СОДЕРЖАНИЕ

ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2005, № 3. С. 41-54
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
УДК 519.6
Математические модели однопродуктового рассредоточенного рынка и их исследование
? 2005 г. А.Г. Коваленко
Самара, Самарский государственный университет
Поступила в редакцию 6.12.02 г., после доработки _07.06.04 г.

Используя методы теории гидравлических сетей, исследуются проблемы перехода децентрализованных экономических систем, которые можно описать как модели однопродуктового рассредоточенного рынка, из неравновесных состояний в равновесное. Исследования проводятся при предположениях, которые часто используются в экономико-математическом моделировании, а также предположения, анализ которого известен в современном микроэкономическом анализе, что поведение субъектов каждого пункта приводит к его равновесию.

Введение. Проблема равновесия, устойчивости, существования устойчивого равновесия является ключевой при анализе различного вида систем и, в частности, самоорганизующихся систем. Для децентрализованной экономики, включающей в себя большое число индивидуумов и товаров, эта проблема одним из первых была сформулирована Вальрасом. Его подходы привели к постановкам соответствующих математических задач, которые оставалась нерешенными вплоть до 50-х годов. Вклад в ее решение внесли Вальд, Эрроу и Дебре, Маккензи, Гейл, Никайдо [1]. В этих работах, исходя из различных предположений, достаточно разумных с экономической точки зрения, решается вопрос о существовании конкурентного равновесия. Вопросы существования, единственности состояния равновесия в экономических системах, а также разработки методов их поиска, получили дальнейшее широкое развитие, получив наименование "равновесное программирование" [2]. Одним из интенсивно развиваемых методов анализа этого класса является сведение их к анализу конечномерных вариационных неравенств [3].
Не менее актуальным является вопрос о "автоматическом" возврате состояния равновесия, происходящим под воздействием рыночных сил. Для случая стандартного наклона кривых спроса и предложения отраслевое равновесие характеризуется устойчивостью. Это справедливо как по обоснованию Л. Вальраса, так и по обоснованию А. Маршалла [4]. Однако это не всегда наблюдается, если динамику изменения состояния рынка рассматривать в соответствии с паутино-образной моделью [5].
В данной работе проводится анализ поведения децентрализованных экономических систем, описываемых моделью однопродуктового рассредоточенного рынка (ОРР) [6], [7] при выходе из состояния равновесия, и, в связи с этим, существованию состояния равновесия и равновесных цен. Модель ОРР состоит из множества производителей и потребителей продукции, рассредоточенных между различными пунктами. Связь между пунктами осуществляют арбитражеры, покупающие продукцию в пунктах с меньшей ценой и продающей в пунктах с большей ценой. Все субъекты отрасли описывается экстремальными задачами, осуществляют производство и обмен в условиях конкурентного рынка. Рассматриваемые граничные условия описывают взаимодействия с внешними экономическими системами. Условиями равновесия является выполнение в каждом пункте условий продуктового баланса. Используя аппарат функций спроса и предложений, задача поиска состояния равновесия сводится к задаче расчета потокораспределений теории гидравлических сетей [8].
Проблемы и различные описания рассредоточенных рыночных моделей известны давно. В работе [9] С. Энке устанавливает аналогию между рассредоточенным рынком и электрическими сетями. Самуэльсон [10], Т. Такаяма и Г. Джудге [11] показали, что задача отыскания цен и товарных потоков в пространстве в состоянии равновесия могут быть определены с помощью задач математического программирования. Взаимосвязь цен в сетевой транспортной задаче и потенциалов теории гидравлических сетей отмечены Ермольевым Ю. М. и Мельником И. М. [12]. Сетевые модели рынка нашли широкое применение в экспериментальной экономике [13]. Интенсивное развитие рассредоточенных (сетевых) моделей экономики посвящены работы школы А. Нагурней [14]. Наиболее близкое по описанию, является модель пространственно ценового равновесия. Однако есть ряд ключевых моментов, не позволяющий говорить об идентичности этих моделей. Имеются существенные отличия в описании моделируемой экономической ситуации. Более того, для рассмотренных моделей изучаются вопросы существования, единственности состояния равновесия, а также его чуствительность к изменению различных параметров модели. Для анализа используется аппарат теории вариационных неравенств.
Рассматриваемые модели имеют широкое применение. Достаточно большой обзор решаемых этими моделями проблем, описан в работе [15].


