<<

стр. 26
(всего 35)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

Доход 1,00000
Путешествие 0,05120 1,00000
Отдых 0,30681 0,03588 1,00000
Размер семьи 0,38050 0,00474 0,22080 1,00000
-0,02512
Возраст - 0,34022 -0,01326 1,00000
- 0,20939
Коэффициент Я Уилксэ (?Астагистика) — одномерный f-фитерий с двумя и 27 степенями свободы


Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
700
Продолжение табл. 18.5

Переменная Значение F
Коэффициент Я Унлкса Значимость

Доход 0,26215 38,00 0,0000
Путешествие 0,0400
0,78790 3,634
Отдых 0,88060 0,1797
1,830
Размер семьи 0,87411 0,1626
1,944
Возраст 0,88214 0,1840
1,804
Канонические дискриминангные функции
Каноничес- После Я Уилкса Хи-квадрат Степени Значи-
Функция Собствен- Процент Кумулч-
ное эна- варка- тивный паякорре- удаления свободы мостъ
ляция функции
чение ции процент
0,1664 44,831 10 0,0001
: 0
I* 93,93 0,8902 : 1 0,8020 44,831 4 0,24
3,8190 93,93
2' 100,00 0,4450 :
6,07
0,2469

обозначает две канонические дискриминантные функции, оставшиеся в анализе.
Нормированные коэффициенты канонической дискриминангной функции
Функция 1 Функция 2

Доход 1,04740 - 0,42026
Путешествие 0,33991 0,76861
Отдых 0,53354
-0,14198
-0,16317 0,12932
Размер семьи
0,49474 0.52447
Возраст
Структурная матрица
Объединенные внутригрупповые корреляции между различающими переменными и каноническими дискриминант-
ными функциями (переменные ранжированы в соответствии с размером корреляции внутри функции}
Функция 1 функция 2
Доход 0,65556* - 0,27833
Размер семьи 0,7749
0,19319*
Отдых 0,58829*
0,21935
Путешествие 0,45362*
0,148999
Возраст 0,34079*
0,16576
Ненормированные коэффициенты канонической дискриминантной функции
Функция 1 Функция 2
0,1542658 -0,619714ВЕ-01
Доход
Путешествие 0,1867977 0,4223430
Отдых 0,2612652
- 0,6952264Е-01
Размер семьи -0,1202813 0,1002796
Возраст 0,5928055Е-01 0,6284206Е-01
(Константа) -11,09442 -3,791600




701
Глава 18. Дискриминантный анализ
Окончание табл. J8.5

Канонические дискриминангные функции, оцененные по групповым средним (центроидам групп)

Группа Функция 1 Функция 2

0,41847
-0,04100
I
- 0,40479 - 0,65В67
2,44578 0,24020
Результаты классификации

Предсказанная групповая принадлежность

Фактическая группа Число случаев 1 2 3

1
10 9 0
Группа 1
10,0% 0,0%
90,0%
10 I 9 0
Группа 2
90,0%
10,0% 0,0%
6
10 2
0
Группа ,'i
0,0% 20,0% 80,0%
Процент правильно классифицированных по группам случаев 86,67%
Результаты классификации для случав, не отобранных для анализа

Предсказанная групповая принадлежность
Фактическая группа Число случаев 1 2 3
1 4 3 1 0
Группа
25,0%
75,0% 0,0%
2 3 1
Группа 4 0
75,0%
0,0% 25,0%
Группа 3 3
0
4 1
25,0% 0,0% 75,0%
Процент верно классифицированных по группам случаев 75,00%

Самое большое стандартное отклонение внутри группы для всех трех групп имеет перемен-
ная "возраст". Объединенная межгрупповая корреляционная матрица указывает на некоторую
корреляцию переменных '"отдых" и "размер семьи" с "доходом". Переменная "возраст" имеет
отрицательную корреляцию с "путешествием" (т.е. зависимость между путешествием и возрас-
том обратная). К тому же эти корреляции находятся в нижнем ряду, указывая, что хотя муль-
ти колли неарность и может иметь место, но она, вероятно, не вызовет серьезной проблемы.
Значимость соответствующих одномерных /^статистик (отношений межгрупповой суммы
квадратов к внутри групповой) указывает, что когда предикторы рассматриваются по отдельно-
сти, то при дифференциации двух групп только доход и путешествие значимы.
Если при проведении множественного дискриминантного анализа имеется G групп, то
можно определить (С— 1) дискриминантную функцию, если число предикторов больше этого
количества. Вообще, с G группами и k предикторами можно вычислить и меньше, чем (G — 1)
или k дискриминантных функций. Первая функция имеет самое высокое значение отношения
межгрупповой суммы квадратов к внутригруппововой сумме квадратов. Вторая функция, не-
коррелирующая с первой, имеет второе по величине собственное значение и т.д. Однако не все
функции могут быть статистически значимыми.
Поскольку имеется три группы, можно определить значения двух функций. Собственное зна-
чение первой функции равно 3,8190, и эта функция объясняет 93,93% объяснимой дисперсии.


Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
702
Поскольку собственное значение большое, то первая функция, вероятно, старше. Вторая
функция имеет небольшое собственное значение, равное 0,2469, и объясняет только 6,07% объ-
яснимой дисперсии.

Определение значимости дискриминантной функции
Чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве центроидов групп, рассмотрим обе функции од-
новременно. Можно успешно проверить средние функций, выполнив первую проверку всех средних
одновременно. Затем, на следующих этапах, каждый раз исключают одну из функций и проверяют
средние оставшихся функций. Если в табл. 18.5 в колонке ''После удаления функции" стоит 0, то
значит не была удалена ни одна функция. Значение коэффициента Я, Уилкса равно 0,1644. Коэффи-
циент Я Уилкса преобразуется в статистику хи-квадрат, равную 44,831 с 10-тью степенями свободы,
которая является значимой выше 0,05 уровня. Таким образом, две функции вместе значимо дискри-
минируют (различают) три группы. Однако после исключения первой функции коэффициент А,
Уилкса, соответствующий второй функции, равен 0,8020, и является не значимой при уровне 0,05.
Поэтому вторая функция не вносит значимый вклад в групповые различия.

Интерпретация результатов
Интерпретировать результаты анализа помогает проверка нормированных коэффициентов
дискриминантной функции, структурных корреляций и построение диаграмм. Нормированные
коэффициенты показывают высокое значение коэффициента для дохода по функции 1; в то вре-
мя как функция 2 имеет относительно большие значения коэффициентов для переменных




По горизонтали: функция 1
По вертикали: функция 2



4,0


1 1
1
-I 23 333
0.0 1 1 12 3* 3
1 1 *2 2 3
1 2 2


2


-4,0




3,0 4,0
-6,0 40 -2,0 6,0
"Отмечает групповой центр

Рис. 18.2. Диаграмма рассеяния всех, групп

703
Глава 18. Дискриминантный анализ
"путешествие", "отдых'' и "возраст'. К аналогичному заключению можно прийти, изучив струк-
турную матрицу (см. табл. 18.5), Для удобства интерпретации переменные с большими коэффи-
циентами для конкретной функции группируют вместе. Эти группировки отмечены звездочкой.
Так "доход" и "размер семьи" помечены звездочкой для функции 1, поскольку эти переменные
имеют коэффициенты, значения которых для функции 1 выше, чем для функции 2. Эти пере-
менные связаны главным образом с функцией 2, что и показывают звездочки.
На рис. 18.2 приведена диаграмма рассеяния всех групп для функций 1 и 2.
Видно, что группа 3 имеет наивысшее значение по функции 1, а группа 1 — самое низкое. По-
скольку функция 1 в первую очередь связана с переменными "доход" и "размер семьи", можно ожи-
дать, что три группы будут ранжированы по этим двум переменным, Большие семьи, имеющие бо-
лее высокие доходы, вероятно, будут тратить большую сумму на отдых. И наоборот, небольшие семьи
с низкими доходами, вероятно, будут тратить небольшие суммы денег на отдых. Эти результаты под-
тверждаются проверкой групповых средних по переменным: доход и размер семьи.
Кроме того, рис. 18.2 показывает, что функция 2 стремится разделить группы 1 (наивысшее
значение) и 2 (наиболее низкое значение). Эта функция главным образом связана с перемен-
ными "путешествие", "отдых" и "возраст". Имея положительную корреляцию этих переменных
с функцией 2 в структурной матрице, мы ожидаем, что значения переменных "путешествие",
"отдых" и "возраст" в группе 1 больше, чем значения тех же переменных в группе 2. Это дейст-
1
вительно верно для переменных "путешествие " и "отдых", на что указывают внутригрупповые
средние этих переменных. Если семьи в группе 1 лояльнее относятся к путешествию и придают




По горизонтали: функция 1
По вертикали: функция 2




6,0 8,0
-8,0 -6,0 -4,0
'Отмечает групповой центр

Рис. 18.3. Территориальная карта

704 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
большее значение семейному отдыху, по сравнению с семьями из группы 2, то почему они тра-
тят на это меньше денег? Возможно, они и хотели бы потратить большую сумму на отдых, но
они не могут сделать этого из-за низких доходов.
Аналогичные выводы получены с помощью территориальной карты, (territorial map), пока-
занной на рис. 18.3.

Территориальная карта (territorial map)
Инструмент для оценки результатов дискриминантного анализа на основе построения диа-
граммы групповой принадлежности каждого случая.

