21 = 3 – 4 = – 1;
d22 = 3 – 3 = 0; d23 = 4 – 5 = –1.
Уdi = – 1 – 1 – 1 – 1 + 1 – 1 –1 – 1 – 1 = – 7;
d* = –7 / 23 = – 0,304.
Сумма квадратов разностей
Уd2i = (–1)2 + (–1)2 +(–1)2 + (–1)2 + (+1)2 + (–1)2 +(–1)2 + (–1)2 + (–1)2 = 9.
Среднее квадратическое отклонение разностей
Sd =  Sd =
Наблюденное значение Т-статистики
Тнабл = d*n0,5/Sd = – 0,304?230,5/0,559 = – 2,6081.
Поскольку абсолютное значение Т-статистики больше, чем критическое значение tдвуст.кр.(0,10; 32) = 1,70 (табл. 7 приложения), средние баллы 1-го и 4-го семестров неоднородны, поэтому можно считать, что от 1-го к 4-му семестру имеет место небольшое, но значимое повышение успеваемости.
1.8. Оценка однородности условий маркетинговой деятельности
Все этапы маркетинга как деятельности, направленной на удовлетворение нужд и потребностей людей, от производства товаров до потребления зависят от множества факторов, в том числе от неуправляемых и неконтролируемых. Результаты наблюдений характеризуются оценками математических ожиданий и дисперсий.
Если две (или несколько) выборки исследуемой величины получены при воздействии одних и тех же и с одинаковой интенсивностью влияющих на результат факторов (т. е. в однородных условиях), то оценки их математических ожиданий и дисперсий не должны существенно отличаться (т. е. выборки будут принадлежать одной и той же генеральной совокупности). Поэтому при проверке гипотезы об однородности двух выборок вначале проверяют однородность оценок дисперсий, позволяющую предположить однородность условий проведения наблюдений, и только в случае их однородности проверяют однородность средних.
Если при проведении эксперимента варьируется один (или несколько) из числа предположительно значимых факторов и при фиксации его (или их) на заранее выбранных уровнях, которые могут иметь место в естественных условиях, регистрируются значения исследуемой величины, то оценки дисперсий в выборках должны быть однородными, поскольку условия однородности воспроизведения опытов не нарушаются. Оценки математических ожиданий выборок будут неоднородными, если фактор (или несколько варьируемых факторов) значим, и однородными, если фактор незначим.
Во всех случаях однородность условий проведения опытов предполагает однородность оценок дисперсий. Обратное утверждение (однородность дисперсий означает однородность условий проведения опытов) может быть верным, если имеются все физические предпосылки для этого.
При сравнении двух выборочных независимых дисперсий используется F критерий Фишера, при этом для проверки нулевой гипотезы Н0: D*(x1) = D*(x2) вычисляется отношение большей оценки дисперсии к меньшей. В качестве конкурирующей принимается Н1: D*(x1) > D*(x2) либо Н2: D*(x1) ? D*(x2), во втором случае имеет место двусторонняя критическая область.
Найденное Fнабл. сравнивается с критическим значением (табл. 10 приложения) при заданном уровне значимости a
(a/2 при двусторонней критической области) и числах степеней свободы оценок дисперсий f1 и f2 (число степеней свободы оценки дисперсии равно объему наблюдений минус единица).
В случае Fнабл. < Fкр (a; f1; f2) гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается.
Пример. В качестве сравнительной оценки культурного уровня населения, наличия культурных ценностей в стране существует показатель, характеризующий число посещений очагов культуры в течение года, приходящееся на 1 человека [19].
  Для оценки однородности популярности различных центров культуры (табл. 9) требуется оценить однородность оценок дисперсий с помощью критерия Фишера (табл. 10 приложения).
Таблица 9
Уровень посещаемости музеев и театров за рубежом и в России на 1 января 1999 г.
Страна
Посещение музеев,
на 1 чел. в год
Посещение театров,
на 1 чел. в год
1
2
3
Россия
0,5
0,3
США
1,3
1,6
Норвегия
1,9
2,5
Австрия
1,8
2,0
Канада
1,7
2,1
Германия
1,2
1,6
Италия