1. Математическая модель однопродуктового рассредоточенного рынка, как система взаимосвязанных экстремальных задач. Пусть G=?E,V,H? ? связный конечный ориентированный граф, E ? множество вершин графа, V ? множество дуг, Н ? отображение H:V? E?E. Каждой дуге v ? V отображение H ставит в соответствие упорядоченную пару (h1(v), h2(v)) вершин из E, h1(v) ? начало дуги v, h2(v) ? конец. Будем говорить, что из вершины i выходит дуга v, если i=h1(v), и входит в вершину j, если j=h2(v). Множество дуг, входящих в вершину i, обозначим через V +(i) , множество дуг, выходящих из вершины i, обозначим через V ?(i) .
Вершины i?E будем интерпретировать как пункты - локальные рынки, в которых в соответствии с установившейся ценой, осуществляется обмен продукцией между различными субъектами. Субъекты рынка i могут быть внешними и внутренними. Внешними являются субъекты, которые осуществляют чистый экспорт (разность между экспортом и импортом) продукции из системы. Пусть zi , Pi соответственно объем чистого экспорта (в дальнейшем отбора) и его цена в вершине i?E. Разобьем множество вершин на 3 непересекающихся подмножества, E=E1 ?E2 ?E3 . Вершины i?E1 будем называть вершинами со свободным отбором и заданной ценой P*i
Pi =P*i , i ? E1, (1.1)
вершины i?E2 будем называть вершинами со свободной ценой и заданным отбором Z*i, для них
zi =Z*i, i ? E2, (1.2)
в вершинах i ? E3 отбор zi связан с ценой Pi функциональной зависимостью
zi =?i (Pi ), i ? E3, (1.3)
эти вершины будем называть вершинами с подвижными ценой и отбором. В дальнейшем равенство (1.2) будем записывать также в виде zi =?i (Pi ) ? Z*i . Величины Z*i , P*i и зависимости zi =?i (Pi ) определяют связь моделируемой экономической системы с другими (внешними) экономическими системами. Равенства (1.1), (1.2) можно также интерпретировать, например, следующим образом. В вершинах E1 установлены цены на поступающий продукт и требуется определить объем его поставок. В вершинах E2 установлен госзаказ на заданный объем поставок и требуется определить цены на поступающий продукт. Отметим также, что если zi < 0, то i-ая вершина источник продукта, если zi > 0, то i-ая вершина сток продукта, для промежуточных вершин zi=0 . Условия (1.1)?(1.3) в дальнейшем будем называть граничными условиями.
Внутренними субъектами являются предприятия, конечные потребители, которые расположим в вершинах графа, посредники - транспортные предприятия, которым соответствуют дуги графа. Опишем функционирование этих субъектов.
Рассмотрим некоторую вершину i?E2?E3 . Будем считать, что в ней расположено предприятие, выпускающее продукцию в вершину i, и выступающее в роли продавца. Если через ?i обозначить объем продукции, выпускаемого этим предприятием, то
?i ? fi ( ri ), i ? E2?E3 , (1.4)
0 i ? ri ? ?ri , i ? E2?E3 , (1.5)
где fi ? производственная функция, связывающая выпуск с вектором объемов потребляемых ri , в вектор ri могут входить объем фондов и численность трудящихся, занятых в производственном процессе и прочие факторы производства , ?ri - вектор предельных объемов этих факторов, 0i - вектор, размерность которого совпадает с размерностью вектора ri и все компоненты нулевые. Множество, определяемое неравенствами (1.4), (1.5) является множеством производственных возможностей предприятия. Решение об объемах выпуска и потребления, ценах принимается на основе критерия максимизации прибыли
Fi = Pi ?i ? ? Ri , ri ? ? max , i?E2?E3 , (1.6)
где Pi - цена продаваемой продукции в вершине i, Ri - вектор стоимостей факторов производства также в вершине i. В условиях конкурентного рынка все субъекты являются ценополучателями, поэтому переменные Pi , являются параметрами, определяемыми состоянием рынка, оптимизация функционала (1.6) при ограничениях (1.4), (1.5) проводится по переменным ?i , ri . Если в некоторой вершине отсутствует предприятие, то можно принять, что ?ri = 0i , по свойствам производственных функций [4] в этом случае f i (0i) = 0.
Будем считать, что конечный потребитель также расположен в вершинах графа, за его описание примем задачу [4] максимизации полезности
Ui ( xi , ?i ) ? max , i ? E2?E3 , (1.7)
при бюджетном ограничении
Pi xi + ?i ?i ? ? i , i ? E2?E3 , (1.8)
где xi ? объем потребления рассматриваемого продукта, Pi - его цена, ?i - объем потребления прочих продуктов, ?i - цена прочих продуктов, ? i - величина бюджета.
Взаимосвязь между локальными рынками осуществляют субъекты, соответствующие дугам графа. Пусть ( некоторая дуга из V, h1 (() ее начало, h2 (() ее конец, тогда соответственно Ph1 (() , Ph2 (() цены на продукт соответственно в начале и в конце дуги. Если Ph1 (() ?Ph2 (() , то субъект, соответствующий этой дуге графа, покупает продукт в вершине h1 (() , перевозит и продает его в вершине h2 ((), в противном случае покупает продукт в вершине h2 ((), перевозит и продает в вершине h1 (() . Обозначим через y( величину потока, идущего по этой дуге, направление дуги указывает его положительное направление. Поток может идти как в прямом, так и в обратном направлении, т.е. величина y( может быть отрицательной. Объем перевозок | y( | по дуге ( ограничивается производственной функций f(
| y( | ? f( (r( ), ( ? V, (1.9)
где r ( вектор объемов используемых факторов производства, в него могут входить объем фондов и численность трудящихся, и прочие факторы. На вектор r ( накладывается ограничение
0 ( ? r( ??r( , ( ? V , (1.10)
?r ( ? вектор предельных объемов этих факторов, 0 ( - вектор, размерность которого совпадает с размерностью вектора r ( и все компоненты нулевые. Множество, определяемое неравенствами (1.9)-(1.10) является множеством производственных возможностей предприятия.
Решение об объемах перевоза принимается на основе критерия максимизации прибыли
F( = (Ph1(() ? Ph2 (()) y( ? ?R( , r( ? ? max, ( ? V , (1.11)
где R( ? вектор цен на факторы производства. Субъекты конкурентных рынков являются ценополучателями, поэтому в задаче (1.9) - (1.11) Ph1((), Ph2 (() являются параметрами, определяемые состоянием рынка и оптимизация проводится по переменным y( , r( . Заметим также, что условия перевозок могут быть различными в разных направлениях, это может быть учтено видом производственной функции f( (r( ) .
В состоянии равновесия цены Pi, i?E2?E3, должны быть таковы, чтобы выполнялись условия продуктового баланса
? { y( :( ? V + ( i ) } ? ? { y( :( ? V ? ( i ) } +?i ? xi = zi , i ? E2?E3, (1.12)
которое представляет собой первый закон Кирхгофа теории гидравлических сетей.
Соотношения (1.1) - (1.12) являются статической моделью однопродуктового рассредоточенного рынка в равновесном состоянии, и представляет собой систему экстремальных задач (1.4)-(1.6), (1.7), (1.8) и (1.9)-(1.11), определяемую граничными условиями (1.1)-(1.3) и условиями совпадения объемов обмена (1.12).
2. Математическая модель однопродуктового рассредоточенного рынка, как задача потокораспределения гидравлической сети. Используя аппарат функций спроса и предложений субъектов, сведем соотношения (1.1) - (1.12) к задаче потокораспределения теории гидравлических сетей.
Пусть i?E2?E3 , т.е. это вершина в сети с незаданной ценой. Из (1.4) - (1.6) следует, что ?i является функцией от Pi , которую запишем как ?i =?i (Pi ). Это есть функция предложения предприятия вершины i. Задача (1.7)?(1.8) определяет функцию спроса xi = xi (Pi). Подставляя эти функции в (1.12), а также используя (1.2), (1.3), получим
? { y( :( ? V + ( i ) } ? ? { y( :( ? V ? ( i ) } ? xi (Pi) + ?i (Pi )= Z*i , i ?E2, (2.1)
? { y( :( ? V + ( i ) } ? ? { y( :( ? V ? ( i ) } ? ?i (Pi ) ? xi (Pi) + ?i (Pi )=0 , i ?E3. (2.2)
Введем в множество E1 графа G=?E,V,H? дополнительную вершину i?E, положив для нее Pi = P*i = 0, ?E1=E1?{i},
Pi = P*i, i ??E1, (2.3)
множества E2, E3 оставим без изменения, ?E2=E2,?E3=E3. Дополним множество дуг V дугами ( ? V, соединив вершины из E2, E3 с вершиной i. За направление этих дуг примем направление от вершин из E2?E3 к i. Получим граф ?G=??E,?V,?H ?. Для дуг (??V \ V положим, если h1(() ?E2, то
y( = ? ( (Ph2(() ? Ph1(() ) = xi (Pi) ? ?i (Pi ), (2.4)
если h1(() ?E3, то
y( = ? ( (Ph2(() ? Ph1(() ) = ?i (Pi ) + xi (Pi) ? ?i (Pi ). (2.5)
Выражения (2.1) и (2.2) примут вид
? { y( :( ? V + ( i ) } ? ? { y( :( ??V ? ( i ) } ? Z*i = 0 , i?E2?E3. (2.6)
где для i?E3 Z*i = 0.
Рассмотрим произвольную дугу (?V, задача (1.9)-(1.11) определяет функцию предложения y( =? ( (Ph1(() ? Ph2(() ), учитывая также (2.4), (2.5), можно записать
y( = ? ( (Ph1(() ? Ph2(() ), (??V . (2.7)
Соотношения (2.3), (2.6), (2.7) представляет собой задачу потокораспределения в гидравлической сети. Так как в дальнейшем задачу потокораспределения будем рассматривать в этом виде, то надчеркивания над обозначениями ?G,?E,?V,?H уберем, о необходимости их применения будет сказано специально. Предварительно отметим, что в модели ОРР должна существовать, по крайней мере, одна вершина с заданной ценой, т.е. E1??. Доказательство этого утверждения (с точностью до обозначений) можно найти в [8]. Оно основывается на анализе свойств матрицы инциденций графа G и записи соотношения (2.6) в виде системы линейных уравнений.
3. Анализ устойчивости, существования состояния равновесия и равновесных цен. Подставим (2.7) в (2.6) получим
? { ? v (P h1(v) ? Pi ) : v?V ?(i)} ? ? { ? v (Pi ? P h2(v) ) : v? V ? (i)} ? Z*i = 0 , i?E2? E3 , (3.1)
Pi =P*i , i? E1.
Левую часть (3.1) будем называть небалансом в вершине i, и обозначать через Bi =Bi (Pi ; Ph1(v) ,v?V ?(i) ; Ph2(v) ,v?V ? (i)), тогда (3.1) можно записать Bi (Pi ; Ph1(v) ,v?V ?(i); Ph2(v) , v?V ? (i)) = 0. Значение | Bi |, i?E2?E3, является мерой нарушения состояния равновесия в вершине i . Будем говорить, что состояние локального рынка вершины улучшается при уменьшении | Bi |, в противном случае ее состояние ухудшается. Обозначим также через
?=? (Pi , i? E2?E3 ) =?{| Bi (Pi ; Ph1(v) , v?V ?(i); Ph2(v) ,v?V ? (i))| : i?E2?E3 },
? =? (Pi , i?E2?E3 )=max{|Bi (Pi ; Ph1(v) , v?V ?(i); Ph2(v) , v?V ? (i))| : i?E2?E3}.
Значения ? (абсолютный суммарный небаланс) ? (максимальный небаланс) являются показателями, характеризующими степень нарушения состояния равновесия во всей системе. Если при некоторой системе цен ? =0 (это равносильно тому, что ? =0, и наоборот), то система в целом находится в равновесном состоянии. Будем говорить, что состояние системы улучшается при уменьшении ?, в противном случае ее состояние ухудшается. Для вершин i?E1 также через Bi = Bi (P*i ; Ph1(v) ,v?V ?(i); Ph2(v) ,v?V ? (i)) обозначим ? { ? v (P*i ? Ph1(v) ) : v?V ?(i)} ? ? { ? v (Ph2(v) ? P*i ) : v?V ? (i)} ?Z*i , здесь Z*i = 0. Bi характеризует величину потока, поступающего в (выходящего из) вершину (вершины) при заданной цене Pi= =P*i .
Рассмотрим случай, когда функции ? v (?Pv ) = ? v (Ph2(v) ? Ph1(v)) строго возрастающие по переменной ?Pv , тогда функции Bi (Pi ; Ph1(v) ,v?V ?(i); Ph2(v) ,v?V ? (i)) являются строго возрастающими по переменной Pi. Обозначим также Eокр(i) ={j?E: j=h1(v),v?V +(i), j=h2(v),v?V ?(i)}.
Лемма 1. Если при изменении цен Pi Bi (Pi ; Ph1(v) ,v?V ?(i); Ph2(v) ,v?V ? (i)) убывает, то для всех j?Eокр(i) B j (P j ; Ph1(v) , v?V ?( j ); Ph2(v) , v?V ? ( j )) возрастает, причем ?Bi = ?{??B j : j? Eокр(i)}, где ?Bi , ?B j , j? Eокр(i), соответствующие изменения Bi , B j .
Если при изменении цен Pi Bi (Pi ; Ph1(v) ,v?V ?(i); Ph2(v) ,v?V ? (i)) возрастает, то для всех j?Eокр(i) Bj (Pj ; Ph1(v) ,v?V ?( j ); Ph2(v) ,v?V ? ( j )) убывает, причем ?Bi = ?{? ?B j : j?Eокр(i)}.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим первую часть леммы, так как вторая часть доказывается аналогично. Пусть при изменении Pi значение Bi получило приращение ?Bi < 0. Так как Bi возрастающая функция, то значение Pi получило приращение ?Pi < 0 . Так как функции ? v (Pi ? Ph1(v)) , v?V ?(i), возрастающие, ? v (Ph2(v) ? Pi ) , v?V ? (i), убывающие по переменной Pi , то
?? v ((Pi + ?Pi ) ? Ph1(v)) < 0 , v?V ?(i),
?? v (Ph2(v) ? (Pi +?Pi )) > 0 , v?V ? (i).
Если v?V такая дуга, что i=h2(v) , j=h1(v), т.е. v?V ?(i) и v?V ?( j ) , то слагаемое ? v (Pi ? P j ), входящее в Bi со знаком "+", и входит B j со знаком "?", поэтому
?B j =??? v ((Pi +?Pi ) ? P j ) > 0.
И наоборот, если v?V такая дуга, что j=h2(v) , i=h1(v), т.е. v?V ?(i) и v?V +( j ) , то слагаемое ? v (P i ? P j ), входящее в Bi со знаком "?", и входит B j со знаком "+", поэтому
?B j =?? v (P j ? (Pi +?Pi )) > 0 .
Покажем, что ?Bi = ? ?{?B j : j? Eокр (i)}. Действительно, ?{?B j : j? Eокр(i)}= =?{?B j : v?V ?( i), j= h2(v)} + ?{?B j : v?V ?( i), j= h1(v)}. Рассмотрим некоторое j?Eокр(i) и дугу v?V , связывающую вершины j и i. Возможны следующие два случая:
1. h1(v)=i, h2(v)=j. Для этого случая
B j =?{? v (P j ? Ph1(v)) : v?V ?( j)} ??{ ? v (Ph2(v) ?P j ) : v?V ? ( j)} - B j =
=?{? v (Pj ? Ph1(v)) : v?V ?( j), h1(v)?i}??{? v (Ph2(v) ?Pj ) : v?V ? ( j)} - Z*j + ? v (P j ? Pi ).
Так как изменяется только Pi , все остальные переменные неизменны, то
?Bj =? v (Pj ? (Pi+?Pi)) ? ? v (Pj ? Pi).
2. h2(v)=i, h1(v)=j. Для этого случая
B j =?{? v (P j ? Ph1(v)) : v?V ?( j)} ??{ ? v (Ph2(v) ?P j ) : v?V ? ( j)} - Z*j =
=?{? v (P j ? Ph1(v)) : v?V ?( j)}??{? v (Ph2(v) ?P j ) :v?V ? ( j), h2(v) ?i} - Z*j ? ? v (Pi ?P j ).
Изменению подлежит только переменная Pi , поэтому
?Bj = ?? v ((Pi+?Pi) ?Pj ) + ? v (Pi ?Pj ).
Складывая ?Bj по j?Eокр(i), получим
?{?Bj : j?Eокр(i)}=?{?Bj : v?V ?( i), j= h2(v)} + ?{?Bj : v?V ?( i), j= h1(v)} =
=?{? v (P j ? (Pi+ ?Pi )) ? ? v (P j ? Pi ) : v?V ? ( i), j = h2(v)}-
??{? v ((Pi + ?Pi) ?P j ) ? ? v (Pi ? P j ) : v?V ?( i), j = h1(v)} =
??{? v ((Pi + ?Pi ) ?Ph1(v) ) : v?V ?( i)} + ?{? v (P h2(v) ? (Pi+?Pi )) : v?V ? ( i) }+
+ ?{? v (Pi ? Ph1(v)) : v?V ?( i)} ? ?{? v (P h2(v) ? Pi ) : v?V ? ( i)} = ? ?Bi ,
т.е. получаем требуемое.
Замечание 1. Из доказательства предыдущей леммы, легко заметить, что при возрастании цены Pi в вершине i?E2 небаланс Bi возрастает. Величины потоков yv по входящим дугам также возрастают, т.е. для них ?yv > 0. По выходящим дугам yv убывает, т.е. для них ?yv < 0. При этом, если вершина j связана с вершиной i дугой v?V ?(i), то ?Bj = ??yv , если вершина j связана с вершиной i дугой v?V ?(i), то ?Bj =?yv .