На территориальной карте каждый групповой центроид указан звездочкой. Границы груп-
пы показаны числами в соответствии с номерами групп. Таким образом, центроид группы 1
ограничен цифрами 1; центроид группы 2 — цифрами 2; центроид группы 3 — цифрами 3.

Оценка достоверности дискриминантного анализа
Результаты классификации, полученные на основе анализируемой выборки показывают,
что (9 + 9 +8)/30 = 86,67% случаев классифицировано верно. Если классификационный ана-
лиз выполняют на основе проверочной независимой выборки табл. 18.3, то процент попаданий
немного меньше— 83,3%. Задав три группы равного размера, и исходя только из случайности,
можно ожидать, что коэффициент результативности (процент попаданий) равен 1/3 = 0,333
или 33,3%. Превышение полученного результата над случайным составляет 50%, и это свиде-
тельствует об удовлетворительной достоверности модели [14].
Следующий пример иллюстрирует применение множественного дискриминантного ана-
лиза для нескольких групп.

ПРИМЕР. Дом — там, где нравится пациенту
Для определения отношения людей к четырем системам предоставления медицинских
услуг (медицинское обслуживание на дому, больницы, дома престарелых и амбулаторные
клиники) проведен их опрос по 10 характеристикам обслуживания. Полученные 102 ответа
проанализированы с помощью множественного дискриминантного анализа (табл. 1).
Таблица 1. Нормированные коэффициенты дискриминацией функции
Дискриминантная функция
Переменная 1 2 3
Безопасность - 0,20 - 0,04 0,15
Удобство (близость) 0,08 0,08 0,07
Вероятность медицинских осложнений3 - 0,27 0,10 0,16
Дороговизна (услуги)3 0,30 - 0,28 0,52
Комфортабельность (комфорт) 0,53 0,27 - 0,19
Санитария - 0,27 - 0,14 - 0,70
Наилучшее медицинское обслуживание - 0,25 0,67 - 0,10
Уединенность (приватность) 0,40 0,08 0,49
Более быстрое выздоровление 0,30 0,32 - 0,15
Комплектация лучшим медицинским персоналом -0,17 - 0,03 0,18
63,0Ь
Процент объясняемой дисперсии 29,4° 7,6°
Статистика хи-квадрат 663,3 289,2 70,1
| ь "В вопроснике эти два пункта заданы наоборот. Для анализа данных их закодировали в обратном порядке.
р<0,01


Глава 18. Дискриминантный анализ 705
Определены три дискриминантные функции. Проверка статистик хи-квадрат показала,
что все три дискриминантные функции значимы при уровне 0,01. Вклад первой функции в
общую дискриминирующую способность составил 63%, а вклад оставшихся двух функ-
ций — 29,4% и 7,6% соответственно.
В табл. 1 представлены нормированные коэффициенты дискриминантной функции 10
переменных в дискриминантных уравнениях. Значения коэффициентов варьирует в преде-
лах от —1 до + I. При определении способности каждой характеристики классифицировать
(делить на группы) систему предоставления медицинских услуг использованы абсолютные
значения. В первой дискриминантной функции двумя переменными с самыми большими
v
коэффициентами оказались переменные "комфорт" (0,53) и "приватность (0,40). Посколь-
ку обе переменные связаны с персональным обслуживанием и медицинским уходом, то
первая характеристика обозначена как "индивидуальный уход''. Во второй функции двумя
переменными с самыми большими коэффициентами стали переменные "качество меди-
цинского обслуживания" (0,67) и "вероятность более быстрого выздоровления" (0,32). По-
этому эта характеристика названа "качество медицинского обслуживания". В третьей дис-
криминантной функции наиболее значимыми характеристиками оказались "санитария" (—
0,70) и "дороговизна (услуг)" (0,52). Поскольку эти две характеристики представляют стои-
мость и цену, третья дискриминантная функция получила название "стоимость".
Значения четырех групповых центроидов показаны в табл. 2.
Таблица 2. Центроиды систем медицинского обслуживания в дискриминантном пространстве
Дискриминантная функция
1 2 3
Система
Больница (стационар) -1,66 0,97 - 0,08
Медицинское обслуживание на дому - 0,60 -1,36 - 0,27
^Амбулаторная клиника 0,54 -0,13 0,77
Медицинский уход в домах престарелых 1,77 0,50 - 0,39
Данные таблицы показывают, что медицинское обслуживание на дому оценивается как
наиболее приемлемое обслуживание по характеристике "индивидуальный уход", а пребыва-
ние в больнице — как наихудший вариант. Что касается характеристики "качество меди-
цинского обслуживания", то здесь наблюдалось существенное различие между медицин-
ским обслуживанием на дому и другими тремя системами. По этой характеристике
"качество медицинского обслуживания", "обслуживание на дому" также получило наи-
высшие оценки по сравнению с амбулаторными клиниками. Но, с другой стороны, амбула-
торные клиники оценены как наилучшие с точки зрения предлагаемой цены.
Классификационный анализ 102-х респондентов, представленный в табл. 3, показывает
верное отнесение к группам, начиная с 86% для больниц и 68% — для амбулаторных клиник.
Таблица 3, Классификационная таблица
Отнесение к класу (в %)
' Система Больница Медицинское обслу- Амбулаторная Медицинский уход
живание на дому клиника а домах престарелых
Больница 86 6 6 2
Медицинское обслуживание н а дому 9 78 1 0 3
j
I Амбулаторная клиника 9 13 68 10
f Медицинский уход в домах престарелых 5 4 13 78

Неверная классификация для больниц составила по 6% для домов престарелых и амбула-
торных клиник и 2% — для медицинского обслуживания на дому (вместо отнесения к боль-
ницам 6% было отнесено к домам престарелых и амбулаторным клиникам и 2% — к медицин-
скому обслуживанию на дому). Неверная классификация для домов престарелых была такой: I


706 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
9% отнесли к больницам, 10% — к амбулаторным клиникам и 3% — к медицинскому обслу-
живанию на дому. Неверная классификация для амбулаторных клиник была такой: 9% невер-
но отнесли к больницам, 13% — к домам престарелых и 10% — к медицинскому обслужива-
нию на дому. Для медицинского обслуживания на дому неверная классификация оказалась
такой: 5% отнесли к больницам, 4% — к домам престарелых и 13% — к амбулаторным клини-
кам. Результаты показали, что дискриминантные (классифицирующие) функции оказались
достаточно точными при предсказании групповой принадлежности [15].



ПОШАГОВЫЙ ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ
Пошаговый дискриминантный анализ аналогичен пошаговому множественному регресси-
онному анализу (см. главу 17) в том отношении, что предикторы вводят последовательно, ис-
ходя из их способности различать (дискриминировать) группы. Значение .F—статистики рас-
считывают для каждого предиктора, выполняя одномерный дисперсионный анализ, в котором
группы рассматривают как категориальную переменную, а предиктор — как критериальную
переменную. Предиктор с самым высоким значением /"-статистики первым отбирают для
включения в дискриминантую функцию, если он удовлятворяет определенной значимости и
допустимому критерию. Второй предиктор вводят, исходя из самого высокого скорректирован-
ного или частного значения F, и приняв во внимание уже выбранный предиктор.
Для того чтобы каждый выбранный предиктор оставить в уравнении, его проверяют, исхо-
дя из его связи с другими предикторами. Процесс введения и исключения продолжают до тех
пор, пока все предикторы не будут удовлетворять критерию значимости — условию, необходи-
мому для введения этих предикторов в дискриминантную функцию. На каждой стадии рас-
считывают несколько статистик. Кроме того, в заключение подводят итог введенным или ис-
ключенным предикторам. Пошаговый метод приводит к тому же стандартному выводу кото-
рый вытекает из прямого метода.
Выбор пошагового метода основан на оптимизации принятого критерия. Метод Махалано-
биса (Mahalanobis procedure) основан на максимизации обобщенной меры расстояния между
двумя самыми близкими группами. Этот метод позволяет маркетологам-исследователям из-
влечь максимальную пользу из имеющейся информации [16].

Метод Махаланобиса (Mahalanobis procedure)
Пошаговый метод, используемый в дискриминантном анализе для максимизации обобщен-
ной меры расстояния между двумя самыми близкими группами.

Метод Махаланобиса использован для выполнения пошагового дискриминантного анализа двух
групп при изучении данных в табл. 18,2 и 18.3. Первой выбранной переменной был доход, за ним
следовали размер семьи и отдых. Порядок введения переменньгх указывает на их значимость в дис-
криминации двух групп. Впоследствии это подтвердила проверка нормированных коэффициентов
д искри минантной функции и структура коэффициентов корреляции. Обратите внимание, что ре-
зультаты пошагового анализа согласуются с выводами, ранее полученными прямым методом.
Врезка 18.1 "Практика маркетинговых исследований"— пример применения дискрими-
нантного анализа в международных маркетинговых исследованиях [17], а врезка 18.2
"Практика маркетинговых исследований" представляет собой исследование этических про-
блем в маркетинге [18].