1,4
m*(x)
1,4
1,6
D*(x)
0,27
0,49
Решение. Критерий Фишера F вычисляется по формуле

Следовательно, гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается при уровне значимости б = 0,1. Сравнение средних, исключение резко выделяющихся наблюдений проводить можно. Кроме очевидного последнего места, занимаемого в настоящее время Россией можно предположить, что и музеи, и театры посещает публика одного уровня.
В тех случаях, когда требуется проверить гипотезу об однородности нескольких оценок дисперсий, вычисленных по выборкам одинакового объема, используют критерий Кокрена. Им удобно пользоваться, например, при проведении дисперсионного анализа.
Проверяется гипотеза Н0: D*1 (y) = D*2 (y) =…= D*n (y) при конкурирующей Н1: D*j (y) > D*1 (y) = D*2 (y) =…= D*i (y)=… = D*n (y).
G-статистика критерия Кокрена выражается формулой:
  , (1.20)
где D*max (y) = max(D*1 (y); D*2 (y);… D*i (y);… D*n (y)).
Если при уровне значимости б, числе степеней свободы каждой из оценок дисперсий f, равном объему каждой выборки минус единица, а также числе исследуемых оценок дисперсий n имеет место (табл. 11 приложения) выражение:
Gнабл.< Gкр.(б; f; n),   (1.21)
то гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается.
Пример 1. В табл. 10 приведены данные об объемах месячных продаж безалкогольного напитка «Тархун» в течение семи лет с 1993 по 1999 гг. [11]. Требуется оценить однородность оценок дисперсий ежемесячного потребления напитка, предполагающую неизменность воздействия значимых факторов на объем продаж по годам.
Таблица 10
Ежемесячное потребление безалкогольного напитка «Тархун» в 1993–1999 гг., тыс. дкл
Месяц
Год







1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
Январь
6,7
7,2
7,7
7,9
8,4
8,5
8,8
Февраль
6,6
6,9
7,3
7,4
7,8
8,4
8,8
Март
8,5
9,1
8,7
8,9
10,2
10,6
11,2
Апрель
8,5
9,1
9,3
9,8
10,4
10,9
10,9
Май
9,1
10,0
10,2
10,1
11,2
11,0
11,9
Июнь
10,6
10,5
10,3
9,8
11,9
12,6
13,0
Июль
10,6
9,8
11,5
11,4
12,0
12,6
12,1
Август
10,5
10,4
11,0
11,9
11,1
12,0
12,8
Сентябрь
9,0
8,9
9,3
10,5
10,5
10,9
11,0
Октябрь
7,8
8,3
9,2
9,9
9,7
9,7
10,5
Ноябрь
7,9
8,1
8,3
8,9
9,8
9,6
9,8
Декабрь
8,1
8,3
8,3
9,3
9,6
9,7
9,4
m*(y)
8,7
8,9
9,3
9,7
10,2
10,5
10,9
D*(y)
1,91
1,38
1,68
1,68
1,62
2,01
2,09
Решение. В двух последних строках табл. 10 представлены оценки математических ожиданий и дисперсий. Значение
G-статистики