В дальнейшем нас будут интересовать такие изменения цен Pi , при которых, если |Bi |?0, ее изменение приводит к Bi = 0, т.е. если Bi > 0, то Bi убывает до нулевого значения (убывание цены Pi), если Bi < 0, то Bi возрастает до нулевого значения (возрастание цены Pi). Эти изменения цен соответствуют переходу вершины в состояние равновесия. Согласно современных экономических теорий [4], в ряде случаев, соответствующих конкурентному взаимодействию субъектов, такой переход на локальном рынке может происходить автоматически. Рассмотрим, что будет происходить с рассредоточенным рынком в целом.
Следствие 1. Если в лемме 1 Eокр(i)? E2?E3 , и Bi , B j , j ?Eокр(i), одного знака, то при изменении | Bi | до нулевого значения, величина ? остается неизменной.
Доказательство непосредственно следует из определения переменной ? и множеств Eокр(i), E2, E3.
Замечание 2. В рассмотренной ситуации для j?Eокр(i), величина |B j | возрастает, и если раньше некоторые из них были в состоянии равновесия, то оно будет нарушено.
Следствие 2. Если в лемме 1 Eокр(i)?E1 ? ? , то при убывании | Bi | до нулевого значения величина ? также убывает.
Доказательство смотри в Приложении.
Следствие 3. Если в лемме 1 среди j?Eокр(i) ? (E2?E3) существуют такие, что B j ? 0 имеют знак, противоположный знаку Bi , то при изменении |Bi | до нулевого значения, величина ? не возрастает.
Доказательство смотри в Приложении.
В ситуациях, рассмотренных в следствиях 2 и 3 (а они могут быть одновременно) переход к состоянию равновесия в вершине i приводит к улучшению состояния рассредоточенного рынка в целом, при этом для вершин j?Eокр(i)?(E2?E3), в которых B j имеет противоположный знак с Bi, состояние не ухудшается, для вершин j?Eокр(i)?(E2?E3), в которых B j имеет совпадающий знак с Bi , то состояние ухудшается. Как показано в [4], в условиях конкурентного рынка (в рамках наших определений локального конкурентного рынка), если кривые предложения имеют положительный наклон, кривые спроса отрицательный, соответственно из разность положительный, то поведение субъектов рынка приводит к его равновесному состоянию. Во введенных обозначениях это означает, что если при некоторой цене Pi (B) Bi(Pi(B); Ph1(v)(B),v?V ?(i); Ph2(v)(B), v?V ?(i)) > 0, то Pi (B) стремится к значению Pi (0), для которой Bi (Pi (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?(i); Ph2(v) (0) , v?V ? (i)) = 0. Так как для рассмотренных моделей множество E1??, то приведенные рассуждения и следствия 2, 3 дают основание полагать, что конкурентный рассредоточенный рынок стремится к уменьшению ?, т.е. стремится к состоянию равновесия. Однако возникают вопросы о достижимости (по крайней мере, в пределе) состояния равновесия и существования равновесных цен. Провести анализ невозможно без некоторых предположений относительно функций, входящих в описание модели, поэтому будем предполагать, что функции ? v (?Pv ) = ? v (Ph1(v) ? Ph2(v)), v?V , удовлетворяют следующим свойствам:
1. непрерывны,
2. строго возрастающие по ?Pv ,
3. при изменении ?Pv в пределах области определения ? v изменяется от ?? до +? ,
4. для всех v?V существуют числа lv , Lv (Lv ? lv > 0) такие, что любых ?Pv и ?P?v выполняются неравенства lv | ?P?v - ?Pv | ? |? v (?Pv) -? v (?Pv)|? Lv |?P?v - ?Pv |.
Будем считать, что состояние рынка изменяется дискретно (параметр изменения n=0,1,2,...) в соответствии алгоритмом, который описывается далее. Прежде, чем приводить этот алгоритм, отметим, что вырабатываемые в нем последовательности {Ai (n), n=0,1,2,...}, i?E2?E3, вспомогательные. Они необходимы для доказательства сходимости вырабатываемых в нем последовательностей небалансов {Bi (n), n=0,1,2,...} в вершинах, i?E2?E3.
АЛГОРИТМ ВЫТЕСНЕНИЯ НЕБАЛАНСОВ
Шаг 0. Для i?E1 полагаем Pi (0) =P*i , для i?E2?E3 Pi(0) задаем произвольными, для всех i?E полагаем Bi (0)=Bi , Ai (0)= | Bi (0)| . Полагаем n = 1. Переходим к выполнению следующего шага 1.
Шаг t (t=1,2,3,...). Находим вершину i(0), для которой Ai(0) (n?1)=max{Ai (n?1): i?E2?E3}, находим кратчайшую цепь i(0), v(0), i(1), v(1), i(2),v(2) ,..., i(?)=r, связывающую вершины i(0) с одной из вершин r?E1, где {i(0), i(1), i(2),..., i(?)} - множество вершин цепи, {v(0), v(1), v(2), ..., v(?-1)} - множество дуг. Последовательно для k=0,1,2, ...,(?-1) выполняем: 1. Для i?E\(Eокр(i(k)) ?{i(k)}) полагаем: Pi (n)= Pi(n-1), Bi(n)= Bi(n-1).
2. Определяем Pi(k)(n) такое, что
Bi(k) (n)=Bi(k) (Pi(k)(n); Ph1(v)(n) ,v?V ?(i); Ph2(v)(n),v?V ? (i)) = 0.
3. Если B i(k) (n?1)?0, то
для всех i?Eокр(i(k)) определяем:
Bi(n)= Bi (Pi(n); Ph1(v)(n) ,v?V ?(i); Ph2(v) (n),v?V ? (i)),
?Bi = Bi (n) ? Bi (n?1),
?i (n) =?Bi\B i(k) (n-1),
иначе
для всех i?Eокр(i(k))\{i(k +1)} полагаем: Bi (n)= Bi (n?1) , Pi (n)= Pi(n?1), ?i (n) = 0;
?i(k)(n)=1, Bi(k+1) (n) = Bi(k+1) (n?1), Pi(k+1) (n)= Pi(k+1) (n?1),
4. Полагаем A i(k) (n)=0.
5. Для i?Eокр(i(k)) полагаем Ai(n)= Ai(n?1)+ ?Ai , где ?Ai =?i(n) Ai(k)(n?1),
6. Для i?E\(Eокр(i(k)) ?{i(k)}) полагаем A i(n)= A i(n?1).
7. Полагаем n=n+1.
Переходим к выполнению следующего шага.