Врезка 18.1. Практика маркетинговых исследований

Навстречу пожеланиям клиентов
В настоящее время все больше компьютерных компаний акцентируют внимание на про-
граммах оказания услуг потребителям, а не на характеристиках и возможностях компьюте-
ров. Компания Hewlett-Packard усвоила этот урок, работая на рынках Европы. Исследование,


Глава 18. Дискриминантный анализ 707
проведенное на европейском рынке, выявило, что требования клиентов в отношении оказы-
ваемых услуг различаются в зависимости от возраста потребителя. Изучение целевых групп
показало, что потребители старше 40 лет испытывают технические трудности при работе на
компьютере и поэтому как никто другой нуждаются в программах поддержки. С другой сто-
роны, молодые потребители должным образом оценивали технические новинки, которые
вносились в компьютер по их желанию. В ходе маркетинговых исследований определены
факторы, приводящие к различиям этих двух возрастных групп. Маркетологи выполнили
д искрим и нантный анализ для двух групп, в котором в качестве групп были удовлетворен-
ные и неудовлетворенные клиенты, а несколькими независимыми переменными являлись
следующие; техническая информация, легкость в обращении, разнообразие и масштаб про-
грамм оказания услуг для клиентов и т.д. Результаты подтвердили, что переменная
"разнообразие и масштаб программ оказания услуг для клиентов" — действительно сильный
дифференцирующий фактор. Это было главным результатом исследования, поскольку те-
перь компания Hewlett-Packard могла лучше удовлетворять желания неудовлетворенных
клиентов, делая акцент больше на обслуживании потребителей, а не на технических деталях.
В результате компания Hewlett-Packard успешно провела в жизнь три программы услуг: про-
грамму обратной связи с клиентами, программу опросов по удовлетворению желаний потре-
бителей и программу тотального контроля качества. Эти усилия способствовали полной
удовлетворенности клиентов компьютерами и услугами.



Врезка 18.2. Практика маркетинговых исследований

С помощью дискриминантного анализа можно разобраться в вопросах этики
Для определения важных переменных, которые позволяют спрогнозировать этичное и
неэтичное поведение, маркетологи использовали дискриминантный анализ. Предваритель-
ное исследование показало, что на принятие этических решений влияют следующие пере-
менные: отношение к этике, позиция руководства, наличие или отсутствие Этического ко-
декса и размер организации.
Для определения наилучших предикторов нравственного поведения провели опрос 149
фирм, в котором попросили указать, как ведет себя фирма в каждой из 18-ти различных си-
туаций. Из этих 18-ти ситуаций 9 были связаны с маркетинговыми видами деятельности,
Эти виды деятельности включали: использование вводящих в заблуждение презентаций то-
вара; принятие подарков для приоритетного обслуживания; калькуляция цен, заниженная
по сравнению с фактической оплатой наличными и тому подобное. Основываясь на этих де-
вяти пунктах, фирмы разбиты на две группы: "непрактикующие (такие методы)" и
"практикующие (такие методы)".
Проверка переменных, влияющих на классификацию, показала, что переменные
"отношение к этике" и ''размер компании"— наилучшие предикторы нравственного пове-
дения. Выявлено, что более мелкие фирмы демонстрируют более этическое поведение в
сфере маркетинга.



ИСПОЛЬЗОВАНИЕ INTERNET И КОМПЬЮТЕРА
В SPSS процедуру DISCRIMINANT используют для выполнения дискриминантного ана-
лиза. Это общая программа для дискриминантного анализа для двух групп или множественно-
го дискриминантного анализа. Кроме того, с ее помощью можно выполнить прямой или по-
шаговый метод.
В программе SAS для выполнения дискриминантного анализа для двух групп или множе-
ственного дискриминантного анализа можно использовать процедуру DISCRIM. Если допу-
щение о многомерном нормальном распределении не выполняется, то можно использовать


Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
708
процедуру NEIGHBOR. В этой процедуре для классификации наблюдений используют непа-
раметрическое правило "ближайших соседей". Программа CANDISC выполняет канонический
дискриминантный анализ и связана с анализом основных компонентов и канонической кор-
реляцией. Процедуру STEPDISC можно использовать для выполнения пошагового дискрими-
нантного анализа.
В программном пакете BMDP для выполнения пошагового д искри ми нантного анализа
можно использовать программу Р7М. Но она не дает нормированные коэффициенты дискри-
минантной функции [19].
В Minitab дискриминантный анализ можно выполнить с помощью функции
Stats>Multivariate>Discrimmate Analysis. Она позволяет вычислить как линейный, так и квад-
ратный дискриминантный анализ при разбиении (классификации) наблюдений на две или
больше групп. Дискриминантный анализ недоступен в Excel (версия 7.0 для PC).



Как и во множественном регрессионном анализе, использование дискриминантно-
го анализа первоначально заключалось в предсказании и определении сравнительной
важности независимых переменных. Главное отличие этих двух методов в том, что в
рамках множественной регрессии используют зависимую переменную, выраженную в
интервальной или относительной шкале, а в дискриминантном — категориальную за-
висимую переменную. В то время как множественный регрессионный анализ можно
использовать для определения степени покупательского интереса к данному товару,
дискриминантный анализ только установит принадлежность человека к группе поку-
пателей или непокупателей.
Один из вопросов для исследователя заключается в том, использовать "естественные
1
группы' или "искусственно созданные". Например, если вас интересует возраст респонден-
тов, то вы часто собираете данные по возрастным категориям, а не используете фактический
возраст респондентов. В этом случае используемые категории определят результат анализа, в
котором они должны выступать как зависимая переменная. Объединяя людей в усреднен-
ные возрастные группы, вы можете увидеть различия между ними. Взгляд на детальные
данные позволит вам сделать определенные выводы о создании больших по размеру групп
респондентов, исходя из любого частного показателя. В другой ситуации вы можете также
собрать данные о том, проживает респондент один в квартире или с кем-то. Для описания
условий проживания естественно использовать номинальные категории, поскольку трудно
подобрать показатели, измеряемые по интервальной шкале. Если группы выбраны пра-
вильно, то это вселяет уверенность в качестве результатов.
В ходе проведенного Burke маркетингового исследования использования торговой марки
получена следующая классификационная матрица. Каждому респонденту задали вопрос:
старается ли он покупать товары определенной торговой марки? Далее попытались разли-
чить респондентов, исходя из их оценок выгод, которые приносит обладание данным това-
ром. Каждый респондент рассматривался с точки зрения того, придерживаются они покупок
товара определенной торговой марки или нет. Из всей выборки 30% (60 человек) ответили,
что они не стремятся купить товар определенной торговой марки, а 70% {202 человека) —
стремятся. Обычно при непропорциональном распределении групп среди населения ожи-
дают, что большая по размеру группа будет предсказана с большей точностью по сравнению
с меньшей. Об этом свидетельствует тот факт, что если использовать для прогноза случай-
ный выбор, то к первой группе (приверженцев торговой марки) будет отнесено 49% (0,7 *
0,7), а ко второй 9% (0,3 * 0,3). Процент неверно классифицированных респондентов соста-
вит 42% от всего числа (0,3 * 0,7 + 0,7 * 0,3). Эта модель классифицирует меньшую группу
(неприверженцев торговой марки) менее точно, чем группу приверженцев, но все равно
точнее, чем при отнесении респондентов к группе методом случайного выбора.
Кроме того, маркетологи выполнили перекрестную проверку с помощью программы
SPSS. В этой программе дискриминантную модель пересчитывают столько раз, сколько рее- !
пондентов в выборке. Каждый пересчет исключает одного респондента, и модель использу- |

Глава 18. Дискриминантный анализ 709
ется для отнесения его к определенной группе. Если нет возможности использовать боль-
шую проверочную выборку, то целесообразно выполнять перекрестную проверку для надеж-
ности расчета, поскольку в перекрестной проверке изучают каждого респондента по очереди.
В этой ситуации перекрестная проверка приводит почти к такому же уровню точности, как и
полная модель. Обратите внимание, что перекрестная проверка дает больше ошибок при
предсказании респондентов меньшей группы.
Результат, полученный стандартным методом, иногда не подходит к альтернативным
способам, с помощью которых менеджмент может пожелать интерпретировать модель в све-
те подразумеваемого использования результатов. Например, руководство спрашивает: "Если
бы вы должны были предсказать, что данный респондент относится к группе непривержен-
цев торговой марки, то какова ожидаемая вероятность того, что вы правы?" В этой ситуации
(используя перекрестную проверку) специалисты фирмы Burke могли бы сказать: "Мы
вправе ожидать, что предсказанное число респондентов, соответствующих группе
"неприверженцы торговой марки", составило около 18% от всего числа опрошенных [(33 +
15)/262 = 0,18]/' При этой проверке следует ожидать, что будет верно отнесено примерно
69% респондентов (33/48 = 0,69). Результат, полученный стандартным путем, сразу не по-
казывают руководству. Возвращаясь к методу случайного выбора, фирма Burke могла бы
сказать руководителям: "Метод случайного отбора оценил бы количество неприверженцев
торговой марки в 30%, и эта цифра была бы верна только на 43%" (т.е. доля выборки слу-
чайно отнесенной к группе "неприверженцы торговой марки" равна 0,3 * 0,7 + 0,3 * 0,3 =
0,30; доля верно классифицированных респондентов составляет 0,3 * 0,3/0,3 *0,7 = 43%).
Но, увидев только процент верно классифицированных респондентов, нельзя оценить всю
картину целиком.
Результаты классификации
Предсказанная групповая принадлежность
Придерживаетесь ли Нет Да Итог
торговой марки
Исходный Количество Нет 35 25 60
Да 15 187 202
% Нет 58,3 41,7 100,0
Да 7,4 92,6 100,0
Полученный с помощью 3 Количество Нет 33 27 60
перекрестной проверки
Да 15 187 202
% Нет 55,0 45,0 100,0
Да 7,4 92,6 100,0

Примечание, а. Перекрестная проверка выполнена только для случаев анализируемой выборки. При перекрестной провер-
ке каждый случай классифицировали с помощью функций, выведенных на основе всех случаев, а не этого одного случая.
34,7% от всех случаев в исходной группе классифицировано верно.
34,0% от всех случаев, для которых выполнена перекрестная проверка, классифицировано верно.