Следовательно, гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается, что говорит о стабильности и однородности условий в течение семи лет, в которых осуществлялась продажа напитка. Постоянное ежегодное увеличение продаж напитка (m*(y) возрастает) свидетельствует об успешном внедрении маркетинговых мероприятий.
При оценке однородности нескольких оценок дисперсий, найденных по выборкам неодинакового объема (число выборок более трех) из нормально распределенных генеральных совокупностей, используют критерий Бартлетта, основанный на
М-статистике:
  ,  (1.22)
где ; ki – число степеней свободы i-й дисперсии, равное соответствующему объему выборки минус единица; m – число сравниваемых оценок дисперсий; D*i(y) – оценка i-й дисперсии.
Проверяется нулевая гипотеза Н0: D*1 (y) =…= D*i (y) = … = D*m (y) при конкурирующей Н1: D*1 (y) ? D*i (y). Табл. 12 приложения содержит критические значения М-статистики в зависимости от наперед заданного уровня значимости б, числа степеней свободы k = m – 1 и величин С1, С3, С, ДС, вычисляемые по формулам
  (1.23)
В некоторых случаях используется функция m(б), вычисляемая по формуле,
    (1.24)
Правила, применяемые при использовании М-критерия [1]:
1. Вычисляется значение М-статистики (Мнабл.);
2. Мнабл. сравнивается со значениями ma и mb в строке k табл. 12 приложения; если при всех С1 величина ma ? M, то гипотезу о равенстве дисперсий Н0 отвергают, если же при всех С1 имеет место М ? mb, то Н0 не отвергается.
3. В тех случаях, когда max ma > M ? min mb, вычисляют С1 и по табл. 12, приложения находят ma(б; k; C1) и mb(б; k; C1); если ma(б; k; C1) ? M, то Н0 отвергается; если же М < mb(б; k; C1), то Н0 не отвергается.
4. При ma(б; k; C1) > M ? mb(б; k; C1) вычисляется значение m(б); если m(б) ? M, то Н0 отвергается; если же M < m(б), то Н0 не отвергается.
Пример 2. По данным табл. 11 проверить однородность оценок дисперсий экспорта продовольственных товаров и сырья для их производств, тыс. долл [17], из субъектов Российской федерации в 2000 г.
Таблица 11
Экспорт продовольственных товаров и сырья для их производства из субъектов Российской Федерации в 2000 г.
№ п/п
Субъект Российской Федерации
Экспорт (тыс. долл)
1
Субъекты РФ, экспортирующие максимум товаров
m*1 (y)= 151,7

Москва
152,2

Камчатская область
115,0

Ростовская область
187,8
2
Северо-Западный федеральный округ
m*2 (y) = 34,9

Санкт-Петербург
54,7

Калининградская область
34,5

Мурманская область
37,5

Новгородская область
13,0
3
Южный федеральный округ и Самарская область
m*3 (y) = 31,6

Краснодарский край
65,6

Ставропольский край
23,0

Астраханская область
16,2

Московская область
57,6

Волгоградская область
16,7

Самарская область
26,9

Белгородская область
15,4
4
Уральский и Сибирский федеральный округ
m*4 (y) = 31,7

Курганская область
40,9

Челябинская область
12,4

Алтайский край
34,9

Новосибирская область
17,0

Омская область
53,3
5
Дальневосточный федеральный округ
m*5 (y) = 49,5

Приморский край
81,2

Хабаровский край
16,3

Сахалинская область
51,1
Решение. Вычисляя по каждому j-му округу оценки математических ожиданий и дисперсий величин экспорта, их заносят в табл. 12.

Таблица 12
Вычисление параметров для нахождения М-статистики

п/п
D*i (y)
ki
1/ki
kiD*i (y)
lnD*i (y)
kilnD*i (y)
1
1325
2
0,5
2650,4
7,1893
14,3786
2
292,9
3
0,33
878,6
5,6797
17,039
3
441,6
6
0,17
2649,7
6,0904
36,5425
4
287,5
4
0,25
1150,0
5,6612
22,6450
5
1054,8
2
0,5
2109,7
6,9611
13,9223
У

17
1,75
9438

104,5274
М-статистика равна

Так как при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы k =5 – 1 = 4 величина М-статистики mb(0,05; 4; C1) при любых C1 больше Мнабл. (по табл. 12 приложения минимальное значение mb(0,05; 4; 0,0) = 7,81), то гипотеза об однородности дисперсий не отвергается.
Замечание 1. Если предположить, что наблюдаемое значение М-статистики получилось равным 8,3, тогда необходимо было бы вычислить значение С1, оно было бы равно:

Используя линейную интерполяцию, по табл. 12 приложения получают mb(0,05; 4; 1,69) = 8,41. Поскольку оно превышает Мнабл., то и в этом случае гипотеза об однородности дисперсий не отвергалась бы.
2. Если предположить, что наблюдаемое значение М-статис-тики Мнабл. = 8,5, т. е. согласно табл. 12 приложения получится, что mb < Mнабл. < ma, то сначала нужно вычислить С3, С, ДС:
 
.
Далее вычисляется величина m(б):

Поскольку предполагаемое Мнабл = 8,5 < m(б) = 9,01, то гипотеза об однородности дисперсий и в этом случае не отвергалась бы.
2. АНАЛИЗ ФАКТОРОВ, ОБУСЛАВЛИВАЮЩИХ УСПЕХ УПРАВЛЕНИЯ МАРКЕТИНГОМ
2.1. Оценка значимости местонахождения пункта продаж на средние цены автомобилей
При воздействии на систему множества факторов (оцениваемых количественно или качественно) устанавливается связь между ними и признаком. Факторы – независимые случайные переменные, признак – зависимая случайная переменная. В качестве характеристики изменения признака используется полная дисперсия. Задача дисперсионного анализа – разложение полной дисперсии на составляющие:
,  (2.1)
где  – полная дисперсия, характеризующая изменчивость признака у в данной серии  экспериментов;  – cоставляющая полной дисперсии, обусловленная изменчивостью i-го фактора или взаимодействия факторов; бi – коэффициент, характеризующий объем наблюдений;  – дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов
Для решения вопроса о том, существенно ли влияние данного фактора на признак, используется критерий Фишера:
, (2.2)
где б – уровень значимости, характеризующий вероятность, с которой определяется существенность исследуемого фактора; fi  – число степеней свободы дисперсии (у), характеризующее количество информации, использованное для ее вычисления; fош – число степеней свободы дисперсии , характеризующее количество информации, использованное для ее определения, т.е. значимость оценивается на фоне шумового поля, создаваемого действием неучтенных факторов и ошибки эксперимента.
Модель однофакторного дисперсионного анализа
уik = м + Ai + еik , (2.3)
где уik – значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне при k-м повторении опыта; м – математическое ожидание признака у, оценка которого вычисляется по результатам всех наблюдений; Аi – влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); еik ошибка эксперимента и действие неучтенных факторов, когда фактор А находится на i-м уровне при k-м повторении опыта.
Для проведения анализа необходимо фактору А придавать различные значения, т. е. исследовать на различных уровнях i,
i = 2, 3,…, а; аmin = 2; k – число наблюдений на каждом уровне, k = 3, 4, …, n; kmin = 3. В случае однофакторного дисперсионного анализа общее число наблюдений N = a · n.
Проведя опыты, можно найти общую среднюю  и средние значения по уровням наблюдений  и определить суммарные квадраты.
Q =  – полный суммарный квадрат, характеризующий полную изменчивость признака.
 – суммарный квадрат, характеризующий отклонения групповых средних от общей средней, он определяет изменчивость признака от действия фактора А и межгрупповой ошибки эксперимента, число степеней свободы f1 = a – 1.
 – суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов внутри групп наблюдений.
Поскольку опыты производятся в однородных условиях (это предпосылка проведения дисперсионного анализа), то межгрупповая дисперсия ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов и общая дисперсия ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов однородны. По сути, это одна и та же дисперсия, оценки которой вычисляются по разному объему выборок из одной и той же совокупности экспериментальных данных, поэтому ее оценка , где f2 – число степеней свободы, f2 = N – a. Учтя это и определив оценку дисперсии , можно записать
,
откуда
 и .  (2.4)
Вклад фактора в изменчивость признака вычисляется по формуле
  Ввкл = [S2A(y)/S2п(у)]·100 %, (2.5)
где S2A(y), S2п(y) – соответственно оценка дисперсии, характеризующая вклад фактора в изменчивость признака, и полная дисперсия, характеризующая полную изменчивость признака.
Расчетные зависимости для рационального подсчета численных значений суммарных квадратов имеют вид
;  ;
.  (2.6)
 