Прежде, чем приводить доказательство сходимости этого алгоритма, отметим, что выполнимость всех его пунктов не вызывает сомнения, кроме пункта 2. Выполнимость этого пункта вытекает из определения Bi(k) (Pi(k) (n); Ph1(v) (n) ,v?V ?(i); Ph2(v) (n),v?V ? (i)) свойств 1. - 3. функций ? v (?Pv ).
В результате работы этого алгоритма вырабатываются последовательности небалансов вершин {Bi (n),n=0,1,2,...} и вспомогательные {Ai(n), n=0,1,2,...} к ним i?E2?E3.
Теорема 1. Вспомогательные последовательности {Ai (n), n=0,1,2,...}, i?E2?E3 , мажорируют последовательности небалансов {|Bi (n)|, n=0,1,2,...} , i?E2?E3, т.е. |Bi (n)|? Ai (n), i?E2?E3, n=0,1,2,... .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем по индукции. Для n= 0 утверждение справедливо, смотри шаг 0 алгоритма. Пусть утверждение справедливо для некоторого n?1? 0 и докажем его справедливость для n. Построение членов последовательностей Bi (n) , Ai (n), i?E2, из Bi (n?1) , Ai (n?1), i?E2, проходит при выполнении 1 - 6 алгоритма, поэтому рассмотрим их работу. Для i?E\(Eокр(i(k)) ?{i(k)}) утверждение справедливо, смотри пункты 1 и 6. Для i=i(k) справедливость вытекает из пунктов 2, 4. Рассмотрим работу пунктов 3, 5. Если Bi(k) (n?1) = 0, то Ai(k) (n) =Bi(k)(n) = Bi(k)(n?1) = 0, для всех i?Eокр(i(k)) Ai (n)=Ai (n?1), т.е. утверждение справедливо. Если Bi(k) (n?1)? 0, то Ai(k) (n) = Bi(k) (n) = 0, для i?Eокр(i(k)), Bi (n) = Bi (n?1) + ?Bi , согласно леммы 1 ?{?Bi : i?Eокр(i(k))}= Bi(k) (n?1). Так как ?i (n) =?Bi\Bi(k) (n?1), то из предыдущего равенства ?{?i(n) Bi(k) (n?1) : i?Eокр(i(k))} = Bi(k) (n?1), откуда ?{?i(n) : i?Eокр(i(k))}=1. Из леммы 1 так же следует, что ?Bi того же знака, что и Bi(k)(n?1), поэтому ?i(n) ? 0. Для i?Eокр(i(k)), Ai(n) = Ai(n?1)+?i(n) Ai(k)(n?1) ? |Bi(n?1)|+ ?i(n) |Bi(k)(n?1)| ? |Bi(n?1)+ ?i(n) Bi(k)(n?1)|=|Bi(n)|. Согласно индукции получаем, что для всех n=0,1,2,... выполняется |Bi (n)| ? Ai (n) , i?E2. Теорема доказана.
Замечание 3. Так как ?{?i (n) : i?Eокр(i(k))}= 1, то ?{?Ai : i?Eокр(i(k))}=Ai(k)(n?1), т.е. при обнулении Ai(k)(n?1) суммарное изменение величин Ai (n?1) для i?Eокр(i(k)) совпадает с величиной Ai(k)(n?1) (сравни с леммой 1) и противоположно по знаку. Таким образом, справедливо следующее равенство
?{Ai (n?1) : i?Eокр(i(k))?{i(k)}}=?{Ai (n) : i?Eокр(i(k))?{i(k)}}.
Следствие 4. Обозначим через ? (n) = ?{Ai (n) : i?E2?E3}. Если при выполнении пунктов 1-6 алгоритма E1?Eокр(i(k)) = ?, то ? (n) = ? (n?1), если E1?Eокр(i(k)) ??, то ? (n)? ? (n?1).
Справедлива следующая
Лемма 2. Пусть функции ?i (x), i=1,2,3,..., m,
1. непрерывны,
2. строго возрастающие,
3. для всех i=1,2,3,...m, существуют числа li , Li (Li > li > 0) такие, что любых x (0) и x (B) выполняются неравенства
li ? |?i (x (B)) - ?i (x (0))| / | x (B) - x (0) |? Li . (3.3)
Если x (0) и x (B) таковы, что
?{?i (x (B)) : i=1,2,3,...m} = B, ?{?i (x (0)) : i=1,2,3,...m} = 0, (3.4)
то для любых i=1,2,3,...m, справедливо неравенство
Li / ?{lk : k = 1,2,3,...,m} ? | ?i (x (B) ) ??i (x (0)) | / | B | ? li / ?{ Lk : k = 1,2,3,...,m}.
Доказательство смотри в Приложении.
Пусть в некоторой вершине i(0)?E2?E3 Bi(0)(n-1)=B ?0. Будем считать, что B > 0, случай B < 0 аналогичен. Пусть некоторая дуга v(0)?V +(i(0)), i(0)=h2(v(0)), i(1)= h1(v(0)), т.е. v(0)?V ?(i(1)). Значения небаланса в вершине i(0) при цене в ней Pi(0) (n-1) имеет вид
Bi(0)(n-1)= ? { ? v (Pi(0) (n-1) ? Ph1(v) (n-1)) : v?V ?(i(0))} +
? {? ? v (? Pi(0)(n-1)+Ph2(v) (n-1) ) : v?V ? (i(0))} ? Z*i = B.
Пусть Pi(0)(n) значение цены, при которой Bi(0)(n)= 0, т.е.
? { ? v (Pi(0) (n) ? Ph1(v) (n-1)) : v?V ?(i(0))} + ? {? ? v (? Pi(0)(n)+Ph2(v)(n-1)) : v?V ? (i(0))} ? Z*i = 0.
Введем обозначения ?li=?{ lv : v?V ?(i)? V ? (i)}, ? Li = ?{ Lv : v?V ?(i)? V ? (i)}. Согласно леммы 2, Lv(0) /? li(0) ? (? v(0) (Pi(0) (n-1) ? Pi(1) (n-1)) ? ? v(0) (Pi(0) (n) ? Pi(1) (n))) / B ? lv(0) /? Li(0). Рассмотрим значение небаланса в вершине i(1) при цене Pi(0)(n-1) в вершине i(0), дуга v(0)?V ? (i(1)) , поэтому
Bi(1) (n-1)= ? { ? v (Pi(1) (n-1) ? Ph1(v) (n-1) ) : v?V ?(i(1))} +
? { ?? v (? Pi(1) (n-1) +Ph2(v) (n-1)) : v?V ? (i(1)) \ {v(0)}} +(?? v(0) (? Pi(1)(n-1)+ Pi(0) (n-1) )) ? Z*i ,
или
(? v(0) (Pi(0) (n-1) ? Pi(1) (n-1))) =? { ? v (Pi(1) (n-1) ? Ph1(v) (n-1)) : v?V ?(i(1))} +
? { ?? v (? Pi(1) (n-1)+Ph2(v) (n-1)) : v?V ? (i(1)) \ {v(0)}} ? Z*i ? Bi(1) (n-1). (3.5)
Для цены Pi(0) (n) в вершине i(0),
(? v(0) (Pi(0) (n)? Pi(1) (n))) =? { ? v (Pi(1) (n) ? Ph1(v) (n)) : v?V ?(i(1))} +
? { ?? v (? Pi(1) (n)+Ph2(v) (n)) : v?V ? (i(1)) \ {v(0)}} ? Z*i ? Bi(1)(n). (3.6)
Вычитая из (3.5) выражение (3.6) получим
(? v(0) (Pi(0)(n-1) ? Pi(1)(n-1))) ? (? v(0) (Pi(0)(n)? Pi(1)(n)))= ? B i(1)(n-1) + B i(1)(n),
воспользовавшись свойством 4. функций ?
Lv(0) / ?li(0) ? (Bi(1)(n) ? Bi(1)(n-1)) / B ? lv(0) /?Li(0). (3.7)
или
Bi(1)(n-1)+B Lv(0) / ?li(0) ? Bi(1)(n) ? Bi(1)(n-1)+B lv(0) / ?Li(0) .
Аналогичное неравенство получается и при v(0)?V ?(i(1)) и v(0)?V +(i(0)).
Из (3.7) получаем
0 < lv(0) /?Li(0) ? ?i(1)(n) ? Lv(0) /?li(0). (3.8)
Из неравенства (3.8), конечности множеств |E| и |V|, а также того, что ?i(1)(n) ? 1 (см. доказательство теоремы 1), вытекает существование чисел ?,?? таких, что
0 < ? ? ?i(1)(n) ??? ? 1. (3.9)
Теорема 2. Для любого i?E2?E3 Ai (n) ? 0 при n ? ?.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через ? (n) = ?{Ai (n) : i?E2?E3}, так как Ai (n) ? 0, i?E2?E3, то из сходимости при n ? ? ? (n) ? 0 вытекает сходимость Ai (n) ? 0. Докажем, что ? (n) ? 0 при n ? ?.
Выделим из последовательности индексов {n} подпоследовательность {n(t)}, t=0,1,2,..., тех индексов, которые соответствуют окончанию выполнения шага t алгоритма. Рассмотрим процедуру выполнения одного шага t?1 алгоритма. Пусть на шаге (t?1) выработаны значения Ai (n(t-1)), i?E2?E3, и в вершине i(0)?E2?E3 достигнуто их максимальное значение Ai (n(t-1)) = B. Кратчайшая цепь, связывающая i(0) с r?E1, обозначена i(0),v(0), i(1),v(1), i(2),v(2), ..., i(?(t))=r. После выполнения пункта 1 для вершины i(0) получим
Ai(1) (n(t-1)+1) = Ai(1) (n(t-1)) + ?i(1) (n(t-1)+1) Ai(0) (n(t-1)) , после выполнения пункта 1 для i(1)
Ai(2) (n(t-1)+2) = Ai(2) (n(t-1)+1) + ?i(2) (n(t-1)+2) Ai(1) (n(t-1)+1), так как Ai(2) (n(t-1)+1)=Ai(2) (n(t-1)), то
Ai(2) (n(t-1)+2) = Ai(2) (n(t-1)) + ?i(2) (n(t-1)+2) Ai(1) (n(t-1)+1), и Ai(2) (n(t-1)+2) = Ai(2) (n(t-1)) +
?i(2) (n(t-1)+2) Ai(1) (n(t-1)) + ?i(1) (n(t-1)+1) ?i(2) (n(t-1)+2) Ai(0) (n(t-1)). После выполнения пункта 1 для вершины i(2) получим Ai(3)(n(t-1)+3) = Ai(3)(n(t-1)+2) +?i(3)(n(t-1)+3) Ai(2) (n(t-1)) +
+?i(2)(n(t-1)+2) ?i(3)(n(t-1)+3) Ai(1)(n(t-1)) +?i(1) (n(t-1)+1) ?i(2) (n(t-1)+2) ?i(3) (n(t-1)+3) Ai(0) (n(t-1)), и так далее. После выполнения пункта 1 для вершины i(?(t)?1) на шаге t будем иметь
Ai(?) (n(t-1)+ ? (t)) =Ai(?) (n(t-1)) +?i(?) (n(t-1)+ ?(t)) Ai(?(t)-1) (n(t-1)) +
?i(?(t)-1) (n(t-1)+ ? (t)?1) ?i(?) (n(t-1)+?(t)) Ai(?(t)-2) (n(t-1))+... +
?i(1) (n(t-1)+1) ?i(2) (n(t-1)+2) ...?i(?) (n(t-1)+?(t)) Ai(0) ( n(t-1)).
Отсюда легко видеть, что Ai(?) (n(t-1)+?(t)) ? ?i(1)(n(t-1)+1) ?i(2) (n(t-1)+2) ...?i(?) (n(t-1)+?(t)) B. Так как используемая в алгоритме цепь кратчайшая, то для k=0,1,2, ..., (n(t)?2) Eокр(i(k))?E2?E3, поэтому в силу замечания 3 для всех k=0,1,2, ..., (n(t)?2) ? (n(t-1)+k+1) = ? (n(t-1)), однако i(n(t))=r?E2?E3, поэтому ? (n(t-1)+?(t)) < ? (n(t-1)) на величину, не меньшую, чем
?i(1) (n(t-1)+1) ?i(2) (n(t-1)+2) ... ?i(?) (n(t-1)+?(t)) B, т.е.
? (n(t-1)+?(t)) ? ? (n(t-1)) ? ?i(1)(n(t-1)+1) ?i(2)(n(t-1)+2) ... ?i(?)(n(t-1)+?(t)) B. В силу определения ? (n(t-1)) и B справедливо неравенство ? (n(t-1)) / |E2?E3| ? B, поэтому из предыдущего неравенства вытекает
? (n(t-1)+?(t)) ? ? (n(t-1)) ? ?i(1)(n(t-1)+1) ?i(2)(n(t-1)+2) ... ?i(?)(n(t-1)+?(t)) ? (n(t-1))/| E2?E3 |,
или
? (n(t-1)+?(t)) ? (1? ?i(1) (n(t-1)+1) ?i(2) (n(t-1)+2) ... ?i(?) (n(t-1)+?(t)) / | E2?E3 | ) ? (n(t-1))
и в силу (3.9)
(3.10)
откуда, так как ?(t)?|E2?E3|, то
. (3.11)
Легко видеть, что n(t) = n(t-1)+ ?(t), поэтому (3.10) примет вид
(3.12)
неравенство (3.11) можно записать ? (n(t)) ? ? ? (n(t ?1)) , где и для него справедливо неравенство 0 <? <1. Отсюда следует, что ? (n(t)) ? 0 при t ? ?. Так как для любого n(t ?1) < n< n(t) ? (n?1) = ? (n), то получаем, что ? (n) ? 0 при n ? ?, откуда и вытекает справедливость теоремы.
Теорема 3. Для всех i?E2?E3 при n ? ? Bi (n) ? 0.
Доказательство непосредственно следует из теорем 1 и 2.
В результате работы алгоритма вырабатываются также последовательности цен в вершинах {?Pi(n), n=0,1,2,...} , i?E2?E3 . Покажем, что в них Pi(n)? ?Pi, i?E2?E3 , при n ? ?, и для ?Pi , i?E, выполняются следующие равенства
? { ? v (?Pi ??Ph1(v) ) : v?V ?(i)} ? ? { ? v (?Ph2(v) ??Pi ) : v? V ? (i)} ? Z*i = 0, i?E2?E3 ,
?Pi ? P*i = 0 , i?E1.
Будем считать, что элементы множества E представляют собой множество чисел {1,2,3,...,N}, N =|E|, причем первыми M пронумерованы вершины из E2?E3, остальными вершины из E1. В соответствии с ранее введенными обозначениями
Fi =? { ? v (Pi ? Ph1(v) ) : v?V ?(i)} ? ? { ? v (Ph2(v) ?Pi ) : v? V ? (i)} ? Z*i ? Bi = 0 , i=1,2,3,...,M,
(3.13)
Fi = Pi ? P*i ? Bi = 0 , i= M+1, M+2, M+3,...,N.
Функции ? v , v?V, непрерывны, будем также считать, что они непрерывно дифференцируемые, тогда непрерывны Fi и ? Fi/? Pj , i=1,2,3,..., N, j=1,2,3,..., N . Покажем, что якобиан системы (3.13) det[? Fi/? P j ]i?{1,2,3,..., N}, j?{1,2,3,..., N} ? 0. Рассмотрим свойства матрицы [? Fi/? Pj]i?{1,2,3,..., N}, j?{1,2,3,..., N}.
1. Для i=1,2,3,..., M, j=i, так как функции ? v (?Pv ), v?V , строго возрастающие по переменной ?Pv = Ph2(v) ?Ph1(v) , то из (3.13) видно, что
? Fi/? Pi =? { ? ? v (Pi ?Ph1(v) )/? Pi : v?V ?(i)} + ? {?? ? v (Ph2(v) ?Pi )/? Pi : v? V ? (i)} > 0.
2. Для i=1,2,3,..., M, j =1,2,3,..., N, j ? i. Выражение для производной имеет вид ? Fi/? Pj =? { ? ? v (Pi ?Ph1(v) )/? Pj : v?V ?(i)} + ? {?? ? v (Ph2(v) ?Pi )/? Pj : v? V ? (i)} .
Любая вершина j? i либо не связана с вершиной i, тогда переменная Pj не входит ни в одно слагаемое и ? Fi/? Pj = 0, либо связана с ней только одной некоторой дугой v?V и переменная Pj входит только одно слагаемое и так как функции ? v (?Pv ), v?V , строго возрастающие по переменной ?Pv, то ? Fi/? Pj < 0.
3. Для i=1,2,3,..., M все производные ? Fi/? Pj для вершин j, связанных с вершиной i входят слагаемыми в выражение для ? Fi/? Pi с противоположным знаком, для вершин j, не связанных с вершиной i ? Fi/? Pj = 0, поэтому ? { ? Fi/? Pj : j =1,2,3,...,N } = 0.
4. Для i= M+1, M+2, M+3,..., N , j=1,2,3,..., M , i? j, ? Fi/? Pj = 0.
5. Для i= M+1, M+2, M+3,..., N ? Fi/? Pi = 1.
Лемма 3. Пусть матрица [cij ]i?{1,2,3,..., N}, j?{1,2,3,..., N} такова, что для
1. i=1,2,3,..., M cii > 0,
2. i=1,2,3,..., M, j =1,2,3,..., N, j ? i cij ? 0,
3. i=1,2,3,..., M ? { cij : j =1,2,3,..., N } = 0,
4. i= M+1, M+2, M+3,..., N, j=1,2,3,..., M, i? j, cij = 0,
5. i= M+1, M+2, M+3,..., N cii =1,
тогда определитель det[cij ]i?{1,2,3,..., N}, j?{1,2,3,..., N} ? 0.
Доказательство смотри в Приложении.
Из этой леммы следует, что якобиан det[? Fi/? Pj]i?{1,2,3,..., N}, j?{1,2,3,..., N} ? 0, и на основании теоремы о существовании функции, заданной неявно, следует существование непрерывных функций Pi = Pi (B j, j?E2?E3 ), i?E2?E3 . Из их непрерывности и сходимости B j (n)? 0, j?E2?E3 , при n? ?, следует существование равновесных цен ?Pi , i?E2?E3 , т.е. ? { ? v (?Pi ??Ph1(v) ) : v?V ?(i)} ? ? { ? v (?Ph2(v) ??Pi ) : v? V ? (i)} ? Z*i = 0, i?E2?E3 ,
и для которых Pi (n) ? ?Pi , i?E2?E3 .
4. Некоторые вопросы анализа функционирования систем, описываемых моделью ОРР. 4.1. О распространении неравновесных состояний. Не смотря на то, что процессы, описываемые математической моделью ОРР, стремятся к состоянию равновесия, возможны скачки значений небалансов в вершинах, порой превосходящие первоначальные и даже максимальные значения. Для демонстрации этого рассмотрим некоторые ситуации в модели ОРР. Действительно, пусть i(0)?E2?E3, в которой Bi(0) ? 0, не ограничивая общности, будем считать, что Bi(0) > 0, j?Eокр(i(0)), и для нее также B j > 0, тогда при обнулении небаланса в вершине i(0) небаланс в вершине получит приращение ?B j = ?i(1) Bi(0) > 0, т.е. |B j| возрастет и может превзойти первоначального значения | Bi(0) |.
Анализ простейшей ситуации в экономической системе, описываемой ОРР, позволяет заметить аналог волновых процессов, которые могут происходить в ней. Пусть i(0)?E2?E3, обозначим через E(k)окр(i(0)) множество вершин из E, до которых расстояние (наименьшее число дуг связывающей цепи) от i(0) равно k . Согласно этого определения E(0)окр(i(0))={i(0)}, E(1)окр(i(0)) = Eокр(i(0)). Пусть в первоначальный момент система была в состоянии равновесия (Bi = 0 для всех i?E2?E3 ) и пусть в некоторый момент на локальном рынке в вершине i(0) произошло отклонение от равновесия, например Bi(0) стало равным B > 0 . После перехода рынка i(0) в состояние равновесия, согласно леммы 1, из состояния равновесия выйдут рынки вершин B j , j?E(1)окр(i(0))?(E2?E3) , причем для них получим B j > 0. При переходе в состояние равновесия рынков j?E(1)окр(i(0))?(E2?E3) , выйдут из состояния равновесия рынки E(2)окр(i(0))?(E2?E3) и i(0) . Т.е. рынок вершины i(0) вновь выйдет из состояния равновесия. Дальнейшее поведение субъектов рынка будет способствовать тому, что переход в состояние равновесия одних вершин, в других вершинах оно будет нарушаться. Из состояния равновесия будут выходить рынки вершин E(3)окр(i(0))?(E2?E3) , E(4)окр(i(0))?(E2?E3), и т. д. Легко видеть, что так как ?=? B j = B, то колебания B j будет проходить в пределах между 0 и ?. Если среди вершин E(1)окр(i(0)) , E(2)окр(i(0)), E(3)окр(i(0)) , E( 4)окр(i(0)),... нет вершин из E1, то в этом случае величина ? будет неизменной. Как только среди этих вершин попадутся вершины из E1, то величина ? начнет убывать, поэтому верхний предел колебания величины B j также начнет убывать.
4.2. Роль субъектов рынков в процессе перехода к состоянию равновесия. Проведенный выше анализ позволяет сделать заключение о роли субъекты рынка в процессе перехода системы в состояние равновесия. Как показали многочисленные компьютерные эксперименты с описанным выше алгоритмом, после выполнения конечного числа шагов небалансы Bi в вершинах i?E2?E3 принимают значения одного знака, что является худшим случаем для его сходимости, поэтому проанализируем этот случай. Движение ОРР к состоянию равновесия связаны с моментами уменьшения значения ?. Уменьшение значения ? происходит лишь в случае, когда обнуляется небаланс в вершине, связанной дугой с одной из вершин множества с заданной ценой и свободным отбором. Согласно интерпретациям субъектов рынка, все дуги соответствующие потребителям, предприятиям, а также внешним субъектам, осуществляющим внешне торговые операции и описываемым зависимостью (1.3), являются таковыми, т.е. эти субъекты способствуют движению системы к состоянию равновесия. Дуги, которые не связаны с вершинами с заданной ценой и свободным отбором, не влияют на изменение ?. Согласно их интерпретации, им соответствую субъекты рынка, осуществляющие торгово-транспортные и посреднические функции. Эти субъекты способствуют распространению небалансов по всей сети.
Для управления экономической системы важным является вопрос об ускорении процесса перехода системы к состоянию равновесия. Из алгоритма вытеснения небалансов, доказательства теорем 1 и 2 следует, что скорость этого процесса характеризуется скоростью сходимости величины ? (n(t)) ? 0 при t ? ?, и определяется неравенством (3.12). Напомним, что в ней величина ?(t) является количеством дуг в кратчайшей цепи от вершины из i?E2?E3 с наибольшим небалансом Bi до множества E1 на шаге t. Таким образом, становится ясным, что введение фиксированного отбора и свободной цены в одном или нескольких пунктов (вершине сети) не приводит к ускорению стабилизации состояния равновесия. Ускорению способствует введение фиксированной цены и свободного отбора в них. Однако следует заметить, что в этом случае субъекты вершины i должны обладать мощностями по производству (либо потреблению) такими, чтобы компенсировать
Bi = Bi (P*i ; Ph1(v) ,v?V ?(i); Ph2(v) ,v?V ? (i))=
=? { ? v (P*i ? Ph1(v) ) : v?V ?(i)} ? ? { ? v (Ph2(v) ? P*i ) : v?V ? (i)},
которая характеризует величину потока, поступающего в (выходящего из) вершину (вершины) при заданной цене Pi =P*i .
4.3. Численный анализ в случаях невыполнения достаточных условий. Прежде всего отметим, что приведенный в работе алгоритм может быть реализован на ЭВМ, и использован для анализа конкретных систем в режиме имитации. Приведенные теоремы являются доказательством его сходимости. Однако доказательства выполнены при весьма существенных предположениях относительно функции ? v (?Pv ) = ? v (Ph1(v) ? Ph2(v)), v?V , которые могут быть нарушены. Заметим, что свойство 4 для этих функций, видимо, можно ослабить, но совсем отбросить его нельзя. Связность графа определяет структурную взаимосвязь субъектов, это свойство определяет их функциональную взаимосвязь по этой структуре ? возможность переноса небалансов в направление вершин с фиксированной ценой и свободным отбором. Для конкретных систем оно является более реалистичным, чем свойства 1.-3., которые дают достаточные условия разрешимости уравнения Bi(k) =Bi(k) (Pi(k); Ph1(v) ,v?V ?(i); Ph2(v) ,v?V ? (i)) = 0 относительно переменной Pi(k), т.е. существования равновесия каждой точечной модели системы. Однако графический анализ, приведенный в [4] показывает, что выписанное выше уравнение не всегда может быть разрешимым, и тем не менее для системы может существовать состояние равновесия. Наиболее существенной причиной неразрешимости является нарушение свойства 1 непрерывности функций ? v . Это легко показать на примерах, которые строятся для случая производственных функций, не обладающих свойством убывающей отдачи от масштаба производства. Из графического анализа этих случаев вытекает, что для ? v (?P ) существует ?P * такое, что при 0 ? ?P < ?P * ? v ? 0, при ?P ? ?P * ? v непрерывная строго возрастающая функция. Аналогичный вид был получен автором аналитически для производственной функции Кобба-Дугласа, и на основе вычислительного эксперимента для производственной функции CES. Поэтому при анализе на полуинтервале (0, ?P *] зависимость ? v (?P ) следует переопределить таким образом, чтобы выполнялись условия 1. - 4. Если равновесные цены оказались такими, что??Pv = (?Ph1(v) ??Ph2(v) ) ? (0, ?P *], то этого субъекта удалить и повторить анализ системы. Следует также отметить, в этих случаях состояние равновесия может быть не единственным. Аналогичные случаи встречаются при анализе, например водопроводных систем в условиях избыточного водопотребления. При включении всех водопотребителей задача потокораспределения решения не имеет, при отключении, по крайней мере, одного из них эта задача разрешима.
При наличии точек разрыва функций ? v (?P ) полученные решения целесообразно оценить его на устойчивость, так как переход через точки разрыва приводит к резкому переходу к другим состояниям, поэтому возникает задача оценки границ изменения цен, при которых эти функции непрерывны. Оценить область устойчивости можно на основе вычислительного эксперимента с описанным алгоритмом.