РЕЗЮМЕ
Дискриминантный анализ целесообразно использовать, когда зависимая переменная явля-
ется категориальной, а предикторы (независимые переменные) — интервальными. Если зави-
симая переменная имеет две категории, то используемый метод известен как дискриминант-
ный анализ для двух групп. Если анализируют три или больше групп, то метод называют мно-
жественным дискриминантным анализом.


710 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
Процедура дискриминантного анализа состоит из пяти шагов. Первый шаг — формули-
рование проблемы, требует определения целей, зависимой и независимых переменных. Вы-
борку делят на две части. Анализируемую выборку используют для вычисления дискрими-
нантной функции; проверочную— для проверки достоверности модели. Второй шаг— оп-
ределение функции, включает выведение такой линейной комбинации предикторов
(дискрнминантных функций), чтобы группы максимально возможно различались между
собой значениями предикторов.
Определение статистической значимости представляет собой третий шаг. Она включает
проверку нулевой гипотезы о том, что в совокупности средние всех дискриминантных функ-
ций во всех группах равны между собой. Если нулевую гипотезу отклоняют, то имеет смысл
интерпретировать результаты.
Четвертый шаг — интерпретация дискриминантных весов или коэффициентов аналогична
такой же стадии во множественном регрессионном анализе. При данной мультиколлинеарности в
предсказанных переменных не существует однозначной меры относительной важности предикто-
ров в дискриминации ими групп. Однако некоторое представление об относительной важности
переменных можно получить, изучив абсолютные значения нормированных коэффициентов
дискриминантной функции и структуру корреляций или дискриминантных нагрузок. Эти ко-
эффициенты линейной корреляции между каждым предиктором и дискриминантной функцией
представляют дисперсию, которую предиктор делит вместе с функцией. Другим средством интер-
претации результатов дискриминантного анализа является разработка характеристической струк-
туры для каждой группы, исходя из групповых средних для предикторов.
Пятый шаг — проверка достоверности. Она включает разработку классификационной мат-
рицы. Дискриминантные веса, определенные с помощью анализируемой выборки, умножают
на значения независимых переменных в проверочной выборке, чтобы получить дискрими-
нантные показатели для случаев в этой выборке. Затем случаи распределяют по группам, исхо-
дя из дискриминантных показателей и соответствующего правила принятия решения. Опреде-
ляют процент верно классифицированных случаев и сравнивают его с процентом случаев, ко-
торое можно ожидать на основе классификации методом случайного выбора.
Для оценки коэффициентов существует два известных подхода. Прямой метод включает
оценку дискриминантной функции при одновременном введении всех предикторов. Альтер-
нативный ему пошаговый метод включает последовательное введение предсказанных пере-
менных, исходя из их способности дискриминировать группы.
Во множественном д искри ми нантном анализе, если имеется G групп и k предикторов,
можно оценить (G - 1) и меньше, чем (G - 1) или k дискриминантных функций. Первая
функция имеет самое высокое значение отношения межгрупповой суммы квадратов к внутри-
группововой сумме квадратов. Вторая функция, некоррелирующая с первой, имеет второе по
величине собственное значение и т.д.


ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ
дискриминантный анализ для двух групп
• /"-статистики и их значимость (/'-values
(two-group discriminant analysis)
and their significance)
• анализируемая выборка (analysis sample) дискриминантный показатель
(discriminant score)
• групповые средние (grouped means)
каноническая корреляция (canonical cor-
• групповые стандартные отклонения
relation)
(group standard deviations)
классификационная матрица
• дискриминантная функция (discriminant
(classification matrix)
function)
коэффицент 1 Уилкса {Wilks's 1)
• дискриминантный анализ (discriminant
коэффициент результативности (hit ratio)
analysis)



711
Глава 18. Дискриминантный анализ
коэффициенты д искри минантной функ- пошаговый дискриминантный анализ
ции (discriminant function coefficients) (stepwise discriminant analysis)
метод Махаланобиса (Mahalanobis proce- проверочная выборка (validation sample)
dure) прямой метод (direct method)
множественный дискриминантный ана- собственное (характеристическое) значе-
лиз (multiple discriminant analysis) ние (eigenvalue)
модель дискриминантного анализа структурные корреляции (structure corre-
(discriminant analysis model) lations)
нормированные коэффициенты дискри- территориальная карта (territorial map)
минантной функции (standardized dis-
характеристическая структура
criminant function coefficients)
(characteristic profile)
общая корреляционная матрица (total
центроид (centroid)
correlation matrix)
объединенная внутри групповая корреля-
ционная матрица (pooled within-group
correlation matrix)


УПРАЖНЕНИЯ
Вопросы
1. Каковы цели дискриминантного анализа?
2. Какое главное отличие дискриминантного анализа для двух групп от множественного дис-
криминантного анализа?
3. Опишите связь дискриминантного анализа с регрессионным и дисперсионным анализом.
4. Назовите этапы выполнения дискриминантного анализа.
5. Как разделить общую выборку для целей анализа и проверки?
6. Что такое коэффициент А. Уилкса? Для каких целей его используют?
7. Дайте определение д искри минантному показателю.
8. Объясните, что означает собственное значение?
9. Что такое классификационная матрица?
10. Как определяют статистическую значимость дискриминантного анализа?
11. Опишите общую процедуру для определения достоверности дискриминантного анализа.
12. Как определяют точность классификации случайным методом при наличии групп одина-
кового размера?
13. Чем отличается пошаговый дискриминантный метод от прямого?

Задачи
1. При исследовании различий между потребителями, которые покупают замороженные про-
дукты много, мало и не покупают их вообще, обнаружено, что два самых больших норми-
рованных коэффициента дискриминантной функции были равны: 0,97 — для переменной
"удобное расположение" и 0,61 — для переменной "доход". Можно ли сделать заключение,
что переменная "удобное расположение" важнее, чем переменная "доход", если каждую пе-
ременную рассматривать саму по себе?




712 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
2. Исходя из приведенной ниже информации, вычислите дискриминантный показатель для
каждого респондента. Значение константы равно 2,04.

Ненормированные коэффициенты дискриминантной функции
Возраст 0,38
Доход 0,44
Принятие риска - 0,39
Оптимизм 1,26
Идентификационный Возраст Принятие риии
номерреспондента *«« Оптимизм
0246 36 43,7 21 65
1337 44 62,5 28 56
2375 57 33,5 25 40
2454 63 38,7 16 36



УПРАЖНЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ INTERNET
И КОМПЬЮТЕРА
1. Проведите дискриминантный анализ для двух групп данных, которые приведены в
табл. 18.2 и 18.3, используя программные пакеты SPSS, SAS, BMDP или Minitab. Срав-
ните результаты, полученные с помощью всех программных пакетов. Обсудите сходства и
различия,
2. Проведите пошаговый дискриминантный анализ для трех групп данных, которые приведе-
ны в табл. 18.2 и 18.3, используя программные пакеты SPSS, SAS, BMDP или Minitab.
Сравните полученные результаты с результатами из табл. 18.5 для дискриминантного ана-
лиза трех групп.


ПРИЛОЖЕНИЕ 18А

Определение коэффициентов дискриминантной функции
Предположим, что имеется G групп, / = 1, 2, 3, ... , G, каждая из которых содержит ni наблю-
дений по К независимым переменным, Х„ Х^ ..., Xk. Введем следующие условные обозначения:
N— общий размер выборки



Wt — матрица скорректированных на среднее значение суммы квадратов и векторных про-
изведений для ('-и группы;
W— матрица суммарных скорректированных на среднее значение суммы квадратов и век-
торных произведений;
В— матрица скорректированных на среднее значение межгрупповых суммы квадратов и
векторных произведений;
Т— матрица суммарных скорректированных на среднее значение межгрупповых суммы
квадратов и векторных произведений для всех N наблюдений (= W + В);
X-t = вектор средних значений наблюдений в /-Й группе;


Глава 18. Дискриминантный анализ 713
X - вектор общей средней для всех N наблюдений;
А — отношение межгрупповой суммы квадратов к внутригрупповой сумме квадратов;
Ь — вектор д искрим и нантных коэффициентов или весов.
Тогда




W- W, + W2 + W3 + ... + WG
B = T-W
Определим линейный составной компонент D = Ь^С. Тогда, с учетом D, межгрупповые и
внутригрупповые суммы квадратов задаются выражениями Ь',ВЬ и b,Wb соответственно. Для
того чтобы максимально различить (дискриминировать) группы, определяют дискриминант-
ные функции, чтобы максимизировать межгрупповую изменчивость. Коэффициенты Ъ рас-
считывают так, чтобы максимизировать А решением уравнения
. ь\вь
Мах А = — -
b\Wb
Взяв частную производную по А и приравняв ее нулю, после некоторых упрощений получим:


Чтобы проще найти Ь, умножим все выражение на W и решим следующее характеристиче-
ское уравнение:


Максимальное значение А— это наибольшее собственное значение матрицы Ц^'В, а Ь —
соответствующий собственный вектор матрицы. Элементы Ь — это д искрим и нантные коэф-
фициенты или веса, соответствующие первой дискриминантной функции. В целом можно оп-
ределить меньше, чем (G— 1) или k дискриминантных функций, каждую с соответствующим
ей собственным значением. Дискримииантные функции оценивают последовательно. Други-
ми словами, первая дискриминантная функция вносит самый большой вклад в межгрупповую
изменчивость. Вторая функция максимизирует межгрупповую вариацию, которая не объясне-
на первой функцией и т.д.