Пример. По данным источника [13] исследовать влияние местонахождения пункта продаж (Минск, Москва) на средние цены (тыс. долл США) легковых подержанных автомобилей марок БМВ, «Опель-Астра», «VW–Гольф», «Форд-Мондео» в ноябре 2000 г., имеющих в первом приближении одинаковое техническое состояние.
В табл. 13 приведены цены на автомобили в Минске и Москве, а также необходимые расчетные параметры.
Таблица 13
Вычисление показателей для расчета влияния местонахождения пункта продаж на средние цены подержанных автомобилей
№ п/п
Местонахождение пункта продаж

Суммы

Минск
Москва

1
2
3
4
1
5,0
6,8
 
2
3,1
4,1
 
3
2,3
5,0
 
4
4,1
5,1
 
5
5,3
7,2
 
6
2,8
4,2
 
1
2
3
4
7
3,4
5,4
 
8
3,8
5,4
 
i
3,7
5,4
 
j
1,1
1,2
 
Уу
29,8
43,2
= 73
Уу2
118,6
241,9
 
= 360,5
(Уу)2
888,0
1866,2
= 2754,2
Решение. Приведенные значения параметров вычисляют по следующим формулам:

Вначале проверяют однородность оценок дисперсий по уровням наблюдений. Вычисляют значение F-статистики:
.
Следовательно, оценки дисперсий однородны, дисперсионный анализ можно проводить, поскольку с достаточным уровнем доверительной вероятности неучтенные факторы и неизбежная ошибка эксперимента существенно не повлияли на изменчивость признака.
Значения сумм для первого столбца данных (Минск):
Уу = 5,0 + 3,1 + …+ 3,8 = 29,8;
Уу2 = 5,02 + 3,12 +…+ 3,82 =118,6;
(Уу)2 = 29,82=888,0.
Для второго столбца (Москва):
Уу = 6,8 + 4,1 +…+ 5,4 = 43,2;
Уу2 = 6,82 + 4,12 +…+ 5,42 = 241,9;
(Уу)2 = 43,22 = 1866,2.
Для третьего столбца (суммы):
 = 29,8 + 43,2 = 73;
= 118,6 + 241,9 =360,5;
 = 888,0 + 1866,2 =2754,2.
Вычисляют значения суммарных квадратов:

Оценка дисперсии, характеризующая изменение признака от воздействия фактора (местонахождения пункта продаж) и внутригрупповой ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при числе степеней свободы f1 = a – 1 = 2 – 1 = 1

Оценка дисперсии, характеризующей воздействие на признак ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при числе степеней свободы f2 = N – a = 16 – 2 = 14

Значимость фактора (местонахождения пункта продаж) оценивается F-критерием при уровне значимости б = 0,05 и числах степеней свободы f1 = 1 и f2 = 14 (табл. 10 приложения), проверяется нулевая гипотеза Н0: S21(y) > S22(y) при конкурирующей Н1: S21(y) ? S22(y):

Поскольку значение F-статистики превышает критическое значение Fкр, гипотеза о существенности фактора не отвергается.
Значение оценки дисперсии S2А(у):