Список литературы
1. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.
2. Антипин А.С. Равновесное программирование: проксимальные методы. - Журнал вычислительной математики и математической физики - Т. 37, № 11,1997.
3. Коннов И. В. Методы решения конечномерных вариационных неравенств: Курс лекций. Казанское математическое общество. - Казань: Изд-во "ДАС", 1998. 101 с.
4. Чеканский А.Н. Фролова Н.Л. Теория спроса, предложения и рыночных структур. М.: Экономический факультет МГУ, ТЭИС, 1999.
5. Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. ? М., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979, - с. 304.
6. Коваленко А.Г. О математическом моделировании рассредоточенного рынка. // Экономика и математические методы. 1999, Т. 35, № 3.
7. Коваленко А.Г. Математические моделировании рассредоточенного рынка и задача потокораспределения теории гидравлических сетей. // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2001, № 4.
8. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей. М.: Наука, 1985.
9. Enke S. Equilibrium among spatially separated markets: solution by electronic analogue," Econometrica 10, 1951.
10. Samuelson P. A. Spatial price equilibrium and linear programming,"American Economic Review 42, 1952.
11. Takayama, T., Judge, G. G. Spatial and Temporal Price and Allocation Models, North-Holland, Amsterdam, The Netherlands, 1971.
12. Ермольев Ю. М., Мельник И. М. Экстремальные задачи на графах. Киев: Наукова думка, 1968.
13. McCabe, K.A., Rassenti, S.J., Smith V.L. "Desighning 'Smart' Computer-Assisted Markets (an Experimental Auction for Gas Networks)", Journal of Political Economy 5, 259-283 (North-Holland), 1989.
14. Nagurney А. Network Economics: А Variational Inequality Approach, second revised edition - Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers - 1999.
15. Карлова Н., Кобута И., Прокопьев М., Серова Е., Храмова И., Шик О. Агропродовольственная политика и международная торговля: российский аспект. М: ИЭПП. 2001.