КОММЕНТАРИИ
1. Donald R. Lichtenstein, Scot Burton, Richard G. Netemeyer, "An Examination of Deal Proneness
across Sales Promotion Types: A Consumer Segmentation Perspective", Journal of Retailing, Summer
1997, p. 283—297; Marvin A, Jolson, Joshua L. Wiener, Richard B. Rosecky, "Correlates of Rebate
Proneness", Journal of Advertising Research, February— March 19S7, p. 33—43.
2. Детальное обсуждение дискриминантного анализа можно найти в работах Jacques Tacq,
Afultivariate Analysis Techniques in Social Science Research (Thousand Oaks, CA: Sage Publications,
1996); A. Lachenbruch, Discriminant Analysis (New York, NY: Hafner Press, 1975). О современ-
ном применении см. статью Ken Deal, ''Determining Success Criteria for Financial Products: A
Comparative Analysis of CART, Logit and Factor/Discriminant Analysis", Service Industries
Journal, July 1997, p. 489-506.
3. Richard A. Johnson, Dean W. Wichern, Applied Muitivariate Statistical Analysis, 4th ed. (Upper Sad-
dle River, NJ: Prentice Hall, 1998); W.R. Klecka, Discriminant Analysis (Beverly Hills, CA: Sage
Publications, 1980). См. также статью Steven A. Sinclair, Edward C. Stalling, "How to Identify
Differences between Market Segments with Attribute Analysis", Industrial Marketing Management,
February 1990, p. 31-40.


714 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
4. О современном применении см. статьи Zafar Khan, Sudhlr К. Chawla, S. Thomas,
A. Cianciolo, ''Multiple Discriminant Analysis: Tool for Effective Marketing of Computer Informa-
tion Systems to Small Business Clients", Journal of Professional Services Marketing, December 1995,
p. 153—162; J.K. Sager, Ajay Menon, ''The Role of Behavioral Intentions in Turnover of Salespeo-
ple", Journal of Business Research, March 1994, p. 179—188; Valerie Kijewski, Eunsang Yoon, Gary
Young, "How Exhibitors Select Trade Shows", Industrial Marketing Management, November 1993,
p. 287-298.
5. Vincent-Watne Mitchel, "How to Identify Psychological Segments: Part 2", Marketing Intelligence &
Planning, July 1994, p. 11—16; M.R. Crask, W.D. Perreault, Jr., "Validation of Discriminant Analy-
sis in Marketing Research", Journal of Marketing Research, February 1977, p. 60—68.
6. Строго говоря, перед проверкой равенства средних внутри класса следует проверить равен-
ство ковариационных матриц групп. Для этого можно использовать М-тест Бокса. Если ра-
венство ковариационных матриц групп отклоняют, то результаты дискриминантного ана-
лиза следует интерпретировать осторожно. В этом случае мощность проверки на равенство
средних внутри класса уменьшается.
7. Lillian Fok, John Angelidis, Nabil A. Ibrahim, Wing M. Fok, "The Utilization and Interpretation of
Multivariate Statistical Techniques in Strategic Management", International Journal of Management,
December 1995, p. 468—481; D,G. Morrison, "On the Interpretation of Discriminant Analysis",
Journal of Marketing Research, May 1969, p. 156—163. Для использования других методов со-
вместно с дискриминантным анализом, чтобы помочь интерпретации, см. статью Rajiv
Dant, James R. Lumpkin, Robert Bush, "Private Physicians or Walk-In Clinics: Do the Patients
Differ?', Journal of Health Care Marketing, June 1990, p. 23-35.
8. Jon M. Hames, C. Rao, Thomas L. Baker, "Retail Salesperson Attributes and the Role of Depend-
ability in the Selection of Durable Goods", Journal of Personal Selling & Sales Management, Fall
1993, p. 61—71; Edward F. Fern, Ramon A. Avila, Dhruv Grewal, "Salesforce Turnover: Those Who
Left and Those Who Stayed", Industrial Marketing Management, Spring 1994, p. 1—9.
9. О проверке дискриминантного анализа см. статью Robert Bush, David J. Ortinau, Alan J.
Bush, "Personal Value Structures and AIDS Prevention", Journal of Health Care Marketing, Spring
1994, p. 12-20.
10. Joseph F. Hair, Jr., Ralph E, Anderson, Ronald L. Tatham, William C. Black, Multivariate Data
Analysis with Readings, 5th ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hatl, 1999).
11. Vincent-Wayne Mitchell, "How to Identify Psychographic Segments: Part 2", Marketing Intelligence
and Planning, July 1994, p. 11-16.
12. Don R. Rahtz, M. Joseph Sirgy, Rustan Kosenko, "Using Demographics and Psychographic Di-
mensions to Discriminate between Mature Heavy and Light Television Users: An Exploratory
Analysis", in Kenneth D. Bahn (ed.), Developments in Marketing Science, vol. 11 (Blacksburg, VA:
Academy of Marketing Science, 1988), p. 2—7.
13. Richard A. Johnson, DeanW. Wichern, Applied Multivariate Statistical Analysis, 4th ed. (Upper Sad-
dle River, NJ: Prentice Hall, 1998). См. также статью Rajiv Dant, Patrik L. -Schul, "Conflict
Resolution Processes in Contractual Channels of Distribution", Journal of Marketing, January 1992,
p. 38-54.
14. Constantine Loucopoulos, Robert Pavur, "Computational Characteristics of a New Mathematical
Programming Model for the Three-Group Discriminant Problem", Computers & Operations
Research, February 1997, p. 179—191. О последнем применении множественного
дискриминантного анализа см. работу Stephen J. O'Connor, Richard M. Shewchuk, Lynn W.
Carney, "The Great Gap", Journal of Health Care Marketing, Summer 1994, p. 32-39.
15. Kathryn H. Dansky, Diane Brannon, "Discriminant Analysis: A Technique for Adding Value to Pa-
tient satisfaction Surveys", Hospital & Health Services Administration, Winter 1996, p. 503—513; Jeen-
Su Lim, Ron Sallocco, ''Determinant Attributes in Formulation of Attitudes toward Four Health
Care Sysntemsv, Journal of Health Care Marketing, June 1988, p. 25—30.


Глава 18. Дискримиканткый анализ 715
16. Richard A. Johnson, Dean A. Wichern, Applied Multivariate Statistical Analysis, 4th ed. (Upper Sad-
dle River, NJ: Prentice Hall, 1998) Joseph F. Hair, Jr., Ralph E. Anderson, Ronald L. Tatham, Wil-
liam C. Black, Multivariate Data Analysis with Reading?, 5th ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice
Hall, 1999), p. 178-255.
17. Jeryl Whitelock, Carole Roberts, Jonathan Blakeley, "The Reality of the Eurobrand: An Empirical
Analysis", Journal of International Marketing, March 1995, p. 77—95; Charlotte Klopp, John Starlic-
chi, "Customer Satisfaction Just Catching on in Europe", Marketing News , May 28, 1990, p. 5.
18. David J. Fritzsche, "Personal Values: Potential Keys to Ethical Decision Making", Journal of
Business Ethics, November 1995, p. 909-922; Paul R. Murphy, Jonathan E. Smith, James M. Daley,
"Executive Attitudes, Organizational Size, and Ethical Issues: Perspectives on a Service Industry",
Journal of Business Ethics, November 1992, p. 11—19.
19. Erie L. Einspruch, An Introductory Guide to SPSS for Windows (Thousand Oaks, CA: Sage Publica-
tions, 1998); Paul E. Spector, SAS Programming for Researchers and Social Scientists (Thousand Oaks,
CA: Sage Publications, 1993); Mohamed Adzal Norat, "Software Reviews", Economic Journal: The
Joumalofthe Royal Economic Society, May 1997, p. 857—882; Charles Seiter, "The Statistical Differ-
ence", Macworld, October 1993, p. 116—121.




716 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
Г л а в а 19
Факторный анализ
После изучения материала этой главы вы должны уметь ...
1. Излагать концепцию факторного анализа и объяснять, чем он отличается от дисперсионно-
го анализа, множественной регрессии и дискриминантного анализа.
2. Обсуждать метод выполнения факторного анализа, включая формулирование проблемы,
построение корреляционной матрицы, выбор подходящего метода, определение ряда фак-
торов, их вращение и интерпретацию.
3. Понимать различие между выполнением факторного анализа методом главных компонент
и методом общих факторов.
4. Объяснять принцип отбора переменных-заменителей с точки зрения их использования в
последующем анализе.
5. Описывать процедуру для определения соответствия модели факторного анализа исходным
данным, используя наблюдаемые и вычисленные корреляции.