Величина оценки полной дисперсии
S2п(у) = 1,26 + 1,16 = 2,42.
Вклад фактора – местонахождения пункта продаж автомобилей – в формирование цены на подержанный автомобиль
Ввкл = (1,26 / 2,42)100% = 52 %.
Следовательно, цена на подержанный автомобиль на 52% зависит от места нахождения пункта продаж.
2.2. Влияние квалификации специалистов на продолжительность технического обслуживания машин
Пример. Исследовать влияние квалификации специалистов, привлекаемых к проведению технических обслуживаний (ТО) машин, на продолжительность ТО. Специалисты разбиты на четыре группы (четыре уровня фактора А) в зависимости от их квалификации, оцениваемой стажем работы по специальности. В первую группу вошли слесари, имеющие стаж работы по специальности – не менее 8 лет, во вторую – не менее 12 лет, в третью – не менее 15 лет, в четвертую – не менее 20 лет. Из 20 автомобилей ЗИЛ-4314 (N = 20), имеющих приблизительно одинаковое техническое состояние, для каждого из специалистов случайным образом выбирается один и подается на таким же образом случайно выбранное рабочее место, причем все рабочие места имеют одинаковое техническое оснащение (эксперименты, поставленные в условиях, обеспечивающих случайный характер их проведения, называются рандомизированными). Результаты эксперимента приведены в табл. 14.
Таблица 14
Продолжительность проведения ТО по группам специалистов, мин

машины
Группа специалистов




1
2
3
4
1
56
60
45
42
2
55
61
46
39
3
62
52
45
45
4
59
55
39
43
5
60
56
43
41
Решение. Для упрощения вычислений при ручном счете вычитается из всех данных 50 и формируется табл. 15.
Таблица 15
Расчетные значения параметров дисперсионного анализа

машины
Группа специалистов



Суммы

1
2
3
4

1
6
10
–5
–8
 
2
5
11
–4
–11
 
3
12
2
–5
–5
 
4
9
5
–11
–7
 
5
10
6
–7
–9
 

42
34
–32
–40
4

386
286
236
340
1248

1764
1156
1024
1600
5544

8,3
13,7
7,8
5,0
 
Суммы ?yik рассчитываются следующим образом: например, для второго столбца по первой группе специалистов 6 + 5 + +12 + 9 + 10 = 42.
Суммирование полученных значений по горизонтали дает следующий результат:
42 + 34 + (–32) + (–40) = 4.
Суммы рассчитываются так: например, для второго столбца по первой группе специалистов
62 + 52 + 122 + 92 + 102 = 386.
Суммирование полученных значений по горизонтали дает результат
386 + 286 + 236 + 340 = 1248,
который записывается в шестой столбец.
Суммы  получают, возводя в квадрат соответствующие суммы по группам специалистов:
422 = 1764; 342 = 1156; (–32)2 = 1024; (–40)2 = 1600.
Суммируя вычисленные значения по горизонтали, получают сумму шестого столбца:
1764 + 1156 + 1024 + 1600 = 5544.
Проверяют однородность оценок дисперсий в соответствии с критерием Кокрена, вычисляют значение G-статистики:
G = 13,7/(8,3 + 13,7 +7,8 + 5,0) = 0,3940 < Gкр (0,05; 4; 4) = 0,6287.
Гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается, предпосылки дисперсионного анализа не нарушаются, т. е. оценки внутригрупповой и общей дисперсии однородны.
Оценки суммарных квадратов, характеризующие общую дисперсию признака, дисперсию признака от воздействия фактора А, дисперсию признака от воздействия неучтенных факторов и ошибки эксперимента:
Q = 1248 – (42 / 20) = 1247,2; Q1 = (5544 / 5) – (42 / 20) = 1108;
Q2 = 1248 – (5544 / 5) = 139,2.
Оценки дисперсий, соответствующие Q1 и Q2 при числах степеней свободы f1 = а – 1 = 4 – 1 = 3; f2 = N – a = 20 – 4 = 16.
  .
Существенность фактора А проверяют с помощью F-критерия:

Значит, влияние квалификации на длительность ТО автомобилей существенно.
Чтобы количественно оценить вклад фактора А (квалификации специалистов) в изменчивость длительности ТО, находят оценки дисперсии вклада фактора А и полной дисперсии:
   