Приложение
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЯ 2. Пусть Bi =B > 0, B j ? 0, j ?Eокр(i), существуют такие j , для которых j ? E1?Eокр(i). Воспользуемся выражением (3.2) для ?. В нем второе слагаемое не зависит от переменной Pi . Покажем, что убывает первое слагаемое. Обозначим через P k (B), k?E2?E3 цены, при которых Bi (Pi (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?(i); Ph2(v) (B) ,v?V ? (i) ) =B, через P k (0) цену, при которых Bi (Pi (0) ; Ph1(v)(0) ,v?V ?(i); Ph2(v)(0) , v?V ? (i) )=0. Заметим, что для k=i P k (B)?P k (0), для всех остальных k?E2?E3\{i} P k (B)=P k (0). В соответствии с леммой 1
?{ B j (P j (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( j ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( j )): j?{i} ?Eокр(i)}=
?{ B j (P j (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( j ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( j )): j?{i} ?Eокр(i) },
или
?{ Bj (Pj (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( j ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( j )): j?({i} ?(Eокр(i))\E1}?
?{ Bj (Pj (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( j ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( j )): j?({i} ?(Eокр(i))\E1}=
?(?{ Bj (Pj (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( j ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( j )): j?({i} ?(Eокр(i))?E1)} ?
?{ Bj (Pj (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( j ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( j )): j?({i} ?(Eокр(i))?E1)).
Так как функции ? v (?Pv) строго возрастающие, то
Bj (Pj(B); Ph1(v)(B) ,v?V ?( j ); Ph2(v)(B) ,v?V ? ( j )) ? Bj (Pj(0) ; Ph1(v)(0) ,v?V ?( j ); Ph2(v)(0) ,v?V ? ( j )) < 0
для всех j?Eокр(i) (смотри доказательство леммы 1). Но тогда
?{ Bj (Pj (B) ; Ph1(v) (B),v?V ?( j ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( j )): j?({i} ?Eокр(i))\E1} >
?{ Bj (Pj (0) ; Ph1(v) (0),v?V ?( j ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( j )): j?({i} ?Eокр(i))\E1 }.
Случай Bi =B < 0 , B j ? 0, j ?Eокр(i) , аналогичен.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЯ 3. Пусть Bi =B > 0, для всех j?J? Eокр(i) ? (E2?E3) B j < 0, J?? . Как и выше, в выражении (3.2) для ? второе слагаемое не зависит от переменной Pi . Покажем, что первое слагаемое не возрастает при убыванием Bi до нулевого значения, тем самым будет показано убывание значения ?.
Также как и выше, обозначим через P k (B), k?E2?E3 цены, при которых Bi (Pi (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?(i); Ph2(v) (B) ,v?V ? (i)) =B, через P k (0) цену, при которых Bi (Pi (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?(i); Ph2(v) (0) ,v?V ? (i)) = 0. Рассмотрим разность ? первого слагаемого при ценах P k (0) и P k (B)
?=|Bi (Pi (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( i ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( i )) |+
?{ |Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) | : k?Eокр(i)\ J}+
?{ |Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) | : k?J} ?
|Bi (Pi (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( i ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( i )) | ?
?{ |Bk (Pk (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( k )) | : k?Eокр(i)\ J} ?
?{|Bk (Pk (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( k )) | : k?J} =
(|Bi (Pi (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( i ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( i )) | ?
|Bi (Pi (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( i ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( i )) | )+
(?{(|B k (P k (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) | ?
|B k (P k (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( k ))| ) : k?Eокр(i)\ J})+
(?{(|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) | ?
|Bk (Pk (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( k ))| ) : k? J}).
В первых двух слагаемых раскроем модули
?=(Bi (Pi (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( i ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( i )) ?
Bi (Pi (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( i ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( i )) )+
(?{(Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) ?
Bk (Pk (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( k ))) : k?Eокр(i)\ J})+
(?{(|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) | ?
|Bk (Pk (B) ; Ph1(v) (B) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (B) ,v?V ? ( k ))| ) : k? J})=
? Bi + ?{?Bk : k?Eокр(i)\ J}+
?{(|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) | ?
|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k ))+ ?Bk | ) : k? J},
воспользуемся леммой 1
?=?{??Bk : k?Eокр(i) } + ?{?Bk : k?Eокр(i)\ J}+
?{(|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) | ?
|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k ))+ ?Bk | ) : k? J}=
?{??Bk : k? J } +
?{(|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) | ?
|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k ))+ ?Bk | ) : k? J}?
?{??Bk : k? J } +
?{(|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) ?
Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k ))? ?Bk | ) : k? J}=
?{??Bk : k? J } + ?{(| ? ?Bk | ) : k? J}=0, т.е. ? ? 0.
Откуда получаем требуемое.