КРАТКИЙ ОБЗОР
При дисперсионном (глава 16), регрессионном (глава 17) и дискриминантном анализе
(глава 18) одну переменную маркетологи четко идентифицируют как зависимую. Теперь же
рассмотрим, как проводится факторный анализ, не предполагающий разделение переменных
на независимые и зависимые. Наоборот, исследователи проверяют все возможные варианты
взаимозависимостей между переменными. В этой главе обсуждается основная концепция фак-
торного анализа и дается понятие факторной модели. Мы опишем этапы факторного анализа и
проиллюстрируем их с точки зрения анализа главных компонент и анализа общих факторов.
Для начала приведем несколько примеров, иллюстрирующих полезность факторного анализа.

СКВОЗНОЙ ПРИМЕР. ВЫБОР УНИВЕРМАГА
Факторный анализ
Маркетологи провели факторный анализ ответов респондентов, в которых они расставляли
оценки в 21 утверждении об образе жизни. В результате определили семь основных факто-
ров, влияющих на образ жизни: предпочтение банковских карточек, а не карточек покупа-
теля универмага; предрасположенность к кредиту; избежание кредита; ориентация на досуг;
лояльность к кредитным карточкам; удобство кредитных карточек и осознание значения
кредитных карточек. Эти факторы, наряду с демографическим характеристиками, исполь-
зовались для профилирования сегментов, образованных в результате кластеризации.



ПРИМЕР. Факторный анализ приносит банкам прибыль
Как потребители оценивают банки? Респондентов попросили оценить важность 15 бан-
ковских характеристик по пятибалльной шкале — от несущественной характеристики до
очень важной. Эти данные были изучены с помощью анализа главных компонент.
При анализе переменных выявили четыре фактора: традиционные услуги, удобство, от-
1 крытость и компетентность. Традиционные услуги включали: процентные ставки по зай- |


Глава 19. Факторный анализ 717
мам, репутацию в обществе, низкие комиссионные по операциям с чеками, уважительность
и индивидуальный подход при обслуживании клиента, доступ к ежемесячным отчетам и
возможность получения займов. К удобству относились: удобное расположение отделений
банков, удобные места расположения банкоматов, быстрота обслуживания и удобное время
работы банка. Открытость включала: рекомендации от друзей и родственников, обществен-
ную поддержку и доступность получения займов. Под компетентностью подразумевалась
компетентность банковских служащих и наличие вспомогательных банковских услуг. В ре-
зультате пришли к выводу, что клиенты оценивают работу банков по четырем основным
факторам: традиционные услуги, удобство, открытость и компетентность [1].



СУТЬ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА
Факторный анализ (factor analysis) — это общее название для класса методов, используемых,
главным образом, для сокращения числа переменных и их обобщения.

Факторный анализ (factor analysis)
Класс методов, используемых, главным образом, для сокращения числа переменных и их
обобщения.

В ходе проведения маркетингового исследования можно столкнуться с множеством пере-
менных, большинство из которых взаимосвязаны. Для удобства обработки данных их число
следует снизить до приемлемого уровня. С этой целью связи между коррелированными пере-
менными анализируют и представляют в виде небольшого числа факторов. Например, можно
измерить имидж магазина, попросив респондентов оценить магазины по ряду пунктов и вы-
разить эту оценку по семантической дифференциальной шкале. Затем полученные оценки
можно проанализировать, чтобы определить факторы, характеризующие имидж магазина.
В дисперсионном анализе, множественной регрессии и д искри ми нантном анализе в каче-
стве зависимой переменной рассматривается одна переменная, а остальные являются незави-
симыми (предикторами). Однако в факторном анализе такого разграничения не делают. По-
этому факторный анализ — это скорее метод анализа взаимозависимости (interdependence
technique), поскольку в факторном анализе проверяются всевозможные варианты взаимозави-
симых связей [2].

Метод анализа взаимозависимости (interdependence technique)
Многомерный статистический метод, в котором изучают всевозможные варианты взаимоза-
висимых связей.

Факторный анализ используют в следующих ситуациях.
1. Для определения основных факторов, которые объясняют связи в наборе переменных. На-
пример, можно использовать набор высказываний об образе жизни для измерения психо-
графических профилей потребителей. Затем эти высказывания подвергают факторному
анализу, чтобы определить основные психографические факторы, как это показано в при-
мере с универсальным магазином [3].
2. Для определения нового, меньшего по размеру, набора некоррелирующих переменных, за-
меняющих исходный набор коррелирующих переменных, на основании которого дальше
выполняется многомерный анализ (регрессионный или дискриминантный). Например,
выявленные психографические факторы можно использовать как независимые перемен-
ные при объяснении различий между лояльными и нелояльными потребителями.
3. Для преобразования большего по размеру набора в меньший набор ясно выраженных пере-
менных для использования их в последующем многомерном анализе. Например, несколько
исходных заявлений о стиле жизни, которые сильно коррелируют с выявленными факто-

718 Часть 111. Сбор, подготовка и анализ данных
рами, можно использовать как независимые переменные для объяснения различий между
лояльными и нелояльными клиентами.

Фактор (factor)
Латентная переменная, конструируемая таким образом, чтобы можно было объяснить кор-
реляцию между набором переменных.

Факторный анализ широко используется в маркетинговых исследованиях.
• При сегментации рынка для определения латентных переменных с целью группировки
потребителей. Покупателей новых автомобилей можно сгруппировать в зависимости от
того, на что они обращают внимание при покупке автомобиля: экономию, удобства, ра-
бочие характеристики автомобиля, комфорт и респектабельность. В результате получают
пять сегментов рынка: покупатели, стремящиеся к экономии; покупатели, стремящиеся
к удобствам; покупатели, стремящиеся к определенным рабочим характеристикам авто-
мобиля; покупатели, ищущие комфортабельные автомобили; покупатели, ищущие рес-
пектабельные автомобили.
• При разработке товарной стратегии факторный анализ используется для определения
характеристик торговой марки, влияющих на выбор потребителей. Кокрентые торговые
марки зубных паст оценивают с точки зрения защиты от кариеса, отбеливания зубов,
вкуса, приятного запаха и цены.
• При разработке рекламной стратегии маркетологи с помощью факторного анализа пы-
таются понять, каким передачам отдают предпочтение потребители целевого рынка.
Покупатели замороженных продуктов, например, могут смотреть кабельное телевиде-
ние, любить фильмы опередленного жанра и музыку в стиле "кантри".
• При разработке стратегии ценообразования факторный анализ определяет характери-
стики потребителей, чувствительных к цене. Например, может оказаться, что они стре-
мятся к экономии и ориентированы на домашний отдых.


МОДЕЛЬ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА
С математической точки зрения факторный анализ в некоторой степени аналогичен мно-
жественному регрессионному анализу в том смысле, что каждая переменная выражена как ли-
нейная комбинация латентных факторов. Доля дисперсии отдельной переменной, принадле-
жащая общим факторам (и разделяемая с другими переменными) называется общностью
(communality). Ковариацию среди переменных описывают небольшим числом общих факто-
ров, плюс характерный фактор для каждой переменной. Эти факторы явно не видны. Если пе-
ременные нормированы, то факторную модель можно представить следующим образом:
Xi=Ai,Fl+Ai2F2+Ai3F3 + ...+Ain,Fm + ViUi,
где Xi ˜ i-я нормированная переменная;
Ад— нормированный коэффициент множественной регрессии переменной i по общему
фактору у;
FI — общий фактор;
Vf — нормированный коэффициент регрессии переменной / по характерному фактору <";
U, — характерный фактор для переменной /;
т — число общих факторов.
Характерные факторы не коррелируют между собой и с общими факторами [4].
Общие факторы в свою очередь также можно выразить линейными комбинациями наблю-
даемых переменных:
F, = W^j + Wi2X2 + WI3X3 + ...


Глава 19. Факторный анализ 719
где /)_ оценка i -го фактора;
Wj — весовой коэффициент или коэффициент значения фактора;
Л — число переменных.
Можно подобрать веса так, чтобы первый коэффициент значения фактора объяснял наи-
большую долю полной дисперсии. Затем отобрать второй набор весов так, чтобы второй фактор
вносил наибольший вклад в остаточную дисперсию при условии, что он не коррелирует с пер-
вым фактором. Этот же принцип применяется для отбора дополнительных весов для дополни-
тельных факторов. Таким образом, можно оценить факторы так, чтобы их значения, в отличие
от значений исходных переменных, не коррелировали. Более того, первый фактор объясняет
наибольшую дисперсию в данных, второй фактор — вторую по величине дисперсию и т.д. Тех-
ническая обработка модели факторного анализа представлена в Приложении 19А. С фактор-
ным анализом связано несколько статистик.


СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ С ФАКТОРНЫМ
АНАЛИЗОМ
Ниже приведены ключевые статистики, связанные с факторным анализом.
Критерий сферичности Бартлетта (Bartlett's test of sphericity). Статистика, проверяющая
гипотезу о том, что переменные в генеральной совокупности не коррелируют между собой.
Другими словами, корреляционная матрица в совокупности является характерной матри-
цей; каждая переменная коррелирует сама с собой (г = 1), но не взаимосвязана с другими пе-
ременными (г= 0).
Корреляционная матрица (correlation matrix). Матрица попарных корреляций г между всеми
возможными парами переменных, включенных в анализ. Это симметричная, неотрицательно
определенная матрица.
Общность (communality). Доля дисперсии отдельной переменной, которую переменная де-
лит с другими рассматриваемыми переменными. Это доля дисперсии, объясняемая общими
факторами.
Собственное значение (eigenvalue). Представляет полную дисперсию, объясняемую каждым
фактором.
Факторные нагрузки (factor loadings). Линейные корреляции между переменными и фак-
торами.
График факторных нагрузок (factor loadings plot). График исходных переменных, где по осям
координат откладывают значения факторных нагрузок.
Матрица факторных нагрузок (factor matrix). Содержит факторные нагрузки всех перемен-
ных по всем выделенным факторам.
Значения фактора (factor scores). Суммарные значения, определенные для каждого респон-
дента по производным факторам.
Критерий адекватности выборки Кайзера-Мейера-Олкина (Kaiser— Meyer— Olkin (KMO)
measure of sampling adequacy). Коэффициент для проверки целесообразности выполнения фак-
торного анализа. Высокие значения (от 0,5 до 1) указывают, что факторный анализ целесооб-
разен. Малые значения (до 0,5) указывают, что факторный анализ неприемлем.
Процент дисперсии (percentage of variance). Процент от полной дисперсии, приписываемый
каждому фактору.
Остатки (residuals). Разница между наблюдаемыми корреляциями, приведенными в исход-
ной корреляционной матрице, и вычисленными корреляциями, определенными из матрицы
факторных нагрузок.
Графическое изображения критерия "каменистой осыпи" (scree plot), График зависимости
собственных значений от числа факторов в порядке их убывания.
Использование статистик как процедуры выполнения факторного анализа описано в сле-
дующем разделе.


720 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
ВЫПОЛНЕНИЕ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА
Этапы выполнения факторного анализа приведены на рис. 19.1.

„ .Формулировка проблемы




ода факторного анализа
- . .. , -
.




Отбор
переменных-имитаторов




Рис. 19.1. Выполнение факторного анализа

Первый этап состоит в формулировании проблемы факторного анализа и определении пе-
ременных, подвергаемых факторному анализу. Затем строится корреляционная матрица пере-
менных и выбирается метод факторного анализа. Исследователь выбирает число факторов, ко-
торые следует выделить, и метод вращения факторов. Далее повернутые факторы следует ин-
терпретировать. В зависимости от целей, можно вычислить значения факторов или отобрать
переменные-заменители для представления факторов в последующем многомерном анализе.
И наконец, смотрят, насколько хорошо подогнана факторная модель. Мы обсудим эти этапы
подробнее в следующих разделах [5].

Формулировка проблемы
Формулировка проблемы включает несколько задач. Во-первых, четкое определение целей
факторного анализа. Переменные, подвергаемые факторному анализу, задаются исходя из
прошлых исследований, теоретических выкладок и по усмотрению исследователя. Важно, что-
бы переменные измерялись в интервальной или относительной шкале. Выборка должна быть
подходящего размера. Опыт подсказывает, что рекомендуется брать выборку, по крайней мере,
в четыре или пять раз больше, чем число переменных [6]. Часто при маркетинговых исследова-
ниях размер выборки мал, и это отношение значительно меньше. В таких случаях следует осто-
рожно интерпретировать результаты.


Глава 19. Факторный анализ 721
Для иллюстрации факторного анализа предположим, что исследователь хочет определить
основные преимущества, которые потребители хотят получить, покупая определенную зубную
пасту. Маркетологи опросили в торговом центре 30 респондентов. Их попросили указать, ис-
пользуя семибалльную шкалу (1 — полностью несогласен, 7 — полностью согласен), степень
согласия со следующими утверждениями:
Vl — важно приобрести зубную пасту, которая предотвращает развитие кариеса;
Уг — мне нравится зубная паста, которая придает зубам белизну;
V) — зубная паста должна укреплять десна;
К, — я предпочитаю зубную пасту, которая освежает дыхание;
У5 — предотвращение порчи зубов не является важным преимуществом данной зубной пасты;
V6 — наиболее важной причиной покупки данной зубной пасты является способность зуб-
ной пасты улучшать внешний вид зубов.
Полученные данные приведены в табл. 19.1. На основании этих оценок построена корреля-
ционная матрица.

Таблица 19.1. Рейтинги характеристик зубной пасты ло семибалльной шкале
Номер респондента V, V2 V3 V5
Vj
1 7,00 3,00 4,00 2,00
6,00 4,00
2 1,00 3,00 2,00 4,00 5,00 4.00
6,00 2,00 1,00
3 7,00 4,00 3,00
4,00 5,00 6,00 2,00
4,00
4 5,00
5 1,00 2,00 3,00 6,00
2,00 2,00
6 6,00 3,00 2,00
4,00
6,00 4,00
5,00 3,00 3,00 4,00 3,00
7 6,00
а 6,00 4,00 4,00 1,00
7,00 4,00
9 3,00 6,00
2,00
400 3,00 3,00
ю 7,00
2,00 2,00 6,00 6,00
6,00
и 6,00 7,00
4,00 3,00 200 3,00
2,00 3,00 1,00
12 4,00 500 4.00
7,00 2,00 6,00 1,00
13 4,00 3,00
4,00 6,00 4,00 5,00
14 3,00 6,00
1,00 3,00 6,00
2,00 2,00
15 4,00
6,00 3,00 3,00
4,00 6,00 4,00
16
17 5,00 3,00 6,00 3,00 3,00 4,00
18 7,00 3,00 7,00 4,00 1,00 4,00
19 2,00 4,00 3,00 6,00
3,00 3,00
20 4,00
5,00 3,00 6,00
3,00 6,00
5,00
21 1,00 2,00 3,00 3,00
3,00
2,00
5,00 4,00 4,00
22 5,00 4,00
23 2,00 1,00 5,00 4,00
2,00 4,00
4,00 6,00 4,00 6,00 7,00
24 4,00
6,00 2,00 1,00
5,00 4,00 4,00
25
3,00 4,00 6,00 4,00
5,00 7,00
26
4,00 4,00 7,00 2,00 2,00
27 5,00
4,00
3,00 6,00 2,00 6,00 3,00
28
4,00 3,00 7,00 2,00
7,00
29 7,00
3,00 2,00 4,00 7,00
30 2,00 2,00


722 Часть III, Сбор, подготовка и анализ данных
Построение корреляционной матрицы
В основе нашего анализа лежит матрица корреляций между переменными. Ее анализ дает
маркетологам ценную информацию. Целесообразность выполнения факторного анализа опре-
деляется наличием корреляций между переменными. На практике так обычно и бывает. Если
же корреляции между всеми переменными небольшие, то факторный анализ бесполезен. Сле-
дует также ожидать, что переменные, тесно взаимосвязанные между собой, должны также тесно
коррелировать с одним и тем же фактором или факторами.
Для проверки целесообразности использования факторной модели анализа зависимости
перменных существует несколько статистик. С помощью критерия сферичности Бартлетта про-
веряется нулевая гипотеза об отсутствии корреляций между переменными в генеральной сово-
купности: другими словами, рассматривается утверждение о том, что корреляционная матрица
совокупности — это единичная матрица, в которой все диагональные элементы равны 1, а все
остальные равны 0. Проверка с помощью критерия сферичности основана на преобразовании
детерминанта корреляционной матрицы в статистику хи-квадрат. При большом значении ста-
тистики нулевую гипотезу отклоняют. Если же нулевую гипотезу не отклоняют, то целесооб-
разность выполнения факторного анализа вызывает сомнения. Другая полезная статистика —
критерий адекватности выборки Кайзера—Мейера-Олкина (КМО). Данный коэффициент
сравнивает значения наблюдаемых коэффициентов корреляции со значениями частных коэф-
фициентов корреляции. Небольшие значения КМО-статистики указывают на то, что корреля-
ции между парами переменных нельзя объяснить другими переменными и что использование
факторного анализа нецелесообразно.
Корреляционная матрица, построенная на основании данных, полученных из ответов рес-
пондентов о преимуществах различных видов зубной пасты, показана в табл. 19.2.

! Таблица 19.2. Корреляционная матрица
Переменные Vj V? УЗ Vj Vs
V*

v, 1,00
1,00
V: - 0,053
Vi 0,873 -0,155 1,00
0,572
- 0,086
V.' - 0,248 1,00
0,020
- 0,858 - 0,778 -0,007 1,00
V;.

ye 0,640 0,640 -0,136 1,00
0,004 -0,018

Из данных табл. 19.2 видно, что относительно высокое значение корреляции наблюдается
между К, (предотвращение кариеса), К3 (укрепление десен) и К5 (предотвращение порчи зубов).
Можно ожидать, что эти переменные коррелируют с одним и тем же набором факторов. Анало-
гично, относительно высокие корреляции наблюдаются между У2 (отбеливание зубов), Ул
(свежее дыхание) и К6 (привлекательность внешнего вида зубов). Также можно ожидать, что
эти переменные коррелируют с одними и теми же факторами [7].
Результаты факторного анализа приведены в табл. 19.3.
Нулевую гипотезу о том, что корреляционная матрица совокупности является единичной
матрицей, отклоняют в соответствии с критерием сферичности Бартлетта. Приближенное зна-
чение статистики хи-квадрат равно 111,314 с 15-ю степенями свободы, она является значимой
при уровне 0,05. Значение статистики КМО (0,660) также большое (> 0,5). Таким образом,
факторный анализ можно рассматривать как приемлемый метод для анализа корреляционной
матрицы табл. 19.2.