Вклад фактора А – квалификации специалистов в изменчивость продолжительности ТО
Ввкл = (72,1 / 80,8) 100 % = 89,3 %.
Следовательно, гипотеза о значимости влияния квалификации специалистов на продолжительность технических обслуживаний автомобилей ЗИЛ-4314 не отвергается и продолжительность проведения ТО при данных условиях оснащенности рабочих мест на 89,3 % определяется квалификацией специалистов.
2.3. Оценка существенности влияния двух факторов и их взаимодействия на показатели маркетинга
Модель двухфакторного дисперсионного анализа имеет вид
  ,  (2.7)
где уijk – значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне, фактор В – на j-м уровне при k-м повторении опыта; м – среднее значение признака по результатам всех опытов; Аi – влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); Вj – эффект фактора В; АiВj – эффект взаимодействия факторов А и В, когда фактор А находится на i-м уровне, а фактор В – на j-м уровне; еijk – эффект ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов.
В случае двухфакторного дисперсионного анализа полная дисперсия, обуславливающая изменчивость признака в серии опытов, дифференцируется на составляющие ее дисперсии, обусловленные варьированием независимых случайных переменных (факторов), ошибкой эксперимента и действием неучтенных факторов.
Пример 1. Оценить существенность влияния двух факторов (А – местонахождение пункта продаж автомобилей, В – время, месяц, год) на формирование цены подержанных легковых автомобилей. Данные приведены в табл. 16.
Решение. Вычисляют оценки математических ожиданий и дисперсий по группам наблюдений:
(2.8)
Оценка математического ожидания признака – цены подержанного легкового автомобиля, когда факторы А и В находятся на первом уровне (первый уровень фактора А – местонахождение пункта продаж – Минск, первый уровень фактора В – ноябрь 2000 г.)

Оценка дисперсии
Оценка математического ожидания цены подержанного легкового автомобиля, когда местонахождение пункта продаж – Минск (первый уровень фактора А), а событие происходит в июле 2001 г. (второй уровень фактора В)

Оценка дисперсии цены
Оценка математического ожидания цены, когда местонахождения пункта продаж – Москва (второй уровень фактора А), а распродажа осуществлялась в ноябре 2000 г. (первый уровень фактора В)

Оценка дисперсии цены
Оценка математического ожидания цены, когда факторы А и В находятся на втором уровне (пункт продажи – Москва, событие совершалось в июле 2001 г.)

Оценка дисперсии
Проверка однородности оценок дисперсий осуществляется с помощью критерия Кокрена, вычисляется значение G-статистики:

Поскольку при уровне значимости б = 0,05, четырех независимых оценках дисперсий (k = 4) и равных числах степеней свободы оценок дисперсий f = 3 критическое значение Gкр(0,05;4;3) = = 0,7814 > Gнабл.= 0,287 (табл. 11 приложения), то гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается. Дисперсионный анализ можно проводить, так как с достаточно высоким уровнем доверительной вероятности можно предположить, что неучтенные факторы и ошибка эксперимента существенно не повлияли на цену подержанных легковых автомобилей ни в Минске, ни в Москве, ни осенью, ни летом.
Таблица 16
Влияние фактора А – местонахождения пункта продаж и фактора В – времени года на цены подержанных легковых автомобилей
Уровень, сумма фактора В
Уровень фактора А





1
2
 
 
 
1
5,0
6,8
 
 
 

3,1
4,1
 
 
 

2,3
5,0
 
 
 

4,1
5,1
 
 
 
У1у
14,5
21
35,5
35,52 = 1260,25
 
(У1у)2
210,25
441
 
 
170,77
2
5,3
7,2
 
 
 

2,8
4,2
 
 
 

3,4
5,4
 
 
 

3,8
5,4
 
 
 
У2у
15,3
22,2
37,5
37,52 = 1406,25
 
(У2у)2
234,09
492,84
 
 
189,73

29,8
43,2
73,0
 
 

888,04
1866,24
 
2666,50
2754,28
 

118,64
241,86
 
 
360,5
 
m*11=3,625 D*11=1,39
M*12= 5,25 D*12= 1,27
 
 
 
 
m*21=3,825 D*21=1,14
M*22= 5,55 D*22= 1,53
 
 
 