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 2.
Докажем правое неравенство, возможны 2 случая. 1 случай B > 0. Так как функции ?i (x) , i=1,2,3,...m, строго возрастающие, то возрастающей является и функция ?{?i (x) : i=1,2,3,...m} , поэтому из (3.3) следует, что x (B) - x (0) > 0 и тогда (3.4) можно записать
li (x (B) ? x (0) ) ? (?i (x (B) ) - ?i (x (0)) )? Li (x (B) - x (0)). (П.1)
Вычитая из первого равенства (3.4) второе, будем иметь
B=?{?i ( x (B)) ? ?i ( x (0)) : i=1,2,3,...m}, (П.2)
воспользовавшись правой частью (П.1) получим B ? ( x (B) - x (0)) ?{Li : i=1,2,3,...m}. Отсюда
(x (B)- x (0)) ? B / ?{Li : i=1,2,3,...m}. Воспользовавшись левой частью неравенства (П.1) получим
(?i (x (B) ) - ?i (x (0)) ) / B ? li (x (B) ? x (0) ) / B ? li / ?{Lk : k=1,2,3,...m}. (П.3)
2 случай. B < 0. Тогда x (B) - x (0) < 0 и (3.3) примет вид
- li (x (B) - x (0) ) ? - (?i (x (B)) - ?i (x (0)))? - Li (x (B) - x (0) ). (П.4)
Из (3.4) и правой части двойного неравенства (П.4)
?B =?{- (?i (x (B)) - ?i (x (0))): i=1,2,3,...,m}? - ( x (B) - x (0) ) ?{ Li : i=1,2,3,...,m},
поэтому (x (B) - x (0) ) ? B / ?{ Li : i=1,2,3,...,m} . Из левой части (3.8)
(?i (x (B)) - ?i (x (0))) / B ? li / ?{ Lk : k=1,2,3,...,m}
Сравнивая последнее неравенство с (П.3) получаем справедливость правого неравенства.
Докажем левое неравенство леммы, также рассмотрим 2 случая.
1 случай B > 0. Воспользовавшись (П.2) и левой частью (П.1) получим
B? (x (B)- x (0)) ?{li : i=1,2,3,...m}. Отсюда (x (B)- x (0)) ? B / ?{li : i=1,2,3,...m}. Воспользовавшись правой частью неравенства (П.1) получим
(?i (x (B) ) - ?i (x (0)) )? Li (x (B) ? x (0) ) ? B Li / ?{lk : k=1,2,3,...,m}. (П.5)
2 случай. B < 0. Из (П.2) и левой части двойного неравенства (П.4)
? B =?{- (?i (x (B)) - ?i (x (0))): i=1,2,3,...,m}? - ( x (B) - x (0) ) ?{ li : i=1,2,3,...,m},
поэтому (x (B) - x (0) ) ? B / ?{ li : i=1,2,3,...,m} . Из правой части (П.4)
(?i (x (B)) - ?i (x (0))) ? B Li / ?{ lk : k=1,2,3,...,m}
Сравнивая последнее неравенство с (П.5) получаем справедливость левого неравенства.
Лемма доказана полностью.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 3. Квадратные матрицы A и B, где A обладает свойствами 1. - 5. леммы, будем называть эквивалентными, если
1. матрица B обладает свойствами 1. - 5. леммы,
2. из detA?0 следует detB?0 и наоборот.
Квадратную матрицу C, обладающую свойствами 1. - 5. леммы будем называть нормализованной, если всех i=1,2,3,..., M cii = 1. Очевидно, что в этом случае | ci j | ?1.
Легко видеть, что умножение строки на положительное число дает эквивалентное преобразование матриц. Для нормализации матрицы достаточно элементы cij каждой i-ой строки разделить на cii . Рассмотрим преобразование полного исключения Гаусса-Жордана, которое не изменяет значения определителя и позволяет привести матрицу к диагональному виду. Пусть выполняется элементарная операция преобразования Гаусса-Жордана нормализованной матрицы A=[aij] в матрицу B=[bij] : элементы строки k (k?N) матрицы B получаются из матрицы A умножение элементов строки i (aii - ведущий элемент, i?N) на число ??0 и сложение с соответствующими элементами строки k, т.е. b k j = a k j +? ai j , все остальные элементы матриц совпадают, т.е. bi j = ai j . Очевидно, что если матрица A удовлетворяет свойствам 3.-4., то этим свойствам удовлетворяет и матрица B. В преобразовании Гаусса-Жордана значение ? выбирается таким, чтобы b ki = a ki + ? aii = 0, т.е. b k j = a k j ? a ki ai j /aii . Пусть j?k, так как a k j < 0, a ki < 0, aii = 1, ai j < 0, то b k j < 0, т.е. для матрицы B свойство 2. выполняется.
Пусть j=k, b k k = a k k ? a ki ai k / aii , так как ak k =1, aii =1, ?1< aki? 0 , ?1 < ai k? 0, то bk k> 0, т.е. для матрицы B также выполняется и свойство 1.
Таким образом получаем, что B ? A .
Положим C (0) = C. Матрица C (i), i=1,2,3,...,M, получается из матрицы C (i?1) нормализацией и выполнением описанной выше элементарной операцией для всех j=1,2,3,..., M, j?t, с разрешающим элементом aii . В результате получим C = C (0)? C (1)? C (2)?... ? C (M). На каждом шаге i=1, 2, 3, ..., M получаем матрицу C (i), которой по сравнению с матрицей C (i?1), в столбце i элемент cii (i)=1, остальные равны нулю. В матрице C (M) на главной диагонали cii (M)=1, поэтому detC (M)=1, следовательно detC ?0.
Лемма доказана полностью.