Глава 19. Факторный анализ 723
Таблица 19.3. Результаты анализа главных компонент
Критерий сферичности Бартлетта
Приближенное значение статистики хи-квадрат- 111,314; число степеней свободы - 15; значимость - 0,00000
Критерий адекватности выборки Кайэера-Мейера-Олкина - 0,660
Общности
Переменная Начальная Выделенная
l/i 1,000 0,926
V2 1,000 0,723
V3 1,000 0,894
0,739
V4 1,000
1/5 1,000 0,878
1/6 1,000 0,790

Исходные собственные значения
Фактор Собственное значение Процент дисперсии Кумулятивный процент
1 2,731 45,520
45,520
2 2,218 82,488
36,969
3 0,442 89,848
7,360
4 0,341 95,536
5,688
98,580
5 0,183 3,044
100,000
6 0,085 1,420
Сумма квадратов нагрузок для выделенных факторов
Фактор Собственное значение Процент дисперсии Кумулятивный процент
1 2,731 45,520 45,520
2 2,218 36,969 82,488
Матрица факторных нагрузок
Фактор 1 Фактор 2
l/i 0,928 0,253
1/2 -0,301 0,795
1/э 0,936 0,131
1/4 - 0,342 0,789
1/5 - 0,869 -0,351
0,871
1/6 -0,177
Суммы квадратов факторных нагрузок после вращения факторов
Фактор Собственное значение Процент дисперсии Кумулятивный процент
44,802
1 2,688 44,802
82,488
2 2,261 37,687




Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
724
Окончание табл. 19.3
Матрица факторных нагрузок после вращения факторов
Фактор 1 Фактор 2
v\ 0,962 - 0,027
-0,057 0,848
1/2

0,934 -0,146
ft
0,854
-0,098
V4
-0,084
-0,933
Vs
0,083 0,885
1/6
Матрица коэффициентов значения факторов
Фактор 2
Фактор 1
Vi 0,358 0,011
V2 -0,001 0,375
V3 0,345 - 0,043
V4 -0,017 0,377
l/s - 0,350 - 0,059
V6 0,052 0,395
Вычисленная корреляционная матрица
V, V2 V3 V4 Vs Ve
v, 0,024 - 0,029 - 0,053
0,926' 0,031 0,038
- 0,078 0,022
0,723' 0,038 -0,105
-0,158
1/2
0,894*
0,902 -0,177 0,033
0,081
V, - 0,031
vt -0,117 - 0,027 -0,107
0,730 -0,217 0,739*
0,878'
- 0,895 -0,018 0,016
- 0,859 0,020
1/5

0,057 -0,152 0,790*
0,746 -0,051
Ve 0,748

'Нижний левый треугольник содержит вычисленную корреляционную матрицу; диагональ - общности; верхний правый тре-
угольник — остатки между наблюдаемыми и вычисленными корреляциями.


Определение метода факторного анализа
Поскольку установлено, что факторный анализ подходит для анализа данных, необходимо
выбрать соответствующий метод его выполнения. Различные методы факторного анализа раз-
личают в зависимости от подходов, используемых для выделения коэффициентов значения
факторов. Существует два метода — анализ главных компонент и анализ общих факторов. При
анализе главных компонент (principal components analysis) учитывают всю дисперсию данных.

Анализ главных компонент (principal components analysis)
Метод факторного анализа, который учитывает всю дисперсию данных.

Диагональ корреляционной матрицы состоит из единиц, и вся дисперсия_введена в матри-
цу факторных нагрузок. Анализ главных компонент рекомендуется выполнять, если основная
задача исследователя — определение минимального числа факторов, которые вносят макси-
мальный вклад в дисперсию данных, чтобы в последующем использовать их в многомерном
анализе. Эти факторы называют &швными компонентами (principal component).


Глава 19. Факторный анализ 725
В анализе общих факторов (common factor analysis) факторы определяют только на основа-
нии общей дисперсии. Общности располагаются на диагонали корреляционной матрицы. Этот
метод подходит, если основной задачей является определение латентных переменных и общей
дисперсии. Этот метод также известен какра&южение матрицы (principal axis factoring).

Анализ общих факторов (common factor analysis)
Метод факторного анализа, который оценивает факторы только по общей (для всех факто-
ров) дисперсии.


Существуют и другие методы оценки общих факторов. Они включают: метод невзвешенных
наименьших квадратов, обобщенный метод наименьших квадратов, метод максимального
правдоподобия, ачьфа- факторны и метод, распознования образов. Эти методы сложнее, и их не
рекомендуется использовать неопытным аналитикам [8].
В табл. 19.3 показано применение анализа главных компонент. В колонке "Исходные"
(часть таблицы под названием "Общности") видно, что значения общностей для каждой пере-
менной от V]_ до У6 равны 1, поскольку единицы введены в диагональ корреляционной матри-
цы. Часть табл. 19.3 под названием "Исходные собственные значения" дает собственные значе-
ния факторов, которые снижаются при переходе от первого фактора к шестому. Собственное
значение фактора указывает полную дисперсию, присущую данному фактору. Полная диспер-
сия для всех шести факторов равна 6, т.е. числу переменных. Дисперсия, обусловленная влия-
нием первого фактора, равна 2,731 или 45,52% от полной дисперсии (2,731/6). Аналогично,
дисперсия, обусловленная влиянием второго фактора, равна (2,218/6) или 36,97% от полной
дисперсии, и два фактора вместе объясняют 82,49% полной дисперсии. Для определения числа
факторов, которые необходимо использовать в анализе, существует несколько методов.

Определение числа факторов
Можно вычислить столько главных компонент, сколько имеется переменных, но это не-
экономично. Чтобы обобщить информацию, содержащуюся в исходных переменных, лучше
выделить небольшое число факторов. Вопрос в том: сколько? Для определения числа факторов
предлагается несколько процедур: определение, основанное на предварительной информации;
определение, основанное на собственных значениях факторов; критерий "каменистой осыпи";
определение на основе процента объясненной дисперсии; метод расщепления и критерии
значимости.
Определение, основанное на предварительной информации. Иногда, руководствуясь предва-
рительной информацией, исследователь знает, сколько факторов можно ожидать, и таким об-
разом, может заранее определить число выделяемых факторов. После извлечения желаемого
числа факторов их выделение прекращают. Большинство компьютерных программ позволяют
пользователю определить число факторов, значительно упрошая применение этого метода.
Определение, основанное на собственных значениях факторов. В этом методе учитывают
только факторы, собственные значения которых выше 1,0; остальные факторы в модель не
включают. Собственное значение представляет значение дисперсии, обусловленной действием
этого фактора. Следовательно, рассматривают только факторы с дисперсией выше 1,0. Если
число переменных меньше 20, то этот метод завышает число факторов.
Определение, основанное на критерии "каменистой осыпи". Графическое изображение кри-
терия "каменистой осыпи" представляет собой график зависимости собственных значений
факторов от их номеров в порядке выделения. Для определения числа факторов используют
форму графика. Обычно график имеет четкий разрыв между крутой частью кривой, где факто-
рам свойственны большие собственные значения, и плавной хвостовой частью кривой, связан-
ной с остальными факторами (в этом месте убывание собственных значений факторов слева
направо максимально замедляется). Это плавное убывание собственных значений называется
осыпь (scree). Опыт показывает, что точка, с которой начинается осыпь, указывает на действи-
тельное число факторов. Обычно число факторов, определенное по графику "каменистой осы-


726 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных
пи'", на единицу или несколько единиц больше числа факторов, полученных методом, осно-
ванным на собственных значениях.
Определение на основе процента объясненной дисперсии. В этом методе число выделяемых
факторов определяют так. чтобы кумулятивный процент дисперсии, выделяемой факторами,
достиг удовлетворительного уровня. Какой уровень дисперсии считать удовлетворительным,
зависит от поставленной задачи. Однако рекомендуется выделять такое число факторов, кото-
рое объясняют, по крайней мере, 60% дисперсии.
Определение, основанное на оценке надежности, выполняемой расщеплением. В этом методе
выборку расщепляют напополам и факторный анализ выполняют для каждой половины. При
этом оставляют только факторы с высокой степенью соответствия факторных нагрузок в двух
подвыборках.
Определение, основанное на критериях значимости. Можно определить статистическую зна-
чимость отдельных собственных значений и оставить только статистически значимые факто-
ры. Недостаток этого метода в том, что при больших размерах выборок (больше 200) многие
факторы, вероятно, статистически значимые, хотя с практической точки зрения, многие из них
объясняют небольшую долю полной дисперсии.
В табл. 19.3, исходя из собственных значений факторов, превышающих единицу (по умол-
чанию), будет выделено два фактора. Из опыта (предварительная информация) мы знаем, что
зубную пасту покупают по двум основным причинам. График "каменистой осыпи" приведен
на рис. 19.2.

3.0


2,5


2,0


1.5


1.0


0,5


0.0
2 3 4 5 6
Число факторов
Рис. 19.2, График "каменистойосыпи"

На графике четкий разрыв виден в области трех факторов. И наконец, из значения кумуля-
тивного процента объясненной дисперсии видно, что два первых фактора объясняют 82,49%
дисперсии, и увеличение этого значения при переходе к трем факторам будет предельным.
Кроме того, метод расщепления выборки также указывает на два фактора. Таким образом, в

<<

стр. 26
(всего 35)

СОДЕРЖАНИЕ

>>