Вычисление сумм, представленных в табл. 16, производилось следующим образом.
Суммы для первого уровня фактора В:
У11у = 5,0 + …+ 4,1 = 14,5;  У12у = 6,8+ … + 5,1 = 21;
;   ;
(У11у)2 = 14,52 = 210,25;  (У12у)2 = 212 = 441;

Суммы для второго уровня фактора В:
У21 у = 5,3 + … + 3,8 = 15,3;  У22 у = 7,2 + …+ 5,4 = 22,2;
;  ;
(У21 у)2 = 15,32 = 234,09;  (У22 у)2 = 22,22 = 492,84;
;
Далее рассчитаем суммы по уровням фактора А:

Сделаем промежуточную проверку
 т. е. 29,8 + 43,2 = 35,5 + 37,5 = 73.
;  ; ;;;
;
;
Последняя сумма дает проверку правильности вычислений, так как должно иметь место равенство

Считаем суммы, входящие в формулы для определения суммарных квадратов:
; ;
;
;

Полный суммарный квадрат
=
Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора В – времени года,
=
Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора А – местонахождения пункта продаж,

Суммарный квадрат эффекта взаимодействия
;

Суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов,
;

Оценки дисперсий, соответствующие суммарным квадратам,
;  (2.9)
где f – число степеней свободы дисперсии.
При общем числе наблюдений
N = abn = 2?2?4 = 16,
здесь а – число уровней фактора А, а = 2; b – число уровней фактора В, b = 2; n – число повторений опытов на каждом уровне, n = 4.
f0 = N – 1 = 16 – 1 = 15;   f1= b – 1 = 2 – 1 = 1;
f2 = a – 1 = 2 – 1 = 1;  f3 = (b – 1)(a – 1) = (2 – 1)(2 – 1) = 1;
f4 = ab(n – 1) = 2?2(4 – 1) = 12.
 
Оценки полной дисперсии и дисперсий, характеризующих изменчивость признака по всем наблюдениям,
;  ;  ;
;  
Существенность оценок дисперсий проверяют на фоне ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при нулевой гипотезе Н0: S2(y) > S24 (y) и конкурирующей Н1: S2 ? S24(y), используя критерий Фишера:
,
т. е. нуль-гипотезу отвергают при уровне значимости б = 0,05 и числах степеней свободы f1 = 1 и f4 = 12, принимается конкурирующая гипотеза (фактор времени года незначим).

т. е. фактор местонахождения пункта продажи автомобилей существенно влияет на цену.

т. е. эффект взаимодействия факторов (местонахождения пункта продаж автомобилей и времени года) незначим.
Пример 2. Оценить наличие динамики роста продаж колбасных изделий (фактор А) за счет совершенствования этой сферы маркетинга и влияние разновидности колбасы (фактор В) на объем продаж (тыс. кг) в 2000 г. (табл. 17).
Уровни фактора А: 1. Январь, февраль, март; 2. Октябрь, ноябрь, декабрь; уровни фактора В: 1. Вареные колбасы; 2. Сардельки. Округленные данные взяты из источника [18].
Таблица 17
Исходные данные и расчет показателей для определения существенности факторов и их взаимодействий
Уровень
фактора В
Уровень фактора А





1
2



1
40,5
67,6
 
 
 

40,2
67,3
 
 
 

43,6
73,8
 
 
 

124,3
208,7
333
110889
 

15450,5
43555,7
 
 
19702,7
2
5,6
10,0
 
 
 

6,1
10,6
 
 
 

7,0
10,1
 
 
 

18,7
30,7
49,4
2440,4
 

349,7
942,5
 
 
432,0

143,0
239,4
382,4
 
 

20449
57312,4
 
113329,4
77761,4
 

5274,8
14859,9
 

стр. 1
(всего 6)

СОДЕРЖАНИЕ

>>