Аннотация

Используя методы теории гидравлических сетей, исследуются проблемы перехода децентрализованных экономических систем, которые можно описать как модели однопродуктового рассредоточенного рынка, из неравновесных состояний в равновесное. Исследования проводятся при предположениях, которые часто используются в экономико-математическом моделировании, а также предположения, анализ которого известен в современном микроэкономическом анализе, что поведение субъектов каждого пункта приводит к его равновесию.



The summary

Using methods of the theory of hydraulic circuits, we research problems of transition of the not centralized economic systems, which can be described as model of the one-grocery dispersed market, from nonequilibrum condition to equilibrum condition. We spend researches at the assumptions, which frequently are used in economic-mathematical modeling, and also assumption, which analysis is known in the modern microeconomic analysis, that the behaviour of the subjects of each item results in its balance.




Сведения об авторе
Коваленко Алексей Гаврилович, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующей секцией математического моделирования экономических систем Самарского государственного университета,
Адрес рабочий :
443011 Самара, ул. ак. Павлова 1, кафедра информатики и вычислительной математики. телефон (846-2) 34-79-92, (846-2) 34-54-55
E-mail koval@ssu.samara.ru

Адрес домашний :
443084 Самара, ул. Нововокзальная 227, кв. 18. Телефон (846-2) 45-18-87
E-mail koval@samaramail.ru

Адрес для переписки лучше домашний.
8


1





СОДЕРЖАНИЕ